初中数学阅读题
2019届人教版中考复习数学练习专题二：阅读理解专题(有答案)
专题二阅读理解专题【课堂精讲】例1阅读例题，模拟例题解方程．解方程x2＋|x－1|－1＝0.解：(1)当x－1≥0即x≥1时，原方程可化为：x2＋x－1－1＝0即x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(不合题意，舍去)(2)当x－1＜0即x＜1时，原方程可化为：x2－(x－1)－1＝0即x2－x＝0，解得x3＝0，x4＝1(不合题意，舍去)综合(1)、(2)可知原方程的根是x1＝1，x2＝0.请你模拟以上例题解方程：x2＋|x＋3|－9＝0.解析：(1)当x＋3≥0时，即x≥－3时．原方程可化为：x2＋x－6＝0.解得x1＝2，x2＝－3.(2)当x＋3＜0时，即x＜－3时．原方程可化为：x2－x－12＝0.解得x3＝－3，x4＝4.经检验，x3＝－3，x4＝4都不符合题意，舍去．综合(1)、(2)可知原方程的根为x1＝2，x2＝－3.点评：解决这类题的策略是先理解例题的思想方法，再把这种思想方法迁移到问题中从而得到解决．例2条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA＋PB＝A′B的值最小模型应用：(1)如图1，正方形ABCD边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB＋PE的最小值是______；(2)如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA＋PC最小值是______；(3)如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是______．解析：关键在于把握题中的两点：第一是动点在哪条线上运动？这条线就确定为对称轴；第二是画出一个点的对称点，并确定符合条件的动点的位置，再进行解答．(1)在图1中，点B关于AC的对称点是D，连接DE交AC于点P，此时点P就符合条件，再进行计算．(2)在图2中，点A关于OB的对称点是点D，连接DC交OB于点P，点P就是符合条件的点．PA＋PC的最小值是CD，求出CD的长即可．(3)在图3中，作出P关于OB、OA的对称点P′和P″.连接P′P″交OB、OA于R、Q.再连接PR、PQ.则△PRQ的周长最小，此时△PRQ的周长＝P′P″的长．在等腰直角形P′OP″中．求出P′P″的长即可．答案：523102【课堂提升】1．阅读材料，解答问题．用图象法解一元二次不等式，x2－2x－3＞0.解：设y＝x2－2x－3，则y是x的二次函数．∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y＝0时，x2－2x－3＝0.解得x1＝－1，x2＝3.∴由此得抛物线y＝x2－2x－3的大致图象如图所示：观察函数图象可知：当x＜－1或x＞3时，y＞0.∴x2－2x－3＞0的解集是：x＜－1或x＞3.(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是________；(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2-5x+6＜0的解集.2. 阅读下列材料：解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解∵x﹣y=2，∴x=y+2又∵x＞1，∵y+2＞1．∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①同理得：1＜x＜2．…②由①+②得﹣1+1＜y +x ＜0+2∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知x ﹣y =3，且x ＞2，y ＜1，则x +y 的取值范围是 ．（2）已知y ＞1，x ＜﹣1，若x ﹣y =a 成立，求x +y 的取值范围（结果用含a 的式子表示）．3.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）A ． 1，2，3B ． 1，1，C ． 1，1，D ． 1，2，y 1)，Q (x 2，y 2)的对称中心的坐标为( 122x x + ，122y y + )．(1)如图，在平面直角坐标系中，若点P 1(0，－1)，P 2(2,3)的对称中心是点A ，则点A 的坐标为________；(2)另取两点B (－1.6,2.1)，C (－1,0)．有一电子青蛙从点P 1处开始依次关于点A ，B ，C 作循环对称跳动，即第一次跳到点P 1关于点A 的对称点P 2处，接着跳到点P 2关于点B 的对称点P 3处，第三次再跳到点P 3关于点C 的对称点P 4处，第四次再跳到点P 4关于点A 的对称点P 5处，…，则点P 3，P 8的坐标分别为____、____；(3)求出点P 2012的坐标，并直接写出在x 轴上与点P 2012、点C 构成等腰三角形的点的坐标．【高效作业本】专题二 阅读理解专题1.如图，已知正方形ABCD ，顶点A (1，3)、B (1,1)、C (3,1)．规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为( )A．(—2012,2) B．（一2012，一2）C. (—2013,—2) D. (—2013,2)2.定义新运算：对于任意实数a，b都有a△b=ab﹣a﹣b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围．一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2－2x＋1＝0 x1＝1，x2＝1 x2－2x＋1＝(x－1)(x－1)x2－3x＋2＝0 x1＝1，x2＝2 x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)3x2＋x－2＝0 x1＝，x2＝－1 3x2＋x－2＝3(x－ )(x＋1)2x2＋5x＋2＝0 x1＝____，x2＝____ 2x2＋5x＋2＝2(x＋ )(x＋2)4x2＋13x＋3＝0 x1＝____，x2＝____ 4x2＋13x＋3＝4(x＋____)(x＋____)4．阅读下面的例题：解方程x2－|x|－2＝0解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)(2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2所以原方程的解是x1＝2，x2＝－2请参照例题，解方程：x2－|x－3|－3＝0.【答案】专题二阅读理解专题答案1.分析：（1）观察图象即可写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集；（2）先设函数解析式，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，就可以画出抛物线，根据y＜0确定一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集．解：（1）观察图象，可得一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集是：-1＜x＜3（2）设y=x2-5x+6，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3．∴由此得抛物线y=x2-5x+6的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当2＜x＜3时，y＜0．∴x2-5x+6＜0的解集是：2＜x＜3点评：本题主要考查在直角坐标系中利用二次函数图象解不等式，可作图利用交点直观求解集．2.解：（1）∵x﹣y=3，∴x=y+3，又∵x＞2，∴y+3＞2，∴y＞﹣1．又∵y＜1，∴﹣1＜y＜1，…①同理得：2＜x＜4，…②由①+②得﹣1+2＜y+x＜1+4∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5；（2）∵x﹣y=a，∴x=y+a，又∵x＜﹣1，∴y+a＜﹣1，∴y＜﹣a﹣1，又∵y＞1，∴1＜y＜﹣a﹣1，…①同理得：a+1＜x＜﹣1，…②由①+②得1+a+1＜y+x＜﹣a﹣1+（﹣1），∴x+y的取值范围是a+2＜x+y＜﹣a﹣2．本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程，难度一般．3.分析A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．点评：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．(2)(－5.2,1.2)；(2,3)(提示：P1(0，－1)，P2(2,3)，P3(－5.2,1.2)，P4(3.2，－1.2)，P5(－1.2,3.2)，P6(－2,1)，P7(0，－1)，P8(2,3))(3)∵P1(0，－1)→P2(2,3)→P3(－5.2,1.2)→P4(3.2，－1.2)→P5(－1.2,3.2)→P6(－2,1)→P7(0，－1)→P8(2,3)→…，∴P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环．∵2012÷6＝335…2.∴P2012的坐标与P2的坐标相同，即P2012(2,3)；在x轴上与点P2012，点C构成等腰三角形的点的坐标为(－3 －1,0)，(2,0)，(3 －1,0)，(5,0)．【高效作业本】1.分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M的对应点的坐标，即可得规律．解答：∵正方形ABCD，点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．∴M的坐标变为(2,2)∴根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），第2014次变换后的点M的对应点的为坐标为（2－2014， 2），即（－2012， 2）故答案为A．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n 次变换后的点M 的对应点的坐标为：当n 为奇数时为（2－n ，－2），当n 为偶数时为（2－n ，2）是解此题的关键．2.分析：首先根据运算的定义化简3△x ，则可以得到关于x 的不等式组，即可求解．解答：3△x=3x ﹣3﹣x+1=2x ﹣2，根据题意得：，解得：＜x ＜．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解运算的定义是关键．3.(1)－12 －2 －14 －3 143 (2)ax2＋bx ＋c ＝a(x －x1)(x －x2)4.解析：(1)当x －3≥3，原方程为 x 2－(x －3)－3＝0∵x ≥3∴不符合题意，都舍去(2)当x －3＜0时，即x ＜3，原方程化为x 2＋(x －3)－3＝0解得x 2＋(x －3)＝0解得x 1＝－3或x 2＝2(都符合题意)所以原方程的解是x 1＝3或x 2＝2.答案：x ＝－3或x ＝2。
部编数学八年级下册专题5二次根式最热考点——阅读材料题(解析版)含答案
专题5 二次根式最热考点——阅读材料题（解析版）第一部分 典例精析+变式训练类型一 分母有理化典例1（2022秋•万柏林区校级月考）阅读材料：材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．×=3，6﹣2＝4―材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如1=，8=＝请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：（1 （均写出一个即可）（2）将下列各式分母有理化：（要求：写出变形过程）思路引领：（1）根据互为有理化因式的定义得出答案即可；（2）①先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可；②先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可．解：（1+―（2）①3=5；②11＝+3．总结提升：本题考查了平方差公式，分母有理化和二次根式的混合运算，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．变式训练1．（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因+11．（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式： ．化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：3．（2）请仿照上述方法化简：3．（3）比较1与1的大小．思路引领：（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；（3）分母有理化后再比较．解：（122互为有理化因式，+22（答案不唯一）；（2=（3∴1＜1．总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．类型二二重根式的化简典例2（2022秋•郸城县期中）请阅读下列材料：a ，b ，使a +b ＝m ，ab ＝n ，即22=m ，a ＞b ）．m ＝7，n ＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即22=7×=2+请根据材料解答下列问题：（1= ．（2．思路引领：（1）利用完全平方公式化简得出答案；（2）利用完全平方公式以及二次根式的性质化简得出答案．解：（1―（2m ＝21，n ＝108，∵9+12＝21，9×12＝108，即22=21×===3．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．变式训练1．（2022秋•例如：3224=6+数化简中的作用．建立模型：只要我们找到两个数a ，b ，使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样22==ma＞b），m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即22=7×=2+模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1（2模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4―AC=BC边的长为多少？（结果化成最简）．思路引领：（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；（2）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；（3）根据勾股定理求出即可．解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，即12+2＝6，1===＝1（2m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，2+2＝13====＝（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，所以，2+BC2=(42所以，BC==2．总结提升：本题考查的是分母有理化，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．类型三整体思想运算典例3（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x=1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x―2，求代数式x2+4x﹣5的值；（2）已知x x3+x2+1的值．思路引领：（1）仿照阅读材料解答即可；（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．解：（1）∵x―2，∴x+2=∴（x+2）22，∴x2+4x＝﹣1，∴x2+4x﹣5＝﹣6；，（2）∵x=2∴2x+1=∴（2x+1）22，变形整理得：x2+x＝1，∴x3+x2+1＝x（x2+x）+1＝x+11总结提升：本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形．针对训练1．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：问题：已知x=，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小明的做法是：根据x=得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．仿照上述方法解决问题：（1）已知x=―3，求代数式x2+6x﹣8的值；（2）已知x=x3+2x2的值．思路引领：（1）根据x=3求出x+3x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可；（2）根据x2x+1=4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求出答案．解：（1）∵x3，∴x+3=两边平方得：（x+3）2＝10，即x2+6x+9＝10，∴x2+6x＝1，∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；（2）∵x=∴2x―1，∴2x +1=两边平方，得（2x +1）2＝5，即4x 2+4x +1＝5，∴4x 2+4x ＝4，即x 2+x ＝1，∴x 3+2x 2＝x 3+x 2+x 2＝x （x 2+x ）+x 2＝x ×1+x 2＝x +x 2＝1．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减等知识点，能够整体代入是解此题的关键．类型四 基本不等式求最值典例4（2021春•新泰市期中）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，＝或≥，≤）（1）①当a ＝2，b ＝2②当a ＝3，b ＝3③当a ＝4，b ＝4④当a ＝3，b ＝5（2）观察以上式子，猜想写出关于a b 2与a ＞0，b ＞0）之间的数量关系： 并进行探究证明；（提示：2≥0）（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最小值为 ．思路引领：（1）把各组a 、b 的值分别代入a b 2和（22≥0，然后利用完全平方公式展开，变形后可得到a b 2≥（3）设长方形的长宽分别为xm ，ym ，则xy ＝1，利用（2）中的结论得到x y2≥2（x +y ）≥4，然后可确定镜框周长的最小值．解：（1）当a ＝2，b ＝2时，a b 2=2=2，则a b 2=②当a ＝3，b ＝3时，，a b2=33，则a b 2③当a ＝4，b ＝4时，a b2=44，则a b 2=④当a ＝3，b ＝5时，a b2=4，则a b 2＞故答案为：＝，＝，＝，＞；（2）a b 2≥2≥0，∴a ﹣b ≥0，∴a +b ≥∴a b 2≥故答案为：a b 2≥（3）设长方形的长为xm ，宽是ym ，则xy ＝1，∵x y2≥∴x +y ≥2，∴2（x +y ）≥4，即镜框周长的最小值为4米．故答案为：4米．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．变式训练1．（2022春•海淀区校级期中）阅读下面材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a ＞0，b ＞0时：2＝a ﹣b ≥0，∴a +b ≥a ＝b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ．（2）若y =x 22x 10x 1（x ＞﹣1），求y 的最小值．（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和10，求四边形ABCD 面积的最小值．思路引领：（1）根据公式计算即可；（2）先配方，化简，运用公式计算即可；（3）设△BOC 的面积为x ，根据△AOB 与AOD ，△BOC 与△COD 为等高的三角形，且△AOB 与△BOC ，△AOD 与△COD 为同底的三角形，得到S △BOC ：S △COD ＝S △AOB ：S △AOD ，求出S △AOD =40x，利用公式求面积的最小值即可．解：（1）当x ＞0时，1x＞0，∴x +1x≥=2，∴x +1x的最小值是2；当x ＜0时，﹣x ＞0，―1x ＞0，∴x +1x =―（﹣x ―1x），∵﹣x ―1x ≥2，∴﹣（﹣x ―1x）≤﹣2，∴x +1x的最大值为﹣2；故答案为：2；﹣2；（2）y =x＝x +1+9x 1，∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y ≥=2×3＝6，∴y 的最小值为6；（3）设△BOC 的面积为x ，∵△AOB 与AOD ，△BOC 与△COD 为等高的三角形，且△AOB 与△BOC ，△AOD 与△COD 为同底的三角形，∴S △BOC ：S △COD ＝S △AOB ：S △AOD ，∴x ：10＝4：S △AOD ，∴S △AOD =40x，∴四边形ABCD 的面积＝4+10+x +40x≥＝14+2×＝当且仅当x =40x，即x ＝∴四边形ABCD 面积的最小值为总结提升：本题考查了配方法的应用，列出四边形ABCD 面积的表达式解题的关键．类型五 a =的化简典例5 （2022秋•仁寿县校级月考）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．化简：2﹣|1﹣x |．解：隐含条件1﹣3x ≥0，解得x ≤13，∴1﹣x ＞0，∴原式＝（1﹣3x ）﹣（1﹣x ）＝1﹣3x ﹣1+x ＝﹣2x．（12；（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简（3）已知a、b a+3a―b+1，求ab的值．思路引领：（1）根据二次根式有意义条件得出2﹣x≥0，求出x≤2，再根据二次根式的性质进行计算即可；（2）根据三角形三边关系及二次根式的性质可得答案；（3）直接利用二次根式性质进而分析得出a，b的值，进而得出答案．解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，―2＝3﹣x﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；（2）∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a﹣b＜c，a+c＞b，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c；（3=a+3，若a≥2，则a﹣2＝a+3，不成立，故a＜2，∴2﹣a＝a+3，∴a=―1 2，=a﹣b+1，∴a﹣b+1＝1或0，∴b=―12或12，∴ab＝±1 4．总结提升：本题考查了数轴与实数，二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．变式训练1．（2022秋•唐河县月考）阅读下列解题过程：2，求a的取值范围．解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）．当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件．当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）．综上所述，a的取值范围是1≤a≤3．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题．（1）当2≤a≤5 ；（2=4成立，求a的取值范围．思路引领：（1）根据二次根式的性质即可求出答案；（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案．解：（1）∵2≤a≤5，∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|＝a﹣2﹣（a﹣5）＝3；（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，∴a＝3，符合题意；当3＜a＜7时，∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；当a≥7时，∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，∴a＝7，符合题意；综上所述，3≤a≤7；总结提升：本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．类型六纠正解题过程中的错误典例6（2022秋•金水区校级期中）计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．222+22+2……第一步＝10……第三步任务一：填空：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；任务二：请写出正确的计算过程；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．思路引领：任务一：利用完全平方公式进行计算即可解答；任务二：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；任务三：根据在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式，即可解答．解：任务一：填空：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式运用错误，故答案为：一，完全平方公式运用错误；任务二：222+2﹣[2﹣+2]＝5﹣（6﹣+5）＝5﹣5＝任务三：在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．针对训练1．（2022春•12(的过程，请认真阅读并完成相应的任务．―12(―12(2第一步―12×―12×第二步第三步第四步=―第五步任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．任务二：请你写出正确的计算过程．思路引领：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．解：（1）任务一：小明同学的解答过程从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号后，括号内第二项没有变号，故答案为：二；去括号后，括号内第二项没有变号；（2―12(―12(2总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．类型7 分子有理化求最值和比较大小典例7 （2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：―分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：――=1，―+―再例如：求y ―解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =4．当x ＝2+2，所以y 的最大值是2．解决下述问题：（1）比较―4和（2）求y =思路引领：（1）利用分母有理化得到4=2，=2，利用4＞4＜（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x ≥0，x ≥0，则x ≥0，利用分母有理化得到y =1，由于x ＝01，从而得到y 的最大值．解：（1）∵―4==2，=而4∴+4＞∴―4＜（2）由1+x ≥0，x ≥0得x ≥0，而y ―1，∵x＝01，∴y的最大值为1．总结提升：本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．针对训练1．（2021秋•即墨区期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．1．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：―+再例如，求y―解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=4．当x＝2+2．所以y的最大值是2．利用上面的方法，完成下面问题：（1（2）求y=+2的最大值．思路引领：（1）利用平方差公式进行分子有理化计算，从而比较大小；（2）利用二次根式有意义的条件确定x的取值范围，然后通过利用平方差公式对原式进行分子有理化变形，从而确定其最大值．解：（1=1；=++――（2）∵x+1≥0且x﹣1≥0，∴x≥1，原式=2，当x＝1时，2有最大值为此时，原式有最大值为2+总结提升：本题考查二次根式的有理化计算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．第二部分专题提优训练1．（2022秋•萧县期中）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题：x的值是多少？∴x﹣1≥0且1﹣x≥0．又∵x﹣1和1﹣x互为相反数，∴x﹣1＝0，且1﹣x＝0，∴x＝1．问题：若y=+2，求x y的值．思路引领：根据二次根式中的被开方数是非负数，可得x的值，进而得出y的值，然后代入所求式子计算即可．解：由题意得：2x―1≥01―2x≥0，∴2x﹣1＝0，解得x=1 2，所以y＝2，所以x y=(12)2=14．总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出被开方数的取值范围是解题关键．2．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使x+y＝a且xy＝b，这样“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．=1+（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如2样的式子，其实我们还可以将其进一12=1．那么我们称这个过程为分式的分母有理化．根据阅读材料解决下列问题：（1）化简“和谐二次根式”： ； ．（2）已知m =n ，求m nm n 的值．思路引领：（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可；（2）先根据阅读材料（一）化简m 与n 的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可．（1）解：=+2；=2―+2；2―（2）解：∵m =11n =11+∴m ﹣n ―m +n =+∴m n m n=总结提升：本题考查的是估算无理数的大小，二次根式的性质与化简，考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，弄懂题意，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．3．（2021秋•广平县期末）阅读下列解题过程―（1）观察上面的解答过程，请写出1= ．（2⋅⋅⋅思路引领：（1（2）把各加数分母有理化，再合并同类二次根式．解：（1（2）1+11⋅⋅⋅+11=―1+―...=1＝10﹣1＝9．总结提升：此题考查二次根式的分母有理化，确定最简公分母和合并同类二次根式是关键．4．（2022秋•南召县月考）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：(2+×(2―=1，×=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：7+像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+ ．（2）已知x =y ，则1x +1y = ．（3）利用上面所提供的解法，请化简1+1+1+⋯+1+1．思路引领：（1）根据有理化因式的概念解答；（2）利用二次根式的乘法法则计算；（3）根据分母有理化、二次根式的加法法则计算．解：（1）∵（4+（416﹣7＝9，∴44―故答案为：4（2）∵x =∴1x =2＝5﹣同理，1y =∴1x+1y =5﹣=10，故答案为：10；（3）原式=―1++⋯+＝10﹣1＝9．总结提升：本题考查的是二次根式的混合运算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．5．（2022秋•峄城区校级月考）阅读下列材料，然后回答问题：再进行二次根式运算时，我们有时会碰上如5，221=1．以上这种化简的过程叫做分母有理化．（1）请根据以上方法化简：①4；②4；③1（2）直接写出：2― ；（3）计算：⋯⋯+⋅思路引领：（1）根据阅读材料分母有理化即可；（2）根据倒数的概念列式，再分母有理化即可；（3）将括号内各数分母有理化，合并同类二次根式后再算乘法．解：（14+1；1（2）2―=2+故答案为：2（3―......+×+1）―1）1）＝2022．总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握分母有理化的方法．6．（2022春•昭化区期末）=a （a ≥0），+1）―1）＝b ﹣1（b ≥0）这样的+1―1，都互为有理化因式．进行含有二次根式的分式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．【解决问题】（1―3的有理化因式为 ；（2）已知正整数a ，bb3―a ，b 的值．思路引领：（1―3的有理化因式；（2）根据题意，将题目中的式子变形，然后即可得到关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可．解：（1―3）+3）＝7﹣9＝﹣2，―3+3，+3；（2）∵a=3―=3﹣∴a +1）＝3﹣+a ―＝3﹣∴（a ―12b a ＝3﹣∴a ―12b =―2a =3，解得a =3b =10，即a 的值是3，b 的值是10．总结提升：本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和分母有理化的方法．7．（2022春•新余期末）阅读下列解题过程：=2，求a 的取值．解：原式＝|a ﹣2|+|a ﹣4|，当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；所以，a的取值范围是2≤a≤4．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：（1）当3≤a≤7（26，求a的取值；（3=5的a的取值范围 ．思路引领：（1）根据已知可得3﹣a≤0，a﹣7≤0，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答；（2）按照例题的思路，分类讨论进行计算即可解答；（3）按照例题的思路，分类讨论进行计算即可解答．解：（1）∵3≤a≤7，∴3﹣a≤0，a﹣7≤0，＝|3﹣a|+|a﹣7|＝a﹣3+7﹣a＝4；（2）原式＝|a+1|+|a﹣3|，当a＜﹣1时，原式＝﹣a﹣1+3﹣a＝﹣2a+2＝6，解得a＝﹣2；当﹣1≤a＜3时，原式＝a+1+3﹣a＝4，等式不成立；当a≥3时，原式＝a+1+a﹣3＝2a﹣2＝6，解得a＝4；所以，a的值为﹣2或4；（3）原式＝|a﹣1|+|a﹣6|，当a＜1时，原式＝1﹣a+6﹣a＝7﹣2a＝5，解得a＝1（舍去）；当1≤a＜6时，原式＝a﹣1+6﹣a＝5，等式恒成立；当a≥6时，原式＝a﹣1+a﹣6＝2a﹣7＝5，解得a＝6；∴a的取值范围：1≤a≤6，故答案为：1≤a≤6．总结提升：本题考查了整式的加减，二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键．8．（2022秋•辉县市期中）【阅读学习】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（1+ 2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+=（m+2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+=m2+2n2．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+【解决问题】（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+（m+2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a ＝ ，b＝ ；（2）利用（1）的结论，找一组正整数a，b，m，n（m≠n），使得a+（m+2成立，且a+b+m+n 的值最小．请直接写出a，b，m，n的值；（3）若a=（m+2，且a，m，n均为正整数，求a的值．思路引领：（1）根据阅读材料，利用完全平方公式将等式右边展开，即可求出a、b的值；（2）根据（1）的结论即可得到结果；（3）根据题意得到a＝m2+5n2，b＝2mn，求得mn＝3，分类讨论即可得到结论．解：（1）（m+2＝m2+3n2＝m2+3n2+2∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）当n＝1，m＝2时，a＝22+3×1＝7，b＝2mn＝4，故a＝7，b＝4，m＝2，n＝1时，a+b+m+n的值最小．（3）（m+2＝m2+5n2＝a∴a＝m2+5n2，6＝2mn，∴mn＝3，∵a、m、n均为正整数，∴令m＝1，n＝3或m＝3，n＝1；当m＝1，n＝3时，a＝12+5×32＝46．当m＝3，n＝1时，a＝32+5×12＝14．综上，a的值为14或46．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减，理解题意，弄清阅读材料中把一个式子化为平方式的方法是解题的关键．9．（2022春•邗江区期末）阅读下列材料，并回答问题：把形如a+a﹣a、b为有理数且b＞0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．（1）请你举出一对共轭实数： 3+ 3―（2）﹣a、b的值；（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是思路引领：（1）根据题意，可以写出一组共轭实数，本题答案不唯一；（2）根据共轭实数的定义，可以判断﹣a和b即可；（3）根据两个共轭实数的和是10，差的绝对值是a、b、m的值，从而可以写出这两个共轭实数．解：（1）由题意可得，3+3―故答案为：33―（2）﹣a＝0，b＝2；（3）设这两个共轭实数为a+a﹣∵两个共轭实数的和是10，差的绝对值是∴（a++（a﹣10，|（a+a﹣|＝∴2a＝10，|2∴a＝5，b＝2或b＝﹣2（舍去），m＝3，∴这两个共轭实数是5﹣总结提升：本题考查二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．10．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：问题：已知x=2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x―2，求代数式x2+4x﹣10的值；（2）已知x x 3+x 2+1的值．思路引领：（1）根据完全平方公式求出x 2+4x ＝1，代入计算即可；（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．解：（1）∵x ―2，∴（x +2）2＝5，∴x 2+4x +4＝5，∴x 2+4x ＝1，∴x 2+4x ﹣10＝1﹣10＝﹣9；（2）∵x =∴x 22=则x 3＝x •x 2=2×22，∴x 3+x 2+1=21=总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．11．（2021秋•宽城县期末）（1）计算：+1；（2―2；（3）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：×第一步―第二步―第三步第四步①以上化简步骤中第一步化简的依据是： ；②第 步开始出现错误，请写出错误的原因 ，该运算正确结果应是 ．思路引领：（1）利用平方差公式计算；（2）先把各二次根式化简，然后合并即可；（3）①第一步化简的依据为二次根式的除法法则；②第二步去括号错误，然后计算出正确的结果．解：（1）原式＝5﹣3+1＝3；（2）原式＝+912×5＝―5＝+5；（3）①化简步骤中第一步化简的依据是商的算术平方根，等于算术平方根的商；故答案为商的算术平方根，等于算术平方根的商；②第二步开始出现错误，请写出错误的原因括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；，该运算正确结果应是故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号； 总结提升：本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．12．（2021秋•岳阳期末）王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．（1）小青编的题，观察下列等式：2123―1；2直接写出以下算式的结果：2 ；2（n 为正整数）＝ ；（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：+1）2＝2＝+2＝a +b a ≥0，b ≥0）；再根据平方根的定义可得：+1a ≥0，b ≥0）；直接写出以下算式的结果： ， ， ；（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：（2+2222）思路引领：（1）根据分母有理化化简即可得出答案；（2=|a|化简即可；（3|a|化简，根据平方差公式即可得出答案．解：（17=n1=n为正整数）；（2===+1；===―1；==＝2+1―1，2+（3）原式＝=1―――1））＝11﹣1＝10．总结提升：本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，探索二次根式计算中的规律，将第一个多项式的每项分母有理化，裂项相消是解题的关键．13．（嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b2≥0，∴a﹣b≥0，∴a+b≥a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9≤ ；（2）若m＞0，当m为何值时，m+1m有最小值，最小值是多少？思路引领：（1）根据a+b≥2 a、b均为正实数），进而得出即可；（2）根据a+b≥2 a、b均为正实数），进而得出即可．解：（1）∵a+b≥2 a、b均为正实数），∴a+b＝9，则a+b≥9 2；故答案为：9 2；（2）由（1）得：m +1m≥即m +1m ≥2，当m =1m 时，m ＝1（负数舍去），故m +1m有最小值，最小值是2．总结提升：此题主要考查了二次根式的应用，根据题意结合a +b ≥2 a 、b 均为正实数）求出是解题关键．14．（2021春•莆田期中）阅读下面材料：同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式，小明发现像m +n ，mnp 如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．他还发现像m 2+n 2，（m ﹣1）（n ﹣1）等神奇对称式都可以用mn ，m +n 表示．例如：m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn ，（m ﹣1）（n ﹣1）＝mn ﹣（m +n ）+1．于是丽丽把mn 和m +n 称为基本神奇对称式．请根据以上材料解决下列问题：（1）代数式①2，②m 2﹣n 2，③n m ，x ≥0，y ≥0，z ≥0)中，属于神奇对称式的是 （填序号）；（2）已知（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝x 2﹣px +q ．①若p ＝3，q ＝﹣2，则神奇对称式1m +1n= ；②―q ＝0，求神奇对称式m 31m +n 31n的最小值．思路引领：（1）根据神奇对称式的概念进行判断；（2）①首先利用多项式乘多项式的计算法则计算求得mn ，m +n 的值，然后利用分式的计算法则进行计算；②利用分式的运算法则将原式进行化简，然后代入求值，结合配方法求代数式的最值．解：（1①是神奇对称式；只有当m +n ＝0或m ﹣n ＝0时，m 2﹣n 2＝n 2﹣m 2，∴m 2﹣n 2不一定等于n 2﹣m 2，故②不是神奇对称式；只有当m ＝n ≠0或m ＝﹣n 时，n m =m n ，∴n m 不一定等于m n ，故③不是神奇对称式；++④是神奇对称式；故答案为：①④；（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，∴m+n＝p＝3，mn＝q＝﹣2，∴1m+1n=m nmn=―32，故答案为：―3 2；②∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，∴m+n＝p，mn＝q，原式＝m2+1m+n2+1n＝（m+n）2﹣2mn+m n mn＝p2﹣2q+p q，q，∴p＝±q，当p＝q时，原式＝p2﹣2q+1＝（p﹣1）2≥0，∴此时，原式的最小值是0；当p＝﹣q时，原式＝p2﹣2q﹣1＝（p﹣1）2﹣2≥﹣2，∴此时，原式的最小值是﹣2；综上，m31m+n31n的最小值是﹣2．总结提升：本题考查多项式乘多项式的运算，分式的混合运算，二次根式的混合运算，理解新定义，掌握运算法则是解题关键．。
安徽省中考数学决胜二轮复习 专题四 阅读理解问题习题-人教版初中九年级全册数学试题
专题四 阅读理解问题1．(改编题)定义新运算：ab ＝a (b －1)，若a ，b 是关于一元二次方程x 2－x ＋14m ＝0的两实数根，则bb －aa 的值为( B )A ．－1B ．0C ．1D ．22．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O 为极点；从点O 出发引一条射线Ox 称为极轴；线段OP 的长度称为极径．点P 的极坐标就可以用线段OP 的长度以及从Ox 转动到OP 的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P (3,60°)或P (3，－300°)或P (3,420°)等，则点P 关于点O 成中心对称的点Q 的极坐标表示不正确的是( D )A ．Q (3,240°)B ．Q (3，－120°)C ．Q (3,600°)D ．Q (3，－500°)3．定义[x ]表示不超过实数xy ＝[x ]的图象如图所示，则方程[x ]＝12x 2的解为( A )A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D ．2或－ 24．定义运算：a ⊗b ＝a (1－b )．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗(－2)＝6；②a ⊗b ＝b ⊗a ；③若a ＋b ＝1，则(a ⊗a )＝(b ⊗b )；④若b ⊗a ＝0，则a ＝0或b ＝1.其中结论正确的序号是( D )A ．②④B ．②③C ．①④D ．①③5．(2018·某某)阅读材料：若a b＝n ，则b ＝log Na ，称b 为以a 为底N 的对数．例如23＝8，则log 82＝log232＝3.根据材料填空：log 93＝__2__.6．(原创题)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 为二阶行列式，规定它的运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，那么当x ＝1时，二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 10 x －1的值为__0__.7．(改编题)定义：在平面直角坐标系xOy 中，任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的“直角距离”为d (A ，B )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|；已知点A (1,1)，那么d (A ，O )＝__2__.8．已知以点C (a ，b )为圆心，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.例如：已知以点A (2,3)为圆心，半径为2的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －3)2＝4，则以原点为圆心，过点P (1,0)的圆的标准方程为__x 2＋y 2＝1__.9．设a ，b 是任意两个实数，规定a 与b 之间的一种运算“⊕”为a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b a a ＞0，a －b a ≤0.如1⊕(－3)＝－31＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x 2＋1)⊕(x －1)＝x －1x 2＋1.(因为x 2＋1＞0) 参照上面材料，解答下列问题： (1)2⊕4＝__2__，(－2)⊕4＝__－6__；(2)若x ＞12，且满足(2x －1)⊕(4x 2－1)＝(－4)⊕(1－4x )，求x 的值．解：(2)∵x>12，∴2x －1＞0，∴(2x －1)⊕(4x 2－1)＝4x 2－12x －1＝2x ＋12x －12x －1＝2x＋1，(－4)⊕(1－4x )＝－4－(1－4x )＝－4－1＋4x ＝－5＋4x.∴2x ＋1＝－5＋4x ，解得x ＝3.10．(2018·内江)对于三个数a ，b ，c 用M {a ，b ，c }表示这三个数的中位数，用max{a ，b ，c }表示这三个数中最大数，例如：M {－2，－1,0}＝－1，max{－2，－1,0}＝0，max{－2，－1，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥－1，－1a ＜－1.解决问题：(1)填空：M {sin 45°，cos 60°，tan 60°}＝__sin__45°__，如果max{3,5－3x,2x －6}＝3，则x 的取值X 围为__23≤x≤92__；(2)如果2·M {2，x ＋2，x ＋4}＝max{2，x ＋2，x ＋4}，求x 的值； (3)如果M {9，x 2,3x －2}＝max{9，x 2,3x －2}，求x 的值．解：(2)当x ＋4＞x ＋2＞2时，M {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋2，max {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋4，∴2·(x ＋2)＝x ＋4，解得x ＝0；当2＞x ＋4＞x ＋2时，M {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋4，max {2，x ＋2，x ＋4}＝2，∴2·(x ＋4)＝2，解得x ＝－3，当x ＋4＞2＞x ＋2时，M {2，x ＋2，x ＋4}＝2，max {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋4，∴2·2＝x ＋4，解得x ＝0；所以综上所述，x 的值为0或－3；(3)∵将M {9，x 2,3x －2}中的三个元素分别用三个函数表示，即y ＝9，y ＝x 2，y ＝3x －2，在同一个直角坐标系中表示如下：由几个交点划分区间，分类讨论：当x≤－3时，可知M {9，x 2,3x －2}＝9，max {9，x 2,3x －2}＝x 2，得x 2＝9，x ＝±3，x ＝3(舍)，∴x ＝－3；当－3＜x＜1时，可知M {9，x 2,3x －2}＝x 2，max {9，x 2,3x －2}＝9，得x 2＝9，∴x ＝±3(舍)；当1≤x≤2时，可知M {9，x 2,3x －2}＝3x －2，max {9，x 2,3x －2}＝9，得3x －2＝9，∴x ＝113(舍)；当2＜x≤3时，可知M {9，x 2,3x －2}＝x 2，max {9，x 2,3x －2}＝9，得x 2＝9，∴x ＝±3，x ＝－3(舍)，∴x ＝3；当3＜x≤113时，可知M {9，x 2,3x －2}＝9，max {9，x 2,3x －2}＝x 2，得x 2＝9，∴x ＝±3(舍)；当x ＞113时，可知M {9，x 2,3x －2}＝3x －2，max {9，x 2,3x －2}＝x 2，得3x －2＝x 2，∴x 1＝1(舍)；x 2＝2(舍)．综上所述，满足条件的x 的值为3或－3.11．(2018·某某)【阅读教材】 宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．(提示：MN ＝2)第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB 折到图③中所示的AD 处．第四步，展平纸片，按照所得的点D 折出DE ，使DE ⊥ND ，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】(1)图③中AB ＝__5__(保留根号)；(2)如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；(3)请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．【实际操作】(4)结合图④.请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．解：(2)四边形BADQ是菱形．理由如下：∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD，∴∠BQA＝∠QAD，由折叠得：∠BAQ＝∠DQA，AB＝AD，∴∠BQA＝∠BAQ，∴BQ＝AB，∴BQ＝AD，∵BQ∥AD，∴四边形BADQ是平行四边形．∵AB ＝AD，∴四边形BADQ是菱形；(3)图④中的黄金矩形有矩形BCDE、矩形MNDE，以黄金矩形BCDE为例，理由如下：∵AD＝5，AN＝AC＝1，∴CD＝AD－AC＝5－1，又∵BC＝2，∴CDBC＝5－12，故矩形BCDE是黄金矩形；(4)如图，在矩形BCDE上添加线段GH，使四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所要作的黄金矩形长GH＝5－1，宽BG＝3－5，BGGH＝3－55－1＝5－12.12．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.【特例探索】(1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝22时，a＝__25__，b＝__25__；如图2，当∠ABE ＝30°，c＝4时，a＝__213__，b＝__27__；【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；【拓展应用】(3)如图4，在▱ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25，ABAF 的长．解：(2)猜想：a 2，b 2，c 2三者之间的关系是：a 2＋b 2＝5c 2，证明：如图3，连接EF ，∵AF ，BE 是△ABC 的中线，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF∥AB ，且EF ＝12AB ＝12c ，∴PE PB ＝PF PA ＝12，设PF ＝m ，PE ＝n 则AP ＝2m ，PB ＝2n ，在Rt△APB 中，(2m )2＋(2n )2＝c 2①，在Rt△APE 中，(2m )2＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22②，在Rt △BPF 中，m 2＋(2n )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22③，由①得：m 2＋n 2＝c 24，由②＋③得：5(m2＋n 2)＝a 2＋b 24，∴a 2＋b 2＝5c 2；(3)如图4，连接AC ，EF 交于H ，AC 与BE 交于点Q ，设BE 与AF 的交点为P ，∵点E ，G 分别是AD ，CD 的中点，∴EG ∥AC ，∵BE ⊥EG ，∴BE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝25，∴∠EAH ＝∠FCH ，∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴AE ＝12AD ，BF ＝12BC ，∴AE ＝BF ＝CF ＝12AD ＝5，∵AE ∥BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴EF ＝AB ＝3，AP ＝PF ，在△AEH 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAH ＝∠FCH ，∠AHE ＝∠FHC ，AE ＝CF ，∴△AEH ≌△CFH ，∴EH ＝FH ，∴EP ，AH是△AFE 的中线，由(2)的结论得：AF 2＋EF 2＝5AE 2，∴AF 2＝5(5)2－EF 2＝16，∴AF ＝4.。
初中数学-新材料阅读题
新版材料阅读题一、填空题1．两条平行线间的距离公式一般地；两条平行线l 1:Ax +By +C 1=0和l 2:Ax +By +C 2=0间的距离公式d =12√A 2+B 2如：求：两条平行线x +3y −4=0和2x +6y −9=0的距离．解：将两方程中x,y 的系数化成对应相等的形式，得2x +6y −8=0和2x +6y −9=0 因此，d =√22+62=√1020两条平行线l 1:3x +4y =10和l 2:6x +8y −10=0的距离是____________．二、解答题2．已知点P ，Q 为平面直角坐标系xOy 中不重合的两点，以点P 为圆心且经过点Q 作⊙P ，则称点Q 为⊙P 的“关联点”，⊙P 为点Q 的“关联圆”．（1）已知⊙O 的半径为1，在点E （1，1），F （﹣12，√32），M （0，-1）中，⊙O 的“关联点”为______；（2）若点P （2，0），点Q （3，n ），⊙Q 为点P 的“关联圆”，且⊙Q 的半径为√5，求n 的值；（3）已知点D （0，2），点H （m ，2），⊙D 是点H 的“关联圆”，直线y ＝﹣43x+4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．若线段AB 上存在⊙D 的“关联点”，求m 的取值范围．3．阅读下列材料，并完成填空．你能比较20132014和20142013的大小吗?为了解决这个问题，先把问题一般化，比较n n+1和(n+1)n（n≥1，且n为整数）的大小．然后从分析n=1，n=2，n=3⋯的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论．（1）通过计算（可用计算器）比较下列（1）-（7）组两数的大小：（在横线上填上" > "" =“或”<"）（1）1221；（2）2332；（3）3443；（4）4554；（5）5665；（6）6776；（7）7887；（2）归纳第（1）问的结果，可以猜想出n n+1和(n+1)n的大小关系；（3）根据以上结论，可以得出20132014和20142013的大小关系．4．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明；（3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长．（直接写出结论即可）5．阅读理解题在平面直角坐标系xOy 中，点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0（A 2+B 2≠0）的距离公式为：d=00√A 2+B 2，例如，求点P （1，3）到直线4x+3y ﹣3=0的距离． 解：由直线4x+3y ﹣3=0知：A=4，B=3，C=﹣3 所以P （1，3）到直线4x+3y ﹣3=0的距离为：d=√42+32=2根据以上材料，解决下列问题：（1）求点P 1（0，0）到直线3x ﹣4y ﹣5=0的距离． （2）若点P 2（1，0）到直线x+y+C=0的距离为，求实数C 的值．6．若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根，则有x 1+x 2=−ba ，x 1⋅x 2=ca ，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若α，β是方程x 2−x −1=0的两根，记S 1=α+β，S 2=α2+β2，…，S n =αn +βn ，(1)S 1=________；S 2=________；S 3=________；S 4=________；（直接写出结果） (2)当n 为不小于3的整数时，由(1)猜想S n ，S n−1，S n−2有何关系？ (3)利用(2)中猜想求(1+√52)7+(1−√52)7的值．。
七年级初中数学阅读理解专题训练
七年级初中数学阅读理解专题训练本文档旨在提供一系列七年级初中数学阅读理解专题训练题，以帮助学生提高对数学问题的理解和解决能力。
题目一阅读下面的问题，并完成相关计算。
问题：小明有10支铅笔，小红有3支铅笔。
如果他们把铅笔都放在一起，那么总共有多少支铅笔？解答：小明有10支铅笔，小红有3支铅笔。
所以他们总共有10+3=13支铅笔。
题目二根据下面的信息，回答问题。
问题：一家商店正在举行打折活动，所有衣服的价格降低了30%。
如果一件衣服原价是120元，那么现在的价格是多少？解答：如果一件衣服原价是120元，那么降价后的价格为120 * (1-30%) = 120 * 0.7 = 84元。
题目三根据下面的图表，回答问题。
问题：以下图表表示了某班级学生的身高分布情况，共有32名学生。
请问身高在150-160cm之间的学生有多少人？解答：根据图表，身高在150-160cm之间的学生有12人。
题目四根据下面的信息，回答问题。
问题：一个长方形花坛的长是6米，宽是4米。
如果要在该花坛周围修建一圈围墙，请计算需要多少米的围墙木材。
解答：该长方形花坛的周长为2 * (6 + 4) = 20米。
因此，需要20米的围墙木材。
题目五根据下面的问题，回答问题。
问题：有一辆汽车从A市开往B市，全程480公里。
在一次加油站，它加满油后继续行驶。
如果这辆车每升汽油可以行驶12公里，那么加满一箱油需要多少升？解答：根据题目，这辆车每升汽油可以行驶12公里，全程为480公里。
所以加满一箱油需要480 / 12 = 40升。
以上是七年级初中数学阅读理解专题训练的一些例题，希望能帮助同学们提高数学解题能力。
祝大家学业进步！。
七年级数学任务型阅读30篇练习含答案
七年级数学任务型阅读30篇练习含答案一、题目1. 有一条车道，如果小明每分钟骑自行车的速度为10米，那么10分钟后他会骑行多远？答案：小明会骑行100米。
2. 如果一个正方形的一个边长为3厘米，那么它的面积是多少？答案：正方形的面积为9平方厘米。
3. 某校的初中部有800名学生，其中女生占整个学生人数的60%。
请计算该校初中部女生的人数。
答案：该校初中部女生有480人。
4. 一辆车开了24公里，速度为每小时60公里，那么这辆车一共开了多长时间？答案：这辆车一共开了0.4小时。
5. 如果25颗樱桃的重量是125克，那么每颗樱桃的重量是多少？答案：每颗樱桃的重量是5克。
...二、解析1. 速度=距离/时间，小明每分钟骑行10米，所以10分钟后骑行的距离等于10乘以10=100米。
2. 正方形的面积=边长的平方，所以3厘米边长的正方形的面积等于3平方=9平方厘米。
3. 60%表示百分之六十，所以800乘以60%等于800乘以60除以100=480。
所以该校初中部女生有480人。
4. 时间=距离/速度，这辆车开了24公里，速度为每小时60公里，所以时间等于24除以60=0.4小时。
5. 樱桃的总重量是125克，共有25颗樱桃，所以每颗樱桃的平均重量等于125除以25=5克。
...三、总结这份文档包含了30个数学任务型阅读题目及其答案，涵盖了七年级数学学科内容。
通过阅读和解答这些题目，学生可以加深对数学概念的理解，并提高解题能力。
同时，文档也提供了解答的详细解析，帮助学生掌握解决问题的方法和思路。
2022年中考数学真题分类汇编：阅读材料题(含答案)
2021-2022年中考数学真题分类汇编阅读材料题1.(2022·湖南省)阅读下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA =bsinB．证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD=asinB在Rt△ACD中，CD=bsinA∴asinB=bsinA∴asinA=bsinB根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB =csinC；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)2.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．【探究发现】(1)小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．【拓展迁移】(2)如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．②若AE2+AG2=10，试求出正方形ABCD的面积．3.(2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)．(1)若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点(1,1)，求c的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)，其中x1<0<x2、|x1|>|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=34．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦⋅韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−ba ，x1x2=ca”.此关系通常被称为“韦达定理”．4. (2022·内蒙古自治区赤峰市)阅读下列材料 定义运算：min|a ，b|，当a ≥b 时，min|a ，b|=b ；当a <b 时，min|a ，b|=a ． 例如：min|−1，3|=−1；min|−1，−2|=−2． 完成下列任务(1)①min|(−3)0，2|=______； ②min|−√14，−4|=______．(2)如图，已知反比例函数y 1=kx 和一次函数y 2=−2x +b 的图象交于A 、B 两点．当−2<x <0时，min|kx，−2x +b|=(x +1)(x −3)−x 2，求这两个函数的解析式．5. (2022·湖南省永州市)已知关于x 的函数y =ax 2+bx +c ． (1)若a =1，函数的图象经过点(1,−4)和点(2,1)，求该函数的表达式和最小值； (2)若a =1，b =−2，c =m +1时，函数的图象与x 轴有交点，求m 的取值范围． (3)阅读下面材料：设a >0，函数图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若A ，B 两点均在原点左侧，探究系数a ，b ，c 应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与x 轴有两个不同的交点，所以Δ=b 2−4ac >0；②因为A ，B 两点在原点左侧，所以x =0对应图象上的点在x 轴上方，即c >0； ③上述两个条件还不能确保A ，B 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需−b2a <0． 综上所述，系数a ，b ，c 应满足的条件可归纳为：{a >0Δ=b 2−4ac >0c >0−b 2a<0请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数y=ax2−2x+3的图象在直线x=1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．6.(2022·浙江省金华市)如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1.作直径AF．2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3.连结AM，MN，NA．(1)求∠ABC的度数．(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．7.(2022·吉林省)下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1//l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为ℎ，则S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ．∴S△ABC=S△DBC．【探究】(1)如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为ℎ，ℎ′，则S△ABCS△DBC=ℎℎ′．证明：∵S△ABC=______．(2)如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则S△ABCS△DBC =AMDM．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°．∴AE//______．∴△AEM∽______．∴AEDF =AMDM．由【探究】(1)可知S△ABCS△DBC=______，∴S△ABCS△DBC =AMDM．(3)如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E.若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则S△ABCS△DBC的值为______．8.(2022·四川省凉山彝族自治州)阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=−1，则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=______.x1x2=______．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求nm +mn的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，求1 s −1t的值．9.(2022·山西省)阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．下面根据抛物线的顶点坐标(−b2a ,4ac−b24a)和一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac，分别分a>0和a<0两种情况进行分析：(1)a>0时，抛物线开口向上．①当Δ=b2−4ac>0时，有4ac−b2<0.∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a<0．∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点(如图1)．②当Δ=b2−4ac=0时，有4ac−b2=0.∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a=0．∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图2)．∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．③当Δ=b2−4ac<0时，……(2)a<0时，抛物线开口向下．……任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______(从下面选项中选出两个即可)；A.数形结合B.统计思想C.分类讨论D.转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，Δ<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为______．10.(2021·四川省凉山彝族自治州)阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔(J.Npler,1550−1617年)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evler,1707−1783年)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216，对数式2=log39可以转化为指数式32=9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a(M⋅N)=log a M+log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0)，理由如下：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n，∴M⋅N=a m⋅a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a(M⋅N)．又∵m+n=log a M+log a N，∴log a(M⋅N)=log a M+log a N.根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：(1)填空：①log232=______ ，②log327=______ ，③log71=______ ；(2)求证：log a MN=log a M−log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0)；(3)拓展运用：计算log5125+log56−log530．11.(2021·宁夏)阅读理解：如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EF//BC，可以得到以下结论：AHAD =EFBC．拓展应用：(1)如图2，在△ABC中，BC=3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度(单位：厘米)随着排数(单位：排)的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘160______ ______ ______ …米若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？12.(2021·贵州省安顺市)(1)阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；(2)问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形.若AC=12，BC=5，求EF的值；(3)拓展探究如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形.设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．已知∠1=∠2=∠3=α，当角α(0°<α<90°)变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程(b与c的关系式用含n的式子表示)．13.(2021·湖北省鄂州市)数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现由5+5=2√5×5=10；13+13=2√13×13=23；0.4+0.4=2√0.4×0.4=0.8；15+5>2√15×5=2；0.2+3.2>2√0.2×3.2=1.6；12+18>2√12×18=12．猜想：如果a>0，b>0，那么存在a+b≥2√ab(当且仅当a=b时等号成立)．猜想证明∵(√a−√b)2≥0，∴①当且仅当√a−√b=0，即a=b时，a−2√ab+b=0，∴a+b=2√ab；②当√a−√b≠0，即a≠b时，a−2√ab+b>0，∴a+b>2√ab．综合上述可得：若a>0，b>0，则a+b≥2√ab成立(当且仅当a=b时等号成立)．猜想运用对于函数y=x+1x(x>0)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？变式探究对于函数y=1x−3+x(x>3)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？拓展应用疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题.高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙(墙的长度不限)，用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图.设每间离房的面积为S(米 2).问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？14.(2021·内蒙古自治区赤峰市)阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x1,y1)，点N的坐标为(x2,y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”.如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．(1)已知点A的坐标为(2,0)．①若点B的坐标为(4,4)，则点A、B的“相关矩形”的周长为______ ；②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；(2)已知点P的坐标为(3,−4)，点Q的坐标为(6,−2)若使函数y=kx的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值．15.(2021·山西省)(1)计算：(−1)4×|−8|+(−2)3×(12)2．(2)下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．2x−1 3>3x−22−1．解：2(2x−1)>3(3x−2)−6……第一步4x−2>9x−6−6……第二步4x−9x>−6−6+2……第三步−5x>−10……第四步x>2……第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据______ (运算律)进行变形的；②第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ；任务二：请直接写出该不等式的正确解集．16.(2021·湖南省张家界市)阅读下面的材料：如果函数y=f(x)满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，(1)若x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)是增函数；(2)若x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)是减函数．例题：证明函数f(x)=x2(x>0)是增函数．证明：任取x1<x2，且x1>0，x2>0．则f(x1)−f(x2)=x12−x22=(x1+x2)(x1−x2).∵x1<x2且x1>0，x2>0，∴x1+x2>0，x1−x2<0．∴(x1+x2)(x1−x2)<0，即f(x1)−f(x2)<0，f(x1)<f(x2).∴函数f(x)=x2(x>0)是增函数．根据以上材料解答下列问题：(1)函数f(x)=1x (x>0)，f(1)=11=1，f(2)=12，f(3)=______ ，f(4)=______ ；(2)猜想f(x)=1x(x>0)是______ 函数(填“增”或“减”)，并证明你的猜想．17.(2021·山东省济宁市)研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．(1)阅读材料立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．例如，正方体ABCD−A′B′C′D′(图1)，因为在平面AA′C′C中，CC′//AA′，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．解决问题如图1，已知正方体ABCD−A′B′C′D′，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．(2)如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是______ ；②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．18.(2021·山西省)阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线(或曲线)，并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量.比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F =95C +32得出，当C =10时，F =50.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式1R =1R 1+1R 2求得R 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图.我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性；(2)请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式1R =1R 1+1R 2计算：当R 1=7.5，R 2=5时，R 的值为多少； ②如图，在△AOB 中，∠AOB =120°，OC 是△AOB 的角平分线，OA =7.5，OB =5，用你所学的几何知识求线段OC 的长．19. (2021·安徽省)【阅读理解】我们知道，1+2+3+⋯+n =n(n+1)2，那么12+22+32+⋯+n 2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n 行n 个圆圈中数的和为n 个n n+n+⋯+n ⏟ ，即n 2，这样，该三角形数阵中共有n(n+1)2个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+⋯+n 2．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n−1行的第一个圆圈中的数分别为n−1，2，n)，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为______ ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+⋯+n2)=______ ，因此，12+22+32+⋯+ n2=______ ．【解决问题】根据以上发现，计算：12+22+32+⋯+201721+2+3+⋯+2017的结果为______ ．20.(2021·广西壮族自治区南宁市)【阅读理解】如图①，l1//l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等.在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．∴∠AEF=∠DFC=90°，∴AE//DF．∵l1//l2，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE=DF．又S△ABC=12BC⋅AE，S△DBC=12BC⋅DF．∴S△ABC=S△DBC．【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE=DE，AD=4，连接AE，求△ADE的面积．解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD=4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．21.(2021·河南省)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；(3)作射线OP，射线即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG=∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P；(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是______ (填序号)．①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．(3)如图3，已知∠AOB=60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF=√3+1.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE=30°时，直接写出线段OC的长．1.(1)证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AD=csinB，在Rt△ACD中，AD=bsinC，∴csinB=bsinC，∴bsinB =csinC；(2)解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，∵∠BAC=67°，∠B=53°，∴∠C=60°，在Rt△ACE中，AE=AC⋅sin60°=80×√32=40√3(m)，又∵ACsinB =BCsin∠BAC，即800.8=BC0.9，∴BC=90m，∴S△ABC=12×90×40√3=180√3(m2).2.(1)证明：如图1，连接DC，∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB=BC，BE=BC，∠ABC=∠DBE=∠E=∠BDE=60°，∴∠ABC−∠ABD=∠DBE−∠ABD，即∠CBD=∠ABE，∴△CBD≌△ABE(SAS)，∴CD=AE，∠BDC=∠E=60°，∴∠ADC=∠BDE+∠BDC=120°，∴△ADC为钝角三角形，∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．(2)解：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，理由如下：如图2，连接CG，∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，∴AB=CB，BE=BG，∠ABC=∠BCD=∠EBG=∠BGF= 90°，∠EGB=∠GEB=45°，∴∠ABC−∠ABG=∠EBG−∠ABG，即∠CBG=∠ABE，∴△CBG≌△ABE(SAS)，∴CG=AE，∠CGB=∠AEB=45°，∴∠AGC=∠EGB+∠CGB=45°+45°=90°，∴△ACG是直角三角形，即以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形；②由①可知，CG=AE，∠AGC=90°，∴CG2+AG2=AC2，∴AE2+AG2=AC2，∵AE2+AG2=10，∴AC2=10，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2=10，∴AB2=5，∴S正方形ABCD=AB2=5．3.解：(1)当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，把x=1，y=1代入得，1=1+3+c，∴c=−3；(2)①由ax2+bx+c=0得，x1=−b−√b2−4ac2a ，x2=−b+√b2−4ac2a，∴AB=x2−x1=√b2−4aca，∵抛物线的顶点坐标为：(−b2a ,4ac−b24a)，∴AE=b2−4ac4a ，OM=b2a，∵∠BAE=90°，∴tan∠ABE=AEAB =34，∴b2−4ac4a ÷√b2−4aca=34，∴b2−4ac=9；②∵b2−4ac=9，∴x 2=−b+32a ，∵OP//MN ，∴NP BP=OM OB ， ∴b 2a ：−b+32a=2， ∴b =2，∴22−4ac =9，∴c =−54a ，∴T =1a 2+165c =1a 2−54a ⋅165=1a 2−4a =(1a −2)2+4， ∴当1a =2时，T 最小=4，即a =12时，T 最小=4．4.1 −45.解：(1)根据题意得{1+b +c =44+2b +c =1a =1，解得{a =1b =2c =1，∴y =x 2−2x +1=(x −1)2，∴该函数的表达式为y =x 2−2x +1或y =(x −1)2， 当x =1时，y 的最小值为0；(2)根据题意得y =x 2−2x +m +1， ∵函数的图象与x 轴有交点，∴Δ=b 2−4ac =(−2)2−4(m +1)≥0， 解得：m ≤0；(3)根据题意得到y =ax 2−2x +3的图象如图所示， 如图1，{ a <0(−2)2−12a >0−−22a <1a −2+3>0，即{ a <0a <13a >1a >−1， ∴a 的值不存在； 如图2，{ a <0(−2)2−12a >0−−22a >1a −2+3>0，即{ a <0a <13a <1a >−1， ∴a 的取值范围为−1<a ≤0， 如图3，{ a <0(−2)2−12a =0−−22a >1a −2+3<0，即{ a <0a =13a <1a <−1， ∴a 的值不存在；如图4，{ a >0(−2)2−12a >0−−22a >1a −2+3<0，即{ a >0a <13a <1a <−1∴a 的值不存在； 如图5，{ a >0(−2)2−12a =0−−22a >1a −2+3>0，即{ a >0a =13a <1a >−1， ∴a 的值为13； 如图6，当a =0时，函数解析式为y =−2x +3，函数与x 轴的交点为(1.5,0)， ∴a =0成立；综上所述，a 的取值范围为−1<a ≤0或a =13．6.解：(1)∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠ABC =(5−2)×18025=108°，即∠ABC =108°； (2)△AMN 是正三角形， 理由：连接ON ，NF ， 由题意可得：FN =ON =OF ， ∴△FON 是等边三角形， ∴∠NFA =60°， ∴NMA =60°，同理可得：∠ANM =60°， ∴∠MAN =60°， ∴△MAN 是正三角形； (3)∵∠AMN =60°， ∴∠AON =120°， ∵∠AOD =360°5×2=144°，∴∠NOD =∠AOD −∠AON =144°−120°=24°， ∵360°÷24°=15， ∴n 的值是15．7.12BC ⋅ℎ DF △DFM AE DF 738.解：(1)∵一元二次方程2x 2−3x −1=0的两个根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=−−32=32，x 1x 2=−12=−12，故答案为：32，−12；(2)∵一元二次方程2x 2−3x −1=0的两根分别为m 、n ， ∴m +n =32，mn =−12，∴n m +m n=n 2+m 2mn =(m +n)2−2mnmn =(32)2−2×(−12)−12=−132；(3)∵实数s 、t 满足2s 2−3s −1=0，2t 2−3t −1=0， ∴s 与t 看作是方程2x 2−3x −1=0的两个实数根， ∴s +t =32，st =−12，∴(s −t)2=(s +t)2−4st ， (s −t)2=(32)2−4×(−12)， (s −t)2=174，∴s −t =±√172， ∴1s −1t =t −s st =−(s −t)st=±√172−12=±√17．9.AC 可用函数观点认识二元一次方程组的解(答案不唯一) 10.(1)5 ，3，0(2)设log a M =m ，log a N =n ，则M =a m ，N =a n ， ∴M N=a m a n=a m−n ，由对数的定义得m −n =log a MN ，又∵m −n =log a M −log a N ，∴log a MN =log a M −log a N(a >0,a ≠1,M >0,N >0)； (3)原式=log 5(125×6÷30)=log 525=2．11.400332038012.解：(1)a 2+b 2=c 2(直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方)，证明如下：∵如图①是由直角边长分别为a ，b 的四个全等的直角三角形与中间一个边长为(b −a)的小正方形拼成的一个边长为c 的大正方形，∴4△ADE 的面积+正方形EFGH 的面积=正方形ABCD 是面积， 即4×12ab +(b −a)2=c 2， 整理得：a 2+b 2=c 2；(2)由题意得：正方形ACDE 被分成4个全等的四边形， 设EF =a ，FD =b ， ∴a +b =12①，∵正方形ABIJ 是由正方形ACDE 被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM 拼成，∴E′F′=EF ，KF′=FD ，E′K =BC =5， ∵E′F′−KF′=E′K ， ∴a −b =5②，由①②得：{a +b =12a −b =5，解得：a =172，∴EF =172；(3)c +b =n ，理由如下： 如图③所示：设正方形E 的边长为e ，正方形F 的边长为f ， ∵∠1=∠2=∠3=α，∠PMQ =∠D′OE′=∠B′C′A′=90°，∴△PMQ ∽△D′OE′∽△B′C′A′， ∴OE′C′A′=D′E′B′A′，PMB′C′=PQB′A′， 即ce =en ，bf =fn ， ∴e 2=cn ，f 2=bn ，在Rt △A′B′C′中，由勾股定理得：e 2+f 2=n 2， ∴cn +bn =n 2， ∴c +b =n ．13.解：猜想运用：∵x >0，∴x +1x ≥2√x ⋅1x ， ∴y ≥2，∴当x =1x 时，y min =2， 此时x 2=1， 只取x =1，即x =1时，函数y 的最小值为2．变式探究：∵x >3， ∴x −3>0， ∴y =1x−3+x =1x−3+(x −3)+3≥2√1x−3⋅(x −3)+3≥5，∴当1x−3=x −3时，y min =5， 此时(x −3)2=1， ∴x 1=4，x 2=2(舍去) 即x =4时，函数y 的最小值为5．拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，由题意得：9x +12y =63， 即：3x +4y =21， ∵3x >0，4y >0 ∴3x +4y ≥2√3x ⋅4y ， 即：21≥2√12xy ， 整理得：xy ≤14716，即：S ≤14716，∴当3x =4y ，时S max =14716此时x =72，y =218即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为14716．14.(1)①12；②∵若点C 在直线x =4上，且点A 、C 的“相关矩形”为正方形，∴C(4,2)或(4,−2)，设直线AC的关系式为：y=kx+b将(2,0)、(4,2)代入解得：k=1，b=−2，∴y=x−2，将(2,0)、(4,−2)代入解得：k=−1，b=2，∴y=−x+2，∴直线AC的解析式为：y=x−2或y=−x+2；(2)∵点P的坐标为(3,−4)，点Q的坐标为(6,−2)，设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，则M(3,−2)，N(6,−4)，的图象过M时，k=−6，当函数y=kx的图象过N时，k=−24，当函数y=kx若使函数y =kx 的图象与点P 、Q 的“相关矩形”有两个公共点，则−24<k <−6．15.解：(1)(−1)4×|−8|+(−2)3×(12)2=1×8−8×14=8−2=6； (2)任务一： ①乘法分配律②五；化系数为1用到性质3，即变不等号方向，其它都不会改变不等号方向； 任务二：x <216.(1)13；14(2)减；证明：任取x 1<x 2，x 1>0，x 2>0，则f(x 1)−f(x 2)=1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2，∵x 1<x 2且x 1>0，x 2>0， ∴x 2−x 1>0，x 1x 2>0， ∴x 2−x 1x 1x 2>0，即f(x 1)−f(x 2)>0，∴函数f(x)=1x (x >0)是减函数．17.解：(1)如图1中，连接BC′．∵A′B=BC′=A′C′，∴△A′BC′是等边三角形，∴∠BA′C′=60°，∵AC//A′C′，∴∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角，∴两直线BA′与AC所成角为60°．(2)①丙②如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．由题意在Rt△MKJ中，∠MJK=90°，MJ=5+3=8，JK=8−(4−2)=6，∴MK=√MJ2+JK2=√82+62=10，∴PM+PN的最小值为10．18.解：(1)图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；(答案不唯一)．(2)①当R1=7.5，R2=5时，1 R =1R1+1R2=17.5+15=5+7.57.5×5=13，∴R=3．②过点A作AM//CO，交BO的延长线于点M，如图，∵OC 是∠AOB 的角平分线，∴∠COB =∠COA =12∠AOB =12×120°=60°．∵AM//CO ，∴∠MAO =∠AOC =60°，∠M =∠COB =60°． ∴∠MAO =∠M =60°． ∴OA =OM ．∴△OAM 为等边三角形． ∴OM =OA =AM =7.5． ∵AM//CO ， ∴△BCO ∽△BAM ． ∴OCAM =BOBM ． ∴OC 7.5=57.5+5．∴OC =3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．19.【规律探究】2n +1；n(n+1)(2n+1)2；n(n+1)(2n+1)6；【解决问题】 1345．20.解：【类比探究】过点E 作EF ⊥CD 于点F ，连接AF ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD =CD =4，∠ADC =90°， ∵DE =CE ，EF ⊥CD ，∴DF =CF =12CD =2，∠ADC =∠EFD =90°， ∴AD//EF ， ∴S △ADE =S △ADF ，∴S△ADE=12×AD×DF=12×4×2=4；【拓展应用】如图③，连接CF，∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，∴∠BDC=45°，∠GCF=45°，∴∠BDC=∠GCF，∴BD//CF，∴S△BDF=S△BCD，∴S△BDF=12BC×BC=8．21.解：(1)如图1，由作图得，OC=OD，OE=OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，∴∠PGO=∠PHO=90°，∵OE−OC=OF−OD，∴CE=DF，∵CG=12CE，DH=12DF，∴CG=DH，∴OC+CG=OD+DH，∴OG=OH，∵OP=OP，∴Rt△PGO≌Rt△PHO(HL)，故答案为：⑤．(2)射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：如图2，∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，∴△DOE≌△COF(SAS)，∴∠PEC=∠PFD，∵∠CPE=∠DPF，CE=DF，∴△CPE≌△DPF(AAS)，∴PE=PF，∵OE=OF，∠PEO=∠PFO，PE=PF，∴△OPE≌△OPF(SAS)，∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，∴OP是∠AOB的平分线．(3)如图3，OC<OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO=∠PME=90°，由(2)得，OP平分∠AOB，∠PEC=∠PFD，∴∠PEC+30°=∠PFD+30°，∵∠AOB=60°，∴∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，∵∠CPE=30°，∴∠OCP=∠PEC+∠CPE=∠PEC+30°，∠OPC=∠PFD+∠POF=∠PFD+30°，∴∠OCP=∠OPC=12(180°−∠POE)=12×(180°−30°)=75°，∴OC=OP，∠OPE=75°+30°=105°，∴∠OPM=90°−30°=60°，∴∠MPE=105°−60°=45°，∴∠MEP=90°−45°=45°，∴MP=ME，设MP=ME=m，则OM=MP⋅tan60°=√3m，由OE=√3+1，得m+√3m=√3+1，解得m=1，∴MP=ME=1，∴OP=2MP=2，∴OC=OP=2；如图4，OC>OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO=∠PMC=90°，同理可得，∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，∠OEP=∠OPE=75°，∠OPM=60°，∠MPC=∠MCP=45°，∴OE=OP=√3+1，∵MC=MP=12OP=12OE=√3+12，∴OM=MP⋅tan60°=√3+12×√3=3+√32，∴OC=OM+MC=3+√32+√3+12=2+√3．综上所述，OC的长为2或2+√3．。
初中数学专题讲解2专题3《阅读材料题》
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专题三
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(2)∠Q= ∠A.
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理由:
∵△ABC 的内角平分线 BP 与外角平分线 CQ 交于点 Q,∴∠
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QBC= ∠ABC,∠QCD= ∠ACD.∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠QCD=∠QBC+
∠Q,
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∴ (∠A+∠ABC)=∠QBC+∠Q= ∠ABC+ ∠A,∴∠Q= ∠A.
定理就是我们非常熟知的一个定理:勾股定理,故答案为勾股定理.
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专题三
(3)连接 BD,作 CE⊥BD 于点 E,如图.
∵四边形 ABCD 是圆内接四边形,∴∠BAD+∠
BCD=180°.∵∠BAD=60°,∴∠BCD=120°.∵= ,∴CD=CB,∠CDB=30°.在 Rt△CDE
波格达诺夫·别列斯基的《名画》, 画上那位老师拉 斯是一位自然
科学教授,放弃了大学教席(教师职务)来到农村学校当一名普通老
师,画中,黑板上写着一道式子,如图所示.
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专题三
从这道算式可以计算得出答案等于 2,如果仔细研究10,11,12,13,14
这几个数会发现具有一种有趣的特性:102+112+122=132+142,而且
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专题三
专题三 阅读材料题
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专题三
【专题解读】阅读材料题是 西中考每年的必考内容,常以数学
文化知识、数学在自然与社会中的应用及数学发展史的有关材
料为背景进行命制,题型以解答题为主.常见的考查方式为给一段
最新初中数学专题强化训练《19阅读理解题》(附答案解析)-提升习题
专题19类型1 新定义阅读1.（2019•重庆）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数-“纯数”．定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位．（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由．2.（2019•南通）定义：若实数x，y 满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，则称点M （x，y）为“线点”．例如，点（0，-2）和（-2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）．（1）P1（3，1）和P2（-3，1）两点中，点____是“线点”；（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ -∠AOB|=30°时，直接写出t的值．3.（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF 中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长．4.（2019•扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D 在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T(AB，l2)，特别地线段AC 在直线l2上的正投影就是线段A1C．请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）=______；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD），5.（2019•株洲）已知二次函数y=ax2+bx+c（a>0）（1）若a=1，b=-2，c=-1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y=px2+qx+r（p ≠0），满足方程y=x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y=ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b=12c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1<0，x2>0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC=OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC=∠ABC．F A的延长线与BC的延长线相交于点P，若PC PA=，求二次函数的表达式．6.（2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x=3a c+，y=3b d+，那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（-1，8），B（4，-2），当点T（x，y）满足x=143-+=1，y=()823+-=2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（-1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．7.（2019•镇江）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．（1）求∠POB的度数；（2）已知OP=6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上AB的长．（π取3.1）8.（2019•常州）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：_____；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：______；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d=2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d ≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．9.（2019•北京）在△ABC中，D，E 分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧．例如，图1中DE是△ABC 的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=2 D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t=12，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．类型2 学习研究型阅读1.（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c．【基础训练】（1）解方程填空：①若2x+3x=45，则x=____；②若7y-8y=26，则y=_____；③若93t+58t=131t，则t=_____；【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn +nm一定能被____整除，mn-nm一定能被_____整除，mn•nm-mn一定能被___整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235= 297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为____；②设任选的三位数为abc（不妨设a>b >c），试说明其均可产生该黑洞数．2.（2019•常州）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2=_____________________；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n=3，m=3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7．①当n=4，m=2时，如图4，y=___；当n=5，m=____时，y=9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y=_______（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．3.（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）=|x1-x2| +|y1-y2|．【数学理解】（1）①已知点A（-2，1），则d（O，A）=_____．②函数y=-2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）=3，则点B的坐标是_______．（2）函数y=4x（x>0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）=3．（3）函数y=x2-5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN 方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）4.（2019•陕西）问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）参考答案类型1 新定义阅读1.【参考答案】（1）显然1949至1999都不是“纯数”，因为在通过列竖式进行n+(n+1) +(n+2)的运算时要产生进位．在2000至2019之间的数，只有个位不超过2时，才符合“纯数”的定义．所以所求“纯数”为2000，2001，2002，2010，2011，2012；（2）不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下：因为个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义，所以不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100．共13个．2.【参考答案】（1）P2∵当M点（x，y），若x，y满足x2-2y=t，y2-2x=t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，又∵P1（3，1），则32-2⨯1=7，12-2⨯3=-5，7≠-5，∴点P1不是线点；∵P2（-3，1），则(-3)2-2⨯1=7，12-2⨯(-3)=7，7=7，∴点P2是线点，故答案为P2；（2）∵点P（m，n）为“线点”，则m2-2n=t，n2-2m=t，∴m2-2n-n2+2m=0，m2-2n+n2-2m=2t，∴(m-n)(m+n+2)=0，∵a≠b，∴m+n+2=0，∴m+n=-2，∵m2-2n+n2-2m=2t，∴(m+n)2-2mn-2(m+n)=2t，即(-2)2-2mn+2⨯2=2t，∴mn=4-t，∵m≠n，∴(m-n)2>0，∴m2-2mn+n2>0，∴(m+n)2-4mn>0，∴(-2)2-4mn>0，∴mm<1，∵mn=4-t，∴t>3；（3）设PQ直线的解析式为：y=kx+b，则n mk b m nk b ⎧⎨⎩++＝，＝，解得，k=-1，∵直线PQ分别交x轴，y轴于点A、B，∴∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∵|∠AOB-∠POQ|=30°，∴∠POQ=120°或60°，∵P（m，n），Q（n，m），∴P、Q两点关于y=x对称，①若∠POQ=120°时，如图1所示：作PC⊥x轴于C，QD⊥y轴于D，作直线MN⊥AB．∵P、Q两点关于y=x对称，∴∠PON=∠QON=12∠POQ=60°，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AON=BON=45°，∴∠POC=∠QOD=15°，在OC上截取OT=PT，则∠TPO=∠TOP=15°，∴∠CTP=30°，∴PT=2PC=2n，TC=，∴-m+2n，由（2）知，m+n=-2，解得，m=-1-n-1，由（2）知，mn=4-t，t>3，∴(-1---t，解得，t=6，②若∠POQ=60°时，如图2所示，作PD⊥x轴于D，QC⊥y轴于C，作直线MN⊥AB．∵P、Q两点关于y=x对称，∴∠PON=∠QON=12∠POQ=30°，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AON=BON=45°，∴∠POD=∠QOC=15°，在OD上截取OT=PT，则∠TPO=∠TOP=15°，∴∠DTP=30°，∴PT=2PD=-2n，TD=，∴-m=-2n，由（2）知，m+n=-2，解得m=-1，n=-1，由（2）知，mn=4-t，t>3，∴(-1-1)=4-t，解得，t=103，综上所述，t的值为6或103．3.【参考答案】（1）∵AB=AC，AD是△ABC 的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∠F AB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，∵DE=2BE，∴BD=CD=3BE，∴CE=CD+DE=5BE，∵∠EDF=90°，点M是EF的中点，∴DM=ME，∴∠MDE=∠MED，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴QBNC=BDCE=35，∵QB=3，∴NC=5，∵AN =CN ， ∴AC =2CN =10， ∴AB =AC =10． 4.【参考答案】（1）2如图1中，作CH ⊥AB ．∵T （AC ，AB ）=3，∴AH =3，∵AB =5，∴BH =5-3=2，∴T （BC ，AB ）=BH =2，故答案为2．（2）如图2中，作CH ⊥AB 于H ．∵T （AC ，AB ）=4，T （BC ，AB ）=9，∴AH =4，BH =9，∵∠ACB =∠CHA =∠CHB =90°，∴∠A +∠ACH =90°，∠ACH +∠BCH =90°， ∴∠A =∠BCH ， ∴△ACH ∽△CBH ，∴CH BH =AHCH ， ∴9CH =4CH， ∴CH =6， ∴S △ABC =12•AB •CH =12⨯13⨯6=39． （3）如图3中，作CH ⊥AD 于H ，BK ⊥CD 于K ．∵∠ACD =90°，T （AD ，AC ）=2， ∴AC =2， ∵∠A =60°，∴∠ADC =∠BDK =30°，∴CD =3AC =23，AD =2AC =4， AH =12AC =1，DH =AD -AH =3， ∵T （BC ，AB ）=6，CH ⊥AB ，∴BH =6，∴DB =BH -DH =3，在Rt △BDK 中，∵∠K =90°，BD =3，∠BDK =30°，∴DK =BD •cos30°=33， ∴CK =CD +DK =23+33=73， ∴T （BC ，CD ）=CK =73．5.【参考答案】（1）①∵a =1，b =-2，c =-1，∴y=x2-2x-1=（x-1）2-2，∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，-2）.②证明：当y=x时，x2-2x-1=x，整理得，x2-3x-1=0，∴△=(-3)2-4⨯1⨯(-1)=13>0，∴方程x2-3x-1=0有两个不相等的实数根即二次函数y=x2-2x-1有两个不同的“不动点”．（2）把b=12c3代入二次函数得，y=ax2+12c3x+c，∵二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1<0，x2>0），即x1、x2为方程ax2+12c3x+c=0的两个不相等实数根，∴x1+x2=312ca-=32ca-，x1x2=ca，∵当x=0时，y=ax2+12c3x+c=c，∴C（0，c），∵E（1，0），∴CEAE=1-x1，BE=x2-1，∵DF⊥y轴，OC=OD，∴DF∥x轴，∴CEEF=OCOD=1，∴EF=CECF∵∠AFC=∠ABC，∠AEF=∠CEB，∴△AEF∽△CEB，∴AECE=EFBE，即AE•BE=CE•EF，∴(1-x1)(x2-1)=1+c2，展开得，1+c2=x2-1-x1x2+x1，1+c2=32ca--1-ca，c3+2ac2+2c+4a=0，c2(c+2a)+2(c+2a)=0，(c2+2)(c+2a)=0，∵c2+2>0，∴c+2a=0，即c=-2a，∴x1+x2=-382aa-=4a2，x1x2=2aa-=-2，CF=2，∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=16a4+8，∴AB=x2-x1∵∠AFC=∠ABC，∠P=∠P，∴△PFC∽△PBA，∴CFAB=PCPA，，解得，a1=1，a2=-1（舍去），∴c=-2a=-2，b=12c3=-4，∴二次函数的表达式为y=x2-4x-2.6.【参考答案】（1）x=13(-1+7)=2，y=13（5+7）=4，故点C是点A、B的融合点；（2）①由题意得，x=13(t+3)，y=13(2t+3)，则t=3x-3，则y=13(6x-6+3)=2x-1；②当∠DHT=90°时，如图1所示，点E（t，2t+3），则T（t，2t-1），则点D（3，0），由点T是点D，E的融合点得，t=33t+，2t-2=2333t++，解得，t=32，即点E（32，6）；当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得，点E（6，15）；当∠HTD=90°时，该情况不存在；故点E（32，6）或（6，15）．7.【参考答案】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示，则∠DHC=67°，∵∠HBD+∠BHD=∠BHD+∠DHC=90°，∴∠HBD=∠DHC=67°，∵ON∥BH，∴∠BEO=∠HBD=67°，∴∠BOE=90°-67°=23°，∵PQ⊥ON，∴∠POE=90°，∴∠POB=90°-23°=67°；（2）同（1）可证∠POA=31°，∴∠AOB=∠POB-∠POA=67°-31°=36°，∴AB=36π6 400180=3968（km）．8.【参考答案】（1）①2半径为1的圆的宽距离为2，故答案为2．②1+5如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt△ODC中,OC=22CD OD+=2212+=5,∴OP+OC≥PC，PC≤1+ 5.∴这个“窗户形“的宽距为1+5，故答案为1+5．（2）①如图2-1中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S1和S2（分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域）．∴点C所在的区域的面积为S1+S2=8π233-．②如图2-2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，∴当d=5时．AM=6，∴AT=22AM MT-=42，此时M（42-1，2），当d=8时．AM=7，∴AT=2272-=35，此时M（35-1，2），∴满足条件的点M的横坐标的范围为4 2-1≤x≤35-1．当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M 的横坐标的范围为-35+1≤x≤-42+1．9.【参考答案】（1）如图2，以DE 为直径的半圆弧DE ，就是△ABC 的最长的中内弧DE ，连接DE ，∵∠A =90°，AB =AC=22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴BC =sin ACB =2245=4， DE =12BC =12⨯4=2， ∴弧DE =12⨯2π=π； （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG ⊥AC 交FP 于G ，①当t =12时，C （2，0），∴D （0，1），E （1，1），F （12，1）， 设P （12，m ）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE 上方射线FP 上均可， ∴m ≥1，∵OA =OC ，∠AOC =90°，∴∠ACO =45°， ∵DE ∥OC ，∴∠AED =∠ACO =45°，作EG ⊥AC 交直线FP 于G ，FG =EF =12， 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求；∴m ≤12， 综上所述，m ≤12或m ≥1． ②如图4，设圆心P 在AC 上， ∵P 在DE 中垂线上， ∴P 为AE 中点，作PM ⊥OC 于M ，则PM =32， ∴P （t ，32）， ∵DE ∥BC∴∠ADE =∠AOB =90°，∴AE =22AD DE +=()2212t +=241t +， ∵PD =PE ， ∴∠AED =∠PDE∵∠AED +∠DAE =∠PDE +∠ADP =90°，∴∠DAE =∠ADP ，∴AP =PD =PE =12AE ，由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴12AE≤32，AE≤3≤3，解得，t≤∵t>0∴0<t≤类型2 学习研究型阅读1.【参考答案】（1）①2∵mn=10m+n，∴若2x+3x=45，则10⨯2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案为2．②4若7y-8y=26，则10⨯7+y-(10y+8)=26，解得y=4，故答案为4．③7由abc=100a+10b+c．及四位数的类似公式得，若93t+58t=131t，则100t+10⨯9+3+100⨯5+10t+8=1000⨯1+100⨯3+10t+1，∴100t= 700，∴t=7，故答案为7．（2）11；9；10mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11(m+n)∴则mn+nm一定能被11整除;∵mn-nm=10m+n-(10n+m)=9m-9n=9(m -n),∴mn-nm一定能被9整除;∵mn•nm-mn=(10m+n)(10n+m)-mn=100mn+10m2+10n2+mn-mn=10(10mn+m2+n2)，∴mn•nm-mn一定能被10整除,故答案为11；9；10．（3）①495若选的数为325，则用532-235=297，以下按照上述规则继续计算，972-279=693，963-369=594，954-459=495，954-459= 495…，故答案为495．②当任选的三位数为abc时，第一次运算后得，100a+10b+c-(100c+10b+a)=99(a-c)，结果为99的倍数，由于a>b>c，故a≥b+1≥c+2∴a-c≥2，又9≥a>c≥0，∴a-c≤9∴a-c=2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981-189=792，972-279=693，963-369= 594，954-459=495，954-459=495…，故都可以得到该黑洞数495．2.【参考答案】（1）有三个直角三角形其面积分别为ab，12ab和12c2．直角梯形的面积为12(a +b )(a +b )． 由图形可知，12(a +b )(a +b )=12ab +12ab +12c 2整理得(a +b )2=2ab +c 2，a 2+b 2+2ab =2ab +c 2， ∴a 2+b 2=c 2．故结论为：直角长分别为a 、b 斜边为c 的直角三角形中a 2+b 2=c 2． （2）1+3+5+7+…+2n -1n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为n 2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n -1．由图形可知：n 2=1+3+5+7+…+2n -1．故答案为1+3+5+7+…+2n -1．（3）①6，3；②n +2(m -1)①如图4，当n =4，m =2时，y =6，如图5，当n =5，m =3时，y =9．②算法Ⅰ．y 个三角形，共3y 条边，其中n 边形的每边都只使用一次，其他边都各使用两次，所以n 边形内部共有(3y -n )÷2条线段；算法Ⅱ．n 边形内部有1个点时，其内部共有n 条线段，共分成n 个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，所以n 边形内部有m 个点时，其内部共有n +3(m -1)条线段，由(3y -n )÷2=n +3(m -1)化简得，y =n +2(m -1)，故答案为①6，3；②n +2(m -1).3.【参考答案】（1）3；（1，2）①由题意得，d （O ，A ）=|0+2|+|0-1|=2+1=3；②设B （x ，y ），由定义两点间的距离可得：|0-x |+|0-y |=3，∵0≤x ≤2，∴x +y =3，∴324x y y x +==-+⎧⎨⎩，，解得，12x y ⎧⎨⎩＝，＝，∴B （1，2），故答案为3；（1，2）. （2）假设函数y =4x（x >0）的图象上存在点C （x ，y ）使d （O ，C ）=3， 根据题意，得|x -0|+|4x-0|＝3， ∵x >0，∴4x >0，|x -0|+|4x -0|=x +4x， ∴x +4x=3，∴x 2+4=3x ， ∴x 2-3x +4=0，∴△=b 2-4ac =-7<0， ∴方程x 2-3x +4=0没有实数根，∴该函数的图象上不存在点C ，使d （O ，C ）=3．（3）设D （x ，y ），根据题意得，d （O ，D ）=|x -0|+|x 2-5x +7-0|=|x |+|x 2-5x +7|，∵x2-5x+7＝(x-52)2+34>0，又x≥0，∴d（O，D）=|x|+|x2-5x+7|=x+x2-5x+7=x2-4x+7=(x-2)2+3，∴当x=2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y=-x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．∵∠EFH=45°，∴EH=HF，d（O，E）=OH+EH=OF，同理d（O，P）=OG，∵OG≥OF，∴d（O，P）≥d（O，E），∴上述方案修建的道路最短．4.【参考答案】（1）如图记为点D所在的位置．（2）如图，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB．∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O 一定于AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P 不能再矩形外；∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2，由对称性得AP2=8．（3）可以，如图所示，连接BD，∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60°，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取BED的中点E'，连接E'B，E'D，则E'B=E'D，且∠BE'D=60°，∴△BE'D为正三角形．连接E'O并延长，经过点A至C'，使E'A=AC'，连接BC'，DC'，∵E'A⊥BD，∴四边形E'D为菱形，且∠C'BE'=120°，作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E'O+OA=E'A，∴S△BDE=12•BD•EF≤12•BD•E'A=S△E'BD，∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC'DE'=2S△E'BD=1002•sin60°=50003（m2）所以符合要求的BCDE的最大面积为50003m2.。
初中数学专题：阅读理解题
专题训练二：阅读理解题一、填空题(1、2每小题5分，3小题7分，4小题3分，5小题6分，6小题4分，共30分)1．(龙岩市)阅读下面材料并完成填空．你能比较两个数20012002和20022001的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较n n ＋1和(n ＋1)n 的大小(n ≥1的整数)．然后，从分析n ＝1，n ＝2，n ＝3，……，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算，比较下列①～③各组两个数的大小(在横线上填“＞”“＜”或“＝”) ①12______21； ②23______32； ③34______43； ④45＞54； ⑤56＞65； ⑥67＞76； ⑦78＞87；…(2)从第(1)小题的结果经过归纳，可以猜想出n n ＋1和(n ＋1)n 的大小关系是：_________． (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到20012002______20022001(填“＞”“＜”或“＝”)．2．阅读下列课文中某一例题及解答过程的摘录：“已知方程x 2-2x -1＝0，求一个一元二次方程，使它的根是原方程的各根的立方．” 解：设方程x 2-2x -1＝0的两根是x 1、x 2，那么所求的方程的两根是x 13、x 23．x 13²x 23＝(x 1x 2)3＝(-1)3＝-1． 请你回答：(1)得到“第一步”式子的根据是______．(2)得到“第二步”式子所使用的具体公式是______．(3)得到“第三步”的中括号内的式子所使用的具体方法是______． (4)作“第三步”变形的具体目的是______． (5)原题最后求得的方程是______．3．先阅读下列(1)题然后解答(2)、(3)题： (1)用分组分解法分解多项式：mx ＋nx ＋my ＋ny ＝(mx ＋nx )＋(my ＋ny )，组内公因式分别为x 、y ，组间公因式为m ＋n ，最后分解结果为：(m ＋n )(x ＋y ) (2)也可以这样分解：mx ＋nx ＋my ＋ny ＝(______)＋(______)，组内公因式分别为______，组间公因式为______，最后分解结果为：______．(3)上述两种分组的目的都是______，分组分解的另一个目的是分组后能运用公式法分解．请你设计一个关于字母x 、y 的二次四项式因式分解，要求要用到分组分解法和完全平方公式：_________．4．阅读下面一题的解题过程，请判断是否正确，若不正确，请写出正确的解答． 已知a 为实数，化简aaa 13---． 解：a a a aa -=---13-a ²a a-1＝(a -1)²a - 答：____________5．阅读下列证明过程：已知，如图1四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．图1读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答：_________． (2)作DE ∥AB 的目的是：__________．(3)有人认为第9步是多余的，你的看法呢？为什么？答：________． (4)判断四边形ABED 为平行四边形的依据是：_________． (5)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是__________．(6)若题设中没有AD ≠BC ，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗？为什么？答______．6．(2002年鄂州市)从A 、B 、C 3人中选取2人当代表有A 和B 、A 和C 、B 和C 3种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素的组合，记作1223C 23⨯⨯=＝3．一般地，从m 个元素中选取n 个元素的组合，记作12)2)(1()1()2)(1(C ⋅--+---=n n n n m m m m nm ．根据以上分析，从6人中选取4人当代表的不同选法有______种．二、选择题(每小题5分，共10分) 7．(2002年扬州市)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1³23＋1³22＋0³21＋1³20＝13，那么将二进制(1111)2转换成十进制形式是数( ) A ．8 B ．15 C ．20 D ．308．(威海市)如果一个图形绕一个定点旋转一个角α (0°＜α ≤180°)，能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．例如，正三角形绕着它的中心旋转120°(如图2)，能够与原来的正三角形重合，因而正三角形是旋转对称图形．图3是一个五叶风车的示意图，它也是旋转对称图形(α ＝72°)．图2图3显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面四个图形中，是旋转对称图形的有()A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④三、解答题(每小题10分，共60分)9．请先阅读下列文字，然后解答：初中数学课本有这样一段叙述：“要比较a与b的大小，可先求a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零．”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以．问题：甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买粮食的单价不相同)，甲每次购买粮食100千克，乙每次购买粮用去100元．(1)假设x、y分别表示两次购粮的单价(单位：元/千克)．试用含x、y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款______元；乙两次共购买______千克的粮食．若甲两次购粮的平均单价为每千克θ 1元，乙两次购粮的平均单价为每千克θ 2元，则θ 1＝______，θ 2＝______．(2)若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由．10．阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图4，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a∶b)．图4设S 甲、S 乙分别表示这两个正方体的表面积，则222)(66b a b a S S ==乙甲 又设V 甲、V 乙分别表示这两个正方体的体积，则333)(bab a V V ==乙甲 (1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )A ．两个球体B ．两个锥体C ．两个圆柱体D ．两个长方体(2)请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于______；②相似体表面积的比等于______；③相似体体积比等于______．(3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？(不考虑不同时期人体平均密度的变化)11．(大连市)阅读材料，解答问题． 阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y ＝x 2-2mx ＋m 2＋2m -1，① 有y ＝(x -m )2＋2m -1，②∴ 抛物线的顶点坐标为(m ，2m -1)．当m 的值变化时，x 、y 的值也随之变化．因而y 值也随x 值的变化而变化． 将③代入④，得y ＝2x -1．⑤可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式：y ＝2x -1． (1)在上述过程中，由①到②所用的数学方法是______，其中运用了______公式．由③、④得到⑤所用的数学方法是______；(2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y ＝x 2-2mx ＋2m 2-3m ＋1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式．12．(威海市)某村实行合作医疗制度，村委会规定： (一)每位村民年初缴纳合作医疗基金a 元；设一位村民当年治病花费的医疗费为x 元，他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金)为y 元．(1)当0≤x ≤b 时，y ＝a ；当b ＜x ≤5000时，y ＝______(用含有a 、b 、c 、x 的式子表示)． (2)下表是该村4位村民2001年治病花费的医疗费和个人实际承担的费用．根据表格中的数据，求a 、b 、c ，并且求当b ＜x ≤5000时，函数y 的解析式．(3)村民个人一年最多承担医疗费用多少元？13．(昆明市)已知矩形ABCD 的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A 的坐标为(x ，y )，其中x ＞0，y ＞0．(1)求出y 与x 之间的函数关系式，求出自变量x 的取值范围；(2)用x 、y 表示矩形ABCD 的外接圆的面积S ，并用下列方法，解答后面的问题：方法：∵ a 2＋222)(a k a a k -=＋2k (k 为常数且k ＞0，a ≠0)，(a -ak )2≥0，∴ a 2＋22a k ≥2k ． ∴ 当a -ak ＝0，即a ＝±k 时，a 2＋22a k 取得最小值2k ．问题：当点A 在何位置时，矩形ABCD 的外接圆面积S 最小？并求出S 的最小值；(3)如果直线y ＝mx ＋2(m ＜0)与x 轴交于点P ，与y 轴交于点Q ，那么是否存在这样的实数m ，使得点P 、Q 与(2)中求出的点A 构成△P AQ 的面积是矩形ABCD 面积的61？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．14． A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M 、N ，如果测得MN ＝20 m ，那么AB ＝2³20 m ＝40 m ．图5 图6 图7(1)也可由图6所求，用相似三角形知识来解，请根据题意填空：延长AC 到D ，使CD＝21AC ，延长BC 到E ，使CE ＝______，则由相似三角形得，AB ＝______． (2)还可由三角形全等的知识来设计测量方案，求出AB 的长，请用上面类似的步骤，在图7中画出图形并叙述你的测量方案．15．(深圳市)阅读材料，解答问题．命题：如图8在锐角△DBC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，△ABC 的外接圆半径为R ．则CcB b A a si n si n si n ==＝2R ．图8证明：连结CO 并延长交⊙O 于点D ，连结DB ，则∠D ＝∠A ． ∵ CD 为⊙O 的直径，∴ ∠DBC ＝90°． 在Rt △DBC 中，∵ sin D ＝R a DC BC 2=，∴ sin A ＝R a 2，即A asin ＝2R ． 同理B b sin ＝2R ，C csin ＝2R ．∴ R CcB b A a 2sin sin sin ===．请你阅读前面所给的命题及其证明后，完成下面的(1)、(2)两小题． (1)前面的阅读材料中略去了“B b sin ＝2R 和C c sin ＝2R ”的证明过程，请你把“Bbsin ＝2R ”的证明过程补写出来．(2)直接用前面阅读材料中命题的结论解题．已知：如图10，在锐角△ABC中，BC＝3，CA＝2，∠A＝60°，求△ABC的外接圆半径R及∠C．图9 图1016．(咸宁市)已知下面各图形被一条直线将其面积平分：略解由图11可知经过圆的圆心的直线或经过平行四边形的中心的直线平分其面积，据其在图12中作连接其中心的直线即可．(图略)图11观察以上图形，用所得的结论或启示对下面每个图形作一条直线将其阴影部分的面积平分．(不写画法，不证明，保留作图痕迹)．图12专题训练二：参考答案 一、1．(1)＜ ＜ ＞ (2)n n ＋1＜(n ＋1)n (n ≤2) n n ＋1＞(n ＋1)n (n ≥3) (3)＞2．(1)一元二次方程根与系数的关系； (2)立方和公式； (3)配方法； (4)使用“第一步”所得的结果； (5)y 2-14y -1＝03．(2)mx ＋my nx ＋ny m 、n (x ＋y ) (x ＋y )(m ＋n )；(3)提取公因式；如1-x 2＋2xy -y 2＝1-(x 2-2xy ＋y 2)＝1-(x -y )2＝(1＋x -y )(1-x ＋y ) 4．∵ a ＜0， ∴a a a aa --=---13＋a ²a1²a a a a a a --=-+--=-)1(． 5．(1)没有错误； (2)为了证明AD ∥BC ； (3)并不多余； (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (5)梯形及等腰梯形的定义； (6)不一定，因为当AD ＝BC 时，四边形ABCD 是矩形． 6．15二、7．B 8．C 三、9．(1)100x ＋100y ；y x 100100+；θ 1＝2yx +，θ 2＝y x xy +2； (2)∵ θ 1-θ 2＝)(2)(222y x y x y x xy y x +-=+-+，∵ x ＞0，y ＞0，且x ≠y ， ∴ θ 1-θ 2＞0．∴ θ 1＞θ 2． ∴ 甲的购粮方式更合算． 10．(1)A ；(2)①相似比，②相似比的平方，③相似比的立方；(3)设他的体重为x 千克，根据题意得3)1.165.1(18=x 解得x ＝60.75(千克) 答：他的体重是60.75千克．11．(1)配方法、完全平方法、消元法(2)y ＝x 2-2mx ＋2m 2-3m ＋1＝x 2-2mx ＋m 2＋m 2-3m ＋1＝(x -m )2＋m 2-3m ＋1∴ 该抛物线顶点坐标为(m ，m 2-3m ＋1)⎩⎨⎧+-==132m m y m x 即将①代入②，得y ＝x 2-3x ＋1．∴ 所给抛物线顶点的纵坐标y 与横坐标x 的关系式为y ＝x 2-3x ＋1． 12．(1)y ＝(x -b )c %＋a(2)甲、乙两人花费的医疗费不同，但实际承担的费用相同(都是30元)，说明他们两人花费的医疗费都不超过b 元，因此，他们实际承担的费用就是缴纳的合作医疗基金，即a ＝30．丙、丁两人实际承担的医疗费用超过了30元，说明他们一年的医疗费超过了b 元，但不足5000元．所以⎩⎨⎧=+-=+-8030%)150(5030%)90(c b c b ，解这个方程组，得b ＝50，c ＝50，∴ 当b＜x ≤5000时，y ＝(x -50)²50%＋30．即y ＝21x ＋5． (3)将x ＝5000代入y 的解析式，得y ＝5000³0.5＋5＝2505． ∴ 村民个人一年最多承担医疗费2505元．13．建立平面直角坐标系，(1)根据题意可知：xy ＝9，∴ y 与x 之间的函数关系式是y＝x9，自变量x 的取值范围是x ＞0． (2)S ＝π(x 2＋y 2)，∵ x 2＋y 2＝x 2＋(x 9)2≥18，当且仅当x -x9＝0，即x ＝3时，S 最小＝18π．此时，y ＝x9＝3，所以当点A 的坐标为(3，3)时，矩形的外接圆面积S 最小，S 的最小值为18π． (3)存在，如图，设AB 与y 轴相交于点E ，由已知得：A (3，3)，Q (0，2)，P (-m2，0)，∴ S △P AQ ＝S 梯形APOE -S △AEQ -S △OPQ ＝21［(-m 2＋3)³3-1³3-2³(-m 2)］＝3-m1．∴ 3-m 1＝61³36．解得：m ＝-31．14．(1)21BC 2ED(2)延长AC 至D ，使AC ＝CD ，延长BC 至E ，使BC ＝EC ，则△ABC ≌△DCE ， ∴ AB ＝DE ，量出DE 即得AB ．(图略)15．(1)连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ，则∠E ＝∠B ．∵ AE 为⊙O 直径，∴ ∠ECA ＝90°，在Rt △ECA 中，sin E ＝RbAE AC 2=， ∴ sin B ＝R b 2，∴ Bbsin ＝2R ．(2)由命题结果得：︒=60sin 3sin A a ＝2R ．∴ R ＝1，又∵ BB b sin 2sin =＝2． ∴ sin B ＝22，∴ ∠B ＝45°， ∴ ∠C ＝180°-60°-45°＝75°． 16．本题答案不唯一，下面给出一种作法：。
部编数学八年级下册二次根式材料阅读题大题提升训练(重难点培优30题)【拔尖特训】2023年培优含答案
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题16.7二次根式材料阅读题大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共30小题）1．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x ，y 使x +y ＝a 且xy ＝b ，这样“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．=1+（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如2样的式子，其实我们还可以将其进一=−121．那么我们称这个过程为分式的分母有理化．根据阅读材料解决下列问题：（1）化简“和谐二次根式”：+2 ；= 2−（2）已知m =n ，求m−nm n 的值．【分析】（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可；（2）先根据阅读材料（一）化简m 与n 的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可．【解答】（1）解：=2；=2+2；2（2）解：∵m =11n =11=∴m ﹣nm +n =+∴m−n m n ==2．（2022秋•长安区期中）求代数式a +其中a ＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．小芳：解：原式＝a=a+1﹣a＝1小亮：解：原式＝a=a+a﹣1＝﹣4045（1） 小亮 的解法是错误的；（2）求代数式a a＝4【分析】（1）根据题意得到a﹣1＜0，根据二次根式的性质计算即可；（2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可．【解答】解：（1）∵a＝﹣2022，∴a﹣1＝﹣2022﹣1＝﹣2023＜0，1﹣a，∴小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；（2）∵a＝4∴a﹣3＝43＝10，3﹣a，则a＝a＝a+2（3﹣a）＝6﹣a，当a＝46﹣（42+3．（2022秋•仪征市期中）阅读下面材料，回答下列问题：构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决．材料：已知x=，求代数式x2x−1−(1+1x2−x)的值；分析：这道题如果将代数式化简，再直接将x 代入求值比较困难，观察x 的值，发现x =x =−b 2a ，不难发现x 是方程x 2﹣5x +1＝0的根，所以x 2＝5x ﹣1，x 2+1＝5x ，所以原式=5x−1x−1−5x−1x−1−4x x(x−1)=5x−1x−1−4x−1=5(x−1)x−1=5．（1）以2，﹣3为根的方程可以是 2（x ﹣2）（x +3）＝0 ；（2）已知x =−x 32（3）求代数式32+的值．【分析】（1）写出一个满足条件的方程即可；（2）x 是方程x 2++1=0的根，可得x 2+=−1，把所求式子变形再整体代入即可；（3）设x =x 是方程x 2﹣x +a ＝0的根，可得x 2﹣x ＝﹣a ，再代入可得答案．【解答】解：（1）以2，﹣3为根的方程可以是2（x ﹣2）（x +3）＝0，故答案为：2（x ﹣2）（x +3）＝0，（2）∵x =∴x =∴x 是方程x 2++1=0的根，∴x 2+=−1，∴−x 32=−x(x 2=−x ⋅=（3）设x =∴32+=x 3−x 2+ax−2，∵x =∴x 是方程x 2﹣x +a ＝0的根，∴x 2﹣x ＝﹣a ，∴x 3﹣x 2+ax ﹣2＝x （x 2﹣x ）+ax ﹣2＝﹣ax +ax ﹣2＝﹣2．4．（2022秋•永安市期中）在解决问题“已知a =2a 2﹣8a +1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a =1∴a ﹣2=a ﹣2）2＝3，a 2﹣4a +4＝3∴a 2﹣4a ＝﹣1，∴2a 2﹣8a +1＝2（a 2﹣4a ）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：3；（2）若a2a 2+4a ﹣1的值．【分析】（1，然后利用平方差公式计算；（2）先分母有理化得到a =1，再移项平方得到a 2+2a ＝1，接着把2a 2+4a ﹣1变形为2（a 2+2a ）﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1+（2）∵a =1==1，∴a +1=∴（a +1）2＝2，即a 2+2a +1＝2，∴a 2+2a ＝1，∴2a 2+4a ﹣1＝2（a 2+2a ）﹣1＝2×1﹣1＝1．5．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个式．（1）下列式子中①aa 21，， ③ 是根分式（填写序号即可）；（2x 的取值范围 x ≥1且x ≠2 ；（3）已知两个根分式M N ①若M 2﹣N 2＝1，求x 的值；②若M 2+N 2是一个整数，且x 为整数，请直接写出x 的值： 1 ．【分析】（1）根据根分式的定义进行判断即可；（2）根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；（3）①对式子进行化简，再进行求解即可；②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．【解答】解：（1）①aa 21不是根分式，故答案为：③；（2）由题意得：x ﹣1≥0，x ﹣2≠0，解得：x ≥1，x ≠2，故x 的取值范围是：x ≥1且x ≠2；故答案为：x ≥1且x ≠2；（3）当M N =①M 2﹣N 2＝1，22＝1，(x−2)−2x−1(x−2)2=1，x 2−8x 8(x−2)2=1，解得：x ＝1，经检验，x ＝1是原方程的解；②M 2+N 22+2=x 2−6x 7(x−2)2+2x−1(x−2)2 =x 2−4x 6(x−2)2(x−2)＝1+2(x−2)2，∵M 2+N 2是一个整数，且x 为整数，∴2(x−2)2是一个整数，∴x ﹣2＝±1，解得：x ＝3或1，经检验，x ＝1符合题意，故答案为：1．6．（2022秋•市中区期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：1）1）＝1，1，1，＝1，（1）根据上面的规律：（2）计算：（1+11⋯1）×1）．（3）若a =1，则求a 3﹣4a 2﹣2a +1的值．【分析】（1）①根据平方差公式得出答案即可；②先分母有理化，再求出答案即可；（2）根据得出的规律进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算，最后根据二次根式的乘法法则和平方差公式进行计算即可；（3）求出a 的值，再求出a 2的值，再代入多项式a 3﹣4a 2﹣2a +1，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）＝5﹣故答案为：5﹣（2）（111+⋯+1）×+1）1++•+×+1）1）×+1）2﹣12＝2022﹣1＝2021；（3）∵a1，∴a 21）2＝2﹣1＝3﹣∴a 3﹣4a 2﹣2a +1＝（3﹣×1）﹣4×（3﹣2×1）+1＝3﹣+2+1＝16．7．（2022秋•隆昌市校级月考）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如2一样的式子，其实我们还可以将其进一步−1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a +b ＝2，ab ＝﹣3，求a 2+b 2.我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令x ＝a +b ，y ＝ab ，则a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝x 2﹣2y ＝4+6＝10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1⋯（2）m 是正整数，a =b =2a 2+1823ab +2b 2＝2019，求m ；（31【分析】（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；（2）先利用分母有理化化简a ，b ，从而求出a +b ＝4m +2，ab ＝1，然后根据已知可得a 2+b 2＝98，再利用完全平方公式进行计算即可解答；（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．【解答】解：（1）11+1+⋯+1++...+=12×1++...+（2）∵a b∴a2，b=2，∴a +b 2++2＝2（2m +1）＝4m +2，ab22＝[]2＝（m +1﹣m ）2＝1，∵2a 2+1823ab +2b 2＝2019，∴2a 2+1823+2b 2＝2019，∴2a 2+2b 2＝196，∴a 2+b 2＝98，∴（a +b ）2﹣2ab ＝98，∴（4m +2）2﹣2＝98，∴（4m +2）2＝100，∴4m +2＝±10，∴4m +2＝10或4m +2＝﹣10，∴m 1＝2，m 2＝﹣3（不合题意，舍去），∴m 的值为2；（3=1，2＝1，∴15+x 2﹣+26﹣x 2＝1，=20，22＝12+4×20＝1+80＝81，≥0≥0，+9．8．（2022秋•南海区期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a =2a 2﹣8a +1的值．他是这样解答的：∵a =12a ﹣2=∴（a ﹣2）2＝3，a 2﹣4a +4＝3∴a 2﹣4a ＝﹣1，∴2a 2﹣8a +1＝2（a 2﹣4a ）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的解析过程，解决如下问题：（1）1−1 ；（2）化简1+1+1+⋯+1；（3）若aa 4﹣10a 3+a 2﹣20a +5的值．【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算；（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果；（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．【解答】解：（1）1，1；（2++...+= ＝12﹣1＝11；（3）∵a =1=+5，∴a ﹣5=∴（a ﹣5）2＝26，即a 2﹣10a +25＝26．∴a 2﹣10a ＝1，∴a 4﹣10a 3+a 2﹣20a +5＝a 2（a 2﹣10a +1）﹣20a +5＝a 2×（1+1）﹣20a +5＝2（a 2﹣10a ）+5＝2+5＝7．答：a 4﹣10a 3+a 2﹣20a +5的值为7．9．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a =1．求2a 2﹣8a +1的值，他是这样分析与解的：∵a2a ﹣2=∴（a ﹣2）2＝3，a 2﹣4a +4＝3∴a 2﹣4a ＝﹣1∴2a 2﹣8a +1＝2（a 2﹣4a ）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1⋯+1；（2（填“＞”或“＜”）（3）A 题：若a =+1，则a 2﹣2a +3＝ 4 ．B 题：若a4a 2﹣+7＝ 5 ．【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；（2（3）A 题：由a =+1，可得a ﹣1=（a ﹣1）2＝2，从而可得a 2﹣2a ＝1，进一步求解即可；B 题：由a =1，可得a 2a 1，两边同时作平方，可得4a 2=−2，进一步求解即可．【解答】解：（1⋯=+⋯==；（2=1故答案为：＞；（3）A 题：∵a =1，∴a ﹣1=∴（a ﹣1）2＝2，即a 2﹣2a +1＝2，∴a 2﹣2a ＝1，∴a 2﹣2a +3＝4，故答案为：4；B 题：∵a∴a∴2a 1，∴2=1，即4a 2+3=1，∴4a 2=−2，∴4a 2﹣+7＝5，故答案为：5．10．（2022秋•高新区校级月考）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：（2（21，3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的=母有理化．解决问题：（1）4 4+ ．（2）计算：①111+⋯1．②已知：x =y 求x 2+y 2的值．【分析】（1）根据有理化因式的定义确定4（2）①先分母有理化，然后合并即可；②先利用分母有理化得到x ＝2y ＝2+x +y ＝4，xy ＝1，然后利用完全平方公式得到x 2+y 2＝（x +y ）2﹣2xy ，最后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）44+=故答案为：4（2）①原式1+•=1＝1；②∵x=2y 2+∴x +y ＝4，xy ＝1，x 2+y 2＝（x +y ）2﹣2xy ＝42﹣2×1＝14．11．（2022秋•揭阳期中）阅读理解题：已知a =小明同学是这样解答的：a =1请你参考小明的化简方法，解决如下问题：（1（2）计算：1+11⋯⋯+1；（3）若a =1，求2a 2+8a +1的值．【分析】（1）直接分母有理化即可；（2）把分式变形，然后裂项相消即可；（3）先对a 进行分母有理化，然后化简2a 2+8a +1，代入求值即可．【解答】解：（1）1=；（2⋯⋯+=+++……+＝﹣1+（3）a =−（2+，2a 2+8a +1＝2（a 2+4a +4）﹣7＝2（a +2）2﹣7，将a ＝﹣（22×2−7＝3．12．（2022秋•南召县月考）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：(2+×=1，×=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：1=7+像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+ 4−（2）已知x =y ，则1x +1y = 10 ．（3+++⋯++【分析】（1）根据有理化因式的概念解答；（2）利用二次根式的乘法法则计算；（3）根据分母有理化、二次根式的加法法则计算．【解答】解：（1）∵（4+（416﹣7＝9，∴44故答案为：4（2）∵x =∴1x2＝5﹣同理，1y =∴1x+1y =5﹣=10，故答案为：10；（3）原式=1++⋯+＝10﹣1＝9．13．（2022秋•新城区校级月考）爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：a 2=|a|=a(a ≥0)，−a(a ＜0)来进一步化简．=|x +1|，∴当x +1≥0即x ≥﹣1时，原式＝x +1；当x +1＜0即x ＜﹣1时，原式＝﹣x ﹣1．（1（2）判断甲、乙两人在解决问题：“若a ＝9，求a +”时谁的答案正确，并说明理由．甲的答案：原式=a =a +(1−a)=1；乙的答案：原式=a =a +(a−1)=2a−1=2×9−1=17．（3）化简并求值：|x−1|x =【分析】（1）仿照上面的例子，分类讨论即可化简；（2）根据a ＝9，得1﹣a ＜0，即可判断出答案；（3）根据x =x ﹣1＞0，2﹣x ＜0，即可化简求值．【解答】解：（1=＝|m −12|，∴当m −12≥0即m ≥12时，原式＝m −12，当m −12＜0即m ＜12时，原式＝﹣m +12．（2）∵a ＝9，∴1﹣a ＜0，∴原式=a =a +(a−1)=2a−1=2×9−1=17．∴乙的答案正确．（3）∵x =∴x ﹣1＞0，2﹣x ＜0，∴|x−1|＝x ﹣1+＝x ﹣1+x ﹣2＝2x ﹣3＝3．14．（2022秋•清水县校级月考）阅读下列材料，然后回答问题．①化简：21，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a +b ＝2，ab ＝−3，求a 2+b 2．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令x ＝a +b ，y ＝ab ，则a 2+b 2＝（a +b ）2−2ab ＝x 2−2y ＝4+6＝10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1）计算：1+11⋯⋯+1；（2）m 是正整数，a =b 2a 2+1823ab +2b 2＝2019．求m ．（31【分析】（1）根据阅读材料的方法先进行分母有理化，再提取公因数12，继而两两相消，进一步计算即可；（2）先求出a +b ＝2（2m +1），ab ＝1，再将所求代数式化简为（a +b ）2﹣2ab ＝98，然后代入计算即可；（3）=20，那么2212+4×20＝81，进而求解即可．【解答】解：（1）原式=+⋯⋯+=12（1+⋯⋯+=12（1）（2）∵a 2，b =2，∴a +b 2++2＝2（2m +1），ab ＝1．∵2a 2+1823ab +2b 2＝2019，∴2（a 2+b 2）+1823＝2019，∴a 2+b 2＝98，∴（a +b ）2﹣2ab ＝98，∴4（2m +1）2﹣2＝98，∴m ＝2或﹣3，∵m 是正整数，∴m ＝2；（3=1，2＝1，∴15+x 2﹣+26﹣x 2＝1，20，22=12+4×20＝81，≥0≥0，+9．15．（2022春•东莞市期中）阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．=1解决问题：（1=⑤，①： 9 ，②： 5 ，③ 3 ，④⑤： 3+（2【分析】（1）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可；（2）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可．【解答】解：（1===＝3故答案为：①：9，②：5，③：3，④⑤：3（2）原式===＝516．（2022春•交城县期中）阅读下面的材料，并解决问题．1=1；1=…（1（2）观察上述规律并猜想：当n 是正整数时1n 的式子表示）；（3）请利用（2）的结论计算：(11+⋯+1)×+1)．【分析】（1）仿照阅读材料，分母有理化即可；（2）仿照阅读材料，分母有理化即可；（3）先将各二次根式分母有理化，算出括号内的，再用平方差公式计算即可．【解答】解：（1）1（2（31++...+×1）1）×1）＝361﹣1＝360．17．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因11．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘（1）请你写出3+的有理化因式： 3−（2）请仿照上面的方法化简1−b（b ≥0且b ≠1）；（3）已知ab =【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；（3）通过分母有理化可化简a 、b ，从而求出a +b 、ab =a +b ，ab 的值代入即可求解．【解答】解：（1）∵（3+（39﹣11＝﹣2，∴33故答案为：3（2）1−b＝1（3）∵a2，b 2∴a +b ＝﹣ab ＝﹣1，===＝4．18．（2022春•呼和浩特期末）（1+0；（2）已知x =(7+x 2+(2++（3）先化简，再求值：(3−2x 1)÷x =．【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、零指数幂的性质计算；（2）先根据完全平方公式求出x 2，再根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x 的值代入计算即可．【解答】解：（1）原式＝1+1（2）∵x＝2∴x2＝（22＝4﹣3＝7﹣则原式＝（（7﹣+（2（2+＝49﹣48+4﹣3+＝2（3）原式＝（3x3x1−2x1）•x1x(3x1)=3x1x1•x1x(3x1)=1 x ，当x+1时，原式=1=19．（2022春•临汾期末）（1）计算：6+1）1）．（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．题目：已知x x+1−x2x−1的值．原式=(x1)(x−1)−x2x−1⋯第一步=x2−1−x2x−1⋯第二步=−1x−1．…第三步把x原式=−1⋯第四步第五步＝﹣1…第六步任务一：填空：①在化简步骤中，第 一 步是进行分式的通分．②第 五 步开始出错，这一错误的原因是+1） ．任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．【分析】（1）根据平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；（2）任务一：①根据题目中的解答过程可以解答本题；②根据题目中的解答过程可以发现哪一步出错了，并写出错因即可；任务二：根据分式的计算方法和二次根式分母有理化的方法可以解答本题．【解答】解：（1）6++1）1）＝6+5﹣1＝10；（2）任务一：填空：①在化简步骤中，第一步是进行分式的通分．故答案为：一；②+1），+1）；任务二：﹣1计算过程为：原式=(x 1)(x−1)−x 2x−1=x 2−1−x 2x−1=−1x−1．当x =−1==−120．（2022春•章贡区期末）阅读并完成下面问题：==1；②1试求：（1）下列各数中，与2 A ．A ．2+B ．2CD ．2（2+（3）若x =x 2﹣2x 的值．【分析】（1）观察已知等式确定出2（2（3）原式利用完全平方公式化简后，把x 分母有理化代入计算即可求出值．【解答】解：（1）与22+故选：A ；（2+的倒数为1=（3）∵x =1，∴原式＝（x ﹣1）2﹣11﹣1）2﹣1＝2﹣1＝1．21．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．解：设x =x ＞0．由于x 22＝2+2=2．解得x =3【解答】解：设x =x ＜0，由于x 22＝3+3+=2，所以x =所以原式(3＝17﹣＝17﹣22．（2018秋•天河区校级期中）小马在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如（1+2，善于思考的小明进行了如下探索：设a+=（m+2，（其中a、b、m、n均为正整数）则有a+=m2+2+2n2．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样，小马找到了把部分a+请你仿照小明的方法探索并解决问题：（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+（m+2，用含m，n的式子分别表示a，b得，a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： 13 +=（ 1 +2．（3）设x=x（要写出必要过程）【分析】（1）已知等式右边利用完全平方公式展开，表示出a与b即可；（2）令m＝1，n＝2，确定出a与b的值即可；（3）先把已知条件变形得到x x2﹣+2＝3，然后用x【解答】解：（1）∵（m+2＝m2+2+3n2，而a+=（m+2，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；故答案为m2+3n2，2mn；（2）令m＝1，n＝2，则a＝m2+3n2＝1+3×4＝13，b＝2mn＝4，∴（2；故答案为13，4，1，2；（3）∵x=∴x=∴（x2＝3，∴x2﹣+2＝3，=x2−1 2．23．先阅读下面的材料．再解答下面的问题．a﹣b，∴a﹣b特别地．×1，∴1当然也可以利用12﹣11＝1得1＝12﹣11，故1+这种变形也是将分母有理化．利用上述的思路方法解答下列问题：（1）计算：1−11−11；（2）计算：5−【分析】（1）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可；（2）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式=＝3+2＝3﹣2＝1；（2）原式＝43）＝43+＝1．24．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．=1．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较+再例如，求y解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =4．当x ＝2+2．所以y 的最大值是2．利用上面的方法，完成下述两题：（1（2）求y =+3的最大值．【分析】（1）先将两数变形为1、1，再由得出答案；（2）根据二次根式有意义的条件得出x ≥1+y ==2+3的最大值．【解答】解：（11，++（2）∵x +1≥0，x ﹣1≥0，∴x ≥1，∵y +3=2+3，当x ＝1+∴y3．25．（2020秋•吴江区期中）⋅2；=2；=3⋯两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．（1）1=（2=3+勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．（3解：设x=x＞0．由：x2＝3+2．解得x请你解决下列问题：（1）（2（3【分析】（1）找出原式的有理化因式即可；（2）原式各式分母有理化，计算即可求出值；（3）设x=x小于0，将左右两边平方求出x的值即可．【解答】解：（1）+故答案为：+（2）原式=1+2=+3；（3）设x=x＜0，由题意得：x2＝6﹣=12﹣6＝6，解得：x=则原式=26．（2019秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如（1+2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＝（m+）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+＝m2+2n2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+＝（m+）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+6n2 ，b＝ 2mn ；（2）若a=（m）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m）2＝m2+6n2，从而可用m、n表示a、b；（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解答】解：（1）∵（m+）2＝m2+6n2，a＝（m+）2，∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案为m2+6n2，2mn；（2）∵（m+）2＝m2+3n2，a=（m）2，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3+1，====1．27．（2021春•长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①a﹣2≥0，解得：a≥2；②则需计算1+1n2+1(n1)2，而1+1n2+1(n1)2=n2(n1)2(n1)2n2n2(n1)2=n2(n1)2n22n1n2n2(n1)2=n2(n1)22n22n1n2(n1)2=n2(n1)22n(n1)1n2(n1)2=[n(n1)1]2n2(n1)2，=n(n 1)1n(n 1)=1+1n(n 1)=1+1n −1n 1．（1a 的取值范围；（2）利用①中的提示，请解答：如果b =+1，求a +b 的值；（3）利用②中的结论，⋯【分析】（1）根据二次根式成立的条件求解即可；（2）根据二次根式成立的条件求出a ，b 的值，进而求解即可；（3）利用②中的结论求解即可．【解答】解：（1）由题意得，a +2≥03−a ＞，∴﹣2≤a ＜3；（2）由题意得，a−2≥02−a ≥0，∴a ＝2，∴b 1＝0+0+1＝1，∴a +b ＝2+1＝3；（3）原式＝（1+11−12）+（1+12−13）+⋯+（1+12020−12021）＝1×2020+1−12021＝202020202021．28．（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比大小．可以先将它们分子有理化．如下1，+再例如：求y解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =当x ＝2+2，所以y 的最大值是2．解决下述问题：（1）比较4和（2）求y =【分析】（1）利用分母有理化得到4=2，2，利用+4＞+可判断4＜（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x ≥0，x ≥0，则x ≥0，利用分母有理化得到y由于x ＝01，从而得到y 的最大值．【解答】解：（1）∵4==2，==2，而4∴+4＞∴4＜（2）由1+x ≥0，x ≥0得x ≥0，而y∵x ＝01，∴y 的最大值为1．29．（2021春•朝阳区校级期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2，那=|a ±b|5±2±2=±2=材料二：在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y '）给出如下定义：若y ′=y(x ≥0)−y(x ＜0)，则称点Q 为点P 的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：（1）点的“横负纵变点”点−2)的“横负纵变点”（2（3）已知a 为常数（1≤a ≤2），点M （m ）且m，点M '是点M的“横负纵变点”，则点M '的坐标是 （−【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义解答；（2）根据材料一，模仿解答；（3）先化简m 得到点M 的坐标，再根据点M '是点M 的“横负纵变点”，求出点M ′的坐标．【解答】解：（1≥0，∴点的“横负纵变点”；∵﹣0，∴点−2)的“横负纵变点”为（﹣2）；故答案为：；（﹣2）．（2==＝=（3）∵1≤a ≤2，∴0≤a ﹣1≤1，∴01，1≤0．∴m =1(+=1（|）+=1×2=∴M（，∵0，∴M′（．故答案为：（．30．（2021秋•高州市期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（1+2．设a+=(m+2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+m2+2n2+2a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+（m+2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a ＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 21 +=（ 1 +2；（3）化简1−1【分析】（1）将（m+2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；（2）设a+=(m+2，则(m+2=m2+25n2，比较完全平方式右边的值与a+可将a和b用m和n表示出来，再给m和n取特殊值，即可得答案；（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可．【解答】解：（1）∵a+=(m+2，(m+2=m2+23n2∴a＝m2+3n2，b＝2mn故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设a+=(m+2则(m+2=m2+25n2∴a＝m2+5n2，b＝2mn若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4故答案为：21，4，1，2．（3=1−1=32+23=13 6。
初中数学中考专题-阅读理解、判断说理型专题训练及答案
阅读理解、判断说理型专题训练B总分120分，时间90分钟一、细心填一填（每题3分，共21分）1．（绵阳）我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数．这两者可以相互换算，如将二进制1101换算成十进制数应为1×23+1×22+0×21+ 1×20= 13，按此方式，则将十进制数25换算成二进制数应为__________． 2．（内江市）对于正数x ，规定f （x ）=x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+，计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12x ）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f （）+ f （）+ f （）= .3．（扬州）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？” 小丽思考了一会儿说：“我来考考你．图⑴、图⑵分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？” 小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了 千克．”图1 图24．（深圳）人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上１级台阶或２级台阶，小聪发现当台阶数分别为１级、２级、３级、４级、５级、６级、７级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为１、２、３、５、８、13、21、……这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这９级台阶共有________________种不同方法．5．（嘉兴）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为时间（）18工作量（kg ）时间（）7040工作量（kg ）偶数时，结果为kn2（其中k 是使kn2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是＿＿＿＿＿．6．（内江）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数。
初中课外数学阅读训练及答案
初中课外数学阅读训练及答案初中数学阅读训练及答案引言为了帮助学生提高数学阅读能力，培养数学思维，提高解决实际问题的能力，本文提供了一些初中数学阅读训练的示例和答案。
这些训练题目涵盖了初中数学各个知识点，适合学生自主研究和巩固知识。
数学阅读训练题目1. 问题：小明走了一段路程，发现他的手机电量只剩下20%。
他查看了手机手册，得知手机电量正常使用可以继续使用2小时。
如果小明之后需要使用手机导航，就必须保证手机的电量不少于50%。
小明还需要走2小时才能到目的地，请问他能否使用手机导航？答案：可以使用手机导航。
小明走2小时消耗的电量为20% ×2 = 40%，剩余电量为20% - 40% = -20%。
因此，他的电量低于50%，但由于手机手册显示继续使用可以使用2小时，这说明手机实际还有电量剩余。
所以，可以使用手机导航。
2. 问题：小红想要购买一种口红，原价是80元，现在打7折。
小红手上有一张20元的优惠券，她还需要支付多少钱？答案：口红的折后价为80元 × 0.7 = 56元。
折后价为56元，减去优惠券的面值20元，小红还需要支付的金额为56元 - 20元 = 36元。
3. 问题：在一个三角形ABC中，AB = 5cm，BC = 6cm，AC = 7cm。
三角形ABC的面积等于多少？答案：根据海伦公式，可以计算得出半周长s = (AB + BC + AC) / 2 = (5 + 6 + 7) / 2 = 9。
然后，利用海伦公式计算三角形的面积S = √(s(s - AB)(s - BC)(s - AC)) = √(9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7)) = √(9 × 4 × 3 × 2) = √(6 × 6 × 2) = 6√2。
因此，三角形ABC的面积为6√2 平方厘米。
总结通过完成上述数学阅读训练题目，学生可以提高数学阅读能力，巩固初中数学知识，并培养解决实际问题的能力。
初中数学阅读题
1、如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如：自然数12321，从最高位到个位排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”．再如：22，545，3883，34543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x（，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．2、对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．3、若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数。
如，，都是对称数，最小的对称数是，但没有最大的对称数，因为数位是无穷的。
若将任意一个四位对称数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被整除；设一个三位对称数为（），该对称数与相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位对称数。
中考数学阅读题训练精选(2)
中考数学阅读题训练精选（2）1．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．譬如：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为6（1）直接写出：线段AB的长度，线段AB的中点表示的数为；（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+2|+|x﹣6|有最小值是，|x+2|﹣|x﹣6|有最大值是；（3）点C在数轴上对应的数为10，动点P从原点出发在数轴上运动，若存在某个位置，使得P A+PB＝PC，则称点P是关于点A，B，C的“石室幸运点”，请问在数轴上是否存在“石室幸运点”？若存在，请直接写出所有“石室幸运点”．2．北师大版初中数学教科书七年级下册第126页告诉我们利用尺规作已知角的平分线的方法．请根据提供的材料完成以下问题：例2利用尺规，作∠AOB的平分线（图5﹣18）．已知：∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．做法：1．在OA和OB上分别截取OD，OE使OD＝OE．2．分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．3．作射线OC．OC就是∠AOB的平分线（图5﹣19）（1）连接EC，DC，可以说明△OCE≌△OCD的依据是（填序号）．①ASA；②AAS；③SSS；④SAS．（2）求证：OC平分∠BOA．3．几何学的产生，源于人们对土地测量的需要，后来由实际问题抽象成为数学问题．初中数学常见的几何模型有很多，通过整理归纳，可以从这些基本模型中找到其所藻蕴含的规律．【提出问题】如图1，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，△ADE绕点A旋转，连结BD、EC，小明通过探究得到∠ABD与∠BCE的大小存在某种数量关系，具体探究过程如下．【探究问题】小明先将上述问题“特值化”，如图1，令AB＝1，AD＝，∠ABD＝100°，则可证明△ABD和△ACE相似，进而可求得∠BCE的度数．请你帮助小明完成解答过程．【解决问题】将问题“一般化”，如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，∠ABD与∠BCE 满足的数量关系为．【拓展应用】如图3，过线段AB的端点B作射线BM⊥AB，Rt△ADE的直角顶点D在射线BM上运动，连结BE，若AB＝4，＝，则BE的最小值为．4．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点C表示的数为；（2）求当t为何值时，PQ＝2；（3）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出线段MN的长．5．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为b﹣a．【问题情境】数轴上三点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中A在原点左侧，距原点4个单位，b是最大的负整数，C在原点右侧，且AC＝9．如图②，动点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，与此同时，过点N从点C出发，以每秒2个单位长度速度沿数轴向右匀速运动，一只电子狗Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设移动时向为t秒（t＞0）．【问题探究】（1）a＝，b＝，c＝；（2）在运动过程中，4MN+aMQ的值不随t的变化而变化，请求出a的值；（3）如果在C处竖立一块挡板，当电子狗Q到达C时，被挡板弹回，以同样的速度向相反的方向运动．问：当t为何值时，电子狗Q到M，N的距离相等？并求出此时电子狗Q的位置．6．阅读理解：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m、k为常数），则x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，其中m＝1，k＝2．（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m、k的值；（2）已知在初中数学学习中，一个数的平方总是非负数，请问﹣x2+8x﹣17有最小值或者最大值吗？有的话，请说明是最小值还是最大值，并求出这个值，以及此时x的取值．7．为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是人，补全统计图①；（2）图②中扇形C的圆心角度数为度；（3）若参加成果展示活动的学生共有2400人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．8．综合探究【背景知识】数轴是初中数学的一个重要⼯具，利⼯数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b （b＞a），则线段AB的⼯（点A到点B的距离）可表示为b﹣a．请⼯上⼯材料中的知识解答下⼯的问题：【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位⼯度到达点A，再向右移动3个单位⼯度到达点B，然后再向右移动5个单位⼯度到达点C．（1）【问题探究】请在图②中表示出A、B、C三点的位置；（2）【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位⼯度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位⼯度、每秒3个单位⼯度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（t＞0）．①A，B两点间的距离AB＝，AC＝；②若点D、E分别是线段AB，BC的中点，求线段DE的长；③⼯含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为．9．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；（2）当t为何值时，？（3）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．10．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且关于x的多项式﹣x3+8x2+ax2+24x ﹣2bx+3不含x2项和x的一次项，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M 的速度为1个单位长度每秒，N的速度为3个单位长度每秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）直接写出OA＝；OB＝；（2）①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为；点N表示的数为．②当t为何值时，恰好有AN＝2AM？（3）若点P为线段AM的中点，Q为线段BN的中点，M、N在运动的过程中，PQ+MN 的长度会随着t的改变而改变，请直接写出当t满足什么条件时，PQ+MN有最小值，最小值是多少？11．图形变换是初中数学学习的重要内容，某兴趣学习小组的同学利用所学知识，进行了一系列的图形变换操作实践活动，让我们一起来体验他们的探究过程吧．（1）轴对称：将正方形纸片ABCD折叠，使边AD、AB都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1，求∠EAF的大小；（2）旋转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点H、G，连接GH，如图2，则线段BH、GH．DG之间存在的数量关系为，并证明你的结论；（3）计算：在图2中，连接正方形对角线BD，若∠GAH的两边AH、AG分别交对角线BD于点M、点N．如图3，若BM＝3，DN＝4，求正方形ABCD的面积．12．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB ＝|a﹣b|，若a＞b，则可化简为AB＝a﹣b；线段AB的中点M表示的数为．【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）运动开始前，A、B两点的距离为；线段AB的中点M所表示的数；（2）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为；（3）按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距5个单位长度．13．阅读下列材料：材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：设x+2＝t，则x＝t﹣2．∴原式＝＝t﹣7+∴＝x﹣5+材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解，它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当a＞0，b＞0时，∵+＝（）2+（）2＝（﹣）2+2∴当＝，即a＝b时，+有最小值2．根据以上阅读材料回答下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为；（2）已知分式的值为整数，求整数x的值；（3）当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值及此时x的值．14．安阳某初中数学小组在学习了“三角形外角和”后，就证明问题进行了探讨：已知：如图，∠4，∠5，∠6是△ABC的三个外角．求证：∠4+∠5+∠6＝360°．（1）该小组的明明进行了如下的证明，请你补充完整：证法1：∵∠4是△ABC的一个外角，∴．同理，∠5＝∠1+∠3．∠6＝∠1+∠2．∴∠4+∠5+∠6＝2（∠1+∠2+∠3）．∵．∴∠4+∠5+∠6＝2×180°＝360°（2）事实上，还有另外一种证明方法，请你给该小组展示出来．15．平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题：（一）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是；（2）一个机器人从数轴上表示﹣1的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达B点，则B点表示的数是；（3）数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数为；（二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．（4）若折叠纸条，表示﹣2的点与表示1的点重合，则表示﹣4的点与表示的点重合；（5）若数轴上A、B两点之间的距离为8，点A在点B的左侧，A、B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示﹣2的点，则A点表示的数为；（6）在数轴上，点P表示的数为4，点Q表示的数为x，将点P、Q两点折叠后重合，折痕与数轴交于M点；将点P与点M折叠后重合，新的折痕与数轴交于N点，若此时点P与点N的距离为3，数x的值为．。
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三部分 重难题型分类练8.题型八 阅读理解题
题型八阅读理解题类型一定义新运算1. (2022赤峰)阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a. 例如：min|－1，3|＝－1；min|－1，－2|＝－2.第1题图完成下列任务(1)① min|(－3)0，2|＝________；② min|－14，－4|＝________；(2)如图，已知反比例函数y1＝kx和一次函数y2＝－2x＋b的图象交于A、B两点，当－2＜x＜0时，min|kx，－2x＋b|＝(x＋1)(x－3)－x2.求这两个函数的解析式．2. (2022重庆B卷)对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷(2＋4＋7)＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷(2＋1＋4)＝214÷7＝30……4， ∴214不是“和倍数”．(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；(2)三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c .在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F (A )，最小的两位数记为G (A ).若F （A ）＋G （A ）16 为整数，求出满足条件的所有数A .类型二 新概念的理解与应用3. (2022北京)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (a ，b )，N .对于点P 给出如下定义：将点P 向右(a ≥0)或向左(a <0)平移|a |个单位长度，再向上(b ≥0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度，得到点P ′，点P ′关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．(1)如图，点M (1，1)，点N 在线段OM 的延长线上．若点P (－2，0)，点Q 为点P 的“对应点”，第3题图①在图中画出点Q ；②连接PQ ，交线段ON 于点T .求证：NT ＝12OM ；(2)⊙O 的半径为1，M 是⊙O 上一点，点N 在线段OM 上，且ON ＝t (12 <t <1).若P 为⊙O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接PQ .当点M 在⊙O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差(用含t 的式子表示).4. (2022嘉兴)小东在做九上课本123习题：“1∶2 也是一个很有趣的比．已知线段AB (如图①)，用直尺和圆规作AB 上的一点P ，使AP ∶AB ＝1∶2 .”小东的作法是：如图②，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，再以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ，点P 即为所求作的点，小东称点P 为线段AB 的“趣点”．(1)你赞同他的作法吗？请说明理由；(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连接CP ，点D 为线段AC 上的动点，点E 在AB 的上方，构造△DPE ，使得△DPE ∽△CP B.①如图③，当点D 运动到点A 时，求∠CPE 的度数；②如图④，DE 分别交CP ，CB 于点M ，N ，当点D 为线段AC 的“趣点”时(CD ＜AD )，猜想：点N 是否为线段ME 的“趣点”？并说明理由．第4题图5. (2022长沙)若关于x 的函数y ，当t －12 ≤x ≤t ＋12 时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝M －N 2 ，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．(1)①若函数y ＝4044x ，当t ＝1时，求函数y 的“共同体函数”h 的值； ②若函数y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 为常数)，求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；(2)若函数y ＝2x(x ≥1)，求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；(3)若函数y ＝－x 2＋4x ＋k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．6. (2022常州)在四边形ABCD 中，O 是边BC 上的一点．若△OAB ≌△OCD ，则点O 叫做该四边形的“等形点”．(1)正方形________“等形点”(填“存在”或“不存在”)；(2)如图，在四边形ABCD 中，边BC 上的点O 是四边形ABCD 的“等形点”．已知CD ＝42 ，OA ＝5，BC ＝12，连接AC ，求AC 的长；第6题图(3)在四边形EFGH 中，EH ∥FG .若边FG 上的点O 是四边形EFGH 的“等形点”，求OFOG 的值．类型三 解题方法型7. (2022山西)阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根就是相应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象(称为抛物线)与x 轴交点的横坐标．抛物线与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x 轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．下面根据抛物线的顶点坐标(－b2a ，4ac －b 24a )和一元二次方程根的判别式Δ＝b 2－4ac ，分别从a >0和a <0两种情况进行分析： (1)a >0时，抛物线开口向上． ①当Δ＝b 2－4ac >0时，有4ac －b 2<0. ∵a >0，∴顶点纵坐标4ac －b 24a<0.∴顶点在x 轴的下方，抛物线与x 轴有两个交点(如图①). ∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根． ②当Δ＝b 2－4ac ＝0时，有4ac －b 2＝0. ∵a >0，∴顶点纵坐标4ac －b 24a＝0.∴顶点在x 轴上，抛物线与x 轴有一个交点(如图②). ∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根． ③当Δ＝b 2－4ac <0时， …(2)a <0时，抛物线开口向下． …图①图② 第7题图任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是_____________(从下面选项中选出两个即可)；A. 数形结合B. 统计思想C. 分类讨论D. 转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，Δ<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为_____________________________________．源自北师九下P52议一议8. (2022张家界)阅读下列材料：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：asin A＝bsin B.第8题图①证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD＝a sin B，在Rt△ACD中，CD＝b sin A，∴a sin B＝b sin A，∴asin A＝bsin B.根据上面的材料解决下列问题：(1)如图②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：bsin B＝csin C；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图③，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)第8题图9. (2022随州)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号)第9题图公式①：(a ＋b ＋c )d ＝ad ＋bd ＋cd 公式②：(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋ad ＋bc ＋bd 公式③：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2 公式④：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2图①对应公式____，图②对应公式______，图③对应公式____，图④对应公式______；(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2的方法，如图⑤，请写出证明过程；(已知图中各四边形均为矩形)(3)如图⑥，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，D 为BC 的中点，E 为边AC 上任意一点(不与端点重合)，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，作EH ⊥AD 于点H ，过点B 作BF ∥AC 交EG 的延长线于点F .记△BFG 与△CEG 的面积之和为S 1，△ABD 与△AEH 的面积之和为S 2. ①若E 为边AC 的中点，则S 1S 2的值为________；②若E 不为边AC 的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．图⑤ 图⑥第9题图10. (2021广西北部湾经济区)【阅读理解】如图①，l 1∥l 2，△ABC 的面积与△DBC 的面积相等吗？为什么？ 解：相等，在△ABC 和△DBC 中，分别作AE ⊥l 2，DF ⊥l 2，垂足分别为点E ，F . ∴∠AEF ＝∠DFC ＝90°，∴AE ∥DF . ∵l 1∥l 2，∴四边形AEFD 是平行四边形， ∴AE ＝DF .又S △ABC ＝12 BC ·AE ，S △DBC ＝12 BC ·DF ，∴S △ABC ＝S △DB C .【类比探究】如图②，在正方形ABCD 的右侧作等腰△CDE ，CE ＝DE ，AD ＝4，连接AE ，求△ADE 的面积．解：过点E 作EF ⊥CD 于点F ，连接AF . 请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD 的右侧作正方形CEFG ，点B ，C ，E 在同一直线上，AD ＝4，连接BD ，BF ，DF ，直接写出△BDF 的面积．第10题图。
初中数学专题讲解1专题十《新定义阅读理解题》
，相邻两个正整数的平方差之间差2.
∴当x＝a2－b2(a，b均为正整数，且a≠b)时，
x的值是3、5、7、9…中的一个数(相邻时)或几个数(不相邻时)的和，等于112.
∴112是“雪松数”；
(2)解：设另一个“南麓数”为t′＝1000m＋100n＋10n＋m(m，n均为正整数，且0＜n＜m
即c2＝b2＋a2，
∴满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数；
1
2
1
(2)当n＝5时，a＝ (m2－25)，b＝5m，c＝ (m2＋25)，
2
当a＝37时，解得m＝3 11，非正整数，不合题意，舍去，
37
5
当b＝37时，解得m＝ ，非正整数，不合题意，舍去，
当c＝37时，解得m＝7，满足题意，此时a＝12，b＝35，
∴m为4567或5678或6789.
(2)q是“发财数”．理由如下：
∵t＝100a＋10(a＋1)＋(a＋2)＝111a＋12，
∴k＝100(a＋2)＋10(a＋1)＋a＝111a＋210，
∴q＝k－t＝(111a＋210)－(111a＋12)＝210－12＝198，
∵198÷18＝11，
∴198可被18整除，即198是“发财数”，
构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的三边长满足上述勾
股数，其中一边长为37，且n＝5，求直角三角形另两边的长．4. 解：(1)由题意知，
c2＝(2n2＋2n＋1)2
＝(2n2＋2n)2＋2(2n2＋2n)＋1
＝(2n2＋2n)2＋4n2＋4n＋1
＝(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2.
八年级数学阅读理解练习题大全
八年级数学阅读理解练习题大全1. 收入与支出某学生每周从家里获得零花钱70元，他决定每周用30元作为储蓄，剩下的用于购买书籍和文具。
一周后，学生发现他的花费超过了预算，只剩下10元。
请问他购买了多少元的书籍和文具？2. 周长与面积一块矩形花坛的长是12米，宽是5米。
围绕着这块花坛有一圈跑道，宽度为2米。
请问跑道的周长是多少米？跑道的面积是多少平方米？3. 解方程某商品原价为100元，在折扣季期间打6折出售。
小明在这个时间段内买了五件此商品，总共花费了180元。
请问原价时小明买了几件此商品？4. 比例与百分数某公司招聘新员工，其中男性占总人数的40%，女性占总人数的60%。
如果男性员工有200人，请问女性员工有多少人？5. 几何图形一个等边三角形的周长是36厘米。
如果将这个等边三角形分成4个相等的小等边三角形，每个小等边三角形的周长是多少？6. 数据分析某班级进行了一次数学测验，有25个学生参加。
以下是他们的成绩，以百分制计算：70，82，95，63，78，89，71，65，90，76，83，94，88，77，81，85，92，79，72，69，100，68，75，87，97。
请计算并列出该班级的平均成绩和最高分。
7. 图表分析以下是某杂志调查的数据，反映了不同年龄段的读者对数学类文章的兴趣程度。
请根据数据回答问题：年龄段兴趣程度（百分比）13-18岁 50%19-25岁 65%26-35岁 40%36-45岁 30%a. 13-25岁年龄段的读者总数占总人数的百分比是多少？b. 哪个年龄段对数学类文章的兴趣程度最高？8. 数学应用一个长方形篮球场的长是35米，宽是20米。
篮筐离场地两短边的距离是2米，离长边的距离是4米。
请问篮筐距离场地的面积是多少平方米？以上是八年级数学阅读理解练习题大全，希望对学生们在数学学习中起到帮助和巩固知识的作用。
通过解答这些问题，学生们可以提高对数学知识的理解和应用能力。
人教版八年级数学上册八年级数学课外阅读训练题
人教版八年级数学上册八年级数学课外阅
读训练题
1. 课外阅读训练题概述
这份文档是关于人教版八年级数学上册的课外阅读训练题的内容概述。
这些训练题旨在帮助八年级学生巩固数学知识，提高数学技能，并拓宽数学思维。
有800字以上的内容。
2. 题目列表
以下是一些课外阅读训练题的题目列表：
1. 整数与有理数运算
2. 一元一次方程与一元一次方程组
3. 二次根式与二次方程
4. 分式与分式方程
5. 平面直角坐标系与图形的认识
6. 平面图形的性质
3. 内容简介
每个题目都涵盖了特定的数学主题，旨在通过阅读和解答问题
加深学生对数学知识的理解。
这些训练题不仅包括基础知识的应用，还涉及了解决实际问题的能力。
通过完成这些题目，学生不仅可以
提高数学成绩，还可以培养问题解决和逻辑思维能力。
4. 使用方法
学生可以根据自己的研究进程和需要选择合适的训练题进行研究。
每个题目都配有相关的阅读材料和问题，学生可以阅读材料，
理解题目要求，并尝试独立解答问题。
解答完毕后，可以对比答案，并进行自我评估。
5. 结语
这份人教版八年级数学上册的课外阅读训练题旨在提供一个辅
助研究的工具，帮助学生提高数学能力。
通过阅读和解答问题，学
生将能够更好地理解数学概念和知识，并应用于实际问题中。
> 注意：上述内容仅为例示，实际题目内容可能有所不同。
请根据课本内容编写具体的题目及相关说明。
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图3
图4
阅读题
一、 知识要点
阅读理解题是由阅读材料和解决问题两部分组成，考生首先阅读材料，理解新概念、感悟新方法、领会新思想，从而把握本质、理解实质，在此基础上解决问题．
这类问题的主要题型有：阅读特殊范例，归纳总结规律，推出一般结论；阅读解题过程，说明解答理由，查找解题错误，总结解题方法；阅读新知识，研究新问题等．
这类试题将着力考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等．
二、例题讲解
例1．（浙江临安）阅读下列题目的解题过程：
已知a 、b 、c 为∆ABC 的三边，且满足a c b c a b 222244-=-，试判断∆ABC 的形状。
解： a c b c a b
A 2
2
2
2
4
4
-=-()
22222222
2
2
()()()
()
()
ABC c a b a b a b B c a b
C ∆∴-=+-∴=+∴是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ； （3）本题正确的结论为： . 例2．（连云港）如图1，在66⨯的方格纸中，给出如下三种变换：P 变换，Q 变换，R 变换．
将图形F 沿x 轴向右平移1格得图形1F ，称为作1次P 变换； 将图形F 沿y 轴翻折得图形2F ，称为作1次Q 变换；
将图形F 绕坐标原点顺时针旋转90
得图形3F ，称为作1次R 变换．
规定：PQ 变换表示先作1次Q 变换，再作1次P 变换；QP 变换表示先作1次P 变换，
再依1次Q 变换；n
R 变换表示作n 次R 变换． 解答下列问题：
（1）作4R 变换相当于至少作 次Q 变换；
（2）请在图2中画出图形F 作2007
R 变换后得到的图形4F ；
（3）PQ 变换与QP 变换是否是相同的变换？请在图3中画出PQ 变换后得到的图形5F ，
在图4中画出QP ．
三、巩固练习
1．（2008 四川凉山州）阅读材料，解答下列问题．
例：当0a >时，如6a =则66a ==，故此时a 的绝对值是它本身 当0a =时，0a =a
当0a <6a =-则66(6)a =-==--，故此时a 的绝对值是它的相反数 ∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即
0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
当当当
这种分析方法涌透了数学的分类讨论思想．
问：（1
（2
a 的大小关系．
2．在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝b2；当a ＜b 时，a ⊕b ＝a ．则当x ＝2时，(1⊕x)·x －(3⊕x)的值为 (“· ”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号)．
3．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则 的值为 （ ） A ． B ．99! C ．9900 D ．2！ 4. 阅读后，请回答
已知x >0，符号 ［x ］表示大于或等于x 的最小正整数，如：［0.3］=1，［3.2］=4，［5］=5 …
⑴填空：［4.71］=＿＿＿＿； ［6.01］=＿＿＿＿； (2).若［x ］=3，则x 的取值范围是 .
5. （云南双柏）阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n
n a a a a 记为个
⋅。
如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为()38log 8log 22=即。
一般地，若()0,10>≠>=b a a b a n
且，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为
()813.log log 4==如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的对数，记为
)481log (81log 33=即。
问题：（1）计算以下各对数的值： =
==
64log 16log 4log 222 .
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？64log 16log 4log 222、、
之间又满足怎样的关系式？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
()0,0,10l o g l o g >>≠>=
+N M a a N M a a 且
（4）根据幂的运算法则：m n m
n
a a a +=⋅以及对数的含义证明上述结论。
证明：
6. （黑龙江课改）已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在图1中的位置时，则有结论：
PBC PAC PCD S S S =+
理由：过点P 作EF 垂直BC ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点．
1122PBC PAD S S BC PF AD PE +=
+ ∵1()2BC PF PE =+12BC EF = 1
2
ABCD S =矩形， 又12
PAC PCD PAD ABCD S S S S ++= 矩形∵，
PBC PAD PAC PCD PAD S S S S S +=++ ∴． PBC PAC PCD S S S =+ ∴．
请你参考上述信息，当点P 分别在图2、图3中的位置时，PBC S 、PAC S 、PCD S 又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．
D
图
2
C
P
A
B
F
E D 图1。