(江苏专用)2013年高考数学二轮复习 专题17附加题21题学案

专题17附加题21题

回顾2009～2012年的高考考题，附加题选做四选二中分别考查几何证明选讲、极坐标与参数方程、矩阵与变换、不等式选讲这四个内容，要求考生从中选择两个来完成，每题10分，难度不是很大，但是要求考生对所学知识点熟练掌握.

[典例1](2012·江苏高考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.

[解] 证明：如图，连结AD.

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB＝90°.

∴AD⊥BD.

又∵BD＝DC，

∴AD是线段BC的中垂线．

∴AB＝AC.

∴∠B＝∠C.

又∵D，E为圆上位于AB异侧的两点，

∴∠B＝∠E.

∴∠E＝∠C.

(1)本题利用中间量代换的方法证明∠E＝∠C，一方面考虑到∠B和∠E是同弧所对圆周角相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到∠B＝∠C.

(2)本题还可连结OD，利用三角形中位线来证明∠B＝∠C.

[演练1]

(2012·泰州期末)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC

的外接圆于点F，连结FB，FC.

(1)求证：FB ＝FC ；

(2)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝33，求AD 的长． 解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .

(2)∵AB 是圆的直径，∴∠ACD ＝90°.

∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝1

2∠EAC ＝60°，∠D ＝30°.

在Rt △ACB 中，∵BC ＝33，∠BAC ＝60°，∴AC ＝3. 又在Rt △ACD 中，∠D ＝30°，AC ＝3，∴AD ＝6. [典例2]

(2012·江苏高考)已知矩阵A 的逆矩阵A

－1

＝

⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤－14 34 12 －12，求矩阵A 的特征值．

[解] ∵A －1A ＝E ，∴A ＝(A －1)－1

.

∵A

－1＝

⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤－14 34 12 －12，∴A ＝(A －1)－1

＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤2 32

1.

∴矩阵A 的特征多项式为

f (λ)＝⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2

－3λ－4.

令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.

由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而可求出矩阵A 的特征值． [演练2]

(2012·泰州期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .

解：由题意得A －1

＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤

32 12 2 1，

∵AX ＝B ，

∴X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥

⎥⎤92 －1 5 －1.

[典例3]

(2012·江苏高考)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程

[解] ∵圆C 圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，∴在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ

＝0，得ρ＝1.

∴圆C 的圆心坐标为(1,0)． ∵圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，

∴圆C 的半径为PC ＝2

2

＋12

－2×1×2cos π4

＝1.

∴圆C 经过极点，

∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

求圆的方程的关键是求出圆心坐标和圆的半径． [演练3]

(2012·南通二模)在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x

轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝－1＋a cos θ，

y ＝－1＋a sin θ

(θ为参数)，若圆C 1与圆C 2相

切，求实数a 的值．

解：C 1：(x －2)2

＋(y －2)2

＝8， 圆心C 1(2,2)，半径r 1＝2 2.

C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，

圆心C 2(－1，－1)，半径r 2＝|a |. ∴圆心距C 1C 2＝3 2.

两圆外切时，C 1C 2＝r 1＋r 2＝22＋|a |＝32，a ＝±2； 两圆内切时，C 1C 2＝|r 1－r 2|＝|22－|a ||＝32，

a ＝±5 2.

综上，a ＝±2或a ＝±5 2. [典例4]

(2012·江苏高考)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<5

18.

[证明] ∵3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |， 由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<1

6

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