现代片四校联考八年级数学学科期中考试试题

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精品解析：【校级联考】浙江省宁波市奉化区2018-2019学年八年级上学期期中四校联考数学试题(解析版)

浙江省宁波市奉化区2018-2019学年八年级上学期数学期中四校联考试卷一、选择题1.下列图标中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解:A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确；故选D．2.已知三角形的两边长分别为3cm和2cm，则第三边长可以是( )A. 1cmB. 3cmC. 5cmD. 7cm【答案】B【解析】【分析】已知两边长，则第三边的长度小于两边之和，大于两边之差.【详解】第三边长取值范围是：3-2<x<3+2，即1<x<5.故选B.【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.3.已知直角三角形ABC，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（）A. 30°B. 40°C. 45°D. 50°【解析】【分析】由直角三角形的两锐角互余，可得另一个角的度数.【详解】另一个锐角的度数为90°-50°=40°.，故选B.【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，熟练掌握这一性质是解答本题的关键.4.下列句子是命题的是（）A. 画∠AOB＝45ºB. 小于直角的角是锐角吗？C. 连结CDD. 相等的角是对顶角【答案】D【解析】【分析】一般地，判断某一件事情的句子叫做命题.即对事件作出判断，不论正确与否，且是一句陈述句.【详解】A.是作图语句，不是命题，故A不符合题意；B.是疑问句，而命题是一个陈述句，故B不是命题，故B不符合题意；C.是作图语句，不是命题，故C不符合题意；D.是命题，故D符合题意.故选D.【点睛】本题考查了命题的识别，表示判断的语句叫做命题，命题通常由条件（题设）和结论（题断）两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知的事项推断出的事项.5.一元一次不等式x+1≥2的解在数轴上表示为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先求出不等式的解集，依据解集在数轴上的表示法即可解答.【详解】x+1≥2，x≥2-1，x≥1.由不等号为“≥”，即在数轴上的“1”处为实心点，线的方向为右，故不等式的解集x≥1在数轴上表示为：故选A.【点睛】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”6.如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形经常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB和CD），这样做的依据是( )A. 三角形的稳定性B. 垂线段最短C. 长方形的轴对称性D. 两点之间线段最短.【答案】A【解析】【分析】根据三角形的稳定性解答即可.【详解】防止变形是为了门框的稳定性，加上木条后构成了两个三角形，故依据的是三角形的稳定性.故答案为：A.【点睛】本题考查了三角形的稳定性的应用，三角形的稳定性是指三角形与其他多边形相比，具有不容易扭转或变形的特点.木工师傅在门框上钉上两条斜拉的木条，是利用了三角形的稳定性防止门框变形.7.如图，BE=CF，AB∥DE，添加下列哪个条件不能证明△ABC≌△DEF的是( )A. AB=DEB. ∠A=DC. AC=DFD. AC∥DF【答案】C【解析】【分析】由已知条件得到相应边相等和对应角相等.再根据全等三角形的判定定理“AAS”，“SAS”，“ASA”依次判断. 【详解】∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，∴BC=EF，∵AB//DE，∴∠B=∠DEF，其中BC是∠B的边，EF是∠DEF的边，根据“SAS”可以添加边“AB=DE”，故A可以，故A不符合题意；根据“AAS”可以添加角“∠A=∠D”，故A可以，故B不符合题意；根据“ASA”可以添加角“∠ACB=∠DFE”，故D可以，故D不符合题意；故答案为：C.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8.如图，AE⊥BC于E，BF⊥AC于F，CD⊥AB于D，△ABC中AC边上的高是线段（）A. BFB. CDC. AED. AF【答案】A【解析】【分析】根据高的定义判断即可，从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.【详解】三角形底边AC上的高，为对角点B到边AC的垂线段.∵BF⊥AC于F，∴BF是边AC上的高.故选A.【点睛】本题考查了三角形高线的识别，熟练掌握高的定义是解答本题的关键.9.已知等腰三角形的一个内角是70°，则它的顶角的度数是( )A. 70°B. 40°C. 70°或40°D. 70°或30°【答案】C【解析】【分析】由等腰三角形的性质可知底角相等，则内角可以是顶角也可以是底角；根据三角形内角和即可求出.【详解】∵一个内角是70°，∴分两种情况讨论：①当顶角为70°；②当底角为70°时，顶角为.综上所述，顶角的度数为70°或40°故选C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及分类讨论的数学思想，分两种情况讨论是解答本题的关键. 10.如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若CB =8，AC =6，则△ACD 的周长为（）A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】A【解析】试题分析：∵△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，∴8==，∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∴AD+CD=BD+CD ，即AD+CD=BC ， ∴△ACD 的周长=AC+CD+AD=AC+BC=6+8=14．故选A ．考点：1.线段垂直平分线的性质；2.勾股定理． 11.小明把一副45,30的直角三角板如图摆放，其中00090,45,30C F A D ∠=∠=∠=∠=，则αβ∠+∠等于（）A. 0180 B. 0210 C. 0360 D. 0270【答案】B【解析】试题解析：如图，∵∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，故选B．12.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，F是BC边上的中点.若动点E从A点出发以2cm/s的速度沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3),连结EF，当△BEF是直角三角形时，t 的值为( )A. 74B. 1C.74或1或94D.74或1或114【答案】C【解析】【分析】△BEF是直角三角形时，而△BEF中∠ABC=60°，故有EF⊥BC和EF⊥AB这两种情况，由直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半，求出BE的长，则可求出E所运动的距离，注意点E是运动路线是A→B→A，且t(s)(0≤t＜3).【详解】在Rt△AB C中，∵∠ABC=60°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=4cm. ∵F是AB的中点，∴BF=AF=12AB=1cm.①当EF⊥BC时，∵∠ABC=60°，∴∠BEF=30°，∴BE=2BF=2，∴AE=AB-BE=4-2=2，∴t=2÷2=1或t=(4+2)÷2=3(舍)；②当EF⊥AB时，∵∠ABC=60°，∴∠BFE=30°，∴BE= 12BF= 12，∴AE=AB-BE=4- 12=72，∴t= 72÷2=74或t=(4+12)÷2=94；故选C.【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，及分类讨论的数学思想.在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.二、填空题13.命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_____．【答案】_有两个角相等的三角形是等腰三角形_【解析】【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【详解】因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．【点睛】根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．14.若a＞b，则123a-________123b-（填“＜”或“＞”）．【答案】＜【解析】【分析】由a与b分别转化到123a-和123b-，依据不等式的性质，判别不等号的变化.【详解】将a>b两边同乘13 -，得13a-<13b-，再将上式两边同加上2，得123a-<123b-，故答案为：<.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．15.直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____．【答案】5．【解析】【详解】试题分析：∵直角三角形的两条直角边长为6，8，∴由勾股定理得，斜边=10.∴斜边上的中线长=12×10=5．考点：1.勾股定理；2. 直角三角形斜边上的中线性质．16.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△ACD沿CD折叠，A点恰好落在AB的中点E处，则∠B等于______度．【答案】30【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到EC=BE,从而得到∠B=∠BCE,再由折叠的性质及三角形的外角性质得到∠A=2∠B,从而不难求得∠B的度数．【详解】∵在Rt△ABC中,CE是斜边AB的中线,∴AE=CE=BE,∴∠B=∠BCE,∵△CED是由△CAD折叠而成,∴∠A=∠CED,∵∠CEA=∠B+∠BCE=2∠B,∴∠A=2∠B,∵∠A+∠B=90°,∴∠B=30°,故答案为30．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识,熟练掌握折叠的性质和直角三角形的性质是解决问题的关键．17.如图，在4×4方格中，点A、B在格点上，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出________个.【答案】7【解析】【分析】为不漏情况，需分类讨论：当点B为顶角的顶点，即以点B为圆心AB长为半径画圆，与网格的交点为格点的就符合题意，注意三点不在一线上；当点A为顶角的顶点时，即以点B为圆心AB长为半径画圆，与网格的交点为格点的就符合题意，注意三点不在一线上；当AB为底边时，作AB的垂直平分线，该线与网格的交点为格点时就符合题意，注意三点不在一线上.【详解】如图，以B为顶角时，有4个符合题意的点；以A为顶角时，有3个符合题意的点；以AB为底时，没有符合题意的点.故总共有7个点符合题意.故答案为：7【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了等腰三角形的定义.18.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，D为AC中点，过点A作AE∥BC，连结BE，∠EBD=∠CBD，BD=5，则BE的长为________.【答案】25 4【解析】【分析】连接ED并延长交BC于点F，由AE//BC及点D是AC的中点，可证明△ADE≌△CDF，得AE=CF,DE=DF，结合∠EBD=∠CBD，可猜想BF=BE，则BE+AE=BC=8，在Rt△ABE中，由勾股定理构造关于BE的方程解答即可.【详解】如图，连接ED并延长交BC于点F，过点D分别作DP⊥BE，垂足为P；作DQ⊥BC，垂足为Q,在Rt△ABC中，∵D是斜边AC的中点，∴AD=CD=BD=5，AC=2BD=10，∴8BC==，∵AE//BC，∴∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD，又∵AD=CD，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF，AE=CF，又∵∠EBD=∠CBD，DP⊥BE，DQ⊥BC，∴DP=DQ，又∵BD=BD，DE=DF，∴Rt△BDP≌Rt△BDQ（HL），Rt△PDE≌Rt△QDF（HL），∴BP=BQ,PE=QF,∴BF=BE，∴BE+AE=BF+CF=BC=8,设BE=x，则AE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得得(8-x)2+62=x2，解得x=25 4,即BE= 25 4.故答案为：25 4【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．三、解答题19.解不等式组34223154x xx x+≥⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩，并把它的解表示在数轴上.【答案】-4≤x≤3表示在数轴上，如图所示见解析.【解析】【分析】按不等式的解法依次解出两个不等式的解，求两个解的公共部分即为不等式组的解.【详解】解① ，移项得合并同类项得x≥-4；解②两边同乘20得，4（x+2）-5(x-3) ≥20，去括号得，4x+8-5x+15≥20,移项得，4x-5x≥20-8-15,合并同类项得，-x≥-3,两边同除以-1，得x≤3；∴ 不等式组的解为-4≤x≤3表示在数轴上，如图所示：【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点.20.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB//DE．【答案】证明见解析【解析】（1）用边边边证明两个三角形全等即可；（2）利用全等三角形的性质及平行线的判定即可证明.解：（1）∵BE =CF ，∴BE +EC =EC +CF ，即BC =EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．（2）∵△ABC ≌△DEF ，∴∠B =∠DEF ，∴AB ∥DE （同位角相等，两直线平行）．21.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点上． ()1在图中画出与ABC 关于直线l 成轴对称的''AB C ；()2三角形ABC 的面积为______；()3以AC 为边作与ABC 全等的三角形，则可作出______个三角形与ABC 全等；()4在直线l 上找一点P ，使PB PC +的长最短．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）2；（4）见解析.【解析】（1）分别作各点关于直线l的对称点，再顺次连接即可；（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；（3）根据勾股定理找出图形即可；（4）连接B′C交直线l于点P，则P点即为所求．解：（1）如图，△AB′C′即为所求；（2）S△ABC=2×4﹣12×2×1﹣12×1×4﹣12×2×2=8﹣1﹣2﹣2=3．故答案为：3；（3）如图，△AB1C，△AB2C，△AB3C即为所求．故答案为：3；（4）如图，P点即为所求．22.已知，如图，四边形ABCD，∠A=∠B=Rt∠．（1）尺规作图，在线段AB上找一点E，使得EC=ED，连接EC，ED（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）在图形中，若∠ADE=∠BEC，且CE=3，AD的长.【答案】（1）见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）在线段AB上的一点E到C,D的距离相等，即EC=ED，由垂直平分线的性质可知，点E在线段CD 的垂直平分线上.（2）由勾股定理可求得BE的长；由三角形全等可得AD=BE.【详解】（1）解：作CD的中垂线交AB于点E.（2）解：由(1)知EC=ED，又∵∠A=∠B=90°，∠ADE=∠BEC∴△ADE≌△BEC (AAS)，∴AD=BE，在Rt△BEC中，∴AD=BE=2.【点睛】本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段的垂直平分线的作法是解（1）的关键，证明△ADE≌△BEC是解（2）的关键.23.某校艺术节时欲购40盆花卉布置舞台.现有甲、乙两种花卉可供选择，已知甲种花卉的单价为18元/盆，乙种花卉的单价为25元/盆.若学校计划用于购买花卉的费用最多为860元，且购买乙花卉不少于18盆.请你为该校设计购买方案，并求出最小的费用是多少元？【答案】三种购买方案，分别是：①购买甲种花卉22盆，乙种花卉18盆，②购买甲种花卉21盆，乙种花卉19盆，③购买甲种花卉20盆，乙种花卉20盆，其中第①种购买方案的费用最少，最少费用为846元.【解析】【分析】依题意设乙种花卉x 盆，由最多费用为860元，可得关系式“买甲种花卉的费用+买乙种花卉的费用≤860”，依此列出不等式求解；注意条件“乙花卉不少于18盆”，求出不同的方案再比较花费.【详解】设购买乙种花卉x 盆，则甲种花卉为（40-x ）盆，由题意得18（40-x ）+25x≤860解得x≤20又∵乙花卉不少于18盆∴18≤x≤20∵x 为整数∴x=18或19或20，40-x=22或21或20，∴一共有三种购买方案，分别①购买甲种花卉22盆，乙种花卉18盆，②购买甲种花卉21盆，乙种花卉19盆，③购买甲种花卉20盆，乙种花卉20盆， .其中第①种购买方案的费用最少，最少费用为846元.【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，仔细读题，找出不等量关系，列出不等式是解答本题的关键. 24.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，(1)如图△ABC 中，BC=2，求证：△ABC 是“美丽三角形”；(2)在Rt △ABC 中，∠C=90°，，若△ABC 是“美丽三角形”，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）BC=3或BC=4.【解析】【分析】（1）由“美丽三角形”的定义知，要求出△ABC的中线长，再作比较，由AB=AC ABC是等腰三角形，由“三线合一”，可作BC的中线AD,则AD即为BC的高线，由勾股定理求AD的长即可证明；（2）Rt△ABC中有三条中线，由斜边上的中线是斜边的一半，排除斜边的中线；则有两种可能：AC边的中线等于AC或BC边的中线等于BC.结合中线的定义及勾股定理即可解答.【详解】（1）证明：如图，作BC的中线AD，如图，∵AB=AC= ，AD是BC的中线，∴AD⊥BC, BD=CD= ,在Rt△ABD中，由勾股定理得AD= ,∴AD=BC，∴△ABC是美丽三角形.（2）解：①如图1，作AC的中线BD，△ABC是“美丽三角形”，当BD=AC= 时，则CD= ,由勾股定理得.②如图2，作BC的中线AD，△ABC是“美丽三角形”，当BC=AD时，则CD= ,在Rt△ACD中，由勾股定理得，则，解得CD=2，∴BC=2CD=4.故BC=3或BC=4.【点睛】本题考查了信息迁移，等腰三角形的性质，勾股定理及分类讨论的数学思想，明确“美丽三角形”的定义是解答本题的关键.25.（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹），并写出：BE与CD的数量关系；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE与CD，BE 与CD有什么数量关系？说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．【答案】（1）如图所示：（2）BE=CD（3）【解析】分析：（1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，如图所示，由三角形ABD与三角形ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证。

2022-2023学年浙江省金华市东阳市江北中学等四校八年级(下)期中数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年浙江省金华市东阳市江北中学等四校八年级（下）期中数学试卷1. 下列方程中，是一元二次方程的是( )A. B. C. D.2. 中国“一十四节气”已被利入联合国教科文组织人类非物质文化读产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )A. B. C. D.4. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.如表是球迷小彬最喜欢的6支球队在本届世界杯中的总进球数个，其中的中位数和众数分别是( )球队西班牙英格兰巴西阿根廷法国克罗地亚总进球数913815168A. 8个，8个B. 11个，15个C. 13个，15个D. 11个，8个5. 下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是( )A. 两个等腰三角形B. 两个全等三角形C. 两个锐角三角形D. 两个直角三角形6. 若要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设( )A. B. C. D.7. 已知方程的一个根是m，则代数式的值为( )A. 2022B. 2023C. 2024D. 20258. 如图，在中，，，，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是( )A. 3B. 6C. 8D. 109. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，按照这样的传染速度，经过三轮后患了流感人数共有( )A. 512人B. 596人C. 648人D. 729人10. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，，连接OE，下列结论：①；②；③；④：⑤其中成立的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币，则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为______ .12. 八年级一班要从甲、乙、丙、丁四名同学中推选一人参加学校的魔方复原挑战赛，他们5场三阶魔方复原测试成绩的平均数及方差如表所示.根据测试结果，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的选手参赛，应选择______ .甲乙丙丁秒252520213. 已知a，b都是实数，，则的值为______.14. 已知等腰三角形两边a，b，满足，则这个等腰三角形的周长为______ .15. 若，是的两个根，且，则b 的值是______ .16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为，点C 的坐标为，四边形OABC 是平行四边形，点D 、E 份别在边OA 、BC 上，且，动点P 、Q 在平行四边形OABC 的一组邻边上，以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为______.17. 解方程：；18. 停课期间某校对直播软件功能进行筛选，学校选定了“钉钉”和“QQ 直播”两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分名同学打分情况如表1，学生打分的平均数、众数、中位数如表2：表1：软件人数得分1分2分3分4分5分钉钉24365QQ 直播14654表2：软件平均数众数中位数钉钉4QQ 直播3抽取的10位教师对“钉钉”和“QQ 直播”这两款软件打分的平均分分别为分和4分.请根据以上信息解答下列问题：将上面表格填写完整；你认为学生对这两款软件评价较高的是______ 填“钉钉”或“QQ 直播”；学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学.19. 已知，如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 的延长线上，，连接EF ，分别交BC 、AD 于G 、求证：20. 如果最简二次根式与能进行合并.且，化简：21. 在中，，D是斜边AB上的一点，作，垂足为E，延长DE到F，连结CF，使求证：四边形ADFC是平行四边形．连接CD，若CD平分，，，求四边形ADFC的面积．22. 随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元.据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次.若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；从六月份起，该公司决定降低租金，尽可能地让利顾客，经调查发现，租金每降价1元，全天包车数增加次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？23. 配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们定义：一个整数能表示成、b是整数的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”.理由：因为所以5是“完美数”.解决问题：已知10是“完美数”，请将它写成、b是整数的形式______ ；若可配方成、n为常数，则______ ；探究问题：已知，则______ ；已知、y是整数，k是常数，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.拓展结论：已知实数x、y满足，求的最值.24. 如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动.设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，的面积是平行四边形OABC的一半？当的面积是平行四边形OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标.答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意；C、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；D、不是方程，不符合题意．故选：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.【答案】D【解析】解：A选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意；B选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；C选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；D选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意；故选：根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形；如果一个图形绕某一个点旋转180度后能与它自身重合，这个图形叫做中心对称图形．3.【答案】D【解析】解：式子在实数范围内有意义，，解得：故选：由式子在实数范围内有意义，可得，再解不等式即可．本题考查的是二次根式有意义条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解本题的关键．4.【答案】D【解析】解：这组数据从小到大排列为：8，8，9，13，15，16，中位数为个，数据中出现次数最多的8个，众数为8个，故选：根据中位数的定义：中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数；众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为众数；据此解答即可．本题考查了中位数以及众数的定义，熟记相关定义是解本题的关键．5.【答案】B【解析】解：平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．故选：因在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．据此解答．此题主要考查了平行四边形的判定，本题的关键是明确平行四边形的特征：两组对边平行且相等．6.【答案】A【解析】解：运用反证法证明“若，则”，首先应该假设，故选：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是的反面有多种情况，应一一否定．本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立、从假设出发推出矛盾、假设不成立，则结论成立．7.【答案】B【解析】解：方程的一个根是m，，即，，故选：根据一元二次方程的解的定义得出，代入代数式即可求解．本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，得出是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当时，OD最小，即DE最小．，，，，，，，又，，是的中位线，，故选：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．9.【答案】D【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：，整理，得：，解得：，不合题意，舍去即每轮传染中平均一个人传染8个人．人故选：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论，根据经过三轮传染后患流感的人数=经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程．10.【答案】D【解析】解：四边形ABCD为平行四边形，，，，，，，，平分，，为等边三角形，，，，，，，故①正确；，，，，，故②错误；，故③正确；，，是BC的中点，：：4，：：4，：：8，：：4，，故④正确．，，，，，故⑤正确，故选：结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由，可判断①，证明，可判断②；由平行四边形的面积公式可判断③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④，由三角形中位线定理可求，即可判断⑤，即可求解．本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．11.【答案】【解析】解：正九边形的一个外角的度数为，故答案为：利用外角和除以外角的个数即可得到答案．此题考查了求正多边形每一个外角的度数，正确理解多边形外角和为，及正多边形的外角个数与边的条数相同，所有外角均相等是解题的关键．12.【答案】丁【解析】解：由表可知：从平均数看，成绩最好的选手是丁，从方差看，丁选手方差较小，根据测试结果，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的选手参赛，应选择丁．故答案为：丁．根据成绩较好，状态稳定这两个要求，应选平均数大，方差小的选手参赛即可解答．本题考查了平均数和方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．13.【答案】【解析】解：由题意可知：，，，，故答案为：根据二次根式有意义的条件可求出a的值，进而可求出b的值，最后代入原式即可求出答案．本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．14.【答案】12【解析】解：，，，，，，，解得，，，、2、5不能组成三角形，这个等腰三角形的三边长分别为5、5、2，这个等腰三角形的周长为：故答案为：首先利用完全平方公式将等式变形，根据偶次方的非负性，即可分别求出a、b，再根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算即可求得．本题主要考查的是偶次方的非负性、等腰三角形的性质以及三角形三边之间的关系，灵活运用完全平方公式，是解题的关键．15.【答案】1【解析】解：，是的两个根，，即或，，，，，即，解得：或舍去，则b的值为故答案为：由题意得到根的判别式大于等于0，求出b的范围，已知等式变形后，由根与系数的关系得到关系式代入计算即可求出b的值．此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．16.【答案】或或【解析】解：如图，过点C作于点H，的坐标为，，，，点C的坐标为，，，，H重合，，，动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分以下情况：①点P在OC上，点Q在BC上，如图，当点P与点O重合，；当DE是对角线时，如图，；②点Q在OC上，点P在OA上，如图，点C与Q重合，；③点Q在OC上，点P在AB上，如图，点P与B重合，；综上所述：平行四边形面积为或或故答案为：或或过点C作于点H，根据A，C两点坐标可得D，H重合，动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分以下情况画图说明：①点P在OC上，点Q在BC上，当点P与点O重合，当DE是对角线时；②点Q在OC上，点P在OA上，点C与Q重合；③点Q在OC上，点P在AB上，点P与B重合，根据平行四边形的面积公式即可解决问题．此题考查的是平行四边形的判定和性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是分类讨论和数形结合的思想方法的运用．17.【答案】解：，，，，，，；原方程可化为：，，或，，【解析】利用配方法求解即可；利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的简便的方法是解题的关键．18.【答案】钉钉【解析】解：由表格中的数据可知QQ直播得分为分出现了6次，出现次数最多，直播的众数为分，钉钉直播打分的一共有20人，分数处在第10和第11的分别是分，分，钉钉直播的中位数为分，补全表格如下：软件平均数众数中位数钉钉44QQ直播33学生对这两款软件评价较高的是钉钉，理由如下：学生对钉钉打分的中位数和平均数都比对QQ直播打分的中位数和平均数高，学生对这两款软件评价较高的是钉钉，故答案为：钉钉；应该是钉钉软件的得分为：，QQ 直播的得分为：，，学校会采用QQ直播进行教学．根据中位数和众数的定义进行求解即可；根据学生对钉钉打分的中位数和平均数都比对QQ直播打分的中位数和平均数高即可得到答案；分别计算出两款软件的得分即可得到答案．本题主要考查了中位数，众数和加权平均数，熟知三者的定义是解题的关键．19.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，，，在与中，，≌，【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．20.【答案】解：由题意可知：，解得：，，，，原式【解析】根据题意可知求出a的值以及x的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．21.【答案】证明：，，，延长DE到F，，，，，，又，四边形ADFC是平行四边形；解：平分，，在和中，，≌，，由得：四边形ADFC是平行四边形，，，设，则，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，解得：，，【解析】由，，推出，得出，再证，则，即可得出结论；先由AAS证得≌，得出，由平行四边形的性质得，，设，则，再由勾股定理求出，，即可得出结果．本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．22.【答案】解：设全天包车数的月平均增长率为x，根据题意可得：，解得：，不合题意舍去，答：全天包车数的月平均增长率为；设租金降价a元，则，化简得：，解得：，为了尽可能让利顾客，答：当租金降价70元时，公司将获利8800元．【解析】设全天包车数的月平均增长率为x，则四月份的全天包车数为；五月份的全天包车数为，又知五月份的全天包车数为64次，由此等量关系列出方程，求出x的值即可；每辆全天包车的租金全天包车数量列出方程，求解即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键．23.【答案】【解析】解：解决问题：根据题意得：；故答案为：；根据题意得：，；探究问题：已知等式变形得：，即，，，，得：，则故答案为，当，S为“完美数”，理由如下：，，，，y是整数，，也是整数，是一个“完美数”；拓展结论：，，即，，，当时，最大，最大值为：解决问题：把10拆成两个两个整数的平方即可；原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出mn的值；探究问题：已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值；根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；拓展结论：等式表示出y，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．24.【答案】解：四边形OABC是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为根据题意得：，化简得：，解得：，即当点P运动4秒时，的面积是平行四边形OABC的一半．秒时，的面积是平行四边形OABC的一半．综上所述，或时，的面积是平行四边形OABC的一半．①时，由知，此时点Q与点B重合，画出图形如下所示，根据平行四边形的性质，可知点的坐标为，，时，同法可得：或或【解析】根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点C的坐标；平行四边形OABC的对称中心即是对角线的中点；，根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的t值即可；根据中得出的t值，找出此时点P和Q的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点M的坐标即可．本题考查平行四边形的性质及一元二次方程的应用，解题关键是第二问，根据准确列出方程式，求出满足题意的t值，有一定的难度，同时要注意细心运算．。

2021-2022学年安徽省皖东南初中四校八年级(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年安徽省皖东南初中四校八年级第一学期期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共10小题）.1．点A（3，2）关于x轴的对称点为B，则点B的坐标为（）A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）2．若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边长不可能为（）A．5cm B．8cm C．10cm D．17cm3．函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≤1B．x≥1C．x＜1且x≠0D．x≤1且x≠0 4．已知一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点A（3，1），则关于x的方程ax﹣1＝mx+4的解是（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝3D．x＝45．若直线y＝k1x+1与y＝k2x﹣4的交点在x轴上，那么等于（）A．4B．﹣4C．D．6．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3B．∠A﹣∠C＝∠BC．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C7．现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（）A．3B．4或5C．6或7D．88．已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（2，3）D．（3，4）9．已知两个一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是下列选项中的（）A．B．C．D．10．甲、乙两地相距180km，一辆货车和一辆小汽车同时从甲地出发，各自匀速向乙地行驶，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时．小汽车到达乙地后，立即按原速沿原路返回甲地．则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）.11．已知y＝（m﹣1）x﹣1是关于x的一次函数，则m为．12．若点A在第二象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点A的坐标为．13．已知一个等腰三角形一边长为3，周长为15，则它的腰长等于．14．已知m是整数，且一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m＝．15．若函数y＝2x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么b＝．16．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC＝90°，则∠A＝．三、解答题.17．将三角形ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到对应的三角形A1B1C1．（1）画出三角形A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）求三角形A1B1C1的面积．18．直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3（x﹣6）相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式．19．如图，在直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与直线l2：y＝x+2交于点A（m，1）．（1）求m的值；（2）设直线l1，l2分别与y轴交于点B，C，求△ABC的面积；（3）结合图象，直接写出不等式0＜kx﹣1＜x+2的解集．20．（1）如图1，在△ABC纸片中，点D在边AC上，点E在边AB上，沿DE折叠，当点A落在CD上时，∠DAE与∠1之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；（2）若折成图2时，即点A落在△ABC内时，请找出∠DAE与∠1，∠2之间的关系式并说明理由．21．为了做好新冠的个人防疫，小明妈妈联合班级其他同学的家长去药店团购口罩．口罩原来一包是20元，由于家长们购买的数量比较多，药店老板决定给他们优惠，方式如下：方式一：每包口罩打九折；方式二：如果购买的口罩不超过40包，则口罩按原价销售，如果购买的口罩超过40包，则超出的部分打八折销售．设大家一共需要团购口罩x包，（1）口罩的总费用为y元，请分别求出两种方式y与x的关系式；（2）已知每位家长为孩子都准备5包口罩，小明妈妈根据联合家长的人数如何选择优惠方式？22．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）如图2，若CD，BE分别是△ABC的AB，AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB，得S△ADO＝S△BDO；同理S△CEO＝S△AEO．设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y．由题意得S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC ＝30，故可列方程组，解得x，y分别为，从而得到四边形ADOE的面积为；（3）如图3，已知AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．点A（3，2）关于x轴的对称点为B，则点B的坐标为（）A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）【分析】利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出点B的坐标．解：∵点A（3，2）关于x轴的对称点为B，∴B（3，﹣2），故选：D．2．若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边长不可能为（）A．5cm B．8cm C．10cm D．17cm【分析】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案．解：∵三角形的两条边长分别为6cm和10cm，∴第三边长的取值范围是：4＜x＜16，∴它的第三边长不可能为：17cm．故选：D．3．函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≤1B．x≥1C．x＜1且x≠0D．x≤1且x≠0【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．解：根据题意得：解得：x≤1且x≠0．故选：D．4．已知一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点A（3，1），则关于x的方程ax﹣1＝mx+4的解是（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝3D．x＝4【分析】根据方程的解即为函数图象的交点横坐标解答．解：∵一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点A（3，1），∴ax﹣1＝mx+4的解是x＝3．故选：C．5．若直线y＝k1x+1与y＝k2x﹣4的交点在x轴上，那么等于（）A．4B．﹣4C．D．【分析】分别求出两直线与x轴的交点的横坐标，然后列出方程整理即可得解．解：令y＝0，则k1x+1＝0，解得x＝﹣，k2x﹣4＝0，解得x＝，∵两直线交点在x轴上，∴﹣＝，∴＝﹣．故选：D．6．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3B．∠A﹣∠C＝∠BC．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C【分析】根据三角形的内角和等于180°求出三角形的最大角，进而得出结论．解：A、设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，∴x+2x+3x＝180°，解得：x＝30°，∴最大角∠C＝3×30°＝90°，∴三角形是直角三角形，选项A不符合题意；B、∵∠A﹣∠C＝∠B，∴∠A＝∠B+∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°÷2＝90°，∴三角形是直角三角形，选项B不符合题意；C、设∠C＝y，则∠A＝2y，∠B＝2y，∴y+2y+2y＝180°，解得：y＝36°，∴最大角∠B＝2×36°＝72°，∴三角形不是直角三角形，选项C符合题意；D、设∠A＝z，则∠B＝z，∠C＝2z，∴z+z+2z＝180°，解得：z＝45°，∴最大角∠C＝2×45°＝90°，∴三角形是直角三角形，选项D不符合题意．故选：C．7．现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（）A．3B．4或5C．6或7D．8【分析】根据三角形的定义，先得出三角形的个数．再根据三角形的分类，得出锐角三角形的个数．解：由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角时，∴共有33÷3＝11个三角形；又三角形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然11个三角形中，有5个直角三角形和3个钝角三角形；故还有11﹣5﹣3＝3个锐角三角形．故选：A．8．已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而减小即可确定结论．解：A、当点A的坐标为（﹣1，2）时，﹣k+3＝2，解得：k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意；B、当点A的坐标为（1，﹣2）时，k+3＝﹣2，解得：k＝﹣5＜0，∴y随x的增大而减小，选项B符合题意；C、当点A的坐标为（2，3）时，2k+3＝3，解得：k＝0，选项C不符合题意；D、当点A的坐标为（3，4）时，3k+3＝4，解得：k＝＞0，∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．故选：B．9．已知两个一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是下列选项中的（）A．B．C．D．【分析】先由一次函数y1＝ax+b图象得到字母系数的符号，再与一次函数y2＝bx+a的图象相比较看是否一致．解：A、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一三四象限，∴a＞0，b＞0；由一次函数y2＝bx+a图象可知，b＜0，a＞0，两结论矛盾，故错误；B、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一三四象限，∴a＞0，b＜0；由y2的图象可知，a＞0，b＜0，两结论不矛盾，故正确；C、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一二四象限，∴a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＞0，b＞0，两结论矛盾，故错误；D、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一二四象限，∴a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＜0，b＝0，两结论相矛盾，故错误．故选：B．10．甲、乙两地相距180km，一辆货车和一辆小汽车同时从甲地出发，各自匀速向乙地行驶，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时．小汽车到达乙地后，立即按原速沿原路返回甲地．则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】根据出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米；经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故而得出答案．解：由题意得出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C符合题意，故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）.11．已知y＝（m﹣1）x﹣1是关于x的一次函数，则m为﹣1．【分析】根据一次函数定义可得m2＝1，且m﹣1≠0，再解出m的值即可．解：由题意得：m2＝1，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．12．若点A在第二象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点A的坐标为（﹣2，4）．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可．解：∵点A在第二象限，且A点到x轴的距离为4，∴点A的纵坐标为4，∵点A到y轴的距离为2，∴点A的横坐标是﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，4）．故答案为：（﹣2，4）．13．已知一个等腰三角形一边长为3，周长为15，则它的腰长等于6．【分析】分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案．解：若腰长为3，则底边长为：15﹣3﹣3＝9，∵3+3＜9，∴不能组成三角形，舍去；若底边长为3，则腰长为：＝6；∴该等腰三角形的腰长为：6．故答案为：6．14．已知m是整数，且一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m＝﹣3或﹣2．【分析】由于一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则得到，然后解不等式即可m的值．解：∵一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，∴，解得﹣4＜m≤﹣2，而m是整数，则m＝﹣3或﹣2．故填空答案：﹣3或﹣2．15．若函数y＝2x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么b＝±4．【分析】利用一次函数y＝2x+b的图象与x轴交点和与y轴交点的特点求出坐标，以及图象与坐标轴所围成的三角形是直角三角形求解．解：∵当y＝0时，0＝2x+b，∴x＝﹣；当x＝0时，y＝b，∴一次函数y＝2x+b的图象与坐标轴所围成的三角形面积：×|﹣|×|b|＝4，解得b＝±4，故答案为：±4．16．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC＝90°，则∠A＝55°．【分析】根据题意得出∠ACA′＝35°，则∠A′＝90°﹣35°＝55°，即可得出∠A的度数．解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，∠A′DC＝90°，∴∠ACA′＝35°，则∠A′＝90°﹣35°＝55°，则∠A＝∠A′＝55°．故答案为：55°．三、解答题.17．将三角形ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到对应的三角形A1B1C1．（1）画出三角形A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）求三角形A1B1C1的面积．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用△A1B1C1所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；A1（2，2），B1（﹣1，﹣3），C1（4，﹣1）；（2）三角形A1B1C1的面积为：5×5﹣×3×5﹣×2×3﹣×2×5＝9.5．18．直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3（x﹣6）相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式．【分析】因为一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝5﹣4x平行，可知k＝﹣4，进而求出直线y＝﹣3（x﹣6）与y轴交于点（0，18），将点（0，18）代入一次函数y＝kx+b中求b 即可．解：∵直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，∴k＝﹣4，又∵与直线y＝﹣3（x﹣6）的交点在y轴上，∴直线过（0，18）点，∴直线的解析式为y＝﹣4x+18．19．如图，在直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与直线l2：y＝x+2交于点A（m，1）．（1）求m的值；（2）设直线l1，l2分别与y轴交于点B，C，求△ABC的面积；（3）结合图象，直接写出不等式0＜kx﹣1＜x+2的解集．【分析】（1）先把A（m，1）代入y＝x+2，求出m的值；（2）把A点坐标代入y＝kx﹣1，求出k，即可得到直线l1的表达式，然后求出B、C两点坐标，再根据三角形的面积个数即可求解；（3）找出直线l1落在直线l2下方且在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围即可．解：（1）∵直线l2：y＝x+2过点A（m，1）．∴1＝m+2，解得m＝﹣2；（2）∵直线l1：y＝kx﹣1过点A（﹣2，1），∴1＝﹣2k﹣1，解得k＝﹣1，∴直线l1的表达式为y＝﹣x﹣1，∴B（0，﹣1），由直线l2：y＝x+2可知C（0，2），∴BC＝3，∴S△ABC＝×3×2＝3；（3）在直线l1：y＝﹣x﹣1中，令y＝0，则x＝﹣1，观察图象可知，不等式0＜kx﹣1＜x+2的解集是﹣2＜x＜﹣1．20．（1）如图1，在△ABC纸片中，点D在边AC上，点E在边AB上，沿DE折叠，当点A落在CD上时，∠DAE与∠1之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；（2）若折成图2时，即点A落在△ABC内时，请找出∠DAE与∠1，∠2之间的关系式并说明理由．【分析】（1）如图1中，延长BE交CD于R．利用翻折不变以及三角形我记得性质解决问题即可．（2）如图2中，延长BE交CD的延长线于T，连接AT．利用翻折不变性以及三角形外角的性质解决问题即可．解：（1）结论：∠1＝2∠DAE．理由：如图1中，延长BE交CD于R．由翻折可知，∠EAD＝∠R，∵∠1＝∠EAD+∠R，∴∠1＝2∠EAD．（2）结论：∠1+∠2＝2∠EAD．理由：如图2中，延长BE交CD的延长线于T，连接AT．由翻折可知，∠EAD＝∠ETD，∵∠1＝∠EAT+∠ETA，∠2＝∠DAT+∠DTA，∴∠1+∠2＝∠EAT+∠ETA+∠DAT+∠DTA＝∠EAD+∠ETD＝2∠EAD．21．为了做好新冠的个人防疫，小明妈妈联合班级其他同学的家长去药店团购口罩．口罩原来一包是20元，由于家长们购买的数量比较多，药店老板决定给他们优惠，方式如下：方式一：每包口罩打九折；方式二：如果购买的口罩不超过40包，则口罩按原价销售，如果购买的口罩超过40包，则超出的部分打八折销售．设大家一共需要团购口罩x包，（1）口罩的总费用为y元，请分别求出两种方式y与x的关系式；（2）已知每位家长为孩子都准备5包口罩，小明妈妈根据联合家长的人数如何选择优惠方式？【分析】（1）根据题意，可以分别写出方式一和方式二中y与x的函数关系式；（2）根据题意，可以计算出当x为多少时，两种方式花费一样多，从而可以得到小明妈妈根据联合家长的人数如何选择优惠方式．解：（1）由题意可得，方式一：y与x的函数关系式为y＝20×0.9x＝18x；方式二：当0≤x≤40时，y＝20x，当x＞40时，y＝20×40+20×0.8（x﹣40）＝16x+160，由上可得，y＝；（2）由题意可得，当0≤x≤40时，选择方式一，当x＞40时，令18x＝16x+160，解得x＝80，∵80÷5＝16，∴当家长人数小于16时，选择方式一，当家长人数等于16时，选择方式一和方式二一样，当家长人数大于16时，选择方式二．22．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积＝△ACD的面积（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）如图2，若CD，BE分别是△ABC的AB，AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB，得S△ADO＝S△BDO；同理S△CEO＝S△AEO．设S△BDO ＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y．由题意得S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC ＝30，故可列方程组，解得x，y分别为，从而得到四边形ADOE 的面积为20；（3）如图3，已知AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．【分析】（1）利用三角形的面积公式计算即可得出结论；（2）利用题干所给解答方法解答即可；（3）连接AO，利用（2）中的方法，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝3x，S△AEO＝2y，利用已知条件列出方程组，解方程组即可得出结论．解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图1，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD＝DC．∵S△ABD＝，S△ADC＝CD•AE，∴S△ABD＝S△ACD．故答案为：＝．（2）连接AO，如图2，∵AD＝DB，由（1）得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，∵CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，∴S△ABE＝S△BEC＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△BDC＝S△ABC＝30，∵S△ABE＝S△BDC+S四边形ADOE，S△ADC＝S△CEO+S四边形ADOE，∴可列方程组，解得，∴S△ADO＝10，S△AEO＝10，∴S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝20，故答案为：；20；（3）如图，连接AO，∵AD：DB＝1：3，∴，又∵CE：AE＝1：2，∴，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝3x，S△AEO＝2y，由题意得，．故可列方程组，解得，所以S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2y＝13．。

安徽省六安市金寨县城区四校联考2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

金寨县城区四校联考2022-2023学年八年级第二学期期中考试数学试卷（满分150分，时间120分钟）姓名：　班级：　得分：　一、单选题(共10题；共40分)1．（4分）要使8+2x有意义，则（）A．x<−4B．x≤−4C．x≥−4D．x>−4 2．（4分）下列式子计算结果正确的是（）A．2+6=8B．62−2=6C．22×32=62D．22÷2=23．（4分）方程2x2＝3(x－6)化为一般形式二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A．2，3，－6B．2，－3，18C．2，－3，6D．2，3，64．（4分）用配方法解方程x2+6x+4=0，配方正确的是（）A．(x+3)2=5B．(x+3)2=13C．(x+6)2=5D．(x+6)2=135．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A．k>1B．k=1C．k<1D．k≤1 6．（4分）若一元二次方程5x−1=4x2的两根为x1和x2，则x1·x2的值等于（）A．1B．14C．−14D．547．（4分）估算125−45的值应在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间8．（4分）嘉淇准备解一元二次方程4x2+7x+■=0时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是（）A．3B．5C．6D．8 9．（4分）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（）A．x+x(1+x)=64B．1+x+x2=64C．(1+x)2=64D．x(1+x)=6410．（4分）某农场种植基地2021年蔬菜产量为100吨，预计2023年蔬菜产量将达到121吨.若蔬菜产量的年平均增长率相同，则年平均增长率为（）A．-210%B．-10%C．5%D．10%二、填空题(共4题；共20分)11．（5分）最简二次根式3a−4与2是同类二次根式，则a的值是 . 12．（5分）关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m的值为 .13．（5分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2−7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长为 .14．（5分）如图所示，在一幅长50cm、宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所示，如果要使整个矩形挂图的面积是3036c m2，则金色纸边的宽为 cm.三、解答题(共9题；共90分)15．（8分）计算：（1）（4分）8−32+52（2）（4分）(33−26)(33+26)16．（8分）解下列一元二次方程：（1）（4分）x2﹣4x＝1；（2）（4分）（x-5）2﹣2x（x-5）＝0.17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+x+2m=0有一个实根为-2，求m的值及方程的另一个实根．18．（8分）已知|x−3|+x−y+1=0，求x2y+xy2+1y3的值．419．（10分）把方程(2t+3)2−2(t−5)2=−41先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0．求证：方程总有两个实数根．21．（12分）已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：a2−|a−b|+ (c−a)2+|b+c|．22．（12分）读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？（提示：三十而立，四十而不惑）23．（14分）某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为24元/件．”成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．”成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．”根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：要使8+2x有意义，则有8+2x≥0，解得：x≥−4.故答案为：C.【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则8+2x≥0，求解可得x的范围. 2．【答案】D【解析】【解答】A．2和6不能合并，A不符合题意；B．62−2=52，B不符合题意；C．22×32=12，C不符合题意；D．22÷2=2，D符合题意．故答案为：D．【分析】根据二次根式的加减、二次根式的乘除分别计算，再判断即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：方程2x2=3（x﹣6），去括号，得2x2=3x﹣18，整理，得2x2﹣3x+18=0，所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18，故答案为：B.【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.4．【答案】A【解析】【解答】解：∵x2+6x+4=0，∴x2+6x+32=-4+32，∴（x+3）2=5.故答案为：A.【分析】将常数项移到方程的右边，然后配方(方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“32”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即4−4k>0，解得k<1.故答案为：C.【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意，列出不等式，求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：将5x−1=4x2变形为4x2−5x+1=0根据根与系数的关系：x1·x2=ca=14故答案为：B.【分析】先将方程化为一般式，再利用根与系数的关系求解即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵125−45=55−35=25=20，∴4＜20＜5∴125−45的值应在4和5之间.故答案为：B【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再合并，利用估算无理数的大小可知4＜20＜5，即可求解.8．【答案】A【解析】【解答】解：设被污染的数为a，根据题意可得：72−4×4a≥0，解得：a≤49 16，则被污染的数可能是3，故答案为：A．【分析】设被污染的数为a，根据题意列出不等式72−4×4a≥0，再求出a的取值范围即可。

江苏省苏州市高新区2019-2020学年四校联考八年级(下)期中数学试卷解析版

2019-2020学年江苏省苏州市高新区四校联考八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题2分，共计20分）1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．“新冠病毒”的英语“NewCoronavirus”中，字母“o”出现的频率是（）A．B．C．2D．13．下列调查中，适宜采用普查方式的是（）A．了解一批灯泡的寿命B．考察人们保护环境的意识C．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件D．了解全国八年级学生的睡眠时间4．今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）A．2000名学生是总体B．每位学生的数学成绩是个体C．这100名学生是总体的一个样本D．100名学生是样本容量5．下列说法中，不正确的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形6．下列分式的运算正确的是（）A．B．C．D．7．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数是（）A．100°B．160°C．80°D．60°8．如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝6cm，EF＝8cm，则边AB的长度等于（）A．10cm B．9.6cm C．8.4cm D．8cm9．如图，AB∥CD，E、F分别为AC、BD的中点，若AB＝6，CD＝4，则EF的长为（）A．5B．3C．2D．110．如图，正方形ABCD的边长为2，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（不与点A、D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D、C重合），点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点，则有下列结论：①∠BGF是定值；②FB平分∠AFC；③当E运动到AD中点时，GH＝；④当AG+BG＝时，四边形GEDF的面积是．其中正确的是（）A．①③B．①②③C．①③④D．①④二、填空题（每题2分，共计16分）11．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）．12．一只不透明的袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同．搅均后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性摸出黄球可能性．（填“等于”或“小于”或“大于”）．13．分式，的最简公分母为．14．分式的值为0，则x＝．15．关于x的方程有增根，则k的值是．16．已知一个对角线长分别为4cm和6cm的菱形，则菱形的边长是cm．17．如图，在正方形ABCD中，顶点A（﹣2，0），B（2，0），将以BC为斜边的等腰直角△BCE与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第10次旋转结束时，点E的坐标为．18．如图，在菱形ABCD中，点A的坐标为（0，10），点C的纵坐标为2，直线BD的表达式为y＝x+b，交y轴于点E，若2BE＝BD，则菱形ABCD的面积为．三、解答题（共计64分）19．计算：（1）；（2）．20．解方程：（1）；（2）．21．先化简，然后从﹣2≤x＜2的范围内选取一个合适的整数作为x的值求出代数式的值．22．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示：（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2；（3）利用格点图，画出AC边上的高BD，并求出BD的长，BD＝．23．甲、乙两地相距600千米，一辆货车和一辆小汽车同时从甲地出发开往乙地，小汽车的速度是货车的1.2倍，结果小汽车比货车早1个小时到达乙地，求两辆车的速度．24．某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空：a＝%，b＝%，“常常”对应扇形的圆心角度数为；（2）请你补全条形统计图；（3）若该校有3000名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名？25．已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若AC＝BC＝5，AB＝6，求四边形AMCN的面积．26．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC．（1）利用直尺和圆规画出对角线AC的垂直平分线l，垂足为点O，交AB、CD于点E、F；（2）求证：BE＝DF；（3）若AD＝6，AB＝8，求四边形COEB的周长．27．小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为45o的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC或其延长线相交于点E、F，连结EF．【探究发现】（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图（1）所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系：．（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图（2）所示，则线段BE、DF、EF又将满足怎样的数量关系：（请直接写出结果）．【拓展思考】（3）若正方形的边长为6，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长（请写出解答过程）．【创新应用】（4）如图（3）所示，将三角板MPN的锐角顶点P与正方形ABCD的AD边中点重合，边PM、PN分别与正方形ABCD的边AB、BC交于点E、F．若AD＝6，AE＝2，则线段FC＝（请直接写出结果）．2019-2020学年江苏省苏州市高新区四校联考八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．2．“新冠病毒”的英语“NewCoronavirus”中，字母“o”出现的频率是（）A．B．C．2D．1【分析】用字母“o”出现的个数除以总的字母个数即可得出答案．【解答】解：∵字母“o”出现的次数为2，∴该单词中字母“o”出现的频率为＝；故选：B．3．下列调查中，适宜采用普查方式的是（）A．了解一批灯泡的寿命B．考察人们保护环境的意识C．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件D．了解全国八年级学生的睡眠时间【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A、了解一批灯泡的寿命，适合抽样调查，故A不符合题意；B、考察人们保护环境的意识，调查范围广适合抽样调查，故B不符合题意；C、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，适合普查，故C符合题意；D、了解全国八年级学生的睡眠时间，调查范围广适合抽样调查，故D不符合题意；故选：C．4．今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）A．2000名学生是总体B．每位学生的数学成绩是个体C．这100名学生是总体的一个样本D．100名学生是样本容量【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．【解答】解：A、2000名学生的数学成绩是总体，故选项不合题意；B、每位学生的数学成绩是个体，故选项符合题意；C、这100名学生的数学成绩是总体的一个样本，故选项不合题意；D、样本容量是100，故选项不合题意；故选：B．5．下列说法中，不正确的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：一组邻边相等的矩形是正方形，故选项A正确；一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，如右图AD＝BC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD不是矩形，故选项B错误；一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C正确；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；故选：B．6．下列分式的运算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式混合运算的法则对各选项进行逐一解答即可．【解答】解：A、左边＝≠右边，故本选项错误；B、左边＝＝＝右边，故本选项正确；C、左边＝﹣＝﹣≠右边，故本选项错误；D、左边＝≠右边，故本选项错误．故选：B．7．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数是（）A．100°B．160°C．80°D．60°【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A＝∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C＝200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C＝200°，∴∠A＝100°，∴∠B＝180°﹣∠A＝80°．故选：C．8．如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝6cm，EF＝8cm，则边AB的长度等于（）A．10cm B．9.6cm C．8.4cm D．8cm【分析】利用翻折变换的性质得出∠EMH为直角，△AEH≌△MEH，则∠HEA＝∠MEH，AE＝ME，进而得出AE＝BE，再利用勾股定理得出AE的长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：设HF上两个点分别为M、Q，∵M点是A点对折过去的，∴∠EMH为直角，△AEH≌△MEH，∴∠HEA＝∠MEH，AE＝EM，同理∠MEF＝∠BEF，∴∠MEH+∠MEF＝90°，∴∠HEF＝90°，∵M点也是B点对折过去的，∴BE＝EM，∴AE＝BE，∵EH＝6cm，EF＝8cm，∴FH＝＝＝10（cm），∵S△HEF＝×HF×EM，∴AE＝EM＝（cm），∴AB＝AE+BE＝4.8+4.8＝9.6（cm）．故选：B．9．如图，AB∥CD，E、F分别为AC、BD的中点，若AB＝6，CD＝4，则EF的长为（）A．5B．3C．2D．1【分析】连接DE并延长交AB于H，由ASA证得△DCE≌△HAE，得出DE＝HE，DC ＝AH，则EF是△DHB的中位线，再根据中位线的性质即可得出结果．【解答】解：连接DE并延长交AB于H，如图所示：∵CD∥AB，∴∠C＝∠A，∵E是AC中点，∴AE＝CE，在△DCE和△HAE中，，∴△DCE≌△HAE（ASA），∴DE＝HE，DC＝AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF＝BH，∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣DC＝6﹣4＝2，∴EF＝1，故选：D．10．如图，正方形ABCD的边长为2，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（不与点A、D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D、C重合），点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点，则有下列结论：①∠BGF是定值；②FB平分∠AFC；③当E运动到AD中点时，GH＝；④当AG+BG＝时，四边形GEDF的面积是．其中正确的是（）A．①③B．①②③C．①③④D．①④【分析】根据全等三角形的判定与性质，正方形的性质、勾股定理逐一进行判断即可．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠D＝90°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BAG＝∠DAF+∠BAG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴∠BGF是定值；故①正确；②根据题意无法判断∠AFB与∠CFB的大小，FB平分∠AFC；故②错误；③当E运动到AD中点时，当F运动到DC中点，∴CF＝CD＝1，∴BF＝，∵H为BF中点，∴GH＝BF＝；故③正确；④∵△BAE≌△ADF，∴四边形GEDF的面积＝△ABG的面积，当AG+BG＝时，（AG+BG）2＝AG2+2AG•BG+BG2＝6，∵AG2+BG2＝AB2＝4，∴2AG•BG＝2，∴AG•BG＝1，∴S△ABG＝AG•BG＝，∴四边形GEDF的面积是．故④正确．故其中正确的是①③④．故选：C．二．填空题（共8小题）11．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件，故答案为：随机．12．一只不透明的袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同．搅均后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性小于摸出黄球可能性．（填“等于”或“小于”或“大于”）．【分析】先分别求出摸出各种颜色球的概率，再进行比较即可得出答案．【解答】解：∵袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，共有4个球，∴摸到白球的概率是，摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是＝，∴摸出白球可能性＜摸出黄球的可能性；故答案为：小于．13．分式，的最简公分母为6xy2．【分析】利用最简公分母的确定方法可得答案．【解答】解：分式，的最简公分母为6xy2，故答案为：6xy2．14．分式的值为0，则x＝2020．【分析】利用分式值为零的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：x﹣2020＝0，且x+2019≠0，解得：x＝2020，故答案为：2020．15．关于x的方程有增根，则k的值是2．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣3）＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．【解答】解：∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣3＝0，解得x＝3，方程两边都乘（x﹣3），得：x﹣1＝2（x﹣3）+k，当x＝3时，3﹣1＝2（3﹣3）+k，解得k＝2，故答案为：2．16．已知一个对角线长分别为4cm和6cm的菱形，则菱形的边长是cm．【分析】由菱形的性质可求得OA，OB的长，然后由勾股定理即可求得边AB的长，继而求得答案．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4cm，BD＝6cm，∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝AC＝2cm，OB＝BD＝3cm，AC⊥BD，在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB＝＝＝（cm）；即菱形的边长是cm，故答案为：．17．如图，在正方形ABCD中，顶点A（﹣2，0），B（2，0），将以BC为斜边的等腰直角△BCE与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第10次旋转结束时，点E的坐标为（﹣4，﹣2）．【分析】过点E作EF⊥x轴于点F，根据A（﹣2，0），B（2，0），四边形ABCD是正方形，可得AB＝BC＝4，∠CBA＝∠CBF＝90，根据△BCE是等腰直角三角形，可得△EBF 是等腰直角三角形，可得E（4，2），再根据旋转的性质可得每4次一个循环，进而可得第10次旋转结束时，点E的坐标．【解答】解：如图，过点E作EF⊥x轴于点F，∵A（﹣2，0），B（2，0），四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∠CBA＝∠CBF＝90，∵△BCE是等腰直角三角形，∴∠CBE＝∠EBF＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴BE＝BC＝2，∴EF＝BF＝BE＝2，∴OF＝4，∴E（4，2），∵将以BC为斜边的等腰直角△BCE与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，∴第1次旋转结束时，点E的坐标为（2，﹣4）；第2次旋转结束时，点E的坐标为（﹣4，﹣2）；第3次旋转结束时，点E的坐标为（﹣2，4）；第4次旋转结束时，点E的坐标为（4，2）；…∴每4次一个循环，∵10÷4＝2…2，∴第10次旋转结束时，点E的坐标为（﹣4，﹣2）．故答案为：（﹣4，﹣2）．18．如图，在菱形ABCD中，点A的坐标为（0，10），点C的纵坐标为2，直线BD的表达式为y＝x+b，交y轴于点E，若2BE＝BD，则菱形ABCD的面积为32．【分析】连接AC交BD与点Q，根据菱形的性质得出AC⊥直线l，且BQ＝DQ，AQ＝CQ，即可求得直线AC的解析式为y＝﹣x+10，进而求得C的坐标，从而求得Q的坐标以及AC的长，把Q的坐标代入y＝x+b，求得b的值，即可求得E的坐标，根据勾股定理求得EQ，根据2BE＝BD，即可得到EQ＝BD，然后根据菱形的面积公式即可求得．【解答】解：连接AC交BD于点Q，如图所示．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥直线l，且BQ＝DQ，AQ＝CQ，∵点A的坐标为（0，10），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+10，∵点C的纵坐标为2，∴把y＝2代入y＝﹣x+10得x＝8，∴C（8，2），∴Q（4，6），把Q的坐标代入y＝x+b得，6＝4+b，解得b＝2，∴直线l为y＝x+2，∴E（0，2），∴EQ＝＝4，∵2BE＝BD，2BQ＝BD，∴BQ＝BE＝EQ＝2，∴BD＝4，∵AC＝＝8，∴菱形ABCD的面积为＝＝32，故答案为32．三．解答题19．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先根据同分母的分式相减法则进行计算，再化成最简分式即可；（2）先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝a﹣1；（2）原式＝•＝1．20．解方程：（1）；（2）．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：x+1＝2x，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解；（2）去分母得：x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是增根，分式方程无解．21．先化简，然后从﹣2≤x＜2的范围内选取一个合适的整数作为x的值求出代数式的值．【分析】直接利用分式的加减运算法则将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝÷[﹣]＝÷＝•＝﹣，∵从﹣2≤x＜2的范围内选取一个合适的整数，∴当x＝﹣2时，原式＝﹣＝．22．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示：（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2；（3）利用格点图，画出AC边上的高BD，并求出BD的长，BD＝．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．（3）利用面积法求出BD即可．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．（2）△A2B2C2如图所示．（3）如图线段BD即为所求．∵S△ABC＝•AC•BD，∴BD＝＝．故答案为．23．甲、乙两地相距600千米，一辆货车和一辆小汽车同时从甲地出发开往乙地，小汽车的速度是货车的1.2倍，结果小汽车比货车早1个小时到达乙地，求两辆车的速度．【分析】设货车的速度为x千米/时，则小汽车的速度为1.2x千米/时，根据时间＝路程÷速度结合小汽车比货车少用1小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设货车的速度为x千米/时，则小汽车的速度为1.2x千米/时，依题意，得：﹣＝1，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝120．答：货车的速度为100千米/时，小汽车的速度为120千米/时．24．某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空：a＝12%，b＝36%，“常常”对应扇形的圆心角度数为108°；（2）请你补全条形统计图；（3）若该校有3000名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名？【分析】（1）“有时”的有44人，占调查人数的22%，可求出调查人数，进而求出a、b 的值，“常常”所对应的圆心角的度数为360°的30%；（2）求出“常常”的人数，即可补全条形统计图；（3）根据“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正所占的百分比，求出相应的人数即可．【解答】解：（1）44÷22%＝200（人），a＝24÷200＝12%，b＝72÷200＝36%，360°×30%＝108°，故答案为：12，36，108°；（2）200×30%＝60（人），补全条形统计图如图所示：（3）3000×30%＝900（人），3000×36%＝1080（人），答：“常常”对错题进行整理、分析、改正的有900人，“总是”对错题进行整理、分析、改正的有1080人．25．已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若AC＝BC＝5，AB＝6，求四边形AMCN的面积．【分析】（1）由题意可得AB∥CD，AB＝CD，又由M，N分别是AB和CD的中点可得AM＝∥CN，即可得出结论；（2）根据等腰三角形的性质可得CM⊥AB，AM＝3，根据勾股定理可得CM＝4，则可求面积．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵M，N分别为AB和CD的中点，∴AM＝AB，CN＝CD，∴AM＝CN，且AB∥CD，∴四边形AMCN是平行四边形；（2）∵AC＝BC＝5，AB＝6，M是AB中点，∴AM＝MB＝3，CM⊥AM，∴CM＝，∵四边形AMCN是平行四边形，且CM⊥AM，∴AMCN是矩形，∴S四边形AMCN＝12．26．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC．（1）利用直尺和圆规画出对角线AC的垂直平分线l，垂足为点O，交AB、CD于点E、F；（2）求证：BE＝DF；（3）若AD＝6，AB＝8，求四边形COEB的周长．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）证明△AOE≌△COF（AAS），推出AE＝CF，可得结论．（3）连接EC．解直角三角形求出AE，OE即可解决问题．【解答】（1）解：如图，直线EF即为所求．（2）证明：∵EF垂直平分线段AC，∴OA＝OC，∵AE∥CF，∴∠AEO＝∠CFO，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF，∵AB＝CD，∴BE＝DF．（3）解：连接EC．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝8，∠B＝90°，∴AC＝＝＝10，∴OA＝OC＝5，设EA＝EC＝x，在Rt△ECB中，则有x2＝62+（8﹣x）2，∴x＝，∴AE＝EC＝，∴OE＝＝＝，∴BE＝AD﹣AE＝8﹣＝∴四边形OEBC的周长＝5+++6＝．27．小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为45o的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC或其延长线相交于点E、F，连结EF．【探究发现】（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图（1）所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系：EF＝BE+DF．（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图（2）所示，则线段BE、DF、EF又将满足怎样的数量关系：EF＝DF﹣BE（请直接写出结果）．【拓展思考】（3）若正方形的边长为6，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长（请写出解答过程）．【创新应用】（4）如图（3）所示，将三角板MPN的锐角顶点P与正方形ABCD的AD边中点重合，边PM、PN分别与正方形ABCD的边AB、BC交于点E、F．若AD＝6，AE＝2，则线段FC＝（请直接写出结果）．【分析】（1）如图（1）中，结论：EF＝BE+DF．延长FD至G，使DG＝BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证△GAF≌△EAF即可．（2）如图（2）中，结论：EF＝DF﹣BE．在DC上截取DH＝BE，连接AH，先证△ADH ≌△ABE，再证△HAF≌EAF即可．（3）分两种情形：①当MA经过BC的中点E时，设FD＝x，②当NA经过BC的中点G时，分别利用勾股定理构建方程求解．（4）如图（3）中，取BC的中点T，AB的中点G，CD的中点H，连接PT，GH交于点O，设PN交OG于J．构造（1）中模型，利用结论求出OJ，FT即可解决问题．【解答】解：（1）结论：EF＝BE+DF．理由：如图（1）中，延长FD至G，使DG＝BE，连接AG，如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝ADG＝∠DAB＝90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠DAG＝∠EAB，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠DAF+∠DAG＝45°，∴∠GAF＝∠EAF＝45°，在△GAF和△EAF中，，∴△GAF≌△EAF（SAS），∴EF＝GF，∴GF＝DF+DG＝DF+BE，即：EF＝DF+BE．故答案为：EF＝DF+BE．（2）结论：EF＝DF﹣BE．理由：如图（2）中，在DC上截取DH＝BE，连接AH，如图②，在△ADH和△ABE中，，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AH＝AE，∠DAH＝∠EAB，∵∠EAF＝∠EAB+∠BAF＝45°，∴∠DAH+∠BAF＝45°，∴∠HAF＝45°＝∠EAF，在△HAF和△EAF中，，∴△HAF≌EAF（SAS），∴HF＝EF，∵DF＝DH+HF，∴EF＝DF﹣BE．故答案为：EF＝DF﹣BE．（3）①当MA经过BC的中点E时，设FD＝x，则FG＝EF＝3+x，FC＝6﹣x．在Rt△EFC中，（x+3）2＝（6﹣x）2+32，∴x＝2，∴EF＝x+3＝5．②当NA经过BC的中点G时，设BE＝x，则EC＝6+x，EF＝12﹣x，∴CG＝BC＝3，CF＝AB＝6，由勾股定理得到：（6+x）2+62＝（12﹣x）2，∴x＝2，∴EF＝12﹣2＝10．（4）如图（3）中，取BC的中点T，AB的中点G，CD的中点H，连接PT，GH交于点O，设PN交OG于J．∵P，G，T，H分别是正方形ABCD的四边中点，∴AG＝DH，AG∥DH，∴四边形ADHG是平行四边形，同法可证，四边形ABTP是平行四边形，∴OG∥AP，OP∥AG，∴四边形APOG是平行四边形，∵AP＝AG，∠A＝90°，∴四边形APOG是正方形，由（1）可知，EJ＝AE+OJ，设OJ＝x，则GJ＝3﹣x，EJ＝x+2，在Rt△GJE中，∵EG2+GJ2＝EJ2，∴12+（3﹣x）2＝（x+2）2，∴x＝，∴OJ＝，∵OJ∥BC，OP＝OT，∴PJ＝JF，∴TF＝2OJ＝，∴CF＝FT+CT＝+3＝．故答案为：．。

2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区四校联考八年级(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区四校联考八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共6小题）.1．（2分）下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列各式正确的是（）A．B．|3.14﹣π|＝π﹣3.14C．D．3．（2分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去4．（2分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确5．（2分）如图所示，△ABC中，AB＝BC＝AC，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．75°D．60°6．（2分）如图的方格纸中每一个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC为等腰三角形，这样的格点的个数有（）A．8个B．9个C．10个D．11个二、填空题（共10小题）.7．（2分）比较大小：2．8．（2分）角是轴对称图形，是它的对称轴．9．（2分）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，e是的整数部分，f是的小数部分，求代数式﹣+e﹣f＝．10．（2分）等腰三角形的一个内角为70°，另外两个内角的度数为．11．（2分）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯米．12．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△BCD的周长为13，则△ABC的周长是．13．（2分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是．15．（2分）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是．16．（2分）如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为．三、解答题（共8小题，共68分.）17．（8分）计算（1）（﹣2）2+；（2）+（π﹣3）0﹣|1﹣|．18．（10分）求下列各式中的x：（1）（x+2）2＝4；（2）1+（x﹣1）3＝﹣7．19．（8分）如图，已知直线l及直线l外一点P．（1）求作：直线PQ，使得PQ⊥l．（保留作图痕迹）（2）证明：PQ⊥l．20．（8分）如图，点D，E分别是三角形△ABC边BC上的点，若AB＝AC，BE＝CD，求证：AD＝AE．21．（6分）已知：△ABC和△ECD是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D在AB的延长线上．求证：AE2+AD2＝ED2．22．（6分）如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求图中△ABC的周长和面积．23．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在BC上且满足PA＝PB，则此时t＝．（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；（3）在点P运动过程中，若△ACP为等腰三角形，则此时t＝．24．（12分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，BC边上的中线AD的取值范围．（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q使得DQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜14，则AD的取值范围是．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC ＝90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．参考答案一、选择题（共6小题）.1．（2分）下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．2．（2分）下列各式正确的是（）A．B．|3.14﹣π|＝π﹣3.14C．D．解：A、＝9，故本选项错误；B、正确；C、＝2，故本选项错误；D、已是最简形式，并且不是同类项，不用计算，故本选项错误．故选：B．3．（2分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．故选：C．4．（2分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．5．（2分）如图所示，△ABC中，AB＝BC＝AC，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．75°D．60°解：在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠APE＝∠ABC＝60°．故选：D．6．（2分）如图的方格纸中每一个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC为等腰三角形，这样的格点的个数有（）A．8个B．9个C．10个D．11个解：图中的黑点为C点所在位置，这样的C点共有9个．故选：B．二、填空题（共10小题）.7．（2分）比较大小：＞2．解：＝9，23＝8，∵9＞8，∴＞2．故答案为：＞．8．（2分）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”．故答案为：角平分线所在的直线．9．（2分）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，e是的整数部分，f是的小数部分，求代数式﹣+e﹣f＝4﹣．解：∵实数a、b互为相反数，∴a+b＝0，∵c、d互为倒数，∴cd＝1，∵3＜＜4，∴的整数部分为3，e＝3，∵2＜＜3，∴的小数部分为﹣2，即f＝﹣2，∴﹣+e﹣f＝﹣+3﹣（﹣2）＝0﹣1+3﹣+2＝4﹣，故答案为：4﹣．10．（2分）等腰三角形的一个内角为70°，另外两个内角的度数为55°，55°或70°，40°．解：分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．故填55°，55°或70°，40°．11．（2分）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯17米．解：根据勾股定理，楼梯水平长度为＝12米，则红地毯至少要12+5＝17米长，故答案为：17．12．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△BCD的周长为13，则△ABC的周长是19．解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，∵△BCD的周长为13，∴BC+BD+CD＝13，∴BC+BD+DA＝BC+AB＝13，∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝13+6＝19，故答案为：19．13．（2分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为4．解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△BND中，x2+32＝（9﹣x）2，解得x＝4．故线段BN的长为4．故答案为：4．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是．解：连接AM，∵AB＝AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，又S△AMC＝MN•AC＝AM•MC，∴MN＝＝．15．（2分）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是50°．解：过点E作EN⊥BD，垂足为N，作EM⊥AC，垂足为M，作EF⊥AB，交BA的延长线于F，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴EF＝EN＝EM，∴E点在∠FAC的角平分线上，∴∠CAE＝∠CAF，∵∠CAF+∠BAC＝180°，∠BAC＝80°，∴∠CAF＝100°，∴∠CAE＝50°．16．（2分）如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为8．解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，连接OP，则OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形．△PMN的周长＝P1P2，∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝8．故答案为：8．三、解答题（本大题共8小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算（1）（﹣2）2+；（2）+（π﹣3）0﹣|1﹣|．解：（1）原式＝4+4﹣2＝6；（2）原式＝+1﹣（﹣1）＝﹣．18．（10分）求下列各式中的x：（1）（x+2）2＝4；（2）1+（x﹣1）3＝﹣7．解：（1）x+2＝±2，∴x+2＝2或x+2＝﹣2，∴x＝0或﹣4；（2）（x﹣1）3＝﹣8，x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1．19．（8分）如图，已知直线l及直线l外一点P．（1）求作：直线PQ，使得PQ⊥l．（保留作图痕迹）（2）证明：PQ⊥l．【解答】（1）解：如图，直线PQ即为所求．（2）证明：由作图可知，PC＝PD，CQ＝QD，∴PQ垂直平分线段CD，∴PQ⊥直线l．20．（8分）如图，点D，E分别是三角形△ABC边BC上的点，若AB＝AC，BE＝CD，求证：AD＝AE．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE．21．（6分）已知：△ABC和△ECD是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D在AB的延长线上．求证：AE2+AD2＝ED2．【解答】证明：∵BC＝AC，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°．∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴BC＝CA，CD＝CE，∠BCD＝∠ECA，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴∠CAE＝∠CBD＝135°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAB＝90°，∴AD2+AE2＝ED2．22．（6分）如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求图中△ABC的周长和面积．解：在△ABD中，∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BC，在Rt△ADC中，∵AD＝12m，AC＝15m，∴DC＝＝9（m），∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝13+15+5+9＝42m，△ABC的面积为：×BC×AD＝×14×12＝84m2．23．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在BC上且满足PA＝PB，则此时t＝．（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；（3）在点P运动过程中，若△ACP为等腰三角形，则此时t＝或或或3．解：（1）如图，设PB＝PA＝x，则PC＝4﹣x，∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，∴AC＝3cm，在Rt△ACP中，AC2+PC2＝AP2，∴32+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，∴BP＝，∴t＝＝＝．故答案为：．（2）如图，过P作PD⊥AB于D，∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，∴PD＝PC，BC＝BD＝4，∴AD＝5﹣4＝1，设PD＝PC＝y，则AP＝3﹣y，在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，∴12+y2＝（3﹣y）2，解得y＝，∴CP＝，∴t＝＝＝，当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t＝＝．综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为或．（3）分四种情况：①如图，当P在AB上且AP＝CP时，∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠B＝∠BCP，∴CP＝BP，∴P是AB的中点，即AP＝AB＝，∴t＝＝．②如图，当P在AB上且AP＝CA＝3时，t＝＝．③如图，当P在AB上且AC＝PC时，过C作CD⊥AB于D，则CD＝＝，∴Rt△ACD中，AD＝，∴AP＝2AD＝，∴t＝＝．④如图，当P在BC上且AC＝PC＝3时，BP＝4﹣3＝1，∴t＝＝＝3．综上所述，当t＝或或或3时，△ACP为等腰三角形．故答案为：或或或3．24．（12分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，BC边上的中线AD的取值范围．（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q使得DQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜14，则AD的取值范围是2＜AD＜7．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC ＝90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．解：（1）延长AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△QDB和△ADC中，，∴△QDB≌△ADC（SAS），∴BQ＝AC＝5，在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，∴4＜AQ＜14，∴2＜AD＜7，故答案为：2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，∴∠BQD＝∠CAD，∴AC∥BQ；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由：如图2，延长AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ，由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，∵AC＝AF，∴BQ＝AF，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，∴∠BAC+ABQ＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABQ＝∠EAF，在△ABQ和△EAF中，，∴△ABQ≌△EAF，∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，延长DA交EF于P，∵∠BAE＝90°，∴∠BAQ+∠EAP＝90°，∴∠AEF+∠EAP＝90°，∴∠APE＝90°，∴AD⊥EF，∵AD＝DQ，∴AQ＝2AD，∵AQ＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD，AD⊥EF．。

2022-2023学年山东省济南市商河县四校联考八年级(上)期中数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年山东省济南市商河县四校联考八年级（上）期中数学试卷1. 下列数中，是无理数的是( )A. √7B. 227C. 0D. −12. 下列计算正确的是( )A. √8=4B. √3383=32C. √25=±5D. √(−1)2=−13. 下列各组数据中，是勾股数的是( )A. 15，112，113 B. 9，40，41 C. 0.7，2.4，2.5 D. 32，42，524. 点P 在第三象限，点P 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，则P 点的坐标是( )A. (3,4)B. (−3,−4)C. (4,3)D. (−4,−3)5. 实数a 在数轴上的对应位置如图所示，则√a 2+1+|a −1|的化简结果是( )A. 1B. 2C. 2aD. 1−2a6. 如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，以点A 为圆心，AB 为半径画弧交网格线于点D ，则ED 的长为( )A. √5B. 3C. 2D. √137. 一次函数y =−3x +1的图象过点(x 1,y 1)，(x 1+1,y 2)，(x 1+2,y 3)，则( )A. y 1<y 2<y 3B. y 3<y 2<y 1C. y 2<y 1<y 3D. y 3<y 1<y 28. 如图中表示一次函数y =ax +b 与正比例函数y =abx(a,b 是常数，且ab <0)图象的是( )A.B.C.D.9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，AB =6，若以AC 边和BC 边向外作等腰直角三角形AFC 和等腰直角三角形BEC.若△BEC 的面积为S 1，△AFC 的面积为S 2，则S 1+S 2=( )A. 36B. 18C. 9D. 410.如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D.则BD的长为( )A. 2√53B. 3√54C. 4√55D. 3√5511.若√(x−3)2=3−x成立，则x满足的条件是______.12.已知点M关于y轴的对称点N的坐标是(−5,4)，则点M的坐标是______.13.如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为______cm2.14.有一个数值转换器，原理如图．当输入的x=16时，输出的y等于______.15.如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm.16.规定以下两种变换：①f(m,n)=(−m,n)，如f(2,1)=(−2,1)；②g(m,n)=(−n,−m)，如g(2,1)=(−1,−2).按照以上变换有：f[g(3,4)]=f(−4,−3)=(4,−3)，那么g[f(−2,3)]等于______.17.计算：(1)√24×√3；√8(2)√3−√12+2√27；(3)(2√3−1)2+(√3+2)(√3−2)；(4)4×2−2+(√5−1)0−|−2|+√2×√8.18.已知−27的立方根是m−12，2是n−3的一个平方根，求m+n的值．19.已知：y与x+3成正比例，且当x=1时，y=−8.(1)求y与x之间的函数解析式；(2)若点M(m,4)在这个函数的图象上，求m的值．20.如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90∘.(1)判断∠D是否是直角，并说明理由．(2)求四边形ABCD的面积．21.如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为(3,3)，点B的坐标为(−4,3)，点P为直线AB上任意一点(不与A、B重合)，点Q是点P关于y轴的对称点．(1)请求出△ABO的面积．(2)设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为______.(3)设△OPA和△OPQ的面积相等，且点P在点Q的右侧，请写出此时P点坐标______.22.如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm.(1)观察图形，填写如表；链条节数/x(节)234…链条长度/y(cm) 4.2 5.9______…(2)请你写出y与x之间的关系式；(3)如果一辆自行车的链条(安装前)共由40节链条组成，那么链条的总长度是多少？23.阅读下面计算过程：1√2+1=1×(√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1；1√3+√2=1×(√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；1√5+2=1×(√5−2)(√5+2)(√5−2)=√5−2.请解决下列问题(1)试化简：1√3+2=______；(2)根据上面的规律，请直接写出1√n+1+√n=______；(3)利用上面的解法，请化简：11+√2+1√2+√3+1√3+√4+…+1√2021+√2022.24.如图，已知△ABC中，∠B=90∘，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．(1)P、Q出发4秒后，求PQ的长；(2)当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？25.如图，在直角坐标系中，已知直线y=−3x+3与x轴相交于点A与y轴交于点B.2(1)A、B两点坐标分别为______，______；(2)点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，求点C的坐标；(3)点M(3,0)在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当S△PBM=S△AOB时，求点P的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.√7是无理数，故本选项符合题意； B .227是分数，属于有理数，故本选项不合题意； C .0是整数，属于有理数，故本选项不合题意； D .−1是整数，属于有理数，故本选项不合题意．故选：A.无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…(每两个1之间0的个数依次加1)，等有这样规律的数．2.【答案】B【解析】解：A 、原式=2√2，故A 不符合题意． B 、原式=√2783=32，故B 符合题意． C 、原式=5，故C 不符合题意． D 、原式=1，故D 不符合题意．故选：B.根据二次根式的性质以及立方根的性质即可求出答案．本题考查二次根式的性质以及立方根的性质，本题属于基础题型．3.【答案】B【解析】解：A 、15，112，113都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；B 、92+402=412，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；C 、0.7，2.4，2.5都不是整数，故不是勾股数，不符合题意；D 、32+42≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意；故选：B.欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．4.【答案】D【解析】解：点P在第三象限，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则P点的坐标是(−4,−3)，故选：D.根据点P到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据第三象限点的坐标特征(−,−)即可解答．本题考查了点的坐标，熟练掌握点P到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据数轴得：0<a<1，∴a>0，a−1<0，∴原式=|a|+1+1−a=a+1+1−a=2.故选：B.根据数轴得：0<a<1，得到a>0，a−1<0，根据√a2=|a|和绝对值的性质化简即可．本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握√a2=|a|是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：如下图，连接AD，则AD=AB=3，AE=2，在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2，∴DE=√32−22=√5，故选A.连接AD，则AD=AB=3，三角形AED为直角三角形，由勾股定理可算出DE的长．本题主要考查了勾股定理的简单应用，看出点B，点D在同弧上，则AB=AD=3，是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵一次函数y=−3x+1中，k=−3<0，∴y随着x的增大而减小．∵一次函数y=−3x+1的图象过点(x1,y1)，(x1+1,y2)，(x1+2,y3)，且x1<x1+1<x1+2，∴y3<y2<y1，故选：B.本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的性质，再根据x1<x1+1<x1+2即可得出结论．8.【答案】A【解析】解：若a>0，b>0，则y=ax+b经过一、二、三象限，y=abx经过一、三象限，若a>0，b<0，则y=ax+b经过一、三、四象限，y=abx经过二、四象限，若a<0，b<0则y=ax+b经过二、三、四象限，y=abx经过一、三象限，若a<0，b>0则y=ax+b经过一、二、四象限，y=abx经过二、四象限，故选：A.将a、b与0进行比较，然后分情况讨论其图象的位置．本题考查一次函数的图象，解题的关键是正确待定系数k与b的作用，本题属于基础题型．9.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=36，∵△AFC和△CBE是等腰直角三角形，∴S1+S2=12AC2+12BC2=12(AC2+BC2)=12×36=18，故选：B.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2=36，再由三角形面积公式即可得出结论．本题主要考查了勾股定理和等腰直角三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：如图，由勾股定理得AC=√12+22=√5.∵1 2BC×2=12AC⋅BD，即12×2×2=12×√5BD∴BD=4√55.故选：C.利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度．本题考查了勾股定理，三角形的面积．利用面积法求得线段BD的长度是解题的关键．11.【答案】x≤3【解析】解：∵√(x−3)2=3−x，∴x−3≤0，解得x≤3.故答案为：x≤3.利用得到√(x−3)2=3−x，得到x−3≤0，然后解不等式即可．本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．12.【答案】(5,4)【解析】解：已知点M关于y轴的对称点N的坐标是(−5,4)，则点M的坐标是(5,4).故答案为：(5,4).根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出a、b，然后相加计算即可得解．本题主要考查关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．13.【答案】6【解析】【分析】此题考查了折叠的性质以及勾股定理．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED.∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE.∴BE=9−AE，根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2.∴32+AE2=(9−AE)2.解得：AE=4cm.×3×4=6(cm2).∴△ABE的面积为：12故答案为6.14.【答案】√2【解析】解：第1次计算得，√16=4，而4是有理数，因此第2次计算得，√4=2，而2是有理数，因此第3次计算得，√2，√2是无理数，故答案为：√2.根据数值转换器，输入x=16，进行计算即可．本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．15.【答案】13【解析】解：如图，将长方体展开，∵PA=2×(4+2)=12，QA=5∴PQ=13.故答案为：13.要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形．16.【答案】(−3,−2)【解析】解：g[f(−2,3)]=g(2,3)=(−3,−2).故答案为：(−3,−2).直接利用新定义分别化简，进而得出答案．此题主要考查了点的坐标，正确运用新定义化简是解题的关键．17.【答案】解：√24×√3√8=√8√3√3√8=3；(2)√3−√12+2√27=√3−2√3+6√3=5√3；(3)(2√3−1)2+(√3+2)(√3−2)=12−4√3+1+3−4=12−4√3；(4)4×2−2+(√5−1)0−|−2|+√2×√8=4×14+1−2+4=1+1−2+4=4.【解析】(1)根据二次根式乘法与除法的运算法则进行运算即可；(2)先化简，再算加减即可；(3)利用平方差公式及完全平方公式进行运算，再算加减即可；(4)先算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，二次根式的乘法，再算乘法，最后算加减即可．本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．18.【答案】解：∵−27的立方根是m−12，2是n−3的一个平方根，∴m−12=−3，n−3=4，∴m=9，n=7，∴m+n=9+7=16，∴m+n的值为16.【解析】根据平方根与立方根的意义可得m−12=−3，n−3=4，从而可得m=9，n=7，然后代入式子中进行计算即可解答．本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键．19.【答案】解：(1)根据题意：设y=k(x+3)，把x=1，y=8代入得：8=k(1+3)，解得：k=2.则y与x函数关系式为y=2(x+3)=2x+6；(2)把点M(m,4)代入y=2x+6得：4=2m+6，解得m=−1.【解析】(1)根据y与x+3成正比，设y=k(x+3)，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出关系式；(2)把点M(m,4)代入一次函数解析式求出a的值即可．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20.【答案】解：(1)连接AC，因为∠B=90∘，所以AC2=BA2+BC2=400+225=625，因为DA2+CD2=242+72=625，所以AC2=DA2+DC2，所以△ADC是直角三角形，即∠D是直角；(2)因为S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC，所以S四边形ABCD =12AB⋅BC+12AD⋅CD=12×20×15+12×24×7=234.【解析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．(1)连接AC，根据勾股定理可知AC2=BA2+BC2，再根据AC2=DA2+DC2即可得出结论；(2)根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC即可得出结论．21.【答案】(−a,3)(1,3)【解析】解：(1)∵A的坐标为(3,3)，点B的坐标为(−4,3)，∴AB=3−(−4)=3+4=7，×7×3=10.5；∴S△ABO=12(2)∵P为直线AB上任意一点，点P的横坐标为a，点Q是点P关于y轴的对称点，∴P(a,3)，则点Q的坐标为(−a,3)；故答案为：(−a,3)；(3)∵△OPA和△OPQ面积相等，点O到直线AB的距离都是3，∴AP=PQ，设此时P的坐标为(n,3)，则点Q坐标为(−n,3)，则有3−n=n−(−n)，解得：n=1，则P坐标为(1,3).故答案为：(1,3).(1)根据三角形面积公式计算即可；(2)关于y轴对称的纵坐标相等，横坐标互为相反数，计算即可；(3)根据等底同高的两个三角形面积相等，计算即可求出P的坐标．此题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，以及三角形面积，熟练掌握关于x轴，y轴对称点的特征是解本题的关键．22.【答案】7.6【解析】解：(1)当x=4时，y=5.9+1.7=7.6，故答案为：7.6；(2)根据题意，得y=2.5+(2.5−0.8)(x−1)=1.7x+0.8，∴y与x的关系式为y=1.7x+0.8；(3)当x=40时，y=1.7×40+0.8=68.8(cm)，答：链条的总长度是68.8cm.(1)根据题意可知x=4时，y的值；(2)根据表格可知y与x的关系式；(3)将x=40代入(2)中函数关系式即可．本题考查了函数关系式，根据表格信息表示出函数关系式是解题的关键．23.【答案】2−√3√n+1−√n【解析】解：√3+2=√3(2+√3)×(2−√3) =2−√34−3 =2−√3，故答案为：2−√3；(2)由题意得：√n+1+√n =√n +1−√n ，故答案为：√n +1−√n ；1+√2√2+√3√3+√4+…√2021+√2022=√2−1+√3−√2+√4−√3+…+√2022−√2021=√2022−1.(1)利用分母有理化的法则进行运算即可；(2)分析所给的式子的形式，从而可求解；(3)利用(2)的规律进行求解即可．本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．24.【答案】解：(1)由题意可得，BQ =2×4=8(cm)，BP =AB −AP =16−1×4=12(cm)，∵∠B =90∘，∴PQ =√BP 2+BQ 2=√122+82=4√13(cm)，即PQ 的长为4√13cm ；(2)当BQ ⊥AC 时，∠BQC =90∘，∵∠B =90∘，AB =16cm ，BC =12cm ，∴AC =√AB 2+BC 2=√162+122=20(cm)，∵AB⋅BC 2=AC⋅BQ 2， ∴16×122=20BQ 2，解得BQ =485cm ，∴CQ =√BC 2−BQ 2=√122−(485)2=365(cm)，∴当△CQB 是直角三角形时，经过的时间为：(12+365)÷2=9.6(秒)；当∠CBQ =90∘时，点Q 运动到点A ，此时运动的时间为：(12+20)÷2=16(秒)；由上可得，当点Q 在边CA 上运动时，出发9.6秒或16秒后，△CQB 能形成直角三角形．【解析】(1)根据题意可以先求出BQ和BP的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长；(2)根据题意可知存在两种情况，然后分别计算出相应的时间即可．本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．25.【答案】(2,0)(0,3)x+3，【解析】解：(1)对于直线y=−32当x=0时，y=3.∴B(0,3)，x+3=0，当y=0时，−32∴x=2，∴A(2,0).故答案为：(2,0)，(0,3)；(2)如图，①当AB=BC时，点C与点A(2,0)关于y轴对称，故C(−2,0)符合题意；②当AB=AC时，∵A(2,0)，B(0,3)，∴AB=√22+32=√13，∵AB=AC′=√13，∴C′(√13+2,0)、C′′(2−√13,0).综上所述，符合条件的点C的坐标是(−2,0)或(√13+2,0)或(2−√13,0)；(3)∵M(3,0)，∴OM=3，∴AM=3−2=1.×2×3=3，∵S△AOB=12∴S△PBM=S△AOB=3；①当点P在x轴下方时，S△PBM=S△PAM+S△ABM=12⋅AM⋅OB+12⋅AM⋅|y P|=12×1×3+12×1×|y P|=3，∴|y P|=3，∵点P在x轴下方，∴y P=−3，当y=−3时，代入y=−32x+3得，−3=−32x+3，解得x=4.∴P(4,−3)；②当点P在x轴上方时，S△PBM=S△APM−S△ABM=12⋅AM⋅|y P|−12⋅AM⋅OB=12×1×|y P|−12×1×3=3，∴|y P|=9，∵点P在x轴上方，∴y P=9.当y=9时，代入y=−32x+3得，9=−32x+3，解得x=−4.∴P′(−4,9)，综上所述，满足条件的点P的坐标为(4,−3)或(−4,9).(1)根据直线y=−32x+3，令y=0求出x的值，令x=0求出y的值，即可得点A、B的坐标；(2)根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答；(3)分类讨论：点P在x轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点P的坐标即可．本题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度是解题的关键．另外，注意分类讨论和“数形结合”数学思想的应用．。

2019-2020学年广东省惠州市惠城区四校八年级下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年广东省惠州市惠城区四校八年级第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤13．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a＝2，b＝4，c＝6B．a＝4，b＝6，c＝8C．a＝4，b＝8，c＝10D．a＝6，b＝8，c＝104．下列命题中错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形5．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．AB＝AD，CB＝CD D．AO＝OC，DO＝OB6．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．12B．16C．20D．247．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为（）A．9B．12C．15D．188．一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为（）A．y＝10x+30B．y＝40x C．y＝10+30x D．y＝20x9．小亮家与姥姥家相距24km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图所示．根据图象得出下列结论，其中错误的是（）A．小亮骑自行车的平均速度是12 km/hB．妈妈比小亮提前0.5 h到达姥姥家C．妈妈在距家12 km处追上小亮D．9：30妈妈追上小亮10．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A．1B．C．D．2二．填空题（共有7题）11．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a＝．12．已知直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm，则此直角三角形斜边上的中线的长为cm．13．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为cm2．14．函数y＝中自变量x的取值范围是．15．若正比例函数y＝（k﹣1）x图象经过一、三象限，则k的取值范围是．16．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD 的周长是．17．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．三.解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）18．计算：（+1）（﹣1）+﹣319．如图E、F、G、H分别是矩形ABCD的各边中点，求证：四边形EFGH是菱形．20．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°．求四边形ABCD的面积．四.解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）21．已知x＝，求x2﹣x+1的值．22．已知y+2与x﹣1成正比例，且x＝3时y＝4．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当y＝1时，求x的值．23．如图，点D在△ABC的边AB上，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接AF．（1）求证：CD＝AF；（2）若∠AED＝2∠ECD，求证：四边形ADCF是矩形．五.解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）24．如图、四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM．（1）判断∠AMB与∠MAE的数量关系，并说明理由；（2）求证：AM＝AD+MC；（3）若AD＝4，求AM的长．25．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P 从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ＝CD．参考答案一．选择题（共10小题）.1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式；B、是最简二次根式；C、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；D、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故选：B．2．式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1解：根据题意，得x﹣1≥0，解得，x≥1．故选：C．3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a＝2，b＝4，c＝6B．a＝4，b＝6，c＝8C．a＝4，b＝8，c＝10D．a＝6，b＝8，c＝10【解答】解；A、∵42+22≠62，∴不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵42+62≠82，∴不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵82+42≠102，∴不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵62+82＝102，∴能组成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．4．下列命题中错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，此选项正确，不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，此选项正确，不符合题意；C．一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，此选项正确，不符合题意；D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；故此选项错误，符合题意．故选：D．5．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．AB＝AD，CB＝CD D．AO＝OC，DO＝OB解：A、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；B、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D．6．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．12B．16C．20D．24解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×6＝24．故选：D．7．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为（）A．9B．12C．15D．18解：过点A作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝18＝9，∴AD＝＝12（cm），∴它底边上的高为12cm；故选：B．8．一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为（）A．y＝10x+30B．y＝40x C．y＝10+30x D．y＝20x解：一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为y＝10x+30，故选：A．9．小亮家与姥姥家相距24km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图所示．根据图象得出下列结论，其中错误的是（）A．小亮骑自行车的平均速度是12 km/hB．妈妈比小亮提前0.5 h到达姥姥家C．妈妈在距家12 km处追上小亮D．9：30妈妈追上小亮解：A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8＝2小时，∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2＝12（km/h），故正确；B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t＝9.5，小亮到姥姥家对应的时间t＝10，10﹣9.5＝0.5（小时），∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；C、由图象可知，当t＝9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9﹣8＝1小时，∴小亮走的路程为：1×12＝12km，∴妈妈在距家12km出追上小亮，故正确；D、由图象可知，当t＝9时，妈妈追上小亮，故错误；故选：D．10．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A．1B．C．D．2解：由已知可得，△ADG≌△A′DG，BD＝5∴A′G＝AG，A′D＝AD＝3，A′B＝5﹣3＝2，BG＝4﹣A′G在Rt△A′BG中，BG2＝A′G2+A′B2可得，A′G＝．则AG＝．故选：C．二．填空题．（本题共有7题，每小题4分，共28分）11．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a＝1．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴1+a＝4﹣2a，解得，a＝1．故答案是：1．12．已知直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm，则此直角三角形斜边上的中线的长为 6.5cm．解：∵直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm∴根据勾股定理斜边的长为：＝13cm∴三角形斜边上的中线的长为×13＝6.5cm．13．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为24cm2．解：菱形的周长为20cm，则边长为5cm，∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得另一对角线的一半为3cm，则另一对角线长6cm，则菱形的面积为6×8×＝24cm2．故答案为24．14．函数y＝中自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠1．解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣2且x≠1．故答案为：x≥﹣2且x≠1．15．若正比例函数y＝（k﹣1）x图象经过一、三象限，则k的取值范围是k＞1．解：由正比例函数y＝（k﹣1）x的图象经过第一、三象限，可得：k﹣1＞0，则k＞1．故答案是：k＞1．16．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD 的周长是20．解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，∵在▱ABCD中，AD＝6，BE＝2，∴AD＝BC＝6，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，∴CD＝AB＝4，∴▱ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．故答案为：20．17．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为2．解：连接DE，交AC于点P，连接BD．∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵AB＝4，E是BC的中点，∴CE＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝2．故答案为：2．三.解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）18．计算：（+1）（﹣1）+﹣3解：原式＝3﹣1+3﹣3×＝2+．19．如图E、F、G、H分别是矩形ABCD的各边中点，求证：四边形EFGH是菱形．【解答】证明：连接BD，AC．∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴AC＝BD，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC同理，FG＝BD，FG∥BD，EH＝BD，EH∥BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH是菱形．20．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°．求四边形ABCD的面积．解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴根据勾股定理AC＝＝5（cm），又∵CD＝12cm，AD＝13cm，∴AC2+DC2＝52+122＝169，AD2＝132＝169，根据勾股定理的逆定理：∠ACD＝90°．∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+×5×12＝36（cm2）．四.解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）21．已知x＝，求x2﹣x+1的值．解：∵x＝＝+1，∴x2﹣x+1＝（+1）2﹣（+1）+1＝4+2﹣﹣1+1＝4+．22．已知y+2与x﹣1成正比例，且x＝3时y＝4．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当y＝1时，求x的值．解：（1）设y+2＝k（x﹣1），把x＝3，y＝4代入得：4+2＝k（3﹣1）解得：k＝3，则函数的解析式是：y+2＝3（x﹣1）即y＝3x﹣5；（2）当y＝1时，3x﹣5＝1．解得x＝2．23．如图，点D在△ABC的边AB上，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接AF．（1）求证：CD＝AF；（2）若∠AED＝2∠ECD，求证：四边形ADCF是矩形．【解答】证明：（1）∵CF∥AB，∴∠EFC＝∠ADE，则在△AED和△CFE中，，∴△AED≌△CFE，∴DE＝FE，又∵AE＝CE，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CD＝AF；（2）∵∠AED＝2∠ECD，∠AED＝∠ECD+∠EDC，∴∠EDC＝∠ECD，∴DE＝EC，又∵DE＝FE，AE＝CE，∴AC＝DF，∴平行四边形ADCF是矩形．五.解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）24．如图、四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM．（1）判断∠AMB与∠MAE的数量关系，并说明理由；（2）求证：AM＝AD+MC；（3）若AD＝4，求AM的长．解：（1）如图1所示：∠AMB与∠MAE的数量关系：∠AMB＝2∠MAE，、理由如下：∵AD∥BC，∴∠DAM＝∠AMB，∵AE平分∠DAM，∴∠MAE＝，∴∠AMB＝2∠MAE．（2）如图2所示：过点E作EF⊥AM交AM于点F，连接EM．∵AE平分∠DAM，DE⊥AD，DF⊥AM，∴ED＝EF，又∵E是CD的中点，∴ED＝EC，∴EF＝EC，AD＝AF在Rt△EFM和Rt△ECM中，，∴Rt△EFM≌Rt△ECM（HL）∴FM＝MC，又∵AM＝AF+FM，∴AM＝AD+MC．（3）设MC＝a，则FM＝a，∵AD＝AF＝AB＝BC，∴AD＝AF＝AB＝BC＝a，∴AM＝AF+FM＝4+a，又∵BC＝BM+MC，∴BM＝4﹣a，在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM2＝AB2+BM2∴（4+a）2＝（4﹣a）2+42解得：a＝1，∴AM＝4+a＝4+1＝5．25．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P 从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ＝CD．解：（1）设经过x（s），四边形PQCD为平行四边形即PD＝CQ所以24﹣x＝3x，解得：x＝6．（2）设经过y（s），四边形PQBA为矩形，即AP＝BQ，所以y＝26﹣3y，解得：y＝．（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形．过Q点作QE⊥AD，过D点作DF⊥BC，∴∠QEP＝∠DFC＝90°∵四边形PQCD是等腰梯形，∴PQ＝DC．又∵AD∥BC，∠B＝90°，∴AB＝QE＝DF．在Rt△EQP和Rt△FDC中，，∴Rt△EQP≌Rt△FDC（HL）．∴FC＝EP＝BC﹣AD＝26﹣24＝2．又∵AE＝BQ＝26﹣3t，∴EP＝AP﹣AE＝t﹣（26﹣3t）＝2．得：t＝7．∴经过7s，PQ＝CD．。

四校联考八年级数学试卷B答案

数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不得分）1 ～ 5：CBADB 6 ～10：DBABC二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11、2 12、1x =- 13、3 14、78 15、3± 16、32.64三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（本题6分）解：在Rt △ABC 中, ∠C =90°, AB =15A sin =AB BC =54, ……………………………………………………………2分 ∴44151255BC AB ==⨯= 912152222=-=-=BC AB AC ………………………………2分∴△ABC 的周长为1215936++=tan A=34=AC BC………………………………2分 18.(本题6分) 解：（1）()214y x =--+∴顶点P (1,4) ……………………………………………………………1分当0y =时，2230x x -++=解得：1213x ,x =-= ……………………………………………………………1分∴314AB ()=--= 182PAB p S AB y =⨯⨯= ……………………………………………………………2分 (2)解释1：改变一次项系数符号得到的新抛物线与原抛物线关于y 轴对称，前后两个△PAB 全等，所以△PAB 的面积不变。

…………………………………………………2分解释1：改变一次项系数符号得到的新抛物线与原抛物线关于y 轴对称，前后两个△PAB 的底边和高均不变解释3：把△PAB 面积再算一遍还是8………（其他解释原因，只要合理即可得2分）19.(本题6分)解：Rt △ABC 中，3cos 5AC A AB == ∴635AB = ∴10AB =，221068BC =-= ………………………………………2分∴阴影正方形边长为8-6=2∴S 阴影=224= ……………………………………………………………2分所以，4110025P ==（阴影） ……………………………………………………2分 20.(本题8分)解：（1）求得A (2，0),B (6,0),C (4,8)求得解析式()2248y x =--+ ……………………………………………………4分（用一般式同样给分）（2）()2228y x =--+或 ()2228y x =-++ ……………………………………4分21.(本题9分) （以下答案不唯一，画对每个图形给3分）22．(本题9分)解：(1)Rt △OAB 中，tan ∠OBA OA 23=AB 323== ∴OBA=30∠ …………………………………………3分(2)①当直线l 与⊙O 相切时线段OD 最大，设切点为E ，连结OE （如图），△OAB ≌△OEB ，则∠OBE =∠OBA =30°，∴∠BDA =90°-2∠OBA =30°∴Rt △ODE 中，OD =2OE =2×2=4∴线段OD 的最大值为4 ………………………………………………………3分 ②过E 作EF ⊥OD 于D ,Rt △OEF 中，∠EOF =60°，OE =2 ∴1OF=cos 60212OE =⨯==1， 3EF=sin 60232OE =⨯= ∴()1,3E - ……………………………………………………………3分23.(本题l 0分)解：设羊绒衫标价为x ，购买人数为y ，商场获得的利润为w ，则： 11y k x b =+旺季，22y k x b =+淡季当0y =旺季时，旺季的无效价格11b x k =-当0y =淡季时，淡季的无效价格22b x k =- 由题意得：121243b b k k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()()()()1121111500500500500w y x k x b x k x b k x b =-=+-=+--旺季旺季由题意得：11150012002b k k --=，化简得：111900b k =- ()2121331900142544b b k k ∴==-=- ……………………………………………………5分 ()()()()2222222500500500500w y x k x b x k x b k x b ∴=-=+-=+--淡季淡季要使淡季时商场的利润最大，则羊绒衫的标价应定为：()22222500212502114252502962.5b k x k b k -=-=-∙+⎛⎫=-∙-+ ⎪⎝⎭=所以，淡季商场的利润最大的羊绒衫标价应为962.5元。

2021-2022学年江苏省南京十二中等四校联考八年级(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年江苏省南京十二中等四校联考八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，怡有一项是符命题目要求的，请将正确选项前的学母代号填涂在答题卡相应位霉上）1．如图，下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．8，15，16C．9，16，25D．12，15，20 3．等腰三角形△ABC的周长为8cm，AB＝2cm，则BC长为（）A．2cm B．3cm C．2或3cm D．4cm4．的平方根是（）A．B．2C．±2D．5．如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．AD＝BC C．∠DAB＝∠CBA D．∠C＝∠D6．如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在箐题卡相应位置上）7．计算：＝．8．如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的大小是．9．如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为．11．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的顶角为．12．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为．13．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD 交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE ＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论有个．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，满足BC＝BD，过点D做DE⊥AB交AC于点E．△ABC的周长为36，△ADE的周长为12，则BC＝．15．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB的取值范围是．16．如图，∠AOB＝30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为．三、解答题（本大题共68分.解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上）17．已知：如图，AB∥ED，AB＝DE，点F，点C在AD上，AF＝DC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）求证：BC∥EF．18．如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．△ABC的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使PB+PC最小；（3）在DE上画出点Q，使|QA1﹣QB|最大．19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E．（1）若AC＝12，BC＝10，求△EBC的周长；（2）若∠A＝40°，求∠EBC的度数．20．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．21．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，且AB＝AC，BE交CD于点O．（1）求证：DB＝EC．（2）求证：AO平分∠BAC．22．我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c．（1）试用图①证明勾股定理；通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（2）用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为；（3）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的等式求a3+b3值为．23．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BCA＝90°，AC＝BC，AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为点D、点E，连接BD．（1）求证：AD＝CE；（2）BE平分∠DBC，①试判断△DBC的形状，并给出证明的过程；②若CE＝4，则△ABD的面积＝．24．【问题引领】问题1：如图1，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，∠BCD＝120°．E，F分别是AB，AD上的点．且∠ECF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接CG，先证明△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF．他得出的正确结论是．【探究思考】问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC+∠ADC ＝180°，∠ECF＝∠BCD，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．【拓展延伸】问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE、DF、EF之间存在什么样的等量关系？并说明理由．25．（1）如图1中，∠A＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请画出直线，并标注底角的度数．（3）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大的内角可能值为．参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，怡有一项是符命题目要求的，请将正确选项前的学母代号填涂在答题卡相应位霉上）1．如图，下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A、B、C都不是轴对称图形，D是轴对称图形，故选：D．2．以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．8，15，16C．9，16，25D．12，15，20【分析】要构成直角三角形必须满足3个数字为勾股数，分别对每个选项的3个数字进行验证即可解题．解：A、∵52+122＝132，∴A正确；B、∵82+152≠162，∴B错误；C、∵92+162≠252，∴C错误；D、∵122+152≠202，∴D错误；故选：A．3．等腰三角形△ABC的周长为8cm，AB＝2cm，则BC长为（）A．2cm B．3cm C．2或3cm D．4cm【分析】按照AB为底边和腰，分类求解．当AB为底边时，BC为腰；当AB腰时，BC 为腰或底边．解：（1）当AB＝2cm为底边时，BC为腰，由等腰三角形的性质，得BC＝（8﹣AB）＝3cm；（2）当AB＝2cm为腰时，①若BC为腰，则BC＝AB＝2cm，不能构成三角形；②若BC为底，则BC＝8﹣2AB＝4cm，不能构成三角形．故选：B．4．的平方根是（）A．B．2C．±2D．【分析】首先根据算术平方根的定义化简，然后根据平方根的定义即可得出结果．解：∵＝4，又∵22＝4，（﹣2）2＝4，∴的平方根为±2；故选：C．5．如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．AD＝BC C．∠DAB＝∠CBA D．∠C＝∠D【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．解：A、∵AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，利用SAS能判定△ABC≌△BAD，不符合题意；B、∵AD＝BC，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，利用SSA不能判定△ABC≌△BAD，符合题意；C、∵∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，∠CAB＝∠DBA，利用ASA能判定△ABC≌△BAD，不符合题意；D、∵∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，利用AAS能判定△ABC≌△BAD，不符合题意；故选：B．6．如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可．解：如图：共3个，故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在箐题卡相应位置上）7．计算：＝﹣3．【分析】根据（﹣3）3＝﹣27，可得出答案．解：＝﹣3．故答案为：﹣3．8．如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的大小是95°．【分析】利用全等图形的定义可得∠D＝∠D′＝130°，然后再利用四边形内角和为360°可得答案．解：∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，∴∠D＝∠D′＝130°，∴∠A＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，故答案为：95°．9．如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是17m．【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5＝17米．故答案为：17m．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为3．【分析】作DP⊥AB于P，根据垂线段最短得到此时PD最小，根据角平分线的性质解答．解：作DP⊥AB于P，则此时PD最小，由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP⊥AB，∴DP＝CD＝3，故答案为：3．11．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的顶角为65°或115°．【分析】题中没有指明这个等腰三角形的形状，故应该分情况进行分析，从而不难求解．解：①如图，∵∠ABD＝25°，∠BDA＝90°，∴∠A＝65°，②如图，∵∠ABD＝25°，∠BDA＝90°，∴∠BAD＝65°，∴∠BAC＝115°，故答案为：65°或115°．12．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为14．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD＝BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝CE＝AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝AC＝5，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4+5+5＝14．故答案为14．13．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD 交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE ＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论有①②③④个．【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF＝CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确．过C作CM ⊥AE于M，CN⊥BD于N，想办法证明CN＝CM即可判断④正确；解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，（①正确）∠CBD＝∠CAE，∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG＝BF，（②正确）同理：△DFC≌△EGC（ASA），∴CF＝CG，∴△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝∠FCB＝60°，∴FG∥BE，（③正确）过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，∵△BCD≌△ACE，∴∠BDC＝∠AEC，∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，∴△CDN≌△CEM，∴CM＝CN，∵CM⊥AE，CN⊥BD，∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）∴∠BOC＝∠EOC，∴④正确；故答案为：①②③④．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，满足BC＝BD，过点D做DE⊥AB交AC于点E．△ABC的周长为36，△ADE的周长为12，则BC＝12．【分析】设BC＝BD＝x，AD＝y，△BCE和△BDE全等，根据全等三角形的性质进行解答．解：连接BE，∵∠C＝90°，DE⊥AB，在Rt△BCE与Rt△BDE中，，∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），∴CE＝DE，设BC＝BD＝x，∵△ABC的周长为36，△ADE的周长为12，∴BC+BD+CE+AD+AE＝BC+BD+DE+AD+AE＝x+x+12＝36，解得：x＝12，即BC＝12．故答案为：12．15．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB的取值范围是3＜AB＜13．【分析】作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE，∵AD＝4，∴AE＝4+4＝8，∵8+5＝13，8﹣5＝3，∴3＜CE＜13，即3＜AB＜13．故答案为：3＜AB＜13．16．如图，∠AOB＝30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为6．【分析】作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连接P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可．解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连接P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，△PMN的最小周长为PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，即为线段P1P2的长，连接OP1、OP2，则OP1＝OP2＝OP＝6，又∵∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形，∴P1P2＝OP1＝6，即△PMN的周长的最小值是6．故答案为：6．三、解答题（本大题共68分.解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上）17．已知：如图，AB∥ED，AB＝DE，点F，点C在AD上，AF＝DC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）求证：BC∥EF．【分析】（1）根据SAS即可证明△ACB≌△DEF．（2）利用全等三角形的性质即可证明．【解答】证明：（1）∵AB∥ED，∴∠A＝∠D，∵AF＝DC，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠BCA＝∠EFD，∴BC∥EF．18．如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．△ABC的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使PB+PC最小；（3）在DE上画出点Q，使|QA1﹣QB|最大．【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）连接BC1交DE于点P，连接PC，点P即为所求；（3）延长BA交DE于点Q，点Q即为所求．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，点P即为所求；（3）如图，点Q即为所求．19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E．（1）若AC＝12，BC＝10，求△EBC的周长；（2）若∠A＝40°，求∠EBC的度数．【分析】（1）由AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，易得△EBC的周长＝AC+BC；（2）由AB＝AC，∠A＝40°，即可得到∠ABC的度数，再根据∠ABE＝∠A，即可得出∠EBC的度数．解：（1）∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∴AE＝BE，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝10+12＝22；（2）∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝70°，又∵AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝40°，∴∠EBC＝70°﹣40°＝30°．20．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．解：连接AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，S△ABC＝AB•BC＝×3×4＝6，在△ACD中，∵AD＝13，AC＝5，CD＝12，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S△ACD＝AC•CD＝×5×12＝30．∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36．21．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，且AB＝AC，BE交CD于点O．（1）求证：DB＝EC．（2）求证：AO平分∠BAC．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠AEB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠BDO＝∠CEO＝90°，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，根据角平分线的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（AAS），∴AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即DB＝EC；（2）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO＝∠CEO＝90°，在△BDO和△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（AAS），∴OD＝OE，∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴AO平分∠BAC．22．我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c．（1）试用图①证明勾股定理；通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（2）用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（3）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的等式求a3+b3值为40．【分析】（1）求出阴影部分面积的两种表示，再根据同一图形的面积相等即可得出结论；（2）求出大正方体的体积和各个部分的体积，即可得出答案；（3）代入（2）中的等式求出即可．【解答】证明：（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a），图中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，∴c2﹣2ab＝（b﹣a）2，即a2+b2＝c2；解：（2）图形的体积为（a+b）3或a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（3）∵a+b＝4，ab＝2，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，＝a3+b3+3ab（a+b）∴43＝a3+b3+3×2×4，解得：a3+b3＝40．故答案为：40．23．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BCA＝90°，AC＝BC，AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为点D、点E，连接BD．（1）求证：AD＝CE；（2）BE平分∠DBC，①试判断△DBC的形状，并给出证明的过程；②若CE＝4，则△ABD的面积＝8．【分析】（1）根据垂直定义及余角性质可得∠CAD＝∠BCE，根据全等三角形的判定与性质可得结论；（2）①利用余角定义可得∠BCD＝∠BDC，得出DB＝BC；②根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可得AC＝BC，根据由三角形面积公式可得答案．【解答】（1）证明：∵AD⊥CD，BE⊥CD，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）．∴AD＝CE（2）①解：△DBC为等腰三角形，证明：∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠BED＝90°，∵∠EBC＝∠EBD，∠EBC+∠BCE＝90°，∠EBC+∠BDC＝90°，∴∠BCD＝∠BDC，∴BD＝BC，∴△DBC为等腰三角形；②∵△ACD≌△CBE，∴AD＝EC＝4，EB＝CD＝8，∴AC＝BC＝＝4，∴S△ADB＝S△ADC+S△BDC﹣S△ACB＝×4×8+×8×8﹣×4×4＝8．故答案为：8．24．【问题引领】问题1：如图1，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，∠BCD＝120°．E，F分别是AB，AD上的点．且∠ECF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接CG，先证明△CBE ≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF．他得出的正确结论是BE+FD＝EF．【探究思考】问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC+∠ADC＝180°，∠ECF＝∠BCD，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．【拓展延伸】问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE、DF、EF之间存在什么样的等量关系？并说明理由．【分析】问题1，先证明△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF，最后用线段的和差即可得出结论；问题2、先判断出∠ABC＝∠GDC，进而判断出△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF，最后用线段的和差即可得出结论；问题3、同问题2的方法即可得出结论、解：问题1、BE+FD＝EF，理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接CG，在△CBE和△CDG中，，∴△CBE≌△CDG（SAS），∴CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，∵∠BCD＝120°，∴∠ECG＝120°，∵∠ECF＝60°，∴∠ECF＝∠GCF，在△CEF和△CGF中，，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∴EF＝DF+DG＝DF+BE；故答案为：EF＝DF+BE；问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接CG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠CDG+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠GDC在△CBE和△CDG中，，∴△CBE≌△CDG（SAS），∴CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，∴∠BCD＝∠ECG，∵∠ECF＝∠BCD，∴∠ECF＝∠ECG，∴∠ECF＝∠GCF，在△CEF和△CGF中，，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∴EF＝DF+DG＝DF+BE；问题3．结论：DF＝EF+BE；理由：如图3，在DF上取一点G．使DG＝BE．连接CG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CBE＝∠GDC在△CBE和△CDG中，，∴△CBE≌△CDG（SAS），∴CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，∴∠BCD＝∠ECG，∵∠ECF＝∠BCD，∴∠ECF＝∠ECG，∴∠ECF＝∠GCF，在△CEF和△CGF中，，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∴DF＝FG+DG＝EF+BE；25．（1）如图1中，∠A＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请画出直线，并标注底角的度数．（3）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大的内角可能值为108°．【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作BC的垂直平分线即可确定点E，连接AE即可；（2）分别以24°为底角，可分割出两个等腰三角形；（3）利用图1、2、3中三角形内角之间的关系进行判断．解：（1）如图，作BC的垂直平分线交BC于E，连接AE，则直线AE即为所求；（2）如图：（3）根据（1）（2）中三个角之间的关系可知：但三角形是直角三角形时，肯定可以分割成两个等腰三角形，此时最大角为90°；当一个角是另一个三倍时，也肯定可以分割成两个等腰三角形，此时最大角为99°；如图3，此时最大角为108°．综上所述：最大角为108°，故答案为：108°．。

杭州市上城区四校联考八年级上期中数学试卷含答案解析

2022-2023浙江省杭州市上城区四校联考八年级（上）期中数学试卷一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列四个图形中，是轴对称图形的是( )A．B．C．D．2．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定3．在数轴上表示不等式x﹣3＞0的解集，下列表示正确的是( )A．B．C．D．4．下列各图中，正确画出AC边上的高的是( )A．B．C．D．5．若x＜y成立，则下列不等式成立的是( )A．﹣x+2＜﹣y+2 B．4x＞4y C．x﹣2＜y﹣2 D．﹣3x＜﹣3y6．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是( )A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC7．下列命题是真命题的是( )A．有一个角为60°的三角形是等边三角形B．底边相等的两个等腰三角形全等C．有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形全等D．一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形8．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )A．10 B．7 C．5 D．49．若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为( )A．m＜﹣6 B．m≤﹣6 C．m＞﹣6 D．m≥﹣610．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=104°，则∠DFC的度数为( )A．104°B．118°C．128°D．136°二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．用不等式表示“7与m的3倍的和是正数”就是__________．12．请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：__________．13．一次知识竞答比赛，共16道选择题，评选办法是；答对一道题得6分，答错一道题倒扣2分，不答则不扣分，王同学全部作答，如果王同学想成绩在60分以上，试写出他答对题x应满足的不等式__________．14．等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是__________．15．如图钢架中，∠A=n°，依次焊上等长的钢条P1P2，P2P3，…，来加固钢架，若P1A=P1P2，要使得这样的钢条只能焊上4根，则n的取值范围是__________．16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．其中正确的结论是__________．三．解答题（共66分）17．已知：如图，点B、F、E、C在同一条直线上，AB∥CD，且AB=CD，BF=CE．求证：∠AEB=∠DFC．证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠C（__________）∵BF=CE（已知），∴BF+__________=CE+__________，即BE=CF．在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF__________．∴∠AEB=∠DFC．18．（1）解不等式：2（x+1）﹣1≥3x+2，并把解集表示在数轴上．（2）解不等式组，并写出不等式组的整数解．19．如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，A C＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．20．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．（1）判断△CDE的形状，并说明理由．（2）若AO=12，求OE的长．21．某业主贷款2.2万元购进一台机器，生产某种产品．已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用的和是售价的10%．若每个月能生产并销售2000个产品．（1）问每个月所获得利润为多少元？（2）问至少几个月后能赚回这台机器的贷款？22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．23．阅读下列材料：解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①同理得：1＜x＜2．…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x、y的方程组的解都为非负数．（1）求a的取值范围；（2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范围；（3）已知a﹣b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）2022-2023浙江省杭州市上城区四校联考八年级（上）期中数学试卷一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列四个图形中，是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故正确；D、不是轴对称图形，故错误．故选C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定【考点】三角形内角和定理．【分析】设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，∴∠C=3x=90°，∴此三角形是直角三角形．故选B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3．在数轴上表示不等式x﹣3＞0的解集，下列表示正确的是( )A．B．C．D．【考点】在数轴上表示不等式的解集．【分析】先求出不等式的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式的解集在数轴上表示出来，再比较得到答案．【解答】解：不等式x﹣3＞0的解集为：x＞3．不等式的解集在数轴表示为：．故选A．【点评】不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．4．下列各图中，正确画出AC边上的高的是( )A．B．C．D．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【专题】图表型．【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答．【解答】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．5．若x＜y成立，则下列不等式成立的是( )A．﹣x+2＜﹣y+2 B．4x＞4y C．x﹣2＜y﹣2 D．﹣3x＜﹣3y【考点】不等式的性质．【分析】A、根据不等式的性质1和性质2判断即可；B、根据不等式的性质2判断即可；C、根据不等式的性质1判断即可；D、根据不等式的性质2判断即可．【解答】解：A、∵x＜y，∴﹣x＞﹣y．∴﹣x+2＞﹣y+2．故A错误．B、由不等式的性质2可知：B错误；C、由不等式的性质1可知：C正确；D、根据不等式的性质2可知：D错误．故选：C．【点评】本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．6．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是( )A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC【考点】全等三角形的判定．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、∵在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），故本选项错误；B、∵在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误；C、∵在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项错误；D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．7．下列命题是真命题的是( )A．有一个角为60°的三角形是等边三角形B．底边相等的两个等腰三角形全等C．有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形全等D．一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形【考点】命题与定理．【分析】利用等边三角形的判定、全等三角形的判定及直角三角形的判定分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故错误，是假命题；B、底边相等的两个等腰三角形不一定全等，故错误，是假命题；C、能确定40°的角是顶角还是底角即可判定全等，否则不能，故错误，是假命题，D、正确，是真命题，故选D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解等边三角形的判定、全等三角形的判定及直角三角形的判定等知识，难度不大．8．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )A．10 B．7 C．5 D．4【考点】角平分线的性质．【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC•EF=×5×2=5，故选C．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．9．若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为( )A．m＜﹣6 B．m≤﹣6 C．m＞﹣6 D．m≥﹣6【考点】解一元一次不等式组．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x≤，解不等式②得：x＞﹣3，又∵关于x的一元一次不等式组有解，∴﹣3＜，解得：m＞﹣6，故选C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集的应用，能根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解此题的关键．10．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=104°，则∠DFC的度数为( )A．104°B．118°C．128°D．136°【考点】等腰三角形的性质．【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，再利用三角形的内角和进行分析解答即可．【解答】解：∵BD=CD=CE，∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，∵∠ADC+∠ACD=114°，∴∠BDC+∠ECD=360°﹣104°=256°，∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣256°=104°，∴∠DCB+∠CDE=52°，∴∠DFC=180°﹣52°=128°，故选C．【点评】此题考查等腰三角形的性质，四边形的内角和，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．用不等式表示“7与m的3倍的和是正数”就是7+3m＞0．【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．【分析】理解：和是正数，那么最后算的和应大于0．【解答】解：根据题意，得7+3m＞0．【点评】读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．12．请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：两个角相等三角形是等腰三角形．【考点】命题与定理．【专题】应用题．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【解答】解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”，故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形．【点评】本题考查了逆命题的概念，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，难度适中．13．一次知识竞答比赛，共16道选择题，评选办法是；答对一道题得6分，答错一道题倒扣2分，不答则不扣分，王同学全部作答，如果王同学想成绩在60分以上，试写出他答对题x应满足的不等式6x﹣2（16﹣x）＞60．【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．【分析】设他答对题x道，则答错（16﹣x）道，根据题意可得不等关系：答对题得分﹣答错题的分数＞60，根据不等关系列出不等式即可．【解答】解：设他答对题x道，由题意得：6x﹣2（16﹣x）＞60，故答案为：6x﹣2（16﹣x）＞60．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，表示出答对的题目所得分数可答错题目所扣的分数．14．等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是50°或65°．【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是50°，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．【解答】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．故答案是：50°或65°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；全面思考，分类讨论是正确解答本题的关键．15．如图钢架中，∠A=n°，依次焊上等长的钢条P1P2，P2P3，…，来加固钢架，若P1A=P1P2，要使得这样的钢条只能焊上4根，则n的取值范围是18°≤n＜22.5°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠P3P5P4与∠A之间的关系，从而不难求解．【解答】解：∵AP1=P1P2，P1P2=P2P3，P3P4=P2P3，P3P4=P4P5，∴∠A=∠P1P2A，∠P2P1P3=∠P2P3P1，∠P3P2P4=∠P3P4P2，∠P4P3P5=∠P4P5P3，∴∠P3P5P4=4∠A＜90°，∵要使得这样的钢条只能焊上4根，∴∠P5P4C=5∠A＞90°∴18°≤n＜22.5°，故答案为：18°≤n＜22.5°．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．其中正确的结论是①②③．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的性质．【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形内心的性质即可得出结论；④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小题正确；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A），∴∠BGC=180°﹣（∠GBC+∠GCB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，故本小题正确；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴点G是△ABC的内心，∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；④连接AG，∵点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，∴S△AEF=AE•GD+AF•GD=（AE+AF）•GD=nm，故本小题错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解答此题的关键．三．解答题（共66分）17．已知：如图，点B、F、E、C在同一条直线上，AB∥CD，且AB=CD，BF=CE．求证：∠AEB=∠DFC．证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）∵BF=CE（已知），∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF．在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴∠AEB=∠DFC．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】推理填空题．【分析】利用SAS证明△ABE≌△CDF即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）∵BF=CE（已知），∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF．在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠AEB=∠DFC，故答案为：两直线平行，内错角相等；EF；EF；；SAS．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，做题的关键是找出证三角形全等的条件．18．（1）解不等式：2（x+1）﹣1≥3x+2，并把解集表示在数轴上．（2）解不等式组，并写出不等式组的整数解．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式；一元一次不等式组的整数解．【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1，最后在数轴上表示出来即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出整数解即可．【解答】解：（1）2（x+1）﹣1≥3x+2，2x+2﹣1≥3x+22x﹣3x≥2﹣2+1﹣x≥1，x≤﹣1，在数轴上表示不等式的解集为：；（2）∵解不等式①得：x≥﹣4，解不等式②得：x＜∴不等式组的解集为：﹣4≤x＜，∴不等式组的整数解为：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解，在数轴上表示不等式的解集的应用，能正确解不等式和能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．19．如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题．【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D点坐标即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可．【解答】解：（1）如图所示：点D即为所求；（2）在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°，又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°，∴∠CAD=53°﹣37°=16°．【点评】此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠B=37°是解题关键．20．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．（1）判断△CDE的形状，并说明理由．（2）若AO=12，求OE的长．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】（1）证明∠C=60°，CD=CE，即可解决问题．（2）证明AO=2OE，即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，且BD⊥AC，AE⊥BC，∴∠C=60°，CE=BC，CD=AC；而BC=AC，∴CD=CE，△CDE是等边三角形．（2）由（1）知：AE、BD分别是△ABC的中线，∴AO=2OE，而AO=12，∴OE=6．【点评】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握正方形的判定及其性质．21．某业主贷款2.2万元购进一台机器，生产某种产品．已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用的和是售价的10%．若每个月能生产并销售2000个产品．（1）问每个月所获得利润为多少元？（2）问至少几个月后能赚回这台机器的贷款？【考点】一元一次方程的应用．【分析】（1）用总销售额减去成本，再减去应付的税款和其他费用，即可求解；（2）设x个月后能赚回这台机器的贷款，可得4400x=22000，据此求解即可．【解答】解：（1）售价为：2000×8=16000（元），则应付的税款和其他费用为：16000×10%=1600（元），利润=16000﹣2000×5﹣1600=4400（元），答：每个月所获得利润为4400元；（2）设x个月后能赚回这台机器的贷款，由题意得，4400x=22000，解得：x=5．答：至少5个月能赚回这台机器的贷款．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=BC，进而得到EF=CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．23．阅读下列材料：解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①同理得：1＜x＜2．…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x、y的方程组的解都为非负数．（1）求a的取值范围；（2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范围；（3）已知a﹣b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的解．【专题】阅读型．【分析】（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可；（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a、b的取值范围，然后再来求a+b的取值范围；（3）根据（1）的解题过程求得a、b取值范围；结合限制性条件得出结论即可．【解答】解：（1）因为关于x、y的方程组的解都为非负数，解得：，可得：，解得：a≥2；（2）由2a﹣b=1，可得：，可得：，解得：b≥3，所以a+b≥5；（3），所以m+b≥2，可得：，可得：2﹣m≤b≤1，同理可得：2≤a≤1+m，所以可得：6﹣m≤2a+b≤3+2m，最大值为3+2m．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．。

现代片四校八年级数学上学期期中试题(2021学年)

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浙江省桐乡市现代片四校2０16—2０17学年八年级数学上学期期中试题一、细心选一选（每小题3分，共30分)1. 下列“QQ表情"中,属于轴对称图形的是（▲)2.下列句子是命题的是( ▲)A. 画∠AOＢ＝45°B．小于直角的角是锐角吗?C．连结CＤD．三角形的中位线平行且等于第三边的一半３．在下列各数中可以用来证明命题“质数一定是奇数"是假命题的反例是( ▲ )A、2B、3C、４D、5４．如图，过△ＡＢＣ的顶点Ａ,作BＣ边上的高,以下作法正确的是（▲)Ａ． B． C.D．5.等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为（ )A. 12 B．１5 Ｃ．１2或15 D. 186.下列条件中，不能判定△ABＣ是直角三角形的是（▲）A．∠A:∠Ｂ：∠Ｃ=3:4：５ﻩＢ．C.∠Ｂ=50°,∠Ｃ=40°ﻩ D．a＝5,ｂ＝１2,c＝１37．一个直角三角形的两直角边长分别为3和４,那么它斜边上的高线长为( ▲)A、5B、2．５C、２.4D、２８．如图,已知在△ABC中，CD是AB边上的高线,BE平分∠ＡＢC，交CD于点E，BC=８，DＥ=４，则△BCＥ的面积等于( ▲)A、32B、16C、8D、4ABC第8题第9题第10题9．如图所示的2×4的正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形,在网格中与△ABＣ成轴对称的格点三角形一共有（▲)A、2个Ｂ、３个 C、 4个ﻩＤ、 5个10.如图,四边形AＢCD是正方形,直线ａ，b,c分别通过A、Ｄ、Ｃ三点，且ａ∥ｂ∥c.若a与b之间的距离是５，b与c之间的距离是7,则正方形ABCD的面积是( ▲）A.70B.７4 ﻩ C．1４4ﻩＤ.148二、耐心填一填（每小题３分,共３0分)1１.一个三边都是整数的三角形，其中两边长分别为１和2,第三边长是▲12．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是▲(真或假)命题．1３.已知△AＢC中,AB＝AC=4，∠A=60度,则△ABC的周长为▲ .1４。

江苏省南京市鼓楼区四校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(原卷版)

江苏省南京市鼓楼区四校联考2023—2024学年下学期八年级数学期中考试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（）A. “顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件B. “在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件C. “从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A ”是不可能事件D. 可能性是的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生3. 某煤厂原计划x 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为（）AB. C. D. 4. 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( )A. 平行四边形B. 对角线相等的四边形C. 矩形D. 对角线互相垂直的四边5. 如图，，E 、F 分别是，的中点，若，，则的长为（）A. 5B. 3C. 2D. 16. 如图，正方形的边长为2，点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点．.50%12012032x x=--12012032x x =-+12012032x x =-+12012032x x =--AB CD ∥AC BD 6AB =4CD =EF ABCD E A AD D A D F D DC C D C E F BE AF G H BF①是定值；②平分；③当运动到中点时，；④当时，四边形的面积是．其中正确的是（）A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①④二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 当x _______时，分式值为零．8. 任意掷一枚质地均匀的骰子，比较下列事件发生的可能性大小，将它们的序号按从小到大排列为_____．①面朝上的点数小于2； ②面朝上的点数大于2； ③面朝上的点数是奇数．9. 一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1,2,3,4组数据的个数分别是2,8,15,5，则第5组数据的频数为_________，频率为_________.10. 若分式的值为5，当x 和y 都变为原来的3倍，那么分式的值是__________________．11. ，求的值________．12. 如图，将沿对角线折叠，使点B 落在处，，则_________．13. 如图所示，点D 、E 分别是的边、的中点，连接，交的延长线于点F ，若，，则_____．的BGF ∠FB AFC ∠E AD GH =AG BG +=GEDF 12293x x --2x y xy+14x x +=2421x x x ++ABCD Y AC B '1242∠=∠=︒B ∠=ABC AB AC BE DE CF BE ∥6EF =DE =14. ▱ABCD 的周长是32cm ，∠ABC 的平分线交AD 所在直线于点E ，且AE ：ED ＝3：2，则AB 的长为_____．15. 如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P 点到直线、的垂线段、，则等于 ________．16. 如图，矩形ABCD 的边AB＝，BC ＝3，E 为AB 上一点，且AE ＝1，F 为AD 边上的一个动点，连接EF ，若以EF 为边向右侧作等腰直角三角形EFG ，EF ＝EG ，连接CG ，则CG 的最小值为______．三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：（1）；（2）；18. 甲、乙两个家庭同去一家粮店购买大米两次．两次大米的售价有变化，但两个家庭的购买方式不同，其中甲家庭每次总是买20千克大米，而乙家庭每次用去20元，商店也按价计算卖给乙家庭．设前后两次的米价分别是每千克元和元（，，），请问谁的购买方式合算？19. 某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间（单位：）ABCD AB AD PE PF PE PF +112222ab b a b a b--+22x x y x y-++m n 0m >0n >m n ≠t min课外阅读时间频数分布表课外阅读时间频数百分比48162合计50请根据图表中提供的信息回答下列问题：（1），；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）若全校共1000名学生，估计有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50？20. 六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有个红球和若干个白球（每个球除颜色外其他相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为人次，公园游戏场发放的福娃玩具为个．求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率；请你估计袋中白球接近多少个？21. 如图，已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，BC =AD ，E 、F 是对角线BD 上两点，且BE =DF ．t 1030t ≤<8%3050t ≤<16%5070t ≤<a 40%7090t ≤<b 90110t ≤<4%100%=a b =min 64000010000()1()2求证：．22. 如图，已知△ABC 的三个顶点坐标为A （－3，4）、B （－7，1）、C （－2，1）．（1）请画出关于坐标原点O 中心对称图形，并写出点A 的对应点的坐标：______；（2）将△ABC 绕坐标原点O 顺时针旋转90°，直接写出点A 的对应点P 的坐标；______；（3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标；______；23. 如图，已知，平分（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．（1）作菱形，使点M ，N 分别在边上；（2）若，求（1）菱形的面积的AE=CF ABC A B C ''' A 'ABC AP BAC ∠AMPN AB CA 、9084C AB BP ∠=︒==，，AMPN24. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在边BC 上以每秒1个单位长的速度由点C 向点B 运动．（1）当t = 时，四边形PODB 是平行四边形；（2）在线段PB 上是否存在一点Q ，使得四边形ODQP 为菱形？若存在，求出当四边形ODQP 为菱形时t 的值，并求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当△OPD 为等腰三角形时，写出点P 的坐标（直接写出答案）．25. 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x ﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题：（1）将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：① ；② ；（2）利用分离常数法，求分式的最大值．（3）已知：，，设，若x ，y 均为非零整数，求值．26. 数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形中，点E 是对角线上任意一点，过点E 作，垂足为E ，交所在直线于点F ．探索与之间的数量关系，并说明理由．小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E 是对角线中点时，他发现与之间的数量关系是______．若点E 在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将的的()()2131223211111x x x x x x x x x x x x --+--+-+==+=-+----21x -54x x +=+22412x x x -+=-22231x x +-+2P x =+82x Q x =+412Q y P =-xy ABCD AC EF AC ⊥BC AF DE AC AF DE AF AD DG问题转化为探究与之间的数量关系．（1）请你按照小明的思路，完成解题过程；（2）你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程．DG DE。