3.1.2第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式 课件
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栏目 导引
第三章 三角恒等变换
跟踪训练
1.求值(1)cos 105°;(2) 3cos1π2-sin1π2.
解:(1)cos 105°=cos(45°+60°)
=cos
45°cos
60°-sin
45°sin
60°=
22×12-
2 2
× 23=
2- 4
6 .
栏目 导引
(2) 3cos1π2-sin1π2 =2( 23cos1π2-12sin1π2) =2(sinπ3cos1π2-cosπ3sin1π2) =2sin(π3-1π2)=2sinπ4= 2.
精彩推荐典例展示
规范解答 利用两角和与差的正弦、余弦公式求值 例4 (本题满分 12 分)求值:(tan 10°- 3)csions 5100°°.
【解】 法一:原式=(tan 10°-tan 60°)scions5100°° 1 …2 分
=(csions
1100°°-csions
60°cos 60°)sin
是希望这一束光能带领他们观看世界,用点滴能量帮助孩子们树立更为广阔的世界观,整个课程将分成8个阶段来学习,融入情景式+场景式教学模式,让学员能够所学即所用,所用即所精,西安成人高 考 https://www.029chengkao.cn,尽管吴同学的高中课业繁重时间紧凑,他却充分利用自己的课余时间,亲自丈量测绘了重建所需的全部图纸,细致到校园里的树都要一一种齐,(2)所学专业必须与岗位 要求的学历层次相对应,寻觅名家大师年过八旬的王蒙,曾写过《青春万岁》《组织部来了个年轻人》等多部优秀的作品,他从19岁开始写作,在人生相当长的时间里,把大部分精力投入到写书、译书, 也访问过世界上72个国家和地区
第三章 三角恒等变换
题型三 给值求值问题
例3
已知
sin
α=
-
3 5
,
sin
β = 1123, 且
180°<α<270°,
90°<β<180°,求 sin(α-β),cos(α+β)的值. 【解】 ∵sin α=-35,180°<α<270°,
∴cos α=-45.∵sin β=1132,90°<β<180°,∴cos β=-153.
φ=-2×
2 2 sin
φ=-
2sin φ.
(2)原式=s2isninαcαosisnββ++cocos sααsicnosβ-β-2ssiinn
αcos αsin
β β
=-cossinααcocossββ+-sicnosααsisninββ=-csoinsαα--ββ=-tan(α-β).
栏目 导引
栏目 导引
跟踪训练
2.化简(1)cos(π4+φ)-cos(π4-φ);
第三章 三角恒等变换
sinα+β-2sin αcos β (2)2sin αsin β+cosα+β.
解:(1)原式=(cosπ4cos φ-sinπ4sin φ)-(cosπ4cos φ+sin π4sin φ)=
-2sinπ4sin
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
cos(α+β)=- 1-sin2α+β=- 1--532=-45. 所以 sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) =153×(-45)+1123×(-35)=-5665.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换 打卡学习可以说是学习利器,一束光也是我们公益的形式,一个放映室存好适宜小朋友成长看的电影、纪录片、音乐、舞蹈,内容关于成长、礼貌礼仪、通识、城市等内容,不需要络有电就可以,总的
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
方法感悟
1.公式 Cα±β 与 Sα±β. 公式 Cα±β、Sα±β 的联系:四个公式 Cα±β、Sα±β 虽然形式不同、 结构不同,但它们的本质是相同的,因为它们同出一脉:
这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α-β)的由来及表 达方式,也就掌握了其他三个公式.
栏目 导引
10° 50°
2
分
=cossin10-°co5s0°60°·csoins 5100°°10 分=-2.12 分
栏目 导引
跟踪训练
4.求值:cos 40°(1+ 3tan 10°).
解:cos 40°(1+ 3tan 10°)
=cos
cos 40°
10°+ cos
3sin 10°
10°
=cos
2sin10°+30° 40° cos 10°
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
跟踪训练 3.已知π2<β<α<34π,cos(α-β)=1123,sin(α+β)=-35, 求 sin 2α 的值.
解:因为π2<β<α<34π,所以 0<α-β<π4,π<α+β<32π. 又 cos(α-β)=1123,sin(α+β)=-35, 所以 sin(α-β)= 1-cos2α-β= 1-11232=153,
第三章 三角恒等变换
2.公式的运用要“活”,体现在:顺用、逆用、变用. 而变用又涉及两个方面:一是公式本身的变用,如cos(α +β)+sin αsin β=cos αcos β;二是角的变用,也称为角 的变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°
= 22× 23+ 22×12=
6+ 4
2 .
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(2)sin1π2=sin(π3-π4)=sinπ3cosπ4-cosπ3sinπ4
= 23·22-12·22=
6- 4
2 .
(3)原式=cos 29°·cos 91°-sin 29°·sin 91°=cos(29°+91°)
答案:
3 2
2.计算sin 105°=________.
答案:
6+ 4
2
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 给角求值 例1 求值(1)sin 75°;(2)sin 1π2;
(3)sin 119°sin 181°-sin 91°sin 29°.
【解】 (1)sin 75°=sin(45°+30°)
=csions 8100°°=1.
第三章 三角恒等变换
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差 的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、 余弦推导过程及各 公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、 余弦公式的应用
重点难点 重点:公式的正用、逆用及变式应用. 难点:灵活运用公式解决相关的求值、化简.
∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-35×(-153)-(-
45)×1123=6635.cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-45×(-153)
-(-35)×1123=5665.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【名师点评】 给值求值的解题策略 在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的 关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的 关系,利用角的代换化异角为同角.具体做法是: (1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两 角的和或差. (2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为 已知角.
第三章 三角恒等变换
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(2)原式=sin[α+β+α]s-in 2αcosα+βsin α
=sinα+βcos
α-cosα+βsin sin α
α
=sin[αsi+n βα-α]
=sin sin
β α.
栏目 பைடு நூலகம்引
第三章 三角恒等变换
【名师点评】 化简三角函数式是为了更清楚地显示 式中所含量之间的关系,以便于应用.对于三角函数 式的化简,要求:(1)能求出值的应求出值;(2)使三角 函数的种数最少;(3)使项数尽量少;(4)尽量使分母不 含有三角函数;(5)尽量使被开方数不含有三角函数.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
2.两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=__s_i_n_α_c_o_s__β_+__c_o_s _α_s_in__β__; sin(α-β)=__s_i_n_α_c_o_s__β_-__c_o_s _α_s_in__β_.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
做一做 1.化简:sin 80°cos 20°-cos 80° sin20°=______.
=cos 120°=-cos 60°=-12.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【名师点评】 (1)两角和、差的正弦、余弦的正用应记 住公式特点:正弦是异名相乘,符号相同;余弦同名相 乘,符号相反. (2)逆用应准确找出所给式子与公式右边的异同,创造条 件逆用公式;其次,应抓住所给角的关系,逐一分析条 件中的哪个角对应公式中的角α,β.
第三章 三角恒等变换
跟踪训练
1.求值(1)cos 105°;(2) 3cos1π2-sin1π2.
解:(1)cos 105°=cos(45°+60°)
=cos
45°cos
60°-sin
45°sin
60°=
22×12-
2 2
× 23=
2- 4
6 .
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(2) 3cos1π2-sin1π2 =2( 23cos1π2-12sin1π2) =2(sinπ3cos1π2-cosπ3sin1π2) =2sin(π3-1π2)=2sinπ4= 2.
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规范解答 利用两角和与差的正弦、余弦公式求值 例4 (本题满分 12 分)求值:(tan 10°- 3)csions 5100°°.
【解】 法一:原式=(tan 10°-tan 60°)scions5100°° 1 …2 分
=(csions
1100°°-csions
60°cos 60°)sin
是希望这一束光能带领他们观看世界,用点滴能量帮助孩子们树立更为广阔的世界观,整个课程将分成8个阶段来学习,融入情景式+场景式教学模式,让学员能够所学即所用,所用即所精,西安成人高 考 https://www.029chengkao.cn,尽管吴同学的高中课业繁重时间紧凑,他却充分利用自己的课余时间,亲自丈量测绘了重建所需的全部图纸,细致到校园里的树都要一一种齐,(2)所学专业必须与岗位 要求的学历层次相对应,寻觅名家大师年过八旬的王蒙,曾写过《青春万岁》《组织部来了个年轻人》等多部优秀的作品,他从19岁开始写作,在人生相当长的时间里,把大部分精力投入到写书、译书, 也访问过世界上72个国家和地区
第三章 三角恒等变换
题型三 给值求值问题
例3
已知
sin
α=
-
3 5
,
sin
β = 1123, 且
180°<α<270°,
90°<β<180°,求 sin(α-β),cos(α+β)的值. 【解】 ∵sin α=-35,180°<α<270°,
∴cos α=-45.∵sin β=1132,90°<β<180°,∴cos β=-153.
φ=-2×
2 2 sin
φ=-
2sin φ.
(2)原式=s2isninαcαosisnββ++cocos sααsicnosβ-β-2ssiinn
αcos αsin
β β
=-cossinααcocossββ+-sicnosααsisninββ=-csoinsαα--ββ=-tan(α-β).
栏目 导引
栏目 导引
跟踪训练
2.化简(1)cos(π4+φ)-cos(π4-φ);
第三章 三角恒等变换
sinα+β-2sin αcos β (2)2sin αsin β+cosα+β.
解:(1)原式=(cosπ4cos φ-sinπ4sin φ)-(cosπ4cos φ+sin π4sin φ)=
-2sinπ4sin
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第三章 三角恒等变换
cos(α+β)=- 1-sin2α+β=- 1--532=-45. 所以 sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) =153×(-45)+1123×(-35)=-5665.
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第三章 三角恒等变换 打卡学习可以说是学习利器,一束光也是我们公益的形式,一个放映室存好适宜小朋友成长看的电影、纪录片、音乐、舞蹈,内容关于成长、礼貌礼仪、通识、城市等内容,不需要络有电就可以,总的
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第三章 三角恒等变换
方法感悟
1.公式 Cα±β 与 Sα±β. 公式 Cα±β、Sα±β 的联系:四个公式 Cα±β、Sα±β 虽然形式不同、 结构不同,但它们的本质是相同的,因为它们同出一脉:
这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α-β)的由来及表 达方式,也就掌握了其他三个公式.
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10° 50°
2
分
=cossin10-°co5s0°60°·csoins 5100°°10 分=-2.12 分
栏目 导引
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4.求值:cos 40°(1+ 3tan 10°).
解:cos 40°(1+ 3tan 10°)
=cos
cos 40°
10°+ cos
3sin 10°
10°
=cos
2sin10°+30° 40° cos 10°
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第三章 三角恒等变换
跟踪训练 3.已知π2<β<α<34π,cos(α-β)=1123,sin(α+β)=-35, 求 sin 2α 的值.
解:因为π2<β<α<34π,所以 0<α-β<π4,π<α+β<32π. 又 cos(α-β)=1123,sin(α+β)=-35, 所以 sin(α-β)= 1-cos2α-β= 1-11232=153,
第三章 三角恒等变换
2.公式的运用要“活”,体现在:顺用、逆用、变用. 而变用又涉及两个方面:一是公式本身的变用,如cos(α +β)+sin αsin β=cos αcos β;二是角的变用,也称为角 的变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等.
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第三章 三角恒等变换
=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°
= 22× 23+ 22×12=
6+ 4
2 .
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第三章 三角恒等变换
(2)sin1π2=sin(π3-π4)=sinπ3cosπ4-cosπ3sinπ4
= 23·22-12·22=
6- 4
2 .
(3)原式=cos 29°·cos 91°-sin 29°·sin 91°=cos(29°+91°)
答案:
3 2
2.计算sin 105°=________.
答案:
6+ 4
2
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第三章 三角恒等变换
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 给角求值 例1 求值(1)sin 75°;(2)sin 1π2;
(3)sin 119°sin 181°-sin 91°sin 29°.
【解】 (1)sin 75°=sin(45°+30°)
=csions 8100°°=1.
第三章 三角恒等变换
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第三章 三角恒等变换
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差 的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、 余弦推导过程及各 公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、 余弦公式的应用
重点难点 重点:公式的正用、逆用及变式应用. 难点:灵活运用公式解决相关的求值、化简.
∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-35×(-153)-(-
45)×1123=6635.cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-45×(-153)
-(-35)×1123=5665.
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第三章 三角恒等变换
【名师点评】 给值求值的解题策略 在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的 关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的 关系,利用角的代换化异角为同角.具体做法是: (1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两 角的和或差. (2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为 已知角.
第三章 三角恒等变换
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第三章 三角恒等变换
(2)原式=sin[α+β+α]s-in 2αcosα+βsin α
=sinα+βcos
α-cosα+βsin sin α
α
=sin[αsi+n βα-α]
=sin sin
β α.
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第三章 三角恒等变换
【名师点评】 化简三角函数式是为了更清楚地显示 式中所含量之间的关系,以便于应用.对于三角函数 式的化简,要求:(1)能求出值的应求出值;(2)使三角 函数的种数最少;(3)使项数尽量少;(4)尽量使分母不 含有三角函数;(5)尽量使被开方数不含有三角函数.
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第三章 三角恒等变换
2.两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=__s_i_n_α_c_o_s__β_+__c_o_s _α_s_in__β__; sin(α-β)=__s_i_n_α_c_o_s__β_-__c_o_s _α_s_in__β_.
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第三章 三角恒等变换
做一做 1.化简:sin 80°cos 20°-cos 80° sin20°=______.
=cos 120°=-cos 60°=-12.
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第三章 三角恒等变换
【名师点评】 (1)两角和、差的正弦、余弦的正用应记 住公式特点:正弦是异名相乘,符号相同;余弦同名相 乘,符号相反. (2)逆用应准确找出所给式子与公式右边的异同,创造条 件逆用公式;其次,应抓住所给角的关系,逐一分析条 件中的哪个角对应公式中的角α,β.