随机过程内容提要
通信原理 第三章 随机过程 学习要点及习题解答
第三章 随机过程学习目标通过对本章的学习，应该掌握以下要点： 随机过程的基本概念随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；高斯过程的定义和性质、一维概率密度函数；随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；窄带随机过程的表达式和统计特性；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
3.1 内容概要3.1.1 随机过程的基本概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。
1.定义角度一：随机过程ξ(t )是随机试验的全体样本函数{ξ1 (t ), ξ2 (t ), …, ξn (t )}的集合。
角度二：随机过程ξ(t )是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
这说明，在任一观察时刻t 1，ξ(t 1)是一个不含t 变化的随机变量。
可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
研究随机过程正是利用了它的这两个特点。
2.分布函数和概率密度函数 一维分布函数：ξ(t )在11111(,)[()]F x t P t x ξ=≤含义：随机过程ξ(t )在t 1时刻的取值ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率。
如果存在1111111),(),(x t x F t x f ∂∂=则称111(,)f x t 为ξ(t )的一维概率密度函数。
同理，任意给定12n t t t T ∈ ，，，，则ξ(t )的n 维分布函数为{}12121122(,,,;,,)(),(),,()n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤如果此能在n21n 21n 21n n n 21n 21n x )t x ()t x (∂∂∂∂= x x t t x x F t t x x f ，，，；，，，，，，；，，，则称其为ξ(t )的n 维概率密度函数。
显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。
随机过程-第二章 随机过程
同样地， k 维随机过程的
n 维联合分布函数具有对称性和相容性。
i 1 i
k
例 2.1 设随机变量 X b(n, p) ，求 X 的特征函数
解：当 n 1 时， X 服从 0-1 分布，
P( X k ) p k (1 p)1k , k 0,1
所以
(t ) eitk P( X k ) peit (1 p)
自协方差函数与自相关函数之间的关系：
CX (s, t ) RX (s, t ) X (s) X (t )
注：自相关函数与自协方差函数均具有对称性和非负定性的性质。
2.3.2 二维随机过程
两个随机过程 X (t ), t T 和 Y (t ), t T 的互协方差函数
n
Ft1 ,,tm ,tm1 ,,tn ( x1 ,, xm , ,, ) Ft1 ,,tm ( x1 ,, xm )
对应具有有限分布族的随机过程 X (t ), t T 的特征函数
t ,,t (u1 ,, un ) E (ei (u X (t )u X (t )) ) ei (u X (t )u X (t )) dFt ,,t ( x1 ,, xn )
解：先求 Y
X
的特征函数。因为 Y N (0,1) ，所以
2 2
Y (t ) e
由于 ixe
itx x2 2
itx
x itx 1 x2 1 2 e dx e dx 2 2
x2 2
xe
，且
2
xe
x2 2
dx ห้องสมุดไป่ตู้ ，所以
随机过程教学大纲
《随机过程》教学大纲一、课程信息课程代码：060148课程名称：随机过程英文名称：Stochastic Processes课程类别：专业核心课适用专业: 应用统计学总学时：48 学时理论学时：40 学时实践学时：8学时学分：3 学分（理论2.5学分，实践0.5学分）开设学期：第4学期考核方式：考试先修课程：概率论、高等数学二、课程简介《随机过程》是统计学专业的专业必修课程。
随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征。
着重对随时间和空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具有较强的理论性。
该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各个领域中都有广泛的应用。
课程性质为选修课，主要讲述随机过程的基本知识，课程的主要教学教学目的是培养学生运用随机过程分析和解决问题的能力，使学生掌握主要几种随机过程的基本概念与处理随机现象的方法。
课程内容包括：随机过程基本概念、Poisson过程、更新过程、Markov链、鞅、布朗运动。
三、教学内容及要求第一章预备知识教学重点和难点：重点和难点是概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等。
实践环节：无建议使用的教学方法与手段：多媒体与板书结合教学学时：（理论学时3学时）（实践学时0学时）教学目标和要求：通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。
第一节概率空间1. 概率空间定义2. 概率的性质第二节随机变量与分布函数1. 随机变量2. 常见概率分布第三节数字特征、矩母函数与特征函数1. Riemann-Stieltjes积分2. 数字特征3. 关于概率测度的积分4. 矩母函数5. 特征函数第四节收敛性1. 收敛性2. 积分号下取极限的定理第五节独立性与条件期望1. 独立性2. 独立随机变量和的分布3. 条件期望第二章随机过程的基本概念和基本类型教学重点和难点：重点和难点是随机过程的概念，有限维分布族，柯尔莫哥洛夫存在定理。
随机过程
1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。
人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领 域之外的应用。
发展概况
1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为 马尔可夫链。
1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的 研究通常认为开始于30年代。
谢谢观看
的统计特征
对于随机过程{X (t); t∈T}，其统计特征有均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。它们的定义如 下：
上述统计特征之间的关系为：
的分类
按照统计特征 分类
按照参数集和 状态空间的特 征分类
以统计特征进行分类，一般可分类以下一些：
参数集T可分为两类：（1）T可列；（2）T不可列。 状态空间S也可分为两类：（1）连续状态空间；（2）离散状态空间。 由此将随机过程分为以下四类:
随机过程 整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉 布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
的研究
研究方法
研究内容
研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类： 一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度 论、 微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。 实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。
概论与数理统计之随机过程
定义：设T 是一无限实数集，X (e, t ), e S , t T 是对应于e和t的实数， 即为定义在S 和T 上的二元函数。 若此函数对任意固定的t T , X e, t 是一个随机变量， 则称 X (e, t ), e S , t T 是随机过程；
对于随机过程 X (e, t ), e S , t T 进行一次试验，即e给定， 它是t的函数，称为随机过程的样本函数。
分布函数 两种描述 特征数
FX ( x, t ) P X (t ) x，x R，称为随机过程 X (t ), t T 的一维分布函数
FX ( x, t ), t T 称为一维分布函数族
一般地，对任意n(n 2,3,)个不同的时刻，t1 , t2 , tn T n维随机变量 X (t1 ), X (t2 ), X (tn ) 的分布函数：xi R, i 1, 2, n FX ( x1 , x2 , xn；t1 , t2 , tn ) P X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 , X (tn ) xn ， 称为随机变量 X (t ), t T 的n维分布函数
2 X t RX t , t
各数字特征之间的关系如下：
C X t1 , t2 RX t1 , t2 X t1 X t2
2 X
t C X t , t RX t , t t
2 X
14
2 X (t ) DX (t ) E [ X (t ) X (t )]2 ---方差函数 2 X (t ) X (t ) ---标准差函数 2 X (t ) E[ X (t )] 均值函数 X (t ) E[ X 2 (t )] 均方值函数
随机过程名词解释
随机过程名词解释
随机过程是一种统计学，它研究与时间无关的概率模型。
一、定义：随机过程是随机事件的序列，该序列取自某一个随机变量。
由于这些变量都可以用来描述随机过程，所以又把随机过程称为过程。
对于同一个随机过程，其“出现”的可能性总是相等的，故我们也说“可能性是相等的”。
有序的随机变量的集合称为概率空间，即具有某种特定形式的函数空间。
对于任何一个随机过程，它可以定义在这个空间内的每一点上，并且这个过程的概率与函数的局部值无关。
二、内容：①在随机过程中，系统的状态转移的结果(结果的概率)是随机变量(状态)的取值，而这些随机变量的取值是独立的; ②在随机过程中，系统状态转移的过程不是事先确定的，它们都是随机发生的; ③随机过程中的结果之间彼此独立，但并不一定完全独立。
①在随机过程中，任意两个系统的状态转移必然是相互独立的，因为随机过程中状态的转移是按照一定的概率规律进行的。
但是，这种状态的独立性不是绝对的，只要存在着某种随机干扰，则系统的状态就会从独立变成不独立。
所以，在随机过程中，状态的转移不一定是相互独立的。
②在随机过程中，系统的状态转移是随机变量序列，是一个取自随机变量集合的概率分布。
这些随机变量的取值是不相同的，或者说这些随机变量是以不同的概率出现的。
③随机过程中的结果之间彼此独立，但并不一定完全独立。
如在某随机过程X0=x+y的结果集中，
已知某两个结果Y=-0.6和Y=-0.08，那么无论对哪个结果Y，人们都知道它对应着概率P=0.08。
第2章 随机过程概述
(功率有限),且
2
则称
R(t1 , t2 ) E[ X (t ) X (t )] R( )
(t ), t T X为广义平稳随机过程。
t1 t2
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程
二者没有关系,但如果狭义平稳随机过程且功率有限,则必为广义平稳的
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
xyf ( x, t1; y, t2 )dxdy
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义 随机过程 样本函数
X (t ) X (t , e)
X i (t ) X (t , ei ) X (ti ) X (ti , e)
X i (t j ) X (t j , ei )
随机变量
标量
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
随机过程一般表示为{ X (t), t T }。
自相关函数各态历经
T
lim P{| X (t ) X (t ) RX ( ) | } 1
各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
C (0) R(0) m2 2
自相关函数连续的充要条件
R( )在 0点处连续
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 非负定性
i , j 1
R(
n
随机过程的基本概念和分类
随机过程的基本概念和分类随机过程是概率论中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括金融、电信、工程等。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类，以帮助读者更好地理解和应用随机过程。
一、基本概念随机过程是指一簇随机变量的集合，其中每个随机变量代表某个时间点的取值。
随机过程可以用数学形式表示为{X(t), t∈T}，其中X(t)表示时间t时刻的取值，T表示时间的取值范围。
在随机过程中，时间是一个重要的概念。
时间可以是离散的，也可以是连续的。
当时间是离散的时候，随机过程称为离散随机过程；当时间是连续的时候，随机过程称为连续随机过程。
离散随机过程常用于描述离散事件，如投掷硬币的结果；而连续随机过程常用于描述连续变化的现象，如股票价格的变动。
二、分类随机过程可以根据其状态空间和时间的特性进行分类。
下面将介绍常见的几种分类方式。
1. 马尔可夫过程(Markov Process)马尔可夫过程是一种具有"无记忆性"的随机过程，即在给定当前状态下，未来的发展仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫过程可以是离散的或连续的，常用于建模和分析具有动态特性的系统，如排队论、信道传输等。
2. 马尔可夫链(Markov Chain)马尔可夫链是马尔可夫过程的特例，它具有离散的状态空间和离散的时间。
马尔可夫链是一种时间齐次的马尔可夫过程，即系统的转移概率在不同的时间点保持不变。
马尔可夫链常用于描述离散状态的随机系统，如天气的转变、赌博游戏的输赢等。
3. 马尔可夫跳过程(Markov Jump Process)马尔可夫跳过程是一种具有离散和连续混合特性的随机过程。
它在连续时间间隔内可能发生状态的跳跃，并且在一个状态下停留的时间是指数分布的。
马尔可夫跳过程广泛应用于电信系统、金融市场等领域。
4. 广义随机过程(Generalized Stochastic Process)广义随机过程是一种对传统随机过程进行扩展的概念。
数学中的随机过程
数学中的随机过程一、引言在数学领域中，随机过程是研究随机事件随时间的演变规律的数学模型。
它既具有随机性，又具有确定性，广泛应用于概率论、统计学和其他相关领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、分类及其在现实生活中的应用。
二、随机过程的定义随机过程是一类随机变量的集合，表示随机事件随时间变化的模型。
随机过程通常用X(t)表示，其中t是时间参数，X(t)是在某一时刻t的取值。
随机过程可以分为离散和连续两种类型。
三、离散时间随机过程离散时间随机过程是指在一系列离散时间点上定义的随机变量序列。
常见的离散时间随机过程有伯努利过程、泊松过程等。
1. 伯努利过程伯努利过程是最简单的离散时间随机过程，它是一种只有两个取值的随机过程。
以掷硬币为例，假设正面出现的概率为p，反面出现的概率为1-p，掷硬币的结果序列就是伯努利过程。
2. 泊松过程泊松过程描述了随机事件在时间上的独立出现，并且满足平稳性和无记忆性。
在实际应用中，泊松过程可以用来模拟各种随机事件的发生，如电话呼叫到达、交通事故发生等。
四、连续时间随机过程连续时间随机过程是指在连续时间区间上定义的随机变量。
其中最常见的连续时间随机过程是布朗运动和随机行走。
1. 布朗运动布朗运动是一种连续的、无界变差的随机过程，其特点是随机变量在任意时间间隔上的累积值符合正态分布。
布朗运动经常用来模拟金融市场的波动、温度变化等。
2. 随机行走随机行走是一种描述随机变量在空间上随机移动的随机过程。
它的最简单形式是一维随机行走，即随机变量只能在一维空间上左右移动。
随机行走在金融市场中的应用较广，可以用来模拟股票价格的变化。
五、随机过程的应用随机过程在现实生活中有着广泛的应用，以下两个领域是典型的例子。
1. 通信网络随机过程在通信网络中扮演着重要的角色。
例如，通过对网络中的数据流量建模，可以使用随机过程来优化网络的传输效率和资源分配。
2. 金融领域在金融领域中，随机过程被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组合优化等方面。
第二章随机过程的基本概念
例: 英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上 的微小粒子不断进行无规则的运动。这种运 动叫做Brown运动，它是分子大量随机碰撞的
结果。记 X t ,Y t 为粒子于时刻t在平面
为t T 的函数，x(t,ω0 )是一个定义在T 上的
普通函数.
X(t1,ω)
X(t2,ω)
x(t,ω1) x(t,ω2) x(t,ω3)
t1
t2
tn
例5 X(t,ω) = acos(bt+Θ), Θ~U(0, 2π)
ω1 =5.4938 ω2 = 1.9164
ω3 = 2.6099
定义2.1.2 对每一固定ωΩ，称Xt (ω) 是随 机过程 {X (t,), t T }的一个样本函数.
是相互独立的，
则称 X (t) 为具有独立增量的随机过程。
（3）马尔可夫过程
设{ X (t) ，t T }对任意 n 个不同的 t1 ，t2 ，…，tn T
且 t1 t2 tn1 tn P( X (tn ) xn | X (tn1 ) xn1 ，…，X (t1 ) x1 )
X (t)
t, 3
et ,
如果t时取得红球 如果t时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求概率密度
解 对每一个确定的时刻 t，X (t) 的概率密度为
t
X (t)
3
t
e
P
所以
F (t1；x1 ) P( X (t1 ) x1 )
21
(完整)随机过程总结,推荐文档
第一章随机变量基础1历史上哪些学者对随机过程学科的基础理论做出了突出贡献？答:随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。
这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。
1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。
随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。
1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。
1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。
2 全概率公式的含义？答：全概率公式的含义就是各种可能发生的情况的概率之和为1。
3 概率空间有哪几个要素，其概念体现了对随机信号什么样的建模思想？答：样本空间、事件集合、概率函数称为概率空间的三要素。
概率函数建立了随机事件与可描述随机事件可能性大小的实数间的对应关系，因此，概率空间是在观测者观测前对随机事件发生的可能性大小进行了量化，其有效性是通过多次观测体现出来的，也即在多次观测中，某个随机事件发生的频率可直接认为与其发生的概率相等，所以，概率空间的建模思想实际是对大量观测中某随机事件发生频率的稳定性的描述。
4 可用哪些概率函数完全描述一个随机变量？答：概率分布函数（cdf）、概率密度函数（pdf）、特征函数（cf）、概率生成函数（gf）。
5 可用哪些数字特征部分描述一个随机变量？答：均值、方差、协方差、相关系数和高阶矩。
6 随机变量与通常意义上的变量有何区别与联系？答：随机变量具有通常意义上的变量的所有性质和特征（即变量特性），还增加了变量取每个值的可能性大小的描述（即概率特性）。
因此，描述或刻画一个随机变量时，还必须要特别考察其概率函数或各阶矩函数。
《随机过程》课程简介
《随机过程》课程简介06191360 随机过程 3A Course in Stochastic Processes 周学时：3-0 (或每周6节共8周)预修要求：概率论、高等数学、线性代数面向对象：三年级本科生内容简介：随机过程是对随时间和空间变化的随机现象进行建模和分析的学科，在物理、生物、工程、心理学、计算机科学、经济和管理等方面都得到广泛的应用。
本课程介绍随机过程的基本理论和几类重要随机过程模型与应用背景，主要包括泊松过程与更新过程、离散时间与连续时间的马尔可夫链、平稳过程、布朗运动与随机积分初步。
推荐教材或主要参考书：1．《应用随机过程》林元烈编著清华大学出版社，2002年11月2.《应用随机过程》张波编著中国人民大学出版社，2002年9月3．《随机过程》方兆本、缪柏其编著中国科技大学出版社，2001年4 《An Introduction to Stochastic Processes》，Edward P.C. Kao著, 机械工业出版社，2003年7月。
5. 《A Course in Stochastic Processes—Stochastic Models and Statistical Inference》，Denis Bosq和Hung T. Nguyen 编著，Kluwer Academic Publishers, London, 1996.《随机过程》教学大纲06191360 随机过程 3A Course in Stochastic Processes 周学时：3-0 (或每周6节共8周)预修要求：概率论、高等数学、线性代数面向对象：三年级本科生一、课程的教学目的和基本要求随机过程是对随时间和空间变化的随机现象进行建模和分析的学科，在物理、生物、工程、心理学、计算机科学、经济和管理等方面都得到广泛的应用。
通过对《随机过程》课程的学习，使学生初步掌握随机过程的基本理论和方法，掌握几类重要随机过程模型并熟悉它们的应用背景。
概率论中的随机过程理论
概率论中的随机过程理论概率论中的随机过程理论是一门研究随机现象的数学分支，它广泛应用于统计学、金融学、电信工程、物理学等领域。
随机过程可以被认为是随机事件随时间的演化，它在描述和预测随机事件的过程中起到重要的作用。
本文将介绍随机过程的基本概念和主要理论。
一、随机过程的定义与分类随机过程可以被定义为一个随机变量的集合，它的取值对应于不同的时间点。
随机过程可以被分为离散时间和连续时间两种类型。
对于离散时间随机过程，时间变量是一个离散的集合，而连续时间随机过程的时间变量则是一个连续的集合。
二、随机过程的性质在研究随机过程时，我们通常关注以下几个重要的性质：平稳性、独立性、马尔可夫性和齐次性。
平稳性是指随机过程的统计性质在时间上保持不变。
对于平稳随机过程，它的均值和方差在时间上是常数。
独立性是指在不同时刻发生的事件之间没有相互影响。
如果随机过程中任意时刻的事件是相互独立的，那么我们称该随机过程是独立的。
马尔可夫性是指一个随机过程在未来的发展只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这意味着给定现在状态，过去的状态对未来的状态没有任何影响。
齐次性是指随机过程在任意时刻的性质都是相同的。
齐次随机过程不受时间起点的影响。
三、随机过程的描述和表示随机过程可以通过不同的方式进行描述和表示。
最常用的描述方式是通过概率密度函数或概率质量函数来描述随机过程的状态变量。
另一种表示方法是通过条件概率来表示随机过程。
条件概率表示给定某一时刻的状态，随机过程在未来时刻的变化。
四、常见的随机过程模型在实际应用中，常见的随机过程模型包括马尔可夫链、泊松过程、布朗运动等。
马尔可夫链是一种具有马尔可夫性质的随机过程。
它的状态变量只与前一时刻的状态有关，与过去的状态无关。
泊松过程是一种描述独立随机时间间隔和事件出现次数的随机过程。
泊松过程常用于描述事件到达或事件发生的时间间隔。
布朗运动是一种连续时间的随机过程模型。
它以其随机性和连续性而在金融学和物理学等领域得到广泛应用。
研究生学位课程教学大纲-随机过程
硕士研究生学位课程教学大纲随机过程（课程名称）Stochastic Process（Course Title）课程编号：IE11001 课程性质：学位课程学分数： 3 课程总学时：48学时开课学院：信息电子学院授课教师：姚青预备知识：高等数学、概率论、线性代数一、课程学习目的及要求：随机过程是现代概率论的一个重要课题，它主要研究和探讨客观世界中随机演变过程的规律性，并应用于控制﹑通信﹑生物﹑物理﹑雷达通讯﹑地质﹑天文气象﹑社会科学等工程科学技术中。
通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的基本概念、随机过程的统计特征描述、随机信号通过系统分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号通过系统的分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号、马尔可夫过程、平稳过程、信号检测与估计等的基本理论方法，为学生在信号与信息处理领域打下扎实的理论基础，为学习后续课程以及将来的发展奠定坚实的基础。
二、主要章节与学时安排：第一章随机变量基础（6学时）教学内容与要求：掌握随机变量的基本概念，随机变量的分布函数与概率密度、数字特征、特征函数和统计特性等。
重点：随机变量的统计特性。
1.1 概率论的基本术语1.2 随机变量的定义1.3 随机变量的分布函数与概率密度1.4 多维随机变量及分布1.5 随机变量的数字特征1.6 随机变量的函数1.7 随机变量的特征函数1.8 多维正态随机变量1.9 复随机变量及其统计特性1.10 MATLAB的统计函数第二章随机过程的基本概念（9学时）教学内容与要求：要求理解和掌握随机过程的概念及定义；掌握和应用随机过程的统计描述；理解和掌握平稳随机过程、各态历经过程的概念和统计特性；掌握和应用随机过程的联合分布和互相关函数；掌握和应用随机过程的功率谱密度；理解和掌握脉冲型随机过程的统计特性分析等。
重点：随机过程的概念和统计特性、随机过程功率谱密度等等。
2.1 随机过程的基本概念及定义2.2 随机过程的统计描述2.3 平稳随机过程2.4 随机过程的联合分布和互相关函数2.5 随机过程的功率谱密度2.6 典型的随机过程2.7 基于MATLAB的随机过程分析方法2.8 信号处理实例第三章随机过程的线性变换（9学时）教学内容与要求：掌握和应用线性系统变换的基本概念和基本定理；理解和掌握随机信号的导数与积分；掌握和应用随机过程线性变换的微分方程法、随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法；掌握和应用随机信号通过线性的分析方法；理解和掌握白噪声与等效通能带的概念和特性等。
随机过程的基本概念 精华版
-1 0 20 40 60
二、随机过程的数字特征
•均值 均值 •方差 方差
2 σ X (t ) = E{[ X (t ) − mX (t )]2}
2 = E{X 2 (t )} − mX (t )
mX (t ) = E{X (t )} = ∫ xf X ( x, t )dx
−∞
+∞
•均值与方差的物理意义： 均值与方差的物理意义： 均值与方差的物理意义
每次观测所得结果都不同，都是时间t 每次观测所得结果都不同，都是时间t的 不同函数，观测前又不能预知观测结果， 不同函数，观测前又不能预知观测结果， 没有确定的变化规律。 没有确定的变化规律。
实际过程
正弦信号
调制信号
周期性脉冲信号
雷达接收机的噪声
鸟叫声
爆破信号
2.1 随机过程的基本概念及定义 2.2 随机过程的统计描述 2.3 平稳随机过程 2.4 随机过程的联合分布和互相关函数 2.5 随机过程的功率谱密度
RX (t1 , t 2 ) = 0 ，则称 X (t1 ) 和 X(t2 ) 是相互正交的。如果 是相互正交 正交的
f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = f X ( x1 , t1 ) f X ( x 2 , t 2 ) ，则称随机过程在
t1
和 t 2 时刻的状态是相互独立的。 时刻的状态是相互独立的 独立
二、平稳随机过程自相关函数性质
RX (0)
2 σX
2 mX
RX (τ )
τ
0
相关函数示意图
RX (−τ ) = RX (τ )
RX (0) ≥ RX (τ )
2 2 RX (0) = σ X + mX
数学中的随机过程
数学中的随机过程在数学领域中，随机过程是一种描述随机事件随时间变化的数学模型。
它在许多领域中有着广泛的应用，如统计学、金融学、物理学等。
随机过程的研究可以帮助我们理解和预测一系列随机事件的发展趋势。
本文将介绍随机过程的定义、分类以及一些常见的应用。
一、定义随机过程是一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个或多个确定的参数，通常是时间。
宽泛来说，随机过程可以定义为一个概率空间和状态空间的笛卡尔积。
具体而言，随机过程可以表示为：{X(t), t∈T}其中，X(t)是随机变量，t是参数，T是参数的取值范围。
X(t)表示在时间点t上的随机变量。
随机过程可以描述为在不同时间点上具有不同取值的随机变量的集合。
二、分类根据状态空间的特点，随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程。
1. 离散随机过程离散随机过程是指参数的取值范围是离散的，通常为整数集。
在离散随机过程中，时间参数在一系列离散的时间点上取值。
2. 连续随机过程连续随机过程是指参数的取值范围是连续的，通常为实数集。
在连续随机过程中，时间参数可以取任意实数值。
三、常见应用随机过程在许多领域中都有着重要的应用。
下面介绍几个常见的应用领域。
1. 随机游走随机游走是一种描述随机变动的过程，在金融学中有着广泛的应用。
例如，股票价格的变动可以通过随机游走模型来描述，即股价在不同时间点上随机上升或下降。
2. 马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程，具有“无记忆性”特点。
在统计学中，马尔可夫链被广泛用于建立概率模型和预测模型。
它可以用于分析随机事件之间的转移概率，并通过转移矩阵来描述状态的变化。
3. 随机优化随机优化是将优化问题与随机过程相结合的一种方法。
它应用于各个领域，如供应链管理、交通运输规划等。
通过引入随机因素，可以更好地解决实际问题中的不确定性和风险。
4. 随机微分方程随机微分方程是描述随机现象演化的数学方程。
它在物理学、生物学等领域中有重要应用。
通过随机微分方程，可以模拟和预测许多随机事件的变化趋势。
第02知识点(随机过程的基本概念)
3 ) 4
A
2
fX (x)
da dx
fA
2x
2, 1 x0 2 0 , else
22
随机信号基础
2020/4/3
CH2.1 随机过程的概念及统计特性
当ti
时，X
(ti
)
A cos(
)
A
fX (x)
da dx
f A x
1 , 1 x 0
0
,
else
(2)
当t0
2
时，X
(t0 )
定义：若t取任意可能的固定时刻，x为此 时刻X(t)的取值，则定义：
FX (x,t) PX (t) x
为随机过程X(t)的一维分布函数；
若FX(x,t)存在对x的偏导数，则定义：
fX
( x, t )
FX ( x, t) x
为随机过程X(t)的一维概率密度函数。
16
随机信号基础
2020/4/3
CH2.1 随机过程的概念及统计特性
答：(1)随机过程将普通函数的概念从实数与 实数的对应关系推广到实数与随机变量的对 应关系。对普通函数而言，当t∈T时，总有 一个确定的实数x与之对应；而对随机过程而 言，当t∈T时，与之对应的X(e,t)是一个随机 变量。
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随机信号基础
2020/4/3
CH2.1 随机过程的概念及统计特性
(2)随机过程是随机变量概念的推广。随机 变量是在固定时间t上的试验结果，是一个数 的集合；而随机过程是在t∈T上的试验结果， 是一个时间函数的集合。当t固定时，随机过 程就成为一个随机变量。
FX (x1, x2;t1,t2 ) PX (t1) x1, X (t2 ) x2
随机过程概述
Xk
1 T lim xk t dt T T 0
随机过程的均方函数与方差函数
均方函数 方差函数
均方函数描述随机过程偏离原点的平均分散度随
时间的变化，也表示平均功率随时间的变化。 方差函数则描述随机过程偏离平均趋势的平均分 散度随时间的变化。
依赖于一维分布。
随机过程X(t)的均方值、方差，与数学期望相类似， 可以用两种方式——集合平均和时间平均来描述。 集合平均：在任意“截口” t1处，有
随机过程的统计特性，可以用一维、二维乃至n 维的分布函数或概率密度函数来完整地描述，但 在实际应用中，要确定随机过程的分布函数(或概 率密度函数)族十分困难，甚至不可能。因而有必 要象随机变量的描述一样，引入描述随机过程的 数字特征。
3、随机过程的相关描述
相关描述是在时域对随机过程的不完全描 述。关心随机过程的一维、二维概率分布及一阶、二 阶统计矩。 随机过程的平均函数 数学期望
The property of stationarity (or homogeneity) of a stochastic process {X(t)} always refers to some aspect of the description of the process being unchanged by any arbitrary shift along the t axis. There are many types of stationarity depending on what characteristic of the process has this property of being invariant under a time shift.
考研随机过程知识点串讲
考研随机过程知识点串讲随机过程是概率论与数理统计中的重要分支，也是考研数学的一项重要内容。
理解和掌握随机过程的知识点对于考研数学题目的解答至关重要。
本文将对考研随机过程的知识点进行串讲，以帮助考生更好地理解和掌握相关知识。
一、随机过程的基本概念随机过程是指一类由随机变量所组成的描述某个随机现象随时间变化的数学模型。
随机过程可分为离散型随机过程和连续型随机过程。
离散型随机过程是指在离散的时间点上定义的随机过程，如泊松过程、马尔可夫链等。
连续型随机过程则是在连续的时间区间上定义的随机过程，如布朗运动、随机微分方程等。
二、泊松过程泊松过程是一种重要的离散型随机过程，它描述了在给定时间段内某一事件发生的次数。
泊松过程具有无记忆性、独立增量和稀疏性等特点。
泊松过程的定义可以通过其强度函数或事件发生的时间间隔来进行描述。
其强度函数λ(t)表示单位时间内事件发生的平均次数，事件发生的时间间隔服从指数分布。
三、马尔可夫过程马尔可夫过程是一种描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态下，未来状态的条件概率只与当前状态有关，而与过去状态无关。
马尔可夫链是一种特殊的马尔可夫过程，其状态空间为有限或可列集合。
马尔可夫链具有平稳转移概率、不可约性、非周期性和列遍性等性质。
四、布朗运动布朗运动是一种重要的连续型随机过程，它是由时间和随机变量构成的连续时间随机过程。
布朗运动具有平稳增量、独立增量和高斯性等特点。
布朗运动的定义可以通过其均值和方差进行描述，其中均值为0，方差为t。
五、随机微分方程随机微分方程是一种描述带有随机项的微分方程。
它将确定性微分方程中的常数项替换为随机过程，引入了随机性因素。
随机微分方程具有解的存在唯一性、马尔可夫性、连续依赖于初值等性质。
常见的随机微分方程模型包括随机一阶线性微分方程和随机线性方程组等。
六、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种通过随机抽样的方式进行模拟和计算的方法。
它将复杂的问题转化为概率模型，并利用随机样本进行近似计算。
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随机过程复习纲要
编辑：陈伟
第一章，概率论知识提要，P4
1.1概率论的基本概念p9（1.独立事件；
2.n维随机变量及其联合分布函数）
1.2随机变量及其分布
1.3随机变量的数字特征p 14（1.数学期望和均值；方差和标准差；相关和正交；协方差和相关系数；p 18独立，正交，不相关之间的图像关系；p 19矩的概念；协方差矩阵；
P21 常见的连续函数的期望和方差数值表；
1.4特征函数p 23 (特征函数的定义)
1.5正态分布p 25（n 维正态分布；
1.6条件概率与条件期望p26
第二章，随机过程的概念与基本类型P29
2.1随机过程的基本概念P 32（状态空间和样本函数；
2.2随机过程的分布律p 34 (一维分布函数，一维概率密度函数；一维特征函数；n 维分布函数；p 39 联合分布函数以及联合概率密度，
2.3随机过程的数字特征p 40(1.二阶矩过程；2. 均值函数，均方值；方差函数；
3.自相关函数，协方差函数；相关系数；p 42上述几个数字特征的几种关系；互相关函数，互协方差函数；
2.4复随机过程p 46 (复随机过程的几个数学特征；
2.5几种重要的随机过程p 50(
独立过程；二阶矩过程；平稳过程；独立增量过程；正交增量过程；马尔可夫过程；高斯过程和维纳过程
第三章，泊松过程P62
3.1泊松过程的定义P 63 (几种简单的分布以及泊松分布；服从泊松分布的特
征P66
3.2泊松过程的基本性质p 69 (泊松分布的特征函数以及性质；泊松分布的数
字特征；p 72等待过程中的时间间隔T的函数分布；到达时间的分布；
到达时间的条件分布；
3.3非齐次泊松过程p 80( 具有跳跃强度的非齐次泊松分布的过程；均值和
方差；非齐次泊松分布的典型例题等车时间（p 83;）
3.4复合泊松过程p86(复合泊松分布的性质以及计算)
第四章，马尔可夫链P87
4.1马尔可夫链的概念及转移概率p 91（马尔可夫的无后效性公式；一步转移概率；当与时间无关时为平稳转移概率；一步转移概率矩阵；n 步转移概率的性质p 96;
4.2马尔可夫链的状态分类p 106(状态的周期性和非周期性；首次到达的概率；常返性的定义，遍历状态p 109；首次到达的概率与转移概率之间的关系；首次到达概率的例题；分析各状态的类型的例题p 114;
4.3状态空间的分解p 115 (闭集加上状态互通就等于不可约；吸收态，
4.4pij(n) 的渐近性质与平稳分布p 132 (平稳分布的平均返回时间)
第五章随机分析（随机过程的微积分）P134
5.1 收敛性的概念（随机过程的收敛性；2.以概率1收敛；依概率收敛；均方收敛；）
均方收敛的性质p 141 二阶矩收敛的充要条件，随机过程的极限，p 143
5.2 均方连续p 144（均方连续的定义；）
5.3均方导数P146 （均方可微的定义；均方可微准则的一些推导公式P148；
5.4 均方积分p 149 (均方积分性质p151; ；)
第六章平稳随机过程p155
6.1平稳过程的概念与性质( 严平稳过程的定义；宽平稳过程定义；判断平稳随机序列的例题P158 ；平稳随机过程相关函数的性质，)
6.2联合平稳过程P161（判断平稳随机过程，联合平稳随机过程的一些表述方法；互相关函数的性质；判断延迟是否是平稳过程p 164）
6.3平稳过程的各态历经性（p 167,时间均值和时间相关函数；均值具有各态历经性，相关函数具有各态历经性，两者都有各态历经性，则称之为遍历性；典
型例题p 172;
第七章平稳过程的谱分析P175
7.1平稳过程的谱密度p176（能谱密度函数；平均功率；功率密度；p 179求解平均功率的典型例题；）
7.2谱密度的性质（p 180,傅立叶变换（维纳-辛钦定理）；求解谱密度的例题p 183;
7.3窄带过程和白噪声过程p 186(冲击函数的性质；白噪声过程的定义；
7.4联合平稳过程的互谱密度p 188（互谱密度的定义和性质；联合平稳过程的谱密度，P191 求延迟的联合谱密度）
7.5平稳过程通过线性系统的分析P192，（线性系统和是不变系统的定义；线性输出的均值；相关函数；输出相关函数，输出与输入的互相关函数；）输出平稳过程的谱密度，。