【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章拓展资料：用导数求切线方程的四种类型

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数学教案北师大版选修2-2 同步备课-第1章推理与证明学案第1节归纳与类比

§1归纳与类比1.1 归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f(x)＝x1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x1－x，f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·x 1－2x＝x1－4x，由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]数列中的归纳推理【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积．归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1，得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n－1(n∈N ＋)．几何图形中的归纳推理1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示] 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f(n)的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 123 … 个数6 1116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数18 26 34 …由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n∈N *)．16n(n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论． [解] 结论为：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2．证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd)2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd) ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．1.2 类比推理学习目标核心素养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点) 2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解] 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下： ∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0)，则T 4，_______，_______，T 16T 12成等比数列．T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解] 对于任意k∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1q p －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】如图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC·p a12BC·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC .∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1．类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V PBCDV ABCD，同理，p b h b ＝V PACD V ABCD ，p c h c ＝V PABD V ABCD ，p d h d ＝V PABCV ABCD .∵V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABC ＝V ABCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABCV ABCD＝1．1．在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b·cos C＋c·cos B 可类比四面体的什么性质？[解] 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．在本例中，若r 为三角形的内切圆半径，则S △＝12(a ＋b ＋c)r ，请类比出四面体的有关相似性质．[解] 四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1， ……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n ，所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1， ……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n ，所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n)，(x ，y)，则 N(－m ，－n)．因为点M(m ，n)是双曲线上的点，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ，所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较归纳推理类比类推相同点根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不同点特点由部分到整体，由个别到一般由特殊到特殊推理过程从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r22 B.l 22 C.lr 2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n(n ＋2)＝16[n(n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n(2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n ＋2)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．。

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1课件：第2章空间向量与立体几何复习课件

A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
D1 A1 G D A B C B1
C1
M
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
二.共线向量定理与共面向量定理
（一）、共线向量: 1.共线向量:空间两向量互相平行
向量a与b的夹角记作：<a,b>
a b
O
A
a
B
b
范围： 0 a, b 在这个规定下，两个向量的夹角就
如果 a, b
被唯一确定了，并且 a, b＝b, a
2
, 则称 a与b互相垂直，并记作： ab
2）两个向量的数量积
a b a b cos a, b
（三）、有关结论设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则线线平行：l∥m a ∥b a=kb; u=0; a⊥u a· 面面平行：α∥β u ∥v u=kv. 线线垂直：l ⊥ m a ⊥ b a· b=0; 线面垂直：l ⊥ α a ∥ u a=ku; 面面垂直：α ⊥ β u ⊥ v u· v=0. 线面平行：l ∥α
n1 FC1 ，又FC1
FC1 //

平面ADE，
平面ADE
（2） n1 // n2
∴平面ADE//平面B1C1F 2、已知向量 a 1,2,2 则 a 上的单位向量为：
2 2 2 1 1 2 , 或 , , , 3 3 3 3 3 3

sin cos AB,n
AB n AB n
题型三：二面角
二面角的范围：

高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析

选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数，记作0()f x '或|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xaf x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。

高中数学选修2-2全套教案(84页)

高中数学教案选修全套【选修2-2教案｜全套】目录目录 (I)第一章导数及其应用 (1)§1.1.1变化率问题 (1)导数与导函数的概念 (4)§1.1.2导数的概念 (6)§1.1.3导数的几何意义 (9)§1.2.1几个常用函数的导数 (13)§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (16)§1.2.2复合函数的求导法则 (20)§1.3.1函数的单调性与导数（2课时） (23)§1.3.2函数的极值与导数（2课时） (28)§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时） (32)§1.4生活中的优化问题举例（2课时） (35)§1.5.3定积分的概念 (39)第二章推理与证明 (43)合情推理 (43)类比推理 (46)演绎推理 (49)推理案例赏识 (51)直接证明--综合法与分析法 (53)间接证明--反证法 (55)数学归纳法 (57)第3章数系的扩充与复数的引入 (68)§3.1数系的扩充和复数的概念 (68)§3.1.1数系的扩充和复数的概念 (68)§3.1.2复数的几何意义 (71)§3.2复数代数形式的四则运算 (74)§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 (74)§3.2.2复数代数形式的乘除运算 (78)第一章导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

高中数学选修2-2“导数及其应用”教材分析及教学建议

高中数学选修2－2“导数及其应用”教材分析及教学建议“导数”是“微积分”的重要内容之一，也是高中数学的传统内容之一，是进一步学习数学和其他自然学科的基础，是研究现代科学技术必不可少的工具。

《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）与《全日制普通高级中学数学教学大纲》（以下简称《大纲》）相比，在教学内容、教学要求上都有很大的变化。

本文就《标准》和《普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2》（以下简称“教材”）中对这一内容与要求的变化进行简要的分析，并对教学中应该注意的问题谈一些设想和建议，供大家参考。

1．明确教学内容和教学要求的新变化1．1 教学内容的变化《标准》与《大纲》的内容相比，删去了极限；微分的概念与运算；不定积分的概念与运算；定积分在求旋转体体积中的应用等内容。

1．2 教学要求上的变化认识（要求把导数作为一种重要的数学思想、方法来学习），提高对导数应用性的要求，降低了对求导计算和定积分计算的要求。

2．把握“教材”的编写特点2．1 突出探索性，注重本质以往的教材在编排上从极限概念开始学习，把导数作为一种特殊极限来处理，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了学生对导数思想和本质的认识和理解。

而几个版本的“教材”对这部分内容的处理是，不讲极限概念，不把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是运用丰富的实际背景和具体应用实例，让学生通过观察、实验、类比、归纳、抽象等数学活动，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和了解导数的概念，掌握和理解导数思想和本质的。

例如，人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2》对“导数概念”的处理就是通过“研究气球膨胀率”和“研究高台跳水运动员从腾空到进入水面的过程中不同时刻的速度”让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，引出瞬时速度的概念，从而抽象出导数概念的。

2．2 突出应用性，淡化计算在以往微积分的教学中，更多的是要求学生会用公式和法则进行计算，对计算的要求很高，而忽视了导数作为数学思想、方法的工具性作用。

2018-2019学年北师大版选修2-2 2.2.1导数的概念课件(32张)

解析：y＝x2在x＝1处的导数为：
2 1 ＋ Δ x －1 lim f′(1)＝Δx→0 ＝2. Δx
答案：C
课后练习:1.某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求:
(1)2≤t≤2+Δ t这段时间内的平均速度,这里Δt取值为1;
(2)t=2时刻的瞬时速度.
解 : (1)s 5( 2 t )2 6 (5 22 6) 20t 5( t )2 , s 故平均速度为： 20 5t . t s 当t 1时, 25. t ( 2)t 2时刻的瞬时速度为 :
北师大版高中数学选修2-2第二章
学习目标： 1、通过回顾，进一步体会由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程. 2、理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，会求函数f(x)在某一点x0处的导数。 3、能解释具体函数在一点的导数的实际意义。学习重点：导数的概念及导数的实际意义。学习难点：结合具体问题，理解导数概念的内涵
பைடு நூலகம்
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, v
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149 当△t =0.001时, v 13.1049
(4)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。 f
导数f (x0 )= lim
x0
x f
x0
x 处的瞬时变化率，它反映的是函数y=f x
x 0
是函数y=f x 在点x0
在点x0 处变化的快慢程度.

数学北师大版选修2-2教材基础第二章§5简单复合函数的求导法则含答案

§5 简单复合函数的求导法则
前面我们学习了简单函数的求导和导数的四则运算,但如果我们遇到层次关系较多的函数，这样的函数我们怎样求它的导数呢？高手支招1细品教材
一、复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=φ（x ），如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数。

如:y=2
x e ，y=lntanx 都是复合函数. 状元笔记复合函数y=f （φ（x)）对自变量x 的导数等于函数y=f （u)关于中间变量u 的导数与中间变量u 关于自变量x 的导数的乘积。

二、复合函数的求导法则
如果函数u=φ(x)在点x 可导，而函数y=f(u)在对应点u=φ(x）可导，则复合函数y=f （φ(x ）)在点x 可导,且其导数为:y′=（f （u ））′=f′(u）·φ′（x).
三、利用复合函数的求导法则求复合函数的导数的步骤
1。

分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量;
2。

求每一层基本初等函数的导数，注意是对哪一个变量求导;
3。

每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数；
4.对于层数比较多的复合函数,可由外向里逐层求导.
【示例】求y=655-
x 的导数. 解：y′=[（5x 65-21)]′=21·(5x 65-21)-·5=65
525-x .
高手支招2基础整理
本节的主要内容是复合函数的概念,复合函数的求导法则及其应用。

本节的知识结构如下:。

北师大版数学高二《复数的四则运算》教材解读教案选修2-2

高中数学《复数的四则运算》教材解读教案选修2-2一、数系的扩充和复数的概念1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．我们知道，方程210x +=在实数范围内无解，于是需引入新数i 使方程有解，显然，需要21i =-．数系的扩充过程：自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C ．2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部．注意复数132i -的虚部是3-，而不是3i -．3．复数相等的充要条件a bi c di a c +=+⇔=且()b d a bcd =∈R ，，，注意事项：（1）复数a bi +(0)(0)(0)(0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数（2）复数集C ⎧⎨⌝⎩R R 实数集虚数集（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. 二、复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应．2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，．3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ．在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为22z a b =+．三、复数代数形式的四则运算1．复数的加法、减法①运算法则()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±．其运算法则类似于多项式的合并同类项②复数加法的运算律对于任意的123z z z ∈C ，，，有：交换律：1221z z z z +=+．结合律：123123()()z z z z z z ++=++．③复数加法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有12OZ OZ OZ +=（如图1）．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d +=++，，即得OZ 与复数()()a c b d i +++对应．可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．④复数减法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应（如图2），根据向量加法的三角形法则有：2211OZ Z Z OZ +=．于是：1221OZ OZ Z Z -=．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d -=--，，即得21Z Z 与复数()()a c b d i -+-对应．于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．2．复数代数形式的乘法运算①运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++．两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把2i 换为1-，并且把实部与虚部分别合并即可．②运算律：交换律：1221z z z z =··．结合律：123123()()z z z z z z =····．分配律：1231213()z z z z z z z +=+．③虚数i 的乘方及其规律：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =，．可见，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41()n i n *=∈N ，即i 具有周期性且最小正周期为4．④共轭复数a bi +与a bi -互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．它的几何意义是：共轭的两个复数关于x 轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3．复数代数形式的除法运算运算法则：2222(0)a bi ac bd bc ad i c di c di c d c d ++-=++≠+++．其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．。

高中数学选修2-2主要内容

说明：〔1〕导数即为函数 y=f<x>在 x=x0 处的瞬时变化率
〔2〕 x
x x0 ,当 x 0 时, x
x0 ,所以
f (x0 )
lim
x0
f
(x) f (x0 ) x x0
当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 即Δx→0 时,割线 PPn 趋近于确定的位置,这个确定位置
的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线.
1．3 导数在研究函数中的应用在某个区间 (a ,b) 内,如果 f ' (x) 0 ,那么函数 y f (x) 在这个区间内单调递增；如果
f ' (x) 0 ,那么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减．
特别的,如果 f ' (x) 0 ,那么函数 y f (x) 在这个区间内是常函数．
新疆王新敞
奎屯
⑷极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值；极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数 f (x) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值
进行比较,就可以得出函数的最值了．
时, y x
f (xo x) x
f (xo ) 无限趋近于一个固定的常数 A,则称 f (x) 在 x xo 处可导,并
称 A 为 f (x) 在 x xo 处的导数,记作 f ' ( xo ) 或 f ' ( x) |xxo ,
函数 y=f<x>在 x=x0 处的瞬时变化率是:
我们称它为函数 y f (x) 在 x x0 出的导数,记作 f ' (x0 ) 或 y' |xx0 ,即

北师大版数学高二-选修2教案 2.2《空间向量及其运算》

2.2《空间向量及其运算》教学设计【教学目标】1.了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。

2.了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

3 .掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。

4 .理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

【导入新课】复习引入1.有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a 同向；当λ＜0时，λa 与a 反向；当λ＝0时，λa＝0.3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a新授课阶段一. 空间向量及其加减与数乘运算1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模。

得到：零向量、单位向量、相反向量的概念。

相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b，AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa()R λ∈3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b+ c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa+λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a． 4. 推广：⑴ 12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵ 122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶ 空间平行四边形法则．例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.⑴ 向量AB 与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；⑵ 单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD 在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A 、B 、C 、D 可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，AC 与BC 共线，虽起点不同，但终点却相同.点评：解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．二、空间向量的数乘运算1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b。

北师大版高中数学选修2-2课件2-2第二章《变化率与导数》变化率与导数小结与复习

（1）已知函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有增量⊿x，那么函数y相应地有增量
y
⊿y=f(x0+⊿x)-f(x0),比值就x 叫做函数y=f(x)在 x0到x0+⊿x之间的平均变化率；（2）当⊿x→0时，有yx极限，就说函数y=f(x)在 x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导
数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有
导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也
有导数，且或f′x((x))=fy′'x (u)y′'u u(x'x).
例题探析
例1、求下列函数的导数：
⑴ y x3 x3 ln x
x2
⑵ y x2 (x 3)( x 3)
，直线l的斜率为k。C1：y C2： y (x 2)，2 y 2(
x，2 x
y 2)

2，x
k

2，x1
P1
(
k 2
，k 2(x2 2) ，
,
k2 4
)
P2
(2

k 2
,
k
2
。) 由斜率公式得
4
k 0 k 2 ( k 2 )
4 4 k ，解得：
或
k (2 k )
数（或变化率），记作
；f / (x0 )
y lim xo x
lim xo
f (x0
x) x
f (x0 )

lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
ห้องสมุดไป่ตู้
4
1．导数的概念：
（3）如果函数y=f(x)在开区间（a,b）内每一点

数学教案北师大版选修2-2 同步备课-第3章导数应用第1节导数的单调性与极性

§1函数的单调性与极值1. 1 导数与函数的单调性学习目标核心素养1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性．(重难点)3．会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其它函数的单调区间．(重点) 1．借助图象认识函数的单调性与导数的关系，提升学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数研究函数的单调性的学习，培养学生的数学抽象和数学运算的核心素养.1．函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0 常数函数2．函数图像的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图像越大大比较“陡峭”(向上或向下)越小小比较“平缓”(向上或向下) 思考：如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？[提示]函数f(x)为常函数．1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)＝0 D．不能确定A[由条件可知，f(x)在(a，b)内单调递增，∵f(a)≥0，∴在(a，b)内有f(x)>0.]2．已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )B [由f′(x)图像可知，f′(x)>0，函数单调递增，且开始和结尾增长速度慢，故应选B.] 3．已知函数f(x)＝12x 2－x ，则函数f(x)的单调增区间是( )A ．(－∞，－1)和(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)和(1，＋∞)D ．(1，＋∞)D [法一：f(x)＝12x 2－x ＝12(x －1)2－12，对应的抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，可知函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．法二：f′(x)＝x －1，令f′(x)>0，解得x>1．故函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．]单调性与导数的关系【例1】 (1)函数y ＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法： ①函数y ＝f(x)的定义域是[－1,5]； ②函数y ＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]； ③函数y ＝f(x)在定义域内是增函数； ④函数y ＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0. 其中正确的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图像如图所示，则导函数y ＝f′(x)的图像可能为( )A BC D思路探究：研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．(1)A (2)D[(1)由图像可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.]1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图像研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负．1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )A B C D(2)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是( )(1)D (2)D [(1)A ，B ，C 均有可能；对于D ，若C 1为导函数，则y ＝f(x)应为增函数，不符合；若C 2为导函数，则y ＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)根据函数的导数的正负与单调性的关系，对照图像可知，答案应选D.]利用导数求函数的单调区间【例2】求函数f(x)＝x ＋ax(a≠0)的单调区间．思路探究：求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间．[解] f(x)＝x ＋ax的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax 2.当a>0时，令f′(x)＝1－ax2>0，解得x>a 或x<－a ；令f′(x)＝1－a x 2<0，解得－a<x<0或0<x<a ；当a<0时，f′(x)＝1－ax2>0恒成立，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a ，＋∞)；单调递减区间为(－a ，0)和(0，a)．当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f(x)的定义域． 2．求导数f′(x)．3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x 的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．2．(1)函数f(x)＝e x－ex ，x∈R 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)(2)函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)(1)D (2)B [(1)∵f′(x)＝(e x－ex)′＝e x－e ，由f′(x)＝e x－e>0，可得x>1．即函数f(x)＝e x －ex ，x∈R 的单调增区间为(1，＋∞)，选D. (2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1x －1，由f′(x)＝1x－1>0，得0<x<1，所以函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是(0,1)，选B.]已知函数的单调性求参数的取值范围1．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b<0时，f(x)的单调性如何？ [提示] 求函数的导函数f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a 2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数．2．函数单调性的充要条件如何？[提示] (1)在某个区间内，f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件．例如，函数f(x)＝x 3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但f′(x)＝3x 2≥0.(2)函数f(x)在(a ，b)内单调递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，且f′(x)在(a ，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f′(x)＝0并不影响函数f(x)在该区间内的单调性．【例3】已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b.(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．思路探究：(1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值． [解] y′＝3x 2－a.(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数．则y′＝3x 2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，即a≤3x 2在x∈(1，＋∞)时恒成立，则a≤(3x 2)min . 因为x>1，所以3x 2>3.所以a≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]．(2)令y′>0，得x 2>a3.若a≤0，则x 2>a3恒成立，即y′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符．若a>0，令y′>0，得x>a3或x<－a 3. 因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．将本例(1)改为“若函数y 在(1，＋∞)上不单调”，则a 的取值范围又如何？ [解] y′＝3x 2－a ，当a<0时，y′＝3x 2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a>0时，函数y 在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x 2－a ＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x 2－a ＝0可得x ＝a3或x ＝－a3(舍去)．依题意，有a3>1，∴a>3， ∴a 的取值范围是(3，＋∞)．2．本例(1)中函数改为f(x)＝x 3－ax 2－3x.区间“(1，＋∞)”改为“[1，＋∞)，a 的取值范围如何？ [解] 由f(x)＝x 3－ax 2－3x 得 f′(x)＝3x 2－2ax －3，∵f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数， ∴3x 2－2ax －3≥0， ∴a 3≤x 2－12x. 令g(x)＝x 2－12x，x∈[1，＋∞)，g′(x)＝x 2＋12x2>0，即g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝0， ∴a 的取值范围为a≤0.1．解答本题注意可导函数f(x)在(a ，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a ，b)上恒成立，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a ，b)上的单调性，求参数取值范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a ，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a ，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．3．已知函数f(x)＝2ax 3＋4x 2＋3x －1在R 上是增函数，求实数a 的取值范围． [解] f′(x)＝6ax 2＋8x ＋3.∵f(x)在R 上是增函数，∴f′(x)≥0在R 上恒成立，即6ax 2＋8x ＋3≥0在R 上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧64－72a≤0，a>0，解得a≥89.经检验，当a ＝89时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，＋∞.1．函数的单调性与导数符号的关系设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在(a ，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a ，b)为f(x)的单调增区间； (2)如果在(a ，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a ，b)为f(x)的单调减区间． 2．利用导数求函数的单调区间的步骤求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是所求的单调区间，其步骤如下：(1)求函数f(x)的定义域； (2)求出f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0可得函数f(x)的单调增区间，解不等式f′(x)<0可得函数f(x)的单调减区间． 3．函数f(x)在(a ，b)内单调递增(减)的充要条件是f ′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f′(x)＝0并不影响函数f(x)在该区间内的单调性．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．[答案](1)×(2)×(3)√2．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有( )A．f(2)＜f(e)＜f(3)B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2)D．f(e)＜f(3)＜f(2)A[因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝12x ＋1x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.]3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．(1,2)[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2．] 4．已知函数f(x)＝x3－ax－1．(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1,1)；(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．[解]f′(x)＝3x2－a.(1)∵f(x)的单调减区间是(－1,1)，∴－1<x<1是f′(x)<0的解，∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵y＝3x2在R上的最小值为0.∴a≤0，∴a的取值范围是(－∞，0]．1.2 函数的极值学习目标核心素养1．理解函数的极大值和极小值的概念．(难点) 2．掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值．(重点、难点) 1．借助图象理解函数的极大值和极小值，提升了学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数求函数的极值的学习，培养了学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.1．极大值点与极大值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．2．极小值点与极小值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．[提醒]在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．3．极值的判断方法如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．4．求函数y＝f(x)极值点的步骤(1)求出导数f′(x)．(2)解方程f′(x)＝0.(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．思考：导数为0的点都是极值点吗？[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x ＝x 0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x 0两侧的符号是否相反．1．下列四个函数中，在x ＝0处取得极值的函数是( ) ①y＝x 3；②y＝x 2＋1；③y＝|x|；④y＝2x. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①③B [y′＝3x 2≥0恒成立，所以函数y ＝x 3在R 上单调递增，无极值点，①不符合；y′＝2x ，当x>0时，函数y ＝x 2＋1单调递增，当x<0时，函数y ＝x 2＋1单调递减，②符合；结合该函数图像可知，函数y ＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，③符合；函数y ＝2x在R 上单调递增，无极值点，④不符合．]2．函数y ＝x 3－3x 2－9x(－2＜x ＜2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值C [由y′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x ＜－1或x ＞3时，y′＞0；由－1＜x ＜3时，y′＜0， ∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2,2)，故无极小值．] 3．函数f(x)＝x 3－3x 2＋1在x ＝__________处取得极小值． 2 [由f(x)＝x 3－3x 2＋1，得f′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．故当x ＝2时，函数f(x)取得极小值．]求函数的极值(1)f(x)＝x 2－2x －1； (2)f(x)＝x 44－23x 3＋x22－6；(3)f(x)＝|x|.[解] (1)f′(x)＝2x －2，令f′(x)＝0，解得x ＝1．因为当x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，所以函数在x ＝1处有极小值，且f(x)极小值＝－2．(2)f′(x)＝x 3－2x 2＋x ＝x(x 2－2x ＋1)＝x(x －1)2．令f′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝1．所以当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,1) 1 (1，＋∞)f′(x) － 0 ＋ 0 ＋ f(x)单调递减↘极小值单调递增↗无极值单调递增↗所以当x ＝0时，函数取得极小值，且f(x)极小值＝－6.(3)f(x)＝|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0.显然函数f(x)＝|x|在x ＝0处不可导，当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．故当x ＝0时，函数取得极小值，且f(x)极小值＝0.极值点与导数的关系1．可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．点x 0是可导函数f(x)在区间(a ，b)内的极值点的充要条件： (1)f′(x 0)＝0；(2)点x 0两侧f′(x)的符号不同．2．不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x ＝0点)，也可能不是极值点(如y ＝x ，在x ＝0处不可导，在x ＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．1．已知函数f(x)＝x 2－2ln x ，则f(x)的极小值是________． 1 [∵f′(x)＝2x －2x ，且函数定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x ＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1．]利用函数的极值求参数【例2】已知f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－3时都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．思路探究：(1)求导函数f′(x)，则由x ＝1和x ＝－23是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a ，b.(2)由f(－1)＝32求出c ，再列表求解．[解] (1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x)＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f′(x)＝0的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－23＝－23a ，1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝b 3，∴a＝－12，b ＝－2．(2)由(1)知f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f(－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1，∴f(x )＝x 3－12x 2－2x ＋1，∴f′(x)＝3x 2－x －2．当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，⎭⎪⎫－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 1 (1，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)单调递增 ↗4927单调递减 ↘－12单调递增 ↗∴f(x)的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1.当x ＝－23时，f(x)有极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝4927；当x ＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－12.已知函数极值求解析式的两点注意(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．已知函数f(x)＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x(x∈R，m 为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．[解] f′(x)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6. 因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f′(x)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋6)>0，f′(1)＝1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得m>3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．函数极值的综合应用[探究问题]1．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有几个极小值点？[提示] 一个．x 1，x 2，x 3是极值点，其中x 2是极小值点，x 1，x 3是极大值点． 2．函数y ＝f(x)在给定区间(a ，b)内一定有极值点吗？[提示] 不一定，若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内是单调函数，就没有极值点．【例3】已知函数f(x)＝x 3－3x ＋a(a 为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．思路探究：求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a 的取值范围．[解] 令f′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1．当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以当x ＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a ；当x ＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a. 因为方程f(x)＝0有三个不同实根，所以y ＝f(x)的图像与x 轴有三个交点，如图．由已知应有⎩⎪⎨⎪⎧2＋a>0，－2＋a<0，解得－2<a<2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．1．本例中，若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”，结果如何？ [解] 由已知应有 2＋a<0或－2＋a>0. 即a>2或a<－2．2．本例中，若把“三个不同实根”改为“恰有两个实根”，结果如何？ [解] 由条件可知，只要 2＋a ＝0或－2＋a ＝0即可，即a ＝±2．转化的思想求导数范围的应用方程f(x)＝0的根就是函数y ＝f(x)的零点，是函数图像与x 轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图像与x 轴交点的问题．我们可以根据函数图像在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围．3．设a 为实数，函数f(x)＝x 3－x 2－x ＋a. (1)求f(x)的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点？[解] (1)f′(x)＝3x 2－2x －1．令f′(x)＝0，则x ＝－13或x ＝1．当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 －13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 1 (1，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗所以f(x)的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f(1)＝a －1．(2)函数f(x)＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f(x)>0， x 取足够小的负数时，有f(x)<0，所以曲线y ＝f(x)与x 轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f(x)极小值＝f(1)＝a －1．∵曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a －1>0，∴a<－527或a>1， ∴当a∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点．1．函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．由图可以看出，极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷”．2．极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．3．函数在定义域内可能有许多极大值或极小值，但极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．4．若函数f(x)在[a ，b]上有极值且函数图像连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋1必有两个极值． ( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合． ( ) (3)函数f(x)＝1x 有极值．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．已知a 为函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2D [由题意得f′(x)＝3x 2－12，令f′(x)＝0得x ＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x ＝2处取得极小值，∴a＝2．]3．设a ∈R，若函数y ＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． (－∞，－1) [∵y＝e x＋ax ，∴y′＝e x＋a ，令y′＝e x＋a ＝0，则e x＝－a ，即x ＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1．] 4．求函数y ＝x 4－4x 3＋5的极值． [解] y′＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)．令y′＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：故当x 极小值。

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2课件：第1章数学归纳法复习课件2

【点评】此题运用数学归纳法难在第二问，函数的性质对问题的解决起着决定性的作用，此题若没有给出函数，则需根据待证式子的结构特征构造出函数，然后利用导数等工具将问题解决，这也是高考中一类热点问题．
1 1 1 a 若不等式＋＋„＋＞对一切 n∈N*都成立， n＋1 n＋2 3n＋1 24 求正整数 a 的最大值，并证明你的结论．
►ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究点二
数学归纳法证明不等式问题
1 1 1 1 x －例 2 已知 x≥1 时，不等式证明： 1＋＋＋„ x≥lnx 恒成立， 2 2 3 1 n ＋n＞ln(n＋1)＋ (n≥1)． 2n＋1
【分析】用数学归纳法证明，注意待证式与已知不等式之间的结构联系，采用换元法，从整体上把握式子的结构，将问题加以解决．
1 1 解法二：由 h(x)＝xx2－1－x－2，记 φ(x)＝x2－1－x－，则 φ′(x)＝2x 2 1 3 ＋ x－ .当 x∈(0，＋∞)时， φ′(x)>0，从而 φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则 φ (x ) 2 2 在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此 h(x)在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点． (2)记 h(x)的正零点为 x0，即 x3 0＝x0＋ x0.(i)当 a<x0 时，由 a1＝a，即 a1<x0. 3 而 a3 因此 a2<x0.由此猜测： an<x0.下面用数学归纳 2＝a1＋ a1<x0＋ x0＝x0，法证明． ①当 n＝1 时，a1<x0 显然成立． ②假设当 n＝k(k≥1)时，ak<x0 成立，则当 n＝k＋1 时，由 3 a3 k＋1＝ak＋ ak<x0＋ x0＝x0知，ak＋1<x0. 因此，当 n＝k＋1 时，ak＋1<x0 成立．故对任意的 n∈N*，an<x0 成立．

高二数学北师大版选修2-2 第2章 §5 简单复合函数的求导法则课件(37张)

1.解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.
2.复合函数求导的步骤
[再练一题] 2.求下列函数的导数. 1 (1)y＝(2x－1) ；(2)y＝； 1－2x
4
π (3)y＝sin－2x＋3；(4)y＝102x＋3.
§5
简单复合函数的求导法则
1.了解复合函数的概念.(难点) 2.掌握复合函数的求导法则.(重点) 3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 1 复合函数的概念阅读教材 P49 倒数第 2 行以上部分，完成下列问题. 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝φ(x)＝ax＋b，给定 x 的一个值，就得到了 u 的值，进而确定了 y 的值，这样 y 可以表示成 x的函数，我们称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝φ(x)的 y＝f(φ(x)) ，记作复合函数，其中 u 为中间变量.
＋
【提示】 ∵f′(x)＝e2x 1·(2x＋1)′＝2e2x 1，
Байду номын сангаас
[探究共研型]
复合函数导数的应用
探究 1 求曲线
π y＝cos2x＋6在
π x＝6处切线的斜率.
【提示】
π ∵y′＝－2sin2x＋6， π π k＝－2sin2×6＋6＝－2.
∴切线的斜率
探究 2 求曲线 y＝f(x)＝e
＋
2x＋1
1 在点－2，1处的切线方程.
－－4
6 ＝－6(2x－1) ＝－ 4. （2x－1）
－4
(3)函数 y＝5log2(1－x)可看作函数 y＝5log2u 和 u＝1－x 的复合函数，－5 5 ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝uln 2＝ . （x－1）ln 2 (4)函数 y＝sin3x 可看作函数 y＝u3 和 u＝sin x 的复合函数，函数 y＝sin 3x 可看作函数 y＝sin v 和 v＝3x 的复合函数. ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x.

高中数学选修2-2教学设计8：3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案

3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．问题导思知识点一复数的乘法及其运算律思考怎样进行复数的乘法运算？[答案] 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理 (1)复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)复数乘法的运算律对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1z 2＝z 2z 1 结合律(z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3知识点二共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.知识点三复数的除法法则思考类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝(1＋3)(3＋2)(3－2)(3＋2)，你能写出复数的除法法则吗？[答案] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 教学案例类型一复数代数形式的乘除运算例1 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)；(2)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i； (3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i. 解 (1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i. (2)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i ＝i(2－i)5＝15＋25i. (3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i. 反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．跟踪训练1 计算：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i； (3)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i. 解 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i＝i(2－3i)2－3i ＋－i(2＋3i)2＋3i＝i －i ＝0. (3)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i＝1－3i －2＋i ＝(1－3i)(－2－i)(－2＋i)(－2－i)＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5＝－1＋i. 类型二 i 的运算性质例2 计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i 2 017.解 (1)原式＝2(1＋i)－2i＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008 ＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i 4×252＝i －1＋1＝i. (2)方法一原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i 2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i 2＝i. 方法二因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017 ＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ；②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i ； ③1i＝－i.跟踪训练2 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________. [答案]i[解析]⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i) 2 017＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 017 ＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.解设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，①所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，②①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i(1－i 100)1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i. 所以S ＝－100i 1－i ＝－100i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－100(－1＋i)2＝50－50i. 所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.类型三共轭复数及其应用例3 把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z .解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i. 反思与感悟当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35. 所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i. 达标检测1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1[答案]A[解析]z ＝1i＝－i. 2．若z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则z |z |等于( ) A ．1B ．－1 C.45＋35i D.45－35i [答案]D[解析]z ＝4＋3i ，|z |＝5，z |z |＝45－35i. 3．已知(1－i)2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i [答案]D[解析]因为(1－i)2z ＝1＋i ，所以z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i＝－2i(1－i)2＝－1－i. 4．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ＝2i 31＋i，则z ＝________. [答案]－1＋i[解析]z ＝2i 31＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，所以z ＝－1＋i. 5．已知复数z 满足：z ·z ＋2z i ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1， ∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.。

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1课件：第2章距离的计算参考课件

设面EGF的法向量 n =(x, y, z) 1 1 =0 x z 0 EF n· 2 2 即 EG=0 1 x 1 y z 0 n· 2 2
F
D1
C1
K
G
B1
y D C B
E
x A
1 而BE ,1,0 令x=1,得 n =(1, 1,－1) 2 1 1 | BE ·n | 3 2 ∴点B到平面EFGd= |n| 2 3
B 0,2 2 ,0 C 0,2 2 ,0
BC 0,4

2 ,0

F
D
E
点B到平面CEF的距离
O B C A y
d
BC n n
4 2
4 10 5 5
x
③直线CE与平面ABC所成的角；
z D
∵平面ABC的法向量为 m =(0, 0,1)
又 CE o,3 2 , 6 cosCE, m
∴A(4,0,0) ,B(4,4,0) D(0,0,0)
B1
P
由已知可知P(0,4,z)
A =( 4, 4, z ) － , AP BD =(－4,－4, 0 ), x
D B
y
C
AP · BD =16－16 =0 AP ⊥ BD
AP ⊥ BD
②C1P=2,求二面角A—B1P—B的正切值。
解：P(0, 4,3) B1(4,4,5)
n 1,1, 3 在二面角F—CE—D内 n 指向面EFC, B

O
C
A
y
m 在二面角F—CE—D内是背离面BCD
即二面角F—CE—D的大小为
x ∴二面角F—CE—D的大小等于 n , m

数学教案北师大版选修2-2 同步备课-第1章至第5章章末复习课

归纳推理【例1】 (1)观察式子：1＋22<2，1＋22＋32<3，1＋22＋32＋42<4，……，由此可归纳出的式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n 2n ＋1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．思路探究：(1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得． (2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．(1)C (2)sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0 [(1)由各式特点，可得1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n.故选C.(2)用两点等分单位圆时，关系为sin α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3－⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－α＝2π3.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为2π4＋α＝π2＋α，第三个角为π2＋α＋2π4＝π＋α，第四个角为π＋α＋2π4＝3π2＋α，即其关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0.]归纳推理的特点及一般步骤1．已知函数y ＝sin 4x ＋cos 4x(x∈R)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则(1)函数y ＝sin 6x ＋cos 6x(x∈R)的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y ＝sin 2nx ＋cos 2nx(n∈N ＋)的值域是__________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 (2)[21－n,1] [(1)y ＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x ＋cos 2x)(sin 4x －sin 2 xcos 2 x ＋cos 4 x)＝sin 4x －sin 2xcos 2 x ＋cos 4x ＝(sin 2 x ＋cos 2 x)2－3sin 2xcos 2x ＝1－34sin 2(2x)＝1－38(1－cos 4x)＝58＋38cos 4x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.(2)由类比可知，y ＝sin 2nx ＋cos 2nx 的值域是[21－n,1]．]类比推理【例2】类比三角形内角平分线定理：设△ABC 的内角A 的平分线交BC 于点M ，则AC ＝MC .若在四面体PABC 中，二面角BPAC 的平分面PAD 交BC 于点D ，你可得到什么结论？并加以证明．思路探究：此题是平面图形与立体图形作类比，因为平面图形中得出的结论是线段的比，所以立体图形中可想到面积的比．S △BDP S △CDP ＝S △BPAS △CPA. [解] 画出相应图形，如图所示．由题意类比推理所探索结论为证明如下：由于平面PAD 是二面角BPAC 的平分面，所以点D 到平面BPA 与它到平面CPA 的距离相等．所以V DBPA V DCPA ＝S △BPA S △CPA.①又因为V DBPA V DCPA ＝V ABDP V ACDP ＝S △BDPS △CDP ，②由①②知S △BDP S △CDP ＝S △BPAS △CPA成立．类比推理的特点及一般步骤2．在Rt△ABC 中，若∠C＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，则在立体几何中，给出四面体相应结论的猜想． [解] 直角三角形类比三个侧面两两垂直的四面体；直角三角形的两个锐角类比上述四面体的三个侧面与底面所成的角，分别设为α，β，γ；类比直角三角形中相应的结论猜想cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1．综合法与分析法【例3】设a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．思路探究：(1)综合法：根据a ＋b ＝1，分别求1a ＋1b 与1ab 的最小值．(2)分析法：把1ab 变形为a ＋b ab ＝1a ＋1b 求证．[证明] 法一：(综合法) ∵a>0，b>0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b≥2ab ，ab ≤12，ab≤14，∴1ab≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．法二：(分析法) ∵a>0，b>0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b≥4，也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4，即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a>0，b>0时， b a ＋ab≥2成立，所以原不等式成立．分析法和综合法的证明特点1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．3．(1)已知a ，b ，c 为互不相等的非负数，求证：a 2＋b 2＋c 2>abc(a ＋b ＋c)．(2)用分析法证明：2cos(α－β)－sin (2α－β)sin α＝sin βsin α.[证明] (1)因为a 2＋b 2≥2ab， b 2＋c 2≥2bc，a 2＋c 2≥2ac，又因为a ，b ，c 为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“＝”，所以a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，因为ab ＋bc≥2ab 2c ，bc ＋ac≥2abc 2， ab ＋ac≥2a 2bc ，又a ，b ，c 为互不相等的非负数，所以ab ＋bc ＋ac>abc(a ＋b ＋c)，所以a 2＋b 2＋c 2>abc(a ＋b ＋c)． (2)要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，① 因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β＝右边，所以①成立，即原等式成立.反证法n (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列．思路探究：(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n 项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论． [解] (1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n，②①－②得，(1－q)S n ＝a 1－a 1q n， ∴S n ＝a 1(1－q n)1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 21q 2k＋2a 1q k＝a 1qk －1·a 1qk ＋1＋a 1q k －1＋a 1qk ＋1，∵a 1≠0，∴2q k＝qk －1＋qk ＋1．∵q≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．反证法证题思路反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．4．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c 时，f(x)>0.(1)证明：1a 是f(x)＝0的一个根；(2)试比较1a与c 的大小．[解] (1)证明：∵f(x)的图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f(x)＝0有两个不等实根x 1，x 2． ∵f(c)＝0，∴x 1＝c 是f(x)＝0的根．又x 1x 2＝ca ，∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f(x)＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x<c 时，f(x)>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， ∴1a ≥c.又∵1a ≠c，∴1a>c.数学归纳法【例5】已知正数数列{a n }(n∈N ＋)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋a n，用数学归纳法证明：a n ＝n－n －1.[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，所以a 21＝1(a n >0)，所以a 1＝1，又1－0＝1，所以n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k(k≥1，k∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k(a n >0)，所以n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N ＋都有a n ＝n －n －1.数学归纳法使用的两个关注点关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．5．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a n ＋1)2(n∈N ＋)，a 2＝2．(1)求a 1，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并证明．[解] (1)由S n ＝n (a n ＋1)2，得a 1＝1，又由a 2＝2，得a 3＝3.(2)猜想：a n ＝n.证明如下：①当n ＝1时，猜想成立．②假设当n ＝k(k≥2)时，猜想成立，即a k ＝k ，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(a k ＋1＋1)2－k (a k ＋1)2＝(k＋1)(a k＋1＋1)2－k(k＋1)2.所以a k＋1＝k＋1，所以当n＝k＋1时，猜想也成立．根据①②知，对任意n∈N＋，都有a n＝n.导数的定义求导【例1】利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数．思路探究：根据求导的步骤求解即可． [解] y′＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx→0(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx→02x·Δx＋(Δx )2Δx [(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1]＝lim Δx→02x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1.导数定义的理解函数f(x)在点x ＝x 0处的导数是f(x)在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；当Δx 趋于0时的极限，即f′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx，这是数学上的“逼近思想”．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．1．设f(x)在x 处可导，则lim Δh→0f (x ＋h )－f (x －h )2h ＝( )A ．2f′(x)B ．12f′(x) C ．f′(x) D ．4f′(x)C [lim Δh→0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝lim Δh→0f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －h )2h＝12lim Δh→0 f (x ＋h )－f (x )h ＋12lim Δh→0 f (x )－f (x －h )h ＝f′(x)．]导数的几何意义的应用【例2】已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)；(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x 0，f(x 0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)，即y ＝13x －32． (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x 20＋1， y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2．∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．利用几何意义求切线时的关键利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P(x 0，y 0)得y 0－y 1＝f′(x 1)(x 0－x 1)， ① 又y 1＝f(x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P(x 0，y 0)的切线方程．2．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－14的曲线的切线方程．[解] ∵y＝1x ，∴y′＝－1x 2.(1)∵点P(1,1)在y ＝1x 上，∴k＝y′|x ＝1＝－112＝－1．∴在点P(1,1)处的切线方程为：y －1＝－(x －1)． ∴切线方程为：x ＋y －2＝0.(2)∵点Q(1,0)不在曲线y ＝1x 上，可设切点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0， ∴在A 点处的切线方程为：y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)．∴切线方程为：y ＝－1x 20x ＋2x 0.又∵切线过点Q(1,0)，∴－1x 20＋2x 0＝0，∴2x 0－1＝0，∴x 0＝12.∴切线方程为y ＝－4x ＋4. (3)设切点坐标为B ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，则切线的斜率为k ＝－1x 21.又∵－1x 21＝－14，∴x 21＝4，∴x 1＝2或－2，∴切点为B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12或B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，∴切线方程为：y －12＝－14(x －2)，或y ＋12＝－14(x ＋2)，∴切线方程为：y ＝－14x ＋1或y ＝－14x －1．求函数的导数【例3】求下列函数的导数． (1)y ＝(1＋x 2)cos x ； (2)y ＝ln x x －2x；(3)y ＝e －ax 2＋bx.思路探究：认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算．[解] (1)∵y＝(1＋x 2)cos x ， ∴y′＝2xcos x ＋(1＋x 2)(－sin x) ＝2xcos x －sin x －x 2sin x. (2)∵y＝ln x x－2x ，∴y′＝(ln x )′x－x′ln x x 2－2x ln 2＝1－ln x x 2－2xln 2． (3)y ＝e u，u ＝－ax 2＋bx.y x ′＝y u ′·u x ′＝e u·(－ax 2＋bx)′ ＝e u·(－2ax ＋b)＝(－2ax ＋b)e －ax 2＋bx.运算法则求导的注意点求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．3．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x ；(3)y ＝1＋ln 2x.[解] (1)∵y＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y′＝3x 2－2x3.(2)∵y＝3x 32－x ＋5－9x －12，∴y′＝3(x 32)′－x′＋5′－9(x －12)′ ＝92x 12－1＋92x －32＝92 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1． (3)y ＝u 12，u ＝1＋v 2，v ＝ln x. y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝12u －12·2v·1x＝12·11＋ln 2x·2ln x·1x ＝ln xx 1＋ln 2 x .导数的综合问题【例4】设函数f(x)＝ax ＋x ＋b(a ，b∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3. (1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．思路探究：(1)用待定系数法求解，根据条件通过导数建立关于a ，b 的方程组，解方程组确定a ，b 从而得到f(x)的解析式．(2)设曲线上任一点坐标(x 0，y 0)，表示出该点的切线方程，然后证明三角形的面积与点(x 0，y 0)无关．[解] (1)f′(x)＝a －1(x ＋b )2，则依题意f′(2)＝0，f(2)＝3. 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b∈Z，故f(x)＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1，由f′(x 0)＝1－1(x 0－1)2，知在此点处的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，即切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；又直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2．所以，所围成的三角形的面积为定值2．导数应用中的数学思想导函数本身就是一种函数，因此在解决有关导数的问题时，常常会用到函数方程思想．函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程思想就是分析数学问题中变量的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决．4．已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，试在抛物线的弧︵AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．[解] 设P(x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图．由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，所以|AB|为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧︵AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上＝12x，由题平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y′意知k AB ＝12，所以k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，所以y 0＝1，所以P(1,1)．利用导数研究函数的单调性【例1】设函数f(x)＝x －1x －aln x(a∈R)，讨论f(x)的单调性．思路探究：求出导函数的表达式→根据a 的取值情况对导数符号的影响进行分类讨论[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x2. 令g(x)＝x 2－ax ＋1，则对于方程x 2－ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当－2≤a≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，只有当a ＝2，x ＝1或a ＝－2，x ＝－1时，等号成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则在(0，＋∞)上g(x)>g(0)＝1，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42.当0<x<x 1时，f′(x)>0；当x 1<x<x 2时，f′(x)<0；当x>x 2时，f′(x)>0.故函数f(x)在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．综上，当a≤2时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>2时，函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递减．利用导数研究单调性的步骤利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一，其步骤为： (1)求函数的定义域，并求导；(2)研究导函数f′(x)的符号，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定函数的单调性或单调区间．在求导这一环节中，往往要将导函数变形，其目的在于方便下一环节研究导函数的符号，常见的措施有化为基本初等函数、通分、因式分解等．1．已知函数f(x)＝x 3－ax －1，讨论f(x)的单调区间． [解] f′(x)＝3x 2－a.(1)当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)当a>0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3，当x>3a 3或x<－3a 3时，f′(x)>0；当－3a 3<x<3a 3时，f′(x)<0. 因此f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．综上可知，当a≤0时，f(x)在R 上为增函数．当a>0时， f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数.利用导数研究函数的极值与最值32行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；思路探究：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f′(1)＝－3，求出a ，b 即可．(2)对t 分0<t≤2与2<t<3两种情况求最值．[解] (1)因为f′(x)＝3x 2＋2ax ，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2．所以a ＝－3，b ＝2，f(x)＝x 3－3x 2＋2． (2)由f(x)＝x 3－3x 2＋2，得f′(x)＝3x 2－6x. 由f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2．①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max ＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t 3－3t 2＋2．②当2<t<3时，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,2) 2 (2，t) t f′(x) 0 － 0 ＋＋ f(x)2单调递减↘极小值－2单调递增↗t 3－3t 2＋2f(x)min ＝f(2)＝－2，f(x)max 为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f(x)max ＝f(0)＝2．本例在(1)的结论下，关于x 的方程f(x)＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．[解] 令g(x)＝f(x)－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c≤0.利用导数求极值和最值的步骤导数是求函数极值与最值的最有力工具，求函数极值的一般步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．对于求函数的最值问题，只需直接将极值与区间端点函数值比较即可．2．已知函数f(x)＝－x 3＋12x ＋m.(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差； (2)若函数y ＝f(x)有三个零点，求m 的取值范围；(3)当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为－2，求f(x)的最大值．[解] (1)f′(x)＝－3x 2＋12．当f′(x)＝0时，x ＝－2或x ＝2．当f′(x)＞0时，－2＜x ＜2．当f′(x)＜0时，x ＜－2或x ＞2．∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增． ∴f(x)极小值＝f(－2)＝－16＋m. f(x)极大值＝f(2)＝16＋m. ∴f(x)极大值－f(x)极小值＝32．(2)由(1)知要使函数y ＝f(x)有三个零点，必须⎩⎪⎨⎪⎧f (x )极小值＜0，f (x )极大值＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－16＋m ＜0，16＋m ＞0，∴－16＜m ＜16.∴m 的取值范围为(－16,16)．(3)当x∈[－1,3]时，由(1)知f(x)在[－1,2)上单调递增，f(x)在[2,3]上单调递减，f(x)的最大值为f(2)．又f(－1)＝－11＋m ，f(3)＝m ＋9， ∴f(－1)＜f(3)，∴在[－1,3]上f(x)的最小值为f(－1)＝－11＋m ， ∴－11＋m ＝－2，∴m＝9.∴当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值为 f(2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.导数的实际应用【例3】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．思路探究：根据侧面积和体积公式建立侧面积和体积关于x 的函数，利用配方法或导数法求出最值． [解] 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x)，0<x<30.(1)S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V′＝62x(20－x)．由V′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？[解] 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x≤120)．h′(x)＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x≤120)，令h′(x)＝0，得x ＝80.因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数，所以当x ＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11．25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答：汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11．25升.导数在最值中应用【例4】已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2,1)内x ＝－1时取极小值，x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f(x)在x ＝－2时的对应点的切线方程； (2)求函数y ＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．思路探究：先求出a ，b 的值，然后求出对应点(即切点)的坐标和切线斜率，即可得出(1)的结论，列出x 变化时，f′(x)及f(x)的变化情况，从而得出(2)的结论．[解] (1)f′(x)＝－3x 2＋2ax ＋b.又x ＝－1，x ＝23分别在f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx 上取得极小值、极大值，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以23a ＝－1＋23，－b 3＝(－1)×23.于是a ＝－12，b ＝2，则f(x)＝－x 3－12x 2＋2x.x ＝－2时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上．又切线斜率为k ＝f′(x)＝－3x 2－x ＋2， f′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)，即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如表所示： x －2 (－2，－1)－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 1 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)2↘极小值－32↗极大值2227↘12则f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－32.导数是求函数极值与最值的最有力工具，函数y ＝f (x )的极值是其定义域内的一个局部概念，用f′(x )＝0的根，将f (x )的定义域分成若干个小区间，并列成表格，结合每个小区间内f′(x )的正负号来判定f (x )在相应区间上的增减性来确定f (x )的极值.f′(x )＝0的根x 不一定是函数的极值点.对于求函数的最值问题，只需将极值与区间端点函数值比较即可.4．设函数f(x)＝ae x＋1ae x ＋b(a>0)．求f(x)在[0，＋∞)内的最小值．[解] f′(x)＝ae x－1ae x ，令f′(x)＝0，得x ＝－ln a.当x>－ln a 时，f′(x)>0；当x<－ln a 时，f′(x)<0.当0<a<1时，－ln a>0，所以f(x)在(0，－ln a)上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－ln a)＝2＋b ；当a≥1时，－ln a≤0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a ＋1a＋b.导数的综合应用(1)若函数f(x)在区间[e ，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围；(2)当a ＝1且k∈Z 时，不等式k(x －1)<f(x)在x∈(1，＋∞)上恒成立，求k 的最大值．思路探究：(1)转化为f′(x)≥0恒成立，分离参数求解． (2)分离参数中，转化为求函数最值． [解] (1)f′(x)＝a ＋ln x ＋1，由题意知f′(x)≥0在[e ，＋∞)上恒成立，即ln x ＋a ＋1≥0在[e ，＋∞)上恒成立，即a≥－(ln x ＋1)在[e ，＋∞)上恒成立，而[－(ln x ＋1)]max ＝－(ln e ＋1)＝－2， ∴a≥－2，即a 的取值范围为[－2，＋∞)． (2)当a ＝1时，f(x)＝x ＋xln x ， ∵x∈(1，＋∞)，∴原不等式可化为k<f (x )x －1，即k<x ＋xln x x －1对任意x>1恒成立．令g(x)＝x ＋xln x x －1，则g′(x)＝x －ln x －2(x －1)2. 令h(x)＝x －ln x －2(x>1)，则h′(x)＝1－1x ＝x －1x >0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增． ∵h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，∴存在x 0∈(3,4)使h(x 0)＝0，即g′(x 0)＝0. 即当1<x<x 0时，h(x)<0，即g′(x)<0. 当x>x 0时，h(x)>0，即g′(x)>0.∴g(x)在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．由h(x 0)＝x 0－ln x 0－2＝0，得ln x 0＝x 0－2， g(x)min ＝g(x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0∈(3,4)，∴k<g(x)min ＝x 0且k∈Z，即k max ＝3.恒成立问题的处理策略恒成立问题是导数的常见题型，往往靠分离参数后，转化为用导数求函数的最值问题，在函数中，导数与不等式紧密结合，要注意分类讨论和数形结合的思想．5．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x －x ＋1x －1.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x 0是f(x)的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线． [解] (1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．因为f′(x)＝1x ＋2(x －1)2＞0，所以f(x)在(0,1)，(1，＋∞)单调递增．因为f(e)＝1－e ＋1e －1＜0，f(e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1＞0，所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x 1，即f(x 1)＝0. 又0＜1x 1＜1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f(x 1)＝0，故f(x)在(0,1)有唯一零点1x 1. 综上，f(x)有且仅有两个零点．(2)因为1x 0＝e －ln x 0，故点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0在曲线y ＝e x上．由题设知f(x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1，故直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0. 曲线y ＝e x在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线．定积分的计算【例1】求下列定积分．.思路探究：(1)可用定积分的几何意义求解； (2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解． [解] (1)⎠⎛－224－x 2dx 表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积．其面积为12×π×22＝2π，∴⎠⎛－224－x 2dx ＝2π.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 3x x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln 3x x ，1e≤x≤1，ln 3xx，1≤x≤e，求定积分的三种方法1．利用定义求定积分．步骤：(1)分割区间；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限． 2．利用定积分的几何意义求定积分．3．利用微积分基本定理求定积分．如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即F′(x)＝f(x)，则有⎠⎛abf (x )dx ＝F(b)－F(a)．1．计算下列定积分． (1)⎠⎛121x (x ＋1)dx ；(2)⎠⎜⎜⎛-π2π2(cos x ＋2x)dx. [解] (1)∵⎠⎛121x (x ＋1)dx ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1dx＝[ln x －ln(x ＋1)]| 21＝ln 43.(2)⎠⎜⎜⎛-π2π2(cos x ＋2x)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋2xln 2⎪⎪⎪⎪π2－π2＝2＋1ln 2(2π2－2-π2).用定积分求平面图形的面积【例2】求由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成的平面图形的面积．思路探究：画出草图→求交点坐标→确定被积函数及积分上、下限→求定积分[解] 画出草图，如图所示．所求平面图形为图中阴影部分．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝5x ，得交点A(1,5)，B(4,20)．故所求平面图形的面积S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x)dx ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x ⎪⎪⎪41＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193.定积分在求平面图形面积中的应用及注意由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用．求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解．2．求由曲线y ＝1x及直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积．[解] 画出曲线y ＝1x (在第一象限)，直线y ＝x ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．画⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B ()1，1；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C ()3，3.用定积分求几何体的体积【例3】求曲线y ＝sin x ，x∈[0，π]与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周所得到旋转体的体积．[解] 由体积公式V ＝⎠⎛0ππy 2dx ＝⎠⎛0ππ(sin x)2dx＝π⎠⎛0πsin 2xdx ＝π⎠⎛0π1－cos 2x 2dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛0π12dx －⎠⎛0πcos 2x 2dx ＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛0π1dx －⎠⎛0πcos 2xdx ＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ⎪⎪⎪π－12sin 2x ⎪⎪⎪π＝π2(π－0)＝π22.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积．如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等．计算由曲线y ＝f(x)，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积为V ＝⎠⎛abπ[f (x )]2dx.3．半椭圆x 24＋y22＝1(y≥0)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积为( )A ．16π3B ．173πC ．5πD ．6πA [V ＝⎠⎛-22π·2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24dx＝2π·⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33×4-22＝163π.]数形结合思想的应用【例4】如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．思路探究：确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值．[解] S 1的面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴，直线x ＝t 围成的面积．即S 1＝t·t 2－⎠⎛0t x 2dx ＝23t 3；S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t 1x 2dx －t 2(1－t)＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12，易知当t ＝12时，S 最小，所以最小值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.数形结合在求定积分中的应用数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的几何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积．在做题前首先要画出图形，确定图形是在x 轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．4．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围成图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪1＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 交点的横坐标分别为x 1′＝0，x 2′＝1－k ，所以S 2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33⎪⎪⎪1－k＝16(1－k)3，又知S ＝16，所以(1－k)3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.复数的概念【例1】复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z∈R；(2)z 为虚数．思路探究：根据复数的分类列方程求解．[解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0， ③由②得x ＝4，经验证满足①③式．所以当x ＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0， ③由①得x>3＋212或x<3－212.由②得x≠4，由③得x>3.所以当x>3＋212且x≠4时，z 为虚数．解决复数问题的三点注意1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．1．(1)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a∈R)是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是__________．(1)D (2)1 [(1)因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a ＝3.(2)法一：设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，则i(z ＋1)＝i(a ＋bi ＋1)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故复数z 的实部是1．法二：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii＝2＋3i ，故z ＝1＋3i ，即复数z 的实部是1．]复数的四则运算【例2】 (1)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则i ＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i思路探究：(1)先求出z 及zi ，结合复数运算法则求解．(2)利用方程思想求解并化简．(1)C (2)A [(1)∵z＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴zi＋i·z －＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2．故选C.(2)由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.]复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i 看作一个字母(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·z 为实数．2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z z的值为( )A ．35＋45i B ．35－45i C ．－35＋45iD ．－35－45iA [因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，所以z ＝2＋i ，所以z z ＝2＋i2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i.]复数的几何意义【例3】 (1)在复平面内，复数1＋i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内，复数1－2i2＋i 对应的点的坐标为( )A ．(0，－1)B ．(0,1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35思路探究：先把复数z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标． (1)A (2)A [(1)复数i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. ∴复数i1＋i在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.(2)∵1－2i 2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5i 5＝－i ，其对应的点为(0，－1)，故选A.]复数的几何意义1．复数的几何表示法：即复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)可以用复平面内的点Z(a ，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．3．(1)已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )(2)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H(1)A (2)D [(1)由题图知，z ＝－2＋i ，∴z＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，故z ＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．]转化与化归思想【例4】设z∈C，满足z ＋z ∈R，且z －4是纯虚数，求z.思路探究：本题关键是设出z 代入题中条件进而求出z. [解] 设z ＝x ＋yi(x ，y∈R)，则z ＋1z ＝x ＋yi ＋1x ＋yi ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ，。

高中数学：2.1《变化的快慢与变化率》教案(北师大版选修2-2)

课题：教材：普通高中课程标准实验教科书〔北师大版〕〔选修2-2〕第25-27页[教材分析]1、本节教材的地位与作用：变化率对理解导数概念及其几何意义有着重要作用.是导数概念产生的基础.充分掌握好变化率这个概念,为顺利过渡瞬时变化率,体会导数思想与内涵做好准备工作.通过对大量实例的分析，引导学生经历由物理学中的平均速度到其它事例的平均变化率过程.所以变化率是一个重要的过渡性概念.对变化率概念意义的建构对导数概念的学习有重要影响.2、教学重点：平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解.3、教学难点：平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释.4、教学关键：将学生头脑中的感性认知,通过多个事例,在不同的情境下,进行相同的计算程序.由此学生类比建构出变化率的概念.并突出知识产生过程中蕴含的数学思想方法,特别是数形结合的数学能力和以直代曲的转化能力.[教学目标]基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：〔1〕知识与技能目标:通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义及其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.〔2〕过程与方法目标:体会平均变化率的思想及内涵，培养学生观察、分析、比较和归纳能力；通过问题的探究体会类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法.〔3〕情感态度与价值观:经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神.领悟到具体到抽象，特殊到一般的逻辑关系.感受到数学的应用价值.[教学过程]⒈情境创设，激发热情导言:1.讲解青蛙扔过一锅热水和放进一锅冷水后然后再慢慢加热得到两个不同结果.与学生一起分析实验告诉我们:变化有快有慢之分,有些变化不被人们所发觉,有些变化却让人感慨和惊呀!2.由学生列举一些变化快慢的事例.(如果事例适当,教师引导学生设置数据,建构平均变化率计算程序)⒉过程感知，意义建构实例分析1银杏树1500米，树龄1000年，雨后春笋两天后长高15厘米.实便分析2物体从某一时刻开始运动，设s 表示此物体经过时间t 走过的路程，在运动的过程中测得了一些数据，如下表.实便分析3 这是我市今年3月18日至4月20日其中三天最高气温表和每天最高气温的变化图〔以3月18日为第一天,曲线图〕．⒊归纳概括，建立概念 1.如果将上述气温曲线看成是函数)(x f y =的图像，则函数)(x f y =在区间［1,34］上的平均变化率是多少？2.)(x f 在区间],1[1x 上的平均变化率为多少？3.)(x f 在区间]34,[2x 上的平均变化率为多少？4.你能否归纳出“函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率”的一般性定义吗？平均变化率的定义：一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为1212)()(x x x f x f -- 通常把自变量的变化12x x -称作自变量的改变量，记作x ∆，函数值的变化)()(12x f x f -称作函数值的改变量，记作y ∆．这样，函数的平均变化率就可以表示为：函数值的改变量与自变量的改变量之比，即1212)()(x x x f x f x y --=∆∆ 它的几何意义是曲线上经过Ａ、Ｂ两点的直线的斜率．我们用直线的斜率来刻画直线的(d )倾斜程度，同样，我们用平均变化率来近似地量化曲线在某一个区间上的“陡峭”程度，具体地说：曲线越“陡峭”，说明变量变化越快；曲线越“平缓”，说明变量变化越慢． ⒋例题讲解，尝试应用1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如下图，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.该婴儿体重的平均变化率的实际意义？2.某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间x 从0min 到20min 和从20min 到30min 体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？这里出现了“负号”，你怎样理解“—”号？它表示体温下降了，绝对值越大，下降得越快，所以，体温从20min 到30min 这段时间下降得比从0min 到20min 这段时间要快.5.变式练习，稳固提炼○1假设函数f (x )=2x +1,试求函数f (x )在区间[-1,1]和[0,5]上的平均变化率函数f (x )在这两个区间上的平均变化率都是2.○2变式一：求f (x )=2x +1,试求函数f (x )在区间[m,n ](m<n )上的平均变化率还是2，丨③变式二：求f (x )=kx +b ,试求函数f(x)在区间[m,n ](m<n )上的平均变化率是k .一般地，一次函数f(x)=kx+b 〔k 0≠〕在任意区间[m,n ](m<n )上的平均变化率等于k . ○4变式三：求2)(x x f =在区间[-1，1]上的平均变化率. 是0. 提出问题:变化率为0是不是说明没有变化呢?⑤变式四：求2)(x x f =在区间[1，3]，[1，2]，[]，[]，[]上的平均变化率. 函数)(x f 在这5个区间上的平均变化率分别是4、3、2.1、2.01、2.001.从上面计算的结果，你发现了什么？当区间的右端点逐渐接近1时，平均变化率逐渐接近2.6.回忆反思，设问结课3.如果闭区间固定左端点，让右端点逐渐接近左端点，平均变化率有什么变化？这个变化有什么重大意义？我们下节课再讲.谢谢大家! §1变化的快慢与变化率·教案说明一．【授课内容的数学本质与教学目标定位】学好本节内容最主要的目的就是为理解导数的概念做好准备工作，从变化的快慢到变化率概念的形成，是把一种感性认知上升到理论形成的过程.这也是基本的数学建模能力的培养.通过一些实际的事例,和学生对物理知识的掌握情况,由学生类比归纳变化率的数学概念,并从中体会到重要的数形结合和以直代曲等数学思想.基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：〔1〕知识与技能目标:通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义及其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.〔2〕过程与方法目标:体会平均变化率的思想及内涵，培养学生观察、分析、比较和归纳能力；通过问题的探究体会类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法.〔3〕情感态度与价值观:经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣。

北师大版数学高二-高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》全部教案

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》全部教案第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。

教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。

（二）、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使a = ；注意)(21OB OA OP +=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是：；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是：；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是：；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥的充要条件是：；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（） A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||22p =||3q =，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）A ．15B ． 14 D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=(+λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心（四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为。

数学教案北师大版选修2-2 同步备课-第1章推理与证明学案第2节综合法与分析法

§2 综合法与分析法2.1 综合法学习目标核心素养1．了解综合法的思考过程、特点．(重点) 2．会用综合法证明数学命题．(难点) 1．通过对综合法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？[提示]综合法是由因导果的顺推思维．1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B2．在△ABC中，若sin Asin B<cos Acos B，则△ABC一定是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形C[由条件可知cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C>0，即cos C<0，∴C为钝角，故△ABC 一定是钝角三角形．]3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”，应用了________的证明方法．综合法[证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．]用综合法证明三角问题【例1】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C.(1)求证：A 的大小为60°；(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．思路探究：(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A. (2)结合(1)中A 的大小利用三角恒等变形证明A ＝B ＝C ＝60°. [证明] (1)由2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ，得2a 2＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.(2)由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＋C ＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B)＝3， sin B ＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3， 32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1．因为0°<B<120°，所以30°<B＋30°<150°，所以B ＋30°＝90°，即B ＝60°，所以A ＝B ＝C ＝60°，即△ABC 为等边三角形．证明三角等式的主要依据1．三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． 2．和、差、倍角的三角函数公式．3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理． 4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．1．若sin θ，sin α，cos θ成等差数列，sin θ，sin β，cos θ成等比数列，求证：2cos 2α＝cos 2β.[证明] ∵sin θ，sin α，cos θ成等差数列， ∴sin θ＋cos θ＝2sin α①又∵sin θ，sin β，cos θ成等比数列， ∴sin 2β＝sin θcos θ②将②代入①2，得1＋2sin 2β＝4sin 2α，又sin 2 β＝1－cos 2β2，sin 2α＝1－cos 2α2，∴1＋1－cos 2β＝2－2cos 2α，即2cos 2α＝cos 2β.用综合法证明几何问题【例2】如图，在四面体BACD 中，CB ＝CD ，AD⊥BD，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD ； (2)平面EFC⊥平面BCD.思路探究：(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD ，只需在平面ACD 内找出一条直线和直线EF 平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD ，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．[证明] (1)因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF∥AD，又EF 平面ACD ，AD平面ACD ，所以直线EF∥平面ACD.(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.因为CB ＝CD ，F 是BD 的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F ，所以BD⊥平面EFC. 因为BD平面BCD ，所以平面EFC⊥平面BCD.证明空间位置关系的一般模式本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．2．如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝a ，AB ＝2a ，E ，F 分别为C 1D 1，A 1D 1的中点．(1)求证：DE⊥平面BCE ； (2)求证：AF∥平面BDE. [证明](1)∵BC⊥侧面CDD 1C 1，DE侧面CDD 1C 1，∴DE⊥BC.在△CDE 中，CD ＝2a ，CE ＝DE ＝2a ，则有CD 2＝DE 2＋CE 2，∴∠D EC ＝90°，∴DE⊥EC. 又∵BC∩EC＝C ，∴DE⊥平面BCE.(2)连接EF ，A 1C 1，设AC 交BD 于点O ，连接EO ， ∵EF 12A 1C 1，AO 12A 1C 1， ∴EFAO ，∴四边形AOEF 是平行四边形， ∴AF∥OE. 又∵OE平面BDE ，AF平面BDE ，∴AF∥平面BDE.用综合法证明不等式[探究问题]1．综合法证明不等式的主要依据有哪些？ [提示] (1)a 2≥0(a∈R)．(2)a 2＋b 2≥2ab，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)a ，b∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别地，b a ＋ab ≥2．(4)a －b≥0⇔a≥b；a －b≤0⇔a≤b. (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca. (6)b a ＋ab≥2(a，b 同号，即ab>0)．(7)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a ，b∈R)．左边等号成立的条件是ab≤0，右边等号成立的条件是ab≥0. 2．使用基本不等式证明不等式时，应该注意什么？请举例说明．[提示] 使用基本不等式时，要注意①“一正、二定、三相等”；②不等式的方向性；③不等式的适度，如下例．[题] 已知，a ，b∈(0，＋∞)，求证：a b ＋b a≥a ＋ b.若直接使用基本不等式，a b ＋b a≥2ab ·b a＝24ab ，而a ＋b ≥24ab.从而达不到证明的目的，没掌握好“度”，正确的证法应该是这样的：[证明] ∵a>0，b>0， ∴ab ＋b ≥2a ，ba ＋a ≥2b ， ∴a b ＋b ＋ba ＋a ≥2a ＋2b ，即ab ＋ba≥a ＋ b. 【例3】已知x>0，y>0，x ＋y ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.思路探究：解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明． [证明] 法一：因为x>0，y>0,1＝x ＋y≥2xy ，所以xy≤14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy ≥1＋8＝9.法二：因为1＝x ＋y ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x . 又因为x>0，y>0，所以x y ＋yx ≥2，当且仅当x ＝y 时，取“＝”．所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥5＋2×2＝9.1．本例条件不变，求证：1x ＋1y≥4.[证明] 法一：因为x ，y∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝1，所以x ＋y≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，取“＝”，所以xy ≤12，即xy≤14，所以1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy ≥4.法二：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以x ＋y≥2xy>0，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 1x ＋1y≥21xy>0，当且仅当1x ＝1y时，取“＝”，所以(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4. 又x ＋y ＝1，所以1x ＋1y≥4.法三：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋yy＝1＋y x ＋xy＋1≥2＋2x y ·yx＝4，当且仅当x ＝y 时，取“＝”．2．把本例条件改为“a>0，b>0，c>0”且a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ac≤13.[证明] ∵a>0，b>0，c>0， ∴a 2＋b 2≥2ab， b 2＋c 2≥2bc， a 2＋c 2≥2ac.∴a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca.∴(a＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥3(ab＋bc ＋ac)．又∵a＋b ＋c ＝1， ∴ab＋bc ＋ac≤13.综合法的证明步骤1．分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．2．转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．综合法的基本思路综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从数学命题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．2．综合法的特点(1)从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理，寻找它的必要条件．(2)证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，易于表达推理的思维轨迹．(3)由综合法证明命题“若A，则D”的思考过程如图所示：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法．( )(2)综合法证明的依据是三段论．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )(1)√(2)√(3)√[(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．]2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4B[若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又mβ，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，mβ，α⊥β，l 与m 可能平行，③不正确；若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m β，所以α⊥β，④正确．]3．已知p ＝a ＋1a －2(a>2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a>2)，则p 与q 的大小关系是________． p>q [p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q<22＝4≤p.]4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…)．求证：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝n ＋2n S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴n ＋2nS n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2(n ＋1)n S n ，∴S n ＋1n ＋1S n n ＝2，又∵a 1＝1， ∴S 1＝1，∴S 11＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公比为2，而a n ＝n ＋1n －1S n －1(n≥2)，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n (n －1)n ＋1， ∴S n ＋1＝4a n .2.2 分析法学习目标核心素养1．了解分析法的思考过程、特点．(重点) 2．会用分析法证明数学命题．(难点)1．通过对分析法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过对分析法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．2．分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件1．用分析法证明：要使①A>B，只需使②C<D.这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [根据分析法的特点，寻找的是充分条件，∴②是①的充分条件，①是②的必要条件．] 2．欲证2－3<6－7，只需证( ) A ．(2＋7)2<(3＋6)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2－3)2<(6－7)2D ．(2－3－6)2<(－7)2A [欲证2－3<6－7，只需证2＋7<3＋6，只需证(2＋7)2<(3＋6)2．]3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab，只需证a 2＋b 2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab≥0 (a －b)2≥0 (a －b)2≥0应用分析法证明不等式【例1】已知a>b>0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.思路探究：本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．[证明] 要证(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b ，只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b .∵a>b >0，∴同时除以(a －b )22，得(a ＋b )24a <1<(a ＋b )24b ，同时开方，得a ＋b 2a<1<a ＋b 2b，只需证a ＋b<2a ，且a ＋b>2b ，即证b<a ，即证b<a. ∵a>b>0，∴原不等式成立，即(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.分析法证题思维过程1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．1．已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2．[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a ＋2，即证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4，只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2．上述不等式显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题【例2】设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，若函数y ＝f(x ＋1)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．思路探究：由于已知条件较为复杂，且不易与要证明的结论联系，故可从要证明的结论出发，利用分析法，从函数图象的对称轴找到证明的突破口．[证明] 要证函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋(a ＋b)x ＋14a ＋12b ＋c ，其对称轴为x ＝－a ＋b 2a ，因此只需证－a ＋b2a ＝0，即只需证a ＝－b ，又f(x ＋1)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＋c ，其对称轴为x ＝－2a ＋b 2a ，f(x)的对称轴为x ＝－b 2a ，由已知得x ＝－2a ＋b 2a 与x ＝－b2a 关于y 轴对称，所以－2a ＋b 2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，得a ＝－b 成立，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．分析法证题思路1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．2．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．[证明] 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1．∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示] 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？[提示] 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路探究：可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来． [证明] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c2b ，且a>0，b>0，c>0.要证(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)，因(b ＋1)(c ＋1)≤(b ＋1)＋(c ＋1)2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a≥b＋c.由于2a ＝b 2c ＋c2b ，故只需证b 2c ＋c2b≥b＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c)(b 2＋c 2－bc)≥(b＋c)bc ，即证b 2＋c 2－bc≥bc，即证(b －c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)．分析综合法特点综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 构成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证c(b ＋c)＋a(a ＋b)＝(a ＋b)(b ＋c)，只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2. ∵A，B ，C 成等差数列， ∴2B＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B＝60°. ∵c 2＋a 2－b 2＝2accos B ， ∴c 2＋a 2－b 2＝ac ， ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2， ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立．1．综合法与分析法的区别与联系区别：综合法分析法推理方向顺推，由因导果逆推，执果索因解题思路探路较难，易生枝节容易探路，利于思考(优点) 表述形式形式简洁，条理清晰(优点)叙述烦琐，易出错思考的侧重点侧重于已知条件提供的信息侧重于结论提供的信息联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用2．分析综合法常采用同时从已知和结论出发，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点，从而构建出证明的有效路径．上面的思维模式可概括为下图：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法就是从结论推向已知．( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越． ( ) (3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．( )(1)× (2)× (3)√ [(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．] 2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P>Q B ．P ＝QC ．P<QD ．由a 的取值决定C [当a ＝1时，P ＝1＋22，Q ＝2＋5，P<Q ，故猜想当a≥0时，P<Q.证明如下：要证P<Q ，只需证P 2<Q 2，只需证2a ＋7＋2a (a ＋7)<2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)，即证a 2＋7a<a 2＋7a ＋12，只需证0<12．∵0<12成立，∴P<Q 成立．]3．设a>0，b>0，c>0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．9 [因为a ＋b ＋c ＝1，且a>0，b>0，c>0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca ≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan Bcos A .证明：a ＋b ＝2c. [证明] 由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos Acos B ＋sin B cos Acos B，化简得2(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B)＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C. 从而sin A ＋sin B ＝2sin C. 由正弦定理得a ＋b ＝2c. 命题得证．。