2019-2020学年北京市昌平区九年级(上)期末数学试卷

合集下载

北京市昌平区215届九年级(上)期末考试数学试题(含答案)

A BCOA BCDEABCDy xP A OABCDO 2014-2015学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个正确 1．已知∠A 为锐角，且sin A ＝12，那么∠A 等于A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A ．等边三角形B ．等腰直角三角形;C ．正方形D ．正五边形 3．如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，那么∠BOC 的度数是 A ．150°B ．120°C ．90°D ．60°4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E ．若AD ＝1，DB ＝2，则△ADE 的面积与△ABC 的面积的比等于A ．12B ．14C ．18D ．195．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为A ．1B ．32C ．2D ．526．如图，点P 是第二象限内的一点，且在反比例函数ky x的图象上，PA ⊥x 轴于点A ， △PAO 的面积为3，则k 的值为A ．3B ．- 3C ． 6D ．-67．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C ．若AB =8，CD =2，则⊙O的半径长为A ．7B ．3C ．4D ．58．如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠B =60°，M 为AB 的中点．动点P 在菱形的边上从点B 出发，沿B →C →D 的方向运动，到达点D 时停止．连接MP ，设点P 运动的路程为x ，MP 2 ＝y ，则表示y 与x 的函数关系的图象大致为 PMD CB AC xy74Dxy74Axy 7447yxBPABCO二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标是．10．已知关于x 的一元二次方程220x x m --= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．11．如图，点P 是⊙O 的直径BA 的延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，若30P ∠=，PB =6，则PC 等于．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (3，0)，B (0，4)，记Rt △OAB 为三角形①，按图中所示的方法旋转三角形，依次得到三角形②，③，④，……，则三角形⑤的直角顶点的坐标为；三角形⑩的直角顶点的坐标为；第2015个三角形的直角顶点的坐标为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算 :23tan60sin 453tan 45cos60︒-︒-︒+︒．14．解方程:01322=+-x x ．①②③④BAOy x……15．已知△ABC 如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，得到△11A B C ．（1）在网格中画出△11A B C ；（2）直接写出点B 运动到点1B 所经过的路径的长．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象交于A (-1，4)，B (2，m )两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）直接写出不等式ax b +＜kx的解集．17．如图，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠D =90°，C 为线段BD 上一点，且AC ⊥CE ．AB =3，DE =2，BC =6．求CD 的长．BACCEADBxOy AB18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，DC=3， AC=3.（1）求∠B 的度数；（2）求AB 及BC 的长．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知抛物线22(21)y x m x m m =--+-．（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线33y x m =-+的一个交点在y 轴上，求m 的值．DCBA20．如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A、B两个探测点探测到地下C 处有金属回声．已知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的深度是多少米？21．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，经过B、D 两点的⊙O交AB于点E，交BC于点F，EB为⊙O的直径．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BC=2，cos∠ABC13时，求⊙O的半径．FDCBOEACBA45°30°22．已知，正方形ABCD 的边长为6，点E 为BC 的中点，点F 在AB 边上，且∠EDF ＝45°．（1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形；（2）猜想tan ∠ADF 的值，并写出求解过程．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知：如图，一次函数2+=x y 的图象与反比例函数ky x=的图象交于A 、B 两点，且点A 的坐标为（1，m ）．（1）求反比例函数ky x=的表达式；（2）点C （n ，1）在反比例函数ky x=的图象上，求△AOC 的面积；（3）在x 轴上找出点P ，使△ABP 是以AB 为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．AB CDCA Bxy O备用图CA Bxy O24.如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE = 90°，AB =AC ，AD =AE ．连接 BD 交AE 于M ,连接CE 交AB 于N ，BD 与CE 交点为F ，连接AF ．（1）如图1，求证：BD ⊥CE ；（2）如图1，求证：FA 是∠CFD 的平分线；（3）如图2，当AC =2，∠BCE =15°时，求CF 的长.FEDCBA图1NM图2ABCDEF MN25．如图，二次函数y=-x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点E 是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC 的面积最大时，求点E 的坐标，并求出四边形ABEC 的最大面积；（3）若点M 在抛物线上，且在y 轴的右侧．⊙ M 与y 轴相切，切点为D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与△AOC 相似，求点M 的坐标．备用图CBAyOxCBAyOx参考答案及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCBDCDDB二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 9 10 1112答案（2，1）m ＞-123841240284123605555（，）（，）（，）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式211322332+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯= …………………………4分 213213+--= 0=． ……………………………………5分14．解法一：∵ 2a =，3b =-，1c =，∴ .1124)3(2=⨯⨯--=∆ ……………………………………2分 ∴ 413±=x ． ……………………………………3分 ∴ 原方程的根为：1211.2x x ==， ……………………………………5分解法二： 21232-=-x x ． 16921169232+-=+-x x ． ………………………………………1分 161432=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ． ………………………………………2分4143±=-x ． ………………………………………3分 ∴ 11x =，212x =． ………………………………………5分解法三：()()0112=--x x ………………………………………2分 210x -=，或10x -=． ………………………………………3分∴ 11x =，212x =． ………………………………………5分15．解：（1）如图所示，△A 1B 1C 即为所求作的图形． ……………3分（2）1BB =2π． ……………………………5分16．解：（1）∵ 反比例函数ky x=经过A (-１，4)，B (2，m )两点， ∴ 可求得k =-4，m =-2． ∴ 反比例函数的解析式为 4y x=-． B (2，-2)． ……………………………………2分 ∵ 一次函数y ax b =+也经过A 、B 两点，∴ 422.a b a b =-+⎧⎨-=+⎩，解得 22.a b =-⎧⎨=⎩，∴ 一次函数的解析式为 22y x =-+． (3)分（2）如图，-1＜x ＜0，或x ＞2． ……………………………………5分 17．解：∵ 在△ABC 中，∠B =90º， ∴ ∠A +∠ACB = 90º． ∵ AC ⊥CE ，∴ ∠ACB +∠ECD =90º．∴ ∠A =∠ECD ． ……………………………………2分 ∵ 在△ABC 和△CDE 中， ∠A =∠ECD ，∠B =∠D =90º，∴ △ABC ∽△CDE ． ……………………………………3分 ∴DEBCCD AB =． ……………………………………4分 ∵ AB = 3，DE =2，BC =6，∴ CD =1． ……………………………………5分 18．解：（1）∵ 在△ACD 中，90C ∠=︒，CD =3，AC =3， ∴ 3tan 3CD DAC AC∠==．∴ ∠DAC =30º． ……………………………………1分2-1xOy ABCE ADB DCBA∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠BAC =2∠DAC =60º． ……………………………2分 ∴ ∠B =30º． …………………………………………3分 (2) ∵ 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B =30º，AC =3，∴ AB =2AC =6． ……………………………………4分 333tan 33AC BC B ===． ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19 （1）证明：∵ △=[]22(21)4()m m m ----…………………………………… 1分 =2244144m m m m -+-+ =1＞0，∴ 此抛物线与x 轴必有两个不同的交点． …………………… 2分（2）解：∵ 此抛物线与直线33y x m =-+的一个交点在y 轴上，∴ 233m m m -=-+． ………………………………… 3分 ∴ 2230m m +-=．∴ 13m =-，21m =． ………………………………… 5分 ∴ m 的值为3-或1．20．解：如图，作CD ⊥AB 于点D ．∴ ∠ADC =90°．∵ 探测线与地面的夹角分别是30°和45°， ∴ ∠DBC =45°，∠DAC =30°． ∵ 在Rt △DBC 中，∠DCB =45°， ∴ DB =DC ． ........................................ 2分 ∵ 在Rt △DAC 中，∠DAC =30°， ∴ AC=2CD ． ...................................... 3分 ∵ 在Rt △DAC 中，∠ADC =90°，AB =8， ∴ 由勾股定理，得 222AD CD AC +=．∴ 222(8)(2)CD CD CD ++=． ……………… 4分 ∴ 443CD =±．∵ 443CD =-不合题意，舍去． ∴ 443CD =+．D 30°45°AB C∴ 有金属回声的点C 的深度是(443+)米． ………………………………5分21（1）证明：如图，连结OD ．∴ OD OB =．∴ 12∠=∠． ∵ BD 平分ABC ∠, ∴ 13∠=∠．∴23∠=∠． …………………………．．1分 ∴ OD BC ∥．∴ 90ADO C ∠=∠=°． ∴ OD AC ⊥． ∵ OD 是⊙O 的半径，∴ AC 是⊙O 的切线． ……………………………………2分（2）解：在Rt △ACB 中，90C ∠=，BC =2 , cos ∠ABC 13=, ∴ 6cos BCAB ABC==∠． ……………………… 3分设O ⊙的半径为r ，则6AO r =-． ∵ OD BC ∥， ∴ AOD ABC △∽△． ∴OD AOBC AB=． ∴626r r-=．解得 32r =． ∴ O ⊙的半径为32． ………………………… 5分22．解：（1）如图1． ………………………… 1分（2）猜想tan ∠ADF 的值为13．……………………2分求解过程如下:如图2.321FDC BOE AFEDCBA 图1在BA 的延长线上截取AG=CE ,连接DG ． ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AD=CD=BC=AB=6,∠DAF=∠ABC=∠ADC=∠BCD = 90°． ∴ ∠GAD = 90°．∴ △AGD ≌ △CED ． ………………………………3分 ∴ ∠GDA=∠EDC ，GD=ED ，AG=CE ． ∵ ∠FDE =45°,∴ ∠ADF +∠EDC=45°． ∴ ∠ADF +∠GDA =45°． ∴ ∠GDF=∠EDF ． ∵ DF = DF ，∴ ∠GDF ≌∠EDF ． ……………………………… 4分 ∴ GF =EF ．设AF =x , 则FB=6-x , ∵ 点E 为BC 的中点, ∴ BE=EC=3． ∴ AG=3． ∴ FG=EF=3+x ．在Rt △BEF 中，∠B =90°，由勾股定理，得 222BF BE EF +=, ∴ 2223(6)(3)x x +-=+ ． ∴ x=2．∴ AF=2． ……………………………………………………………… 5分 ∴ 在Rt △ADF 中，tan ∠ADF =AF AD =13．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵点A （1，m ）在一次函数2+=x y 的图象上，∴ m=3．∴ 点A 的坐标为（1，3）． ………………1分 ∵点A （1，3）在反比例函数ky x=的图象上， ∴ k =3． ∴反比例函数ky x=的表达式为3y x =． ………………2分GA BCDEF图2（2）∵点C （n ，1）在反比例函数3y x=的图象上， ∴ n=3． ∴ C （3，1）． ∵ A (1,3），∴ S △AOC =4． ……………………………5分（3）所有符合条件的点P 的坐标：P 1(71--，0)，P 2(71-，0)． ……………7分24．（1）证明：如图1．∵ ∠BAC =∠DAE =90°，∠BAE =∠BAE ， ∴ ∠CAE =∠BAD ．在△CAE 和△BAD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ △CAE ≌△BAD ． …………………… 1分 ∴ ∠ACF=∠ABD ． ∵ ∠ANC=∠BNF ， ∴ ∠BFN =∠NAC =90°．∴ BD ⊥CE ． ……………………… 2分（2）证明：如图1’．作AG ⊥CE 于G ，AK ⊥BD 于K ．由（1）知 △CAE ≌△BAD ，∴ CE = BD ，S △CAE =S △BAD ． ………………… 3分 ∴ AG = AK ．∴ 点A 在∠CFD 的平分线上． ………… 4分即 FA 是∠CFD 的平分线．（3）如图2．∵ ∠BAC = 90°，AB =AC ， ∴ ∠ACB =∠ABC =45°．∵ ∠BCE =15°，∴ ∠ACN =∠ACB-∠BCE= 30°=∠FBN ．在Rt △ACN 中∵ ∠NAC = 90°，AC =2，∠ACN = 30°，NM F ED CBA图1MN 图1'ABCDEFKG图2ABCDE F MN∴ ,234333CN AN ==． …………………………………… 5分∵ AB=AC =2，∴ BN= 2-233． …………………………………… 6分在Rt △ACN 中∵ ∠BFN = 90°，∠FBN = 30°，∴ 13323NF BN -==．∴ 13CF CN NF =+=+． …………… 7分25．解：（1）∵ 二次函数y=-x 2+bx +c 的图象与x 轴相交于点A （﹣1，0），B （2，0），∴ 01,042.b c b c =--+⎧⎨=-++⎩解得 1,2.b c =⎧⎨=⎩∴ 二次函数的解析式为y = -x 2 +x +2． ………2分（2）如图1.∵二次函数的解析式为y =-x 2+x +2与y 轴相交于点C ， ∴ C (0，2)．设 E (a ,b )，且a >0,b >0． ∵ A （-1，0），B （2，0）， ∴ OA =1，OB =2，OC =2．则S 四边形ABEC = 11112(2)(2)222b a a b ⨯⨯++⋅+-⋅= 1a b ++∵ 点 E (a ,b )是第一象限的抛物线上的一个动点， ∴ b = -a 2 +a +2， ∴ S 四边形ABEC = - a 2+2a +3 = -（a -1）2+4∴ 当四边形ABEC 的面积最大时，点E 的坐标为（1,4），且四边形ABEC 的最大面积为4．………………5分图1CBAyO xEF（3）如图2.设M(m,n)，且m>0．∵点M在二次函数的图象上，∴n =-m2 +m +2．∵⊙M与y轴相切，切点为D，∴∠MDC =90°．∵以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴12CD OADM OC==，或2CD OCDM OA==．……6分①当n >2时，22-122m m m mm m+-+==,或．解得m1=0(舍去)，m2= 12，或m3=0(舍去)，m4=-1(舍去)．②同理可得，当n<2时，m1=0(舍去) ，m2=32，或m3=0（舍去），m4=3．综上，满足条件的点M的坐标为（12，94），（32，54），（3，-4）．……8分图2CBAyO xMD。

2023北京昌平区融合学区初三(上)数学期中试卷及答案

2023 - 2024学年第一学期昌平区融合学区（第一组）初三年级期中质量抽测数学试卷2023.10本试卷共7页，三道大题，28个小题，满分100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请交回答题卡。

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．．1. 已知=≠a b ab 34(0)，则下列比例式中正确的是（A ）=b a 34 （B ）=b a 43 （C ）=a b 34 （D ）=ba 342. 抛物线=-y x 22的顶点坐标是（A ）（0，2）（B ）（2，0）（C ）（0，-2）（D ）（-2，0） 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接DE 、AC 交于点F ，那么DF EF 的值为（A ）31 （B ）21（C ）32 （D ）16. 点-，P y 111，，P y 322，，P y 533，均在二次函数+2的图象上，则y 1，y 2，3的大小关系是（A ）>>y y y 123 （B ）>>y y y 312 （C ）=>y y y 123（D ） >=y y y 321ABCDEF7. 下列正方形方格中四个三角形中，与图1中的三角形相似的是（A）（B）（C）（D）8.如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，Q同时从点A出发，速度均为2cm/s，若点P沿--A D C向点C 运动，点Q沿--A B C向点C运动，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象（A）（B）（C）（D）二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9.如图，直线∥∥l l l123，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，若DE=3，=EF6，AB=4，则线段BC=___________.10. 请写出一个开口向下，对称轴为直线=x3的抛物线的解析式．11. 二次函数=++y x bx c2图象经过点A（0，3），B（2，3），则其对称轴为直线．9题图12题图13题图13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E．若AC=4，AB=5，AD=3，则AE=____．图114题图15题图16题图三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）17. 如图，已知四边形ABCD∽四边形A’B’C’D’.y12'19. 如图，∠=︒MAN 30，点B 、C 分别在AM 、AN 上，且∠=︒ABC 40．（1）尺规作图：作∠CBM 的角平分线BD ，BD 与AN 相交于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求证：△ABC ∽△ADB ．21.已知二次函数=+++-y x m x m 21122)(的图象与x 轴有两个交点．（1）求m 的取值范围；（2）写出一个符合条件的m 的值，并求出此时图象与x 轴的交点坐标.ANMBC23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，CA=CD，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E．AB，恰好使得观测点E，直届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m ，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度近似满足函数关系=-+y a x (3) 4.252，若投篮成功，26.在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m ）和（2，n ）在抛物线=-+y x bx 2上．（1）若m ＝0，求该抛物线的对称轴；（2）若mn ＜0，设抛物线的对称轴为直线=x t ，①直接写出t 的取值范围； ②已知点（－1，y 1），（23，y 2），（3，y 3）在该抛物线上．比较y 1，y 2，y 3的大小，并说明理由．28.如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．2023 - 2024学年第一学期昌平区融合学区（第一组）初三年级期中质量抽测数学试卷参考答案及评分标准2023.10一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）18. 解：（1）=+-y x x 232=++-x x (21)42=+-x (1)42所以顶点坐标为（-1，-4）. ……………………………………………………………………2分（2）………………………………………………………4分（3）当<-x 1时，y 随着x 的增大而减小 . ………………………………………5分19. 解：（1）.……………………………………………1分（2）证明：∵∠=︒MAN 30，∠=︒ABC 40∴∠ACB=110° ∵∠=︒ABC 40 ∴∠CBM=140°.∵BD 是∠CBM 的角平分线， ∴∠CBD=21∠CBM=70°. …………………………………………………………………3分 ∴∠ABD=110°.∴∠ACB=∠ABD . …………………………………………………………………………4分 ∵∠A=∠A∴△ABC ∽△ADB ． .…………………………………………………………………………5分20. 解：（1）x =1； .…………………………………………………………………………………………1分（2）m =8，n =3； ……………………………………………………………………………………3分（3）=x 01，=x 21. ………………………………………………………………………………5分 21. 解：（1）∵图象与x 轴有两个交点∴->b ac 402. …………………………………………………………………………1分 ∵-=+--=+b ac m m m 4(21)4(1)45222∴+>m 450>-m 45…………………………………………………………………………3分（2）取m =1，则二次函数为=+y x x 32.令y =0，则+=x x 302，解得=x 01，=-x 32.此时图象与x 轴交点坐标为（0，0）和（-3，0）. ………………………………………………5分A22.解：（1）设抛物线表达式为=++≠y ax bx c a (0)2. ∵与y 轴交于点C （0，2），∴c =2． …………………………………………………………………………………1分将点A （-4，0），B （2，0）代入可得⎩++=⎨⎧-+=a b a b 422016420解得=-a 41，=-b 21…………………………………………………………………2分 ∴抛物线表达式为=--+y x x 42 2.112 .……………………………………………3分（2）≤-x n 3或≥x n 1. …………………………………………………………………5分23.（1）证明：∵BE ⊥CD ， ∠ACB =90°，∴∠ABC=∠E. …………………………………………………………………………1分 ∵CA=CD ∴∠A=∠ADC . ∵∠ADC=∠BDE ，∴∠A=∠BDE . . ………………………………………………………………………2分 ∴△ABC ∽△DBE . .………………………………………………………………………3分（2）解：∵在Rt △BCE 中，BE =3，BC =5，∴CE =4. .……………………………………………………………………………………4分 ∵△ABC ∽△DBE . ∴=BE DEBC AC设AC =x ， AC=CD=x. 则DE =4-x ，∴-=x x 345 ……………………………………………………………………………5分 ∴=x 25∴AC =25. . …………………………………………………………………………………6分24.解：∵AC ⊥EF ，NF ⊥EF∴△EAC ∽△ENF . …………………………………………………………………………………2分 ∴=EF NFEC AC…………………………………………………………………………………3分由题可知AB=5.5m ，BM=CF=15m ， DB =EC =5m ，DE =BC =MF =1.5m.∴AC =4m ，EF =20m. …………………………………………………………………………………4分∴=NF2054,解得=NF 16. ………………………………………………………………5分 ∴MN =17.5m ， …………………………………………………………………………………6分25.（1）①…………………………………………………………………1分② 3.8m ； …………………………………………………………………………………………2分 ③ 是，理由如下：……………………………………………………………………………………3分由题可知，抛物线的对称轴为直线x=3，又∵抛物线过（1，3）， ∴抛物线必过（5，3）.∵篮筐中心距离地面的竖直高度是3m ，∴韩旭距篮筐中心的水平距离5m ，第一次投篮练习可以成功 ……………………………5分（2） d >5. ……………………………………………………………………………………………6分 26. 解：（1）∵点（1，m ）在抛物线=-+y x bx 2上，m ＝0，∴-+=b 10．∴=b 1． …………………………………………………………………………..1分 ∴该抛物线的对称轴为=x 21． ………………………………………………………………..2分（2）①<<t 2 1.1………………………………………………………………………………………..4分 ②<<y y y 312．理由如下：由题意可知，抛物线过原点．设抛物线与x 轴另一交点的横坐标为x ´． ∵抛物线经过点(1，m )，(2，n )，mn ＜0 ∴1＜x ´＜2． ∴<<t 211．x设点（－1，y 1）关于抛物线的对称轴=x t 的对称点为x y (,)01． ∵点（－1，y 1）在抛物线上， ∴点x y (,)01也在抛物线上．由-=--x t t (1)0 得=+x t 210． ∵<<t 211， ∴1＜2t ＜2． ∴2＜2t ＋1＜3． ∴<<x 230．由题意可知，抛物线开口向下． ∴当>x t 时，y 随x 的增大而减小. ∵点（23，y 2），x y (,)01，（3，y 3）在抛物线上，且<<<t x 2330， ∴<<y y y 312 ……………………………………………………………………………..6分27. 解：（1）补全图1………………………………………………………..1分（2）证明：∵△ABC 是等边三角形.∴∠B=∠C=60° ∵∠MPN =60°∴∠BPN+∠CPM=120° ∵∠BPN+∠BNP=120° ∴∠BNP=∠CPM∴△BNP ∽△CPM ………………………………………………………………………..2分BC在线段AB 2x.P图1P图2把点B 坐标代入得到2. …………………………………………………5分（3）=-m 21，=n 4. ……………………………………………………………………………..7分。

【教育资料】全国名校九年级上期末(数学)试题汇总学习专用

全国名校2019届九年级上期末（数学）试题汇总全国名校2019届九年级上期末（数学）试题汇总地区导航上海市河北省辽宁省吉林省黑龙江安徽省山东省河南省湖南省广东省陕西省甘肃省广西省浙江省四川省江西省天津市贵州省山西省湖北省江苏省青海省新疆宁夏内蒙古云南省福建省北京市重庆陆续更新中...省份名校试题点击上海市上海市长宁区2019年中考一模（即期末）数学试题上海市虹口区2019年中考一模（即期末）数学试题上海市宝山区2019年中考一模（即期末）数学试题上海市黄浦区2019年中考一模（即期末）数学试题上海市闸北区2019年中考一模（即期末）数学试题上海市徐汇区2019年中考一模（即期末）数学试题上海市（浦东、闵行、静安、杨浦、松江、青浦）2019年中考一模（即期末）数学试题上海市普陀区2019届九年级上学期质量调研数学试题上海市奉贤区2019年中考一模（即期末）数学试题上海市崇明县2019年中考一模（即期末）数学试题北京市北京市朝阳区2019届九年级上学期期末统考数学试题北京市延庆县2019届九年级上学期期末考试数学试题北京市燕山地区2019届九年级上学期期末考试数学试题北京市顺义区2019届九年级上学期期末考试数学试题北京市平谷区2019届九年级上学期期末考试数学试题北京市密云县2019届九年级上学期期末考试数学试题北京市大兴区2019届九年级上学期期末考试数学试题. 北京市昌平区2019届九年级上学期期末考试数学试题北京市东城区2019届九年级上学期期末考试数学试题北京市西城区2019届九年级上学期期末考试数学试题北京市通州区2019届九年级上学期期末考试数学试卷北京市怀柔区2019届九年级上学期期末考试数学试题北京市石景山区2019届九年级上学期期末考试数学试题. 北京市海淀区2019-2019学年初三第一学期期末练习数学试题北京市门头沟2019届九年级上学期期末考试数学试题北京市丰台区2019届九年级上学期期末练习数学试题北京市房山区2019届九年级上学期期末考试数学试题. 河北省河北省唐山市滦南县2019届九年级上学期期末考试数学河北省栾城县2019届九年级上学期期末考试数学试题河北省保定市2019届九年级上学期期末调研考试数学河北省大城县臧屯三中2019届九年级上学期期末考试数学河北省邯郸市涉县索堡中学2019届九年级上学期期末河北省邢台市2019届九年级期末联考数学试题及答案辽宁省辽宁省营口市2019届九年级上学期期末考试数学试题辽宁省鞍山市2019届九年级上学期期末考试数学试题吉林省黑龙江黑龙江伊春区2019届九年级上学期期末检测数学试题黑龙江省哈尔滨市香坊区2019-2019学年度九年级上学期期末黑龙江省克东县2019届九年级上学期期末考试数学试题安徽省安徽省安庆市2019-2019学年九年级上学期期末数学试题安徽省淮南市2019届九年级上学期期末教学质量检测数学安徽省芜湖市滨河学校2019-2019学年上学期九年级期末数学安徽省淮南市潘集区2019届九年级上学期期末联考数学试题山东省山东省临沂开发区2019届九年级上学期期末学业水平质量调研数学试题山东省济南市济阳县2019届九年级上学期期末考试数学山东省临清市2019-2019学年九年级上学期期末考试数学山东省定陶县2019届九年级上学期期末学业水平测试数学山东省新泰市2019届九年级上学期期末考试数学试题山东省五莲县2019届九年级上学期期末考试数学试题山东省胶州市第十九中学2019届九年级上期末考试数学试题泰州市海陵区2019-2019学年第一学期期末调研测试九年级山东省泰安高新区第一中学2019-2019学年上学期九年级期末模拟试题数学山东省定陶县2019届九年级上学期期末学业水平测试数学河南省河南省周口市沈丘县李老庄乡中学2019年秋季九年级期末河南省周口市川汇区18中2019届九年级上期末考试数学河南省扶沟县2019届九年级上学期期末考试数学试题河南省郑州市2019届九年级上学期期末考试数学河南省孟津县2019届九年级上学期期末考试数学试题湖南省湖南省株洲市天元区2019届九年级上学期期末考试数学试题湖南省娄底市新化县2019届九年级上学期期末质量检测数学广东省广东省深圳市宝安区2019届九年级上学期期末考试数学试题广东省广州市越秀区2019届九年级上学期期末考试数学试题广东省广州市天河区2019届九年级上学期末考试数学试题广东省广州市海珠区2019届九年级上学期期末考试数学试题广东省东莞市2019-2019学年九年级上学期期末考试数学试题广东省深圳市南山区2019届初三上学期期末统考题数学陕西省陕西省榆林实验中学2019届九年级上学期期末考试数学甘肃省广西省广西岑溪市2019届九年级上学期期末考试数学试题广西北流市2019届九年级上学期期末考试数学试题浙江省浙江省温中实验学校2019届九年级下学期第一次模拟数学浙江省宁波市海曙、江北、高新区2019届九年级上期末数学浙江省杭州市江干区2019届九年级上学期期末数学试题浙江省绍兴地区2019-2019学年九年级第一学期期末模拟数学浙江省余姚市兰江中学2019届九年级上学期期末数学试题四川省四川省中江县初中2019届九年级“一诊”考试数学试卷四川省内江市2019—2019学年度第一学期期末考试初中九年级数学试题四川省阆中市2019届九年级上学期期末质量监测数学试题四川省遂宁市2019届九年级上学期期末教学水平监测数学四川省宜宾市2019年九年级上期教学质量检测数学四川省望子成龙学校2019届九年级上学期期末考试数学试题四川省巴中市通江中学2019年秋九年级上期末考试题数学四川省乐至县2019-2019学年九年级上学期期末质量检测数学江西省江西省吉安市万安县2019-2019学年度上学期期末质量抽测江西省景德镇市2019届九年级上学期第一次质检数学试题江西省宜春市2019届九年级上学期期末考试数学试题江西省抚州市2019届九年级上学期期末考试数学试题江西省2019届九年级上学期第五次大联考（期末）数学贵州省天津市天津市五区县2019届九年级上学期期末考试数学试题山西省山西省农业大学附属中学2019届九年级上期末数学试题江苏省江苏省常州市2019届九年级上学期期末考试数学试题江苏省盐城市第一中学教育集团2019届九年级上学期期末江苏省南京市江宁区2019届九年级上学期期末考试数学试题江苏省无锡市宜兴市2019届九年级上学期期末考试数学试题江苏省无锡市石塘湾中学2019届九年级上学期期末考试数学江苏省无锡市南菁中学2019届九年级上学期期末考试数学江苏省无锡市南长区2019届九年级上学期期末考试数学试题江苏省无锡市惠山北片2019届九年级上学期期末考试数学江苏省无锡市崇安区2019届九年级上学期期末考试数学. 江苏省靖江市2019届九年级上学期期末考试数学试题江苏省江阴市山观中学2019届九年级上学期期末考试数学江苏省江阴市青阳片2019届九年级上学期期末考试数学试题江苏省江阴市华士片2019届九年级上学期期末考试数学江苏省江阴市顾山2019届九年级上学期期末考试数学试题江苏省盐城市盐都区2019届九年级上学期期末统考数学2019年江苏省东海县九年级第一学期期末试卷江苏省盐城市东台市2019-2019学年初三上学期期末考试数学江苏省兴化市2019届九年级上学期期末调研考试数学试题江苏省江阴市2019届九年级上学期期末考试数学试题湖北省湖北省黄冈市浠水县2019届九年级上学期期末调研考试数学湖北省鄂州市2019届九年级数学试卷上学期期末考试数学湖北省宜昌市2019届九年级上学期期末调研考试数学试题湖北省沙洋县2019-2019学年九年级上学期期末考试数学湖北省大冶市2019届九年级上学期期末考试数学试题湖北省宜城市2019届九年级上学期期末水平测试数学试题湖北省利川市2019-2019年度九年级第一学期期末调研考试青海省新疆宁夏内蒙古内蒙古满洲里市2019届九年级上学期期末考试数学试题云南省福建省福建省晋江市2019年秋季九年级期末跟踪测试数学试卷福建省建阳市2019-2019上学期期末水平测试九年级数学福建省福州市2019届九年级第一学期期末质检数学试卷重庆市教育资源重庆市永川区2019届九年级上学期期末检测数学试题教育资源。

昌平区2010—2011学年初三期末数学试卷及答案

昌平区2010—2011学年第一学期初三年级期末考试数学试卷 2011．1下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．已知1cos 2=A ，则锐角A 的度数是A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒ 2．抛物线21y x =-的顶点坐标是 A ．(01)，B ．(01)-，C ．(10)，D ．(10)-，3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若40BOC ∠=，则∠C 的度数等于A ．20B ．40C ．60D ．804．在△ABC 中，∠C =90°，cos A=53，那么tan B 的值等于A ．35B . 45C . 34D . 435．两个圆的半径分别是2cm 和7cm ，圆心距是5cm ，则这两个圆的位置关系是 A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切6．如图，在ABC △中，DE BC ∥，且3AE =，5,EC =6DE =，则BC 等于Ａ．10 Ｂ．16 Ｃ．12Ｄ．1857．如图所示，直线l 与半径为5 cm 的⊙O 相交于A 、B 两点，且与半径OC 垂直，垂足为H ，AB =8 cm ，若要使直线l 与⊙O 相切，则l 应沿OC 方向向下平移A ． 1cmB ．2cmC ． 3 cmD ．4cm8．如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回.点P 在运动过程中速度始终保持不变，则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为第5题图AEABCD l二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．如图，已知P A ，PB 分别切⊙O 于点A 、B ，60P ∠=，8PA =那么弦AB 的长是．10．圆锥的母线长为3，底面半径为2，则它的侧面积为．11．将一副直角三角板（含45角的直角三角板ABC 及含30角的直角三角板DCB ）按图示方式叠放，斜边交点为O ，则△AOB 与△COD 的面积之比等于．12．如图，以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点E ，交AD 边于点F ，则FEEC= ．三、解答题（共10道小题，共50分）13．（4分）计算：1230tan 345sin 2-︒+︒14．（4分）已知: 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上一点，且∠AED =∠B .若AE =5，AB = 9，CB =6 ，求ED 的长.15. （5分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =120°，AB =AC =4，求⊙O 的直径.AB C E DA DBCO16.．．．（．6．分）．．已知二次函数．．．．．．2y x 2x 3=--.．（1）用配方法把该函数化为k h x a y +-=2)(的形式，并写出抛物线223y x x =--的对称轴和顶点坐标；（2）在直角坐标系中，直接画出抛物线223y x x =--.（注意：关键点要准确，不必写出画图象的过程.）（3）根据图象回答：①x 取什么值时，抛物线在x②x 取什么值时，y 的值随x17．（5分）如图，在ABC △中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，14BC =，12AD =，4sin 5B =．（1）求线段DC 的长；（2）求ta n ∠EDC 的值．ABCDE18. （5分）如图，M 为线段AB 上的点，AE 与BD 交于点C ， ∠DME ＝∠A ＝∠B ，且MD 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）写出图中三对相似三角形；（2）选择（1）中的一个结论进行证明．19．（5分）已知：如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠= ，4AC =，BC =，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，点E 是BC 的中点， OB ，DE 相交于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求EF ：FD 的值．20．（5分）小明利用所学的数学知识测量生活中一建筑物的高．他从自家楼房顶C 处，测得对面直立的建筑物AB 的顶端A 的仰角为45，底端B 的俯角为30，已量得21DB =米．（1）在原图中画出从点C 看点A 时的仰角及看点B 时的俯角，并分别标出它们的大小；（2）请你帮助小明求出建筑物AB 的高．21．（5分）已知抛物线C 1：221)1y mx m x m =++++（，其中m ≠0．（1）求证：m 为任意非零实数时，抛物线C 1与x 轴总有两个不同的交点；（2）求抛物线C 1与x 轴的两个交点的坐标（用含m 的代数式表示）；（3）将抛物线C 1沿x 轴正方向平移一个单位长度得到抛物线C 2，则无论m 取任何非零实数，C 2都经过同一个定点，直接写出这个定点的坐标．BM FG DECABB注：答题卡上的直角坐标系为备用．22. （6分）已知⊙O，半径为6米，⊙O外一点P，到圆心O的距离为10米，作射线PM，PN，使PM经过圆心O，PN与⊙O相切，切点为H．（1）根据上述条件，画出示意图；（2）求PH的长；（3）有两动点A，B，同时从点P出发，点A以5米/秒的速度沿射线PM方向运动，点B 以4米/秒的速度沿射线PN方向运动．设运动的时间为t（秒）．当t为何值时，直线AB与⊙O相切？四、解答题（共3道小题，共22分）23.（7分）一家计算机专买店A型计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只⨯-=（元），因此，所买的全部20只计算器都按每只计算器，于是每只降价0.10(2010)119元的价格购买．但是最低价为每只16元．（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出专买店当一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）一天，甲买了46只，乙买了50只，店主却发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只16元至少提高到多少？24．（8分）已知正方形ABCD ，边长为3，对角线AC ，BD 交点O ,直角MPN 绕顶点P 旋转，角的两边分别与线段AB ,AD 交于点M ，N （不与点B ，A ，D 重合）．设DN =x ，四边形AMPN 的面积为y ．在下面情况下，y 随x 的变化而变化吗？若不变，请求出面积y 的值；若变化，请求出y 与x 的关系式．（1）如图1，点P 与点O 重合；（2）如图2，点P 在正方形的对角线AC 上，且AP =2PC ；（3）如图3，点P 在正方形的对角线BD 上，且DP =2PB ．25.（7分）已知，抛物线22y ax bx =+-与x 轴的两个交点分别为A （1,0），B （4，0），与y 轴的交点为C ．（1）求出抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点P 是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OCB 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1（P ）N DM OC B A 图2PA B C O MD N 图3P A B C OM D N昌平区2010—2011学年初三年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准 2011．1一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共10道小题，共50分） 13．(4分)解：原式=32333222-⨯+⨯………………………………3分 =1-3 ………………………………4分 14．（4分）解：∵∠AED =∠ABC ，∠A =∠A ，∴△AED ∽△ABC . ………………………………2分∴BCDEAB AE =. ………………………………3分 ∵AE =5，AB = 9，CB =6,∴695DE =, ∴.310=DE ………………………………4分15. （5分）解：连结OA ，OB .∵∠BAC =120°，AB =AC =4,∴∠CBA =∠C =30°． ………………………………2分 ∴ ∠O =60° ………………………………3分 ∵OB =OA ,∴△OAB 是等边三角形． ………………………………4分 ∴OB =OA =4.则⊙O 的直径是8. ………………………………5分A BCED16. （6分）解：（1）y =x 2-2x -3 = x 2-2x +1-4=(x -1)2-4 ……………………………… 1分 ∴抛物线-2-32y =x x 的对称轴是x =1，顶点坐标是（1，-4）. ……………………………… 3分（2）如图. ……………………………… 4分（3）① x < -1或x >3； ……………………………… 5分② x ≤1. ……………………………… 6分 17．（5分）解：（1）在Rt BDA △中，90BDA = ∠，12AD =，4sin 5AD B AB ==， 15AB ∴=． ……………………………1分229B D ∴=． 1495D C B CB D ∴=-=-=． ……………………………2分（2）在Rt ADC △中，90ADC =∠，512tan ==DC AD C ． ……………………………3分DE 是斜边AC 上的中线，12DE AC EC ∴==．E D C C ∴=∠∠． ……………………………4分∴ta n ∠EDC=512tan =C ． ……………………………5分18．（5分）（1）答：图中三对相似三角形是：△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM …………………………3分（2）证明△AMF ∽△BGM ．证明：∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ，∠BMG ＝∠A ＋∠E ，又∵∠DME =∠A ，∴∠AFM ＝∠BMG ． …………………………………4分 ∵∠A ＝∠B ，∴△AMF ∽△BGM ． …………………………………5分BMFG DECAB CE A19．（5分）（1）证明：连结CD （如图）， …………………… 1分 ∵AC 是⊙O 的直径，∴90ADC BDC ∠=∠=．E 是BC 的中点，DE BE EC ∴==．∴DBE BDE ∠=∠OA OD = ，ADO A ∴∠=∠． 90DBE A ∠+∠= ，90BDE ADO ∴∠+∠= ． 90EDO ∴∠= ．即OD DE ⊥．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线 . ……………………………………………………………… 3分（2）解：连结OE ．∵E 是BC 的中点，O 是AC 的中点， ∴OE ∥AB ，OE =12AB . ∴△OEF ∽△BDF .在Rt ABC △中，AC = 4，BC = 根据勾股定理，得 AB = 8， ∴OE = 4， ∵sin ∠ABC =4182AC AB ==， ∴∠ABC =30°． ∴∠A =60°．∴ AOD △是边长为2的等边三角形． ∴ 2AD =，BD = AB -AD =6．∴ EF ：FD = OE ：BD = 4：6 = 2：3 ． (5)分 20．（5分）（1）如图． ………………………………………… 1分（2）据题意，得四边形CDBG 是矩形，CG =DB =21． …………… 2分在Rt CG △A 中，∠AGC =90°，45ACG = ∠．21AG CG ∴==． ………………………………………… 3分在Rt BCG △中，∠BGC=90°，A BC DG 45°30°∴tan 30213BG CG =⋅=⨯=…………………4分 ∴ 建筑物的高AB =（21+37）米． ……………………… 5分 21. （5分）()222214214(1)44144b ac m m m m m m m-=+-+=++-- （）证明：10=>，∴一元二次方程mx 2+(2m +1)x +m +1=0有两个不相等的实数根．即：m 取任意非零实数，抛物线C 1与x 轴总有两个不同的交点． ……………… 2分（2）解：∵ mx 2+(2m +1)x +m +1=0的两个解分别为：x 1=－1，x 2=－mm 1+， ∴A (－1，0),B (－mm 1+，0) ． ……………………………… 4分 (3) 解：∵抛物线C 1与x 轴的一个交点的坐标为A (－1，0),∴将抛物线C 1沿x 轴正方向平移一个单位长度得到抛物线C 2与x 轴交点坐标为（0，0）, 即无论m 取任何非零实数，C 2必经过定点（0，0）． ………………… 5分 22．（6分）（1）如图． …………………………………… 1分（2）连结OH ．∵PN 与⊙O 相切，切点为H ，∴OH ⊥PN ．∴∠PHO =90°．在Rt △PHO 中，PO =10，OH =6，根据勾股定理，得8PH =． ………………… 3分（3）画图． …………………………………………… 4分分两种情况，如图所示．①当点A 在点O 左边时，直线A 1B 1切⊙O 于M 1．连结O M 1，则∠OM 1 B 1= 90°．在△PB 1A 1和△PHO 中，1482PB t t PH ==，15102PA t tPO ==． ∴11PB PA PH PO=．又∠P =∠P ，∴△PB 1A 1∽△PHO ．∴∠PB 1A 1=∠PHO =90°． ∴∠HB 1M 1= 90°．∴四边形B 1M 1OH 为矩形， ∴B 1H =M 1O ．MM∴8-4t = 6．∴t = 0.5． ………………… 5分②当点A 在点O 右边时．同理，得 t = 3.5． ………………… 6分即当t 为0.5秒或3.5秒时，直线AB 与⊙O 相切．四、解答题（共3道小题，共22分）23.（ 7分）解：（1）设一次购买x 只，则20－0.1(10)x -=16，解得50x =．∴一次至少买50只，才能以最低价购买． …………………2分（2）当1050x <≤时，2[200.1(10)12]0.19y x x x x =---=-+ …………… 4分当50x >时，(y x x =-=． ……………………………………5分（3）220.190.1(45)202.5y x x x =-+=--+．① 当10＜x ≤45时，y 随x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．② 当45＜x ≤50时，y 随x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．且当46x =时，y 1=202.4，当50x =时，y 2=200． ………………………………………………6分y 1＞y 2．即出现了卖46只赚的钱比卖50只嫌的钱多的现象．当45x =时，最低售价为200.1(4510)16.5--=（元）．∴为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只16元至少提高到16.5元 . …………………………………………………………7分24．（ 8分）解：（1）当x 变化时，y 不变．如图1，94AFOE AMON y S S ===正方形四边形． ……………………………………… 2分F E A B C O M DN （P ）图1图2P A B C O M D N F E 图3P A B C O M D N E F（2）当x 变化时，y 不变．如图2，作OE ⊥AD 于E ，OF ⊥AB 于F ． ……………………………………… 3分 ∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠BAD =90°，AC 平分∠BAD ．。

2019-2020学年北京市昌平区高一(上)期末数学试卷及答案

2019-2020学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2}C．∁U A＝{3，4，5}D．∁U B＝{4，5，6} 2．（5分）已知二次不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．（5分）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．4．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，3），则|﹣|＝（）A．1B．C．D．55．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．log2a＜log2b6．（5分）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+x+1有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）9．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量E（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为E1，E2，则的值为（）A．10﹣0.6B．10﹣0.4C．100.4D．100.6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，￢p为．12．（5分）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）的图象经过点（4，2），则f（x）＝．13．（5分）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的25%分位数为；设甲、乙两组成的方差分别为s甲2，s乙2，那么s甲2 s乙2．（填“＞”或“＜”或“＝”）14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝．15．（5分）已知函数，则f（0）＝；能说明“方程f （x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的一个值为．16．（5分）若函数f（x）满足下面三个条件：①f（x）在其定义域上图象不间断；②f（x）是偶函数；③f（x）恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）某校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从2000名高一学生中随机抽取100名学生，收集了他们周平均锻炼时间（单位：小时），将数据按照[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数；（Ⅲ）假设同组中的每个数据可用该区间的中点值代替，试估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在哪一个区间．（只需写出结论）18．（14分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．19．（14分）为了解甲、乙两名运动员的射击成绩，从两人近一年的射击成绩中各随机抽取一个容量为20的样本，经过处理，得到两人击中环数的频数如图所示．（Ⅰ）试估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率；（Ⅱ）从上述两个样本中各随机抽取一次，求甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．20．（14分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（m为常数）．已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元）．记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和．（Ⅰ）写出F（x）的解析式；（Ⅱ）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？21．（14分）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．2019-2020学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2}C．∁U A＝{3，4，5}D．∁U B＝{4，5，6}【分析】直接根据交并补的定义即可求出．【解答】解：集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∪B＝{0，1，2，3}，A∩B＝{1，2}，∁U A＝{3，4，5，6}，∁U B＝{0，4，5，6}，故选：B．【点评】本题考查了集合的交并补的运算，属于基础题．2．（5分）已知二次不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先分解因式，解出不等式即可求解结论．【解答】解：因为x2﹣2x﹣3≤0⇒（x﹣3）（x+1）≤0⇒﹣1≤x≤3；故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了因式分解的应用问题，是基础题目．3．（5分）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．【分析】由已知结合指数与对数的运算性质及对数的换底公式分别检验各选项即可．【解答】解：根据指数的运算性质可知，π2•π3＝π5，A错误；根据分数指数幂可知，＝，B错误；由对数的运算性质可得，lg2+lg5＝lg10＝1，C正确；由对数的换底公式可得，＝log36≠ln2，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查指数与对数的运算性质，对数的换底公式的简单应用，属于基础试题．4．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，3），则|﹣|＝（）A．1B．C．D．5【分析】根据向量的坐标即可求出的坐标，进而求出的值．【解答】解：∵，∴．故选：D．【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．log2a＜log2b【分析】直接利用不等式的性质求出结果．【解答】解：对于A，D：当a＜b＜0时，不等式不成立．对于B：a＝0或b＝0，关系式没有意义．故错误．对于C：由于b＜a，且y＝（）x为单调递减函数，则：（）b＜（）b，故C正确．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（5分）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）A．B．C．D．【分析】小明准备从中任意选择2部进行阅读，基本事件总数n＝＝6，选择的2部名著中包括外国名著包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出选择的2部名著中包括外国名著的概率．【解答】解：某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，基本事件总数n＝＝6，选择的2部名著中包括外国名著包含的基本事件个数m＝＝3，∴选择的2部名著中包括外国名著的概率为P＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考査古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+x+1有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】条件转化为方程mx2+x+1＝0有两个不等根，结合根的判别式列出不等式即可【解答】解：函数有两个零点等价于关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有两个不等根，则，解得m＜且m≠0，即m∈（﹣∞，0）∪（0，），故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及二次函数根的判别式，属于中档题．8．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）【分析】根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣2）＝f（2），由函数的图象分析函数的单调性，可得f（1）＞f（2）＞f（3），综合可得答案．【解答】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣2）＝f（2），又由函数图象可得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，即有f（1）＞f（2）＞f（3），则有f（1）＞f（﹣2）＞f（3），故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意偶函数的性质，属于基础题．9．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“|+|＝||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．【解答】解：“|+|＝||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．∴，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量E（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为E1，E2，则的值为（）A．10﹣0.6B．10﹣0.4C．100.4D．100.6【分析】分别把云南澜沧发生地震的里氏等级与四川汶川发生的地震的里氏等级代入，然后利用对数的运算性质求解的值．【解答】解：∵云南澜沧发生地震为里氏7.6级，∴7.6＝，即；①∵四川汶川发生的地震为里氏8级，∴，即．②①﹣②得：，即，∴．故选：A．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，￢p为∃x0∈R，x02+x0+1＜0．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，则￢p是：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．故答案为：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，注意量词的变化．12．（5分）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）的图象经过点（4，2），则f（x）＝（x ≥0）．【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，求出α的值．【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点（4，2），则4α＝2，解得α＝，所以f（x）＝（x≥0）．故答案为：（x≥0）．【点评】本题考查了幂函数的定义与解析式的求法问题，是基础题．13．（5分）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的25%分位数为70；设甲、乙两组成的方差分别为s甲2，s乙2，那么s甲2＞s乙2．（填“＞”或“＜”或“＝”）【分析】由茎叶图得甲组成绩从小到大排列，由25%×12＝3，得到甲组成绩的25%分位数为第3个数和第4个数的平均数，由茎叶图得甲组成绩相对分散，乙组成绩相对集中，从而s甲2＞s乙2．【解答】解：由茎叶图得甲组成绩从小到大为65，67，69，71，75，77，80，83，85，89，93，95，25%×12＝3，∴＝70，由茎叶图得甲组成绩相对分散，乙组成绩相对集中，∴s甲2＞s乙2．故答案为：70，＞．【点评】本题考查25%分位数的求法，考查方差的求法及应用，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝0．【分析】建坐标系，可得，，的坐标，由＝λ+μ可得关于λμ的方程组，解之相加可得．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，可得＝（3，0），＝（0，4），可得＝（3，﹣4）∵＝λ+μ，∴，解之得λ＝1，μ＝﹣1，∴λ+μ＝0．故答案为：0．【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义，建系是解决问题的关键，属中档题．15．（5分）已知函数，则f（0）＝1；能说明“方程f（x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的一个值为1（答案不唯一）．【分析】直接把变量代入对应的解析式求出第一个空，结合图象求解第二个空．【解答】解：因为函数，则f（0）＝e0＝1；函数的大致图象为：故能说明“方程f（x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的取值范围是（0，1]；故答案为：1，1（答案不唯一）．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，以及数形结合思想的应用，属于基础题．16．（5分）若函数f（x）满足下面三个条件：①f（x）在其定义域上图象不间断；②f（x）是偶函数；③f（x）恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝（x2﹣1）|x|．【分析】由题意同时满足3个条件的函数可得为f（x）＝（x2﹣1）|x|．【解答】解：由题意可得满足条件的函数f（x）＝（x2﹣1）|x|．故答案为：f（x）＝（x2﹣1）|x|．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，及函数的奇偶性的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）某校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从2000名高一学生中随机抽取100名学生，收集了他们周平均锻炼时间（单位：小时），将数据按照[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数；（Ⅲ）假设同组中的每个数据可用该区间的中点值代替，试估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在哪一个区间．（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，即为频率之和为1，解得a．（Ⅱ）先从抽取的100人中，算出周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例，再估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数2000×60%＝1200．（Ⅲ）每条的中点横坐标乘以面积，全加一起．【解答】解：（Ⅰ）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，所以（0.02+0.05+0.1+a+0.18）×2＝1，解得a＝0.15．（Ⅱ）抽取的100人中，周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例为（a+0.1+0.05）×2＝0.6＝60%．因此估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例也为60%．估计所求人数为2000×60%＝1200．（Ⅲ）4×0.02×2+6×0.18×2+8×0.15×2+10×0.1×2+12×0.05×2＝7.92，所以估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在[7，9）内．【点评】本题考查频率分布直方图中频率，平均数的求法，属于基础题．18．（14分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【分析】（Ⅰ）根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底{，}，表示；（Ⅱ）考虑三点共线时，＝+（1﹣λ），经检验═+，∵，∴E，G，F三点共线．【解答】解：（Ⅰ）由题，＝+＝+＝+＝，＝+＝+＝﹣＝﹣．（Ⅱ）＝+＝+＝+，＝（）+（+）＝+，∵，∴E，G，F三点共线．【点评】本题考查平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．19．（14分）为了解甲、乙两名运动员的射击成绩，从两人近一年的射击成绩中各随机抽取一个容量为20的样本，经过处理，得到两人击中环数的频数如图所示．（Ⅰ）试估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率；（Ⅱ）从上述两个样本中各随机抽取一次，求甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．【分析】（Ⅰ）由两人击中环数的频数折线图得甲2次击中7环，2次击中8环，10次击中9环，6次击中10环，由此能估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率．（Ⅱ）由两人击中环数的频数统计图得甲在20次射击有6次击中10环，乙在20次射击有8次击中10环，从上述两个样本中各随机抽取一次，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．【解答】解：（Ⅰ）由两人击中环数的折线图得：甲2次击中7环，2次击中8环，10次击中9环，6次击中10环，∴估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率p＝1﹣＝．（Ⅱ）由两人击中环数的频数统计图得：甲在20次射击有6次击中10环，乙在20次射击有8次击中10环，从上述两个样本中各随机抽取一次，基本事件总数n＝20×20＝400，甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环包含的基本事件个数m＝6×12+14×8＝184，∴甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率为：P＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考査折线图、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（14分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（m为常数）．已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元）．记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和．（Ⅰ）写出F（x）的解析式；（Ⅱ）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？【分析】（Ⅰ）把x＝5，C（x）＝12代入C（x）＝，求得m值，可得C（x）的解析式，再由题意写出F（x）的解析式；（Ⅱ）分段求解（Ⅰ）中函数的最小值，取最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当0≤x≤5时，C（x）＝，由题意，12＝，即m＝80．∴C（x）＝．则F（x）＝＝；（Ⅱ）当0≤x≤10时，F（x）＝160﹣7.5x（0≤x≤10），当x＝10时，F（x）min＝85；当x＞10时，F（x）＝＝40，当且仅当，即x＝40平方米时上式等号成立，故当x为40平方米时，F（x）取得最小值，最小值是40万元．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．21．（14分）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．【分析】（Ⅰ）直接根据定义，写出f A（2019），f B（2019）．的值．（Ⅱ）card（A*B）＝{x|f A（x）•f B（x）＝1}，分两种情况当f A（x）＝2且f B（x）＝时，当f A（x）＝且f B（x）＝2时，x取值，即可得出答案．（Ⅲ）列举法写出A∪B，A∩B＝{2，4，6，…2020}，所以M中的元素a∈A∪B且a∉A ∩B，所以当集合M为A∪B的子集与集合A∩B的并集时，n的值最小．【解答】（Ⅰ）f A（2019）＝2，f B（2019）＝，（Ⅱ）card（A*B）＝{x|f A（x）•f B（x）＝1}当f A（x）＝2且f B（x）＝时，所以x∈A且x∉B，那么x取值为：1，3，5，…，2019，共有＝1010个，当f A（x）＝且f B（x）＝2时，所以x∉A且x∈B，那么x取值为：2022，2024，…4040，共有＝1010个，所以card（A*B）＝1010+1010＝2020个．（Ⅲ）A＝{1，2，3，4，…，2020}，B＝{2，4，6，…，2020，2022，…4040}，A∪B＝{1，2，3，…，2020，2022，…4040}，A∩B＝{2，4，6，…2020}共1010个元素所以M中的元素a∈A∪B且a∉A∩B，所以当集合M为A∪B的子集与集合A∩B的并集时，n＝card（M*A）+card（M*B）的值最小，最小值为1011．【点评】本题属于新定义题，结合集合的交集并集，即可分析出答案，属于中档题．。

2019-2020学年九年级(华师大版)数学上册期末综合练习卷(含答案) (1)

九年级上册期末综合练习卷一．选择题1．下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cos B的值是（）A．B．C．D．3．四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图3所示，若AD⊥CD，AB∥CD，AB＝5，A点坐标为（﹣2，7），则点B坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，12）C．（3，7）D．（﹣7，7）4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（）A．1B．C．D．5．已知方程x2﹣4x+2＝0的两根是x1，x2，则代数式的值是（）A．2011B．2012C．2013D．20146．如图，在△ABC中，点D在边AB上，则下列条件中不能判断△ABC∽△ACD的是（）A．∠ABC＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD•AE 7．若分式的值是正整数，则m可取的整数有（）A．4个B．5个C．6个D．10个8．一枚均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个点．甲乙两人各掷一次，如果朝上一面的两个点数之和为奇数，则甲胜；若为偶数，则乙胜，下列说法正确的是（）A．甲获胜的可能性大B．乙获胜的可能性大C．甲乙获胜的可能性一样大D．乙一定获胜9．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210二．填空题10．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．11．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．12．把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是．13．如图，ED为△ABC的中位线，点G是AD和CE的交点，过点G作GF∥BC交AC于点F，如果GF＝4，那么线段BC的长是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE 折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为．三．解答题（共8小题，满分75分）15．计算下列各题（1）（2）（3）（4）16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．18．在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目．（1）转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是；（2）若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率．19．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C 港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE ＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝2，BD＝1，求CE的长．参考答案一．选择题1．C．2．B．3．C．4．B．5．D．6．C．7．A．8．C．9．B．二．填空题10．解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．11．解：如图，tanα＝＝故答案为：．12．解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是y＝（x﹣1+3）2+2﹣2，即y＝（x+2）2，故答案为y＝（x+2）2．13．解：∵ED为△ABC的中位线，∴AD、CE为△ABC的中线，∴点G为△ABC的重心，∴AG＝2GD，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，∴CD＝GF＝×4＝6，∴BC＝2CD＝12．故答案为12．14．解：分两种情况：①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴AM＝BN＝AD＝1，∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∴A′E＝AE，A′B＝AB＝1，∴A′N＝＝0，即A′与N重合，∴A′M＝1，∴A′E2＝EM2+A′M2，∴A′E2＝（1﹣A′E）2+12，解得：A′E＝1，∴AE＝1；②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，∴A′B＝2PB，∴∠P A′B＝30°，∴∠A′BC＝30°，∴∠EBA′＝30°，∴AE＝A′E＝A′B×tan30°＝1×＝；综上所述：AE的长为1或；故答案为：1或．三．解答题15．解：（1）原式＝﹣1+4﹣2＝+1；（2）原式＝2﹣3﹣（3﹣2）+3＝2﹣；（3）原式＝10+3+2＝15；（4）原式＝3+4+4﹣4+2＝9．16．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+，答：AB的长是3+．17．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．18．解：（1）∵转动转盘①一共有3种可能，∴转盘指针指向歌曲“3”的概率是：；故答案为：；（2）分别转动两个转盘一次，列表：（画树状图也可以）45 6BA11，41，51，622，42，52，633，43，53，6共有9种，它们出现的可能性相同．由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A ）＝．（说明：通过枚举、画树状图或列表得出全部正确情况得（4分）；没有说明等可能性扣（1分）．）19．解：（1）过点B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD ＝，BC＝2x在Rt△ABD中，∠BAD＝45°则AD＝BD＝，AB＝BD＝由AC+CD＝AD得20+x＝x解得：x＝10+10故AB＝30+10答：港口A到海岛B的距离为海里．（2）甲船看见灯塔所用时间：小时乙船看见灯塔所用时间：小时所以乙船先看见灯塔．20．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，又因为∠DEC＝∠ADE+∠CAD＝45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），同理∠ADB＝∠C+∠CAD＝45°+∠CAD，∴∠DEC＝∠ADB，又∠ABD＝∠DCE＝45°，∴△ABD∽△DCE；（2）∵AB＝2，∴BC＝2，∵△ABD∽△DCE，∴＝，即＝，＝，CE＝﹣．。

2019-2020学年北京市昌平区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．圆锥C．圆柱D．三棱柱2．已知∠A是锐角，tan A＝1，那么∠A的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°5．在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（1，0），（3，2），连接AB，将线段AB 平移后得到线段A'B'，点A的对应点A'坐标为（2，1），则点B'坐标为（）A．（4，2）B．（4，3）C．（6，2）D．（6，3）6．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定7．如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C的对应点C'所在的区域在1区∼4区中，则点C'所在单位正方形的区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①点C的坐标为（0，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣1，则b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．已知抛物线y＝x2+c，过点（0，2），则c＝．10．如图，已知正方形OABC的三个顶点坐标分别为A（2，0），B（2，2），C（0，2），若反比例函数y＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，请写出一个符合条件的k值．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝20，请用含α的式子表示BC的长．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为．14．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为m．16．如图，抛物线y＝x2+2x+2和抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点分别为点M和点N，线段MN 经过平移得到线段PQ，若点Q的横坐标是3，则点P的坐标是，MN平移到PQ 扫过的阴影部分的面积是．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝2，求AB的长．19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2﹣2x+3的图象；（3）结合函数图象，直接写出y＞0时x的取值范围．20．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；③作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝°（）（填推理的依据）．∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．21．如图，A，B，C是⊙O上的点，sin A＝，半径为5，求BC的长．22．课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图1所示，分别为Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠A＝∠D＝90°，AC＝DE＝2cm．当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：（1）如图2在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；（2）求BF的长．四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB为32m，桥面AB 水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m；为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如图4：甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；乙同学：如图5，以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式；（2）距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？24．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．25．如图1，是直径AB所对的半圆弧，点P是与直径AB所围成图形的外部的一个定点，AB＝8cm，点C是上一动点，连接PC交AB于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AD，CD，PD，进行了研究，设A，D两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为y1cm，P，D两点之间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 2.00 3.00 3.20 4.00 5.00 6.00 6.507.008.00 y1/cm0.00 1.04 2.09 3.11 3.30 4.00 4.41 3.46 2.50 1.530.00 y2/cm 6.24 5.29 4.35 3.46 3.30 2.64 2.00m 1.80 2.00 2.65补充表格；（说明：补全表格时，相关数值保留两位小数）（2）如图2，在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y2的图象：（3）结合函数图象解决问题：当AD＝2PD时，AD的长度约为．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当PA＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．（1）①如图1，在点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是；②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．圆锥C．圆柱D．三棱柱【分析】根据三视图看到的图形的形状和大小，确定几何体的底面，侧面，从而得出这个几何体的名称．解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱，故选：D．2．已知∠A是锐角，tan A＝1，那么∠A的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．解：∵∠A是锐角，tan A＝1，∴∠A的度数是：45°．故选：C．3．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°【分析】先根据垂径定理得到＝，然后根据圆周角得到∠BOD和∠BOC的度数，从而得到∠COD的度数．解：∵弦CD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝∠BOC＝2∠A＝2×20°＝40°，∴∠COD＝40°+40°＝80°．故选：C．5．在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（1，0），（3，2），连接AB，将线段AB 平移后得到线段A'B'，点A的对应点A'坐标为（2，1），则点B'坐标为（）A．（4，2）B．（4，3）C．（6，2）D．（6，3）【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移1个单位，向上平移了1个单位，然后可得B′点的坐标；解：∵A（1，0）平移后得到点A′的坐标为（2，1），∴向右平移1个单位，向上平移了1个单位，∴B（3，2）的对应点坐标为（4，3），故选：B．6．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定【分析】根据抛物线的对称性，在对称轴同侧的可根据增减性由自变量x的大小得出函数值y的大小，在对称轴一侧的可根据离对称轴的远近和抛物线的增减性进行判断．解：点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在抛物线对称轴x＝﹣2的两侧，且点A比点B离对称轴要远，因此y1＞y2，故选：A．7．如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C的对应点C'所在的区域在1区∼4区中，则点C'所在单位正方形的区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区【分析】根据旋转的性质连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点P即为旋转中心，从而得出线段AB和点C是绕着P点逆时针旋转90°，据此可得答案．解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点P即为旋转中心，由图可知，线段AB和点C绕着P点逆时针旋转90°，∴点C逆时针旋转90°后所得对应点C′落在4区，故选：D．8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①点C的坐标为（0，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣1，则b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标的求法即可判断；②当m＝0时，可得抛物线与x轴的两个交点坐标和对称轴即可判断；③根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断；④根据二次函数图象当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．解：①∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，m），∴C（0，m），故①正确；②当m＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0，0）、（2，0），对称轴方程为x＝1，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；③当a＝﹣1时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∵对称轴x＝1，∴另一个交点坐标为（3，0），∴b＝﹣3，故③错误；④观察二次函数图象可知：当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．故④正确．故选：C．二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．已知抛物线y＝x2+c，过点（0，2），则c＝2．【分析】把点（0，2）代入y＝x2+c即可得到结论．解：∵抛物线y＝x2+c，过点（0，2），∴0+c＝2，∴c＝2，故答案为：2．10．如图，已知正方形OABC的三个顶点坐标分别为A（2，0），B（2，2），C（0，2），若反比例函数y＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，请写出一个符合条件的k值k＝1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）．【分析】把B（2，2）代入y＝即可得到结论．解：∵反比例函数y＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，∴把B（2，2）代入y＝得，k＝4，∴满足条件的k值的范围是0＜k≤4，故k＝1（答案不唯一），故答案为：k＝1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为3π．【分析】连接OB，CO，根据弧长公式即可求解．解：连接OB，OC，则OC＝OB＝6，∠BOC＝90°，∴的弧长为π×6＝3π，故答案为3π．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝20，请用含α的式子表示BC的长20tanα．【分析】直接利用正切的定义求解．解：在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，所以BC＝AC tan A＝20tanα．故答案为20tanα．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为2．【分析】连接AB，根据切线长定理得到PA＝PB，根据等边三角形的性质得到AB＝PA ＝6，∠PAB＝60°，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据正切的定义计算即可．解：连接AB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，∴∠CAB＝30°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝AB•tan∠CAB＝6×＝2，故答案为：2．14．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为（1，2）．【分析】根据位似变换的性质解答．解：以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，A（2，4），∴A的对应点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为25m．【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m．故答案为：25．16．如图，抛物线y＝x2+2x+2和抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点分别为点M和点N，线段MN 经过平移得到线段PQ，若点Q的横坐标是3，则点P的坐标是（1，5），MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积是16．【分析】由抛物线解析式求得点M、N的坐标，然后根据平移的性质来求点P的坐标；阴影部分的面积＝平行四边形PMNQ的面积．解：如图，连接PM，QN，MQ、PN．由y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，知M（﹣1，1），N（1，﹣3）．∵点Q的横坐标是3，点Q在抛物线y＝x2﹣2x﹣2上，∴y＝32﹣2×3﹣2＝1．∴Q（3，1）．∴线段MN先向上平移4个单位，然后向右平移2个单位得到线段PQ．∴点P的坐标是（1，5），∴PN⊥MQ，且PN与MQ相互平分，∴平行四边形PMNQ是菱形．根据平移的性质知，S阴影部分＝S菱形PMNQ＝PN•MQ＝×4×8＝16．故答案是：（1，5）；16．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．解：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°＝，＝．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝2，求AB的长．【分析】根据直角三角形的边角关系，求出AC，再根据勾股定理求出AB．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tan A＝＝．∵BC＝2，∴＝，AC＝6．∵AB2＝AC2+BC2＝40，∴AB＝．19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2﹣2x+3的图象；（3）结合函数图象，直接写出y＞0时x的取值范围．【分析】（1）利用配方法可把抛物线解析式化顶点式；（2）先解方程﹣x2﹣2x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），再确定抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．解：（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）＝﹣（x+1）2+4；（2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）；如图，（3）﹣3＜x＜1．20．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；③作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用圆周角定理证明∠OAP＝∠OBP＝90°即可．解：（1）补全图形如图．（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．故答案为90，直径所对的圆周角是直角．21．如图，A，B，C是⊙O上的点，sin A＝，半径为5，求BC的长．【分析】构造直径三角形，利用垂径定理，圆周角定理解决问题即可．【解答】证明：方法Ⅰ：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC，如图1∵OB＝OC，且OD⊥BC，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOD＝∠A，sin A＝sin∠BOD＝，∵在Rt△BOD中，∴sin∠BOD＝＝，∵OB＝5，∴＝，BD＝4，∵BD＝CD，∴BC＝8．方法Ⅱ：作射线BO，交⊙O于点D，连接DC，如图2．∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠A，∴sin A＝sin∠BDC＝，∵在Rt△BDC中，∴sin∠BDC＝＝．∵OB＝5，BD＝10，∴＝，∴BC＝8．22．课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图1所示，分别为Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠A＝∠D＝90°，AC＝DE＝2cm．当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：（1）如图2在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；（2）求BF的长．【分析】（1）按题意画出图形即可；（2）分两种情况，由勾股定理求出BC，AB，则可得出答案．解：（1）补全图形如图：（2）情况Ⅰ，如图1：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°，∴AF＝AC＝2cm．∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴BC＝4，AB＝．∴BF＝（+2）cm．情况Ⅱ，如图2：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°，∴AF＝AC＝2cm．∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴BC＝4，AB＝．∴BF＝（﹣2）cm．四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB为32m，桥面AB 水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m；为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如图4：甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；乙同学：如图5，以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式；（2）距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？【分析】（1）根据选择的坐标系，可以直接写出点C的坐标，然后设出主索抛物线的表达式，再根据点C和点P都在抛物线上，即可求得主索抛物线的表达式；（2）根据求出的抛物线解析式，将x＝4和8代入解析式中，即可求得四根吊索的长度，从而可以求得四根吊索总长度为多少米．解：当选择甲同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，0），设抛物线的表达式为y＝ax2+c（a≠0），由题意可知，C点坐标为（16，0），P点坐标为（0，﹣8），，解得，∴主索抛物线的表达式为y＝x2﹣8；（2）x＝4时，y＝×42﹣8＝，此时吊索的长度为10﹣＝（m），由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝×82﹣8＝﹣6，此时吊索的长度为10﹣6＝4（m），x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．当选择乙同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，10），设抛物线的表达式为y＝ax2+c（a≠0），由题意可知，C点坐标为（16，10），P点坐标为（0，2），解得．∴主索抛物线的表达式为y＝x2+2；（2）x＝4时，y＝×42+2＝，此时吊索的长度为m，由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝x2+2＝4，此时吊索的长度为4m，x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．当选择丙同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，8），设抛物线的表达式为y＝ax2（a≠0）162×a＝8，解得a＝，∴主索抛物线的表达式为y＝x2；（2）x＝4时，y＝×42＝，此时吊索的长度为（m），由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝×82＝2，此时吊索的长度为2+2＝4（m），x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．24．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．【分析】（1）如图，连接OD．根据已知条件得到∠AOD＝∠BOD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ODC＝∠OCD．推出FC⊥OC，于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵点D是半圆的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴∠ODC+∠OED＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD．又∵CF＝EF，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠FEC＝∠OED，∴∠FCE＝∠OED．∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°，即FC⊥OC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵tan A＝，∴在Rt△ABC中，＝，∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A，∵△ACF∽△CBF，∴＝＝＝．∴AF＝10，∴CF2＝BF•AF．∴BF＝．∴AO＝＝．25．如图1，是直径AB所对的半圆弧，点P是与直径AB所围成图形的外部的一个定点，AB＝8cm，点C是上一动点，连接PC交AB于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AD，CD，PD，进行了研究，设A，D两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为y1cm，P，D两点之间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 2.00 3.00 3.20 4.00 5.00 6.00 6.507.008.00y1/cm0.00 1.04 2.09 3.11 3.30 4.00 4.41 3.46 2.50 1.530.00y2/cm 6.24 5.29 4.35 3.46 3.30 2.64 2.00m 1.80 2.00 2.65补充表格；（说明：补全表格时，相关数值保留两位小数）（2）如图2，在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y2的图象：（3）结合函数图象解决问题：当AD＝2PD时，AD的长度约为 4.54．【分析】（1）通过取点、画图、测量可求解；（2）根据题意作图即可；（3）由题意可得PD＝AD，画出y＝x，交曲线AD的值为所求，即可求解．解：（1）通过取点、画图、测量，可得m＝1.73，（2）如图（3）∵当AD＝2PD，∴PD＝AD，在（2）中图象中作出y＝x的图象，并测量两个函数图象交点得：AD＝4.54，故答案为：4.54．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是直线x＝1；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．【分析】（1）①A与B关于对称轴x＝1对称；②A（0，c）向右平移2个单位长度，得到点B（2，c），代入解析式即可求得；（2）分两种情况a＞0和a＜0讨论，结合图象确定有1个整数点时a的最大和最小值，进而确定a的范围．解：（1）①∵A与B关于对称轴x＝1对称，∴抛物线对称轴为直线x＝1，故答案为直线x＝1；②∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，∴A（0，c）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，c），∵点B在抛物线上，∴4a+2b+c＝c，∴b＝﹣2a．（2）方法一：如图1，若a＞0，∵A（0，c），B（2，c），∴区域内（不含边界）恰有1个整点D的坐标为（1，c﹣1），则理另一个整点E（1，c ﹣2）不在区域内，∵把x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+c得y＝a+b+c＝﹣a+c，∴根据题意得，解得1＜a≤2，如图2，若a＜0，同理可得，解得﹣2≤a＜﹣1综上，符合题意的a的取值范围为﹣2≤a＜﹣1或1＜a≤2．方法二：∵AB＝2，点A是整点，∴点C到AB的距离大于1并且小于等于2．∵点C到AB的距离表示为c﹣a，减去c的差的绝对值，∴1＜|c﹣a﹣c|≤2，即1＜|a≤2，∴﹣2≤a＜﹣1或1＜a≤2．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．【分析】（1）根据全等三角形性质和三角形外角的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CBE，根据三角形的外角的性质得到∠APE ＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．根据旋转的性质得到AF＝AD，∠DAF＝120°．根据全等三角形的性质得到AQ＝QE，于是得到结论．【解答】（1）补全图形图1，证明：在△ABD和△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SAS）∴∠BAD＝∠CBE．∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°；（2）补全图形图2，，证明：在△ABD和△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，∴AF＝AD，∠DAF＝120°．∵∠APE＝60°，∴∠APE+∠DAP＝180°．∴AF∥BE，∴∠1＝∠F，∵△ABD≌△BEC，∴AD＝BE．∴AF＝BE．在△AQF和△EQB中，△AQF≌△EQB（AAS），∴AQ＝QE，∴，∵AE＝AC﹣CE，CD＝BC﹣BD，且AE＝BC，CD＝BD．∴AE＝CD，∴．28．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当PA＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．（1）①如图1，在点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是P2，P3；②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一）．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．【分析】（1）①如图1，以AB为直径作圆G，则点P在圆上，则∠APB＝90°，若点P在圆内，则∠APB＞90°，以C（，）为圆心，AC为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；以D（，﹣）为圆心，AD为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P 在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；分别判断点P1，P2，P3的位置即可求解；②观察图象可求解；（2）分别求出直线y＝x+b与圆C，圆D相切时，b的值，即可求解；（3）线段AB的正可视点的定义，可得线段CQ和线段DW上的点为线段AB的正可视点，将点的坐标代入可求解．解：（1）①如图1，以AB为直径作圆G，则点P在圆上，则∠APB＝90°，若点P在圆内，则∠APB＞90°，以C（，）为圆心，AC为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；以D（，﹣）为圆心，AD为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P 在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；∵点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）∴P1C＝＞＝AC，则点P1在圆C外，则∠AP1B＜45°，P2D＝＝AC，则点P2在圆D上，则∠AP2B＝45°，P3G＝＝BG，点P3在圆G上，则∠AP3B＝90°，∴线段AB的可视点是P2，P3，故答案为：P2，P3；②由图1可得，点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一，纵坐标y p范围：≤y p≤6）．（2）如图2，设直线y＝x+b与圆C相切于点H，交x轴于点N，连接BH，∵∠HNB＝∠HBN＝45°，∴NH＝BH，∠NHB＝90°，且NH是切线，∴BH是直径，∴BH＝5，∴BN＝10，∴ON＝7，∴点N（﹣7，0）∴0＝﹣7+b，∴b＝7，当直线y＝x+b与圆D相切同理可求：b＝﹣8∴﹣8≤b≤7（3）如图3，作AB的中垂线，交⊙C于点Q，交⊙D于点W，∵直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，∴线段CQ和线段DW上的点为线段AB的正可视点．∵点C（，），点D（，﹣），点Q（，+），点W（，﹣﹣）分别代入解析式可得：∴m＝3，m＝+3，m＝﹣2，m＝﹣2﹣，∴m的取值范围：或．。

北京市西城区九年级上册期末数学试卷(有答案)

2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A ．B ．C ．D ．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y ＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定3．抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣47．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D ．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx ﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝x2+3与y 轴的交点坐标为．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC ＝10，那么EC＝．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于．12．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB 的距离等于．214．2019-20209月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD ＝（m）．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；3（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x．（1）补全表格：抛物线顶点坐标与x轴交点坐标与y轴交点坐标y＝﹣x2+2x（1，1）（0，0）（2）将抛物线C1向上平移3个单位得到抛物线C2，请画出抛物线C1，C2，并直接回答：抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝（用α的代数式表示），∠BFC的度数为°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．t（s）00.51 1.52…4h（m）08.751518.7520…（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y ＝（k≠0）与直线y ＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，k的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC 的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A ＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；5（2）若CD＝10，tan B ＝，求半圆的半径．25．已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝，b＝．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．27．（7分）如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，6OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝°，此时OM和BD′之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是；②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标x M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB 的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．72019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B ＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y ＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．【解答】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y ＝图象上的两点，∴y1＝﹣＝﹣6，y2＝﹣＝﹣2，∴y1＜y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y ＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．3．抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下8C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．【解答】解：由y＝（x﹣4）2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标（4，﹣5）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得S ＝＝24π（cm2）．故选：B．【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°9∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣4【分析】根据已知得出方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，∴方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4，故选：C．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m'的不等式是解此题的关键．7．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D ．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当AB2＝AP•AC 即＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx ﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）10A．﹣4B．﹣2C．1D．3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴方程的另一个根为x＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为（0，3）．【分析】把x＝0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．【解答】解：当x＝0时，y＝3，则抛物线y＝x2+3与y轴交点的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC ＝10，那么EC＝4．【分析】由DE∥BC，推出＝＝，可得EC＝AC，由此即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∵AC＝10，∴EC＝×10＝4，故答案为4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于4．【分析】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积．【解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，可得：，解得：k＝4，因为第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，所以矩形ODPC的面积等于4，故答案为：4【点评】此题考查反比例函数系数k的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出k的值．12．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜2．【分析】根据图象得出取值范围即可．【解答】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2，故答案为：﹣1＜x＜2【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB 的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．14．2019-20209月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝1154cosα（m）．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是②④．【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．故答案为：②④【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为1．【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴，∴AB2＝AC•AE，∵AB＝6，AE＝4，∴AC＝，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE ∽△ACB．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x．（1）补全表格：抛物线顶点坐标与x轴交点坐标与y轴交点坐标y＝﹣x2+2x（1，1）（0，0）（2，0）（0，0）（2）将抛物线C1向上平移3个单位得到抛物线C2，请画出抛物线C1，C2，并直接回答：抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x与x轴的交点为（0，0）和（2，0）故答案为（0，0）和（2，0）；（2）抛物线C1，C2如图所示，抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的2倍【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝α﹣45°（用α的代数式表示），∠BFC 的度数为45°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AB＝2，再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG的长即可．【解答】解：（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，而∠BAC＝45°，∴∠CAD＝α﹣45°；∵AB＝AD，AE＝AC，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC ＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC＝45°．故答案为α﹣45°；45°；（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△ADE，而AB＝AC，∠BAC＝45°，∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AB＝2，而AG平分∠BAE，∴AG⊥BE，∴AG＝BE＝，即此时点A到直线BE的距离为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．t（s）00.51 1.52…h（m）08.751518.7520…（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t ＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【解答】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴，解得，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，k的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．【分析】（1）依据双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，可得点A与点B关于原点对称，进而得到a，k的值；（2）根据双曲线y＝上一点P的横坐标为1，可得点P的坐标为（1，2），进而得到直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，求得直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），即可得到PM＝PN，PM⊥PN．【解答】解：（1）∵双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，∴点A与点B关于原点对称，∴a＝﹣2，b＝1，∴把A（﹣2，﹣1）代入双曲线y＝，可得k＝2；（2）证明：∵双曲线y＝上一点P的横坐标为1，∴点P的坐标为（1，2），∴直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，∴直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），∴PM＝2，PN＝2，MN＝4，∴PM＝PN，PM2+PN2＝MN2，∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC 的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）【分析】先利用直角作出BD，再用勾股定理求出BD，再用锐角三角函数求出AB，AD，即可得出结论．【解答】解：如图，作BD⊥l于点D，在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝13，∴cos C＝cosα＝，∴CD＝BC•cos C＝13×＝5，BD＝＝12，在Rt△ABD中，BD＝12，sin A＝，∴tan A＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点D为圆心，9为半径作弧与射线l交于点A，连接AB，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB和AD．24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BCO＝∠B，进而判断出∠BCO+∠BCE＝90°，即可得出结论；（2）先求出sin B，再利用同角的余角相等判断出∠D＝∠B即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，∵AB是半圆的直径，AC是半圆的弦，∴∠ACB＝90°，∵点D在弦AC的延长线上，∴∠DCB＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，∵∠DCE＝∠B，∴∠BCO+∠BCE＝90°，即：∠OCE＝90°，∴CE⊥OC，∵点C在半圆上，∴CE是半圆的切线；（2）解：如图1，在Rt△ABC中，tan B＝，设AC＝2k，则BC＝3k，根据勾股定理得，AB＝k，∴sin B＝＝，∵OD⊥AB，∴∠D+∠A＝90°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠D＝∠B，∴sin D＝sin B＝，在Rt△CDF中，sin D＝＝，∴cos B＝设CF＝2m，DE＝m，根据勾股定理得，DF2﹣CF2＝CD2，∴13m2﹣4m2＝100，∴m＝﹣（舍）或m＝，∴CF＝，在Rt△BOF中，BF＝＝k，∴BC＝BF+CF＝k+＝3k，∴k＝8，∴OB＝k＝4【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出∠BCO＝∠B．25．已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在C的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝1，b＝0．【分析】（1）将a＝1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；（2）①将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含a的代数式表示p、q；②根据①中的结果可以解答本题；③根据①②可以解答本题；（3）答案不唯一，只要符合要就即可．【解答】解：（1）当a＝3时，y＝x2﹣6x+3﹣1＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，∴此时抛物线的顶点坐标为（3，﹣7）；（2）①y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（x﹣a）2﹣a2+a﹣1，∵抛物线G的顶点坐标为P（p，q），∴p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；②由①可得，q＝﹣p2+p﹣1；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上，故答案为：C；（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a，∵y＝x2﹣2ax+a2+a＝（x﹣a）2+a，∴顶点坐标为（a，a），∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝x，∴k＝1，b＝0，故答案为：y＝x2﹣2ax+a2+a，1，0．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为（2t，﹣1）；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据旋转的性质，可得B与B′关于F点对称，根据中点公式，可得答案；②根据图象过A，B点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案．【解答】解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B（0，1），设抛物线的解析式为y＝ax2+1，将A（﹣1，2）代入解析式，得a×（﹣1）2+1＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1，（2）①由旋转的性质，得B1（x，y）与B（0，1）关于F（t，0）对称，＝t，＝0，解得x＝2t，y＝﹣1，B1（2t，﹣1）；故答案为：（2t，﹣1）；②如图1，由题意，得顶点是B1（2t，﹣1），二次项系数为1，∴抛物线M1的解析式为y＝（x﹣2t）2﹣1 （t＞0），当抛物线M1经过A（﹣1，0），时（﹣1﹣t）2﹣1＝0，解得t1＝﹣1，t2＝0．当抛物线M1经过B（0，1）时，（2t）2﹣1＝1，解得t＝，结合图象分析，∵t＞0，∴当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围0＜t≤．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解（1）的关键；利用旋转得出B与B′关于F点对称是解（2）①的关键，利用象过A，B点得出点的坐标的坐标符合解析式是解②关键．27．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝150°，此时OM和BD′之间的位置关系为垂直；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD′+∠C′D′B＝180°，根据周角的定义即可得到结论；（2）取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，根据三角形的中位线的性质得到EM∥OC′，EM＝OC′，根据相似三角形的性质得到∠AOM＝∠2，，根据垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵C′D′∥AB，∴∠ABD′+∠C′D′B＝180°，∵∠ABO＝∠C′D′O＝60°，∴∠OBD′+∠BD′O＝60°，∴∠BOD′＝120°，∴∠BOC′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，∴α＝150°，此时，OM⊥BD′；故答案为：150，垂直；（2）OM⊥BD′，OM＝BD′，证明：取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，∵AC′的中点M，∴EM∥OC′，EM＝OC′，∴∠OEM+∠AOC′＝180°，∵∠AOB＝∠C′OD′＝90°，∴∠BOD′+′AOC′＝180°，∴∠OEM＝∠BOD′，∵∠OAB＝∠OC′D′＝30°，。

(2019秋)北京市昌平区九年级上期末数学试题有答案.docx

昌平区2019-2020学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷学校：班级: 姓名:下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．已知∠A 为锐角，且sin A ＝2，那么∠A 等于 A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 2．如图是某几何体的三视图，该几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．长方体D ．正方体（第2题图）（第3题图）（第4题图） 3．如图，点B 是反比例函数k y x =（0k ≠）在第一象限内图象上的一点，过点B 作BA ⊥x 轴于点A ，BC ⊥y 轴于点C ，矩形AOCB 的面积为6，则k 的值为A ．3B ．6C ．-3D ．-64．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =50︒，则∠BOC 的大小为 A ．40° B ．30° C ．80°D ．100°5．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+ B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+-6．如图，将ΔABC 绕点C 顺时针旋转，点B 的对应点为点E ，点A 的对应点为点D ，当点E 恰好落在边AC 上时，连接AD ，若∠ACB=30°，则∠DAC 的度数是（第6 题图）（第7 题图）A ．60°B ．65°C ． 70°D ．75°7．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是 A ．25° B ．40° C ．50° D ．65° 8．小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y （单位：m ）与跑步时间t （单位：s ）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是A ．两人从起跑线同时出发，同时到达终点．B ．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度． C. 小苏在跑最后100m 的过程中，与小林相遇2次．D ．小苏前15s 跑过的路程小于小林前15s 跑过的路程．二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9．请写出一个图象在第二，四象限的反比例函数的表达式．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为（0，2），（1-，0），将线段AB 沿x 轴的正方向平移，若点B 的对应点的坐标为 'B （2，0），则点A 的对应点'A 的坐标为．(第10题图)11．如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为劣弧AB 上任意一点，过点C 的切线分别交AP ，BP 于D ，E 两点．若AP=8，则 △PDE 的周长为．12．抛物线2y x bx c =++经过点A （0，3），B （2，3），抛物线的对称轴为．(第11题图)13．如图，⊙O 的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则劣弧AB 的长为． 14．如图，在直角三角形ABC 中,∠C =90°，BC =6，AC =8，点D 是AC 边上一点，将△BCD 沿BD 折叠,使点C 落在AB 边的E 点,那么AE 的长度是．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△CDE 可以看作是△AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB 得到△CDE 的过程：．(第13题图) (第14题图) (第15题图) 16.阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M.请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为________.(第16题图)三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：2sin30tan60cos60tan45︒-︒+︒-︒．18（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出这个二次函数的图象．19．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D．AC=10，cos A=45，求BC的长．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．∠=∠；（1）求证：A BCD（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．21．尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．22．某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30︒，然后沿DF方向前行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60︒．请根据他们的测量数据求此塔MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：412≈，73.16≈）.23≈，45.1四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如下图），你选择的方案是_____(填方案一，方案二，或方案三)，则B点坐标是______，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．24．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE 的长.25．小明根据学习函数的经验，对函数4254y x x =-+ 的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质；（4）进一步探究函数图象发现：①方程42540x x -+=有个互不相等的实数根；②有两个点（x 1，y 1）和（x 2，y 2）在此函数图象上，当x 2>x 1>2时，比较y 1和y 2的大小关系为： y 1y 2 (填“>”、“<”或“=”)；③若关于x 的方程4254x x a -+=有4个互不相等的实数根，则a 的取值范围是.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B顶点为C 点．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若∠ACB =45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于轴的直线与抛物线交于点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2），与直线AB 交于点N （x 3，y 3），若x 3<x 1<x 2，结合函数的图象，直接写出x 1+x 2+x 3的取值范围为.五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分） 27．已知，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 为BC 边上的一点.（1）以点C 为旋转中心，将△ACD 逆时针旋转90°，得到△BCE ，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD 交BE 于点F ，求证：AF ⊥BE ；（3）若AC，BF =1，连接CF ，则CF 的长度为.28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≥，则称1d 为点P 的最大距离；若12d d <，则称2d 为点P 的最大距离.例如：点P （3-，4）到到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为3，因为3<4，所以点P 的最大距离为4. （1）①点A （2，5-）的最大距离为；②若点B （a ，2）的最大距离为5，则a 的值为；y l（2）若点C 在直线2y x =--上，且点C 的最大距离为5，求点C 的坐标；（3）若⊙O 上存在．．点M ，使点M 的最大距离为5，直接写出⊙O 的半径r 的取值范围.昌平区2019-2020学年度第一学期初三年级期末质量抽测数学参考答案及评分标准 2018. 1一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．解：2sin30tan60cos60tan45︒-︒+︒-︒122112=⨯-…………………………………………………………4分12=．…………………………………………………………………5分18．解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1-，4-）．………………………………… 1分设二次函数的解析式为：2(1)4y a x=+-………………2分把点（0，3）代入2(1)4y a x=+-得1a=∴2(1)4y x=+-…………………………………3分（2）如图所示……………………………………………………… 5分19．解：∵AC=AB，AB=10，∴AC=10．……………………………………………1分在Rt△ABD中∵cos A=ADAB=45，∴AD=8， (2)分∴DC=2.……………………………………………………………………………3分∴6BD==.…………………………………………………………4分∴BC==……………………………………………………5分20．（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，∴弧BC=弧BD. ……………………1分∴A BCD∠=∠.…………………… 2分（2）解：连接OC∵直径AB⊥弦CD，CD=8，∴CE=ED=4. ……………………3分∵直径AB =10，∴CO =OB=5.在Rt△COE中3OE=……………………4分∴2BE=.……………………5分21．（1）如图所示…………………… 2分（2）解：∵直径AC =4，∴OA =OB=2.………………………3分∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠AOB=90°，………………………4分∴AB== 5分.22．解：由题意:AB=40，CF=1.5，∠MAC=30°，∠MBC =60°，∵∠MAC=30°，∠MBC =60°，∴∠AMB=30° ∴∠AMB =∠MAB∴ AB =MB =40．………………………… 1分在Rt △ACD 中， ∵ ∠MCB=90°，∠MBC =60°， ∴ ∠BMC =30°．∴ BC =12BM =20．………………………… 2分∴MC ==………………………………… 3分.， ∴ MC ≈34.6． ……………………………………………… 4分∴ MF = MC+CF =36.1.………………………………………………………… 5分 ∴ 塔MF 的高约为36.1米． …………………………………… 5分23．解：方案1：（1）点B 的坐标为（5,0）…………… 1分设抛物线的解析式为：(5)(5)y a x x =+-…………… 2分由题意可以得到抛物线的顶点为（0,5），代入解析式可得：15a =- ∴抛物线的解析式为：1(5)(5)5y x x =-+-…………… 3分（2）由题意：把3x =代入1(5)(5)5y x x =-+-解得：165y ==3.2…………… 5分 ∴水面上涨的高度为3.2m …………… 6分方案2：（1）点B 的坐标为（10,0）…………… 1分设抛物线的解析式为：(10)y ax x =-…………… 2分由题意可以得到抛物线的顶点为（5,5），代入解析式可得：15a =- ∴抛物线的解析式为：1(10)5y x x =--…………… 3分（2）由题意：把2x =代入1(10)5y x x =--解得：165y ==3.2…………… 5分∴水面上涨的高度为3.2m …………… 6分方案3：（1）点B 的坐标为（5, 5-）…………… 1分由题意可以得到抛物线的顶点为（0,0）设抛物线的解析式为：2y ax =…………… 2分把点B 的坐标（5, 5-），代入解析式可得：15a =-∴抛物线的解析式为：215y x =-…………… 3分（2）由题意：把3x =代入215y x =-解得：95y =-= 1.8-…………… 5分 ∴水面上涨的高度为5 1.8-=3.2m …………… 6分24．（1）证明：连接OC ，∵点C 为弧BF 的中点， ∴弧BC =弧CF ．∴BAC FAC ∠=∠．…………… 1分∵OA OC =， ∴OCA OAC ∠=∠．∴OCA FAC ∠=∠．……………………2分∵AE ⊥DE ，∴90CAE ACE ︒∠+∠=．∴90OCA ACE ︒∠+∠=． ∴OC ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线． …………………… 3分（2）解：∵tan D=OC CD =34，OC =3， ∴CD =4．…………………………… 4分∴OD ．∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分 ∵sin D=OC OD =AE AD =35，∴AE=245．……………………………6分 25．（1）m =0,…………… 1分（2）作图,……………2分（3）图像关于y 轴对称, (答案不唯一) ……………3分（4）< （5）944a -<<26．解：（1）∵抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ， ∴点A 的坐标为,3-（0）；…………………… 1分 ∵抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)的对称轴为直线1x =，∴点B 的坐标为,0（1）．…………………… 2分（2）∵∠ACB =45°，∴点C 的坐标为,4-（1），…………………… 3分把点C 代入抛物线y=mx 2－2mx －3得出1m =，∴抛物线的解析式为y=x 2－2x －3． …………………… 4分（3）123523x x x <++< ……………………6分 27．（1）补全图形…………………… 2分（2）证明：∵ΔCBE 由ΔCAD 旋转得到，∴ΔCBE ≌ΔCAD ，……………… 3分∴∠CBE =∠CAD ，∠BCE =∠ACD =90°，……………4分 ∴∠CBE +∠E =∠CAD +∠E ，∴∠BCE =∠AFE =90°，∴AF ⊥BE ．……………………………………5分（3………………………………………………7分28．解：（1）①5……………………… 1分②5±……………………… 3分（2）∵点C 的最大距离为5， ∴当5x <时，5y =±，或者当5y <时，5x =±. ………………4分分别把5x =±，5y =±代入得：当5x =时，7y =-，当5x =-时，3y =，当5y =时，7x =-，当5y =-时，3x =，∴点C （5-，3）或（3，5-）.……………………… 5分（3）5r ≤≤…………………………………7分。

2019-2020学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．14．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：96．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P 是上任意一点，则∠P 的正切值为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为，线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°【分析】根据随机事件的意义，这个选项进行判断即可．解：“通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰”是必然事件；“随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是偶数，也可能是奇数”因此选项B符合题意；“明天太阳从东方升起”是必然事件，不符合题意；“三角形的内角和是180°”因此“三角形的内角和是360°”是确定事件中的不可能事件，不符合题意；故选：B．2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】抛物线的顶点式为：y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标．解：抛物线y＝（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：（2，1）．故选：A．3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据概率＝所求情况数与总情况数之比解答即可．解：∵共3个素数，分别是5，7，11，∴抽到的数是7的概率是；故选：C．4．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍【分析】根据相似三角形的性质解答．解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝．故选：D．6．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心．解：如图，∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，∴连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．解：由题意得，AP＝CD，BP＝EF，∵AP+BP＞AB，∴CD+EF＞AB；∵⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，∴＝，＝，∵+＝，∴+＝；∴∠CO2D＝∠AO1P，∠EO3F＝∠BO1P，∵∠AO1P+∠BO1P＝∠AO1P，∴∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；∵∠CDO2＝∠APO1，∠BPO1＝∠EFO3，∵∠P＝∠APO1+∠BPO1，∴∠CDO2+∠EFO3＝∠P，∴正确结论的序号是②③④，故选：D．8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3【分析】根据抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，可得A、B两点坐标，D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理可求BC的长为5，E是线段AD的中点，再根据三角形中位线，BD最小，OE就最小．解：∵抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，∴A、B两点坐标为（﹣3，0）、（3，0），∵D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC＝5，∵E是线段AD的中点，O是AB中点，∴OE是三角形ABD的中位线，∴OE＝BD，即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小．如图，连接BC交圆于点D′，∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，∴OE′＝2．所以线段OE的最小值为2．故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（1，3）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．故答案为：（1，3）．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．【分析】直接利用射线的特点得出符合题意的反比例函数解析式．解：∵射线l的端点为（0，1），l∥x轴，∴写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．故答案为：答案不唯一，如y＝．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为2．【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．解：∵矩形ABCD是黄金矩形，且AD＝，∴，，∴AB＝2，故答案为2．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝1，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝1，∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝π，故答案为：．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为．【分析】：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠AOD＝∠APB，再利用正切的性质得到tan∠AOD＝，从而得到tan∠P的值．解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠APB＝∠AOB，∴∠AOD＝∠APB，在Rt△AOD中，tan∠AOD＝＝，∴tan∠P＝．故答案为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为2．【分析】根据根与系数的关系解答即可．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），∴m+n＝﹣＝2．故答案是：2．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为0.920（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．【分析】（1）根据表格中频率的变化情况，估计概率即可；（2）根据完好的概率进行列方程求解即可．解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为0.920，故答案为：0.920；（2）设总质量为m千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为x，由题意得，m×0.920×x＝m×0.880，解得，x＝，故答案为：．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是①②③．【分析】如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC＝3，S△BOD＝3，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算S四边形OAPB和S△ACD得到m与n的关系可对对③进行判断．解：如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），∵S△AOC＝3，S△BOD＝3，∴S△AOC＝S△BOD；所以①正确；∵S△POA＝﹣n×＝﹣，S△POB＝﹣n×＝﹣，∴S△POA＝S△POB；所以②正确；∵S四边形OAPB＝﹣n×＝﹣，S△ACD＝×m×（﹣）＝3﹣，∴当﹣＝3﹣，即m2﹣mn﹣2n2＝0，所以m＝2n（舍去）或m＝﹣n，此时P点为无数个，所以③正确．故答案为①②③．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．解：原式＝＝1．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tan C＝，可以求得CD的长，从而可以求得BC 的长，本题得以解决．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，∴AD＝4，BD＝，∵在Rt△ADC中，tan C＝，AD＝4，∴，∴CD＝3．∴BC＝BD+CD＝．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．【分析】首先证明∠ABD＝90°，求出∠BDC，∠ADB即可解决问题．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°．根据题意可知BD＝BC，∠DBC＝30°．∴AB＝BD．∴∠ABD＝90°，∠BDC＝75°．∴∠BDA＝45°．∴∠ADC＝30°．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．【分析】（1）根据题意设出y2的表达式，再把（0，0）代入，求出a的值，即可得出y2的表达式；（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，从而得出不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集．解：（1）根据题意设y2的表达式为：y2＝a（x+1）2﹣1，把（0，0）代入得a＝1，∴y2＝x2+2x；（2）当x＝﹣2时，y1＝y2＝0；当x＝1时，y1＝y2＝3；∴直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），而x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．故答案为：x＜﹣2或x＞1．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．【分析】（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，根据等边三角形的判定与性质即可求解；（2）根据切线的判定即可求解．解：（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，∴OA＝OD．∵点C为OA的中点，CD⊥AB，∴AD＝OD．∴OA＝OD＝AD．∴△OAD是等边三角形．∴∠AOD＝60°．∴∠ABD＝30°．（2）如图2，∵∠ADE＝∠ABD，∴∠ADE＝30°．∵∠ADO＝60°．∴∠ODE＝90°．∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．∴直线DE与图形W的公共点个数为1．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝2．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；【分析】阅读材料：证明△ACP∽△CBP．得出．由等腰直角三角形的性质得出CB＝AC得出＝．PC＝AP＝．得出PB＝PC＝2．解决问题：证明△ACP∽△CBP．得出＝，设AP＝a，则PC＝，得出PB＝3a．即可得出．【解答】阅读材料：解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴CB＝AC，∴＝．∵AP＝1，∴PC＝AP＝．∴PB＝PC＝2．故答案为：∠PBC；；2；解决问题：解：作AD⊥BC于D，如图2所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°．BD＝CD＝BC，∴AD＝AC，CD＝AD，∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2AD，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴＝＝，设AP＝a，则PC＝，∴PB＝3a．∴．24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CD 的长度；（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）．C（a，），D（，），进一步求得AB＝2a，CD＝．即可求得AB＞CD．解：（1）∵AB∥x轴，A（1，1），B在反比例函数的图象上，∴B（3，1）．同理可求：C（1，3），D（，3）．∴AB＝2，CD＝．（2）AB＞CD．证明：∵A（a，b），A在反比例函数的图象上，∴A（a，）．∵AB∥x轴，B在反比例函数的图象上，∴B（3a，）．同理可求：C（a，），D（，）．∴AB＝2a，CD＝．∵a＞0，∴2a＞．∴AB＞CD．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为 2.98和1.35 cm．【分析】（1）由函数的定义可得；（2）描点即可；（3）结合图象，即可求解．解：（1）由函数的定义可得：BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数，故答案为：BM，DF，DM；（2）如图所示．（3）由图象得到：当DF＝2cm时，DM的长度约为2.98cm和1.35cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．【分析】（1）将点（3，3）代入解析式即可求得；（2）把y＝4代入y＝x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求得；（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况讨论，即可得结论．解：（1）将点（3，3）代入y＝ax2+bx，得9a+3b＝3．∴b＝﹣3a+1．（2）令x+4a+4＝4，得x＝﹣4a．∴B（﹣4a，4）．（3）∵a＜0，∴抛物线开口向下，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∵A（1，4），B（﹣4a，4）∴点A、B所在的直线为y＝4，由（1）得b＝1﹣3a，则抛物线可化为：y＝ax2+（1﹣3a）x，分两种情况讨论：①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点时，且抛物线的顶点在点A、B之间，则1≤≤﹣4a或﹣4a≤≤1，方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，即（1﹣3a）2+16a＝0，解得a1＝﹣，a2＝﹣1，当a1＝﹣时，＝6（不符合题意），当a2＝﹣1时，＝2，则1≤≤﹣4a成立．②当抛物线经过点A时，即当x＝1，y＝4时，a+1﹣3a＝4，解得a＝﹣；∴a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，综上：a的取值为：a＝﹣1或a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB 上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．【分析】（1）根据题意即可补全图形；（2）①由旋转得∠ACD＝120°，由三角形内角和得出∠DCB+∠ACO＝60°，∠OAC+∠ACO＝60°，即可得出结论；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝30°，∠AEC＝150°，得出∠AEC＝∠CBD，易证AE＝BC，由ASA证得△AEC≌△CBD，即可得出结论；（3）猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝60°，得出△OFC是等边三角形，则CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，由SAS证得△CFH≌△COA，得出∠H＝∠OAC，由三角形外角性质得出∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，则∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，由CA＝CD，∠ACD＝120°，得出∠CAD＝30°，即可得出∠DCH＝2∠DAH．【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：（2）证明：①由旋转得：∠ACD＝120°，∴∠DCB+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∵∠MON＝120°，∴∠OAC+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∴∠OAC＝∠DCB；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，如图2所示：则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝180°﹣30°＝150°，由旋转得：∠CBD＝150°，∴∠AEC＝∠CBD，∵OA＝OB，OE＝OC，∴AE＝BC，在△AEC和△CBD中，，∴△AEC≌△CBD（ASA），∴CD＝CA；（3）解：猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH；理由如下：在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，如图3所示：则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝180°﹣120°＝60°，∴△OFC是等边三角形，∴CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，在△CFH和△COA中，，∴△CFH≌△COA（SAS），∴∠H＝∠OAC，∴∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，∴∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，∵CA＝CD，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴∠DCH＝2（∠CAD+∠OAC）＝2∠DAH．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为（0，1），线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为6；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ，M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝，CQ＝．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①当k＝1时，y＝x+4，Q（t﹣4，t），P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B （m，0），则圆心为C（，1），由CQ⊥PQ，可求CQ的解析式为y＝﹣x++1，Q 点横坐标为﹣＝t﹣4，则C（2t﹣5，1），再由CQ＝AC，得到t＝6或t＝2；②y ＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），PQ是圆的切线，AO是圆的弦，则有PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以1﹣2＜k≤﹣；当k ＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以≤k＜1+2．解：（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2，∴PQ＝，故答案为（0，1）；；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ．∵A（0，2），B（2，0），∴C（1，1）．∴M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝．∴CQ＝．∵P（0，3），M（0，1），∴PM＝2．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①如图1：当k＝1时，y＝x+4，∴Q（t﹣4，t），∵1≤PA≤2，∴P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B（m，0），∴C（，1），∵CQ⊥PQ，∴CQ的解析式为y＝﹣x++1，∴Q点横坐标为﹣，∴﹣＝t﹣4，∴m＝4t﹣10，∴C（2t﹣5，1），∵CQ＝AC，∴（2t﹣5）2+1＝2（t﹣1）2，∴t＝6或t＝2，∴t的最大值为6；故答案为6．②∵﹣1≤x≤1，∵y＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），∵PQ是圆的切线，AO是圆的弦，∴PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝﹣，∴1﹣2＜k≤﹣；当k＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝，∴≤k＜1+2．。

2019-2020年初三第一次阶段性测试数学试卷及答案

2019-2020年初三第一次阶段性测试数学试卷及答案一、填空题：（本大题每题2分，共20分，把答案填写在题中横线上）1、┃π-14.3┃=_____________；若a ＜0，则3322a a a a +++＝____________.2、当a __________时，42-a 无意义；22--x x有意义的条件是_____________. 3、已知一个样本1，2，3，x ，5，它的平均数是3，则这个样本的极差是___________；方差是____________.4、某校九年级上学期期末统一考试后，甲、乙两班的数学成绩（单位：分）的统计情况如下表所示：从各统计指标（平均分、中位数、众数、方差）综合来看，你认为______班的成绩较好。

5、若关于x 的方程22)2()1(2+=--b x a x 有两个相等的实根，则=a ________；=b ________.6、已知菱形ABCD 中对角线AC 、BD 相交于点O ，添加条件______________或_____________可使菱形ABCD 成为正方形.7、已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC=1㎝，则线段AB 的长为____________________.8、如图，E 为□ABCD 中AD 边上的一点，将△ABE 沿BE 折叠使得点A 刚好落在BC 边上的F 点处，若AB 为4，ED 为3，则□ABCD 的周长为_________.9、已知：如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°，则∠BOE=_______°.第8题图第9题图第10题图10、如图，折叠直角梯形纸片的上底AD ，点D 落在底边BC 上点F 处，已知DC=8㎝，FC = 4㎝，则EC 长㎝.二、选择题:（下列各题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个是正确的，把正确答案的代号填在题后【】内，每小题2分，共18分） 11、下列各式中与327x --是同类二次根式的是【】.A 、327x B 、273x - C 、2391x -- D 、3x12、在下列各式的化简中，化简正确的有【】. ①3a ＝a a ；②5x x -x x ＝4x x ；③6a2b a ＝ab ab 23 ；④24+61＝86 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 13、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是【】． A 、若x 2=4，则x ＝2B 、方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1C 、若x 2+2x +k =0的一个根为1，则3-＝kD 、若分式1232－＋－x x x 的值为零，则x ＝1，214、若关于x 的方程06)(22=+--x k x x 无实根，则k 可取的最小整数为【】. A 、5- B 、4- C 、3- D 、2-15、甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：某同学根据上表分析得出如下结论：(1)甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；(2)乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)；(3)甲班成绩比乙班成绩波动大。

2021-2022学年北京市昌平区九年级(上)期中数学试卷(a卷)(解析版)

2021-2022学年北京市昌平区九年级第一学期期中数学试卷（A卷）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）3．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣24．将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3 5．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（）A．B．C．D．6．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（）A．B．C．D．7．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3 8．已知二次函数y＝x2﹣2x+m，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列结论正确的是（）A．若x1+x2＜2，则y1＞y2B．若x1+x2＞2，则y1＞y2C．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2D．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为．10．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1、l2、l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是．11．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝．12．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE ＝4，则BC的长为．13．已知抛物线y＝（x﹣1）2有点A（0，y1）和B（3，y2），则y1y2．（用“＞”，“＜”，“＝”填写）14．如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是m．15．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：x…﹣10245…y1…01356…y2…0﹣1059…当y2＜y1时，自变量x的取值范围是．16．如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC边上．若AC＝8，AD＝2，则△AED周长为，的值为．三、解答题（本题共12小题，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）17．已知：二次函数y＝x2﹣1．（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）画出它的图象．18．如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．求证：△AOB∽△DOC．19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求此二次函数表达式．20．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据，并直接写出∠B2A2C2的度数．21．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当‑4＜x＜1时，直接写出y的取值范围．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．（1）建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；（2）求水流的落地点D到水枪底部B的距离．24．如图，在▱ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠A．（1）求证：△BDF∽△BCD；（2）如果BD＝3，BC＝9，求的值．25．下面给出六个函数解析式：y＝x2，y＝x2+1，y＝﹣x2﹣|x|，y＝2x2﹣3|x|﹣1，y＝﹣x2+2|x|+1，y＝﹣3x2﹣|x|﹣4．小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y ＝，其中x为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2+2|x|+1的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是；（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为．26．已知抛物线y＝﹣x2+x．（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；（2）已知该抛物线经过A（3n+4，y1），B（2n﹣1，y2）两点．①若n＜﹣5，判断y1与y2的大小关系并说明理由；②若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且y1＞y2，直接写出n的取值范围．27．在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“关联点”．例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”为点（﹣5，﹣6）．（1）在点E（0，0），F（2，5），G（﹣1，﹣1），H（﹣3，5）中，的“关联点”在函数y＝2x+1的图象上；（2）如果一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”是N（m，2），求点M的坐标；（3）如果点P在函数y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，可得答案．解：A、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故A不符合题意；B、由比例的性质，得xy＝12与3x＝4y不一致，故B不符合题意；C、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故C不符合题意；D、由比例的性质，得3x＝4y与3x＝4y一致，故D符合题意；故选：D．2．抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．解：∵抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3，∴其顶点坐标为（﹣2，﹣3）．故选：C．3．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】根据黄金分割点的定义，求解即可．解：∵矩形ABCD是黄金矩形，∴，∴，∴AB＝2，故选：C．4．将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，故选：B．5．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．6．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（）A．B．C．D．【分析】先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，而E是AB的中点，BE＝AB ＝CD，再证明△BEF∽△DCF，然后根据相似三角形的性质可计算的值．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E是AB的中点，∴BE＝AB＝CD；∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴＝（）2＝．故选：C．7．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3【分析】根据图象得出二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，再求出a即可．解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，故选：B．8．已知二次函数y＝x2﹣2x+m，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列结论正确的是（）A．若x1+x2＜2，则y1＞y2B．若x1+x2＞2，则y1＞y2C．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2D．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2【分析】由二次函数y＝x2﹣2x+m可知对称轴为x＝1，当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∵x1＜x2，∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，∴y1＞y2，故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣4）得出即可．解：∵开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，﹣4），故解析式为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．10．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1、l2、l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是 4.5．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝4，BC＝6，DE＝3，∴＝，解得：EF＝4.5，故答案为：4.5．11．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝3．【分析】利用配方法把二次函数的表达式y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，求出h、k的值各是多少，代入代数式计算即可．解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴h＝2，k＝1，∴h+k＝2+1＝3．故答案为：3．12．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE ＝4，则BC的长为6．【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得出＝，代入AD＝2，AB＝3，DE＝4即可求出BC的长．解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴BC＝6．故答案为：6．13．已知抛物线y＝（x﹣1）2有点A（0，y1）和B（3，y2），则y1＜y2．（用“＞”，“＜”，“＝”填写）【分析】分别把A、B点的横坐标代入抛物线解析式求解即可．解：x＝0时，y1＝（0﹣1）2＝1，x＝3时，y3＝（3﹣1）2＝4，∴y1＜y2．故答案为：＜．14．如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是8m．【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△ABC∽△DBE，∴BC：BE＝AC：DE，即1：5＝1.6：DE，∴DE＝8（m），故答案为：8．15．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：x…﹣10245…y1…01356…y2…0﹣1059…当y2＜y1时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜4．【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），作出草图，观察图象知：当﹣1＜x＜4时，y1＞y2．解：∵当x＝﹣1时，y1＝y2＝0；当x＝4时，y1＝y2＝5；∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），画出草图如下：当﹣1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＜y1时，自变量x的取值范围是：﹣1＜x＜4．故答案为：﹣1＜x＜4．16．如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC边上．若AC＝8，AD＝2，则△AED周长为10，的值为．【分析】由已知求得CD＝3a，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：BE+DE+BD ＝8，DF+CF+CD＝10，再证明△BED∽△CDF，由相似三角形周长的比等于相似比，即可得出结果．解：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC＝8，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵AD＝2，∴BD＝6，由折叠的性质可知：CE＝DE，CF＝DF，∠EDF＝∠C＝60°，∴AE+DE+AD＝AC+AD＝10，即△AED周长为10，故答案为：10；∴DF+BF+BD＝BC+BD＝12，∵∠EDF＝∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠FDB+∠EDA＝∠AED+∠EDA＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∵∠B＝∠A＝60°，∴△AED∽△BDF，∴（AE+DE+AD）：（DF+BF+BD）＝DE：DF＝CE：CF，∴＝＝，故答案为：．三、解答题（本题共12小题，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）17．已知：二次函数y＝x2﹣1．（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）画出它的图象．【分析】（1）根据顶点式可直接求得其顶点坐标及对称轴；（2）可分别求得抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；（2）在y＝x2﹣1中，令y＝0可得0＝x2﹣1．解得x＝﹣1或1，令x＝0可得y＝﹣1，结合（1）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如图所示：．18．如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．求证：△AOB∽△DOC．【分析】根据相似三角形的判定解答即可．【解答】证明：∵AC，BD相交于的点O，∴∠AOB＝∠DOC，又∵∠ABO＝∠C，∴△AOB∽△DOC．19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求此二次函数表达式．【分析】根据图象确定经过抛物线的三个点，利用待定系数法计算即可．解：由图象可知，抛物线经过（﹣3，0）、（1，0）、（0，3），设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），则3＝a（0+3）（0﹣1），解得，a＝﹣1，则抛物线的解析式为：y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3．20．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据，并直接写出∠B2A2C2的度数．【分析】（1）把△A1B1C1的边长缩小一半，画出三角形即可．（2）利用两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．解：（1）如图，△A2B2C2即为所求．（2）∵A1C1＝4，A1B1＝2，A2C2＝2，A2B2＝，∴＝＝，∵∠B1A1C1＝∠B2A2C2＝135°，∴△A1B1C1∽△A2B2C2．∴∠B2A2C2的度数为135°．21．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当‑4＜x＜1时，直接写出y的取值范围．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据x＝﹣4、1时的函数值即可写出y的取值范围．解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；（2）如图所示：（3）∵y＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，当x＝1时，y＝0，又对称轴为x＝﹣1，∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是4≤y＜5．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）利用相似三角形的性质证明CD2＝AD•DB，可得结论．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD．（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴＝，∴CD2＝AD•DB，∵AD＝3，BD＝2，∴CD2＝6，∵CD＞0，∴CD＝．23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．（1）建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；（2）求水流的落地点D到水枪底部B的距离．【分析】（1）建立以BD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴的直角坐标系，根据顶点P（1，3.6）设其解析式为y＝a（x﹣1）2+3.6，把A（0，2）代入求得a的值，据此可得其函数解析式；（2）求得y＝0时x的值可得答案．解：（1）如图，以BD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意知，抛物线的顶点P的坐标为（1，3.6）、点A（0，2），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3.6，将点A（0，2）代入，得：a+3.6＝2，解得：a＝﹣1.6，则抛物线的解析式为y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6，（2）当y＝0时，有﹣1.6（x﹣1）2+3.6＝0，解得：x＝﹣0.5（舍）或x＝2.5，∴BD＝2.5，答：水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m．24．如图，在▱ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠A．（1）求证：△BDF∽△BCD；（2）如果BD＝3，BC＝9，求的值．【分析】（1）由平行四边形的性质可得出∠A＝∠C，结合∠EDB＝∠A可得出∠EDB＝∠C，再由∠DBF＝∠CBD即可证出△BDF∽△BCD；（2）由△BDF∽△BCD，利用相似三角形的性质可求出BF的长度，由DC∥AE可得出△DFC∽△EFB，再利用三角形的性质及AB＝DC即可求出的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AE，∠A＝∠C．∵∠EDB＝∠A，∴∠EDB＝∠C．∵∠DBF＝∠CBD，∴△BDF∽△BCD；（2）解：∵△BDF∽△BCD，∴＝，即＝，∵BF＝5．∵DC∥AE，∴△DFC∽△EFB，∴＝，即＝．又∵AB＝DC，∴＝．25．下面给出六个函数解析式：y＝x2，y＝x2+1，y＝﹣x2﹣|x|，y＝2x2﹣3|x|﹣1，y＝﹣x2+2|x|+1，y＝﹣3x2﹣|x|﹣4．小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y＝ax2+b|x|+c （a，b，c是常数，a≠0），其中x为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2+2|x|+1的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x 的增大而减小④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是①③；（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为﹣1，0．【分析】（1）观察这些函数解析式，它们都具有共同的特点，即可以表示；（2）用描点法将这个函数的图象补充完整即可；（3）观察图象即可得结论；①函数图象关于y轴对称；②有些函数既有最大值，或有最小值；③存在某个函数，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x 的增大而减小；④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个；（4）观察函数图象即可得结论．解：（1）①观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y＝ax2+b|x|+c，（a，b，c是常数，a≠0）故答案为：y＝ax2+b|x|+c，（a，b，c是常数，a≠0）．（2）图象如图1所示．（3）观察图象可知：①函数图象关于y轴对称，正确；②有些函数既有最大值，同时也有最小值，不正确；③存在某个函数，y＝x2，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m 时，y随x的增大而减小，正确；④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个，错误．故答案为①③．（4）观察图2可知，关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为﹣1，0．故答案为﹣1，0．26．已知抛物线y＝﹣x2+x．（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；（2）已知该抛物线经过A（3n+4，y1），B（2n﹣1，y2）两点．①若n＜﹣5，判断y1与y2的大小关系并说明理由；②若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且y1＞y2，直接写出n的取值范围．【分析】（1）由对称轴公式即可求得抛物线的对称轴，令x＝0，求得函数值，即可求得抛物线与y轴的交点坐标；（2）①由n＜﹣5，可得点A，点B在对称轴直线x＝1的左侧，由二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．解：（1）∵y＝﹣x2+x，∴对称轴为直线x＝﹣＝1，令x＝0，则y＝0，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），（2）x A﹣x B＝（3n+4）﹣（2n﹣1）＝n+5，x A﹣1＝（3n+4）﹣1＝3n+3＝3（n+1），x B ﹣1＝（2n﹣1）﹣1＝2n﹣2＝2（n﹣1）．①当n＜﹣5时，x A﹣1＜0，x B﹣1＜0，x A﹣x B＜0．∴A，B两点都在抛物线的对称轴x＝1的左侧，且x A＜x B，∵抛物线y＝﹣x2+x开口向下，∴在抛物线的对称轴x＝1的左侧，y随x的增大而增大．∴y1＜y2；②若点A在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得，∴不等式组无解，若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点A在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得：，∴﹣1＜n＜﹣，综上所述：﹣1＜n＜﹣．27．在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC＝ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．解：（1）∠AMQ＝45°+α；理由如下：∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM＝90°，∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠PAB＝45°+α；（2）PQ＝MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ＝CP，∴∠QAC＝∠PAC＝α，∴∠QAM＝45°+α＝∠AMQ，∴AP＝AQ＝QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC＝ME，∵△MEB是等腰直角三角形，∴PQ＝MB，∴PQ＝MB．方法二：也可以延长AC到D，使得CD＝CQ．则易证△ADP≌△QBM．∴BM＝PD＝CD＝QC＝PQ，即PQ＝MB．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“关联点”．例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”为点（﹣5，﹣6）．（1）在点E（0，0），F（2，5），G（﹣1，﹣1），H（﹣3，5）中，F、H的“关联点”在函数y＝2x+1的图象上；（2）如果一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”是N（m，2），求点M的坐标；（3）如果点P在函数y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，求实数a的取值范围．【分析】（1）点E（0，0）的“关联点”是（0，0），点F（2，5）的“关联点”是（2，5），点G（﹣1，﹣1）的“关联点”是（﹣1，1），点H（﹣3，5）的“关联点”是（﹣3，﹣5），将点的坐标代入函数y＝2x+1，看是否在函数图象上，即可求解；（2）当m≥0时，点M（m，2），则2＝m+3；当m＜0时，点M（m，﹣2），则﹣2＝m+3，解方程即可求解；（3）如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣4＜y'≤4，而﹣2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值（直线y＝4）与最小值（直线y＝﹣4）直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝﹣4有交点结束．都符合要求﹣4＜y'≤4，只要求出关键点即可求解．解：（1）点E（0，0）的“关联点”是（0，0），点F（2，5）的“关联点”是（2，5），点G（﹣1，﹣1）的“关联点”是（﹣1，1），点H（﹣3，5）的“关联点”是（﹣3，﹣5），将点的坐标代入函数y＝2x+1，得（2，5）和（﹣3，﹣5）在此函数图象上，故答案为：F、H；（2）当m≥0时，点M（m，2），则2＝m+3，解得：m＝﹣1（舍去）；当m＜0时，点M（m，﹣2），﹣2＝m+3，解得：m＝﹣5，∴点M（﹣5，﹣2）；（3）如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣4＜y'≤4，而﹣2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值（直线y＝4）与最小值（直线y＝﹣4）直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝﹣4有交点结束．都符合要求﹣4＜y'≤4，即﹣4＝﹣a2+4，解得：a＝±2（舍去负值），观察图象可知满足条件的a的取值范围为2≤a＜2．。

北京市昌平区2022- 2023学年九年级上学期期中质量监控数学试卷

北京市昌平区2022- 2023学年九年级上学期期中质量监控数学试卷(共8题；共16分)1．（2分）下列各组线段中，成比例的是（）A ．1，2，2，4B ．1，2，3，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，32．（2分）抛物线y ＝x 2﹣2的顶点坐标是（）A ．（0，﹣2）B ．（﹣2，0）C ．（0，2）D ．（2，0）3．（2分）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数√5−12（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD 为黄金矩形，宽AD ＝√5﹣1，则长AB 为（） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣24．（2分）若将抛物线y=- 12x 2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（） A ．y =−12(x +3)2−2B ．y =−12(x −3)2−2C ．y =(x +3)2−2D ．y =−12(x +3)2+25．（2分）如图，在▱ABCD 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，那么EF 与CF 的比是（）A ．1：2B ．1：3C ．2：1D ．3：16．（2分）如图，▱ABC▱▱A′B′C′，AD 和 A′D′分别是▱ABC 和▱A′B′C′的高，若 AD ＝2，A′D′＝3，则▱ABC 与▱A′B′C′的面积的比为（）A ．4：9B ．9：4C ．2：3D ．3：27．（2分）已知二次函数 y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则使得函数值 y 大于 2 的自变量 x 的取值可以是（）A．-4B．-2C．0D．28．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的位置如图所示，抛物线y=ax2−2ax经过A，B，则下列说法错误的是（）A．抛物线的开口向上B．抛物线的对称轴是x=1C．点B在抛物线对称轴的左侧D．抛物线的顶点在第四象限(共8题；共8分)9．（1分）写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式．10．（1分）如图，AB▱CD▱EF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC=3，CE=5，DF=4，则BF的长为．11．（1分）把二次函数y=x2-6x+5配成y=(x-h)2+k的形式是．12．（1分）已知抛物线y=x2−2x经过点(−1，y1)，(4，y2)，则y1y2(填“>”“ =”或“<”).13．（1分）如图，在▱ABC中，DE分别与AB、AC相交于点D、E，且DE▱BC，如果ADDB=23，那么DEBC=．14．（1分）二次函数y=−x2+bx+c的部分图像如图所示，由图像可知，方程−x2+bx+c=0的解为．15．（1分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示。

2021-2022学年北京人大附中本部九年级(上)期末数学模拟练习试卷(六)

2021-2022学年北京人大附中本部九年级（上）期末数学模拟练习试卷（六）1.（单选题，3分）在抛物线y=x2-4x-5上的一个点的坐标为（）A.（0，-4）B.（2，0）C.（1，0）D.（-1，0）2.（单选题，3分）在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（）A.πcmB.2πcmC.3πcmD.6πcm3.（单选题，3分）将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A.y=（x+3）2+5B.y=（x-3）2+5C.y=（x+5）2+3D.y=（x-5）2+34.（单选题，3分）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（）A.四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：1B.四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：2C.四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3：1D.四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4：15.（单选题，3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB=32°，则∠ABC等于（）A.68°B.64°C.58°D.32° 6.（单选题，3分）若抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A （1，0），B （3，0）两点，则抛物线的对称轴为（）A.x=1B.x=2C.x=3D.x=47.（单选题，3分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ，则可列出关于x 的方程为（）A.2.44（1+x ）=6.72B.2.44（1+2x ）=6.72C.2.44（1+x ）2=6.72D.2.44（1-x ）2=6.728.（单选题，3分）现有函数y= {x +4(x ＜a)x 2−2x (x ≥a )如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x=m 时，y=n ，那么实数a 的取值范围是（）A.-5≤a≤4B.-1≤a≤4C.-4≤a≤1D.-4≤a≤59.（填空题，3分）若正六边形的边长为2，则它的半径为 ___ ．10.（填空题，3分）若抛物线y=ax 2（a≠0）经过A （1，3），则该抛物线的解析式为___ ．11.（填空题，3分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=9，则sinB=___ ．12.（填空题，3分）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的示意图如图所示，则a___ 0，b___ 0，c___ 0（填“＞”，“=”或“＜”）．13.（填空题，3分）如图，AB为⊙O的直径，AB=10，CD是弦，AB⊥CD于点E，若CD=6，则EB=___ ．14.（填空题，3分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA=2，∠APB=60°，则PB=___ ．15.（填空题，3分）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD=DA=CB，DC=AB=BE，在点A，E处分别装上画笔．画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．原理：若连接OA，OE，可证得以下结论：① △ODA和△OCE为等腰三角形，则∠DOA= 12（180°-∠ODA），∠COE= 12（180°-∠___ ）；② 四边形ABCD为平行四边形（理由是___ ）；③ ∠DOA=∠COE，于是可得O，A，E三点在一条直线上；④ 当DCCB =35时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的___ 倍得到的．16.（填空题，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，3），⊙O经过点P．点A，点B在y轴上，PA=PB，延长PA，PB分别交⊙O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．（1）⊙O的半径为 ___ ；（2）tanα=___ ．17.（问答题，5分）计算：2sin60°-tan45°+cos230°．18.（问答题，5分）已知关于x的方程x2+2x+k-4=0．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若k=1，求该方程的根．19.（问答题，6分）借助网格画图并说理：如图所示的网格是正方形网格，△ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上方，AD⊥BC于点D，BD=4，CD=2，AD=3．以BC为直径作⊙O，射线DA交⊙O于点E，连接BE，CE．（1）补全图形；（2）填空：∠BEC=___ °，理由是 ___ ；（3）判断点A与⊙O的位置关系并说明理由；（4）∠BAC ___ ∠BEC（填“＞”，“=”或“＜”）．20.（问答题，5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x=1时，函数的最小值为-4．（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x=m与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）和直线y=x-3的交点分别为点C，点D，点C 位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．21.（问答题，5分）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D在⊙O外，∠BCD=∠A，OD交⊙O于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；，求DE的长．（2）若CD=4，AC=2.7，cos∠BCD= 92022.（问答题，5分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．① 请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？并说明理由．② 如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）23.（问答题，7分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，BE=1，F为BC边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点F重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．设CM=x，矩形PMDN的面积为S．（1）DM=___ （用含x的式子表示），x的取值范围是___ ；（2）求S与x的函数关系式；（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．24.（问答题，7分）已知：点A（-1，-4）和P是一次函数y=kx+b与反比例函数y= m图象x的两个不同交点，点P关于y轴的对称点为P′，直线AP以及AP′分别与x轴交于点M和N．的表达式；（1）求反比例函数y= mxMN，求k的取值范围．（2）若PP′≥ 3225.（问答题，7分）已知抛物线y=- 1x2+x．2（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；（2）已知该抛物线经过A（3n+4，y1），B（2n-1，y2）两点．① 若n＜-5，判断y1与y2的大小关系并说明理由；② 若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且y1＞y2，直接写出n的取值范围．26.（问答题，0分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y=x+4a+4与直线y=4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．27.（问答题，0分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC= √3．将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α=___ °，AA'=___ ；（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．① 在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；② 连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．28.（问答题，0分）对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d1，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1=d2，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，2 √3）．（1）在R（3，0），S（2，0），T（1，√3）三点中，点A和点B的等距点是 ___ ；（2）已知直线y=-2．① 若点A和直线y=-2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为 ___ ；② 若直线y=a上存在点A和直线y=-2的等距点，求实数a的取值范围；x，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上（3）记直线AB为直线l1，直线l2：y=- √33有m个直线l1和直线l2的等距点，以及n个直线l1和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．。

2019-2020学年北京八十中九年级(上)月考数学试卷(10月份)试题及答案解析

2019-2020学年北京八十中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）（2017•北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（2分）（2018•相山区四模）如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转100︒，得到ADE ∆．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的大小为( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒3．（2分）（2019•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从(3,4)出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不经过( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q4．（2分）（2008•资阳）已知22y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是( ) A ．22(2)2y x =-+ B ．22(2)2y x =+-C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++5．（2分）（2015秋•石景山区期末）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列关系式中正确的是( )A ．0ac >B ．20b a +<C ．240b ac ->D ．0a b c -+<6．（2分）（2019•蓝田县一模）如图，点A 、B 、C 、D 在O 上，CB CD =，30CAD ∠=︒，50ACD ∠=︒，则(ADB ∠= )A ．30︒B ．50︒C ．70︒D ．80︒7．（2分）（2017秋•怀柔区期末）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下： ①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1)，测量出4AB =分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2)；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3)； ④计算出橡胶棒CD 的长度．小明计算橡胶棒CD 的长度为( )A ．B ．C ．D ．8．（2分）（2017•封开县二模）如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（点C 不与点A ，B 重合），4AB =．设弦AC 的长为x ，ABC ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每空2分）9．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）将二次函数解析式2285y x x =-+配方成2()y a x h k =-+的形式为．10．（2分）（2015秋•房山区期末）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(0,3)A ，(2,3)B 两点．请你写出一组满足条件的a ，b 的对应值．a = ，b = ．11．（2分）（2019•合肥二模）如图，AB 是O 的直径，点C 是半圆AB 上一点，过点C 作O 的切线CD 交AB 的延长线于点D ，若25A ∠=︒，则D ∠的度数是．12．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知抛物线2(1)(0)y a x k a =++>，当x 时，y 随x 的增大而减小．13．（2分）已知ABC ∆内接于O ，若100BOC ∠=︒，则BAC ∠= ︒．14．（2分）（2016秋•顺义区校级期中）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,3)，则方程20(0)ax bx c a ++=≠的解为．15．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知一次函数1(0)y kx m k =+≠和二次函数22(0)y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：当21y y >时，自变量x 的取值范围是．16．（2分）（2018秋•福州期末）如图，等边三角形ABC 中，D 是边BC 上一点，过点C 作AD 的垂线段，垂足为点E ，连接BE ，若2AB =，则BE 的最小值是．三、解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27题7分，第28题8分）17．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：（1）将ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，画出旋转后的△11AB C （2）求点B 的移动路径长．18．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）ABC ∆在单位长度为1的正方形网格中的位置如图所示．若O 能盖住ABC ∆，则O 的半径最小值为，并作出O ．19．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,1)，顶点坐标是(2,1)-，求它的解析式．20．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知：如图，在O 中，AB 是直径，3AC =，4BC =，C 为O 上的一个点，ACB ∠的平分线交O 于点D ，求BD 的长．21．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：（1）写出m的值；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当5y…时，x的取值范围是；（4）当41x-<<时，y的取值范围是．22．（2010•房山区一模）已知：如图，在ABC∆中，AB BC=，D是AC中点，BE平分ABD∠交AC于点E，点O是AB上一点，O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与O相切；（2）当2BD=，1sin2C=时，求O的半径．23．（5分）（2015秋•西城区期末）如图，AB 是O 的一条弦，且AB =C ，E 分别在O 上，且OC AB ⊥于点D ，30E ∠=︒，连接OA ．（1）求OA 的长；（2）若AF 是O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为BAF ∠的度数．24．（6分）（2017•金华）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度()y m 与水平距离()x m 之间满足函数表达式2(4)y a x h =-+，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．（1）当124a =-时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7m ，离地面的高度为125m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．25．（2015秋•西城区期末）已知抛物线211:24C y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线222:2(1)4C y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点(1,)A t 和点(,)B m n 都在抛物线222:2(1)4C y x k =+-上，且n t <，直接写出m的取值范围．26．（6分）（2019•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =+的图象与x 轴交于点A ，与过点(0,5)平行于x 轴的直线l 交于点B ，点A 关于直线l 的对称点为点C ．（1）求点B 和点C 坐标；（2）已知某抛物线的表达式为222y x mx m m =-+-． ①如果该抛物线顶点在直线4y x =+上，求m 的值；②如果该抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．27．（7分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为BC 边上的一点．（1）以点C 为旋转中心，将ACD ∆逆时针旋转90︒，得到BCE ∆，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD 交BE 于点F ，求证：AF BE ⊥；（3）若AC =，1BF =，连接CF ，则CF 的长度为．28．（8分）（2017秋•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当O 的半径为3时，在点1(1,0)P ，2P 1)，37(2P ，0)，4(5,0)P 中，O 的和睦点是；（2）若点(4,3)P 为O 的和睦点，求O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线1y =-上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E ，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．2019-2020学年北京八十中九年级（上）月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）（2017•北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：A ．2．（2分）（2018•相山区四模）如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转100︒，得到ADE ∆．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的大小为( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB AD =，100BAD ∠=︒， 1(180100)402B ADB ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒．故选：B ．3．（2分）（2019•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从(3,4)出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不经过( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【解答】解：由图形可得：5OA =，5OM ==，5ON ==，5OP ==≠，5OQ =，所以点A 从(3,4)出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不经过P 点，故选：C ．4．（2分）（2008•资阳）已知22y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是( ) A ．22(2)2y x =-+ B ．22(2)2y x =+-C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++【解答】解：先将x 轴、y 轴的平移转化为抛物线的平移，即可看做把抛物线沿x 轴方向向左平移2个单位长度，沿y 轴方向向下平移2个单位长度，原抛物线的顶点为(0,0)，向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为(2,2)--．可设新抛物线的解析式为22()y x h k =-+，代入得：22(2)2y x =+-．故选：B ．5．（2分）（2015秋•石景山区期末）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列关系式中正确的是( )A ．0ac >B ．20b a +<C ．240b ac ->D ．0a b c -+<【解答】解：A 、由函数图象可知二次函数2y ax bx c =++的开口向上，即0a >，交于y 轴的负半轴0c <，0ac <，故本选项错误；B 、由函数图象可知对称轴12bx a=-<，所以2b a -<，即20a b +>，故本选项错误； C 、由函数图象可知二次函数2y ax bx c =++与x 轴有两个交点，则240b ac ->．故本选项正确；D 、由函数图象可知当1x =-时，0y >，0a b c -+>，故本选项错误．故选：C ．6．（2分）（2019•蓝田县一模）如图，点A 、B 、C 、D 在O 上，CB CD =，30CAD ∠=︒，50ACD ∠=︒，则(ADB ∠= )A ．30︒B ．50︒C ．70︒D ．80︒【解答】解：CB CD =，30CAD ∠=︒，30CAD CAB ∴∠=∠=︒， 30DBC DAC ∴∠=∠=︒， 50ACD ∠=︒， 50ABD ∴∠=︒，18018050303070ACB ADB CAB ABC ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒．故选：C ．7．（2分）（2017秋•怀柔区期末）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下： ①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1)，测量出4AB =分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2)；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3)； ④计算出橡胶棒CD 的长度．小明计算橡胶棒CD 的长度为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：连接OC ，作OE CD ⊥，如图3，4AB =分米，2OC ∴=分米，将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置， 112OE OC ∴==分米，在Rt OCE ∆中，CE =CD ∴=故选：B ．8．（2分）（2017•封开县二模）如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（点C 不与点A ，B 重合），4AB =．设弦AC 的长为x ，ABC ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：4AB =，AC x =，BC ∴==1122ABC S BC AC x ∆∴== 此函数不是二次函数，也不是一次函数，∴排除A 、C ，AB 为定值，当OC AB ⊥时，ABC ∆面积最大，此时AC =即x =y 最大，故排除D ，选B ．故选：B ．二、填空题（本题共16分，每空2分）9．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）将二次函数解析式2285y x x =-+配方成2()y a x h k =-+的形式为 22(2)3y x =-- ．【解答】解：提出二次项系数得，22(4)5y x x =-+，配方得，22(44)58y x x =-++-，即22(2)3y x =--．故答案为：22(2)3y x =--．10．（2分）（2015秋•房山区期末）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(0,3)A ，(2,3)B 两点．请你写出一组满足条件的a ，b 的对应值．a = 1 ，b = ．【解答】解：把(0,3)A ，(2,3)B 两点代入2y ax bx c =++中，得 3c =，423a b c ++=，所以2b a =-，由此可设1a =，2b =-，故答案为1，2-．11．（2分）（2019•合肥二模）如图，AB 是O 的直径，点C 是半圆AB 上一点，过点C 作O 的切线CD 交AB 的延长线于点D ，若25A ∠=︒，则D ∠的度数是 40︒【解答】解：连接OC ，OA OC =， 25A OCA ∴∠=∠=︒． 50DOC A ACO ∴∠=∠+∠=︒． CD 是的切线，90OCD ∴∠=︒．180905040D ∴∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：40︒．12．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知抛物线2(1)(0)y a x k a =++>，当x 1<- 时，y 随x 的增大而减小．【解答】解：抛物线2(1)(0)y a x k a =++>，∴对称轴为直线1x =-，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小；1x <-时，y 随x 的增大而减小；故答案为1<-．13．（2分）（2015•泗洪县校级模拟）已知ABC ∆内接于O ，若100BOC ∠=︒，则BAC ∠= 50或130 ︒．【解答】解：如图，若A 在优弧BC 上时，111005022BAC BOC ∠=∠=⨯︒=︒；若点A 在劣弧BC 上时，180130BAC BAC ∠'=︒-∠=︒． 50BAC ∴∠=︒或130︒．故答案为：50或130．14．（2分）（2016秋•顺义区校级期中）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,3)，则方程20(0)ax bx c a ++=≠的解为 11x =，23x =- ．【解答】解：抛物线与x 轴的一个交点为(1,0)，且对称轴为直线1x =-，则抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)-，∴方程20(0)ax bx c a ++=≠的解为11x =，23x =-，故答案为：11x =，23x =-．15．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知一次函数1(0)y kx m k =+≠和二次函数22(0)y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：当21y y >时，自变量x 的取值范围是 1x <-或4x > ．【解答】解：当0x =时，120y y ==；当4x =时，125y y ==；∴直线与抛物线的交点为(1,0)-和(4,5)，而14x -<<时，12y y >，∴当21y y >时，自变量x 的取值范围是：1x <-或4x >．故答案为：1x <-或4x >．16．（2分）（2018秋•福州期末）如图，等边三角形ABC 中，D 是边BC 上一点，过点C作AD 的垂线段，垂足为点E ，连接BE ，若2AB =，则BE 1 ．【解答】解：如图，取AC 中点F ，连接EF ，BF ，ABC ∆是等边三角形，点F 是AC 中点， 2AB BC AC ∴===，1AF CF ==，BF AC ⊥BF ∴= 90AEC ∠=︒∴点E 在以AC 为直径的圆上，1EF AF ∴==在BEF ∆中，1BE BF EF -=…∴当点E 在BF 上时，BE 11三、解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27题7分，第28题8分）17．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：（1）将ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，画出旋转后的△11AB C （2）求点B 的移动路径长．【解答】解：（1）如图，△11AB C 为所作；（2）5AB ==，所以点B 的移动路径长90551802ππ==． 18．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）ABC ∆在单位长度为1的正方形网格中的位置如图所示．若O 能盖住ABC ∆，则O O ．【解答】解：如图，O 即为所求，O =．19．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,1)，顶点坐标是(2,1)-，求它的解析式．【解答】解：根据题意，设抛物线的解析式2(2)1y a x =--，抛物线2y ax bx c =++经过点(0,1)，21(02)1a ∴=--，解得12a =， ∴抛物线的解析式为21(2)12y x =--． 20．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知：如图，在O 中，AB 是直径，3AC =，4BC =，C 为O 上的一个点，ACB ∠的平分线交O 于点D ，求BD 的长．【解答】解：AB 为直径，90ADB ∴∠=︒，∴=，AB5∠，CD平分ACBACD BCD∴∠=∠，=．∴AD BDAD BD∴=，在等腰直角三角形ADB中，设AD BD x==，则2225+=，x x解得：x=，故BD=．21．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：（1）写出m的值0；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当5y…时，x的取值范围是；（4）当41-<<时，y的取值范围是．x【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为(1,4)--，x=-，∴抛物线的对称轴为直线1(3,0)-关于直线1x =-的对称点是(1,0)， 0m ∴=，故答案为：0；（2）函数图象如图所示；（3）(4,5)-关于直线1x =-的对称点是(2,5)，由图象可知当5y …时，x 的取值范围是4x -…或2x …，故答案为4x -…或2x …；（4）由图象可知当41x -<<时，y 的取值范围是45y -<…，故答案为45y -<…．22．（5分）（2010•房山区一模）已知：如图，在ABC ∆中，AB BC =，D 是AC 中点，BE 平分ABD ∠交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，O 过B 、E 两点，交BD 于点G ，交AB 于点F ．（1）求证：AC 与O 相切；（2）当2BD =，1sin 2C =时，求O 的半径．【解答】（1）证明：如图，连接OE ． AB BC =且D 是BC 中点BD AC ∴⊥BE 平分ABD ∠ABE DBE ∴∠=∠OB OE = OBE OEB ∴∠=∠ OEB DBE ∴∠=∠ //OE BD ∴ OE AC ∴⊥AC ∴与O 相切．（2）解：2BD =，1sin 2C =，BD AC ⊥ 4BC ∴=4AB ∴=设O 的半径为r ，则4AO r =- AB BC = C A ∴∠=∠1sin sin 2A C ∴==． AC 与O 相切于点E ， OE AC ∴⊥1sin 42r A r ∴==- 43r ∴=．23．（5分）（2015秋•西城区期末）如图，AB 是O 的一条弦，且AB =C ，E 分别在O 上，且OC AB ⊥于点D ，30E ∠=︒，连接OA ．（1）求OA 的长；（2）若AF 是O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为BAF ∠的度数．【解答】解：（1）OC AB ⊥，AB =AD DB ∴==，30E ∠=︒，60AOD ∴∠=︒，30OAB ∠=︒， 4sin 60ADOA ∴==︒；（2）如图，作OH AF ⊥于H ，4OA =，OH =45OAF ∴∠=︒，75BAF OAF OAB ∴∠=∠+∠=︒，则15BAF OAF OAB ∠'=∠'-∠=︒，BAF ∴∠的度数是75︒或15︒．24．（6分）（2017•金华）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度()y m 与水平距离()x m 之间满足函数表达式2(4)y a x h =-+，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．（1）当124a =-时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7m ，离地面的高度为125m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．【解答】解：（1）①当124a =-时，21(4)24y x h =--+，将点(0,1)P 代入，得：116124h -⨯+=，解得：53h =； ②把5x =代入215(4)243y x =--+，得：215(54) 1.625243y =-⨯-+=， 1.625 1.55>，∴此球能过网；（2）把(0,1)、12(7,)5代入2(4)y a x h =-+，得： 1611295a h a h +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：15215a h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，15a ∴=-．25．（2015秋•西城区期末）已知抛物线211:24C y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线222:2(1)4C y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点(1,)A t 和点(,)B m n 都在抛物线222:2(1)4C y x k =+-上，且n t <，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得：△1680k =-=，解得：2k =；（2）1C 是：2212422(1)y x x x =-+=-，抛物线2C 是：222(1)8y x =+-．则平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C 的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）当1x =时，222(1)80y x =+-=，即0t =．在222(1)8y x =+-中，令0y =，解得：1x =或3-．则当n t <时，即22(1)80x +-<时，m 的范围是31m -<<．26．（6分）（2019•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =+的图象与x 轴交于点A ，与过点(0,5)平行于x 轴的直线l 交于点B ，点A 关于直线l 的对称点为点C ．（1）求点B 和点C 坐标；（2）已知某抛物线的表达式为222y x mx m m =-+-． ①如果该抛物线顶点在直线4y x =+上，求m 的值；②如果该抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．【解答】解：（1）直线4y x =+与x 轴交于点A ，∴点A 坐标为(4,0)-．直线4y x =+与与过点(0,5)且平行于x 轴的直线l 交于点B ，∴点B 坐标为(1,5)．点A 关于直线l 的对称点为点C ，∴点C 坐标为(4,10)-．（2）①抛物线的表达式为222y x mx m m =-+-，∴顶点坐标为(,)m m -．抛物线顶点在直线4y x =+上， 4m m ∴-=+， 2m ∴=-．②将点(1,5)B 代入解析式可得11m =-，24m = 将点(4,10)C -代入解析式可得11m =-，26m =-∴抛物线与线段BC 有公共点时，64m -剟27．（7分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为BC 边上的一点．（1）以点C 为旋转中心，将ACD ∆逆时针旋转90︒，得到BCE ∆，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD 交BE 于点F ，求证：AF BE ⊥；（3）若AC =，1BF =，连接CF ，则CF【解答】（1）解：如图，BCE ∆为所作；（2）证明：ACD ∆逆时针旋转90︒，得到BCE ∆， 90BCE ACD ∴∠=∠=︒，CBE CAD ∠=∠，而BDF ADC ∠=∠， 90DFB ACD ∴∠=∠=︒，AF BE ∴⊥；（3）解：90ACB AFB ∠=∠=︒，∴点C 、F 在以AB 为直径的圆上，45ABC AFC ∴∠=∠=︒135BFC ∴∠=︒，作CH BE ⊥于H ，如图，则CFH ∆为等腰直角三角形，设CH x =，则H F x =，CF ，在Rt BCH ∆中，222(1)x x ++=，解得11x =，22x =-（舍去）CF ∴=．28．（8分）（2017秋•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当O 的半径为3时，在点1(1,0)P ，2P 1)，37(2P ，0)，4(5,0)P 中，O 的和睦点是 2P 、3P ；（2）若点(4,3)P 为O 的和睦点，求O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线1y =-上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E ，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．【解答】解：（1）如图1中，分别以点1P ，2P ，3P ，4P 为圆心，1为半径画圆，若与O 有交点，则P 是，O 的和睦点，观察图象可知，O 的和睦点是2P 、3P ．故答案为：2P 、3P ．（2）如图2中，连接OP ．直线OP 交以P 为圆心半径为1的圆于A 、B ．(4,3)P ， 5OP ∴=，满足条件的O 必须与以P 为圆心半径为1的圆相交或相切，当4OA =时，得到r 的最小值为4，当6OB =时，得到r 的最大值为6，46r ∴剟．（3）①如图3中，当点O 到C D ''的距离1OM =时，此时点A '的横坐标为3-．当点E 到CD 的距离1EN =时，此时点A 5，∴53A x -剟时，满足条件；②)①如图3中，当点O 到A B ''的距离1OM =时，此时点A '的横坐标为1当点E 到AB 的距离1EN =时，点A 1，∴11A x 剟时，满足条件；综上所述，满足条件的当A 53A x -剟11A x 剟．。

2021-2022学年北京市昌平区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2021-2022学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷1.已知∠A为锐角，且sinA=12，那么∠A等于( )A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘2.已知3a=4b(ab≠0)，则下列各式正确的是( )A. ab =43B. ab=34C. a3=b4D. a3=4b3.抛物线y=x2−2的顶点坐标为( )A. (0,−2)B. (−2,0)C. (0,2)D. (2,0)4.已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,3)，则k的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA=50∘，则∠BAD=( )A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘6.如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为( )A. 32B. 32√2C. 3D. 3√27.关于二次函数y=−(x−2)2+3，以下说法正确的是( )A. 当x>−2时，y随x增大而减小B. 当x>−2时，y随x增大而增大C. 当x>2时，y随x增大而减小D. 当x>2时，y随x增大而增大8.如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C(1,c)，D(√2,d)，E(e,1)，P(m,n)均为AB⏜上的点(点P不与点A，B重合)，若m<n<√3m，则点P的位置为( )A. 在BC⏜上B. 在CD⏜上C. 在DE⏜上D. 在EA⏜上9.写出一个开口向下，与y轴交于点(0,1)的抛物线的函数表达式：______.10.已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是______.11.若扇形的圆心角为60∘，半径为2，则该扇形的弧长是______(结果保留π).12.点A(−1,y1)，B(4,y2)是二次函数y=(x−1)2图象上的两个点，则y1______y2(填“>”，“<”或“=”).13.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长度为______.14.已知反比例函数y=m−1的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是______.x15.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P=50∘，则∠ACB=______∘.16.点A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1⋅x2≥0)是y=ax2(a≠0)图象上的点，存在|x1−x2|=1时，|y1−y2|=1成立，写出一个满足条件a的值______.17.计算：2sin60∘+tan45∘−cos30∘tan60∘.18.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=4，AB=5，点D在AC上且AD=3，DE⊥AB于点E，求AE的长．19.已知：二次函数y=x2−4x+3.(1)求出二次函数图象的顶点坐标及与x轴交点坐标；(2)在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y<0时，自变量x的取值范围．20.如图，在△ABC中，∠B=30∘，AB=4，AD⊥BC于点D且tan∠CAD=12，求BC的长．21.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC.求作：一点P，使得∠APC=∠BAC.作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P.点P即为所求．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明：证明：连接PC，BD.∵AB=AC，∴点C在⊙A上．∵BC=BD，∴∠______=∠______.∴∠BAC=12∠CAD.∵点D，P在⊙A上，∠CAD.(______)(填推理的依据)∴∠CPD=12∴∠APC=∠BAC.22.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,2)是一次函数y=x−1的图象与反比例函数y=k(k≠0)的图象的交点．x(k≠0)的表达式；(1)求反比例函数y=kx(2)过点P(n,0)且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为M，N，当S△OPM>S△OPN时，直接写出n的取值范围．23.居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉．某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD.(结果精确到0.1m，sin35∘≈0.574，cos35∘≈0.819，tan35∘≈0.700)题目测量城楼顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据BM=1.6m，BC=13m，∠ABC=35∘，∠ACE=45∘24.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP=∠BCD.(1)求证：CP是⊙O的切线；(2)连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC.若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长．25.随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元．销售过程中发现，每天销售量y(袋)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数：y=−2x+80(20≤x≤40)，设每天获得的利润为w(元).(1)求出w与x的关系式；(2)当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？26.在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在二次函数y=x2+bx的图象上．(1)当m=−3时．①求这个二次函数的顶点坐标；②若点(−1,y1)，(a,y2)在二次函数的图象上，且y2>y1，则a的取值范围是______；(2)当mn<0时，求b的取值范围．27.已知∠POQ=120∘，点A，B分别在OP，OQ上，OA<OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D是BO延长线上一点，且AB=AD，连接AD.(1)补全图形；(2)连接OC，求证：∠COP=∠COQ；(3)连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ<PO<PQ且PO≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”．已知点O(0,0)，Q(1,0).(1)在P1(0,−1)，P2(12,32)，P3(−1,1)中是线段OQ的“潜力点”是______；(2)若点P在直线y=x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；(3)直线y=2x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜力点”时，直接写出b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵sinA=12，∠A为锐角，∴∠A=30∘.故选：B.根据特殊角的三角函数值求解．本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．2.【答案】A【解析】解：A、由ab =43可得3a=4b，故此选项正确；B、由ab =34可得4a=3b，故此选项错误；C、由a3=b4可得4a=3b，故此选项错误；D、由a3=4b可得ab=3×4=12，故此选项错误．故选：A.利用比例的性质：内项之积等于外项之积，即可求解．本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：抛物线y=x2−2是顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(0,−2)，故选：A.根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a(x−ℎ)2+k的顶点坐标为(ℎ,k)，对称轴为直线x=ℎ.4.【答案】D【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,3)，∴3=k2，∴k=6，故选：D.(k≠0)中即可求出k的值．把A点坐标代y=kx本题考查了反比例函数上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴点A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA=50∘，∴∠ADB=∠BCA=50∘，∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90∘，∴∠BAD=90∘−50∘=40∘，故选：B.根据直径所对圆周角为直角、同圆中等弧所对圆周角相等即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由圆周角定理得到∠ADB=50∘，∠ABD=90∘是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：如图，连接OA，OB，则OA=OB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB=90∘，∴△OAB是等腰直角三角形，∵正方形ABCD的面积是18，∴AB=√18=3√2，AB=3，∴OA=OB=√22故选：C.连接OA、OB，则△OAB为等腰直角三角形，由正方形面积为18，可求边长为3√2，进而可得半径为3.本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、构造等腰直角三角形是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵抛物线的解析式为y=−(x−2)2+3，∴该抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，∴当x<2时，y随x增大而增大，当x>2时，y随x增大而减小，故选：C.根据二次函数的顶点式可以得出图象的对称轴和开口方向，从而确定函数的增减性．本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记顶点式与图象的关系．8.【答案】B【解析】解：如图，过点C作CH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥x轴于点F，∵C(1,c)，D(√2,d)，E(e,1)，∴OH=1，OG=√2，EF=1，∵OC=OD=OE=2，∠CHO=∠DGO=∠EFO=90∘，∴c=CH=√OC2−OH2=√22−12=√3，d=DG=√OD2−OG2=√22−(√2)2=√2，e=OF=√OE2−EF2=√22−12=√3，∴C(1,√3)，D(√2,√2)，E(√3,1)，由图可知：随着∠COH−∠DOG−∠EOF角度逐渐变小，点C、D、E的横坐标逐渐增大，纵坐标逐渐减小，∵m<n<√3m，∴点P在CD⏜上．故选：B.如图，过点C作CH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥x轴于点F，利用勾股定理求出c、d、e的值，观察点的坐标变化规律即可得出答案．本题考查了圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理，运用勾股定理求出C、D、E的坐标是解题关键．9.【答案】y=−x2+1(答案不唯一)【解析】解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，∵该函数的图象开口向下，∴a<0，可以取a=−1，∵当x=0，y=1，∴c=1，∴满足条件的一个函数为y=−x2+1，故答案为：y=−x2+1(答案不唯一).开口向下可确定二次项系数小于0，与y轴交于点(0,1)可确定常数项为1.本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，关键是要牢记系数和图象开口，顶点，对称轴，坐标轴交点之间的关系．10.【答案】相交【解析】解：∴⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，∴4<5，即d<r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故答案为：相交．由题意得出d<r，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．本题考查了直线和圆的位置关系的应用；注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d<r时，直线和圆相交．11.【答案】23π【解析】解：∵扇形的圆心角为60∘，半径为2，∴扇形的弧长=60π×2180=23π.故答案为：23π.利用弧长公式计算即可．此题考查弧长公式：l=nπR180，关键是记住弧长公式，属于中考基础题．12.【答案】<【解析】解：把A(−1,y1)、B(4,y2)代入二次函数y=(x−1)2得，y1=(−1−1)2=4；y2=(4−1)2=9，所以y1<y2.故答案为<.由于知道二次函数的解析式，且知道A、B两点的横坐标，故可将两点横坐标分别代入二次函数解析式求出y1、y2的值，再比较即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要明确：二次函数图象上点的坐标符合函数解析式．13.【答案】3【解析】解：连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴CH=DH=12CD=12×8=4，∵直径AB=10，∴OC=5，在Rt△OCH中，OH=√OC2−CH2=3，故答案为3.根据垂径定理由CD⊥AB得到CH=12CD=4，再根据勾股定理计算出OH=3.本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．14.【答案】m<1【解析】解：∵反比例函数y=m−1x的图象分布在第二、四象限，∴m−1<0.解得m<1.故答案是：m<1.根据反比例函数的图象和性质，由m−1<0即可解得答案．本题考查了反比例函数的图象和性质：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．15.【答案】65【解析】解：连接OA、OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠P=50∘，∴∠AOB=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘，∴∠ACB=12∠AOB=12×130∘=65∘，故答案为：65.连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形的内角和定理求出∠AOB，再根据圆周角定理计算，得到答案．本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16.【答案】1(答案不唯一)【解析】解：∵y=ax2(a≠0)，∴对称轴为y轴，∵x1⋅x2≥0，∴x1、x2不在对称轴的异侧，∵|x1−x2|=1，当x1>x2=0时，则x1=1，∴y1=a，y2=0，∵|y1−y2|=1，∴a−0=1，∴a=1，故答案为：1(答案不唯一).根据题意当x1>x2=0时，则x1=1，由|y1−y2|=1，得到a−0=1，解得a=1.本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意设出x1、x2的值，代入解析式即可求得a的值．17.【答案】解：2sin60∘+tan45∘−cos30∘tan60∘=2×√32+1−√32×√3=√3+1−32=√3−12.【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．18.【答案】解：∵DE⊥AB于点E，∠C=90∘，∴∠AED=∠C=90∘，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AD AB =AEAC，∵AB=5，AD=3，AC=4，∴3 5=AE4，∴AE=125.【解析】由DE⊥AB得到∠AED=∠C=90∘，然后得到△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质求得AE的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直的定义得到∠AED=∠C=90∘. 19.【答案】(1)解：∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴抛物线顶点坐标为(2,−1).令y=0，则x2−4x+3=0.解得x1=1，x2=3.∴图象与x轴交点坐标为(1,0)(3,0).(2)如图，当y<0时，自变量x的取值范围为1<x<3.【解析】(1)将函数解析式化为顶点式求解顶点坐标，令y=0求图象与x轴交点坐标．(2)通过观察抛物线在x轴下方的x取值范围求解．本题考查二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．20.【答案】解：∵AD⊥BC于点D，∴△ABD，△ADC为直角三角形．∵Rt△ADB中，∠B=30∘，AB=4，∴AD=2，BD=2√3.∵Rt△ADC中，tan∠CAD=12，AD=2，∴tan∠CAD=CD AD=12.∴CD=1.∴BC=2√3+1.【解析】在Rt△ABD和Rt△ADC中，分别求出AD、BD、CD，再利用线段的和差关系求出BC.本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．21.【答案】解：(1)如图所示．(2)BACBAD一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【解析】解：(1)见答案；(2)证明：连接PC，BD.∵AB=AC，∴点C在⊙A上．∵BC=BD，∴∠BAC=∠BAD.∴∠BAC=12∠CAD.∵点D，P在⊙A上，∴∠CPD=12∠CAD.(一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半)，∴∠APC=∠BAC.故答案为：BAC，BAD，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．(1)根据要求作图即可；(2)根据圆周角定理求解即可．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理．22.【答案】解：(1)把A(a,2)代入y=x−1，得，a−1=2，解得a=3，∴点A坐标为(3,2).(k≠0)，把A(3,2)代入y=kx得，2=k，解得k=6.3∴反比例函数表达式为y=6；x(2)n的取值范围是n<−2或n>3.【解析】解：(1)见答案；(2)一次函数y=x−1的图象与y=6的图象相交于点x(3,2)和(−2,−3).观察函数图象可知：过点P(n,0)且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为M，N，当S△OPM>S△OPN时，PM>PN，则n的取值范围是n<−2或n>3.(1)把A(a,2)代入y=x−1，求出a，得到A点坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可求得k的值；(2)先画出两函数的图象，再根据S△OPM>S△OPN时PM>PN，即可得出n的取值范围．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，利用数形结合是解题的关键．23.【答案】解：根据题意，得BM=ED=1.6m，∠AEC=90∘，设AE为x m，在Rt△ACE中，∵∠ACE=45∘，∴∠CAE=45∘，∴AE=CE=xm，在Rt△ABE中，∵tan∠ABE=AE，BE又∵∠ABE=35∘，∴tan35∘=x，x+13解得x≈30.3，∴AD=AE+ED≈30.3+1.6≈31.9(m)，答：城楼的高度AD约为31.9m.【解析】设AE为x m，根据三角函数列方程求得AE的值，进而求出AD即可．本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数求值是解题的关键．24.【答案】(1)证明：连接OC.∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.∵AB⊥CD于点E，∴∠CEB=90∘.∴∠OBC+∠BCD=90∘.∴∠OCB+∠BCD=90∘.∵∠BCP=∠BCD，∴∠OCB+∠BCP=90∘.∴OC⊥CP.∵OC是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线．(2)如图，∵AB⊥CD于点E，∴E为CD中点．∵O为GD中点，∴OE为△DCG的中位线．∴GC=2OE=6，OE//GC.∵AO//GC，∴△GCF ∽△OAF.∴GC OA =GF OF =65. ∵GF +OF =5，∴OF =2511.【解析】(1)连接OC.根据圆周角定理和同角的余角相等可得∠OCB +∠BCD =90∘.然后由切线的判定方法可得结论；(2)由垂径定理及三角形的中位线定理可得GC =2OE =6，OE//GC.然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．此题考查的是切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、垂径定理及圆周角定理，正确作出辅助线是解决此题关键．25.【答案】解：(1)由题意可得w =(x −20)y =(x −20)(−2x +80)=−2x 2+120x −1600. ∴w 与x 的关系式为w =−2x 2+120x −1600.(2)∵w =−2x 2+120x −1600=−2(x −30)2+200，∵20≤x ≤40，且a =−2<0，∴当x =30时，y 最大值=200.答：当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元．【解析】(1)由利润=每袋利润×销量求解．(2)将函数解析式化为顶点式求解．本题考查二次函数的应用，解题关键是通过题意列出等式，掌握求二次函数求最值的方法．26.【答案】解：(1)当m =−3时．①把点(1,−3)代入y =x 2+bx ，得b =−4，二次函数表达式为y =x 2−4x =(x −2)2−4，所以顶点坐标为(2,−4)；②a <−1或a >5；(2)将点(1,m)，(3,n)代入y =x 2+bx ，可得m =1+b ，n =9+3b.当mn <0时，有两种情况：①若{m >0,n <0.把m =1+b ，n =9+3b 代入可得{1+b >0,9+3b <0.此时不等式组无解． ②若{m <0,n >0.把m =1+b ，n =9+3b 代入可得{1+b <0,9+3b >0.解得−3<b <−1.. 所以−3<b <−1.【解析】解(1)①见答案；②∵抛物线y=x2−4x=(x−2)2−4.∴开口向上，对称轴为直线x=2，∴点(−1,y1)关于直线x=2的对称点为(5,y1)，∵点(−1,y1)，(a,y2)在二次函数的图象上，且y2>y1，∴a<−1或a>5，故答案为：a<−1或a>5；(2)见答案.(1)①利用待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；②根据二次函数的增减性和对称性即可得到a的取值范围；(2)分两种情况讨论，根据题意得到关于b的不等式组，解不等式组即可求得．本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．27.【答案】(1)解：补全图形如图1所示；(2)证明：如图2，在BQ上截取BE=AO，连接CE，∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60∘，∵∠POQ=120∘，∴∠CAO+∠CBO=180∘，∵∠CBO+∠CBE=180∘，∴∠CAO=∠CBE，在△CAO和△CBE中，{CA=CB∠CAO=∠CBE AO=BE，∴△CAO≌△CBE(SAS)，∴CO=CE，∠COA=∠CEB，∴∠COE=∠CEB，∴∠COP=∠COQ；(3)解：∠DAB=150∘时，CD=OB+OC，证明如下：∵∠DAB=150∘，DA=AB，∴∠ADB=∠ABD=15∘.∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB=∠CBA=∠ACB=60∘，∴∠CAD=150∘，∵AD=AB=AC，∴∠ADC=∠ACD=15∘，∴∠DBC=∠DCB=75∘，∴DB=DC，∠BDC=30∘，∵∠POQ=120∘，∠BDC=30∘，∴∠DFO=90∘，∵AD=AC，∴DF=FC.∴DO=OC，∴DB=DO+OB=OC+OB，∴CD=OB+OC.【解析】(1)根据题意补全图形；(2)在BQ上截取BE=AO，连接CE，证明△CAO≌△CBE，根据全等三角形的性质得到CO=CE，∠COA=∠CEB，根据邻补角的定义证明即可；(3)根据等腰三角形的性质和判定定理得到DB=DC，再证明DO=OC，结合图形证明结论．本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．28.【答案】(1)P3解:(2)∵点P为线段OQ的“潜力点”，∴OQ<PO<PQ且PO≤2，∵OQ<PO，∴点P在以O为圆心，1为半径的圆外．∵PO<PQ，∴点P在线段OQ垂直平分线的左侧．∵PO≤2，∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内．又∵点P在直线y=x上，∴点P在如图所示的线段AB上(不包含点B).过点B作BC⊥y轴，过点A作AD⊥y轴，由题意可知△BOC和△AOD是等腰三角形，∴BC=√22，AD=√2，∴−√2≤x p<−√2 2.(3)b的取值范围为：1<b≤2√5或−√152−1<b<−1.【解析】解：(1)在坐标系中找到P1(0,−1)，P2(12,32)，P3(−1,1)三点，如图，根据“潜力点”的定义，可知P3是线段OQ的潜力点．故答案为：P3；(2)见答案；(3)如图①，当直线MN与半径长为2的圆相切时，开始有“潜力点”，且点E是“潜力点”；过点O作OE⊥MN，则OE=2，ME=1，∴OM=√5，则b=ON=2√5；点N继续当下运动，如图②，当点N与点(0,1)重合时，开始没有“潜力点”，且点N不是“潜力点”；此时b=1；如图③，当点N与(0,−1)，重合时，开始有“潜力点”，且点N不是“潜力点”；此时b=−1；如图④，当线段MN过点G时，开始没有“潜力点”，且点G不是“潜力点”；此时G(12,−√152)，∴2×12+b=−√152，∴b=−√152−1.综上所示，b的取值范围为：1<b≤2√5或−√152−1<b<−1.(1)在坐标系中找到P1(0,−1)，P2(12,32)，P3(−1,1)三点，根据坐标系中两点间的距离可直接得出结论；(2)经过分析可知，点P在以O为圆心，1为半径的圆外，且在线段OQ垂直平分线的左侧，且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内．画出点P的范围，找到此范围中符合题意的点P，即可求解．(3)根据点N的运动，可找到临界状态，画出图形，求出对应的b的值即可．本题属于一次函数综合题，考查了解两点间的距离，“潜力点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．第21页，共21页。

2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区九年级(上)期中数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区九年级（上）期中数学试卷1.已知3a=2b(ab≠0)，则下列各式正确的是( )A. ab =23B. ab=32C. a3=b2D. a3=2b2.抛物线y=(x−1)2+2的对称轴是( )A. x=−1B. x=1C. x=−2D. x=23.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为( )A. 1.24米B. 1.38米C. 1.42米D. 1.62米4.将抛物线y=−2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是( )A. y=−2(x+1)2+3B. y=−2(x−1)2−3C. y=−2(x+1)2−3D. y=−2(x−1)2+35.如图，已知∠A=∠D，请你再添加一个条件________使得△ABC∽△DEF.则下列选项不成立的是( )A. ∠B=∠EB. ∠C=∠FC. ABDE =ACDFD. ABDE=BCEF6.如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上3等分点，AE交BD于点F.则△BEF与△DAF的面积比为( )A. 13B. 14C. 16D. 197.抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)，且对称轴为直线x=−1，其部分图象如图所示.下列说法正确的是( )A. ac>0B. b2−4ac<0C. 9a−3b+c>0D. am2+bm<a−b(其中m≠−1)8.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位：m3)与旋钮的旋转角度x(单位：度)(0<x≤90)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为( )A. 37.5∘B. 40∘C. 42.5∘D. 45∘9.请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为(0,1).此二次函数的解析式可以是______ .10.如图，直线l1//l2//l3，直线l4，l5被直线l1、l2、l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF.若AB=5，BC=6，EF=3，则DE的长是______.11.将二次函数y=x2+2x−1化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为y=______.=______.12.如图，△AEC中，AE//BD，CD=8，DE=4，那么BDAE13.已知二次函数y=(x−2)2+3，若点A(0,y1)和B(3,y2)在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是y1______y2.(填“>”，“<”或“=”)14.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为______.15.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么AC为______ 米.16.如图，抛物线y=−x2+2.将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作C1，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作C2，C1和C2构成的图形记作C3.关于图形C3，给出如下四个结论：①图形C3关于y轴成轴对称；②图形C3有最小值，且最小值为0；③当x>0时，图形C3的函数值都是随着x的增大而增大的；④当−2≤x≤2时，图形C3恰好经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点).以上四个结论中，所有正确结论的序号是______.17.已知二次函数y=x2−4.(1)求该二次函数图象的对称轴与顶点坐标；(2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点．18.如图，在△ABC中，∠C=90∘，点D是AC上一点，DE⊥AB于点E.求证：△ABC∽△ADE.19.如图，函数y=−x2+bx+c的图象经过点A，B，C.求此函数表达式．20.如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．(1)在该网格中画出△A2B2C2(△A2B2C2的顶点均在格点上)，使△A2B2C2∽△A1B1C1；(2)说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．21.一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…−4−3−2−101234…y…−520322320m−6−212…(1)求这个二次函数的表达式；(2)求m的值；(3)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；(4)根据图象，写出当y<0时，x的取值范围．22.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高．(1)求证：△ABC∽△CBD；(2)如果AD=4，BD=3，求BC的长．23.如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠AEB=∠F.(1)求证：△ABE∽△ECF；(2)若AB=5，CE=6，BE=2，求FD的长．24.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C1：y=−112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−18x2+bx+c 运动．(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)在(1)的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？25.学习完《相似形》一章之后，数学兴趣小组利用相似三角形的有关知识测量校园内一棵树高，他们的方法如下：如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则可测得大树的高度．(1)请你根据上述方法求出树高；(2)请你设计一个其他的测量方案，并简述方案．26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−2ax+4(a>0).(1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标(用含a的代数式表示)；(2)如果该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的表达式；(3)如果A(m−1,y1)，B(m,y2)，C(m+2,y3)三点均在抛物线y=ax2−2ax+4上，且总有y1>y3>y2，结合图象，直接写出m的取值范围．27.如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA=OD，OB=OC，∠AOB+∠COD= 180∘.(1)若∠BOE=∠BAO，AB=2√2，求OB的长；(2)用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．28.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最大值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y=−(x−3)2+2是有上界函数，其上确界是2.(1)函数①y=x2+2x+1和②y=2x−3(x≤2)中是有上界函数的为______(只填序号即可)，其上确界为______；(2)如果函数y=−x+2(a≤x≤b,b>a)的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；(3)如果函数y=x2−2ax+2(1≤x≤5)是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵3a=2b，∴a b =23，a2=b3，所以A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意．故选：A.根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断．本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质)是解决问题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=(x−1)2+2，∴对称轴为直线x=1.故选：B.直接根据抛物线顶点式即可求得．本题考查的是二次函数的性质，即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(−b2a ,4ac−b24a)，对称轴直线x=−b2a.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．【解答】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴ab≈0.618，∵b为2米，∴a≈0.618×2≈1.24米．故选：A.4.【答案】D【解析】解：原抛物线的顶点为(0,0)，向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：(1,3).可设新抛物线的解析式为y=−2(x−ℎ)2+k，代入得y=−2(x−1)2+3.故选：D.由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．5.【答案】D【解析】解：∵∠A=∠D，∴当添加条件∠B=∠E时，则△ABC∽△DEF，故选项A不符合题意；当添加条件∠C=∠F时，则△ABC∽△DEF，故选项B不符合题意；当添加条件ABDE =ACDF时，则△ABC∽△DEF，故选项C不符合题意；当添加条件ABDE =BCEF时，则△BC和△DEF不一定相似，故选项D符合题意；故选：D.根据相似三角形的判定方法即可得以解决．本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．6.【答案】D【解析】解：在平行四边形ABCD中，E是BC上的3等分点，∴AD//BE，AD=BC，BE=13AD，∴△BEF∽△DAF，∴S△BEF S△DAF =(BEAD)2=(13)2=19，故选：D.利用平行四边形的性质以及相似三角形的判定得出△BEF∽△DAF，进而求出答案．此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△BEF∽△DAF是解题关键．7.【答案】D【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c>0，∴ac<0，所以A选项错误；∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−3,0)，∴△=b2−4ac>0，所以B选项错误；∵x=−3时，y=0，∴9a−3b+c=0，所以C选项错误；∵x=−1时，y有最大值，∴am2+bm+c<a−b+c，即am2+bm<a−b，所以D选项正确．故选：D.利用抛物线开口方向得到a<0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−3,0)，则根据判别式的意义可对B选项进行判断；由于x=−3时，y=0，则可对C选项错误；根据二次函数的最值问题可对D选项进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．8.【答案】B【解析】解：把(25,0.725)，(50,0.06)，(60,0.09)代入y=ax2+bx+c得：{625a+25b+c=0.0725 2500a+50b+c=0.06 3600a+60b+c=0.09，解得{a=0.0001 b=−0.008 c=0.21，∴y=0.0001x2−0.008x+0.21=0.0001(x−40)2+0.05，∵0.0001>0，∴x=40时，y最小为0.05，∴燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为40∘，故选：B.用待定系数法求出解析式，再用二次函数性质即可得到答案．本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数解析式．9.【答案】y=x2+1(答案不唯一)【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质.二次函数的解析式是y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，根据开口向上得出a为正数，根据与y轴的交点坐标为(0,1)得出c=1，写出一个符合的二次函数即可．【解答】解：答案不唯一，如：y=x2+1，故答案为：y=x2+1(答案不唯一).10.【答案】2.5【解析】解：∵直线l1//l2//l3，∴AB BC =DEEF，∵AB=5，BC=6，EF=3，∴5 6=DE3，∴DF=2.5，故答案为：2.5.根据平行线分线段成比例定理解答即可．本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．11.【答案】y=(x+1)2−2【解析】解：y=x2+2x−1=x2+2x+1−1−1=(x+1)2−2.故答案为：y=(x+1)2−2.利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).12.【答案】23【解析】解：∵CD=8，DE=4，∴CE=12，∵AE//BD，∴△CBD∽△CAE，∴BD AE =CDCE=812=23，故答案为：23.由线段的和差关系可得CE的长，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．13.【答案】>【解析】解：∵点A(0,y1)、B(3,y2)是二次函数y=(x−2)2+3图象上的两点，∴y1=7，y2=4.∴y1>y2.故答案为：>.利用二次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键．14.【答案】x1=6，x2=−2【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线和x轴的一个交点坐标为(6,0)，则根据二次函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为(−2,0)，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=6或−2，故答案为：x1=6，x2=−2.抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线和x轴的一个交点为(6,0)，则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为(−2,0)，即可求解．本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】8【解析】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD//AC，∴△ACE∽△BDE，∴AC BD =AEBE，∴AC1=1.60.2，∴AC=8(米)，故答案为8.根据平行线的判定定理得到BD//AC，于是得到△ACE∽△BDE，相似三角形的性质定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．16.【答案】①②④【解析】解：①由图形可知，图形C3关于y轴成轴对称，故正确；②图形C3有最小值，且最小值为0，故正确；③当x>0时，图形C3的函数值先随着x的增大而减小，当函数值为0后，再随x的增大而增大，故③错误；④当−2≤x≤2时，图形C3恰好经过(−2,2)，(−1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,2)共5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)，故④正确，所以，①②④是正确的结论．故答案为：①②④．画出翻折后的C2，然后根据图形即可判断．本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．17.【答案】解：(1)∵y=x2−4，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,−4).(2)将y=0代入y=x2−4得0=x2−4，解得x1=−2，x2=2，抛物线与x轴交点坐标为(−2,0)，(2,0)，将x=0代入y=x2−4得y=−4，∴抛物线与y轴交点坐标为(0,−4).【解析】(1)由二次函数顶点式求解．(2)分别将x=0，y=0代入解析式求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．18.【答案】证明：∵DE ⊥AB 于点E ，∴∠AED =∠C =90∘.∵∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ADE.【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形判定，本题属于中等题型．19.【答案】解：∵函数y =−x 2+bx +c 的图象经过点A ，B ，C ，A(−1,0)，B(0,3)，∴{−1−b +c =0c =3，解得{b =2c =3， ∴此函数表达式为y =−x 2+2x +3.【解析】把A 、B 的坐标代入y =−x 2+bx +c ，求得b 、c 的值，利用待定系数法即可求得函数的表达式．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．20.【答案】解：(1)如图，△A 2B 2C 2即为所求；(2)相似的理由是三边成比例两三角形相似．【解析】(1)利用相似三角形的判定画出图形即可；(2)根据三边成比例两三角形相似判断即可．本题考查作图-相似变换，解题的关键是掌握相似变换的性质，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)由图表可知抛物线的顶点坐标为(−1,2)，所以，设这个二次函数的表达式为y =a(x +1)2+2，∵图象过点(1,0)，∴a(1+1)2+2=0，∴a=−12，∴这个二次函数的表达式为y=−12(x+1)2+2；(2)x=2时，m=−12(2+1)2+2=−52；(3)函数图象如图所示；(4)y<0时，x<−3或x>1.【解析】(1)先确定出顶点坐标，再设顶点式解析式为y=a(x+1)2+2，然后将点(1,0)代入求出a的值，从而得解；(2)将x=2代入函数解析式计算即可得解；(3)根据二次函数图象的画法作出图象即可；(4)根据函数图象，写出x轴上方部分的x的取值范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，从表格中判断出顶点坐标是解题的关键．22.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90∘，CD 是AB 边上的高，∴∠ACB=∠CDB=90∘，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBD；(2)解：∵AD=4，BD=3，∴AB=7，∵△ABC∽△CBD，∴AB CB =BCBD，∴BC=√AB⋅BD=√7×3=√21.【解析】(1)由于∠ACB=∠CDB=90∘，∠B=∠B，从而可证明△ABC∽△CBD；(2)根据已知可求出AB=7，根据相似三角形的性质，从而可求出BD的长度．本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠ABE =∠ECF.∵∠AEB =∠F ，∴△ABE ∽△ECF.(2)解：∵△ABE ∽△ECF ，∴AB CE=BE CF ， ∴56=2CF ，∴CF =125，∴DF =DC +CF =AB +CF =5+125=375. 【解析】(1)根据平行四边形的性质得出AB//CD 故∠ABE =∠ECF ，再由∠AEB =∠F 即可得出结论；(2)根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．24.【答案】解：(1)由题意可知抛物线C 2：y =−18x 2+bx +c 过点(0,4)和(4,8)，将其代入得： {c =4−18×42+4b +c =8，解得：{b =32c =4， ∴抛物线C 2的函数解析式为：y =−18x 2+32x +4；(2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得： −18m 2+32m +4−(−112m 2+76m +1)=1，整理得：(m −12)(m +4)=0，解得：m 1=12，m 2=−4(舍去)，故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．【解析】(1)根据题意将点(0,4)和(4,8)代入C 2：y =−18x 2+bx +c 求出b 、c 的值即可写出C 2的函数解析式；(2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：−18m 2+32m +4−(−112m 2+76m +1)=1，解出m 即可．本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．25.【答案】解：(1)∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90∘，∴△ABC∽△DBE，∴BC：BE=AC：DE，即1：5=1.6：DE，∴DE=8m，∴大树的高度为8m；(2)在距离树AB的a米的C处，用测角仪测得仰角α，测角仪为CD.再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE，求得树高出测角仪的高度AE，则树高为AE+BE.【解析】(1)入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高；(2)在距离树AB的a米的C处，用测角仪测得仰角α，测角仪为CD.再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE，利用三角函数计算可得答案．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．26.【答案】解：(1)∵y=ax2−2ax+4=a(x−1)2−a+4，∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,4−a)；(2)∵抛物线的顶点恰好在x轴上，∴方程ax2−2ax+4=0有两个相等的根，∴Δ=(−2a)2−4a×4=0，解得a=4或a=0(舍去)，∴抛物线的表达式为y=4x2−8x+4；.(3)m的取值范围是0<m<12【解析】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)∵a>0，∴抛物线开口向上，∵A(m−1,y1)、B(m,y2)、C(m+2,y3)为该抛物线上三点，且总有y1>y3>y2，抛物线的对称轴为直线x=1，∴{m ≤1m +2>11−m <m +2−11−(m −1)>m +2−1，解得0<m <12，或{m >1m −1<11−(m −1)>m +2−1，该不等式组无解∴m 的取值范围是0<m <12.(1)解析式化成顶点式即可求得对称轴和顶点坐标；(2)根据题意Δ=(−2a)2−4a ×4=0，解得a =4，即可得到抛物线的表达式为y =4x 2−8x +4；(3)根据题意得到{m ≤1m +2>11−m <m +2−11−(m −1)>m +2−1或{m >1m −1<11−(m −1)>m +2−1，解不等式组即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27.【答案】(1)解：∵∠BOE =∠BAO ，∠OBE =∠ABO ，∴△OBE ∽△ABO ，∴BE OB =OB AB ，∵AB =2√2，E 为AB 的中点，∴BE =√2，∴√2OB =OB 2√2， ∴OB =2或OB =−2(不合题意舍去)，∴OB =2；(2)解：线段OE 和CD 的数量关系是OE =12CD ，证明：如图，延长OE 到点F ，使得EF =OE ，连接AF ，FB ，∵AE =BE ，OE =EF ，∴四边形AFBO是平行四边形，∴AF//OB，AF=OB，∴∠FAO+∠AOB=180∘，∵∠AOB+∠COD=180∘，∴∠FAO=∠COD，∵OB=OC，∴AF=OC，在△AOF和△ODC中，{OA=OD∠FAO=∠COD AF=OC，∴△AOF≌△ODC(SAS)，∴OF=CD，∴OE=12CD.【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．(1)通过证明△OBE∽△ABO，可得BEOB =OBAB，即可求解；(2)如图，延长OE到点F，使得EF=OE，连接AF，FB，可证四边形AFBO是平行四边形，可得AF//OB，AF=OB，由“SAS”可证△AOF≌△ODC，可得OF=CD，可得结论．28.【答案】(1)②，1(2)∵y=−x+2，y随x值的增大而减小，∴当a≤x≤b时，−b+2≤y≤−a+2，∵上确界是b，∴−a+2=b，∵函数的最小值不超过2a+1，∴−b+2≤2a+1，∴a≥−1，∵b>a，∴−a+2>a，∴a<1，∴a的取值范围为：−1≤a<1；(3)y=x2−2ax+2的对称轴为直线x=a，当a≤1时，y的最大值为25−10a+2=27−10a，∵3为上确界，∴27−10a=3，∴a=2.4(舍)；当a≥5时，y的最大值为1−2a+2=3−2a，∵3为上确界，∴3−2a=3，∴a=0(舍)；当1<a≤3时，y的最大值为25−10a+2=27−10a，∵3为上确界，∴27−10a=3，∴a=2.4；当3<a<5时，y的最大值为1−2a+2=3−2a，∵3为上确界，∴3−2a=3，∴a=0(舍)，综上所述：a的值为2.4.【解析】解：(1)①y=x2+2x+1=(x+1)2≥0，∴①无上确界；②y=2x−3(x≤2)，∴y≤1，∴②有上确界，且上确界为1，故答案为：②，1；(2)见答案；(3)见答案.(1)分别求出两个函数的最大值即可求解；(2)由题意可知：−b+2≤y≤−a+2，再由−a+2=b，−b+2≤2a+1，b>a，即可求a的取值范围；(3)当a≤1时，27−10a=3，可得a=2.4(舍)；当a≥5时，3−2a=3，可得a=0(舍)；当1< a≤3时，27−10a=3，可得a=2.4；当3<a<5时，3−2a=3，可得a=0(舍).本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．第21页，共21页。