第1章随机信号概论特征函数随机过程统计特性

1.4 随机变量的特征函数

引言：分布函数：反映随机变量的统计规律性。

数字特征：反映、掌握分布函数的某些特征。矩是最主要的特征，但随着矩的阶数的

增高，计算机较麻烦，寻求一种有效的方法来计算。

特征函数：一种计算各阶矩的有效工具。特别是计算、处理多个随机变量，特征函数

显示其优越性一。

1．4．1 特征函数的定义

(1) 设X 是定义在概率空间),,(P F S 上的随机变量，它的分布函数为)(x F ，称juX

e 的

数学期望)(juX

e

E 为X 的特征函数，记为)(u C X 。

当X 为离散型随机变量时，其特征函数为：

∑∞

====1

)()()(i i jux juX

X x X P e e

E u C i

当X 为连续型随机变量时，其特征函数为：

⎰+∞

∞

-==dx x p e e E u C jux juX X )()()(

(2) 利用特征函数求概率密度函数

⎰

+∞

∞

--=

du u C e x p X jux )(21

)(π

证明：利用傅里叶变换与反变换关系可证明。

举例：

例1：求标准正态分布)1,0(N 的特征函数。

2

2

2221)()(u jux x juX X e

dx e e

e E u C -

∞

+∞

--

===⎰

π

1．4．2 特征函数的性质 (1) 1)(≤u C X 1)0(=X C

(2) 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积，即：

若∑==

n

k k

X

Y 1

，式中n X X X Λ,,21为n 个两两相互独立的随机变量，则

∏==n

k X Y u C u C k 1

)()(

(3) 求矩公式：

)()

()

()(=-=u k

X k k

k

du u C d j X E

(4) 特征函数的级数展开

∑∞

==0

!)()()(n n

n

X n ju X E u C

1．4．3 特征函数应用举例

例1．设X 与Y 都服从标准正态分布)1,0(N ，且相互独立，Y X Z +=求Z 的概率密度函数。

解：用特征函数方法是最简单的方法。 因为)1,0(~N X

，所以2

2)(u X e u C -

=，同样，2

2)(u Y e

u C -

=

由于X 与Y 相互独立，于是

2

)()()(u Y X Z e u C u C u C -== 4

22

2121)(21)(z u jux Z jux Z e

du e e du u C e x p -

∞

+∞

---∞

+∞

--=

=

=

⎰

⎰

π

π

π

即：)2,0(~N Z

例2：设随机变量X 在)2

,2(π

π-

是均匀分布的，即 ⎪⎩⎪

⎨⎧<

<-

=其它

22

1)(π

π

π

x x p X

X sin Y =，求Y 的概率密度函数。

解：

⎰

+∞

∞

-==

dy y p e u C Y juy Y )()(

⎰+∞∞

-===dx x p e e E e E u C X x ju X ju juY Y )()()()(sin sin

dx y xdx dy 21cos -==， 2

1y dy dx -=

⎰⎰+-+∞

∞

--==1

1

2

sin 11

)()(y dy

e dx x p e

u C juy

X x

ju Y π

⎪⎩⎪

⎨⎧≤-=其它

1

11)(2

y y y p Y π

1．5 随机过程的概念及分类

引言：随机变量是不确定事件的量化函数，变量X 由样本点s 决定，但同时X 还随时间t 变化而变化，即：),(s t X X =，简记为)(t X X =。

更一般地，在试验过程中，随机变量有可能随某个参量(不一定是时间t )的变化而变化。我们把这种随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数，而把以时间t 作为参变量的随机函数称为随机过程。

1．5．1 随机过程的定义

定义1：设随机试验的样本空间是S ，若对于每个元素S s ∈，总有一个确定的时间函数

),(s t X X =，T t ∈与它相对应。这样对于所有的S s ∈，就可以得到一族时间t 的函数，

将其称为随机过程。

定义2：对于每个特定的时间0t ，),(0s t X X =都是随机变量，则称),(s t X X =是随机过程。

对随机过程的理解：在以t 为横轴，X 为纵轴的坐标系中，)(t X X =表现为有一定统计规律的曲线族(多条曲线，主要原因是因为s 的取值不同)。当t 固定在0t 时，X 可随机地取值(有分布规律性)。如图：