题多解--曲线的公切线

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两条曲线的公切线问题

两条曲线的公切线问题➢方法导读在近几年高考导数大题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为高考中的热点题型之一.学生在做题过程中,解决单一曲线的切线问题相对比较熟练,对于单一曲线的切线问题,求解过程中常用的数学思想主要是转化与化归思想,函数与方程思想,数形结合思想,求解方法也较容易理解:(1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点;(2)利用导数的几何意义,即曲线在处的导数为切线的斜率;(3)根据切点既在曲线上又在切线上进行求解.但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也大得多.具体的求解方法:设曲线在点处的切线为,整理得到:.设曲线在点处的切线为,整理得到:.由于与是相同直线(即与的公切线),故有且(即斜率相等,纵截距相等), 从而求解出与公切线有关的一些问题.➢高考真题【2020·全国II卷理·20】已知函数.(1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点;(2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.➢解题策略【过程分析】本题第一问首先函数问题定义域优先原则,故得到的定义域为,进而对函数求导得到,因为函数的定义域为,从而判断出,因此函数在和上是单调增函数(注意函数的单调区间不可用“”符号连接,可用“,”或者“和”连接);然后利用极限法分析当时,,而(此处利用极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都有所涉及),从而根据零点存在性定理判断当,函数有零点,又根据函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点;当时,,,因为,所以根据零点存在性定理判断函数在必有零点,根据函数在上也是单调递增,故当时,函数有唯一的零点.于是得到第一问的全部结论,函数在和上是单调增函数并且函数在定义域内有个零点;第二问要证明两条曲线的公切线问题,就可以用到我们前面提到的方法,首先因为是的一个零点,所以必然满足函数解析式,即(注意一定要合理应用题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直接找到,对于而言,切点已经给出,所以直接求导,从而得到曲线在处的切线的斜率,进而表示出曲线在处的切线的方程为:,然后应用题中所给条件,所以的方程整理后为,它的斜率,在纵轴的截距为.紧接着我们继续研究曲线,由于曲线的切点不能直接找到,所以我们设曲线的切点为,然后利用导数求出曲线过切点的切线的方程,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的方程为,它的斜率,在纵轴的截距为.当切线的斜率等于直线的斜率时,即,则,而,所以. 最后由于直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此判断出直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线,本题得证.【深入探究】纵观本题的分析过程,主要是攻克以下的几个难点:(1)第一问中定义域中的“”,以及分析零点时的极限思想的应用;(2)第二问中由是的一个零点得到;(3)第二问中分别求解曲线与曲线的切线方程时切点的问题,尤其是求解曲线的切线方程时要设出切点,此处应该是本题求解过程中的“精髓”之处;(4)结合,再利用斜率和截距都相等,从而得出两直线,重合,进而说明直线是两条曲线的公切线;综上,只需攻克以上的几个难点本题就会迎刃而解.➢解题过程【解析】(1)函数的定义域为,,因为函数的定义域为,所以,因此函数在和上是单调增函数;当,时,,而,显然当,函数有零点,而函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点; 当时,,,因为,所以函数在必有一零点,而函数在上是单调递增,故当时,函数有唯一的零点, 综上所述,函数的定义域内有个零点.(2)因为是的一个零点,所以,,所以曲线在处的切线的斜率,故曲线在处的切线的方程为:,而, 所以的方程为,它在纵轴的截距为.设曲线的切点为,过切点的切线,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的方程为,当切线的斜率等于直线的斜率时,即,切线在纵轴的截距为,而,所以,直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线.➢解题分析在上述题目第二问的解题过程中,首先我们根据是的一个零点,得到关于的等量关系,其次我们分别求解曲线与曲线的切线方程,最后我们再由切线,重合来说明此直线就是两条曲线的公切线.此处我们主要是用到了求解两条曲线的公切线问题的常用方法:分别求出两条曲线的切线方程,然后利用直线重合得到该直线即为两条曲线的公切线,此种解题方法通俗易懂,学生上手比较方便,也是我们最常用的解决两条曲线公切线问题的方法.➢拓展推广解决两条曲线的公切线问题的一般策略:第一步:利用题中所给条件得到相应的等量关系;第二步:分别求解两条曲线在各自切点处的切线方程,设曲线在点处的切线为,整理得到:,设曲线在点处的切线为,整理得到:;第三步:根据公切线定义,得到两切线重合,建立方程组,求解相关问题,由于与是相同直线(即与的公切线),则和(即斜率相等,纵截距相等),建立方程组,从而求解出与公切线有关的一些问题.常见两条曲线的公切线问题的题型:(1)求两条曲线的公切线方程以及证明直线为两曲线的公切线问题;(2)求与两条曲线的公切线有关的曲线中的参数的取值范围问题;(3)探究两条曲线是否存在公切线的问题;(4)求曲线中参数的值问题;(5)判断公切线条数问题.变式训练1已知曲线与,直线是和的公切线,求公切线的方程.变式训练2已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围.变式训练3设函数,.(1)讨论的极值;(2)若曲线和曲线在点处有相同的切线,且当时,,求的取值范围.变式训练4（2018天津理）已知函数,,其中.(1)求函数的单调区间;(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,证明:;(3)证明:当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5已知函数,.(1)当时,,求实数的取值范围.(2)当时,曲线和曲线是否存在公共切线?并说明理由答案变式训练1见解析设与的切点,与的切点,曲线在处的导数为,在曲线上过点的切线方程为,即,曲线在处的导数为,在曲线上过点的切线方程为,即,由题意知直线与重合,则有,解得或,所以两曲线和的公切线的方程为或.变式训练2见解析(1)函数的定义域为,, 所以,所以当,即时,,在上单调递增; 当,即或时,当时,,在上单调递增;当时,令得,随着变化,,的变化情况如下表:综上:当时,在上单调递增;当时,在和内单调递增,在内单调递减.(2)设函数在点与函数在点处切线相同,由,,得到,,所以函数在点处的切线方程为,即,函数在点处的切线方程为,即,由斜率相等得到,所以,由截距相等得到,把代入化简得,则,不妨设,当时,,当时,,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,代入可得,设,则对恒成立,所以在区间上单调递增,又,所以当时,即当时,又当时,,因此当时,函数必有零点;即当时,必存在使得成立;即存在,使得函数在点与函数在点处切线相同, 又由在上单调递增可得的取值范围,因此,,变式训练3见解析(1)由题意,则,①当时,恒成立,所以在上单调递增,无极值.②当时,由得,故当时,,单调递减;当时,,单调递增, 所以当时,有极小值,且极小值为,无极大值.③当时,由得,故当时,,单调递增;当时,,单调递减, 所以当时,有极大值,且极大值为,无极小值.综上所述,当时,无极值;当时,有极小值,无极大值;当时,有极大值,无极小值.(2)由题意得,∴,即,解得,∴,令,则,由题意可得,解得,由得,,①当,即时,则,∴当时,,单调递减;当时,,单调递增,∴在上的最小值为,∴恒成立.②当,即时,则,∴当时,,在上单调递增,又,∴当时,,即恒成立.③当,即时,则有,从而当时,不可能恒成立.综上所述的取值范围为.变式训练4(1)函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)见解析;(3)见解析.本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.(1)由已知,有,令,解得;由,可知当变化时,,的变化情况如下表:所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由,可得曲线在点处的切线斜率为,由,可得曲线在点,处的切线斜率为,因为这两条切线平行,故有,即,(3)曲线在点处的切线,曲线在点处的切线.要证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,,使得与重合.即只需证明当时,方程组有解,由①得,代入②,得③,因此,只需证明当时,关于的方程③存在实数解.设函数.即要证明当时,函数存在零点,,可知时, ;时,单调递减,又,,故存在唯一的,且,使得, 即.由此可得在上单调递增,在上单调递减, 在处取得极大值;因为,故,所以,下面证明存在实数,使得,由(1)可得,当时,有,所以存在实数,使得,因此,当时,存在,使得;所以,当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5见解析(1)令,则,若,则,若,则,所以在上是增函数,在上是减函数,所以是的极大值点,也是的最大值点,即,若恒成立,则只需,解得,所以实数的取值范围是.(2)假设存在这样的直线且直线与曲线和曲线分别切于点,,由,得,曲线在点处的切线方程为,即,同理可得,曲线在点处的切线方程为,所以,即,构造函数,存在直线与曲线和曲线均相切,等价于函数在上有零点,对于,当时,,在上单调递增,当时,因为,所以在上是减函数,又,,所以使得,即,且当时,,当时,,综上,在上是增函数,在上是减函数,所以是的极大值,也是最大值,且,又,,所以在内和内各有一个零点,故假设成立,即曲线和曲线存在公共切线.。

一题一惑一探一获--利用曲线的公切线研究函数不等式

2017年第7期中学教研（数学)• 21 •— 题一惑一探一获—利用曲线的公切线研究函数不等式•卫小国（单县第一中学山东单县2743〇〇)摘要：将函数不等式的求参与证明问题，利用分离函数的方法，转化为两条曲线的公切线进行解答.文章给出一种新的解题思路，在减少运算的同时，培养学生数形结合与转化化归思想的灵活运用.关键词：不等式;公切线;数形结合中图分类号：0123. 1文献标识码：A文章编号：1003 -6407(2017)07-21-03含参函数不等式问题，因其是考查学生问题转化能力、数学运算能力和创新解题意识的好载体，而成为各地考试命题的热点.笔者结合一次教学中学生对所提供解法的释疑，提出一种利用曲线的公切线解函数不等式的方法，与大家共研.例1已知函数/(%) = a%2 - In %(其中a >0)有两个不同的零点，求a的取值范围.学生在课堂上提供了两种解法，解题切入点不同，但都属于常规方法.1一题多解解法1求得导函数m212a%1-1j\%)=2%-—=------,% %进一步可知/(%)在(0，H)上单调递减，在(l1%，+ ^ )上单调递增，从而<0,解得012e解法2由方程a2 - In % = 0，得a = •令《（（）导函数《'（（）二1~~可得《（（）在% %(0，e)上单调递增，在（ve，+ ^)上单调递减，从而^r n a x(() =g(槡e) =2e，故0< a< 21.评注解法1从导数的应用入手，结合函数的单调性、极值与最值，研究函数的性态，掌控解题的关键（函数的最小值决定零点的个数），整个解题过程自然[1];解法2借助辅助函数()的零点，是典型的数形结合思想，相比解法1似乎更巧妙，但本质上与解法1异曲同工.2 —解有惑有学生也获得正确的结论，但是给出了不同的解答，过程如下：设幺(％)= a%2，A (% )=In%，可知两个函数图像只有1个公共点.设该公共点为（％。

曲线公切线问题技巧

曲线公切线问题技巧
曲线的公切线问题在微积分中非常常见，以下是一些技巧和步骤，以帮助你解决这类问题：
1. 确定曲线方程：首先，你需要确定给定曲线的方程。

这可能是一个函数表达式，如y = f(x)，或者是参数方程，如x = g(t) 和y = h(t)。

2. 求导：对于函数表达式，你需要求出函数的导数。

对于参数方程，你需要分别对x 和y 求导。

得到导数后，你可以使用一些方法，例如隐式求导或参数消除，得到关于x 和y 的关系。

3. 找出切点：解方程组，找到曲线和直线的交点。

将切点的坐标代入原曲线方程，即可得到切点的具体坐标。

4. 求出斜率：计算切线的斜率。

对于函数表达式，将切点的x 坐标代入导数表达式中得到斜率。

对于参数方程，计算x 和y 的导数并代入切点的t 值即可。

5. 写出方程：使用切点的坐标和切线的斜率，写出切线方程。

对于直角坐标系，使用点斜式（y - y1 = m(x - x1)），其中(x1, y1) 是切点的坐标，m 是切线的斜率。

对于参数方程，在切点的x 和y 表达式中代入相关值，整理方程即可。

这些技巧和步骤可以帮助你解决一般的曲线公切线问题。

但需要注意的是，具体问题可能需要应用额外的数学工具和概念，例如曲率，来得出更精确的答案。

导数专题：导数与曲线切线问题(6大题型)(解析版)

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导数与曲线切线问题
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()
f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()
y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。

2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为()()00,Q x f x ；
第二步：求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '；
第三步：利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=，解出0x 及0()f x '；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．
二、切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点()(),t f t ，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。

三、公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。

四、已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。

常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的
根的情况或函数性质去求解。

两条曲线的公切线问题

两条曲线的公切线问题两条曲线的公切线问题⽅法导读在近⼏年⾼考导数⼤题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为⾼考中的热点题型之⼀.学⽣在做题过程中,解决单⼀曲线的切线问题相对⽐较熟练,对于单⼀曲线的切线问题,求解过程中常⽤的数学思想主要是转化与化归思想,函数与⽅程思想,数形结合思想,求解⽅法也较容易理解:(1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点;(2)利⽤导数的⼏何意义,即曲线在处的导数为切线的斜率;(3)根据切点既在曲线上⼜在切线上进⾏求解.但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就⽐单⼀曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也⼤得多.具体的求解⽅法:设曲线在点处的切线为,整理得到:.设曲线在点处的切线为,整理得到:.由于与是相同直线(即与的公切线),故有且(即斜率相等,纵截距相等), 从⽽求解出与公切线有关的⼀些问题.⾼考真题【2020·全国II卷理·20】已知函数.(1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点;(2)设是的⼀个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.解题策略【过程分析】本题第⼀问⾸先函数问题定义域优先原则,故得到的定义域为,进⽽对函数求导得到,因为函数的定义域为,从⽽判断出,因此函数在和上是单调增函数(注意函数的单调区间不可⽤“”符号连接,可⽤“,”或者“和”连接);然后利⽤极限法分析当时,,⽽(此处利⽤极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都有所涉及),从⽽根据零点存在性定理判断当,函数有零点,⼜根据函数在上单调递增,故当时,函数有唯⼀的零点;当时,,,因为,所以根据零点存在性定理判断函数在必有零点,根据函数在上也是单调递增,故当时,函数有唯⼀的零点.于是得到第⼀问的全部结论,函数在和上是单调增函数并且函数在定义域内有个零点;第⼆问要证明两条曲线的公切线问题,就可以⽤到我们前⾯提到的⽅法,⾸先因为是的⼀个零点,所以必然满⾜函数解析式,即(注意⼀定要合理应⽤题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直接找到,对于⽽⾔,切点已经给出,所以直接求导,从⽽得到曲线在处的切线的斜率,进⽽表⽰出曲线在处的切线的⽅程为:,然后应⽤题中所给条件,所以的⽅程整理后为,它的斜率,在纵轴的截距为.紧接着我们继续研究曲线,由于曲线的切点不能直接找到,所以我们设曲线的切点为,然后利⽤导数求出曲线过切点的切线的⽅程,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的⽅程为,它的斜率,在纵轴的截距为.当切线的斜率等于直线的斜率时,即,则,⽽,所以. 最后由于直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此判断出直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线,本题得证.【深⼊探究】纵观本题的分析过程,主要是攻克以下的⼏个难点:(1)第⼀问中定义域中的“”,以及分析零点时的极限思想的应⽤;(2)第⼆问中由是的⼀个零点得到;(3)第⼆问中分别求解曲线与曲线的切线⽅程时切点的问题,尤其是求解曲线的切线⽅程时要设出切点,此处应该是本题求解过程中的“精髓”之处;(4)结合,再利⽤斜率和截距都相等,从⽽得出两直线,重合,进⽽说明直线是两条曲线的公切线;综上,只需攻克以上的⼏个难点本题就会迎刃⽽解.解题过程【解析】(1)函数的定义域为,,因为函数的定义域为,所以,因此函数在和上是单调增函数;当,时,,⽽,显然当,函数有零点,⽽函数在上单调递增,故当时,函数有唯⼀的零点; 当时,,,因为,所以函数在必有⼀零点,⽽函数在上是单调递增,故当时,函数有唯⼀的零点, 综上所述,函数的定义域内有个零点.(2)因为是的⼀个零点,所以,,所以曲线在处的切线的斜率,故曲线在处的切线的⽅程为:,⽽, 所以的⽅程为,它在纵轴的截距为.设曲线的切点为,过切点的切线,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的⽅程为,当切线的斜率等于直线的斜率时,即,切线在纵轴的截距为,⽽,所以,直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线.解题分析在上述题⽬第⼆问的解题过程中,⾸先我们根据是的⼀个零点,得到关于的等量关系,其次我们分别求解曲线与曲线的切线⽅程,最后我们再由切线,重合来说明此直线就是两条曲线的公切线.此处我们主要是⽤到了求解两条曲线的公切线问题的常⽤⽅法:分别求出两条曲线的切线⽅程,然后利⽤直线重合得到该直线即为两条曲线的公切线,此种解题⽅法通俗易懂,学⽣上⼿⽐较⽅便,也是我们最常⽤的解决两条曲线公切线问题的⽅法.拓展推⼴解决两条曲线的公切线问题的⼀般策略:第⼀步:利⽤题中所给条件得到相应的等量关系;第⼆步:分别求解两条曲线在各⾃切点处的切线⽅程,设曲线在点处的切线为,整理得到:,设曲线在点处的切线为,整理得到:;第三步:根据公切线定义,得到两切线重合,建⽴⽅程组,求解相关问题,由于与是相同直线(即与的公切线),则和(即斜率相等,纵截距相等),建⽴⽅程组,从⽽求解出与公切线有关的⼀些问题.常见两条曲线的公切线问题的题型:(1)求两条曲线的公切线⽅程以及证明直线为两曲线的公切线问题;(2)求与两条曲线的公切线有关的曲线中的参数的取值范围问题;(3)探究两条曲线是否存在公切线的问题;(4)求曲线中参数的值问题;(5)判断公切线条数问题.变式训练1已知曲线与,直线是和的公切线,求公切线的⽅程.变式训练2已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围.变式训练3设函数,.(1)讨论的极值;(2)若曲线和曲线在点处有相同的切线,且当时,,求的取值范围.变式训练4（2018天津理）已知函数,,其中.(1)求函数的单调区间;(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平⾏,证明:;(3)证明:当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5已知函数,.(1)当时,,求实数的取值范围.(2)当时,曲线和曲线是否存在公共切线?并说明理由答案变式训练1见解析设与的切点,与的切点,曲线在处的导数为,在曲线上过点的切线⽅程为,即,在曲线上过点的切线⽅程为,即,由题意知直线与重合,则有,解得或,所以两曲线和的公切线的⽅程为或.变式训练2见解析(1)函数的定义域为,, 所以,所以当,即时,,在上单调递增; 当,即或时,当时,,在上单调递增;当时,令得,随着变化,,的变化情况如下表:综上:当时,在上单调递增;当时,在和内单调递增,在内单调递减.(2)设函数在点与函数在点处切线相同,由,,得到,,所以函数在点处的切线⽅程为,即,函数在点处的切线⽅程为,即,由斜率相等得到,所以,由截距相等得到,把代⼊化简得,则,不妨设,当时,,当时,,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,代⼊可得,设,则对恒成⽴,所以在区间上单调递增,⼜,所以当时,即当时,⼜当时,,因此当时,函数必有零点;即当时,必存在使得成⽴;即存在,使得函数在点与函数在点处切线相同, ⼜由在上单调递增可得的取值范围,因此,,变式训练3见解析(1)由题意,则,①当时,恒成⽴,所以在上单调递增,⽆极值.②当时,由得,故当时,,单调递减;当时,,单调递增, 所以当时,有极⼩值,且极⼩值为,⽆极⼤值.③当时,由得,故当时,,单调递增;当时,,单调递减, 所以当时,有极⼤值,且极⼤值为,⽆极⼩值.综上所述,当时,⽆极值;当时,有极⼩值,⽆极⼤值;当时,有极⼤值,⽆极⼩值.(2)由题意得,∴,即,解得,∴,令,则,由题意可得,解得,由得,,①当,即时,则,∴当时,,单调递减;当时,,单调递增,∴在上的最⼩值为,∴恒成⽴.②当,即时,则,∴当时,,在上单调递增,⼜,∴当时,,即恒成⽴.③当,即时,则有,从⽽当时,不可能恒成⽴.综上所述的取值范围为.变式训练4(1)函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)见解析;(3)见解析.本⼩题主要考查导数的运算、导数的⼏何意义、运⽤导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和⽅法.考查函数与⽅程思想、化归思想.考查抽象概括能⼒、综合分析问题和解决问题的能⼒.(1)由已知,有,令,解得;由,可知当变化时,,的变化情况如下表:所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由,可得曲线在点处的切线斜率为,由,可得曲线在点,处的切线斜率为,因为这两条切线平⾏,故有,即,(3)曲线在点处的切线,曲线在点处的切线.要证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,,使得与重合.即只需证明当时,⽅程组有解,由①得,代⼊②,得③,因此,只需证明当时,关于的⽅程③存在实数解.设函数.即要证明当时,函数存在零点,,可知时, ;时,单调递减,⼜,,故存在唯⼀的,且,使得, 即.由此可得在上单调递增,在上单调递减, 在处取得极⼤值;因为,故,所以,下⾯证明存在实数,使得,由(1)可得,当时,有,所以存在实数,使得,因此,当时,存在,使得;所以,当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5见解析(1)令,则,若,则,若,则,所以在上是增函数,在上是减函数,所以是的极⼤值点,也是的最⼤值点,即,若恒成⽴,则只需,解得,所以实数的取值范围是.(2)假设存在这样的直线且直线与曲线和曲线分别切于点,,由,得,曲线在点处的切线⽅程为,即,同理可得,曲线在点处的切线⽅程为,所以,即,构造函数,存在直线与曲线和曲线均相切,等价于函数在上有零点,对于,当时,,在上单调递增,当时,因为,所以在上是减函数,⼜,,所以使得,即,且当时,,当时,,综上,在上是增函数,在上是减函数,所以是的极⼤值,也是最⼤值,且,⼜,,所以在内和内各有⼀个零点,故假设成⽴,即曲线和曲线存在公共切线.。

利用导数求曲线的切线和公切线以及切线条数专题总结.doc

导数中的切线问题专题总结一、求切线方程1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y ＝f (x )外一点P (x 1，y 1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx－f x 0Δx .(3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率．(4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k .(5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式．例1.已知曲线y ＝1x .(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程．例2.已知曲线y＝1 x .(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．3.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是二、求切点坐标【小结】求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标例1.已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°.(2)切线平行于直线4x －y －2＝0.(3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.．变式练习直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为___________，切点坐标为____________．三、求两个函数公切线公切线问题：切点相同。

()()00x g x f =()()00''x g x f =切点不同。

()()()()k x g x f mkx x g m kx x f ==+=+=212211'',例1、已知直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线x e y =的切线，求k 和b 的值解析：例2.若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是y =ln⁡(x +1)的切线，求b 的值例3．已知函数f （x ）=lnx ，g （x ）=2﹣（x ＞0）（1）试判断当f （x ）与g （x ）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f （x ）和 y=g （x ）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；变式练习1.两曲线y =x 2−1和y =alnx −1存在公切线，则正实数a 的取值范围变式练习2.若曲线y =12e x 2与曲线y =alnx 在它们的公共点P （s,t ）处有公切线，则实数a =变式练习 3.已知函数()()1263,1163223++=--+=x x x g ax x ax x f 和直线m:9+=kx y ,又()01'=-f ，是否存在k,使直线m 既是曲线()x f y =的切线，又是曲线()x g y =的切线？如果存在，求出k 的值四、切线条数切线的条数问题====以切点0x 为未知数的方程的根的个数例1.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．例2.已知函数f （x ）=2x 3﹣3x+1，g （x ）=kx+1﹣lnx ．（1）设函数，当k ＜0时，讨论h （x ）零点的个数；（2）若过点P （a ，﹣4）恰有三条直线与曲线y=f （x ）相切，求a 的取值范围．变式练习.已知函数f （x ）=x 2+2（1﹣a ）x ﹣4a ，g （x ）=﹣（a+1）2，则f （x ）和g （x ）图象的公切线条数的可能值是．。

高考数学导数公切线问题、切线数量问题的一般解法及题型细分

函数的公切线与切线数量问题问题概述：函数的公切线问题，指的是直线b kx y +=同时与两个函数()x f y =与()x g y =同时相切，并在此基础上讨论直线和函数的性质的问题。

解法探究：公切线问题主要关注两个点，（1）两个切点均在函数和切线上；（2）切线斜率满足导数公式。

根据以上两个点，列出等式，即可进行计算求解。

具体公式如下：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧'='=+⋅=+⋅=212211x g x f k b x k x g b x k x f 一般的，公切线问题都可以转换为解方程组求参数问题，或者是讨论方程组解的个数问题。

一、已知两个函数的解析式求公切线【例1】曲线21:C y x =与曲线2:C y lnx =公切线的条数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3分析：最基本的求公切线问题，直接套用基本解法，进行计算即可。

解：设与曲线2y x =和曲线y lnx =相切的切点分别为()2a a ，，()b b ln ,，0>b ，设切线为m kx y +=由题可知2()2x x '=，1()lnx x'=，………………………………准备工作根据公切线的解法可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=b a k m kb b m ka a 12ln 2………………………………列方程把k 和a 消去，用b 表示剩下的式子，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+⋅=+==m m b b b m b b b a 11ln 21412122，把m 消去有141ln 02-+=b b………………………………方程组消元想求公切线的条数，相当于求这个方程的解的个数设()141ln 2-+=x x x f ，()33222222211x x x x x x f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-='，所以()x f y =在⎪⎪⎭⎫⎝⎛220，上递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，22上递增。

双曲线的公切线问题

双曲线的公切线问题双曲线是一种常见的数学曲线，它由两个相交的渐进直线围成的曲线所组成。

在双曲线上，每个点都有一个切线，而对于特定的点，它可能还有许多其他切线。

在本文中，我们将探讨如何找到双曲线的公切线。

要解决这个问题，我们首先需要了解什么是公切线。

公切线是两个曲线共有的切线，也就是说，它同时是这两个曲线在某个点的切线。

如何找到双曲线的公切线呢？首先，我们需要确定两个双曲线的方程。

通常，这可以通过将双曲线旋转45度来实现。

假设我们有两个双曲线的方程分别为：y1 = a1x^2 - b1y2 = a2x^2 - b2这里，a1、b1、a2和b2是已知常数。

我们用“（x0，y0）”表示两个曲线在某个点相交。

现在，我们将使用以下方法来找到双曲线的公切线：方法1：使用斜率切线的斜率是曲线在该点处的导数。

因此，我们可以通过计算y1和y2的导数来找到它们在相交点处的切线斜率。

y1' = 2a1x0y2' = 2a2x0如果这两个导数相等，则说明它们在相交点处共有一条切线。

我们可以使用以下公式来计算该切线的方程：y - y0 = m（x - x0）其中m是切线的斜率，即2a1x0或2a2x0。

这是一种有效的方法，但存在一个问题。

如果两个导数都为零，那么这两个曲线在该交点处可能没有公切线。

因此，我们需要另一种方法来检查这种情况。

方法2：使用二次方程如果y1和y2在（x0，y0）处有公切线，那么这条公切线必须同时满足以下两个条件：1.它通过点（x0，y0）。

2.在（x0，y0）处，y1和y2的斜率相等。

我们可以使用以下公式计算这种情况下的斜率：m = y1' = 2a1x0 = y2' = 2a2x0然后，我们可以将这个斜率带入以下公式，并解出x：a1x^2 - b1 = a2x^2 - b2(a1 - a2)x^2 = b1 - b2x = sqrt((b1 - b2) / (a1 - a2))有了x之后，我们就可以使用以下公式计算y：y = a1x^2 - b1这样，我们就可以找到公切线的方程了。

有关两曲线的公切线问题的题型及其解法

有关两曲线的公切线问题的题型及其解法
公切线是指在两曲线之间，找出一条直线，使得其与两曲线的切点关系最佳的直线。

这类问题有很多，比如给定两曲线求它们之间的公切线，求两曲线的公切曲线等等。

下面，我们来讨论一下关于两曲线的公切线问题的题型及其解法。

首先，我们来看一下求两曲线的公切线的题型及其解法。

通常情况下，要求两曲线的公切线，需要先用极坐标方程求出它们的函数表达式，然后用梯度下降法对函数求导，可以得到两个曲线的切线方程，最后再求出切线的交点，即两曲线的公切线的方程。

其次，我们来看一下求两曲线的公切曲线的题型及其解法。

求两曲线的公切曲线，首先要求出两曲线的法线方程，然后用梯度下降法求出法线的倾斜角，求出两曲线的法线的倾斜角的和，将其除以
2，即为两曲线的公切曲线的倾斜角，最后用此倾斜角求
出公切曲线的方程。

最后，我们来看一下求两曲线的公共切点的题型及其解法。

关于求两曲线的公共切点，可以用坐标方程求出两曲线的函数表达式，然后将其转化为一元二次方程，再用求根公式求出两曲线的切点，即为两曲线的公共切点。

以上就是关于两曲线的公切线问题的题型及其解法的介绍。

从上面的介绍中可以看出，求解两曲线的公切线问题，需要用到极坐标方程、梯度下降法、坐标方程等数学知识，解题时需要灵活运用这些知识。

例析曲线公切线问题求解策略

例析曲线公切线问题求解策略金保源(华南师范大学附属惠阳学校ꎬ广东惠州５１６２００)摘㊀要:公切线是导数几何意义的综合应用ꎬ将曲线间的位置关系转化为函数的单调性㊁凹凸性㊁极(最)值㊁零点等ꎬ考查转化与化归㊁推理与论证的能力.文章从常考的几种类型探讨公切线问题的应用策略.关键词:公切线ꎻ分离函数ꎻ凹凸翻转中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－０００９－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:金保源(１９８０.５－)ꎬ男ꎬ湖北省天门人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀切线问题是近几年的高考热点问题ꎬ考查导数的综合运用ꎬ对考生有很好的区分度.如２０１６年全国Ⅲ卷文第１６题㊁２０１７年全国Ⅰ卷文第１４题㊁２０１８年全国Ⅰ卷文第６题㊁全国Ⅱ卷文第１２题均考了与切线有关的题型.本文从常考的几种类型探讨公切线问题的应用策略ꎬ以供读者参考.１切点相同的公切线例１㊀若一直线与曲线ｙ＝ｌｎｘ和曲线ｘ２＝ａｙ(ａ>０)相切于同一点Ｐꎬ则ａ的值为(㊀㊀).Ａ.２ｅ㊀Ｂ.３㊀Ｃ.３㊀Ｄ.２３解析㊀设Ｐｘ１ꎬｙ１()ꎬ函数ｙ＝ｌｎｘ的导数为ｙᶄ＝１ｘꎬ函数ｙ＝ｘ２ａ的导数为ｙᶄ＝２ｘａ.则函数ｙ＝ｌｎｘ在ｘ＝ｘ１处的切线方程为ｙ＝１ｘ１ｘ＋ｌｎｘ１－１.同理可证ꎬ函数ｙ＝ｘ２ａ在ｘ＝ｘ１处的切线方程为ｙ＝２ｘ１ａｘ－ｘ２１ａ.由题意可知２ｘ１ａ＝１ｘ１ꎬ－ｘ２１ａ＝ｌｎｘ１－１.ìîíïïïï解得ａ＝２ｅꎬｘ１＝ｅ.故选Ａ.点评㊀若两函数ｙ＝ｆ(ｘ)与ｙ＝ｇ(ｘ)有切点相同的公切线ꎬ则在切点处的导数值相等.解题基本思路是:先设出公共点建立方程ꎬ再利用共切线得出公切线斜率相等的方程ꎬ联立方程组消元求解.２切点不同的公切线例２㊀若直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ是曲线ｙ＝ｌｎｘ＋２的切线ꎬ也是曲线ｙ＝ｌｎ(ｘ＋１)的切线ꎬ则ｂ＝.解析㊀由ｙ＝ｌｎｘ＋２ꎬ得ｙᶄ＝１ｘ.设直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与曲线ｙ＝ｌｎｘ＋２相切于点９Ｐｘ１ꎬｙ１()ꎬ则ｙ１＝ｌｎｘ１＋２ꎬｙ＝ｌｎｘ＋２在Ｐｘ１ꎬｙ１()处的切线为ｙ＝１ｘ１ｘ＋ｌｎｘ１＋１.由ｙ＝ｌｎ(ｘ＋１)ꎬ得ｙᶄ＝１ｘ＋１.设直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与曲线ｙ＝ｌｎ(ｘ＋１)相切于点Ｍｘ２ꎬｙ２()ꎬ则ｙ２＝ｌｎｘ２＋１()ꎬｙ＝ｌｎ(ｘ＋１)在Ｍｘ２ꎬｙ２()处的切线方程为ｙ＝１ｘ２＋１ｘ＋ｌｎｘ２＋１()－ｘ２ｘ２＋１.所以１ｘ１＝１ｘ２＋１ꎬｌｎｘ１＋１＝ｌｎｘ２＋１()－ｘ２ｘ２＋１.ìîíïïïï解得ｘ１＝１２ꎬｘ２＝－１２.所以ｂ＝ｌｎｘ１＋１＝１－ｌｎ２.点评㊀若切点不同ꎬ先假设ｙ＝ｆ(ｘ)上的切点Ａｘ１ꎬｆｘ１()()ꎬ得到切线方程ｙ－ｆｘ１()＝ｆᶄｘ１()ｘ－ｘ１()ꎻ设ｙ＝ｇ(ｘ)上的切点为Ｂｘ２ꎬｇｘ２()()ꎬ得到切线方程ｙ－ｇｘ２()＝ｇᶄｘ２()ｘ－ｘ２()ꎬ因为切线是同一条直线ꎬ故得到两个等式ｆᶄｘ１()＝ｇᶄｘ２()ꎬｆｘ１()－ｘ１ｆᶄｘ１()＝ｇｘ２()－ｘ２ｇᶄｘ２()ꎬ联立解方程组即可.３存在公切线求参数范围例３㊀若ｆ(ｘ)＝１－ａｘ２(ａ>０)与ｇ(ｘ)＝１－ｌｎｘ的图象存在公切线ꎬ则实数ａ的最小值为(㊀㊀).Ａ.１２ｃ㊀㊀Ｂ.１ｃ２㊀㊀Ｃ.２ｅ㊀㊀Ｄ.１图１㊀例３解析图解析㊀设切点为(ｔꎬ１－ｌｎｔ)ꎬ代入ｆ(ｘ)ꎬ得１－ｌｎｔ＝１－ａｔ２.即ｌｎｔ＝ａｔ２.由ｆᶄ(ｘ)＝－２ａｘꎬｇᶄ(ｘ)＝－１ｘꎬ则－２ａｔ＝－１ｔ.得２ａｔ２＝１.故ｌｎｔ＝１２.即ｔ＝ｅ１２.故ａ＝１２ｅ.如图１ꎬ当ａ越大ꎬｆ(ｘ)开口越小ꎬ与ｇ(ｘ)距离越远ꎬａ>１２ｅ时ꎬｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)的图象相离ꎬ存在公切线.综上所述ꎬａȡ１２ｅ.故实数ａ的最小值为１２ｅ.点评㊀本题是两条曲线存在公切线问题ꎬ涉及二次函数和对数函数的性质.求解时ꎬ先考虑两条曲线具有切点相同的公切线情形求出ａ的值ꎬ再由函数图象相离时存在两条公切线ꎬ可得到ａ的范围ꎬ充分体现了函数与方程㊁数形结合的思想.４利用公切线解决零点个数问题例４㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ａｘ２－ｘ－ｌｎｘ有两个不同的零点ꎬ则实数ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.１ｅꎬ１æèçöø÷㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.(０ꎬ１)Ｃ.－ɕꎬ１＋ｅｅ２æèçöø÷Ｄ.０ꎬ１＋ｅｅ２æèçöø÷图２㊀例４解析图解析㊀令ｆ(ｘ)＝０ꎬ得ａｘ２－ｘ＝ｌｎｘ.由ｆ(ｘ)有两个不同的零点ꎬ可知ｙ＝ａｘ２－ｘ的图象与ｙ＝ｌｎｘ(ｘ>０)的图象有两个交点.当ａɤ０时ꎬ函数ｙ＝ａｘ２－ｘ与ｙ＝ｌｎｘ的图象有一个交点ꎬ不合题意.当ａ>０时ꎬ考虑ｙ＝ａｘ２－ｘ的图象与ｙ＝ｌｎｘ的图象相切的临界状态情形.设公切线为ｌꎬ公切点为ｔꎬａｔ２－ｔ()ꎬ则ａｔ２－ｔ＝ｌｎｔ.０１由ｙ＝ａｘ２－ｘꎬ得ｙᶄ＝２ａｘ－１.由ｙ＝ｌｎｘꎬ得ｙᶄ＝１ｘ.所以２ａｔ－１＝１ｔꎬ即２ａｔ２－ｔ＝１.由ａｔ２－ｔ＝ｌｎｔꎬ２ａｔ２－ｔ＝１ꎬ得１－ｔ＝２ｌｎｔ.易知ｘ＝１是１－ｘ＝２ｌｎｘ的唯一实数根.所以ｔ＝１ꎬ从而ａ＝１.也就是说ꎬ当ａ＝１时ꎬ抛物线ｙ＝ｘ２－ｘ与ｙ＝ｌｎｘ的图象相切.当０<ａ<１时ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２－ｘ的开口比抛物线ｙ＝ｘ２－ｘ的开口大ꎬ从而函数ｆ(ｘ)＝ａｘ２－ｘ－ｌｎｘ的图象有两个不同的零点(如图２).综上ꎬ实数ａ的取值范围是(０ꎬ１).故选Ｂ.点评㊀本题是已知函数的零点个数求参数范围问题ꎬ将零点问题转化为两曲线交点个数问题是常见的求法.借由例１的求解过程ꎬ可先求两曲线相切的临界情形ꎬ由公切线求出参数的值ꎬ根据图象变化特征即可得到参数的取值范围.５利用公切线解决恒成立问题例５㊀若关于ｘ的不等式ｅｘ－ａｌｎｘȡａ恒成立ꎬ则实数ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.[０ꎬｅ]㊀Ｂ.(－ɕꎬｅ]㊀Ｃ.０ꎬｅ２[]㊀Ｄ.－ɕꎬｅ２(]图３㊀例５解析图解析㊀设ｆ(ｘ)＝ｅｘ和ｇ(ｘ)＝ａｌｎｘ＋ａ＝ａｌｎｅｘ.当ａ<０时ꎬｅｘ－ａｌｎｘȡａ不能恒成立.当ａ＝０时ꎬ由ｅｘ－ａｌｎｘȡａ可得ｅｘȡ０.而ｅｘ>０恒成立.当ａ>０时ꎬ设ｆ(ｘ)＝ｅｘ和ｇ(ｘ)＝ａｌｎｅｘ的公切线为ｌꎬ且公切点为(ｍꎬｎ).由ｆ(ｘ)＝ｅｘꎬ得ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ.由ｇ(ｘ)＝ａｌｎｅｘꎬ得ｇᶄ(ｘ)＝ａｘ.所以ｅｍ＝ａｍꎬｅｍ＝ａｌｎｅｍ.消去ａꎬ得１ｍ＝ｌｎｅｍ.即ｌｎｍ－１ｍ＋１＝０.设ｈ(ｍ)＝ｌｎｍ－１ｍ＋１ꎬ则ｈᶄ(ｍ)＝１ｍ＋１ｍ２>０ꎬｈ(ｍ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增.而ｈ(１)＝０ꎬ所以ｌｎｍ－１ｍ＋１＝０有且只有一个根ｍ＝１.从而ａ＝ｅ.根据图形(如图３)ꎬ若ｅｘ－ａｌｎｘȡａꎬ则０<ａɤｅ.综上所述ꎬ０ɤａɤｅꎬ即实数ａ的取值范围是[０ꎬｅ].故选Ａ.点评㊀本题可直接构造函数Ｆ(ｘ)＝ｅｘ－ａｌｎｘ－ａꎬ通过对参数进行讨论ꎬ求解单调性ꎬ证明函数Ｆ(ｘ)ｍｉｎȡ０ꎬ但此种解法运算量大ꎬ不适合在选择题中使用.将原式分离为两个函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ和ｇ(ｘ)＝ａｌｎｅｘꎬ可知它们的凹凸性相反ꎬ公切线无疑是二者的分界线.公切线的实质是导数几何意义的综合应用ꎬ将曲线间的位置关系转化为函数的单调性㊁凹凸性㊁极(最)值㊁零点等ꎬ考查转化与化归㊁推理与论证的能力.解决公切线可考虑从数与形两方面着手ꎬ将问题转化为两个函数的图象关系ꎬ由图象凹凸反转的特征ꎬ利用切线不等式放缩[１].求解方法蕴含泰勒展开㊁函数逼近的背景ꎬ渗透着数形结合㊁动静转化的思想ꎬ是命题者难以抗拒的源泉.参考文献:[１]武增明.两函数图象的公切线问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１９(０４):２４－２７.[责任编辑:李㊀璟]１１。

例析曲线的公切线及其应用

例析曲线的公切线及其应用
，例析曲线的公切线是一种特殊的曲线，它满足以下条件：曲线上任一点到曲线上另一点的距离均相等。

例析曲线公切线既可以表示点到曲线的距离也可以表示曲线到曲线的距离，它们在数学中有着广泛的应用。

例析曲线公切线的应用主要有三大方面：一是在几何图形中求解距离问题，可以使用例析曲线公切线求解两点间的距离，也可以求解两个曲线间的距离。

二是用例析曲线公切线求解曲线上某一点的坐标。

曲线上任一点到曲线上另一点的距离均相等，因此可以利用这一特性，来求曲线上某一点的坐标。

三是用例析曲线公切线求解函数的极值问题。

例析曲线公切线的斜率和函数的斜率相同，因此可以使用例析曲线公切线求解函数的极值问题。

例析曲线公切线的应用广泛，更多的应用需要在实际中去体验。

在研究和研究中，我们可以多加利用例析曲线公切线，解决实际问题。

公切线公式

公切线公式
摘要：
一、引言
二、公切线的定义与性质
三、公切线的一般公式
四、公切线的特殊形式及应用
五、结论
正文：
【引言】
本文将介绍公切线公式及其应用。

公切线是数学中一个重要的概念，对于理解曲线的性质和与其他曲线的关系具有重要意义。

在本文中，我们将详细讨论公切线的定义、性质、一般公式以及特殊形式和应用。

【公切线的定义与性质】
首先，我们需要了解公切线的定义。

公切线是与曲线在某一公共点处有相同切线的直线。

它有三个重要的性质：与曲线在切点处相切、与曲线在该点处的切线相同、与曲线在该点处的法线垂直。

【公切线的一般公式】
公切线的一般公式为：y - y1 = k(x - x1)，其中k 为公切线的斜率，(x1, y1) 为切点的坐标。

【公切线的特殊形式及应用】
1.切线的斜率不存在时，公切线方程为x = x1，表示一条竖直的直线。

2.当切点为曲线的顶点时，公切线方程为y = y1，表示一条水平的直线。

3.在其他情况下，公切线方程为y - y1 = k(x - x1)，其中k 为曲线在切点处的导数值。

公切线在数学中有广泛的应用，例如求解极值问题、证明不等式等。

【结论】
总之，公切线是数学中一个重要的概念，掌握公切线的性质和公式有助于更好地理解曲线的性质和与其他曲线的关系。

求两个函数的公切线题

求两个函数的公切线题求两个函数的公切线。

在数学中，两个函数的公切线是指可以同时切到两个函数曲线上的一条直线。

这条直线既是函数1的切线，又是函数2的切线。

求两个函数的公切线是一个经典的数学问题，它涉及到微积分和解析几何的知识。

在这篇文章中，我们将讨论如何求解两个函数的公切线的问题。

首先，我们来看一个简单的例子。

假设我们有两个函数f(x)和g(x)，我们想要找到它们的公切线。

首先，我们需要找到两个函数在某一点x0处的切线斜率。

这可以通过求导函数来实现。

分别对f(x)和g(x)求导，得到它们在x0处的切线斜率f'(x0)和g'(x0)。

接下来，我们需要找到这两个切线斜率的关系。

如果这两个函数有公切线，那么它们的切线斜率必须相等。

因此，我们可以得到一个方程f'(x0) = g'(x0)。

解这个方程，我们就可以得到公切线的横坐标x0。

一旦我们找到了公切线的横坐标x0，我们就可以通过代入任意一个函数的表达式，得到对应的纵坐标y0。

这样，我们就得到了公切线上的一个点(x0, y0)。

最后，我们可以利用这个点和切线斜率，得到公切线的方程。

假设切线斜率为m，那么公切线的方程就是y y0 = m(x x0)。

这样，我们就得到了两个函数的公切线的方程。

总的来说，求两个函数的公切线是一个很有趣的数学问题。

它不仅涉及到对函数的导数和切线斜率的理解，还需要一定的解析几何技巧。

通过求解这个问题，我们可以更深入地理解函数之间的关系，也可以锻炼我们的数学建模能力。

希望通过这篇文章，读者能对求两个函数的公切线有更深入的理解。

两曲线的公切线问题解题方法

两曲线的公切线问题解题方法
1. 嘿，先找到两条曲线的导数呀！就像找宝藏先确定地图一样。

比如说曲线 y=x^2 和 y=x^3，它们的导数能帮我们找到切线的斜率呢。

通过求导，我们就能知道在哪些地方可能存在公切线哦。

2. 接下来，假设公切线存在呀！这就像是假设我们能找到宝藏一样。

还是用刚才那两个例子，设出公切线的方程，然后带入到两条曲线中去看看是否满足呀。

这一步是不是很有趣呢？
3. 然后呢，建立方程组呀！这就好像搭积木一样，一块块把条件凑起来。

根据公切线与两条曲线的关系列出等式，通过解方程来确定公切线的具体情况呢。

比如求解上面的例子，不就能知道公切线到底存不存在啦！
4. 还要注意特殊情况呢！千万可别漏了呀，这就像是注意路上的小坑一样重要。

有时候可能会有一些不太明显的情况，得仔细想想，像一些渐近线之类的地方。

哎呀，可别掉进坑里啦！比如有的曲线在某个点看起来像是有公切线，但实际上不是哦。

5. 别忘了检验答案呀！就像检查作业一样仔细。

看看求出的公切线是不是真的满足条件，可不能马虎呢。

一旦不小心，就可能出错呀！
6. 嘿嘿，不断练习才是王道呀！就像练功一样，多练才能厉害。

多找些题目来做做，熟练掌握方法，以后遇到任何两曲线的公切线问题都能轻松搞定啦！就像大侠闯荡江湖一样轻松！总之呢，只要按照这些办法去做，两曲线的公切线问题就不再难啦！。

公切线计算公式

公切线计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：公切线是两个曲线相交时，切到这两个曲线的一条直线。

在数学中，我们可以通过一定的公式来计算两个曲线之间的公切线。

公切线的计算是一项非常重要的数学问题，既有理论上的研究，又有实际应用。

在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

公切线的计算涉及到曲线的方程、导数、切线方程等数学知识。

在这里，我们主要讨论一下两个曲线之间的公切线的计算公式。

我们来看一下两个曲线的一般方程形式，即为：曲线1：y=f(x)曲线2：y=g(x)f(x)和g(x)分别为两个曲线的方程。

我们的目标是找到这两个曲线之间的公切线。

我们需要找到两个曲线在交点处的斜率。

因为公切线同时切到两个曲线上，所以公切线在两个曲线的交点处与两个曲线的斜率相等。

设曲线1和曲线2在交点处的斜率分别为m1和m2，则有：下面我们来计算公切线的方程。

设公切线的方程为y=mx+b，其中m为公切线的斜率，b为截距。

因为公切线同时切到曲线1和曲线2上，所以公切线的方程同时满足曲线1和曲线2的方程。

即有：y = f(x)y = g(x)y = mx + b根据公切线切到曲线1和曲线2时的斜率相等，我们可以得到：公切线与曲线1和曲线2在交点处相交，所以有：将上述两个方程与曲线1和曲线2的方程联立，可以解出公切线的方程y=mx+b。

以上就是关于公切线计算公式的简要介绍。

通过计算公切线的方法，我们可以轻松地求解两个曲线之间的公切线，是解决数学问题以及实际应用中的重要工具。

希望通过本文的介绍，读者能对公切线的计算有一个基本的了解，从而更好地应用于相关领域的问题解决中。

第二篇示例：公切线是两个曲线相切的地方，它是在两个曲线相切的点处与两个曲线都垂直的一条直线。

在数学中，我们经常需要计算两个曲线的公切线，以便解决各种问题。

公切线的计算是一个重要的数学问题，它涉及到几何、代数和微积分等各个领域的知识。

在数学中，公切线的计算可以应用于各种不同的曲线类型，例如圆、椭圆、双曲线等。

公切线知识点

公切线知识点一、公切线的定义公切线是指在几何学中，一条直线与两个曲线相切于同一点的情况。

这个点被称为切点，而直线则被称为公切线。

公切线有着重要的几何性质和应用，它在数学、物理和工程等领域中都有广泛的应用。

二、公切线的性质1.公切线与曲线的切点处的切线方向相同。

2.公切线与曲线的切点处的切线斜率相同。

3.公切线与曲线的其他交点处，切线方向与曲线的切线方向相同。

三、公切线的求解方法1. 利用导数求解对于给定的曲线，我们可以通过求解曲线的导数来找到公切线的方程。

具体步骤如下：1.求解曲线的导函数。

2.找到曲线上与切点处的横坐标相同的点，计算该点处的斜率。

3.利用切线斜率和切点坐标，得到切线方程。

2. 利用几何性质求解对于一些简单的曲线，我们可以通过利用几何性质来求解公切线。

例如，对于圆和直线的公切线，我们可以利用圆的半径和切点构成的直角三角形来求解公切线。

四、公切线的应用公切线在数学和实际应用中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 几何问题公切线在解决几何问题中起着关键作用。

例如，求解两个曲线的公切线可以帮助我们确定曲线之间的关系以及切点的位置。

2. 物理问题在物理学中，公切线可以用来描述曲线运动的轨迹。

例如，当一个物体沿着曲线运动时，其速度矢量与曲线在切点处的切线方向相同。

3. 工程应用在工程学中，公切线可以用来解决各种实际问题。

例如，在设计道路转弯处时，需要确定车辆行驶路线和转弯半径，公切线可以帮助我们确定最佳的转弯半径和车辆行驶路线。

五、总结公切线是几何学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。

通过求解公切线，我们可以了解曲线的性质，解决各种几何、物理和工程问题。

掌握公切线的知识和求解方法对于理解和应用几何学和曲线运动学有着重要的意义。

希望本文能够帮助读者更好地理解和应用公切线的知识。

公切线知识点

公切线知识点
公切线作为几何学中的重要概念，常常被用于解决与圆、椭圆以及其他曲线相关的问题。

它是指与两个相交曲线切于同一点的直线，具有许多特殊的性质和应用。

下面将介绍一些公切线的知识点。

首先，公切线的存在性是公切线问题的关键。

对于两个相交的曲线，如果它们的切线方向不相同，那么它们一定存在两条公切线。

而如果两个曲线相切，那么它们存在一条公切线。

这些公切线可以通过求解方程组或者利用几何性质来确定。

其次，公切线的性质使得它在许多问题中发挥重要作用。

首先，公切线与切点处的切线相切于同一点，这一性质可以用于求解切线问题。

例如，可以利用公切线的性质求解切线与曲线的交点坐标。

其次，如果两个相交曲线的半径向量与切点的连线垂直于公切线，那么这两个半径向量的夹角也是直角。

这一性质可以用于证明切线与半径之间的关系。

再次，公切线还有一些重要的应用。

例如，在计算机图形学中，公切线常常被用于处理曲线和曲面的相交问题。

通过计算曲线和曲面的公切线，可以确定它们的交点和相交的位置。

此外，公切线还被应用于优化问题中。

例如，在运动学和机器人学中，可以利用公切线的性质来求解机器人的最优路径或者姿态。

总之，公切线是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和应用。

通过对公切线的研究和应用，我们可以解决许多与曲线相关的问题。

对于学习几何学和相关学科的人来说，了解公切线的知识点是非常重要的。

通过深入研究公切线，我们可以进一步发展和应用这一概念，推动科学和技术的发展。

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