高中数学人教B版必修4教案：1.2.1 任意三角函数的定义(一) Word版含答案

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高中数学人教B版必修四讲义：第一章 1.2 1.2.1 三角函数的定义 Word版含答案

1．2.1三角函数的定义(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？[新知初探]1．三角函数的定义(1)前提准备：①以角α的顶点O 为坐标原点，以角α的始边的方向作为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．②设角α的终边上任一点P (x ，y )，OP ＝r (r ≠0)． (2)定义：①余弦函数：x r 叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr . ②正弦函数：y r 叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝yr . ③正切函数：y x 叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝yx .④正割函数：角α的正割sec α＝1cos α＝r x .⑤余割函数：角α的余割csc α＝1sin α＝r y .⑥余切函数：角α的余切cot α＝1tan α＝x y .[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域3．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角函数也是函数，它们都是以角为自变量的，以比值为函数值的函数．( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．若sin α<0，tan α>0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C3．若角α的终边经过点P (2,3)，则有( ) A ．sin α＝21313 B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝23答案：C4．sin π3＝________，cos 3π4＝________.答案：32 －22[典例] 已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值． [解] r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |.若a ＞0，则r ＝5a ，故sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.若a ＜0，则r ＝－5a .同理可得sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr ，cos α＝xr .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]1．设θ是第三象限角，P (－4，y )为其终边上的一点，且sin θ＝16y ，则tan θ等于( )A ．－52B ．－255C.255D.52 解析：选D 因为sin θ＝y(－4)2＋y 2＝16y ，所以16＋y 2＝6，解得y ＝±25，又θ是第三象限角，所以y ＝－25，所以tan θ＝－25－4＝52，故选D.2．已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α，sec α，csc α，cot α的值．解：直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，则直线通过第二和第四象限． ①在第二象限内取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝32，则csc α＝23＝233； cos α＝－12，则sec α＝－2；tan α＝－3，则cot α＝－33. ②在第四象限内取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32，则csc α＝－233； cos α＝12，则sec α＝2；tan α＝－3，则cot α＝－33.[典例] (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角， ∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z.∴k π＋π2<α2<k π＋3π4, k ∈Z ，∴α2在第二、四象限．又∵⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2在第二象限． [答案] (1)D (2)B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[活学活用]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2解析：选C ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cosα|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.求三角函数的定义域[典例] 求函数f (x )＝sin x ＋lg cos xtan x的定义域．[解] 要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ＞0，tan x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以⎩⎨⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，2k π－π2＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，x ≠k π＋π2，x ≠k π，k ∈Z.解得：2k π＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z.所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z .求三角函数定义域的方法(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得．对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．[活学活用]求下列函数的定义域： (1)y ＝sin x ＋cos xtan x；(2)y ＝cos x ＋－tan x .解：(1)要使函数式有意义，需tan x ≠0，解得x ≠k π(k ∈Z)．要使tan x 有意义，需x ≠k π＋π2(k ∈Z)，解得x ≠k π2(k ∈Z)．所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z . (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥0，－tan x ≥0.x ≠π2＋k π，k ∈Z ，由cos x ≥0得x 的终边在y 轴上，或第一象限，或第四象限，或在x 轴非负半轴上．由－tan x ≥0，得tan x ≤0，则角x 的终边在第二象限，或第四象限，或在x 轴上．综上，角x 的终边在第四象限或x 轴非负半轴上．所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2＋2k π＜x ≤2k π，k ∈Z .层级一学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，32 B.⎝⎛⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎫－32，12 D.⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32，∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32.2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A.12B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角． 4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B.34C ．－32D.14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34，故选A.5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝255.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－255.6．计算：tan π6＝________，csc π6＝________.解析：∵α＝π6，在α的终边上取一点P (3a ，a )，∴r ＝2a .∴tan π6＝33，csc π6＝2.答案：332 7．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________. 解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13. ∴sin α＝－1213，cos α＝513. ∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与射线y ＝3x (x ≥0)重合，则cos θ＝________.解析：根据题意，在射线上取一点P (1,3)，则x ＝1，y ＝3，r ＝12＋32＝10，所以cosθ＝x r ＝1010.答案：10109．已知角θ终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m (m ≠0)，试求cos θ与tan θ的值．解：点P (－3，m )到坐标原点O 的距离r ＝3＋m 2，由三角函数的定义，得sin θ＝yr＝m3＋m 2＝24m ，解得m ＝±5.∴r ＝2 2. 当m ＝5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝yx ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)．由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1，解得x 1＝22或x 2＝－22.∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．设a <0，角α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25B ．－25 C.15 D ．－15解析：选A ∵点P 在圆x 2＋y 2＝1上，则|OP |＝1. 即(－3a )2＋(4a )2＝1，解得a ＝±15. ∵a <0，∴a ＝－15. ∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45. ∴sin α＝－45，cos α＝35. ∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( ) A ．8B ．－8C ．4D ．－4 解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝m m 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y 42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8. 答案：－86．设0≤θ＜2π，若sin θ＜0且cos 2θ＜0，则θ的取值范围是________．解析：因为0≤θ＜2π且sin θ＜0，所以π＜θ＜2π.又cos 2θ＜0，所以2k π＋π2＜2θ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，所以k π＋π4＜θ＜k π＋3π4，k ∈Z.因为π＜θ＜2π，所以k ＝1，即θ的取值范围是5π4＜θ＜7π4. 答案：⎝⎛⎭⎫5π4，7π47．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝ 2＋log 12x ＋tan x ；(2)f (x )＝cos x .解：(1)由题意得⎩⎨⎧ 2＋log 12x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ≤4，x ≠k π＋π2(k ∈Z ). 解得0<x <π2或π2<x ≤4，所以原函数的定义域为⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，4. (2)若使函数有意义，则需满足cos x ≥0，即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z. ∴函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。

高中数学人教新课标必修四B版教案高中数学必修4全部教案

人教B版数学必修4 第一章基本初等函数（Ⅱ）教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的范围1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角本章知识结构如下：2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用（1）三角函数是一类十分重要的初等函数，它与本模块第三章“三角恒等变换”构成了高中“三角”知识的主体，是中学数学的重要内容之一，也是学习后继内容和高等数学的基础。

（2）三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。

（3）三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其它学科如天文学、物理学等联系非常紧密。

因此三角函数的学习可以培养学生的数学应用能力。

（4）三角函数的基础知识，主要是平面几何中的相似形和圆。

研究三角函数的方法，主要是在必修1中建立的研究初等函数的方法。

因此，通过对三角函数的学习，可以初步地把“数”与“形”联系起来。

（5）通过对三角函数的学习，不仅能使学生获得新的知识和技能，而且可以培养学生的辨证唯物主义观点，提高分析问题和解决问题的能力。

3、本单元教学内容总体教学目标（1）任意角的概念、弧度制了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．（2）任意角的三角函数理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义；并会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，并理解其原理。

理解同角三角函数的基本关系式： 22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=；借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，能进行同角三角函数之间的变换，会求任意角的三角函数值，并记住某些特殊角的三角函数值。

新人教版(B)高中数学必修4三角函数的定义教案

三角函数的定义[考点透视]一、考纲指要1．理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.二、命题落点1．考查象限角的概念.如例1.2．考查三角函数化简，求值等知识.如例2.3．考查三角函数在各个象限的符号.如例3.[典例精析]例1：α为第三象限角，那么2α所在的象限是〔〕 A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解析：α第三象限，即3222k k k Z πππαπ+<<+∈, ∴3224k k k Z παπππ+<<+∈, 可知2α在第二象限或第四象限．答案：D ．例2： tan600°的值是〔〕A ．33-B ．33C ．3-D ．3解析:360tan 240tan 600tan 000===．答案：D ．例3：假设sinθcosθ＞0，那么θ在〔〕A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限解析：∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同号.当sinθ＞0，cosθ＞0时，θ在第一象限，当sinθ＜0，cosθ＜0时，θ在第三象限，因此，选B ．答案：B ．[常见误区]1．在角的表示中注意角度值和弧度值不能在同一角的表示中使用.2．三角函数值的符号是学生解题中的易错点、易漏点.[基础演练]1．R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，那么a ＝〔〕A ．0B ．1C ．－1D ． ±12．设M 和m 分别表示函数y=31cosx －1的最大值和最小值，那么M+m 等于〔〕 A ．32B ．－32C ．－34D ．－23．假设A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且A<B<C 〔C≠2π〕，那么以下结论中正确的是〔〕A ．sinA<sinCB ．cotA<cotCC ．tanA<tanCD ．cosA<cosC4．在〔0，2π〕内，使sinx ＞cosx 成立的x 取值X 围为〔〕A ．〔4π，2π〕∪〔π，45π〕B ．〔4π，π〕C ．〔4π，45π〕D ．〔4π，π〕∪〔45π，23π〕5．点P 〔tanα，cosα〕在第三象限，那么角α的终边在第象限.6．在△ABC 中，假设最大角的正弦值是22，那么△ABC 必是三角形.7．比较sin 52π，cos 56π，tan 57π的大小.8．sinθ＋cosθ＝51，θ∈〔0，π〕，求cotθ的值.9．:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα; sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值.。

人教新课标版数学高一-人教B版必修4教案任意三角函数的定义(一)

1．21 任意三角函数的定义（一）
一。

、教学目标
1．知识目标：（1）让学生理解任意角的三角函数的定义；
（2）掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域;
(3) .理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
2．能力目标：（1）培养学生应用图形分析数学问题的能力；
（2）学会运用任意三角函数的定义求相关角的三角函数值；
（3）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（4）判断.三角函数值在各象限内的符号.
3．情感目标：（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；
（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；
（3）通过三角函数定义的学习，从中体会三角函数像一般函数一样，具有一般
函数的抽象美。

二、教学重点
（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；
（2）三角函数的定义域；
（3）根据任意角的三角函数定义求三角函数值。

（4）判断.三角函数值在各象限内的符号.
三、教学难点
任意角的正弦、余弦、正切的定义；。

高中数学人教B版必修4 1.2 教学设计《三角函数的定义》(人教)

《三角函数的定义》直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。

三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。

【知识与能力目标】借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。

【过程与方法目标】在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。

【情感态度价值观目标】在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

【教学重点】任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等。

【教学难点】任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。

为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维。

一、复习回顾提问：在初中，锐角的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾。

你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？设锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限。

在的终边上任取一点，它与原点的距离。

过作轴的垂线，垂足为，则线段的长度为，线段的长度为。

则；；。

αO xα(,)P a b0r=>P x M OM a MP b sinMP bOP rα== cosOM aOP rα==tanMP bOM aα==。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.2.1 三角函数的定义》7

教学设计人教B版2021版。

必修4 1.2.1三角函数的定义（第一课时）一、【教学目标】1、知识与技能目标：（1）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义。

（2）会利用三角函数的定义分析、解决一些三角函数求值、确定三角函数的符号问题。

2、过程与方法目标：由三角函数的定义引导学生自主研究同角三角函数的基本关系式，提高学生的建模意识。

培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，特殊到一般的思维方法，渗透分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．3、情感与态度目标：通过经历的用三角函数的定义出发，求三角函数值，激发学生的求知欲，鼓励学生积极参与、大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验。

引导学生养成自主学习的学习习惯。

二、【学情分析】1学生具备初中三角函数的定义，高中终边相同的角的概念方面的知识。

2、这个班级是营口市第二高级中学的理科普通班，学生基础知识掌握一般。

有学习积极性。

有一定的参与意识。

三、【教学重点、难点】（一）教学重点三角函数的定义，明确对应法则和定义域。

（二）教学难点1 通过坐标求任意角的三角函数的值，判断三角函数在各个象限的符号。

2、对学生进行思维灵活性的培养。

在解题过程中常常要分类讨论思想，提高学生从特殊到一般的概括能力。

四、【教学方法】讲练结合【教学过程】1.2.1三角函数的定义（第一课时）1.2.1教学活动【预习要求】1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2掌握正弦、余弦、正切函数的定义域。

【预习】教材第14-16页，1初中知识再现：在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:sin α= ；cos α=tan α=cot α=2．任意角的三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P,，则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r 根据三角形的相似知识得到xyr y r x ,,均为定值。

高中数学人教B版必修四《任意角的三角函数》word学案

1．2．1任意角的三角函数（2）一．学习要点：单位圆中的三角函数线及其简单应用二．学习过程：（一）复习：1．三角函数的定义及定义域、值域：2．三角函数的符号分布：3．诱导公式：（二）新课学习：1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆.2．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负.3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有（Ⅳ）（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）sin α= ， cos α= ，tan α= ．我们就分别称有向线段为 .4．例题：例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.（1）3π；（2）56π；（3）23π-；（4）136π-．例2 利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围.（1）1sin 2x <-；（2）1cos 2x >；五、小结：1．三角函数线的定义；2．会画任意角的三角函数线;3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围.六、练习：1．利用余弦线比较cos64,cos 285的大小；2．若42ππθ<<，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；3．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：（1）cos θ< ；（2）tan 1θ>- ；（3）sin θ> （选做）4.当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，求证：αααtan sin <<.。

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记忆
1分
板书设计
任意角三角函数值的符号
一、任意角三角函数值的符号确定例1、
1、当角是第一象限角时：
2、当角是第二、
第三、第四象限时：例2、
口诀：“一象全，二正弦，
三正切，四余弦”
课后
小结
通过本课的学习，学生已经会根据已知角来判断三角函数值的符号，并且能根据三角函数值来判断角的象限，通过分层次教学，学生可以结合自己的实际情况掌握知识，对以后的学习打下基础，效果较好
问题二：根据三角函数的定义确定正弦，余弦，正切的定义域
问题三：根据三角函数的定义确定角在各象限的符号
概念应用
例1：已知角ɑ的终边上有一点
求的值
例2求下列各角的六个三角函数值：
（1）0（2）π（3）
例3确定下列各三角函数值的符号：
(1) ；(2) cos130；(3)
归纳小结
在本节课中你学到了什么？
教学重难点
重点
任意角三角函数的定义
难点
任意角三角函数的定义域
复习提问
1.初中所学锐角三角函数的定义
2.初中学过哪些特殊角？它们的三角函数值都是什么？
概念形成
一．自主尝试
问题一：任意角的三角函数的定义
在直角坐标系中，设ɑ是一个任意角，ɑ终边上任意一点P（除了原点）的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r( )，则
学科
数学
教材
必修四
章节
1.2.1
课时数
1
使用时间
5月15号
制作者
史伟南
课题
三角函数的定义
教学目标
知识目标
理解三角函数的定义，掌握三角函数的定义域
技能目标

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.2.1 三角函数的定义》6

《三角函数的定义》教学设计一、教材内容分析三角函数的定义是这一章最重要的一节课，它是本章学习的基础。

本节课是基于初中学习锐角三角函数的基础上，通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而更好的理解任意角的三角函数的定义。

同时为诱导公式的推导，研究三角函数的图象和性质以及三角恒等变换打下了坚实的准备基础。

三角函数是基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要的作用。

二、学情分析学生在初中阶段学习过锐角三角函数，其研究范围是锐角，没有坐标系的参与，其研究目的是为解直角三角形服务，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。

高一学生运算能力较差，但部分学生对数学的学习非常有兴趣和积极性。

在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在教师的引导下进行，充分发挥教师的主导作用，学生的主体作用。

三、教学目标1知识与技能目标:1让学生理解任意角的三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等；2掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域。

2方法与过程目标:1培养学生应用图形分析数学问题的能力；2学会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值；3树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。

3情感态度与价值观:通过三角函数定义的学习，体会同一角的三角函数值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示我们在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑，从中体会三角函数，像一般实函数一样，体现了一般函数的抽象美。

四、教学重、难点分析：重点：理解任意角的三角函数定义，三角函数的定义域，根据任意角三角函数的定义求三角函数值。

难点：引导学生推导任意角的三角函数定义，帮助学生真正理解三角函数的定义。

五、教学方法与策略：教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.2.1 三角函数的定义》8

1．2．1任意角的三角函数东方市铁路中学高肖鹏一、教学内容解析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，是对函数模型的丰富，是对函数概念，性质，图像变换及函数应用的进一步深化,三角函数在物理学、天文学、地理学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具.本节之前学生学习了函数的概念，指数函数、对数函数、幂函数和任意角弧度制，本节之后还要接着研究三角函数的图像和性质，并应用性质解决一些简单的具有周期现象的实际问题。

而本节内容是研究三角函数图像和性质的基础。

因此本节内容具有承上启下的作用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在《数学1》中函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的扩张.引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射.教材中对任意角的三角函数有两种定义——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发, 以数学史的发展为主线，完成任意角的三角函数的建构过程.二、学生学情分析1、初中学习了函数的初步概念，研究了一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质，进入高中后从集合与对应的观点重新刻画了函数的概念，研究了指数函数、对数函数和幂函数的定义、图像和性质。

学生已具备了学习和研究一个新函数的知识基础和初步能力。

本节课之前的任意角和弧度制，学生已经知道了角的弧度数与实数一一对应，这为学生学习任意角的三角函数奠定了基础。

2、三角函数是“从角的集合到坐标分量的集合”的对应关系，所以学生对任意角三角函数对应关系的理解要比从前学过的特殊函数困难些，这是教学的一个难点，所以需要借助单位圆上的圆周运动以直观的几何方式给出定义，通过合理的设计问题串突破该难点。

高中数学 1.2.1《三角函数的定义》教案1 新人教B版必修4

正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割oo o xyxy x y 学习目标：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入任意角的三角函数定义教师提出问题：任意角的三角函数是如何定义的？温故知新，为新课引入埋下伏笔概念的形成1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x ,y ）则P与原点的距离2222>+=+=y x y x r ，xyr y r x ,,比值只与角的大小有关.2．三角函数是以“比值”为函数值的函数。

3．三角函数值的符号的讨论①正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；②余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．教师提出问题：我们发现xy r y r x ,,这三个比值中0>r 而x ,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定请同学们探讨一下三角函数值的符号是如何？问题2。

你能否归纳出更易记忆的规律？学生甲：记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.学生乙：ααcsc sin 为正全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正学生丙：教师点评：由学生讨论得出新的结论ry)(x,αP例1.确定下列三角函数值的符号 (1) cos260º (2))3sin(π-(3) tan(-672º20’) (4) )310tan(π例2.设sinθ<0且tanθ>0,确定θ是第几象限的角。

高中数学任意角的三角函数教案新人教B版必修4

必修四1.2 任意角的三角函数[课时目标]1．借助单位圆理解任意角的三角函数〔正弦、余弦、正切〕的定义及其定义域；2．会用三角函数线比较三角函数值的大小；3．理解并掌握各函数在各象限的符号；4．初步掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式，能利用公式进行求值化简；[教学重点]任意角三角函数概念，同角三角函数的基本关系式和诱导公式及其应用；[教学难点]三角函数线的运用，应用公式进行简单的求值化简；[教学内容]1．任意角的三角函数定义〔1〕直接运用：例1．角α的终边过点)1,3-(Q ，那么=αcos ＿＿，=αsin ＿＿，=αtan ＿＿；〔2〕结合三角函数在各象限的符号解题：例2．〔1〕角α的终边过点)0)(,(<a a a P ，那么αsin 的值为＿＿＿＿；〔2〕的值。

求且是终边上的一点，；上，且边在直线的顶点为坐标原点，终角n m OP n m P x y -=<=,10),(0sin 3αα2．三角函数在各象限的符号与三角函数线的运用例3．〔1〕点)tan cos (sin ααα，-P 在第一象限，那么在]20(π，内α的取值X 围是＿＿＿＿＿＿＿＿；〔2〕假设πα<<0，试利用三角函数线讨论αsin +αcos 值的变化规律。

3．同角三角函数的基本关系式及其运用〔1〕基本关系式运用例4．1sin sin 2=+θθ，求1sin 2cos cos 342+-+θθθ的值〔2〕定义法与基本关系式法均可使用例5．设2tan =α，且0sin <α，那么αcos 的值为＿＿；4．诱导公式及其运用例6．计算ππππ655tan 637cos )346sin()635tan(---例7．化简：Z n n n ∈-++--),414cos()414sin(απαπ。

5．创新、拓展例8．A 是三角形ABC 的一个内角，且tanA=－45，求sinA 和cosA例9．sin α和cos α是方程012632=+++k kx x 的两根，某某数k 的值。

数学人教B版必修4教案：1.2.1 三角函数的定义1 Word版含答案

一、教学目标
1.知识与技能目标
（1）理解并掌握任意角三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等；
（2）掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域；
（3）熟记三角函数在各象限的符号.
2.过程与方法目标
（1）培养学生应用图形分析数学问题的能力；
（2）通过对任意角三角函数的定义的探究，培养学生自主探究、合作交流的能力；
3.情感、态度与价值观目标
通过三角函数定义的学习，体会同一角的三角函数值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示我们在研究问题时，要在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑，从中体会三角函数，像一般实函数一样，体现了一般函数的抽象美。

二、教学重难点
重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的定义域，判定三角函数值的符号.
难点：任意角的三角函数的定义.
三、教学方法
在教学中以问题为核心，采取“导引体验式”教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，引导学生重新定义任意角的三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号．
【教学过程】。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.2.1 三角函数的定义》0

三角函数的定义教学设计兴城二高中武丹一、教学目标 1知识与技能（1）使学生理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解正割、余割、余切的定义。

（2）掌握三角函数的定义域。

（3）会判断三角函数在各象限的符号。

2、过程与方法经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验 3、情感态度与价值观（1）利用多媒体直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；（3）通过三角函数定义的学习，体会三角函数像一般函数一样，具有一般函数的抽象美。

二、教学重点、难点重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；难点：三角函数的定义域；判断三角函数值在各象限内的符号三、教学过程: （一）复习引入面对全体学生提问：在初中我们初步学习了锐角三角函数，锐角函数是怎样定义的？让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调：（二）引伸铺垫、创设情景1、提问：如何用坐标表示锐角三角函数呢？留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导设计意图：从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：把锐角α放在（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点⊥轴于M ，构造一个Rt ΔOMO =、对边MP=，斜边长|OP ∣=rin α=斜边对边=ry ，con α=斜边邻边=rx ，tan α=邻边对边=xy根据锐角三角函数定义用、、r 列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值 2、追问：P 点的位置改变，比值会改变吗？引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α确定的，不会随P 在终边上的移动而变化得出结论强调：当α为锐角时，三个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P 在终边上的移动而变化所以，三个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数设计意图：初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键这样做能够使学生有效地增强函数观念（三）新课讲授1、提问能将锐角的比值情形推广到任意角α吗对于一个任意角α，它的终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析）：终边分别在四个象限的情形：终边分别在四个半轴上的情形：（指出：不画出角的方向，表明角具有任意性）怎样刻画任意角的三角函数呢？研究它的六个比值：设α是一个任意角，在α终边上除原点外任意取一点P （，），P 与原点O 之间的距离记作r（图3）（图4）P,O· P,O· P,O · P,O ·（图5）（r=22y x +＞0），列出六个比值：r y r xxy2、追问：α大小发生变化时，比值会改变吗？先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画多媒体演示，再引导学生利用相似三角形知识，探索发现：对于任意角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P 在终边上的移动而变化综上得到（强调）：当角α变化时，三个比值随之变化；对于确定的角α，六个比值（如果存在的话）都不会随P 在角α终边上的改变而改变，三个比值是确定的因此，三个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数另外的三种三角函数：正割：1sec cos αα= 1csc sin αα= 1cot tan αα=指导学生识记六个比值及函数名称教师指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数，三角函数有非常丰富的知识和思想方法，我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法，对于余切、正割、余割，只要同学们了解它们的定义就够了（四）、探索定义域（1）函数概念的三要素是什么？函数三要素：定义域、值域、对应法则、引导学生自主探索：α的取值范围关于in α=/r 、co α=/r ，对于任意角α（弧度数），r ＞0，/r 、/r 恒有意义，定义域都是实数集R对于tan α=/，α= ππ/2 时=0，/无意义，tan α的定义域是：{α|α∈R ，且α≠ππ/2 } … … …教师指出: in α、co α、tan α的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cot α、cc α、ec α的定义域不要求记忆设计意图：定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握（五）符号判断、形象识记能判断三角函数值的正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r ＞0,三角函数值的符号决定于、值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：－－＋＋－＋－＋＋－－＋设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键（六）练习巩固、理解记忆例1：已知角α的终边经过点P（2，-3），求α的六个三角函数值要求：读完题目，思考：计算什么需要准备什么闭目心算，对照解答，模仿书面表达格式，巩固定义例2：求出下列各角的三个三角函数值0 π3 2π设计意图：及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终（七）回顾小结、建构网络要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：设计意图：遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力（八）布置作业教材17、18页A组和B组。