2011届高考数学温习好题精选_数列的综合应用

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2011年高考试题选-数列

2011年高考试题选—数列1．已知数列{n a }的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=，且1a =1．那么10a =2．已知函数f （x ）=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是 3．设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，1n n a rS +=(n ∈N *，,1)r R r ∈≠-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈N *，使得1k S +，k S ，2k S +成等差数列，是判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1m a +，m a ，2m a +是否成等差数列，并证明你的结论．5．设数列{}n a 满足10a =且111 1.11n na a +-=--（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1, 1.nn n kn k b bS ===<∑记S 证明：6．等比数列{}n a中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b的前n 项和n S ．7．设d 为非零实数，12211*1(2(1)]()n n n n n n n n n a C d C dn C dnC d n N n--=+++-+∈（1）写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列。

2011高考数学三轮复习必做的数列综合题[1]

2011高考数学三轮复习必做的数列综合题1.数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2ln nn n a x b =，求证:对任意实数(]e x ,1∈（e 是常数，e ＝2.71828⋅⋅⋅）和任意正整数n ，总有n T < 2； (Ⅲ) 正数数列{}n c 中，())(,*11N n c a n n n ∈=++.求数列{}n c 中的最大项.（Ⅰ）解：由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立∴21112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② ①--②得21122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列又n=1时，21112S a a =+，解得1a =1∴n a n =.(*N n ∈)（Ⅱ）证明：∵对任意实数(]e x ,1∈和任意正整数n ，总有2ln nn n a x b =≤21n . ∴()n n nT n 113212*********22-++⋅+⋅+<+++≤21211131212111<-=--++-+-+=nn n (Ⅲ)解：由已知 221212=⇒==c c a ，54545434343232355,244,33=⇒====⇒===⇒==c c a c c a c c a易得 12234,...c c c c c <>>> 猜想 n ≥2 时，{}n c 是递减数列.令()()22ln 1ln 1,ln xxx xx x x f x x x f -=-⋅='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ，即则时，∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数. 由()11ln ln 11++==++n n c c a n n nn 知.∴n ≥2 时, {}n c ln 是递减数列.即{}n c 是递减数列. 又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为323=c .2．设f 1(x)=x+12，定义f n+1 (x)= f 1［f n (x)］，a n =2)0(1)0(+-n n f f （n ∈N *）.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 若n nna a a a T 23212232++++= ，Q n =144422+++n n nn （n ∈N *），试比较9T 2n 与 Q n 的大小，并说明理由. 解：（1）∵f 1(0)=2，a 1=2212+-=41，f n+1(0)= f 1［f n (0)］=)0(12n f +,∴a n+1=2)0(1)0(11+-++n n f f =2)0(121)0(12++-+n n f f =)0(24)0(1n n f f +-= -212)0(1)0(+-n n f f = -21a n .∴数列｛a n ｝是首项为41,公比为-21的等比数列，∴a n =41(21-)n -1. （2）∵T 2 n = a 1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n -1+2na 2 n ， ∴21-T 2 n = (-21a 1)+(-21)2a 2+(-21)3a 3+…+(-21)(2n-1)a 2 n －1+)21(-2na 2 n= a 2+2a 3+…+(2n －1)a 2 n －na 2 n .两式相减，得23T 2 n = a 1+a 2+a 3+…+a 2 n +na 2 n . ∴23T 2n =211)21(1412+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n +n ×41(-21)2n -1=61-61(-21)2n +4n (-21)2n -1.T 2n =91-91(-21)2n +6n (-21)2n -1=91(1-n n 2213+).∴9T 2n =1-n22. 又Q n =1-2)12(13++n n ，当n=1时，22 n = 4,(2n+1)2=9,∴9T 2 n ＜Q n ；当n=2时，22 n =16,(2n+1)2=25,∴9T 2 n ＜Q n ；当n ≥3时，2231022)12()(])11[(2+>++++=+=n C C C C n n n n nn n ， ∴9T 2 n ＞Q n .3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n ∈N*).（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；（2）设b n =2n f(n)，S n 为{b n }的前n 项和，求S n ；（3）记nn n f n f T 2)1()(+=，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围.（1）f(1)=3 f(2)=6当x=1时，y=2n ，可取格点2n 个；当x=2时,y=n ，可取格点n 个 ∴f(n)=3n（2）由题意知:b n =3n ·2nS n =3·21+6·22+9·23+…+3(n －1)·2n －1+3n ·2n ∴2S n =3·22+6·23+…+3(n －1)·2n +3n ·2n+1∴－S n =3·21+3·22+3·23+…3·2n －3n ·2n+1 =3（2+22+…+2n ）－3n ·2n+1=3·11232122++---n n n =3(2n+1－2)－3n n+1 ∴－S n =(3－3n)2n+1－6 S n =6+(3n －3)2n+1（3）nn n T 22==11(33)(36)223(33)2221,1222,1223,12n n n n n n T n n n T nn n n n n n n n n+++++==++=>+==+≥<当时当时当时 ∴T 1<T 2=T 3>T 4>…>T n 故T n 的最大值是T 2=T 3=227 ∴m ≥227。

2011版高考数学 3年高考2年模拟第6章数列第二节数列的应用

第六章数列第二节数列的应用第一部分三年高考体题荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010江西理）5.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =--- ，则()'0f =（）A ．62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。

考虑到求导中，含有x 项均取0，则()'0f 只与函数()f x 的一次项有关；得：412123818()2a a a a a a ⋅⋅== 。

2.（2010江西理）4.2111lim 1333n x →∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭ （） A. 53 B. 32 C. 2 D. 不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。

1133lim ()1213nn →+∞-=-3.（2010北京理）（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案】C4.（2010四川理）（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则limnn na S →∞=（A ）0 （B ）12（C ） 1 （D ）2 解析：由112n n S S a +=+,且2112n n S S a ++=+作差得a n ＋2＝2a n ＋1又S 2＝2S 1＋a 1，即a 2＋a 1＝2a 1＋a 1 ⇒ a 2＝2a 1 故{a n }是公比为2的等比数列S n ＝a 1＋2a 1＋22a 1＋……＋2n －1a 1＝(2n －1)a 1则11121lim lim (21)2n n n n n n a a S a -→∞→∞==- 【答案】B5.（2010天津理）（6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。

2011年高考数学重点难点讲解十四：数列综合应用问题(学生版)

难点14 数列综合应用问题纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.●难点磁场(★★★★★)已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0.(1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n .●案例探究［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.［例2］已知S n =1+3121++…+n 1,(n ∈N *)设f (n )=S 2n +1－S n +1,试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式：f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立.命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.●锦囊妙计1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.(3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知二次函数y =a (a +1)x 2－(2a +1)x +1，当a =1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1,d 2，…,d n ,…,则lim ∞→n (d 1+d 2+…+d n )的值是( )A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题2.(★★★★★)在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是_________.3.(★★★★)从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升.4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.三、解答题5.(★★★★★)已知数列{a n }满足条件：a 1=1,a 2=r (r ＞0),且{a n a n +1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，设b n =a 2n －1+a 2n (n =1,2,…).(1)求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2＞a n +2a n +3(n ∈N *)成立的q 的取值范围；(2)求b n 和n n S 1lim∞→，其中S n =b 1+b 2+…+b n ；(3)设r =219.2－1，q =21，求数列{n n b b 212log log +}的最大项和最小项的值.6.(★★★★★)某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金n b元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n 和b 有关，记为P n (b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞→n P n (b ).7.(★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)2001年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？8.(★★★★★)已知点的序列A n(x n，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中A n－1的中点，….点，…，A n是线段A n－2(1)写出x n与x n－1、x n－2之间关系式(n≥3);(2)设a n=x n+1－x n，计算a1,a2,a3，由此推测数列{a n}的通项公式，并加以证明；x n.(3)求limn∞→。

高考数学总复习 6-4 数列的综合问题与数列的应用但因为测试新人教B版

高考数学总复习 6-4 数列的综合问题与数列的应用但因为测试新人教B 版1.(文)(2011·德州模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1、2a 2、a 3成等差数列，则S 4＝( )A ．7B ．8C ．15D ．16[答案] C[解析] ∵4a 1,2a 2，a 3成等差数列， ∴4a 2＝4a 1＋a 3，∵{a n }是等比数列，a 1＝1， ∴4q ＝4＋q 2，解之得，q ＝2， ∴S 4＝4－2－1＝15. (理)(2011·丹东模拟)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q≠1，且b i >0(i ＝1,2，…，n)，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( )A ．a 6>b 6B ．a 6＝b 6C ．a 6<b 6D ．a 6>b 6或a 6<b 6[答案] A[解析] 由条件知，a 6＝a 1＋a 112＝b 1＋b 112>b 1b 11＝b 6.2．(2011·淄博模拟)已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．(－72，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)[答案] C[解析] a n ＝n 2＋λn ＝(n ＋λ2)2－λ24，∵对任意n ∈N *，a n ＋1>a n ， ∴－λ2≤1，∴λ≥－2，故选C.3．(文)(2011·福建质检)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3a 5＝4，则数列{log 2a n }的前7项和等于( )A ．7B ．8C ．27D ．28[答案] A[解析] 在各项均为正数的等比数列{a n }中，由a 3a 5＝4，得a 24＝4，a 4＝2. 设b n ＝log 2a n ，则数列{b n }是等差数列，且b 4＝log 2a 4＝1. 所以{b n }的前7项和S 7＝1＋b 72＝7b 4＝7.(理)设函数f(x)＝x m ＋ax 的导函数f ′(x)＝2x ＋1，则数列{1}(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n[答案] A[解析] f ′(x)＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2，∴f(x)＝x(x ＋1)，1＝1＋＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1.4．(文)(2011·山西运城教学检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P(n ，S n )和Q(n ＋1，S n ＋1)(n ∈N *)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )A ．52B ．40C ．26D ．20[答案] B[解析] 由题意得S n ＋1－S n＋－n ＝3n －2，∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2，∴a n ＝3n －5，因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10，而a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40，故选B.(理)两个正数a 、b 的等差中项是72，一个等比中项是23，且a<b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于( )A.34 B.152 C.54 D.53[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝7，a·b ＝12，b>a>0， ∴a ＝3，b ＝4.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝53.5．(2011·江西新余四中期末)在△ABC 中，sinA cosA ＝2cosC ＋cosA2sinC －sinA 是角A 、B 、C 成等差数列的( )A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[来源:学#科#网] [解析]sinA cosA ＝2cosC ＋cosA2sinC －sinA⇒2sinAsinC －sin 2A ＝2cosAcosC ＋cos 2A ⇒2cos(A ＋C)＋1＝0⇒cosB ＝12⇒B ＝π3⇒A ＋C ＝2B ⇒A 、B 、C 成等差数列．但当A 、B 、C 成等差数列时，sinA cosA ＝2cosC ＋cosA 2sinC －sinA 不一定成立，如A ＝π2、B ＝π3、C ＝π6.故是充分非必要条件．故选A. 6．(文)(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P(1，a n )，点Q(2011，a 2011)，则OP →·OQ →＝( )A ．2011B ．－2011C ．0D ．1[答案] A[解析] 由S 21＝S 4000得到S n 关于n ＝21＋40002＝2010.5对称，故S n 的最大(或最小)值＝S 2010＝S 2011，故a 2011＝0，OP →·OQ →＝2011＋a n ·a 2011＝2011＋a n ×0＝2011，故选A.(理)(2011·北京西城期末)已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.则下列命题中为真命题的是( )A ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 [答案] A[解析] 若对任意n ∈N *，有c n ∥b n ，则a n n ＝a n ＋1n ＋1＝a n ＋2n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以数列{a n }为等差数列．7．(文)(2010·浙江杭州)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )A.12B.23 C.34 D.45[答案] C[解析] 循环过程为i ＝1<4→i ＝2，m ＝1，n ＝11×2；i ＝2<4→i ＝3，m ＝2，n ＝11×2＋12×3；i ＝3<4→i ＝4，m ＝3，n ＝11×2＋12×3＋13×4；i ＝4<4不成立，输出n 的值．故n ＝11×2＋12×3＋13×4＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＝1－14＝34. (理)(2010·北京延庆县模考)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A．4B．5C．6D．7[答案] D[解析]由程序框图可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S<100得，2k＋1<101，∵26＝64,27＝128，∴k＋1＝7，∴k＝6，结合语句k＝k＋1在S＝S＋2k后面知，当k ＝6时，S＝127，k的值再增加1后输出k值为7.[点评]这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥100，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．8．(文)(2011·临沂模拟)数列{a n}、{b n}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60，则{a n＋b n}的前20项和为()A．700 B．710C．720 D．730[答案] C[解析]∵{a n}与{b n}均为等差数列，∴{a n＋b n}为等差数列，首项a1＋b1＝12，又a20＋b20＝60，∴前20项和为S 20＝＋2＝720.(理)(2010·湖北质检)若数列{a n}满足1a n＋1－1a n＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．已知数列{1x n}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________. [答案]20[解析] 由题意，若{a n }为调和数列，则{1a n }为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质可知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11＝20010＝20.故填20.9．(文)(2011·潍坊模拟)已知等比数列中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和S n ＝________.[答案]n n ＋1[解析] ∵a 4＝a 1q 3，∴81＝3q 3，∴q ＝3， ∴a n ＝3n ，∴b n ＝log 3a n ＝n ，令c n ＝1b n b n ＋1，则c n ＝1＋＝1n －1n ＋1， ∴{c n }的前n 项和S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝nn ＋1.(理)(2011·杭州二检)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α、β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则αβ＝________.[答案] 4[解析] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋d ＝q ＋＝q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2d ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4d ＝2，所以a n ＝2n ，b n ＝4n －1.若a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则满足2n ＝log α4n －1＋β，即2n ＝(n －1)log α4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4. 10．(文)(2011·江苏镇江市质检)已知1，x 1，x 2,7成等差数列，1，y 1，y 2,8成等比数列，点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则线段MN 的中垂线方程是________．[答案] x ＋y －7＝0[解析] 由条件得x 1＝3，x 2＝5，y 1＝2，y 2＝4，∴MN 的中点(4,3)，k MN ＝1，∴MN 的中垂线方程为y －3＝－(x －4)，即x ＋y －7＝0. (理)(2010·哈尔滨模拟)已知双曲线a n －1y 2－a n x 2＝a n －1a n (n≥2，n ∈N *)的焦点在y 轴上，一条渐近线方程是y ＝2x ，其中数列{a n }是以4为首项的正项数列，则数列{a n }的通项公式是________．[答案] a n ＝2n ＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上，又渐近线方程为y ＝2x ，∴a na n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1.11.在圆x 2＋y 2＝10x 内，过点(5,3)有n 条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列{a n }的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差d ∈(13，23]，那么n 的取值集合为( )A ．{4,5,6}B ．{6,7,8,9}C ．{3,4,5}D ．{3,4,5,6}[答案] A[解析] ∵圆x 2＋y 2＝10x ，∴(x －5)2＋y 2＝5，圆心为(5,0)，半径为5.故最长弦长a n ＝10，最短弦长a 1＝8，∴10＝8＋(n －1)d ，∴d ＝2n －1， ∵d ∈(13，23]，∴13<2n －1≤23，∴4≤n<7，又∵n ∈N *，∴n 的取值为4,5,6，故选A.12．(文)(2011·安徽百校论坛联考)已知a>0，b>0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab≥AGC ．ab≤AGD ．不能确定 [答案] C[解析] 由条件知，a ＋b ＝2A ，ab ＝G 2，∴A ＝a ＋b 2≥ab ＝G>0，∴AG≥G 2，即AG≥ab ，故选C.[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．(理)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是( ) A ．P≥Q B ．P<Q C ．P≤Q D ．P>Q [答案] D[解析] P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，∵q≠1，∴a 3≠a 9，∴a 3＋a 92>a 3a 9又∵y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.5a 3＋a 92<log 0.5a 3a 9，即Q<P.故选D.13．(文)(2011·南昌一模)小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为_____元．[答案] 78ar[解析] 依题意得，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋3ar ＋2ar ＋ar ＝＋2ar ＝78ar 元．(理)(2011·湖北荆门调研)秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．[答案] 255[解析] ∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，∴n 为奇数时，a n ＋2＝a n ，n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，即数列{a n }的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人．14．(文)(2011·江苏，13)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是_____．[答案]33[解析] ∵a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，且a 1＝1， ∴a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3，∵a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列， ∴a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2， ∵a 2≥1，q ＝a 3≥a 2≥1，∴q 2＝a 5≥a 4＝a 2＋1≥2，q 3＝a 7≥a 6＝a 2＋2≥3， ∵q≥1，∴q≥2且q≥33，∴q≥33， ∴q 的最小值为33.(理)(2011·福州市期末、河北冀州期末)已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于________．[答案] －1[分析] 利用导数可求b 、c ，由a 、b 、c 、d 成等比数列可得ad ＝bc.[解析] y′＝1x ＋2－1，令y′＝0得x ＝－1，当－2<x<－1时，y′>0，当x>－1时，y′<0，∴b ＝－1，c ＝ln(－1＋2)－(－1)＝1，∴ad ＝bc ＝－1.15．(2011·蚌埠质检)已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n≥2时， b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，当n≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋⎝⎛⎭⎫－12＋…＋⎝⎛⎭⎫－12n －2＝1＋1－⎝⎛⎭⎫－12n －11－⎝⎛⎭⎫－12 ＝1＋23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －2＝53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝⎛⎭⎫－121－1＝1＝a 1. 所以a n ＝53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1(n ∈N *)． 16．(文)(2011·焦作模拟)已知函数f(x)＝a x 的图象过点(1，12)，且点(n －1，a nn 2)(n ∈N ＋)在函数f(x)＝a x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <5.[解析] (1)∵函数f(x)＝a x 的图象过点(1，12)，∴a ＝12，f(x)＝(12)x .又点(n －1，a n n 2)(n ∈N ＋)在函数f(x)＝a x的图象上，从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1.(2)由b n ＝＋22n －n 22n ＝2n ＋12n 得，S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ，则12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得：12S n ＝32＋2(122＋123＋…＋12n )－2n ＋12n ＋1，∴S n ＝5－2n ＋52n ，∴S n <5.(理)(2011·山东文，20)等比数列{a n }中，a 1、a 2、a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1、a 2、a 3中的任何两个数不在下表的同一列．n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n lna n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [解析] (1)依次验证知a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18时符合题意，∴a n ＝2·3n －1(2)∵b n ＝a n ＋(－1)n lna n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n (ln2－ln3)＋(－1)n nln3∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n ](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n ·2n]ln3＝2×1－32n 1－3＋nln3＝32n ＋nln3－1.1．(2011·湖南六校联考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 5＝19，S 5＝55，则过点P(3，a 3)，Q(4，a 4)的直线的斜率是( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14[答案] A[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝195a 1＋5×42d ＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4，∴k PQ ＝4. 2．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 由条件知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4，∴S ＝12×4×3－12×2×2－12(2＋4)×1＝1.3．数列{a n }是公差d≠0的等差数列，数列{b n }是等比数列，若a 1＝b 1，a 3＝b 3，a 7＝b 5，则b 11等于( )A ．a 63B ．a 36C ．a 31D ．a 13[答案] A[解析] 设数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝a 1q 2a 1＋6d ＝a 1q4，得d ＝a 14(q 4－q 2)． ∴a 1＋a 12(q 4－q 2)＝a 1q 2，∵q≠1，∴q 2＝2，d ＝a 12，于是b 11＝a 1q 10＝32a 1.设32a 1＝a 1＋(n －1)·a 12，则n ＝63，∴b 11＝a 63.4．(2011·黄冈月考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38[答案] C[解析] ∵a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n ， ∴a 2a 1＝a 1＋1，∴a 2＝2，； ∵a 3a 2＝a 2－1，∴a 3＝12；∵a 4a 3＝a 3＋1，∴a 4＝3；∵a 5a 4＝a 4－1，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝34.5．等差数列{a n }的公差d≠0，且a 1、a 4、a 8成等比数列，则a 1＋a 4＋a 8a 2＋a 5＋a 9＝________.[答案]3740[分析] 此类问题一般依据条件和等差(比)数列的通项(或前n 项和)公式列方程求解．解方程时，注意等比数列的首项和公比都不能为0.[解析] ∵a 1、a 4、a 8成等比数列，∴a 24＝a 1·a 8，又{a n }成等差数列，公差d ，∴(a 1＋3d)2＝a 1(a 1＋7d)，∴a 1＝9d≠0， ∴原式＝9d ＋12d ＋16d 10d ＋13d ＋17d ＝37d 40d ＝3740.6．(2011·上饶市四校联考)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n＋2成等差数列，则q 的值为________． [答案] －2[解析] 若q ＝1，则由2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2⇒2na 1＝(n ＋1)a 1＋(n ＋2)a 1⇒2n ＝2n ＋3矛盾， ∴q≠1，由2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2可得2a 1－q n 1－q＝a 1－q n ＋11－q ＋a 1－q n ＋21－q⇒q n ＋2＋q n ＋1－2q n ＝0⇒q 2＋q －2＝0(∵q≠1)，解得q ＝－2.7．(2011·天津市二十区县联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，向量a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ，则S 5S 3＝________.[答案]317[解析] ∵a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ， ∴a·b ＝0，∴4a n －4－2S n ＝0，即S n ＝2a n －2， ∴S n －1＝2a n －1－2(n≥2)．两式相减得a n ＝2a n －1，∴a na n －1＝2. 由S n ＝2a n －2(n ∈N *)，得a 1＝2.∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n .∴S5S3＝－251－2－231－2＝317.8．(2011·苏州检测)正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n组中各数之和为A n；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n组中后一个数与前一个数的差为B n，则A n ＋B n＝________.[答案]2n3[解析]由题意知，前n组共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2个数，所以第n－1组的最后一个数为(n－1)2，第n组的第一个数为(n－1)2＋1，第n组共有2n－1个数，所以根据等差数列的前n项和公式可得A n ＝－2＋1]＋－2＋2n－1]2(2n－1)＝[(n－1)2＋n](2n－1)，而Bn＝n3－(n－1)3，所以A n＋B n＝2n3.。

2011年高考试题分类考点24 数列求和及综合应用

考点24 数列求和及综合应用一、选择题1.（2011·江西高考理科·Ｔ5）已知数列 {n a }的前n 项和n s 满足：n s +m s =n m s +，且1a =1，那么10a =( ) （A ）1 (B)9 （C ）10 (D)55 【思路点拨】n m n m 911010s s s m,n 9,m 1,S S S ,1.++===+==结合，对赋值，令n 即得即得a【精讲精析】选A.n m n m 911011091010s s s 9,m 1,S S S ,S S -S =a =1a =1.++=∴==+==∴ 令n 即得即，2.（2011·安徽高考文科·Ｔ7）若数列{}n a 的通项公式是a n =(-1)n(3n -2),则12a a ++…10a +=( ) （A ）15 (B)12 （C ）-12 (D) -15 【思路点拨】观察数列{}n a 的性质，得到.31094321=+==+=+a a a a a a 【精讲精析】选A. .31094321=+==+=+a a a a a a 故.151021=+++a a a 二、填空题3.（2011·江苏高考·Ｔ13）设1271=a a a ≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________.【思路点拨】本题考查的是等差数列与等比数列的综合问题，解题的关键是找出等差数列与等比数列的结合点，从而找到q 满足的关系式，求得其最小值. 【精讲精析】由题意：231212121112a a a q a a q a a q =≤≤≤+≤≤+≤，222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+，3223q a ≥+≥，而212221,1,,1,2a a a a a ≥=∴++ 的最小值分别为1，2，3；min q ∴=4.（2011·浙江高考文科·Ｔ17）若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =_______________.【思路点拨】可由不等式组11k k k k a a a a +-≥⎧⎨≥⎩解得.【精讲精析】设最大项为第k 项，则由不等式组11k k k k a a a a +-≥⎧⎨≥⎩得1122(4)(1)(5)3322(4)(1)(3)33k k k k k k k k k k k k +-⎧⎛⎫⎛⎫+≥++⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+≥-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,即2(4)(1)(5)32(4)(1)(3)3k k k k k k k k ⎧+≥++⋅⎪⎪⎨⎪+⋅≥-+⎪⎩,1k ≤,故4k =. 【答案】4 三、解答题5.（2011·安徽高考理科·Ｔ18）在数1和100之间插入n 个实数，使得这n +2个数构成递增的等比数列，将这n +2个数的乘积记作n T ，令lg n n a T =，1n ≥ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n 1b tan a tan a ,+=求数列{}n b 的前n 项和n S . 【思路点拨】本题将数列问题和三角函数问题结合在一起，解决此题需利用等比数列通项公式，等差数列前n 项和公式，及两角差的正切公式等基本知识.【精讲精析】（Ⅰ）设这n +2个数构成的等比数列为{}n c ，则100,121==+n c c ，则1001=+n q，11100+=n q ，又(n 1)(n 2)2n 12n 12n 2T c c c 1q q qq++++==⨯⨯⨯⨯=所以 .1,2100lg lg lg 222)2)(1(≥+====+++n n qT a n n n n n（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面，利用[]tan(1)tan tan1tan (1),1tan(1)tan k kk k k k+-=+-=++⋅得 .11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k所以21323tan(1)tan tan(1)tan (1)tan1tan(3)tan 3.tan1+==+===+⋅+-=-+-=-∑∑∑n n n k k k n k S b k kk kn n6.（2011·江苏高考·Ｔ20）设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k ∈M ，当整数n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立. （1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式.【思路点拨】本题考查的是等差数列概念、前n 项和与通项关系，其中（1）问较为容易，（2）问解决的关键是抓住题目的)(2k n k n k n S S S S +=+-+的转化从中找到解决问题的规律. 【精讲精析】(1)由题设知，当2≥n 时，)(2111S S S S n n n +=+-+ 即1112)()(S S S S S n n n n =----+，从而2211==-+a a a n n ，又22=a ，故当2≥n 时，22)2(22-=-+=n n a a n ，所以5a 的值为8. (2) 由题设知, 当{}4,3=∈M k ,且k n >时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+且)(2111k n k n k n S S S S +=++-+++，两式相减得n 1k n 1k n 1a a 2a +++-++=，即n 1k n 1n 1n 1k a a a a +++++--=-，所以当8≥n 时，6336,,,,++--n n n n n a a a a a 成等差数列，且6226,,,++--n n n n a a a a 也成等差数列，从而当8≥n 时，332-++=n n n a a a 66-++=n n a a )(*，且22-++n n a a 66-++=n n a a .所以当8≥n 时，222-++=n n n a a a ，即22-+-=-n n n n a a a a ，于是，当9≥n 时，3113,,,++--n n n n a a a a 成等差数列，从而33-++n n a a 11-++=n n a a ，故由)(*式知=n a 211-++n n a a ，即11-+-=-n n n n a a a a ，当9≥n 时，设1--=n n a a d ，当82≤≤m 时，86≥+m ，从而由)(*式知1262+++=m m m a a a ，故13172++++=m m m a a a ，从而m 7m 6m 1m m 13m 122(a a )a a (a a )+++++-=-+-，于是d d d a a m m =-=-+21. 因此d a a n n =-+1，对任意2≥n 都成立.又由k n k n k n S S S S 22=-+-+（{})4,3∈k 可知k k n n n k n S S S S S 2)()(=----+，故329S d =且4216S d =.解得d a 274=，从而d a 232=，d a 211=. 因此，数列{}n a 为等差数列，由11=a 知2=d ，所以数列{}n a 的通项公式为12-=n a n .7.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设 3132log log ......log ,n n b a a a =+++3log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1{}nb 的前n 项和. 【思路点拨】第（Ⅰ）问可由12231a a +=，23269a a a =联立方程组求得1a 和公比q ，从而求得n a 的通项公式.第（Ⅱ）问中，需先利用对数的性质化简n b ，再用裂项相消的方法求数列1{}nb 的前n 项和. 【精讲精析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得23a3249a a =所以219q =. 由条件可知0n a >,故13q =.由12231a a +=得11231a a q +=，所以113a =. 故数列{}n a 的通项公式为n a =1()3n.（Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-.故12112()(1)1n b n n n n =-=--++,.所以数列1{}n b 的前n 项和为21nn -+.8.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ17）已知等比数列{}n a 中，11a =3，公比13q =. （1）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=. （2）设31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列{n b }的通项公式.【思路点拨】第（1）问利用等比数列通项公式和求和公式求出n S ,n a ，然后证明等式12nn a S -=成立；（2）利用对数的性质化简n b ，即得{n b }的通项公式.【精讲精析】（1）n 1n 131()a 3-==1()3n，111(1-)1-3121-333==n n n S∴12nn a S -=. （2）31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+n(n 1)(123...n)2+=-++++=-. ∴数列{n b }的通项公式为n b =n(n 1)2+-. 9.（2011·广东文科·T20）设b>0，数列{n a }满足a 1=b,11(2)1n n n nba a n a n --=+-≥.(1)求数列{n a }的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n ，n 2a ≤bn 1++1.【思路点拨】（1）把题中条件变形为1111--⋅+=n nn n ，构造成为)11(111n n n n+-=+-，转化为等比数列，求得}11{ba n n-+的通项公式，进而求出}{n a 的通项公式.（2）利用均值不等式证明.【精讲精析】（1）由已知得1111--⋅+=n na nb ba n ）（2≥n ，当1≠b 时，上式变形为：)111(1111ba nb ba n n n-+-=-+-，即数列}11{b a n n -+是以)1(11111b b b a -=-+为首项，以b 1为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得：n n n bb b b b b a n )1(1)1()1(1111-=-=-+-，解得nn b nbb a --=1)1(；当1=b 时，有111=---n na n a n ，即{na n }是首项公差均为1的等差数列，则1=n a .综上所述⎪⎩⎪⎨⎧≠>--==)1且0(1)1()1(1b b b nb b b a nn n .（2）方法一：当12(1)1,(21,1nn n nnb b b a b b +-≠=≤+-时欲证只需证112(1))1nn n b nb b b +-≤+-12211121(1)11n n n n n n n b bb b b b b b +-+---+=+++++++-11111()--=++++++ n n n n n b b b b b b b(222)n b >+++ 2,n nb =12(1)21.1n n n nnb b a b b +-∴=<+-当b=1时，b n+1+1=2=2a n ,综上所述12 1.n n a b +≤+方法二：由（1）及题设知: 当1=b 时，1+n b +1=2=2n a ；当1且0≠>b b 时，nnk 1nn kk 1k 1n n n 1b11b 1b a (1b)nb nbb n--==-===⋅-∑∑，而nn 1n 210n 1n kk 1211111()()()()1bb b b b ()nn b----=++⋅⋅⋅++=≥=∑，∴21211111+-=≥n n nb bb a ）（，即2212+≤n n ba ，又2111221+++=≥+n n n bb b ，∴121+≤+n n b a .综上所述，对于一切正整数n 有121+≤+n n b a .10.（2011·广东高考理科·Ｔ20）设0>b 数列{}n a 满足111=,(2)22n n n nba a b a n a n --=≥+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n,1112n n n b a ++≤+ .【思路点拨】（1）把题中条件变形为1121+-⋅=⋅-n n a n a n b ，构造成为)211(2211b a n b b a n n n -+-=-+-，转化为等比数列，求得nn 1a 2b ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭的通项公式，进而求出}{n a 的通项公式.或用猜想证明的方法解决. （2）利用均值不等式证明.【精讲精析】（1）方法一：由已知得11)22(--=-+n nn n nba a n a a ，两边同除以1-n n a a ，整理得1121+-⋅=⋅-n n a n a n b ，当2≠b 时有： )211(2211b a n b b a n n n -+-=-+-（2≥n ）令n c n n +=1，则}{n c 是以)2(221111b b b a c -=-+=为首项，bq 2=为公比的等比数列.由等比数列通项公式得)2(2)2()2(21b b b b b c n nn n -=-=-，即)2(221b b b a n n n n-=-+ 从而nn nn b nb b a --=2)2(.当2=b 时，有2111=---n na n a n ，即}{n a n 是首项与公差均为21的等差数列，从而有2n a n n =，得2=n a . 综上所述⎪⎩⎪⎨⎧≠>--==)2且0(2)2()2(2b b bnb b b a nn nn 方法二：（ⅰ）当2b =时，{}n n a 是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222=+-⨯=n n n n a ，∴2n a =. （ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，33323333(2)242-==++-b b b a b b b ，猜想(2)2n n n nnb b a b -=-，下面用数学归纳法证明：①当1n =时，猜想显然成立；②假设当n k =时，(2)2k k k kkb b a b -=-，则 1111(1)(1)(2)(1)(2)2(2)2(2)2+++++⋅+⋅-+-===+-+⋅--k k k k k k kk k k k b a k b kb b k b b a a k kb b k b b ，所以当1n k =+时，猜想成立，由①②知，*n N ∀∈，(2)2n n n nnb b a b -=-．综上所述⎪⎩⎪⎨⎧≠>--==)2且0(2)2()2(2b b bnb b b a nn n n （2）方法一：（ⅰ）当2b =时， 112212n n n a ++==+，故2b =时，命题成立；（ⅱ）当2b ≠时，22122n n n n b b ++≥=，21211222n n n n b b b --+⋅+⋅≥=，11111,222n n n n n n b b b +--++⋅+⋅≥= ，以上n 个式子相加得2212n n b b -+⋅+111122n n n n b b +--++⋅+⋅+ 2121222n n n n b n b -++⋅+≥⋅，1221212112(2)[(222)2](2)2(2)2(2)n n n n n n n n n n n n n n nn b b b b b b b a b b +--++⋅-+⋅++⋅+-⋅-=≤-- 2212121(222)(2)2(2)2(2)n n n n n n n n nb b b b b b b --++⋅++⋅+--⋅-=- 2121111(2)222(2)n n n n n n n n nb b b b +++++--⋅+⋅=- 2111211(2)(22)2(2)n n n n n n n n nb b b b +++++-⋅+⋅-=-1112n n b ++=+．故当2b ≠时，命题成立；综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．方法二：由（1）及题设知: 当2b =时，11122n n n b a +++==，故b=2时，命题成立；当02b b >≠且时，1111111221212121;(2)n knnn kk n nn k k n k n n n kk k nnn n kk k n bb b b a n b b nb nb b nb b b n-------==--==-=====-∑∑∑∑而11210222221()()()()122()-----=++++=≥=∑ n n n n k n b b b b n k k n b n b112211212()()2-+∴≥=n n n a b b b，即122()2+≤n n b a，又112112()22++++≥=n n n b b 综上所述：对于一切正整数n,1112n n n b a ++≤+. 11.（2011·山东高考理科·Ｔ20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和S n .【思路点拨】（Ⅰ）由题意易知1232,6,18a a a ===.由等比数列的通项公式写出数列的通项公式. （Ⅱ）由题意易知数列{}n b 为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前n 项和，但是要分奇数和偶数两种情况讨论.【精讲精析】（Ⅰ）由题意可知1232,6,18a a a ===，公比32123a a q a a ===，通项公式为123n n a -=⋅；（Ⅱ）()1111ln 23(1)ln(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]---=+-=+-=+-+-nn n n n n n n n b a a n ×××当2(*)n k k =∈N 时，122n k S b b b =+++212(133){1(23)[(22)(21)]}ln 3-=+++++-+++--+- k k k 2132ln 331ln 3132-=+=-+-k n n k ×当21(*)n k k =-∈N 时，1221n k S b b b -=+++222(133){(12)[(23)(22)}ln 3ln 2-=++++-++---- k k k ]21132(1)ln 3ln 213--=----k k ×131ln 3ln 22-=---n n故31ln 3,2131ln 3ln 22⎧-+⎪⎪=⎨-⎪---⎪⎩n n n n n S n n 为偶数；，为奇数.12.（2011·山东高考文科·Ｔ20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：n b =(1)ln nn n a a +-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【思路点拨】（I ）由题意易知1232,6,18a a a ===.由等比数列的通项公式写出数列{}n a .（Ⅱ）由题意易知数列{}n b 可利用分组法求和.【精讲精析】（Ⅰ）由题意知1232,6,18a a a ===,因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⋅.（Ⅱ）n b =(1)ln nn n a a +-=123n -⋅+(1)[ln 2(1)ln 3]nn -+-=123n -⋅+(1)ln 2(1)(1)ln 3n n n -+--,所以0122112212(23232323)[(1)(1)(1)]ln 2[(1)0-=⋅+⋅+⋅++⋅+-+-++-+-⋅+ n n n S232(1)1(1)2(1)(21)]ln 3-⋅+-⋅++-⋅- n n 22(13)(111111)ln 2[01234(22)(21)]ln 313-=+-+-+--+++-+-+--+-- n n n=91n-+0ln 2ln391ln3nn n ⋅+=-+．13.（2011·辽宁高考理科·Ｔ17）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．【思路点拨】(Ⅰ)先求首项1a 和公差d ，再求通项公式；（Ⅱ）可利用错位相减法求和．【精讲精析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得⎩⎨⎧-=+=+,10122,011d a d a ⎩⎨⎧-==.1,11d a 故数列{}n a的通项公式为 .2n a n -= （Ⅱ）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和为n S ，即n S =,22121-+++n n a a a 故1S =1， n n n a a a S 242221+++= .所以，当n ＞1时，2n S =1112122---++-+n n n a a a a a -n n a 2=n 1n 1112n 1()2422---+++- =n n n 22)211(11-----=n n 2，所以n S =12-n n 综上，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和n S =12-n n . 14.（2011·北京高考理科·T20）若数列n A :12,,...,(2)n a a a n ≥满足11(1,2,...,1)k k a a k n +-==-，则称n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++.（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且5S(A )0>的E 数列5A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n ≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由.【思路点拨】（Ⅰ）写出满足条件的一个数列即可；（Ⅱ）分别证明必要性与充分性；（Ⅲ）先假设存在，看能否求出，求出即存在，求不出则不存在.【精讲精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E 数列5A . （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 数列5A ）（Ⅱ）必要性：因为E 数列n A 是递增数列，所以11(1,2,,1999)k k a a k +-== . 所以n A 是首项为12，公差为1的等差数列.所以200012(20001)12011a =+-⨯=. 充分性：由于200019991a a -≤，199919981a a -≤，…，211a a -≤，所以200011999a a -≤，即200011999a a ≤+. 又因为1200012,2011a a ==，所以200011999a a =+. 故110(1,2,,1999)k k a a k +-=>= ，即n A 是递增数列. 综上，结论得证.（Ⅲ）令1(1,2,3,,1)k k k c a a k n +=-=- ，则1k c =±.因为 2113112,a a c a a c c =+=++，…，1121n n a a c c c -=++++ ，所以11231()(1)(2)(3)n n S A na n c n c n c c -=+-+-+-++121(1)(2)1[(1)(1)(1)(2)(1)]n n n c n c n c -=-+-++---+--++-(1)2n n -=-121[(1)(1)(1)(2)(1)]n c n c n c ---+--++- 因为 1k c =±，所以1k c -为偶数(1,2,,1)k n =- . 所以121(1)(1)(1)(2)(1)n c n c n c ---+--++- 为偶数. 所以要使()0n S A =，必须使(1)2n n -为偶数，即4整除(1)n n -，亦即4n m =或*41()n m m N =+∈当*4()n m m N =∈时，E 数列n A 的项满足41434240,1,1m m m m a a a a +++===-= (1,2,,)k m = 时，有10,()0n a S A ==；当n=4m+1*()m N ∈时，E 数列n A 的项满足41434240,1,1m m m m a a a a +++===-= (1,2,,)k m = 时，有10,()0n a S A ==；当n=4m+2或n=4m+3*()m N ∈时，n(n-1)不能被4整除，此时不存在E 数列n A ，使得10,()0n a S A ==. 15.（2011·北京高考文科·T20）若数列n A ：12,,...,(2)n a a a n =≥满足11(1,2,...,1)k k a a k n +-==-，则称n A 为E 数列.记()n S A =12...n a a a +++.（Ⅰ）写出一个满足10s a a==50=a ，且S(5A )>0的E 数列5A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）在14a =的E 数列n A 中，求使得()0n S A =成立的n 的最小值.【思路点拨】（Ⅰ）写出满足条件的一个数列即可；（Ⅱ）分别证明必要性与充分性；（Ⅲ）利用E 数列的定义找出前面几项的和与0的关系，再求n 的最小值.【精讲精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E 数列5A . （答案不惟一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 数列5A ）（Ⅱ）必要性：因为E 数列n A 是递增数列，所以11(1,2,,1999)+-== k k a a k . 所以n A 是首项为12，公差为1的等差数列.所以200012(20001)12011a =+-⨯=. 充分性：由于200019991a a -≤，199919981a a -≤，…，211a a -≤，所以200011999a a -≤，即200011999a a ≤+. 又因为1200012,2011a a ==，所以200011999a a =+. 故110(1,2,,1999)k k a a k +-=>= ，即n A 是递增数列. 综上，结论得证.（Ⅲ）对首项为4的E 数列n A 由于21328713,12,,13a a a a a a ≥-=≥-≥≥-≥- ，… 所以120k a a a +++> (2,3,,8)= k .所以对任意的首项为4的E 数列n A ，若()0n S A =，则必有9≥n . 又14a =的E 数列n A ：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4满足()0n S A =，所以n 的最小值是9.16.（2011·湖南高考文科T20）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.（Ⅰ）求第n 年初M 的价值n a 的表达式；（Ⅱ）设n nn A na a a A 若.21+++=大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新.证明：须在第9年初对M 更新.【思路点拨】本题考查学生运用知识的能力，重点考查学生的以下能力：一是阅读能力.二是转化能力.三是表达能力.即能否把文字语言转化为符号语言的能力.四是解题能力.本题主要考查学生的阅读能力、建模能力和运算能力，阅读后建立数学模型是关键. 【精讲精析】（I ）当6n ≤时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列． 12010(1)13010;n a n n =--=- 当6n ≥时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为34的等比数列，又670a =，所以6370();4n n a -=⨯因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为(Ⅱ)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当16n ≤≤时，1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=-当7n ≥时， 666786333()570704[1()]780210()4443780210()4.n n n n n n S S a a a A n---=++++=+⨯⨯⨯-=-⨯-⨯= ， 666786333()570704[1()]780210()4443780210()4.n n n nn n S S a a a A n---=++++=+⨯⨯⨯-=-⨯-⨯= 因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又86968933780210()780210()4779448280,7680,864996A A ---⨯-⨯==>==<所以须在第9年初对M 更新．17.（2011天津高考文科T20）已知数列{}{}n n a b 与满足1*1113(1)(2)1,,, 2.2-+++-+=-+=∈=n nn n n n n b a b a b n N a 且（1）求23,a a 的值；（2）设*2121,+-=-∈n n n c a a n N ，证明{}n c 是等比数列；（3）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明*21212122121().3--++++≤-∈ n n n n S S S S n n N a a a a 【思路点拨】（1）n b 的通项公式是常数，对n 取值代入11(2)1nn n n n b a b a +++=-+求值；（2）由n c 的关系式，构造1n n c c +是常数；（3）由（2）求出2k a 的通项，得到2k S 的通项公式，再求和、放缩证明.【精讲精析】（1）由1*3(1),2-+-=∈n n b n N 可得2,,1,,⎧=⎨⎩n n b n 为奇数为偶数又()1121nn n n n b a b a +++=-+，当121231,21,2,;2n a a a a =+=-==-时由可得当2332,25,8.n a a a =+==时可得（2）对任意*∈n N 21212221n n n a a --+=-+ ①2221221n n n a a ++=+ ②②-①，得21211212132,32,4--++--=⨯=⨯=n n n n n n nc a a c c 即于是.所以{}n c 是等比数列. （3）12a =，由（2）知，当*2∈≥k N k 且时，2113153752123()()()()k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++-13523212(14)23(2222)23214----=+++++=+⨯=- k k k .故对任意*2121,2.--∈=k k k N a由①得212121*2212221,2,2---+=-+=-∈k k k k k a a k N 所以因此，21234212()()().2k k k kS a a a a a a -=++++++=于是，21212212.2---=-=+k k k k k S S a故21221221222121212121221.1222144(41)22k k k k k k k k k kk k k k kS S k k k a a ------+-++=+=-=-----。

2011届高考数学第一轮复习课件之数列的综合应用

基础知识梳理
银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型? 什么模型? 思考提示】单利公式—— 【思考提示】单利公式设本金为a元每期利率为r, 设本金为元,每期利率为 ,存期为 n,则本利和an=a(1+rn),属于等差 ,则本利和 + , 模型.复利公式——设本金为元, 设本金为a元模型.复利公式设本金为每期利率为r,存期为n,则本利和a 每期利率为 ,存期为 ,则本利和 n 属于等比模型. =a(1+r)n,属于等比模型. +
课堂互动讲练
【规律总结】处理分期付款问题规律总结】 (1)准确计算出在贷款全部付清时, 准确计算出在贷款全部付清时, 准确计算出在贷款全部付清时各期所付款额及利息(注各期所付款额及利息注:最后一次付款没有利息). 款没有利息 . (2)明确各期所付的数额连同到最后明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和, 一次付款时所生的利息之和,等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点, 之和,只有掌握了这一点,才可顺利建立等量关系. 立等量关系.
课堂互动讲练
n+ 49 + (5+ )n + 10 4 3.2×10 + × 3.2×104 n × 2 = + 20 n n +4.95, , 3.2×104 n × 取得最小值, 当且仅当 = 时,取得最小值, 20 n 此时 n=800. = 即一共使用了 800 天.
课堂互动讲练
【名师点评】解等差数列应用名师点评】题的关键是建模,建模的思路是: 题的关键是建模,建模的思路是: 从实际出发, 从实际出发,通过抽象概括建立数列模型,通过对模型的解析, 数列模型,通过对模型的解析,再返回实际中去,其思路框图为: 回实际中去,其思路框图为:

高中数学高考数学学习资料：专题3 第2讲数列的综合应用

[解]
nban－1 (1)∵a1＝b＞0，an＝， an－1＋n－1
n 1 1 n－ 1 ∴a ＝b＋b· ， a n n－1 n 1 1 令cn＝a ，则cn＝b＋bcn－1， n 1 1 ①当b＝1时，cn＝1＋cn－1，且c1＝＝b＝1 a1 ∴{cn}是首项为1，公差为1的等差数列， n ∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，于是cn＝a ＝n，这时an＝1； n
2．(2011· 新课标全国卷)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2 ＝1，a2 3＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋„＋log3an，求数列{b }的前n项和． n
解：(1)设数列{an}的公比为q. 1 2 2 2 由a3 ＝9a2a6得a2 ＝ 9 a ，所以 q ＝ . 3 4 9 1 由条件可知q＞0，故q＝ . 3 1 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝ . 3 1 故数列{an}的通项公式为an＝ n. 3
－
所以S2n＝b1＋b2＋„＋b2n ＝2(1＋3＋„＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－ 1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln3 1－32n ＝ 2× ＋nln3＝32n＋nln3－1. 1－3
1．(2011· 南昌模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋„＋log3an nn＋1 ＝－(1＋2＋„＋n)＝－ . 2 1 2 1 1 故b ＝－＝－2(n－ )． nn＋1 n＋ 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ＋＋„＋b ＝－2[(1－ )＋( － )＋„＋(n－ )]＝－ . b1 b2 2 2 3 n ＋ 1 n ＋ 1 n 1 2n 所以数列{b }的前n项和为－ . n＋ 1 n

高考数学考点11数列的综合应用

考点11数列的综合应用一、解答题1.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）（12分）函数f 32)(2--=x x x ，定义数列{}n x 如下：21=x ，1+n x 是过两点)5,4(P ，))(,(n n n x f x Q 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：321<<≤+n n x x ；（Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式.【解题指南】本题（Ⅰ）先求出直线n PQ 的方程，然后利用数学归纳法进行证明，（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的相关结论写出数列的递推公式，根据递推公式的结构特征，构造新数列，求数列{}n x 的通项公式. 【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明2≤x n ＜x n+1＜3.（ⅰ）当1=n 时，21=x ，直线1PQ 的方程为)4(425)2(5---=-x f y ，令0=y ，解得4112=x ，所以3221<≤≤x x . （ⅱ）假设k n =时，结论成立，即321<<≤+k k x x ，直线1+k PQ 的方程为)4(45)(511---=-++x x x f y k k ，令0=y ，解得112243+++++=k k k x x x . 由归纳假设知，332542542431112=+-<+-=++=++++k k k k x x x x ， 02)1)(3(11112>++-=-+++++k k k k k x x x x x ，即12++>k k x x . 所以3221<<≤++k k x x ，即当1+=k n 时，结论成立.由（ⅰ）（ⅱ）知，对于任意的正整数n ，321<<≤+n n x x 成立. （Ⅱ）由（Ⅰ）及nnn x x x ++=+2431. 设3-=n n x b ，则1511+=+nn b b ，)411(54111+=++n n b b ，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+411n b 是首项为43-，公比为5的等比数列.所以1543411-⋅-=+n n b ，即数列{}n x 的通项公式为153431+⋅-=-n n x .2.（2012·大纲版全国卷高考文科·Ｔ18）(12分)已知数列{}n a 中，11=a ，前n 项和n n a n S 32+=.(Ⅰ)求2a ,3a .(Ⅱ)求{}n a 的通项公式.【解题指南】由212a a S +=，求2a ；由3213a a a S ++=，求出3a ；求{}n a 的通项公式时利用1--=n n n S S a ，导出n 1a -与n a 之间的关系，根据递推公式的特点，求通项公式.【解析】（Ⅰ）121,3+==n n n a S a ，∴12243a a a +=， ∴23a =.又123353a a a a ++=，∴36a =.(Ⅱ)由题设知，11=a . 当1n >时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a . 111n n a n a n -+∴=-. 32412314513,,,...,231-+∴====-n n a a a a n a a a a n . 以上n 个式子的两端分别相乘，得到1(1)2n a n n a +=,又∵11=a , ∴(1)2n n n a +=. 3.（2012·重庆高考理科·Ｔ21）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121a S a S n n +=+ 其中02≠a .(1)求证:{}n a 是首项为1的等比数列;(2)若12->a ,求证:)(21n n a a n S +≤,并给出等号成立的充要条件.【解题指南】利用已知条件及数列前n 项和的性质可证明{}n a 为等比数列.可利用数学归纳法证明第(2)问.【解析】(1)方法一:由1122a S a S +=,得11221a a a a a +=+,即122a a a =,因为02≠a ,故,11=a 得212a a a =. 又由题设条件知1122a S a S n n +=++,121a S a S n n +=+, 两式相减得)(1212n n n n S S a S S -=-+++,即122++=n n a a a , 由02≠a ,知01≠+n a ,因此212a a a n n =++. 综上,21a a a nn =+对所有的*∈N n 成立,从而{}n a 是首项为1,公比为2a 的等比数列. 方法二:用数学归纳法证明*-∈=N n a a n n ,12.当1=n 时,由1122a S a S +=,得11221a a a a a +=+,即122a a a =, 因为02≠a ,故,11=a 所以结论成立. 假设当k n =时,结论成立,即,12-=k k a a 那么,)()()(22121121211kk k k k k k k k a a a S S a a S a a S a S S a ==-=+-+=-=--++这就是说,当1+=k n 时,结论也成立.综上可得,对任意的*∈N n ,,12-=n n a a 因此{}n a 是首项为1,公比为2a 的等比数列. (2)方法一:当1=n 或2时,显然)(21n n a a n S +=成立.设1,32->≥a n 且02≠a .由(1)知,,1121-==n n a a a 所以要证的不等式化为)3()1(211212222≥+≤++++--n a n a a a n n , 即证:2n n 2222n 11a a a (1a )(n 2)2+++++≤+≥.当12=a 时,上面不等式的等号成立.当112<<-a 时,12-r a 与12--r n a )1,,2,1(-=n r 同为负; 当12>a 时,12-r a 与12--r n a )1,,2,1(-=n r 同为正. 因此当12->a 且12≠a 时,总有)1(2-r a 0)1(2>--r n a ,即ra 2nrn a a 221+<+-)1,,2,1(-=n r ,上面不等式对r 从1到1-n 求和得),1)(1()(2212222n n a n a a a +-<+++- 由此得).1(21122222nn a n a a a ++<++++ 综上,当12->a 时,有)(21n n a a n S +≤,当且仅当2,1=n 或12=a 时等号成立. 方法二:当1=n 或2时,显然)(21n n a a n S +=成立. 当12=a 时,)(21n n a a n n S +==也成立.当12≠a 时,由(1)知1222,11-=--=n n nn a a a a S .下证:).1,1,3(),1(211221222≠->≥+<---a a n a n a a n n当112<<-a 时,上面不等式化为n n 1222(n 2)a na na n 2(n 3)--+-<-≥, 令.)2()(12222--+-=n n na na a n a f 当012<<-a 时,,0122>--n a 故n n 222222f (a )(n 2)a na (1a )(n 2)a n 2,-=-+-<-<-即所要证的不等式成立.当102<<a 时,对2a 求导得n 1n 22222f (a )n (n 2)a (n 1)a 1]ng(a ).--'=---+=[ 其中,1)1()2()(22122+---=--n n a n a n a g 则,0)1)(1)(2()(3222<---='-n a a n n a g即)(2a g 是)1,0(上的减函数,故,0)1()(2=>g a g 从而,0)()(22<='a ng a f 进而)(2a f 是)1,0(上的增函数,因此,2)1()(2-=<n f a f 所要证的不等式成立. 当12>a 时,令,12a b =则10<<b ,由已证的结论知 ,11211111222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--n na n a a两边同乘以12-n a 得所要证的不等式.综上,当12->a 且02≠a 时,有)(21n n a a n S +≤,当且仅当2,1=n 或12=a 时等号成立. 4.（2012·四川高考理科·Ｔ20）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立. （Ⅰ）求1a ，2a 的值；（Ⅱ）设10a >，数列110{lg }na a 的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值.【解题指南】（Ⅰ）直接把1,2n =代入22n n a a S S =+，构造关于1a ，2a 的方程组求解；（Ⅱ）先求出数列{}n a 的通项公式n a ，再求数列110{lg }na a 的通项公式，由对数的运算性质，可知数列110{lg}na a 为单调递减的等差数列，把所有正项求和即可. 【解析】（Ⅰ）取n=1,得2121122,=+=+a a S S a a ① 取n=2,得,222122a a a +=②又②-①，得2122)(a a a a =-③ 若a 2=0,由①知a 1=0, 若a 2210a a 1≠-=，由知③,④由①④解得，12a 1,a 2==12a 12==综上可得，a 1=0，a 2=0或1212a 1,a 2a 1a 2====或（Ⅱ）当a 1>0时,由（I）知12a 1,a 2.=当n 2n n 22a S S ≥=+，有（时,(2+2)a n-1=S 2+S n-1，所以n n 11a 2a ,-=（（即a n =)2(21≥-n a n , 所以111)2()12()2(--⋅+==n n n a a .令n 11n n n 1n 10a 11100b lg,b 11n 1lg 2lg a 222--==-=-=（-）则.所以数列{b n }是单调递减的等差数列（公差为1lg 22-），从而b 1>b 2>…>b 7=01lg 810lg=>，当n ≥8时，b n ≤b 8=128100lg2101lg 21=<，故n=7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为 T 7=177b b 7113lg 2217lg 2222++-==-（）（）. 5、（2012·四川高考文科·Ｔ20）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1{lg}na 的前n 项和最大？【解析】（Ⅰ）取n=1,得121111a 2S 2a ,a (a 2)0,λ==λ-=若a 1=0,则s 1=0,当n n n n 1n 2a s s 000,a 0(n 1)-≥=-=-==≥，所以时.若a 1λ201=≠a ，则.当n ,2a 22n n s +=≥λ时，,2a 211--+=n n s λ两式相减得2a n -2a n-1=a n ，所以a n =2a n-1（n ≥2）,从而数列{a n }是等比数列.所以a n =a 1·2n-1=nn 1222,-=λλ综上，当a 1=0时,n a 0;=当a 1nn 20a ≠=λ，时.（Ⅱ）当a 1>0且n n n n 1100100b lg,b lg 2n lg 2a 2λ====-，令由（1）有，时. 所以数列{b n }是单调递减的等差数列（公差为-lg2）. b 1>b 2>…>b 6=01lg 64100lg 2100lg6=>=，当n ≥7时，b n ≤b 7=01lg 128100lg 2100lg 7=<=，故数列{lgna 1}的前6项的和最大. 关闭Word 文档返回原板块。

广东省2011届高考数学二轮总复习课件：第15课时数列的综合应用(1)2

专题三数列
1 例1 已知函数f x 的定义域是 1,1，f ( ) 1， 2 x y 且当x，y 1,1时，恒有f x f y f ( )． 1 xy 1 2an 又数列an 满足a1 ，an 1 . 2 2 1 an
解析： 1 证明：令x y 0，则f 0 0. 再令x 0，得f 0 f y f y ， f y f y ，y 1,1．故f x 在 1,1 上为奇函数．
1 2 因为f a1 f ( ) 1，又由1 知f x f y 2 2an an an x y f( ) f an 1 f ( ) f( ) 2 1 xy 1 an 1 an an f an f an 2f an ．故 f an 是以 1为首项，为公比的等比数列， 2 f an 2n 1 (n N* )．
切入点： 1 利用an与Sn的关系求an；
2 利用错位相减法求和； 3 求和后用放缩法与基本不等式证明结论．
解析: 1 点(n，Sn )在f x 的图象上， 1 2 3 Sn n n. 2 2 当n 2时，an Sn Sn 1 n 1. 当n 1时，a1 S1 2，适合上式， an n 1(n N )．
1．数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量由小到大变化的一组函数值所组成的序列．注意深刻理解函数性质对数列的影响． 2．解决此类问题时主要注意把握好以下三点： (1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义； (2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征； (3)会用通性通法．
变式1 已知函数f x 对任意的x、y R均有f x y f x f y ， 1 f 1 . 2 1当n N*时，求f n 的表达式；

高三数学数列综合应用试题答案及解析

高三数学数列综合应用试题答案及解析1.某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入．已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n－1年销售收入an 与an－1(单位：万元)满足关系式：a n＝a n－1＋－100.(1)设今年为第1年，求第n年的销售收入an；(2)依上述预测，该企业前几年的销售收入总和Sn最大．【答案】（1）an＝500－－100(n－1)（2）前5年【解析】解：(1)由题意可知an －an－1＝－100(n≥2)，an－1－a n－2＝－100，…a 3－a2＝－100，a 2－a1＝－100，a1＝250＝.以上各式相加得，an＝500(＋＋…＋)－100(n－1)＝500·－100(n－1)＝500－－100(n－1)．(2)要求销售收入总和Sn的最大值，即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和．∵an＝500－－100(n－1)，∴要使an≥0，即500－－100(n－1)≥0，也就是＋≤1.令bn＝＋，则bn －bn－1＝＋－－＝－，显然，当n≥3时，bn >bn－1，而b5<1，b6>1，∴a5>0，a6<0.∴该企业前5年的销售收入总和最大．2.设数列{an }的前n项和Sn满足＝3n－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.【答案】（1）an＝6n－5(n∈N*)（2）10【解析】解：(1)由＝3n－2，得Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n＝1时，a1＝S1＝3×1－2＝6－5＝1.所以an＝6n－5(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝＝＝ (－)，故Tn＝ [(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝ (1－)．因此，使得(1－)< (n∈N*)成立的m必须满足≤，即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10.3.（14分）（2011•广东）设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2an≤b n+1+1．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列an的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．解：（1）∵（n≥2），∴（n≥2），当b=1时，（n≥2），∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，即an=1，当b＞0，且b≠1时，（n≥2），即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，∴=×=，即an=，∴数列{an}的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b＞0，且b≠1时，an =，要证对于一切正整数n，2an≤b n+1+1，只需证2×≤b n+1+1，即证∵==（b n+1+1）×（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+b n+2+b n+1）+（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=b n[（b n+b n﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥b n（2+2+…+2）=2nb n所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2an≤b n+1+1，点评：本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．4.已知数列,,2,,…,则2在这个数列中的项数为()A．6B．7C．19D．11【答案】B【解析】设,,,,…形成的数列为{an },被开方数形成的数列为{bn},从形式上讲,每一项都有二次根号,被开方数为2,5,8,11…,易归纳出数列{bn }的一个通项公式为bn=3n-1,所以an=,2==,解得n=7,所以2是这个数列的第7项.5.已知数列，对任意的，当时，；当时，，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．【答案】39366（）【解析】由题意，，，由此可得，，故第10个2应该是，即第项．【考点】数列的通项公式与数列的项．6.一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．（1）求第2行和第3行的通项公式和；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列；（3）求关于（）的表达式．【答案】(1),；（2）证明见解析，；（3）．【解析】（1）根据定义，，因此，；（2）由于第行的数依赖于第的数，因此我们可用数学归纳法证明；（3）设第行的公差为，，而，从而，即，于是有，由此可求得数列是公差为1的等差数列，而，由等差数列通项公式得，从而有．试题解析：（1）．（4分）（2）由已知，第一行是等差数列，假设第行是以为公差的等差数列，则由（常数）知第行的数也依次成等差数列，且其公差为.综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列．（9分）（3）由于，所以，（11分）所以，由得，（13分）于是，即，（15分）又因为，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，，所以（）．（18分）【考点】（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的判定；（3）由递推公式求通项公式．7. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点P n (n ，S n )都在函数f(x)＝x 2＋2x 的图象上，且在点P n (n ，S n )处的切线的斜率为k n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2k n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】（1）a n ＝2n ＋1（2）T n ＝·4n ＋2－【解析】(1)∵点P n (n ，S n )在函数f(x)＝x 2＋2x 的图象上，∴S n ＝n 2＋2n(n ∈N *)，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由f(x)＝x 2＋2x ，求导得f′(x)＝2x ＋2. ∵在点P n (n ，S n )处的切线的斜率为k n ， ∴k n ＝2n ＋2，∴b n ＝2k n a n ＝4·(2n ＋1)·4n ， ∴T n ＝4×3×4＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n ＋1)×4n ，用错位相减法可求得T n ＝·4n ＋2－.8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，则{a n }的通项公式为__________．【答案】a n ＝【解析】由log 2(1＋S n )＝n ＋1，得S n ＝2n ＋1－1. n ＝1时，a 1＝S 1＝3.n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n . 当n ＝1时a 1＝3不符合上式，∴a n ＝9. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a n ＝S n －1＋2(n ≥2)，a 1＝2. (1)求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝，T n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ，是否存在最大的正整数k ，使得对于任意的正整数n ，有T n ＞恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）2n （2）存在【解析】(1)由已知a n ＝S n －1＋2， ① 得a n ＋1＝S n ＋2. ②②－①，得a n ＋1－a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝2a n (n ≥2)．又a 1＝2，∴a 2＝a 1＋2＝4＝2a 1， ∴a n ＋1＝2a n (n ＝1,2,3，…)，∴数列{a n }是一个以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2·2n －1＝2n ，n ∈N *. (2)b n ＝＝＝，∴T n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＝＋＋…＋，T n ＋1＝b n ＋2＋b n ＋3＋…＋b 2(n ＋1)＝＋＋…＋＋＋. ∴T n ＋1－T n ＝＋－＝＝.∵n 是正整数，∴T n ＋1－T n ＞0，即T n ＋1＞T n .∴数列{T n }是一个单调递增数列．又T 1＝b 2＝，∴T n ≥T 1＝，要使T n ＞恒成立，则＞，即k ＜6.又k 是正整数，故存在最大正整数k ＝5使T n ＞恒成立． 10. 若，则___________ ．【答案】【解析】由，可得，所以．【考点】代数式的处理11. 数列的首项为，为等差数列且 .若则，，则( )A ．0B ．3C ．8D ．11【答案】B 【解析】由为等差数列且，，则，所以，故，累加得，所以.【考点】1、等差数列的通项公式；2、累加法.12. 已知数列是等差数列，且，；又若是各项为正数的等比数列，且满足，其前项和为，. (1)分别求数列，的通项公式，； (2)设数列的前项和为，求的表达式，并求的最小值. 【答案】(1)，；(2)，.【解析】(1)首先设出公差和公比，根据已知条件及等比数列和等差数列的性质，列方程组解方程组，求得公差和公比，写出各自的通项公式；(2)因为取偶数和奇数时，数列的项数会有变化，所以对分取偶数和奇数两种情况进行讨论，根据等差数列和等比数列的前项和公式，求出的表达式，根据前后两项的变化确定的单调性，求得每种情况下的最小值，比较一下，取两个最小值中的较小者. 试题解析：(1)设数列的公差是，的公比为，由已知得，解得，所以； 2分又，解得或(舍去)，所以； .4分(2)当为偶数时，，当为奇数时. .10分当为偶数时，，所以先减后增，当时，，所以；当时，，所以；所以当为偶数时，最小值是. 12分当为奇数时，，所以先减后增，当时，，所以，当时，，所以，所以当为奇数时，最小值是.比较一下这两种情况下的的最小值，可知的最小值是. .14分【考点】1、等差数列与等比数列的前项和公式；2、数列与函数单调性的综合应用；3、数列与求函数最值的综合运用；4、数列的函数特性.13.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为,数列的前项和为,点均在函数的图像上.（1）求的解析式；（2）求数列的通项公式；（3）设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数.【答案】（1）（2）（3）10【解析】（1）利用导函数及待定系数法求解；（2）利用与的关系求通项公式，要注意对进行讨论；（3）数列求和的方法由数列的通项公式决定.常用的方法有：公式求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法等。

河北省2011届高考数学一轮复习知识点攻破习题：数列的综合应用

数列的综合应用时间:45分钟分值：100分一、选择题（每小题5分,共30分)1．已知数列｛a n｝的前n项和S n＝2n－1,则此数列的奇数项的前n项和是（）A.错误!（2n＋1－1）B.错误!(2n＋1－2)C.错误!（22n－1）D。

错误!(22n－2)解析:由S n＝2n－1，得a n＝2n－1，∴数列{a n｝是以1为首项，2为公比的等比数列．∴此数列的奇数项的前n项和为错误!＝错误!＝错误!（22n－1）．答案：C2．已知a，b,a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<log m （ab）〈1，则m的取值范围是（) A．（0,1）B．（1,＋∞)C．（0,8）D．(8，＋∞）解析：∵a，b，a＋b成等差数列,∴2b＝2a＋b，b＝2a。

①∵a，b，ab成等比数列，∴a≠0，b≠0,且b2＝a2b，b＝a2.②由①②知a2＝2a,a＝2，b＝4,ab＝8.∵0<log m(ab）＝log m8<1，∴m〉8.答案：D3．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是（）A．1994 B．1996C．1998 D．2000解析：设出齐这套书的年份是x，则（x－12)＋（x－10)＋(x－8）＋…＋x＝13958,∴7x－7(12＋0)2＝13958,x＝2000.答案：D4．(2009·宁夏银川一模）已知正数组成的等差数列｛a n｝的前20项的和为100,那么a7·a14的最大值为（）A．25 B．50C．100 D．不存在解析：由S20＝100得a1＋a20＝10,∴a7＋a14＝10。

又a7〉0，a14〉0,∴a7·a14≤(a7＋a142)2＝25。

答案：A5．(2009·河南郑州一模)数列｛a n｝中，a1＝1，a n,a n＋1是方程x2－（2n＋1）x＋错误!＝0的两个根，则数列{b n}的前n项和S n等于（) A。

2011全国理科数学‘数列’部分高考题学习资料

(k 1)bk 1(b 2)
，
bk 1 2k 1Fra bibliotek所以当 n k 1 时，猜想成立，
由①②知，
n N * ， an
nbn (b 2)
．
bn 2n
（２）（ⅰ）当 b
2 时， an
2
2n 1 2n 1
1，故 b
2 时，命题成立；
（ⅱ）当 b 2 时， b2 n 22 n 2 b2n 22 n 2n 1 bn ，
1 tan( k 1) tan k
得
tan(k 1) tan k
所以
tan(k 1) tan k 1 tan 1
n
n2
Sn
bi
tan(k 1) tan k
i1
i3
n 2 tan(k 1) tan k
(
1)
i3
tan1
tan( n 3) tan 3 n
tan 1
2、若数列 An a1 ,a2, ...,an( n 2) 满足 an 1 a1 1(k 1,2,..., n 1) ，数列 An 为 E 数列，
bn 2n 1
(b2n 1
bn 1 2n ) (bn 2n 1 2n 1 (bn 2n )
22n 1 )
bn 1 2n 1 1 ．故当 b 2 时，命题成立；
综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．
5、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足： a1 a (a 0) ， an 1 rSn (n N* ，
2
即 4 整除 n(n 1), 亦即 n 4m或n 4m 1( m N*) .
当
n 4m 1( m N*) 时, E数列 An的项满足 a4k 1 a4k 1 0, a4k 2

历年高考真题考点归纳2011年第六章数列第二节数列的应用.pdf

1.（四川理11）已知定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为，且的前项和为，则 A．3 B． C．2 D．【答案】D 【解析】由题意,在上， 2．（上海理18）设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为 A．是等比数列。

B．或是等比数列。

C．和均是等比数列。

D．和均是等比数列，且公比相同。

【答案】D 3．（福建理10）已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断： ①△ABC一定是钝角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是 A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④ 【答案】B 4．（安徽理14）已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________. 【答案】 5．（湖北理13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。

【答案】 6．（安徽理18）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项和. 本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I）设构成等比数列，其中则 ① ② ①×②并利用（II）由题意和（I）中计算结果，知另一方面，利用得所以 7．（福建理16）已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。

（I）求数列{an}的通项公式；（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。

本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。

2011年高考数学难点、重点突破精讲精练专题四：数列中的应用问题教师版

专题04数列中的应用问题【名师导航】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏.一般情况下都是一个客观题和一个解答题，分值占整个试卷的10%左右. 数列在实际问题中也有广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险等问题，其中，以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体和有着高等数学背景的数列解答题是未来高考的一个新的亮点。

【考纲知识梳理】数列的综合应用1、解答数列应用题的步骤：（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；（3）求解——求出该问题的数学解；（4）还原——将所求结果还原到实际问题中。

2、数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。

注：银行储蓄单利公式及复利公式所属模型分别是：单利公式——设本金为a 元，每期利率为r ，存期为n ，则本利和(1)n a a rn =+，属于等差模型；复利公式——设本金为a 元，每期利率为r ，存期为n ，则本利和(1)nn a a r =+，属于等比模型。

（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是n a 与1n a +的递推关系，还是前n 项和n S 与1n S +之间的递推关系。

【热点难点精析】以等差数列为模型的实际应用 ※相关链接※1、解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。

然后用等差数列知识求解。

这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。

2011届全国各地高考数学试题汇编数列的应用2

数列的应用题组二一、选择题1. （2011湖南嘉禾一中）设|)7||3lg(|,++-<∈x x a R x 如果恒成立，那么（）A ．1≥aB ．a>1C ．10≤<aD ．a<1答案 D.2．（成都市玉林中学2010—2011学年度）等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则15S 的值为：（A ）180 （B ）240 （C ）360 （D ）720 答案C.3．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A ）124414128C A A（B ）124414128C C C （C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A 答案 B . 解：有14名志愿者，但每天早、中、晚三班，每班4人，只需12人，所以应先从14人中选出12人，然后这12人再来分组排班。

12444141284C C C C ∴ 故选B4. （成都市玉林中学2010—2011学年度）函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（A ）(1,2)(2,3) （B ）(,1)(3,)-∞+∞ （C ）（1，3）（D ）[1，3]答案 A. 解：2222430131()2log (43)431x x x f x x x x x x ⎧-+-><<⎧⎪=⇒⇒⎨⎨≠-+--+-≠⎪⎩⎩ 故选A5．（江苏泰兴市重点中学2011届）若函数2()log (3)(01)a f x x ax a a =-+>≠且，满足对任意的1x 、2x ，当221ax x ≤<时，0)()(21>-x f x f ，则实数a 的取值范围为___________ 答案，(1,23)，6．（江西省2011届文）集合2{0,2,},{1,},{0,1,2,4,16}A a B a A B ==⋃=若，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．4答案 D.7..（江西省2011届理）已知1>a ，10<<<y x ，则下列关系式中正确的是（）A y x a a >B a a y x > y x a a log log > D a a y x log log >答案 D.8.（江苏省2011届数学理）右图是函数b ax x x f ++=2)(的部分图象，则函数()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是（）A 11(,)42B (1,2)1(,1)2D (2,3)答案 B. 9．（四川省成都市2011届高三理）函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为A.(1,2)(2,3)B.(,1)(3,)-∞+∞C.（1，3）D.[1，3] 答案 A.10．（四川省成都市2011届高三文）等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则10921a a -的值为：A.10B.11C.12D.14 答案 C.11.（浙江省杭州市高级中学2011届高三考文）函数()2()3log 6f x x x =+- 的定义域是（）A {}|6x x >B {}|36x x -<<{}|3x x >-D {}|36x x -<≤答案 D 。

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∴S6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36.
∵a2＝3，∴a5＝9，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2，又∵a1＝a2－d＝1，∴an＝2n－1. (2)由等比数列{bn}满足 b1＋b2＝3，b4＋b5＝24，
b4＋b5 得b1＋b2＝q3＝8，∴q＝2，
∵b1＋b2＝3，∴b1＋b1q＝3，∴b1＝1，bn＝2n－1，
数பைடு நூலகம்的综合应用
题组一等差、等比数列的综合问题
ac 1.已知 a，b，c 成等比数列，a，m，b 和 b，n，c 分别成两个等差数列，则m＋n等于 ( )
A．4 B．3
C．2
a c an＋cm a＋b b＋c ·
解析：由题意得 b2＝ac,2m＝a＋b,2n＝b＋c，则m＋n＝ mn ＝ 2 2 ＝
ab＋ac＋ac＋bc
ab＋ac＋b2＋bc
答案：C
2
＝2.
2．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且 a6＝b7，则有
A．a3＋a9≤b4＋b10
B．a3＋a9≥b4＋b10
C．a3＋a9≠b4＋b10
D．a3＋a9 与 b4＋b10 的大小不确定解析：∵a3＋a9≥2 a3a9＝2 a26＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当 a3＝a9 时，不等式取
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2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们社邓新。出寻始会小的邓（找终主平关小1一代义）坚键平种表的我2持在对能.1中本国把科人社9够国质社5发学才会从4先，会展社年，主更进是主作会，人义深生解义为主毛才本层产放制执义在的质次1力生度政理《成所.认社1的产还兴论论长作.识会发发力刚国和十靠的社主展展，刚的实大教概会义才要发建第践关坚育括主本是求展立一的系2持。，义质硬、，生，要基》以人一，理道发大产还务本重发才方从论理展力力没是成要展资面而把，才促，有由果讲社的源强为我把是进消完中，话会办是调中四们发（硬先灭全国抓中主法第必国、对展2道进剥建共住提三义解一）须的科社生理生削立产“出、经决资采解社学会产，产，党什（代济前源取放会技主力是力消还的么1表基进。从和主术义作）对的除不执是中础科低发义是1的为吧社3发两完政社9国基的学级展.建第发认社二国5会展极全地会先本问技到6生设一展识会、内主，年分巩位主进建题术高产在生才提主发外义是底化固所义生立，实级力改产是高义1展一时中我，的决邓产的是力9，革力硬到建是切间5国最思定怎小力同实和国另3开道了设党积经共对终想年的样平的时行国家一放理一的执极验产农达。1，建一发，改民资方中2，个根政因教党业到（是设月再展我革教本面探是新本兴素训站、共2对社，强要国开育主指索）适的任国都的在手一同执会毛调求的放水义出出第创应科务在的调深时工、富1政主泽，政以平的4了一三造.时学，社第动刻坚代.业发裕规义东中一治来，过2解条节性代水符会一起总持前.和展。律”关社国个领我始度放发、地主平合阶要来结社列资才”认这于会社公域们终形和展社提题。马级务为。会，本是1识个总主会有也党是式发更会9出变社克二关中主保硬的根8路义主制发的衡。展快主了化会思6、系国义持道3深本线基义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制本体重主邓合国力民根主要本基.主变事所平化向业1也，整度制，大要小国家的享本9义。质本义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任理原6本的服问法设根社对刻表确的个化验年提和本段到会 1务论理第质同务题进与本会一党揭.述立确共，。出社主社和社主基的，二理时的行社体主、实示：，立同确苏“会义会目会3义本提是节论，基关改会现义社现了.从为，富立共社文，社主的主一改矛出巩、的我本键造主和改会其社中当使裕了二会明就会义。义、造盾，固对重国方是。义根造之所会华代占，中十主程是主基建中的和为和第社要针这改本基一承主人中世这国大义度在义本设国基两进发一会意。靠不造要本本担义民国界是共以财的国基制内成特本类一展节主义的（自仅同求完质的本共一人我产后富重家本度涵果色完矛步社、义主2己保时。成理历质和切口们党毛属要直）制的包最伴社成盾推会中本要的证并，论史，国发四必领泽于标接正度确括大随会，的进主国质矛发了举标第的这成展分须导东人志控确的立（，着主是学改义特理盾展2社。志五提需是立进之坚的提民。制处确是1.能社义我说采革制色论也。会实着章）出要对，步一持人出，和理立中够会建国，取开度社的发的践中把。马到奠的民要社支经，国社充经设强积放的会提生稳证国解克社定东民“会配济是历会分济道调极和必主出了定明历放思会了方主以下建4广史主体制路要引社然义变，.史和主主把制大专苏义的设大上义现度初严导会要二建化而党上发义义对度国政为的资和劳最的出和步经格、主求设。且坚长展的改企基进党的鉴致本社动深本对社探济区逐义。确道人极持达生重造业础入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产大基的。了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千力逐发本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年概步展完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的括实，成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶为现对，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级国于这人制社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥家建是的度会线治道富资列家变的一本变类中了成制迅主社削的设一改的，第制路。本重的革道、变化不国强立度速义会制社中个造建这三主度。社大主，路社化，同这大，的发事主度的会国过结立是节要。会义关人也，1会社性场的标重展业义的本主特.渡合极世、内人主有系解和是奠主我会质巨思志大的的工结（质义色时起大界社容民义初。决社2定义国主的大想着意需发业束30。工社期来地社（会被民原级了会）世了基社义矛而武我义要展化，（业会。，提会2主概则和3在生把纪理本会经盾深器国同），同实2化主党把高主对义括专，高一产资中）论制的济，刻。新经遵改总时现新是义在对了义手制为政第级个资本国强基度阶成在特的通民济循革之并了民党具这资工运二七度“实一形以料主又调础的级分新别社过主文自4过，举由主在有个本人动、届业在一质是式农的.（义一消，初关已民是它会（没主化愿于和的新主过重过主阶史新社二的中化上发之民主1工次灭开步系占主要是变4收义不互集平方民（）义渡大渡义级上民会中社国三已展）分为人商划剥阔确也绝主正中革官能利中改针主3用社时的时工和又主全会的改成生坚。主）业时削了立发对义确国，僚命满、的造，主和会期理期商广一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义平的论.的业大个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向赎五总和总搞劳历革造出改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3买种路实路糟动史命的使造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会的经线践线成人性理历中，化级是导的义后1农为巨极。√的会内体对革成本要的和如刻主）方济的意和为民的论史国党”专共、工的村自变分邓中主指部实生命的结建国初实的义积法成主义总自的伟是经“ 和即政同稳家商半的食。化小国义导矛际产在走社束状设家步现社的极改分体。任食积大以验稳政社；致步资业殖阶其们平社革。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极胜一毛步府会人富前本的民级力吐对1会命有，。发的个村主社之加助想会变导资—要.，力性利、泽地采主民。进农社地和的出社第必制中（，发以包义会间强的，变革农本社从是的和。适东由取义代”的业会半阶社了会二须已国3不展农围的主党原要革中社民主会根）要社创合为农了工表这方是、主封层会最主节级走成共拘造民城国义矛的则求与保会组义主本从在会造中主业积大段针国手义建状主终义、构农为产泥成为市营改盾建，2中经持主织工义上全一主性国要极化会话，家工改的.况义达本社成村我党武于破主、经造，设以央济社义起商性改体个义。特代转领，制成采对业造东，劳到质会主包国领装已坏体武济阶成，互向发会基来业中质变人相劳点表变导“度为取私的方制动共所主要围社导斗有，的装段为（助地展稳本，。国的中民当动的为，三、社循营社大定者同��
等号．
答案：B
3．(文)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 a2＝3，S6＝36. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}是等比数列且满足 b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.设数列{an·bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn. 解：(1)∵数列{an}是等差数列，