高中数学人教A版必修四作业32两角和与差的正弦、余弦、正切公式含解析

课时作业(三十二)
1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.1
2 B.22 C.33
D.
32
答案 B
解析 1－2sin 222.5°＝cos45°＝
22
. 2．求11－tan22.5°－1
1＋tan22.5°的值是( )
A ．0
B ．1
C ．－1 D.
2
2
答案 B
解析 原式＝2tan22.5°
1－tan 222.5°＝tan45°＝1.
3．若sin θ2＝35，cos θ2＝－4
5，则θ在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 D
解析 cos θ＝2cos 2θ
2－1＝2⎝⎛⎭⎫－452
－1＝725>0，sin θ＝2sin θ2·cos θ2＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－24
25
<0， ∴θ在第四象限．
4．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－1
3，则cos2α等于( )
A.
179
B ．±179
C ．－
179
D.
173
答案 A
解析 将cos α＋sin α＝－1
3平方整理得
2sin α·cos α＝－8
9
.∵α∈(0，π)，∴cos α<0，sin α>0.
∴cos α－sin α＝－
（cos α－sin α）2＝－
1－2sin αcos α＝－
173
. ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(－13)×(－173)＝17
9.
5.1＋cos100°－1－cos100°等于( ) A ．－2cos5° B ．2cos5° C ．2sin5° D ．－2sin5°
答案 D 解析 原式＝
2cos 250°－
2sin 250°
＝2(cos50°－sin50°)＝2(
22cos50°－2
2
sin50°) ＝2sin(45°－50°)＝2sin(－5°)＝－2sin5°.
6．已知等腰三角形底角的余弦为2
3，则顶角的正弦值是( )
A.259
B.45
9
C ．－459
D ．－259
答案 B
解析 ∵sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝2×
1－（23）2×23＝459.
7．若cos2αsin （α－π
4）
＝－2
2，则cos α＋sin α的值为( )
A ．－72
B ．－12
C.12
D.
72
答案 C
解析 原式＝cos 2α－sin 2α
－2
2（cos α－sin α）＝－22，化简得sin α＋cos α＝1
2.
8．若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝2
3，则sinA ＋cosA 的值为( )
A.
153
B ．－
153
C.53 D ．－53
答案 A
解析 方法一 ∵sin2A ＝2sinAcosA ＝23，∴1＋2sinAcosA ＝5
3，
即sin 2A ＋2sinAcosA ＋cos 2A ＝53.∴|sinA ＋cosA|＝15
3.
又∵A 为锐角，∴sinA ＋cosA ＝
15
3
，故选A. 方法二 ∵A 为锐角，∴sinA ＋cosA>0.∴B 、D 不合题意． 若sinA ＋cosA ＝
153，则(sinA ＋cosA)2＝5
3
＝1＋2sinAcosA ＝1＋sin2A. ∴sin2A ＝2
3
，满足题意，故选A.
9．若sinxtanx<0，则1＋cos2x 等于( ) A.2cosx B ．－2cosx C.2sinx D ．－2sinx
答案 B
解析 ∵sinx ·tanx<0，即sin 2x
cosx <0，∴cosx<0.
又
1＋cos2x ＝
1＋2cos 2x －1＝2cos 2x ＝－2cosx.
10．函数f(x)＝sin 2x ＋3sinxcosx 在区间[π4，π
2]上的最大值是( )
A ．1 B.1＋3
2
C.32 D ．1＋ 3
答案 C
解析 f(x)＝sin 2
x ＋3sinxcosx ＝1－cos2x 2＋3
2sin2x ＝sin(2x －π6)＋12，x ∈[π4，π2]，∴2x －π6
∈
[π3，5π6]．∴f(x)的最大值为32
. 11．(高考真题·江西卷)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( )
A.15
B.14
C.13
D.12
答案 D
解析 ∵tan θ＋1
tan θ＝1＋tan 2θ
tan θ
＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ.
∴sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θ
sin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ
1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝1
2.
12．已知sin(π4－x)＝3
5，则sin2x 的值为________．
答案
725
解析 sin2x ＝cos(π2－2x)＝cos2(π4－x)＝1－2sin 2
(π4－x)＝725.
13．若cos(π4－θ)cos(π4＋θ)＝2
6(0<θ<π2)，则sin2θ＝________．
答案
73
解析 cos(π4－θ)cos(π4＋θ)＝cos[π2－(π4＋θ)]cos(π
4
＋θ)
＝sin(π4＋θ)cos(π4＋θ)＝12sin[2(π4＋θ)]＝12sin(π2＋2θ)＝12cos2θ＝2
6，
∴cos2θ＝
23，∴sin2θ＝±1－cos 22θ＝±7
3
. 又∵0<θ<π2，∴0<2θ<π，∴sin2θ＝7
3
.
14．在△ABC 中，cos(π4＋A)＝5
13，求cos2A 的值．
解析 在△ABC 中，cos(π4＋A)＝5
13>0.∴sin(π4
＋A)＝
1－cos 2
（π4＋A ）＝12
13
.
∴cos2A ＝sin(π2＋2A)＝sin2(π4＋A)＝2sin (π4＋A)·cos(π4＋A)＝2×1213×513＝120
169.
15．已知tan(π4＋α)＝1
3，
(1)求tan α的值； (2)求sin2α－cos 2α
1＋cos2α
的值．
解析 (1)方法一：∵tan(π4＋α)＝1
3，∴tan α＝tan[(π4＋α)－π4
]
＝tan （π4＋α）－tan
π4
1＋tan （π4＋α）·tan
π4
＝13－11＋13＝－1
2.
方法二：∵tan(π4＋α)＝tan π
4
＋tan α1－tan π4·tan α
＝1＋tan α1－tan α＝13
，∴tan α＝－1
2.
(2)方法一：原式＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－12－1
2＝－1.
方法二：sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α
1＋tan 2
α， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α
1＋tan 2α
.
原式＝sin2α
1＋cos2α－12＝2tan α
1＋tan 2α1＋
1－tan 2α
1＋tan 2α
－12＝tan α－12＝－12－1
2＝－1. ►重点班·选做题
16．(高考真题·山东卷)若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sin θ＝( )
A.3
5 B.45 C.74
D.34
答案 D
解析 因为θ∈[π4，π2]，所以2θ∈[π
2，π]，所以cos2θ<0，所以cos2θ＝－
1－sin 22θ＝－1
8
.
又cos2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝3
4，选D.
17．已知cos(x －π4)＝2
10，x ∈(π2，3π4)．
(1)求sinx 的值； (2)求sin(2x ＋π
3
)的值．
解析 (1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π
2)，
于是sin(x －π
4
)＝
1－cos 2
（x －π4）＝72
10
，
则sinx ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝4
5.
(2)因为x ∈(π2，3π
4)
故cosx ＝－
1－sin 2x ＝－
1－（45）2＝－35
，
sin2x ＝2sinxcosx ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－7
25，
所以sin(2x ＋π3)＝sin2xcos π3＋cos2xsin π3＝－24＋73
50
.
1．已知cos α＝17，cos(α－β)＝13
14，且0<β<α<π2.
(1)求tan2α的值；(2)求β. 解析 (1)由cos α＝1
7，0<α<π2，
得sin α＝
1－cos 2α＝
1－（17）2＝43
7
.
∴tan α＝
sin α
cos α
＝437×7
1＝4 3.
于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－（43）2＝－83
47. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.
又∵cos(α－β)＝13
14
，∴sin(α－β)＝
1－cos 2（α－β）＝
1－（1314）2＝3314
.
则β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝1
2.∴β＝π3
. 2．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1，0)．
(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；
(2)设α＝π
4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．
解析 (1)方法一 b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则 |b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2. 当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2， ∴向量b ＋c 的长度的最大值为2.
方法二 ∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2.
当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2，0)，即|b ＋c |＝2，∴向量b ＋c 的长度的最大值为2. (2)方法一 由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a ·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.
∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos(α－β)＝cos α.
由α＝π4，得cos(π4－β)＝cos π4，即β－π4＝2k π±π4(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π
2或β＝2k π，k ∈Z ，于
是cos β＝0或cos β＝1.
方法二 若α＝π4，则a ＝(22，22)．又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1，0)，得a ·(b ＋c )＝(22，
22)·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－2
2. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1. ∴sin β＝1－cos β.平方后化简得cos β(cos β－1)＝0.
解得cos β＝0或cos β＝1经检验，cos β＝0或cos β＝1即为所求． 3．(2012·广东)已知函数f(x)＝Acos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f(π3)＝ 2.
(1)求A 的值；
(2)设α，β∈[0，π2]，f(4α＋43π)＝－3017，f(4β－23π)＝8
5，求cos(α＋β)的值．
解析 (1)由f(π3)＝2，得Acos(π12＋π
6
)＝2，。