市“二模”命题思路交流(解析几何&部分客观题)
解析几何二模后复习建议
解析几何二模后复习几点想法北方交大附中邹明武纵观各区一模二模试题，解析几何在几何条件代数化上总体都不难，上手都比较容易，大多数计算上比较难，个别题目如果几何条件挖掘的深入，计算量会降低很多，另外是设直线或设点带入两类试题基本相当。
让学生明确：一般情况下：直线与二次曲线有两个交点，且需要两个交点坐标参与运算，一般设直线可行；如果直线与二次曲线有两个交点，不过只用其中一个交点的左边参与运算，一般设点更合适。
讲清算理的同时重在落实基本步骤和计算的准确性。
对于相对较弱的同学可适当从文科解析几何入手，以增强自信心。
一、北京近6年试题及考察知识点------知己知彼2009——2014北京五年高考平面解析几何专题分析二、解析几何解答题常用知识点：--------------准备工作做好1、弦长公式：A BAB x=-=（,a'∆指AB直线与二次曲线联立消去y的二次项系数与根的判别式）2、()200ax bx c a++=≠1）0∆>(有两不相等实根的前提条件)2）122b x x a +=-，12c x x a= 3、中点公式，点到直线距离：d =4、直线的两种设法：1）()00y y k x x -=- （不含垂直x 轴的直线） 2）()00x x n y y -=- （不含垂直y 轴的直线）5、形如：22a tb tc S at bt c'''++=++的最值求法汇总： 1）导数方法；2）2a t b t c S bt c '''++=+或()22a tb tc S bt c '''++=+ 技巧：换元：u b tc =+ 3）222a tb tc et fS d at bt c at bt c '''+++==+++++ 技巧：换元：u e tf=+三、解析几何核心思想：几何图形代数化-------基本思想四、几种常见几何条件转化------------- 技术手段和方向1、等腰三角形、垂直平分线； ---------找中点----利用斜率负倒数----注意直线分类2、直角；在以谁为直径的圆上的点 ---------向量点乘为零或斜率负倒数3、平行四边形、菱形 、矩形 --------先平四-----再转化成1、24、共线三点线段长之比 ------转化成斜率相等或向量共线或点在直线上5、过定点 ------设直线y kx m =+找,k m 关系或先猜点再证 注意：向量的工具性（尤其是证明三点共线，两直线平行或垂直）五、解析几何一般步骤： --------------具体可操作的手段和措施--------拿分的手段先判断是设直线还是直接设点坐标 如设直线：1、特殊直线（斜率不存在或斜率为0）2、设直线y kx m =+ （如过点在X 轴）x my d =+ （如过点在Y 轴上）3、代入二次曲线4、计算∆，根系关系5、几何条件代数化6、根据根系关系代入5中7、得出结论作答 六、几个教学案例例1、海淀：（19）（本小题满分13分） 注意解后反思------弄清来源与变式拓展已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>过点(0,1)-，且离心率e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）是否存在菱形ABCD ，同时满足下列三个条件：①点A 在直线2y =上；②点B ，C ，D 在椭圆M 上； ③直线BD 的斜率等于1.如果存在，求出A 点坐标；如果不存在，说明理由. 方法1：（Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： …………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t . ……………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分 由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==. ………………11分 因为 四边形ABCD 为菱形， 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ……………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………13分 所以 不存在满足题意的菱形ABCD . 方法2：常规方法： 不存在满足题意的菱形 假设存在满足题意的菱形 设直线:BD y x m =+ (),2A t2233y x mx y =+⎧⎨+=⎩ 2246330x mx m ++-= ()223616330m m ∆=-->解得：()2,2m ∈- 设()()1122,,,B x y D x y1232x x m +=-设,B D 中点为E ，则3,44m E m ⎛⎫- ⎪⎝⎭因四边形ABCD 为菱形 故AE BD ⊥故：24134AE m k m t -=-=--122t m =--因四边形ABCD 为菱形 故E 为AC 中点 故：2,22m C m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()2223232m m ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭解得：262,7m m ==不符合()2,2m ∈- 故不符合题意。
(完整版)解析几何考点和答题技巧归纳
解析几何考点和答题技巧归纳一、解析几何的难点从解题的两个基本环节看：1、翻译转化：将几何关系恰当转化（准确，简单），变成尽量简单的代数式子（等式 / 不等式），或反之…2、消元求值：对所列出的方程 / 不等式进行变形，化简，消元， 计算，最后求出所需的变量的值/范围 等等难点：上述两个环节中 ⎩⎪⎨⎪⎧变量、函数/方程/不等式的思想灵活性和技巧性分类讨论综合应用其他的代数几何知不小的计算量二、复习建议分两个阶段，两个层次复习： 1、基础知识复习：落实基本问题的解决，为后面的综合应用做好准备。
这个阶段主要突出各种曲线本身的特性，以及解决解析问题的一般性工作的落实，如： ① 直线和圆：突出平面几何知识的应用（d 和r 的关系！）；抛物线：突出定义在距离转化上的作用，以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处。
② 圆锥曲线的定义、方程、基本量（a 、b 、c 、p ）的几何意义和计算③ 直线和圆锥曲线的位置关系的判断（公共点的个数）④ 弦长、弦中点问题的基本解法⑤ 一般程序性工作的落实：设点、设直线（讨论？形式？）、联立消元、列韦达结论… 中的计算、讨论、验…2、综合复习：重点攻坚翻译转化和消元求值的能力① 引导学生在 “解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式（方程/函数）、不等式的思想② 积累常见的翻译转化, 建立常见问题的解决模式③ 一定量的训练, 提高运算的准确性、速度, 提高书写表达的规范性、严谨性● 具体说明1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式(方程/函数)、不等式的思想建议在例题讲解时，总是在具体计算之前进行“解题路径规划”：① 条件和结论与哪几个变量相关？解决问题需要设哪些变量？② 能根据什么条件列出几个等式和不等式？它们之间独立吗？够用了吗？③ 这些等式/不等式分别含有什么变量？如何消元求解最方便？④ 根据这些等式和不等式，能变形、消元后得到什么形式的结论（能消掉哪些变量？得到两个变量的新等式/不等式？变量的范围？求出变量的值？)好处： ①选择合适的方法；②避免中途迷失[注] 关于消元常用的消元法： ⎩⎪⎨⎪⎧代入消元加减/乘除消元韦达定理整体代入消掉交点坐标 点差法 弦中点与弦斜率的等量关系 ……换元,消元的能力非常重要2、积累常见翻译转化，建立常见问题的解决模式（1）常见的翻译转化：① 点在曲线上 点的坐标满足曲线方程② 直线与二次曲线的交点⎣⎢⎡点坐标满足直线方程点坐标满足曲线方程x 1 + x 2 = …‚ x 1x 2= …y 1 + y 2 = …‚ y 1y 2 = … ③ 两直线AB 和CD 垂直 01AB CD AB CD k k ⎡⋅=⎢⋅=-⎣④ 点A 与B 关于直线l 对称⎩⎨⎧中: AB 的中点l 垂: AB ⊥l ⑤ 直线与曲线相切 ⎣⎡圆: d = r 一般二次曲线: 二次项系数 ≠ 0 且∆ = 0⑥ 点(x 0,y 0)在曲线的一侧/内部/外部 代入后 f (x 0,y 0) > 0或f (x 0,y 0) < 0⑦ ABC 为锐角 或 零角 BA → ∙ BC → > 0⑧ 以AB 为直径的圆过点C⎣⎢⎡CA → ∙ CB → = 0|CA |2 + |CB |2 = |AB |2 ⑨ AD 平分BAC → ⎣⎢⎢⎡AD ⊥x 轴或y 轴时:k BA = − k AC AD 上点到AB 、AC 的距离相等AD →∥(AB → + AC →)⑩ 等式恒成立系数为零或对应项系数成比例○11 A 、B 、C 共线 → ⎣⎢⎢⎡AB →∥BC→k AB = k BC C 满足直线AB 的方程……[注] 关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元：① 如果几何关系与两个交点均有关系，尤其是该关系中，两个交点具有轮换对称性，那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程，然后整体消元如果几何关系仅与一个交点相关, 那么优先尝试“设点代入”（交点坐标代入直线方程和曲线方程）；② 如果几何关系翻译为交点的坐标表示后， 与x 1 + x 2, y 1 + y 2相关 （如：弦的中点的问题)，还可尝试用 “点差法”（“代点相减” 法） 来整体消元，但仍需保证∆ > 0（2）建立常见题型的“模式化”解决方法 （不能太过模式化，也不能没有模式化）如：① 求曲线方程： ⎩⎪⎨⎪⎧待定系数法直译法定义法相关点法参数法… 难度较大，上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。
2024届高考二轮复习文科数学课件：解析几何解题基本方法的探究
+
1
2 =1,又
4
2 -2
=
3
2
2
,解得
a
=4,b
=1,所以椭圆
2
C 的方程为
(2)设椭圆
2
E:4 2
+
2
=1,P
4 2
为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭
圆 E 于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.
||
①求||的值;
②求△ABQ 面积的最大值.
=
1
,
2
4x=2a,得 a2=3,b2=a2-c2=3-1=2,
(方法二 由条件⇒几何关系)如图,设|F2B|=x,则
|AF2|=2x,|AB|=|BF1|=3x.
由|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=4x,∴|AF1|=2x=|AF2|,则点
A在短轴上,则△F1F2A为等腰三角形,设∠F1F2B=θ,则
2
∴存在点 P 使得△PAB 和△PMN 的面积相等,点
5
33
P 的坐标为(3,± 9 ).
(方法二)如图,设 P(x0,y0),由题意 A(-1,1),B(1,-1),由 S△PAB=S△PMN,得
||
|PA||PB|=|PM||PN|,可变形为||
由 A,P,M
||
三点共线,得
||
解析 如图,由椭圆的对称性,不妨设点 M(x0,y0)在 x 轴上方,由 cos∠AMB=得 sin∠AMB=
8
,所以
65
1
,
65
tan∠AMB=-8.设直线 MB 的倾斜角为 α.由∠AMB=α-
2020高考数学二轮复习专题五解析几何高考解答题的审题与答题示范五教案[浙江]
![2020高考数学二轮复习专题五解析几何高考解答题的审题与答题示范五教案[浙江]](https://img.taocdn.com/s3/m/40040d6a4693daef5ff73d4d.png)
高考解答题的审题与答题示范(五)解析几何类解答题[思维流程]——圆锥曲线问题重在“设”与“算”[审题方法]——审方法数学思想是问题的主线，方法是解题的手段．审视方法，选择适当的解题方法，往往使问题的解决事半功倍．审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍．典例 (本题满分15分)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 审题路线 (1)要求P 点的轨迹方程⇒求点P (x ，y )的横坐标x 与纵坐标y 的关系式⇒利用条件NP →＝2 NM →求解．(2)要证过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ⇒证明OQ →⊥PF →⇒OQ →·PF →＝0.标准答案阅卷现场(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，N (x 0，0)，则NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)，① 第(1)问 第(2)问 得 分 点 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩2 2 2 1 2 1 1 1 2 17分 8分以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。
买本好点的参考书，做些练习。
如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。
做练习要对答案，最好把自己的错题记下来。
平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习复习。
2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例，要能用自己的话解释概念（理解概念）然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。
数学新高考二卷解析几何题答题技巧
数学新高考二卷解析几何题答题技巧数学新高考二卷解析几何题答题技巧引言在数学新高考二卷中，解析几何题占据了相当的比重。
解析几何作为数学的重要分支和应用工具，在高考中占据了相当的重要性。
本文将介绍一些针对解析几何题的答题技巧，帮助考生高效解题。
技巧一：熟悉基本公式和定理•需要熟练掌握点、线、面之间的距离公式和斜率公式，这是解析几何题解答的基础。
•熟悉三角形、四边形等图形的周长和面积公式，能够快速运用并进行变形。
技巧二：画图解题•解析几何题通常需要通过画图来帮助理解和分析。
画图可以更直观地看出问题中的条件和求解思路。
•细心观察图形中给出的线段、角度等信息，合理选择参考点和坐标系，有助于简化计算。
技巧三：几何性质的灵活运用•利用几何性质来解析几何题是解题的关键。
比如利用垂直角、对称性、相似三角形、共线等性质来辅助求解。
•注意总结并熟悉一些常见的几何性质和定理，如垂心、重心、外心等，能够快速应用于解题过程中。
技巧四：建立方程求解•对于一些解析几何题目，可以通过建立方程解决问题。
这要求我们善于将几何条件转化为方程，并利用方程进行进一步的推导。
•熟悉直线、圆等几何图形的方程表达式，并掌握解方程的方法，能够帮助快速解决相关问题。
技巧五：几何题与代数题互相转化•高考数学考题中的解析几何与代数题经常有联系，可以通过将几何问题转化为代数问题或者将代数问题图像化的方式来解决。
•将几何问题转化为代数问题可以通过引入变量、利用直线的斜率等方式进行，能够帮助快速解决相关问题。
结论解析几何作为数学的一部分，在高考中占有重要地位。
熟悉基本公式和定理，善于画图、灵活运用几何性质，掌握建立方程和几何与代数互相转化的技巧，将会有助于考生在解析几何题上取得更好的成绩。
通过不断练习和积累，相信考生们能够更加熟练地运用这些技巧，提高解题效率。
技巧六：分类讨论•在解析几何题中，有时候问题较为复杂，无法直接得到结论。
这时候可以采用分类讨论的方法，将问题进行分情况讨论，找到每种情况下的解决方法。
解析几何二轮复习的思考与建议
解析几何二轮复习的思考与建议张志超南京五中一.考试内容与要求二.对考试内容与要求的思考从上表中可以看出必考部分有11块，附加题部分有2块。
其中直线方程，圆的方程为C级要求，其余有7块为B级要求，4块为A级要求。
笔者认为08年江苏数学高考试题解析几何部分可能有两道小题和一道大题。
大题可能以直线与圆为背景或者以椭圆为背景。
小题可能是一些与基本量有关的问题；附加题可能以抛物线为背景。
鉴于这个认识建议教师在复习中抓好从以下两个方面。
1.在一轮复习的基础上，要进一步夯实基础知识并通过不断的练习加以巩固，对考试内容与要求中的11＋2个知识点要心知肚明，特别是与这些知识点有关的常用习题及其解题方法要归纳，总结，掌握基本习题的常用解法。
2.要加强对直线和圆的研究与落实，提高综合应用知识的能力。
三.解题方法1.直线方程有五种形式，它含有两个基本量。
求直线方程的常用方法是待定系数法，其步骤为：首先要根据题意适当的选择一种形式，再通过题中的条件，找到含有基本量的方程（组），最后通过解方程（组）求出基本量即可。
求直线方程的特殊方法主要是几何法，其步骤为：首先根据题意做出图形；再通过对图形中诸基本量的研究，找到它们之间的关系，并得到方程；最后通过解方程（组）求出基本量。
2.圆的方程有标准方程和一般方程两种形式，它含有三个基本量。
求圆的方程常用方法是待定系数法。
其步骤为：首先要根据题意适当的选择一种形式，再通过题中的条件，找到含有基本量的方程（组），最后通过解方程（组）求出基本量即可。
求圆方程的特殊方法主要是几何法，其步骤为：首先根据题意做出图形；再通过对图形中诸基本量的研究，找到它们之间的关系，并得到方程；最后通过解方程（组）求出基本量。
3.椭圆标准方程有两种形式、双曲线标准方程有两种形式、抛物线标准方程有四种形式。
它们含有的基本量椭圆和双曲线有两个，抛物线有一个。
常用方法是待定系数法，先定位，后定量。
四．典型案例 1.直线与圆的问题例题1.若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为_______..分析：本题的直线方程是y=kx+1,只要求出一个基本量k 即可。
江苏省南京市高三数学二轮专题复习 解析几何
解析几何二轮复习建议引入坐标系，使点与坐标，曲线与方程联系起来的坐标方法对于数学发展起了巨大的作用。
用坐标法研究曲线（几何图形），实际上要解决两个问题：第一是由曲线（几何图形）求方程；第二是利用方程讨论曲线（几何图形）的性质。
由曲线求方程，要解决如何将曲线上的点所满足的条件转化为曲线上点的坐标所适合的方程；在解析几何里，所讨论的曲线的性质通常包括：曲线的范围，曲线的对称性，曲线的截距，以及不同曲线所具有的一些特殊性质，例如过定点，过定线，最值等一些不变（量）性。
用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。
坐标法是借助坐标系，以代数中数与式、方程的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法。
因此，要有一定的代数知识基础，特别是代数式变形和解方程组的能力要求较高。
以下解析几何二轮复习建议，仅供参考。
基本题型一：求基本量1．直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距；圆的几何量主要是圆心、半径。
这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现．2．圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率。
在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a ，b ，c ，p 的值，二是记准相应量的计算公式．在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量．例1．直线l ：3x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则直线l 在x 轴上的截距_____． 解：因为⊙C 方程可化为(x －1)2＋y 2＝(3)2，所以圆心C (1，0)，半径r ＝3，因为直线l 与圆C 相切，直线C 到l 的距离等于r ，即∣3⋅1－1⋅0＋m ∣2＝3，解得m ＝－33或3．当m ＝3时，直线l 方程为3x －y ＋3＝0，在x 轴上的截距为－1； 当m ＝－33，直线l 方程为3x －y ＋－33＝0，在x 轴上的截距为3．例2．(2008天津）设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为___________解：根据椭圆定义得2a ＝1＋3，a ＝2，即m ＝2，b ＝m 2－1＝3，c ＝1，e ＝c a ＝12，根据第二定义得P 到右准线距离为2．例3．（2007安徽）如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为___________．解法一：不妨设OF 2＝1，因为OF 1＝OF 2＝OA ， 所以△AF 1F 2为直角三角形．所以AF 1＝1．所以2a ＝AF 2－AF 1＝3－1,又2c ＝2，所以e ＝ca＝3＋解法二：连接OA ，由△ABF 2为等边三角形，可得A 点的坐标为(－12c ，32c )． 因为A 在双曲线上，所以(－12c )2a 2－(32c )2b 2＝1，即14e 2－34e 2e 2－1＝1，去分母整理得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，e ＝3±1．因为e ＞1，所以e ＝3＋1．例4．（2008四川）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为____________．解：如图，过A 作AH ⊥l ，垂足为H ，由抛物线的定义可知，AF ＝AH ，又AK ＝2AF ，所以AK ＝2AH ，因为∠AHK ＝90︒，所以∠AKH ＝45︒，所以KH ＝AH ＝y A ．所以AF ＝y A ．即AF ⊥x 轴． 所以AF ＝FK ＝4，S △AFK ＝8．例5．（2010四川）椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．分析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等，FA PF =。
打破思维定势 提高思维品质--2016年南昌市二模解析几何试题的讲评反思
（ ２ ）设 。 ， ： 是 ）的两个零 点 ， 证明： 。 ＋ ：
＜ ２．
解： （ １ ） ＞０ ； （ 略）
（ ２ ）不妨设 １＜ ２ ， 由（ １ ）知 ∈ （ 一∞ ， １ ） ， ２∈ （ １ ， ＋∞） ， ２一 ２∈ （ 一。 。 ， １ ） ， ‘ ． ） 在（ 一∞ ， １ ）上 单调递 减 ＇ ． ． ． １ ＋ ２＜２ ． 僦 １＜２一Ｘ ２ 仁 ２ ） ＝／ ． （ ）＞ ２一 ） ． 令 （ ）＝／ （ ． ）－ ｆ （ ２一 ） （ ＞１ ） ， 贝 ４ ｕ （ ）＝ 厂（ ）＋ 厂（ ２一 ）： （ 一１ ） （ ｅ ＋
算量． 通过考前的作业（ 问题 １ ） ， 考试题 目（ 问题 ２ ）
的教 学 ， 再抛 出２ ０ １ ６ 年全国１ 卷 的 函数 与导数 试题 ，
有利于学生进一步巩 固极值点偏移问题 的解 法， 有 助 于学生树 立 求解压 轴题 的信 心．
６ ． 教 学 反思
试 卷 讲评 课 中对 压 轴 题 讲 评 存 在 的教 学 现 状 有： （ １ ）压 轴 题 是 学 生 自己做 出来 而 不 是老 师讲 出 来的， 所 以讲 也 是 白讲 ； （ ２ ）把答 案 印给 学 生 ， 优 秀 学 生 自己对 照答案 进 行 研 究 ， 中等 或 中等 以下 的 学
问题 ３ （ ２ ０ １ ６年 全 国 Ｉ卷 理科 第 ２ １题 ）已知 函数 ， （ ）＝ （ 一２ ） ｅ ＋Ⅱ（ —１ ） 。 有 两个 零 点．
（ １ ）求 。的取值 范 围 ；
评注： 对 函数 “ （ ）进行 求导 时 ， 若先 把 解 析 式 写 出来 ， 再进行 求 导 ， 将 会使 运 算 量 变得 较 大 ， 不 易 操作 ， 而是应 直接 根据 抽 象 函数 的 求导 法则 ， 减 小运
07.2017-2020上海市高三数学二模分类汇编：解析几何
1（2018松江二模）. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 1（2018普陀二模）. 抛物线212x y =的准线方程为2（2017奉贤二模）. 若关于x 、y 的方程组12ax y x y +=⎧⎨+=⎩无解，则a = 2（2017黄浦二模）. 若关于x 、y 的方程组10420ax y x ay +-=⎧⎨+-=⎩有无数多组解，则实数a = 2（2018虹口二模）. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 2（2018宝山二模）. 设抛物线的焦点坐标为(1,0)，则此抛物线的标准方程为2（2019松江二模）. 抛物线22y x =的准线方程为2（2019杨浦二模）. 方程组3102540x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的增广矩阵为2（2019宝山二模）. 圆22266x y x y +-+=的半径r =2（2019普陀二模）. 双曲线22:1169x y C -=的顶点到其渐近线的距离为 3（2018奉贤二模）. 抛物线2y x =的焦点坐标是3（2019宝山二模）. 过点(2,4)A -，且开口向左的抛物线的标准方程是3（2019黄浦二模）. 椭圆2212x y +=的焦距长为 3（2020闵行二模）. 若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 3（2020松江二模）. 已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为4（2017虹口二模）. 若方程组2322ax y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a = 4（2017浦东二模）. 抛物线214y x =的焦点到准线的距离为 4（2017长宁二模）. 已知双曲线22221(3)x y a a -=+(0)a >的一条渐近线方程为2y x =，则a =4（2017宝山二模）. 已知双曲线222181x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为3y x =，则a = 4（2017崇明二模）. 设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =4（2018青浦二模）. 已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =4（2018长嘉二模）. 已知平面直角坐标系xOy 中动点(,)P x y 到定点(1,0)的距离等于P 到定直线1x =-的距离，则点P 的轨迹方程为4（2019普陀二模）. 设直线l 经过曲线12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，02θπ≤≤）的中心，且其方向向量(1,1)d =，则直线l 的方程为4（2020黄浦二模）. 若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为4（2020宝山二模）. 已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的实轴与虚轴长度相等，则C 的渐近线方程是4（2020奉贤二模）. 已知P 为双曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为5（2019青浦二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2214x y -=经过抛物线22y px =（0p >）的焦点，则p =5（2019崇明二模）. 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点(0,2)，则该椭圆的标准方程为5（2019松江二模）. 若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为 5（2020闵行二模）. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为5（2020青浦二模）. 双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 6（2017虹口二模）. 已知双曲线2221y x a -=（0a >），它的渐近线方程是2y x =±，则a 的值为6（2019徐汇二模）. 若2i +（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，则圆锥曲线221x y m n+=的焦距是 6（2019虹口二模）. 已知1F 、2F 是椭圆22:13627x y C +=的两个焦点，点P 为椭圆C 上的点，1||8PF =，若M 为线段1PF 的中点，则线段OM 的长为6（2020金山二模）. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a =7（2017黄浦二模）. 已知圆22:(4)(3)4C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m ，0m >，若圆C 上至少存在一点P ，使得90APB ︒∠=，则m 的取值范围是7（2018虹口二模）. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q =7（2018金山二模）. 若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值范围是7（2019崇明二模）. 已知直线1:(3)(4)10l a x a y -+-+=与2:2(3)230l a x y --+=平行，则a =7（2019浦东二模）. 焦点在x 轴上，焦距为6，且经过点的双曲线的标准方程为 7（2019静安二模）．已知双曲线C 与椭圆131222=+y x 的焦点相同，且双曲线C 的一条渐近线方程为x y 25=，则双曲线C 的方程为___________． 7（2020黄浦二模）. 已知双曲线22221x y a b （0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为8（2017嘉定二模）. 已知双曲线1C 与双曲线2C 的焦点重合，1C 的方程为1322=-y x ，若2C 的一条渐近线的倾斜角是1C 的一条渐近线的倾斜角的2倍，则2C 的方程为 8（2017奉贤二模）. 双曲线2213y x -=的左右两焦点分别是1F 、2F ，若点P 在双曲线上，且12F PF ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是 8（2017虹口二模）. 在平面直角坐标系中，已知点(2,2)P -，对于任意不全为零的实数a 、b ，直线:(1)(2)0l a x b y -++=，若点P 到直线l 的距离为d ，则d 的取值范围是 8（2018奉贤二模）. 无穷等比数列{}n a 的通项公式(sin )n n a x =，前n 项的和为n S ，若lim 1n n S →∞=，(0,)x π∈ 则x = 8（2018宝山二模）. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则245lim()n n a a a a →∞=++⋅⋅⋅+，则q = 8（2018静安二模）. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的标准方程为 8（2018崇明二模）. 已知椭圆2221x y a+=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a = 8（2018杨浦二模）. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =8（2019奉贤二模）. 双曲线的右焦点恰好是24y x =的焦点，它的两条渐近线的夹角为2π，则双曲线的标准方程为8（2020徐汇二模）. 已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++=的法向量，则实数a 的值为8（2020浦东二模）. 已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是9（2018普陀二模）. 设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*n N ∈）的公比，且2462018()7f a a a a ⋅⋅⋅=，则22221232018()()()()f a f a f a f a +++⋅⋅⋅+的值为9（2018浦东二模）. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为 米9（2019长嘉二模）. 已知直线1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，若线段AB 中点的坐标为(,2)m ，则线段AB 的长为________9（2020闵行二模）. 已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，⋅⋅⋅，这样依次得线段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、⋅⋅⋅、1n n B A -、n n A B ，记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞= 9. 一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当前拱桥的最高点离水面5米时，量得水面宽度30AB =米，则当水面升高1米后，水面宽度为 米（精确到0.1米）10（2017杨浦二模）. 设A 是椭圆222214x y a a +=-(0)a >上的动点，点F 的坐标为(2,0)-，若满足||10AF =的点A 有且仅有两个，则实数a 的取值范围为10（2017闵行/松江二模）. 已知椭圆2221y x b +=(01)b <<，其左、右焦点分别为1F 、2F ，12||2F F c =，若椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=距离是1||PF 与2||PF 的等差中项，则b 的最大值为10（2018静安二模）. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为 10（2018杨浦二模）. 若为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为 10（2018虹口二模）. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为10（2018金山二模）. 平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =10（2018青浦二模）. 已知直线1:0l mx y -=，2:20l x my m +--=，当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是10（2019杨浦二模）. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点(,0)A a -，(,0)B a ，动点P 满足||||PA PB λ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为10（2019虹口二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，边长为1的正六边形ABCDEF 的中心为坐标原点O ，如图所示，双曲线Γ是以C 、F 为焦点的，且经过正六边形的顶点A 、B 、D 、E ，则双曲线Γ的方程为10（2019黄浦二模）. 设[0,2)θπ∈，若圆222(cos )(sin )x y r θθ-+-=（0r >）与直线2100x y --=有交点，则r 的最小值为10（2020虹口二模）. 已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（a >点O 且倾斜角为60°的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为{}na10（2020金山二模）. 若点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|22,11}B x y x y =-≤≤-≤≤，则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积是 11（2017奉贤二模）. 已知实数x 、y 满足方程22(1)(1)1x a y -++-=，当o y b ≤≤（b R ∈）时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为11（2017宝山二模）. 设向量(,)m x y =，(,)n x y =-，P 为曲线1m n ⋅=(0)x >上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为11（2018黄浦二模）. 已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n n n a a n k a +-=-=-，若124a =，251a =，0k a =，则k =11（2018奉贤二模）. 角α的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2225x y +=的中心，角的终边与曲线2225x y +=的交点A 的横坐标是3-，角2α的终边与曲线2225x y +=的交点是B ，则过B 点的曲线2225x y +=的切线方程是 （用一般式表示）11（2018金山二模）. 已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r =11（2018青浦二模）. 已知曲线:9C y x =--，直线:2l y =，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是 11（2020青浦二模）. 已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所ABC 的三个顶点的横坐标之和为12（2017长宁二模）. 对于给定的实数0k >，函数()k f x x=的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是12（2018普陀二模）. 点1F 、2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：212||2MN MF MF =⋅，则12|2|MF MF +的最大值为12（2018青浦二模）. 已知22sin 1cos 1a a M a a θθ-+=-+（,a θ∈R ，0a ≠），则M 的取值范围是 12（2018长嘉二模）. 若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是 12（2019黄浦二模）. 已知复数集合{i |||1,||1,,}A x y x y x y =+≤≤∈R ，F α221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为12（2019金山二模）. 正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足2||2OP =，若AP mAB nAD =+，其中m 、n ∈R ，则2122m n ++的最大值是 12（2020奉贤二模）. 在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =12（2020普陀二模）. 设双曲线222:1x y aΓ-=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在Γ的右支上，向量是(1,)d a =是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则Γ的焦距为 12（2020金山二模）. 设n ∈*N ，n a 为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，t ∈R ，1222[][][]333n n n na a a b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n t b m -+-的最小值为12（2020杨浦二模）. 已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为12（2020黄浦二模）. 点A 是曲线22y x =+（2y ≤）上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ，则下列结论：（1）||||AP AQ -为定值2（2）||||QB BC +为定值5；（3）||||||PA AB BC ++为定值52；其中正确结论的序号是13（2017普陀二模）. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点(0,1)Q -连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为（ ）A. 22x y =B. 24x y =C. 26x y =D. 28x y =13（2019普陀二模）. 若椭圆的焦点在x 轴上，焦距为263,2)，则该椭圆的标准方程为（ ） A. 22193y x += B. 2213612x y += C. 2213612y x += D. 22193x y += 13（2020静安二模）. 方程222980x xy y -+=的曲线C 所满足的性质为（ ）① 不经过第二、四象限；② 关于x 轴对称；③ 关于原点对称；④ 关于直线y x =对称；A. ①③B. ②③C. ①④D. ①②13（2020普陀二模）. 对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件13（2020虹口二模）. 已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 613（2020松江二模）. 若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为（ ）A. B. C. D. 213（2020宝山二模）. 抛物线24y x =的准线方程是（ ）A. 2x =-B. 1x =-C. 18y =-D. 116y =- 13（2020金山二模）. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:l a x b y c ++0=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14（2017崇明二模）. ||2b <是直线y b =+与圆2240x y y +-=相交的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14（2018青浦二模）. 若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为12，且lim n n S a →∞=，（n ∈*N ），则复数1z a i=+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限14（2018青浦二模）. 若已知极限sin lim0n n n →∞=，则3sin lim sin 2n n n n n →∞--的值为（ ） A. 3- B. 32- C. 1- D. 12- 14（2018奉贤二模）. 设直线l 的一个方向向量(6,2,3)d =，平面α的一个法向量(1,3,0)n =-，则直线l 与平面α的位置关系是（ ）A. 垂直B. 平行C. 直线l 在平面α内D. 直线l 在平面α内或平行 14（2018青浦二模）. 椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（ ）A. (4,0)±B. (0,4)±C. (5,0)±D. (0,3)±14（2019松江二模）. 过点(1,0)与双曲线2214x y -=仅有一个公共点的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条14（2020崇明二模）. 若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 1315（2017崇明二模）. 若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于x 、y 的二元一次方程组152421a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况下列说法正确的是（ ） A. 对任意q R ∈（0q ≠），方程组有唯一解 B. 对任意q R ∈（0q ≠），方程组都无解C. 当且仅当12q =时，方程组有无穷多解D. 当且仅当12q =时，方程组无解 15（2017黄浦二模）. 已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（ ）A. 20x y ±=B. 20x y ±=C. 430x y ±=D. 340x y ±=15（2017静安二模）. 曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下结论正确的个数为（ ）① 曲线C 一定经过原点；② 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；③ △MPN 的面 积不大于8；④ 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内.A. 0B. 1C. 2D. 315（2018奉贤二模）. 已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且12019lg lg 0a a +=，若22()1f x x =+，则122019()()()f a f a f a +++=（ ）A. 2018B. 4036C. 2019D. 403815（2018普陀二模）. 设n S 是无穷等差数列{}n a 前n 项和（*n N ∈），则“lim n n S →∞存在”是“该数列公差0d =”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分也非必要15（2018虹口二模）. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A. B. 4 C.D. 815（2018杨浦二模）. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要15（2019宝山二模）. 已知双曲线22221x y a b-=（0a b >>）的右焦点为(,0)F c ，直线()y k x c =-与双曲线的右支有两个交点，则（ ） A. ||b k a > B. ||b k a < C. ||c k a > D. ||c k a< 15（2019虹口二模）. 已知直线l 经过不等式组21034020x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，且与圆22:16O x y +=相交于A 、B 两点，则当||AB 最小时，直线l 的方程为（ ）A. 20y -=B. 40x y -+=C. 20x y +-=D. 32130x y +-=15（2019金山二模）. 设1F 、2F 是双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，P 是C 上一点，若12||||6PF PF a +=，12PF F ∠是△12PF F 的最小内角，且1230PF F ︒∠=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A. 0x ±=B. 0y ±=C. 20x y ±=D. 20x y ±=15（2019崇明二模）. 已知线段AB 上有一动点D （D 异于A 、），线段，且满足（是大于0且不等于1的常数），则点的运动轨迹为（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 15（2019徐汇二模）. 已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）A. B. C. 2 D. 15（2019奉贤二模）. 已知△的周长为12，，(0,2)C ，则顶点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 15（2019长嘉二模）. 已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆于、两点，点在点与点之间，过点作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是（ ） B CD AB ⊥2CD AD BD λ=⋅λC 1:4360l x y -+=2:1l x =-24y x =P 1l 2l 371611574ABC (0,2)B -A 2211216x y +=(0)x ≠2211216x y +=(0)y ≠2211612x y +=(0)x ≠2211612x y +=(0)y ≠22(2)9x y -+=C (2,0)M -x l C A B A M B M AC BC P PA. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 15（2020闵行二模）. 已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，则12λλ+=（ ）A. 2-B. 12-C. 1D. 1- 15（2020杨浦二模）. 设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅，在动点P在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大15（2020青浦二模）. 记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（1,2,n =⋅⋅⋅），当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，⋅⋅⋅上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，⋅⋅⋅，则lim n n M →∞=（ ）A. 2B. 4C. 3D. 16（2017虹口二模）. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：① 3450a b -+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>；④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞； 正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416（2017徐汇二模）. 过椭圆2214x y m m +=-(4)m >右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）A. 一条射线B. 两条射线C. 双曲线的一支D. 抛物线12B. 数列12,,y y ⋅⋅⋅的“准最大项”存在，且为3π C. 数列12,,y y ⋅⋅⋅的“准最大项”存在，且为4π D. 数列12,,y y ⋅⋅⋅的“准最大项”不存在16（2018虹口二模）. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S = 16（2018长嘉二模）. 在计算机语言中，有一种函数()y INT x =叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y 等于不超过x 的最大整数，如(0.9)0INT =，(3.14)3INT =，已知2(10)7n n a INT =⨯，11b a =，110n n n b a a -=-（*n N ∈，且2n ≥），则2018b 等于（ ）A. 2B. 5C. 7D. 816（2018崇明二模）. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ① 对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ② 已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③ 定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足12|(,)(,)|2d P F d P F a -=（220c a >>）， 则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点； 其中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 316（2019金山二模）. 若实数a 、b 满足01012b a a b a ≥--≤+≤-⎧⎪⎨⎪⎩，则223b ab a -的取值范围是（ ） A. [2,0]- B. [)9,4-+∞ C. 9[,2]4-- D. []9,40-16（2020闵行二模）. 关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ）A. {5}B. {1}-C. (0,1)D. (0,1){1}- 17（2020静安二模）. 已知抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，且0FA FB FC ++=，则称该三角形为“核心三角形”.（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知△ABC 是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2.18（2017崇明二模）. 设1F 、2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，点A 为椭圆C 的左顶点，点B 为椭圆C 的上顶点，且||AB =12BF F ∆为直角三角形；（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2y kx =+与椭圆交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，求实数k 的值；18（2018静安二模）. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12. 圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A .（1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ？请说明理由.18（2018崇明二模）. 已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b-=（,0a b >）的左右焦点，12||6F F =，1(0,)B b -，2(0,)B b .（1）若a =，以(3,4)d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.19（2017浦东二模）. 已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点1P 、2P 、3P 到 直线l 的距离均为d ，求d 的值.19（2017静安二模）. 设点1F 、2F 是平面上左、右两个不同的定点，12||2F F m =，动点P 满足：21212||||(1cos )6PF PF F PF m ⋅+∠= （1）求证：动点P 的轨迹Γ为椭圆；（2）抛物线C 满足：① 顶点在椭圆Γ的中心；② 焦点与椭圆Γ的右焦点重合. 设抛物线C 与椭圆Γ的一个交点为A ，问：是否存在正实数m ，使得△12AF F 的边长为连 续自然数，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.19（2017崇明二模）. 某校兴趣小组在如图所示的矩形域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP 方向释放机器人甲，同时在A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q 处成功拦截机器人甲，若点Q 在矩形域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败；已知18AB =米，E 为AB 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为θ；（1）若60θ=︒，AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？ （结果精确到0.1︒）（2）如何设计矩形域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过 设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形域ABCD 内成功拦截机器人甲？19（2017嘉定二模）. 如图，已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）过点3(1,)2，两个焦点为)0,1(1-F 和2(1,0)F ，圆O 的方程为222a y x =+；（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且斜率为k （0>k ）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当||2AF 、||2BF 、||AB 成等差数列时，求弦PQ 的长；AEBCP19（2017长宁/宝山二模）. 已知抛物线22y px =(0)p >，其准线方程为10x +=，直线l 过点(,0)T t (0)t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19（2018杨浦二模）. 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥，n ∈*N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和； （2）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.19（2018虹口二模）. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.19（2018黄浦二模）. 已知动点(,)M x y 到点(2,0)F 的距离为1d ，动点(,)M x y 到直线3x =的距离为2d，且12d d = （1）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线:(2)(0)l y k x k =-≠交曲线C 于P 、Q 两点，若△OPQ的面积OPQ S ∆=(O 是坐标系原点)，求直线l 的方程.19（2018金山二模）. 已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆Γ交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（点A 在x 轴上方），点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点，记M 、N 两点的纵坐标分别为M y 、N y . （1）求直线PB 的斜率（用k 表示）；（2）求点M 、N 的纵坐标M y 、N y （用1x 、1y 表示）， 并判断M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值，若不 是，请说明理由.19（2018青浦二模）. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的一个顶点坐标为(2,0)A ，且长轴长是短轴长的两倍. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)D 且斜率存在的直线交椭圆于G 、H ，G 关于x 轴的对称点为G '，求证：直线G H '恒过定点(4,0).19（2018浦东二模）. 已知双曲线22:1C x y -=.（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点M 、N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.19（2018普陀二模）. 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s 号线线路示意图如图所示，已知M 、N 是东西方向主干道边两个景点，P 、Q 是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O 均为52km ，线路AB 段上的任意一点到景点N 的距离比到景点M 的距离都多10km ，线路BC 段上的任意一点到O 的距离都相等，线路CD 段上的任意一点到景点Q 的距离比到景点P 的距离都多10km ，以O 为原点建立平面直角坐标系xOy .（1）求轨道交通s 号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB 段上需建一站点G 到景点Q 的距离最近，问如何设置站点G 的位置？19（2019徐汇二模）. 2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，、两个信号源相距10米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为45°，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒（注：信号每秒传播米），在时刻时，测得机器鼠距离点为4米. （1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在 位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机 器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？19（2019浦东二模）. 浦东一模之后的“大将”洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习，2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假设地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆，已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面距离为2500万米.（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；（2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中、分别为椭圆长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”，求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞.（精确到小数点后一位）A B O AB O l AB l A B 08v 0v 0t O O AB x 0t l P 700R F C A B C A O ab a b L k k20（2017虹口二模）. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b； （1）求椭圆C 上的点M 的“伴随点”N 的轨迹方程； （2）如果椭圆C 上的点3(1,)2的“伴随点”为13(,)22b，对于椭圆C 上的任意点M 及它的 “伴随点”N ，求OM ON ⋅的取值范围；（3）当2a =，b =l 交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 的“伴随点”分别是P ，Q ，且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，求OAB ∆的面积；20（2017闵行/松江二模）. 设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A 、B ，与圆222(5)x y r -+=(0)r >相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.（1）若△AOB 是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长； （2）若4r =，求直线l 的方程；（3）试对(0,)r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）.20（2017普陀二模）. 已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点；（1）若(0,C 且||2PC =，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且||PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为(1,)n k =，求AOB ∆面积的最大值；20（2017黄浦二模）. 设椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>的左顶点为A ，中心为O ，若椭圆M 过点11(,)22P -，且AP PO ⊥. （1）求椭圆M 的方程；（2）若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为1k 、2k 的直线交椭圆M 于D 、E 两点，且121k k =，求证： 直线DE 恒过一个定点.20（2017徐汇二模）. 如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>有相同的焦点1F 、2F ，它们在y 右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=，将直线AB 左侧的椭圆部分（含A 、B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A 、B 两点）记为曲线2W ，以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)P P P x y ，交2W 于点(,)M M M x y （点M 在第一象限），设此时11F M mF P =. （1）求2W 的方程； （2）证明：1P x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系； （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求△1MF N 的面积S 的取值范围.。
2020年上海各区高三二模分类汇编-5解析几何(教师版)
2020年二模汇编——解析几何一、填空题【奉贤2】已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是【答案】2【解析】考察圆的参数方程, ()2264,2x y r -+==【松江3】已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为 . 【答案】24y x =【解析】动点到定点的距离等于它到定直线的距离，因为定点不在定直线上，所以的轨迹是抛物线，为焦点，为准线。
因为22y px =的焦点是(,0)2p，即，所以2p =，进而抛物线方程为24y x =.【闵行3】若直线01=++by ax 的方向向量为()1,1，则此直线的倾斜角为_______【答案】4π 【解析】()4,1tan ,1,1πθθ====k【奉贤4】已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为【答案】【解析】考察焦点三角形的面积21tan222P P b c y y θ=⋅⋅⇒=代入若原椭圆方程解得P x =，所以P点坐标为【宝山4】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴与虚轴长度相等，则C 的渐近线方程是 。
【答案】y x =±P (1,0):1l x =-P (1,0):1l x =-(1,0)【解析】由题意知by x a=±，a b =，所以y x =±。
【黄浦4】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案】6-【解析】60,6a a +==-【青浦5】双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是__________．【答案】2【解析】双曲线22144x y -=的焦点为()±，渐近线方程为y x =±，由点到直线距离公式得距离2d =.【金山6】已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a = .【答案】12【解析】2221(0)x y a a -=>的渐近线方程为：x y a =±，12,2x y x a a ===【浦东6】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是 ．【答案】相交【解析】直线l 的一般方程是10x y -+=，圆O 的一般方程是221x y +=，圆心到直线距1<，直线l 与圆O 的位置关系是相交【长宁6】直线2:12x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t 是参数）的斜率为 .【答案】2【解析】由直线的参数方程定义可知直线方程为()122y x =-+-，所以2k =【黄浦7】已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线:210l y x =+， 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为【答案】221520x y -= 【解析】22222222,5,5255,1520b x yc c a b a a a ===+==⇒=-= 【浦东8】已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________. 【答案】12222=-y x【解析】抛物线x y 42=的焦点为()10，，设双曲线的方程为22x y λ-=，即221x y λλ-=，则1+12λλλ=⇒=，所以双曲线的方程是12222=-y x 【徐汇8】已知直线()()2130a x a y ++--=的方向向量是直线()(1)2320a x a y -+++=的法向量,则实数a 的值为 .【答案】1±【解析】由题意得两直线垂直()()()()2112+3=0a a a a ∴+-+-，()()1223=0a a a ∴-+--，所以()()110a a ---=，所以1a =±【杨浦8】已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 是参数），曲线2C 的参数方程为15cos 5sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为 【答案】556 【解析】 ()51:,052:2221=++=+-y x C y x C 5501---=∴d 54=55653251652222==-=-=∴d r l 【虹口10】已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（3a >）的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60o的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，则椭圆C 的长轴长为【答案】232+【解析】依据题意画出大致图像：因为1212MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，即等价为1290F MF ︒∠=211tan 3,22M F MF S b y ∴===⨯y =则M ⎫，代入椭圆方程得：()()22233133a a a +=--，化简可得：42630a a --=解得)2231a =+=22a ∴=【嘉定11】设p 是双曲线2218y x -=上的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩t （为参数)与圆()2231x y -+=相交与A ,B 两点，则PA PB u u u r u u u rg 的最小值是【答案】3【解析】如图所示，运用极化恒等式有：PA PB u u u r u u u rg 222222=PC PC 1213CA -=-≥-=【青浦11】已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所在直线的ABC ∆的三个顶点的横坐标之和为__________．【答案】10-【解析】令()()()222112233,,,,,A x x B x x C x x.令22212121ABx x k x x x x -==+=-ABC中22313131ACx x k x x x x -==+==-223232325BCx x k x x x x --==+==-由此可得出13210x x x ++=-.【黄浦12】点A是曲线y =（2y ≤）上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ，则下列结论：（1）||||AP AQ -为定值22； （2）||||QB BC +为定值5；（3）||||||PA AB BC ++为定值52+； 其中正确结论的序号是 【答案】①②【解析】（1）由题意可知，曲线22y x =+（2y ≤）是双曲线22122y x -=的上半支，根据双曲线定义可知，正确（2）曲线28x y =的准线2y =-，故正确（3）||||||||||5||5||||522PA AB BC PA AB QB PA AQ ++=++-=+-=+,故错误【奉贤12】在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m = 【答案】51-+，12-，16-【解析】12||2122m AB m pm p m<∴=-∴=∴=Q 抛物线的准线方程为14x m =-由抛物线的定义知1||||4AF m m =+于是条件可转化为12(2)||64m m m-++= 当0m >时, 25481012m m m +-=∴=-+(舍负) 当0m <时, 21128106m m m ++=∴=-或12m =- 【杨浦12】已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为【答案】230x y -=【解析】由题意可知A 和B 两点既在1Γ又在2Γ上，所以到两准线的距离相等，由点到直线距离公式可知51213x yx +=，由抛物线定义以及焦点位置和准线方程并结合图像知AB 斜率为正，所以AB 方程为230x y -=二、选择题【宝山13】抛物线24y x =的准线方程是（ ）【A 】2x =- 【B 】1x =- 【C 】18y =-【D 】116y =- 【答案】D【解析】 由24y x =得到214x y =，则其准线方程为116y =-. 【虹口13】已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ） 【A 】2 【B 】4 【C 】5 【D 】6 【答案】B【解析】抛物线24y x =的焦点坐标()1,0，抛物线上24y x =的一点M 到该抛物线的焦点F 的距离，则M 到准线的距离为5，则点M 到y 轴的距离为：4，故答案为：4【松江13】若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则OP 的最小值为（ ）【A 】2【B【C 【D 】2 【答案】B【解析】OP 的最小值为原点O 到直线20x y -+=的距离，即：min d ==【崇明14】若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（ ）【A 】1- 【B 】1 【C 】2 【D 】13 【答案】B【解析】由()20,2=⇒c F ，所以1432=⇒=+=n n c ，故选B【闵行15】已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于,M N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，则12λλ+=（ ） 【A 】2- 【B 】12-【C 】1【D 】1- 【答案】D【解析】设()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=m E y x N y x M my x l 1,0,,,,,1:2211 112114,4044412121221*********-=+⋅--=+-+-=+-==+∴=--⇒⎩⎨⎧=+=y y y y m y m y y m y y y m y y my y xy my x λλ【青浦15】记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=L ，当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，L 上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，L ，则lim n n M →∞=（ ）．【A 】2 【B 】4 【C 】3【D 】【答案】D【解析】令2222cos ,sin 441x ny n θθ==+，2cos ,x y θθ∴==2cos ),x y θθθϕ∴+=+=+lim n n n μ→∞→∞∴==【杨浦15】设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ）【A 】 逐渐变大 【B 】 逐渐变小 【C 】 先变大后变小 【D 】 先变小后变大 【答案】B【解析】令()()()()()202020202100520,5,0,5,,y x y x s F F y x P +--+=∴-595591452020202020+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++=x x x y x s ，可知选B 三、解答题【宝山20】已知直线:l y kx m =+ 和椭圆22:142x y Γ+=相交于点()()1122,,,A x y B x y .（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程； （2）点)C在Γ上，若0m =，求ABC ∆面积的最大值；（3）如果原点O 到直线l的距离是3，证明：AOB ∆为直角三角形。
2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜率之积为定值问题
2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜率之积为定值问题定值问题的本质是动中生静，是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量不变的问题.本文从2020年青岛二模的题目出发，总结在解析几何中四种斜率乘积为定值的情况，然后通过一个题目展示条件隐藏的斜率乘积为定值的题目，将数学运算的学科素养能力进一步提升。
关键词：斜率之积定值数学运算一、斜率之积问题的课本溯源：普通高中课程标准试验教科书《数学》(选修 2-1) 人教 A版的探究题：点的坐标分别是直线相交于点 , 且它们的斜率之积是 , 试求点的轨迹方程, 并由点的轨迹方程判断轨迹的形状。
思考1 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（），则该点的轨迹是什么？思考2 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（除之外的负值），则该点的轨迹是什么？思考3 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（正数），则该点的轨迹是什么？通过对课本溯源以及三个问题的思考，我们可以得出一般性结论：斜率定值为，则轨迹为以为直径的圆；斜率定值为除了的负值，则轨迹为椭圆；斜率定值为正数，则轨迹为双曲线。
斜率之积为定值，可以得到唯一确定的圆锥曲线，因此该定值应该是于圆锥曲线的离心率是有联系的。
下面我们从2020年青岛二模中的题目出发，已知圆锥曲线方程去探究斜率乘积的定值问题。
二、模拟题中的问题呈现及变式探究（2020年青岛二模节选）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为 .1.求椭圆的标准方程；2.若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为证明： .解析：（1）椭圆方程为，过程略。
（2）设 ,则．设由点在椭圆上，得:① ，②两式相减并整理，得即模拟题的解题溯源：椭圆 (a＞b＞0)上任一动点 P( x，y)到椭圆任意一条直径(过椭圆中心的弦)的两个端点的斜率乘积等于多少?解：设椭圆 (a＞b＞0)的任意一条直径为 ,∵是直径∴点关于原点称．设 ,则．由点在椭圆上，得:① ②两式相减并整理，得即点拨：对于本类证明，采用两式相减消参，借助直线的斜率公式得出结果。
专题05 解析几何(解答题10种考法)讲义(原卷版)2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练
(1)求 C 的方程；
(2)证明：
MF1 MF2
NF1 NF2
为定值.
考法七 存在性
【例
7】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆 C :
【变式】
1．（2023·云南·校联考三模）如图，已知椭圆 : x2 y2 1a b 0 的上、下顶点为 M 0,1, N 0, 1 ，右
a2 b2 顶点为 P ，离心率为 3 ，直线 x a 和 y b 相交于点 A ，过 N 作直线交 x 轴的正半轴于 B 点，交椭圆于 C
2 点，连接 MC 交 AP 于点 D .
S2 S3 S2
S1 S2
S1
为定值.
3.（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知抛物线 T 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过
2,1
，
1,
1 4
，
2,
2
，
3,
2
四点中的两点.
(1)求抛物线 T 的方程：
(2)已知圆 x2 y 22 3 ，过点 P m, 1 m 3 作圆的两条切线，分别交抛物线 T 于 A x1, y1 ， B x2, y2
10, 0 ，线段 AB 的垂直平分线与直线 AC 交于点 D ．
(1)求点 D 的轨迹 E 的方程；
(2)设轨迹 E 与 x 轴分别交于 A1, A2 两点（ A1在 A2 的左侧），过 R 3, 0 的直线 l 与轨迹 E 交于 M , N 两点，直
线 A1M 与直线 A2 N 的交于 P ，证明： P 在定直线上．
3（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的焦距为
高三数学二轮复习研讨---解析几何复习策略课件
题号 4 10 20
题号 4 10 20
题号 5 14 20
题型 选择 选择 解答 平均值
题型 选择 选择 解答 平均值
题型 选择 填空 解答 平均值
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且OM OA OB (, R)
，证明 2 2为定值.
提炼：条件中涉及到直线与曲线（尤其是椭圆和双曲线）的两个交点，且
另一点在直线上或曲线上，向量条件涉及的位置关系或数量关系不太明确，
在联立方程的基础上通过向量条件坐标化得到未知量所在的等量关系（坐
标之间的关系、斜率或截距的关系、曲线中基本量之间的关系），从而求 解
解析几何复习策略
主要内容： 1、近三年高考圆锥曲线试题回顾及认识； 2、学生存在问题、难点分析； 3、圆锥曲线试题突破策略； （1）程序化是解决圆锥曲线试题的基本方法； （2）简化运算的基本途径及思路; （3）向量条件的灵活应用； （4）几类典型试题的解决策略； 4、圆锥曲线三轮复习策略；
2013年理科试题
抛物线y 2x2的准线方程为（）
A.y 1 B.x 1 C.y 1 D.x 1
8
8
4
4
细节2：
文科0班26位学生15人出错，关键是没有注意到双曲线的焦点在Y轴上
细节3： 细节4：求动点的轨迹方程后没有注意轨迹方程中变量的范围； 细节5：直线方程与双曲线方程或抛物线方程联立后没有考虑二次项系数是否为0； 细节6：求最值的过程中进行换元没有注意到新变量的取值范围；
（2）通过化简复杂的向量条件，明确向量条件隐含的位置关系或数量关系
2021年上海市高三数学二模分类汇编：解析几何
1（2021宝山二模）. 抛物线28y x =的焦点到准线的距离为 1（2021奉贤二模）. 经过点(2,4)的抛物线2y ax =焦点坐标是4（2021普陀二模）. 曲线24y x =的顶点到其准线的距离为6（2021虹口二模）. 已知P 为抛物线2:2C y px =（0p >）上一点，点P 到抛物线C 的焦点的距离为7，到y 轴的距离为5，则p =6（2021徐汇二模）. 双曲线22149x y -=的焦点到渐近线的距离等于9（2021杨浦二模）. 直线:(2)210l n x y n +-+-=（n ∈*N ）被圆22:(1)16C x y -+=所截得的弦长为n d ，则lim n n d →∞=9（2021青浦二模）. 已知中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为F ，直线1y x =-与该双曲线交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 9（2021闵行二模）. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，2PF x ⊥轴，且2||PF 是1||PF 与12||F F 的等差中项，则双曲线的渐近线方程为10（2021虹口二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，定义11(,)A x y 、22(,)B x y 两点的折线距离1(,)|d A B x =-212|||x y y +-，设点22(,)P m n ，(,)Q m n ，(0,0)O ，(2,0)C ，若(,)1d P O =，则(,)d Q C 的取值范围10（2021嘉定二模）. 已知点A 、B 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点，点P 是该双曲线上异于A 、B 的另外一点，若△ABP 是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是11（2021松江二模）. 已知曲线:2C xy =（12x ≤≤），若对于曲线C 上的任 意一点(,)P x y ，都有12()()0x y c x y c ++++≤，则12||c c -的最小值为 11（2021青浦二模）. 已知直线:1l y x =-+与x 轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左到右依次记为1P ，2P ，⋅⋅⋅，1n P -，过这些分点，分别作x 轴的垂线，与直线l 的交点依次为1Q ，2Q ，⋅⋅⋅，1n Q -，从而得到个直角三角形△11Q OP ，△212Q PP ，⋅⋅⋅，△112n n n Q P P ---，若这些三角形的面积之和为n S ，则lim n n S →∞=11（2021长宁二模）. 设1F 、2F 分别为椭圆22:13x y Γ+=的左、右焦点，点A 、B 在椭圆Γ上，且不是椭圆的顶点，若120F A F B λ+=，且0λ>，则实数λ的值为12（2021崇明二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(3,)P a -作圆2220x y x +-=的两条切线，切点分别为11(,)M x y 、22(,)N x y ，若21212121()()()(2)0x x x x y y y y -++-+-=，则实数a 的值等于12（2021徐汇二模）. 已知实数a 、b 使得不等式2||ax bx a x ++≤对任意[1,2]x ∈都成立，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)a b 形成的区域记为Ω，若圆222x y r +=上的任一点都在Ω中，则r13（2021虹口二模）. 双曲线2213y x -=的两条渐近线的夹角的大小等于（ ） A. 6π B. 3π C. 23π D. 56π13（2021松江二模）. 经过点(1,1)，且方向向量为(1,2)的直线方程是（ ）A. 210x y --=B. 230x y +-=C. 210x y -+=D. 230x y +-=14（2021普陀二模）. 设716m <<，则双曲线221167x y m m+=--的焦点坐标是（ ） A. (4,0)± B. (3,0)± C. (0,5)± D. (0,4)±15（2021青浦二模）. 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过点P 的直线交抛物线2y x =于A 、B 两点，且||||PA PB =，则称点P 为“友善点”，那么下列结论中正确的是（ ） A . 直线上的所有点都是“友善点” B . 直线上仅有有限个点是“友善点”C . 直线上的所有点都不是“友善点”D . 直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“友善点”14（2021浦东二模）. 以圆22430x y x +++=的圆心为焦点的抛物线标准方程为（ ）A . 24y x =B . 24y x =-C . 28y x =-D . 28y x =16（2021虹口二模）. 在平面上，已知定点(2,0)A ，动点(sin ,cos )P αα，当α在区间[,]44ππ-上变化时，动线段AP 所形成图形的面积为（ ）A.4πB. 3πC.6π D. 4π 16（2021闵行二模）. 在直角坐标平面上，到两条直线0y =与y x =的距离和为3的点的轨迹所围成的图形的面积是 （ ）A. 18B.C. 36D.14（2021静安二模）. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点.（1）求过点F 、O ，并且与抛物线28y x =的准线相切的圆的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 的横坐标的取值范围.16（2021静安二模）. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P x y 绕坐标原点O 旋转角θ至点(,)P x y '''.（1）试证明点的旋转坐标公式：cos sin sin cos x x y y x y θθθθ'=-⎧⎨'=+⎩；（2）设(0,2)θπ∈，点(0,1)P -绕坐标原点O 旋转角θ至点1P ，点1P 再绕坐标原点O 旋 转角θ至点2P ，且直线12P P 的斜率1k =-，求角θ的值；（3）试证明方程236x xy +=的曲线C 是双曲线，并求其焦点坐标.19（2021金山二模）. 已知抛物线2:8y x Γ=的焦点为F ，半径为1的圆M 的圆心位于x 轴的正半轴上，过圆心M 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点，如图所示. （1）若圆M 经过抛物线Γ的焦点F ，且圆心位于焦点的右侧，求圆M 的方程； （2）是否存在定点M ，使得11||||MA MB +为定值，若存在，试求出该定点M 的坐标， 若不存在，则说明理由.20（2021黄浦二模）. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的右顶点为(,0)A a ，焦距为2c（0c >），左、右焦点分别为1F 、2F ，00(,)P x y 为椭圆C 上的任一点. （1）试写出向量1PF 、2PF 的坐标（用含0x 、0y 、c 的字母表示）；（2）若12PF PF ⋅的最大值为3，最小值为2，求实数a 、b 的值；（3）在满足（2）的条件下，若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点（M 、N 与椭圆的左右顶点不重合），且以线段MN 为直径的圆经过点A ，求证：直线l 必经过定点，并求出定点的坐标.20（2021徐汇二模）. 已知椭圆22163x y +=上有两点(2,1)P -及(2,1)Q -，直线:l y kx b =+与椭圆交于A 、B两点，与线段PQ 交于点C （异于P 、Q ）. （1）当1k =且12PC CQ =时，求直线l 的方程； （2）当2k =时，求四边形PAQB 面积的取值范围；（3）记直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率依次为1k 、2k 、3k 、4k ，当0b ≠且线段AB 的中点M 在直线y x =-上时，计算12k k ⋅的值，并证明：2212342k k k k +>.20（2021青浦二模）. 已知A 、B 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右顶点，O 为坐标原点，||6AB =，点5(2,)3在椭圆C 上，过点(0,3)P -的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线l 的倾斜角θ的取值范围； （3）当直线l 的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围.20（2021浦东二模）. 已知椭圆22:12x C y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，过点(0,2)A 的直线l 交椭圆C 于不同的两点P 、Q . （1）若直线l 经过2F ，求△1F PQ 的周长；（2）若以线段PQ 为直径的圆过点2F ，求直线l 的方程； （3）若AQ AP λ=，求实数λ的取值范围.20（2021普陀二模）. 已知曲线22:3412x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过1F 且与Γ相交于A 、B 两点. （1）求12F AF 的周长；（2）若以2F 为圆心的圆截y 轴所得的弦长为22，且l 与圆2F 相切，求l 的方程； （3）设l 的一个方向向量(1,)d k =，在x 轴上是否存在一点M ，使得||||MA MB =且5tan 5MAB ∠=？若存在，求出M 的坐标，若不存在，请说明理由.20（2021长宁二模）. 设双曲线22:13x y Γ-=的上焦点为F ，M 、N 是双曲线Γ上的两个不同的点.（1）求双曲线Γ的渐近线方程； （2）若||2FM =，求点M 纵坐标的值；（3）设直线MN 与y 轴交于点(0,)Q q ，M 关于y 轴的对称点为M '，若M '、F 、N 三点共线，求证：q 为定值.20（2021松江二模）. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 交抛物线于不同的A 、B 两点.（1）若直线l 的方程为1y x =-，求线段AB 的长；（2）若直线l 经过点(1,0)P -，点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：A '、F 、B 三点共线； （3）若直线l 经过点(8,4)M -，抛物线上是否存在定点N ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.20（2021奉贤二模）. 曲线2211x y a -=与曲线22149x y a +=（0a >）在第一象限的交点为A ，曲线C 是2211x y a -=（1A x x ≤≤）和22149x y a+=（A x x >）组成的封闭图形，曲线C 与x 轴的左交点为M 、右交点为N .（1）设曲线2211x y a -=与曲线22149x y a+=（0a >）具有相同的一个焦点F ，求线段 AF 的方程；（2）在（1）的条件下，曲线C 上存在多少个点S ，使得NS NF =，请说明理由； （3）设过原点O 的直线l 与以(,0)D t （0t >）为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1， 切点为T ，直线l 与曲线C 在第一象限的两个交点为P 、Q ，当22211OT OPOQ+=对任意直线l 恒成立，求t 的值.20（2021杨浦二模）. 焦点为F 的抛物线21:4C y x =与圆222:(1)16C x y -+=交于A 、B两点，其中A 点横坐标为A x ，方程2224,(1)16,AAy x x x x y x x ⎧=≤⎪⎨-+=>⎪⎩的曲线记为Γ，P 是曲线Γ上一动点.（1）若P 在抛物线上且满足||3PF =，求直线PF 的斜率；（2）(,0)T m 是x 轴上一定点，若动点P 在Γ上满足A x x ≤的范围内运动时，||||PT AT ≤恒成立，求m 的取值范围；（3）Q 是曲线Γ上另一动点，且满足FP FQ ⊥，若PFQ 的面积为4，求线段PQ 的长.20（2021闵行二模）. 如图，已知椭圆22:14x y Γ+=的左右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆Γ上异于A 、B 的一点，直线:4l x =，直线AP 、BP 分别交直线l 于两点C 、D ，线段CD 的中点为E .（1）设直线AP 、BP 的斜率分别为AP k 、BP k ，求AP BP k k ⋅的值；（2）设△ABP 、△ABC 的面积分别为1S 、2S ，如果212S S =，求直线AP 的方程； （3）在x 轴上是否存在定点(,0)N n ，使得当直线NP 、NE 的斜率NP k 、NE k 存在时，NP NE k k ⋅为定值？若存在，求出NP NE k k ⋅的值，若不存在，请说明理由.20（2021宝山二模）. 设平面直角坐标系中的动点P 到两定点(2,0)-、(2,0)的距离之和为42，记动点P 的轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；（2）过Γ上的点Q 作圆221x y +=的两条切线，切点为1Q 、2Q ，直线12Q Q 与x 、y 轴的交点依次为异于坐标原点O 的点3Q 、4Q ，试求△34Q OQ 的面积的最小值；（3）过点(2,0)且不垂直于坐标轴的直线l 交Γ于不同的两点M 、N ，线段MN 的垂直 平分线与x 轴交于点D ，线段MN 的中点为H ，是否存在λ（24λ>），使得0213190||02||DH MN λ=成立？请说明理由.20（2021崇明二模）. 双曲线222:1y C x b-=（0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，点B是双曲线C 上一点.（1）当2b =时，求双曲线两条渐近线的夹角； （2）若直线BF 的倾斜角为4π，与双曲线C 的另一交点为D ，且||8BD =，求b 的值； （3）若0AF BF ⋅=，且||||AF BF =，点E 是双曲线C 上位于第一象限的动点， 求证：2EFA EAF ∠=∠.20（2021嘉定二模）. 已知抛物线22y px Γ=：的焦点为(2,0)F ，点P 在抛物线Γ上.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若||5PF =，求点P 的坐标；（3）过点(,0)T t （0t >）作两条互相垂直的直线分别交抛物线Γ于A 、B 、C 、D 四点，且点M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点，求△TMN 的面积的最小值.20（2021虹口二模）. 已知椭圆C 的方程为2212x y +=.（1）设(,)M M M x y 是椭圆C 上的点，证明：直线12M M x xy y +=与椭圆C 有且只有一个公共点；（2）过点(1,2)N 作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A 、B ，点N 在直线AB 上的射影为点Q ，求点Q 的坐标；（3）互相垂直的两条直线1l 与2l 相交于点P ，且1l 、2l 都与椭圆C 只有一个公共点，求点P 的轨迹方程.。
2021年高三二模汇编——解析几何
高三二模汇编——解析几何一、填空题1.（2015崇明二模文6理6）设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 ． 【答案】0323=--y x ；2.（2015崇明二模文12理11）已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离等于 ．【答案】332； 3. （2015奉贤二模文6理6）以抛物线x y 42=的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．【答案】()4122=+-y x ；4. （2015奉贤二模理11）关于x 的实系数一元二次方程2240x px -+=的两个虚根1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．【答案】4；5. （2015奉贤二模文13）设12,F F 是曲线()0,012222>>=+n m ny m x 的两个焦点，曲线上一点与12,F F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则=n ____________．【答案】4或5；6. （2015虹口二模文8）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________. 【答案】67. （2015虹口二模理11文11）如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B角形，则双曲线的实轴长为__________.18. （2015虹口二模文13）已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-8P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.【答案】39．（2015黄浦二模文8理8）已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是 ．【答案】7(2)3(3)0 7(1)3(4)0x y x y 也可以是；24第6题10．（2015黄浦二模文9理9）已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 ． 【答案】3y x ；11．（2015静安二模文9）圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离为 ．【答案】1；12.（2015静安二模理9）过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为 ． 【答案】210x y -+=；13.（2015闵行二模理11文11的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b+=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .12；徐汇二模理3的一个法向量是(1,3n =-所在平面上的定点P ，若存在以点是 ． 【答案】2π 19.（2015闸北二模文9理8）从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________． 【答案】b a -20．（2015长宁二模文2理2）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4二、选择题1. （2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥， BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分【答案】D2. （2015虹口二模理18）已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点， F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ， 则222123S S S ++的值为（ ）A.3B.4C.6D.9【答案】A3．（2015浦东二模理17文17）若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0 )(B 1)(C 2 )(D 1或2 【答案】C4．（2015长宁二模文17）设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为……………………………………………………………………………（ ）A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．x y 22±=D ．x y 21±= 【答案】C三、解答题1.（2015崇明二模理22文22）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；βαP BADC（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x根据题意得1==c b 所以2222=+=c b a 所以椭圆方程为1222=+y x （2）根据题意得直线方程为1:-=x y l解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+11222x y y x 得Q P ,坐标为)31,34(),1,0(-计算324=PQ 点O 到直线PQ 的距离为22 所以，32=∆OPQ S（3）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<<m m M ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线的方程为)0)(1(≠-=k x k y ．Q P ,坐标为),(),,(2211y x y x 由⎩⎨⎧-==+)1(2222x k y y x 得，0224)21(2222=-+-+k x k x k 222212221212,214kk x x k k x x +=⋅+=+- 计算得：),(),,(2211y m x MQ y m x MP -=-=，其中021≠-x x 由于以,MP MQ MQ MP =计算得421x x m += 即2221214kk x x m +=+=，)0(≠k 所以210<<m2.（2015奉贤二模理21文21）平面直角坐标系中，点()0,2-A 、()0,2B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，4321-=k k ，点P 的轨迹为曲线1C ．双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点N M ,为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4k ． （1）求曲线1C 的方程；(5分)（2）如果04321≥+k k k k ，分别求双曲线2C 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分) 【答案】（1）()22123,1222443y y x y k k x x x =⋅=-∴+=≠±+- 5分 （2）设双曲线方程为()222103y x b b-=> 6分 ()00,Q x y 在双曲线上，所以()22002103y x b b-=> 200034220003333y y y k k x x x b +-=== 8分 2330,024b b∴-+≥∴<< 9分330,024b b-+≥∴<≤ 10分焦距是 12分∴ 14分3.（205虹口二模文22理22）已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）因为2QF 的垂直平分线交1QF 于点P . 所以2PF PQ =，从而1211122,PF PF PF PQ FQ F F +=+==>= 所以，动点P 的轨迹C 是以点12F F 、为焦点的椭圆 设椭圆的方程为12222=+by a x ，则22,222==c a ，1222=-=c a b ， 故动点P 的轨迹C 的方程为 2212x y += ……5分 （2）设1122(,),(,)M a b N a b 1122(0,0,0,0)a b a b >><<，则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OF +=，则121222,20a a b b +=-+= ② 由①、② 解得112215,,24a b a b ===-= ……8分 所以直线MN 的斜率MNk 2121b b a a -==- . ……10分（3）设直线l 的方程为1,3y kx =-则由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得229(21)12160,k x kx +--= 由题意知，点1(0,)3S -在椭圆C 的内部，所以直线l 与椭圆C 必有两个交点，设11(,)A x y 、 22(,)B x y ，则121222416,.3(21)9(21)k x x x x k k +==-++ ……12分假设在y 轴上存在定点(0,)T m 满足题设，则1122(,),(,),TA x y m TB x y m =-=- 因为以AB 为直径的圆恒过点T , 所以1122(,)(,)0,TA TB x y m x y m ⋅=-⋅-= 即1212()()0()x x y m y m +--=*……14分 因为112211,,33y kx y kx =-=-故()*可化为2121212221212()121(1)()()339x x y y m y y m k x x k m x x m m +-++=+-+++++2222222216(1)1421()9(21)33(21)3918(1)3(325)9(21)k k k m m m k k m k m m k +=--+⋅+++++-++-=+由于对于任意的R k ∈,0,TA TB ⋅=恒成立，故2210,3250m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得 1m =. 因此，在y 轴上存在满足条件的定点T ，点T 的坐标为(0,1). …… 16分4.（2015黄浦二模理23）已知点()1F、)2F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=，设动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围； （3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆 恒相切，并写出定圆的方程．【答案】解(1)依据题意，动点(,)P x y4=.又12||4F F =，因此，动点(,)Px y 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且24,2a b c =⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+．GH 是直径，∴NH NG =-．又||=1NG ，22=()()=()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅-- ∴22200||(3)(0)MN x y =-+-＝201(6)72x --． 由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤．2221||25||||24MN MN NG ∴≤≤≤-≤，0．∴MG MH ⋅的取值范围是024MG MH ≤⋅≤．(另解21||25MN ≤≤：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN ≤≤．)(3)证明 因A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点，由曲线C 关于原点对称，可知直线AB 也关于原点对称．若直线AB 与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线AB 的距离(d )是定值即可． 设12||,||OA r OB r ==，点11(cos ,sin )A r r θθ，则 2222(cos(),sin())(sin ,cos )22B r r r r ππθθθθ++=-． 利用面积相等，有11||||||22OA OB AB d ⋅=⋅，于是2221222122211111r r d r r r r ==++． 又A B 、两点在曲线C 上，故222211222222cos sin 1,42sin cos 1.42r r r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得22212222cos sin 1,42sin cos 1.42r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩因此，22121134r r +=． 所以，243d =，即d为定值3．所以，直线AB 总与定圆相切，且定圆的方程为：2243x y +=． 5.（2015黄浦二模文23）已知点12(F F 、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF ．设动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围；（3）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．【答案】解(1)依据题意，动点(,)P x y4=.又12||4F F =，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且24,2a b c =⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+．GH 是直径，∴NH NG =-．又||=1NG ，22=()()=()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅-- ∴22200||(3)(0)MN x y =-+-＝201(6)72x --． 由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤．2221||25||||24MN MN NG ∴≤≤≤-≤，0．∴MG MH ⋅的取值范围是024MG MH ≤⋅≤．(另解21||25MN ≤≤：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN≤≤．)(3)证明 设原点到直线AB 的距离为d ，且A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点．01若点A 在坐标轴上，则点B 也在坐标轴上，有11||||||22OA OB AB d =⋅，即22233d a b==+．02若点(,)A A A x y 不在坐标轴上，可设1:,:OA y kx OB y x k==-．由221,42.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 得222224,124.12A A x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩设点(,)B B B x y ，同理可得，222224,24.2B B k x k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩于是，221||212k OA k +=+，221||22k OB k +=+，2222223(1)||(2)(12)k AB OA OB k k +=+=++ ． 利用11||||||22OA OB AB d =⋅，得23d =． 综合0012和可知，总有23d =，即原点O 到直线AB 的距离为定值23．(方法二：根据曲线C 关于原点和坐标轴都对称的特点，以及OA OB ⊥，求出A B 、的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)6.（2015静安二模理22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时， 求直线AB 的方程．【答案】解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分 （2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=． 即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，………5分 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．……………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）（方法1）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A A k k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于22214AMB S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+ 22222264(1)39225688(18)(+8)818658k k k k k+==-≥+++……………………………………………14分或()2222264(1)18+82k k k +≥++222264(1)2568181(1)4k k +==+，当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝1时等号成立， 此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169．……………………………………… 15分AB 所在直线方程为y x =． ………………………………………………… 16分 （方法2）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，，因为点A 在椭圆C 上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+=（i ）又2288x y +=（ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+，………………………………………………11分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.……………………………14分当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. 又0k > AB 所在直线方程为y x =．………………………………………………… 16分7.（2015静安二模文22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MOOA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积为4147时， 求直线AB 的方程．【答案】解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分 （2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=． 即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，……………5分 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．…………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A A k k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于22214AMB S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)32(18)(+8)7k k k +==+……………14分解得22221(61)(6)066k k k k --=⇒==或即k k ==又0k >，所以直线AB方程为y =或y =………………………………… 16分8.（2015闵行二模理22）已知两动圆2221:(F x y r+=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足0MA MB ⋅=． （1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM △面积S 的最大值．【答案】[解]（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -……………6分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………8分 122814km x x k-+=+③，21224414m x x k -⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………10分证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……2分 下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；………………………8分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组： 221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………10分（3）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -由第（2）小题的③④代入，整理得：2322514S k =⋅+……………………………12分 因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设2t ≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+………………14分92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)．所以ABM △面积S 的最大值为6425． …………………………………………16分9.（2015闵行二模文22）已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=． （1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标； （3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标．【答案】[解]（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）由条件0MA MB ⋅=，知道1MA MB k k =-,(0,1)M ，(2,0)A -∴MA k =12,MB k =2-,得直线MB : 21y x =-+, ………………………6分解方程组221421x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩可得1615(,)1717B -, ……………………………8分310AB k =-,直线AB :33105y x =--, 所以交点3(0,)5N -．………………………10分（3）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -……………12分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………14分 122814km x x k-+=+③，21224414m x x k -⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………16分证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……12分 下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅= 当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；………………………14分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组： 221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--=122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………16分10．（2015浦东二模理22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值； （2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由．【答案】解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E …2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分 （2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ，21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1， 由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分 因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）假设在x 轴上存在定点)0,(t D ，则直线l 的方程为t my x +=，代入方程12222=-by a x 得到:()()0222222222=-++-b a t mty b y a m b()22222221222221,2a m b b a t y y a m b mtb y y ---=--=+, 2221211a t mty y --=+ （1） 而由AD EA 1λ=、BD EB 2λ=得到：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+-2121112)(y y m t λλ （2） 22212ba =+λλ （3）……………………………………………………………………12分由（1）（2）（3）得到：2222222ba a t mt m t -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+，22b a t +±=， 所以点)0,(22b a D +±，………………………………………………………………14分 当直线l 与x 轴重合时，a t a +-=1λ，a t a -=2λ，或者a t a -=1λ，at a +-=2λ， 都有222222122ba a t a =-=+λλ 也满足要求，所以在x 轴上存在定点)0,(22b a D +±.……………………………16分11．（2015浦东二模文22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值； （2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：1322=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标． 【答案】解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E …2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分（2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ，21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1， 由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）直线l 的方程为t my x +=，代入方程1322=-y x 得到:()()0323222=-++-t mty y m . 222⎝⎭=2 4（2）设,M a ka （），则(,)OM a ka =，(2,1),PM a ka =-- 6分由PM OM ⊥得0OM PM =,即(2)(1)0a a ka ka -+-=， 7分解得0a =（舍去），221ka k +=+，所以22222(,)11k k k M k k ++++ 8分S RP QDCBAO 22222001232211122111k k kk k kk k +-=+++++，2(21)(2)16215OPM k k S k -+==+ 9分 ①若12k ≥，则2(21)(2)1215k k k -+=+，化简得2215220k k -+=，解得2k =或112k = 10分②若102k <<，则2(12)(2)1215k k k -+=+，化简得2221520k k ++=，解得12k =-或211k =-，均不合题意.综上①②可得，k 的值为2或112. 11分（3）设(,)(,)(,)(0,0)T x yM a ka N b kb a b ->>、、，根据题意可知：OM =ON =22sin 1kMON k ∠=+ 12分11sin 2MON S OM ON MON k=∠=，即21ab k =（*） 13分(),22a b k a b x y +-==，故22x a by a b k=+⎧⎪⎨=-⎪⎩， 14分 变形得222444y x ab k -=（*） 将（*）带入（**）得，22221y x k k-=，即2221(0)k x y x -=> 15分故点T 的轨迹为双曲线2221k x y -=的右支. 16分12.（2015年徐汇二模文21理21）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点 为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度; （2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）【答案】解：（1）如图，以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系 设梯形下底与y 轴交于点M ，抛物线的方程为：()220x py p =< 由题意()20,40D -，得5p =-，210x y =-……….3’取20y x =-⇒=±()()20,20A B ---()28AB cm=≈ 答：横梁AB 的长度约为28cm ………………..6’（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设(():200RQ l y kx k +=-<…..7’ (()2220101002010y k x x kx x y⎧+=-⎪⇒+-=⎨=-⎪⎩则()210040020k k ∆=+=⇒=-:20RQ l y =-+…………..10’得()(),40Q R-OQ MR RQ ⇒===梯形周长为(()2141cm =≈答：制作梯形外框的用料长度约为141cm ……..14’13.（2015年杨浦文23理23） 已知抛物线x y C 4:2=的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦.（1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值； （2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MP MQ +为定值； （3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-， 求N 点坐标.【答案】解：（1）证明：),(),,(,2:),0,2(2211y x Q y x P pmy x l p F PQ +=设； ,0222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==∴p pmy y p my x pxypmy p my p x p x FQ FP +++=+++=+∴212111212111 pm p m p p y y mp y y m p y y m 2)1()1(2)(2)(22222121221=++=+++++= 6分（2）),(),,(,:),0)(0,(2211y x Q y x P a my x l a a M PQ +=>设；,022222=--⇒⎩⎨⎧+==∴pa pmy y a my x px y pa y y pm y y 2,22121-=⋅=+∴ 22222221************222212122221212122)1(1)(2)(11)11(11)(1)(1)(1)(111a m pa m p p y y y y y y m y y m y my y my y a x y a x MQ MP ⋅++⋅=⋅⋅-++=++=+++=+-++-=+∴2211MQ MP + 为定值 当a pp MQ MP m ⋅=+=2221110时， 当2222221111a pap p MQ MP m +⋅=+=时，由p a a pap p a p p =+⋅=⋅得2222211 取)0,(p M 代入验证，则221212,2p y y pm y y -=⋅=+∴222222221)1()1(111p p m m p p MQ MP =⋅++⋅=+∴为定值，得证。