概率论与数理统计模拟的题目一及问题详解
概率论与数理统计模拟试卷和答案
北京语言大学网络教育学院《概率论与数理统计》模拟试卷一注意:1.试卷保密,考生不得将试卷带出考场或撕页,否则成绩作废。
请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律,考试作弊全部成绩以零分计算。
3.本试卷满分100分,答题时间为90分钟。
4.本试卷分为试题卷和答题卷,所有答案必须答在答题卷上,答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、设A,B 是两个互不相容的事件,P (A )>0 ,P (B )>0,则( )一定成立。
[A] P (A)=1-P (B ) [B] P (A │B)=0 [C] P (A │B )=1[D] P (A B )=02、设A,B 是两个事件,P (A )>0 , P (B )>0 ,当下面条件( )成立时,A 与B 一定相互独立。
[A] P(A B )=P (A )P (B ) [B] P (AB )=P (A )P (B ) [C] P (A │B )=P (B )[D] P (A │B )=P(A )3、若A 、B 相互独立,则下列式子成立的为( )。
[A] )()()(B P A P B A P = [B] 0)(=AB P [C])()(A B P B A P = [D])()(B P B A P =4、下面的函数中,( )可以是离散型随机变量的概率函数。
[A] {}11(0,1,2)!e P k k k ξ-=== [B] {}12(1,2)!e P k k k ξ-=== [C] {}31(0,1,2)2k P k k ξ=== [D] {}41(1,2,3)2k P k k ξ===--- 5、设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为了使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数,则下列个组中应取( )。
概率论与数理统计试卷及问题详解
模拟试题一一、填空题(每空3分,共45分)1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立,A 与B 都不发生的概率为19,A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等,则A 发生的概率为: ;3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ;4、已知随机变量X 的密度函数为:,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ;5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ;6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立,则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ;7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时,~(3)Y t =;8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本,11ni i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =,求参数a 的置信度为95%的置信区间: ;二、计算题(35分)1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为:1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求:1){|21|2}P X -<;2)2Y X =的密度函数()Y y ϕ;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ;3、(11分)设总体X 的概率密度函数为:1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷45(题后含答案及解析)
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷45(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设二维随机变量(X,Y)满足E(XY)=EXEY,则X与YA.相关.B.不相关.C.独立.D.不独立.正确答案:B解析:因E(XY)=EXEY,故Cov(X,Y)=E(XY)一EXEY=0,X与Y不相关,应选(B).知识模块:概率论与数理统计2.将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于A.一1.B.0.C..D.1.正确答案:A解析:依题意,Y=n—X,故ρXY=一1.应选(A).一般来说,两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足|ρXY|≤1.若Y=aX+b,则当a>0时,ρXY=1,当a-arxcosX,即U=一V+,由于U是V的线性函数,且其增减变化趋势恰恰相反,所以其相关系数ρ=-1.应选(A).知识模块:概率论与数理统计5.设随机变量X1,X2,…,Xn(n>1)独立同分布,且方差σ2>0,记,则X1一的相关系数为A.一1.B.0.C..D.1.正确答案:B解析:由于Xi独立同分布,故DXi=σ2,,Cov(X1,Xi)=0(i≠1),故应选(B).(注:容易计算D(X1一) 知识模块:概率论与数理统计6.设随机变量X的方差存在,并且满足不等式P{|X—EX|≥3|≤,则一定有A.DX=2.B.P{|X—EX|<3}.C.DX≠2.D.P{|X—EX|<3}≥.正确答案:D解析:因事件{|X—EX|,即选项(D)正确.进一步分析,满足不等式P{l|X—EX|≥3}≤的随机变量,其方差既可能不等于2,亦可以等于2,因此结论(A)与(C)都不能选.比如:X服从参数为P的0—1分布,DX=pq}=0.因此(A)不成立.若X服从参数n=8,P=0.5的二项分布,则有EX=4,DX=2.但是P{|X—EX|≥3}=P{|X一4|≥3}P{X=0}+P{X=1}+P{X=7}+P{X =8}=.因比(B)也不成立.知识模块:概率论与数理统计7.设随机变量序列X1,X2,…,Xn,…相互独立,则根据辛钦大数定律,当n→∞时依概率收敛于其数学期望,只要{Xn,n≥1}A.有相同的期望.B.有相同的方差.C.有相同的分布.D.服从同参数p的0-1分布.正确答案:D解析:由于辛钦大数定律除了要求随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立的条件之外,还要求X1,X2,…,Xn,…同分布与期望存在,只有选项(D)同时满足后面的两个条件,应选(D).知识模块:概率论与数理统计8.设随机变量X1,…,Xn,…相互独立,记Yn=X2n一X2n-1(n≥1),根据大数定律,当n→∞时依概率收敛到零,只要{Xn,n≥1 }A.数学期望存在.B.有相同的数学期望与方差.C.服从同一离散型分布.D.服从同一连续型分布.正确答案:B解析:由于Xn相互独立,所以Yn相互独立.选项(A)缺少“同分布”条件;选项(C)、(D)缺少“数学期望存在”的条件,因此它们都不满足辛钦大数定律,所以应选(B).事实上,若EXn=μ,DXn=σ2存在,则根据切比雪夫大数定律:对任意ε>0有即依概率收敛到零.知识模块:概率论与数理统计填空题9.两名射手各向自己的靶独立射击,直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击.如果第i名射手每次命中的概率为pi(0解析:每位射手的射击只有两个基本结果:中与不中,因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验.每位射手直到他有一次命中时方停止射击,因此此时的射击次数应服从几何分布;此时的射击次数一1:未击中的次数.以Xi表示第i 名射手首次命中时的脱靶数,则此时他的射击次数Xi+1服从参数为pi的几何分布,因此P{Xi=k}}=(1一pi)kpi=1,2,且E(Xi+1)=,i=1,2,于是EXi =E(Xi+1)一1=—1,两射手脱靶总数X=X1+X2的期望为EX=EX1+EX2=. 知识模块:概率论与数理统计10.将长度为L的棒随机折成两段,则较短段的数学期望为______.正确答案:解析:设X为折点到左端点的距离,Y为较短段的长,则X~U(0,L),且于是E(Y)=E[g(X)]=g(x)f(x)dx 知识模块:概率论与数理统计11.设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=2X一1,则Y与Z的相关系数为______.正确答案:0.9解析:Cov(Y,Z)=Cov(Y,2X一1)=2Cov(X,Y),DZ=D(2X一1)=4DX.Y 与Z的相关系数ρYZ为知识模块:概率论与数理统计12.设随机变量X和Y的相关系数为0.5,EX=EY=0,EX2=EY2=2,则E(X+Y)2=______ .正确答案:6解析:DX=EX2一(Ex)2=2,DY=2,Cov(X,Y)=ρXY=1,E(X+Y)=EX+EY=0,E(X+Y)2=D(X+Y)+[E(X+y)]2=D(X+Y)=DX+2Cov(X,Y)+DY=2+2+2=6.知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷60(题后含答案及解析)
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷60(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设随机变量X与Y的联合分布是二维正态分布,X与Y相互独立的充分必要条件是A.E(X-Y)=0.B.D(X—Y)=0.C.E(X2-Y2)=0.D.E[X(Y-EY)]=0.正确答案:D解析:(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y独立的充分必要条件是它们的相关系数ρXY=0,而对任何两个随机变量X与Y,有ρXY=0cov(X,Y)=0EXY=EXEY.而EXY=EXEY又可以变形为EXY-EXEY=E[X(Y-EY)]=0,因此应选D.知识模块:概率论与数理统计2.设A1,A2是两个随机事件,随机变量Xi=(i=1,2),已知X1与X2不相关,则A.X1与X2不一定独立.B.A1与A2一定独立.C.A1与A2不一定独立.D.A1与A2一定不独立.正确答案:B解析:EXi=P()-P(Ai)=1-2P(Ai),i=1,2,E(X1X2)=P{X1=-1,X2=-1}-P{X1=-1,X2=1}-P{X1=1,X2=-1}+P{X1=1,X2=1} =P(A1A2)-P(A1)-P(A2)+P() =P(A1A2)-[P(A1)-P(A1A2)]-[P(A2)-P(A1A2)]+1-P(A1)-P(A2)+P(A1A2) =4P(A1A2)-2P(A1)-2P(A2)+1,EX1EX2=[1-2P(A1)][1-2P(A2)]=4P(A1)P(A2)-2P(A1)-2P(A2)+1.因X1与X2不相关,故E(X1X2)=EX1EX2.P(A1A2)=P(A1)P(A2),即A1与A2相互独立,应选B.知识模块:概率论与数理统计填空题3.每张卡片上都写有一个数字,其中有两张卡片上都写有数字0,三张卡片都写有数字1,另两张卡片上分别写有数字2与9.将这七张卡片随意排成一排,所排的数字恰好为2001911的概率是_______.正确答案:0.0024解析:设事件A=“排成数字是2001911”,将七张卡片随意排列共有7!种不同的等可能排法.此即样本空间Ω的样本点总数,而有利于事件A的卡片排列方法为2!3!种,依古典型概率公式P(A)==0.0024.知识模块:概率论与数理统计4.设A、B、C是三个随机事件,AC,BC,P(A)=0.7,P(A-C)=0.4,P(AB)=0.5,则P(AB)=_______.正确答案:0.2解析:从AC,BC,可知ABC,两次应用减法公式有P(C)=P(A)-P(A -C)=0.7-0.4=0.3,P(AB)=P(AB-C)=P(AB)-P(C)=0.5-0.3=0.2.知识模块:概率论与数理统计5.设A、B是两个随机事件,0<P(B)<1,AB=,则P(A|)+P(|B)=_______.正确答案:2解析:从条件AB=有(AB)()=(AB)(AB)=AB,但是对任何事件A、B,都有因此有AB=,A∪B==Ω.于是A与B为对立事件,即=B,=A.因此P(A|)+P(|B)=P()+P(B|B)=2.知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷41(题后含答案及解析)
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷41(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设随机变量X服从F(3,4)分布,对给定的α(0<α<1),数Fα(3,4)满足P{X>Fα(3,4)}=α,若P{X≤x}=1一α,则x=A.B.C.Fα(4,3).D.F1-α(4,3).正确答案:A解析:由P{X≤x}=1一α可知,P{X>x}=α,即x=Fα(3,4).又由F1-α(n1,n2)=故选(A).知识模块:概率论与数理统计2.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,记Y=a(X1—2X2)2+b(3X3—4X4)2,其中a,b为常数.已知Y~χ2(n),则A.n必为2.B.n必为4.C.n为1或2.D.n为2或4.正确答案:C解析:依题意Xi~N(0,22)且相互独立,所以X1一2X2~N(0,20),3X3—4X4~N(0,100),且它们相互独立.由χ2分布的典型模式及性质知由上可知,n=1或2,即应选(C).知识模块:概率论与数理统计3.设X1,X2,…,Xn是来自标准正态总体的简单随机样本,和S2为样本均值和样本方差,则A.B.C.D.正确答案:D解析:显然,(n一1)S2服从自由度为n一1的χ2分布,故应选(D).其余选项不成立是明显的:对于服从标准正态分布的总体,由于X1,X2, (X)相互独立并且都服从标准正态分布,可见服从自由度为n的χ2分布.知识模块:概率论与数理统计4.设随机变量X服从n个自由度的t分布,定义tα满足P{X≤tα}=1一α(0<α<1).若已知P{|X|>x}=b(b>0),则x等于A.t1-bB.C.tb.D..正确答案:D解析:根据t分布的对称性及b>0,可知x>0.从而P{X≤x}=1一P{X>x}=根据题设定义P{X≤tα}=1一α,可知应选(D).知识模块:概率论与数理统计5.假设总体X的方差DX存在,X1,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,其样本均值和样本方差分别为,S2,则EX2的矩估计量是A.B.C.D.正确答案:D 涉及知识点:概率论与数理统计6.设一批零件的长度服从正态分布N(μ,σ2),其中σ2已知,μ未知.现从中随机抽取n个零件,测得样本均值,则当置信度为0.90时,判断μ是否大于μ0的接受条件为A.B.C.D.正确答案:C解析:本题假设检验的假设应为H0:μ≤μ0;H1:μ>μ0.因此选(C).知识模块:概率论与数理统计7.已知正态总体X一N(a,σx2)和Y~N(b,σy2)相互独立,其中4个分布参数都未知.设X1,X2,…,Xm和Y1,Y2,…,Yn是分别来自X和Y 的简单随机样本,样本均值分别为,样本方差相应为Sx2和Sy2,则检验假设H0:a≤b使用t检验的前提条件是A.σx2≤σy2.B.Sx2≤Sy2.C.σx2=σy2.D.Sx2=Sy2.正确答案:C解析:应该选(C).因为t检验使用统计量其中Sxy2是两个总体的联合样本方差:只有当选项(C)即σx2=σy2成立时才能导出统计量t的抽样分布——t分布,并且根据t分布来构造t检验.知识模块:概率论与数理统计填空题8.设总体X—E(λ),则来自总体X的简单随机样本X1,X2,…,Xn的联合概率密度f(x1,x2,…,xn)=______.正确答案:解析:总体X的概率密度f(x)=由于X1,X2,…,Xn相互独立,且与总体X服从同一指数分布,因此知识模块:概率论与数理统计9.设总体X—P(λ),则来自总体X的简单随机样本X1,X2,…,Xn的样本均值的概率分布为________.正确答案:解析:由泊松分布的可加性可知,当X1,X2独立时,X1+X2一P(2λ),继而有X1,X2,…,Xn独立同为P(λ)分布时,于是,对任意n>2,的概率分布为知识模块:概率论与数理统计10.已知χ2~χ2(n),则E(χ2)=______.正确答案:n解析:由χ2分布的典型模式χ2=X12+X22+…+Xn2=而Xi~N(0,1),且Xi相互独立,由于E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1+0=1,所以知识模块:概率论与数理统计11.已知X1,X2,X3相互独立且服从N(0,σ2),则服从的分布及参数为_________.正确答案:解析:记Y1=X2+X3,Y2=X2一X3,则Y1~N(0,2σ2),Y2~N(0,2σ2).由于Cov(Y1,Y2)=E(Y1Y2)一E(Y1)E(Y2)=E[(X2+X3)(X2一X3)] =E(X22)一E(X32)=σ2一σ2=0,所以Y1与Y2相互独立,且与X1独立.又由X1+X2+X3=X1+Y1~N(0,3σ2),且X1+X2+X3与X2一X3相互独立,于是按t分布定义有知识模块:概率论与数理统计12.设总体X的密度函数f(x)=分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差,则ES2=______.正确答案:涉及知识点:概率论与数理统计13.假设X1,X2,…,X16是来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本为其均值,S为其标准差,如果=0.95,则参数a=________.(t0.05(15)=1.7531) 正确答案:a=一0.4383.涉及知识点:概率论与数理统计14.设X1,X2,…,X9是来自总体X~N(μ,4)的简单随机样本,而是样本均值,则满足=0.95的常数μ=________.(ψ(1.96)=0.975) 正确答案:1.3067.涉及知识点:概率论与数理统计15.设X~N(μ,σ2),其中μ和σ2(σ>0)均为未知参数.从总体X中抽取样本X1,X2,…,Xn,样本均值为则未知参数μ和σ2的矩估计量分别为正确答案:,B2解析:由于待估计参数有2个:μ,σ2,故考虑一阶、二阶矩.由于E(X)=μ,E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2,知识模块:概率论与数理统计16.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,已知总体X的概率密度为则θ的最大似然估计量=______正确答案:解析:似然函数为知识模块:概率论与数理统计17.已知总体X的概率密度只有两种可能,设对X进行一次观测,得样本X1,规定当时拒绝H0,否则就接受H0,则此检验犯第一、二类错误的概率α和β分别为_______.正确答案:解析:由检验的两类错误概率α和β的意义,知知识模块:概率论与数理统计18.已知总体X服从参数为λ的泊松分布,X1,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,其均值为是λ的无偏估计,则a=_____.正确答案:涉及知识点:概率论与数理统计19.已知总体X服从正态分布N(μ,σ2),X1,…,X2n是来自总体X 容量为2n的简单随机样本,当σ2未知时.为σ2无偏估计,则C=_______,DY=_______.正确答案:解析:通过EY=σ2求得C,为此需先求得X2i—X2i-1分布.由于Xi~N(μ,σ2),且相互独立,故X2i—X2i-1一1~N(0,2σ2),E(X2i—X2i-1)2=D(X2i—X2i-1)+[E(X2i—X2i-1)]2=2σ2.知识模块:概率论与数理统计20.已知总体X服从参数为p(0<p<1)的几何分布:P{X=x}=(1一p)x-1p(x=1,2,…),X1,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,则未知参数p 的矩估计量为______;最大似然估计量为________.正确答案:解析:由几何分布的期望公式即得则由上式解得p的矩估计量又样本X1,…,Xn的似然函数知识模块:概率论与数理统计21.设总体X的概率密度为其中0<θ<1是未知参数,c是常数.X1,X2,…,XN为来自总体X的简单随机样本,则c=_______;θ的矩估计量=_____.正确答案:涉及知识点:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷50(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设A,B为任意两个不相容的事件且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的是( ).A.B.C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A—B)=P(A)正确答案:D解析:因为A,B不相容,所以P(AB)=0,又P(A—B)=P(A)一P(AB),所以P(A-B)=P(A),选(D).知识模块:概率统计2.设X~N(μ,42),Y~N(μ,52),令P=P(X≤μ一4),q=P(Y≥μ+5),则( ).A.p>qB.p<qC.p=qD.p,q的大小由μ的取值确定正确答案:C解析:知识模块:概率统计3.设X为随机变量,E(X)=μ,D(X)=σ2,则对任意常数C有( ).A.E[(X—C)]2=E[(X一μ)]2B.E[(X-C)]2≥E[(X—μ)]2C.E[(X—C)]2=E(X2)一C2D.E[(X-C)2]<E[(X一μ)2]正确答案:B解析:E[(X-C)2]-E[(X-μ)2]=[E(X2)一2CE(X)+C2]一[E(X2)一2μE(X)+μ2]=C2+2E(X)[E(X)-C]一[E(X)]2=[C—E(X)]2≥0,选(B).知识模块:概率统计4.设随机变量X~F(m,n),令P{X>Fα(m,n)}=α(0<α<1),若P(X <k)=α,则k等于( ).A.Fα(m,n)B.F1-α(m,n)C.D.正确答案:B解析:根据左右分位点的定义,选(B).知识模块:概率统计5.若事件A1,A2,A3两两独立,则下列结论成立的是( ).A.A1,A2,A3相互独立B.两两独立C.P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)D.相互独立正确答案:B解析:由于A1,A2,A3两两独立,所以也两两独立,但不一相互独立,选(B).知识模块:概率统计6.设随机变量X服从参数为1的指数分布,则随机变量y=min{X,2}的分布函数( ).A.是阶梯函数B.恰有一个间断点C.至少有两个间断点D.是连续函数正确答案:B解析:FY(y)=P(Y≤y)=P{min(X,2)≤y}=1一P{min(X,2)>y}=1一P(X>y,2>y)=1一P(X>y)P(2>y)当y≥2时,FY(y)=1;当y<2时,FY(y)=1一P(X>y)=P(X≤y)=FX(y),而FX(x)=,所以当0≤y<2时,FY(y)=1-e-y;当y<0时,FY(y)=0,即FY(y)=,显然FY(y)在y=2处间断,选(B).知识模块:概率统计7.若(X,Y)服从二维正态分布,则①X,Y一定相互独立;②若ρXY=0,则X,Y一定相互独立;③X和Y都服从一维正态分布;④X,Y的任一线性组合服从一维正态分布,上述几种说法中正确的是( ).A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④正确答案:B解析:因为(X,Y)服从二维正态分布,所以X,Y都服从一维正态分布,aX+bY 服从一维正态分布,且X,Y独立与不相关等价,所以选(B).知识模块:概率统计填空题8.设事件A,B相互独立,P(A)=0.3,且P(A+)=0.7,则P(B)=________.正确答案:解析:知识模块:概率统计9.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P(X=0)=P(X=1),则P(X≥1)=________.正确答案:1一e-2解析:X的分布律为P(X=k)=e-λ(k=0,1,2,…),由P(X=0)=P(X=1)得λ=2,P(X≥1)=1一P(X=0)=1一e-2.知识模块:概率统计10.设X~P(1),Y~P(2),且X,Y相互独立,则P(X+Y=2)=_________.正确答案:解析:P(X+Y=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0),由X,Y相互独立得P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)= 知识模块:概率统计11.设随机变量X在[一1,2]上服从均匀分布,随机变量Y=,则D(Y)=_________.正确答案:解析:随机变量X的密度函数为f(x)=,随机变量Y的可能取值为一1,0,1,知识模块:概率统计12.设X为总体,E(X)=μ,D(X)=σ2,X1,X2,…,Xn为来自总体的简单随机样本,S2=,则E(S2)=_________·正确答案:σ2解析:知识模块:概率统计13.设A,B是两个随机事件,且P(A)=0.4,P(B)=0.5,=_________.正确答案:0.2解析:因为相互独立,故=P(A)[1一P(B)]=0.4×0.5=0.2 知识模块:概率统计14.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=_______时,成功次数的标准差最大,其最大值为________.正确答案:p=,最大值为5解析:设成功的次数为X,则X~B(100,p),D(X)=100p(1-p),标准差为.令f(p)=p(1-p)(0<P<1),由f’(p)=1—2p=0得=一2<0,所以时,成功次数的标准差最大,最大值为5.知识模块:概率统计15.设随机变量X的密度函数为f(x)=,则E(X)=__________,D(X)=_________.正确答案:E(X)=1,D(X)=解析:因为知识模块:概率统计16.设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,S2=,则D(S2)=_________.正确答案:解析:知识模块:概率统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷47(题后含答案及解析)
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷47(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设X1,X2,…Xn是取自总体X的简单随机样本,记EX=μ,DX=σ2,DS>0,则A.S是σ的无偏估计.B.S2是σ2的无偏估计.C.是μ2的无偏估计·D.是EX2的无偏估计.正确答案:B解析:从上题知S2是无偏估计,应选(B).进一步分析DS=ES2一(ES)2>0 (ES)2≠ES2=σ2 ES≠σ.σ2+μ2≠μ2,知识模块:概率论与数理统计2.设是从总体X中取出的简单随机样本X1,…,Xn的样本均值,则是μ的矩估计,如果A.X~N(μ,σ2).B.X服从参数为μ的指数分布.C.P{X=m}=μ(1一μ)m-1,m=1,2,…D.X服从[0,μ]上均匀分布.正确答案:A解析:若X~N(μ,σ2),则EX=μ,μ的矩估计为,应选(A).若x服从参数为μ的指数分布,则,μ的矩估计;对于选项(C),X服从参数为μ的几何分布,EX=,μ=的矩估计;对选项(D),EX=,μ=2EX,于是μ的矩估计.知识模块:概率论与数理统计3.假设总体X的方差DX=σ2存在(σ>0),X1,…,Xn是取自总体X 的简单随机样本,其方差为S2,且DS>0,则A.S是σ的矩估计量.B.S是σ的最大似然估计量.C.S是σ的无偏估计量.D.S是σ的相合(一致)估计量.正确答案:D解析:由各选项中概念的定义及知,正确选项是(D),这是因为σ2DX的矩估计量,因而S不是σ的矩估计量,(A)不成立;题中未对X的分布做出假设,因此σ的最大似然估计量是否存在不知,(B)不成立。
如果S2是σ2的最大似然估计量,根据最大似然估计的不变性,可以断言S是σ的最大似然估计量,选项(B)成立,否则选项(B)不成立.如果S是σ的无偏估计即ES=σ,由此得(ES)2=σ2,又ES2=σ2,所以DS=ES2一(ES)2=0,与假设矛盾,所以(C)不成立,因此选(D).事实上,由大数定律及依概率收敛性质知故,即S是σ的相合估计量.知识模块:概率论与数理统计填空题4.设X1,X2,…Xn是取自总体X的简单随机样本,是总体方差σ2的无偏估计量,则a=_______,b=______.正确答案:解析:样本方差是总体方差σ2的无偏估计,所以知识模块:概率论与数理统计5.设总体X服从(a,b)上的均匀分布,X1,X2,…Xn是取自X的简单随机样本,则未知参数a,b的矩估计量为=______.=______.正确答案:解析:知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三概率论与数理统计(大数定律和中心极限定理)模拟试卷1
考研数学三概率论与数理统计(大数定律和中心极限定理)模拟试卷1(总分:86.00,做题时间:90分钟)一、<B>选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
</B>(总题数:10,分数:20.00)1.设随机变量X 1,X 2,…,X n相互独立,S n =X 1 +X 2+…+X N,则根据列维一林德伯格中心极限定理,当n充分大时S N近似服从正态分布,只要X 1,X 2,…,X N(分数:2.00)A.有相同期望和方差.B.服从同一离散型分布.C.服从同一均匀分布.√D.服从同一连续型分布.解析:解析:因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是,X 1,X 2,…,X n独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在.显然4个选项中只有选项(C)满足此条件:均匀分布的数学期望和方差都存在。
选项(A)不成立,因为X 1,X 2,…,X n有相同期望和方差,但未必有相同的分布,所以不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件;而选项(B)和(D)虽然满足同分布,但数学期望和方差未必存在,因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件,故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立.2.假设随机变量X 1,X 2,…相互独立且服从同参数A的泊松分布,则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是(分数:2.00)A.X 1,X 2,…,X n,…B.X 1 +1,X 2 +2,…,X n +n,…C.X 1,2X 2,…nX n,…√解析:解析:切比雪夫大数定律的条件有三个:第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的.显然无论是X 1,…,X n,…,还是X 1 +1,X 2 +2,…,X n +n,…;X 1,2X 2,…,nX n,…以及X 1,都是相互独立的;第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在.由于EX n =λ,DX2λ,.因此四个备选答案都n =λ,E(X n +n)=λ+n,D(X n +n)=λ,E(nX n )=nλ,D(nX n )=n满足第二个条件;第三个条件是方差DX 1,…,DX n,…有公共上界,即DX n<c,c是与n无关的常数.对于(A)=DX n =λ<λ+1;对于(B):D(X n +n)=DX n =λ<λ+1;对于(C):D(nX n )=n 2 DX n =n 2λ没有公共上界;对于(D):综上分析,只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件,因此应选(C).3.设随机变量序列X 1,…X n,…相互独立,根据辛钦大数定律,当n→∞时学期望,只要{X n,n≥1}(分数:2.00)A.有相同的数学期望.B.有相同的方差.C.服从同一泊松分布.√D.服从同一连续型分布,一∞<x<+∞).解析:解析:辛钦大数定律要求:{X n,n≥1}独立同分布且数学期望存在.选项(A)、(B)缺少同分布条件,选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在,因此选(C).4.设X n表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数,则(分数:2.00)A.B.C. √D.解析:5.设随机变量X服从F(3,4)分布,对给定的α(0<α<1),数F α (3,4)满足P{X>F α (3,4)}=α,若P{X≤x}=1一α,则x=(分数:2.00)√C.F α (4,3).D.F 1-α (4,3).解析:解析:因X~F(3,4),故~F(4,3).又1一α=P{X≤x}=P{X<x}= 所以=F 1-α(4,3),即因此选(A).6.设X 1,X 2,X 3,X 4是来自正态总体N(0,2 2 )的简单随机样本,记Y=a(X 1一2X 2 ) 2 +b(3X 3—4x2,其中a,b为常数.已知Y~χ2 (n),则4 )(分数:2.00)A.n必为2.B.n必为4.C.n为1或2.√D.n为2或4.解析:解析:依题意X i~N(0,2 2 )且相互独立,所以X 1 -2X 2~N(0,20),3X 3—4X 4~N(0,100),且它们相互独立.由χ2分布的典型模式及性质知(1)当时,Y~χ2(2);(2)当b=0,或a=0,时,Y~χ2 (1).由上可知,n=1或2,即应选(C).7.设X 1,X 2,…,X n是来自标准正态总体的简单随机样本,S 2为样本均值和样本方差,则(分数:2.00)服从自由度为n一1的χ2分布.D.(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布.√解析:解析:显然,(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布,故应选(D).其余选项不成立是明显的:对于服从标准正态分布的总体,由于X 1,X 2,…,X n相互独立并且都服从标准正态分布,可见服从自由度为n的χ2分布.8.设随机变量X~t(n)(n>1),(分数:2.00)A.Y~χ2 (n).B.Y~χ2 (n一1).C.Y~F(n,1).√D.Y~F(1,n).解析:解析:根据t分布的性质,如果随机变量X~t(n),则X 2~F(1,n),又根据F分布的性质,如果X 2~F(1,n),则~F(n,1).因此~F(n,1),故应选(C).9.设随机变量X服从n个自由度的t分布,定义t α满足P{X≤t α }=1一α(0<α<1).若已知P{|X|>x}=b(b>0),则x等于(分数:2.00)A.t 1-b.C.t b.√解析:解析:根据t分布的对称性及b>0,可知x>0.从而P{X≤x}=1一P{X>x}= 根据题设定义P{X≤t α }=1一α,可知应选(D).10.假设总体X的方差DX存在,X 1,…,X n是取自总体X的简单随机样本,其样本均值和样本方差分别为,则EX 2的矩估计量是(分数:2.00)A.B.C.D. √解析:解析:按定义,EX 2的矩估计量是由于所以EX 2的矩估计量,选(D).二、填空题(总题数:20,分数:40.00)11.将一枚骰子重复掷n次,则当n→∞时,n 1。
概率论与数理统计习题集及问题详解
第1章 概率论的基本概念§1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图,其中A,B,C,D 为开关。
设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路(用T 表示)的概率。
A B L R C D1. 甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立, 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。
第1章作业答案§1 .8. 1: 用A,B,C,D 表示开关闭合,于是 T = AB ∪CD, 从而,由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)424222p p p p p -=-+=2: (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38; (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 随机变量及其分布§2.2 10-分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布,求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;(2)每分钟只少有1次呼叫的概率; (3)每分钟最多有1次呼叫的概率;2 设随机变量X 有分布律: X 23 , Y ~π(X), 试求: p 0.4 0.6(1)P(X=2,Y ≤2); (2)P(Y ≤2); (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。
§2.3 贝努里分布2 设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ?§2.6 均匀分布和指数分布2 假设打一次电话所用时间(单位:分)X 服从2.0=α的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你等待:(1)超过10分钟的概率;(2)10分钟 到20分钟的概率。
概率论与数理统计试题与答案完整版
概率论与数理统计试题与答案HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题(本题满分18分,每题3分)1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。
2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ,若95)1(=≥X p ,则=≥)1(Y p 。
3、设X 与Y 相互独立,1,2==DY DX ,则=+-)543(Y X D 。
4、设随机变量X 的方差为2,则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。
5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2χ的样本,则统计量∑==n1i i X Y 服从分布。
6、设正态总体),(2σμN ,2σ未知,则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。
(按下侧分位数)二、选择题(本题满分15分,每题3分)1、 若A 与自身独立,则( )(A)0)(=A P ; (B) 1)(=A P ;(C) 1)(0<<A P ; (D) 0)(=A P 或1)(=A P2、下列数列中,是概率分布的是( )(A) 4,3,2,1,0,15)(==x xx p ; (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==x x p ; (D) 5,4,3,2,1,251)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ,则有( )(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=-(C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D4、设随机变量),(~2σμN X ,则随着σ的增大,概率()σμ<-X P ( )。
(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本,X 与2S 分别为样本均值与样本方差,则下列结果错误..的是( )。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷83(题后含答案及解析)
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷83(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设随机变量X1,X2,...,Xn相互独立,Sn=X1+X2+...+Xn,则根据列维一林德伯格中心极限定理,当n充分大时Sn近似服从正态分布,只要X1,X2, (X)A.有相同期望和方差.B.服从同一离散型分布.C.服从同一均匀分布.D.服从同一连续型分布.正确答案:C 涉及知识点:概率论与数理统计2.假设随机变量X1,X2,…相互独立且服从同参数A的泊松分布,则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是A.X1,X2,…,Xn,…B.X1+1,X2+2,…,Xn+n,…C.X1,2X2,…,nXn,…D.X1,X2, (X)正确答案:C 涉及知识点:概率论与数理统计3.设随机变量序列X1,…,Xn,…相互独立,根据辛钦大数定律,当n →∞时Xi依概率收敛于其数学期望,只要{Xn,n≥1}A.有相同的数学期望.B.有相同的方差.C.服从同一泊松分布.D.服从同一连续型分布,f(χ)=(-∞<χ<+∞).正确答案:C解析:辛钦大数定律要求:{Xn,n≥1}独立同分布且数学期望存在.选项A、B缺少同分布条件.选项D虽然服从同一分布但期望不存在,因此选C.知识模块:概率论与数理统计4.设Xn表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数,则A.B.C.D.正确答案:C解析:由于Xn~B(n,),且EXn=np=,DXn=npq=,因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理,有故选C.知识模块:概率论与数理统计5.设随机变量X服从F(3,4)分布,对给定的α(0<α<1),数Fα(3,4)满足P{X>Fα(3,4)}=α,若P{X≤χ}=1-α,则χ=A.B.C.Fα(4,3).D.F1-α(4,3).正确答案:A解析:因X~F(3,4),故~F(4,3).又1-α=P{X≤χ}=P{X<χ}=,所以=F1-α(4,3),即χ=.因此选A.知识模块:概率论与数理统计6.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,记Y =a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,其中a,b为常数.已知Y~χ2(n),则A.n必为2.B.n必为4.C.n为1或2.D.n为2或4.正确答案:C解析:依题意Xi~N(0,22)且相互独立,所以X1-2X2~N(0,20),3X3-4X4~N(0,100),故且它们相互独立.由χ2分布的典型模式及性质知(1)当时,Y~χ2(2):(2)当a=,b=0,或a=0,b=时,Y~χ2(1).由上可知,n=1或2,即应选C.知识模块:概率论与数理统计7.设X1,X2,…,Xn是来自标准正态总体的简单随机样本,和S2为样本均值和样本方差,则A.服从标准正态分布.B.Xi2服从自由度为n-1的χ2分布.C.n服从标准正态分布.D.(n-1)S2服从自由度为n-1的χ2分布.正确答案:D解析:显然,(n-1)S2服从自由度为n-1的χ2分布,故应选D.其余选项不成立是明显的,对于服从标准正态分布的总体,,n~N(0,n).由于X1,X2,…,Xn相互独立并且都服从标准正态分布,可见Xi2服从自由度为n的χ2分布.知识模块:概率论与数理统计8.设随机变量X服从n个自由度的t分布,定义tα满足P{X≤tα}=1一d-α(0<α<1) .若已知P{|X|>χ}=b(b>0),则χ等于A.t1-b.B..C.tb.D..正确答案:D解析:根据t分布的对称性及b>0,可知χ>0.从而P{X≤χ}=1-P{X>χ}=1-P{|X|>χ}=1-.根据题设定义P{X≤tα}=1-α,可知χ=.应选D.知识模块:概率论与数理统计填空题9.将一颗骰子连续重复掷4次,以X表示4次掷出的点数之和,则根据切比雪夫不等式,P{10<X<18}≥_______.正确答案:解析:以Xk(k=1,2,3,4)表示第k次掷出的点数,则Xk独立同分布:P{Xk=i}=(i=1,2,…,6).所以EXk=(1+2++…+6)=,EXk2=(1+22+…+62)=,DXk=EXk2-(EXk)2=.又由于X=X1+X2+X3+X4,而Xk(k=1,2,3,4)相互独立,所以EX=4×=14,DX=4×.因此,根据切比雪夫不等式,有P{10<X<18}=P{-4<X-14<4}=P{|X -14|<4} =P{|X-EX|<4}≥1-.知识模块:概率论与数理统计10.设随机变量X1,…,Xn相互独立同分布,EXi=μ,DXi=8(i=1,2,…,n),则概率P{μ-4<<μ+4}≥_______,其中正确答案:1-解析:由于X1,…,Xn相互独立同分布,因此有E=μ,.应用切比雪夫不等式,有P{μ-4<<μ+4}=P{|-μ|<4}≥1-,即P{μ-4<<μ+4}≥1-.知识模块:概率论与数理统计11.已知随机变量X与Y的相关系数ρ=,且EX=EY,DX=DY,则根据切比雪夫不等式有估计式P{|X-Y|≥}≤_______.正确答案:解析:由于E(X-Y)=EX-EY=0,D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=DY+DY-2.ρ=所以P{|X-Y|≥知识模块:概率论与数理统计12.将一枚骰子重复掷n次,则当n→∞时,n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于_______.正确答案:7/2解析:设X1,X2,…,Xn是各次掷出的点数,它们显然独立同分布,每次掷出点数的数学期望EX=21/6=7/2.因此,根据辛钦大数定律,依概率收敛于7/2.知识模块:概率论与数理统计13.设随机变量序列X1,…,Xn,…相互独立且都服从正态分布N(μ,σ2),记Yn=X2n-X2n-1根据辛钦大数定律,当n→∞时Yi2依概率收敛于_______.正确答案:2σ2解析:由于{Xn,n≥1}相互独立,故Yn=X2n-X2n-1(n≥1)相互独立并且都服从N(0,2σ2),所以{Yn2,n≥1}独立同分布且EYn2=DYn+(EYn)2=2σ2,根据辛钦大数定律,当n→∞时Yi2依概率收敛于2σ2.知识模块:概率论与数理统计14.设随机变量序列X1,Xn,…相互独立且都在(-1,1)上服从均匀分布,则=_______(结果用标准正态分布函数Ф(χ)表示).正确答案:Ф()解析:由于Xn相互独立且都在(-1,1)上服从均匀分布,所以EXn=0,DXn=,根据独立同分布中心极限定理,对任意χ∈R有取χ=,得.知识模块:概率论与数理统计15.设随机试验成功的概率p=0.20,现在将试验独立地重复进行100次,则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=_______.正确答案:0.84解析:以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”,则X服从参数为(n,p)的二项分布,其中n=100,p=0.20,且EX=np=20,=4.由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,知随机变量Un=近似服从标准正态分布N(0,1).因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=P{16≤X≤32}=≈Ф(3)-Ф(-1)=Ф(3)-[1-Ф(1)]=0.9987-(1-0.8413)=0.84,其中Ф(u)是标准正态分布函数.知识模块:概率论与数理统计16.设总体X~E(λ),则来自总体X的简单随机样本X1,X2, (X)的联合概率密度f(χ1,χ2,…,χn)=_______.正确答案:解析:总体X的概率密度f(χ)=由于X1,X2,…,Xn相互独立,且与总体X服从同一指数分布,因此f(χ1,χ2,…,χn)=知识模块:概率论与数理统计17.设总体X~P(λ),则来自总体X的简单随机样本X1,X2, (X)的样本均值的概率分布为_______.正确答案:解析:由泊松分布的可加性可知,当X1,X2独立时,X1+X2-P(2λ),继而有X1,X2,…,Xn独立同为P(λ)分布时,Xi=n~P(nλ).于是,对任意n>2,n的概率分布为P{n=k}=e-nλ,k=0,1,2,…,而P{n=k}=,所以知识模块:概率论与数理统计18.已知χ2~χ2(n),则E(χ2)=_______.正确答案:n解析:由χ2分布的典型模式χ2=X12+X22+…+Xn2=Xi2知,E(χ2)=E(χi2),而χi~N(0,1),且Xi相互独立,由于E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1+0=1,所以E(χ2)=E(Xi2)=n.知识模块:概率论与数理统计19.已知X1,X2,X3相互独立且服从N(0,σ2),则服从的分布及参数为_______.正确答案:解析:记Y1=X2+X3,Y2=X2-X3,则Y1~N(0,2σ2),Y2~N(0,2σ2).由于Cov(Y1,Y2)=E(Y1Y2)-E(Y1)E(Y2)=E[(X2+X3)(X2-X3)] =E(X22)-E(X32)=σ2-σ2=0,所以Y1与Y2相互独立,且与X1独立.又由X1+X2+X3=X1+Y1~N(0,3σ2),可知(X1+X2+X3)~N(0,1),~χ2(1),且X1+X2+X3与X2-X3相互独立,于是按t分布定义有知识模块:概率论与数理统计20.设总体X的密度函数f(χ)=又,S2分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差,则E=_______;D=_______;ES2=_______.正确答案:0,解析:由于E=EX,,ES2=DX,由题设有EX=∫-∞+∞χf(χ)dχ=∫-11χ|χ|dχ=0.DX=EX2-(EX)2=∫-∞+∞χ2f(χ)dχ=∫-11χ2|χ|dχ=2∫01χ2dχ=所以E=0,,ES2=.知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷13(题后含答案及解析)
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷13(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.随机事件A与B互不相容,0<P(A)<1,则下列结论中一定成立的是( )A.A∪B=Ω。
B.C.A=B。
D.正确答案:B解析:因AB=,应选B。
知识模块:概率论与数理统计2.设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则( )A.P(C)≤P(A)+P(B)-1。
B.P(C)≥P(A)+P(B)-1。
C.P(C)=P(AB)。
D.P(C)=P(A∪B)。
正确答案:B解析:由题设条件可知C AB,于是根据概率的性质、加法公式,有P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)≥P(A)+P(B)-1。
故B正确。
知识模块:概率论与数理统计3.将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A1={掷第一次出现正面},A2={掷第二次出现正面},A3={正反面各出现一次},A4={正面出现两次},则事件( ) A.A1,A2,A3相互独立。
B.A2,A3,A4相互独立。
C.A1,A2,A3两两独立。
D.A2,A3,A4两两独立。
正确答案:C解析:显然P(A1)=P(A2)=,且A1与A2相互独立。
故选项C正确。
知识模块:概率论与数理统计4.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则随σ的增大,概率P{|X-μ|<σ}应该( )A.单调增大。
B.单调减少。
C.保持不变。
D.增减不定。
正确答案:C解析:若X~N(μ,σ2),则因此该概率值与σ无关,故选项C正确。
知识模块:概率论与数理统计5.设随机变量X和Y独立同分布,已知P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…,0<p<1,则P{X>Y}的值为( )A.B.C.D.正确答案:B解析:根据对称性得知P{X>Y}=P{X<Y}=[1-P{X=Y}]。
故选项B正确。
知识模块:概率论与数理统计6.已知随机变量X与Y均服从0-1分布,且E(XY)=,则P{X+Y≤1}=( ) A.B.C.D.正确答案:C解析:因为X与Y均服从0-1分布,所以可以列出(X,Y)的联合分布如下:又已知E(XY)=,从而P{X+Y≤1}=P11+P12+P21=1-P22=,故选项C正确。
概率论与数理统计练习题及其答案
概率论与数理统计模拟试题(概率论部分)一、填空题(每小题3分):1、同时抛出两枚硬币,两枚硬币均为正面的概率为 ;2、依次抛两枚骰子,若第一枚为3点,则第二枚也为3点的概率为 ;3、设事件A 、B ,()0.8,()0.5,()P A P AB P AB === ;4、若事件A 、B 互斥,()0.3,()0.4,()P A P B P A B ==-= ;5、设A 和B 相互独立,且()0.4,()0.3P A P B ==,则()P A B += ;6、设随机变量~(0,1)X N ,分布函数为()x Φ,则(0)Φ= ;7、设2(0,)XN σ,若{}20.45P X <-=,则{}22P X -<<= ;8、已知随机变量X 服从区间[0,1]上的均匀分布,21Y X =-,则DY = ; 9、设随机变量X 与Y 相互独立,方差分别为2和3,则(23)D X Y -= ; 10、设随机变量X 、Y 满足()()()E XY E X E Y =,则协方差(,)Cov X Y = ; 11、设随机变量X 、Y 满足0XY ρ=,则协方差(,)Cov X Y = ; 二、选择题(每小题3分,每题只有一个正确答案):1、设事件A 、B ,()0,P AB =则下面说法中正确的是( ).()A A 、B 互斥;()B A 、B 相互独立;()C ()0P A =或()0P B =;()D ()()P A B P A -=.2、(),(),(),()P A a P B b P A B c P AB ====( ).()A a b -; ()B c b -; ()C a ab -; ()D b a -.3、设事件A 、B 互斥,()0P A >,()0P B >,则下面说法中正确的是( ); ()A ()0P B A >;()B ()()P A B P A =;()C ()0P A B =;()D ()()()P AB P A P B =.4、()0.8,()0.7,()0.8,P A P B P A B ===则下面说法中正确的是( );()A A 、B 相互独立;()B A 、B 互斥;()C A B ⊂;()D ()()()P A B P A P B +=+.5、设事件A 、B 相互独立,则下面的说法中,错误的是( );()A A 与B 独立;()B A 与B 独立;()C ()()()P AB P A P B =;()D A 、B 一定互斥.6、设随机变量X 的概率密度为2(3)4(),x f x x --=-∞<<∞,则( )(0,1)N .3()4X A -; ()B ; 3()2X C +; ()D . 7、设总体X 服从2(3,4)N ,且常数c 满足{}{}P X c P X c >=<,则C 等于( );()A 3; ()B 2; ()C 1; ()D 0.8、设()P A p =,则n 次独立重复试验中事件A 至少发生一次的概率为( ).()A p ; ()B 1p -; ()C (1)n p -; ()D 1(1)n p --.9、设随机变量X 与Y 相互独立,方差分别为6和3,则(2)D X Y -=( ).()A 9; ()B 15; ()C 27; ()D 33.10、若随机变量X 和Y 的协方差(,)0Cov X Y =,则下列结论中正确的 ( ) ()A X 、Y 相互独立; ()B ()D X Y DX DY +=+;()C ()D X Y DX DY -=-; ()D ()D XY DX DY =⋅.三、计算题(一维随机变量部分)1、如图系统由3个电子元件组成,各元件独立工作,其正常工作的概率皆为0.8,求系统正常工作的概率.解:()()()()P P AB C P AB P C P ABC ==+- ()()()()()()P A P B P C P A P B P C =+- 0.80.80.80.80.80.80.928.=⨯+-⨯⨯=2、在区间(0,1)上任意取5个数,求这5个数中有2个大于23的概率. 解:设取得的数为X ,则2133P X ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭,又设5个数中大于23的个数为Y ,则{}2522511802133243P Y C -⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 3、设随机变量X 在[]2,5上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率.解:由已知,X 的分布密度为:1,25()30,.x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则 {}5312333P X dx >==⎰,设在三次独立观测中观测值大于3的次数为Y ,则2(3,)3Yb ,那么{}223333212202()()()33327P Y C C ≥=+=.4、已知离散型随机变量X 的分布列为:10120.10.40.20.3-⎛⎫ ⎪⎝⎭,求: (1) {1 1.5}P X -<≤;(2) 2()E X 、DX . 解: (1) {1 1.5}0.40.20.6P X -<≤=+=. (2) 0.7EX =2()00.410.340.3 1.5E X =⨯+⨯+⨯=. 22()() 1.50.70.8.DX E X EX =-=-= 5、已知随机变量X 的概率密度为:(12),01()0,A x x f x +<<⎧=⎨⎩其它, (1) 求A 的值; (2) 计算{0.10.5}P X << 解: (1) 由 11()(12)2f x dx A x dx A +∞-∞==+=⎰⎰得12A =. (2): {}0.50.10.10.5()P X f x dx <<=⎰.0.50.11(12)0.322x dx =+=⎰.6、已知随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布,求X Y e =的概率密度函数.解:X 的概率密度:1,01()0,x f x <<⎧=⎨⎩,其他 当0Y ≤时,()0Y f x =;当0Y >时,(){}{}(ln )X Y X F y P Y y P e y F y =≤=≤=,故1,1()0,Y X y e y f y F ⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其他. 7、已知连续型随机变量X 的密度函数为sin 0,()0A x x f x π<<⎧=⎨⎩ 其他.,求: (1)常数A ; (2)求33P X ππ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.解: (1) 由 01()sin 2f x dx A xdx A π+∞-∞===⎰⎰,得 12A =. (2)330311()sin 3324P X f x dx xdx πππππ+-⎧⎫-<<===⎨⎬⎩⎭⎰⎰.四、(二维随机变量部分:边缘分布、函数分布、概率、期望、方差)1、在区间(0,1)任意取2个数,求这2个数之和小于65的概率。
概率论与数理统计(经管类)复习试题及答案
概率论和数理统计真题讲解(一)单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设随机事件A与B互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则()A.P(B|A)=0B.P(A|B)>0C.P(A|B)=P(A)D.P(AB)=P(A)P(B)『正确答案』分析:本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。
解析:A:,因为A与B互不相容,,P(AB)=0,正确;显然,B,C不正确;D:A与B相互独立。
故选择A。
提示:① 注意区别两个概念:事件互不相容与事件相互独立;② 条件概率的计算公式:P(A)>0时,。
2.设随机变量X~N(1,4),F(x)为X的分布函数,Φ(x)为标准正态分布函数,则F(3)=()A.Φ(0.5)B.Φ(0.75)C.Φ(1)D.Φ(3)『正确答案』分析:本题考察正态分布的标准化。
解析:,故选择C。
提示:正态分布的标准化是非常重要的方法,必须熟练掌握。
3.设随机变量X的概率密度为f(x)=则P{0≤X≤}=()『正确答案』分析:本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。
第33页解析:,故选择A。
提示:概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。
4.设随机变量X的概率密度为f(x)=则常数c=()A.-3B.-1C.-D.1『正确答案』分析:本题考察概率密度的性质。
解析:1=,所以c=-1,故选择B。
提示:概率密度的性质:1.f(x)≥0;4.在f(x)的连续点x,有F′(X)=f(x);F(x)是分布函数。
课本第38页5.设下列函数的定义域均为(-∞,+∞),则其中可作为概率密度的是()A.f(x)=-e-xB. f(x)=e-xC. f(x)=D.f(x)=『正确答案』分析:本题考察概率密度的判定方法。
解析:① 非负性:A不正确;② 验证:B:发散;C:,正确;D:显然不正确。
《概率论与数理统计》(B)模拟试题(一)
《概率论与数理统计》(B )模拟试题(一)一 判断题(2分ⅹ5=10分)1.其概率为1的事件,必定是必然事件.2.若事件A,B 相互独立,则,A B 也相互独立.3.若事件X,Y 都服从正态分布,则(X,Y)也服从正态分布.4.连续型随机变量X,Y 相互独立的充要条件是f(x,y)=()()X Y f x f y ⋅.5.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的样本,且E(X)=μ,(1)X t n -. 二 单选题(3分ⅹ5=15分)1.若事件A,B 相互独立,则概率P(A B)= .(A) P(A+B) (B) 1-P(A )P(B ) (C) P(A )+P(B ) (D) 1-P(A)P(B)2. 设X 的概率密度为:当x ≥0时,()f x =3x Ae -;当x<0时, ()f x =0,则A= .(A) 1/3 (B) –1/3 (C) 3 (D) --33. 设X,Y 相互独立,且P(X=0)=13,P(X=1)=23, P(Y=0)=13, P(Y=1)=23, 则P(X=Y)= 。
(A)59 (B) 49 (C) 29 (D) 19 4 . 设X 在[2,4]上服从均匀分布,则E (2X+1)= .(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 75. 设总体X N(2,μσ), 其中2,μσ为未知参数, 1,2,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的一个样本,则可作为2σ的无偏估计的是 . (A) 11n - 21()n i i X μ=-∑ (B) 1n 21()n i i X μ=-∑ (C) 11n -21()n i i X X =-∑ (D) 1n 21()n i i X X =-∑三、填空题(4分ⅹ5=20分)1. 设A,B,C 为任意事件,则“A,B,C 中至少有两个事件出现”可表示为 。
2 设A,B 为随机事件,且P(B)=, P(AB)=, 则条件概率P(A ∕B)= . 3已知离散型变量X 的分布律为P(X=k)=a k b (k=1,2,….),则b= .4 设X,Y 相互独立,且D(X)=D(Y)=1, 则D(2X-3Y)= .5. 设X U[0,3θ], (0θ≥,未知), 1,2,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的一个样本,且11ni i X X n ==∑,则参数θ的估计量为 . 四 (10分) 已知事件A,B 相互独立,且P(A)=, P(B)=, 求P(A ∪B), P(A-B).五 (10分). 一袋中共有3个黑球,7个白球,今从中任意抽球两次,每次抽取一个,抽后不放回,求第二次抽出的是黑球的概率.六 (10分). 已知电源电压X 服从正态分布N(220,225), 在电源电压处于以下三种状态: X ≤200V, 200V ≤X ≤240V, X ≥240V 时,某电子元件损坏的概率分别为, , . 试求: (1) 该电子元件损坏的概率; (2) 该电子元件损坏时, 电压在200—240V 之间的概率. (已知:0(0.8)0.7881Φ=).七(12分).已知X,Y 相互独立, (X,Y)的分布律为: P(X=1,Y=1)=318, P(X=1,Y=2)=218, P(X=1,Y=3)=118, P(X=2,Y=1)= 618, P(X=2,Y=2)=α, P(X=2,Y=3)=β. 试求: (1) ,αβ的值; (2) X,Y 的边缘分布;.八 (13分) 设1,2,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的一个样本, X 的概率密度为f(x)=其中θ>1的未知参数,试求θ的矩估计量和极大似然估计量.《概率论与数理统计》(B )模拟试题(二)一、 判断题(2分ⅹ5=10分)1. 其概率为0的事件,必定是不可能事件. ( )2. 若事件A,B 相互独立,则AB=∅. ( )3. 若(X,Y)的联合分布密度为f(x,y), 则Y 的边缘分布密度为()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰.( ).4. 若X,Y 相互独立, 都服从正态分布, 则(X,Y)服从二维正态分布. ( )5. 设1,2,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的一个样本, 且E (X )=μ,则(1)X t n -。
概率论与数理统计期末考试模拟检测题01(含答案)
概率论与数理统计期末考试模拟检测题01(含答案)一、填空题。
设A 与B 为互不相容的两个事件,0)B (P >,则=)|(B A P 0 。
事件A 与B 相互独立,,7.0)(,4.0)(=+=B A P A P 则 =)(B P 0.5 。
设离散型随机变量X 的分布函数为0 1-<x=)(x F a 11<≤-xa 32- 21<≤x b a + 2≥x且21)2(==X P ,则=a 61 =b , 65 。
某人投篮命中率为54,直到投中为止,所用投球数为4的概率为___6254________。
设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从“0-1”分布,4.0=p ;Y 服从2=λ的泊松分布)2(π,则._______24.2____)(_______,4.2____)(=+=+Y X D Y X E已知,31,9)Y (D ,16)X (D XY =ρ== 则.___36___)Y 2X (D =-设总体X 服从正态分布),,0(2σN 从总体中抽取样本,,,,4321X X X X 则统计量24232221X X X X ++服从_______)2,2(F ______________分布。
设总体X 服从正态分布),1,(μN 其中μ为未知参数,从总体X 中抽取容量为16的样本,样本均值,5=X 则总体均值μ的%95的置信区间为____(4.51,5.49)____。
(96.1975.0=u )若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X 与Y相互独立,则Y X Z +=服从______),(222121σσμμ++N ______分布。
二、计算题(每小题10分,共60分)1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品,从其中取两次,每次任取一只,做不放回抽样。
求下列事件的概率:(1)一只是正品,一只是次品;(2)第二次才取得次品;(3)第二次取出的是次品。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷61(题后含答案及解析)
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷61(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.随机变量序列X1,…,Xn,…相互独立且满足大数定律,则Xi的分布可以是A.P{Xi=m}=,m=1,2,….B.Xi服从参数为的指数分布.C.Xi服从参数为i的泊松分布.D.Xi的概率密度f(χ)=.正确答案:A解析:相互独立的随机变量X1,X2,…,如果X1,X2,…同分布,只要EXi存在,则X1,X2,…服从辛钦大数定律;若X1,X2,…不同分布,但Xi 的期望、方差应都存在,且方差要一致有界,则X1,X2,…满足切比雪夫大数定律.据此分析:在选项A中同分布,EXi=,由于级数是收敛的,因此EXi存在,X1,X2,…满足辛钦大数定律,应选A.进一步分析,在选项B 中,DXi==i2;在选项C中,DXi=i,它们均不能对i一致有界,因此不满足切比雪夫大数定律.在选项D中,由于=+∞,因此=+∞.故EXi 不存在,所以不能满足辛钦大数定律.知识模块:概率论与数理统计2.设统计量Y服从F分布F(m,n),Fα(m,n)满足P{Y≥Fα(m,n)}=α,则F1-α(m,n)等于A.1-Fα(m,n).B.1-Fα(n,m).C.D.正确答案:D解析:若Y~F(m,n),则~F(n,m),依题意P{Y≥F1-α(m,n)}=1-α,P{Y≤F1-α(m,n)}=α,但是P{≥Fα(n,m)}=α,所以Fα(n,m)=,F1-α(m,n)=,应选D.知识模块:概率论与数理统计填空题3.某选择题有四个选项(四选一),已知考生知道正确答案的概率为,该考生虽然知道正确答案但因粗心选错的概率为,如果考生不知道正确答案只能随机地选,则该考生选对答案的概率α=_______;若已知该考生选对了答案,那么他确实会做该题的概率β=_______.正确答案:α=;β=.解析:设事件A1=“该考生不知道正确答案”,A2=“知道正确答案,但因粗心选错”,A3=“知道正确答案且是正确答对”.易见A1,A2,A3构成一个完备事件组.且设事件B表示“答对题目”,则有(B|A1)=,P(B|A2)=0,P(B|A3)=1.根据全概率公式及贝叶斯公式故α=;β=.知识模块:概率论与数理统计4.设随机变量X,Y分别服从正态分布N(1,1)与N(0,1),E(XY)=-0.1,则根据切比雪夫不等式P{-4<X+2Y<6}≥_______.正确答案:0.816解析:E(X+2Y)=EX+2EY=1,cov(X,Y)=EXY-EXEY=-0.1,D(X+2Y)=DX+4cov(X,Y)+4DY=4.6,P{-4<X+2Y<6}=P{|X +2Y-1|<5}≥1-=0.816.知识模块:概率论与数理统计5.设X1,X2,…,Xn,…相互独立都服从参数为2的泊松分布,则当n →∞时,Xi2依概率收敛于_______.正确答案:6解析:依题意X12,X22,…,Xn2…亦相互独立同分布,其共同的期望存在:EXi2=DXi+(EXi)2=λ+λ2=6,设Yn=Xi2,根据辛钦大数定律,当n →∞时,Yn=Xi2依概率收敛于EXi2,即Yn依概率收敛于6.知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷82(题后含答案及解析)
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷82(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设随机变量X~E(1),记Y=max(X,1),则E(Y)=A.1.B.1+e-1.C.1-e-1.D.e-1.正确答案:B解析:如果先去求Y的密度fY(y),则计算量很大.直接用随机变量函数的数学期望的定义式E(Y)=E[max(X,1)]=∫-∞+∞max(χ,1)f(χ)dχ,其中f(χ)为指数分布的X的密度函数,且f(χ)=所以E(Y)=∫-∞+∞max(χ,1)f(χ)dχ=∫-∞0max(χ,1).0dχ+∫0+∞max(χ,1)e-χdχ=∫01e-χdχ+∫1+∞χe-χdχ=1-e-1+2e-1=1+e-1.知识模块:概率论与数理统计2.已知随机变量X与Y均服从0.1分布,且EXY=,则P{X+Y≤1}=A..B..C..D..正确答案:C解析:由X与Y均服从0-1分布,可以列出(X,Y)的联合分布如下:由二维离散型随机变量(X,Y)的函数的数学期望的定义式可知,随机变量Z=g(X,Y)=XY的数学期望为E(XY)=0.0.P{X=0,Y=0}+0.1.P{X=0,Y=1}+1.0.P{X=1,Y=0}+1.1.P}X=1,Y=1} =P{X=1,Y=1} 即p22=,从而P{X+Y≤1}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0} =p11+p12+p21=1-p22=,故选C.知识模块:概率论与数理统计3.设随机变量X与Y独立同分布,记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与VA.不独立.B.独立.C.相关系数不为零.D.相关系数为零.正确答案:D解析:由于X与Y独立同分布,因此E(X)=E(Y),E(X2)=E(Y2).又E(U)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,E(UV)=E[(X-Y)(X+Y]=E(X2-Y2)=E(X2)-E(Y2)=0,Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)=0,从而可知U与V的相关系数为零,故选D.知识模块:概率论与数理统计4.设随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4),且相关系数ρXY=1,则A.P{Y=-2X-1}=1.B.P{Y=2X-1}=1.C.P{Y=-2X+1}=1.D.P{Y=2X+1}=1.正确答案:D解析:由于X与Y的相关系数ρXY=1>0,因此P{Y=aX+b}=1,且a >0.又因为Y~N(1,4),X~N(0,1),所以EX=0,EY=1.而EY=E(aX+b)=bb=1.即应选D.知识模块:概率论与数理统计5.已知随机变量X与Y有相同的不为零的方差,则X与Y相关系数ρ=1的充要条件是A.Cov(X+Y,X)=0.B.Cov(X+Y,Y)=0.C.Cov(X+Y,X-Y)=0.D.Cov(X-Y,X)=0.正确答案:D解析:直接用定义通过计算确定正确选项.已知DX=DY=σ2>0,则ρ==1 Cov(X,Y)=Cov(X,X) Cov(X,Y-X)=0 Cov(X-Y,X)=0.故选D 知识模块:概率论与数理统计填空题6.已知随机变量X在(1,2)上服从均匀分布,在X=χ条件下Y服从参数为χ的指数分布,则E(XY)=_______.正确答案:1 涉及知识点:概率论与数理统计7.设随机变量X和Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(-3,4),则随机变量Z=-2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_______.正确答案:f(z)=,z∈R.涉及知识点:概率论与数理统计8.设随机变量X的概率密度为f(χ)=(-∞<χ<+∞),则随机变量X的二阶原点矩为_______.正确答案:解析:依题设,即求EX2.首先对所给概率密度作变换:对于χ(-∞<χ<+∞),有由此可知随机变量X服从正态分布,从而EX=,DX=.于是EX2=DX+(EX)2=.知识模块:概率论与数理统计9.设试验成功的概率为,失败的概率为,现独立重复地试验直到成功两次为止,则所需进行的试验次数的数学期望为_______.正确答案:解析:设X表示试验成功两次时所进行的试验次数,Y表示第一次试验成功所进行的试验次数,Z表示从第一次成功之后到第二次成功所进行的试验次数,则X=Y+Z,且Y与Z都服从同一几何分布,其概率分布为P{Y=k}=P{Z=k}=(k=1,2,…),从而右F(Y)=E(Z)=,于是E(X)=E(Y +Z)=E(Y)+E(Z)=.知识模块:概率论与数理统计10.已知随机变量Xl与X2相互独立且分别服从参数为λ1,λ2的泊松分布,P{X1+X2>0}=1-e-1,则E(X1+X2)2=_______.正确答案:2解析:已知Xi~P(λi)且相互独立,所以EXi=DXi=λi,i=1,2.E(X1+X2)2=E(X12+2X1X2×X22)=EX12+2EX1EX2+EX22 =λ1+λ12+2λ1λ2+λ2+λ22=λ1+λ2+(λ1+λ2)2.为求得最终结果我们需要由已知条件求得λ1+λ2.因为P{X1+X2>0}=1-P{X1+X2≤0}=1-P{X1+X2=0} =1-P{X1=0,X2=0}=1-P{X1=0}P{X2=0} =1-1-e-1.所以λ1+λ2=1,故E(X1+X2)2=1+1=2.知识模块:概率论与数理统计11.已知(X,Y)在以点(0,0),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,对(X,Y)作4次独立重复观察.观察值X+Y不超过1出现的次数为Z.则EZ2=_______.正确答案:5解析:由题设知(X,Y)的联合概率密度为若记A=“X+Y≤1”,则Z 是4次独立重复试验事件A发生的次数,故Z~B(4,p),其中p=P(A)=P{X +Y≤1}=f(χ,y)dχdy =2×.所以EZ2=DZ+(EZ)2=4×=5.知识模块:概率论与数理统计12.设盒子中装有m个颜色各异的球,有放回地抽取n次,每次1个球.设X表示n次中抽到的球的颜色种数,则EX=_______.正确答案:m[1-(1-)2]解析:令Xi=则X=X1+X2+…+Xm.事件”Xi=0”表示n次中没有抽到第i种颜色的球,由于是有放回抽取,n次中各次抽取结果互不影响,因此有知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷39(题后含答案及解析)
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷39(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.已知(X,Y)的联合密度函数f(x,y)=g(x)h(y),其中g(x)≥0,h(y)≥0,a=∫-∞+∞g(x)dx,b=∫-∞+∞h(y)dy存在且不为零,则X与Y独立,其密度函数fX(x),fY(y)分别为A.fX(x)=g(x),fY(y)=h(y).B.fX(x)=ag(x),fY(y)=bh(y).C.fX(x)=bg(x),fY(y)=ah(y).D.fX(x)=g(x),fY(y)=abh(y).正确答案:C解析:显然我们需要通过联合密度函数计算边缘密度函数来确定正确选项.由于fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=∫-∞+∞g(x)h(y)dy=g(x)∫-∞+∞h(y)dy=bg(x),fY(y)=∫-∞+∞g(x)h(y)dx=ah(y),又1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=∫-∞+∞g(x)dx∫-∞+∞h(y)dy=ab,所以f(x,y)=g(x)h(y)=abg(x)h(y)=bg(x)ah(y)=fX(x)fY(y),X与Y独立,故选(C).知识模块:概率论与数理统计2.假设X是只可能取两个值的离散型随机变量,Y是连续型随机变量,且X与Y相互独立,则随机变量X+Y的分布函数A.是连续函数.B.是阶梯函数.C.恰有一个间断点.D.至少有两个间断点.正确答案:A解析:设X的概率分布为P{X=a}=p,P{X=b}=1一p=q(a≠b),而Y的分布函数为F(y),U=X+Y.因为X与Y相互独立,故由全概率公式有F(u)=P{x+y ≤u} =pP{X+Y≤U|X=A}+qP{X+Y≤u}X=b} =pP{Y≤u一a}+qP{Y≤u一b}=pF(u一a)+qF(u一b).由此可见X+Y的分布函数F(u)是连续函数.故选(A).知识模块:概率论与数理统计3.设随机变量X与Y独立,且X~Y~N(0,1),则概率P{XY≤0}的值为A.B.C.D.正确答案:D解析:X~即P{X=0}=P{X=1}=可以将事件“X=0”和事件“X=1”看成一完备事件组,由全概率公式有P{XY≤0}=P{XY≤0,X=0}+P{XY≤0,X=1} =P{X=0}+P{Y≤0,X=1}其中ψ(x)是标准正态分布N(0,1)的分布函数,ψ(0)=选(D).知识模块:概率论与数理统计4.已知随机变量X与Y均服从0一1分布,且EXY=则P{X+Y≤1}=A.B.C.D.正确答案:C 涉及知识点:概率论与数理统计5.设随机变量X与Y独立同分布,记U=X—Y,V=X+Y,则随机变量U 与VA.不独立.B.独立.C.相关系数不为零.D.相关系数为零.正确答案:D解析:由于X与Y独立同分布,因此E(X)=E(Y),E(X2)=E(Y2).又E(U)=E(X一Y)=E(X)一E(Y)=0,E(UV)=E[(X—Y)(X+Y)]=E(X2一Y2)=E(X2)一E(Y2)=0,Cov(U,V)=E(UV)一E(U)E(V)=0,从而可知U与V的相关系数为零,故选(D).知识模块:概率论与数理统计6.设总体X服从正态分布N(μ,σ2),其中σ2为已知,则当样本容量n 一定时,总体均值μ的置信区间长度l增大,其置信度1一α的值A.随之增大.B.随之减小.C.增减不变.D.增减不定.正确答案:A 涉及知识点:概率论与数理统计填空题7.设G={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤1}是一矩形,向矩形G上均匀地掷一随机点(X,Y),则点(X,Y)落到圆x2+y2≤4上的概率为________.正确答案:解析:依题设,二维随机变量(X,Y)在矩形G上服从均匀分布,且SG=3,于是(X,Y)的联合概率密度为又矩形G上的点(X,Y)落到圆X2+Y2≤4上的区域如图3.1所示,分成三角形和扇形两部分,则有知识模块:概率论与数理统计8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y),则随机变量(2X,Y+1)的概率密度函数f1(x,y)=______.正确答案:解析:设随机变量(2X,Y+1)的分布函数为F1(x,y),则知识模块:概率论与数理统计9.已知随机变量X与Y的联合概率分布为又P{X+Y=1} =0.4,则α=_______;β=________;P{X+Y<1} =______;P{X2Y2=1}=______.正确答案:α=0.3,β=0.1,0.4;0.3.解析:由0.1+0.2+α+β+0.1+0.2=1及P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=α+0.1=0.4解得α=0.3,β=0.1.于是P{X+Y <1}={X=i,Y=j} =P{X=0,Y=一1}+P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=一1} =0.1+0.2+0.1=0.4:P{X2Y2=1}:P{X=1,Y=一1}+P{X=1,Y=1}=0.1+0.2=0.3.知识模块:概率论与数理统计10.已知随机变量X在(1,2)上服从均匀分布,在X=x条件下Y服从参数为x的指数分布,则E(XY)=_______.正确答案:1 涉及知识点:概率论与数理统计11.已知某零件的横截面是一个圆,对横截面的直径进行测量,其值在区间(1,2)上服从均匀分布,则横截面面积的数学期望为_____,方差为_______.正确答案:涉及知识点:概率论与数理统计12.设随机变量X和Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(一3,4),则随机变量Z=一2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_____.正确答案:解析:因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布,所以Z=一2X+3Y+5服从正态分布.要求f(z)=.则需确定参数μ与σ的值.又E(Z)=μ,D(Z)=σ2,因此归结为求E(Z)与D(Z).根据数学期望和方差的性质及E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=一3,D(Y)=4,可得E(Z)=E(一2X+3Y+5)=一2E(X)+3E(Y)+5 =(一2)×1+3×(一3)+5 =一6,D(Z)=D(一2X+3Y+5)=(一2)2D(X)+32D(Y)=4×2+9×4=44.因此Z的概率密度为知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
概率论与数理统计(第四版)习题问题详解全
(3)
(4) 或
第二章
一、由七个数字组成,每个数字可以是0,1,2,…,9中的任一个数(但第一个数字不能为0),由完全不同的数字组成的概率.
解:基本事件总数为
有利事件总数为
设 表示“是由完全不同的数字组成”,则
二、把十本书任意地放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率.
解:基本事件总数为
设 表示“第二次取出的都是新球”,则
第四章
一、一个工人看管三台车床,在一小时车床不需要工人照管的概率:第一台等于0.9,第二台等于0.8,第三台等于0.7.求在一小时三台车床中最多有一台需要工人照管的概率.
解:设 表示“第 台机床不需要照管” ,则
再设 表示“在一小时三台车床中最多有一台需要工人照管”,则
二、某人忘记了的最后一个数字,因而他随意地拨号,求他拨号不超过两次而接通所需的概率.若已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少?
解:设 表示“第一次拨通”, 表示“第二次拨通”, 表示“拨号不超过两次而拨通”
(1)
(2)
三、两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是
落在区域R: 的概率.
解:(1)由 ,有 ,解得
解:(1)由 ,得 ,解得 ,即有
(2)
(3)随机变量 的分布函数为
.
第七章
一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过.乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的.求乘客候车时间
不超过3分钟的概率.
解:设随机变量 表示“乘客的候车时间”,则 服从 上的均匀分布,其密度函数为
于是有
二、已知某种电子元件的使用寿命 (单位:h)服从指数分布,概率密度为
0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多
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概率论与数理统计模拟题一一、 单项选择题(每小题3分,共30分)1、设,,A B C 是随机事件,且AB C ⊂,则( )。
(A)C AB ⊂ (B) AC ⊂且B C ⊂(C)C AB ⊂ (D) A C ⊂或B C ⊂2、某工厂生产某种圆柱形产品,只有当产品的长度和直径都合格时才算正品,否则就为次品,设A 表示事件“长度合格”,B 表示事件“直径合格”,则事件“产品不合格”为( )。
(A)AB (B) AB (C)AB (D) AB 或AB3、已知()0.6,()0.8,()0.6P A P B P B A ===,则()P A B =( )。
(A)0.4 (B) 0.5 (C)0.6 (D) 0.74、在下述函数中,可以作为某随机变量的分布函数的为( )。
(A)21()1F x x =+ (B) 11()arctan 2F x x π=+(C)1(1),0()20, 0xe x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩(D) ()()x F x f x dx -∞=⎰,其中()1f x d x +∞-∞=⎰5、设连续型随机变量X 的概率密度和分布函数分别为()f x 和()F x ,则( )。
(A)0()1f x ≤≤ (B)()()P X x F x == (C)()()P X x F x =≤ (D) ()()P X x f x ==6、设随机变量~(0,1)X N ,则方程2240t Xt ++=没有实根的概率为( )。
(A)1)1(2-Φ (B))2()4(ΦΦ- (C))2()4(---ΦΦ (D))4()2(ΦΦ- 7、设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为已知事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立,则( )。
(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b == 8、设随机变量X 在区间(,)a b 上服从均匀分布,即(,)XU a b ,则DX =( )。
(A) 2()12b a - (B) 2()12b a + (C) 2()3a b + (D) 2()3b a -9、设,X Y 是方差均大于零的随机变量,则下列命题中不正确的事( )。
(A ),X Y 不相关的充要条件是cov(,)0X Y = (B ) ,X Y 不相关的充要条件是()E X Y EX EY +=+ (C ) ,X Y 不相关的充要条件是()D X Y DX DY ±=+ (D ) ,X Y 不相关的充要条件是()()D X Y D X Y +=- 10、设~(0,1) , ~(0,1)X N Y N ,则( )。
(A)X Y +服从正态分布 (B) 22X Y +服从正态分布(C) 22, X Y 都服从2χ-分布 (D) 22XY 服从F -分布二、填空题(每小题3分,共30分)1、设随机事件,A B 互不相容,且(),()P A p P B q ==,则()P AB = 。
2、设q B P p A P ==)(,)(,且B A ,相互独立,则()P A B -= 。
3、从1,2,3,4,5,6这六个数字中等可能地有放回地连续抽取4个数字,则事件“取得4个数字完全不同”的概率为 。
4、设随机变量X 的分布函数为()arctan F x A B x =+,则常数A = ,B = 。
5、设在三次独立试验中,事件A 发生的概率相等。
若已知事件A 至少出现一次的概率等于1927,则事件A 在一次试验中出现的概率为 。
6、设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则22(1)P X Y +≤= 。
7、设(,)~(1,1;4,4;0)X Y N ,则(1,1)P X Y ≤≤= 。
8、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布,即~(1,)X B p ,则2(31)E X += 。
9、设总体~(72,100)X N ,为使样本均值X 大于70的概率不小于90%,问样本容量n 至少为 (已知(1.29)0.90Φ=)?10、设总体X 服从参数为(01)p p <<的01-分布,12,,,n X X X 为总体X 的样本,则DX = 。
三、解答题(每小题10分,共40分)1、某工厂有4个车间生产同一种产品,其产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%,各车间的次品率分别为0.05,0.04,0.03,0.02,现从出厂产品中任取一件,求 (1)取出的产品是次品的概率; (2)若取出的产品是次品,它是一车间生产的概率。
2、设随机变量X 的分布函数为0, 11,124()3, 2341, 3x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩证明:随机变量X 的分布律为3、设随机变量,X Y 的分布律分别为且(0)1P XY ==,(1)求,X Y 的联合分布律;(2)问,X Y 是否独立,为什么? 4、 设总体~[,]X U a b ,其中,a b 为未知参数,12,,,n X X X 为来自总体X 的一个样本,求参数,a b 的最大似然估计量。
模拟题一参考答案一、 单项选择题(每小题3分,共30分)1、解 应选(A )。
由于AB C ⊂,因此C AB A B ?U ,故选(A )。
2、解 应选(C )。
由于AB 表示事件“产品合格”,因此AB 表示事件“产品不合格”,故选(C )。
3、解 应选(D)。
由于()()()()()1()P AB P B P AB P B A P A P A -==- 因此()()(1())()0.80.40.6P AB P B P A P B A =--=-⨯从而()0.80.24()10.30.7()0.8P AB P A B P B -===-= 故选(D)。
4、解 应选B 。
由于在选项(A )中,()01F +∞=≠,在选项(C )中,1()12F +∞=≠,在选项(D )中,取1, 12()2, 340, x f x x -≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其他则()1f x dx +∞-∞=⎰,但当12x <<时,()10F x x =-<,因此选项A 、C 、D 都不正确,故选B 。
5、解 应选(C )。
由于{}{}X x X x =⊂≤,因此,由概率的单调性及分布函数的定义,得()()()P X x P X x F x =≤≤=故选(C )。
6、解 应选(A )。
22( 240 )(4160)P t Xt P X ++==-<“方程没有实根”2(4)(22)P X P X =<=-<<(2)(2)2(2)1ΦΦΦ=--=-故选(A )。
7、解 应选(B )。
由0.40.11a b +++=,得0.5a b +=由于事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立,且(0)0.4P X a ==+(1)(0,1)(1,0)P X Y P X Y P X Y a b +====+===+(0,1)(0,1)P X X Y P X Y a =+=====因此(0,1)(0)(1)(0.4)()a P X X Y P X P X Y a a b ==+===+==++所以0.42a a +=从而0.4,0.1a b ==故选(B )。
8、解 应选(A )。
由于X 在区间(,)a b 上服从均匀分布,因此X 的概率密度为1,()0, a x b f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它因为2a bEX +=,而 2221()baEX x f x dx x dx b a+∞-∞==⋅-⎰⎰3322133b a b ab a b a -++=⋅=- 所以X 的方差为222222()()()3212b ab a a b b a DX EX EX +++-=-=-=故选(A )。
9、解 应选(B)。
由于,X Y 不相关的充要条件是cov(,)0X Y =,因此选项(A )正确;同理选项(C )、(D )都正确,故选(B)。
10、解 应选(C )。
由于~(0,1), ~(0,1)X N Y N ,因此2222~(1), ~(1)X Y χχ,即22X Y 、都服从2χ分布,故选C 。
二、填空题(每小题3分,共30分)1、解 应填1p q --。
由于A 、B 互不相容,因此()()1()P AB P A B P A B ==-U U1()()()P A P B P AB =--+1()()1P A P B p q =--=--故填1p q --。
2、解 应填(1)p q -。
由于A 、B 相互独立,因此()()()()()()()P A B P A AB P A P AB P A P A P B -=-=-=-(1)p pq p q =-=-故填(1)p q -。
3、解 应填518。
样本空间基本事件总数11116666n C C C C =。
有利于所求事件发生的基本事件数111116543k C C C C =,从而所求的概率为111165431111116666518C C C C k p n C C C C === 故填518。
4、解 应填11,2A B π==。
由()02F A B π-∞=-= ()12F A B π+∞=+=解之得11,2A B π==,故填11,2A B π==。
5、解 应填13。
设事件A 在一次试验中发生的概率为p ,X 表示三次独立试验中事件A 发生的次数,则(3,)XB p ,依题意,得319(1)1(0)1(1)27P X P X p =≥=-==-- 解之,得13p =,从而事件A 在一次试验中发生的概率为13,故填13。
6、解 应填4π。
由于X 与Y 的概率密度分别为1,01()0, X x f x <<⎧=⎨⎩其它,1,01()0, Y y f y <<⎧=⎨⎩其它又X 与Y 相互独立,故(,)X Y 的联合概率密度为1,01,01(,)()()0, X Y x y f x y f x f y <<<<⎧==⎨⎩其它所以22221(1)(,)4x y P X Y f x y dxdy π+≤+≤==⎰⎰(221x y +≤含在01,01x y <<<<内的平面图形的面积),故填4π。
7、解 应填14。
由于(,)~(1,1;4,4;0)X Y N ,且0ρ=,因此~(1,4)X N ,~(1,4)Y N ,且,X Y 相互独立, 从而111(1,1)(1)(1)224P X Y P X P Y ≤≤=≤≤=⨯=故填14。