湖南省株洲市南方中学高一数学《1.3函数的基本性质(练习)》学案

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1.3函数的基本性质教学设计教案（最终5篇）

1.3函数的基本性质教学设计教案（最终5篇）第一篇：1.3 函数的基本性质教学设计教案教学准备1. 教学目标（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；2. 教学重点/难点教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．3. 教学用具投影仪等. 4. 标签数学，函数教学过程一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：1、说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2、指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）（3）（4）二、新课教学（一）函数最大（小）值定义2）（1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）注意：1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2）利用图象求函数的最大（小）值3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为625px的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2．（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设为为旅馆一天的客房总收入，元时，住房率为为与房价160相比降低的房价，因此当房价，于是得=150··．由于≤1，可知0≤≤90．的最大值的问题．因此问题转化为：当0≤将≤90时，求的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50x＋17600．由于二次函数1在x=25时取得最大值，可知y也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例3．（教材P37例4）求函数解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．巩固练习：（教材P38练习4）三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论四、作业布置1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第6、7、8题．2、提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？在区间[2，6]上的最大值和最小值．课堂小结归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论课后习题1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第6、7、8题．2、提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？板书略第二篇：1.3 函数的基本性质教学设计教案教学准备1. 教学目标（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．2. 教学重点/难点教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．3. 教学用具投影仪等. 4. 标签数学，函数教学过程一、引入课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：1 随x的增大，y的值有什么变化？2 能否看出函数的最大、最小值？3 函数图象是否具有某种对称性？2．画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x1 从左至右图象上升还是下降______?2 在区间____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．2．f(x) = -2x+11 从左至右图象上升还是下降______?2 在区间____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x21 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．2 在区间____________ 上， f(x)的值随着x的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义 1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1 任取x1，x2∈D，且x12 作差 f(x1)－f(x2)； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．一、新课教学（一）函数单调性定义 1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1任取x1，x2∈D，且x12作差f(x1)－f(x2)； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．（二）典型例题例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．解：（略）巩固练习：课本P38练习第1、2题例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：（略）巩固练习：1课本P38练习第3题； 2证明函数在（1，+∞）上为增函数．例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．解：（略）思考：画出反比例函数的图象．1这个函数的定义域是什么？2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．一、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论二、作业布置1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第1- 5题． 2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，1求f(0)、f(1)的值；2若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．课堂小结1、归纳小结，强化思想2、函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论课后习题作业布置1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第1- 5题． 2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，（1）求f(0)、f(1)的值；（2）若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．板书略第三篇：1.3函数的基本性质教学设计1.3 函数的基本性质一、教材分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据。

高一数学上册《函数的基本性质》教案、教学设计

2.学生的数学思维能力、逻辑推理能力和直观想象力发展不平衡，部分学生对数形结合的方法还不够熟悉。教师应针对这一情况，设计丰富的教学活动，提高学生的数学素养。
3.学生在小组合作学习中的参与度有待提高。教师应关注学生的个体差异，调动每个学生的积极性，使他们在合作交流中发挥自己的优势，共同进步。
4.学生对于数学知识在实际生活中的应用认识不足，教师可通过引入实际问题，让学生体会数学知识的价值，激发学生学习数学的兴趣。
6.教学评价，关注成长
在教学过程中，教师应关注学生的成长和发展，采用多元化的评价方式，如课堂表现、作业完成情况、小组合作交流等，全面评估学生的学习效果。
7.创设互动氛围，激发学生学习兴趣
8.融入信息技术，提高教学质量
利用多媒体、网络等信息技术手段，丰富教学资源，提高教学质量。如通过数学软件绘制函数图像，让学生更直观地感受函数性质。
3.结合所学函数性质，尝试解决以下拓展性问题：
（1）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，判断其奇偶性，并求单调区间。
（2）已知函数g(x) = 3cos(2x) + 4sin(x)，求最小正周期及一个周期内的单调区间。
4.请同学们预习下一节课内容，了解函数的极值及其在实际问题中的应用。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，勇于表达自己的观点，培养学生自信、勇敢的品质。
4.通过解决实际问题，让学生认识到数学知识在生活中的重要作用，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的社会责任感。
在本章节的教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。通过讲解、示范、讨论等多种教学手段，使学生在掌握函数基本性质的基础上，提高自身的数学素养和综合素质。同时，注重培养学生的团队合作精神，使其在合作交流中相互学习、共同成长。

湘教版高中同步学案数学必修第一册精品课件第3章函数的概念与性质分层作业简单的分段函数

8.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不
同.甲俱乐部每小时5元,乙俱乐部按月计费,一个月中30小时以内(含30小
时)90元,超过30小时的部分每小时2元;某公司准备下个月从这两家俱乐部
中选择一家开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.设在甲
家开展活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元,在乙家开展活动x小时的收
345 + (-9 500) × 20%,9 500 < ≤ 14 000.
(3)李先生一月份缴纳个人所得税为303元,故必有6 500<x≤9 500,
从而303=45+(x-6 500)×10%,解得x=9 080.
所以王先生当月的工资、薪金所得为9 080元.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
当 a≥1
4
时,f(a)= ≥4a,解得
a=1.
综上,a 的取值范围为(-∞,1].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2 , ≥ 0,
7.[2024 甘肃白银高一校考期中]已知函数 f(x)=
1, < 0.
(1)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象;
(2)求f(-5)+f(2)的值;
A.R
B.[0,2]∪{3}
C.[0,+∞)
D.[0,3]
解析当0≤x≤1时,0≤2x≤2,即0≤f(x)≤2;
当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3.
综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

湘教版高一数学必修一学案

湘教版高一数学必修一学案湘教版高一数学必修一学案是针对我国高一学生编写的一部数学教材。

本教材以培养学生创新精神和实践能力为目标，注重发展学生的数学思维能力和解决问题的能力。

下面我们就来详细了解一下这部教材的内容、特色以及学习重点和难点。

一、教材内容概述湘教版高一数学必修一学案主要包括以下几个部分：1.函数、极限与连续2.导数与微分3.中值定理与微分不等式4.多元函数微分学5.微分方程这些内容是高中数学的基础，对于培养学生们的数学素养和解决实际问题具有重要意义。

二、学习重点与难点1.函数、极限与连续：理解函数的性质，熟练掌握函数的求解方法；理解极限的概念，会求极限；掌握连续函数的性质和连续性条件。

2.导数与微分：理解导数的概念，会求导数；理解微分的概念，会求微分；导数的应用，如求极值、最值问题。

3.中值定理与微分不等式：理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；掌握微分不等式的证明方法。

4.多元函数微分学：理解多元函数的求导法则，会求多元函数的极值；理解方向导数与梯度。

5.微分方程：解一阶微分方程，解二阶线性微分方程；会用微分方程解决实际问题。

三、教材特色与亮点1.结构严谨，逻辑清晰，有利于学生系统地学习数学知识。

2.例题丰富，难度适中，既注重基础知识的巩固，又有一定难度，有利于激发学生的学习兴趣。

3.强调数学与实际生活的联系，培养学生解决实际问题的能力。

4.配备丰富的教学资源，如课件、习题解答等，方便教师教学和学生自学。

四、学习建议与策略1.课前预习，了解即将学习的内容，找出重点和难点，为课堂学习做好准备。

2.课堂上认真听讲，积极参与讨论，弄懂弄通所学知识。

3.课后及时复习，做好知识的巩固，对于难以理解的问题，可请教老师或同学。

4.做题巩固，既注重基础题型，又尝试做一些有挑战性的题目，提高自己的解题能力。

5.结合实际问题，运用所学知识解决实际问题，提高自己的数学素养。

湘教版高中同步学案数学必修第一册精品课件第3章函数的概念与性质 3.1.2 表示函数的方法

A.f(x)=-x
B.f(x)=x-1
C.f(x)=x+1
D.f(x)=-x+1
+ = 0,
解析设 f(x)=ax+b(a≠0),则有
所以 a=-1,b=1,即 f(x)=-x+1.
= 1,
1 2 3 4 5
3.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是( A )
A.f(x)=3x-1
2
.
3
规律方法求函数解析式的四种常用方法
(1)直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即
可.
(2)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设
出函数解析式,再根据条件列方程(组),通过解方程(组)求出待定系数,进而
求出函数解析式.
(3)换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可
函数的图象及应用
【例3】作出下列函数的图象,并求其值域:
(1)y=1-x(x∈Z);
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
解 (1)因为x∈Z,所以函数图象为一条直
线上的孤立点(如图1),由图象知,y∈Z.
(2)因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线
的一段(如图2),由图象知,y∈[-5,3).
= 2,
= - 2,
∴
解得
或
+ = -1,
= 1- 2
= 1 + 2.
故 f(x)= 2x+1- 2或 f(x)=- 2x+1+ 2.
(2)已知 f( +1)=x+2 ,求 f(x)的解析式;

湖南省株洲市南方中学高一数学《1.3.1单调性与最大(小)值(2)》学案

湖南省株洲市南方中学高一数学《1.3.1单调性与最大（小）值（2）》学案1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3032复习1：指出函数2=++>的单调区间及单调性，并进行证明.f x ax bx c a()(0)复习2：函数2()(0)f x ax bx c a=++< =++>的最小值为，2()(0)f x ax bx c a的最大值为 .复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.二、新课导学※学习探究探究任务：函数最大（小）值的概念新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．反思：一些什么方法可以求最大（小）值？※典型例题例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是21305h t t=-，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？变式：经过多少秒后炮弹落地？试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？小结：数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.例2求32yx=-在区间[3，6]上的最大值和最小值.变式：求3,[3,6]2xy xx+=∈-的最大值和最小值.小结：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.试试：函数2(1)2,[0,1]y x x=++∈的最小值为，最大值为 . 如果是[2,1]x∈-呢？※ 动手试试练1.用多种方法求函数2y x =.变式：求y x =.练 2. 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？三、总结提升※ 学习小结1. 函数最大（小）值定义；.2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.※ 知识拓展求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求2()f x x ax =-+在区间[,]m n 上的值域，则先求得对称轴2a x =，再分2a m <、22a m n m +≤<、22m n a n +≤<、2a n ≥等四种情况,由图象观察得解.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数2()2f x x x =-的最大值是（）.A. －1B. 0C. 1D. 22. 函数|1|2y x =++的最小值是（）.A. 0B. －1C. 2D. 33.函数y x =的最小值是（）.4. 已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在区间(,0)-∞上，当1x =-时，()f x 有最小值3，则在区间(0,)+∞上，当x = 时，()f x 有最值为 .5. 函数21,[1,2]y x x =-+∈-的最大值为，最小值为 .1. 作出函数223y x x =-+的简图，研究当自变量x 在下列范围内取值时的最大值与最小值．（1）10x -≤≤；（2）03x ≤≤ ；（3）(,)x ∈-∞+∞.2. 如图，把截面半径为10 cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x ，面积为y ，试将y 表示成x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？。

湘教版高中同步学案数学必修第一册精品课件第3章函数的概念与性质分层作业对函数概念的再认识

.
8.已知函数
1+ 2
f(x)= 1- 2 .
(1)求 f(x)的定义域;
(2)若 f(a)=2,求 a 的值;
(3)求证:f
1

=-f(x).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(1)解要使函数
1+ 2
f(x)= 2 有意义,只需
1-
1-x2≠0,
A级
必备知识基础练
1.函数 f(x)=
+1
的定义域是(
-1
B )
A.[-1,1)
B.[-1,1)∪(1,+∞)
C.[-1,+∞)
D.(1,+∞)
+ 1 ≥ 0,
解析由
解得 x≥-1,且 x≠1.
-1 ≠ 0,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.下列各图一定不是函数图象的是( A )

1 2

=
3
.
3
2 +1
,
2
-1
=-f(x).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
B级
9.设
关键能力提升练
2
f(x)=1+ ,x≠±1,则
-1
f(-x)等于( D )
A.f(x)
B.-f(x)
1
C.-()
1
D.()
解析
2
f(x)=1+
-1
∴kx2-6kx+8≥0 对于 x∈R 恒成立.
①当 k=0 时,8≥0 成立;

湘教版高中同步学案数学必修第一册精品课件第3章函数的概念与性质 3.2.1 函数的单调性与最值

( B )
2.如果(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,
则f(x1)与f(x2)的大小关系是( D )
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2)
C.f(x1)=f(x2)
D.不能确定
解析根据函数单调性的定义可知,所取的两个自变量的值必须在同一单调
17
(2, 8 ]
.
解析因为
4
f(x)= 在(1,4]上单调递减,
2- < 0,
17
2-
+
3
≥
4,
故要求整个函数在 R 上都是单调递减的,则
解得 2<a≤ ,
8
1 ≥ 8-16,
≤ 4,
则实数 a
17
的取值范围为(2, 8 ].
4.利用函数的单调性求最值
【例6】已知函数f(x)=x+
( 1 - 2 )( 1 2 -1)
.
12
f(x1)-f(x2)>0.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
确定函数的单调区间
【例1】 (1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是( C )
A.f(x)=3-x
B.f(x)=x2-3x
1
C.f(x)=-
D.f(x)=-|x|
解析函数f(x)=3-x为一次函数,在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;
- 2 --5, ≤ 1,
则函数单调递增,若函数 f(x)=
是 R 上的增函数,
, > 1

-2
≥ 1,
需满足 < 0,

(完整word版)高一数学函数的概念与性质学案

高一学案§2.1.1：函数的概念和图象班级姓名学号㈠、问题情景我们生活在这个世界上,每时每刻都感受着一些变化. (1)、早晨,太阳从东方冉冉升起 (2)、9月,气候将越来越凉爽上面的两个现象都说明:一个变量变化时,另一个变量马上随之变化,为了刻画与描述两个变量之间的依赖关系,初中我们学习了 ,今天我们将进一步学习函数的概念. ㈡、建构数学⑵、如图,为某市一天24小时内的气候变化图.(1)、上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？(2)、大约在什么时刻,气候为0C o ? ○3在什么时段内,气温在0C o 以上？你能用集合语言来阐述上述2个例子的共同特点么？ (1)、(2)、 1、函数的定义一般地,设A B 、是两个数集,如果按某种对应法则f ,对于集合A 中的元素x ,在集合B 中都有元素与它对应,这样的对应叫做从A 到B 的一个函数(functin ),通常记为：()y f x =,x A ∈.其中,所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域．．．.所有的输出值y 组成的集合C 叫做函数()y f x =的值域．．. 2、对于函数的意义,应从以下几个方面去理解：(1)、对于变量x 允许取的每一个值组成的集合A 为函数()y f x =的定义域.(2)、对于变量y 可能取到的每一个值组成的集合C 为函数()y f x =的值域. 那么集合B 与集合C 的关系是.(3)、变量x 与y 有确定的对应关系,即对于x 允许取的每一个值,y 都有唯一确定的值与它对应.一个x 对应个y ,一个y 可以对应个y .㈢、数学应用例1、根据函数的定义判断下列对应是否为函数(1)、2x x →,0x ≠,x R ∈(2)、x y →,这里2y x =,x N ∈,y R ∈ h例2、判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一个函数,说明理由？ (1)、()()01f x x =-,()1g x =(2)、()f x x =,()g x(3)、()2f x x =,()()21f x x =+(4)、()f x x =,()g x =练习、下列函数中,与y x =表示是同一函数关系的是 .A 、2y = B 、2x y x= C 、y 、y =例3、求下列函数的定义域:(1)、()f x (2)、()11g x x =+(3)、y =、()023y x =-例4、已知函数()252f x x x =-+.求(1)、()3f (2)、()2f - (3)、()f a (4)、()2f f -⎡⎤⎣⎦例5、比较下面两个函数的定义域与值域(1)、()()211f x x =-+,{}1,0,1,2,3x ∈- (2)、()()211f x x =-+高一函数的概念和图象作业1班级姓名学号1、求下列函数的定义域；(1) 、()f x ＝1－3x; (2) 、()f x ＝211x -;(3)、()f x 1x(4)、0()(4)f x x -2、下列四组函数中,表示同一函数的是A 、(),()f x x g x =B 、2(),()f x x g x ==C 、21(),()11x f x g x x x -==+- D 、()()f x g x ==3、当{}2,1,01,2x ∈--时,函数21y x =-的值域为：4、已知2()21f x x x =--,则(0)f = 。

湖南省株洲市南方中学高一数学《1.1.3集合的基本运算(1)》学案

湖南省株洲市南方中学高一数学《1.1.3集合的基本运算（1）》学案1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.89复习1：用适当符号填空.0 {0}； 0 ∅；∅ {x|x2＋1＝0,x∈R}；{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S， {x|x∈S且x∉A}= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学※学习探究探究：设集合{4,5,6,8}B=.A=，{3,5,7,8}（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集.①一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：且=∈∈{|,}.A B x x A x BVenn图如右表示.②类比说出并集的定义.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：A B，读作：A并B，用描述法表示是：或.A B x x A x B=∈∈{|,}Venn 图如右表示.试试：（1）A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝；（2）设A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝；（3）A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x <6}，则A ∪B ＝，A ∩B ＝ .（4）分别指出A 、B 两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.反思：（1）A ∩B 与A 、B 、B ∩A 有什么关系？（2）A ∪B 与集合A 、B 、B ∪A 有什么关系？（3）A ∩A ＝；A ∪A ＝ .A ∩∅＝；A ∪∅＝ .※ 典型例题例1 设{|18}A x x =-<<，{|45}B x x x =><-或，求A ∩B 、A ∪B .变式：若A ＝{x |-5≤x ≤8}，{|45}B x x x =><-或，则A ∩B = ；A ∪B = .小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.例2 设{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，求A ∩B .A变式：（1）若{(,)|46}B x y x y=+=，则A B=；A x y x y=+=，{(,)|43}（2）若{(,)|46}=+=，则A B= .B x y x yA x y x y=+=，{(,)|8212}反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？※动手试试练1. 设集合{|23},{|12}=-<<=<<.求A∩B、A∪B.A x xB x x练 2. 学校里开运动会，设A={x|x是参加跳高的同学}，B={x|x是参加跳远的同学}，C={x|x是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A B与B C的含义.三、总结提升※学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.※知识拓展（）（）（），A B C A B A C=（）（）（），=A B C A B A C（）（），=A B C A B C（）（），=A B C A B C（），（）.==A AB A A A B A你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{}{}=∈≤=∈>那么A B等于（）.A x Z xB x Z x5,1,A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5}C ．{2,3,4}D ．{}15x x <≤2. 已知集合M ＝｛(x , y )|x +y =2｝，N ={(x , y )|x －y =4},那么集合M ∩N 为（）.A. x =3, y =－1B. (3，－1)C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C ===，则()A B C 等于（）.A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}4. 设{|}A x x a =>，{|03}B x x =<<，若A B =∅，求实数a 的取值范围是 .5. 设{}{}22230,560A x x x B x x x =--==-+=，则A B = .1. 设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，试分别说明下面三种情况时直线1l 与直线2l 的位置关系？（1）12{}L L P =点；（2）12L L =∅；（3）1212L L L L ==.2. 若关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ，且A ∩B ={13-}，求A B .。

湖南省株洲市南方中学高一数学《第三章第三章函数的应用(复习小结)》学案

湖南省株洲市南方中学高一数学《第三章第三章函数的应用（复习小结）》学案【知识建构】1．理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点；2．巩固常见函数模型的应用．【教学过程】一、情景设置二、教学精讲例1．已知m ∈R ，设P ：x 1和x 2是方程x 2-ax -2=0的两个根，不等式|m -5|≤|x 1-x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立；Q ：函数f(x)=3x 2+2mx+m+43有两个不同的零点，求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围．例2．已知函数f(x)=3x +x -2x+1． (1) 判断函数零点的个数；(2) 找出零点所在区间．(3)例3．设函数f(x)=x3+3x-5，其图象在(-∞,+∞)上是连续不断的．(1)求值：f(0)=____，f(1)=____，f(2)=____， f(3)= ____，所以f(x)在区间_______内存在零点x0；(2)用二分法求方程f(x)= 0的近似解(精确度0.1)．(3)例4．某自来水厂的有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为1206t吨，其中0≤t≤24．(1)从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最小水量是多少？(2)若蓄水池中的水量少于80吨时，就全出现供水紧张现象，请问，在一天24小时内，有几小时出现供水紧张现象？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)三、探索研究四、课堂练习1．若函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x)，且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和．2．已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.0001)，的近似值，那么将区间(a,b)等分的次数至少是_______．【教学后记】。

1.3 函数的基本性质教案

4. 求函数 f(x)＝
x 在区间[2，5]上的最大值与最小值． x－ 1
x2＋2x＋a 5. 已知函数 f(x)＝，x∈[1，＋∞) x 1 (1) 当 a＝2时，求函数 f(x)的最小值； (2) 若对于任意的 x∈[1，＋∞)，f(x)＞0 恒成立，试求 a 的取值范围.
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人教 A 版高中数学必修 1 学案
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1.3.2 函数的奇偶性(第 2 课时)
一、基础练习 1. 下列结论正确的是( ) A．偶函数的图象一定与 y 轴相交 B．若奇函数 y＝f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0 C．所有函数都能写成奇函数和偶函数之和的形式 D．图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数 1 2. (2014 广东二模) 定义在 R 上的偶函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(3)＝0，则不等式 xf(x)＞0 的解集是( ) 1 1 A. (0，3) B. (3，＋∞) 1 1 C. (－3，0)⋃(3，＋∞) 1 1 D. (－∞，－3)⋃(0，3)
7. 已知 f(x) 是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对定义域内的任意 x、y、f(x)都满足 f(x·y)＝y·f(x)＋x·f(y). (1) 求 f(1)、f(－1)的值； (2) 判断 f(x)的奇偶性，并说明理由.
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三、拔高训练 8. (1)已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x－3，求 f(x)的解析式； (2) 设 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，若 f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，求 f(1)＋f(2).

湖南株洲市南方中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

湖南株洲市南方中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（）A ．21(1)(2)a a a a +++>+B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+C ．1log (1)a a a a ++< D ．12log (2)1a a a a +++<+ 【答案】ABD 【分析】对于选项A ：原式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121a a a a ++<++，构造函数()ln xf x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合放缩法即可判断；【详解】令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减，对于选项A ：因为2a ≥，所以21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，即原不等式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>++，从而可得21(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确；对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 343<，因为ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 323<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a+>+，故选项C 错误；对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，因为2a ≥，所以等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦，因为()()()()222222ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确；故选：ABD 【点睛】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.2．已知函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根 B．当1122a -+<<时，方程有2个根 C ．当12a --=时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根【答案】CD 【分析】先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.【详解】解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]()1()0f x f x a --=，故()1f x =或()f x a =.函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，()2220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式()()411a a ∆=+-.（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，1a =时已知方程有1个根；（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：10a -<<时，函数()f x 图象如下：由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得15a --<，故当15a --<时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根；当152a -=时，21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知方程有3个根；当1512a -<<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A 错误；1512a --<<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当15a --=3个根，C 正确；当 1542a --≤-<时，方程有4个根，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.3．1837年，德国数学家狄利克雷(P .G.Dirichlet ，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：1,()0,R x Q D x x Q ∈⎧=⎨∈⎩(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（）A ．()D x 是偶函数B ．,(())1x R D D x ∀∈=C ．对于任意的有理数t ，都有()()D x t D x +=D ．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC 为正三角形【答案】ABCD 【分析】利用定义判断函数奇偶性，可确定A 的正误，根据“狄利克雷函数”及有理数、无理数的性质，判断其它三个选项的正误. 【详解】A ：由()D x 定义知：定义域关于原点对称，当x Q ∈则x Q -∈，当R x Q ∈则Rx Q -∈，即有()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，正确；B ：由解析式知：,()1x R D x ∀∈=或()0D x =，即(())1D D x =，正确；C ：任意的有理数t ，当x Q ∈时，x t Q +∈即()()D x t D x +=，当R x Q ∈时，R x t Q +∈即()()D x t D x +=，正确；D ：若存在ABC 为正三角形，则其高为1，边长为3，所以当((0,1),,0)33A B C -时成立，正确；故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性质判断各选项的正误.4．已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对(),y f x x R =∈，当12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则a 的可能取值为（）A ．B ．1-C ．1 D【答案】BC 【分析】由已知得函数()f x 是偶函数，在[0,)+∞上是单调增函数，将问题转化为2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，由基本不等式可求得范围得选项．【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于直线0x =（即y 轴）对称，所以函数()f x 是偶函数.又12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数.且()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，所以2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，当0x =时，01<恒成立，当0x ≠时，2|21|11|||||||||2|22x a x x x x x+<=+=+，又因为1||||2x x +=≥||2x =时，等号成立，所以||a <，因此a <<，故选：BC. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.5．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取值为( ) A ．1 B ．0C ．1-D ．2-【答案】CD 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，0x ≥时，()x f x e x b =+-，显然()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立，可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立，即sin (2sin )x k x +，整理得：(1)sin 2k x k -当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误;当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确；当2k =-时，4sin 3x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.6．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（） A ．634z x y << B ．121x y z+= C ．4x y z +> D ．24xy z <【答案】AC 【分析】令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：111log 3log 4log 12m m m x y z===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111x y z+=，故选项B 错误；对于选项A ，124log 12log 9log 03m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xyz x y=+，所以()()()()2222222440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--==-<++，所以24xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；故选：AC. 【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令34121xyzm ===>，进而得111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，再根据题意求解.7．下列说法中，正确的有（） A ．若0a b >>，则b a a b> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11a b+的最小值为4 C ．己知()11212xf x =-+，且()()2110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()22log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是(]11,6--【答案】BCD 【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与11a b+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，0a b >>，则1a bb a>>，A 选项错误；对于B 选项，0a >，0b >，1a b +=，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以，11a b+的最小值为4，B 选项正确；对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ，任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>，所以，()()()()211212121211111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，()()()()2211112212221212xxx x x f x -+-=-==+++，则()()()()()()21212212122212221x x x x x x x xf x f x --------====-+⋅++，所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数，由()()2110f a f a-+-<可得()()()22111f a f a f a-<--=-，所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确；对于D 选项，对于函数()()22log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，所以min 16380au a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.8．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件【答案】BCD 【分析】取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项．【详解】解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；对于B 选项，令[]a a r =+，[](,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)，可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥，则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错误；对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]f x x k ==，可得()f x 的图象，如图所示：函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的点，由图可知，实数a 的取值范围是][3443,,4532⎛⎫⋃⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，01q ≤<，[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]0y =，此时不满足()()f x f y =，故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；二、导数及其应用多选题9．设函数()()1x a f x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（）A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x a x a =只有一个正根．利用导数研究函数ln ()x h x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x a x a=只有一个正根．设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x a x a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．10．若方程()2110x m x -+-=和()120x m e x -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D ．1112x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x x y e -=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x x y e -=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题.【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x x m e -=-的两个根，即y m =与11y x x =--和12x x y e -=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x x y e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-；故作出函数11 y xx=--，12xxye-=-的图像如图所示，注意到：当()0,1x∈时，11122xxx xx e---<-<-，由图可知，3201x x<<<，()2,1m∈--，从而()11112,1xx--∈--，解得115,1x⎛⎫--∈-⎪⎪⎝⎭，所以选项AD正确，选项C错误，又121310x x x x-=<<.故选：ABD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。

湖南省株洲县高中数学第三章函数的应用学案(无答案)

函数的应用方程的根与函数的零点（一）一、学习要求1.理解函数的零点的概念，认识方程与函数的关系。

2.通过具体例子，理解函数零点存在性定理，进一步培养观察、思辨、概括能力。

3.于学习过程中理解函数与方程的思想，建构联系的学习观点。

二、课前自学（一）阅读课本，梳理知识 1.阅读课本8688P P -的内容。

2.梳理知识：（1）函数零点的定义：（2）方程的根与函数的零点的关系：（3）函数零点存在性定理：（二）基础自测，检验效果1.方程240x -=的根是____，函数24y x =-的图象与x 轴的交点是____，函数24y x =-的零点是____。

2.方程2230x x --=的根是____，函数223y x x =--的图象与x 轴的交点是___________，函数223y x x =--的零点是____。

3.方程lg 0x =的根是____，函数lg y x =的图象与x 轴的交点是___________，函数lg y x =的零点是____。

4. 已知函数()f x 在区间[]2,1--上的图象是连续不断的一条曲线，且()()210f f -⋅-< ，则函数()y f x =在区间()2,1--内______零点。

5. 已知函数()f x 在区间[]2,1--上的图象是连续不断的一条曲线，且函数()y f x =在区间()2,1--内有零点，则()()21f f -⋅- ______。

（三）疑惑摘要自学之后，你还有哪些没有弄清的问题请记在下面，课堂上我们共同探讨：三、课中互动（一）概念形成1.本课时的核心概念是什么、它是如何产生的？2.小组合作，解决自学“疑惑”，举正、反例理解核心概念。

（二）展示交流例1 求函数()lg(1)f x x =-的零点。

例2 求函数()lnx 2x 6f x =+-的零点个数。

例3 求函数()()2ln 23f x x x =--零点所在的大致区间.（三）课堂小结四、课外延伸（一）练习1．函数2()32f x x x =-+的零点是（）A ． (1,0)B ． (2,0)C ．(1,0),(2,0)D ．1,2 2．函数()2f x x b =-+的零点为1，则g()x x b =+的零点是________。