2020届广西北海市高三一模数学(文)试题(解析版)

2020届广西北海市高三一模数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2,3,4A =，{}3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}3B ．{}3,4C ．{}2,3,4D ．{}2,3,4,5【答案】B【解析】直接根据交集的概念即可得结果. 【详解】∵{}2,3,4A =，{}3,4,5B =， ∴{}3,4AB =，故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合间交集的运算，属于基础题.2．12ii =+（ ） A ．112145145i -+ B ．112145145i - C ．112145145i + D ．112145145i -- 【答案】C【解析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可得到答案. 【详解】(12)11211212(12)(12)145145145i i i i i i i i -+===+++-， 故选:C 【点睛】本题考查复数的除法的运算，属于简单题.3．2018年1月，中共中央、国务院发出《关于开展扫黑除恶专项斗争的通知》．今天，“扫黑除恶”进入深水区，为了了解人民群众对全国公安机关的满意程度，2019年5月1日，政府工作人员在某商场门口随机抽一个人询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止，这种抽样方式是（ ） A ．简单随机抽样 B ．系统抽样【解析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的特征进行判断，即得答案. 【详解】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的特征可知， 本题既不是系统抽样，也不是分层抽样，它的形式类似于简单随机抽样，但它不符合简单随机抽样的两种形式：抽签法和随机数表法. 故选：D. 【点睛】本题考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的特征，属于基础题. 4．已知向量()()1,8,2,4xa b ==，若a b ，则x =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】根据平行向量的坐标关系，即可求出x 的值. 【详解】由a b ，得4820x -⨯=，解得1x =-. 故选:B. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.5．在等差数列{a n }中，a 4+a 8＝0，a 3+a 6＝9，则公差d ＝（ ） A ．92B ．92-C ．3D ．﹣3【答案】D【解析】等差数列{}n a 中，480a a +=，369a a +=，利用通项公式可得：12100a d +=，1279a d +=，解出即可得出．【详解】解：由题意知等差数列{}n a 中，480a a +=，369a a +=，112100279a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得：1153a d =⎧⎨=-⎩，【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知实数x，y满足约束条件2402440x yyx y--⎧⎪⎨⎪+-⎩，则目标函数z＝2y﹣3x的取值范围是（）A．（205, 32-] B．205,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[55,2-）D．55,2⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数，从而可得结论. 【详解】作出约束条件2402440x yyx y--⎧⎪⎨⎪+-⎩，表示的可行域如下图阴影区域所示：求得点A的坐标是1,22⎛⎫⎪⎝⎭，点B的坐标是44(,)33-，由23z y x=-，得322zy x=+.平移直线322zy x=+，当直线23z y x=-经过点1,22A⎛⎫⎪⎝⎭时，目标函数23z y x=-取得最大值，且max1522322z=⨯-⨯=；当直线23z y x=-经过点44,33B⎛⎫-⎪⎝⎭时，所以目标函数23z y x =-的取值范围是205,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：B 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 7．如图，网格纸上小正方形的边长为a ，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为32+，则a 的值为（）A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】B【解析】根据三视图还原为原图.利用几何体的表面积列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的直三棱柱ABE DCF -， 其中3AB BC BE a ===，2232AE AB BE a =+=，则292ABE CDF S S a ∆∆==，292ADFE S a =长方形， 所以该几何体的表面积为22227929(32)32a a a +=+=+，得13a =.故选B.本小题主要考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，考查空间想象能力，属于基础题.8．已知函数2())12cos222x f x x ϕππϕϕ+⎛⎫=++--<< ⎪⎝⎭的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则φ的值为（ ） A ．﹣4π B ．﹣12πC ．﹣6π D ．512π 【答案】A【解析】化简函数得到()2sin()6f x x πϕ=+-，根据对称中心得到4k πϕπ=-，解得答案. 【详解】2())12cos )cos()2sin()26x f x x x x x ϕπϕϕϕϕ+=++-=+-+=+-， 函数关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则5126k ππϕπ+-=，4k πϕπ=-，k Z ∈，当0k =时，4πϕ=-满足条件.故选：A. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，根据三角函数的对称求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.9．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】分析：首先需要对框图进行分析，确定其为对哪些量来求积运算，之后需要对其运行，看看到什么时候就会结束，从而求得结果. 详解：观察分析题中所给的框图，可以发现9871098S =⨯⨯⨯⋯，结合条件，可知最后输出的k 的值为6，故选C.点睛：该题考查的是有关程序框图读结果的问题，在求解的过程中，需要分析该框图的作用，以及需要分析各项之间的关系，从而判断出满足条件时输出的量，从而求得结果. 10．已知当,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos cos tan tan αβαβ-<-，则以下判断正确的是（ ） A ．αβ< B ．αβ>C ．22αβ>D ．22αβ<【答案】C【解析】记()f cosx ?tan x x =-，()f x 为偶函数且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 由cos cos tan tan αβαβ-<-，得到()()f f αβ<即()()f f αβ< ∴αβ>，即22αβ>故选C11．圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线221(0,0)x y a b -=>>的一A ．(2,5)B ．55(,)32C ．55(,)42D ．(5,21)+【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3，根据题意，圆心到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<，从而得到,a b 关系式，利用222+=a b c 得到,a c 关系，从而得到离心率. 【详解】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1， 所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d << 即2224a b<<+，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e << 故选C 项. 【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离，双曲线的渐近线，求双曲线的离心率，属于中档题. 12．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面边长为a ，侧棱长为b ，且a ≥b ，点D 是BC 1的中点，则直线AD 与侧面ABB 1A 1所成角的正切值的最小值是（ ）A ．130 B 6 C 3D 39【解析】由正三棱柱的性质可知1C 到平面1AB 的距离与A 到平面1BC 距离相等，又点D 是BC 1的中点可得D 到平面1AB 的距离h ，根据线面角公式sin hADθ=，利用不等式性质可得sin θ的最小值，即可得出tan θ的最小值. 【详解】取BC 中点E ，连接DE ,如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面边长为a ， 所以1C 到平面1AB 的距离为3AE =， 因为点D 是BC 1的中点， 所以D 到平面1AB 的距离为132h AE ==, 在Rt DAE 中，22222233442a b a b AD AE DE +=+=+=， 设直线AD 与侧面ABB 1A 1所成角为(0)2πθθ<<，则22233sin 2323h aAD a b b a θ===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为a ≥b ， 所以1ba≤， 所以33sin 4231θ≥=+，当a b =时，θ有最小值，此时3sin 4θ=， 故此时339tan 13θ==，【点睛】本题主要考查了线面角的求法，正三棱柱的性质，点到平面的距离，考查了运算能力，属于中档题.二、填空题13．函数()2ln f x x x =-在点()1,1处的切线方程为______________. 【答案】2y x =-+ 【解析】根据题意，求出函数的导数以及(1),(1)f f '的值，由函数导数的几何意义可得切线方程； 【详解】根据题意，()2ln f x x x =-，则()21f x x'=- 又由(1)1,(1)1f f '=-=，则()f x 在()1,1处的切线方程为：20x y +-=；点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.14．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1+a 3+a 5＝21，a 4+a 6+a 8＝168，则S 8＝_____． 【答案】255【解析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出S 8. 【详解】由等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 3+a 5＝21，a 4+a 6+a 8＝168,所以2411135711121168a a q a q a q a q a q ⎧++=⎨++=⎩， 解得11,2a q ==，()8811225512S ⨯-∴==-，故答案为：255题.15．已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到全是白球”的概率是_____． 【答案】310【解析】记“从袋子中一次取出两个球，取到全是白球”为事件A .求出基本事件总数和事件A 包含的基本事件数，根据古典概型的概率计算公式，即得答案. 【详解】记“从袋子中一次取出两个球，取到全是白球”为事件A .从袋子中一次取出两个球，共有2510C =种取法，其中事件A 有233C =种取法，()310P A ∴=. 故答案为：310.【点睛】本题考查古典概型和组合数的计算，属于基础题.16．已知定义在R 上的函数f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ），且f （x +2）为偶函数，f （4）＝2，则不等式f （x ）＜2e x 的解集为_____． 【答案】（0， +∞） 【解析】构造函数()()x f x g x e=，求导得到函数单调递减，根据偶函数得到()02f =，将不等式转化为()()0g x g <，得到答案. 【详解】设()()xf xg x e=，则()()()()0x x f x f x f x g x e e '-'==<，故函数()g x 单调递减， ()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-+，故()()402f f ==，()()002g f ==， ()2x f x e <，即()2xf x e<，即()()0g x g <，即0x >. 故答案为：()0,∞+. 【点睛】用能力，构造函数是解题的关键.三、解答题17．某驾校为了分析学员驾照考试一次通过率，随机调查了已经毕业的100名男学员和100名女学员第一次驾照考试通过的情况，得到如下列联表：（1）分别估计男、女学员驾照考试一次通过的概率；（2）是否有99%的把握认为驾照考试一次通过率与性别有关？附：22()()(()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）0.6；0.4；（2）是.【解析】(1)用男、女学员驾照考试一次通过的频数除以100即可;(2)把表中数据代入卡方公式计算，然后同临界值比较即可.【详解】解：（1）男学员驾照考试一次通过的概率为601000.6=，女学员驾照考试一次通过的概率为400.4 100=；（2）()22200606040408 6.635100100100100K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯有99%的把握认为驾照考试一次通过率与性别有关. 【点睛】考查用频率估计概率和独立性检验，基础题.18．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）33． 【解析】【详解】试题分析：（1）根据平面向量//m n ，列出方程，在利用正弦定理求出tan A 的值，即可求解角A 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc 的最大值，即得ABC ∆的面积的最大值.试题解析：（1）因为向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行， 所以30asinB bcosA －＝，由正弦定理得sinAsinB －30sinBcosA ＝， 又sin 0B ≠，从而tanA ＝3，由于0<A<π，所以A ＝3π. （2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a ＝7，b ＝2，A ＝3π， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c>0，所以c ＝3. 故△ABC 的面积为12bcsinA ＝33. 【考点】平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.19．如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥底面ABCD ，BD 1⊥B 1D ，四边形ABCD 是边长为4的菱形，D 1D ＝6，E ，F 分别是线段AB 的两个三等分点．（1）求证：D 1F //平面A 1DE ；（2）求四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面积． 【答案】（1）证明见解析（2）96127+【解析】（1）连接1AD 交1A D 于M ，连接ME ，利用中位线可得1//ME D F ，即可证明；（2）根据棱柱为直棱柱可求出侧面积，利用BD 1⊥B 1D 可知四边形11D DBB 是正方形，求出DB ，可求出底面菱形面积，即可求解. 【详解】（1）连接1AD 交1A D 于M ，连接ME ，如图，,M E 分别为1AD ，AF 的中点， 1//ME D F ∴,又1D F ⊄平面A 1DE ，ME ⊂平面A 1DE ，∴ D 1F //平面A 1DE（2）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥底面ABCD ， 所以四棱柱为直四棱柱，因为在矩形11D DBB 中，BD 1⊥B 1D ， 所以四边形11D DBB 是正方形， 所以16DB D D ==, 所以227367ABDABCD S S===菱形又44696S =⨯⨯=侧，所以2=96+26796127S S S =+⨯=+侧底即四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面积为96+20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左焦点为1F ，过点1F 的直线l 与椭圆C 交于,D E 两点，则在x 轴上是否存在一个定点M 使得直线,MD ME 的斜率互为相反数？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，也请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析 【解析】（1）据题意，得222212b c a c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，求解方程组确定a ,b 的值即可求得椭圆方程； （2）据题设知点()11,0F -，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+．与椭圆方程联立，结合韦达定理有221212228412,4343k k x x x x k k --+==++． 假设存在点M 满足题意，则0ME MD k k +=，结合韦达定理求解实数m 的值即可；然后讨论斜率不存在的情况即可确定定点M 存在. 【详解】（1）据题意，得222212b c a c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩解得224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）据题设知点()11,0F -，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+．由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +++-=．设()()1122,,,E x y D x y ，则221212228412,4343k k x x x x k k --+==++． 设(),0M m ，则直线,MD ME 的斜率分别满足2121,MD ME y y k k x m x m==--． 又因为直线,MD ME 的斜率互为相反数， 所以()()()2112121212120ME MD x y x y m y y y y k k x m x m x m x m +-++=+==----， 所以()2112120x y x y m y y +-+=，所以()()()()21121211110x k x x k x m k x k x ⎡⎤+++-+++=⎣⎦，所以()()121212220kx x k x x m k x x k ⎡⎤++-++=⎣⎦，所以22222241288220434343k k k k k m k k k k k ⎛⎫---⋅+⋅-⋅+= ⎪+++⎝⎭，所以()40k m +=． 若()40k m +=对任意k R ∈恒成立，则4m =-，当直线l 的斜率k 不存在时，若4m =-，则点()4,0M -满足直线,MD ME 的斜率互为相反数．综上，在x 轴上存在一个定点()4,0M -，使得直线,MD ME 的斜率互为相反数． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．已知函数()(1)ln ()f x ax x x a =--∈R ．（1）设()(-1)( -1)-()g x x a x f x =，求函数()g x 的极值；（2）当0a <时函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，证明：()294f x >. 【答案】(1) 极大值0，无极小值．(2)证明见解析【解析】(1)对函数求导，得其导函数的正负，研究原函数的单调性得极值；(2)根据导函数为零，得关于这两个极值点的韦达定理，从而将两个变元的问题可转化成一个变元的问题，再研究关于这个变元的函数的单调性和最值.【详解】（1）解：()(1)(1)(1)ln ln (1)g x x ax ax x x x x =----+=--， 则11()1x g x x x-'=-=． 令()0g x '=，得1x =.所以当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：因此()g x 有极大值()10g =，无极小值．（2）证明：2121()2ax ax f x ax a x x'--=--=．由题意得，1212x x +=. 因为12x x <，所以214x >．由()20f x '=，得222210ax ax --=，则222102a x x =<-，解得2102x <<． 所以21142x <<. 由（1）得22ln 1x x ≤-， 所以()()()()()()22222222222222211141ln 11111222x x f x ax x x ax x x x x x x x -⎛⎫=-----=--=++- ⎪-⎝⎭- 令212t x =-，则1|0,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.分析可得14y tt=+在区间10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．当14t=时．11514444y=+=⨯所以()2159 11444f x tt++>+=.【点睛】本题考查利用导数处理极值与不等式证明问题，第二问关键将双变元转化成单变元问题，属于难度题.22．在平面直角坐标系xOy中，圆1C的参数方程为2cos2sinx ay aθθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ为参数，a是大于0的常数）.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆2C的极坐标方程为34πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求圆1C的极坐标方程和圆2C的直角坐标方程；（2）分别记直线l：12πθ=，ρ∈R与圆1C、圆2C的异于原点的交点为A，B，若圆1C与圆2C外切，试求实数a的值及线段AB的长.【答案】(1) 222(1)(1)x y a+++=，22(1)(1)2x y-+-= (2) a=||AB=【解析】试题分析：（1）先将圆1C的参数方程化为直角坐标方程，再利用222,cos,sinx y x yρρθρθ=+==可得圆1C的极坐标方程，两边同乘以ρ利用互化公式即可得圆2C的直角坐标方程；（2）由（1）知圆1C的圆心()11,1C--，半径1r a=；圆2C的圆心()21,1C，半径2r=根据圆1C与圆2C外切的性质列方程解得a=分别将12πθ=代入1C、2C的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段AB 的长.试题解析：（1）圆1C：1,1x acosy asinθθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数）消去参数θ，得其普通方程为()()22211x y a+++=，将cosxρθ=，sinyρθ=代入上式并化简，得圆1C 的极坐标方程2222sin 204a πρρθ⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭，由圆2C 的极坐标方程22cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得22cos 2sin ρρθρθ=+． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=代入上式， 得圆2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=．（2）由（1）知圆1C 的圆心()11,1C --，半径1r a =；圆2C 的圆心()21,1C ，半径22r =，()()2212111122C C ⎡⎤⎡⎤=--+--=⎣⎦⎣⎦，∵圆1C 与圆2C 外切， ∴222a +=，解得2a =，即圆1C 的极坐标方程为22sin 4πρθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭． 将12πθ=代入1C ，得22sin 124ππρ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，得6ρ=-； 将12πθ=代入2C ，得22cos 124ππρ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得6ρ=； 故1226AB ρρ=-=．【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==转化即可.23．已知函数，.（1）解不等式； （2）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或； （2）.【解析】（1）由恒成立，所以||x ﹣3|+1|>3等价于或，然后求解不等式即可． （2）利用条件说明{y|y=f （x ）}⊆{y|y=g （x ）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【详解】（1）由，得或，得或，所以不等式的解集为或.（2）因为对任意，都有，使得成立，所以又，，所以，解得或，所以实数的取值范围为..【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．。