高考数学二轮复习专题二函数与导数2.2函数与方程及函数的应用课件文
导数和其应用优质课件
(2)(2014·辽宁省五校上学期联考)曲线 y＝log2x 在点(1,0)处 1
的切线与坐标轴所围三角形的面积等于__2_l_o_g_2e__． [思绪点拨] (1)先求函数旳导数,再利用导数旳几何意义 拟定切点旳坐标． (2)先求函数旳导数,写出切线方程,最终求三角形旳面积.
[即时练]
3．设直线 y＝12x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实
数 b 的值为( A )
A．ln 2－1
B．ln 2－2
C．2ln 2－1
D．2ln 2－2
解析：由已知条件可得切线的斜率 k＝12，y′＝(ln x)′＝1x＝
12，得切点的横坐标为 2，则切点坐标为(2，ln 2)．由点(2，
栏目 导引
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
f′(－3)＝f′(0)＝f′(2)＝0， ∴f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增，在 (0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴当 x＝－3 或 x＝2 时，f(x)取得极小值；当 x＝0 时，f(x) 取得极大值， ∴f(x)极小值＝f(－3)＝－37e－3，f(x)极小值＝f(2)＝－2e2， f(x)极大值＝f(0)＝2. (2)f′(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)＋ex(3x2＋2mx－2) ＝xex[x2＋(m＋3)x＋2m－2]． ∵f(x)在[－2，－1]上单调递增，
栏目 导引
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
[措施归纳] 利用导数几何意义解题旳转化关系及 求参 思 路 (1)转化关系：利用导数旳几何意义解题主要是利用导数、切 点坐标、切线斜率之间旳关系来转化． (2)求参思绪：以平行、垂直直线斜率间旳关系为载体求参数 旳值，则根据平行、垂直与斜率之间旳关系，进而和导 数 联 络起来求解．
高考数学复习第二章基本初等函数导数及其应用第9课时函数与方程文市赛课公开课一等奖省优质课获奖PP
答案：2
27/50
2．(2016·长春一模)函数f(x)＝
1 2
x－sin
x在区间[0,2π]上的零
点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：在同一坐标系内作出函数y＝
1 2
x及y＝sin
x在[0,2π]上
的图像，发现它们有两个交点，即函数f(x)在[0,2π]上有两个零
42/50
据特殊值等作函数g(x)＝|xcos(πx)|的示意图，可以发现有6个 交点．
答案 B
43/50
阅卷点评
解答本题利用了转化与化归、数形结合的思
想，所谓转化与化归思想方法，就是在研究与解决有关数学问题
时采用某种手段将问题通过变换使之转化进而得到解决的一种方
法，一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解
的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变
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3．二分法 (1)每次取区间的 中点 ，将区间一分为二，再经比较，按需 要留下其中一个小区间 的方法称为二分法． (2)将a＋2 b称为区间[a，b]的中点．
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[基础自测]
1．(教材改编题)函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在
一个零点，则a的取值范围是( )
A．－1<a<15
x2，f(x)＝x.
答案：D
10/50
4．函数f(x)＝x－4x的零点个数为________． 解析：法一：由x－4x＝0(x≠0)，得x2－4＝0，∴x＝±2.
∴f(x)＝x－4x有两个零点．
法二：在同一直角坐标系中画出y＝x与y＝
新数学二轮总复习专题二函数与导数2.2热点小专题一函数的零点及函数的应用学案含解析
2.2热点小专题一、函数的零点及函数的应用必备知识精要梳理1.零点存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)〈0，那么函数y=f（x)在区间[a，b］内有零点，即存在c∈(a,b），使得f(c）=0,此时这个c就是方程f（x)=0的根.2。
函数F（x)=f(x）—g(x）的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x）的图象交点的横坐标。
3。
判断函数零点个数的方法：（1)利用零点存在性定理判断法；(2）代数法:求方程f(x）=0的实数根；（3）几何法：对于不易求根的方程,将它与函数y=f（x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.关键能力学案突破热点一判断函数零点所在的区间【例1】（1)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则函数g （x)=e x+f’（x)的零点所在的大致区间是（)A.(-1，0） B。
（0,1) C。
(1，2）D。
（2,3)（2)（2020湖北恩施高中月考,理11）已知单调函数f（x）的定义域为（0,+∞），对于定义域内任意x，f([f（x)—log2x]）=3，则函数g(x)=f（x)+x—7的零点所在的区间为（)A.（1，2）B.（2，3)C.(3，4) D。
（4，5）解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,主要利用函数零点的存在性定理进行判断。
首先看函数y=f（x）在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f（a)·f（b）<0.若有，则函数y=f(x)在区间（a，b)内必有零点.【对点训练1】设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x)对任意的x∈（0,+∞），都有f[f（x)-ln x]=e+1，若x0是方程f（x)-f’（x)=e的一个解，则x0可能存在的区间是(）A。
（0，1） B.(e—1,1）C。
年高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第2讲 函数的应用课件 理.pptx
思维升华 解析 11 答案
(2)已知实数f(x)＝ex，x≥0， 若关于x的方程f 2(x)＋f(x)＋t＝0有三个 lg－x，x<0，
－k＝0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是_______________.
解析 17 答案
(2)(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a 等于
A.－12
1 B.3
√C.12
D.1
解析 19 答案
热点三 函数的实际应用问题 解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注 意定义域.其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么， 求什么，从中提炼出相应的数学问题.(2)数学建模：弄清题目中的已知 条件和数量关系，建立函数关系式.(3)解函数模型：利用数学方法得出 函数模型的数学结果.(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际 问题作出解答.
解析 8 答案
(2)(2017届甘肃高台县一中检测)已知函数f(x)满足：①定义域为R；② ∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则12 方程f(x) ＝ log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是
√A.5
B.6
C.7
D.8
解析 画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解.
间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是______________.
解析 9 答案
热点二 函数的零点与参数的范围 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函 数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.
高考数学二轮总复习第2篇经典专题突破核心素养提升专题6函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程课件
【解析】 由2x－2y＜3－x－3－y得：
2x－3－x＜2y－3－y，
令f(t)＝2t－3－t，
(A )
∵y＝2x为R上的增函数，y＝3－x为R上的减函数， ∴f(t)为R上的增函数，∴x＜y， ∵y－x＞0，∴y－x＋1＞1， ∴ln(y－x＋1)＞0，则A正确，B错误； ∵|x－y|与1的大小不确定，故C、D无法确定． 故选A．
因为a＞3是a＞2的充分不必要条件，
所以“a＞3”是“函数f(x)＝(a－1)x在R上为增函数”的充分不必要条
件．故选A．
(2)已知函数 f(x)＝ex＋2(x＜0)与 g(x)＝ln(x＋a)＋2 的图象上存在关于
y 轴对称的点，则 a 的取值范围是
(B )
A．－∞，1e
B．(－∞，e)
C．－1e，e
D．－e，
1 e
【解析】 由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解， 即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解， 即函数y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点． 函数y＝ln(x＋a)可以看作由y＝ln x左右平移得到， 当a＝0时，两函数有交点， 当a＜0时，向右平移，两函数总有交点， 当a＞0时，向左平移，由图可知，将函数y＝ln x的图象向左平移到 过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点， 把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln a，即a＝e，∴a＜e．
断正确的是
(C )
A．c＜b＜a
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c
【解析】 a＝log52＜log5 5＝12＝log82 2＜log83＝b，即 a＜c＜b．故
选 C．
高考总复习二轮数学精品课件 专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用
3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析 根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log
(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文专题二 函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ． 当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或． 故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =． 当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<， 因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 解析： （1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >， 此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--， 设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=， 令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立， 所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（ ） A ． 关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ． 关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2． 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ． (80)(11)(25)f f f <<-C ． (11)(80)(25)f f f <<-D ． (25)(80)(11)f f f -<<4． 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ．5． 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3． 答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++， 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-． （Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-， 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-， 令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩， 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解， 由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。
高考数学总复习 第二篇 函数与导数 第4讲 二次函数与幂函数课件 理
【真题探究】► (2012·杭州外国语学校测试)设函数f(x)＝ax2 －2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实 数a的取值范围．
解析 由 A，C，D 的图象知 f(0)＝c<0.又 abc>0，∴ab<0， ∴对称轴 x＝－2ba>0，知，A，C 错误，D 符合要求．由 B 知 f(0)＝c>0，∴ab>0，∴对称轴 x＝－2ba<0，∴B 错误． 答案 D
4．(2012·福建)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成 立，则实数a的取值范围是________． 解析 不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，即Δ＝(－a)2－ 8a<0，∴0<a<8，即a的取值范围是(0,8)． 答案 (0,8)
解 (1)由 f(0)＝2 可知 c＝2.又 A＝{1,2}， 故 1,2 是方程 ax2＋(b－1)x＋2＝0 的两实根．
所以1＋2＝1－a b， 2＝2a.
解得 a＝1，b＝－2.
所以 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－2,2]．
当 x＝1 时，f(x)min＝f(1)＝1，即 m＝1. 当 x＝－2 时，f(x)max＝f(－2)＝10，即 M＝10.
考点自测
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函
数，则f(1)的范围是( )．
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
高考数学二轮复习考点知识与题型专题解析20---导数的简单应用
高考数学二轮复习考点知识与题型专题解析导数的简单应用微专题1导数的几何意义及其应用导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P 处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．『典型题训练』1．若过函数f(x)＝ln x－2x图象上一点的切线与直线y＝2x＋1平行，则该切线方程为()A．2x－y－1＝0B．2x－y－2ln2＋1＝0C．2x－y－2ln2－1＝0D．2x＋y－2ln2－1＝02．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l过定点()A．(0，2) B．(1，0)C．(1，a＋1) D．(e，1))，则曲线y＝f(x)在x＝0 3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝cos x－xf′(π2处的切线方程是()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0C．x－2y＋2＝0 D．x＋2y＋1＝04．已知函数f(x)＝a e x＋x2的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝(2e+2)x＋b，那么ab＝()A．2 B．1 C．－1 D．－25．[2021·重庆三模]已知曲线C1：f(x)＝e x＋a和曲线C2：g(x)＝ln (x＋b)＋a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值范围是()，+∞)B．[0，＋∞)A．[−94]C．(−∞，1]D．(−∞，94在点(－1，－3)处的切线方程为________________．6．[2021·全国甲卷(理)]曲线y＝2x−1x+2微专题2利用导数研究函数的单调性『常考常用结论』导数与单调性的关系1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．『提分题组训练』1．[2021·山东烟台模拟]已知a＝ln12 020+2 0192 020，b＝ln12 021+2 0202 021，c＝ln12 022+2 0212 022，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b2．函数f(x)＝x2－a ln x在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(0，2] B．(2，＋∞)C．(－∞，2] D．(－∞，2)3．已知函数f(x)＝23x3－ax2＋4x在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是()A．(2√2，＋∞) B．[2√2，＋∞)C．(－∞，－2√2) D．(－∞，－2√2]4．若函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(－π，0)，f′(x)sin x<f(x)cos x恒成立，则()A．√2f(−5π6)>f(−3π4)B．f(−5π6)>√2f(−3π4)C．√2f(−5π6)<f(−3π4)D．f(−5π6)<√2f(−3π4)5．定义在R上的函数f(x)满足f(x)>1－f′(x)，f(0)＝6，则不等式f(x)>1＋5e x(e为自然对数的底数)的解集为()A．(0，＋∞) B．(5，＋∞)C．(－∞，0)∪(5，+∞) D.(−∞，0)6．[2021·山东济南一模]设a＝2022ln2020，b＝2021ln2021，c＝2020ln2022，则() A．a>c>b B．c>b>aC．b>a>c D．a>b>c微专题3利用导数研究函数的极值、最值『常考常用结论』导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最大者”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最小者”．『提分题组训练』1．已知函数f(x)＝12sin2x＋sin x，则f(x)的最小值是()A．－3√32B．3√32C．－3√34D．3√342．[2021·全国乙卷(理)]设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则()A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜a 2D ．ab ＞a 23．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则点(a ，b )为() A ．(3，－3) B ．(－4，11) C ．(3，－3)或(－4，11) D ．(4，11)4．若函数f (x )＝x 3－3x 在区间(2a ，3－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是() A ．(－3，1) B ．(－2，1) C ．(−3，−12) D ．(－2，－1]5．若函数f (x )＝12e 2x －m e x －m2x 2有两个极值点，则实数m 的取值范围是() A ．(12，+∞) B ．(1，＋∞) C ．(e 2，+∞) D ．(e ，＋∞) 6．[2021·山东模拟]若函数f (x )＝{2x−2−2m ，x <12x 3−6x 2，x ≥1有最小值，则m 的一个正整数取值可以为________．参考答案导数的简单应用微专题1导数的几何意义及其应用典型题训练1．解析：由题意，求导函数可得y ′＝1x －2， ∵切线与直线y ＝2x ＋1平行， ∴1x －2＝2， ∴x ＝14，∴切点P 坐标为(14，−2ln 2−12)，∴过点P 且与直线y ＝2x ＋1平行的切线方程为y ＋2ln2＋12＝2(x −14)，即2x －y －2ln2－1＝0.故选C.答案：C2．解析：由f (x )＝ax －ln x ＋1⇒f ′(x )＝a －1x ，f ′(1)＝a －1，f (1)＝a ＋1，故过(1，f (1))处的切线方程为：y ＝(a －1)(x －1)＋a ＋1＝(a －1)x ＋2，故l 过定点(0，2)．故选A.答案：A3．解析：∵f (x )＝cos x －xf ′(π2)， ∴f ′(x )＝－sin x －f ′(π2)，∴f ′(π2)＝－sin π2－f ′(π2)＝－1－f ′(π2)， 解得：f ′(π2)＝－12，∴f (x )＝cos x ＋12x ，f ′(x )＝－sin x ＋12，∴f (0)＝1，f ′(0)＝12，∴y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －1＝12x ，即x －2y ＋2＝0.故选C.4．解析：因为f (x )＝a e x ＋x 2，所以f ′(x )＝a e x ＋2x ，因此切线方程的斜率k ＝f ′(1)＝a e ＋2，所以有a e ＋2＝2e ＋2，得a ＝2，又切点在切线上，可得切点坐标为(1，2e ＋2＋b )， 将切点代入f (x )中，有f (1)＝2e ＋1＝2e ＋2＋b ，得b ＝－1， 所以ab ＝－2.故选D. 答案：D5．解析：f ′(x )＝e x ，g ′(x )＝1x+b ，设斜率为1的切线在C 1，C 2上的切点横坐标分别为x 1，x 2，由题知e x 1＝1x2+b＝1，∴x 1＝0，x 2＝1－b ，两点处的切线方程分别为y －(1＋a )＝x 和y －a 2＝x －(1－b )， 故a ＋1＝a 2－1＋b ，即b ＝2＋a －a 2＝－(a −12)2＋94≤94.故选D. 答案：D6．解析：y ′＝(2x−1x+2)′＝2(x+2)−(2x−1)(x+2)2＝5(x+2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(−1+2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即y ＝5x ＋2.答案：y ＝5x ＋2微专题2利用导数研究函数的单调性提分题组训练1．解析：构造函数f (x )＝ln x ＋1－x ，f ′(x )＝1x－1＝1−x x，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (12 020)>f (12 021)>f (12 022)，a >b >c .故选A.2．解析：由题意得，f ′(x )＝2x －ax ≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤2x 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 因为2x 2在x ∈[1，＋∞)的最小值为2， 所以m ≤2.故选C. 答案：C3．解析：f ′(x )＝2x 2－2ax ＋4，由题意得∃x ∈(－2，－1)，使得不等式f ′(x )＝2(x 2－ax ＋2)<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <(x +2x )max ，令g (x )＝x ＋2x ，x ∈(－2，－1)， 则g ′(x )＝1－2x 2＝x 2−2x 2，令g ′(x )>0，解得－2<x <－√2， 令g ′(x )<0，解得－√2<x <－1，故g (x )在(－2，－√2)上单调递增，在(－√2，－1)上单调递减， 故g (x )max ＝g (－√2)＝－2√2，故满足条件的a 的范围是(－∞，－2√2)， 故选C. 答案：C4．解析：因为任意x ∈(－π，0)，f ′(x )sin x <f (x )cos x 恒成立， 即任意x ∈(－π，0)，f ′(x )sin x －f (x )cos x <0恒成立， 又x ∈(－π，0)时，sin x <0，所以[f (x )sin x ]′＝f ′(x )sin x−f (x )cos x(sin x )2<0，所以f (x )sin x 在(－π，0)上单调递减， 因为－5π6<－3π4，所以f(−5π6)sin(−5π6)>f(−3π4)sin(−3π4)，即f(−5π6)−12>f(−3π4)−√22，所以√2f (−5π6)<f (−3π4)，故选C.答案：C5．解析：设g (x )＝e x f (x )－e x ，因为f (x )>1－f ′(x )，所以g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0，所以g (x )是R 上的增函数， 又g (0)＝e 0f (0)－e 0＝5，所以不等式f (x )>1＋5e x 可化为e xf (x )－e x >5，即g (x )>g (0)，所以x >0.故选A.答案：A6．解析：令f (x )＝ln xx+1且x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝1+1x−ln x (x+1)2，若g (x )＝1＋1x －ln x ，则在x ∈(0，＋∞)上g ′(x )＝－1x 2−1x <0，即g (x )单调递减， 又g (e)＝1e >0，g (e 2)＝1e 2－1<0，即∃x 0∈(1e ，e 2)使g (x 0)＝0， ∴在(x 0，＋∞)上g (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )单调递减； ∴f (2021)<f (2020)，有ln 20212 022<ln 20202 021，即a >b ，令m (x )＝ln xx−1且x ∈(0，1)∪(1，+∞)，则m ′(x )＝1−1x−ln x (x−1)2，若n (x )＝1－1x －ln x ，则n ′(x )＝1x (1x －1)，即在x ∈(0，1)上n (x )单调递增，在x ∈(1，＋∞)上n (x )单调递减，∴n (x )<n (1)＝0，即m ′(x )<0，m (x )在x ∈(1，＋∞)上递减， ∴m (2022)<m (2021)，有ln 20222 021<ln 20212 020，即b >c ，故选D.答案：D微专题3利用导数研究函数的极值、最值提分题组训练1．解析：由题得f ′(x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)， 所以当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )取得最小值时，cos x ＝12，此时sin x ＝±√32， 当sin x ＝－√32时，f (x )＝sin x cos x ＋sin x ＝－3√34； 当sin x ＝√32时，f (x )＝sin x cos x ＋sin x ＝3√34； 所以f (x )的最小值是－3√34.故选C.答案：C 2．解析：当a >0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图1所示，观察可知b >a .当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .综上，可知必有ab >a 2成立．故选D.答案：D3．解析：由f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2，求导f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，由函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则{f(1)=10f′(1)=0，即{1−a−b+a2=103−2a−b=0，解得{a=−4b=11或{a=3b=−3，当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，此时f(x)在定义域R上为增函数，无极值，舍去．当a＝－4，b＝11，f′(x)＝3x2＋8x－11，x＝1为极小值点，符合题意，故选B.答案：B4．解析：因为函数f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得最大值，又f(－1)＝f(2)＝2，且f(x)在区间(2a，3－a2)上有最大值，所以2a<－1<3－a2≤2，解得－2<a≤－1，所以实数a的取值范围是(－2，－1]故选D.答案：D5．解析：依题意，f′(x)＝e2x－m e x－mx有两个变号零点，令f′(x)＝0，即e2x－m e x－mx＝0，则e2x＝m(e x+x)，显然m≠0，则1m ＝e x+xe2x，设g(x)＝e x+xe2x，则g′(x)＝(e x+1)·e2x−(e x+x)·2e2xe4x ＝1−e x−2xe2x，设h(x)＝1－e x－2x，则h′(x)＝－e x－2<0，∴h(x)在R上单调递减，又h(0)＝0，∴当x∈(－∞，0)时，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(0，＋∞)时，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)max＝g(0)＝1，且x→－∞时，g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→0，<1，解得m>1.∴0<1m故选B.答案：B6．解析：y＝2x－2－2m在(－∞，1)上单调递增，∴y＝2x－2－2m>－2m；当x≥1时，y＝2x3－6x2，此时，y′＝6x2－12x＝6x(x－2)．∴y＝2x3－6x2在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴y＝2x3－6x2在[1，＋∞)上的最小值为－8，函数f(x)有最小值，则－2m≥－8，即m≤4，故m的一个正整数取值可以为4.答案：4。
1-1-3函数与方程及函数的实际应用
上有零点2和3，却有f(1)·f(4)>0.
数学（理） 第7页
新课标· 高考二轮总复习
3．由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在
研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根 的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数 问题，借助函数的零点，结合函数的图象加以解决．
数学（理） 第9页
新课标· 高考二轮总复习
(3)根据函数的零点与相应方程的根的关系可知，求函数
的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的
根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方 程f(x)＝g(x)的根． 5．解决实际问题的解题过程： (1)对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之
数学（理） 第11页
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(4)解析并回答实际问题．
这些步骤用框图表示如下：
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高频考点
类型一 【例1】 函数的零点及其应用 (2011· 山东)已知函数f(x)＝logax＋x－
b(a>0，且a≠1)，当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈ (n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.
数学（理） 第31页
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4．(2011· 西安地区八校联考)函数 f(x)＝
x2＋2x－3，x≤0 －2＋lnx，x>0
的零点个数为( B．1 D．3
)
A．0 C．2
解析：当x≤0时，f(x)的零点为x＝－3；当x>0时，f(x)的 零点为x＝e2.故共有两个零点．
x f′(x) f(x)
高考数学二轮复习专题二函数与导数2.3导数的简单应用课件理65.ppt
例 3(1)(2017·课标全国Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex －1 的极值点，则 f(x)的极小值为( A )
A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 (2)(2017·唐山二模)已知函数 f(x)＝lnx－nx(n>0)的最大值为 g(n)，则使 g(n)－n＋2>0 成立的 n 的取值范围为( A ) A．(0,1) B．(0，＋∞)
故 f(x)在0，－21a单调递增，在－21a，＋∞单调递减．
(2)由(1)知，当 a<0 时，f(x)在 x＝－21a取得最大值，最大值为 f－21a＝ln－21a－1－41a.
所以 f(x)≤－43a－2 等价于 ln－21a－1－41a≤－43a－2，即 ln－21a＋21a＋1≤0.
2．经过原点(0,0)作函数 f(x)＝x3＋3x2 的图象的切线，则切线方 程为________________．
解析：当(0,0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为 y＝0； 当(0,0)不为切点时，设切点为 P(x0，x03＋3x02)(x0≠0)， 则切线方程为 y－(x30＋3x20)＝(x－x0)(3x20＋6x0)． 因为切线过原点， 所以 x30＋3x20＝3x30＋6x20， 所以 x0＝－32，此时切线方程为 9x＋4y＝0.
(2)易知 f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为 f′(x)＝1x－n(x>0，n>0)， 当 x∈0，n1时，f′(x)>0，当 x∈1n，＋∞时，f′(x)<0，所以 f(x) 在0，n1上单调递增，在1n，＋∞上单调递减，所以 f(x)的最大值 g(n)＝f1n＝－lnn－1.设 h(n)＝g(n)－n＋2＝－lnn－n＋1.因为 h′(n) ＝－1n－1<0，所以 h(n)在(0，＋∞)上单调递减．又 h(1)＝0，所以 当 0<n<1 时，h(n)>h(1)＝0，故使 g(n)－n＋2>0 成立的 n 的取值范 围为(0,1)，选 A.
高中总复习二轮文科数学精品课件 专题2 函数与导数 2.2 函数与方程及函数的应用
两边取常用对数得 nlg
lg2 -lg1 .3
∴n>
lg1 .12
≈
n
200
> .
130
200
1.12>lg ,
130
0.30-0.11
=3.8,∴n≥4,故选
0.05
B.
5.关于x的方程(m-5)x2+2ln
围是
(3,5)
1
2
x-
+m=0有两个不等实根,则实数m的取值范
B.y=2x-1
2
2 1
C.y=x -2
D.y=-x2
解析:在区间(-1,1)内单调递增的函数只有y=2x-1,当x=0时,y=20-1=0,满足题
意,故选B.
4.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投
入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,
当 r∈(5,5 3)时,V'(r)<0,所以 V(r)在区间(5,5 3)内单调递减.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.
即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
题后反思 应用函数模型解决实际问题:首先,要正确理解题意,将实际问题
化为数学问题,构建数学模型;其次,利用数学知识如函数、导数、不等式
(方程)解决数学问题;最后,回归到实际问题的解决上.其一般程序为
读题
文字语言
⇒
建模
数学语言
⇒
求解
数学应用
⇒
反馈
.
检验作答
对点训练3某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关
系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜
高考数学二轮复习课件2.2.2 函数与方程及函数的应用精选ppt课件
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；
(3)如何决定投资可使年利润最大．
[自主解答] (1)y1＝(10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N*)， y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，x∈N*)． (2)∵10－a>0，故 y1 为增函数， ∴当 x＝200 时，y1 取得最大值 1 980－200a，即投资生产甲产品 的最大年利润为(1 980－200a)万美元． y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，x∈N*)， ∴当 x＝100 时，y2 取得最大值 460，即投资生产乙产品的最大年 利润为 460 万美元．
(2)①利用解析式直接求解得 g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2. ②令 f(x)＝t，则原方程化为 g(t)＝a，易知方程 f(x)＝t 在 t∈(－∞， 1)内有 2 个不同的解，则原方程有 4 个解等价于函数 y＝g(t)(t<1)与 y ＝a 的图象有 2 个不同的交点，作出函数 y＝g(t)(t<1)的图象，由图象 可知，当 1≤a<54时，函数 y＝g(t)(t<1)与 y＝a 有 2 个不同的交点，即
年固定 每件产品 每件产品 每年可最多
成本 的成本 的销售价 生产的件数
甲产品 20
a
10
200
乙产品 40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，a 为常数，且 6≤a≤8.另外，
当年销售 x 件乙产品时需上交 0.05x2 万美元的特别关税，假设所生产的
产品均可售出．
(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润 y1、y2 与生产 相应产品的件数 x(x∈N*)之间的函数关系式；
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函数与方程及函数的应用
-2热点1 热点2 热点3
函数零点的求解与判定
【思考】 确定函数零点的常用方法有哪些?
������ 2 + ������������ + ������,������ ≤ 0, 例 1 设函数 f(x)= 2,������ > 0. 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则 关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为 .
-8-
所以 f(x)在区间(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)内单调递增,在区间(ln(-2a),1)内单 调递减. c.若 a<- ,则 ln(-2a)>1,
e 2
故当 x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0; 当 x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0, 所以 f(x)在区间(-∞,1),(ln(-2a),+∞)内单调递增,在区间(1,ln(-2a))内单 调递减. (2)①设 a>0,则由(1)知,f(x)在区间(-∞,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内 单调递增. 又 f(1)=-e,f(2)=a,取 b 满足 b<0 且 b<ln ,则 f(b)> (b-2)+a(b-1)2=a ������ 2 - ������ >0, 所以 f(x)有两个零点.
答案： 3
-3-
解析： (方法一)由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得 ������ 2 + 4������ + 2,������ ≤ 0, ������ = 4, 即 f(x)= 2,������ > 0. ������ = 2.
Байду номын сангаас
16-4������ + ������ = ������, 解得 4-2������ + ������ = -2,
B.
1 3
C.
1 2
D.1
-12-
答案：C
解析： ∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),
∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]
=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1) =x2-2x+a(ex-1+e-x+1),
∴f(2-x)=f(x),
∵方程 f(x)=x 等价于
������ ≤ 0, ������ 2 + 3������ + 2 = 0.
������ ≤ 0, ������ > 0, 或 2 即 x=2 或 ������ = ������(������) = 2 ������ + 4������ + 2 = ������,
∴x=2,x=-1 或 x=-2.即 f(x)=x 有 3 个解.
-4热点1 热点2 热点3
题后反思确定函数零点的常用方法: (1)解方程判定法,方程易求解时用此法; (2)零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质、导数等知识; (3)数形结合法,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式 等较复杂的函数零点问题,常转化为两个函数图象的交点问题求解.
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������ 2 3 2 ������ 2
-9-
②设 a=0,则 f(x)=(x-2)ex,所以 f(x)只有一个零点. ③设 a<0,若 a≥-2,则由(1)知,f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.
又当 x≤1 时 f(x)<0,故 f(x)不存在两个零点; 若 a<- ,则由(1)知,f(x)在区间(1,ln(-2a))内单调递减,在区间 (ln(-2a),+∞)内单调递增. 又当 x≤1 时 f(x)<0,故 f(x)不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为(0,+∞).
对点训练 1 函数 f(x)=2x|log 1 x|-1 的零点个数为
2
( D.4
)
A.1
B.2
C.3
答案：B
解析： 函数 f(x)=2x|log 1 x|-1 的零点即 2x|log 1 x|-1=0 的解,即
2 2
|log 1 x|=
2
1 ������ 的解,作出函数 2 1 ������ 的图象. 2
e 2 e
-10热点1 热点2 热点3
题后反思解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取 值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于 参数的方程或不等式求解.对于存在零点求参数范围问题,可通过 分离参数,从而转化为求函数最值问题.
-11热点1 热点2 热点3
对点训练 2(2017 全国Ⅲ,文 12)已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1) 有唯一零点,则 a=( ) A.1 2
(方法二)由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得 ������ 2 + 4������ + 2,������ ≤ 0, b=4,c=2.∴f(x)= f(x) 2,������ > 0. 的图象如图. 方程 f(x)=x 解的个数即 y=f(x)与 y=x 图象的交点个数.由图知两图象 有 A,B,C 三个交点,故方程有 3 个解.
(1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.
-7-
解 (1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1) =(x-1)(ex+2a).
①设 a≥0,则当 x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;
当 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0. 所以 f(x)在区间(-∞,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
即直线 x=1 为 f(x)图象的对称轴.
②设 a<0,由 f'(x)=0 得 x=1 或 x=ln(-2a).
a.若
e a=- ,则 2
f'(x)=(x-1)(ex-e),
所以 f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增. b.若
e a>- ,则 2
ln(-2a)<1,
故当 x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f'(x)>0; 当 x∈(ln(-2a),1)时,f'(x)<0.
g(x)=|log 1 x|和函
2
数 h(x)=
由图象可知,两函数图象共有两个交点,故函 数 f(x)=2x|log 1 x|-1 有 2 个零点.
2
-6热点1 热点2 热点3
函数零点的应用
【思考】 如何由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围?
例 2 已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.