高三数学模拟试卷17

学 习 资 料 专 题云南省腾冲市2017届高三数学模拟试卷10（考试时间：120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A={0，1}，B={x∈Z|x 2+x≤0}，则集合C={t|t=x+y ，x∈A，y∈B}所有真子 集的个数为（ ） A ．3B ．7C ．8D ．152. 下面是关于复数z=的四个命题，p 1：|z|=2；p 2：z 2=2i ；p 3：z 的共轭复数为-1+i ；p 4：z 的虚部为1，其中为真命题的是（ ） A ．￢（p 1∨p 2） B ．（￢p 2）∨p 3 C ．p 3∧（￢p 4） D ． p 2∧p 4 3. 四边形ABCD 为正方形，E 为CD 边的中点，且，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．4. 等差数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f （x ）=x 3﹣12x 2+6x 的极值点，则log 2a 2016=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55. 给出下列四个命题：①“∃x 0∈R，使2x0＞3”的否定是“∀x∈R，使2x＜3”； ②函数y=|sinx+|的最小正周期是π；③“在△ABC 中，若sinA ＞sinB ，则A ＞B”的逆命题是真命题；④“m=﹣1”是“直线mx+（2m ﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件. 其中正确的命题个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46. 已知函数f （x ）=x 2+bx 的图象在点A （1，f （1））处的切线l 与直线3x ﹣y+2=0平行，若数列{}的前n 项和为T n ，则T 2016=（ ） A ．B ．C ．D ．7. 设a=（cos34°﹣sin34°），b=cos50°cos128°+cos40°cos38°，c=（cos80°﹣2cos 250°+1），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．a ＞c ＞b8. 函数y=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9. 设变量x ，y 满足约束条件，则（x ﹣2）2+y 2的最小值为（ ）A ．5B ．C ．D ．10. 若f （x ）=x+sinx ，则使不等式f （x 2﹣ax ）+f （1﹣x ）≤0在x∈[1，3]上成立的实数 a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．[，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，]11. 已知函数f （x ）=sin ωx+cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得到函数g （x ）的图象．关于函数g （x ），下列说法正确的是（ ） A ．在[，]上是增函数 B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x∈[，π]时，函数g （x ）的值域是[﹣2，1]12. 已知函数f （x ）=若方程f （x ）=k 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则+的取值范围是（ ）A ．[，+∞）B ．（﹣∞，0）C ．（0，]D ．（0，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 圆C 1：x 2+y 2=4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x+2y+4=0的公切线有 条． 14. 已知||=2，为单位向量，当，的夹角为时，+在﹣上的投影为 ．15. 已知=（tan （θ+），1），=（1，﹣2），且⊥，则tan （2θ+）= ．16. 已知函数f （x ）=，若数列{a n }满足：a 1=，a n+1﹣a n =2n ，则的最小值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，．（1）证明：数列{a n ﹣2}为等比数列；（2）求数列{S n }的前n 项和T n ．18．（12分）已知=（2cosA ，1），=（1，（sin （A+）），且∥，在△ABC 中，内角A ，B ，C对边分别为a ，b ，c ，a=2，c=4（Ⅰ）求A 值；（Ⅱ）求b 和△ABC 的面积．19．（12分）2015年某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式C=x+5，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式：S=，已知每日的利润L=S ﹣C ，且当x=2时，L=3．（1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．20．（12分）已知方程x 2+y 2﹣2mx ﹣4y+5m=0的曲线是圆C （1）求m 的取值范围；（2）当m=﹣2时，求圆C 截直线l ：2x ﹣y+1=0所得弦长；（3）若圆C 与直线2x ﹣y+1=0相交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆过坐标原点O ，求m 的值｡21.（12分）已知函数f （x ）=x 2﹣e x．（1）判断函数f （x ）的单调性并给予证明；（2）若g （x ）=f （x ）ln （x+1）+e x，证明：对∀x 1，x 2∈[1，+∞），且x 1≠x 2，都有|g （x 1）﹣g （x 2）|＞|x 1﹣x 2|．四、[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连续PB 交圆O 于点D ，若MC=BC ． （1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD 是平行四边形．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C ：ρsin 2θ=2acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．[选修4-5：不等式选讲] 24．函数f （x ）=．（1）求函数f （x ）的定义域A ；（2）设B={x|﹣1＜x ＜2}，当实数a ，b∈（B∩（∁R A ））时，证明：＜|1+|．数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0，1}，B={x∈Z|x2+x≤0}，则集合C={t|t=x+y，x∈A，y∈B}所有真子集的个数为（）A．3 B．7 C．8 D．15【分析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n﹣1个真子集【解答】解：B={x∈Z|x2+x≤0}={﹣1，0}，又集合C={t|t=x+y，x∈A，y∈B}={﹣1，0，1}，∴C的真子集的个数为：23﹣1=7．故选：B．【点评】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，有（2n﹣1）个真子集，属于基础题2.下面是关于复数z=的四个命题，p1：|z|=2；p2：z2=2i；p3：z的共轭复数为﹣1+i；p4：z 的虚部为1，其中为真命题的是（）A．￢（p1∨p2）B．（￢p2）∨p3C．p3∧（￢p4）D．p2∧p4【分析】利用复数的运算法则可得：复数z=1+i，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、运算法则、虚部的定义即可判断出真假．【解答】解：复数z===1+i，p1：|z|=≠2，因此是假命题；p2：z2=（1+i）2=2i是真命题；p3：z的共轭复数为1﹣i，是假命题；p4：z的虚部为1，是真命题．其中为真命题的是p2∧p4．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、运算法则、虚部的定义、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.四边形ABCD为正方形，E为CD 边的中点，且，则等于（）A ．B ．C ．D ．【分析】利用向量的加、减法法则将用基向量表示出即可．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，E为CD边的中点，∴2==+，在正方形ABCD 中，，又∵，∴2=+2=2﹣，∴=．故选：D．【点评】本题考查了向量的加法原理与向量的减法原理，以及平面向量基本定理．解题的关键是运用向量加法和减法的三角形法则或平行四边形法则，将要求的向量一步一步向已知的向量转化．属于基础题．4．（5分）（2016•曲靖校级模拟）等差数列{a n}中的a1，a4031是函数f（x）=x3﹣12x2+6x的极值点，则log2a2016=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．【解答】解：f′（x）=3x2﹣24x+6，∵a1、a4031是函数f（x）=x3﹣12x2+6x的极值点，∴a1、a4031是方程3x2﹣24x+6=0的两实数根，则a1+a4031=8．而{a n}为等差数列，∴a1+a4031=2a2016，即a2016=4，从而log2a2016=2．故选：A．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．5.给出下列四个命题：①“∃x0∈R，使2x0＞3”的否定是“∀x∈R，使2x＜3”；②函数y=|sinx+|的最小正周期是π；③“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；④“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断，②根据三角函数的周期进行判断，③根据正弦定理以及逆命题的定义进行判断，④根据直线垂直的等价条件进行判断．【解答】解：①“∃x0∈R，使2x0＞3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；故①错误，②函数y=|sinx+|的最小正周期是2π；故②错误③“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题为若A＞B，则sinA＞sinB，正确，∵若A＞B，则a＞b，则由正弦定理得sinA＞sinB成立，故③正确，是真命题；④当m=﹣1时，两直线的方程mx+（2m﹣1）y+1=0，与3x+my+2=0，化为﹣x﹣3y+1=0和3x﹣y+2=0，可得出此两直线是垂直的，当两直线垂直时，当m=0时，符合题意，当m≠0时，两直线的斜率分别是﹣与，由两直线垂直得﹣得m=﹣1，由上知，“m=﹣1”可得出直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直；由直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”可得出m=﹣1或m=0，所以m=1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直的充分不必要条件，故④错误，故选：A【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．6.已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为T n，则T2016=（）A ．B ．C ．D ．【分析】对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求得结论．【解答】解：由f（x）=x2+bx求导得：f′（x）=2x+b，∵函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，∴f′（1）=2+b=3，∴b=1，∴f（x）=x2+x∴f（n）=n（n+1），∴==﹣，∴T2016=1﹣+…+﹣=1﹣=，故选：C【点评】本题考查了导函数的几何意义，考查利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法，属于中档题．7.设a=（cos34°﹣sin34°），b=cos50°cos128°+cos40°cos38°，c=（cos80°﹣2cos250°+1），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】把a的式子去掉括号后，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简得到sin11°；把b中的第一项利用诱导公式化简后与第二项利用两角差的正弦函数公式化简得到sin12°；把c中的cos80°利用二倍角的余弦函数公式化简，cos50°利用诱导公式化为sin40°，然后利用两角和的余弦函数公式及诱导公式化简可得sin10°，然后利用正弦函数在（0，90°）为单调增函数即可比较出大小．【解答】解：∵a=sin（45°﹣34°）=sin11°，b=﹣sin40°cos52°+cos40°sin52°=sin（52°﹣40°）=sin12°，c=（2cos240°﹣2sin240°）=cos80°=sin10°，∴b＞a＞c．故选：B．【点评】本题是一道考查三角函数恒等变形的综合题，解题的思路是把各项都化为锐角的正弦，属于基础题．8.函数y=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的变化趋势，利用排除法即可判断正确答案．【解答】解：y==•cos6x，设y=f（x），∴f（﹣x）=﹣•cos6x=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴y=f（x）的图象关于原点对称，故排除A，当x→+∞时，y→0，故排除C当x→0时，y→+∞，故排除B故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题．9.设变量x，y 满足约束条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．5 B ．C ．D ．【分析】由约束条件作出可行域，再由（x﹣2）2+y2的几何意义，即可行域内动点与定点P（2，0）距离的平方求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（﹣1，1），B（0，1），（x﹣2）2+y2的几何意义为可行域内动点与定点P（2，0）距离的平方，由图可知，PB距离最小，PA距离最大，∴．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．10.若f（x）=x+sinx，则使不等式f（x2﹣ax）+f（1﹣x）≤0在x∈[1，3]上成立的实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，]【分析】求导数便可判断函数f（x）在R上为增函数，并可判断f（x）为奇函数，这样便可由f （x2﹣ax）+f（1﹣x）≤0得出x2﹣ax≤x﹣1，从而得到，可以判断函数在[1，3]上的单调性，从而求出该函数在[1，3]上的最大值，这样即可得出实数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=1+cosx≥0；∴f（x）在R上为增函数；且f（x）为奇函数；∴由f（x2﹣ax）+f（1﹣x）≤0得，f（x2﹣ax）≤f（x﹣1）；∴x2﹣ax≤x﹣1；∴在x∈[1，3]上恒成立；∵，当x=1时取“=”；∴在[1，3]上单调递增；∴x=3时，取最大值；∴；∴实数a 的取值范围为．故选B．【点评】考查根据导数符号判断函数单调性的方法，奇函数的概念及判断，根据函数单调性和奇偶性解不等式的方法，基本不等式的运用，根据函数单调性求函数最值的方法，要熟悉函数的图象及单调性．11.已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x 轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g （x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx==，由题意知，则T=π，∴ω=，∴，把函数f（x）的图象沿x 轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x．其图象如图：由图可知，函数在[，]上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；，，∴当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]，D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．12.已知函数f（x）=若方程f（x）=k有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则+的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，] D．（0，）【分析】作出函数f（x），得到x1，x2关于x=﹣1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作函数f（x）的图象如右，∵方程f（x）=k有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，∴x1，x2关于x=﹣1对称，即x1+x2=﹣2，0＜x3＜1＜x4＜2，则|log x3|=|log x4|，即log x3=﹣log x4，则log x3+log x4=0即log x3x4=0 则x3x4=1；当|log x|=1得x=2或，则1＜x4≤2；≤x3＜1；故+=﹣x3+，≤x3＜1；则函数y=﹣x3+，在≤x3＜1上为减函数，则故x3=取得最大值，为y=﹣+2=，当x3=1时，函数值最小为y=﹣1+1=0．即函数取值范围是（0，]．故选：C【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2﹣4x+2y+4=0的公切线有 2 条．【分析】求出两个圆的圆心和半径，根据圆心距离和半径之间的关系，判断两个圆的位置关系即可得到结论．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+2y+4=0的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2=1，圆心为C2：（2，﹣1），半径r=1，圆心为C1：（0，0），半径R=2，则|C1C2|==，∵R+1=3，R﹣1=1，∴1＜|C1C2|＜，∴两个圆的位置关系是相交，则两个圆的公共切线为2条，故答案为：2【点评】本题主要考查圆的公共切线的条数，求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系是解决本题的关键．14.已知||=2，为单位向量，当，的夹角为时，+在﹣上的投影为．【分析】利用数量积运算、投影的意义即可得出．【解答】解：∵||=2，为单位向量，∴（+）•（﹣）=2﹣2=4﹣1=3，∴|﹣|2=2+2﹣2•=2+2﹣2||•||cos =4+1﹣2×2×1×=3，∴|﹣|=，∴+在﹣上的投影为==故答案为：【点评】本题考查了数量积运算、投影的意义，属于基础题．15.已知=（tan（θ+），1），=（1，﹣2），且⊥，则tan（2θ+）= ．【分析】由题意可得tan（θ+）×1﹣2=0，化简后可得：tan（θ+）=2，由二倍角的正切函数公式可求tan（2θ+）的值，利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵=（tan（θ+），1），=（1，﹣2），且⊥，∴tan（θ+）×1﹣2=0，可得：tan（θ+）=2，∴tan（2θ+）==﹣，∴tan（2θ+）=tan （2θ++）===．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值得求解，涉及向量的垂直和数量积的关系，属基础题．16.已知函数f（x）=，若数列{a n}满足：a1=，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为11 ．【分析】函数f（x ）=，可得a 1==+=36，a n+1﹣a n=2n，利用a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1可得a n，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=，∴a 1==+=×+=36，∵a n+1﹣a n=2n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（n﹣1）+2（n﹣2）+…+2×1+36=+36=n2﹣n+36，∴==n+﹣1≥﹣1=11，当且仅当n=6时取等号．故答案为：11．【点评】本题考查了微积分基本定理、“累加求和”方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.若数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，．（1）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（2）求数列{S n}的前n项和T n．【分析】（1）利用当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得，2a n﹣a n﹣1=2，变形为2（a n﹣2）=a n﹣1﹣2，可得数列{a n﹣2}为等比数列；（2）利用（1）可得a n，利用已知S n+a n=2n可得S n，再利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵S n+a n=2n，①∴S n﹣1+a n﹣1=2（n﹣1），n≥2②由①﹣②得，2a n﹣a n﹣1=2，n≥2，∴2（a n﹣2）=a n﹣1﹣2，n≥2，∵a1﹣2=﹣1，∴数列{a n﹣2}以﹣1为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）得，∴，∵S n+a n=2n ，∴，∴==．【点评】本题考查了经过变形转化为等比数列、等差数列和等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．18.已知=（2cosA，1），=（1，（sin（A+）），且∥，在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，a=2，c=4（Ⅰ）求A值；（Ⅱ）求b和△ABC的面积．【分析】（I）根据所给的向量的坐标和向量平行的条件，写出向量平行的充要条件，得到关于角A 的三角函数关系，本题要求角A的大小，利用整理出来的三角函数值和角是三角形的内角，得到结果．（II）本题是一个解三角形问题，应用上一问给出的结果，根据正弦定理把边之间的关系变化为角之间的关系，利用三角形内角和定理及三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）∵=（2cosA，1），=（1，（sin（A+）），且∥，∴1﹣2cosAsin（A+）=0，可得：sinAcosA+cos2A=1，∴可得：sin（2A+）=，∵a＜c，A∈（0，），2A+∈（，），∴2A+=，解得：A=．（Ⅱ）∵A=，a=2，c=4，∴由正弦定理可得：sinC===1，又∵C∈（0，π），∴C=，B=π﹣A﹣C=，∴b===2，bcsinA==2．【点评】本题主要考查了向量平行的运算，正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式的综合应用，条件中给出两个向量的坐标，代入共线的充要条件的公式运算即可，属于中档题．19.2015年某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式C=x+5，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式：S=，已知每日的利润L=S﹣C，且当x=2时，L=3．（1）求k的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．【分析】（1）利用每日的利润L=S﹣C，且当x=2时，L=3，可求k的值；（2）利用分段函数，分别求出相应的最值，即可得出函数的最大值．【解答】解：由题意，每日利润L与日产量x的函数关系式为y=…（4分）（1）当x=2时，L=3，即：3=2×2++2…（5分）∴k=18…（6分）（2）当x≥6时，L=11﹣x为单调递减函数，故当x=6时，L max=5 …（8分）当0＜x＜6时，L=2（x﹣8）++18≤6…（11分）当且仅当2（x﹣8）=（0＜x＜6），即x=5时，L max=6…（13分）综合上述情况，当日产量为5吨时，日利润达到最大6万元．…（14分）【点评】本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，确定函数的解析式是关键．20.已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆C（1）求m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长；（3）若圆C与直线2x﹣y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，求m的值｡【分析】（1）圆的方程化为标准形式，利用右侧大于0，即可求m的取值范围；（2）当m=﹣2时，通过弦心距，半径，半弦长满足勾股定理，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长；（ 3）若圆C与直线2x﹣y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，得到，设M（x1，y1），N（x2，y2），推出x1x2+y1y2=0，联立，推出x1x2+y1y2=5x1x2+2（x1+x2）+1=0，求m的值｡【解答】解（1）方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0化为：（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2﹣5m+4方程表示圆的方程，所以m2﹣5m+4＞0解得：m＜1或m＞4；（2）设m=﹣2，圆心为C（﹣2，2），半径R=3，圆心到直线的距离为，圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长为：；（3）以MN为直径的圆过坐标原点O，即OM⊥ON设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2+y1y2=0由整理得 5x2﹣（2m+4）x+5m﹣3=0，，x1x2+y1y2=5x1x2+2（x1+x2）+1=0，，经检验，此时△=（2m+4）2﹣20（5m﹣3）＞0∴【点评】本题考查直线与圆的位置故选，圆的方程的判断，考查函数与方程的思想，转化思想．设而不求的解题方法，考查计算能力．21.已知函数f（x）=x2﹣e x．（1）判断函数f（x）的单调性并给予证明；（2）若g（x）=f（x）ln（x+1）+e x，证明：对∀x1，x2∈[1，+∞），且x1≠x2，都有|g（x1）﹣g （x2）|＞|x1﹣x2|．【分析】（1）先作出f（x）为单调递减的结论，再分类讨论证明；（2）先对g（x）求导，再构造函数F（x）=g（x ）﹣x，运用函数的单调性证明不等式．【解答】解：（1）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，分析如下：∵f'（x）=2x﹣e x，分两类讨论，当x≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）单调递增，下面证明，当x＞0时，f'（x）＜0也恒成立，过程如下：构造函数g（x）=e x﹣ex，x∈（0，+∞），令g'（x）=e x﹣e=0解得x=1，所以，当x∈（﹣∞，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，所以，g（x）min=g（1）=0，因此，e x﹣ex≥0恒成立，故当x≥0时，e x≥ex＞2x，所以f'（x）＜0恒成立，综合以上分析，f（x）为R上的减函数；（2）∵g'（x）=2x﹣e x ++e x =2x+，∴当x＞1时，g'（x ）＞，要证原命题，只需构造函数F（x）=g（x ）﹣x，显然，F'（x）=g'（x ）﹣＞0恒成立，即F（x）在区间[1，+∞）上单调递增，不妨设x1＞x2，则F（x1）﹣F（x2）＞0，即g（x1）﹣x1＞g（x2）﹣x2，所以，g（x1）﹣g（x2）＞（x1﹣x2），因此，|g（x1）﹣g（x2）|＞|x1﹣x2|．【点评】本题主要考了导数在判断函数单调性中的应用，涉及构造函数并运用函数的单调性证明不等式，属于中档题．四、[选修4-1：几何证明选讲]22.如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，唐玲∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（5分）（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…（10分）【点评】本题考查的知识点是切割线定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【分析】（1）利用极坐标转化为普通方程求解（2）把参数表达式代入曲线C得出普通方程，利用韦达定理求解得出即可．【解答】解：（1）ρsin2θ=2acosθ可变为ρ2sin2θ=2aρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax．直线l 的参数方程为．（2）将直线l的参数表达式代入曲线C 得，∴．又|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，由题意知，|t1﹣t2|2=|t1t2|，（t1+t2）2=5t1t2，代入解得a=1．【点评】本题考查了参数，极坐标方程的运用，转化为普通方程求解，属于容易题．[选修4-5：不等式选讲]24.函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈（B∩（∁R A））时，证明：＜|1+|．【分析】（1）根据负数没有平方根，利用绝对值的代数意义分类讨论确定出定义域A即可；（2）由A与B，求出A补集与B的交集，确定出a，b的范围，所证不等式等价于2|a+b|＜|4+ab|，平方后利用作差法证明即可．【解答】（1）解：由题意得|x|+|x+1|﹣3≥0，可得或或，解得：x≤﹣2或x≥1，则A=（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）；（2）证明：∵A=（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），B=（﹣1，2），∴B∩（∁R A）=（﹣1，1），唐玲又＜|1+|⇔2|a+b|＜|4+ab|，而4（a+b）2﹣（4+ab）2=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=a2（4﹣b2）+4（b2﹣4）=（b2﹣4）（4﹣a2），∵a，b∈（﹣1，1），∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴＜|1+|．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及函数的定义域及其求法，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．唐玲。