第四章-插补原理与速度控制
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插补原理及控制方法
CNC系统对于直线和圆弧的控制并不是严格按照直线 CNC系统对于直线和圆弧的控制并不是严格按照直线 和圆弧轨迹进行控制。 和圆弧轨迹进行控制 。 上图为加工某一轮廓时的刀具轨 迹曲线， 运动进行切削加工。 迹曲线，加工时要求刀具沿曲线L运动进行切削加工。 我们可以进行这样的分析， 我们可以进行这样的分析 ， 首先将曲线 L 分割为 l0、 若干段， l1、…li、…lN若干段，再用直线和圆弧代替这些小的曲 线段， 足够小时， 就接近了原曲线； 线段 ， 当逼近误差 δ 足够小时 ， 就接近了原曲线 ； 然后 运动的合成， 数控系统通过各坐标方向 最小位移量 运动的合成 ， 不断 地控制刀具相对工件运动， 走出直线和圆弧， 地控制刀具相对工件运动 ， 走出直线和圆弧 ， 从而非常 逼近的走出所需的刀具轨迹曲线。 数字化 ” 逼近的走出所需的刀具轨迹曲线 。 这体现出了 “ 数字化” 的概念。 的概念。 这种在允许误差范围内， 用沿直线或圆弧（ 这种在允许误差范围内 ， 用沿直线或圆弧 （ 逼近函 合成的分段运动代替任意曲线运动， 数 ） 的 最小位移量 合成的分段运动代替任意曲线运动 ， 以得到所需的刀具运动轨迹的方法， 以得到所需的刀具运动轨迹的方法 ， 是数字控制的基本 构思之一，这个过程就是插补。 构思之一，这个过程就是插补。
插补开始
偏差判别
坐标进给
偏差计算 N 终点判别 Y 插补结束
二、逐点比较法直线插补 如图所示， 如图所示 ， 对 XY平面第 平面第 一象限直线段进行插补。 一象限直线段进行插补 。 直 线段起点位于坐标原点O， 线段起点位于坐标原点 ，终 点 位 于 A （ Xe,Ye ） 。 设 点 P （ Xi， Yi） 为任一动点 （ 加 ， ） 为任一动点（ 工点、插补点） 工点、插补点）。 点在直线OA上时 上时， 当P点在直线 上时， 点在直线 XeYi – XiYe = 0 当P点在直线 上方时， 点在直线OA上方时， 点在直线 上方时 XeYi – XiYe > 0 点在直线OA下方时 下方时， 当P点在直线 下方时， 点在直线 XeYi – XiYe < 0
第四章 插补原理
y L2 F0 F<0 F<0 F0 L3
四象限直线偏差符号和进给方向
L1 F0 F<0 x F<0 F0 L4
由图可见，靠近Y轴区域偏差大等于零，靠近X轴区域偏差小于零。F≥0时，进 给都是沿X轴，不管是＋X向还是－X向，X的绝对值增大；F<0时，进给都是沿Y轴， 不论＋Y向还是－Y向，Y的绝对值增大。
v y 60f y
式中 δ—脉冲当量（mm/脉冲）。合成进给速度为
v v x 2 v y 2 60 f x2 f y2
若fx=0或fy=0时，也就是刀具沿平行于坐标轴的方向切削，这时对 应轴切削速度最大
第四章 插补原理
3.1 数字积分法的基本原理
第 三 节 数 字 积 分 法
F5 F4 2Y4 1 3 F6 F5 2 X 5 1 4
F7 F6 2Y6 1 1
F8 F7 2Y7 1 0
5. 四个象限中圆弧插补 第一象限逆圆弧CD：即Fi≥0时，走—X轴， 动点的偏差函数为
Fi 1＝Fi 2 X i 1
第四章 插补原理
2.3 逐点比较法圆弧插补
第 二 节 逐 点 比 较 法
第一象限圆弧插补 流程图
例3 现欲加工第一象限顺圆弧AB，如图所示，起点A（0，4），终点B（4，0）， 试用逐点比较法进行插补。
Y 4 3 2 1 B(4,0) O 1 2 3 4 X A(0,4)
表3 圆弧插补过程
步数 起点 偏差判别 坐标进给 偏差计算 坐标计算 终点判别
如图4-14所示，从t=0时
刻到t时刻，函数y=f（t） 曲线所包围的面积可表示
Y
Y=f(t)
YO
第四章 插补、刀具补偿与速度控制
被积函数寄存器
根据上面几个公式，可以建立一 个数学模型——数字积分器。
Δt
＋ 累加器 Δx
数字积分器模型
例子：求在区间设被积函数为5(二进制101B)，取累加器 为3位二进制，容量为23=8。
101
101
101
101
101
101
101
101
) 000 )101 ) 010 )111 )100 ) 001 )110 ) 011 101
1 010
111
1 100
1 001
110
1 011
1 000
（2） 线段插补
如右图所示，线段位于第一象限，起点与 坐标原点重合，终点坐标A(Xe,Ye)。设有 一动点，以速度V在线段上匀速运动，其 在X、Y方向的分速度分别为Vx、Vy。则 动点在Δt时间内沿X、Y轴移动的微小位移 量为： ΔX=VxΔt
Δx
Δy
KX
i
m
e
KmX
e
Xe
Y
KY
i
m
K 1
e
Δt
m
n
＋
KmY
e
Ye
m 2
Y被积函数寄存器(KYe)
2
n
K 1
线段插补数字积分器
例3. 用数字积分法插补下图所示线段，起点坐标 O(0,0)，终点坐标为A(5,7)，写出插补该线段的过程。
数字积分插补实例
脉 冲 当 量
插补的任务就是在一段零件轮廓的起点和终点之间，根 据给定的进给速度要求，计算出若干个中间点的坐标值。
加工直线的程序
N3G01X-45000Y-75000F150
第4章插补原理刀补原理与速度控制
Fi ,i 1 F X e
X e 1
Fi 1,i F Ye F (Ye )
Ye 1
插补前将坐标数据符号与数据本体分离，用数据本体进行插补计算，由 数据符号确定坐标进给方向。
插补工作寄存器：
FR：偏差函数寄存器 LR：X坐标偏差函数递推项寄存器，存放（－Ye） MR：Y坐标偏差函数递推项寄存器，存放Xe LC： X坐标终点判别寄存器，存放X坐标应输出的脉冲总数 MC：Y坐标终点判别寄存器，存放Y坐标应输出的脉冲总数 RL： X坐标进给方向寄存器，存放X坐标数据的符号 RM：Y坐标进给方向寄存器，存放Y坐标数据的符号
贵州大学机械工程学院
第四章 插补，刀具补偿与速度控制
贵州大学机械工程学院
第一节 插补原理与程序设计 一. 插补及其算法 插补的任务就是在一段零件轮廓的起点和终点之间，计算 出若干个中间点的坐标值。 直线和圆弧是构成工件轮廓的基本线条，大多数CNC系统 都具有直线和圆弧的插补功能。高档CNC系统还具有抛物 线、螺旋线等插补功能。
若F<0, 下一步应该向+Y方向走，则： Fi,i1 X eYi 1 X iYe X eYi X iYe X e F X e Yi 1 Yi 1
插补开始
逐点比较法直线插补，每进一步需要四个节拍： 偏差判别 1，偏差判别； 2，坐标进给； 3， 偏差计算；4， 终点判别
动点沿OA匀速移动， V，Vx，Vy, 均为常数。
V V V X Y K OA X e Ye
X Vx t KX e t, Y Vy t KYe t,
直线积分插补近似表达式
X ( KX e )t , Y ( KYe )t
i 1 i 1 m m
第四部分插补原理与速度控制
（3）迭代法偏差函数F的推导
①设加工点P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差F≥0， 刀具需向X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点
P（Xi+1，Yi）。新加工点的偏差为： Fi+1，i = (Xi – 1)2 +Yi2 -（X02 + Y02）
=Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02 =F-2Xi+1 ②设加工点P在圆弧内侧，则加工偏差F<0，刀具需向
①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。
③偏差计算 计算新加工点相对直线的偏差，作为下一步 偏差判别的依据。
④终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第一 步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。终 点判别可采用两种方法：一是每走一步判断Xi-Xe≥0及 Yi-Ye≥0是否成立，如成立，则插补结束否则继续。二 是把每个程序段中的总步数求出来，即n=|Xe | + | Ye | ， 每走一步n-1，直到n=0为止。
线 型 偏差判别
象
1
2
限
3
4
F≥0
-Y
+X
+Y
-X
G02
F<0
+X
+Y
-X
-Y
F≥0
-X
-Y
+X
+Y
G03
F<0
+Y
-X
-Y
+X
（3）圆弧插补自动过象限处理
为了加工二个象限或二个以上象限的圆弧，圆弧插 补程序必须具有自动过象限功能。自动过象限程序包 括象限边界处理、过象限判断及数据处理等模块。
第4章插补原理
x ← x+1，y ← y.
解答作业2. 现欲加工第一象限顺圆弧AB，如下图所示， 起点A（0，4），终点B（4，0），试用逐点比较法进行
插补。
Y
A(0,4) 4 3
2
1
B(4,0)
O 1 2 34
X
圆弧插补计算过程见下表：
第二节 插补软件
? 介绍用“逐点比较法”的软件设计 1.直线插补
根据“偏差公式”，可以设计成单一子程序方式，也可以把它按象限设 计成四个子程序方式。下面的程序是四个子程序方式中第一象限的子程 序，其他象限，只须加以修改即可。
开始加工点正是直线的起点，故F0, 0=0。
下面推导其递推公式 设在加工点P（xi，yi）处， Fi，j ≥0，则应沿+x方向进给一步， 此时新加工点的坐标值为： xi+1 , j= xi +1 ， yi = yi
新加工点的偏差为： Fi+1，j= xe yi－(xi+1) ye = xe yi－xi ye － ye
? 当P在直线下上方（F<0）时，应向+y 方向进给一步，以逼近直线；
? 当P在直线上（F=0）时，既可向+x方 向进给一步，也可向+y方向进给一步。 一般将F>0及F=0视为一类情况，即 F≥0时，都向+x方向进给一步。
? 故，对第一象限的直线OA从起点（即 坐标原点）出发，当F≥0时，+x向进 走一步；当F<0时， +y方向走一步。
? 开始加工点是圆弧的起点，故F0 , 0 = 0。 ? 除偏差计算外，还要进行终点判别，一般用x,y坐标所
要走的总步数来判别，即令： 每走一步则J减1，直至J=0到达终点停止插补。
解答作业2. 现欲加工第一象限顺圆弧AB，如下图所示， 起点A（0，4），终点B（4，0），试用逐点比较法进行
插补。
Y
A(0,4) 4 3
2
1
B(4,0)
O 1 2 34
X
圆弧插补计算过程见下表：
第二节 插补软件
? 介绍用“逐点比较法”的软件设计 1.直线插补
根据“偏差公式”，可以设计成单一子程序方式，也可以把它按象限设 计成四个子程序方式。下面的程序是四个子程序方式中第一象限的子程 序，其他象限，只须加以修改即可。
开始加工点正是直线的起点，故F0, 0=0。
下面推导其递推公式 设在加工点P（xi，yi）处， Fi，j ≥0，则应沿+x方向进给一步， 此时新加工点的坐标值为： xi+1 , j= xi +1 ， yi = yi
新加工点的偏差为： Fi+1，j= xe yi－(xi+1) ye = xe yi－xi ye － ye
? 当P在直线下上方（F<0）时，应向+y 方向进给一步，以逼近直线；
? 当P在直线上（F=0）时，既可向+x方 向进给一步，也可向+y方向进给一步。 一般将F>0及F=0视为一类情况，即 F≥0时，都向+x方向进给一步。
? 故，对第一象限的直线OA从起点（即 坐标原点）出发，当F≥0时，+x向进 走一步；当F<0时， +y方向走一步。
? 开始加工点是圆弧的起点，故F0 , 0 = 0。 ? 除偏差计算外，还要进行终点判别，一般用x,y坐标所
要走的总步数来判别，即令： 每走一步则J减1，直至J=0到达终点停止插补。
第四章 插补、刀具补偿与速度控制
粗插补由软件完成；精插补软件或硬件 粗插补由软件完成；精插补软件或硬件 由软件完成
二、脉冲增量插补
（一）逐点比较法
Y A(Xe,Ye)
区域判别法、醉步式。基本思路： 区域判别法、醉步式。基本思路： 特点：运算直观， 特点：运算直观，插补误差小于 一个脉冲当量。 一个脉冲当量。 1. 直线插补算法 Pi(Xi , Yi)： ： Yi/Xi=Ye/Xe XeYi-XiYe=0 Yi/Xi>Ye/Xe XeYi-XiYe>0 O Yi/Xi<Ye/Xe XeYi-XiYe<0 F= XeYi-XiYe 偏差函数（偏差判别式） 偏差函数（偏差判别式）
R
P(Xi , Yi) RP A(X0 , Y0)
八种圆弧插补的脉冲分配规律： 八种圆弧插补的脉冲分配规律：
线型 G02 G03 偏差判别 F≧0 ≧ F<0 F≧0 ≧ F<0 象 限 1 -Y +X -X +Y 2 +X +Y -Y -X 3 +Y -X +X -Y 4 -X -Y +Y +X
偏差函数递推公式： 偏差函数递推公式：Fi-1 ,i =F-2Xi+1 偏差函数递推公式中的递推增量为变量： 偏差函数递推公式中的递推增量为变量： 递推增量
Fi,i +1 =F+2Yi+1
坐标负方向走一步后 向X坐标负方向走一步后，有：LRi-1=-2(Xi-1)+1=(-2Xi+1)+2=LRi+2 坐标负方向走一步后， 坐标正方向走一步后 向Y坐标正方向走一步后，有：Mri+1=2(Yi+1)+1=(2Yi+1)+2=MRi+2 坐标正方向走一步后， 即每走一步后，在计算新偏差函数值之前，先将LR或 即每走一步后，在计算新偏差函数值之前，先将 或MR寄 寄 存器中的数加2 存器中的数加 初值： 初值： LR0+1=-2(X0+1)+1=-(2X0+1) MR0-1=2(Y0-1)+1=2Y0-1
第四章 插补原理与速度控制解剖
P(Xi,Yi) F>0
F=0
O
A(Xe,Ye) F<0
X
3、终点判别
不能用M(Xi,Yi)＝A(Xe,Ye)作为条件，可利 用刀具沿X，Y轴走的总步数N来判断 N＝Xe+Ye
终点判别方法：设置减法计数器，进给一 步减1，直至N减到0为止
4、举例
用逐点比较法插补直线OE
Y
2
E(4,2)
1
n=Xe+Ye
– （1）偏差计算；（2）偏差判别；（3）坐标进给； （4）终点判别。
3、插补形式：
– （一）直线插补 – （二）圆弧插补
4、插补方法：
4、插补方法：
1.构造偏差函数：F=F(x,y),x,y为刀具当前坐标， 函数的正负反映刀具与曲线的相对位置关系
2.偏差计算：由x,y计算F（x,y) 3.偏差差别：F(x,y)>0或＜0或＝0 4.进给：F>0，上方（＋X）；F＜0，下方（＋Y） 5.终点判别：是否到达曲线终点。
脉冲 个数
0
偏差判别
进给 方向
偏差计算 F0 = 0
1 F0 = 0
- X F1 = F0 –2X0+1=
0-2×10+1=-19
2 F1 = -19 ＜0 +Y F2 = F1 +2Y1+1=
-19+2×0+1=-18
3 F2 = -18 ＜0 +Y F3 = F2 +2Y2+1=
-18+2×1+1=-15
Fi+1=Fi-2yi+1
❖ Fi<0 ,向+X走一步，到点P2(xi+1,yi+1),得： Fi+1=Fi+2xi+1
#44 插补原理及控制方法
T max < Δ t/2
这是因为系统除进行插补运算外，CPU 还要执行 诸如位置控制、显示等其他任务。
▢ 插补周期Δ t与位置控制周期Δ tP 的关系
Δ t= nΔ tP
n=0，1，……
由于插补运算的输出是位置控制的输入，因此插
补周期要么与位置控制周期相等、要么是位置控制周 期的整数倍，只有这样才能使整个系统协调工作。
2. 逐点比较法加工的原理（圆弧）
偏差判别式:
+Y
Fm = Xm2 +Ym2 – R2 Fm＞0 在圆外，
+Y向输出一步 Fm＝0 在圆上，
-X向输出一步 Fm＜0 在圆内，
-X向输出一步
X m，Y m
R
+X
圆 弧G03
1) 插补周期的选择
– 插补周期Δ t 与精度δ 、速度 F 的关系
Y
22L2
插补速度与进给速度密切相关。 因而进给速度指标难以提高，当脉冲当
量为10μ m时，采用该插补算法所能获得最 高进给速度是3-4 m/min。
脉冲增量插补的实现方法较简单。 通常仅用加法和移位运算方法就可完成
插补。因此它比较容易用硬件来实现，而且， 用硬件实现这类运算的速度很快的。但是也 有用软件来完成这类算法的。
插补运算速度与进给速度无严格的关系。因而 采用这类插补算法时，可达到较高的进给速度 （一般可达 10m/min以上）。
数字增量插补特点：实现算法较脉冲增量插补 复杂，它对计算机的运算速度有一定的要求， 不过现在的计算机均能满足要求。
插补方法：数字积分法(DDA)、二阶近似插补 法、双 DDA 插补法、角度逼近插补法、时间 分割法等。这些算法大多是针对圆弧插补设计 的。
这是因为系统除进行插补运算外，CPU 还要执行 诸如位置控制、显示等其他任务。
▢ 插补周期Δ t与位置控制周期Δ tP 的关系
Δ t= nΔ tP
n=0，1，……
由于插补运算的输出是位置控制的输入，因此插
补周期要么与位置控制周期相等、要么是位置控制周 期的整数倍，只有这样才能使整个系统协调工作。
2. 逐点比较法加工的原理（圆弧）
偏差判别式:
+Y
Fm = Xm2 +Ym2 – R2 Fm＞0 在圆外，
+Y向输出一步 Fm＝0 在圆上，
-X向输出一步 Fm＜0 在圆内，
-X向输出一步
X m，Y m
R
+X
圆 弧G03
1) 插补周期的选择
– 插补周期Δ t 与精度δ 、速度 F 的关系
Y
22L2
插补速度与进给速度密切相关。 因而进给速度指标难以提高，当脉冲当
量为10μ m时，采用该插补算法所能获得最 高进给速度是3-4 m/min。
脉冲增量插补的实现方法较简单。 通常仅用加法和移位运算方法就可完成
插补。因此它比较容易用硬件来实现，而且， 用硬件实现这类运算的速度很快的。但是也 有用软件来完成这类算法的。
插补运算速度与进给速度无严格的关系。因而 采用这类插补算法时，可达到较高的进给速度 （一般可达 10m/min以上）。
数字增量插补特点：实现算法较脉冲增量插补 复杂，它对计算机的运算速度有一定的要求， 不过现在的计算机均能满足要求。
插补方法：数字积分法(DDA)、二阶近似插补 法、双 DDA 插补法、角度逼近插补法、时间 分割法等。这些算法大多是针对圆弧插补设计 的。
第四部分插补原理与速度控制-
Fi+1,i= XeYi+1 – XiYe= Xe(Yi+1) – XiYe = XeYi – XiYe +Xe =F + Xe
⑷插补步骤
逐点比较法的直线插补过程，每走一步要进行以下四 个步骤，具体如下：
①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。
②当F<0时，应该向+Y方向发一脉冲，使刀具向+Y方 向前进一步，以接近该直线。
③当F=0时，既可以向+X方向发一脉冲，也可以向+Y 方向前进一步。但通常将F=0和F>0做同样的处理，既 都向+X方向发一脉冲。
⑶迭代法偏差函数F的推导 为了减少计算量，通常采用迭代法计算偏差函数F:即每
走一步，新加工点的偏差用前一点的偏差递推出来。
（二）数字增量（数据采样）插补算法
1.数字增量插补的特点
数字增量插补也称数据采样插补，它为时间标量 插补，这类插补算法的特点是插补运算分两步完成： 第一步是粗插补：计算出插补周期内各坐标轴的增量 值。第二步是精插补：根据采样得到的实际位置增量 值，计算跟随误差，得到速度指令，输出给伺服系统， 通常称为精插补。
P (Xi,Yi）
若P点在直线OA下方，则： XeYi – XiYe < 0
F＜0
X
定义F= XeYi – XiYe偏差函数，则可得到如下结论： 当F=0时，加工点P落在直线上；
当F>0时，加工点P落在直线上方；
当F<0时，加工点P落在直线下方；
⑵进给方向判别
①当F>0时，应该向+X方向发一脉冲，使刀具向+X方 向前进一步，以接近该直线。
⑷插补步骤
逐点比较法的直线插补过程，每走一步要进行以下四 个步骤，具体如下：
①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。
②当F<0时，应该向+Y方向发一脉冲，使刀具向+Y方 向前进一步，以接近该直线。
③当F=0时，既可以向+X方向发一脉冲，也可以向+Y 方向前进一步。但通常将F=0和F>0做同样的处理，既 都向+X方向发一脉冲。
⑶迭代法偏差函数F的推导 为了减少计算量，通常采用迭代法计算偏差函数F:即每
走一步，新加工点的偏差用前一点的偏差递推出来。
（二）数字增量（数据采样）插补算法
1.数字增量插补的特点
数字增量插补也称数据采样插补，它为时间标量 插补，这类插补算法的特点是插补运算分两步完成： 第一步是粗插补：计算出插补周期内各坐标轴的增量 值。第二步是精插补：根据采样得到的实际位置增量 值，计算跟随误差，得到速度指令，输出给伺服系统， 通常称为精插补。
P (Xi,Yi）
若P点在直线OA下方，则： XeYi – XiYe < 0
F＜0
X
定义F= XeYi – XiYe偏差函数，则可得到如下结论： 当F=0时，加工点P落在直线上；
当F>0时，加工点P落在直线上方；
当F<0时，加工点P落在直线下方；
⑵进给方向判别
①当F>0时，应该向+X方向发一脉冲，使刀具向+X方 向前进一步，以接近该直线。
插补的原理
插补的原理插补是数控加工中的重要概念，它是指在机床进行加工过程中，根据加工轨迹的要求，通过控制机床的运动轴进行插补运动，从而实现复杂曲线的加工。
插补的原理是数控加工中的核心内容之一，下面将从插补的基本原理、插补的分类以及插补的应用等方面进行详细介绍。
首先，插补的基本原理是数控加工中的基础知识，它包括直线插补和圆弧插补两种基本插补方式。
直线插补是指机床在直线轨迹上进行插补运动，而圆弧插补则是指机床在圆弧轨迹上进行插补运动。
在数控加工中，插补运动是通过控制机床各个坐标轴的运动来实现的，通过对各个坐标轴的速度、加速度和位置进行合理的控制，可以实现复杂曲线的加工。
其次，插补可以根据其运动方式的不同进行分类，主要包括直线插补、圆弧插补、螺旋线插补等。
直线插补是最简单的插补方式，它是通过控制机床的各个坐标轴，使其在直线轨迹上进行插补运动。
圆弧插补则是在圆弧轨迹上进行插补运动，它需要通过对圆弧的半径、起点和终点等参数进行合理的控制。
螺旋线插补则是在三维空间中进行插补运动，它需要对螺旋线的半径、螺距、起点和终点等参数进行合理的控制。
不同的插补方式可以实现不同形状的曲线加工，从而满足不同加工要求。
最后，插补在数控加工中有着广泛的应用，它可以实现复杂曲线的加工，提高加工精度和效率。
在实际加工中，通过合理的插补运动，可以实现各种复杂曲线的加工，如汽车零部件、航空航天零部件、模具等领域的加工。
同时，插补运动还可以实现多轴联动，从而实现更加复杂的加工要求，如五轴联动加工、六轴联动加工等。
因此，插补在数控加工中具有非常重要的意义，它是实现复杂曲线加工的关键技术之一。
综上所述，插补是数控加工中的重要概念，它通过合理的运动控制，实现复杂曲线的加工。
插补的基本原理包括直线插补和圆弧插补，可以根据其运动方式的不同进行分类。
插补在数控加工中有着广泛的应用，可以实现各种复杂曲线的加工，提高加工精度和效率。
因此，深入理解插补的原理对于提高数控加工的质量和效率具有重要意义。
第四章插补刀具补偿与速度控制
缓冲寄存器bs刀具补偿缓冲区cs工作寄存器输出寄存器ospi1bs缓冲寄存器cs刀补缓冲区工作寄存器os输出寄存器pipi1pi1pipi1bs缓冲寄存器pics刀补缓冲区工作寄存器os输出寄存器pi1pi1pi1bs缓冲寄存器cs刀补缓冲区pi工作寄存器os输出寄存器pi1pi1bs缓冲寄存器cs刀补缓冲区工作寄存器os输出寄存器pipi1bs缓冲寄存器cs刀补缓冲区pi工作寄存器os输出寄存器pipi1pi1pi1pi1pipi1pi1pipi15刀具半径补偿的工作原理建立刀补执行刀补取消刀补刀具轨迹中心编程轨迹刀补进行刀补建立刀补撤销起始点1进给速度的计算脉冲的频率决定进给速度
y E(xe,ye)
0
x
为便于计算机编程计算,将F的计算予以简化。 为便于计算机编程计算, 的计算予以简化。 的计算予以简化 设第I象限中动点 值为Fi， 设第I象限中动点Pi(xi, yi)的F值为 ， 的 值为
Fi＝XeYi-XiYe y 1.若沿 向走一步， 若沿+x向走一步 1.若沿 向走一步，即
第四章
插补、 插补、刀具补偿与速度控制
本章重点内容
插 补 原 理 刀 具 补 偿 原 理
第一节 插补原理
§1.1 概 述
一.什么是插补（Interpolation)： 什么是插补（Interpolation)： 数控装置根据输入的零件程序所给定的被加 数控装置根据输入的零件程序所给定的被加 工轮廓曲线的种类、起点、终点以及速度， 工轮廓曲线的种类、起点、终点以及速度， 按照给定函数（如线性函数、圆函数、 按照给定函数（如线性函数、圆函数、高次 函数等）在起点和终点间确定一些中间点， 函数等）在起点和终点间确定一些中间点， 以达到数据点的密化。这种“数据密化” 以达到数据点的密化。这种“数据密化”机能 就称为“插补” 就称为“插补”。
y E(xe,ye)
0
x
为便于计算机编程计算,将F的计算予以简化。 为便于计算机编程计算, 的计算予以简化。 的计算予以简化 设第I象限中动点 值为Fi， 设第I象限中动点Pi(xi, yi)的F值为 ， 的 值为
Fi＝XeYi-XiYe y 1.若沿 向走一步， 若沿+x向走一步 1.若沿 向走一步，即
第四章
插补、 插补、刀具补偿与速度控制
本章重点内容
插 补 原 理 刀 具 补 偿 原 理
第一节 插补原理
§1.1 概 述
一.什么是插补（Interpolation)： 什么是插补（Interpolation)： 数控装置根据输入的零件程序所给定的被加 数控装置根据输入的零件程序所给定的被加 工轮廓曲线的种类、起点、终点以及速度， 工轮廓曲线的种类、起点、终点以及速度， 按照给定函数（如线性函数、圆函数、 按照给定函数（如线性函数、圆函数、高次 函数等）在起点和终点间确定一些中间点， 函数等）在起点和终点间确定一些中间点， 以达到数据点的密化。这种“数据密化” 以达到数据点的密化。这种“数据密化”机能 就称为“插补” 就称为“插补”。
插补原理及控制方法
插补原理及控制方法插补原理是指在数控机床运动控制系统中，通过对多个轴同时进行定长或定角度的运动控制，实现复杂曲线的加工。
插补控制方法包括线性插补和圆弧插补两种。
一、线性插补线性插补是指在工件加工中，沿直线轨迹进行直线段的插补控制方法。
线性插补的原理是通过控制系统对多个轴的运动速度和方向进行精确控制，使得工件能够沿着设定的直线路径进行加工。
线性插补的控制方法包括点位控制和连续控制两种。
1.点位控制点位控制是将每个插补段分解成多个线性插补点，通过对每个点的坐标进行控制，实现工件的加工。
点位控制方式适用于工件形状简单、精度要求不高的情况下。
2.连续控制连续控制是通过对每个时间段内的轴位置进行插补计算，实现工件的连续运动。
此命令适用于工件形状复杂、精度要求较高的场景。
在连续控制中，通常使用插补算法进行计算，将每个时间段内需要插补的线性段分割成多个小段，并根据小段的长度和速度来确定每个小段的运动规律。
二、圆弧插补圆弧插补是指在数控机床加工中，通过对多个轴的运动进行控制，实现工件上圆弧曲线的加工。
圆弧插补的原理是通过对多个轴进行同步运动，控制圆弧路径的切线和加工速度，使得工件能够按照设定的半径和圆弧角度进行加工。
圆弧插补的控制方法包括圆心插补法和半径插补法。
1.圆心插补法圆心插补法是通过控制系统中的插补算法，计算每个时间段内轴的位置和速度，实现工件画圆弧的加工。
在圆心插补中，需要手动指定圆心的坐标位置和圆弧的半径、角度来实现加工。
2.半径插补法半径插补法是指通过在控制系统中指定圆弧的起点、终点和半径来实现工件圆弧的加工。
在半径插补中，插补算法会根据起始点和终点的位置，计算出圆心的位置和圆弧的角度，从而实现工件的加工。
总结：插补原理及控制方法是数控机床系统中非常重要的部分，通过对多个轴的运动进行精确控制，实现工件曲线轨迹的加工。
线性插补适用于直线段的加工，圆弧插补适用于曲线段的加工。
掌握插补原理及控制方法，对于数控机床加工精度的提高和加工效率的提高具有重要意义。
第四章 插补原理与速度控制
n=6=N完
四象限直线插补
A2(-Xe,Ye)
A1(Xe,Ye)
A3(-Xe,-Ye) 直线插补各象限偏差符号和相应的进给方向
A4(Xe,-Ye)
（二）圆弧插补(第一象限顺圆插补)
1、偏差判别函数 2、偏差计算与进给方向 3、终点判别 4、举例
1、偏差判别函数
用P(x,y)表示某 一时刻刀具的位 置，则偏差函数 为： F=x2+y2-R2 F＞0 在圆外 F＜0 在圆内 F＝0 在圆上
X11= X10=7 Y11= Y10+1=8
n=11＜N
X12 =X11 -1=6 n=12=N Y12 = Y11=8 到达终 点
Y 8 6
B(6,8)
4
2
2
4
6
8
10
四个象限圆弧插补
F>0
F>0 F>0 F<0 F<0 F<0 F<0
F>0
F<0
F>0 F<0 F>0
F<0
F<0
F>0 F>0
+X +X,+Y +X
20-16=4 24-16=8 18-16=2 20-16=4
+X,+Y +X
+X,+Y +X +X,+Y +X +X,+Y
22-16=6 16-16=0
20-16=4 24-16=8 18-16=2 22-16=6 16-16=0
19-16=3
18-16=2
17-16=1
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Fi+1，i = (Xi – 1)2 +Yi2 -（X02 + Y02） =Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02 =F-2Xi+1
②设加工点P在圆弧内侧，则加工偏差F<0，刀具需向Y坐标正 方向进给一步，即移动到新的加工点P（Xi，Yi+1）。新加工点 的偏差为：
N=|Xe-X0|+|Ye-Y0|，在插补过程中，X或Y每走一步，就从总步
逐点比较法又称区域判别法或醉步式近似法。 • 原理：每次插补某坐标方向走一步，每走一步都要和 规定的轨迹比较，根据比较的结果决定下一步的移动 方向。 • 作用：逐点比较法可以实现直线和圆弧插补。 • 特点：运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出 脉冲均匀，输出脉冲的速度变化小，调节方便。 • 应用对象：两坐标开环CNC系统
脉冲 序次 0 1 2 3 4 5 6 7 8 F0=0 F1= -3<0 F2=2>0 F3= -1<0 F4=4>0 F5=1>0 F6= -2<0 F7=3>0 +X +Y +X +Y +X +X +Y +X 偏差 判别 进给 方向 偏差计算 F0=0,Xe=5,Ye=3 F1=F0-Ye=-3 F2=F1+Xe=2 F3=F2-Ye=-1 F4=F3+Xe=4 F5=F4-Ye=1 F6=F5-Ye=-2 F7=F6+Xe=3 F8=F7-Ye=0 终点 判别 n=8 7 6 5 4 3 2 1 0
Fi，i+1 = Xi 2 - X02+（Yi+1）2-Y02 =Xi2-X02+Yi2+2Yi+1-Y02 更多北理考研资料请联 =F+2Yi+1 系QQ1070831599
3.逐点比较法圆弧插补
逐点比较法逆圆插补运算过程
脉冲 序次 偏差判别 进给 方向 偏差计算 坐标计算 终点 判别
（5）逐点比较法圆弧插补例题
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⑶ 迭代法偏差函数F的推导 坐标单位为脉冲当量
为了减少计算量，通常采用迭代法计算偏差函数F:即每 走一步，新刀位点的偏差用前一点的偏差递推出来。 ①F≥0时，应向+X发出一进给脉冲，刀具从现加工点 （Xi,Yi）向+X方向前进一步，达到新加工点（Xi+1,Yi），则 新加工点的偏差值为： Fi+1,i= XeYi – Xi+1Ye= XeYi – (Xi+1)Ye
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– 数字增量插补算法
一、插补及其算法
第一节
插补原理
(二)数字增量插补(数据采样插补)算法
数字增量插补为时间标量插补，特点是每次插补计算出 插补周期内各坐标轴的位置增量数值，以数字的形式输出 控制指令。数字增量插补算法主要应用在闭环数控系统中 数字增量插补算法适用于交、直流伺服电动机驱动的闭 环(或半闭环)位置采样控制系统。插补周期和位置采样周 期可以相等，也可以不相等。若不相等，则插补周期应是 采样周期的整数倍。
= XeYi – XiYe +Xe=F + Xe
2.逐点比较法直线插补
2.逐点比较法直线插补
（4）终点判别
终点判别可采用两种方法： • 一是每走一步判断Xi-Xe≥0 及Yi-Ye≥0 是否成立，如成立， 则插补结束否则继续。
（5）逐点比较法直线插补例题
设欲加工的直线位于XY平面的第一象限，直线的起点 坐标为坐标原点，终点坐标为Xe=5，Ye=3。试用逐点比较 法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。 Y
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F = （Xi2 +Yi2 ）- R2 =（Xi2 –X02）+（Yi2 -Y02）
根据加工点所在区域的不同，有下列三种情况： 当F=0时，加工点P落在圆弧上； 当F>0时，加工点P落在圆弧外侧； 当F<0时，加工点P落在圆弧内侧；
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• 二是把每个程序段中的总步数求出来，即n=|Xe | + | Ye | ， 每走一步n-1，直到n=0为止。
A(5,3)
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O
X
2.逐点比较法直线插补
（一）逐点比较法
解 插补过程如下表所示，表中Xe，Ye是直线终点坐 标，n为总步数，n= | Xe | + | Ye | =8。
3.逐点比较法圆弧插补
3.逐点比较法圆弧插补
⑴判别函数及判别条件
如图所示为第一象限逆圆弧,圆心为原点,起点A （X0,Y0）, 终点B（Xe,Ye）,圆弧半径为R。P（Xi ,Yi）为任 一加工点。其偏差函数为：
（2）进给方向判别
①当F>0时，应该向X轴发出一负方向运动的进给脉冲使 刀具向圆弧内走一步。 ②当F<0时，应该向Y轴发出一正方向运动的进给脉冲， 使刀具向圆弧外走一步。 ③当F=0时，既可以向X轴方向发一负方向运动的进给脉 冲，也可以向Y轴方向发一负方向运动的进给脉冲。但 通常将F=0和F>0做同样的处理。 X轴负方向
数N中减1，当N=0时，表示到达终点。 ②插补前分别计算两个坐标进给的总步数Nx和Ny， 其中Nx=|Xe-X0|，Ny=|Ye-Y0|，当X坐标进给一步时，计算Nx-1， 当Y坐标进给一步时，计算Ny-1，两坐标进给的总步数均减为零 时，表示到达终点。
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X0=10,Y0=0 X1=9,Y1=0 X2=9,Y2=1 X3=9,Y3=2 X4=9,Y4=3 X5=9,Y5=4 X6=9,Y6=5 X7=8,Y7=5 X8=8,Y8=6 X9=7,Y9=6 X10=7,Y10=7
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则可得到如下结论：
当F=0时，加工点P落在直线上；
当F<0时，加工点P落在直线下方；
2.逐点比较法直线插补
2.逐点比较法直线插补
⑵ 进给方向判别
①当F>0时，应该向+X方向发 一脉冲，使刀具向+X方向前进一 步，以接近该直线。 ②当F<0时，应该向+Y方向发 一脉冲，使刀具向+Y方向前进一 步，以接近该直线。 ③当F=0时，既可以向+X方向 发一脉冲，也可以向+Y方向前进一 步。但通常将F=0和F>0做同样的处 理，既都向+X方向发一脉冲。
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（一）脉冲增量插补算法
脉冲增量插补为行程标量插补。特点是每次插补决定 出运动一个脉冲行程增量的坐标轴，以脉冲的方式输出控 制指令。脉冲增量插补算法主要应用在开环数控系统中。 一个脉冲所产生的坐标轴移动量叫做脉冲当量，通常 用δ表示。脉冲当量δ是脉冲分配的基本单位，按机床设 计的加工精度选定。 脉冲当量δ值越小，数控机床的加 工精度就越高，对数控系统的计算能力的要求也越高。采 用脉冲增量插补算法的CNC系统，其坐标轴进给速度受插 补程序运行时间的限制。
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1. 插补流程
逐点比较法的插补过程，每走一步要进行以下四个 节拍，具体如下： ①偏差判别 ②坐标进给 根据偏差值确定刀具相对加工曲线的位置。 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐
标进给一步，以接近曲线。 ③偏差计算 计算新的刀位点相对曲线的偏差，作为下
一步偏差判别的依据。 ④终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第
一步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。
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1. 插补流程
（一）逐点比较法
插补开始 偏差判别 坐标进给
2.逐点比较法直线插补
（1）判别函数及判别条件 （2）进给方向判别
偏差计算 （3）迭代法偏差函数F的推导 到达终点？ 插补结束 图 Y （5）逐点比较法直线插补例题
所谓“插补”就是指在一条已知起点和终点的曲线上进行 数据点的密化，插入一些新的位置控制点。 插补的任务就是根据进给速度的要求，在一段零件轮廓 的起点和终点之间，计算出若干个中间点的坐标值。 • 插补程序是CNC系统控制软件的核心 – 中间点计算所占用的时间直接影响系统的控制速度 – 各中间点的计算精度将影响零件的加工精度 • 插补功能：直线和圆弧插补 • 插补原理： – 脉冲增量插补算法
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F0=0 F0=0 F1=-19<0 F2=-18<0 F3=-15<0 F4=-10<0 F5=-3<0 F6=6>0 F7=-11<0 F8=0 F9=-15<0 F10=-2<0 -X +Y +Y +Y +Y +Y -X +Y -X +Y +Y F1=F0-2X0+1=-19 F2=F1+2Y1+1=-18 F3=F2+2Y2+1=-15 F4=F3+2Y3+1=-10 F5=F4+2Y4+1=-3 F6=F5+2Y5+1=6 F7=F6-2X6+1=-11 F8=F7+2Y7+1=0 F9=F8-2X8+1=-15 F10=F9+2Y9+1=-2 F12=F11-2X11+1=0
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第一节 插补原理
一、插补及其算法 (一)脉冲增量插补算法 (二)数字增量插补(数据采样插补)算法 二、脉冲增量插补 (一)逐点比较法 (二)数字积分法 三、数字增量插补