高中数学竞赛训练十二

数学竞赛训练十二

一、选择题

1. 已知集合{}02223>--+=x x x x M ，{}02≤++=q px x x N ，{}

2->=x x N M ，{}31≤<=x x N M ，则p ，q 的值是 （ ）

A.3=p ，2=q

B. 0=p ，1-=q

C. 1-=p ，3-=q

D. 2-=p ，3-=q

2. 设集合{}是非负整数c b a x x A c b a ,,,532⨯⨯==的子集，{}

101,≤≤∈=y A y y B ，则在B 的子集中，包含元素1和10的集合有 （ ）

A.10个

B.64个

C.128个

D.256个

3. 三个平面两两相交，每两个平面所成的二面角的平面角相等，这个相等的角是 （ ）

A.︒60

B.︒90

C. ︒60或︒90

D.不能确定

4. 非零复数x ，y 满足022=++y xy x ，则代数式19991999⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+y x y y x x 的值是 （ ） A.19992- B.1- C.1 D.19992

5. 在9999~1000之间，由四个不同数字组成且个位数字和千位数字之差的绝对值是2的整数个数为 （ ）

A.672

B.784

C.840

D.896

6. 已知AD 、BE 、CF 为ABC ∆的三条高，︒=∠45B ，︒=∠60C ，则DF DE :的值是( ) A.32

B.21

C.22

D.2

3 7. PQ 为经过抛物线px y 22=（0>p ）焦点的一条弦，MN 为PQ 在准线l 上的射影，PQ 绕

l 旋转一周所得的旋转面的面积为1S ，以MN 为直径的球面积为2S ，则 （ ）

A.21S S ≥

B. 21S S =

C. 21S S ≤

D.不能确定

8. 在直角坐标平面内，构造一个直角三角形，使得它的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，且两条直角边上的中线分别落在直线13+=x y 和2+=mx y 上，使这样的三角形存在的常数

m 的个数是 （ ）

A.0个

B.1个

C.2个

D.多于2个

9. 平面上有一个点集M 和七个不同的圆1C ，2C ，…，7C ，其中7C 恰好经过M 中的7个点，圆6C 恰好经过中的6个点，……，圆1C 恰好经过中的1个点，那么M 中的点数最少为 ( )

A.11个

B.12个

C.21个

D.28个

10. ABC ∆的顶点B 在单位圆的圆心上，A ，C 在圆周上，α2=∠ABC （30π

α<<），现将

ABC ∆在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A 为中心，使B 落在圆周上；第二次以B 为中心，使C 落在圆周上，第三次，以C 为中心，使A 落在圆周上，如此旋转直到第100次，那么点A 所走过路程的总长度为 （ ）

A.ααπ66)sin 1(22-+

B.π3

67 C.ααππ66sin 36822-+ D.απ6633- 二、填空题

11. 已知集合{})lg(,,xy xy x M =，{}y x N ,,0=，且N M =，那么+⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2211y x y x ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+199919993311y x y x 的值等于 ；

12. 不等式)1lg(3)1lg(2x x x -+≤-+-的解集为 ；

13. 方程6=xyz 的所有正整数解的组数共有 组；

14. 对于 类型的自然数m ，乘积)1(21-⨯⨯⨯m 能被m 整除；

15. 设122==+xy y x ，则n n y x 33+（Z n ∈）的值是 ；

16. 定义数列{}n a ，21=a ，1111---+=

n n n a a a （2≥n ，N n ∈），那么1999a 的值为 ； 17. 不等式θ

θθθsin 1cos cos 1sin +>+的解集为 ； 18. 若⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101arctan 8tan 1101arctan 8tan 1x ，则=+x arctan 101arctan 8 ； 19. 已知e d c b a <<<<是连续的正整数，d c b ++是完全平方数，e d c b a ++++是完全

立方数，那么c 的最小值是 ；

20. 设x ，y ，z 为非负实数，且满足方程02562684495495=+⨯-++++z y x z y x ，那么z

y x ++的最大值与最小值的乘积等于 ；