07多元微积分期中考题答案

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多元微积分期中考题答案

多元微积分期中考题（A ）答案一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）1. 3，2. 0，3. z y x z −−，4. dz f z y dy f y x f z dx f y 22122111′−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′−′+′−， 5. 31， 6. )2,1(−−， 7. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−ϕϕϕρϕρρcos sin sin cos 1， 8. 10， 9. 3211F F F F ′+′+′′−， 10. )(22y x o xy x +++， 11. ⎩⎨⎧=−−=+−023823z y x z y x ， 12. 632=++z y x ， 13. ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝−+−=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=−v z v u y v u x 42)2(22242)2(222ππ 14. y e y e dx e x y y y y yy y x cos sin 222sin cos cos sin 2−−∫， 15. )(2x f二．计算题（每题10分，共40分）1. 设⎪⎩⎪⎨⎧∈−∈=],2[]2,0[)(l l x x l l x x x f ，将)(x f 在),0(l 上展开为正弦Fourier 级数。

解：把)(x f 作奇延拓，于是xdx ln x f l b l n π∫=0sin )(2 ……………………4分 2sin 4sin )(2sin 222220ππππn n l xdx l n x l l xdx l n x l l l l =−+=∫∫ ………..4分所以， 02=k b ， 2212)12()1(4+−=+k lb k k π，,....1,0=k 故得f 的正弦展开式为 .12sin )12()1(4)(022x l k k l x f k k ππ++−=∑∞= ……………………..2分 2. 设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233y x y x y x y x y x f 。

2007中考试题(参考答案)

[参考答案]一、选择题（每小题3分，共24分）二、填空题（每小题3分，共24分）9．2x≠10．xy1-=等11．4（填空2分，画图1分）12．25%13．2014．29215．n)2(16．如图三、（每题8分，共16分）17．解：=原式······················6分2=2=·······························8分18．解：设原来每天加固x米，根据题意，得·················1分926004800600=-+xx．·························3分去分母，得 1200+4200=18x（或18x=5400）················5分解得300x=．··············6分检验：当300x=时，20x≠（或分母不等于0）．∴300x=是原方程的解．··············7分答：该地驻军原来每天加固300米．··············8分四、（每题10分，共20分）19．解：（1）1600wt=··························4分（2）160016004t t--····························8分16001600(4)(4)t tt t--=-64006400()(4)4t t t t--=．或··························9分答：每天多做)4(6400-t t（或tt464002-）件夏凉小衫才能完成任务．········ 10分20．解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．·····················3分又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC∴Rt△AEF≌Rt△DCE．····················5分AE=CD．····················6分AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32 cm，∴2（AE+AE+4）=32．····················8分解得，AE=6 （cm）．···················· 10分五、（每题10分，共20分）21．（1）300；···················2分（2）1060；···················5分（3）15；···················8分（4）合理．理由中体现用样本估计总体即可．（只答“合理”得1分）···· 10分′AB CABC′′O第11题图t(时)第16题图2236223622362236223622．解：（1）法一：过O 作OE ⊥AB 于E ，则AE =21AB =23． ················ 1分在Rt △AEO 中，∠BAC =30°，cos30°=OAAE． ∴OA =︒30cos AE =2332=4． …………………………3分又∵OA =OB ，∴∠ABO =30°．∴∠BOC =60°． ∵AC ⊥BD ，∴BC CD =．∴∠COD =∠BOC =60°．∴∠BOD =120°． ················· 5分∴S 阴影=2π360n OA ⋅=212016π4π3603=． ···················· 6分法二：连结AD ． ······················ 1分∵AC ⊥BD ，AC 是直径，∴AC 垂直平分BD ． ……………………2分 ∴AB =AD ，BF =FD ，BC CD =． ∴∠BAD =2∠BAC =60°，∴∠BOD =120°． ……………………3分 ∵BF =21AB =23，sin60°=AB AF ，AF =AB ·sin60°=43×23=6． ∴OB 2=BF 2+OF 2．即222(6)OB OB +-=．∴OB =4． ······················· 5分∴S 阴影=31S 圆=16π3． ······················ 6分法三：连结BC ．………………………………………………………………………………1分∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ABC =90°．∵AB =43，∴8cos30AB AC ==︒． ……………………3分∵∠A =30°， AC ⊥BD ， ∴∠BOC =60°，∴∠BOD =120°．∴S 阴影=360120π·OA 2=31×42·π=16π3．……………………6分以下同法一．（2）设圆锥的底面圆的半径为r ，则周长为2πr ， ∴1202ππ4180r =． ∴43r =． ·························· 10分 23．解：（1）P （抽到2）=142=．…………………………………………………………3分（2）根据题意可列表第一次抽第二次抽····················· 5分从表（或树状图）中可以看出所有可能结果共有16种，符合条件的有10种， ∴P （两位数不超过32）=851610=． ·················· 7分 ∴游戏不公平． ·················· 8分调整规则：法一：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平．································ 10分法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过32的得3分，抽到的两位数不超过32的得5分；能使游戏公平． ················· 10分法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜．（只要游戏规则调整正确即得2分）六、（每题10分，共20分）24．解：（1）设按优惠方法①购买需用1y 元，按优惠方法②购买需用2y 元 ··· 1分 ,6054205)4(1+=⨯+⨯-=x x y725.49.0)4205(2+=⨯⨯+=x x y ． ············· 3分（2）设12y y >，即725.4605+>+x x ，∴24>x ．当24>x 整数时，选择优惠方法②． ··········· 5分设12y y =，∴当24=x 时，选择优惠方法①，②均可．∴当424x <≤整数时，选择优惠方法①． ·········· 7分（3）因为需要购买4个书包和12支水性笔，而2412<，购买方案一：用优惠方法①购买，需12060125605=+⨯=+x 元； ···· 8分购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购买4个书包，需要204⨯=80元，同时获赠4支水性笔；用优惠方法②购买8支水性笔，需要8590%36⨯⨯=元．共需80+36=116元．显然116<120． ············ 9分 ∴最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔．··············· 10分七、（12分） 25．（1）判断：EN 与MF 相等（或EN=MF ），点F 在直线NE 上， ······· 3分（说明：答对一个给2分）（2）成立． ······························ 4分证明：法一：连结DE ，DF ． ·························· 5分∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC =BC ．又∵D ，E ，F 是三边的中点，∴DE ，DF ，EF 为三角形的中位线．∴DE =DF =EF ，∠FDE =60°．又∠MDF +∠FDN =60°， ∠NDE +∠FDN =60°， ∴∠MDF =∠NDE ． ··························· 7分在△DMF 和△DNE 中，DF =DE ，DM =DN ， ∠MDF =∠NDE ，∴△DMF ≌△DNE ． ··························8分 ∴MF =NE ． ··························9分法二：延长EN ，则EN 过点F ． ······················· 5分∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC =BC ．又∵D ，E ，F 是三边的中点， ∴EF =DF =BF ． ∵∠BDM +∠MDF =60°， ∠FDN +∠MDF =60°， ∴∠BDM =∠FDN ． ···························· 7分又∵DM =DN ， ∠ABM =∠DFN =60°，∴△DBM ≌△DFN ． ··························· 8分 ∴BM =FN ．∵BF =EF ， ∴MF =EN ． ························· 9分法三：连结DF ，NF ． ···························· 5分 ∵△ABC 是等边三角形， ∴AC =BC =AC ．又∵D ，E ，F 是三边的中点， ∴DF 为三角形的中位线，∴DF =21AC =21AB =DB ．又∠BDM +∠MDF =60°， ∠NDF +∠MDF =60°，∴∠BDM =∠FDN ． ··························· 7分N C A B F M D E NC A B F MD EFBC在△DBM 和△DFN 中，DF =DB ，DM =DN ， ∠BDM =∠NDF ，∴△DBM ≌△DFN ．∴∠B =∠DFN =60°． ·························· 8分又∵△DEF 是△ABC 各边中点所构成的三角形， ∴∠DFE =60°． ∴可得点N 在EF 上，∴MF =EN ． ·························· 9分（3）画出图形（连出线段NE ）， ····················· 11分MF 与EN 相等的结论仍然成立（或MF =NE 成立）． ·············· 12分八、（14分）26．（1）利用中心对称性质，画出梯形OABC ． ················ 1分∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称，∴A （0，4），B （6，4），C （8，0） ·················· 3分（写错一个点的坐标扣1分）（2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为2y ax bx c =++， ∵抛物线过点A （0，4），∴4c =．则抛物线关系式为24y ax bx =++． ············· 4分将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，得3664464840a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．·························· 5分解得1432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． ···························· 6分所求抛物线关系式为：213442y x x =-++． ·············· 7分（3）∵OA =4，OC =8，∴AF =4－m ，OE =8－m ． ··············· 8分∴AGF EOF BEC EFGB ABCO S S S S S =---△△△四边形梯形 21=OA （AB +OC ）12-AF ·AG 12-OE ·OF 12-CE ·OAm m m m m 421)8(21)4(2186421⨯-----+⨯⨯=）（ 2882+-=m m （ 0＜m ＜4） ············· 10分∵2(4)12S m =-+． ∴当4m =时，S 的取最小值．又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． ············ 12分（4）当2m =-+GB =GF ，当2m =时，BE =BG ． ·········· 14分OMN HA C E F DB↑ → －8(－6，－4)xy。

06-07-2《微积分二》期中考试卷解答

2006—2007学年第二学期《微积分二》期中试卷参考解答一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数()2x x f =在区间]1,0[上的平均值是31. 解：310112=-⎰dx x . 2．极限=⎰→3020sin limx dt t xx 31. 解：313lim 3sin lim sin lim 220220003020===→→'→⎰x x x x xdtt x x L xx . 3．()=+-+⎰-11221sin dx x x x x x 1.解：原式12001sin 111112112=++=+-+=⎰⎰⎰⎰---xdx dx x dx x x xdx x .4．由曲线12+=x y 与01=--y x 所围成的图形面积等于29. 解：()()[]2911212==--+=⎰- dy yy S . 5．设函数()u f 可微且()212='f ，则()y x f z -=24在点()2,1处的全微分()=2,1dzdy dx 214-. 解：()()()(),8dy u f xdx u f dy yuu f dx x u u f dy y z dx x z dz '-'=∂∂'+∂∂'=∂∂+∂∂=取()()2,1,=y x 时,()242,12=-=yx u ,代入上式得()=2,1dzdy dx 214-. 二、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） D B B C A 选注：第1小题) 由已知2<c ,而1与c 的大小关系并不确定.第2小题)(A) ⎰-1131dx x是以()1,10-∈为瑕点的瑕积分, 按相关定义可知其发散.(B) 参见教材P185例9 2)或P250例12, 重要结论须熟记. (C) ()⎰+∞→xx dt t f 0lim 即()⎰+∞0dt t f , 此无穷限积分的结果未必是∞+. 如()11111202==+⎰⎰+∞+∞dx xdt t . (D) 由已知, 0=x 为()x f 的瑕点, 而()⎰+→10lim xx dt t f 即瑕积分()⎰1dt t f .此积分的结果未必是∞. 如211=⎰dx x.第3小题) 按偏导数()0,0x f '的概念可得B.第5小题) 在题设条件下,又()00,y x 是()y x f ,的驻点时,02<-AC B 是()00,y x 为()y x f ,的极值点的充分条件.三、（本题共3小题，每小题6分，满分18分）1．设()⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=1,cos 1,112x x x x x x f ，计算()⎰-31dx x f ..12arctanx 0dx x11xcosxdx 3131211π=+=++=⎰⎰-原式解：2．计算⎰exdx 0ln .[]0.a lim a 1-a 1lim a 1lna lim alna lim alna a lim dx xlnx lim xdlnx xlnx lim lnxdx lim0x 0a 20a L 0a 0a 0a e a e a 0a e a e a 0a ea 0a =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===+→+→'+→+→+→+→+→+→⎰⎰⎰原式为瑕点解：. 3．计算⎰⎰Dy dxdy xe 2，其中D 是由1=y ，0,2≥=x x y 及y 轴所围成的区域...,41e e 41dy ye 21dy 2e x dx xe dy D 10y 10y 10yx 0x y2yy102222-===⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==⎰⎰⎰⎰==原式略草图作出区域解：四、（本题共3小题，每小题6分，满分18分） 1．求函数x y x z arctan =的二阶偏导数xy z ∂∂∂2.().,222222222222y x 2xy x y z y x y 1y x x x y 1x 1x y z +=∂∂∂∴+-=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=∂∂ 解：2．设()y x f z ,=是由方程yz x e z 2=所确定的隐函数，试求dz .().,,,,,,2dy yx e z x dx y x e 2xyz dz y x e z x y z y x e 2xyz x z y.x e zFz x y F -2xyz,x F yz x e z y x F 2z 22z 2z 2zF y F 2z z F xF 2z 2z -+-=-=-=∂∂-=-=∂∂-=∂∂-=∂∂=∂∂-=∂∂∂∂∂∂∂∂从而则则解：令3．设函数()v u f ,可微且()32,1='u f ，()42,1='v f . 求函数()xy y x f z ,-=的偏导数()1,2xz ∂∂.()()()..,,,,..,,743x z2v 1u 12y x y f 1f xv f x u f x z xy v y x u 12v u v u =+=∂∂===⋅'+⋅'=∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂=-=代入上式得时当则令解：五、（本题共2小题，任选做1小题，满分8分）1．求函数xy y x y x z ---+=22，0≥x ，0≥y ，6≤+y x 的最值.()()[][][]()()()()-1.z Min 30,z Max 3060z 06z 000z 3.33z 3x 0186x z 3018x 3x z x 6y 60x 6y x 341021z 21x 01-2x z x x z 60x 0y 241210,z 21y 01-2y z y,y z 60y 0x 1111z 110x 12y z 0y 12x z 222y x ========-='+-=-=∈=+-=⎪⎭⎫⎝⎛==='-=∈=-=⎪⎭⎫⎝⎛==='-=∈=-=⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',.,,,,,,,,,,,),,,,,,,),,,,,)).,,,,)综上在各边界端点处对应有得由得代入上在有得由上在有得由上在逐条考察边界有解得驻点求内部驻点解：令令令令令2．设某产品的生产仅需耗费K 和L 两种要素. 经统计，该产品的产量Q 与两种要素投入量的依赖关系为KL Q =. 已知要素K 的价格为25，要素L 的价格为10. 试求当产量限定为()000>Q Q 时的最小总成本.()()..,,.,,,,,.,,000000000000L K00Q 1010C Q 210L Q 510K 1010Q 210L Q 510K 0Q KL F 0KL 2K 10F 0KL 2L 25F Q KL -10L 25K L,K F Q KL 0.L 0K 10L 25K C ⋅======⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-='=-='=-='-+==≥≥+=最小总成本素投入为所求最小总成本的要由问题的实际背景知解得唯一驻点现求其驻点：令下的条件最小值现求其在总成本解：令令令λλλλλλ六、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）1．求由曲线2x y =与2y x =所围成的图形绕y 轴旋转而成的立体体积.()()..,1035y 2y dyy -y dy y dy y V 10521412212πππππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=⎰⎰⎰由图可知图形略作出草图解：2．利用二重积分计算由曲面122=+y x ，0=z ，22y x z +=所围成的立体体积. (){}.,,..,,32d 31d 3r dr r d drd r rsin y rcos x dxdy y x V 1y x y x D xy y x z 2020103102202D222222πθθθθθθπππΩ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=====+=⎪⎩⎪⎨⎧≤+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰上式作极坐标变换从而平面上的区域底：顶：其中负曲顶柱体由题设可知此立体为非解：七、（本题共3小题，任选做2小题，每小题5分，满分10分）1．设()x f 在区间[]1,0上连续，在()1,0内可导，且()()1221f dx x f =⎰. 求证：在()1,0内至少存在一点c 使得()0='c f .()()()()()[]()()()0.c f 101c 11f f f 21dx x f 10210210='⊂∈==⊂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎰使得存在上由罗尔中值定理，在由已知从而使得存在由已知及积分中值定理证：,,,,...,,,,ξξξξξ 2．设二元函数()y x f z ,=可微，()x y y =是由方程()0,=y x ϕ确定的隐函数，0≠'y ϕ. 试求一元函数()()x y x f z ,=的导数dxdz. ()()()()()()()()().,,,,,,,,,.,,,y x y x y x f y x y x f dx dz y x y x dx dydx dy y x f y x f dx dz y x y y x y x yx y x ϕϕϕϕϕϕϕ'''-''=''-=''-='+'=代入即得而由隐函数求导公式由题设解：3．设()x f 是()+∞∞-,内的连续函数，求证：对于任意正数a ，均有()()⎰⎰=22321a adx x xf dx x f x 成立.()()()()()()()()()()()()()[]()()()()()()().,.,..,,.,,,).,,,,)a G a F 0C 0a C C,a G a F a G a F a f a 2a a f a 21a G a f a a F a G a F a dx x xf 21a G dx x f x a F dt t tf 21dt 21t f x a 0t a 0x dt 21xdx dt 2xdx t x 232223a 0a 023a 0a 0222222≡==+≡'='=='='≡+∞∞-∈=====→→===⎰⎰⎰⎰综上有代入特别地为某待定常数从而即：现证令法二右左式代入：得：由即微分得令法一解：。

数学微积分复习题集及答案

数学微积分复习题集及答案导言微积分是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

为了帮助学生复习微积分知识，本文提供了一套包括复习题和答案的微积分复习题集。

通过解答这些问题，学生可以巩固对微积分的理解，提高解题能力和应用能力。

一、求导篇1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1的导函数f'(x)。

答案：f'(x) = 6x + 2。

2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导函数g'(x)。

答案：g'(x) = cos(x) - sin(x)。

3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导函数h'(x)。

答案：h'(x) = 2/x。

二、定积分篇4. 求函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1在区间[1, 3]上的定积分∫[1,3] f(x) dx。

答案：∫[1,3] f(x) dx = 26/3。

5. 求函数g(x) = e^x的不定积分F(x)。

答案：F(x) = e^x + C，其中C为任意常数。

6. 求函数h(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分∫[0,π] sin(x) dx。

答案：∫[0,π] sin(x) dx = 2。

三、微分方程篇7. 求微分方程y' = 2x的通解。

答案：y = x^2 + C，其中C为任意常数。

8. 求微分方程y' = y的通解。

答案：y = Ce^x，其中C为任意常数。

9. 求微分方程y'' + y = 0的通解。

答案：y = A*sin(x) + B*cos(x)，其中A和B为任意常数。

四、面积与体积篇10. 求曲线y = x^2和直线y = 2x的交点坐标，并求由该曲线、直线以及x轴所围成的面积。

答案：交点坐标为(0, 0)和(2, 4)，所围成的面积为8/3。

11. 求曲线y = sin(x)在区间[0, π]上绕x轴旋转一周所形成的体积。

AP 微积分 AB 2007 (Form B) 真题与答案

AP® Calculus AB2007 Scoring GuidelinesForm BThe College Board: Connecting Students to College SuccessThe College Board is a not-for-profit membership association whose mission is to connect students to college success and opportunity. Founded in 1900, the association is composed of more than 5,000 schools, colleges, universities, and other educational organizations. Each year, the College Board serves seven million students and their parents, 23,000 high schools, and 3,500 colleges through major programs and services in college admissions, guidance, assessment, financial aid, enrollment, and teaching and learning. Among its best-known programs are the SAT®, the PSAT/NMSQT®, and the Advanced Placement Program® (AP®). The College Board is committed to the principles of excellence and equity, and that commitment is embodied in all of its programs, services, activities, and concerns.© 2007 The College Board. All rights reserved. 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(b) Find the area of S .(c) Write, but do not evaluate, an integral expression that gives thevolume of the solid generated when R is rotated about the horizontal line 1.y =222x x e −= when 0.446057,1.553943x =Let and 0.446057P = 1.553943Q =(a) Area of ()2220.5Qx x P14dx −=−=⌠⌡⎪⎩R e3 : ⎪⎨ 1 : integrand1 : limits 1 : answer ⎧(b) when 2221x x e −=0,x =Area of S e Area of R()22201x x dx −=−−⌠⌡− Area of2.06016= 1.546R =OR()()()222220110.219064 1.1078860.219064 1.546Px x x x Qe dx Q P e d −−−+−⋅+−=++=⌠⌠⌡⌡1x⎪⎩3 : ⎪⎨ 1 : integrand 1 : limits 1 : answer ⎧(c) Volume ()()2222121Qx x P e d π−⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠⌠⎮⌡x =−3 : {2 : integrand1 : constant and limitsQuestion 2A particle moves along the x -axis so that its velocity v at timeis given by The graph of v is shown abovefor 0t ≥()()2sin .v t t=0t ≤≤ The position of the particle at time t is ()x t and its position at time is 0t =()05x =.(a) Find the acceleration of the particle at time t 3.=(b) Find the total distance traveled by the particle from time 0t =to t 3.==(c) Find the position of the particle at time t 3.(d) For 0t ≤≤ find the time t at which the particleis farthest to the right. Explain your answer.Question 3The wind chill is the temperature, in degrees Fahrenheit ()F ,° a human feels based on the air temperature, in degrees Fahrenheit, and the wind velocity v , in miles per hour ()mph . If the air temperature is 32 then the wind chill is given by and is valid for 56F,°()0.1655.622.1W v v =−0.v ≤≤ (a) Find ()20.W ′ Using correct units, explain the meaning of ()20W ′ in terms of the wind chill.(b) Find the average rate of change of W over the interval 560.v ≤≤ Find the value of v at which theinstantaneous rate of change of W is equal to the average rate of change of W over the interval 560.v ≤≤ (c) Over the time interval hours, the air temperature is a constant 32 At time the windvelocity is mph. If the wind velocity increases at a constant rate of 5 mph per hour, what is the rate of change of the wind chill with respect to time at 0t ≤≤4 F.°0,t =20v =3t = hours? Indicate units of measure.Question 4Let f be a function defined on the closed interval 55x −≤≤ with ()13f=. The graph of ,f ′ the derivative of f , consists of two semicircles and two line segments, as shown above.(a) For −< find all values x at which f has arelative maximum. Justify your answer.5x 5,<5,<(b) For −< find all values x at which the graph of fhas a point of inflection. Justify your answer.5x (c) Find all intervals on which the graph of f is concave upand also has positive slope. Explain your reasoning.(d) Find the absolute minimum value of ()f x over the closed interval 5x 5.−≤≤ Explain your reasoning.Question 5Consider the differential equation 11.2dy x y dx =+−(a) On the axes provided, sketch a slope field for the given differential equationat the nine points indicated.(Note: Use the axes provided in the exam booklet.)(b) Find 2d ydxin terms of x and y . Describe the region in the xy -plane inwhich all solution curves to the differential equation are concave up.(c) Let ()y f x = be a particular solution to the differential equation with theinitial condition ()01f =. Does f have a relative minimum, a relative maximum, or neither at Justify your answer. 0?x =(d) Find the values of the constants m and b , for which y mx b =+ is asolution to the differential equation.y −1Question 6Let f be a twice-differentiable function such that ()2f 5= and ()52f .= Let g be the function given by ()()().g x f f x =(a) Explain why there must be a value c for 25c << such that () 1.f c =−′(b) Show that Use this result to explain why there must be a value k for 2 such that()()2g g =′′5.5k <<()0.g k =′′ (c) Show that if ()0f x =′′ for all x , then the graph of g does not have a point of inflection. (d) Let ()().h x f x x =− Explain why there must be a value r for 25r << such that ()0.h r =。

2007年上海市数学中考试题答案解析

中小学课外辅导专家2007年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2007-6-20一、填空题：（本大题共12题，满分36分）（只要求直接写出结果，每个空格填对得3分，否则得零分） 1．计算：2(3)= ．2．分解因式：222a ab -= ． 3．化简：111x x -=+ ． 4．已知函数3()2f x x =+，则(1)f = ．5．函数2y x =-的定义域是．6．若方程2210x x --=的两个实数根为1x ，2x ，则12x x += ． 7．方程12x -=的根是．8．如图1，正比例函数图象经过点A ，该函数解析式是．9．如图2，E 为平行四边形A B C D 的边B C 延长线上一点，连结AE ，交边C D 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：．10．如果两个圆的一条外公切线长等于5，另一条外公切线长等于23a +，那么a = ． 11．如图3，在直角坐标平面内，线段AB 垂直于y 轴，垂足为B ，且2A B =，如果将线段AB 沿y 轴翻折，点A 落在点C 处，那么点C 的横坐标是．图1 xy AO 1 3图2ABCD EFxyB AO中小学课外辅导专家12．图4是44⨯正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图4中黑色部分是一个中心对称图形．二、选择题：（本大题共4题，满分16分）【下列各题的四个结论中，有且只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分；不选、错选或者多选得零分】 13．在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是（） A ．2aB ．23aC ．3aD ．4a14．如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（） A ．0k >，0b >B ．0k >，0b <C ．0k <，0b >D ．0k <，0b <15．已知四边形A B C D 中，90A B C === ∠∠∠，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（） A ．90D = ∠B ．A BCD =C ．AD B C =D ．B C C D =16．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块D ．第④块三、（本大题共5题，满分48分） 17．（本题满分9分）解不等式组：3043326x x x ->⎧⎪⎨+>-⎪⎩，，并把解集在数轴上表示出来．18．（本题满分9分）解方程：22321011x x x x x --+=--．19．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）如图6，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(100)，，点B 在第一象限内，5B O =，3sin 5B O A =∠．求：（1）点B 的坐标；（2）cos B A O ∠的值．5- 1- 4- 3- 2- 0 1 2 3 4 5By图5中小学课外辅导专家20．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2），（3）小题满分各3分）初三学生小丽、小杰为了解本校初二学生每周上网的时间，各自在本校进行了抽样调查．小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为2.5小时；小杰从全体初二学生名单中随机抽取了40名学生，调查了他们每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为1.2小时．小丽与小杰整理各自样数据，如表一所示．请根据上述信息，回答下列问题：（1）你认为哪位学生抽取的样本具有代表性？答：；估计该校全体初二学生平均每周上网时间为小时；（2）根据具体代表性的样本，把图7中的频数分布直方图补画完整；（3）在具有代表性的样本中，中位数所在的时间段是小时/周．时间段（小时／周）小丽抽样人数小杰抽样人数 0～1 6221～210 102～3 16 6 3～4 8 2 （每组可含最低值，不含最高值）表一21．（本题满分10分）2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表二所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据．已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额．年份 2001 2003 2004 2005 2007 降价金额（亿元）543540表二四、（本大题共4题，满分50分）22．（本题满分12分，每小题满分各6分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A ，，且过点(30)B ，．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写图7 （每组可含最低值，不含最高值）0 1 2 3 4 小时/周 24 6 8 10 12 14 16 18 20 22 人数中小学课外辅导专家出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图8，在梯形A B C D 中，A D B C ∥，C A 平分B C D ∠，D E AC ∥，交B C 的延长线于点E ，2B E =∠∠．（1）求证：A B D C =；（2）若tg 2B =，5AB =，求边B C 的长．24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图9，在直角坐标平面内，函数m y x=（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结A D ，D C ，C B ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；（2）求证：D C A B ∥；（3）当A D B C =时，求直线AB 的函数解析式．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2），（3）小题满分各5分）已知：60MAN =∠，点B 在射线A M 上，4A B =（如图10）．P 为直线A N 上一动点，以B P 为边作等边三角形BPQ （点B P Q ，，按顺时针排列），O 是BPQ △的外心．（1）当点P 在射线A N 上运动时，求证：点O 在M A N ∠的平分线上；（2）当点P 在射线A N 上运动（点P 与点A 不重合）时，A O 与B P 交于点C ，设A P x =，AC AO y = ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）若点D 在射线A N 上，2AD =，圆I 为ABD △的内切圆．当BPQ △的边B P 或BQ 与圆I 相切时，请直接写出点A 与点O 的距离．ABCDE图8图9xCO DBA yAA中小学课外辅导专家2007年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷答案要点与评分标准说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分．2．第一大题只要求直接写出结果，每个空格填对得3分，否则得零分；第二大题每题选对得4分，不选、错选或者多选得零分；17题至25题中右端所注的分数，表示考生正确做对这一步应得分数，评分时，给分或扣分均以1分为单位．答案要点与评分标准一、填空题（本大题共12题，满分36分） 1．3 2．2()a a b - 3．1(1)x x + 4．1 5．2x ≥ 6．2 7．3x =-8．3y x = 9．A F D E F C △∽△（或E F C E A B △∽△，或E A B A F D △∽△） 10．1 11．2- 12．答案见图1二、选择题（本大题共4题，满分16分） 13． C 14．B 15．D 16．B三、（本大题共5题，满分48分） 17．解：由30x ->，解得3x <． ·············································································· 3分图1中小学课外辅导专家由43326x x +>-，解得1x >-． ·················································································· 3分∴不等式组的解集是13x -<<．················································································· 1分解集在数轴上表示正确． ······························································································ 2分 18．解：去分母，得23(21)(1)0x x x x -+-+=，······················································· 3分整理，得23210x x --=， ·························································································· 2分解方程，得12113x x ==-，． ······················································································ 2分经检验，11x =是增根，213x =-是原方程的根，∴原方程的根是13x =-． ················ 2分19．解：（1）如图2，作B H O A ⊥，垂足为H ， ························································ 1分在R t O H B △中，5B O = ，3sin 5B O A ∠=，3B H ∴=． ················································································································· 2分4O H ∴=．……………………………… 1分∴点B 的坐标为(43)，．……………………2分（2） 10O A =，4O H =，6A H ∴=．………………1分在R t AH B △中，3B H = ，35AB ∴=．………… 1分25cos 5AH BAO AB∴∠==．………………………………2分20．（1）小杰；1.2． ··························································································· 2分，2分（2）直方图正确． ······································································································· 3分（3）0~1． ··················································································································· 3分 21．解：[解法一]设2003年和2007年的药品降价金额分别为x 亿元、y 亿元． ··········· 1分根据题意，得226543540269y x x y =⎧⎨++++=⎩………………………………………………………………分………………………………………………分解方程组，得2220120x y =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………分………………………………………………………………………分答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元． ······························ 1分[解法二]设2003年的药品降价金额为x 亿元， ······························································ 1分则2007年的药品降价金额为6x 亿元． ········································································· 2分根据题意，得5435406269x x ++++=． ································································· 2分解方程，得20x =，6120x ∴=． ··············································································· 4分答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元． ······························ 1分四、（本大题共4题，满分50分）AyHO 图2xB中小学课外辅导专家22．解：（1）设二次函数解析式为2(1)4y a x =--， ·················································· 2分二次函数图象过点(30)B ，，044a ∴=-，得1a =． ··············································· 3分 ∴二次函数解析式为2(1)4y x =--，即223y x x =--． ·········································· 1分（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．······························ 2分∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． ···················································· 2分平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，． ······················································ 2分 23．（1）证明：D E A C ∥， BC A E ∴∠=∠． ········································································································ 1分C A 平分B CD ∠，2BC D BC A ∴∠=∠， ································································································· 1分 2B C D E ∴∠=∠， ······································································································ 1分又2B E ∠=∠ ， B B C D ∴∠=∠． ········································································································ 1分∴梯形A B C D 是等腰梯形，即A B D C =．·································································· 2分（2）解：如图3，作A F B C ⊥，D G BC ⊥，垂足分别为F G ，，则A F D G ∥．在R t A F B △中，tg 2B =，2AF BF ∴=．…………1分又5AB =，且222AB AF BF =+，2254BF BF ∴=+，得1B F =．……………………1分同理可知，在R t D G C △中，1C G =．……………1分A DBC ∥，D AC AC B ∴∠=∠．又AC B AC D ∠=∠ ，D A C A C D ∴∠=∠，A D D C ∴=．5D C AB ==，5AD ∴=． ·············································································· 1分A DBC ∥，A FD G ∥，∴四边形A F G D 是平行四边形，5FG AD ∴==． ···· 1分25BC BF FG G C ∴=++=+． ············································································· 1分24．（1）解：函数(0m y x x=>，m 是常数）图象经过(14)A ，，4m ∴=． ············· 1分 AB CF G ED图3中小学课外辅导专家设B D A C ，交于点E ，据题意，可得B 点的坐标为4a a ⎛⎫⎪⎝⎭，，D 点的坐标为40a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，E 点的坐标为41a ⎛⎫⎪⎝⎭，， ································································································· 1分 1a > ，D B a ∴=，44A E a=-．由ABD △的面积为4，即14442a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，································································ 1分得3a =，∴点B 的坐标为433⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ············································································· 1分（2）证明：据题意，点C 的坐标为(10)，，1D E =，1a > ，易得4EC a=，1BE a =-，111B E a a D E -∴==-，4414AE a a C Ea -==-．······························································ 2分B EA ED E C E∴=． ············································································································ 1分D C A B ∴∥． ············································································································· 1分（3）解：D C A B ∥，∴当A D B C =时，有两种情况： ①当AD BC ∥时，四边形A D C B 是平行四边形，由（2）得，1B E A E a D EC E==-，11a ∴-=，得2a =．∴点B 的坐标是（2，2）．···························································································· 1分设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+． ···································································· 1分 ②当A D 与B C 所在直线不平行时，四边形A D C B 是等腰梯形，则B D A C =，4a ∴=，∴点B 的坐标是（4，1）． ···················································· 1分设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，中小学课外辅导专家得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+． ······································································ 1分综上所述，所求直线AB 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+． 25．（1）证明：如图4，连结O B O P ，，O 是等边三角形BPQ 的外心，O B O P ∴=，··························································· 1分圆心角3601203BOP ∠==．当O B 不垂直于A M 时，作O H A M ⊥，O T A N ⊥，垂足分别为H T ，．由360HOT A AHO ATO ∠+∠+∠+∠= ，且60A ∠= ，90AHO ATO ∠=∠=，120HOT ∴∠=．B O H P O T ∴∠=∠． ·································································································· 1分R t R t B O H P O T ∴△≌△． ······················································································· 1分 O H O T ∴=．∴点O 在M A N ∠的平分线上． ···························································· 1分当O B A M ⊥时，36090APO A BOP OBA ∠=-∠-∠-∠= ．即O P A N ⊥，∴点O 在M A N ∠的平分线上．综上所述，当点P 在射线A N 上运动时，点O 在M A N ∠的平分线上．（2）解：如图5，A O 平分M A N ∠，且60MAN ∠= ，30BAO PAO ∴∠=∠=． ·························································································· 1分由（1）知，O B O P =，120BOP ∠=，30CBO ∴∠=，C BO PAC ∴∠=∠．A BMQNP H O图4TABMQNPCO图5。

考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

微积分A(2)期中样卷答案

并考察 f ( x, y ) 在 (0,0) 的连续性和可微性.
解:
f x (0,0) = lim
Δx →0
(Δx) 3 f (0 + Δx,0) − f (0,0) = lim = 1 , ………………………2 分 Δx → 0 ( Δx ) 3 Δx
f (0, 0 + Δy ) − f (0, 0) ( Δy ) 3 = lim − = −1 . ……………………2 分 Δy → 0 ( Δy ) 3 Δy
y cos( xy )esin( xy ) dy + 2esin(2 x ) − esin x
∫
x
二．计算题（每题 10 分，共 40 分）
⎧ x3 − y3 , ⎪ 2 2 1. 求函数 f ( x , y ) = ⎨ x + y ⎪0, ⎩
x2 + y2 ≠ 0 x +y =0
2 2
在原点的偏导数 f x (0,0) 与 f y (0,0) ,
∫
1
0
x p −1 (1 − x r ) q −1 dx 可以表示为
。
2
答案：
∫x
0
1
p −1
(1 − x r ) q −1 dx =
1 p B( , q), p > 0, q > 0, r > 0; r r
。
2 2
15. 设 F ( x) = 答案： F ′( x ) =
∫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2x x 2x
esin( xy ) dy ，则 F ′( x) =
6
微积分（2）期中考题答案
一．填空题（每空 3 分，共 15 空）（请将答案直接填写在横线上！）

多元微积分期中考试试题A卷参考解答_.doc

2011年多元微积分期中考题A卷填空题(每空3分，共15空)(请将答案直接填写在横线上！)1.将定义在区间(0,兀)上的函数e，展成周期为2m的正弦级数，记S(x)为级数的和函数, 则S(O)= °2.lim ----- = 1/e才I x >3.设z = f(x+y,x-y),其中f e C(1)，则dz =(h+ f)dx +(九-九)曲=丁" =#(")〔Y工. e土J u|(w,v)=(x+y,x-y) J Jv| (w,v)=(x+y,x-j)a2z4.设z = x y ,则---- =x y~l(l+ yinx)dxdy5.方程xy + zlny-be yz = e在(0,1,1)点附近确定隐函数z = z(x, y),则臣■= -----^―-dx In y + ye y 注：如只计算偏导数兰在点(0,1,1)的值(- 1/e),仍算正确解答，得3分。

dx尤+ y + z = 06.设y = y(x), z = z(x)为由方程组＜x2y2z2确定的隐函数，c2y b2z ,—T +4 +-T =1[a b c则dy=曾dx a (c y-b z)注：所求导数也可写作也=一"?七? + *|。

dx a [c y + b (x+ 3^)]7.函数x+y2 + z3在点(1,1,1)处沿方向j的方向导数为28.函数x2 + y2在点(1,2)处函数值增大最快的方向为(2,4)9.设cos 伊cos。

，则它的 Jacobi 矩阵的行列式det°3")= -sin^cos^y = cos 伊sin。

10.参数曲面尤=〃 + v, v = uv,z = usinv在(以,v) = (1,0)处的切平面方程为y-z = 0x - y + 2z-6 2x-2y - z-2 x — 1 y + 2 z— 2 ~~T~ -4 -6 71 o 解答完11.曲线<x 2 + y 2 + z 2 = 6: ? 在点(1-1,2)处的切线方程为 z = x+y 12.曲面X 2 + 2/ + 3Z 2=21在点(1-2,2)处的法线方程为 13.曲面z = arc tan —在点[1,1,^ j 处的单位法向量为 ± 14. M 是曲线x = t,y = t 2,z = t 3_h 的一点，此点处切线平行于平面x + 2y + z = 4,则M点的坐标为(―1,1,—1)或6厂万'15.函数/(x, y) = e*(sin y + cos y)在(0,0)点的带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为2 21 工 ),22、l + x+ ^ + — + xy- — + o{x + y )二.计算题(每题10分，共40分)1.求函数f ⑴ T 一，—--的Fourier 级数，并求数项级数习 ---------------------- 的和。

2007中考数学真题附答案

a b c 1
∴
c0
2a 2b c 0
解得， a 1 2 , b 2 2 , c 0 所以所求的抛物线的解析式为 y (1 2 ) x (2 2 ) x
2
23．（1） ∴A（-4，-2），B（6，3）分别过 A、B 两点作 AE x 轴， BF y 轴，垂足分别为 E、F ∴AB=OA+OB
②将消费者打算购买小车的情况整理后，作出频数分布直方图的一部分(如图 4)．注：每组包含最小值不包含最大值，且车价取整数．人数 / 人请你根据以上信息，回答下列问题： 360 （1）根据①中信息可得，被调查消费者的年收入的众数是万元．（2）请在图 4 中补全这个频数分布直方图． 200
120 （3）打算购买价格 10 万元以下小车的消费者人数占被调查消费者人数的百而思中考研究中心
∴△AEO∽△CMO ∴
OE AO OM CO
∴
4 5 2

2 5 CO
∴
CO
5 1 5 2 5 2 4 4
同理可得 OD ∴
5 2
1 1 4 2 20 4 ( )2 ( )2 2 2 5 5 25 5 OC OD 1 4 ∴ 2 5 OM 1 1 1 ∴ 2 2 OC OD OM 2 1 1 1 （4）等式 2 2 2 成立．理由如下： a b h
正面 A．图 1 图1 4．下列图形中，不是轴对称图形的是．．
B．
C．
D．
A.
B.
C.
D.
5．已知三角形的三边长分别是 3，8， x ；若 x 的值为偶数，则 x 的值有 A．6 个 B．5 个 C．4 个 6．一件标价为 250 元的商品，若该商品按八折销售，则该商品的实际售价是 A．180 元 B．200 元 C．240 元 7．一组数据－2，－1，0，1，2 的方差是 A．1 B．2 C．3 8．若 (a 2) b 3 0 ，则 a b

2007年江苏省中考数学试卷及参考答案

江苏省2007年中考数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三大题，29小题，满分125分；考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共27分）一、选择题：本大题共9小题，每小题3分，共27分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若4x =，则5x -的值是 A. 1B. －1C. 9D. －92. 若 4a b +=，则222a ab b ++的值是A. 8B. 16C. 2D. 43. 据苏州市海关统计，2007年1月至4月，苏州市共出口钢铁1488000吨。

1488000这个数用科学记数法表示为A. 1. 488×104B. 1. 488×105C. 1. 488×106D. 1. 488×1074. 如图，MN 为⊙O 的弦，∠M ＝50°，则∠MON 等于A. 50°B. 55°C. 65°D. 80°5. 某同学7次上学途中所花时间（单位：分钟）分别为10，9，11，12，9，10，9。

这组数的众数为A. 9B. 10C. 11D. 126. 方程组379475x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是A. 21x y =-⎧⎨=⎩B. 237x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩C. 237x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩D. 237x y =⎧⎪⎨=⎪⎩7. 下列图形中，不能．．表示长方体平面展开图的是8. 下图是一个旋转对称图形，以O 为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°9. 如图，小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积。

然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积。

实用文档之《微积分》各章习题及详细答案

实用文档之"第一章函数极限与连续"一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

微积分各章习题及详细答案

《微积分》各章习题及详细答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数x xx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案

（完整版）多元函数微分法及其应⽤习题及答案第⼋章多元函数微分法及其应⽤(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z 2，xy z2 ，则在D 上，xy zy x z =22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z 23及23y x z。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线??=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾⾓是多少？9．求⽅程1222222=++c11．设()y x f z ,=是由⽅程y z z x ln =确定的隐函数，求xz，y z ??。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由⽅程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz，y z ??，y x z 2。

14．设y ye z x cos 2+=，求全微分dz 。

15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。

《多元函数微积分》习题解答第三章-14页精选文档

《多元函数微积分》习题解答第三章-14页精选文档习题3-11、计算下列第二类曲线积分：（1）?-Ldx y x ,)(22L 为抛物线x y =2上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；（2）,)()(22?+--+Ly x dyy x dx y x L 为按逆时针方向饶行的圆222a y x =+；（3）?++L xdz zdy ydx ,L 为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上由t=0到t=2π的有向弧段;（4）?-+++Ldz y x ydy xdx ,)1(L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；（5）,??Ldl F 其中),,(x y F -=L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针方向；（6）Ldl F ,其中2221y x xe ye F +-=，L 按逆时针方向饶行的圆t a y t a x sin ,cos ==.解（1）化为对x 的定积分，L: x y =2，x 从0到2，所以-Ldx y x )(22=1556)5131()(20534202-=-=-?x x dx x x （2）圆周的参数方程为：t a y t a x sin ,cos ==)20(π≤≤t+--+Ly x dyy x dx y x 22)()( =--+π202)sin ()sin cos ()cos ()sin cos (1t a d t a t a t a d t a t a a =dt t a t a t a t a t a t a a ])cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1202?---+π=ππ212022-=-?dt a a（3）L 的参数方程为：bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，t 从0到2π，所以++Lxdz zdy ydx =)(cos )sin ()cos (sin 20t b td a t a btd t a td a ?++π=22022)cos cos sin (a dt t ab t abt t a ππ-=++-? （4）直线的参数方程为：)10(31,21,1≤≤+=+=+=t t z t y t x dt dz dt dy dt dx 3,2,===∴代入 ?-+++Ldz y x ydy xdx )1(=?-+++++++10)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t =1376)146(10=+=+?dt t （5）三条直线段的方程分别为y=0,x 从0到1； x=1,y 从0到1； y=x,x 从1到0. 所以 ??Ldl F =?--Lxdy ydx-+-+-=0101101xdx xdx dy =0ππππ21)sin (cos )cos (sin )6(202202222022-=-=-=+-+=dt t a d ata t a d a t a dy y x xdx y x y dlF L2、一力场由以横轴正向为方向的常力F 构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周222R y x =+按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.解：由题意知，场力所作的功为dx F W L=L: 222R y x =+,x 从R 变到0，于是，w=R F dx F dx F R L-==??03、有一平面力场F ，大小等于点（x,y ）到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量的质点P 沿椭圆12222=+by a x 逆时针方向绕行一周，力F 所作的功.解：),(y x F --=椭圆12222=+by a x 的参数方程为：t b y t a x sin ,cos ==，t 从0到2π所以，2sin 2cos )sin (sin )cos (cos 2022202220=--=--=?=??πππt b t a t db t b t da t a dl F W L4、有一力场F ，其力的大小与力的作用点到xoy 平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线)0(,,≠===c ct z bt y at x 从点),,(c b a 移动到)2,2,2(c b a 时，该场力所作的功.解：),,(222222222zy x z z y x y z y x x z k F ++-++-++-=直线的参数方程为：)0(,,≠===c ct z bt y at x ，t 从1到2所以，cc b a k dttc t b t a t c kt c t b t a dl F W L2ln ))(22221222222222++-=++---=?=??习题3-2答案1、解：记S 在x>0一侧为1S ，在x<0一侧为2S ，在z=h 上的部分为3S ，在z=0上的部分为4S ，在y>0一侧为5S ，在y<0一侧为6S ，则由题有--=-=-=-=-+----+-=+++++=+++=rrrrhD D D S S s s s s hr dy y r h dzy r dy dydzy r dydz y r yyy r dydz y r yy y r zdxdyydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz xdydz xdydz xdydz xdydz Q yz yz yz 22202222222222221222)(211234π22341234hr dxdy h zdxdy zdxdyydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz zdxdy zdxdy zdxdy zdxdy Q xyxyD D S S s s s s π===+++++=+++=??同理可得：??+==6523S S hr ydzdx Q π 2、解：（1）由题S y x R z S ,222---=：在xoy 面上的投影区域222:R y x D xy ≤+，()720257022520220222252222222222221052cos sin 42sin 41sin cos R tdt t R drr R r drr R r d dxdy y x R y x dxdy y x R y x zdxdy y x R RD D Sxyxyππθθθθπππ==-=-=--=----=∴（2）()221202222222e e dr e d dxdy y x edxdy y x e r D y x Sz xy-==+=++πθπ（3）将S 分成1s 和2s ，其中1S ：z=h ，222h y x ≤+取上侧，2s ：22y x z +=，h z ≤≤0x>0取下侧则=+=∴=-++-?-+++-?+--==-=ss s s s s D dxdyy x yx y x y x yx x y x y dxdy y x xy12112)]()()[(,0)(22222222(4)记S 在z=0上的部分为1S ，在x=0上的部分为2S ,在y=0上的部分为3S ,在122=+y x 上的部分为4S ,在22y x z +=上的部分为5S .有321222222=++=++=++S S S ydzdx x xzdydz zdxdy y ydzdx x xzdydz zdxdy y ydzdx x xzdydz zdxdy y.1631111102222102222224π=-+-=-+-=++dz x x x z x dx dxdz x x x z x ydzdx x xzdydz zdxdy y xz D S()()()()()()()81616316)]cos 1(cos 3cos 2[sin cos sin 3cos 2sin 32222122445102244522244222222225ππππθθθθθθθθθθθππ=-=∴-=---=--=--=-+-+++=++原式d r d dr r d dxdy y x x ydxdyy y x x y x x y xy ydzdx x xzdydz zdxdy y xyxyD D S3、解：（1）,33233y x z --=35211cos ,521cos ,531cos ,3651,33,232222222 2=???? ????+??? ????+==??? +??? ????+??-==???? ????+??? ????+??-==+??? ????+-=??-=??y z x z y z x z yz y z x z xzy z x z y z x z γβα 原式=()++=++S S dS R Q P dS R Q P 5325253cos cos cos γβα. （2）,2,2y yz x x z -=??-=?? 222222222222441111cos 44121cos 44121cos y x y z x z yx y y z x z yz y x x y z x z xz++=+??? ????+=++=+??? ????+??-=++=+??? ????+??-=γβα原式=()++++=++SSdS yx R yQ xP dS R Q P 2244122cos cos cos γβα§3-3格林公式及其应用 1．(1) y e x Q y x P -=-=,2，1,1=??-=??xQy p ，πab dxdy yPx Q D2)(=??-??=??故原式 (2) )2(,)1(--=+=y x Q y x P , y xQ x y p -=??+=??2,1 ,-=--=??-??=yD dx y x dy dxdy y P x Q 101061)1()(故原式（3）)(,)(222y x Q y x P +-=+=，x xQy x y p 2),(2-=??+=?? ?????--=--+-=--??-??=101013012311)3()24()(yD y dx y x dy dy y dxdy y P x Q 故原式（4）)sin (),cos 1(y y e Q y e P x x --=-=，)sin (,sin y y e xQy e y p x x --=??=?? 而在以)0,(π为起点)0,0(为终点的直线上=---)0,0()0,(0)sin ()cos 1(πdy y y e dx y e xx 所以原式)1(51]202sin 22cos 41[sin 21]sin )sin ([02sin 0ππππe e x e x e dxe x ydy dxe dxdy y e y y e xx x D x x xxx -=?+?+-=?-=-=---=2．4213456,4y y x Q xy x P -=+=-λ，222)1(6,12--=??=??λλx y xQxy y p 因为积分与路径无关，所以xQ y p ??=??,得3=λ -=-+=-++)2,1()0,0(1242442234579)56()56()4(dy y y dx x dy y y x dx xy x 3.(1)y x Q y x p +=+=2,2xQ y p ??==??2，是二元函数u(x,y)(的全微分. y x p x u 2+==??由，得)(221)2(),(2y xy x dx y x y x u ?++=+=? y y y x Q yu y x y u =+==??+=??)('2)('2??得，及由C y y +=221)(?，故C y xy x y x u +++=2221221),((2)x y Q x y x p 2cos 3cos 3,cos 3sin sin 4-==xQy x x y p ??==??3cos cos sin 12，是二元。

微积分复习题集带参考答案(5)

微积分习题集带参考答案2（2），求圆的面积为1时，面积变量S 相对于周长l 的变化率。

解此时S 是l 的函数 πππ4222l l S =⎪⎭⎫ ⎝⎛=。

于是S 对周长l 的变化率为 π2l dl dS =。

当1=S 时π2=l ，此时ππ12==l dl dS 。

5(2). 设ax y ||=，在0=x 点可导，求α的取值范围。

解设ax x f ||)(=。

当0≤α时，0=x 是函数的间断点，此时函数不可导。

只讨论0>α。

考虑左导数 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<∞===---+→1,0111,0)0()(lim10ααααa x x xxx f x f ，考虑右导数 ⎪⎩⎪⎨⎧>=-<∞=--=-=----→1,0111,)()(0)0()(lim10ααααa x x x x x f x f ，因此该函数当1>α时在0=x 点可导，导数为0.6. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<≤+<-=1,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 。

求b a ,使得)(x f 在1,0=x 可导。

解法1 因可导必连续，则 a f x f x ===-→)0(0)(lim 0，则0=a 。

这样在1=x 处)(x f 也连续。

此时 110)0()(lim )0(0=-=--='-→-x e x f x f f x x ，1lim 0)0()(lim )0(00==--='+→+→+xxx f x f f x x ，。

1111)1()(lim)1(1=--=--='-→-x x x f x f f x ，b x x b x f x f f x x =--=--='+→+→+1)1sin(lim 1)1()(lim )1(11。

若)1('f 存在，则应有b =1。

此时1)1('=f 。

解法2 同理可得0=a 。