刚体定轴转动习题课
大学物理刚体的定轴转动习题及答案
第4章 刚体的定轴转动 习题及答案1．刚体绕一定轴作匀变速转动,刚体上任一点是否有切向加速度是否有法向加速度切向和法向加速度的大小是否随时间变化答：当刚体作匀变速转动时,角加速度β不变;刚体上任一点都作匀变速圆周运动,因此该点速率在均匀变化,v l ω=,所以一定有切向加速度t a l β=,其大小不变;又因该点速度的方向变化,所以一定有法向加速度2n a l ω=,由于角速度变化,所以法向加速度的大小也在变化;2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系答：刚体是一个特殊的质点系,它应遵守质点系的动量矩定理,当刚体绕定轴Z 转动时,动量矩定理的形式为zz dL M dt=,z M 表示刚体对Z 轴的合外力矩,z L 表示刚体对Z 轴的动量矩;()2z i iL m l I ωω==∑,其中()2i iI m l =∑,代表刚体对定轴的转动惯量,所以()z z dL d d M I I I dt dt dtωωβ====;既 z M I β=; 所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式,及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式; 3．两个半径相同的轮子,质量相同,但一个轮子的质量聚集在边缘附近,另一个轮子的质量分布比较均匀,试问：1如果它们的角动量相同,哪个轮子转得快2如果它们的角速度相同,哪个轮子的角动量大答：1由于L I ω=,而转动惯量与质量分布有关,半径、质量均相同的轮子,质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大,故角速度小,转得慢,质量分布比较均匀的轮子转得快；2如果它们的角速度相同,则质量聚集在边缘附近的轮子角动量大; 4．一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动,有一玩具车相对台面由静止启动,绕轴作圆周运动,问平台如何运动如小汽车突然刹车,此过程角动量是否守恒动量是否守恒能量是否守恒答：玩具车相对台面由静止启动,绕轴作圆周运动时,平台将沿相反方向转动；小汽车突然刹车过程满足角动量守恒,而能量和动量均不守恒;5．一转速为1200r min 的飞轮,因制动而均匀地减速,经10秒后停止转动,求：（1） 飞轮的角加速度和从开始制动到停止转动,飞轮所转过的圈数； （2） 开始制动后5秒时飞轮的角速度; 解：1由题意飞轮的初角速度为飞轮作均减速转动,其角加速度为故从开始制动到停止转动,飞轮转过的角位移为 因此,飞轮转过圈数为/2θπ∆=100圈;2开始制动后5秒时飞轮的角速度为6．如图所示, 一飞轮由一直径为2()d m ,厚度为()a m 的圆盘和两个直径为1()d m ,长为()L m 的共轴圆柱体组成,设飞轮的密度为3(/)kg m ρ,求飞轮对轴的转动惯量;解：如图所示,根据转动惯量的可加性,飞轮对轴的转动惯量可视为圆盘与两圆柱体对同轴的转动惯量之和;由此可得7. 如图所示,一半径为r,质量为m 1的匀质圆盘作为定滑轮,绕有轻绳,绳上挂一质量为m 2的重物,求重物下落的加速度;解：设绳中张力为T对于重物按牛顿第二定律有22m g T m a -= 1对于滑轮按转动定律有212Tr mr β=2 由角量线量关系有a r β= 3联立以上三式解得8. 如图所示,两个匀质圆盘同轴地焊在一起,它们的半径分别为r 1、r 2,质量为1m 和2m ,可绕过盘心且与盘面垂直的光滑水平轴转动,两轮上绕有轻绳,各挂有质量为3m 和4m 的重物,求轮的角加速度β;解：设连接3m 的绳子中的张力为T1,连接4m 的绳子中的张力为T2; 对重物3m 按牛顿第二定律有3133m g T m a -= 1 对重物4m 按牛顿第二定律有2444T m g m a -= 2对两个园盘,作为一个整体,按转动定律有112211221122T r T r m r m r β⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭3aLd 1d 2由角量线量之间的关系有 31a r β=442a r β= 5联立以上五式解得9. 如图所示,一半径为R,质量为m 的匀质圆盘,以角速度ω绕其中心轴转动;现将它平放在一水平板上,盘与板表面的摩擦因数为μ;1求圆盘所受的摩擦力矩；2问经过多少时间后,圆盘转动才能停止 解：分析：圆盘各部分的摩擦力的力臂不同,为此,可将圆盘分割成许多同心圆环,对环的摩擦力矩积分即可得总力矩;另由于摩擦力矩是恒力矩,由角动量定理可求得圆盘停止前所经历的时间;1圆盘上半径为r 、宽度为dr 的同心圆环所受的摩擦力矩为负号表示摩擦力矩为阻力矩;对上式沿径向积分得圆盘所受的总摩擦力矩大小为2由于摩擦力矩是一恒力矩,圆盘的转动惯量212I mr =,由角动量定理可得圆盘停止的时间为10. 飞轮的质量m ＝60kg,半径R ＝0.25m,绕其水平中心轴O 转动,转速为900rev ·min -1．现利用一制动的闸杆,在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F ,可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如题4-10图所示,闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．试求：1设F ＝100 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动在这段时间里飞轮转了几转2如果在2s 内飞轮转速减少一半,需加多大的力F解: 1先作闸杆和飞轮的受力分析图如图b ．图中N 、N '是正压力,r F 、r F '是摩擦力,x F 和y F 是杆在A 点转轴处所受支承力,R 是轮的重力,P 是轮在O 轴处所受支承力．杆处于静止状态,所以对A 点的合力矩应为零,设闸瓦厚度不计,则有对飞轮,按转动定律有I R F r /-=β,式中负号表示β与角速度ω方向相反．∵ N F r μ=N N '=∴F l l l N F r 121+='=μμ 又∵ ,212mR I = ∴ F mRl l l I R F r 121)(2+-=-=μβ ① 以N 100=F 等代入上式,得由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 这段时间内飞轮的角位移为可知在这段时间里,飞轮转了1.53转． 210s rad 602900-⋅⨯=πω,要求飞轮转速在2=t s 内减少一半,可知 用上面式1所示的关系,可求出所需的制动力为11. 如图所示,主动轮A 半径为r 1,转动惯量为1I ,绕定轴1O 转动；从动轮B 半径为r 2,转动惯量为2I ,绕定轴2O 转动；两轮之间无相对滑动;若知主动轮受到的驱动力矩为M ,求两个轮的角加速度1β和2β;解：设两轮之间摩擦力为f 对主动轮按转动定律有:111M fr I β-= 1对从动轮按转动定律有222fr I β= 2由于两个轮边沿速率相同,有1122r r ββ= 3联立以上三式解得12. 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴O O '转动．设大小圆柱体的半径分别为R 和r ,质量分别为M 和m ．绕在两柱体上的细绳分别与物体1m 和2m 相连,1m 和2m 则挂在圆柱体的两侧,如题4-12a 图所示．设R ＝0.20m, r ＝0.10m,m ＝4 kg,M ＝10 kg,1m ＝2m ＝2 kg,且开始时1m ,2m 离地均为h ＝2m ．求：1柱体转动时的角加速度； 2两侧细绳的张力．解: 设1a ,2a 和β分别为1m ,2m 和柱体的加速度及角加速度方向题4-12b图．(1) 1m ,2m 和柱体的运动方程如下：2222a m g m T =- ① 1111a m T g m =- ②βI r T R T ='-'21 ③式中 ββR a r a T T T T ==='='122211,,,而 222121mr MR I += 由上式求得 2由①式 由②式13. 一质量为m 、半径为R 的自行车轮,假定质量均匀分布在轮缘上,可绕轴自由转动．另一质量为0m 的子弹以速度0v 射入轮缘如题2-31图所示方向． 1开始时轮是静止的,在质点打入后的角速度为何值2用m ,0m 和θ表示系统包括轮和质点最后动能和初始动能之比． 解: 1射入的过程对O 轴的角动量守恒 ∴ Rm m v m )(sin 000+=θω2020*********sin 21])(sin ][)[(210m m m v m R m m v m R m m E E k k +=++=θθ14. 如图所示,长为l 的轻杆,两端各固定质量分别为m 和2m 的小球,杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面内转动,转轴O 距两端分别为13l 和23l ．轻杆原来静止在竖直位置．今有一质量为m 的小球,以水平速度0υ与杆下端小球m 作对心碰撞,碰后以021υ 的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度．解：碰撞过程满足角动量守恒：而 222212()2()333I m l m l ml =+=2m m O21 0vl l 31l所以 2023mv l ml ω=由此得到：032vlω=15. 如图所示,A 和B 两飞轮的轴杆在同一中心线上,设两轮的转动惯量分别为 J A ＝10 kg ·m2 和 J B ＝20 kg ·m2．开始时,A 轮转速为600 rev/min,B 轮静止．C 为摩擦啮合器,其转动惯量可忽略不计．A 、B 分别与C 的左、右两个组件相连,当C 的左右组件啮合时,B 轮得到加速而A 轮减速,直到两轮的转速相等为止．设轴光滑,求：1 两轮啮合后的转速n ；2 两轮各自所受的冲量矩．解：1 两轮啮合过程满足角动量守恒： 所以 A AA BI I I ωω=+ 因为 2n ωπ= 故 10600200/min 1020A A AB I n n r I I ⨯===++ 2 两轮各自所受的冲量矩： 末角速度：2200202/603n rad s ππωπ⨯=== A 轮各所受的冲量矩：202060040010(2) 4.1910()3603A A L I I N m s ππωωπ∆=-=⨯-⨯=-=-⨯⋅⋅B 轮各所受的冲量矩：16. 有一半径为R 的均匀球体,绕通过其一直径的光滑固定轴匀速转动,转动周期为0T ．如它的半径由R 自动收缩为R 21,求球体收缩后的转动周期．球体对于通过直径的轴的转动惯量为J ＝2mR2 / 5,式中m 和R 分别为球体的质量和半径．解：1 球体收缩过程满足角动量守恒：所以17. 一质量均匀分布的圆盘,质量为M,半径为R,放在一粗糙水平面上圆盘与水平面之间的摩擦系数为,圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时,圆盘静止,一质量为m 的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求1 子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度．2 经过多少时间后,圆盘停止转动．解：1 子弹击中圆盘过程满足角动量守恒： 所以 002211()22mRv mv mR MR m M Rω==++ 2圆盘受到的摩擦力矩为 由转动定律得 M Iβ'=。
第五章刚体定轴转动典型题型
• 例3一质量为ｍ，半径为Ｒ的均匀圆盘，求 通过中心ｏ并与盘面垂直的轴的转动惯量
• 例4一半径为Ｒ的光滑置于竖直平面内，一 质量为ｍ的小球穿在圆环上，并可在圆环 上滑动，小球开始 时静止于圆环上的电 Ａ（该点在通过环心ｏ的水平面上），然 后从Ａ点开始下滑，设小球与圆环间的摩 擦略去不计。求小球滑到点Ｂ时对环心ｏ 的角动量和角速度。
Ｏ
Ａ
质点运动与钢体定轴转动对照表
质点运动
速度
v dr / dt
加速度 a dv / dt
力
Ｆ
钢体定轴转动
角速度 d / dt
角加速度 d / dt
力矩
Ｍ
质量 ｍ
转动惯量 Ｊ
动量 p mv
角动量 L J
牛二律 F m a
F dp / dt
转动定律 M J
M dL / dt
第五章 刚体定轴转动
• 例1一飞轮半径为0.2m，转速为150r/min， 因受到制动二均匀减速，经30s停止转动， 试求：
1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数
2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度
3） t=6s时飞轮边缘上一点的线速度，切线 加速度和法线加速度。
• 例2一质量为ｍ，长为的均匀细长棒，求 1）通过其中心并于棒垂直的转动惯量 2）通过棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量
角加速度（ ）
• 例8 质量为Ｍ，半径为Ｒ的转台，可绕过 中心的竖直轴无摩擦的转动。质量为ｍ的 一个人，站在距离中心ｒ处（ｒ<R），开 始时，人和台处于静止状态。如果这个人 沿着半径为ｒ的圆周匀速走一圈，设它相 对于转台的运动速度为ｕ，求转台的旋转 角速度和相对地面的转过的角度。
ｒ
Ｒ
• 5）角动量守恒定律和机械能守恒定律的综 合应用
第3章 刚体的定轴转动 习题答案
1
1 v r 78 . 5 1 78 . 5 m s (3) 解：
an r 78.5 1 6162 .2 m s
2 2
2
a r 3.14 m s
2
3-13. 如图所示，细棒长度为l，设转轴通过棒上距中心d的一 点并与棒垂直。求棒对此轴的转动惯量 J O '，并说明这一转 动惯量与棒对质心的转动惯量 J O之间的关系。(平行轴定理)
n0
J 2 2 n 收回双臂后的角动能 E k J n 0 2 J 0 n
1 2 2 1 2
Ek 0 J
1 2
2 0
3-17. 一人张开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来， 此后无外力矩作用。则当此人收回双臂时，人和转椅这一系 统的转速、转动动能、角动量如何变化？
解：首先，该系统的角动量守恒。
设初始转动惯量为 J ，初始角速度为 0 收回双臂后转动惯量变为 J n ， 由转动惯量的定义容易知，n 1 由角动量守恒定理容易求出，收回双臂后的角速度 初始角动能
M t J
代入数据解得：M 12.5 N m
3-4. 如图所示，质量为 m、长为 l 的均匀细杆，可绕过其一 端 O 的水平轴转动，杆的另一端与一质量为m的小球固定在 一起。当该系统从水平位置由静止转过 角时，系统的角
速度、动能为？此过程中力矩所做的功？
解： 由角动能定理得：
解：设该棒的质量为m，则其
线密度为 m l
1 l d 2 1 l d 2
O
d O'
J O'
0
r dr
2
3
0
r dr
刚体定轴转动练习题及答案
刚体定轴转动练习题一、选择题1、一刚体以每分钟60转绕Z 轴做匀速转动（ωϖ沿Z 轴正方向）。
设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为k j i r ϖϖϖϖ543++=，其单位为m 210-，若以s m /102-为速度单位，则该时刻P 点的速度为：（ ） A υϖ＝94.2i ϖ+125.6j ϖ+157.0k ϖ； B υϖ=34.4k ϖ； C υϖ=-25.1i ϖ+18.8j ϖ； D υϖ=-25.1i ϖ-18.8j ϖ；2、一均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。
今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？（ ）A 角速度从小到大，角加速度从大到小。
B 角速度从小到大，角加速度从小到大。
C 角速度从大到小，角加速度从大到小。
D 角速度从大到小，角加速度从小到大。
3、刚体角动量守恒的充分而必要的条件是：（ ）A 刚体不受外力矩的作用B 刚体所受合外力矩为零C 刚体所受的合外力和合外力矩均为零D 刚体的转动惯量和角速度均保持不变4、某刚体绕定轴做匀变速转动时，对于刚体上距转轴为r 出的任一质元m ∆来说，它的法向加速度和切向加速度分别用n a 和t a 来表示，则下列表述中正确的是 （ ）（A ）n a 、t a 的大小均随时间变化。
（B ）n a 、t a 的大小均保持不变。
（C ）n a 的大小变化, t a 的大小恒定不变。
（D ）n a 的大小恒定不变, t a 的大小变化。
5、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体：（1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；（2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；（3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；（1） 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。
A 只有（1）是正确的。
B （1），（2）正确，（3），（4）错误。
大学物理同步训练第 版 刚体定轴转动详解
第三章 刚体定轴转动一、选择题1. 两个匀质圆盘A 和B 相对于过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为A J 和B J ，若B A J J >，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘的密度各为A ρ和B ρ，则（A ）A B ρρ>（B ）B A ρρ> （C ）A B ρρ=（D ）不能确定A ρ和B ρ哪个大答案：A 分析：22m m R R h hρππρ=→=，221122m J mR h πρ==，故转动惯量小的密度大。
2. 有两个半径相同、质量相等的细圆环。
1环的质量分布均匀，2环的质量分布不均匀。
它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为1J 和2J ，则（A ）12J J >（B ）12J J < （C ）12J J =（D ）不能确定1J 和2J 哪个大 答案：C分析：22J R dm mR ==⎰，与密度无关，故C 选项正确。
3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度1ω按图1所示方向转动。
将两个大小相等、方向相反的力F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度变为2ω，则（A ）12ωω>（B ）12ωω= （C ）12ωω<（D ）不能确定如何变化答案：C分析：左边的力对应的力臂大，故产生的（顺时针）力矩大于右边的力所产生的力矩，即合外力距（及其所产生的角加速度）为顺时针方向，故圆盘加速，角速度变大。
4. 均匀细棒OA 的质量为M ，长为L ，可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图2所示。
今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？（A ）合外力矩从大到小，角速度从小到大，角加速度从大到小（B ）合外力矩从大到小，角速度从小到大，角加速度从小到大（C ）合外力矩从大到小，角速度从大到小，角加速度从大到小 （D ）合外力矩从大到小，角速度从大到小，角加速度从小到大 答案：A分析：（定性）由转动定律M I β=可知，角加速度与力矩成正比，故B 、D 错误；由机械能守恒可知，棒在下落的过程中重力做功，故角速度从小到大，C 错误。
05刚体的定轴转动习题解答.
第五章刚体的定轴转动一选择题1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（）A. α > 0B. ω > 0，α > 0C. ω < 0，α > 0D. ω > 0，α < 0解：答案是B。
2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。
（）A. 相等；B. 铅盘的大；C. 铁盘的大；D. 无法确定谁大谁小解：答案是C。
简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。
3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω 按图示方向转动。
若将两个大小相等、方向相反但不在同一条直线的力F 1和F 2沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω的大小在刚作用后不久 （ ）A. 必然增大B. 必然减少C. 不会改变D. 如何变化，不能确定解：答案是B 。
简要提示：力F 1和F 2的对转轴力矩之和垂直于纸面向里，根据刚体定轴转动定律，角加速度的方向也是垂直于纸面向里，与角速度的方向（垂直于纸面向外）相反，故开始时一选择题3图定减速。
4. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ）A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解：答案是B 。
简要提示：(1) 由刚体定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21= (2) 受力分析得：⎪⎩⎪⎨⎧===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。
得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。
5. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为： （ ）A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m解：答案是A 。
第5章 刚体的定轴转动 习题解答
由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为
0 900 2 3 7.06 s 60 40
这段时间内飞轮的角位移为
1 900 2 1 40 0t t 2 7.06 7.062 53.1 2 rad 2 60 2 3 可知在这段时间里，飞轮转了 53.1 转。 2 (2) 0 900 rad s 1 ，要求飞轮转速在 t 2 s 内减少一半，可知 60
M M f J 1
t1
。移去力矩 M 后，根据转动定律，有
M f J 2
2
联立解得此转轮的转动惯量
0 t2
J
M 20 17.36 kg m 2 1 1 1 100 2 1 60 10 100 t1 t2
由以上诸式求得角加速度
(2)
Rm1 rm2 g I m1 R 2 m2 r 2 0.2 2 0.1 2
1 1 10 0.202 4 0.102 2 0.202 2 0.102 2 2
9.8 6.13 rad s 2
T2 m2 r m2 g 2 0.10 6.13 2 9.8 20.8N T1 m1 g m1 R 2 9.8 2 0.2. 6.13 17.1N v 2a1h 2 Rh 2 6.13 0.2 2 2.21 m s 1
A
B
题 5-2 图 解： (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图)．图中 N 、 N 是正压力，Fr 、Fr 是摩擦力，Fx 和 Fy 是杆在 A 点转轴处所受支承力， P 是轮的重力， R 是轮在 O 轴处所受支承力。 杆处于静止状态，所以对 A 点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有
《大学物理期末复习》刚体转动习题课李明明 -
O向细杆的端点A爬行。设小虫与细杆的质量均为m。问： 欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆 端点爬行?
O
l/4
解 虫与杆的碰撞前 后，系统角动量守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m( l )2 4
12 v0
7l
12 v0 c
2 2n2
J1
m( l1 2
)2
m( l1 2
)2
J2
m( l2 2
)2
m( l2 2
)2
J0
m l12n1 2 n2
l
2 2
n2
n1
将转台、砝码、人看作一个系统22，(J(0J＋0＋过程中人作的功W等于系统动能
之增量 将J0代入W式，得
W
E 12 (J J ) k ) n1 = 2 (J0＋
0 t 2 02 2
0
0t
1 2
t 2
18：
已知：1
20 ,60转变2
30 ,
22 12 2 , 6.54(rad / s)
19：
2 1 t, t 4.8(s)
已知：5s内，由1 40，变2 10，求： ？，t ? 0
0
t,
0 t0
2
02
2, N
2
62.5
（3）、从t=0到t=10s内所转过的角度：
0t
1 2
t 2
3. 解：根据转动定律：
已知：M = -k
M=J =Jd (3) 10＝0t＋ / dt = -k
d k dt
J
0 / 2 1 d t k d t
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体-习题课(共12张PPT)
解:
设碰后棒开始转动的角速度为 , 滑块m2可视为质点, 碰撞瞬时忽略摩擦阻 力矩, 则m1、m2系统对o轴的角动量守恒, 取逆时针转动的方向为正方向, 由角动量 守恒定律, 有 碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为
o
m1
m v1 2 v2
l
1 2 m2 v1l m2 v 2 l m1l 3
使 L 方向改变,而大小不变.
M L
自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转
质点力学、刚体力学有关公式对照表
质点的运动 速度 加速度 质量 刚体的定轴转动 角速度
d r dt
2
dr v dt dv a dt
角加速度 转动惯量
ddt
d dt
d 2 dt 2
m 力 F 运动定律 F ma 动量 p mv 角动量 L r p
动量定理
力矩
转动定律 动量 角动量
M r F
J r 2 dm
M J p mi vi
L J
dmv F dt
2 mg R 2 2 M f dM f r dr mgR 2 0 R 3
(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法
dr r
o
R
解1 用转动定律 2 1 2 d M f mgR J mR 3 2 dt
3R dt d 4g
t
0
3R 0 dt d 4g 0
l
A
m1 1 M f gxdx m1 gl 0 l 2
1 m2 v1l m2 v 2 l m1l 2 3
刚体的定轴转动(带答案)
刚体的定轴转动一、选择题1、（本题3分）0289关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是[ C ] （A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。
（B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。
（C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。
（D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。
2、（本题3分）0165均匀细棒OA可绕通过某一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下降，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？（A）角速度从小到大，角加速度从大到小。
（B）角速度从小到大，角加速度从小到大。
（C）角速度从大到小，角加速度从大到小。
（D）角速度从大到小，角加速度从小到大。
3.（本题3分）5640一个物体正在绕固定的光滑轴自由转动，则[ D ]（A）它受热或遇冷伸缩时，角速度不变.（B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小.（C）它受热或遇冷伸缩时，角速度均变大.（D）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大.4、（本题3分）0292一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为m ，绳下端挂一物体，物体所受重力为P ，滑轮的角加速度为β，若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度β将 [ C ] （A ）不变 （B ）变小 （C ）变大 （D ）无法判断 5、（本题3分）5028如图所示，A 、B 为两个相同的绕着 轻绳的定滑轮，A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且F=Mg ，设A 、B 两滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮轴的摩擦， 则有 [ C ] （A ）βA =βB （B ）βA ＞βB（C ）βA ＜βB （D ）开始时βA =βB ，以后βA ＜βB 6、（本题3分）0294刚体角动量守恒的充分而必要的条件是[ B ] （A ）刚体不受外力矩的作用。
（B ）刚体所受合外力矩为零。
刚体的定轴转动习题
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刚体的定轴转动习
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目 录
• 刚体定轴转动的基本概念 • 刚体定轴转动的力学分析 • 刚体定轴转动的运动分析 • 刚体定轴转动的习题解析 • 刚体定轴转动的实际应用案例
PART 03
刚体定轴转动的运动分析
刚体的角速度与角加速度
角速度
描述刚体转动快慢的物理量，用ω表 示。单位是弧度/秒（rad/s）。
角加速度
描述刚体转动角速度变化快慢的物理 量，用α表示。单
转动轨迹
刚体转动的路径是一个圆或椭圆，其形 状取决于刚体的质量和转动轴的位置。
PART 04
刚体定轴转动的习题解析
简单习题解析
题目
一个质量为m，半径为R的 圆盘，以边缘某点为轴， 以角速度ω做定轴转动， 求圆盘的动量。
解析
根据动量的定义，圆盘的 动量P=mv=mrω，其中r 是质点到转动轴的距离， m是质量，v是线速度，ω 是角速度。
题目
一质量为m的杆，长度为l， 一端固定，绕另一端点做 定轴转动，求杆的转动惯 量。
航空航天器姿态调整中的应用
01
02
03
卫星轨道调整
卫星在轨道调整过程中， 通过刚体定轴转动实现姿 态的调整，从而改变推进 力的方向。
飞机飞行控制
飞机飞行过程中，通过刚 体定轴转动实现舵面的操 纵，从而调整飞行姿态和 方向。
火箭发射
火箭发射过程中，通过刚 体定轴转动实现发动机的 转向和稳定。
大学物理 习题课(刚体)
J1r1r2 10 2 2 2 J1r2 J 2 r1
11、质量为m，长为 l的均匀棒，如图， 若用水平力打击在离轴下 y 处，作用时 Ry 间为t 求：轴反力
解：轴反力设为 Rx Ry d 由转动定律： yF J y dt yF t t 为作用时间 F 得到： J 由质心运动定理： l d l 2 切向： F Rx m 法向： R y mg m 2 dt 2 2 2 2 3y 9 F y (t ) R 于是得到： x (1 ) F R y m g 2l 2l 3 m
10
r1
r2
解： 受力分析： 无竖直方向上的运动
10
o1
N1
f
r1
N2
r2
N1 f m1 g N 2 f m2 g
以O1点为参考点， 计算系统的外力矩：
o2
f
m1 g
m2 g
M ( N2 m2 g )(r1 r2 )
f (r1 r2 ) 0
作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。 只能用转动定律做此题。
r
at r
在R处：
R
at R
（2）用一根绳连接两个或多个刚体
B
C
M 2 o2 R 2
o1R1 M1
D
A
m2
m1
• 同一根绳上各点的切向加速度相同；线速度也相同；
a t A a t B a t C a t D
A B C D
• 跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等；
TA TB TD
但 TB TC
B
C
M 2 o2 R 2
o1R1 M1
刚体定轴转动习题知识分享
刚体定轴转动习题刚体定轴转动一、选择题（每题3分）1、个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的( )（A）机械能守恒,角动量守恒; （B）机械能守恒,角动量不守恒,（C）机械能不守恒,角动量守恒; （D）机械能不守恒,角动量不守恒.2、一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计．如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω的变化情况为()(A) L 不变，ω增大 (B) 两者均不变(C) L不变，ω减小 (D) 两者均不确定3、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：（1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零（2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零（3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零（4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零在上述说法中，正确的是（）（A）只有（1）是正确的（B）只有（1）、（2）正确（C）只有（4）是错误的（D）全正确4、以下说法中正确的是（）(A)作用在定轴转动刚体上的力越大，刚体转动的角加速度越大。
(B)作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角速度越大。
(C)作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角加速度越大。
(D)作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角速度为零。
5、一质量为m的均质杆长为l,绕铅直轴o o'成θ角转动，其转动惯量为（）6、一物体正在绕固定光滑轴自由转动（ ）(A) 它受热膨胀或遇冷收缩时,角速度不变. (B) 它受热时角速度变小,它遇冷时角速度变大. (C)它受热或遇冷时,角速度均变大.(D) 它受热时角速度变大,它遇冷时角速度变小.7、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是( )(A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关. (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关. (C) 取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置.(D) 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关.8、两个均质圆盘A 和B 的密度分别为A ρ和B ρ，若A ρ﹥B ρ，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面的转动惯量各为J A 和J B ，则（ ）（A ）J A ＞J B （B ）J B ＞J A（C ）J A ＝ J B （D ）J A 、 J B 哪个大，不能确定9、某转轮直径d ＝40cm ，以角量表示的运动方程为θ=3t －3.02t ＋4.0t ,式中θ的单位为rad,t 的单位为s,则t ＝2.0s 到t ＝4.0s 这段时间内,平均角加速度为( )(A)212-⋅s rad (B)26-⋅s rad(C)218-⋅s rad (C)212-⋅s m10、 轮圈半径为R ，其质量M 均匀分布在轮缘上，长为R 、质量为m的均质辐条固定在轮心和轮缘间，辐条共有2N 根。
03 刚体的定轴转动习题
V刚体的定轴转动习题班级 姓名 学号 成绩一、选择题1、一刚体以每分钟60转绕z 轴沿正方向做匀速转动，设此时该刚体上一点P 的位矢k j i r543++=，单位为10-2m ，若以12s m 10--⋅为速度单位，则该时刻点P 的速度为【 】（A ）k j i v0.1546.1252.94++= （B ）j i v8.181.25+-=（C ）j i v8.181.15+= （D ）k v4.32=2、下列说法中正确的是【 】（A ）作用在定轴转动刚体上的力越大，刚体转动的角速度越大 （B ）作用在定轴转动刚体上的合力矩力越大，刚体转动的角速度越大 （C ）作用在定轴转动刚体上的合力矩力越大，刚体转动的角加速度越大 （D ）作用在定轴转动刚体上的合力矩力为零，刚体转动的加速度为零3、两个均匀圆盘A 和B 的密度分别为A ρ和B ρ，若B A ρρ>，但两圆盘的质量和厚度相同，如两圆盘对通过盘心垂直于盘面的轴的转动惯量各为A J 和B J ，则【 】（A ）B A J J > （B ）B A J J <（C ）B A J J = （D ）A J 、B J 哪个大，不能确定4、有两个半径相同、质量相等的细圆环A 和B ，A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀，它们对通过环心并与环面垂直的转轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则【 】（A ）B A J J > （B ）B A J J <（C ）B A J J = （D ）A J 、B J 哪个大，不能确定5、如图所示，一质量为m 的匀质细杆AB ，A 端靠在光滑的竖直墙壁上，B 端置于粗糙水平地面上而静止。
杆身与竖直方向成θ角，则A 端对墙壁的压力大小为【 】（A ）4)cos (θmg （B ）2)tan (θmg （C ）θsin mg （D ）不能唯一确定 6、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：（1）这两个力都平行于转轴作用时，它们对转轴的合力矩一定是零 （2）这两个力都垂直于转轴作用时，它们对转轴的合力矩可能是零 （3）当这两个力的合力为零时，它们对转轴的合力矩也一定是零 （4）当这两个力对转轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零 在上述说法中【 】（A ）只有（1）是正确的 （B ）（1）（2）正确，（3）（4）错误 （C ）（1）（2）（3）正确，（4）错误 （D ）（1）（2）（3）（4）都正确7、半径为R 、质量为m 的匀质圆形平板在粗糙的水平桌面上，绕通过圆心且垂直于平板的O O '轴转动，摩擦力对O O '轴的力矩为【 】（A ）2mgR μ （B ）mgR μ （C ）2mgR μ （D ）0 8、一不可伸长的摆线长L ，下挂一质量为m 的小球，小球静止。
3-角动量和刚体定轴转动习题课
(A)甲先到达． 甲先到达． 甲先到达 (B)乙先到达． 乙先到达． 乙先到达 (C)同时到达． 同时到达． 同时到达 (D)谁先到达不能确定． 谁先到达不能确定． 谁先到达不能确定
mg
R
o
mg
解：由甲、乙两人同轻滑轮组成的系统所受合外 由甲、 力矩为零，系统角动量守恒。 力矩为零，系统角动量守恒。 L初 = L末 即 0 = m甲v甲 R − m乙v乙 R ，得 v甲 = v乙 。 所以同时到达。 所以同时到达。
2．如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮 ．如图所示， 、 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮. A滑轮挂一质量为 的物体，B滑轮受拉力 ，而且 滑轮挂一质量为M的物体 滑轮受拉力F， 滑轮挂一质量为 的物体， 滑轮受拉力 F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为 β A 和 β B ， ＝ ． 、 两滑轮的角加速度分别为 不计滑轮轴的摩擦， 不计滑轮轴的摩擦，则有
r r T
T
r mg
+
第二次测量，设细绳的张力为 第二次测量，设细绳的张力为T2， m1 m 2 m 2 g − T2 = m 2 a 2 (m1 − m 2 )g − 2h 2 − 2
T2 R − M = J β 2 t1 得到 J = 1 1 a2 = β 2 R 2h 2 − 2 t t2 1 1 1 h = a t 2 = β Rt 2 2 2 2 2 2 2 = 1059 .64kg ⋅ m 2
m,l
由转动定律： 解：由转动定律：
θ
2
ω0 = 0
mgl cos θ = ml β
得
l
g β = cos θ l
《刚体定轴转动》答案
第2章 刚体定轴转动一、选择题1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题(1). v ≈15.2 m /s ，n 2＝500 rev /min (2). 62.5 1.67ｓ (3). g / l g / (2l ) (4). 5.0 N ·m (5). 4.0 rad/s (6). 0.25 kg ·m 2 (7).Ma 21(8). mgl μ21参考解：M ＝⎰M d ＝()mgl r r l gm l μμ21d /0=⎰(9).()212mRJ mr J ++ω(10).l g /sin 3θω=三、计算题1. 有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量221mR J =，其中m 为圆形平板的质量） 解：在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为r r r R mgM d 2d 2⋅π⋅π=μ总摩擦力矩 mgR M M R μ32d 0==⎰故平板角加速度 β =M /J设停止前转数为n ，则转角 θ = 2πn由 J /Mn π==4220θβω可得 g R MJ n μωωπ16/342020=π=2. 如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为221MR ，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系．解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程对物体： mg －T ＝ma ① 对滑轮： TR = J β ② 运动学关系： a ＝R β ③ 将①、②、③式联立得 a ＝mg / (m ＋21M ) ∵ v 0＝0，∴ v ＝at ＝mgt / (m ＋21M )3. 为求一半径R ＝50 cm 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m 1＝8 kg 的重锤．让重锤从高2 m 处由静止落下，测得下落时间t 1＝16 s ．再用另一质量m 2=4 kg 的重锤做同样测量，测得下落时间t 2＝25 s ．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量．解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得 TR －M f ＝Ja / R ① mg －T ＝ma ② h ＝221at ③ 则将m 1、t 1代入上述方程组，得a 1＝2h /21t ＝0.0156 m / s 2 T 1＝m 1 (g －a 1)＝78.3 N J ＝(T 1R －M f )R / a 1 ④ 将m 2、t 2代入①、②、③方程组，得a 2＝2h /22t ＝6.4×10-3 m / s 2 T 2＝m 2(g －a 2)＝39.2 NJ = (T 2R －M f )R / a 2 ⑤由④、⑤两式，得 J ＝R 2(T 1－T 2) / (a 1－a 2)＝1.06×103 kg ·m 24. 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M ＝－k ω (k 为正的常数)，求圆盘的角速度从ω0变为021ω时所需的时间．解：根据转动定律： J d ω / d t = -k ω ∴ t J kd d -=ωω两边积分：⎰⎰-=t t J k 02/d d 100ωωωω得 ln2 = kt / J ∴ t ＝(J ln2) / k5. 某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n 1转动，他的两手各拿一个质量为am 的砝码，砝码彼此相距l 1 (每一砝码离转轴21l 1),当此人将砝码拉近到距离为l 2时(每一砝码离转轴为21l 2)，整个系统转速变为n 2．求在此过程中人所作的功．(假定人在收臂过程中自身对轴的转动惯量的变化可以忽略)解：(1) 将转台、砝码、人看作一个系统，过程中人作的功W 等于系统动能之增量：W ＝∆E k ＝212210222204)21(214)21(21n ml J n ml J π+-π+2 这里的J 0是没有砝码时系统的转动惯量．(2) 过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒：2π(J 0＋2121ml ) n 1 = 2π (J 0＋2221ml ) n 2 ∴ ()()1222212102n n n l n l m J --=(3) 将J 0代入W 式，得 ()2221212l l n mn W -π=6. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求(1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度． (2) 经过多少时间后，圆盘停止转动． (圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为221MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)解：(1) 以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O 的角动量守恒．m v 0R ＝(21MR 2＋mR 2)ω R m M m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=210v ω(2) 设σ表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 为 ⎰π⋅=Rf r rg r M 0d 2σμ＝(2 / 3)πμσgR 3＝(2 / 3)μMgR设经过∆t 时间圆盘停止转动，则按角动量定理有 －M f ∆t ＝0－J ω＝－(21MR 2＋mR 2)ω＝- m v 0R ∴ ()Mg m MgR R m M R m t fμμ2v 33/2v v 000===∆mRO0v7.一匀质细棒长为2L ，质量为m ，以与棒长方向相垂直的速度v 0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O 发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧L 21处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬时绕O 点转动的角速度ω．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为231ml ，式中的m 和l 分别为棒的质量和长度．)解：碰撞前瞬时，杆对O 点的角动量为L m L x x x x L L 0202/002/30021d d v v v v ==-⎰⎰ρρρ式中ρ为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O 点的角动量为ωωω2221272141234331mL L m L m J =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=因碰撞前后角动量守恒，所以 L m mL 022112/7v =ω ∴ ω = 6v 0 / (7L)8. 长为l 的匀质细杆，可绕过杆的一端O 点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨O 点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l ，摆球质量为m ．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求： (1) 细杆的质量．(2) 细杆摆起的最大角度θ．解：(1) 设摆球与细杆碰撞时速度为v 0，碰后细杆角速度为ω，系统角动量守恒 得： J ω = m v 0l由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能2202121ωJ m =v 代入J ＝231Ml ，由上述两式可得 M ＝3m (2) 由机械能守恒式mgl m =2021v 及 ()θωcos 121212-=Mgl J 并利用(1) 中所求得的关系可得 31arccos =θ四 研讨题1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。
大学物理-刚体的定轴转动-习题和答案
第4章 刚体的定轴转动 习题及答案1．刚体绕一定轴作匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法向加速度的大小是否随时间变化？答：当刚体作匀变速转动时,角加速度β不变。
刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速率在均匀变化，v l ω=，所以一定有切向加速度t a l β=，其大小不变。
又因该点速度的方向变化，所以一定有法向加速度2n a l ω=，由于角速度变化，所以法向加速度的大小也在变化。
2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系？答：刚体是一个特殊的质点系，它应遵守质点系的动量矩定理，当刚体绕定轴Z 转动时，动量矩定理的形式为zz dL M dt=，z M 表示刚体对Z 轴的合外力矩，z L 表示刚体对Z 轴的动量矩。
()2z i i L m l I ωω==∑,其中()2i i I m l =∑，代表刚体对定轴的转动惯量，所以()z z dL d d M I I I dt dt dtωωβ====。
既 z M I β=。
所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式，及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式。
3．两个半径相同的轮子，质量相同，但一个轮子的质量聚集在边缘附近，另一个轮子的质量分布比较均匀，试问：（1）如果它们的角动量相同，哪个轮子转得快？（2）如果它们的角速度相同，哪个轮子的角动量大？答：(1)由于L I ω=，而转动惯量与质量分布有关，半径、质量均相同的轮子，质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大，故角速度小，转得慢，质量分布比较均匀的轮子转得快；（2）如果它们的角速度相同，则质量聚集在边缘附近的轮子角动量大。
4．一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动，有一玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动，问平台如何运动？如小汽车突然刹车，此过程角动量是否守恒？动量是否守恒？能量是否守恒？答：玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动时，平台将沿相反方向转动；小汽车突然刹车过程满足角动量守恒，而能量和动量均不守恒。
(完整版)刚体定轴转动习题
刚体定轴转动一、选择题（每题3分）1、个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的( )（A）机械能守恒,角动量守恒; （B）机械能守恒,角动量不守恒,（C）机械能不守恒,角动量守恒; （D）机械能不守恒,角动量不守恒.2、一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计．如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω的变化情况为( ) (A) L 不变，ω增大 (B) 两者均不变(C) L不变，ω减小 (D) 两者均不确定3、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：（1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零（2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零（3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零（4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零在上述说法中，正确的是（）（A）只有（1）是正确的（B）只有（1）、（2）正确（C）只有（4）是错误的（D）全正确4、以下说法中正确的是（）(A)作用在定轴转动刚体上的力越大，刚体转动的角加速度越大。
(B)作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角速度越大。
(C)作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角加速度越大。
(D)作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角速度为零。
5、一质量为m的均质杆长为l,绕铅直轴o o'成θ角转动，其转动惯量为（）6、一物体正在绕固定光滑轴自由转动（）(A) 它受热膨胀或遇冷收缩时,角速度不变.(B) 它受热时角速度变小,它遇冷时角速度变大.(C)它受热或遇冷时,角速度均变大.(D) 它受热时角速度变大,它遇冷时角速度变小.O7、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是( )(A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关.(B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关.(C) 取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置.(D) 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关.8、两个均质圆盘A 和B 的密度分别为A ρ和B ρ，若A ρ﹥B ρ，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面的转动惯量各为J A 和J B ，则（ ）（A ）J A ＞J B （B ）J B ＞J A（C ）J A ＝ J B （D ）J A 、 J B 哪个大，不能确定9、某转轮直径d ＝40cm ，以角量表示的运动方程为θ=3t －3.02t ＋4.0t ,式中θ的单位为rad,t 的单位为s,则t ＝2.0s 到t ＝4.0s 这段时间内,平均角加速度为( )(A)212-⋅srad (B)26-⋅s rad(C)218-⋅s rad (C)212-⋅s m10、 轮圈半径为R ，其质量M 均匀分布在轮缘上，长为R 、质量为m 的均质辐条固定在轮心和轮缘间，辐条共有2N 根。
刚体的定轴转动---练习题
刚体的定轴转动---练习题一、选择题1．几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体 （ ）(A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变．(C) 转速可能不变，也可能改变． (D) 转速必然改变．2．关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（ ）（A ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置．（B ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关．（C ）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关．（D ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关．3．关于刚体，下列说法正确的是： （ ）A ．刚体所受合外力为零，则刚体所受的合外力矩也为零；B ．刚体所受合外力矩为零时，刚体角速度一定为零；C ．刚体所受合外力矩不为零时，刚体角速度会发生变化；D ．刚体平衡的条件是：它所受到的合外力为零.4．两个匀质圆盘A 和B 的半径分别为A R 和B R ，若B A R R >，但两圆盘的质量相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为J A 和J B ，则 （ ）（A ） J B ＞J A ． （B ） J A ＞J B ． （C ） J A ＝J B ． （D ）J A 、J B 哪个大，不5．如图所示，均匀木棒OA 可绕过其端点O 并与棒垂直的水平光滑轴转动。
令棒从水平位置开始下落，在棒转到竖直位置的过程中，下列说法中正确的是 （ ）A 、角速度从小到大，角加速度从小到大；B 、角速度从小到大，角加速度从大到小；C 、角速度从大到小，角加速度从大到小；D 、角速度从大到小，角加速度从小到大6. 如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的质量为M 的定滑轮．A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且F ＝Mg ．设A 、B两滑轮的角加速度分别为A α和B α，不计滑轮轴的摩擦，则有A ．B A αα= B ． B A αα>C ． B A αα<D ． 不确定 7．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿顺时针方向转动，则绳中的张力 （ ）（A ）处处相等．（B ）左边大于右边．（C ）右边大于左边．（D ）哪边大无法判断．A MB F m 2m 18．一力学系统由两个质点组成，两质点之间只有万有引力作用，若系统所受外力的矢量和为零，则此系统 （ ）A 、动量、机械能以及对某一定轴的动量矩守恒；B 、动量、机械能守恒，但动量矩是否守恒不能确定；C 、动量守恒、但机械能和动量矩是否守恒不能确定；D 、动量和动量矩守恒、但机械能是否守恒不能确定．9．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B ．用L 和E K 分别表示卫星对地心的动量矩及其动能的瞬时值，则应有 ( )A ．L A >LB ，E KA >E kB ． B ． L A =L B ，E KA >E KB ．C ．L A =L B ，E KA <E KB ．D ． L A <L B ，E KA <E KB ．10． 一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.把人和圆盘取作系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统 ( )A ． 动量守恒．B ． 机械能守恒．C ． 动量、机械能和角动量都守恒．D ． 对转轴的角动量守恒．11．花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J 0角速度为ω0，然后她将两臂收回，使转动惯量变为原来的一半，这时她转动的角速度变为 （ B ）A 、ω0/2；B 、2ω0；C 、（1/2）ω0；D 、2ω0．12．如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O 旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 （ ）(A) 只有动量守恒．(B) 只有机械能守恒．(C) 只有对转轴O 的动量矩守恒．(D) 机械能、动量和动量矩均守恒．13．刚体动量矩守恒的充分必要条件是 （ ）(A) 刚体不受外力矩的作用． (B) 刚体所受合外力矩为零．(C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零． (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变．14．一质量为M 的均匀细杆，可绕光滑水平轴转动，一质量为m 的小球以速度V 0水平飞来，与杆一端作完全弹性碰撞，则小球与杆组成的系统（如图所示），满足： ( )A 、动量守恒，动量矩守恒；B 、动量不守恒，动量矩守恒；C 、动量不守恒，动量矩不守恒；D 、动量守恒，动量矩不守恒..15．如图所示，均匀木棒可绕过其中点O 的水平光滑轴在竖直平面内转动，棒初始位于水平位置，一小球沿竖直方向下落与棒的右端发生碰撞，碰撞后球粘在杆上。
五、 刚体绕定轴转动(一)
五、刚体绕定轴的转动（一）一，学时安排6学时（习题课1学时）二，教学要求：（重点难点）1，理解角位移角速度等概念2，理解力矩和转动惯量概念以及刚体定轴转动时的动力学规律－转动定律并熟练地应用3，理解角动量和冲量距概念以及角动量原理和角动量守恒定律，并会具体应用。
4，掌握刚体定轴转动的动能原理，并会具体应用。
三，教学参考书1杨中耆著《大学物理》力学部分2Berkeley Physics couse V ol 13University Physics part 1说明：授课中将第四节质点的角动量与角动量守恒放在第五节刚体绕定轴的转动中，以便与刚体的角动量相比较，突出它们的共性。
前言本章前四个问题讨论的是物体平动的情况，力学中，在一般情况下，一个物体的运动包含平动、转动、振动等是很复杂的，一物体在平动时，若把物体看成是一刚体（无形变）物体上每一点的运动情况都是一样的，无需考虑物体的形状，大小如何。
故物体可抽象为一质点，其运动情况如前面所述。
但在转动中，例飞轮高速旋转时，其上的各点运动情况各不相同，因而不能简化为质点。
与前面内容相比，发生了几点变化：一是主要研究对象变了，由质点变为刚体。
二是主要研究的问题也变了，由平动变为转动。
从物体来说，必须考虑它的形状，大小。
但忽略形状大小的改变；从运动来说突出了转动，暂时忽略振动或其他运动。
若将刚体分成许多细微部分，并把每一细微部分看成一个质点，那么刚体可以看成是有无数质点构成的质点组，这个质点组与前面我们所讨论的质点组是有区别的，刚体视为质点组其特征是：构成刚体的任意二质点间的距离，在运动中恒定不变，这种看法使我们有可能在质点动力学的基础上来研究刚体情况。
1、刚体绕定轴转动的运动特征：刚体中某一直线上的点保持不动（对固定参考系而言），其它各点都以该点直线上的相应点为圆心，在垂直于该点的平面内作大小不同的圆周运动。
该直线为转轴，这种运动称刚体绕定轴的转动。
刚体绕定轴的转动有三个特点：① 刚体上各质点都在各自的平面内作半径不同的圆周运动。
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②
在恒力矩M r 作用下， 1 转动t时间停止， m
由角动量定理得：
1 M r dt 0 m1 l2 3
l 0
③
联立方程 ①、②、③ 解得： t 2 m2 (v1 v2) / m m1 g
15.如图所示，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上 的绳子相联，绳子的质量 可以忽略，它与定滑轮之 间无滑动．假设定滑轮质 量为 M、半径为 R ,其转 动惯量为 MR2/2 ，试求 该物体由静止开始下落的 过程中，下落速度与时间 的关系．
16.如图所示,滑块转动惯量 为 0.01kg.m2, 半径为 7cm, 物体的质量为 5kg, 有一细 绳与劲度系数 k=200N.m-1 的弹簧相连,若绳与滑轮间 无相对滑动,滑轮轴上的摩 擦忽略不计。求:（1）当 绳拉直、弹簧无伸长时使 物体由静止而下落的最大 距离。(2)物体的速度达最 大值时的位置及最大速率。
3. 质量 m 为的小孩站在半径为 R、转动 惯量为 J 的可以自由转动的水平平台边缘 上 (平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直 轴转动).平台和小孩开始时均静止. 当小孩 突然一相对地面为 v 的速率沿台边缘逆时 针走动时,则此平台相对地面旋转的角速 度为
(A)
(B) (C) (D)
mR 2 v J R
B
解：受力分析如图 由题意 a人=aB=a
由牛顿第二定律 由转动定律 : 对滑轮 :
人 : Mg T 2 Ma
①
1 1 B : T 1 Mg Ma ② 4 4
1 2 (T 2 T 1)R J M R 4
附加 : a R ④
③ T2 A
o
T1
B
1 Mg 4
Mg
a
联立① ② ③ ④求解
1 a g 2
11.以 30N· 的恒力矩作用在有固定轴 m 的飞轮上,在 10s 内飞轮的转速由零增大 到5rad/s , 此时移去该力矩,飞轮因摩擦力 距的作用经 90s 而停止,试计算此飞轮对 其固定轴的转动惯量。 解：方法一： 在恒力矩和摩察力矩作用下， — 10s内有 0
k
J
m
1 2 解： (1)mgx k x , 2
(2)k x 0 mg ,
2mg 0.49m x k
x 0 mg / k 0.245 m
1 1 1 2 2 2 mg x 0 m v0 J 0 k x 0 2 2 2
k(m J / R2) mg v0
1 2
M M r J 1
①
1 1 t1
②
移去力矩后，— 90s内有 : 0
M r J2
③ ④
0 1 2 t 2
由②
得1 1 / t1 ,
④ 得 2 1 /
t
分别代入
2
① 与 ③,
然后两式相减得： 30 10 90 M t1 t2 J 54kg m2 1 t1 t2 5 (10 90)
1.一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1 和 m2 的物体 (m1< m2)，如图所示.绳与 轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针 方向转动，则绳的张力 (A) 处处相等. (B) 左边大于右边. (C) 右边大于左边. (D) 无法判断.
o
m2
m1
[ C ]
2.均匀细棒 oA 可绕通过其一端 o 而与棒 垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示.今 使棒从水平位置由静止开始自由下落,在 棒摆动到竖直位置的过程中,下列情况哪 一种说法是正确的? (A) 角速度从小到大,角加速度从大到小. (B) 角速度从小到大,角加速度从小到大. A o (C) 角速度从大到小, 角加速度从大到小. (D) 角速度从大到小, 角加速度从小到大. [A]
1.3m s
-1
17、在半径为 R 的具有光滑竖直固定中 心轴的水平圆盘上,有一人静止站立在距 转轴为 R/2 处,人的质量是圆盘质量的 1/10,开始时盘载人相对地面以角速度 0 匀速转动,然后此人垂直圆盘半径相对于 盘以速率 v 沿与盘转动相反方向作圆周运 动, 已知圆盘对中心轴的转动惯量为 MR2 / 2,人可视为质点,求: （1）圆盘对地的角速度。 （2）欲使圆盘对地静止,人沿着 R/2 圆周 对圆盘的速度 v 的大小及方向？
方法二：由角动量定理 :
0 — 10s : 10 — 90s :
( M M r ) t1 J 1 0 ( M r t2) 0 J 1
M t1t 2 J 1 (t1 t 2)
①
②
① t2 ② t1 得
解得 : J M t1t 2 /1 (t1 t 2) 54kg m2
8.两个均质圆盘 A 和 B 的密度分别为 A 和 B，若 A> B ，但两圆盘的质量与厚 度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴 的转动惯量各为 JA和 JB，则
（A）JA>JB
（B）JB>JA
（C）JA=JB （D）JA、JB哪个大，不能确定。 [B]
9.人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动， 地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的 (A)动量不守恒，动能守恒。
（A）必然增大;（B）必然减少; （C）不会改变;（D）如何变化,不能确定。
F F
O
[ A ]
5.一个人站在有光滑固定转轴的转动平台 上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把 此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、 哑铃与转动平台组成的系统的
（A）机械能守恒,角动量守恒; （B）机械能守恒,角动量不守恒, （C）机械能不守恒,角动量守恒; （D）机械能不守恒,角动量不守恒. [ C ]
6.光滑的水平桌面上, 有一长为 2L、质量 为 m 的匀质细杆,可绕过其中点且垂直于 杆的竖直光滑固定轴自由转动,其转动惯 量为 mL2/3, 起初杆静止,桌面上有两个质 量均为 m 的小球,各自在垂直于杆的方向 上,正对着杆的一端,以相同速率 v 相向运 动,当两个小球同时与杆的两个端点发生 完全非弹性碰撞后,与杆粘在一起转动,则 这一系统碰撞后的转动角速度应为: m v o v o m
R
M
m
解：根据牛顿定律和转动定律列方程 （1） 对物体： mg T ma
TR J 对滑轮： 运动学关系： a R 将（1）、（2）、（3） 是联立得：
（2） （3）
R
T M mg
a mg/(m M / 2)
v0 0
a
T
v at mgt/(m M / 2)
mR 2 v 2 J mR R
, 顺时针方向
, 逆时针方向 , 顺时针方向
, 逆时针方向 [ A ]
mR 2 v J R
mR 2 v 2 J mR R
4.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以 角速度 按图示方向转动,若如图所示的 情况那样,将两个大小相等方向相反但不 在同一条直线的力 F 沿盘面同时作用到 盘上,则盘的角速度
2
R/2 R
o
v
M R2 2v 2 ME M R ME / 2 40 R
ME (21R 0 2v) / 21R
(2)若要 ME 0， 则要21R 0 2 0，
得v 21R0 / 2
(B)动量守恒，动能不守恒。
(C)角动量守恒，动能不守恒。
(D)角动量不守恒，动能守恒。
[C]
10.一轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴 光滑,滑轮的质量为 M/4,均匀分 布.绳子 A 端有一质量为 M的人 抓住了绳端,而在绳的另一端 B A 系了一质量为 M /4 的重物,如图。 已知滑轮对 o 轴的转动惯量 J=MR2/4 ,设人从静止开始以相 对绳匀速向上爬时,绳与滑轮间 无相对滑动,求 B 端重物上升的 加速度？
解：取人和盘为系统，
M外 0
R/2 R
系统的角动量守恒.
(1)开始系统的角动量为
2
o
v
1 1 R 2 m 0 M R 0 2 2
1 2 1 m R mE M R2 ME 后来： 4 2
mE ME mM
21M R 0 / 40
mg
2mg
13.如图所示,一均匀 细杆长为 l ,质量为 m,平放在摩擦系数 为 m 的水平桌面上, 设开始时杆以角速 度 0 绕过中心 o 且 垂直与桌面的轴转 动,试求:（1）作用 在杆的摩擦力矩; （2）经过多长时间 杆才会停止转动。
0
m,l o
m
解： )dM m dm g r (1 m m dr g r l
o
m1
m2 v1
v2
l A
解：选m1 和 m2 为系统，由于碰撞时间 极
短，故系统角动量守恒 ，选逆时针方向为正，
则有：m2 v1 l m2 v2 l (m1 l / 3)
2
①
碰后m1 在转动过程仅受摩察力矩 M r 作用，
M r 大小为 :
l 0
m1 gxdx M r mdm1 gx m l 1 m m1 gl 2
12.一轻绳跨过两个质量为 m、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质 量为 2m 和 m 的重物,如图所示,绳与滑轮 间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的 转动惯量均为 mr2/2, 将由两个定滑轮以 及质量为 2m 和 m 的重物组成的系统从 静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳 内的张力。
m, r
m
m, r
2m
解：2mg T 1 2ma
①
1 (T 1 T 2 )r m r2 ② 2 1 (T 2 T 3 )r m r2 ③ 2 ④ T 3 mg ma