2015-2016学年山东省莱芜市高三(上)期中数学试卷和答案(理科)

2015-2016学年山东省莱芜市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣x=0}，B={x|log2x≤0}，则A∪B=（）A．{1}B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）2．（5分）设函数，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．3．（5分）在等比数列{a n}中，a3=4，a7=12，则a11=（）A．16 B．18 C．36 D．484．（5分）“cos2α=0”是“sinα+cosα=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知向量=（1，3），=（﹣1，2），则（2+）•=（）A．15 B．16 C．17 D．186．（5分）若为第四象限角，则的值等于（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=﹣（）A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是偶函数也不是奇函数8．（5分）设等差数列{a n}满足3a10=5a17，且a1＞0，S n为其前n项和，则数列{S n}的最大项是（）A．S24B．S23C．S26D．S279．（5分）设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B．C．D．10．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的个数是（）①②f（k）＞k2 ③④．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．（5分）定积分的值为．12．（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．13．（5分）设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为．14．（5分）函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx的值域是．15．（5分）已知数列{a n}是等差数列，公差d不为0，S n是其前n项和，若a3，a4，a8成等比数列，则下列四个结论①a1d＜0；②dS4＜0；③S8=﹣20S4；④等比数列a3，a4，a8的公比为4．其中正确的是．（请把正确结论的序号全部填上）三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）设函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的值域．18．（12分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，{b n}是等比数列，且b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{|c n|}的前n项的和S n．19．（12分）已知向量，，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，若，求b的值．20．（13分）设数列{a n}前n项的和为．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}前n项的和T n．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线过点（1，0），求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，+∞）上不存在零点，求a的取值范围；（Ⅲ）若a=1，设函数，求证：当x≥0时，g（x）≥1．2015-2016学年山东省莱芜市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣x=0}，B={x|log2x≤0}，则A∪B=（）A．{1}B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）【解答】解：由A中方程变形得：x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，即A={0，1}，由B中不等式变形得：log2x≤0=log21，即0＜x≤1，∴B=（0，1]，则A∪B=[0，1]，故选：B．2．（5分）设函数，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．【解答】解：函数，则f（f（﹣2））=f（3﹣2）=f（）=1﹣=．故选：D．3．（5分）在等比数列{a n}中，a3=4，a7=12，则a11=（）A．16 B．18 C．36 D．48【解答】解：由等比数列的性质可得：a11===36．故选：C．4．（5分）“cos2α=0”是“sinα+cosα=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵cos2α=（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0，∴sinα+cosα=0或cosα﹣sinα=0，∴“cos2α=0”是“sinα+cosα=0”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知向量=（1，3），=（﹣1，2），则（2+）•=（）A．15 B．16 C．17 D．18【解答】解：；∴．故选：A．6．（5分）若为第四象限角，则的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵为第四象限角，∴cosα==，tan=﹣，∴===．故选：A．7．（5分）函数f（x）=﹣（）A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是偶函数也不是奇函数【解答】解：该函数的定义域满足1﹣2x≠0，即x≠0，对于定义域内的每一个自变量x，f（﹣x）=故该函数为偶函数但不是奇函数．故选：A．8．（5分）设等差数列{a n}满足3a10=5a17，且a1＞0，S n为其前n项和，则数列{S n}的最大项是（）A．S24B．S23C．S26D．S27【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由3a10=5a17可得3（a1+9d）=5（a1+16d），解得d=﹣a1＜0，∴a n=a1+（n﹣1）d=a1，令a n=a1≤0可得≤0，解得n≥，∴递减的等差数列{a n}前27项为正数，从第28项起为负数，∴数列{S n}的最大项为S27，故选：D．9．（5分）设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B．C．D．【解答】解：由f（x）的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f（x）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．故选：B．10．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的个数是（）①②f（k）＞k2 ③④．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵f′（x）=，且f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，对于①，令x=，即有f（）+1＞•k=1，即为f（）＞0，故①正确；对于②，令x=k，即有f（k）＞k2﹣1，故②不一定正确；对于③，当x=时，f（）+1＞•k=，即f（）＞﹣1=，故f（）＞，故③正确；对于④，令x=＜0，即有f（）+1＜•k=，即为f（）＜﹣1=，故④正确．故正确个数为3，故选：C．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．（5分）定积分的值为2﹣e．【解答】解：=（x2﹣e x）|=1﹣e+1=2﹣e；故答案为：2﹣e．12．（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．13．（5分）设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为﹣．【解答】解：∵向量λ+与﹣2平行，∴存在实数k使得λ+=k（﹣2），化为+=，∵向量，不平行，∴，解得．故答案为：．14．（5分）函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx的值域是[﹣1，+] ．【解答】解：令t=sinx+cosx=sin（x+），则﹣≤t≤，t2=1+2sinxcosx，∴sinxcosx=，∴f（x）=sinxcosx+sinx+cosx=+t=（t+1）2﹣1，∵﹣≤t≤，∴﹣1≤（t+1）2﹣1≤+；即函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx的值域为[﹣1，+]．故答案为[﹣1，+]．15．（5分）已知数列{a n}是等差数列，公差d不为0，S n是其前n项和，若a3，a4，a8成等比数列，则下列四个结论①a1d＜0；②dS4＜0；③S8=﹣20S4；④等比数列a3，a4，a8的公比为4．其中正确的是①②④．（请把正确结论的序号全部填上）【解答】解：由a3，a4，a8成等比数列，得，∴，整理得：．∴，①正确；=，②正确；=，=，③错误；等比数列a3，a4，a8的公比为q=，④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）设函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）=sin2x++sin2x﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+=2sin（2x﹣）+，故函数f（x）的最小正周期为π；（Ⅱ）∵，∴﹣＜2x﹣＜，∴﹣＜sin（2x﹣）≤1，∴﹣1＜2sin（2x﹣）≤2，∴﹣＜2sin（2x﹣）+≤，故函数f（x）的值域为（﹣，]．17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的值域．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=ax2+blnx的导数为f′（x）=2ax+，由f（1）=，f′（2）=1，可得a=，4a+=1，解方程可得b=﹣2，即有f（x）=x2﹣2lnx，f′（1）=﹣1，则在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即为2x+2y﹣3=0；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=x﹣=，当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减；当＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有f（x）在x=处取得极小值，也为最小值，且为1﹣ln2；f（1）=，f（）=e﹣1，由f（）﹣f（1）=＜0，即有f（）＜f（1），则f（x）的值域为[1﹣ln2，]．18．（12分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，{b n}是等比数列，且b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{|c n|}的前n项的和S n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，等比数列{b n}的公比为q，∵b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．∴，解得d=3，q=3．∴a n=3+3（n﹣1）=3n，b n=3n．（II）=5n﹣32，设数列{c n}的前n项和为T n，则T n==．令c n≥0，解得n≥7．∴|c n|=．∴当n≤6时，S n=﹣（a1+a2+…+a n）=﹣T n=．当n≥7时，S n=﹣T6+a7+a8+…+a n=T n﹣2T6=+174．∴数列{|c n|}的前n项的和S n=．19．（12分）已知向量，，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，若，求b的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=sin（2x+）+cos（2x+）=2sin（2x+），当2kπ+≤2x+≤2kπ+，即kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），函数f（x）单调递减，故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，（k∈Z）；（Ⅱ）f（A）=2sin（2A+）=，∴sin（2A+）=，∴2A+=2kπ+或2A+=2kπ+，∴A=kπ或A=kπ+，（k∈Z）；又∵A∈（0，π），∴A=；∵sinC=，C∈（0，π），sinA=，∴C＜，cosC=，∴sinB=sin（A+C）=，∴b==+2．20．（13分）设数列{a n}前n项的和为．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}前n项的和T n．【解答】解：（I）∵=a n﹣n+1，∴S n=na n﹣n（n﹣1），当n≥2时，S n﹣1=（n ﹣（n﹣1）（n﹣2），﹣1）a n﹣1两式相减可得：a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣2（n﹣1），化为a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）=（2n﹣1）•32n﹣1=，∴数列{b n}前n项的和T n=+5×93+…+（2n﹣1）•9n]，9T n=+…+（2n﹣3）•9n+（2n﹣1）•9n+1]，∴﹣8T n===，∴T n=+．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线过点（1，0），求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，+∞）上不存在零点，求a的取值范围；（Ⅲ）若a=1，设函数，求证：当x≥0时，g（x）≥1．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e x﹣ax的导数为f′（x）=e x﹣a，函数f（x）在x=0处的切线斜率为1﹣a，在x=0处的切线过点（1，0），可得1﹣a=﹣1，解得a=2；（Ⅱ）函数f（x）在（﹣1，+∞）上不存在零点，即为a=在x＞﹣1无解，设h（x）=，即有h′（x）=，当﹣1＜x＜0，或0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增．则x＞0时，x=1处h（x）取得最小值e，﹣1＜x＜0时，h（x）＜﹣．则有a的范围是﹣≤a＜e；（Ⅲ）证明：a=1，函数=+，当x≥0时，g（x）≥1等价为e x（3x﹣4）+x+4≥0，令F（x）=e x（3x﹣4）+x+4，F（0）=0，F′（x）=e x（3x﹣1）+1，F′（0）=0，再令G（x）=e x（3x﹣1）+1，G′（x）=e x（3x+2）＞0，即有G（x）在x≥0递增，即为G（x）≥G（0）=0，即有F′（x）≥0，即F（x）在x≥0递增，则F（x）≥F（0）=0，即有e x（3x﹣4）+x+4≥0，故当x≥0时，g（x）≥1．。