第1章随机信号概论特征函数随机过程统计特性
随机过程-第一章__概率预备知识
第一章 预备知识
1.1 概率空间 • 随机试验 试验的结果事先不能准确预言,但具有特性 (1) 可以在相同的条件下重复进行; (2) 每次试验的结果不止一个,但预先知道试验的所有 可能的结果; (3) 每次试验前不能确定哪个结果会出现. • 样本空间 由随机试验所有可能结果组成的集合(Ω). • 样本点或基本事件 Ω中的元素e. • 事件 Ω的子集A. Ω称必然事件;空集υ称不可能事件. ς-代数F, F上的概率,独立事件族G : 定义1.1 设Ω是一个集合,F 是Ω的某些子集组成的集合 族. 如果
• 有 • 教 • • • •无 类
课程内容
• 硕士研究生课程应用数学基础主要讨论随机过程,包括: 随机过程的基本概念; 泊松过程; 马尔可夫过程; 平稳随机过程. 为了教学的方便, 对概率论的一些有关知识,也作了必 要的回顾. • 在马尔可夫过程中介绍:马尔可夫链和连续时间的马尔 可夫链;在平稳随机过程中介绍:平稳随机过程,平稳过 程的谱分析以及时间序列分析. • 主参考书目: 陆大铨编著,随机过程及其应用,清华版, 1986; S.M.Ross著, 何声武等译,随机过程, 统计版, 1997; 刘次华编著, 随机过程, 华中理工版, 2001.
概率空间
(3) 对两两互不相容事件A1,A2,…(当i≠j时,A1∩A2= υ),有P( i 1 Ai )=i 1P(Ai), 则称P是(Ω,F )上的概率. (Ω,F ,P)称为概率空间,P(A) 为事件A的概率. 由定义1.2且有: (4) P(υ)=0; (5) 若A,B∈F ,A B,则P(B\A)=P(B)-P(A),即概率具 有单调性; P( An),A1 A2… n 1 (6) 设An∈F ,n=1,2,…则lim P(An)= n
1.随机过程概论
引例 2（120急救电话台接收呼叫次数）
用 X (t ) 表示在时间间隔 (0 , t ] 内接收到的呼叫次数 . 显然，X (t ) 随时间 t 的变化而变化构成一个随机变量族，
引例 3（股票市场某只股票在一年中第t个交易日的收 盘价格）
用 P(t ) 表示在某只股票在第t个交易日的收盘价格, 则 P(t ) 是随着时 间 t 变化的随机变量族 ,记为 {P(t ) , t 1,2,3,...... } .
通常称这样的随机变量族为 随机过程 .
1.1.2 随机过程的基本概念
设 T R , 若 t T , 存在定义在概率空间 ( S , F , P ) 上的随
机变量 X (t , e ) , e S 与之对应, 则称依赖于参数 t 的随机变量族
{ X (t , e ) , t T , e S } 为随机过程 . 简记为 { X (t ) , t T } 或 { X (t ) } .
1 2 n
记全体有限维分布函数的集合为 { Ft ,t ,,t ( x1 , x2 ,, xn ), t1 , t 2 ,, t n T , n 1 }
1 2 n
称为随机过程 X (t ) 的有限维分布函数族 .
若随机过程 { X (t ) , t T } 的有限维分布函数满足条件
x( t )
o
随机信号分析第一章
2020/6/8
合肥工业大学
49
1.3 随机变量的函数
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50
1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
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1.2 随机变量要点回顾
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1.2 随机变量要点回顾
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1.2 随机变量要点回顾
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1.2 随机变量要点回顾
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1.2 随机变量要点回顾
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第1章 概率论基础
本章将复习与总结概率论的基本知识 也扩充一些新知识点，比如：
1) 利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的 概率密度函数，
2) 随机变量的条件数学期望 3) 特征函数 4) 瑞利与莱斯分布 5) 随机变量的基本实验方法
合肥工1业/1大08学
1.1 概率论复习
随机信号分析第一章
学时：30
中原工学院电子信息学院
2019年8月21日
1
通信 原理
现代数字 信号处理
专业基础课
模式 识别
自适应信 号处理
信号与 系统
数字信号 处理
随机信号分 析与处理
雷达 系统
统计信号 处理
专业课程
图像 处理
信息论 与编码
时频 分析
小波 分析
信号分析与处理课程体系结构
研究生 课程
本课程是理工科学生的一门基础理论课。概
率论与随机过程是研究随机现象客观规律性的数学
学科。随着科学技术的发展以及人们对随机现象规
律性认识的需要，概率论与随机过程的思想方法正
日益渗透到自然科学和社会科学的众多领域中。
9
（二）课程教学的目的和要求
掌握：在理解并掌握随机事件与概率的计算基
础上，通过本课程的学习，理解随机信号分析
3
随机信号分析与处理是一门研究随机信号 的特点与规律的学科，它广泛应用于雷达、 通信、自动控制、随机振动、地震信号处理、 图像处理、气象预报、生物电子等领域。近 几年来，随着现代科学技术，特别是信息科 学技术的发展，随机信号处理已是现代信号 处理的重要理论基础和有效方法之一。
4
随着现代化发展的需要，掌握这套方法，已不仅仅是 我们通信、信息类专业的要求，也已成为所有科技领域、 金融、管理、生物医学等许多专业的需要。
第一章随机过程
C X u E e juX e juxi P X xi
i
X为连续随机变量时，其特征函数为
CX u E e e jux f X x dx 1 jux f X x e C X u du 2
1 2
求随机变量Y1=g1(X1,X2)和Y2=g2(X1,X2)的联合概率密度?
单值变换函数 X1=h1(Y1,Y2)和X2=h2(Y1,Y2)
fY1Y2 y1, y2 f X1X 2 x1, x2 J
h1 y1 J h2 y1 h1 y2 h2 y2
16
《随机信号分析》教学组
二维随机变量函数分布(例)
例3 已知 ( X1 ,X2 )的联合密度函数为
3x1 , 0 x1 1,0 x2 x1 f ( x1 , x2 ) 其他 0,
Y = X1 + X2 ,求 f Y (y)
解：
令
Y X 1 X 2 X2 Z
X1 Y Z Z X 2
11
一维随机变量函数分布
情况1：
随机变量Y是随机变量X的单调函数，并存在反函数X=h(Y)，则
fY y f X h y h y
情况2：
随机变量Y是随机变量X的多值函数，假设一个Y值对应两个X值， 且X1=h1(Y)和X2=h2(Y)，则
随机信号分析第一章2010
§1.2 随机变量的概率分布
1、概率分布函数 、 定义随机变量X取值不超过x的概率为概率分布函数： 定义随机变量X取值不超过x的概率为概率分布函数：
FX ( x ) = P ( X ≤ x )
概率分布函数反映了随机变量X落在区域（ 概率分布函数反映了随机变量X落在区域（-∞，x] 内的概率。 内的概率。
∫
p ( x ) dx
概率密度函数
对于离散随机变量， 对于离散随机变量，其概率密度函数为
dF ( x ) p(x) = = dx
∑
i
p iδ ( x − x i )
概率密度函数
概率密度函数
3.多 3.多维随机变量及其分布 由多个随机变量构成的矢量称为多维随机矢量或多 维随机变量。 维随机变量。 如二维随机变量用（ ， ）表示， 维 如二维随机变量用（X，Y）表示，n维随机变量用 随机变量用 表示。 （X1X2X3…Xn）表示。 二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，或称二维分 的联合分布函数， 二维随机变量 布函数: 布函数
边缘分布
将
p X ( x) = pY
∫ ( y) = ∫
∞
−∞ ∞
p XY ( x , y ) dy p XY ( x , y ) dx
−∞
称pX(x)和pY(y)为X和Y的边缘概率密度函数。 和 为 和 的边缘概率密度函数。
随机过程第一章(下)汇总
随机过程
有限维分布函数族 相容性 对称性
Kolmogorov存在定理（柯尔莫哥洛夫）
设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数 族F，则必存在概率空间（Ω,F,P）及定义在其上的随 机过程{X(t),t∈T}，它的有限维分布函数族是F。
数字特征
设XT={X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意t∈T，E[X(t)] 存在，则称函数
当两个随机过程互不相关且均值函数为零时:
复随机过程
定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
Zt X t iYt
其中 i 1 ，则称{Zt, t∈T}为复随机过程。 复随机过程的数字特征函数
均值函数 方差函数
mZ (t) E(Zt ) EX t iEYt
DZ (t) E[| Zt mZ (t) |2 ] E[(Zt mZ (t))(Zt mZ (t))]
相关wk.baidu.com数 协方差函数 相互之间的关系
RZ (s, t) E[Z s Zt ]
BZ (s,t) E[(Zs mZ (s))(Zt mZ (t))]
BZ (s,t) RZ (s,t) mZ (s) mZ (t)
(2) 正弦波X(t)=Vcoswt,其中，V为在(0,1) 分布的随机变量. 并画出X(t)的一个样本函 数.
通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上 的类型区分随机过程的类型。
随机信号特征函数
随机信号特征函数
随机信号的特征函数是描述随机信号统计特性的一种重要工具，它是随机变量的概率密度函数的傅里叶变换。特征函数在随机信号的分析和处理中扮演着重要的角色，因为它能够揭示随机信号的频率特性和统计规律。
对于随机信号X(t)，其特征函数定义为Φ(ω) = E[exp(jωX(t))]，其中E[]表示数学期望，j是虚数单位，ω是角频率。特征函数Φ(ω)是一个复值函数，其模值和相位分别表示了随机信号的幅度和相位特性。
特征函数具有一些重要的性质，如：
特征函数在原点处的值为1，即Φ(0) = 1；
如果随机信号是实值的，则其特征函数是共轭对称的，即Φ(-ω) = Φ*(ω)；
特征函数的模平方等于随机信号的概率密度函数的傅里叶变换，即|Φ(ω)|^2 = F[p(x)]，其中F[]表示傅里叶变换，p(x)是随机信号X(t)的概率密度函数。
特征函数在随机信号的分析和处理中有广泛的应用，如随机信号的谱分析、随机过程的滤波和预测等。通过特征函数，我们可以更加深入地了解随机信号的统计特性和频率特性，为随机信号的处理和应用提供更加有效的工具和方法。
需要注意的是，以上内容仅适用于连续时间的随机信号。对
于离散时间的随机信号，其特征函数的定义和性质会有所不同，需要根据具体情况进行分析和处理。同时，特征函数只是描述随机信号统计特性的一种工具，其具体应用还需要结合实际情况和信号处理的目标来进行选择和优化。
第一章 随机过程
第一章随机过程
本章主要内容：
随机过程的基本概念
●随机过程的数字特征
●随机过程的微分和积分计算
●随机过程的平稳性和遍历性
●随机过程的相关函数及其性质
●复随机过程
●正态分布的随机过程
第一章我们介绍了随机变量，随机变量是一个与时间无关的量，随机变量的某个结果，是一个确定的数值。例如，骰子的6面，点数总是1～6，假设A面点数为1，那么无论你何时投掷成A面，它的点数都是1，不会出现其它的结果，即结果具有同一性。但生活中，许多参量是随时间变化的，如测量接收机的电压，它是一个随时间变化的曲线；又如频率源的输出频率，它随温度变化，所以有个频率稳定度的范围的概念（即偏离标称频率的最大范围）。这些随时间变化的随机变量就称为随机过程。
显然，随机过程是由随机变量构成，又与时间相关。
1.1 随机过程的基本概念及统计特性
1.1.1 随机过程的定义
现在我们进一步论述随机过程的概念。当对接收机的噪声电压作“单次”观察时，可以得到波形)(1t x ，也可能得到波形)(2t x ，)(3t x 等等，每次观测的波形的具体形状，虽然事先不知道，但肯定为所有可能的波形中的一个。而这些所有可能的波形集合)(1t x ，)(2t x ，)(3t x ，…，)(t x n ，…..，就构成了随机过程)(t X 。
图1.1 噪声电压的起伏波形
1． 样本函数：)(1t x ，)(2t x ，)(3t x ，…，)(t x n ，都是时间的
函数，称为样本函数。
2． 随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本
函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可能结果ζ的函数，记为),(ζt X ，简写成)(t X 。
随机过程第一章 预备知识及补充
如果对任意实数 x ，有 : X() xF ，则称 X () 是 F 上的随机变量，简称为随
机变量。函数
F(x) P : X () x, x
称为随机变量 X 的分布函数。 一个随机变量 X 的可能取值的集合是可数的，则该随机变量称为离散的。对于离散型
随机变量有
pk P( X xk ), k 1, 2,
nk
nk
由 An , n 1的独立性且 P( An ) 可得 n1
-4-
P( Anc ) P( Anc ) [1 P( An )] eP(An ) exp( P( An )) 0
nk
nk
nk
nk
nk
该证明过程利用了不等式1 x ex 。
例
1.1：设
X1, X2,使得 P( X n
X
当矩母函数存在时，它唯一地决定分布，我们能够用矩母函数刻划随机变量的概率分 布。但有时随机变量的矩母函数不一定存在时，在这种情况下，更方便的运用如下定义的特 征函数：
(t) E(eitX ) eitxdFX (x)
其中， i 1 。
-7-
特征函数(t) 的常用性质：
（1）有界性： (t) 1 (0)
若 An An1, n 1，称事件序列An , n 1 为递增的；
当 An An1, n 1，则事件序列An , n 1 为递减的。
第一章-1--随机信号分析基础
1.2.2 随机信号的数字特征
随机信号的矩 均值函数（数学期望） 均方函数与方差函数 自相关函数与自协方差函数 互相关函数与互协方差函数 随机信号间的 “独立、不相关、正交” 关系
随机信号的矩
定义： 设X(t)、Y(t)均为随机信号，E 表示求统计平均，则: 若E X K , K 1, 2,... 存在，称其为X(t)的K阶原点矩，简称K阶矩； 若E [X E(X)]K , K 1, 2,...存在，称其为X(t)的K阶中心矩； 若E [X K Y L , K、L 1, 2,...存在，称其为X(t)和Y(t)的K+L阶原点混合矩； 若E [X E(X)]K [Y E(Y)]L 存在，称其为X(t)和Y(t)的K+L阶混合中心矩；
X1(t)
X2(t)
X3(t)
t
t
t
自相关函数（二阶联合原点矩）：
R x (t1 , t 2 ) E[X(t1 )X(t 2 )]
x1 x2 p( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
自协方差函数（二阶联合中心矩）：
Cx (t1 ,t 2 ) E{[X(t1 ) mx (t1 )][X(t 2 ) mx (t 2 )]} Rx (t1,t 2 ) mx (t1 )mx (t 2 )
随机过程的统计特性和平稳随机过程
xf
X
( x , t ) dx
2
2 X ( t ) E {[ X ( t ) m X ( t )] } E { X 2 ( t )} m X ( t )
R X ( t1 , t 2 ) E { X ( t1 ) X ( t 2 )}
K X ( t1 , t 2 ) E {[ X ( t1 ) m X ( t1 )][ X ( t 2 ) m X ( t 2 )]}
f X ( x 1 , , x n , t1 , , t n ) f X ( x 1 , , x n , t1 , , t n )
一维概率密度：
f X ( x, t) f X ( x)
二维概率密度：
f X ( x1 , x 2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , x 2 , )
例2、 设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-<t< 。其
中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、 1/3取值-1和2。试讨论随机过程Z(t)的平稳性。
二、平稳随机过程自相关函数性质
R X (0) R X ( )
2 X
mX
2
0
相关函数示意图
R X ( ) R X ( )
t j ( j 1, 2 , ...) ， ( t j ) 是一个随机变量，则 X ( t ) 称为随机过程。 X
随机过程第一章(陈良均)
2 1 ( y ) 2 f Y ( y ) f ( x, y )dx exp 2 2 2 2 2
结论： ( X , Y )服从二维正态分布 X和Y各自服从一维正态分布 。 反之，不成立。
思考：二维正太分布( X , Y )中X与Y相互独立地充要条件？
随机过程及其应用
周伟平 安庆师范学院
2014年秋季
1
课程介绍
教材：
1)随机过程及应用；徐全智，高等教育出版社，2013 2）随机过程及应用；陈良均，朱庆棠；高等教育出版社，2006 3）随机过程教程, 王梓坤编著，高等教育出版社.
2
参考书籍：
1. S. M. Ross著，龚光鲁译，《应用随机过程 概率模型导论》， 第9版，人民邮电出版社，2007 林元烈，《应用随机过程》，清华大学出版社，2002/11 方兆本，缪柏其，《随机过程》，科学出版社，2011/7 A. 帕普里斯等著，保铮等译，《概率、随机变量与随机过程》， 第四版，西安交通大学出版社，2004 Davenport, Jr., Willian B., Probability and Random processes, McGraw-Hill, 1970
1.2 随机变量
一. 随机变量r.v.X：
注：在测度论中，随机变量X对应于定 义在可测空间 (, F ) 上的F可测函数。
随机信号分析第一章
功率谱密度用于分析随机信号的频率特性和 噪声特性，在通信、雷达、声呐等领域有广 泛应用。
线性系统中的随机信号
定义
线性系统中的随机信号是指经过线性系统传输的随机信号， 其统计特性保持不变。
01
性质
线性系统对随机信号的响应可以通过系 统的传递函数和输入信号的功率谱密度 来描述。
02
03
应用
线性系统中的随机信号分析用于研究 随机信号在通信、雷达、声呐等系统 中的传输特性和噪声特性。
性质
概率分布函数具有非负性、单调递增性和归一化性质。
计算方法
可以通过累积分布函数法等方法计算概率分布函数。
数字特征
均值
描述随机信号的平均水平或中 心趋势。
方差
描述随机信号取值偏离均值的 程度。
偏度
描述随机信号取值的偏斜程度 。
峰度
描述随机信号取值分布的峰态 或平坦程度。
特征函数
定义
特征函数是随机信号的概率密度函数的傅里叶余弦变换。
自相关函数描述了随机信号在不同时 间点上的相似性。
自相关函数可以用于检测信号中的周 期性和模式。
互相关函数
互相关函数描述了两个信号之间的相似性。
在通信和信号处理中，互相关函数用于检测信号中的干扰和噪声。
04
随机信号的频域分
析
傅里叶变换
定义
随机过程第一章(1)
必然事件。它对应整个样本空间 S 。
★
不可能事件
随机试验中不可能发生的事件。它对应
一个空集，记作 Φ 。
概率论的常见术语
★
事件之间的关系与运算
设随机试验 E 的样本空间为 S ，A 和 B是 E 的事件，则 有如下关系和运算：
1、若事件A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，
则称B1，B2，…，Bn为S的一个划分。反之，若B1，B2，…，Bn是S的一个 划分，则作一次试验E，事件B1，B2，…，Bn 中必有一个且仅有一个发生。 设A为E的事件， B1，B2，…，Bn为S的一个划分，则全概率公式为
P( A) P( A | B1 ) P( B1 ) P( A | B2 ) P( B2 ) ... P( A | Bn ) P( Bn ) P( A | Bi ) P( Bi )
离散型随机变量的概率分布
★
二项式分布
设随机试验E只有两个可能的结果A及 A ，且 有 P( A) p , P( A) 1 p q 称该试验为贝努利试验。 ，将E独立地重复n次，则
现在分析贝努利试验中，事件A发生m(0≤m≤n)次的概率。已 知在n次试验中，事件A发生m次的情况可能出现
随机变量的分布函数
★
分布函数的定义
设X为一随机变量，x为任意实数，函数 F(x)=P{X≤x} 称为随机变量X的分布函数。 对于任意实数x1，x2(x1<x2)，有 P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)
第一章 随机信号基础 随机变量知识
，
f XY x, y dy
f XY x, y dx
23
第一章 随机信号基础——随机变量相关
二维概率密度函数的性质
1. 2. 3.
f XY ( x, y ) 0
f XY x, y dxdy 1
FXY ( x, y)
1 k
k个随机变量统计独立：
FX1 ... X k x1 ,......, xk FX i xi
i 1 k
f X1 .... X k x1 , ....., xk f X i xi
i 1
u( x xi )
为阶跃函数
18
第一章 随机信号基础——随机变量相关
概率密度函数 (p.d.f)
定义：f
dFX x P ( x X x x ) lim X x x 0 dx x
单位区间上累积分布函数的增量， 密度的概念。
19
第一章 随机信号基础——随机变量相关
概率密度函数的性质
1. 2. 3.
FX x
x
f X d
fX x 0
f X x dx 1
P x x1, x2 f X x dx x1
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1.4 随机变量的特征函数
引言：分布函数：反映随机变量的统计规律性。
数字特征：反映、掌握分布函数的某些特征。矩是最主要的特征，但随着矩的阶数的
增高，计算机较麻烦，寻求一种有效的方法来计算。
特征函数：一种计算各阶矩的有效工具。特别是计算、处理多个随机变量，特征函数
显示其优越性一。
1．4．1 特征函数的定义
(1) 设X 是定义在概率空间),,(P F S 上的随机变量，它的分布函数为)(x F ，称juX
e 的
数学期望)(juX
e
E 为X 的特征函数，记为)(u C X 。
当X 为离散型随机变量时，其特征函数为：
∑∞
====1
)()()(i i jux juX
X x X P e e
E u C i
当X 为连续型随机变量时，其特征函数为：
⎰+∞
∞
-==dx x p e e E u C jux juX X )()()(
(2) 利用特征函数求概率密度函数
⎰
+∞
∞
--=
du u C e x p X jux )(21
)(π
证明：利用傅里叶变换与反变换关系可证明。
举例：
例1：求标准正态分布)1,0(N 的特征函数。
2
2
2221)()(u jux x juX X e
dx e e
e E u C -
∞
+∞
--
===⎰
π
1．4．2 特征函数的性质 (1) 1)(≤u C X 1)0(=X C
(2) 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积，即：
若∑==
n
k k
X
Y 1
，式中n X X X Λ,,21为n 个两两相互独立的随机变量，则
∏==n
k X Y u C u C k 1
)()(
(3) 求矩公式：
)()
()
()(=-=u k
X k k
k
du u C d j X E
(4) 特征函数的级数展开
∑∞
==0
!)()()(n n
n
X n ju X E u C
1．4．3 特征函数应用举例
例1．设X 与Y 都服从标准正态分布)1,0(N ，且相互独立，Y X Z +=求Z 的概率密度函数。
解：用特征函数方法是最简单的方法。 因为)1,0(~N X
，所以2
2)(u X e u C -
=，同样，2
2)(u Y e
u C -
=
由于X 与Y 相互独立，于是
2
)()()(u Y X Z e u C u C u C -== 4
22
2121)(21)(z u jux Z jux Z e
du e e du u C e x p -
∞
+∞
---∞
+∞
--=
=
=
⎰
⎰
π
π
π
即：)2,0(~N Z
例2：设随机变量X 在)2
,2(π
π-
是均匀分布的，即 ⎪⎩⎪
⎨⎧<
<-
=其它
22
1)(π
π
π
x x p X
X sin Y =，求Y 的概率密度函数。
解：
⎰
+∞
∞
-==
dy y p e u C Y juy Y )()(
⎰+∞∞
-===dx x p e e E e E u C X x ju X ju juY Y )()()()(sin sin
dx y xdx dy 21cos -==， 2
1y dy dx -=
⎰⎰+-+∞
∞
--==1
1
2
sin 11
)()(y dy
e dx x p e
u C juy
X x
ju Y π
⎪⎩⎪
⎨⎧≤-=其它
1
11)(2
y y y p Y π
1．5 随机过程的概念及分类
引言：随机变量是不确定事件的量化函数，变量X 由样本点s 决定，但同时X 还随时间t 变化而变化，即：),(s t X X =，简记为)(t X X =。
更一般地，在试验过程中，随机变量有可能随某个参量(不一定是时间t )的变化而变化。我们把这种随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数，而把以时间t 作为参变量的随机函数称为随机过程。
1．5．1 随机过程的定义
定义1：设随机试验的样本空间是S ，若对于每个元素S s ∈，总有一个确定的时间函数
),(s t X X =，T t ∈与它相对应。这样对于所有的S s ∈，就可以得到一族时间t 的函数，
将其称为随机过程。
定义2：对于每个特定的时间0t ，),(0s t X X =都是随机变量，则称),(s t X X =是随机过程。
对随机过程的理解：在以t 为横轴，X 为纵轴的坐标系中，)(t X X =表现为有一定统计规律的曲线族(多条曲线，主要原因是因为s 的取值不同)。当t 固定在0t 时，X 可随机地取值(有分布规律性)。如图：