立体几何公理、定理推论汇总74915
立体几何证明题定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂
作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）
符号语言：P l P l α
βαβ∈⇒=∈且 ！
作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
）
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言：
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系
-
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言：
立体几何公理定理推论汇总
立体几何公理定理推论
立体几何公理、定理推论汇总
一.公理及其推论
公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：Ael,Bel,Aea.Bea^>l<^a
作用: ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的勺
公理2|如果两个平面有_个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一
条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一务冬直线）
〉 --- - 7
符号语言：= \
作用：①用来证明两个平面是相交关系；
②用來证明多点共线，多线共点。/ / 公酮经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。X ;/
符号语言：A.B.C不共线确定一个平面
推论1|经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
符号语言：A^a=＞有且只有一个平面a,使Aw a, aua
推论2|经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：ar\b = Pd有且只有一个平面a,使aua, bua
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号沽•言：a//b=＞有且只有一个平面a,使aua, bua
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
a // b
符号语言：
di b
作用：用来证明线线平行。
二.平行关系
面面平行的性质1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7）
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） --------- ------------
all b\ 符号语詁cllb\^allC
立体几何公理、定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总
一、公理及其推论
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l α
βαβ∈⇒=∈且
作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫
⇒⎬⎭
图形语言：
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
立体几何公理定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总
一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂
作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）
符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且
作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
图形语言：
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言：
立体几何公理、定理推论汇总
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一、公理及其推论
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
公理2及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理 3 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条过这个公共点的公共直线）
符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
② 用来证明多点共线，多线共点。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：
//
// //
a b
a c c b
⎫
⇒
⎬
⎭
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）
立体几何公理、定理推论汇总
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一、公理及其推论
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l α
βαβ∈⇒=∈且
作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
图形语言：
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
立体几何证明题定理推论汇总
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'、公理及其推论
公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上
所有的点都在这个平面内
符号语言：A l,B l, A ,B^ > l :
作用：① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）
符号语言:p =∣且
PT
作用：① 用来证明两个平面是相交关系;
② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
符号语言：A, B,C不共线=A, B, C确定一个平面
推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。符号语言:ATa= 有且只有一个平面[,使A a，a ：-推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面
符号语言:^ b = P=有且只有一个平面:，使a二：S b 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面
符号语言：a∕∕b=有且只有一个平面〉，使a ，b ■■
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理4平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）
a //
b v
符号语言：c∕∕b a//C
・B
O
O
图形语言:b
作用：用来证明线线平行。
平行关系
公理
4 a
b
图形语言
1.线面平行的判定定理 图形语言
线面平行的性质定理 a 图形语言 a∕∕b P 2■面面平行的判定定理 图形语言 面面平行的判定 (5) 图形语言 oO
面面平行的性质定理 (6)
图形语言 (7)
立体几何证明题定理推论汇总
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一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂
作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）
符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且
作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
图形语言：
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言：
立体几何公理、定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总
一、公理及其推论
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）
符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且
作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
②
用来证明多点共线，多线共点。
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线
确定一个平面
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面
，使，
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使
，
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
公理3
及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
图形语言：
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
符号语言：
//
// //
a b
a c c b
⎫
⇒
⎬
⎭
图形语言：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）
立体几何公理、定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总
一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂
作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）
符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且
作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
图形语言：
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
符号语言：
//
//
//
a b
a c
c b
⎫
⇒
⎬
⎭
图形语言：
线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）
立体几何公理、定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总
一、公理及其推论
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：
作用：①用来验证直线在平面内；
②用来说明平面是无限延展的。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）
符号语言：
作用：①用来证明两个平面是相交关系；
②用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：图形语言：
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
符号语言：图形语言：
线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）
符号语言：图形语言：
线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）
符号语言：图形语言：
面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）
符号语言：图形语言：
面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5）
高中立体几何公理及推论及定理总汇表
高中立体几何公理及推论及定理总汇表
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。（1）判定直线在平面内的依据
（2)判定点在平面内的方法
公理2:如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线。（1）判定两个平面相交的依据
（2)判定若干个点在两个相交平面的交线上
公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（1）确定一个平面的依据(2）判定若干个点共面的依据
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。（1）判定若干条直线共面的依据
（2)判断若干个平面重合的依据
（3）判断几何图形是平面图形的依据
推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。
推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。
立体几何直线与平面
空间二直线平行直线
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线
空间直线和平面位置关系
（1）直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点
（3)直线和平面平行-—没有公共点
立体几何直线与平面
直线与平面所成的角
(1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角
（2)一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角
（3)一条直线和平面平行，或在平面内,定义它和平面所成的角是00的角
三垂线定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直
三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直
立体几何公理定理汇总
立体几何公理、定理推论汇总
一、公理及其推论
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 公理2及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
② 用来证明多点共线，多线共点。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
立体几何公理、定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总
一、公理及其推论
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）
符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且
作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
②
用来证明多点共线，多线共点。
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线
确定一个平面
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面
，使，
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使
，
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
公理3
及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
图形语言：
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
符号语言：
//
// //
a b
a c c b
⎫
⇒
⎬
⎭
图形语言：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）
立体几何中的公理、定理和常用结论汇总
立体几何中的公理、定理和常用结论汇总
1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
3．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．平行与垂直的八大定理
（1）．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言图形语言符号语言
判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则
该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平
行”)
因为l∥a，
a⊂α，l⊄α，
所以l∥α
性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面
平行⇒线线平行”)
因为l∥α，
l⊂β，
α∩β＝b，
所以l∥b
（2）．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言图形语言符号语言
判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平
行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒
面面平行”)
因为a∥β，
b∥β，a∩b＝P，
a⊂α，b⊂α，
所以α∥β
性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，
那么它们的交线平行
因为α∥β，
α∩γ＝a，
β∩γ＝b，
立体几何公理定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总
一、公理及其推论
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂
作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
图形语言：
作用：用来证明线线平行。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
符号语言：//////a b a c c b ⎫
⇒⎬⎭
图形语言：
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立体几何公理、定理推论汇总
一、公理及其推论
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
图形语言：
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
图形语言：
线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。（2）
符号语言：////a b a a b ααα⊄⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪⎭
图形语言：
线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和 这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）
符号语言：////a b a a b βαβα
⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪=⎭
I 图形语言：
面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行.（4）
符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ⊂⊂=⎫
⎪
⇒⎬⎪⎭
I 图形语言：
面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5）
符号语言：,,//oo oo ααββ⎫
⇒⎬⎭
⊥⊥ 图形语言：
面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6）
符号语言：
////a a b b αγβγαβ⎫
⎪
=⇒⎬⎪=⎭
I I 图形语言： 面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7）
符号语言：
////a a βααβ⎫
⇒⎬⊂⎭
图形语言：
面面平行的性质 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。（8）
符号语言：//a a ββαα⎫
⇒⎬⎭
⊥⊥ 图形语言：
面面平行的性质3 平行于同一个平面的两个平面平行。（9）
符号语言：
//////αβαγγβ⎫
⇒⎬⎭
图形语言：
平行垂直关系图系
三、垂直关系
三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这条斜线垂直。（10）
符号语言：PA a PO O a PA A a O ααα
⊥⊥⎫⎪
=⇒⎬⎪⊂⎭
⊥I 且 图形语言：
三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它也和这条斜线的射影垂直.（11）
符号语言：PA a PO O a AO P a O ααα
⊥⊥⎫
⎪
=⇒⎬⎪⊂⎭
⊥I 且 图形语言：
线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（12）
符号语言：
(,),m n m n l m
l B n l ααα⎫
⎪
⇒⎬⎪⊂⊂=⎭
⊥⊥⊥I 图形语言： 线面垂直的判定 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个
平面。（13）
符号语言：
//b a b a αα⎫
⇒⎬⎭
⊥⊥ 图形语言：
线面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（14）
符号语言：
//a b b a αα⎫
⇒⎬⎭
⊥⊥ 图形语言： 线面垂直的性质 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.（15）
符号语言：
a a
b b αα⎫
⇒⎬⊂⎭
⊥⊥ 图形语言： 面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（16）
符号语言：
A A
B B βααβ⎫
⇒⎬⊂⎭
⊥⊥ 图形语言：
面面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面。（17）
符号语言：AB CD AB AB CD αββααβ⊥⎫
⎪
=⇒⎬⎪⊥⊂⎭
⊥I 且 图形语言：
最小角定理 斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切
角中最小的角，且有12cos cos cos θθθ=⋅（其中12,,θθθ如图中所示）
图形语言：