【全国百强校】河北省武邑中学2017届高三上学期周考(9.4)理数(原卷版)

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河北武邑中学2017届高三上学期期中考试理科数学试题 Word版含答案

理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}{}2,|20,,1,0,1,2U z A x x x x Z B ==--<∈=-，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A ．{}12-，B ．{}1-，0C ．{}0，1D ．{}12，（2）设1z i =-（i 是虚数单位），若复数22z z+在复平面内对应的向量为OZ ，则向量OZ 的模是（）A ．1B ．．．2（3）已知()f x 满足对()(),0x R f x f x ∀∈-+=，且0x ≥时，()x f x e m =+（m 为常数），则()ln 5f -的值为（） A ．4 B ．-4 C ．6 D ．-6（4）如图，在空间四边形(),,C,D ABCD A B 不共面中，一个平面与边,,,AB BC CD DA 分别交于,,,E F G H （不含端点），则下列结论错误的是（）A ．若::AE BE CF BF =，则//AC 平面EFGHB ．若,,,E F G H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C ．若,,,E F G H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形 D ．若,,,EFGH 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形（5）已知正项数列{}n a 中，()2221211111,2,22,n n n n n n a a a a a n b a a -++===+≥=+，，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则33S 的值是（） A ．．C ．D ．3（6）如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A．(8π+ B．(9π+ C．(10π+ D．(8π+（7）已知实数,x y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，记z ax y =-（其中0a >）的最小值为()f a ．若()35f a ≥，则实数a 的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（8）在边长为1的正ABC ∆中，,D E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），则AD AE等于（） A ．16 B ．29 C ．1318 D ．13（9）曲线()221f x x =-、直线2x =、3x =以及x 轴所围成的封闭图形的面积是（） A ．ln 2 B ．ln 3 C ．2ln 2 D ．3ln2（10）已知边长为的菱形ABCD 中，060A ∠=，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120°，此时点,,,ABCD 在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π （11）已知函数()f x 满足()14f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =，若在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()f x kx =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（）A ．44ln 4,e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．[]4ln 4,ln 4-- C ．4,ln 4e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．4,ln 4e⎛⎤-- ⎥⎝⎦（12）已知函数()()()0f x x ωϕω=+>的图像关于直线2x π=对称且()31,8f f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω可取数值的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）命题“000,sin cos 2x R a x x ∃∈+≥”为假命题，则实数a 的取值范围是____________．（14）已知cos 6πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．（15）已知定义在R 上的单调函数()f x 满足对任意的12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+成立．若正实数,a b 满足()()210f a f b +-=，则12a b+的最小值为___________．（16）已知函数()()023x f x f e x '=-++，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x xy e=上，则PQ 的最小值为____________．三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立．（1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++．（1）求角A ；（2）若a =，求b c +的取值范围．（19）（本小题满分12分）在如图所示的三棱锥111ABC A B C -中，1AA ⊥底面,,ABC D E 分别是11,BC A B 的中点．（1）求证：//DE 平面11ACC A ；（2）若01,,60AB BC AB BC ACB ⊥=∠=，求直线BC 与平面1AB C 所成角的正切值．（20）（本小题满分12分）已知函数(),0x f x e ax a =->．（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值；（2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∆为正三角形，,,AB AD AC CD PC ⊥⊥==，平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）点E 在棱PC 上，试确定点E 的位置，使得PD ⊥平面ABE ；（2）求二面角A PD C --的余弦值．（22）（本小题满分12分）已知()[)sin cos ,0,f x x x x =-∈+∞．（1）证明：()2sin 12x x f x -≥-；（2）证明：当1a ≥时，()2ax f x e ≤-．参考答案一、选择题二、填空题13. ( 14． 13± 15．9 16 三、解答题 17．解：（1）在324n n a S =+中令1n =得18a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分因为对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立，所以11324n n a S ++=+，所以()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．．．．．．．．．．．10分18．解：（1）根据正弦定理可得1b ca c a b+=++，即()()()()b a b c a c a b a c +++=++，即222b c a bc +-=，根据余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π=．．．．．．6分（2）根据正弦定理8sin sin sin b c aB C A===，所以8sin ,c 8sinC b B ==，．．．．．．．．．．．．．．．7分又23B C π+=，所以218sin 8sin 8sin sin 32b c B B B B B π⎛⎫⎛⎫+=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭318sin cos 226B B B B B π⎛⎫⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，．．．．．．．．．．．．9分因为203B π<<，所以5666B πππ<+<，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以6B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即b c +的取值范围是(．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．解：（1）取AB 的中点F ，连接,DF EF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分在ABC ∆中，因为,D F 分别为,BC AB 的中点，所以//,DF AC DF ⊄平面11,ACC A AC ⊂平面11ACC A ，所以//DF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分在矩形11ABB A 中，因为,F E 分别为11,A B AB 的中点，所以1//,EF AA EF ⊄平面 111,ACC A AA ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．4分因为DF EF F = ，所以平面//DEF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分因为DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BC BB ⊥，又1,AB BC AB BB B ⊥= ，所以BC ⊥平面11ABB A ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分因为11,AB BC BB BB ==，所以11AB CB =，又0160ACB ∠=，所以1AB C ∆为正三角形，所以1AB AC ===，所以1BB AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分取1AB 的中点O ，连接,BO CO ，所以11,AB BO AB CO ⊥⊥，所以1AB ⊥平面BCO ，所以平面1AB C ⊥平面BCO ，点B 在平面1AB C 上的射影在CO 上，所以BCO ∠即为直线BC 与平面1AB C 所成角．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分在Rt BCO ∆中，BO AB ==，所以tan BO BCO BC ∠==．．．．．．．．12分（若用空间向量处理，请相应给分）20．解：（1）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()x f x e a '=-，令()0f x '>，得ln x a >，所以()f x 的单调递增区间是()ln ,a +∞；令()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 的单调递减区间是(),ln a -∞，函数()f x 在ln x a =处取极小值，()()()ln ln ln ln a g a f x f a e a a a a a ===-=-极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ()()11ln ln g a a a '=-+=-，当01a <<时，()()0,g a g a '>在()0,1上单调递增；当1a >时，()()0,g a g a '<在()1,+∞上单调递减，所以1a =是函数()g a 在()0,+∞上唯一的极大值点，也是最大值点，所以()()max 11g a g ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）当0x ≤时，0,0xa e ax >-≥恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分当0x >时，()0f x ≥，即0xe ax -≥，即x e a x≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()()()()221,0,,xx x x e x e e x e h x x h x x x x--'=∈+∞==，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =，所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()201e f f a f e e e =<≤=-，即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：∵PC ==，∴PA AC ⊥；又∵PAC ABCD PAC ABCD AC ⊥⎧⎨=⎩平面平面平面平面，∴PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥，又AB AD ⊥，以A 为坐标原点，射线,,AB AD AP 分别为,,z x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，设2PA =，则()()()2,0,0,,0,0,2B C D P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．2分（1）()2,0,020AB PD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，故PD AB ⊥；设AE AP PC λ=+ ，若AE PD ⊥，则0AE PD = ，即0AP PD PC PD λ+=，即480λ-+=，即12λ=，即当E 为PC 的中点时，AE PD ⊥，则PD ⊥平面ABE ，所以当E 为PC 的中点时PD ⊥平面ABE ．．．．．．．．．．．．6分（2）设平面PCD 的一个法向量(),,n x y z =，()2,2PC PD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则0n PC = 且0n PD =，即20x z -=20y z -=，令y =，则2,1z x ==，则()2n =，再取平面PAD 的一个法向量为()1,0,0m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分则cos ,n m n m n m == ，故二面角A PD C --．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）不等式()2sin 12x x f x -≥-，即不等式2cos 12x x ≥-．．．．．．．．．．1分设()2cos 12x g x x =+-，则()[)sin ,0,g x x x x '=-+∈+∞．．．．．．．．．．．．．．2分再次构造函数()sin h x x x =-+，则()cos 10h x x '=-+≥在[)0,x ∈+∞时恒成立，所以函数()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00h x h ≥=，所以()0g x '≥在[)0,+∞上恒成立，所以函数()g x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以2cos 102x x +-≥，所以2cos 12x x ≥-，即()2sin 12x x f x -≥-成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）的解析可知，当[)0,x ∈+∞时，sin x x ≤且2cos 12x x ≥-，所以()2sin cos 12x f x x x x ⎛⎫=-≤-- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分当2122ax x x e ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭对[)0,x ∈+∞恒成立时，不等式()2ax f x e ≤-恒成立，不等式2122ax x x e ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭，即不等式2102ax x e x ---≥对[)0,x ∈+∞恒成立．．．．．．．．．．．．8分构造函数()212xx M x e x =---，则()1x M x e x '=--，令()1x m x e x =--，则()1x m x e '=-，当[)0,x ∈+∞时，()0m x '≥，故()m x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00m x m ≥=，故()0M x '≥，即()M x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00M x M ≥=，故2102xx e x ---≥恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分故当1a ≥时，2211022axx x x e x e x ---≥---≥，即当1a ≥时，不等式()2ax f x e ≤- 恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

2017届河北省武邑中学高三上学期周考(9.4)数学(文)试题

河北省武邑中学2017届高三上学期周考（9.4）数学（文）试题课题：指数与指数函数数学（文）周测第Ⅰ卷（共60分）一、选择题1.已知()22x x f x -=+，若()3f a =，则(2)f a 等于（）A ．5B ．7C ．9D ．112.若点(,9)a 在函数3x y =的图象上，则tan 6a π的值为（）A ．0BC ．1D 3.已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<4.不论a 为何值时，函数(1)22x a y a =--恒过定点，则这个定点的坐标是（） A ．1(1,)2- B ．1(1,)2 C ．1(1,)2-- D ．1(1,)2- 5.定义运算：,*,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，如1*21=，则函数()2*2x x f x -=的值域为（） A ．R B ．(0,)+∞ C ．(0,1] D ．[1,)+∞6.已知函数()log x a f x a x =+（0a >且1a ≠）在[1,2]上的最大值与最小值之和为log 26a +，则a 的值为（）A ．12B ．14C ．2D ．4 7.若函数()(1)x x f x k a a -=--（0a >且1a ≠）在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是下图中的（）8.定义运算,,a a b a b b a b≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是下图中（）二、填空题9.若函数2()()x f x e μ--=（e 是自然对数的底数）的最大值是m ，且()f x 是偶函数，则m μ+= .10.已知函数,0()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是 .11.若函数2,0()2,0x x x f x x -⎧<⎪=⎨->⎪⎩，则函数(())y f f x =的值域是 . 12.已知函数22,2()21,2x x ax x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，且2((1))3f f a >，则a 的取值范围是 . 13.已知2()f x x =，1()()2x g x m =-，若对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 . 三、解答题14.已知函数21()21x x f x -=+. （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）求证：()f x 在R 上为增函数.15.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数. （1）求,a b 的值；（2）解关于t 的不等式22(2)(21)0f t t f t -+-<.16. 定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，已知当[1,0]x ∈-时，1()()42x x a f x a R =-∈.（1）求()f x 在[0,1]上的最大值；（2）若()f x 是[0,1]上的增函数，求实数a 的取值范围.17. 已知定义在R 上的函数||1()22x x f x =-. （1）若3()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.18. 若函数()f x 满足对于(0,)+∞上的任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+，且1x >时，()0f x >，试证：（1）()()()xf f x f y y=-；（2）1()()f x f x=-；（3）()f x 在(0,)+∞上递增. 19.已知函数1()log 1ax f x x +=-，（0a >且1a ≠）. （1）求函数的定义域，并证明：1()log 1a x f x x +=-在定义域上是奇函数；（2）对于[2,4]x ∈，21()log log 1(1)(7)a a x m f x x x x +=>---恒成立，求m 的取值范围. 20. 已知函数()log (3)a f x ax =-（0a >且1a ≠）.（1）当[0,2]x ∈时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使得函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.参考答案BDACC CAA9.1 10. 1(0,]4 11．11(1,)(,1)22-- 12．(1,3)- 13．1[,)4+∞ 14.(1)解:因为函数()f x 的定义域为R ，且212()12121x x x f x -==-++，所以2222222()()(1)(1)2()2()212121212121xx x x x x x f x f x --∙-+=-+-=-+=-+++++++2(21)222021x x +=-=-=+，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数.∴12()()f x f x <，∴函数()f x 在R 上是增函数.15.解：（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即102b a-+=+，解得1b =，所以121()2x x f x a +-+=+. 又由(1)(1)f f =--，知1121241a a-+-+=-++，解得：2a =. （2）由（1）知12111()22221x x x f x +-+==-+++. 由上式易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数（此外可用定义域或导数法证明函数()f x 在R 上是减函数）又因为()f x 是奇函数，所以不等式22(2)(21)0f t t f t -+-<等价于222(2)(21)(21)f t t f t f t -<--=-+，因为()f x 是减函数，由上式推得22221t t t ->-+，即23210t t -->，解不等式可得：1{|1}3t t t ><-或. 16.解：（1）设[0,1]x ∈，则[1,0]x -∈-，1()4242x x x x a f x a ---=-=-∙， ∵()()f x f x -=-，∴()24x x f x a =∙-，[0,1]x ∈.令2x t =，[1,2]t ∈，∴222()()24a a g t at t t =-=--+，当12a ≤，即2a ≤时，max ()(1)1g t g a ==-；当122a <<，即24a <<时，2max ()()24a a g t g ==；当22a ≥，即4a ≥时，max ()(2)24g t g a ==-.综上，当2a ≤时，()f x 的最大值为1a -；当24a <<时，()f x 的最大值为24a ；当4a ≥时，()f x 的最大值为24a -.（2）∵函数()f x 在[0,1]上是增函数，∴'()ln 22ln 442ln 2(22)0x x x x f x a a =⨯-⨯=-⨯≥， ∴220x a -⨯≥恒成立，∴22x a ≥⨯，∵2[1,2]x ∈，∴4a ≥.17.解：（1）当0x <时，()0f x =，无解；当0x ≥时，1()22x x f x =-，由13222x x -=，得2223220x x ∙-∙-=，看成关于2x 的一元二次方程，解得22x =或122x =-， ∵20x >，∴1x =.（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022t t t t t m -+-≥，即24(21)(21)t t m -≥--，∵2210t ->，∴2(21)t m ≥-+，∵[1,2]t ∈，∴2(21)[17,5]t -+∈--，故m 的取值范围是[5,)-+∞. 18.证明：（1）由已知()()()xf f y f x y+=，即()()()xf x f y f y-=. （2）令1x y ==，则(1)2(1)f f =，因此(1)0f =. ∴1()()(1)0f x f f x +==，即1()()f x f x =-.（3）设120x x <<，则211x x >，由已知21()0x f x >，即21()()0f x f x ->，因此12()()f x f x <，函数()f x 在(0,)+∞上递增.19.解：（1）由101x x +>-，解得1x <-或1x >，∴函数的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞ .当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ 时，11111()log log log ()log ()1111aa a a x x x x f x f x x x x x --+-++-====-=---+--， ∴1()log 1a x f x x +=-在定义域上是奇函数. （2）由[2,4]x ∈时，21()log log 1(1)(7)a a x m f x x x x +=>---恒成立， ①当1a >时，∴2101(1)(7)x m x x x +>>---对[2,4]x ∈恒成立， ∴0(1)(1)(7)m x x x <<+--在[2,4]x ∈恒成立.设()(1)(1)(7)g x x x x =+--，[2,4]x ∈则32()77g x x x x =-++-， '22752()31413()33g x x x x =-++=--+， ∴当[2,4]x ∈时，'()0g x >，∴()y g x =在区间[2,4]上是增函数，min ()(2)15g x g ==.∴015m <<.②当01a <<时，由[2,4]x ∈时， 21()log log 1(1)(7)a a x m f x x x x +=>---恒成立， ∴211(1)(7)x m x x x +<---对[2,4]x ∈恒成立. ∴(1)(1)(7)m x x x >+--在[2,4]x ∈恒成立.设()(1)(1)(7)g x x x x =+--，[2,4]x ∈，由①可知()y g x =在区间[2,4]上是增函数，max ()(4)45g x g ==，∴45m >.∴m 的取值范围是(0,15)(45,)+∞ .20．解：（1）由于3y ax =-为减函数，所以要使函数()f x 在[0,2]上恒有意义，就是要求30ax ->恒成立，只需320a ->， ∴302a <<且1a ≠，因此a 的取值范围是3(0,1)(1,)2 .（2）由于3y ax =-为减函数，要使()f x 在[1,2]为减函数且最大值为1，则1a >，且max ()(1)log (3)1a f x f a ==-=， ∴32a =. 又3y ax =-在[1,2]上需恒大于零，∴320a ->， ∴32a <，这与32a =矛盾，故不存在实数a ，使()f x 在[1,2]上为减函数且最大值为1.。

【全国百强校】河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试文数(原卷版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}|32A m Z m m =∈≤-≥或，{}|13B n N n =∈-≤<，则()z C A B =（）A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}1,0,1,2- 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n S a =-，则2a =（）A ．4B ．2C ．1D ．2- 3.若sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则tan 2α的值为（）A ．34B ． 35C ．34- D ．34.在矩形ABCD 中，()()1,3,,2AB AC k =-=-，则实数k =（） A ．5- B ．4- C. 23D ．4 5.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ,则43S S =（） A ．5 B ．152 C. 73 D ． 1576.已知11110,1,,log ,log bab b a b a b x y z a a b a ⎛⎫⎛⎫>>+==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则（）A ．x z y <<B ． x y z << C.z y x << D ．x y z =< 7.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若31,45,cos 5c B A ===，则b =（） A ．53 B ．107 C.57D8．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”. 其意思为: 现一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了五尺，一个月（按30天计算）共织九匹三丈（一匹=四丈，一丈=十尺），记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617a a a a +++的值为（）A ．55B ．52 C. 39 D ．26 9.已知定义在R 上的函数()f x 满足:()()2f x f x +=，在区间[)1,1-上，()224,10log ,01x a x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩,若59022f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()4f a =（） A ．1 B ．1- C. 12 D ．12- 10.如图，平行四边形ABCD 中，2,1,60AB AD A ==∠=，点M 在AB 边上，且13AM AB =，则DM DB =（）A ． 1-B ．1C.11.已知函数()sin cos f x x a x =-图象的一条对称轴为34x π=,记函数()f x 的两个极值点分别为12,x x ，则12x x +的最小值为（）A ．34π B ． 2π C.4πD ．0 12.已知函数()21(,g x a x x e e e=-≤≤为自然对数的㡳数) 与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ． 21,2e ⎡⎤-⎣⎦ B ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C.2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.曲线1x y x =+在点11,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为__________. 14.已知a 与b 的夹角为(,23a b π==，则b = __________.15.如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行，数字6,5,4(从左至右) 出现在第3行; 数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，则第4个数字为_________.16.对于数列{}n a ，定义1122...2n na a a Hn n-+++=为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的“优值”12n Hn +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意的n 恒成立，则实数k 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知{}n a 是单调递增的等差数列，首项13a =，前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，其中11b =，且223212,20a b S b =+=. （1）求 {}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令()cos 3n n n a c S n N π*⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求 {}n c 前20项和20T .18.（本小题满分12分）已知函数()()12ln 2f x a x ax x=-++. （1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）当0a <时，求函数()f x 的单调增区间.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11,2n na b n n a T +⎛⎫= ⎪⎝⎭为数列{}n b 前n 项和，若n T m ≥恒成立，求m 的最大值.20.（本小题满分12分）如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120,,AB AC 的长度均大于200米，现在边界,AP AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆. （1）若围墙,AP AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元. 若围围墙用了20000元, 问如何围可使竹篱笆用料最省？21.（本小题满分12分）已知函数()22cos 3sin cos 3f x x x x x =--+.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()()sin 222cos sin A C bA C a A+==++,求()f B 的值. 22.（本小题满分12分）已知函数()(),xf x eg x mx n ==+.（1）设()()()h x f x g x =-．①若函数()h x 在0x =处的切线过点()1,0，求m n +的值；②当0n =时，若函数()h x 在()1,-+∞上没有零点，求m 的取值范围. （2）设函数()()()1nxr x f x g x =+，且()40n m m =>，求证: 当0x ≥时，()1r x ≥.：。

【全国百强校】河北省武邑中学2017届高三上学期周考(9.4)理数(解析版)

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列说法正确的是（） A ．第二象限的角比第一象限的角大 B ．若1sin 2α=，则6πα= C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关【答案】D 【解析】考点：1、弧度制与角度制；2、象限角及特殊角的三角函数.2.已知函数cos()(0,||)y x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则（） A ．21,3πωϕ==B ．21,3πωϕ==-C ．22,3πωϕ==D ．22,3πωϕ==-【答案】D 【解析】试题分析：由图象得 72,,241234T T πππππωω=-====，所以由cos(2)1,3πϕ⨯+=得23πϕ=-，故选D.考点：1、三角函数的图象与性质；2、特殊角的三角函数. 3.（2012.吉林模拟）曲线2sin()cos()44y x x ππ=+-与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为123,,,p p p ，则24||p p 等于（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【答案】A 【解析】考点：1、两角和的正弦公式及两角差的余弦公式；2、简单的三角方程. 4.已知sin()2sin()2ππαα-=-+，则sin cos αα=（）A ．25 B ．25- C ．25或25- D ．15- 【答案】B 【解析】试题分析：因为sin()2sin()2ππαα-=-+，所以sin 2cos ,tan 2ααα=-=-，所以sin cos αα=()2222sin cos tan 2sin cos tan 121x x αααα-===++-+25-，故选B. 考点：1、诱导公式的应用；2、同角三角函数之间的关系.5.若,,a b c 是ABC ∆的三边，直线0ax by c ++=与圆221x y +=相离，则ABC ∆一定是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形【答案】D 【解析】试题分析：因为直线0ax by c ++=与圆221x y +=1>，即222222,cos 02a b c a b c C ab+-+<=<，角C 为钝角，ABC ∆一定是锐角三角形,故选D.考点：1、点到直线的距离公式；2、余弦定理的应用.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而判断其为钝角三角形.6.若,(0,)2παβ∈，cos()2βα-=1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+的值等于（）A ．B ．12-C ．12D 【答案】B 【解析】考点：1、同角三角函数之间的关系；2、特殊角的三角函数. 7.若函数2()sin 22sin sin 2f x x x x =-()x R ∈，则()f x 是（）A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数【答案】D 【解析】试题分析：因为2()sin 22sin sin 2f x x x x =-()21sin 212sin sin 2cos 2sin 42x x x x x =-==,所以周期2,42T ππ==()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，故选D. 考点：1、正弦函数、余弦函数的二倍角公式；2、三角函数的周期性及奇偶性.8.已知()sin ()f x x x x R =+∈，函数()y f x ϕ=+的图象关于直线0x =对称，则ϕ的值可以是（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D 【解析】试题分析：因为()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,函数()2sin 3y f x x πϕϕ⎛⎫=+=++⎪⎝⎭的图象关于直线0x =对称,函数为偶函数,6πϕ∴=, 故选D.考点：1、两角和的正弦公式；2、三角函数的奇偶性及三角函数的图象. 9.已知tan α和tan()4πα-是方程20ax bx c ++=的两个根，则,,a b c 的关系是（）A ．b a c =+B ．2b a c =+C ．c b a =+D ．c ab = 【答案】C 【解析】试题分析：tan tan ,tan tan ,tan tan 4444b c a a ππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--=∴=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭tan tan 41,1,,11tan tan 4b b c a b a c c a b c a a a πααπαα⎛⎫+--⎪⎝⎭===∴-=-∴-=-∴=+⎛⎫--- ⎪⎝⎭,故选C ．考点：1、韦达定理的应用；2、两角和的正切公式及数学的转化与划归思想.【方法点睛】本题主要考查韦达定理的应用、两角和的正切公式及数学的转化与划归思想.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.10.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取,A B 两点，从,A B 两点分别测得树尖的仰角为30，45，且,A B 两点间的距离为60m ，则树的高度为（）A．(30m + B．(30m + C．(15m + D．(15m +【答案】A 【解析】试题分析：在PAB ∆中，()30,15,60,sin 15sin 4530PAB APB AB ∠=∠====-21sin 45cos30cos 45sin 302=-=⨯=,由正弦定理得:,30sin 30sin15PB ABPB=∴==,树的高度为(sin 453030PB m ==+, 故选A. 考点：1、仰角的定义及两角和的正弦公式；2、阅读能力、建模能力及正弦定理的应用.【思路点睛】本题主要考查仰角的定义及两角和的正弦公式、阅读能力、建模能力及正弦定理的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是将现实生活中的“树高”问题转化为书本知识“三角函数”的问题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题11.已知角α的终边经过点(,6)P x -，且3tan 5α=-，则x 的值为 . 【答案】10 【解析】试题分析：由三角函数的定义可知,63tan ,105y x x x α-===-∴=, 故答案为10. 考点：三角函数的定义.12.已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象如图所示，则(0)f = .【答案】【解析】试题分析：由图象知最小正周期21322344T ππππω⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,故1ω=,又34x π=时,()2f x =, 即342ππφ+=,可得4πφ=-,又()2sin 4f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭,则()02sin 04f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,故答案为. 考点：1、三角函数的图象和性质；2、特殊角的三角函数. 13.在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，12BD CD =，120ADB ∠=，2AD =，若ADC ∆的面积为3，则BAC ∠= . 【答案】60 【解析】试题分析：18012060,2ADC AC ︒∠=-==，ADC ∴∆的面积1sin 6032S AD DC ==-，即1232DC ⨯⨯=，解之得)121,,12DC BD DC BD =-=∴=-，)31BC =，ABD ∆中，根据余弦定理得：6AB==，同理，ACD ∆中得到)1,AC ABC =∆中，根据余弦定理得1cos 2BAC ∠==，结合BAC ∠是三角形的内角, 可得60BAC ∠=，故答案为60.考点：1、余弦定理的应用；2、三角形内角和定理及三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14.定义一种运算：12341423(,)(,)a a a a a a a a ⊗=-，将函数()2sin )(cos ,cos 2)f x x x x =⊗ 的图象向左平移(0)n n >个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为 . 【答案】512π考点：1、两角差的余弦公式；2、新定义问题及三角函数的图象和性质.【方法点睛】本题通过新定义“12341423(,)(,)a a a a a a a a ⊗=-”主要考查两角差的余弦公式；三角函数的图象和性质，属于难题 . 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题是根据新定义“12341423(,)(,)a a a a a a a a ⊗=-”将()f x 化为2cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭进而解决问题的. 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知sin α=，求5sin()2tan()5cos()2πααππα+++-的值.【答案】当α为第一象限角时，52；当α为第二象限角时，52-.【解析】试题分析：分两种情况当α为第一象限角时、当α为第二象限角时分别求出α的余弦值，然后化简5sin()2tan()5cos()2πααππα+++-1sin cos αα=，将正弦、余弦值分别代入即可.16.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，且2cos 28cos 50B B -+=，求角B 的大小，并判断ABC ∆的形状.【答案】3B π=，ABC ∆是等边三角形.【解析】试题分析：由2cos 28cos 50B B -+=得1cos 2B =或3cos 2B =（舍去），进而可求角B 的大小；由,,a b c 成等差数列，得2a c b +=，由余弦定理得2220a c ac +-=，进而可得ABC ∆是等边三角形. 试题解析：∵2cos 28cos 50B B -+=， ∴22(2cos 1)8cos 50B B --+=. ∴24cos 8cos 30B B -+=，即(2cos 1)(2cos 3)0B B --=. 解得：1cos 2B =或3cos 2B =（舍去）. ∵0B π<<，∴3B π=.∵,,a b c 成等差数列，∴2a c b +=.∴222222()12cos 222a c a c a c bB acac ++-+-===，化简得：2220a c ac +-=，解得：a c =. ∴ABC ∆是ABC ∆是等边三角形.考点：1、等差数列的性质；2、余弦定理的应用及等边三角形的性质. 17.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式并写出其所有对称中心；（2）若()g x 的图象与()f x 的图象关于点(4,0)P 对称，求()g x 的单调递增区间.【答案】（1）()sin()84f x x ππ=+，对称中心为(82,0)()k k Z -∈；（2）[166,1614]()k k k Z ++∈. 【解析】将点代入，可得4πϕ=.∴()sin()84f x x ππ=+；对称中心为(82,0)()k k Z -∈.（2）由()g x 的图象与()f x 的图象关于点(4,0)P 对称，得()(8)g x f x =--，∴()sin[(8)]84g x x ππ=-+55sin()sin()4884x x ππππ=-=- 令5222842k x k ππππππ-≤-≤+，得1661614k x k +≤≤+，即()g x 的单调递增区间为[166,1614]()k k k Z ++∈.考点：1、三角函数的图象；2三角函数的对称中心及单调区间.【方法点睛】本题主要考查三角函数的图象；2三角函数的对称中心及单调区间，属于题.求函数sin()y A x ωϕ=+的函数的单调区间的求法：(1)代换法：①若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.18.已知锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan A =. （1）求A 的大小；（2）求cos cos B C +的取值范围.【答案】（1）3A π=；（2）. 【解析】∵(0,)2A π∈，∴3A π=.（2）∵ABC ∆为锐角三角形且23B C π+=，即cos cos B C +的取值范围是. 考点：1、余弦定理及两角和的正弦公式；2、特殊角的三角函数及三角函数求最值.【方法点晴】本题考查的知识点比较多，主要考查余弦定理及两角和的正弦公式、特殊角的三角函数及三角函数求最值，属于难题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x b y c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式利用三角函数有界性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值 .本题是利用方法③的思路解答的.：。

【全国百强校】河北省武邑中学2017届高三上学期周考(10.16)理数(原卷版)

河北省武邑中学2017届高三上学期周考（10.16）理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题中，真命题是（）A ．0x R ∃∈，00x e ≤B ．x R ∀∈，22x x >C ．0a b +=的充要条件是1a b=- D ．1a >，1b >是1ab >的充分条件 2.命题“若()f x 是奇函数，则()f x -是奇函数”的否命题是（）A ．若()f x 是偶函数，则()f x -是偶函数B ．若()f x 不是奇函数，则()f x -不是奇函数C ．若()f x -是奇函数，则()f x 是奇函数D ．若()f x -不是奇函数，则()f x 不是奇函数3.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[]0,1上的增函数”是“()f x 为[]3,4上的减函数”的（）A ．既不充分也不必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．充要条件4.方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是（）A ．01a <≤B ．1a <C ．1a ≤D ．01a <≤或0a < 5.“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（） A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 6.下列说法中，正确的是（）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”C ．命题“p q ∨”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件7.下列四个命题中的真命题为（）A ．0x R ∃∈，使得00sin cos 1.5x x -=-B ．x R ∀∈，总有2230x x --≥C ．x R ∀∈，y R ∃∈，2y x <D ．0x R ∃∈，y R ∀∈，0y x y ⋅=8.已知命题p ：0x R ∃∈，有201x =-；命题q ：(0,)2x π∀∈，有sin x x >，则下列命题是真命题的是（） A ．p q ∧ B ．()p q ∨⌝ C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧ 9.已知全集U R =，集合{}|||2M x x =<，{}|P x x a =>，并且U M P Üð，那么a 的取值范围是（）A ．{}2B ．{}|2a a ≤C ．{}|2a a ≥D ．{}|2a a <10.设甲：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；乙：01a <<，则甲是乙成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.已知0a >，设p ：使x y a =是R 上的单调递减函数；q ：使函数2()lg(221)g x ax x =++的值域为R ，如果“p q ∧”为假， “p q ∨”为真，则a 的取值范围是（）A ．1(,1)2 B ．1(,)2+∞ C ．1(0,][1,)2+∞ D ．1(0,)212.若集合{}1,2,3,4P =，{}|05,Q x x x R =<<∈，则（）A ．“x P ∈”是“x Q ∈”的充分条件但不是必要条件B ．“x P ∈”是“x Q ∈”的必要条件但不是充分条件C ．“x P ∈”是“x Q ∈”的充要条件D ．“x P ∈”既不是“x Q ∈”的充分条件也不是“x Q ∈”的必要条件第Ⅱ卷二、填空题（本题共4个小题，将答案填在答题纸上）13.“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的条件． 14.下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b R ∈，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个假命题；③“2x >”是“112x <”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是．15.若方程220x mx m -+=有两根，其中一根大于3，一根小于3的充要条件是．16.已知集合1|28,2x A x x R ⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，{}|11,B x x m x R =-<<+∈，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．（1）若0ab =，则0a =或0b =；（2）若220x y +=，则x ，y 全为零．18.已知p ：28200x x --≤，q ：22210x x a -+-≤（0a >）．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 19.已知全集U R =，非空集合2|0(31)x A x x a ⎧⎫-=<⎨⎬-+⎩⎭，22|0x a B x x a ⎧⎫--=<⎨⎬-⎩⎭．（1）当12a =时，求()U B A ð；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．20.设p ：22310x x -+≤， q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．21.已知集合233|1,,224A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，{}2|1B x x m =+≥，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围．：。

河北省武邑中学2017-2018学年高三上学期第一次调研考试理数试题 Word版含解析

2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|0log 2A x x =<<，{}|32,xB y y x R ==+∈，则A B = （）A ．()1,4B ．()2,4C ．()1,2D ．()1,+∞【答案】B 【解析】试题分析：由题意{|14}A x x =<<，{|2}B y y =>，所以{|24}A B x x =<< ．故选B ．考点：集合的运算．对数函数与指数函数的性质．2. 设全集U R =，{}(2)|21x x A x -=<，{}|ln(1)B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（） A ．{}|12x x ≤<B ．{}|1x x ≤C ．{}|01x x <≤D ．{}|1x x ≥【答案】A【解析】考点：集合的运算，指数不等式，对数函数的定义域． 3. 函数20.4log (34)y x x =-++的值域是（） A ．(]0,2- B ．[)2,-+∞C ．(],2-∞-D ．[)2,+∞【答案】B【解析】试题分析：2232534()24x x x -++=--+254≤，即2250344x x <-++≤，所以2040.425log (34)log 24x x -++≥=-．故选B ．考点：对数函数的值域．4. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图象为（）【答案】C 【解析】考点：函数的图象． 5. 函数22lg2x y x x -=+的图象（） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于直线1x =对称 D ．关于y 轴对称【答案】A 【解析】试题分析：记22()ln2x f x x x -=+，其定义域为{|22}x x x <->或，又22()lg 2x f x x x ---=-+ 22lg2x x x +-22lg ()2x x f x x -=-=-+，因此函数为奇函数，图象关于原点对称．故选A ．考点：函数的奇偶性．6. 幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调递增区间是（） A ．()0,+∞ B ．[)0,+∞ C ．(),-∞+∞ D ．(),0-∞【答案】D 【解析】试题分析：设()a f x x =，则124a=，2a =-，即2()f x x -=，它是偶函数，增区间是(,0)-∞．故选D ．考点：幂函数的解析式与单调性．【名师点睛】幂函数的解析式是a y x =，一般只要设出这个形式，把条件代入可求得a ，对幂函数而言，它的性质首先分成两类0a >和0a <，在第一象限内，0a >时为增函数（图象过原点），0a <时为减函数（图象不过原点），其次根据m a n =（或mn-）(,m n 的互质正整数)中,m n 的奇偶分类，n 是偶数，函数没有奇偶性；n 是奇数m 是奇数，函数为奇函数； n 是奇数m 是偶数，函数为偶函数．7. 若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，2(log 3)a f =，4(log 5)b f =，32(2)c f =，则a ，b ，c 满足（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】试题分析：由题意，(x)f 在[0,)+∞是递增，422log 5log log 3=<，又32222log 2log 3==>，所以3224(2)(log 3)(log 5)f f f >>，即b a c <<．故选B ．考点：函数的单调性，对数函数的性质．8. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则函数()()1g x f x =+的零点的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】考点：函数的奇偶性，单调性，函数的零点．9. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足10'()xf x -≤，则必有（） A ．(0)(2)2(1)f f f +> B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +< D ．(0)(2)2(1)f f f +≥【答案】A 【解析】考点：导数与函数的单调性．10. 已知函数(2),2,()1()1,22x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(),2-∞ B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】试题分析：条件“对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-”说明函数()f x 是减函数，因此2201()12(2)2a a -<⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，解得138a ≤．故选D ．考点：函数的单调性．11. 若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值范围为（）A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．(0,1)D ．()1,+∞【答案】C 【解析】试题分析：由题意211221()()2122x x x x xx f x f x a a a--+++-===-=---⋅-，(21)(1)0xa +-=，所以1a =，21()321x xf x +=>-，01x <<．故选C ．考点：函数的奇偶性，指数不等式．【名师点睛】1．本题考查函数的奇偶性，在已知函数为奇函数，求参数值时，如果(0)f 存在，则一定有(0)0f =，如果(0)f 不存在，或不知存在不存在时，可用奇函数定义即()()f x f x -=-恒成立求参数值．2．在解分式不等式时，忌不考虑分母的正负，直接去分母，这样易出错，本题如果在解不等式21321x x+>-时，直接去分母可能会得出错解1x <． 12. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+（0a >，1a ≠）在区间(]1,9-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,))9+∞B ．1(,1)9C ．11(,)95D ．11(,)73【答案】C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知集合{}2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B 的真子集的个数为．【答案】15考点：集合的包含关系． 14. 已知函数1()x f x e=，则函数()f x 与直线y x =-平行的切线方程为．【答案】10x y +-= 【解析】试题分析：1'()x f x e =-，由1'()xf x e=-1=-，得0x =，又(0)1f =，所以切线方程为11(0)y x -=--，即10x y +-=．考点：导数的几何意义．15. 若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，则k 的取值范围是．【答案】01或k k ≤≥ 【解析】考点：导数与函数的单调性．【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性．求函数()f x 的单调区间，一般是求出导数'()f x ，然后解不等式'(x)0f >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间，因此本题函数()f x 在区间(1,)+∞上为单调函数，不管是增函数，还是减函数，说明此时'()f x 的符号是确定的，不可能有正有负，从而'()0f x =的解不在此区间内．由此得解题方法．16. 设函数10()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,，2()(1)x x g x f x e =-，则函数()g x 的递增区间是．【答案】(],0-∞，[]1,2 【解析】试题分析：由题意22,1(),1xx x x e g x x x e ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则222,1'()2,1x xx x x e g x x x x e ⎧-≥⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩，所以'()0g x >的解为12x ≤<或0x <，因此其增区间为[1,2)和(,0)-∞（也可写成[1,2]和(,0]-∞）．考点：导数与函数的单调性．【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性．求函数()f x 的单调区间，一般是求出导数'()f x ，然后解不等式'(x)0f >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间．本题关键是写出函数()g x 的解析式，由题意它是分段函数，因此求导时要分段求导，同样解不等式'()0g x >时，也要分段解不等式，最后单调区间可以包含区间的端点即单调区间可写成闭区间形式（只要函数在此区间上是连续的，象本题结论）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A，函数()g x B ．（1）求A B ；（2）若{}|121C x m x m =-<<+，C B ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|3123或x x x -≤<-<≤；（2）(],1-∞．【解析】试题分析：（1）本题求集合的交集，关键是求出两个集合,A B ，它们都是函数的定义域，由对数的真数大（2）若C =∅，则2m ≤-，C B ⊆恒成立；若2m >-时，要使C B ⊆成立，则2,13,213,m m m >-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得21m -<≤．综上，1m ≤，即实数m 的取值范围是(],1-∞．考点：集合的运算，集合的包含关系．18. 若二次函数2()f x ax bx c =++（a ，b ，c R ∈）满足(1)()41f x f x x +-=+，且(0)3f =．（1）求()f x 的解析式；（2）设()g x (2)x f =，求()g x 在[]3,0-的最大值与最小值．【答案】（1）2()23f x x x =-+；（2）最大值为4，最小值为238．19. 设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6)．（1）确定a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值．【答案】（1）12a =；（2）递增区间是()0,2，()3,+∞，递减区间是()2,3．极大值9(2)6ln 22f =+，极小值(3)26ln 3f =+．【解析】试题分析：（1）求出导数'()f x ，得'(1)f ，写出题中切线方程(1)'(1)(1)y f f x -=-，令0x =，则6y =，由此可得a ；（2）解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间；'()0f x =的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点．试题解析：（1）因为2()(5)6ln f x a x x =-+，故6'()2(5)f x a x x=-+．令1x =，得(1)16f a =，'(1)68f a =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为16(68)(1)y a a x -=--，在3x =处取得极小值(3)26ln 3f =+．考点：导数的几何意义，用导数研究函数的单调性与极值．【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1 －f x 0x 1－x 0求解．20. 水库的储水量随时间而变化，现用t 表示事件，以月为单位，以年初为起点，根据历年数据，某水库的储水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为：21(1551)50,09()2404(9)(341)50,912.t t t e t v t t t t ⎧-+-+<≤⎪=⎨⎪--+<≤⎩ （1）该水库的储水量小于50的时期称为枯水期，问：一年内那几个月份是枯水期？（2）求一年内该水库的最大储水量．的值为4.6计算．3e 的值为20计算）【答案】（1）枯水期：1,2,3,4,5,10,11,12月；（2）最大蓄水量是150亿立方米．【解析】试题分析：本题是函数应用题，函数式已知，因此第（1）小题只要根据枯水期的概念解不等式()50v t <即得，只是由于()v t 是分段函数，因此要分段求解不等式；（2）求函数最大值，根据（1）的结论，蓄水最大值只能在6,7,8月份取得，这时21()(1551)50240t v t t t e =-+-+，可求导'()v t ，由导数的知识求得最大值．试题解析：（1）当09t <≤时，21()(1551)5050240t v t t t e =-+-+<，即215510t t -+>．令'()0v t =，解得9t =或4t =（舍），又当()6,9t ∈时，'()0v t >，()v t 递增；当()9,10t ∈时，'()0v t <，()v t 递减．所以，当9t =时，()v t 的最大值91(9)350150240v e =⨯⨯+=（亿立方米），故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米．考点：函数的应用，导数在实际问题中的应用．21. 已知函数2()()xf x ax x e =+，其中e 是自然数的底数，a R ∈．（1）当0a <时，解不等式()0f x >；（2）若0a >，试判断()f x 在()1,1-上是否有最大或最小值，说明你的理由．【答案】（1）1(0,)a -；（2）()f x 在(1,1)-上有最小值，无最大值．【解析】试题分析：（1）由于0x e >，因此不等式'()0f x >可化为二次不等式20ax x +>，利用二次不等式的解的结论可得；（2）判断最大值和最小值，首先研究函数的单调性，即求出'()f x ，考虑'()0f x =的解，如有解，判断这个解是否在(1,1)-上，从而确定函数在(1,1)-上的单调性，本题中判断解的情况可利用二次函令2()(21)1g x ax a x =+++，图象对称轴为2111122a x a a +=-=--<-．因为(1)(0)0g g a -⋅=-<，所以()g x 在()1,1-内有零点，记为0x ，在0(1,)x -上()0g x <，()f x 递减，在0(,1)x 上()0g x >，()f x 递增，()f x 在(1,1)-上有最小值，无最大值．考点：用导数研究函数的最值．22. 已知函数()(1)x f x x e -=+（e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()'()x x xf x tf x e ϕ-=++，存在1x ，[]20,1x ∈，使得成立122()()x x ϕϕ<成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()f x 在(),0-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；（2）(,32)(3,)2e e -∞--+∞ ，【解析】试题分析：（1）要求单调区间，先求出导函数'()f x ，然后解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间；（2）要解决本小题的问题，首先进行问题的理解与转化：“存在1x ，[]20,1x ∈，使得成立122()()x x ϕϕ<成立”，等价于“[0,1]x ∈时，[][]min max 2()()x x ϕϕ<”，这样下面主要问题是求()x ϕ的最大值与最小值．求出函数式()x ϕ，再求出导数'()x ϕ，()(1)'()x x t x x eϕ--=-，由此分类，分三类：0t ≤，1t ≥，01t <<，分别求得()x ϕ的最大值和最小值，然后解不等式[][]min max 2()()x x ϕϕ<可得t 的范围．试题解析：（1）∵函数的定义域为R ，'()x x f x e=-， ∴当0x <时，'()0f x >；当0x >时，'()0f x <，∴()f x 在(),0-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．（2）假设存在1x ，[]20,1x ∈，使得122()()x x ϕϕ<成立，则[][]min max 2()()x x ϕϕ<． ∵2(1)1()()'()x xx t x x xf x tf x e e ϕ-+-+=++=， ∴2(1)()(1)'()x x x t x t x t x x e eϕ-+++--==-．上单调递增．所以{}2()max (0),(1)t ϕϕϕ<，即132max 1,3t t t e +-⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ （*）由（1）知，1()2t t g t e +=在[]0,1上单调递减，故4122t t e e +≤≤，而233t e e e-<<，所以不等式（*）无解．综上所述，存在(,32)(3,)2e t e ∈-∞--+∞ ，使得命题成立．考点：用导数求单调区间，用导数研究函数的最值．含存在题词的命题的转化．【名师点睛】1．求函数的单调区间的“两个”方法(1)方法一：①确定函数y ＝f (x )的定义域；②求导数y ′＝f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)方法二：①确定函数y ＝f (x )的定义域；②求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； ③把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；④确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．2．含有题词“任意”、“存在”的命题的恒成立问题的转化．函数(),()f x g x 在定义区间I 上有意义，（1）12,,x x I ∀∈12()()f x g x <恒成立⇔max min ()()f x g x <；（2）12,,x I x I ∀∈∃∈12()()f x g x <成立⇔max max ()()f x g x <；（3）12,x I x I ∃∈∀∈，12()()f x g x <成立⇔min min ()()f x g x <；（4）12,,x x I ∃∈12()()f x g x <成立⇔min min ()()f x g x <；。

2017届河北武邑中学高三上学期周考(9月4日)数学(文)试题(解析版)

2017届河北武邑中学高三上学期周考（9月4日）数学（文）试题一、选择题1．已知()22x x f x -=+，若()3f a =，则(2)f a 等于（）A ．5B ．7C ．9D ．11 【答案】B【解析】试题分析：因为()22x x f x -=+，()3f a =，所以()223a a f a -=+=，可得()222(2)22222927aa a a f a --=+=+-=-=，故选B.【考点】1、函数的解析式；2、指数的运算. 2．若点(,9)a 在函数3x y =的图象上，则tan6a π的值为（）A ．0B ．1 D 【答案】D【解析】试题分析：因为点(,9)a 在函数3x y =的图象上，所以93,2a a ==，因此tantan 63a ππ== D. 【考点】1、指数函数的解析式；2、特殊角的三角函数.3．已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a << 【答案】A【解析】试题分析：因为0.80.81()22b -==，所以由指数函数的性质可得0,81.2122b a <=<=，552log 2log 41c ==<，因此c b a <<,故选A.【考点】1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题. 【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.4．不论a 为何值时，函数(1)22xay a =--恒过定点，则这个定点的坐标是（） A ．1(1,)2- B ．1(1,)2 C ．1(1,)2--D ．1(1,)2-【答案】C【解析】试题分析：因为1x =- 时，111(1)22222a a a y a --=-⨯-=-=-，所以函数(1)22xa y a =--恒过定点1(1,)2--，故选C. 【考点】1、指数式的运算；2、函数的图象与性质. 5．定义运算：,*,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，如1*21=，则函数()2*2x x f x -=的值域为（）A ．RB ．(0,)+∞C ．(0,1]D ．[1,)+∞ 【答案】C【解析】试题分析：因为2,222,0()2*22,222,0x x x x xxx x xxx f x x -----⎧⎧≤≤⎪⎪===⎨⎨>>⎪⎪⎩⎩，所以可画出()2*2x x f x -=的图象如图，由图象可知函数()2*2x x f x -=的值域为(0,1]，故选C.【考点】1、新定义问题及分段函数的解析式；2、指数函数的图象与性质.6．已知函数()log x a f x a x =+（0a >且1a ≠）在[1,2]上的最大值与最小值之和为log 26a +，则a 的值为（）A ．12 B ．14C ．2D ．4【答案】C【解析】试题分析：因为函数()log x a f x a x =+（0a >且1a ≠）在[1,2]上是单调函数，所以最大值与最小值之和为()()212log 2log 26a a f f a a +=++=+，得2,3a a ==-（舍去），故选C. 【考点】1、对数函数的性质；2、指数函数的性质.7．若函数()(1)x xf x k a a -=--（0a >且1a ≠）在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是下图中的（）【答案】A【解析】试题分析：因为函数()(1)x x f x k a a -=--（0a >且1a ≠）,在R 上既是奇函数，所以()00,f = 得2k =，又因为()f x 是减函数，所以01a <<，()log ()a g x x k =+()log 2a x =+，其图象为A,故选A.【考点】1、函数的奇偶性和单调性；2、对数函数的图象和性质.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、函数的奇偶性和单调性以及对数函数的图象和性质，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除. 8．定义运算,,a a ba b b a b≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是下图中（）【答案】A【解析】试题分析：因为1,01,12()122,02,12xxx x xx f x x ≥⎧≤⎧⎪=⊕==⎨⎨<>⎪⎩⎩，所以根据分段函数图象的画法可得，函数()12xf x =⊕的图象为A,故选A.【考点】1、分段函数的解析式；2、分段函数的图象及新定义问题. 【方法点睛】本题通过新定义“,,a a ba b b a b≤⎧⊕=⎨>⎩”主要考查分段函数的解析式、分段函数的图象的画法，属于难题. 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题是根据新定义“,,a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩”将()f x 化为1,02,0x x x ≥⎧⎨<⎩进而根据分段函数图象的画法解决问题的.二、填空题 9．若函数2()()x f x e μ--=（e 是自然对数的底数）的最大值是m ，且()f x 是偶函数，则m μ+= .【答案】1【解析】试题分析：因为()20x μ--≤，所以2()()1x f x e μ--=≤，即2()()x f x e μ--=最大值为1m =；又因为()f x 是偶函数，所以0μ=，因此m μ+=1，故答案为1. 【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的最值.10．已知函数,0()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是 .【答案】1(0,]4【解析】试题分析：因为1212()()0f x f x x x -<-，所以,0()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩在R 上递减，可得00130(3)04a a a a a⎧<<⎪-<⎨⎪≥-⨯+⎩解得104a <≤ ，故答案为1(0,]4.【考点】1、分段函数的解析式；2、分段函数的单调性.11．若函数2,0()2,0x x x f x x -⎧<⎪=⎨->⎪⎩，则函数(())y f f x =的值域是 .【答案】11(1,)(,1)22--【解析】试题分析：画出2,0()2,0xx x f x x -⎧<⎪=⎨->⎪⎩的图象，由图象知()f x 的值域是()()0,11,0- ，设()()(),0,11,0t f x t =∈- ，()(())y f f x f t ==，由图象看出当()()0,11,0t ∈- 时，()f t 的范围是11(1,)(,1)22-- ，函数(())y f f x =的值域是11(1,)(,1)22-- ，故答案为11(1,)(,1)22-- .x【考点】1、分段函数的解析式；2、分段函数的值域及数形结合思想的应用.12．已知函数22,2()21,2x x ax x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，且2((1))3f f a >，则a 的取值范围是 . 【答案】(1,3)-【解析】试题分析：因为()1213f =+=，所以()2((1))3963f f f a a ==+>，解得13a -<<，故答案为(1,3)-.【考点】1、分段函数的解析式；2、分段函数解不等式.【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰．本题解答分两个层次：首先求出()1f 的值，进而得到((1))f f 的值；其次界关于a 的不等式.13．已知2()f x x =，1()()2x g x m =-，若对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 . 【答案】1[,)4+∞【解析】试题分析：因为对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，所以只需min min ()()f x g x ≥即可，因为2()f x x =，1()()2x g x m =-，所以()min ()00f x f ==，()min 1()24g x g m ==-，由110,44m m ≥-≥ 故答案为1[,)4+∞.【考点】1、函数的最值；2、全称量词与存在量词的应用.【方法点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈()()12f x g x ≥只需()()m i n m a x f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈()()12f x g x ≥只需()m a x ,f x ≥()m a x g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥()min g x .三、解答题14．已知函数21()21x x f x -=+.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）求证：()f x 在R 上为增函数.【答案】（1）()f x 是奇函数；（2）函数()f x 在R 上是增函数.【解析】试题分析：（1）可证()()0f x f x -+=，进而得()f x 是奇函数；（2）设12,x x R ∈，且12x x <，可得121212121221212(22)()()2121(21)(21)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++0<，进而 12()()f x f x <，∴函数()f x 在R 上是增函数.试题解析：（1）解:因为函数()f x 的定义域为R ，且212()12121x x x f x -==-++，所以2()2xx f x --∙-+=-+-=-+=-+++++++2(21)222021x x +=-=-=+，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数.（2）证明：设12,x x R ∈，且12x x <，有121212*********(22)()()2121(21)(21)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， ∵12x x <，12220x x -<，1210x +>，2210x +>， ∴12()()f x f x <，∴函数()f x 在R 上是增函数.【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性及指数式的运算.15．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求,a b 的值；（2）解关于t 的不等式22(2)(21)0f t t f t -+-<.【答案】（1）2a =，1b =；（2）1{|1}3t t t ><-或.【解析】试题分析：（1）由()f x 是奇函数，得(0)0f =，解得1b =；再由(1)(1)f f =--可得2a =；（2）先证()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，再根据奇函数将22(2)(21)0f t t f t -+-<转化为22(2)(21)f t t f t -<-+，进而由单调性得22221t t t ->-+即可解得t 的范围.试题解析：（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即102ba-+=+，解得1b =，所以121()2x x f x a+-+=+.又由(1)(1)f f =--，知1121241a a-+-+=-++，解得：2a =.（2）由（1）知12111()22221x x x f x +-+==-+++.由上式易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数（此外可用定义域或导数法证明函数()f x 在R 上是减函数）又因为()f x 是奇函数，所以不等式22(2)(21)0f t t f t -+-<等价于222(2)(21)(21)f t t f t f t -<--=-+，因为()f x 是减函数，由上式推得22221t t t ->-+，即23210t t -->，解不等式可得：1{|1}3t t t ><-或.【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性及指数的运算. 16．定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，已知当[1,0]x ∈-时，1()()42x xaf x a R =-∈. （1）求()f x 在[0,1]上的最大值；（2）若()f x 是[0,1]上的增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当2a ≤时，()f x 的最大值为1a -，当24a <<时，()f x 的最大值为24a ，当4a ≥时，()f x 的最大值为24a -；（2）4a ≥.【解析】试题分析：（1）先根据奇偶性得[0,1]x ∈时()24x x f x a =∙-，再令2x t =，[1,2]t ∈，∴222()()24a a g t at t t =-=--+，根据求二次函数在闭区间上的最值的方法分三种情况讨论即可求最大值；（2）由导函数恒大于等于零得，220xa -⨯≥恒成立，即22x a ≥⨯，∵2[1,2]x ∈，∴4a ≥. 试题解析：（1）设[0,1]x ∈，则[1,0]x -∈-，1()4242x x x x af x a ---=-=-∙， ∵()()f x f x -=-，∴()24x x f x a =∙-，[0,1]x ∈.令2xt =，[1,2]t ∈，∴222()()24a a g t at t t =-=--+，当12a≤，即2a ≤时，max ()(1)1g t g a ==-；当122a<<，即24a <<时，2max ()()24a a g t g ==；当22a≥，即4a ≥时，max ()(2)24g t g a ==-. 综上，当2a ≤时，()f x 的最大值为1a -；当24a <<时，()f x 的最大值为24a ；当4a ≥时，()f x 的最大值为24a -.（2）∵函数()f x 在[0,1]上是增函数，∴'()ln 22ln 442ln 2(22)0x x x x f x a a =⨯-⨯=-⨯≥，∴220x a -⨯≥恒成立，∴22x a ≥⨯，∵2[1,2]x∈，∴4a ≥.【考点】1、二次函数在闭区间上的最值；2、利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立问题.17．已知定义在R 上的函数||1()22xx f x =-. （1）若3()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1x =；（2）[5,)-+∞.【解析】试题分析：（1）讨论两种情况0x <，0x ≥分别解方程即可得1x =；（2）2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立等价于2(21)t m ≥-+恒成立，[1,2]t ∈时，2(21)[17,5]t -+∈--，故m 的取值范围是[5,)-+∞.试题解析：（1）当0x <时，()0f x =，无解；当0x ≥时，1()22x xf x =-，由13222x x -=，得2223220x x ∙-∙-=，看成关于2x的一元二次方程，解得22x=或122x=-， ∵20x >，∴1x =.（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022t ttt tm -+-≥，即24(21)(21)t t m -≥--， ∵2210t ->，∴2(21)t m ≥-+， ∵[1,2]t ∈，∴2(21)[17,5]t -+∈--，故m 的取值范围是[5,)-+∞.【考点】1、简单的指数方程；2、不等式恒成立的问题.18．若函数()f x 满足对于(0,)+∞上的任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+，且1x >时， ()0f x >，试证：（1）()()()xf f x f y y=-；（2）1()()f x f x=-；（3）()f x 在(0,)+∞上递增.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由()()()f xy f x f y =+得()()()x f f y f x y+=，移项即可；（2）1x y ==可得(1)0f =，1()()(1)0f x f f x+==，移项即可得证；（3）设120x x <<，则211x x >，由已知21()0xf x >，即21()()0f x f x ->，因此12()()f x f x <，函数()f x 在(0,)+∞上递增.试题解析：（1）由已知 ()()()x f f y f x y+=，即()()()x f x f y f y-=.（2）令1x y ==，则(1)2(1)f f =，因此(1)0f =.∴1()()(1)0f x f f x +==，即1()()f x f x=-. （3）设120x x <<，则211x x >，由已知21()0xf x >，即21()()0f x f x ->，因此12()()f x f x <，函数()f x 在(0,)+∞上递增.【考点】1、抽象函数的奇偶性及解析式；2、抽象函数的单调性.19．已知函数1()log 1ax f x x +=-，（0a >且1a ≠）. （1）求函数的定义域，并证明：1()log 1a x f x x +=-在定义域上是奇函数；（2）对于[2,4]x ∈，21()log log 1(1)(7)a ax mf x x x x +=>---恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1））证明见解析；（2）(0,15)(45,)+∞ . 【解析】试题分析：（1）由101x x +>-可得定义域，根据对数的运算法则可证()()f x f x -=-，进而得()f x 是奇函数；（2）当1a >时，21l o g l o g 1(1)(7)a ax m x x x +>---恒成立等价于0(1)(1)(7)m x x x <<+--在[2,4]x ∈恒成立，得015m <<，当01a <<时，(1)(1)(7)m x x x >+--在[2,4]x ∈恒成立，可得45m >. 试题解析：（1）由101x x +>-，解得1x <-或1x >， ∴函数的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞ . 当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ 时，1111()l o g 111aaax x x f x fx x x --+-+-===--+-，∴1()log 1a x f x x +=-在定义域上是奇函数.（2）由[2,4]x ∈时，21()log log 1(1)(7)aa x mf x x x x +=>---恒成立， ①当1a >时，∴2101(1)(7)x mx x x +>>---对[2,4]x ∈恒成立， ∴0(1)(1)(7)m x x x <<+--在[2,4]x ∈恒成立. 设()(1)(1)(7)g x x x x =+--，[2,4]x ∈则32()77g x x x x =-++-，'22752()31413()33g x x x x =-++=--+， ∴当[2,4]x ∈时，'()0g x >，∴()y g x =在区间[2,4]上是增函数，min ()(2)15g x g ==.∴015m <<.②当01a <<时，由[2,4]x ∈时，21()log log 1(1)(7)a a x m f x x x x +=>---恒成立， ∴211(1)(7)x m x x x +<---对[2,4]x ∈恒成立. ∴(1)(1)(7)m x x x >+--在[2,4]x ∈恒成立.设()(1)(1)(7)g x x x x =+--，[2,4]x ∈，由①可知()y g x =在区间[2,4]上是增函数，max ()(4)45g x g ==，∴45m >.∴m 的取值范围是(0,15)(45,)+∞ .【考点】1、函数的定义域及奇偶性；2、函数单调性及不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（2）就是利用方法①求得m 的范围的.20．已知函数()log (3)a f x ax =-（0a >且1a ≠）.（1）当[0,2]x ∈时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使得函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）3(0,1)(1,)2；（2）不存在实数a ，使()f x 在[1,2]上为减函数且最大值为1.【解析】试题分析：（1）由3y ax =-为减函数得要使函数()f x 在[0,2]上恒有意义只需30ax ->恒成立即320a ->即可；（2）由max ()(1)log (3)1a f x f a ==-=，得32a =，而32a =时，3y ax =-在[1,2]上需恒大于零不成立，故不存在符合题意的a 的值.试题解析：（1）由于3y ax =-为减函数，所以要使函数()f x 在[0,2]上恒有意义，就是要求30ax ->恒成立，只需320a ->， ∴302a <<且1a ≠，因此a 的取值范围是3(0,1)(1,)2 .（2）由于3y ax =-为减函数，要使()f x 在[1,2]为减函数且最大值为1，则1a >，且max ()(1)log (3)1a f x f a ==-=， ∴32a =. 又3y ax =-在[1,2]上需恒大于零，∴320a ->， ∴32a <，这与32a =矛盾，故不存在实数a ，使()f x 在[1,2]上为减函数且最大值为1.【考点】1、对数函数的定义域；2、复合函数的单调性及不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查对数函数的定义域、复合函数的单调性及不等式恒成立问题，属于难题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→增，减减→增，增减→减，减增→减）.本题（2）就是考虑对数函数及一次函数单调性的同时兼顾函数的定义域后，在根据不等式恒成立解答的.。

【全国百强校】河北省武邑中学2017届高三上学期期中考试文数(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知全集{}{}2,|20,,1,0,1,2U z A x x x x Z B ==--<∈=-，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A ．{}12-，B ．{}1-，0C ．{}0，1D ．{}12，【答案】A 【解析】考点：不等式的解法与集合的运算. （2）复数z 满足21iz i-=-，则z 对应的点位于复平面的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】试题分析：因232)1)(2(ii i z +=+-=,故z 对应的点位于复平面的第一象限,故应选A. 考点：复数的运算与几何意义.（3）已知()f x 满足对()(),0x R f x f x ∀∈-+=，且0x ≥时，()xf x e m =+（m 为常数），则()ln 5f -的值为（）A ．4B ．-4C ．6D ．-6 【答案】B 【解析】试题分析：由题设函数()f x 是奇函数,故01)0(0=+=+=m m e f ,即1-=m ,所以4151)5(ln )5ln (5ln -=+-=+-=-=-e f f ,故应选B.考点：分段函数的奇偶性及求值运算.（4）如图，在空间四边形(),,C,D ABCD A B 不共面中，一个平面与边,,,AB BC CD DA 分别交于,,,E F G H （不含端点），则下列结论错误的是（）A ．若::AE BE CF BF =，则//AC 平面EFGHB ．若,,,E F G H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C ．若,,,E F G H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形 D ．若,,,EFGH 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形【答案】C 【解析】考点：空间直线与平面的位置关系及判定. （5）等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，9719,297S S a =--=，则10S =（） A ．0 B ．-9 C ．10 D ．-10 【答案】A 【解析】试题分析：因}{n S n 是等差数列,且公差为1=d ,故099)110(1110110=+-=-+=aS ,故应选A. 考点：等差数列的性质及综合运用.（6）设,a b R ∈，则“()20a b a -≥”是“a b ≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：若“()20a b a -≥”,则“a b ≥”不成立, 故“()20a b a -≥”不是“a b ≥”的充分条件;若“a b ≥”,则“()20a b a -≥”成立, 故“()20a b a -≥”是“a b ≥”的必要条件,故应选B.考点：不等式的性质及充分必要条件的判定.（7）如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A ．(8π+B ．(9π+C ．(10π+D ．(8π+ 【答案】A 【解析】考点：三视图的识读及圆柱与圆锥的表面积的求解计算.【易错点晴】三视图是中学数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三视图为背景考查的是几何体的体积面积等有关知识的综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的图形信息和数据信息,先将三视图还原为原几何体,再根据几何体的形状选用体积公式进行求解.本题的三视图所提供的几何体是是由一个圆锥和一个圆柱的组合体.圆柱的底面面积为π,侧面积为ππ4212=⨯⨯,圆锥的底面积为π4,由于其母线长为5,因此其侧面面积为ππ5252221=⨯⨯,故该几何体的表面积ππππππ)852(4452+=+-++=S .（8）已知,x y 满足约束条件11493x y x y x y ≥⎧⎪≥-⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，目标函数z mx y =+，若z 的最大值为()f m ，则当[]2,4m ∈时，()f m 的最大值和最小值之和是（）A ．4B ．10C ．13D ．14 【答案】D 【解析】考点：不等式组表示区域及线性规划的知识与函数的最值等知识的综合运用.（9）在边长为1的正ABC ∆中，,D E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），则AD AE 等于（） A ．16 B ．29 C ．1318 D ．13【答案】C 【解析】考点：向量的几何运算及数量积公式的运用.【易错点晴】平面向量的几何形式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查平面向量的几何形式的运算和三角形的有关知识的灵活运用.求解时先依据向量的加法的几何形式运算,确定+=+=.然后再运用向量的乘法公式及向量的数量积公式求得AD AE 1813=,从而使得问题巧妙获解. （10）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图象关于直线32x π=对称且032f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，如果存在实数0x ，使得对任意的x 都有()()008f x f x f x π⎛⎫≤≤+⎪⎝⎭，则ω的最小值是（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：由题设可知Z m k m k ∈+=++=+,,2483,222ππϕπππϕωπ,或Z m k m k ∈+=++=+,,24383,2232ππϕπππϕωπ,由此可得48πωπ=或438πωπ=,解之得2=ω或6=ω,故应选B.考点：正弦函数的图象和性质及综合运用.【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的解析式和图象性质为背景,考查的是三角函数的最大值最小值等有关知识和综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,建立方程组Z m k m k ∈+=++=+,,2483,222ππϕπππϕωπ,或Z m k m k ∈+=++=+,,24383,2232ππϕπππϕωπ然后解方程组求出2=ω或6=ω,从而使得问题获解.（11）已知边长为ABCD 中，060A ∠=，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C -- 为120°，此时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π 【答案】C 【解析】DCA考点：多面体的外接球及表面面积公式的运用.（12）已知方程ln 1x kx =+在()30,e 上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是（）A ．320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3232,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】考点：函数方程思想数形结合思想及导数等有关知识的综合运用.【易错点晴】本题设置了一道以方程的根的个数为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的图象信息,将问题等价转化为两个函数1+=kx y 与x y ln=的图象的交点的个数问题.解答时先画出函数|ln|x y =的图象,再数形结合求出直线1+=kx y 与曲线x y ln =相切时的斜率及过点)3,(3e A 的直线的斜率,求出)1,2(23ee k ∈,从而获得答案.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）（13）命题“000,sincos 2x R a x x ∃∈+≥”为假命题，则实数a 的取值范围是____________．【答案】( 【解析】试题分析:依据含一个量词命题的否定可知2cos sin ,<+∈∀x x a R x 恒成立是真命题,故212<+a ,解之得33<<-a ,应填答案(.考点：含一个量词命题的否定及运用．（14）已知cos 6πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】13± 【解析】试题分析: cos 3πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭31)6(cos 1)6sin(2±=--±=-θπθπ,故应填答案13±.考点：诱导公式及同角关系的综合运用．（15）已知正实数,b a 满足4a b +=，则1113a b +++的最小值为___________．【答案】12【解析】考点：基本不等式及灵活运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知4a b +=,变形为1)]4()1[(81=+++b a ,然后将其代入1113a b +++可得111[][(1)(3)]813a b a b ++++++11311[11][22]83182a b b a ++=+++≥+=++,最后达到获解之目的. （16）已知函数()()02xf x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线xy e =上，则PQ 的最小值为____________．【解析】试题分析:因2)0()(//+-=xe f x f ,令0=x 可得2)0()0(0//+-=e f f ,即1)0(/=f ,所以x e x f x 2)(+-=,所以切线的斜率1)0(/==f k ,又1)0(-=f ,故切线方程为01-=+x y ,即01=--y x .由题意可知与直线01=--y x 平行且曲线x y e =相切的切点到直线01=--y x 的距离即为所求.设切点为),(te t P ,则1==t e k ,故0=t ,也即)1,0(P ,该点到直线01=--y x 的距离为222==d ,.考点：导数的几何意义及数形结合思想的综合运用．【易错点晴】本题设置了一道以两函数的解析式为背景,其的目的意在考查方程思想与数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的图象信息,先运用赋值法求出1)0(/=f ,进而求出x e x f x 2)(+-=,然后将问题等价转化为与直线01=--y x 平行且曲线x x y e=相切的切点到直线01=--y x 的距离即为所求.答时先设切点为),(t e t P ,则1==t e k ,故0=t ,也即)1,0(P ,该点到直线01=--y x 的距离为222==d ,从而获得答案.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立．（1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1) 12+=n b n ；(2))32(3+=n nT n .【解析】又10a ≠，所以数列{}n a 为等比数列，所以121842n n n a -+==，所以212log 221n n b n +==+．．．．．5分（2）()()1111212322123n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．．．．．．．．．．．10分考点：等比数列裂项相消求和等有关知识的综合运用. （18）（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++．（1）求角A ；（2）若a =，求b c +的取值范围．【答案】(1)3A π=；(2)(.【解析】因为203B π<<，所以5666B πππ<+<，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以6B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即b c +的取值范围是(．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：正弦定理余弦定理及三角变换公式等有关知识的综合运用. （19）（本小题满分12分）在如图所示的三棱锥111ABC A B C -中，,D E 分别是11,BC A B 的中点．（1）求证：//DE 平面11ACC A ；（2）若ABC ∆为正三角形，且1,AB AA M =为AB 上的一点，14AM AB =，求直线DE 与直线1A M 所成角的正切值．【答案】(1)证明见解析；(2)1751. 【解析】因为DF EF F =，所以平面//DEF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分因为DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以平面ABC ⊥平面11ABB A ，连接CF ，因为ABC ∆为正三角形，F 为AB 中点，所以CF AB ⊥，所以CF ⊥平面11ABB A ，考点：空间直线与平面平行的判定及异面直线所成角的定义和解三角形等有关知识的综合运用.（20）（本小题满分12分）已知函数(),0xf x e ax a =->．（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值；（2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围．【答案】(1)1；(2)(21,e e e ⎤-⎦.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数的有关知识求解；(2)借助题设运用分类整合思想将不等式进行等价转化,再运用导数知识求解.试题解析：（1）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()x f x e a '=-，令()0f x '>，得ln x a >，所以()f x 的单调递增区间是()ln ,a +∞；令()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 的单调递减区间是(),ln a -∞，函数()f x 在ln x a =处取极小值，()()()ln ln ln ln a g a f x f a e a a a a a ===-=-极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ()()11ln ln g a a a '=-+=-，当01a <<时，()()0,g a g a '>在()0,1上单调递增；当1a >时，()()0,g a g a '<在()1,+∞上单调递减，()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()201e f f a f e e e =<≤=-，即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：极值的概念及导数的有关知识的综合运用.（21）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∆为正三角形， ,,,AB AD AC CD PA AC PA ⊥⊥=⊥平面ABCD ．（1）若E 为棱PC 的中点，求证PD ⊥平面ABE ；（2）若3AB =，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】(1)证明见解析；【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用线面垂直的判定定理推证；(2)借助题设运用等积法建立方程求解. 试题解析：因为,AB AD ABC ⊥∆为正三角形，所以030CAD ∠=，因为AC CD ⊥，所以0tan 30CD AC ==．．．．．．．．．．．．．．．．．7分设点B 的平面PCD 的距离为d ，则1132B PCD V d -=⨯⨯=．．．．．．8分在BCD ∆中，0150BCD ∠=，所以011133222BCD S ∆=⨯=⨯=．．．．9分所以133P BCD V -==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分因为B PCD P BCD V V --==，解得d =即点B 到平面PCD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：线面垂直的判定定理等积法建立方程求距离等有关知识的综合运用.【易错点晴】立体几何是中学数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以四棱锥为背景考查的是空间的直线与平面的位置关系及点面距等有关知识的综合运用.解答本题第一问时,要掌握线面垂直判定定理中的条件,设法找出面内的两条相交直线与已知直线垂直;第二问中的点面距离的计算问题,要充分利用题设中提供的图形信息和数据信息,运用转化与化归的数学思想依据体积相等建立方程求解.（22）（本小题满分12分）已知()sin cos f x x x ax =--．（1）若()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，求实数a 的取值范围；（2）证明：当2a π=时，()1f x ≥-在[]0,x π∈上恒成立．【答案】(1)(]),12,⎡-∞-+∞⎣；(2)证明见解析. 【解析】（2）2a π=时，()()22sin cos ,4f x x x x f x x πππ⎛⎫'=--=+- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．7分当[]0,x π∈时，()f x '在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()22010,10f f x ππ''=->=--<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴存在0,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得在[)00,x 上()0f x '>，在(]0,x π上()0f x '<，所以函数()f x 在[)00,x 上单调递增，在(]0,x π上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分故在[]0,π上，()()(){}min min 0,1f x f f π==-，所以()1f x ≥-在[]0,x π∈上恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：不等式的推证方法及导数的有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式()sin cos f x x x ax =--为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时先对函数()sin cos f x x x ax =--求导,然后将不等式()cos sin 4f x x x a x a π⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭等价转化为0)(/≥x f ,恒成立. 求出参数a 的取值范围是(]),12,⎡-∞-+∞⎣,从而使得问题获解；第二问的求解中,先对函数π2cos sin )(--=x x x f 求导,再转化转化为求函数)(x f 的最小值1-,从而使得问题获证.：。