第四节 薄透镜 - 南开大学

=
=
而 当 p1 = p 2 ，得
n2 c1 γ 1 p1 ρ 2 = = ⋅ n1 c2 ρ1 γ 2 p 2
n2 γ 1ρ 2 = n1 γ 2 ρ1
式(2)代入式(1)，得
(2)
f '=
1 1 ⎞ ⎛ 1.4 × 0.18 ⎞⎛ 1 − 1⎟⎜ − ⎜ ⎟ ⎝ 1.67 × 1.29 ⎠⎝ 1.6 − 1.6 ⎠
s' =
sf ' ( −50) × 35 = = 117 cm s + f ' − 50 + 35
(2)将物象公式两边微分，得
ds ' ds = s '2 s 2
故
ds ' ⎛ s' ⎞ =⎜ ⎟ ds ⎝ s ⎠ β=
2
(1)
而 由图可知，
y' s' = y s
(2)
tgθ ' =
将式(1)、式(2)、代入式(3)，得
f '=
n2 n − n1 n2 − n + r1 r2
−1
n' ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ = ⎟ n − n' ⎜ ⎝ r1 r2 ⎠
1.33 ⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ − ⎟ (−0.33) ⎝ 20 − 25 ⎠ 1.33 100 =− × = −44.78cm 0.33 4 + 5 由此可见，笼统得称凸透镜是会聚透镜是不妥得，这句话只在周围介质得折 射率小于透镜得折射率时才正确。 3、理想气体中得声速 c、压强 p 和气体密度ρ之间得关系为
11、薄壁玻璃球充满水(n＝4／3)。观察者沿着该球的直径观察，见一小颗 粒在沿同一直径由远端向近端移动。求小颗粒象的位置如何改变。球直径 D＝10 厘米。 解：最初，象距直径上靠近观察者—端 l＝D/(2-n)＝15 厘米，与小颗粒在 同一侧。当颗粒沿着直径移动时，其象也向同一方向移动，并当颗粒移到直径的 近端时，其象与颗粒本身重合在一起。
n0 1.33 = = 64.25cm 1 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎛ 1 + ⎟ (n − n0 )⎜ ⎜r −r ⎟ ⎟ (1.56 − 1.33)⎜ 20 25 ⎠ ⎝ ⎝ 1 2 ⎠
由物象公式，得 1 1 1 1 1 = + = + s ' s f ' 64.25 (− 100)
s' =
故
Байду номын сангаас
64.25 ×100 = 180cm 100 − 64.25
y1 =
y 2 13.4 = = 10cm n 1.33
因此象点位于离水面 10cm 处。当水面下降时，所得到得象将向下移动。从 平面折射所满足得折射定律经定性分析后，即可得到该结论。 6、一双凸透镜得第一、第二折射面得曲率半径分别为 20cm 和 25cm。已知 它在空气中得焦距为 20cm。今将其置于如图所示的方玻璃水槽中，并在镜前水 中置一高为 1cm 得物，物距透镜 100cm。试求： (1)通过透镜所生成得象的位置、大小和虚实； (2)若用眼睛在玻璃槽外 E 处观察，该象得表观位置与槽壁的距离 l。已知 水的折射率 n＝1.33，其中 E 距透镜得光心 250cm。
解：透镜的焦距为
f '= − f =
n1 n1 = Φ Φ1 + Φ 2
=
n1 n 2 − n1 n1 − n 2 + r1 r2 n1 ⎛1 1⎞ (n 2 − n1 )⎜ ⎜r −r ⎟ ⎟ ⎝ 1 2 ⎠
1 ⎛ n2 ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎜ ⎜ n − 1⎟ ⎟⎜ ⎜r − r ⎟ ⎟ 1 2 ⎠ ⎝ ⎠⎝ 1 (1)
s' ' = O' P'+ P' O' '+50 = 70cm
9、图(a)所示，凸透镜 L1 与凹透镜 L2 同轴放置。 L1 的左侧的介质折射率为n，
L2 的右侧介质的折射率也是 n，两透镜之间介质的折射率为 n0 ，且 n< n 0 ； F1
是 L1 的物方焦点， F2 是 L2 的物方焦点， F2 ' 是 L2 的象方焦点。有一物点 P 位于
a ' O' =
面积为
2 × (60 − 50) 1 = cm 60 3
2
⎛1 ⎞ πr = π ⎜ ⎟ = 0 .35 cm 2 ⎝3⎠
2
当光屏移至对称位置 O' ' 时，再现与前相同形状和大小的受光面，即
O ' P ' = O ' ' P ' = s'− 50 = 10 cm
故第二次光屏所处的位置离开透镜的距离为
由于 n 0 > n ，故
θ 0 < θ1
又 故
n 0 sin θ 0 = n sin θ 1 θ 2 = θ1
(2)计算象点 P' 的位置为：
PF1 P' F2 ' = f1 f'
故
P' F2 ' =
f2 ' − 10 PF1 ' = × 2 = 1cm f1 ' − 20
10、物体位于凹面镜轴线上的焦点之外，在焦点与镜面之间放一个与轴线垂 直的表面平行的玻璃板，其厚度为 d，折射率为 n。试证明：放入该玻璃板使象 移动的距离，与把镜子向物体移动 d(n—1)／n 距离的效果一样。 解： （略）
故金属丝得象与主轴得夹角为
θ ' = arctg(−0.4273 ) = −23.2°
2、极薄得表玻璃两片，曲率半径分别为 20 及 25cm，沿其边缘胶合起来， 内含空气而成得凸透镜，将它置于水中，求其焦距。 解：将 n = 1 ， n ' = n1 = n2 = 1.33 ， r1 = 20cm ， r2 = −25cm 代入薄透镜得焦距 公式，得
n ⎞ f ': f 0 ' = (n − 1)⎛ ⎜ − 1⎟ ⎝ n' ⎠
故
f '=
n −1 n −1 f0 ' = n' f 0 ' n n − n ' −1 n'
将 n = 1.52 ， n ' = 1.33 ， f 0 ' = 5cm 代入上式，得
f '=
根据物象公式， 1 1 1 = + s' s f '
= −1.22m
4、一平行超声波束入射于水中的平凸有机玻璃透镜得平的一面，球面得曲 率半 径为 10cm ，试 求在 水 中 得 透镜 得 焦 距 。假 设 超 声 波在 水 中 得 速度 为
c1 = 1470m / s ，在有机玻璃中的速度为 c 2 = 2680m / s 。
解：当折射率为 n 2 的透镜处于折射率为 n1 的介质中，透镜的焦距为
l=
镜得焦距为 10cm。现有一平面镜 M 置于 y＝－2cm 处，x>0 的位置。眼睛从平面 镜反射得光中看到点光源 P 的象位于 P' ' 处（ P' ' 的坐标见图） ，试求： (1)点光源 P 点的位置； (2)运用作图法求 P 点的位置。
解：(1)如图(b)所示，已知 P' ' 是经过平面镜反射后所成象。由平面镜成像 的规律可知，与 P' ' 相应的物点 P' 应在(-10,8)处。同时 P' 应为所求发光点 P 所 发的光，经凸透镜折射后所成的象点，进一步按物象公式可求出点光源 P 点得坐 标。 、 设 s 、 s' 分别为物距和象距， f ' 为焦距，则 1 1 1 − = s' s f ' 即 s ' = −10cm ， f ' = 10cm 代入上式，得
P' ' 与 P' 的对称关系绘出 P' 点；连接 P' O ；连接 P' F ' ，与透镜相交于 C 点；过 C
点作 Ox 轴的平行线，与 P ' O 相交于 P 点。P 点即为点光源的位置，如图(c)所示 。 8、一薄凸透镜的孔径为 4cm，其焦距为 20cm。有一点光源 P 置于透镜左方 离镜 30cm 的轴上，在透镜右方离透镜 50cm 处置一光屏，以接受来自 P 发出而经 过透镜的光。光屏与镜轴垂直。光屏受光部分具有一定的形状和大小。现将光屏 移至另一位置，使受光部分的形状及其大小相同。试求此时光屏与透镜的距离。
12、若戴上前凸后凹的玻璃眼镜，观察远方明亮物体，通常除看到一殷的象 外还看到缩小甚多的正象。试解释这个现象。 解：最初，由眼睛角膜反射时，成缩小的正虚象，角膜起凸镜作用。当由玻 璃眼镜的凹表面反射时，它给出另一个我们所看到的象。
5、若一会聚透镜在空气中的焦距为 5cm，置于离水箱底端 40cm 处，水箱充 水至 60cm 高。试求水箱底面经这一系统的成像位置。 假设水面开始下降， 所得的象将向上还是向下移动？已知构成透镜材料的折 射率 n1 = 1.52 ，水的折射率 n 2 = 1.33
解：水中得透镜焦距 f ' 与空气中透镜的焦距 f 0 ' 之比为
解：(1)由空气中透镜的焦距公式
f0 ' =
1 ⎛1 1⎞ (n − 1)⎜ ⎜r − r ⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1
得
20 =
1 1 100 = ⋅ 1 ⎞ n −1 9 ⎛ 1 (n − 1)⎜ − ⎟ ⎝ 20 − 25 ⎠
故构成透镜材料得折射率为
n = 1 .56
按透镜在水中的焦距公式，得
f '=
第四节 薄透镜
1、将一短金属丝得中点置于焦距为 35cm 得会聚透镜得主轴上，离开透镜得 光心为 50cm 处。若金属丝与主轴得夹角为 45 ° ，试求： (1) 金属丝中点的成像位置； (2) 金属丝得象与主轴的夹角θ。
解：(1)由于沿主轴得物与垂直于主轴的物放大得规律是不同的。故金属丝 得象将会畸变，由物象公式，得 1 1 1 − = s' s f ' 故
−1
c= γ
p ρ
式中，γ为常数。该式表明声速如何随气体得压强和温度而改变。 一大直径的声波薄透镜是这样构成得： 两薄型料片紧固的圆形金属框架上充 以氦气。假定两个 球面得半径 均为 1.6m，试求声波透镜得 焦距。若空 气的
γ 1 = 1.41 ，氦的 γ 2 = 1.67 。空气和氦得密度分别为 1.29kg / m 3 和 0.18kg / m 3 。
s=
10 × (− 10) = −5cm 10 + 10
即点光源 P 的横坐标在 x＝－5cm 处。 因为 P' 的纵坐标为 y ' = 8cm ，设 P 点的纵坐标为 y，则由横向放大率公式， 可知
β=
y' s' − 10 = = =2 y s −5 y' 8 = = 4cm β 2
即
y=
所以点光源 P 点的坐标为(-5,4)。 (2)运用光路可逆性，作图也可求得 P 点的位置坐标。其方法如下：利用
解：根据高斯公式 1 1 1 − = s' s f '
s' =
f ' s 20 × (− 30 ) = = 60cm f '+ s 20 − 30
即象距为 60cm。在透镜的右方 50cm 处置一光屏，受光部分的形状和大小， 由图中的几何关系，得
a' O' s '−50 = aO s'
将 aO = 2 cm ， s' = 60 cm 代入上式，得
0.52 × 1.33 × 5 = 18.2cm 1.52 − 1.33
将 s = −40cm ， f ' = 18.2cm 代入上式，得
s' =
sf ' (− 40) × 18.2 = 33.39cm = s + f ' − 40 + 18.2
按象似深度和实际深度得关系，得
y 2 = y1 n
故
f '=
1 ⎛ n2 ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎜ ⎜ n − 1⎟ ⎟⎜ ⎜ − ⎟ ⎟ ⎝ 1 ⎠⎝ r1 r2 ⎠
式中 故
n2 c1 1470 = = 0.549 n1 c 2 1680 f '=
1 = −22.2cm − 0.451 × 0.1
它在超声医疗测试中，用以增加人体组织中传播得声强，而人体组织具有和 水相仿的密度。
y'= β y =
s' 180 y= × 1 = 1.80cm s − 100
即获得高为 1.80cm 的倒立的实像。
(2)根据象似深度公式
l=
l0 n0
式中， l 0 为经透镜所成的实像距槽壁的距离，故 250 − 180 = 52.6cm 1.33 7、如图(a)所示，薄凸透镜 L 的主轴与 x 轴重合，光心 O 为坐标原点。凸透
L1 的物方焦平面上。
(1)试绘出成像光路图，求出 P' 的位置； (2)若 L1 的物方焦距 f 1 = −20cm ， L2 的象方焦距 f 2 ' = −10cm ，物点 P 离光轴 的距离为 2cm，试求象点 P' 离光轴的距离。
解：(1)如图(b)所示，作图的根据为：
n sin θ 1 = n 0 sin θ 0
y' ds '
(3)
s' ⎞ 1 ⎛ s ⎞ y⎛s⎞ ⎛s⎞ tgθ ' = y ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = tgθ ⎜ ⎟ ds ⎝ s' ⎠ ⎝ s ⎠ ds ⎝ s ' ⎠ ⎝ s' ⎠
将 θ = 45° 和 s = −50cm 、 s' = 117 cm 代入式(4)，得
2
(4)
tgθ ' = −0.4273