2017版高考数学专题7不等式54与不等式有关的创新题型理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题7 不等式 54 与不等

式有关的创新题型 理

n n 375系是________．

2．(2015·北京西城区一模)在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．

3．(2015·福州质检)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数

f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，f x K ，K ，f x K .取函数f (x )＝2－x －e －x

，恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为________．

4．(2015·四川江陵第二次统考)若流程图如图所示，视x 为自变量，y 为函数值，可得函数y ＝f (x )的解析式，则f (x )>f (2)的解集为________．

5．(2015·重庆一诊)已知函数f (x )＝x －4＋

9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝(1a

)|x ＋b |的图象为________．

6．在算式“4×△＋1×○＝30”中的△，○中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△，○)应为__________．

7．用

C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义|A －B |＝⎩⎪⎨⎪⎧ C A －C B ，C A C B ，C B －C A ，C A C B 若A ＝{1,2}，B ＝{x ||x 2＋2x －3|＝a }，且|A －B |＝1，由a 的所有可能值构成的集合为S ，

那么C (S )＝________.

8．如果关于x 的不等式f (x )<0和g (x )<0的解集分别为(a ，b )和⎝ ⎛⎭

⎪⎫1b ，1a ，那么称这两个不等式为“对偶不等式”．如果不等式x 2－43x ·cos 2θ＋2<0与不等式2x 2

＋4x ·sin 2θ＋1<0为对偶不等式，且θ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π，那么sin θ＝________. 9．(2015·浙江五校联考)已知正实数x ，y 满足ln x ＋ln y ＝0，且k (x ＋2y )≤x 2＋4y 2

恒成立，则k 的最大值是________． 10．(2015·长沙二模)设不等式⎩⎪⎨⎪⎧

x >0，y >0，

y ≤－nx ＋3n

所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点(x ，y )(x ，y ∈Z )的个数为f (n )(n ∈N *)．(注：格点是指横坐标、纵坐标均为整数的点) (1)求f (1)，f (2)的值及f (n )的表达式； (2)记T n ＝f n f n ＋

2n ，若对于任意n ∈N *，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围；

(3)设S n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n ＝2f (n )，问是否存在正整数n ，t ，使S n －tb n S n ＋1－tb n ＋1<116

成立？若存在，求出正整数n ，t ；若不存在，请说明理由．

答案解析

1．a 3＋a 7>2a 5

解析 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x

(a >0，a ≠1)的图象上，

所以有a n ＝a n ，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7

，

因为a >0，a ≠1，由基本不等式，

得a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 5，

又2a 5＝2a 5

，故a 3＋a 7>2a 5.

2．(－12，32)

解析 由题意知，(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，

∴－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立，

∴Δ＝12＋4(y 2－y －1)<0，

∴4y 2－4y －3<0，解得－12

3．1

解析 f ′(x )＝－1＋e －x ，

当x >0时f ′(x )<0，当x <0时f ′(x )>0，

∴f (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，

∴f (x )≤f (0)＝1，当K ≥1时，f (x )≤K ，

依题意，此时恒有f K (x )＝f (x )，∴K 的最小值为1.

4．(－∞，－2)∪(3.5,5]

解析 由流程图知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤2，

2x －3，2

1x ，x >5，

所以f (2)＝4，所以由f (x )>f (2)，

得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2

>4，x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3>4，2

1x >4，x >5，

解得x <－2或3.5

5．②

解析 由基本不等式得f (x )＝x ＋1＋9

x ＋1－5≥2 x ＋9

x ＋1－5＝1，

当且仅当x ＋1＝9

x ＋1，即x ＝2时，f (x )取得最小值1，

故a ＝2，b ＝1，因此g (x )＝(1a )|x ＋b |＝(12)|x ＋1|

.

只需将y ＝(1

2)|x |的图象向左平移1个单位长度即可，

因为y ＝(12)|x |为偶函数，

故通过y ＝(1

2)x 的图象即可得到y ＝(12)|x |的图象，

进而得到y ＝(12)|x ＋1|

的图象．

6．(5,10)

解析 设数对为(a ，b )，则4a ＋b ＝30，

∴1a ＋1b ＝1

30⎝ ⎛

⎭⎪⎫1

a ＋1

b (4a ＋b )

＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥3

10，

当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝4a

b ，4a ＋b ＝30，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，

b ＝10时等号成立，

所以满足题意的数对为(5,10)．

7．1

解析 由于|x 2＋2x －3|＝a 的根可能是2个，3个，4个，而|A －B |＝1，

故|x 2＋2x －3|＝a 只有3个根，故a ＝4，所以C (S )＝1.

8.1

2 解析 设方程x 2－43x ·cos 2θ＋2＝0的两个根分别为x 1，x 2，

则x 1＋x 2＝43cos 2θ，x 1x 2＝2；

设方程2x 2＋4x ·sin 2θ＋1＝0的两个根分别为x 3，x 4，

则x 3＋x 4＝－2sin 2θ，x 3x 4＝12.

因为不等式x 2－43x ·cos 2θ＋2<0与不等式2x 2＋4x ·sin 2θ＋1<0为对偶不等式，

所以x 3＋x 4＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝43cos 2θ

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