立体几何公理、定理推论汇总74915
立体几何定理大全
立体几何公式大全基本概念公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3:过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
空间两直线的位置关系:空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类:(1)共面:平行、相交(2)异面:异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角:范围为 ( 0°,90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类:(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系:直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义:如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线,平面叫做直线a 的垂面。
高中立体几何公理及推论及定理总汇表
高中立体几何公理及推论及定理总汇表公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
(1)判定直线在平面内的依据(2)判定点在平面内的方法公理2:如果两个平面有一个公共点,那它还有其它公共点,这些公共点的集合是一条直线。
(1)判定两个平面相交的依据(2)判定若干个点在两个相交平面的交线上公理3:经过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
(1)确定一个平面的依据(2)判定若干个点共面的依据推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且仅有一个平面。
(1)判定若干条直线共面的依据(2)判断若干个平面重合的依据(3)判断几何图形是平面图形的依据推论2:经过两条相交直线,有且仅有一个平面。
推论3:经过两条平行线,有且仅有一个平面。
立体几何直线与平面空间二直线平行直线公理4:平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等。
异面直线空间直线和平面位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点(3)直线和平面平行——没有公共点立体几何直线与平面直线与平面所成的角(1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线与平面所成的角(2)一条直线垂直于平面,定义这直线与平面所成的角是直角(3)一条直线和平面平行,或在平面内,定义它和平面所成的角是00的角三垂线定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直三垂线逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直空间两个平面两个平面平行判定性质(1)如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行(2)垂直于同一直线的两个平面平行(1)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(3)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面相交的两平面二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的线,这两个半平面叫二面角的面二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分另作垂直棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角两平面垂直判定性质如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直(1)若二平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面(2)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内立体几何多面体、棱柱、棱锥多面体定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。
立体几何公理定理总结
判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行,则这两个平面平行.
性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相 交,那么它们的交线平行.
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四.垂直
线线垂直:
平面上的判定 如果直线与平面垂直,则该直线与平面内任意
一条直线垂直.
线面垂直:定义:如果Fra bibliotek条直线垂直于一个平面内的任意 一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直.
线线位置关系:平行、相交、异面. 定理:空间中如果两个角的两边分别对应
平行,那么这两个角相等或互补. 线面位置关系:线在平面内、线与平面相
交、线与平面平行. 面面位置关系:平行、相交.
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三.平行
线面平行:
判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行,则该直线与此平面平行 .
性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
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立体几何公理定理总结
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一.公理
公理1:如果一条直线上两点在一个平面 内,那么这条直线在此平面内.
公理2:过不在一条直线上的三点,有且 只有一个平面.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公 共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线.
公理4:平行于同一条直线的两条直线平 行.
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二.空间位置关系
判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直,则该直线与此平面垂直.
性质:垂直于同一个平面的两条直线平行.
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面面垂直:
定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
高中数学—立体几何知识点总结(精华版)
立体几何知识点一.根本概念和原理:1.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3:过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角:范围为( 0°,90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直。
a和一个平面内的任意一条直线都垂直,就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线,平面叫做直线a的垂面。
直,那么这条直线垂直于这个平面。
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这个平面平行。
行,那么这条直线和这个平面平行。
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
面,那么这两个平面平行。
行。
8.〔1〕二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°,180°]〔2〕二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
立体几何定理大全
立体几何公式大全基本概念公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3:过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
空间两直线的位置关系:空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类:〔1〕共面:平行、相交〔2〕异面:异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条)2、假设从有无公共点的角度看可分为两类:〔1〕有且仅有一个公共点——相交直线;〔2〕没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系:直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直直线和平面垂直的定义:如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线,平面叫做直线a的垂面。
立体几何公理定理总结
一.公理
公理1:如果一条直线上两点在一个平面 内,那么这条直线在此平面内.
公理2:过不在一条直线上的三点,有且 只有一个平面.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公 共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线.
公理4:平行于同一条直线的两条直线平 行.
二.空间位置关系
面面平行:
判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行,则这两个平面平行.
性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相 交,那么它们的交线平行.
四.垂直
线线垂直:
平面上的判定 如果直线与平面垂直,则该直线与平面内任意
一条直线垂直.
线面垂直:
定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意 一条直线,那பைடு நூலகம்就说这条直线和这个平面垂直.
判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直,则该直线与此平面垂直.
性质:垂直于同一个平面的两条直线平行.
面面垂直:
定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线, 则这两个平面垂直.
性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直 于交线的直线垂直于另一个平面.
线线位置关系:平行、相交、异面. 定理:空间中如果两个角的两边分别对应
平行,那么这两个角相等或互补. 线面位置关系:线在平面内、线与平面相
交、线与平面平行. 面面位置关系:平行、相交.
三.平行
线面平行:
判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行,则该直线与此平面平行 .
性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
立体几何性质定理集锦
立体几何性质定理集锦
一、空间点、线、面之间的位置关系
公理1:如果一条直线上的两点在这个平面内,那么这条直线在这个平面内。
公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:过直线及直线外一点,有且只有一个平面。
推论:过两条平行直线有且只有一平面。
推论:过两条相交平面有且只有一个平面。
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过交点的公共直线。
公理4:(直线平行的传递性)平行于同一条直线的两条直线平行。
二、平行与垂直的判定和性质定理
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与此平
面平行。
2、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此
平面的交线与该直线平行。
3、平面与平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则这两个平
面平行。
4、平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交
线平行。
5、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线
与此平面垂直。
6、直线与平面垂直的性质定理:
(1)一条直线垂直一个平面,则这条直线垂直这个平面内的所有直线。
(2)垂直同一条直线的两个平面平行。
7、平面与平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
8、平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直。
立体几何公理、定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言:A l, B l,A,B l作用:①用来验证直线在平面内;②用来说明平面是无限延展的。
公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
(那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线)符号语言:P l且P l作用:①用来证明两个平面是相交关系;②用来证明多点共线,多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号语言:A, B, C不共线A, B, C确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
符号语言: A a 有且只有一个平面,使A a,a推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。
符号语言:a b P 有且只有一个平面,使a ,b推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。
符号语言:a // b 有且只有一个平面,使a ,b公理3及其推论的作用:用来证明多点共面,多线共面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。
a // ba // cc // b符号语言:图形语言:作用:用来证明线线平行。
二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。
(1)符号语言:a // bc // ba // c 图形语言:线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
(2)a符号语言:b a // 图形语言:a // b线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
(3)a //符号语言: a //b图形语言:ab面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(4)(a ,b),a b O符号语言: a ////图形语言:b //面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行。
立体几何定理大全
立体几何公式大全基本概念公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.空间两直线的位置关系:空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类:(1)共面:平行、相交(2)异面:异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线.两异面直线所成的角:范围为 ( 0°,90°) esp。
空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类:(1)有且仅有一个公共点-—相交直线;(2)没有公共点-—平行或异面直线和平面的位置关系: 直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内-—有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直esp。
立体几何中的公理、定理和常用结论汇总
立体几何中的公理、定理和常用结论汇总1.四个公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.2.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.3.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4.平行与垂直的八大定理(1).直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)因为l∥a,a⊂α,l⊄α,所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α,l⊂β,α∩β=b,所以l∥b(2).平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β,b∥β,a∩b=P,a⊂α,b⊂α,所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行因为α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,所以a∥b(3).直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a,b⊂αa∩b=Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b(4).平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β=al⊥a⇒l⊥α5.(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.(4)如果两个平面平行,那么一个平面的任意一条直线与另一个平面平行.6.垂直关系中的三个重要结论(1)两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直.(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直.(3)若果一条直线垂直于一个平面,那么该直线与平面中的任意直线垂直.。
高中立体几何公理及推论及定理总汇表
高中立体几何公理及推论及定理总汇表公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
(1)判定直线在平面内的依据(2)判定点在平面内的方法公理2:如果两个平面有一个公共点,那它还有其它公共点,这些公共点的集合是一条直线。
(1)判定两个平面相交的依据(2)判定若干个点在两个相交平面的交线上公理3:经过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
(1)确定一个平面的依据(2)判定若干个点共面的依据推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且仅有一个平面。
(1)判定若干条直线共面的依据(2)判断若干个平面重合的依据(3)判断几何图形是平面图形的依据推论2:经过两条相交直线,有且仅有一个平面。
推论3:经过两条平行线,有且仅有一个平面。
立体几何直线与平面空间二直线平行直线公理4:平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等。
异面直线空间直线和平面位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点(3)直线和平面平行——没有公共点立体几何直线与平面直线与平面所成的角(1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线与平面所成的角(2)一条直线垂直于平面,定义这直线与平面所成的角是直角(3)一条直线和平面平行,或在平面内,定义它和平面所成的角是00的角三垂线定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直三垂线逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直空间两个平面两个平面平行判定性质(1)如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行(2)垂直于同一直线的两个平面平行(1)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(3)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面相交的两平面二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的线,这两个半平面叫二面角的面二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分另作垂直棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角两平面垂直判定性质如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直(1)若二平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面(2)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内立体几何多面体、棱柱、棱锥多面体定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。
立体几何平行与垂直所有概念、公理、定理汇总
立体几何的概念、公理、定理(一)立体几何三公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.,A a A a公理3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。
A、B、C不在同一直线上有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
A a 有且只有一个平面,使推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
a∩b=A有且只有一个平面,使推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
a∥b=A有且只有一个平面,使(二)空间直线公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。
a∥bb∥c等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。
异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。
cbaaA∈a,B∈aA∈,B∈aA∈aababcba//a c////////AB A BAC A C///BAC B A CA∈PP(三)直线和平面直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
定理 :如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直这个平面。
定理:一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面, 它也垂直于另一个平面。
直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行。
射影定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中, (1)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长; (2)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长; (3)垂线段比任何一条斜线段都短。
立体几何初步公理、定理及推论
立体几何初步公理、定理及推论1、连接两点的线中,线段最短;2、过两点有一条直线,并且只有一条直线;3、如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内;4、经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面;(不共线的三点确定一个平面)5、如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线;6、经过直线和直线外一点,有且只有一个平面;7、经过两条相交直线,有且只有一个平面;8、经过两条平行直线,有且只有一个平面;9、过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行;10、平行于同一条直线的两条直线平行;11、如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等;12、如果不在一个平面内的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行;13、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两个平面的交线平行;14、如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行;15、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线,则这两个平面平行;16、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行;17、如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内任何一条直线垂直;18、如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与平面垂直;19、如果两条平行线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面;20、如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行;21、如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直;22、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
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立体几何公理、定理推论汇总
一、公理及其推论
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用: ① 用来验证直线在平面内;
② 用来说明平面是无限延展的。
公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
(那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线) 符号语言:P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且 作用:① 用来证明两个平面是相交关系;
② 用来证明多点共线,多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号语言:,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
符号语言:A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面,使, 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。
符号语言:a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面,使, 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。
符号语言://a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面,使,
公理3及其推论的作用:用来证明多点共面,多线共面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。
符号语言://////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
图形语言:
作用:用来证明线线平行。
二、平行关系
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。
(1)
符号语言://////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
图形语言:
线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平面平行。
(2)
符号语言:////a b a a b ααα⊄⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪⎭
图形语言:
线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和 这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
(3)
符号语言:////a b a a b βαβα
⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪=⎭
I 图形语言:
面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行.(4)
符号语言://(/,///),a b b b O a a ββαααβ⊂⊂=⎫
⎪
⇒⎬⎪⎭
I 图形语言:
面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行。
(5)
符号语言:,,//oo oo ααββ⎫
⇒⎬⎭
⊥⊥ 图形语言:
面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
(6)
符号语言:
////a a b b αγβγαβ⎫
⎪
=⇒⎬⎪=⎭
I I 图形语言: 面面平行的性质1 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
(7)
符号语言:
////a a βααβ⎫
⇒⎬⊂⎭
图形语言:
面面平行的性质 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面。
(8)
符号语言://a a ββαα⎫
⇒⎬⎭
⊥⊥ 图形语言:
面面平行的性质3 平行于同一个平面的两个平面平行。
(9)
符号语言:
//////αβαγγβ⎫
⇒⎬⎭
图形语言:
平行垂直关系图系
三、垂直关系
三垂线定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直。
(10)
符号语言:PA a PO O a PA A a O ααα
⊥⊥⎫⎪
=⇒⎬⎪⊂⎭
⊥I 且 图形语言:
三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直, 那么它也和这条斜线的射影垂直.(11)
符号语言:PA a PO O a AO P a O ααα
⊥⊥⎫
⎪
=⇒⎬⎪⊂⎭
⊥I 且 图形语言:
线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
(12)
符号语言:
(,),m n m n l m
l B n l ααα⎫
⎪
⇒⎬⎪⊂⊂=⎭
⊥⊥⊥I 图形语言: 线面垂直的判定 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个
平面。
(13)
符号语言:
//b a b a αα⎫
⇒⎬⎭
⊥⊥ 图形语言:
线面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
(14)
符号语言:
//a b b a αα⎫
⇒⎬⎭
⊥⊥ 图形语言: 线面垂直的性质 如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.(15)
符号语言:
a a
b b αα⎫
⇒⎬⊂⎭
⊥⊥ 图形语言: 面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
(16)
符号语言:
A A
B B βααβ⎫
⇒⎬⊂⎭
⊥⊥ 图形语言:
面面垂直的性质定理 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面。
(17)
符号语言:AB CD AB AB CD αββααβ⊥⎫
⎪
=⇒⎬⎪⊥⊂⎭
⊥I 且 图形语言:
最小角定理 斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切
角中最小的角,且有12cos cos cos θθθ=⋅(其中12,,θθθ如图中所示)
图形语言:。