九年级数学下册 第3章 圆 1 圆作业课件 (新版)北师大版
【北师大版】数学九(下)第3章圆期末复习学案(课件版)
A. 相交 C. 相离
B. 相切 D. 无法确定
切线的性质
7. 如图，∠APB = 30°，点 O 在射线 PA 上，☉O 的半径为 2，当☉O 与 PB 相切时，OP 的长度为（ B ） A. 3 B. 4 C. 2 3 D. 5 3
课程标准
期末复习学案（3） ——圆
目录
考点过关 核心考题 提升考题
考点过关
圆的相关概念
1. 下列说法正确的是（ C ）
A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 直径是圆中最长的弦 D. 半圆是圆中最长的弧
垂径定理
2. 如图，在☉O 中，OD⊥AB 于点 C，OB = 13，AB = 24， 则 OC 的长为（ C ）
②CE = DE； ④∠OCE = 50°.
B. 2 D. 4
17. 如图，点 I 是△ABC 的内心，∠BIC = 130°，则∠BAC= （ D）
A. 60° C. 70°
B. 65° D. 80°
18. 已知圆内接正三角形的面积为 3 3，则边心距是（ B ）
A. 2
B. 1
C. 3
D. 3
2
∴∠BAC = 180° - ∠BDC = 130°. ∵AB = AC，∴∠ABC = （180° - ∠BAC） ÷ 2 = 25°.
切线长定理
9. 如图，P 为☉O 外一点，PA，PB 分别切☉O 于 A，B 两点. 若 PA = 3，则 PB = （ B ）
A. 2 C. 4
B. 3 D. 5
正多边形与圆
10. 已知圆的内接正六边形的面积为 18 3，则该圆的半径 等于（ B ）
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 圆章节复习(解析版)
圆章节复习课前测试【题目】课前测试如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）．【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2，∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=；（3）如图（3），连接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF•OE=••=（0＜x＜）．总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．【难度】4【题目】课前测试如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．【答案】OD=3；AE是⊙O的切线；【解析】（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．总结：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆是九年级下册的内容，是初中几何三大模块（三角形、四边形、圆）之一，也是中考几何必考内容，包含与园有关的圆性质、与圆有关的位置关系及与圆有关的计算三部分，相比三角形与四边形，圆部分的知识点更多，需要记忆的概念和公式也就更多，另外它还要跟三角形和四边形结合，综合考查几何知识，难度骤然提升，解题思维更要灵活。
3.4+圆周角和圆心角的关系第1课时+圆周角定理课件2023-2024学年+北师大版九年级数学下册+
归纳新知
由上面的问题可以看出，∠ABC是圆上的一种新的 角，这种角我们称为圆周角.你能归纳出其完整定义吗？
定义：顶点在圆上，且角的两边分别与圆还有另
一个交点的角叫做圆周角.
A
C
圆心角和圆周角 有什么关系吗？
E
B D
归纳新知
A
C
E
B D
（1）在上图中，当球员在B，D，E处射门时，他所 处的位置对球门AC分别形成三个角∠ABC，∠ADC， ∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
第3章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角定理
复习导课
请画出一个圆心角，并说明圆心角的特点.
O
A
B
特点：顶点在圆心，角的两边与圆相交.
复习导课
A
C
E
B D
图中∠ABC的顶点位置与圆心角的顶点位置有什么 不同？它的两边与圆有什么位置关系？
∠ABC的顶点在圆上，而圆心角的顶点在圆心； ∠ABC的两边与圆相交.
是△ABO的外角，
O
∴∠AOC=∠A+∠B.
∵OA=OB，∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠A. 即 ABC = 1 AOC .
B
2
归纳新知
如果∠ABC的两边都不经过圆心，那么结果会怎样？ 你能利用特殊结果把问题解决吗？
① 点 O 在 ∠ ABC 内 部 时 ， 只要作出直径BD，将这个角转 化为上述情况的两个角的和即 可证出.
归纳新知
A
三个张角∠ABC，∠ADC 和∠AEC有什么关系呢？它们 会相等吗？
C O
E
B
D
∠ABC，∠ADC和∠AEC是同弧（弧AC）所对 的圆周角，根据我们所学的圆周角定理可知，它们 都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相 等.即∠ ABC=∠ADC=∠AEC.
新版北师大初三数学九年级(下册)第三章圆练习题(分节练习)【含答案】
新版北师大初中数学九（下）第三章圆分节练习第1节圆01、【基础题】已知⊙O的面积为25 . （1）若PO＝，则点P在_____；（2）若PO＝4，则点P 在_____；（3）若PO＝_____，则点P在⊙O上.01.1【综合Ⅰ】如左下图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，5cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有_______，在圆上的有_______，在圆内的有_______.01.2、【综合Ⅲ】如右上图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，那么E、F、G、H是否在同一个圆上？说明理由.01.3、【综合Ⅲ】若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(3，4)，点P的坐标是(5，8)，则点P的位置是（）A、在⊙A内B、在⊙A上C、在⊙A外D、不能确定02、【综合Ⅰ】设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形：（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形；（2）到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形；（3）到点A的距离小于2 cm，且到点B的距离大于2 cm的所有点组成的图形.03、【提高】海军部队在某灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3 km的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔A 有2 km远的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应往哪个方向航行？请给予证明.03.1【提高】已知点P不在⊙O上，且点P到⊙O上的点的最小距离是5，最大距离是7，求⊙O 的半径.第2节圆的对称性04、【基础题】如左下图，在⊙O中，⌒AC ＝⌒BD ，∠1＝30°，那么∠2＝_____.04.1、【基础题】如右上图，在⊙O中，弧AB等于弧AC，∠A=30°，则∠B＝_____.05、【综合Ⅰ】如左下图，点A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC，那么△ABC与△DCB全等吗？为什么？05.1、【基础题】如右上图，在⊙O中，AD＝BC，试说明AB与CD相等.05.2【基础】如左下图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且⌒AD＝⌒CE，那么BE和CE的大小有什么关系？为什么？05.3【综合Ⅰ】如右上图，AB是⊙O的直径，OD∥AC，那么⌒CD与⌒BD的大小有什么关系？为什么？06、【综合Ⅰ】如左下图，A、B是⊙O上两点，∠AOB＝120°，C是⌒AB的中点，试确定四边形OACB的形状.06.1、【综合Ⅱ】如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝______.* 第3节垂径定理07、【基础题】如左下图，已知⊙O中，OC⊥弦AB于C，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径等于______.07.1、【基础题】如右上图，已知⊙O 的半径为30 mm ，弦AB ＝36 mm ，求点O 到AB 的距离及∠OAB 的余弦值.08、【综合Ⅱ】如左下图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16 m ，拱高CD=4 m ，那么拱形的半径是____m.08.1、【综合Ⅱ】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为数学语言就是：如右上图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长.09、【综合Ⅰ】如右图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.（1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE ＝OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？为什么？10、【综合Ⅰ】 已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB ∥弦CD ，AB ＝6 cm ，CD ＝8 cm ，试求AB 与CD 间的距离.10.1、【综合Ⅱ】 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？11、【综合Ⅲ】如右图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC ＝2 cm ，则⊙O 的半径为______ cm .第4节 圆周角和圆心角的关系（包括圆内接四边形）12、【基础题】如左下图，在⊙O 中，已知∠BOC ＝100°，则∠BAC 的度数是_____°D C BADC B AO12.1、【基础题】如右上图，在⊙O 中，∠BAC ＝25°，则∠BOC ＝_____°12.2、【综合Ⅰ】 如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A ＝40°，求∠OBC 的度数.13、【基础题】如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，且∠BCD ＝100°，求∠BOD （弧BCD 所对的圆心角）和∠BAD 的大小.13.1、【基础题】左下图，A 、B 、C 三点都在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是_____.13.2【基础题】如右上图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 是_____°.13.3【综合Ⅰ】在圆内接四边形ABCD 中，对角∠A 与∠C 的度数之比是4：5，求∠C 的度数.13.4、【综合Ⅱ】如左下图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E 、F ，且∠E ＝40°，∠F ＝60°，求∠A 的度数.14、【基础题】如右上图，⊙O 的直径AB ＝10 cm ，C 为⊙O 上的一点，∠B ＝30°，求AC 的长.14.1、【基础题】如左下图，AB 是⊙O 的直径，∠C ＝15°，求∠BAD 的度数.14.2、【综合Ⅰ】如右上图，⊙O 的弦AB ＝16，点C 在⊙O 上，且sin C ＝54，求⊙O 的半径的长.14.3、【中考题】A 、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合），我们称∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角.（1）若AB 是⊙O 的直径，则∠APB 是多少度？（2）若⊙O 的半径是1，AB ＝2，则∠APB 是多少度？15、【基础题】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）A 、正方形B 、菱形C 、矩形D 、等腰梯形16、【提高题】如右图，AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，且CD 、AB 的长是一元二次方程01272＝＋－x x 的两根，求tan ∠DPB.第5节 确定圆的条件17、【基础题】分别作出下面三个三角形的外接圆，并指出它们外心的位置有什么特点17.1、【基础题】如左下图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？17.2、【基础题】如右上图，A、B、C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.18、【综合Ⅰ】在△ABC中，AC＝10，BC＝8，AB＝6，求△ABC外接圆的半径18.1、【综合Ⅰ】等边三角形的边长为a，求这个三角形外接圆的面积.第6节直线和圆的位置关系19、【基础题】如右图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？（2）以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？19.1【基础题】直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，求r的取值范围.19.2、【综合Ⅰ】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O是AB上一点，OA＝m，⊙O的半径为r，当r与m满足怎样的关系时，（1）AC与⊙O相交？（2）AC与⊙O相切？（3）AC与⊙O相离？20、【基础题】如左下图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=______．20.1【基础题】如右上图，PA切⊙O于点A，该圆的半径为3，PO=5，则PA的长等于_____．20.2、【综合Ⅰ】如左下图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，∠P＝70°，则∠C＝( )°°°°20.3、【综合Ⅱ】如右上图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10．（1）求证：CA=CD；（2）求⊙O的半径．20.4【综合Ⅱ】如右图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC，求证：AD·BC=OB·BD．21、【中考题，2014陕西23题】（本题满分8分）如右下图，⊙O的半径为4，B是⊙⊙O的切线BD，切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为C.(1) 求证：AD平分∠BAC(2) 求AC的长22、【基础题】如左下图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，那么直线AB是⊙O的切线吗？为什么？22.1、【中考题，2013年孝感市23题，10分】如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．23、【基础题】如图，已知锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，分别作出它们的内切圆. 请问，三角形的内心是否都在三角形的内部？23.1、【基础题】等边三角形的边长为a，求这个三角形内切圆的面积.23.2、【综合Ⅰ】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r ＝__ _ ．24、【综合Ⅰ】如左下图，在△ABC中，∠A＝68°，点I是内心，求∠I的度数.24.1、【综合Ⅰ】如右上图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠DCB＝80°，∠D＝100°，若P、Q两点分别为三角形ABC和三角形ACD的内心，那么∠PAQ的度数是多少？24.2、【综合Ⅲ】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，求其内心和外心之间的距离.*第7节切线长定理25、【基础题】如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点. 求证：PA＝PB25.1、【基础题】已知⊙O的半径为3 cm，点P和圆心O的距离为6 cm，过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长.25.2、【综合Ⅰ】如左下图，PA和PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D、E两点. 已知PA＝PB＝5 cm，求△PDE的周长.25.3、【综合Ⅲ】如右上图，PA和PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠P＝40°，点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且AD＝BE，BD＝AF，求∠EDF的度数.26、【综合Ⅰ】如左下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，求⊙O的半径. （利用切线长定理来解题）26.1、【综合Ⅲ】如右上图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF、BD、CE的长.26.2、【综合Ⅲ】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6 cm，CB＝CD＝8 cm，且∠B＝90°，该四边形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径.第8节圆内接正多边形27、【基础题】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.27.1、【综合Ⅱ】有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为______.27.2、【综合Ⅱ】如右图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE，求这个正六边形的面积.27.3、【基础题】请求出半径为6的圆内接正三角形的边长和边心距.28、【基础题】已知正方形的边长是a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶R∶a＝______.28.1、【基础题】请利用尺规作一个已知圆的内接正四边形.28.2、【综合Ⅰ】请利用尺规作一个已知圆的内接正八边形.29、【综合Ⅲ】如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、内接正方形ABCD、内接正五边形ABCDE、……、内接正n边形的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON. （1）求图1中的∠MON的度数；（2）在图2中，∠MON的大小是______，在图3中，∠MON的大小是______；（3）根据图n，请说明∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系（直接写出答案）.第9节 弧长及扇形的面积（含圆锥侧面积题目）30、【中考题，2014年云南省第7题3分】已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（ ）A 、B ．2πC ． 3πD ． 12π30.1、【中考题，2014四川自贡第8题4分】 一个扇形的半径为8cm ，弧长为cm ，则扇形的圆心角为（ ）30.2、【基础题】已知圆上一段弧长为4 cm ，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径是_____.31、【中考题，2014成都，3分】在圆心角为120°的扇形AOB 中，半径OA ＝6 cm ，则扇形AOB 的面积是________2cm .31.1、【中考题，2014山东东营第5题3分】如左下图，已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则图中弓形（阴影）面积是_________.31.2、【中考题，2014·浙江金华第10题4分】如右上图，一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，两个正方形的边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是 （ ）A ．5:4B ．5:2C ．5:2D ．5:232、【中考题，2014杭州第2题3分】左下图，已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥为______2cm . 的侧面积33、【综合Ⅲ】如右上图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为1，则阴影部分的面积是________.33.1、【中考题，2014山东泰安第19题3分】如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，cm.分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________233.2、【中考题，2014福建泉州第17题4分】如右图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：（1）AB的长为_____ 米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为______ 米．新版北师大初中数学九（下）第三章圆分节练习答案第1节答案01、【答案】（1）圆外；（2）圆内；（3）501.1、【答案】在圆外的有点B，在圆上的有点M，在圆内的有点A和点C.【答案】E、F、G、H四个点共圆.证明:连接OE、OF、OG、OH∴AB=BC=CD=DA,DB⊥AC∵E、F、G、H分别是各边的中点∴1111,,,2222OE AB OF BC OG CD OH AD====（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴OE OF OG OH===∴E、F、G、H四个点都在以O为圆心、OE长为半径的圆上.【答案】选A02、【答案】（1）如图1，所求图形即P、Q两点；（2）如图2，所求图形为阴影部分（不包括阴影的边界）；（3）如图3，所求图形为阴影部分（不包括阴影的边界）.03、【答案】往射线AB方向航行【证明】如图，设航线AB交⊙A于点C，在⊙A上任取一点D（不包括C关于A的对称点）连接AD、BD；在△ABD中，∵AB+BD＞AD，AD=AC=AB+BC，∴AB+BD＞AB+BC，∴BD＞BC．答：应沿AB的方向航行．03.1【答案】当点P在圆外时，半径是1；当点P在圆内时，半径是6.第2节答案04、【答案】30°【答案】75°05、【答案】全等，可先证AC＝DB.、【提示】证弧CD和弧AB相等.05.2【答案】相等.【提示】先证弧BE和弧AD相等.05.3、【答案】相等【提示】连接OC06、【答案】四边形OACB 是菱形【证明】连接OC∵C 是弧AB 的中点，∠AOB=120°∴∠AOC=60°∴△AOC 是等边三角形∴OA=AC同理可得BC=OB∴OA=OB=BC=AC∴四边形OACB 是菱形、【答案】 120°【提示】 连接OC 、OD ，可证△BOC 和△COD 都是等边三角形.* 第3节 答案07、【答案】半径等于5.【提示】如右图，利用垂径定理和勾股定理来算半径.07.1、【答案】 点O 到AB 的距离是24 mm ，∠OAB 的余弦值是0.608、【答案】 10 m.【提示】 在如图的圆弧形中，CD 是拱高，根据圆的对称性可知CD 垂直平分AB ，则CD 所在直线过圆心，延长CD ，作圆心O ，并且连接OB.设拱形的半径OB 为r ，则OD 为（r －4）,根据勾股定理可得24）－（r ＋28＝2r ，解得r ＝10 m. 【总结】求圆的直径或半径常常过圆心作弦的垂线或连接圆心和弦的端点构造直角三角形，再根据勾股定理来求出半径. 有些题目不能直接求出半径则需列方程来解决.08.1【答案】 直径CD 是26寸.【解析】09、【提示】（1）用HL证明Rt△AOE与Rt△COF全等；（2）用HL证明Rt△AOE与Rt△COF全等.10、【答案】AB与CD间的距离为7 cm或1 cm.【提示】如图，若AB和CD在圆心两侧，则可求出OE＝3，OF＝4，则AB、CD距离是7 cm；若AB和CD在圆心同侧，则距离是1 cm.、【答案】相等.【解析】如图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理得：弧AF=弧BF，弧CF=弧DF，用等量减等量差相等原理，弧AF-弧CF=弧BF-弧DF，即弧AC=弧BD，故结论成立．符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．11、【答案】2【解析】第4节答案12、【答案】∠BAC的度数是50°.12.1、【答案】∠BOC＝50°12.2、【答案】∠OBC＝50°13、【答案】∠BOD＝160°，∠BAD＝80°13.1【答案】∠CBD 的度数是70°13.2【答案】∠DCE＝105°13.3【答案】∠C＝100°【答案】∠A＝40°14、【答案】AC＝5 cm、【答案】∠BAD的度数是75°14.2【答案】半径的长为10.【提示】连接AO，延长AO交⊙O于D，连接BD. 、【答案与解析】15、【答案】选C716、【答案】tan∠DPB＝3【解析】第5节 答案17、【答案】 锐角三角形的外心在内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在外部.、【答案】 最少使用两次、【提示】连接AB 、AC ，分别作线段AB 和AC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为供水站的位置.18、【答案】 △ABC 外接圆的半径是5.、【答案】 312a第6节 答案19、【答案】 （1）当半径长为32 cm 时，AB 与⊙C 相切.（2）当半径为2 cm 时，⊙C 与AB 相离；当半径为4 cm 时，⊙C 与AB 相交.19.1【答案】 5＞r19.2【答案】 （1）m r 23＞ （2）m r 23＝ （3）m r 23＜20、【答案】 40°20.1【答案】 PA ＝4、【答案】 选B20.3【答案】 （1）提示：证∠A ＝∠D ＝30°（2）半径是10.20.4【提示】 证明Rt △CBO ∽ Rt △BDA21、【答案】证明：（1）连接OD∵BD 是⊙O 的切线，D 为切点∴BC OD ⊥∵BD AC ⊥∴OD ∥AC∴∠ODA=∠CAD又∵OD=OA∴∠BAD=∠CAD∴AD 平分∠ABC(2)解：∵OD ∥AC ， ∴ΔBOD ∽ΔBAC ， ∴=， ∴=， ∴ AC ＝320 22、【提示】 连接OC ，证明OC ⊥AB22.1、【答案与解析】（1）证明：连接OA ，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC ，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC ﹣∠P=90°，∴OA ⊥PA ， ∴PA 是⊙O 的切线．（2）在Rt △OAP 中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD ，又∵OA=OD ，∴PD=OA ，∵，∴． ∴⊙O 的直径为．23、【答案】 都在内部23.1、【答案】 π1212a、【答案】 r ＝2.24、【答案】 ∠I ＝124°24.1、【答案】∠PAQ的度数是60°、【答案】5cm【解析】*第7节答案25、【解析】3cm25.1、【答案】325.2、【答案】△PDE的周长是10 cm.25.3、【答案】∠EDF＝70°26、【答案】⊙O的半径是426.1、【答案】AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm.【提示】设AE＝AF＝x，BF＝BD＝y，CE＝CD＝z2426.2、【答案】存在内切圆，内切圆半径是7第8节答案2.27、【答案】中心角是60°，边长是4，边心距是327.1、【答案】外接圆的半径为4627.2、【答案】正六边形的面积是36，边心距是3.27.3、【答案】边长是328、【答案】1∶2∶228.1、【提示】用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，在圆周上得到四个点，依次连接这四个点，就得到圆的内接正四边形.28.2、【提示】如图，先作出两条互相垂直的直径，再作出两条直径所形成的直角的角平分线，即可在圆周上得到圆内接正八边形的顶点第9节答案30、【答案】根据弧长公式：l==3π，故选C．30.1、【答案】选B30.2、【答案】7.2 cm.31、【答案】12π2cm31.1、【答案】4332－π【答案】选A【解析】32、【答案】 π15 2cm33、【答案】33π－【解析】33.1、【答案】 （﹣1） cm 2【解析】分析：假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P ，Q 面积相等．连接AB ，OD ，根据两半圆的直径相等可知∠AOD =∠BOD =45°，故可得出绿色部分的面积=S △AOD ，利用阴影部分Q 的面积为：S 扇形AOB ﹣S 半圆﹣S 绿色，故可得出结论． 解：∵扇形OAB 的圆心角为90°，假设扇形半径为2，∴扇形面积为：=π（cm 2），半圆面积为：×π×12=（cm 2），∴S Q +S M =S M +S P =（cm 2）， ∴S Q =S P ，连接AB ，OD ，∵两半圆的直径相等，∴∠AOD =∠BOD =45°，∴S 绿色=S △AOD =×2×1=1（cm 2），∴阴影部分Q 的面积为：S 扇形AOB ﹣S 半圆﹣S 绿色=π﹣﹣1=﹣1（cm 2）．33.2、【答案】 （1）1 米； （2）41 米. 【解析】分析： （1）根据圆周角定理由∠BAC =90°得BC 为⊙O 的直径，即BC =，根据等腰直角三角形的性质得AB=1；（2）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2πr=，然后解方程即可．解答：解：（1）∵∠BAC=90°，∴BC为⊙O的直径，即BC=，∴AB=BC=1；（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=，解得r=．故答案为1，．。
北师大版九年级数学下册第三章3.5确定圆的条件课件(共28张PPT)
判断：
1、经过三点一定可以作圆。（× ）
2、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分 线的交点。（√ ）
3、三角形的外心到三边的距离相等。（× ）
4、等腰三角形的外心一定在这个三角形内。 （×）
1、某一个城市在一块空地新建了三个 居民小区，它们分别为A、B、C，且三个 小区不在同一直线上，要想规划一所中学，
书P125 练习
小结：
课后日记： 今天学了什么：___________ 今天的收获是:______________ 有不明白的地方吗？_______ 它是:_________________
A
如图：⊙O是△ABC的
外接圆， △ABC是⊙O
的内接三角形，点O是
O C △ABC的外心
B
外心是△ABC三条边的垂
直平分线的交点，它到三角
形的三个顶点的距离相等。
如图，请找出图中圆的圆 心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
画出过以下三角形的顶点的圆
A
O ●
B
C
（图一）
A
O ●
┐
B
C
（图二）
A O ●
（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位 置和大小才唯一确定。
（2）经过一个已知点能作无数个圆！
（3）经过两个已知点A、B能作无数个圆！这 些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。
（4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（5）外接圆，外心的概念。
巩固新知 应用新知
2、如图,
一 根 5m 长 的 绳
于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
老师期望:
作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 圆心角与圆周角的关系(解析版)
圆心角与圆周角的关系课前测试【题目】课前测试如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）．【答案】（1）M为BD的中点；（2）．【解析】证明：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．∴△BAM∽△CBM，∴，即BM2=AM•CM．①又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，∴△DAM∽△CDM，则，即DM2=AM•CM．②由式①、②得BM=DM，即M为BD的中点．（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．∵PC∥BD，∴．③又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，∴∠ABC=∠MCP．而∠ABC=∠APC，则∠APC=∠MCP，有MP=CM．④由式③、④得．总结：本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．【难度】4【题目】课前测试如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【答案】等边三角形；CP=BP+AP；当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大，S四边形APBC=．【解析】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，∴S四边形APBC=×2×=．总结：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB ≌△ADC 是关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版 ，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆心角与圆周角的关系是九年级下册第三章的内容，主要讲解了圆周角定理及其三条推论，它是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角，该部分内容学习的重点是掌握同弧所对的圆周角与圆心角的关系，难点是应用圆周角定理解决简单问题。
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 正多边形与圆的相关计算(解析版)
正多边形与圆的相关计算课前测试【题目】课前测试如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．【答案】∠AED=45°；DE =。
【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=总结：本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型。
【难度】4【题目】课前测试如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）【答案】tan∠OAB=；S△AOB=（cm2）；的长度==（cm）．【解析】（1）作OC⊥AB．∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．∴OC=1，AC=．∴tan∠OAB=．（2）AC=，∴AB=2．∴S△AOB=2×1÷2=（cm2）．（3）如图，延长BO交⊙O于点P1，∵点O是直径BP1的中点，S△AP1O=AD×P1O，S△AOB=AD×BO，∵P1O=BO，∴S△P1OA=S△AOB，∠AOP1=60°．∴的长度为（cm）．作点A关于直径BP1的对称点P2，连接AP2，OP2，AP3，易得S△P2OA=S△AOB，∠AOP2=120°．∴的长度为（cm）．过点B作BP3∥OA交⊙O于点P3，则P2P3直径，易得S△P3OA=S△AOB，∴的长度==（cm）．总结：本题综合考查了解直角三角形，及三角形的面积公式及弧长公式．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正多边形与圆的相关计算是九年级下册第三章的内容，主要讲解了正多边形的相关概念、圆内接正多边形与外切正多边形定义与相关计算、弧长和扇形面积的计算公式。
北师大版九年级数学下册第三章《第三章 第1节 圆》优质课件
当OA=1cm时，点A在 ⊙O内 ； 点在圆上，点在圆 内.
当OB=4cm时，点B在 ⊙O外 .
例2.已知：如图，矩形ABCD的对角 线相交于点O， 试猜想：矩形的四个顶点能在同一 个圆上吗？
AA
DD
OO
BB
CC
答：在矩形ABCD中，有OA=OB=OC=OD，四个顶点 在同一个圆上，故矩形四个顶点能在同一个圆上.
2.（新疆建设兵团·中考）如图，王大爷家屋后有一块
长12m，宽8m的矩形空地，他在以BC为直径的半圆内种
菜，他家养的一只羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，
拴羊的绳子可以选用（ ）
A.3m
B.5m
C.7m
D.9m
答案:A
3.（泉州·中考） 已知三角形的三边长分别为3，4，5， 则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 ________.（写出符合的一种情况即可） 【解析】∵圆心的位置不确定，∴交点个数共有5种情况即 0、1、2、3、4.故答案为0或1或2或3、4. 答案：2（符合答案即可）
善性是难能可贵的，也是高尚和值得称赞 的。
——亚里士多德
You made my day!
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
我们，还在路上……
【规律方法】1.判断点与圆的位置关系的方法：
设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有
（1）点P在⊙Ｏ上
OP＝r
（2）点P在⊙Ｏ内
OP＜r
（3）点P在⊙Ｏ外
OP＞r
2.要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点到同一
个定点的距离相等.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
１.从运动和集合的观点理解圆的定义. ２.点与圆的位置关系. ３.证明几个点在同一个圆上的方法.
北师大版数学九年级下册第三章圆专题四模型拓展——圆中经典模型(隐圆问题)课件
原理：如图XD3-4-10，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则 ∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°．
针对训练
4.如图XD3-4-11，在等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点， PD⊥BC，PE⊥AC，求DE的最小值．
针对训练
1.（202X·广东改编）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3 ．D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，求线段CD长度的最小值． 解：如答图XD3-4-1，作△ABD的外接圆O（因求CD最小值，故圆心 O在AB的右侧），连接OC， 则当O，D，C三点共线时，CD的值最小． ∵∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°. ∴△AOB为等腰直角三角形.
模型解读
【模型二】 如图XD3-4-12，若固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A，B，C ，P四点共圆．
原理：如图XD3-4-13，在⊙O中，四边形ABCD是⊙O的内接四边 形，则∠1=∠2，∠3=∠4．
针对训练
5.如图XD3-4-14，PA，PB切⊙O于A，B两点，过点P作割线交⊙O 于点C，D，过点B作BE∥CD，连接AE交PD于点M.求证：M为DC的 中点.
谢谢
解：如答图XD3-4-4，连接PC，取CP的中点O，连接OE，OD，过 点O作OH⊥DE于点H． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=∠B=60°，BC=AC=AB=6． ∵PD⊥BC，PE⊥AC， ∴∠PDC=∠PEC=90°． ∴∠PDC+∠PEC=180°． ∴C，D，P，E四点共圆． ∴∠EOD=2∠ACB=120°． ∴当OE的值最小时，DE的值最小． ∴当CP⊥AB时，OE的值最小，即DE的值最小．
九下第3章圆4圆周角和圆心角的关系3圆内接四边形作业新版北师大版
(1)试说明：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； 【解】∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠CDB.∴DB平分∠ADC. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝ 180°.∴∠ABD＋∠CBD＋∠ADB＋∠CDB＝180°. ∴2(∠ABD＋∠ADB)＝180°. ∴∠ABD＋∠ADB＝90°.∴∠BAD＝180°－90°＝90°.
证法二：如图，连接BC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠PBC＝∠BAC＋∠ACB，∴∠PBC－∠BAC＝ 90°. ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°. ∵∠PBC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠PBC.∴∠ADC－∠BAC＝90°.
(2)若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长. 【解】由证法二得∠ADC＝∠PBC. ∵∠ACP＝∠ADC，∴∠PBC＝∠PCA. ∵∠BPC＝∠CPA，∴△PBC∽△PCA.∴PPBC＝PPAC. ∴PC2＝PA·PB. ∵⊙O 的半径为 3，∴AB＝6. ∴PA＝PB＋6.∵CP＝4，∴42＝(PB＋6)·PB， 解得 PB＝2 或 PB＝－8(舍去)．∴AP＝2＋6＝8.
∵∠AOD＝120°，∴∠BOC＝360°－90°－90°－120°＝60°.
∵OB＝OC，∴△OBC 是等边三角形．∴BC＝OB.
过点 O 作 OE⊥AD 于点 E，
∵OA＝OD，∠AOD＝120°，AD＝ 3，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，AE＝DE＝12AD＝
3 2.
∴∠CAO＝∠CAD－∠OAD＝45°－30°＝15°，OE＝12OA.
【答案】C
3 [2022·长春]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为( ) A．138° B．121° C．118° D．112°
北师大版九年级数学下册第三章《车轮为什么是圆的》优课件(共24张PPT)
以点O为圆心的圆记作：“⊙O”，读作：“圆O”。
如图：是一个圆形靶的示意图，O为圆心，小明向上 投了5枝飞镖，它们分别落到了A、B、C、D、E点。
D
●
●A
E
O● ●C
●
B
●
观察A、B、C、D、E这5个点与⊙O的位置关系 ？
点与圆的位置关系
（2）在以上三种关系中，点到圆心的距离与圆 的半径在数量上有什么关系？
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月17日星期四2022/2/172022/2/172022/2/17 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/172022/2/172022/2/172/17/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/172022/2/17February 17, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/172022/2/172022/2/172022/2/17
点 （ A,C） 在⊙O内 点 （ D ） 在⊙O上 点 （ B,E） 在⊙O外
D
●
●A
O●
E
●C
●
B
●
二、点和圆的位置关系
1、点在圆外、点在圆上、点在圆内。 点在圆外，即这个点到圆心的距离 （大于）圆的半径。 点在圆上，即这个点到圆心的距离 （等于）圆的半径。 点在圆内，即这个点到圆心（３）点Ｐ在⊙Ｏ外
ＯＰ＝r ＯＰ＜r ＯＰ＞r
想一想：
直线和圆的位置关系(第2课时)(课件)-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
O C
即∠ OBC= 1 ∠ABC ∠OCB=1 ∠ACB
2
2
∴∠ BOC=180°－(∠ OBC+∠OCB)
=180°－ 1 ( ∠ABC +∠ACB)== 125°.
2
1.下列说法错误的是( ) A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形一定有唯一一个内切圆 C．一个圆一定有唯一一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
探索&交流
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠Biblioteka . 当l 绕点 A 旋转时，
B
（1）随着∠α的变化，点 O 到 l 的距 l 离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置 关系如何变化？
Od α
A
l l
∠α从90°变小到0°，再由0°变大 到90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到0，再由0变大到 r.
练习&巩固
练习&巩固
2.如图，点C 是⊙ O上的一点，AB 是⊙ O的直径，∠CAB=∠DCB，
那么CD 与⊙ O 的位置关系是( )
A. 相交
B. 相离
C. 相切
D. 相交或相切
练习&巩固
3.如图，☉O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已
知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于
第三章 圆
6.2 直线和圆的位置关系
北师大版九年级数学下册
学习&目标
1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点） 2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）
北师大版九年级数学下册第三章圆3.4《圆周角和圆心角的关系(1)》说课稿
圆周角和圆心角的关系（1）(说课稿)3.3 圆周角和圆心角的关系一、教材分析（一）教学内容今天我说课的内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级（下）第三章《圆》第3节《圆周角和圆心角的关系》第一课时||。
（二）地位和作用本节课是学生在掌握圆心角的概念以及圆心角、弧、弦的关系的基础上进行学习的||，既是前面圆有关性质的延续||，又是下一节课证明圆周角定理推论的理论依据||。
本节课所渗透的学习内容和学习方法||，在学生今后的学习中应用广泛||，是本章重点内容之一||。
（三）教学目标根据新课程标准的要求以及九年级学生的认知结构与心理特征||，我从以下三方面确定教学目标：知识与技能——理解圆周角的概念和圆周角定理以及证明||。
过程与方法——经历探索圆周角与圆心角的关系的过程||，体会分类、归纳、转化的数学思想方法||。
情感态度与价值观——在推理证明的过程中获得正确的学习方法；在合作交流中培养团结协作的精神；在自主探究中体会成功的喜悦||。
（四）教学重点和难点根据新课程的理念||，经历过程带给学习的能力||，比具体的结果更重要||，结合本课内容||，我认为本节课的教学重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程||，理解掌握圆周角定理||，难点是：利用化归思想推导证明圆周角定理||。
二、教法学法分析（一）教学方法根据新课程理念的要求||，教师应该是数学学习的组织者、引导者与合作者||，结合本节课的内容及学生的实际情况||，在教法上我主要采用“探究合作||，启发引导”的方法||，同时以多媒体演示为辅助||，使学习的主要内容不是教师直接传授给学生||，而是以问题的形式不断呈现出来||，由学生自己去发现||，然后内化为自己知识结构的一部分||，这样既能唤起学生学习的欲望||，又调动学生学习的积极性和主动性||。
（二）学生学法在学法上||，学生主要采用动手实践、自主探索与合作交流相结合的学习方法||，在教师的引导下从直观感知上升到理性思考||，从自己的实践中获取知识||。
北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆PPT课件教学课件(第2课时)
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
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课时小结：
1．本节课我们探索了圆的对称性． 2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理． 3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、 弦心距等计算问题．
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课后作业：
(一)课本习题3．2，1、2．试一试１. (二) 预习课本：P94～97内容
新课讲解
知识点2 直角所对的弦是直径
在如图中，圆周角∠A＝90°，弦BC是直径吗？为什么？
新课讲解
90°的圆周角所对的弦是直径.
新课讲解
典例分析
例 如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B 两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( B ) A．80° B．90° C．100° D．无法确定
拓展与延伸
已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝4 3 ，点P在圆上，则 ∠APB＝_6_0_°__或__1_2_0_°_．
第3单元 · 圆
圆的对称性
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问题： 前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?
我们是用什么方法研究轴对称图形的?
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交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由。
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总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 弧。 推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径 ∴AM=BM，AD BD, AC BC .
北师大版九年级数学下册《圆——圆周角和圆心角的关系》教学PPT课件(6篇)
D
O2
O1
E
B
F
新知探究
【跟踪训练】
1.圆内接四边形ABCD中，∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
135°
1：2：3，则这个四边形最大角的度数是_________.
D
A
2.四边形ABCD内接于圆，AD∥BC，AB+CD=AD+BC ,
25
若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为_______.
A
A
O
O
BB
C
C
课堂小测
3. 如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ D ）
A
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
O
B
C
课堂小测
4 . 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.若
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ A）
A.30°
B.40°
C.50°
B
D.60°
D
C
OC垂直平分AD
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
A
平行
(2)OC与BD的位置关系是___________;
4
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
O1
O
B
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙O于点E，
3 . 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
C
过点B作直径BD.由1可得:
北师大版九年级数学下册课件第三章圆
骑车运动
看了此画,你有何想法?
观察：注意观察演示过程 ，
说说你的想法
车轮做成正方形的可以吗?
.B A.
.C
B. A.
.C
圆形车轮为什么平稳?
B. A.
.C
.B
A . .o
.o
.o
.o
.C
转椭圆 .o 转 圆
圆形车轮为什么平稳?
(1)如图，A、B表示车轮边缘 上的两点，O表示车轮的轴心，A A、O之间的距离与B、O之间 的距离有什么关系？
想一想，他们可能得到这些分数吗？ 如果可能，请把投中的靶区在靶纸 上表示出来（用不同颜色的彩笔画 出来）；如果不可能，请说明理由。
1:在以AB=5cm为直径的圆上到直线AB的距离为 2.5cm的点有 （ C ） Ａ．无数个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．４个 ２：圆的半径是５cm，圆心的坐标是（0,0），点Ｐ 的坐标为（4,2），点Ｐ与⊙Ｏ的位置关系是（A ）
当ＯＰ＝ 6cm时， 点Ａ在⊙Ｏ内部; 当ＯＰ＝10cm时， 点Ａ在⊙Ｏ上 ; 当ＯＰ＝1４cm时，点Ａ在⊙Ｏ外部 。
2015.01
3、正方形ABCD的边长为3cm，以Ａ为
A
D
圆心，３cm长为半径作⊙Ａ，则点Ａ
在⊙Ａ 内部，点Ｂ在⊙Ａ 上 ，点 Ｃ在
⊙Ａ 外部 ，点Ｄ在⊙Ａ 上 。
B
C
2015.01
(如直径AC).
A
直径将圆分成两部分,
每一部分都叫半圆(如A⌒BC).
●O
F
C
D
能够重合的两个圆叫做等圆。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
圆的相关概念 两张图片中的圆各有什么特征
北师大版九年级数学下册第三章《圆》.1直线和圆的位置关系及切线的性质习题课件
(2)如图②，若 CD⊥AB，过点 D 作⊙O 的切线，与 AB 的延长线 相交于点 E，求∠E 的大小．
解：连接 OD，如图所示． ∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°. ∴∠PCB＝90°－∠ABC＝90°－63°＝27°. ∵DE 是⊙O 的切线，∴DE⊥OD. ∴∠ODE＝90°.∵∠BOD＝2∠PCB＝54°， ∴∠E＝90°－∠BOD＝90°－54°＝36°.
【答案】B
11．(2019·无锡)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长 线交⊙O 于点 B，若∠P＝40°，则∠B 的度数为( B ) A．20° B．25° C．40° D．50°
12．(2019·重庆)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点 D，连接 OD，若∠C＝50°， 则∠AOD 的度数为( ) A．40° B．50° C．80° D．100°
(1)求证：AB＝BM；
证明：∵AP 为⊙O 的切线，AC 为⊙O 的直径，∴AP⊥AC. ∴∠CAB＋∠PAB＝90°. ∴∠AMD＋∠AEM＝90°. ∵AB＝BE，∴∠AEB＝∠EAB. ∴∠AMD＝∠PAB.∴AB＝BM.
(2)若 AB＝3，AD＝254，求⊙O 的半径． 解：连接 BC，如图所示． ∵AC 为直径，∴∠ABC＝90°. ∴∠C＋∠CAB＝90°. ∵∠CAB＋∠PAB＝90°，∴∠C＝∠PAB. ∵∠AMD＝∠PAB，∠C＝∠D，∴∠AMD＝∠C＝∠D.
【答案】B
7．已知⊙O 的半径是一元二次方程 x2－5x－6＝0 的一个根，圆 心 O 到直线 l 的距离 d＝4，则直线 l 与⊙O 的位置关系是 ( A) A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能
九下第3章圆集训课堂练素养2圆中常见的计算题型作业新版北师大版
6 如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦 AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部 分的面积等于多少？
【解】将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图，
则阴影部分的面积等于半圆环的面积．
作 OE⊥AB 于点 E(易知 E 为切点)，连接 OA， ∴AE＝12AB＝9. ∴阴影部分的面积为12π·OA2－12π·OE2＝12π(OA2－OE2)＝ 12π·AE2＝12π·92＝821π.
(2)若 CE＝ 2，求图中阴影部分的面积(结果保留 π)． 【解】∵OE⊥BC，∠B＝45°， ∴△OEB 是等腰直角三角形． 设 BE＝OE＝x，则 OB＝ 2x， ∴AB＝x＋ 2x.
易知 AB＝ 2BC，∴AB＝ 2(CE＋BE)＝ 2( 2＋x)． ∴x＋ 2x＝ 2( 2＋x)，解得 x＝2. ∴OE＝BE＝2. 由(1)知∠EOF＝45°， ∴S 阴影＝S△OEB－S 扇形 OEF＝12×2×2－45×36π0×22＝2－π2.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OE，OD. ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠OAD＝∠B＝45°. ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO＝45°. ∴∠AOD＝90°.∴∠DOF＝90°.
∵点 E 是弧 DF 的中点， ∴∠DOE＝∠EOF＝12∠DOF＝45°. ∴∠OEB＝180°－∠EOF－∠B＝90°. ∴OE⊥BC. ∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线．
∵AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形．∴∠ABO＝60°. ∵∠EOF＝60°，∴∠ABO＝∠EOF.∴AB∥OF. ∴∠OFG＝180°－∠BGF＝90°，即OF⊥GF. 又∵OF是⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线．