2019-2020高中数学 3.2复数代数形式的四则运算练习新人教A版选修1-2

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人教A版高中数学选修复数代数形式的四则运算同步练习

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（每题小题5分）1.设y=2x －x ,则x ∈[0,1]上的最大值是（） A 0 B －41 C 21 D 412.若质点P 的运动方程为S(t)=2t 2+t （S 的单位为米，t 的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（）A 2米/秒B 3米/秒C 4米/秒D 5米/秒 3.曲线ｙ＝－313x －2在点（－1，35-）处切线的倾斜角为（）Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 135º Ｄ 150º 4.函数y=－2x + 3x 的单调递减区间是（）A (－∞,－36) B (－36,36) C(－∞,－36)∪(36,+∞) D (36,+∞)5.过曲线ｙ＝3x ＋１上一点（-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（）Ａｙ＝３ｘ＋３Ｂｙ＝3x ＋３Ｃｙ＝-3x -31Ｄｙ＝-３ｘ-３ 6.曲线ｙ＝313x 在点（１，31）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 60º Ｄ 90º7.已知函数)(x f =3x +a 2x +b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a 、b 的值分别为（）.A －3, 2B －3, 0C 3, 2D 3, －4 8.已知)(x f =a 3x +32x +2,若)1(/-f =4,则a 的值等于（） A319 B 310 C 316 D 313 9.函数y = 3x －12x +16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（） A 6，0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 1610.已知a >0，函数ｙ＝3x -a ｘ在[1，+∞)上是单调增函数，则a 的最大值为（） A 0 B 1 C 2 D 311.已知)(x f =23x -62x +m （m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（）A -37B -29C -5D -1112.已知)(x f =x +3x , 且x 1+x 2<0, x 2+x 3<0, x 3+x 1<0则（）A f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0B f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<0C f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0D f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)符号不能确定.二、填空题（每小题4分）13.过抛物线y=)(x f 上一点A （1，0）的切线的倾斜角为45°则)1(/f =__________. 14.函数)(x f =3x －3x 的递减区间是__________15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝32x －4x +2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________.16.函数)(x f =x (1－2x )在[0,1]上的最大值为__________. 三、解答题17.已知函数)(x f =a 4x +b 2x +c 的图像经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f 的解析式；12分18.证明：过抛物线y=a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0, x 1< x 2)上两点A(x 1,0),B(x 2,0)的切线与x 轴所成的锐角相等。

(新)高中数学第三章3_2复数代数形式的四则运算3_2_2复数代数形式的乘除运算教学案新人教A版选修2-2

3．2.2 复数代数形式的乘除运算预习课本P109～111，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？[新知初探]1．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 33.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 4．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [点睛] 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( ) (2)若z 1，z 2∈C，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(北京高考)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案：A3．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋4i答案：A4．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝________.答案：12－12i复数代数形式的乘法运算[典例] (1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. [答案] (1)A (2)51．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i 2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)． (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. [活学活用]1．已知x ，y ∈R，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y的值为( )A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i解析：选D 由x i －y ＝－1＋i 得x ＝1，y ＝1，所以(1＋i)x ＋y＝(1＋i)2＝2i.2．已知a ，b ∈R，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，所以a －1＝0，a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i 5＝3＋5i.(2)1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i. [活学活用]1．(天津高考)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i 的结果为________．解析：1－2i 2＋i ＝(1－2i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝(2－2)－i －4i 5＝－i.答案：－i2．计算：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝________.解析：法一：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝1＋7i 1－3i ＝(1＋7i)(1＋3i)10＝－2＋i.法二：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3i 2－i＝i(4＋3i)(2＋i)5＝(－3＋4i)(2＋i)5＝－10＋5i5＝－2＋i. 答案：－2＋ii 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1D ．－1(2)计算i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016＝________.[解析] (1)因为i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i ，所以其共轭复数为i ，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i 2 016)1－i ＝i[1－(i 2)1 008]1－i ＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝0， ∴i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N)， ∴i 1＋i 2＋i 3＋…＋i2 016，＝(i 1＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0.[答案] (1)A (2)0虚数单位i 的周期性(1)i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．(2)i n＋in ＋1＋in ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)．[活学活用]计算1＋i 1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 10＝______. 解析：∵1＋i 1－i ＝i ，∴原式＝i·i 2·i 3·…·i 10＝i 1＋2＋3＋…＋10＝i 55＝i 3＝－i.答案：－i复数综合应用[典例] 设z 是虚数，ω＝z ＋z是实数，且－1＜ω＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．[解] 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0，所以y －yx 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，设u ＝1－z1＋z ，证明u 为纯虚数．证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0，由典例解析知，x 2＋y 2＝1，∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i)1＋(x ＋y i)＝(1－x －y i)(1＋x －y i)(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋xi. 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y 1＋x ≠0，所以u 为纯虚数．2．[变设问]若本例条件不变，求ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值．解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0，由典例解析知x 2＋y 2＝1. 则ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x1＋x＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x －3.因为－12＜x ＜1，所以1＋x ＞0. 于是ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x，即x ＝0时等号成立．所以ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值为1，此时z ＝±i.复数运算的综合问题解决方法在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．层级一学业水平达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．(全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i解析：选C z －1＝1＋ii＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C.3．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0D ．512解析：选 C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D2＋a i 1＋i ＝(2＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4，故选D.6．(天津高考)已知a ，b ∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 答案：27．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析：∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案：－38．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.解析：∵a ，b ∈R，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 答案： 59．计算：(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i2－3i .解：因为(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i ＝(i －2)(i －1)－2＋i ＝i －1，－3－2i2－3i＝(－3－2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝－13i 13＝－i ，所以(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i ＝i －1＋(－i)＝－1.10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.层级二应试能力达标1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且a ＜0，b ＞0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a ＜0，－b ＜0，故应为B 点．2．设a 是实数，且1＋a i1＋i ∈R，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 因为1＋a i 1＋i ∈R，所以不妨设1＋a i1＋i＝x ，x ∈R，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选B ∵a ＋ii＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a＝3或a ＝－3(舍)．4．计算(－1＋3i)3(1＋i)6＋－2＋i1＋2i 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．iD ．2i解析：选D 原式＝(－1＋3i)3[(1＋i)2]3＋(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－1＋3i)3(2i)3＋－2＋4i ＋i ＋25＝－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i(－i)i＋i ＝2i.5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝(3a －8)＋(4a ＋6)i25，∵z 1z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案：836．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 57．设复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a .解：由z 2＋a z＜0可知z 2＋a z是实数且为负数． z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.8．复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i 且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i (a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a ＜0，b ＜0. 由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B7－i 3＋i ＝(7－i)(3－i)10＝20－10i10＝2－i. 2．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 4．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i －1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.5．已知(1－i)2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i)2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，故选D.6．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－zz等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－(－1＋i)－1－i＝(3－i)(－1＋i)(－1－i)(－1＋i)＝－1＋2i ，故选C.7．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝12－32i.8．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.12B ．－12C.12i D ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i 2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z的虚部为－12.故选B.9．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ――→，OB ――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．11．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：选 D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i ，所以z z＝±i.12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D 因为|(x-2)+yi|=3，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识-3≤yx≤ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：2114．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：316．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i.答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0，求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i. 19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z＜0，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.22．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1·z 2∈R，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.。

新人教A版高中数学选修223.2复数代数形式的四则运算同步测试题

复数单元检测题一、选择题1.若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数x 的值是 A .1 B . 1- C . 1± D . 以上都不对2.已知()2ii ,ia b a b +=+∈R ，其中i 为虚数单位，则=+b a A.1- B. 1 C . 2 D. 33.在复平面内，复数65i,23i +-+对应的点分别为,A B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是A .48i +B .82i +C .24i +D .4i +4.若复数()2121i ,1i =+=-z z ，则复数12=z z z 的共轭．．复数所对应的点位于复平面的 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.()()22114i,m m m m m =++++-∈R z ，232i =-z ,则1=m 是12=z z 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6.若∈C z ，且满足方程||13i =+-z z .则=zA.12 B.4i - C.43i -+D.12 7.已知=z 则501001++=z zA. 3B. 1C.2i +D. i8.已知12,z z 是复数，定义复数的一种运算“⊗”为：()()1212121212||||||||⎧>⎪⊗=⎨+⎪⎩z z z z z z z z z z 若12i =+z 且1234i ⊗=+z z ，则复数2=z A.2i + B.13i + C. 2i +或13i + D.条件不够，无法求出 9.若cos isin θθ=-z ，则使21=-z 的一个θ值是A. 0B.2πC. πD.2π 10. 对任意复数i x y =+z (,x y ∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是A. ||2y -=z zB. 222x y =+zC. ||2x -z zD. ||||||x y +z二、填空题11.在复平面内，若复数z 满足|1||i |+=-z z ，则z 所对应的点的集合构成的图形是 .12.已知复数122i,13i =-=-z z ，则复数21i 5+z z = .13.若复数12i =-z ，则⋅+z z z = ．14．若复数z 满足i(2)=-z z (i 是虚数单位)，则=z ． 15．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是． 16．设复数z 满足(23i)=6+4i -z （其中i 为虚数单位），则z 的模为_______．三、解答题17.在复平面上，设点,,A B C 对应的复数分别为i,1,42i +.过,,A B C 做平行四边形ABCD . 求此平行四边形的对角线BD 的长. 18.已知复数z满足||=z 2z 的虚部为2.（1）求z ；（2）设22,,-z z z z 在复平面对应的点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积.复数单元检测题参考答案一、选择题ABCCA CDBBD二、填空题11.直线x y -= 12.i13. 62i - 14. 1+i 15. ②④ 16. 2三、解答题17.由题知平行四边形三顶点坐标为()()()0,1,1,0,4,2A B C ，设D 点的坐标为(),D x y .因为BA CD =，得()()1,14,2x y -=--，得4121x y -=-⎧⎨-=⎩得33x y =⎧⎨=⎩，即()3,3D ，所以()2,3BD =，则||BD =18.（1）设i(,)x y x y =+∈R z . 由题意得2222i x y xy =-+z∴(1)22(2)xy ==⎪⎩化简得()20,x y x y -=∴= 将其代入（2）得222x =，∴1x =±. 故11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩故1i =+z 或1i =--z . （2）当1i =+z 时，22i =z ，21i -=-z z . 所以(1,1),(0,2),(1,1)A B C - ∴1||2,1212ABC AC S ∆==⨯⨯=. 当1i =--z 时，22i =z ，213i -=--z z .(1,1),(0,2),(1,3)A B C ---. ∴ 1||4,1422ABC AC S ∆==⨯⨯=.。

高二数学3.2复数代数形式的四则运算练习新人教A版选修1-2

22
3. 共轭复数．
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数是互为共轭复数．设复数
z
＝a＋ bi( a， b∈ R) ，则它的共轭复数记为－z ＝ a－ bi ( a， b∈R) ．
基础自测
1
1．已知复数 z1＝ a＋ bi ， z2＝ c＋ di( a， b， c，d∈ R) ，若 z1＋ z2 是纯虚数，则 ( D)
i
即 3＋z＝－ i ，
∴ z＝－ 3－ i.
答案：－ 3－ i
（一）复数的加减法运算 (1) 复数代数形式的加减法运算满足交换律、结合律．复数的加、减法法则是一种规定，可以推广到多个复数的相加减． (2) 当 b＝ 0， d＝ 0 时，复数的加减法与实数的加减法法则一致． (3) 复数的加减法符合向量的加减法法则．（二）复数加减法的几何意义
复平面内两点 Z1、 Z2 所对应的复数， d 表示 Z1 和 Z2 之间的距离．
3．三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算；混合运算
与实数的运算一样；对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，
用乘法公式更简捷，如
平方差公式、完全平方公式等．
4．在做除法运算时，要牢记分母实数化，乘法与除法的运算结果都得写成实部与虚部
高中数学 3.2 复数代数形式的四则运算练习新人教 A 版选修 1-2
基础梳理
1．复数的加法与减法． (1) 复数的加法与减法法则．
① ( a＋bi) ＋ ( c＋ di) ＝ ( a＋ c) ＋ ( b＋d)i ；
② ( a＋bi) － ( c＋ di) ＝ ( a－ c) ＋ ( b－d)i ．
A． a－c＝ 0 且 b－ d≠ 0

人教A版高中数学选修一3.2复数代数形式的四则运算同步检测.docx

高中数学学习材料唐玲出品3.2复数代数形式的四则运算同步检测1. 复数1+2ii (i 是虚数单位)的实部是（） A ．25- B ．25 C ．15- D ．15答案：B解析：解答：因为22(12i)211+21+255i i i i -==+，所以其实部为25，选B.分析：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是解根据复数复数代数形式的乘除运算进行化简判断即可.2. 若复数1z i =+，则(1)z z +⋅=( )．A ．13i +B ．33i +C ．3i -D ．3 答案：A解析：解答：(1)z z +⋅=()()11113i i i ++⋅+=+.故选A.分析：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是根据复数代数形式的乘除运算进行计算即可.3. 已知复数12312z bi z i =-=-，，若12z z 是实数，则实数b 的值为（） A ．0 B ．32- C ．6 D ．6-答案：C解析：解答：()()()()1231232631255bi i b b iz bi R z i -+++--===∈-,所以606b b -=⇒=. 故C 正确.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算；，解决问题的关键是根据所给复数进行计算然后结合条件解方程即可. 4. 设1(z i i =+是虚数单位），则22z z+=（） A.1i -- B.1i -+ C.1i + D.1i - 答案：C解析：解答：将z 代入,i i i i i+=+-=+++121)1(122,故选C. 分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据所给复数代入化简即可.5. 已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为（） A ．3- B ．1 C ．1- D ．3 答案：D解析：解答：(1i)(12i)3,z i =-+=+所以 3z i =-，其实部为3，选D ．分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是首先计算z ，然后根据根据定义计算即可. 6. 在复平面内，复数2ii-对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：解答：由题意22(2)12i i ii i i--==--，其对应的点的坐标为(1,2)--.则该点位于第三象限，故选C.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是根据复数运算性质进行化简，然后根据复数表示法的几何意义判定即可. 7. ．已知复数z 满足()31212i z i +=+，则z =（）A ．3455i + B ．3455i -+ C ． 3455i -- D ．3455i - 答案：B解析：解答：因为()31212iz i +=+,所以()()3(12)121212144341212(12)12555i i i i i z i i i i i ++++-+=====-++--+,故选B. 分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据复数代数形式的运算性质计算即可.8. 已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2=( ) A. 4-2i B. 4+2i C. 2+4i D. 2-4i 答案：B解析：解答：设z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+2i(a 1,b 1, a 2为实数) ∵(z 1－2)(1＋i)＝(a 1-2+b 1i)(1+i)= a 1-2-b 1+( a 1-2+b 1)i=1-i ∴a 1-2-b 1=1, a 1-2+b 1=-1 ∴a 1=2,b 1=-1,即z 1=2-i∵ (2-i)( a 2+2i)= 2a 2+2+(4-a 2)i,且 z 1·z 2是实数, ∴4-a 2=0, 即a 2=4 ∴z 2=4+2i,故选B.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是所给条件设出复数21,z z 代入化简根据z 1·z 2是实数解方程得到所求复数即可. 9. 若复数143-++iia （a 为实数，i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （） A.7 B.-7 C.34 D.34-答案：A解析：解答：由已知得，()(34)(34)(34)1=1134(34)(34)25a i a i i a a i i i i ++-++---=-++-，故341025a +-=，解得7a =．故选A. 分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是首先根据复数运算性质进行化简结合所求复数满足条件求解a 值即可.10. i 是虚数单位，若()1z i i =+，则|z|等于（） A ．2 B ．2 C ．1 D ．22 答案：B解析：解答：由题可得()211z i i i i i =+=+=-+,根据复数模的计算公式可得()22112z =-+=,故选B.分析：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算、复数求模，解决问题的关键是化简所给复数，根据复数模的定义计算即可. 11. 设a 是实数，若复数21i i a -+（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线0=+y x 上，则a 的值为（）A.1-B.0C.D.2 答案：B解析：解答：由复数21i i a -+可化为11()22a i -+.复数对应的点在直线0=+y x 上，所以可得110,022a a --=∴=,故选B. 分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的加减运算，解决问题的关键是根据所给复数满足条件代入计算即可.12. 若a+bi=(1+i)(2-i)（i 是虚数单位，a,b 是实数），则a+b 的值是（） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：解答：i i i bi a +=+-+=+3122,4,1,3=+==∴b a b a ,故选C.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义，解决问题的关键是根据复数运算性质及复数相等进行计算即可.13. 已知a R ∈，若12aii+-为实数，则a =（） A ．2 B ．-2 C ．12- D ．12答案：C 解析：解答：1(1)(2)22212=2(2)(2)555ai ai i i ai a a a i i i i +++++--+==+--+，∵12ai i +-为实数，∴1205a +=，∴12a =-.故选C. 分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据所给复数化简结合所给复数为实数求得a 值即可.14. 已知复数z 满足z(1+i)=1(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 是( ) A.1122i + B. 1122i - C. 1122i -+ D. 1122i -- 答案：A解析：解答：因为()z 1+i =1，所以，()()111111122i z i i i i -===-++-,11=+22z i 故选A分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据复数运算性质化简计算即可.15. 已知定义在复数集C 上的函数f(x)满足()1,(1),x x Rf x i x x R +∈⎧=⎨-∉⎩，则f(1+i)等于( )A ．2-B ．0 C.2 D ．2i + 答案：C解析：解答：因为定义在复数集C 上的函数f(x)满足()1,(1),x x Rf x i x x R +∈⎧=⎨-∉⎩所以，()()()211112f i i i i +=-+=-=,故选C.分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据函数的性质运算即可.16. 若复数21iz i=+（i 为虚数单位）,则复数z 的模z = . 答案：2 解析：解答：∵22(1)(1)11(1)(1)i i i z i i i i i i -===-=+++-，∴22||112z =+=. 分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键是根据复数运算性质化简计算即可.17. 已知复数(),,z x yi x y R =+∈且21,z -=则,x y 满足的轨迹方程是 .答案：()2221x y -+=解析：解答：因为()222221z x yi x y -=+-=++=，化简得()2221x y -+=.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数求模，解决问题的关键是根据复数模的定义化简求得方程轨迹即可. 18. i + i 2 + i 3++ i 2016= .答案：0解析：解答：令n n a i =,则23412345,1,,1,,a i a i a i i a i a i ===-==-===L , 则nn a i =以4为周期.因为20164504=⨯,所以()()232012234504504110i i i ii i i i i i ++++=+++=--+=L .分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是根据复数运算性质化简计算即可. 19. 设z a i =+（a R +∈，i 是虚数单位），满足22z=，则a =________. 答案：1解析：解答：依题意可得22222,21a i a i a -=∴=++.所以224421a a +=+, 解得1,1a a ==-（舍去）.所以1a =分析：本题主要考查了复数求模，解决问题的关键是根据模的定义化简得到关于a 的方程计算即可.20. i 是虚数单位，复数k iz i-=在复平面内对应的点在第三象限，则实数k 的范围是 . 答案：(0,)+∞ 解析：解答：因为1k iz ki i-==--，又在复平面内对应的点(1,)k --在第三象限，所以0k >.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的混合运算、解决问题的关键是根据所给复数，根据其满足条件几何复数集合性质求解判断即可. 21.已知x 、y 为共轭复数，且(x ＋y)2－3xyi ＝4－6i ，求x 、y.答案：11y i x i ⎧⎨⎩＝－，＝＋或11x i y i ⎧⎨⎩＝－，＝＋或11x i y i ⎧⎨⎩＝－＋，＝－－或11.x i y i ⎧⎨⎩＝－－＝－＋解析：解答：设x ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则y ＝a －bi ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，代入原式，得(2a)2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，根据复数相等得222443()6a a b ⎧⎪⎨⎪⎩＝，－＋＝－，解得11.a b ⎧⎨⎩＝，＝或11.a b ⎧⎨⎩＝，＝-或11.a b ⎧⎨⎩＝－，＝或11.a b ⎧⎨⎩＝－，＝－故所求复数为11y i x i ⎧⎨⎩＝－，＝＋或11x i y i ⎧⎨⎩＝－，＝＋或11x i y i ⎧⎨⎩＝－＋，＝－－或11.x i y i ⎧⎨⎩＝－－＝－＋分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是设出复数x,根据x,y 为共轭复数得到y,然后运算得到xy 代入所给式子根据复数相等得到方程组计算即可.22. 已知,z ω为复数，(13)i z +⋅为纯虚数，2ziω=+，且||52ω=,求复数ω. 答案：()7i ω=±-解析：解答：设,(,)z x yi x y R =+∈，则(13)i z +⋅=(3)(3)x y x y i -++为纯虚数，所以30x y =≠，因为||||522ziω==+，所以22||510z x y =+=；又3x y =，解得15,5;15,5x y x y ===-=- ，所以155(7)2ii iω+=±=±-+. 分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键是设,(,)z x yi x y R =+∈，代入(13)i z +⋅计算整理，因为(13)i z +⋅为纯虚数则计算整理所得的复数实部为0虚部不为0.可计算得出,x y 间的关系，再将z 其代入2ziω=+，根据模长公式可求得,x y 间的另一组关系式，解方程组可得,x y ，即可求得ω. 23. 已知复数z 满足i z i 22)1(+-=+（i 是虚数单位）（1）求z 的虚部；答案：22ii(z 1)22i z 122i i-++=-+∴+==+i z 21+=， z 的虚部为2（2）若i z 21-=ω，求2015||ω．答案：i i z 545321+-=-=ω，1||=ω，1||2012=ω．解析：解答：（1）22ii(z 1)22i z 122i i -++=-+∴+==+ i z 21+=， z 的虚部为2 ．（2）i i z 545321+-=-=ω，1||=ω，1||2012=ω．分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键(1)是根据所给条件化简得到复数z 的虚部；（2）化简所求复数不难得到其模. 24. 已知z 、ω为复数，（1+3i ）z 为实数，ω=,||52,2ziωω=+且求答案：ω＝1+7i 或ω＝－1－7i.解析：解答：设ω＝x+yi(x ，y ∈R)，复数z 用复数ω表示，整理（1+3i ）z 的虚部为0，和||52ω=，可求出x ，y ，即得到复数ω.设ω＝x+yi(x ，y ∈R)，依题意得(1+3i)(2+i)ω＝(－1+7i)ω为实数，且|ω|＝52， ∴227050x y x y -=⎧⎨+=⎩，解之得17x y =⎧⎨=⎩或17x y =-⎧⎨=-⎩，∴ω＝1+7i 或ω＝－1－7i.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数求模，解决问题的关键是设ω＝x+yi(x ，y ∈R)然后求得复数z,代入（1+3i ）z 化简求得x,y 然后得到ω＝1+7i 或ω＝－1－7i.25. 设复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，ω＝sinθ－icosθ(θ∈R)．求z 的值和|z －ω|的取值范围．答案：[0,2]解析：解答：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi ，代入4z ＋2z ＝33＋i ，得4(a ＋bi)＋2(a －bi)＝33＋i.∴解得3212a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝，，∴z ＝32＋12i.|z －ω|＝2231312222i sin icos sin cos θθθθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋－（－）＝－＋＋ 23sin cos θθ＝－＋＝26sin πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭2－－.2∵－1≤sin 6πθ⎛⎫⎪⎝⎭－≤1，∴0≤2－2sin-6pq （）≤4. ∴0≤|z －ω|≤2.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键是设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，可得z ＝a －bi ，代入4z ＋2z ＝33＋i 化简整理根据复数相等得到a,b 的值，求得|z －ω|，根据三角函数性质求解其值域得到所求复数模的范围即可.。

人教A版高中数学选修复数代数形式的四则运算同步练习(1)

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．在数学归纳法证明“1211(1)1n na a a a a n a+*-++++=≠∈-N L ，”时，验证当1n =时，等式的左边为（）Ａ．1 Ｂ．1a - Ｃ．1a + Ｄ．21a -答案：Ｃ2．已知三次函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在()x ∈-+，∞∞上是增函数，则m 的取值范围为（）Ａ．2m <或4m > Ｂ．42m -<<- Ｃ．24m << Ｄ．以上皆不正确答案：Ｃ3．设()()sin ()cos f x ax b x cx d x =+++，若()cos f x x x '=，则a b c d ，，，的值分别为（）Ａ．1，1，0，0 Ｂ．1，0，1，0Ｃ．0，1，0，1Ｄ．1，0，0，1答案：Ｄ4．已知抛物线2y ax bx c =++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处的切线平行于直线3y x =-，则抛物线方程为（）Ａ．23119y x x =-+ Ｂ．23119y x x =++ Ｃ．23119y x x =-+ Ｄ．23119y x x =--+答案：Ａ5．数列{}n a 满足1120212112n n n n na a a a a +⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，，，，≤≤≤若167a =，则2004a 的值为（）Ａ．67Ｂ．57Ｃ．37Ｄ．17答案：Ｃ6．已知a b ，是不相等的正数，x =，y =，则x ，y 的关系是（）Ａ．x y > Ｂ．y x> Ｃ．2x y > Ｄ．不确定答案：Ｂ7．复数2()12m iz m i-=∈-R 不可能在（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ａ8．定义A B B C C D D A ****，，，的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（）的运算的结果（）Ａ．B D *，A D * Ｂ．B D *，A C * Ｃ．B C *，A D * Ｄ．C D *，A D *答案：Ｂ9．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）Ａ．a ，b 都能被5整除Ｂ．a ，b 都不能被5整除Ｃ．a 不能被5整除Ｄ．a ，b 有1个不能被5整除答案：Ｂ10．下列说法正确的是（）Ａ．函数y x =有极大值，但无极小值Ｂ．函数y x =有极小值，但无极大值Ｃ．函数y x =既有极大值又有极小值Ｄ．函数y x =无极值答案：Ｂ11．对于两个复数12α=，12β=--，有下列四个结论：①1αβ=；②1αβ=；③1αβ=；④331αβ+=．其中正确的个数为（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4答案：Ｂ12．设()f x 在[]a b ，上连续，则()f x 在[]a b ，上的平均值是（）Ａ．()()2f a f b + Ｂ．()baf x dx ⎰Ｃ．1()2baf x dx ⎰ Ｄ．1()baf x dx b a -⎰答案：Ｄ二、填空题13．若复数222log (33)log (3)z x x i x =--+-为实数，则x 的值为．答案：414．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆） ○●○○●○○○●○○○○●L若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006年圆中有实心圆的个数为．答案：6115．函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>在区间[12]-，上的最大值为3，最小值为29-，则a ，b 的值分别为．答案：2，316．由24y x =与直线24y x =-所围成图形的面积为．答案：9三、解答题17．设n *∈N 且sin cos 1x x +=-，求sin cos n n x x +的值．（先观察1234n =，，，时的值，归纳猜测sin cos n n x x +的值．）解：当1n =时，sin cos 1x x +=-；当2n =时，有22sin cos 1x x +=；当3n =时，有3322sin cos (sin cos )(sin cos sin cos )x x x x x x x x +=++-，而sin cos 1x x +=-，12sin cos 1x x +=∴，sin cos 0x x =． 33sin cos 1x x +=-∴．当4n =时，有4422222sin cos (sin cos )2sin cos 1x x x x x x +=+-=．由以上可以猜测，当n *∈N 时，可能有sin cos (1)n n n x x +=-成立．18．设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=，（1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；（2）证明：对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根．解：（1）设实数根为a ，则2(tan )(2)0a i a i θ-+-+=，即2(tan 2)(1)0a a a i θ---+=．由于a ，tan θ∈R ，那么21tan tan 20tan 111a a a a θθ=-⎧--=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，，．又π02θ<<，得1π4a θ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，．（2）若有纯虚数根()i ββ∈R ，使2()(tan )()(2)0i i i i βθβ-+-+=，即2(2)(tan 1)0i βββθ-+--+=，由β，tan θ∈R ，那么220tan 10βββθ⎧-+-=⎨+=⎩，，由于220ββ-+-=无实数解．故对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根．19．设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．（1）用t 表示a b c ，，；（2）若函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，求t 的取值范围．解：（1）因为函数()f x ，()g x 的图象都过点(0)t ，，所以()0f t =，即30t at +=．因为0t ≠，所以2a t =-．()0g t =，即20bt c +=，所以c ab =．又因为()()f x g x ，在点(0)t ，处有相同的切线，所以()()f t g t ''=，而2()3f x x a '=+，()2g x bx '=，所以232t a bt +=．将2a t =-代入上式得b t =．因此3c ab t ==-．故2a t =-，b t =，3c t =-．（2）3223()()y f x g x x t x tx t =-=--+，2232(3)()y x tx t x t x t '=--=+-．当(3)()0y x t x t '=+-<时，函数()()y f x g x =-单调递减．由0y '<，若0t >，则3tx t -<<；若0t <，则3tt x <<-．由题意，函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，则(13)3t t ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，，或(13)3t t ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，，．所以9t -≤或3t ≥．又当93t -<<时，函数()()y f x g x =-在(13)-，上不是单调递减的．所以t 的取值范围为(][)93--+U ，，∞∞．20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a b c >>，且0a b c ++=<．解：此命题是真命题．0a b c ++=∵，a b c >>，0a >∴，0c <．<，即证223b ac a -<，也就是证22()3a c ac a +-<，即证()(2)0a c a c -+>．0a c ->∵，2()0a c a c a b a +=++=-+>， ()(2)0a c a c -+>∴成立，故原不等式成立．21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x ，(00.048)x ∈，，则当x 为多少时，银行可获得最大收益？解：由题意，存款量2()f x kx =，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即0.012x =时， 1.44y =；由21.44(0.012)k=·，得10000k =，那么2()10000f x x =，银行应支付的利息3()()10000g x xf x x ==·，设银行可获收益为y ，则2348010000y x x =-，由于，296030000y x x '=-，则0y '=，即2960300000x x -=，得0x =或0.032x =．因为，(00.032)x ∈，时，0y '>，此时，函数2348010000y x x =-递增； (0.0320.048)x ∈，时，0y '<，此时，函数2348010000y x x =-递减；故当0.032x =时，y 有最大值，其值约为0.164亿．22．已知函数()0)f x x =>，数列{}n a 满足1()a f x =，1()n n a f a +=．（1）求234a a a ，，；（2）猜想数列{}n a 的通项，并予以证明．解：（1）由1()a f x =，得21()a f a ====，32()a f a ====43()a f a====（2）猜想：)na n*=∈N，证明：（1）当1n=时，结论显然成立；（2）假设当n k=时，结论成立，即ka=；那么，当1n k=+时，由1()k ka f a+===，这就是说，当1n k=+时，结论成立；由（1），（2）可知，na=()n n*∈N都成立．高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．函数2()sinf x x=的导数是（）Ａ．2sin xＢ．22sin xＣ．2cos xＤ．sin2x答案：Ｄ2．设复数12z=-，则满足n z z=的大于1的正整数n中，最小的是（）Ａ．7 Ｂ．4 Ｃ．3 Ｄ．2答案：Ｂ3．下列函数在点0x=处没有切线的是（）Ａ．23cosy x x=+Ｂ．siny x x=·Ｃ．12y xx=+Ｄ．1cosyx=答案：Ｃ4．2231111dxx x x⎛⎫++=⎪⎝⎭⎰（）Ａ．7ln28+Ｂ．7ln22-Ｃ．5ln28-Ｄ．17ln28-答案：Ａ5．编辑一个运算程序：112(1)2m n k m n k*=*=*+=+，，，则12005*的输出结果为（）Ａ．4008 Ｂ．4006 Ｃ．4012 Ｄ．4010答案：Ｄ6．如下图为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H有几条不同的旅游路线可走（）Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．18答案：Ｃ7．在复平面内，复数2(13)1iz ii=+++对应的点在（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．在ABC△中，A B C∠∠∠，，分别为a b c，，边所对的角，若a b c，，成等差数列，则B∠的范围是（）Ａ．π4⎛⎤⎥⎝⎦，Ｂ．π3⎛⎤⎥⎝⎦，Ｃ．π2⎛⎤⎥⎝⎦，Ｄ．ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，答案：Ｂ9．设211111()123S nn n n n n=++++++++L，则（）Ａ．()S n 共有n 项，当2n =时，11(2)23S =+ Ｂ．()S n 共有1n +项，当2n =时，111(2)234S =++ Ｃ．()S n 共有2n n -项，当2n =时，111(2)234S =++ Ｄ．()S n 共有21n n -+项，当2n =时，111(2)234S =++ 答案：Ｄ10．若函数2()ln (0)f x x x x =>的极值点是α，函数2()ln (0)g x x x x =>的极值点是β，则有（）Ａ．αβ> Ｂ．αβ<Ｃ．αβ=Ｄ．α与β的大小不确定答案：Ａ11．已知函数431()232f x x x m =-+，x ∈R ，若()90f x +≥恒成立，则实数m 的取值范围是（）Ａ．32m ≥Ｂ．32m > Ｃ．32m ≤Ｄ．32m <答案：Ａ12．如图，阴影部分的面积是（）Ａ．23Ｂ．23-Ｃ．323Ｄ．353答案：Ｃ二、填空题13．若复数22(2)(2)z a a a a i =-+--为纯虚数，则实数a 的值等于．答案：014．若函数24()1xf x x =+在区中(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是．答案：10m -<≤－15．类比等比数列的定义，我们可以给出“等积数列”的定义：．答案：对n *∈N ，若1n n a a k +=·（k 是常数），则称数列{}n a 为等积数列； 2()3()n n a n =⎧⎨⎩，为奇数，为偶数51()225()2n n n S n n -=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，为奇数．为偶数16．已知函数32()39f x x x x m =-+++在区间[22]-，上的最大值是20，则实数m 的值等于．答案：2- 三、解答题17．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．解：由于2y x bx c =++，所以2y x b '=+，所以抛物线在点(12)，）处的切线的斜率为2k b =+，因为切线与直线20x y ++=垂直，所以21b +=，即1b =-，又因为点(12)，在抛物线上，所以12b c ++=，得2c =．因为22y x x =-+，于是函数没有最值，当12x =时，有最小值74．18．已知数列{}n a 满足条件1(1)(1)(1)n n n a n a +-=+-，26n a =，令()n n b a n n *=+∈N ，求数列{}n b 的通项公式．解：在1(1)(1)(1)n n n a n a +-=+-中，令1n =，得11a =；令2n =，得323(1)15a a =-=；令3n =，得4324(1)a a =-２，所以428a =．将1234a a a a ，，，代入n n b a n =+中，得12b =，23481832b b b ===，，．由此猜想：22n b n =．以下用数学归纳法证明猜想正确．（1）当1n =和2n =时，结论成立；（2）假设当(2)n k k =≥时，结论成立，即22k b k = ，所以22k k a b k k k =-=-，由已知有21(1)(1)(1)(1)(21)(1)(1)(21)k k k a k a k k k k k k +-=+-=+--=+-+，因为2k ≥，所以21(1)(21)231k a k k k k +=++=++，于是221(231)(1)2(1)k b k k k k +=++++=+，所以当1n k =+时，结论也成立，根据(1)和(2)，对任意n *∈N ，均有22n b n =．19．已知数列1，11，111，1111，L ，{1111n L 个，L ，写出该数列的一个通项公式，并用反证法证明该数列中每一项都不是完全平方数．解：由于{1911111999(101)99n n n ==-L L 123个个·，所以该数列的一个通项公式是1(101)9n n a =-；证明：假设{1111n L 个是一个完全平方数，由于{1111n L 个是一个奇数，所以它必须是一个奇数的平方，不妨设{21111(21)n m =+L 个（m 为整数），于是1111104(1)n m m -=+L 123个．故15552(1)n m m -=+L 123个5此式中左边是奇数，右边是偶数，自相矛盾，所以{1111n L 个不是一个完全平方数．20．已知1a i z i -=-，0a >，复数()z z i ω=+的虚部减去它的实部所得的差为32，求实数a ．解：()(1)1(1)1112222a i a i i a a i a a z i i --+++-+-====+-． 211111()222222a a a a a a a z z i i i i ω+-++++⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∵； 213222a a a ++-=∴，解得2a =±．又因为0a >，故2a =．21．已知函数()sin cos (sin cos )f x x x m x x =-+．（1）若1m =，求函数()f x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上的单调增区间；（2）若函数()f x 在区间ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调递减函数，求实数m 的取值范围．解：（1）当1m =时，()sin cos sin cos f x x x x x =--，()sin cos sin cos f x x x x x =--，则22()cos sin cos sin (cos sin )(cos sin 0)f x x x x x x x x x '=--+=-+-，由于πcos sin 114x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，而π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以cos sin 10x x +->，因此由()0f x '>，可得cos sin 0x x ->，即sin cos x x <，于是π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故函数()f x 的单调增区间为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（2）22()cos sin (cos sin )(cos sin )(cos sin )f x x x m x x x x x x m '=---=-+-．因为函数()f x 在区是ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调减函数，所以()0f x '<在ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，而由于x ∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以cos sin 0x x -<，因此只要cos sin 0x x m +->在ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，即sin cos m x x <+恒成立．又πcos sin 2sin (11)4x x x ⎛⎫+=+∈- ⎪⎝⎭，，所以应有1m -≤．22．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A ，B 孔的面积忽略不计）．解：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则k y ab=，其中(0)k k >为比例系数，依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，根据题设，有42260(00)b ab a a b ++=>>，得30(030)2a b a a-=<<+．于是22(2)30302k k k a y a a ab a a a +===--+．当0y '=时，6a =或10a =-（舍去）．∵本题只有一个极值点，当6a =时，3b =，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．。

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 Word版含答案.docx

3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义[学习目标]1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． [知识链接]在小学我们学习过实数的加减运算，上一节我们把实数系扩充到了复数系．那么，复数如何进行加减运算？两个复数的和差是个什么数，它的值唯一确定吗？复数加减法的几何意义是什么？这就是本节我们要研究的问题．[预习导引]1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．要点一复数加减法的运算例1 (1)计算(2＋4i)＋(3－4i)； (2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)．解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i ＝5.(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i ＝－2＋2i.规律方法复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．跟踪演练1 计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)原式＝1＋(i －1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i) ＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i ＝－2＋i. 要点二复数加减法的几何意义例2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2)＝(x －1，y －2)． BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)． ∵AD →＝BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.规律方法复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．跟踪演练2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i. 求：(1)AO →表示的复数； (2)对角线CA →表示的复数； (3)对角线OB →表示的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以对角线CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线OB →＝OA →＋OC →，所以对角线OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 要点三复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.解法一设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1， ① (a －c )2＋(b －d )2＝1 ②由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 法二设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C . ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长， ∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝|OA →|2＋|AC →|2－2|OA →||AC →|cos120°＝ 3. 规律方法 (1)设出复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x ，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用． (2)在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：①为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪演练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.解由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝ 2.1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0 B ．2i C ．6 D ．6－2i答案 D解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i.2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 i ＋i 2＝－1＋i ，对应的点在第二象限．3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( ) A ．2＋8i B ．－6－6i C ．4－4i D ．－4＋2i 答案 C解析 BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝(4，－4)． ∴BC →表示的复数为4－4i.4．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在( ) A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限答案 B解析 ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．5．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 答案－1解析 z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、基础达标1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0 B.32＋52iC ．52－52iD ．52－32i答案 C解析 z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i. 2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1＋3i C ．－1－i D ．－1－3i答案 B解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( ) A ．2 B ．2＋2i C ．4＋2i D ．4－2i答案 C4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋b i ＝－2－i.5．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________．解析 ∵P (－1,0)，Q (2,1)，∴PQ →＝(3,1)，∴PQ →对应的复数为3＋i.6．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．答案 1解析由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1. 7．计算：(1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)； (2)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i . (3)已知z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i ，求z 1＋z 2，z 1－z 2. 解 (1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i) ＝－7i ＋5－9＋8i ＋3－2i＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. (2)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝13＋12i ＋2－i －43＋32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (3)z 1＋z 2＝2＋3i ＋(－1＋2i)＝1＋5i ， z 1－z 2＝2＋3i －(－1＋2i)＝3＋i. 二、能力提升8．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D ．4i答案 B解析设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数， ∴a ＝0，b ＋3≠0，又|b |＝3，∴b ＝3，z ＝3i.9．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|BD →|等于( ) A ．5 B ．13 C ．15 D ．17答案 B设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ，所以BD →＝OD →－OB →＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)，所以|BD →|＝13.10．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．答案115＋3i 解析设这个复数为x ＋y i(x ，y ∈R ) ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ，∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115y ＝3，∴x ＋y i ＝115＋3i.11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．解法一设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝⎛⎭⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎨⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.法二设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i. 三、探究与创新13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ， BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.。

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：3.2 复数代数形式的四则运算3.2.2 Word版含答案.docx

3.2.2 复数代数形式的乘除运算[学习目标]1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．理解共轭复数的概念． [知识链接]写出下列各小题的计算结果： (1)(a ±b )2＝________； (2)(3a ＋2b )(3a －2b )________； (3)(3a ＋2b )(－a －3b )________． (4)(x －y )÷(x ＋y )________．答案 (1)a 2±2ab ＋b 2 (2)9a 2－4b 2 (3)－3a 2－11ab －6b 2 (4)x －y [预习导引] 1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 2．复数乘法的运算律对任意复数z 1、z 2、z 3∈C ，有如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. 4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.要点一复数乘除法的运算例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.规律方法 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．(2)像3＋4i 和3－4i 这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为a ＋b i 和a －b i ，其数值特征为(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.跟踪演练1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1＋i)2.解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i ；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i. 例2 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i. 解 (1)(1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i 3－4i ＝(1＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝－5＋10i 25＝－15＋25i ；(2)原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.规律方法复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．跟踪演练2 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(－1＋i )(2＋i )－i .解 (1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i25＝1－i ；(2)(－1＋i )(2＋i )－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i )·i－i·i ＝－1－3i.要点二共轭复数及其应用例3 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝82a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1， ∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.规律方法本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．跟踪演练3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1. ①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.1．复数－i ＋1i 等于( )A ．－2iB ．12iC ．0D ．2i答案 A解析－i ＋1i ＝－i －i 2i＝－2i ，选A.2．(2013·江西)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i答案 C解析本题考查复数的四则运算以及集合的基本运算．因为M ∩N ＝{4}，所以z i ＝4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z i ＝－b ＋a i ，由z i ＝4，利用复数相等，得a ＝0，b ＝－4.故选C. 3．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )z 等于( ) A ．1＋3iB ．3＋3iC ．3－iD ．3答案 A解析 (1＋z )·z ＝(2＋i)·(1＋i)＝(2×1－1)＋(2＋1)i ＝1＋3i.4．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B ．43C ．－43D ．－34答案 A解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i. z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.5．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析因为z ＝2－i 2＋i＝(2－i )25＝3－4i5，故复数z 对应的点在第四象限，选D.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.一、基础达标1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1答案 A 解析 z ＝1i＝－i.2．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i答案 A解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝0.3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1答案 D解析 ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝1.4．在复平面内，复数i1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析i 1＋i＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝⎛⎭⎫23＋12i ，对应点⎝⎛⎭⎫－32，23＋12在第二象限．5．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．答案 1解析由i(z ＋1)＝－3＋2i 得到z ＝－3＋2ii －1＝2＋3i －1＝1＋3i.6．复数2i－1＋3i 的虚部是________．答案－12解析原式＝2i (－1－3i )1＋3＝23－2i 4＝32－12i ，∴虚部为－12.7．计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2010；(2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．解 (1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2010＝2＋2i －2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1005＝i(1＋i)＋⎝⎛⎭⎫1i 1005＝－1＋i ＋(－i)1005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 二、能力提升8．(2013·新课标)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i答案 A解析因为复数z 满足z (1－i)＝2i ，所以z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i.9．(2013·山东)若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i 答案 D解析由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3＝5(2＋i )5＋3＝2＋i ＋3＝5＋i.所以z ＝5－i ，选D.10．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z 等于________．答案－2i解析设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－b ＋(b ＋2)i 2＝2－b 2＋b ＋22i是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i.11．(2013·山东聊城期中)已知复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i(a ，b ∈R )，求a＋b 的值．解由z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，得z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ，又z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， ∴(a ＋b )＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴a ＋b ＝1.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i. 三、探究与创新13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．。

2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2同步训练：3.2 复数代数形式的四则运算

3.2 复数代数形式的四则运算1、若复数z 满足1z =,则34i z --的最小值为( )A.1B.2C.3D.4 2、若i 为虚数单位,图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数1zi+的点是( )A. EB. FC. GD. H3、复数12,z z 分别对应复平面内的点12,M M ,且1212z z z z +=-,线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +,则2212z z +等于( )A.10B.25C.100D.200 4、在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3i +,13i +,则对应的复数是( ) A. 24i + B. 24i -+ C. 42i -+ D. 42i - 5、设11i z i +=-,()21f x x x =-+,则()f z = ( ) A. i B. i - C. 1i -+ D. 1i --6、(1)(2)i i +-=( ) A. 3i -- B. 3i -+ C. 3i - D. 3i -7、设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z = ( ) A. 23i + B. 23i - C. 32i + D. 32i -8、设i 是虚数单位,则复数32i i-= ( ) A. i - B. 3i - C. i D. 3i9、()()202011i i +--的值是( )A.-1024B.1024C.0D.512 10、若a 、b R ∈,i 为虚数单位,且()a i i b i +=+,则( ) A. 1,1a b == B. 1,1a b =-= C. 1,1a b ==- D. 1,1a b =-=-11、若12z a i =+,234z i =-,且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为__________. 12、设复数z 满足234z i =+ (i 是虚数单位)则z 的模为 .13、若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭__________. 14、已知a ,b R ∈,i 是虚数单位.若()()1a i i bi ++=,则a bi +=__________.15、已知复数()()()13113i i i z i-+--+=,()z ai a R ω=+∈,当zω≤,求a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：复数z 满足1z =,则复数z 对应的点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,34i z --表示圆上的点到点()3,4的距离, 点()3,4到原点的距离是5,34i z --的最小值为51 4.-=2答案及解析：答案：D解析：由图知复数3z i =+,则()()()()31321111i i z i i i i i i +-+===-+++-,所以复数1zi +所对应的点是H .3答案及解析：答案：C解析：由1212z z z z +=-,可知, 12OM OM ⊥,故12OM M ∆为直角三角形,故有2222221212124100z z OM OM M M OM +=+===,故选c.4答案及解析：解析：依题意有CD BA OA OB ==-. 而()()31342i i i +--+=-, 而CD 对应的复数为42i -, 故选D.5答案及解析：答案：A 解析：6答案及解析：答案：D 解析：7答案及解析：答案：A解析：由(2)(2)5z i i --=,得55(2)2222232(2)(2)i z i i i i i i i i +=+=+=++=+--+.故选A.8答案及解析：答案：C 解析：322i i i i i-=-+=,故选C.9答案及解析：答案：C解析：()()()()()()()()101020202210101010111122220i i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣+--=+--=--=-=⎦10答案及解析：答案：C解析：由()a i i b i +=+,得1ai b i -+=+,根据复数相等的充要条件得1,1a b ==-.11答案及解析：答案：83解析：()()()()()122343846 23434345a i i a a i z a i z i i i ++-+++===--+,它是纯虚数,所以380a -=,且460a +≠,解得83a =.故答案为: 83.12答案及解析： 5解析：∵234z i =+,∴2222345z z =+==,∴5z = .13答案及解析：答案：6解析：∵12z i =+, ∴12z i =-. ∴11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.14答案及解析：答案：12i +解析：由复数相等的定义求得a ,b 的值,即得复数.由()()1a i i bi ++=可得()()11a a i bi -++=,因此10a -=,1a b +=,解得1a =,2b =,故12a bi i +=+.15答案及解析：答案：()()()13113i i i z i-+--+=()()241311i i i i ii+-++===-,因为()111z ai i ai a i ω=+=-+=+-,所以()()()111112122a i i a i a ai zi ω+-+⎡⎤+--+⎣⎦===-.所以zω=≤,所以2220a a --≤, 所以1313a ≤≤故a 的取值范围是13,13⎡⎣.解析：。

高中数学 3.2 复数代数形式的四则运算课时作业3 新人

课时作业(二十一) 复数的几何意义A 组基础巩固1．与x 轴同方向的单位向量e 1与y 轴同方向的单位向量e 2，它们对应的复数分别是( ) A ．e 1对应实数1，e 2对应虚数i B ．e 1对应虚数i ，e 2对应虚数i C ．e 1对应实数1，e 2对应虚数－iD ．e 1对应实数1或－1，e 2对应虚数i 或－i 解析：e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．答案：A2．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴复数1＋2i 所对应的点在第一象限．答案：A3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ＞0 D ．a ＜－1或a ＞0解析：依题意由a 2＋22＜－22＋12，解得－1＜a ＜1. 答案：A4．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0 D ．a ＝2或a ＝0解析：由点Z 在虚轴上可知，点Z 对应的复数是纯虚数和0，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝2或a ＝0.答案：D5．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1 个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆解析：由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0，即|z |＝3或|z |＝－1.∵|z |≥0，∴|z |＝－1就舍去．答案：A6．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2 D ．－2sin α2 解析：|z |＝1＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，cos α2＜0，于是|z |＝－2cos α2.答案：B7．若复数z ＝sin2α－i(1－cos2α)是纯虚数，则α＝__________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧ sin2α＝0，1－cos2α≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2α＝k π，2α≠2k π⇒2α＝(2k ＋1)π，∴α＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )8．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是__________．解析：因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.答案：－6－8i9．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .解析：根据题意可画图形如图，设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝3，即点Z 的坐标为(－1，3)，∴z ＝－1＋3i.10．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数，求复数z . 解析：(1)设z ＝x ＋y i ，z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， z 2－i ＝x ＋y i 2－i ＝x ＋y i 2＋i 2－i 2＋i ＝2x －y ＋x ＋2y i 5，由z ＋2i ，z2－i 均为实数，得到⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝0x ＋2y ＝0，解得x ＝4，y ＝－2，所以z ＝4－2i.B 组能力提升11．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )．(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．解析：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧log 21＋m ＜0，①log 123－m ＜0，②解①，得－1＜m ＜0，解②，得m ＜2，故不等式组的解集为－1＜m ＜0，故m 的取值范围为－1＜m ＜0.。

2019-2020学年高二数学人教A版选修1-2同步练习：3.2 复数代数形式的四则运算 Word版含答案

3.2 复数代数形式的四则运算1、设复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于( ) A. 34i -+ B. 34i - C. 34i -- D. 34i +2、设i 是虚数单位,则复数()()112i i -+= ( )A. 33i +B. 13? i -+C. 3i +D. 1i -+3、若324z i i +-=+,则z 等于( )A. 1i +B. 13i +C. 1i --D. 13i --4、满足条件1z =及1322z z +=-的复数z 的集合是( )A. 11,22⎧⎫⎪⎪-+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭B. 1111,2222i i ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭C. 11,2222⎧⎫⎪⎪+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭D. 2222i ⎫⎪+-⎬⎪⎪⎩⎭5、在复平面上的中, 68AC i =+,46BD i =-+.则AD 对应的复数是()A. 214i +B. 17i +C. 214i -D. 17i --6、在复平面内,若复数z 满足1,z z i +=-则z 所对应的点Z 的集合构成的图象是( )A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线7、设复数z 满足341,z i --=则z 的最大值是( )A.3B.4C.5D.68、若复数z 满足()2312,z i i +-=-+则25z i +-等于( )A. 1-B. 110i -+C. 16i -D. 110i -9、设1234,23z i z i =-=-+,则12z z +在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、复数()327,z i i =+-其中i 是虚数单位,则复数z 的虚部是( )A.3B.2C.-5D.-711、已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为__________12、已知3z =,且3z i +是纯虚数,则z 等于__________13、已知平面直角坐标系中, O 是原点,向量OA ,OB 对应的复数分别为23i -,32i -+,那么向量AB 对应的复数是_________14、复数2122,z mi z m m i ==-+,若120z z +>,则实数m =__________.15、设1z ,2z C ∈,已知121z z ==,12z z +=,求12z z -.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：设(),z x yi x y R =+∈,则2x yi i ++=+,所以2,{1,x y +==解得3,{41.x y ==所以34z i =+.2答案及解析：答案：C解析：因为()()21121223i i i i i i -+=+--=+,故选C. 考点:本题主要考查复数的乘法运算公式.3答案及解析：答案：B解析：()43213z i i i =+--=+4答案及解析：答案：C解析：设(),,z x yi x y R =+∈依题意得222222113()()22x y x y x y ⎧+=⎪⎨++=-+⎪⎩解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以12z =±5答案及解析：解析：∵68AB AD AC i +==+,且46AD AB BD i -==-+,∴2214AD i =+,∴17AD i =+,故选B.6答案及解析：答案：B解析：7答案及解析：答案：D解析：因为341z i --=,所以复数z 所对应点在以()3,4C 为圆心,半径为1的圆上,由几何性质得z 的最大值是68答案及解析：答案：A解析：由()2312,z i i +-=-+得()()122335,z i i i =-+--=-+于是()()2535251z i i i +-=-++-=-,故选A.9答案及解析：答案：D解析：∴z 1+z 2=(3−4i)+(−2+3i)=1−i.∴复数z 1+z 2在复平面内对应的点的坐标是(1,−1),位于第四象限故选D.10答案及解析：答案：C()32735,z i i i =+-=-虚部是5-.11答案及解析：答案：3解析：因为2z =, 所以21 3.z i z i -≤+=+=12答案及解析：答案：3i解析：设(),z a bi a b R =+∈,则()333z i a bi i a b i +=++=++为纯虚数, 0a ∴=且30b +≠,又3z =,3,3b z i ∴==.13答案及解析：答案：55i -+解析：因为AB OB OA =-,而()()2,3,3,2,OA OB =-=-所以(5,5)AB =-故AB 对应的复数为5 5.i -+14答案及解析：答案：2解析：由已知得)()2122z z mi m m i +=+-+)()22m m m i =+- 因为120z z +>,所以12z z +为实数且大于0.所以2020m m m >-=,解得2m =15答案及解析：答案：解法一:以1z ,2z 对应的向量为邻边作平行四边形12OZ ZZ ,使12OZ OZ OZ +=. 所以121z z ==12(,OZ OZ 不共线,若共线,则122z z +=或0),所以四边形12OZ ZZ 为菱形,又12z z +=.所以1290Z OZ ∠=,所以菱形12OZ ZZ 为正方形.故1212z z z z -=+=解法二:设1z a bi =+,2z c di =+ (a ,b ,c ,d R ∈), 由题设知221a b +=,221c d +=,()()222a c b d +++=, 又由()()22a c b d +++=222222a ac c b bd d +++++, 可得220ac bd +=,()()22212z z a c b d -=-+-()2222222a c b d ac bd =+++-+=,∴12z z -=解法三:易知()22221212122z z z z z z ++-=+,将已知数值代入,可得2122z z -=,∴12z z -=解析：。