导数与微分
导数公式微分公式和积分公式的比较
导数公式微分公式和积分公式的比较导数、微分和积分是微积分中的三个重要概念，它们在数学和其他科学领域中有着广泛的应用。
本文将对导数公式、微分公式和积分公式进行比较，并介绍它们的定义、性质以及应用。
一、导数公式：导数是研究函数变化率的工具，用于描述函数在其中一点的瞬时变化情况。
在微积分中，导数是函数的斜率，表示函数在其中一点处的瞬时变化率。
导数可以通过极限的概念进行定义，常用的导数公式包括：1.基本求导公式：导数的定义是函数值变化的极限比率，基本求导公式给出了一些基本函数的导数公式，如：常数函数的导数为0；幂函数的导数是该幂次减1倍的幂函数；指数函数、对数函数等的导数公式。
2.链式法则：当一个函数是由两个函数相互嵌套而成时，可以利用链式法则求导。
链式法则给出了复合函数导数的计算方法，即外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。
3.高阶导数：导数不仅可以计算一次，还可以计算多次，当导函数再次求导时，得到的导函数叫做函数的二阶导数。
高阶导数的概念可以一直推广下去。
二、微分公式：微分是研究函数在其中一点附近的近似变化的工具，微分公式是一种通过求函数的导数来描述函数的微小变化量的方法。
微分可以用于近似计算和最优化问题，常用的微分公式有：1.微分的定义：微分可以通过导数的概念进行定义，即函数在其中一点的微分是函数在该点的导数与自变量的微小变化量之积。
2.差分：微分可以理解为函数在其中一点附近的线性逼近，差分是微分的离散形式，通过求函数在两点间的斜率来近似描述函数的变化。
3.微分的性质：微分具有线性性质，即函数的和/差的微分等于函数的和/差的微分；函数的常数倍的微分等于该常数倍的函数的微分。
三、积分公式：积分是函数曲线下面积的计算工具，可以用于计算函数的总体积、质量、能量等。
积分公式是一种描述函数曲线下面积计算方法的公式，常用的积分公式有：1.不定积分和定积分：不定积分是通过求导函数来确定的，定积分是通过求曲线在一定区间上的面积来确定的。
高等数学 第二章 导数与微分
（2）算比值： y f (x x) f (x) ．
x
x
（3）求极限： f (x) lim y lim f (x x) f (x) ．
x x0
x0
x
四、函数可导性与连续性的关系
定理 如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则函数 y f (x) 在点 x0 处一定连续． 如果函数 f (x) 在点 x0 处连续，则函数 f (x) 在点 x0 处不一定可导．
第二章
导数与微分
导学
我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时 还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，以及当 自变量发生微小变化时函数的近似改变量，这两个问题就是我们本章所要 讨论的主要内容——导数与微分．
第一节
导数的概念
一、导数的定义
设某物体在数轴上做变速直线运动，运动方程为 s s(t) ，现在求该物体在 t0 时刻的瞬时速度 v(t0 ) ．
当
u
C （C
为常数）时，有
C v
Cv v2
．
二、反函数的求导法则
定理 2 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调、可导且 f ( y) 0 ，那么它的反函数 y f 1(x) 在
区间 Ix {x | x f ( y) ，y I y} 内也可导，且有
[ f 1(x)] 1 或 dy 1 ．
当时间 t 由 t0 变到 t0 t 时，物体的路程 s(t) 由 s(t0 ) 变到 s(t0 t) ，
路程的增量 s 为 s s(t0 +t) s(t0 ) ，
物体在
t0
到 t0
t
这段时间内的平均速度为
v
s t
导数 微分 积分的区别
导数微分积分的区别
导数和微分实质一样，但表达形式的不同，y等于fx为导数表达形式，而dy等于fx乘dx为微分表达形式。
导数是特殊情况下的极限，即导数是在极限的基础上进行研究。
积分和导数，可以理解为逆运算，积分是知道导数求原函数，导数是知道原函数求导数。
1、导数，曲线某点的导数就是该点切线的斜率，在物理学里体现了是瞬时速度，二阶导数则是加速度。
这个是由牛顿提出并研究的方向。
2、微分，也就是把函数分成无限小的部分，当曲线无限的被缩小后，可以近似当作直线对待，微分也就能表示为导数与dx的乘积。
这个是莱布尼兹提出并研究的方向。
3、积分，定积分就是求曲线与x轴所夹的面积；不定积
分就是该面积满足的方程式,因此后者是求定积分的一种手段，本质上来说，不定积分就是变限的定积分。
导数与微分的区别与联系
导数与微分的区别与联系
(1)起源(定义)不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即厶y/ △ x的极限•微分起源于微量分析，如厶y可分解成A A x与0( △ x)两部分之和，其线性主部称微分•当△ x很小时，△ y的数值大小主要由微分A A x 决定,而0( △ x)对其大小的影响是很小的.
⑵几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，而厶y则是沿曲线方向上纵坐标的增量.可参考任何一本教材的图形理解.
⑶联系：导数是微分之商(微商)y' =dy/dx,微分dy=f(x)dx,这里公式本身也体现了它们的区别.
(4)关系：对一元函数而言，可导必可微,可微必可导.
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第二章 导数与微分
由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不计 因此,函数y=x^2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为 2x0·Δx, Δy≈2x0·Δx.
从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围 的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面积之和 2(x0·Δx)+(Δx)2，显然当|Δx|相对于x0很小时，(Δx)^2是微乎其 微的. 当f(x)=x2时，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成 Δy≈f′(x0)·Δx. 由于f′(x0)·Δx是Δx的线性函数，所以通常把 f′(x0)·Δx叫做Δy的线性主部.
一般地，对于给定的可导函数y=f(x)，当自变量在x0处有 微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算， 即
已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的 切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正 可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角) tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.当Δx→0时，割线MN将绕着 点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义， 直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜 率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).
以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从 数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋 于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题 ，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同 的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数 定义.
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1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
基本导数公式 → 基本微分公式
基本导数公式→ 基本微分公式本文档旨在介绍基本导数公式和基本微分公式的概念和应用。
这些公式是微积分中的基本概念，对于理解和解决各种数学和科学问题具有重要意义。
基本导数公式导数是函数概念的一部分，它描述了函数在某一点的变化率。
基本导数公式是常见函数的导数表达式，包括以下几个常见函数类型：1.常数导数公式：如果函数 f(x) 等于常数 c，则其导数 f'(x) 等于零。
f(x) = c，则 f'(x) = 0.2.幂函数导数公式：对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 是任意实数，其导数 f'(x) 等于 n * x^(n-1)。
f(x) = x^n，则 f'(x) = n * x^(n-1).3.指数函数导数公式：指数函数 f(x) = e^x 的导数 f'(x) 等于 e^x。
f(x) = e^x，则 f'(x) = e^x.4.对数函数导数公式：对数函数 f(x) = log(a。
x) 的导数 f'(x) 等于 1 / (x * ln(a))，其中 a 是对数的底数。
f(x) = log(a。
x)，则 f'(x) = 1 / (x * ln(a)).5.三角函数导数公式：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的导数公式如下：正弦函数：f(x) = sin(x) 的导数 f'(x) = cos(x).余弦函数：f(x) = cos(x) 的导数 f'(x) = -sin(x).正切函数：f(x) = tan(x) 的导数 f'(x) = sec^2(x)。
以上是常见函数的基本导数公式，它们可以帮助我们计算各种函数的导数。
基本微分公式微分是导数概念的一部分，它描述了函数在某一点的局部线性逼近。
基本微分公式是微分运算中常用的表达式，对于求解微分方程和优化问题非常重要。
常见的基本微分公式包括以下几个：1.常数微分公式：如果函数 f(x) 等于常数 c，则其微分 df(x) 等于零。
导数与微分的运算法则
导数与微分的运算法则在微积分学中，导数与微分是两个重要的概念，它们与函数的变化率密切相关。
在本文中，我们将介绍导数与微分的运算法则，以便更好地理解它们的性质和应用。
一、导数的基本定义导数表示函数在某一点处的变化率。
设函数y=f(x)，若在点x处函数y=f(x)的变化率存在有限的极限值，那么这个极限值就是函数y=f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或dy/dx。
二、基本的导数运算法则在计算导数时，我们可以借助一些基本的运算法则，这些法则可以简化计算过程。
下面是常见的导数运算法则：1. 常数规则：对于常数c，它的导数为0，即d/dx(c) = 0。
2. 基本导数规则：a) 幂函数：对于幂函数y=x^n (n为常数)，其导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
b) 指数函数：对于指数函数y=a^x (a>0且a≠1)，其导数为d/dx(a^x) = a^x * ln(a)。
c) 对数函数：对于自然对数函数y=ln(x)，其导数为d/dx(ln(x)) = 1/x。
d) 三角函数：对于三角函数y=sin(x)，y=cos(x)，y=tan(x)等，它们的导数可以参考导数表进行推导。
3. 和差法则：设函数y=f(x)和g(x)均可导，那么它们的和、差的导数为d/dx(f(x) ± g(x)) = f'(x) ± g'(x)。
4. 积法则：设函数y=f(x)和g(x)均可导，那么它们的乘积的导数为d/dx(f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
5. 商法则：设函数y=f(x)和g(x)均可导，且g(x)不等于0，那么它们的商的导数为d/dx(f(x) / g(x)) = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]^2。
6. 复合函数求导法则：若y=f(u)和u=g(x)均可导，那么复合函数y=f(g(x))的导数为d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)。
微分和导数
微分和导数
区别：导数和微分的区别一个是比值、一个是增量。
1、导数是函数图像在某一点处的斜率，也就是纵坐标增量（△y）和横坐标增量（△x）在△x-->0时的比值。
2、微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量△x以后，纵坐标取得的增量，一般表示为dy。
导数：
导数，也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y-f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量△x时，函数输出值的增量△y与自变量增量△x的比值在△x趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
微分：
微分在数学中的定义∶由函数B=f（A），得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。
微分是函数改变量的线性主要部分。
微积分的基本概念之一。
微积分第3章导数与微分
2021/4/21
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三、左、右导数
定义 设函数 y = f(x) 在某U+(x0) (或 U-(x0))内有定义. 若
(或
)
存在，则称该极限值为 f 在点 x0 处的右 (左) 导数.
记作 f( x0 ) (或 f( x0 )) .
注：1. f 在x0可导 f 在 x0 的左, 右导数存在且相等.
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0 与 f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导.
0, x 0
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例5. 求下列函数的导函数：
(1) c ( 常函数 ) ;
答案：0
记结论
(2) xn , ( n∈N+ ) ; (3) sin x ,
cos x ; (4) log ax ( a > 0, a≠1, x > 0 ) .
方法一：F(x, y) = 0 显化 y = f(x) 已有方法 求 y.
√ 方法二：F(x, y) = 0 两边同时求导 [F(x, y)] 0 求 y.
例6. 已知 y x ln y 确定了函数 y = f(x)，求 y.
（答案：
y
y ln y y x
）
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第三章 导数与微分
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要牢记！
(1) (c) 0 (c为常数);
(2) ( x ) x1 (为任意实数 );
(3) (a x ) a x ln a, (ex ) ex ;
(4)
(log a
x)
1, x ln a
(ln
x)
1; x
(5) (sin x) cos x,(cos x) sin x ;
微分导数积分的区别与联系
微分导数积分的区别与联系微分、导数、积分都是微积分的基本概念，它们是互相关联的。
微分和导数是一对概念，积分和微分则是互逆的操作。
下面我就详细介绍微分、导数和积分的区别和联系。
一、微分和导数的区别与联系微分和导数是密切相关的两个概念。
微分属于导数的一种运算方法，可以说微分是导数的一种表现形式。
微分描述了函数在某一点附近的变化情况，是函数值的增量与自变量的增量之比的极限，可以看作是一个过程。
微分常用“dy”来表示，表示函数y=f(x)在某一点x处的微小变化量。
微分的物理意义是函数f(x)在x处的切线的斜率，即函数f(x)在x处的导数。
导数描述了函数在整个定义域上的变化规律，是一个函数。
导数可以看作是微分的结果，是微分的极限。
导数常用“f'(x)”或“df(x)/dx”来表示，表示函数y=f(x)的导数。
微分和导数的关系可以用下面的式子来表示：dy=f'(x)dx二、积分和微分的区别与联系积分和微分是微积分中的两个重要概念，也是微分方程的基本工具。
1.区别：积分是微分的逆运算，它描述了曲线下某一区间的累计性质。
积分可以看作是将一个函数变成另一个函数的一个过程，它反映了曲线下的面积、容积等的大小。
积分常用符号“∫”表示。
微分是为了求解导数而发展起来的概念，它描述了函数在某一点附近的变化情况。
微分可以看作是一个过程，它表示了函数值的微小变化量。
微分常用符号“d”表示。
2.联系：微分和积分之间存在一种联系，即微分和积分是互逆的操作。
对一个函数进行积分然后再对积分结果进行微分，可以得到原函数。
这个关系可以用下面的式子来表示：∫(d/dx)f(x)dx = f(x) + C其中，C为积分常数。
三、微分、导数和积分的联系微分、导数和积分是紧密联系的三个概念，它们在微积分中有着重要的地位，相互之间相互依存着。
1.微分和导数的联系：微分是导数的一种表现形式，导数是微分的极限。
微分描述了函数在某一点附近的变化情况，是函数值的增量与自变量的增量之比的极限。
导数与微分课件
导数和微分都与函数的局部性质 有关，它们都可以用来研究函数 的单调性、极值和曲线的形状等
。
导数与微分的区别
导数主要关注函数在某一点的变化率，而微分则更关注函数在某一点附近的局部变 化趋势。
导数是函数值的增量之比，而微分则是函数值增量的近似值。
导数是一种数学运算，可以通过求导公式或法则进行计算；而微分则是一种近似计 算方法，常常用于近似计算函数的值。
总结词
函数单调性与导数正负相关
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。导数的正负可以判断函数的增减性。
极值与导数
总结词
导数变化与极值点的关系
详细描述
函数极值点处的一阶导数为0，但一阶导数为0的点不一定是极值点。需要进一步 判断二阶导数的正负来确定是否为极值点。
公式
$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
解释
其中$Delta y = f(x + Delta x) - f(x)$，表 示函数在$x$处的变化量，$Delta x$表示 自变量的变化量。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率， 表示函数图像在该点的切线。
二项式定理
对于多项式函数，可以使 用二项式定理进行近似计 算。
泰勒级数
将函数展开成泰勒级数， 可以用来近似计算函数的 值。
误差估计
导数与误差
导数可以用来估计函数值 的误差大小。
微分中值定理
利用微分中值定理，可以 估计函数在某区间的变化 量。
误差传播
在误差传播过程中，可以 利用微分知识来估计误差 的大小。
第二章 导数与微分
例4
求自由落体运动 s
=
1 2
gt 2
在时刻 t0
的瞬时速度 v(t0 )
.
解
Δs
=
1 2
g (t0
+
Δt)2
−
1 2
gt02
=
gt0Δt
+
1 2
g (Δt )2
Δs Δt
=
gt0Δt
+ 1 g (Δt )2
2 Δt
=
gt0
+
1 2
gΔt
lim
Δt → 0
Δs Δt
=
lim
Δt → 0
(
g
t
0
+
1 2
也随着变动而趋向于极限位置，即直线 M0T .称直线 M0T 为曲线 y = f (x) 在定点
29
M0 处的切线.显然，此时倾角ϕ 趋向于切线 M 0T 的倾角α ，即切线 M 0T 的斜率
为
tan α = lim tanϕ = lim Δy = lim f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) .
lim Δy = lim (2x + Δx) = 2x
Δx Δx→0
Δx→0
y′ = ( x2 )′ = 2x .
同理可得 (xn )′ = nxn−1 （ n 为正整数）
例 6 求 y = sin x 的导函数.
解 Δy = sin ( x + Δx) − sin x = 2 cos(x + Δx ) ⋅ sin Δx
d f (x)
dx
x= x0
这时称函数 y = f (x0 ) 在点 x0 处是可导的函数.
三角函数的导数与微分
三角函数的导数与微分三角函数是数学中重要的一类函数，涉及到导数和微分的概念。
导数是用来描述函数变化率的概念，而微分则是导数的几何解释。
一、正弦函数的导数与微分正弦函数(sin x)是最基本的三角函数之一，其导数和微分的计算如下：1. 导数：设函数 y = sin x，则其导数表示为 dy/dx。
根据求导法则，对于正弦函数，有以下导数公式：dy/dx = cos x2. 微分：微分的几何解释是切线的斜率。
对于正弦函数，其微分可以表示为：dy = cos x dx二、余弦函数的导数与微分余弦函数(cos x)也是一种常见的三角函数，其导数和微分的计算如下：1. 导数：设函数 y = cos x，则其导数表示为 dy/dx。
根据求导法则，对于余弦函数，有以下导数公式：dy/dx = -sin x2. 微分：对于余弦函数，其微分可以表示为：dy = -sin x dx三、其他在三角函数中，还有两个重要的函数：正切函数(tan x)和余切函数(cot x)。
1. 正切函数的导数与微分：设函数 y = tan x，则其导数表示为 dy/dx。
根据求导法则，对于正切函数，有以下导数公式：dy/dx = sec^2 x微分的表示为：dy = sec^2 x dx2. 余切函数的导数与微分：设函数 y = cot x，则其导数表示为 dy/dx。
根据求导法则，对于余切函数，有以下导数公式：dy/dx = -csc^2 x微分的表示为：dy = -csc^2 x dx四、三角函数导数的应用三角函数的导数与微分在数学及其它学科中有着广泛的应用。
以下是几个例子：1. 物理学中的运动学：在物理学中，将导数应用于描述物体的运动状态。
三角函数的导数在运动学中经常出现，用于描述物体的速度和加速度等。
2. 工程学中的信号处理：工程学中常常遇到对信号进行处理的问题，其中包括对三角函数信号进行导数运算，以求出信号的频率、幅度等信息。
高等数学导数、微分、不定积分公式
高等数学导数、微分、不定积分公式一、基本导数公式：'k1. kx2. x n'nx n 13. a x 'a x ln a4. e x'xe5. log a x'1 x ln a'16. ln x x'cos x7. sin x8. cosx'sin x'9. tan x sec2 x'csc2 x 10. cot11. secx 'secx tan x12. cscx'csc x cot x'113. arcsin x1x2'1 14. arccosx1 x2'115. arctan x1x2'1 16. arc cot1x2二、基本微分公式：1.d kx k2.d x n nx n 1dx3.d a x a x ln adx4.d e x e x dx5.d ln x1dxx6.d1dxlog a xx ln a7.d sin x cosxdx8.d cosx sin xdx9.d tan x sec2 xdx10.d cot x csc2 xdx11.d secx secx tan xdx12.d cscx cscxcot xdx13.d arcsinx1dxx2114.d arccosx1dx1x215.d1dxarctanxx21116.d arc cot x2 dxx1- 1 -高等数学导数、微分、不定积分公式三、不定积分基本公式：1.kdxkxc2.x ndxx n 1cn 13. e x dxe xc4.a x dxax1 cln a5.1dxln | x |cx6. sin xdxcosxc7.cos xdxsin xc8. tan xdxln | cosx | c9.cot xdxln |sin x |c10. cscxdxln |cscxcot x | c11. secxdxln |secxtan x |c12.1dxcsc 2xdxcot xcsin 2x13.1dx2tan xc2sec xdxcos x114.1 x 2dxarctanxc15.1dxarcsin xc1x216.secx tan xdxsecxc17.cscx cot xdxcscxc18.dx 1arctan xcx 2a2aa19.dx 1ln |xa |cx 2a22axa20.dxarcsin xca 2x 2a21.dxln | xx 2a 2|cx2a222.dxln | xx2a2|cx 2a 2xdx12cx12xx 2dx2ln 1 xc21x 2dx1x 3c12 dxarctan xc3112 dx1xcxx- 2 -高等数学导数、微分、不定积分公式四、特殊的三角函数值：030°45°60°90°sin x01231222cosx13210 222tan x0313无3cot x无31303五、三角函数的和差化积公式：sin sin2sin cos22sin sin2cos.sin22 cos cos2cos.cos22 cos cos2sin.sin22六、三角函数的积化和差公式：sin cos 1sin sin 2cos sin 1sin sin 2cos cos 1cos cos 2sin sin 1cos cos 2幂的公式 :sin 21cos2a2cos21cos 22七、万能公式：令 tanxt则 x=2arctantd x2 d t2 1 t 2x x2sinxcosx2 tanx2t222 sin2sin cos2 2 x 2 x 2 x 1 t 22sin12cos tan222x2x2xt2cosxcos2sin21tan212x2x2x1t2sin1cos22tan22tanx2ttan x2x 112t2tan2八、平方关系：sin2cos211 tan2sec21 cot2csc2九、导数关系：tan .cot1sin .csc1cos .sec1十、商的关系：sin seccostancsccsc cscsincotsec- 3 -。
导数公式微分公式和积分公式的比较
导数公式微分公式和积分公式的比较导数、微分和积分是微积分中的三个重要概念，在求解函数的变化率、曲线的斜率、面积和定积分等方面起到了关键作用。
下面分别对导数公式、微分公式和积分公式进行比较。
1.导数公式：导数是函数在其中一点的变化率，常用于求函数的斜率和切线方程等。
导数公式主要有以下几种形式：(1)一元函数的导数公式：对于一元函数y=f(x)，其导数可以通过以下公式求解：-函数的导数定义：如果y=f(x)在x点可导，那么y=f(x)在x点的导数为：f'(x) = lim(Δx→0)[(f(x+Δx) - f(x))/Δx]-幂函数的导数：若y=x^n(其中n为实数)，则它的导数为：f'(x) = nx^(n-1)-常数倍法则：若y = kf(x) (k为常数) ，则它的导数为：f'(x) = kf'(x)-和差法则：若y=f(x)±g(x)，则它的导数为：(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)-乘法法则：若y=f(x)g(x)，则它的导数为：(f*g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)-商法则：若y=f(x)/g(x)，则它的导数为：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2-复合函数求导法则：若y=f(g(x))，则它的导数为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)(2)多元函数的导数公式：对于多元函数z = f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，z为因变量。
多元函数的偏导数求解方法如下：-偏导数定义：在函数z = f(x1, x2, ..., xn)中，若存在一个变量xi（i = 1, 2, ..., n），在它的其中一点(xi0)，其它变量xj (j ≠ i) 固定不变那么关于xi 在点(xi0)的偏导数定义为：∂z/∂xi = lim(Δxi→0)[(f(x1, x2, ..., xi0 + Δxi, ..., xn) - f(x1, x2, ..., xi0, ..., xn))/Δxi]-偏导数的性质：偏导数具有和一元函数类似的性质，如常数倍法则、和差法则、乘法法则、链式法则等。
导数与微分的概念
导数与微分是微积分中最基本的概念之一，也是研究函数变化的重要工具。
导数和微分的概念的提出，极大地推动了数学的发展，对于物理学、经济学等其他学科的研究也起到了重要的作用。
导数是函数在某一点处的瞬时变化率，也可以理解为函数在某一点处的斜率。
以函数f(x)为例，它在x=a处的导数可以表示为f'(a)，读作"f prime of a"。
导数可以用极限的概念来定义，即导数等于函数值的增量与自变量增量的比值在自变量趋于0的极限。
导数的计算方式有很多，比如常用的基本导数公式、组合函数求导法则、乘积法则、商数法则等。
导数的概念使我们能够研究函数在不同点的变化情况，通过导数我们可以求得函数的最值、拐点、增减性等重要信息。
导数的计算和应用在实际问题中非常广泛，比如在物理学中，我们可以通过对位移函数求导得到速度函数和加速度函数，从而研究物体的运动情况；在经济学中，我们可以通过对需求函数或者产量函数求导来研究市场的供需关系和产量的优化问题。
微分是导数的一种应用形式，它是函数在某一点处的线性近似。
以函数f(x)为例，它在点x=a处的微分可以表示为df(a)，读作"differential of a"。
微分可以用导数来计算，即函数在某一点处的微分等于导数乘以自变量的增量。
微分在几何学上有着重要的意义，它可以表示函数在某一点处的切线，并且在近似计算中能够提供非常有用的信息。
微分的概念使人们能够更深入地理解函数的性质，通过微分我们可以求得函数在某一点处的切线方程，从而研究函数的凹凸性、极值问题等。
微分也具有很多应用，比如在工程学中，我们可以通过微分来计算误差的传播，进而评估产品和系统的可靠性；在金融学中，我们可以通过微分来建立风险模型，从而帮助投资者做出更明智的决策。
导数和微分的概念是微积分的基础，也是了解数学和相关学科的重要一步。
它们的提出和应用极大地推动了科学的发展。
无论是基础学科还是应用学科，导数和微分都扮演着重要的角色。
微分运算和导数运算结果一样
微分运算和导数运算结果一样
是的，是一样的，只不过倒数的答案没有dx，而微分的结果有dx，微分的写法是dy/dx，而倒数的是y'
(1)起源（定义）不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即△y/△x的极限。
微分起源于微量分析，如△y 可分解成A△x与o(△x)两部分之和，其线性主部称微分。
当△x很小时，△y的数值大小主要由微分A△x决定，而o(△x)对其大小的影响是很小的。
(2)几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，而△y则是沿曲线方向上纵坐标的增量。
可参考任何一本教材的图形理解。
(3)联系：导数是微分之商（微商）y' =dy/dx, 微分
dy=f'(x)dx，这里公式本身也体现了它们的区别。
(4)关系：对一元函数而言，可导必可微，可微必可导。
求导与微分的区别
求导与微分的区别1、导数（derivative）亦名微商，由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。
又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。
为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为x＝f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0]，当t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到t1这段时间内的运动变化情况，自然就把极限[f(t1)-f(t0)/t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。
一般地，假设一元函数y＝f(x )在x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量Δx＝x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率)。
若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作f′，称之为f的导函数，简称为导数。
函数y＝f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：表示曲线l 在P0〔x0，f（x0）〕点的切线斜率。
导数是微积分中的重要概念。
导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
义导数。
简单的说，两个概念是不同而有联系的······4、微分函数和求导函数可以看成是互逆的过程。
就像加法和减法。
2+8=10但反过来，10=1+9=2+8=3+7=。
=9+1所以逆运算的微积分较难一些7、dy=y'dx 微分是用x的增量dx求y的增量dy的过程，导数是求函数值变化速率的过程8、在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。
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第二章导数与微分一、学时分配：讲课学时：12 学时习题课学时：2 学时共12学时第一节：导数概念 2第二节：函数的求导法则 2第三节：高阶导数 2第四节：隐函数和由参数方程确定的导数 2第五节：函数的微分 2习题课： 2二、基本内容：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式，高阶导数；4、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
三、教学要求：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
四、重点难点1、重点：导数和微分的概念与微分的关系，导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式.2、难点：复合函数的求导法则，隐函数和由参数方程确定的函数的导数.§2. 1 导数概念教学目的： 理解导数的概念和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性与连续性之间的关系； 教学重点： 导数概念的引入，可导性与连续性之间的关系； 教学难点： 理解导数的定义；教学内容：一、引例例1直线运动的速度， 例2曲线的切线 通过两个实际意义不同的例子，引出所求量可归结为同一形式的极限，进而一般地抽象出导数的定义． 二、导数的概念与几何意义强调：(1) 导数的几个等价定义式及作用(2) 导数的几何意义——曲线的切线的斜率 三、可导性与连续性的关系注意：用反例说明 四、举例求导数五、单侧导数内容小结： 导数的概念和几何意义，可导性与连续性的关系；启发与讨论： 1．说明函数3)(x x f =在区间(-∞, +∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 作业：87P :9、13、16、17导数是人们在解决一些实际问题时抽象出来的一个概念，先从实际问题引出定义．§2. 1 导数的概念（讲义）2.1.1 导数及其实际意义引例1 求变速直线运动的速度.一般地说，如果物体运动的路程s 与时间t 的关系是()s f t =，则它从0t 到0t t +∆这一段时间内的平均速度为00()()f t t f t s v t t+∆-∆==∆∆ 而在0t 时刻的瞬时速度即为平均速度当0t ∆→时的极限值：0000()()limlim t t t t f t t f t svt t=∆→∆→+∆-∆==∆∆引例2 求平面曲线切线的斜率设有曲线C 的直角坐标方程为()y f x =.00(,)M x y 是曲线C 上的一点，其中00()y f x =.求曲线C 在M 处切线,只要求出切线斜率即可.如图2-1所示，在沿曲线C 上另取一点(,)N x y ，那么割线MN 的斜率为：00()()tan MN f x f x y k x x x ϕ-∆===∆-. 当点N 沿曲线C 趋向于点M 即0x x →时，如果上式极限存在，记为k 即为切线的斜率.所以0000()()tan limlim x x f x x f x yk x xα∆→∆→+∆-∆===∆∆.上面两个例子的实际意义完全不同，但从抽象的数量关系来看，其实质是一样，都是函数的改变量与自变量的改变量之比，当自变量的改变量趋于0时的极限.我们由此引入导数的概念.定义2.1 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义, 当自变量x 在0x 处取得增量x (点0x x +∆仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量()()00y f x x f x ∆=+∆- 如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时的极限存在, 则称函数()y f x =在点0x 处可导, 并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数, 记为0|x x y =', 即'0000()()limlimx x x x f x x f x yy x x=∆→∆→+∆-∆==∆∆ 也可记为0()f x '、0 x x dx dy =、0)(x x dx x df =. 导数的定义式也可取不同的形式，常见的有：0000()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆和000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→如果函数()y f x =在开区间(,)a b 内的每一点都可导, 则称函数()f x 在该区间内可导.这时对该区间的任意一点x 都有导数()f x '与之对应，点x 与导数()f x '构成一个新函数，称为导函数，或简称为导数.函数()f x 在点0x 处的的导数0()f x '是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此0()f x '存在即()f x 在点0x 处可导的充分必要条件是左、右极限000()()lim x f x x f x x -∆→+∆-∆及000()()lim x f x x f x x+∆→+∆-∆ 都存在且相等.这两个极限分别称为函数()f x 在点0x 处的左导数和右导数，记作0()f x -'及0()f x +'，即0000()()()lim x f x x f x f x x --∆→+∆-'=∆及0000()()()lim x f x x f x f x x++∆→+∆-'=∆可以说，函数在点0x 处可导的充分必要条件是左导数0()f x -'、右导数0()f x +'都存在且相等，左导数、右导数统称为单侧导数.如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导,且()f a +'及()f b -'都存在，就说()f x 在闭区间[],a b 上可导.由导数定义可知，引例1中瞬时速度可记为()'00()v t s t =，这也是导数的一个物理意义；引例2中曲线()y f x =在()00(,)x f x 点的切线斜率为注：根据引例归纳出导数的定义式，注意极限的存在性．()'0k f x =，它是导数的几何意义.根据导数的定义，求函数()f x 的导数的一般步骤如下： （1）求增量 ()()y f x x f x ∆=+∆-；(2) 作比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； （3）取极限00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆. 例2.1.1 求函数()n f x x =（n 为正整数）在x a =处的导数. 解: 根据导数的定义()()()limx af x f a f a x a→-'=-()12211lim n n n n n x ax ax a x a na -----→=++++= .例2.1.2 讨论函数21,1()2,1x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩在点1x =处的导数.解: 因为211()(1)12(1)lim lim 211x x f x f x f x x ---→→-+-'===--； 11()(1)22(1)lim lim 211x x f x f x f x x +++→→--'===-- 所以(1)2f '=，()f x 在1x =可导，当然在1x =点连续.例2.1.3 求曲线()2f x x =在点(1,1)处的切线方程和法线方程.解 由导数的几何意义及例 2.1.1可知曲线在(1,1)点处的切线斜率为(1)2k f '==，所以曲线的切线方程为()121y x -=-，即210x y --=，曲线的法线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=. 2.1.2 可导与连续的关系设函数()y f x =在点x 处可导, 即0lim ()x yf x x∆→∆'=∆存在. 由具有极限的函数与无穷小的关系知道，()yf x xα∆'=+∆，其中α当0x ∆→时为无穷小.上式两边同乘以x ∆，得()y f x x x α'∆=∆+∆由此有 0lim 0x y ∆→∆=这就是说, 函数()y f x =在点x 处是连续的. 所以我们可得出下面的定理. 定理 2.1 如果设函数()y f x =在点0x 处可导,则函数()y f x =在该点处一定可导.特别强调，这个定理的逆命题不成立.例如函数()y f x ==在区间(,)-∞+∞内连续,但在点0x =处不可导.内容小结：作业：87P : 9、13、16、17§2. 2 函数的求导法则和基本公式（讲义）2.2.1 导数的四则运算法则定理2.2 如果函数()u u x =及()v v x =在点x 具有导数, 那么它们的和、差、积、商(分母为零的点除外)都有导数, 且 （1） []'''()()()()u x v x u x v x ±=± （2）[]'''()()()()()()u x v x u x v x u x v x ⋅=+（3）'''2()()()()()()()u x u x v x u x v x v x v x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭特别地，()''''uvw u vw uv w uvw =++例2.2.1 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求()f x '及()2f π'. 解: x x x x x f sin 43)2(sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,443)2(2-='ππf .例2.2.2 求函数2tan y x x =的导数.解()()()''''2222tan tan tan 2tan sec y x x x x x x x x x x ==+=+例2.2.3 tan y x =，求'y .解: xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=.同理可得：()'2cot csc x x =-例2.2.4 sec y x =，求'y .解: x x x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='xx2cos sin ==sec x tan x .同理可得：()'csc csc cot x x x =-2.2.2 反函数的求导法则设函数()y f x =在点x 的某邻域内单调连续，则()f x 存在单调连续的反函数()x y ϕ=.对反函数在自变量y 点给增量()0y y ∆∆≠，相应的函数有增量为()()x y y y ϕϕ∆=+∆-，当0y ∆≠时，有0x ∆≠，于是1x yy x∆=∆∆∆. 两端同时取0y ∆→（此时0x ∆→）时极限，有()()'000111'limlim limy x x x y y y y f x x xϕ∆→∆→∆→∆====∆∆∆∆∆.于是有以下定理：定理2.3 如果函数()y f x =在区间y I 内单调、可导且'()0f y ≠，则它的反函数1()y f x -=在区间(){},y y I x x f y y I ==∈内可导,且有)(1])([1y f x f ='-. 或dydx dx dy 1=.例2.2.5 求arcsin y x =的导数.解 函数sin x y =在区间,22y I ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭内单调、可导，且()'sin cos 0y y =>根据反函数求导公式，, 在在区间()1,1x I =-内有2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='='. 同理可得: 211)(arccos x x --='.，21(arctan )1x x '=+，211)cot arc (x x +-='.2.2.3 导数基本公式基本初等函数的导数公式（1）()0c '=（c 为常数） （2） 1()x x ααα-'= （α为任意实数） （3）()()ln 0,1xxa a a a a '=>≠ （4）()x xe e '=（5）()1(log )0,1ln a x a a x a '=>≠ （6）1(ln )x x'= （7） (sin )cos x x '= （8） (cos )sin x x '=- （9） 221(tan )sec cos x x x '== （10） 221(cot )csc sin x x x'=-=- （11）(arcsin )x '=（12） (arccos )x '=（13）21(arctan )1x x '=+ （14） 21(arccot )1x x'=-+ (sec )sec tan x x x '= (csc )csc cot x x x '=-2.2.4 复合函数的求导定理 2.4设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()'dux dxϕ=, 函数设函数()y f u =在点u 处有导数()'dyf u du= 则复合函数()()y f x ϕ=在该点x 也有导数, 且'()()dy f u x dxϕ'=⋅或'''x u x y y u =⋅或dx du du dydx dy ⋅=.这个结论可以推广到多次复合的情况.例如设()()(),,y f u u v v x ϕφ===，则复合函数(){}y f x ϕφ=⎡⎤⎣⎦的导数为dy dy du dvdx du dv dx=⋅⋅ 注意：复合函数求导数法则，类似链条一样，一环扣一环，所以又称之为链条法则，运用这个法则时，应该了解因子的个数比中间变量的个数多一个，注意不要遗漏任何一个中间变量，且最后一个因子一定是某个中间变量对自变量的导数.例2.2.6求(ln y x =的导数.解 由复合函数求导法则有(''y x =+()'221x a ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦1⎛⎫=+=2.2.5 隐函数的导数1. 隐函数求导方法求由二元方程0),(=y x F 所确定的函数的导数，可将方程两端同时对x 求导，此时，把y 看做中间变量，会得到一个含有'y 的方程式，然后从中解出'y 即可.例2.2.7 求由方程0ye xy e +-=所确定的隐函数y 的导数.解 把方程两边的每一项对x 求导得()()'''0yexy e +-=，即''0y e y y xy ++=()'0y y yy x e x e=-+≠+ 例2.2.8 求椭圆221169x y +=在⎛ ⎝处的切线方程. 解 把椭圆方程两边分别对x 求导，得'2089x y y +⋅= .从而，'916x y y =-. 当2x =时，y ='2x k y ===所求的切线方程为：())2,2y x -=-40y +-=2.2.5 对数求导法（隐函数求导方法的应用）这种方法是先在()y f x =两边取对数，使函数转换成隐函数，然后再求出y 的导数.对数求导法适用于：（1）求幂指函数[]()()v x y u x =的导数（幂指函数是指幂、指位置都是变量的函数）；（2）多因子积、商及幂的导数.例2.2.9 求)0(sin >=x xy x的导数.解 两边取对数，得x x y ln sin ln ⋅=，两边对x 求导，得11cos ln sin y x x x y x'=⋅+⋅， 于是 sin sin sin (cos ln )(cos ln )xx x y x x y x x x x x'=⋅+=⋅+. 例2.2.10 求函数y =.解 先在两边取对数（假定4x >），得()()()()1ln ln 1ln 2ln 3ln 42y x x x x =-+-----⎡⎤⎣⎦ 上式两端对x 求导，得'11111121234y y x x x x ⎛⎫=+-- ⎪----⎝⎭于是'1111121234y x x x x ⎛=+-- ----⎝2.2.6 由参数方程所确定的函数的导数设y 与x 的函数关系是由参数方程()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩所确定. 则若()x t ϕ=和()y t φ=都可导，则''()()dydy t dt dx t dtϕφ===例 2.2.11 求椭圆()cos ,02sin x a t t y b tπ=⎧≤≤⎨=⎩在相应于4π=t 点处的切线方程.解 由于(sin )cos cot (cos )sin dy b t b t bt dx a t a t a'===-'-. 于是，所求切线的斜率为4t dyb dxaπ==-.所以，切点的坐标为 00cos,sin 4242x a a y b b ππ====因此，所求切线方程为：()22b y b x a -=-- 即 02=-+ab ay bx小结：本节讲述了导数的四则运算法则、反函数求导公式、复合函数的求导公式、隐函数求导法及取对数求导法，以便求任何初等函数的导数. 思考：1、在对复合函数求导时应该注意什么？2、在什么情况下考虑采用取对数求导法？ 作业：112P 2，5（1），7（1），8（2），9（1） 2. 3 高阶导数（讲义）一般地，函数)(x f y =的导数)(x f y '='仍然是x 的函数.我们把)(x f y '='的导数叫做函数)(x f y =的二阶导数，记作y ''，''f 或22dxy d .相应地，把)(x f y =的导数()f x '也称做函数)(x f y =的一阶导数. 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，一般地，()1n -阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记()()34(),,,n y y y或3434,,,n n d y d y d ydx dx dx函数)(x f y =的二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.例2.3.1设2ln(1)y x =+，求()''1y解 因为()()22222222122212,1(1)(1)x x x x x y y x x x +-⋅-'''===+++，所以()''10y =. 例2.3.2 设确定y 与x 的函数关系由参数方程231,x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，求22dx y d . 解 因为()()'32'23121t t dy t dx tt --===-，所以 ()'222'2323123141t d dy t d y d dy t dt dx dx dx dx dx t t dt⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭====- ⎪⎝⎭-. 例2.3.3 求sin y x =的n 阶导数. 解: )2sin(cos π+=='x x y ,)2 2sin()2 2 sin()2 cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y ,)2 3sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y , )2 4sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y , 一般地, 可得)2 sin()(π⋅+=n x y n , 即)2 sin()(sin )(π⋅+=n x x n .用类似方法, 可得)2cos()(cos )(π⋅+=n x x n .小结：本节训练了初等函数的求导方法，讲述了高阶导数的概念及求高阶导数的归纳方法.思考：对于一个函数，它的n 阶导数存在，其1n +阶导数是否也存在？ 作业：103P : 1、3、8、102. 4 函数的微分及其应用（讲义）2.4.1 微分的概念引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由0x 变到x x ∆+0，如图2-2，问此薄片的面积改变了多少？它实际上对应着这样的几何问题：设有边长为x ，当边长增加x ∆时，其面积增加多少？设正方形的面积为A ，面积增加部分记作A ∆，则()()2222A x x x x x x ∆=+∆-=∆+∆当x ∆很小时，例如1,0.01x x =∆=时，则20.02x x ∆=，而另一部分()20.0001x ∆=，当x ∆越小时，()2x ∆部分就比2x x ∆小得更多.所以2x x ∆是A ∆的一个很好的近似值. 当x ∆很小时可近似地看成：()222A x x x x x ∆=+∆-≈∆.下面我们给出微分的定义.定义2.2 设函数)(x f y =在x 的一个邻域内有定义，如果函数()f x 在点x 处的增量()()y f x x f x ∆=+∆-可以表示为：y A x α∆=∆+，其中A 与x ∆无关，()o x α=∆是x ∆的高阶无穷小量.则称x A ∆为函数)(x f y =在x 处的微分，记作dy ，即x A dy ∆=此时也称函数)(x f y =在点x 处可微.定义2.2 函数()f x 在点0x 可微的充分必要条件是函数()f x 在点0x 可导, 且当函数()f x 在点0x 可微时, 其微分一定是：()'0dy fx x =∆显而易见，若函数可微，则()()()'0,o x yy A x o x A f x A x x∆∆∆=∆+∆=+⇒+∆∆若函数可导，则()()()()'''0000lim,,x y yf x f x y f x x o x x xα∆→∆∆==+∆=∆+∆∆∆而且：可导⇔可微⇒连续⇒极限存在.所以，在()'00fx ≠的条件下，以微分()'0dy f x x =∆近似代替增量()()'0y f x x o x ∆=∆+∆时，其误差为()o x ∆.因此，在x 很小时，有近似等式y dy ∆≈.例2.4.1 求函数3y x =在2x =且0.02x ∆=处的微分. 解 函数在任意点x 的微分为：()'323dy xx x x =∆=∆.于是22220.020.023320.020.24x x x x dyx x==∆=∆==∆=⨯⨯=.对于函数y x =有()'dx dy x x x ==∆=∆，所以函数)(x f y =的微分又可记作()'dy f x dx =从而有()'dyf x dx=. 这就是说，函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数.因此，导数又称为“微商”.微分的几何意义当y ∆曲线)(x f y =上的点的纵坐标的增量时,dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当x ∆很小时, y dy ∆-比x ∆小得多. 因此在该点附近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段.可见函数微分的几何意义就是：如图2-3所示，在曲线上某一点处，当自变量取得改变量x ∆时，曲线在该点处切线纵坐标的改变量.显然，x ∆很小时，有y dy ∆≈2.4.2 微分的运算1.微分形式的不变性我们知道如果函数()y f u =是u 的函数，，那么函数的微分为()'dy f u u =∆，若u 不是自变量，而是x 的可导函数()u x ϕ=时，u 对x 的微分为()'du x dx ϕ=.所以u 为中间变量的复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦的微分()()()()()''''''dy y dx f u x dx f u x dx f u du ϕϕ⎡⎤====⎣⎦也就是说，无论u 是自变量还是中间变量，()y f u =的微分dy 总可以用'()f u 与du 的乘积来表示.函数微分的这个性质叫做微分形式的不变性.2.微分的运算通过上述我们可知可微与可导是等价的，微分只是导数的另一种形式.由导数的运算法则和基本公式可以得到微分的运算法则和基本公式：（1）()0d c = （2） 1()d x xdx ααα-=（3） (sin )cos d x xdx = （4） (cos )sin d x xdx =- （5） 2(tan )sec d x xdx = （6） 2(cot )csc d x xdx =-（7）(sec )sec tan d x x xdx = （8） (csc )csc cot d x x xdx =- （9）()ln xxd a a adx = （10）()xxd e e dx = （11）1(log )ln a d x dx x a =（12）1(ln )d x dx x= （13）(arcsin )d x = （14） (arccos )d x =（15）21(arctan )1d x dx x =+ （16） 21(arccot )1d x dx x=-+ 微分的四则运算法则：设函数()(),u u x v v x ==可微，则 （1）()d u v du dv ±=±； （2）()d u v vdu udv ⋅=+ （3）()d cx cdx =； (4) 2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 例2.4.2 求函数cos 2tan x y e x x =-的微分.解()()()cos 2tan cos 2tan x xdy d e x x d e x d x =-=-()()()cos cos 2tan x x xd e e d x d x =+-()22cos sin 2sec cos sin 2sec x x x x e xdx e xdx xdx e x e x x dx =--=--例2.4.3 ()2ln 1xy e =+，求dy .解 因为 ()()222222'2''121111x xxx x xe x xe y e eee =+==+++，所以22'21x x xe dy y dx dx e==+例2.4.4 13cos x y e x -=，求dy .解 因为()()()'''131313cos cos 3cos sin xx x y ex e x e x x ---=+=-+，所以 ()'133cos sin x dy y dx e x x dx -==-+例2.4.5在括号内填入适当的函数，使等式()d xdx =.成立.解 因为22dx xdx =，所以22122x xdx dx d ==.故括号内应填入22x .2.4.3 微分的应用近似计算在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算，那是很费力的.利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似计算公式来代替.如果函数()y f x =在点0x 处的导数()'00fx ≠，且x ∆很小时，有()'0y dy f x x ∆≈=∆，即()()()'000y f x x f x dy f x x ∆=+∆-≈=∆.所以()()()'000f x x f x f x x +∆≈+∆这就是它的近似计算公式.例2.4.6 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜,厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)?解: 已知球体体积为334R V π=, 01,0.01R cm R cm =∆=.镀层的体积为()()()'200004V V R R V R V R R R R π∆=+∆-≈∆=∆234 3.1410.010.1256cm =⨯⨯⨯=则镀每只球需用铜约为0.12568.9 1.1178 1.12M g =⨯=≈.例2.4.7 利用微分计算sin 30︒30'的近似值. 解: 由于' 30306360ππ=+, 取6 0π=x , 360π=∆x . 于是 ()'000sin 3030sin sin cos x x x x x =+∆≈+∆1sincos 0.50766636022360ππππ=+⋅=+=小结：本节讲述了微分的定义，练习了微分的运算和利用微分作近似计算。