论多视角下初中几何图形的一题多解
多视角下初中几何图形的一题多解
多视角下初中几何图形的一题多解作者：王洪来源：《考试周刊》2013年第104期随着时代教育理念的更新和新课改的不断深入，近年来各地中考数学试题不断推出一批批探索性、开放性和应用性试题，面对新的教育形势，老师们会思索以下问题：初中数学教学中要如何灵活转变教学思路？如何激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等.我在长期的实际教学过程中，对这些问题进行过深思和探索，其中较突出的是引导学生进行一题多变的训练.我以初中几何图形的一题多变分析其引导过程与方法.在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论做进一步探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质.如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，则必将使人受益匪浅.一题多变，有利于深化知识，实现数学中各知识的内涵和外延，从而培养学生的发散性和创造性思维；多解也可归一，有利于知识点的提炼分析，从多解中择优，培养学生的聚合思维.下面我结合三角形、梯形等问题看一题多解.一、三角形一题多解例1.如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D，求证：FD=DE.证法一：过E点作EM∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B，∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF，从而EM=BF，∠BFD=∠DEM，则△DBF≌△DME，故FD=DE.证法二：过F点作FM∥AE，交BD于点M，则∠1=∠2=∠B所以BF=FM，又∠4=∠3∠5=∠E，所以△DMF≌△DCE，故FD=DE.二、梯形一题多解例2.如图：已知梯形ABCD，AD∥BC，以AB、BD为边，作平行四边形ABDE，AD的延长线交CE于F，求证：EF=FC.证法一：连接BE交AD于O.∵平行四边形ABDE，∴OB=OE.∵AD∥BC，即OF∥BC中位线，∴EF=CF.证法二∵AD∥BC，∴将AB平移到DC由平行四边形ABDE，∴AB∥=DE.∵DG∥=AB，∴DG=ED，∵AD∥BC，即DF∥BC∴EF=FC.证法三：AD∥BC，即AF∥BC.BD平移到CG的位置，并交AF延长线于G.我们通过条件可证△AEF≌△GCF，∴FE=FC.三、圆的一题多解例3.已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程）思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论：1.OA=OD；2.BE=CE；3.AB=AC；4.BD=CD.思路与解法二：从相等的角这一角度出发，可得如下结论：1.∠AEC=∠AEB=∠BED=∠CED=∠ABD=∠ACD=90°；2.∠ABC=∠ACB；3.∠DBC=∠DCB；4.∠BAD=∠CAD；5.∠BDA=∠CDA；6.∠BAD=∠BCD；7.∠CBD=∠CAD；8.∠ABC=∠ADC；9.∠ACB=∠ADB.思路与解法三：从相等的弧这一角度出发，可得如下结论：1.弧AB=弧AC；2.弧BD=弧CD；3.弧ABD=弧ACD；4.弧ABC=弧ACB；5.弧BAD=弧DAC.思路与解法四：从全等三角形这一角度出发，可得如下结论：1.△AEB≌△AEC；2.△BED≌△CED；3.△ABD≌△ACD.思路与解法五：从相似三角形这一角度出发，可得如下结论：△ABE∽△ACE∽△CDE∽△BDE∽△ABD∽△ACD，即图中所有的直角三角形两两相似.思路与解法六：从比例线段这一角度出发，可得如下结论：1.AEDE=EBEC2.BE■=EAED=EC■3.AB■=AEAD=AC■4.BD■=DEDA=DC■思路与解法七：从其他角度思考，还可得如下结论：1.AE■+BE■=AB■=AC■=AE■+EC■■.BE■+ED■=BD■=CD■=CE■+DE■3.∠BAC+∠BDC=180°4.∠BAE+∠ABE=90°5.S■=■AD×BC6.S■=S■由以上题目可以看出，虽然知识是静态的、题目是固定的，但是思维是活动的；它的变化却是无穷的.像以上一题多解与一题多变的题例，是举不胜举、美不胜收的.老师可以通过多视角对课本的例、习题进行变式，如：改变数据或图形、改变条件、改变结论；条件开放或结论开放或条件、结论同时开放条件；引申或结论拓展等.在教学过程中，如果有意识地深入去观察、分析、解决与反思，那么必能达到以一当十、以少胜多的效果，既增大课堂的容量，又培养学生各方面的技能，特别是自主探索和创新思维的能力.通过一题多变的训练，可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面融会贯通，既加深对知识的理解，又认识和体会数学是一个整体，更提高学习效率，激发学生的学习兴趣、创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习.我将不断追求新知，完善自己，继续努力深入研究课本的例、习题和全国各地的中考试题.。
初中数学几何：一题多解
初中数学培优专题：一题多解一题多解是数学学科的奇妙所在，尤其体现在几何的学习过程之中. 很多学生会从喜欢上几何从而喜欢上数学的原因，就在于几何图形的变换中，对“多解”的追求给他们带来思维创造的快乐. 数学教师在解题教学中也会通过“多解”的呈现和对比来调动学生思维的积极性、激发学生思维的灵活性. 笔者在教学过程中，通过对几何的“多解”探索，使笔者又有了新的认识.C1 题目呈现如图1，在等腰直角三角形ABC 中，点P 为斜边AB 上一个动点( 不与A 、B 两点重合) ，以CP 为斜边在直线CP 的左侧作等腰直角DCDP ，判断ADP 的形状并证明. A P B2 教学过程简录方法一：如图2，过C 点作CQ图1 AB ，连接DQ .易证DQ 平分CQA ，∴CQD DQA 45∴CQD ≌AQD （SAS ），∴AD CD ，又∵CD PD ∴AD DP ∴ADP 是等腰三角形图2方法二：如图3，过C 点作CQ AB ，连接DQ .易证CDQ ∽CPB ，∴DQC B 45∴CQD ≌AQD （SAS ）以下同方法一.方法三：如图4，过C 点作CQ图3 CP 交PD 的延长线于点Q ，连接AQ . 易证CQA ≌CPB∴AQ PB ，CAQ CBP 45∴QAP90 . 在等腰直角CPQ 中，D 点是PQ 的中点，图4∴在Rt PAQ 中，AD 1PQ ，∴AD2DP ∴ADP 是等腰三角形.方法四：如图5，过点C 作CM CD ，过P 点作PM PD 交CM 于点M ，过C 点作CQ AB 交AB 于点Q ，连接QM ，BM . 易证四边形CDPM 为正方形，QM 平分CQP ，∴CQM PQM 45 ，图5∴CQM ≌BQM （SAS）∴BM CM ，又∵CM PD ∴BM PD易证CMB ≌CDA ，∴BM AD ，∴AD DP ∴ADP 是等腰三角形.方法五：如图6，过点C 作CQ CD ，过P 点作PQ PD交CQ 于点Q ，过点 D 作DM AB 交AB 于点M ，过点Q 作QN AB 交AB 于点N .易证PDM ≌QPN ，CQB ≌CDA . 图6∴PQ PD ，QB AD ,CDA CQB ，PQN PDM90 .又∵ADP360ADC CMB 270ADCPQB CQB CQP CQB 90∴ADP PQB180 ，∴BQN ADM90 ，∴BQN DAM ，易证ADM ≌QBN ，∴AD QM ，∴AD DP ∴ADP 是等腰三角形.3 对解法的再认识该图形简单又漂亮，更重要的是我们在初二几何里学的常见的辅助线的构造都可以在该图形中呈现.比如方法一，看到等腰三角形想“三线合一”，故过C 点作CQ AB 交AB 于点Q ，由于CDP 是等腰直角三角形，则得到了常见的基本图形，如图7：如果CDP 为等腰三角形，CQ QP ，那么连接直角三角形的直角顶点DQ ，则DQ 是CQP 的外角平分线，即CQD DQA45 ，我们平时称该图形为“钻石三角形”. 再由CQD 和AQD 对称全等，得结果.与方法一类似，还可以构造“钻石三角形”的内角平分线，如图 5. 由等腰图7 直角CDP 想到构造正方形CDPM ，那么在图形CQPM 中，如图8：因为CMP 是等腰直角三角形，CQ QP ，所以连接QM ，则QM 平分CQP . （“钻石三角形”内角平分线），其它见方法四.在原题中，如图1，仔细观察该图形，是一个等腰三角形的顶点对另一个等腰三角形的底角的形式（简称“两个等腰三角形的顶对底”），我们还可以想到“加倍或减半”进行构造.图8“加倍”如图4，就得到了共顶点的两个等腰直角三角形CPQ 和CBA ，构造“手拉手”基本模型，得全等，即CDP ≌CQA . 其实图 5 当中构造正方形也是另外一种形式的“加倍”, 同样可构造“手拉手”基本模型.“减半”即把CAB 减半，如图3. 减半之后就得到了两个底角对底角的等腰直角三角形，CDP 和CQB .那么通过“边对边、底对低”可得三角形相似，即CDQ 和CPB 相似，既而得到DQC B 45，具体思路见方法二.或者看到等腰直角三角形，想到构造“三垂直”，如图 6. 但这种方法要比其它方法复杂一点，就是要看到ADP 和PQB 互补，证明方法见方法五. 不过该方法也有它特别的一面，就是再往后研究，我们可以发现ADP 和BQP 不仅都是等腰三角形，而且面积也相等.综上以上五种方法可用一句话总结：过 C 点通过旋转或翻折构造全等或相似.几何图形很神秘、很美妙、很漂亮，经常会有让人看它一眼就再也无法忘记的特别存在. 我们就是这样被它吸引着，不知不觉中发现了它们各自的独特美又发现了它们美的通性，而自己的思维与想象也在不断的发生着变化，从量变到质变，眼界与能力同时也得到了升华.。
一题多解在中学数学几何中的应用例题
一题多解在中学数学几何中的应用例题In the study of high school geometry, the concept of one problem having multiple solutions is a common occurrence. This can be both a challenging and rewarding aspect of mathematical problem-solving. When faced with a problem that has multiple solutions, students have the opportunity to think creatively and apply different approaches to arrive at the answer. This not only enhances their problem-solving skills but also fosters a deeper understanding of the underlying concepts in geometry.在中学几何学习中，一题多解的概念是常见的。
这既是一个具有挑战性的地方，也是一个有益的数学问题解决的方面。
当面对一道有多个解的问题时，学生有机会发挥创造力，运用不同的方法来得出答案。
这不仅增强了他们解决问题的能力，还培养了对几何学中基本概念的更深刻理解。
One example of a problem with multiple solutions in high school geometry is finding the area of a triangle. While the most common method is to use the formula A = 1/2 bh, where b is the base and h is the height, there are other ways to approach this problem. For instance, students could also use the formula A = 1/2 ab sin(C),where a and b are the side lengths of the triangle and C is the angle between them. This alternative method showcases the flexibility and creativity that can be applied in geometry problem-solving.在中学几何学中，一个具有多个解的问题是如何求三角形的面积。
浅谈初中几何问题的“一题多解”
浅谈初中几何问题的“一题多解”作者：刘月芳来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2015年第24期摘 ; ;要：本文举例说明了4个几何问题的一题多解，例题有浅有深，就此谈谈自己的看法以抛砖引玉。
关键词：初中;几何问题;一题多解中图分类号：G633.6 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 文献标识码： A ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文章编号：1992-7711（2015）24-001-02数学从自然中诞生，数学从生活中体现，生活中的一切都有数学的影子。
在科技迅速发展的今天，数学已经深入到各个领域，华罗庚在《大哉数学之为用》提到：宇宙之大，粒子之微，火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献。
几何作为数学的一部分，其重要性不言而喻;几何逻辑推理的环环相扣对培养学生良好的数学学习能力具有提升作用。
因此，对于刚接触几何的初中学生而言，如果能对学生进行一题多解的训练，从不同解法中探索不同求解的奥妙;从不同定理的应用中学到不同的数学思想和方法，这样对提高学生对数学知识的热爱和兴趣，开发学生智力，拓展学生思路和应变能力，培养学生思维的严谨性、分析和解决问题的能力以及实事求是的科学态度都起着重要作用。
本文举例说明了4个几何问题的一题多解，例题有浅有深，就此谈谈自己的看法以抛砖引玉。
一、几何定理推导中的“一题多解”应用定理解决问题是数学解题中的重要组成部分，但往往学生只注重定理的结论，而忽略定理的推导证明。
教学实践证明，那些熟悉定理推导过程的学生，思维敏锐性更高，学习成绩也更优。
三角形中位线定理是一个基础定理，教材对于三角形中位线定理的推导较为简单。
教学中，我鼓励学生用自己的方法证明三角形中位线定理，下面给出部分学生各具特色的证明推导方法。
例1.在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点.求证：DE∥BC且DE=0.5BC证法1：由条件易得AD/AB=AE/AC=0.5，而∠A=∠A∴△ADE∽△ABC ; ∴DE/BC =AD/AB=0.5 ∠ADE=∠ABC∴DE=0.5BC DE∥BC原命题得证评注：此证法简单利用相似的方法，不作辅助线，证法简洁。
2024中考数学试题研究《几何综合一题多解》 课件
方 法 总 结
应
用
F
练
习
课 后 作 业
第（1）问解题步骤
证明：
∵AE⊥BC
∵AB AD
∴∠FBE
D
AB AC
∠BAC 30O
∠ABE-∠ABD
∠BAC 30O
∠CAB 90O
75O 30O =45O
∴∠C ∠ABC
∴∠D ∠ABD
∵AE⊥BC
1（180O 30O） 2
2AF 2FE = 2AE ∴FD= 2AE
题
型
介
第（2）问解题思路
绍
信号 △AEC
一一
题题
多多 解解
D 联想
利用 △AEC 中的等边重合,
发现图形的变换形式,
方
构造全等三角形
几何画板演示
法
总
操作 过点D作垂直交EA的延长线于点M
结
应
用 练
△AEC≌△AMD
图形关系 等腰Rt△MFD
DF 2AE
几何综合一题多解
目录
01 问题引入 02 一题多解 03 方法总结 04 应用练习 05 课后作业
题
型
北京中考几何综合题
介
绍
一 题
一般以基本图形（正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直角三 角形等）为载体，考查运用图形变换（平移、旋转、轴对称）分析
多
图形中基本量之间的数量关系的探究过程。最后一问常见问题形式
连接EM
图形关系
△AEC≌△AMD
等腰Rt△AEM
□FEMD
DF ME 2AE
课
后
关键三角形法
作
业
学生做数学题的一题多解释
学生做数学题的一题多解释（一题多解）是一种很好的学习方法，它有助于学生从多个角度理解问题，培养创新思维和解决问题的能力。
下面是一个例子：
题目：一个圆形的半径是5厘米，求它的面积。
方法一：使用圆的面积公式
我们知道，圆的面积可以通过公式 A = πr² 来计算，其中 A 是面积，r 是半径。
将 r = 5 代入公式，得到 A = π × 5² = 25π 平方厘米。
方法二：使用圆的面积与直径关系
我们知道，圆的面积与直径的关系是：A = (d/2)²π，其中 d 是直径。
由于 r = d/2，所以可以将 d = 10 代入公式，得到 A = (10/2)²π = 25π 平方厘米。
方法三：使用正方形近似法
我们可以将圆近似为一个正方形，这个正方形的边长就是圆的直径。
因此，圆的面积可以看作是正方形的面积。
所以，A = d²/4 = 10²/4 = 25π 平方厘米。
通过以上三种方法，我们可以得到相同的答案，这有助于学生从多个角度理解问题，提高解决问题的能力。
关于一个几何题一题多解的思考
关于一个几何题一题多解的思考摘要：近年来，重庆市中考数学试卷最后一个大题是一道几何综合题，大部分学生上考场前几乎都对该类型题目有恐惧感，生怕自己拿不到理想的分数，甚至平时遇到几何综合类型题目也是无从下手。
实际上，几何综合题目并没有想象中可怕，我们可以把一道复杂的题目拆分成若干个小题目，依靠平时积累的分析思路、几何模型和解题策略，见招拆招各个击破。
本文以重庆市某直属某次大型考试中压轴几何大题为具体例题，对具体的方法应用进行了探究，希望能够帮助我们突破中考压轴题几何的解题困境。
关键词：几何题；模型；方法；近几年重庆中考都以几何题为压轴大题，是考察学生基本知识、基本模型、分析策略、解题思路的一类题型。
下面以重庆市直属校2022年某次大型考试题中的压轴题最后一题第（2）小问为例，谈一谈我们可以如何突破几何这个纸老虎。
原题如下：如图1，在△ABC中，AB=AC，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且AE⊥CF．若E为BD中点，连接FD，FD平分∠AFC，G为CF上一点，且∠GDC=∠GCD，求证：DG+AF=FC；分析：几何综合题目中往往会提供一些重要的条件或者有价值的结论，通过其联想常规结论，常规辅助线，对进一步解决问题起到很好的辅助作用。
而通常分析几何题可以从两个方向出发：①从条件出发；②从结论出发。
比如本题，我们从结论DG+AF=FC出发，不难联想几何中解决问题的常用方法截长补短，从条件∠GDC=∠GCD出发，我们很容易得出DG=CG，与结论一结合，则该题不需要用截长补短的方式额外添加辅助线，即要证结论DG+AF=FC可等价的转换成证AF=FG。
再结合条件FD平分∠AFC，与转换后的结论一结合，则要证到结论成立，只需要证明，这一组全等属于翻折全等模型，已经具备一组公共边和一组相等的角，因此要证明全等，只需要证一组角或者挨着已知相等角的另一组边相等，经过分析，很容易发现只能够证明剩下两组角中的某一组对应角相等，最后问题即转换为证。
九年级数学几何说理与一题多解学法指导
九年级数学几何说理与一题多解七年级从学习“相交线与平行线”开始，将接触到有关几何问题的说理与证明。
在解决这类问题时，首先应明确题设中的已知条件和要说明的结论各是什么，然后根据题设中的条件与所要说明的结论，回忆、联想学过的知识中有哪些可以作为说理的依据，并通过分析法––––由果索因，或综合法––––由因导果，探索说理的方法与途径，根据不同的方法与途径，可得到不同的解法。
例：如图1，已知AB//EF ，∠=∠+∠AEC A C ，那么AB//CD 吗？说明你的理由。
图1思路分析：判断两条直线平行的依据除定义外，就是两直线平行的三种判定方法和平行公理，现从不同的途径分别说明如下：一. 利用同位角相等，两直线平行解法分析1：由于已知图形中没有同位角，因此需添加辅助线创造出运用同位角的条件，为此可延长CE 交AB 于M （如图2所示），则∠C 与∠4是一对同位角，只需说明∠C 与∠4相等即可。
图2答：AB//CD ，理由如下：辅助线作法如图2，因为AB//EF （已知）所以∠=∠∠=∠A 134，（平行线的性质）又∠=∠32（对顶角相等）所以∠=∠42（等式的性质）又∠=∠+∠=∠+∠AEC A C 12（已知）所以∠+∠=∠+∠A C A 4，即∠=∠C 4所以AB//CD （同位角相等，两直线平行）二. 利用内错角相等，两直线平行解法分析2：已知图形中没有内错角，同样可通过添加辅助线创造出运用内错角的条件。
辅助线作法如图2，则∠C 与∠5是一对内错角，只需说明∠C ＝∠5即可，仿照解法一不难得到，请试说明之。
三. 利用同旁内角互补，两直线平行解法分析3：原图形中没有同旁内角，为此作辅助线如图2，则图中∠C 与∠6是一对同旁内角，只需说明∠+∠=C 6180即可。
有兴趣者也可仿照解法一写出说理过程。
四. 利用平行公理，说明两直线平行（即若a//b ，b//c ，则a//c ）解法分析4：根据平行公理知，由题设AB//EF ，要证AB//CD ，只要说明EF//CD 即可，即说明图1中∠C ＝∠HEC 。
实例解析中学几何中的一题多解
ＡＤＥ Ａ Ｂ ＤＣ得 到 ＢＣ＝ＡＥ且 ＢＣ ｆＡＥ， ｆ 同
生 的学 习热情 ， 散 了学 生 的思维 能力 ， 发 加深
了对命 题深层次 的理解 ， 同时提 供 了学时 间合
作交 流与竞争 的平台 。这样 的课 堂 ， 师生均是
证 法 四 ： 证 法 二 的 启 发 ， 们 作 图 ５， 受 我 证
给学 生一定 的思考与 交流的时 间 ， 让大家运 用
自己以前学过 的知识 进行证 明， 证明方法不 局 限 ， 多越好 ， 越 最后教 师可以和学生 一起 ， 总结
同样 一件 事物 ， 不同 角度 看 会有 不 同的 效 从 果， 教学 也是 这样 ， 师要 善于 从不 同的 角度 教
实 例 演 绎 了一 题 多 解 的 绝 妙 所 在 。
关键词 ： 中学几何 一题 多解 实例 中图分 类号 ： ３ Ｇ６ ２ 文献标识码 ： Ａ “ 看成 岭 侧 成 峰 ， 横 远近 高低 各不 同 ” ，
文章编 号 ： ６ ３ ９ ９ （ Ｏ ９ ０ （） ０ ８ 一０ １ － ２ ０ ） ９ｃ－ ０ ｌ １ ７ ７５
一
在中学数学 教学 中， 很多一题 多解的例 时 已知 ＡＣＢ ０ 所 以四边形 ＡＥＢＣ是矩 有 ＝９ 。，
种享受 ， 种精神 与思 想的 陶冶 与洗礼 ， 一 何
形， 从而 证 明 Ｃ Ｄ＝％Ａ Ｂ。
证 法二 ： 图 ３ 切 出矩 形来 。过 点 Ｄ作 如 ，
乐而 不 为呢？
会其 中的乐趣和 收获的 喜悦 。
大不相 同。
Ａ
该命 题给 出后 ， 师不要 急于 讲解 ， 留 教 应
Ａ
试谈几何命题一题多解能力的培养
试谈几何命题一题多解能力的培养能力的培养是数学教学的首要任务之一，而能力的培养又是多方面的。
如“一题多解”的能力培养就是其中的一个重要方面，几何命题的思维与证明能力的培养就显得更重要了，有关这方面的论述已屡见不鲜。
下面，是我听了九年级一堂几何复习课的感想和教学实践的体会。
一、明确几何命题的“一题多解”对培养和提高学生的推理论证能力的作用众所周知，数学中的“一题多解”普遍认为是培养学生能力和开发学生智力的有效途径之一，对培养学生的发散性思维和创造性思维更见特效，还可以培养学生对学习数学的兴趣。
二、教会学生猜测猜测可导致发现。
事实上，解数学问题，人们总是猜测然后加以证明的，换句话说：所有证题者都要猜。
为此，教师在平面几何教学中，特别是在证题过程中不但要教会学生证明，更重要的是教会学生猜测，教会学生思考。
要达到这个目的，教师在教学过程中就应创设使学生积极思维、引发猜测的意境，点燃学生主动探索之火。
为此，教师在教学中不应立即把自己全部秘密都说出来，而是让学生去猜，让学生把各种的想法都说出来，哪怕是不合理的猜测也要鼓励和引导，不要制止，这样不仅能调动学生思维的主动性，还可以教会学生这种有益的思维方式。
进而开阔了学生的证题思路，培养了学生对问题进行探索、深究的能力。
三、教学程序的实施（一）教学时间的安排应得当本文开头已述，“一题多解”的教学确实有其优点，它不仅使学生开阔视野，培养学生从多条途径用多种方法去思考问题的能力，而且加强知识的纵向发展和横向联系。
但教学过程中应注意时间的安排，教学课时所限，不可能每一节课都是“一题多解”的教学。
在平常的教学中应着力抓好双基训练及定向思维能力的培养，笔者认为，在讲授完一章内容后，小结或期末复习开设“一题多解”的专题课较为适宜。
（二）范例的选择应恰到好处作为“一题多解”教学的例题，除了应具有一般例题的共性外，还应具有自身的独特之处：多线索、多头绪、知识点呈现丰富，灵活多变等特点而且深浅程度要适中。
论多视角下初中几何图形的一题多解
论多视角下初中几何图形的一题多解作者：纪银凤来源：《科学导报·学术》2020年第33期摘 ;要：随着新课程改革的不断推进，数学学科在学习的过程中占据着更加重要的地位，而且初中数学学习的过程中几何数学一直是一个重点内容，需要教师和学生付出更多的时间和精力。
并且在初中时期，学生的思维比较活跃，教师可以利用学生这一特点，充分挖掘学生的潜力，让学生在日常的学习中能够进行合理的运用，丰富学生的学习内容，开拓学生的视野和思路。
关键词：多视角、初中数学、几何图形、一题多解前言：在数学学习过程中，面对数学题目通常不只会有一种解题方法，这就需要学生自己开动思维进行思考，寻找不同的解决办法。
教师可以通过多角度的指引帮助学生对题目进行理解，从而引导学生寻找更多的解题方法。
一题多解的形式能够帮助学生更加全面的认识数学，并且掌握更加全面的方法，以此来帮助学生在之后的解题过程中能够更加高效、快捷、准确的解决相关问题，为自己之后数学的学习打下坚实的基础。
一、循循善诱，寻找多种解题方法在进行数学教学的过程中，教师要有足够的耐心引导学生对较为复杂的题目进行理解和领会。
在这一过程中需要教师循循善诱的教导，帮助学生在解题的过程中能够找到正确的思路，同时掌握更加多样的解题方法。
[1]在这一过程中是拉近教师与学生之间交流的过程，教师的耐心教导能够帮助学生认真仔细的发现自己存在的问题，同时帮助教师理清授课的思路，为学生提供更加清晰、优质的教学内容。
学生在这一过程中对题目的理解更加清晰，扎实了自己的所学内容，提高学生的学习能力和学习水平。
比如：我们在学习初中七年级数学北师大版第四章图形的初步认识中的立体图形的表面展开图时，这一部分的内容相对抽象，为了让学生更好地进行理解，我在讲课的过程中一步步地引导学生将立体的图形进行亲自实践操作得到表面展开图，运用各种方法加深学生的印象，让学生能够在头脑中形成一定的解题思路。
随后在解题的过程中不断的转换角度帮助学生理解所学的内容，锻炼学生的空间想象能力，打好基础，让学生在之后对几何题目时有更多的解题思路。
一题多解和一题多变在初中数学空间和图形教学的运用
数学是一门抽象性和逻辑性较强的学科，初中生在学习的过程中存在着较大的难度，要想很好地掌握该门课程并不容易。
很多初中生在学习中都觉得初中数学枯燥无味，很难有学习的兴趣。
但是，受到中考的影响必须要学习。
如何更好地学习初中数学成为每个初中生都关心的问题，这也是教师要解决的难题。
很多教师觉得学生要学好数学就要多做题，做的题多了就自然熟练了，所以学习成绩也会得到提高，于是很多教师在教学中都采用了题海战术。
多做题对学生的学习成绩提高确实有效果，但是长期这样做学生会产生厌烦心理，甚至会出现厌学情绪。
教师在教学中应充分利用一切可以利用的条件，通过联想和对比等方法，在教学中采用一题多变和一题多解的方式。
这种教学方式可以有效提高学生思维的灵活性和创造性，在提高学习成绩的同时提高学生的学习兴趣。
传统的数学教学，一般都将公式的推导和例题演练及习题练习等作为讲解重点，在本文中就一题多解和一题多变在初中教学中的运用谈一下自己的看法。
1在例题讲解中将例习题的潜在功能发掘出来对于课本上的例习题来说，都是经过仔细地筛选后设置好的，这些例习题具有很强的示范性和代表性，它们大都具有很丰富的内涵，对课本上的典型例习题进行深入探讨和研究，将其潜在内涵挖掘出来，采用一题多解和一题多变的方式，不仅可以将认识结构进行优化，将知识间的内在联系进一步沟通，同时还能将学生对教材的重视度提高，让学生能更好地钻研课本，培养数学学习的兴趣，提高自身的解题能力。
例一：在平行四边形ABCD 中，E 点和F 点分别是AB 边和CD 边上的点，AE=CF，求证：BF//DE。
这是初中三年级“平行四边形”一课上的例题。
第一，教师应从平行四边形的判定定理对学生进行启发和引导：从“平行四边形是两组对角分别相等的四边形”着手，先证明四边形BEDF 是平行四边形，然后再根据平行四边形的定义得出BF//DE。
第二，教师可以先让学生考虑一下平行四边形的判定定理“平行四边形是两组对边分别相等的四边形”，以此来证明四边形BEDF 是平行四边形，让学生口头进行判断，之后再让学生到黑板上进行演练。
小题大做思路尽显——初中数学一道几何题的多种解题方法
小题大做思路尽显——初中数学一道几何题的多种解题方法摘要：随着新课改不断地深化发展，无论是教师还是学生或者家长都充分认识到了培养学生的综合素质和学生的创新思维的重要意义。
尤其是初中阶段的学生，他们的思想也开始逐渐的趋于成熟，这个阶段是对学生拓展性思维培养的关键时期。
一题多解就是一种很好的培养学生创造性思维的方式。
本文针对初中数学一道几何题多种解题方法策略进行分析研究。
关键词：初中数学；几何体；一题多解近年来,在教育改革大背景下,教师逐渐认识到多种解题方法的学习不仅能使学生理解几何问题的分析过程,同时也能培养学生发散性思维,提升学生的理解能力。
同时对同一道几何题进行多种解法探究能使学生充分理解题意,帮助学生更好的回顾所学习的知识,让学生构建属于自己的知识体系,因此本文就针对一题多解进行详细的分析，全面的找到几何题中一题多解的具体策略，希望能够借助这样的方式实现学生能力全面的提升。
1.初中数学教学中训练一道几何题多种解题方法的意义1.有助于激发学生思维欲望无论是对于哪一个学习阶段的学生而言，兴趣都是最好的老师，学生对于所学习的内容拥有了兴趣，才能获得学习的动力，学习上才会变得更加的积极主动。
所以对于数学教师来说，应该去激发学生学习的积极性，那么借助这种利用一道几何题进行多种解题方法探寻的方式可以有效的激发学生的思维欲望，这对于进一步培养学生的学习兴趣，让学生获得学习动力有着重要的意义。
1.有助于帮助学生构建几何模型数学这门学科比较的抽象和具有着较强的逻辑性。
所以很多学生在学习的过程中会显得比较吃力。
尤其是遇到了几何相关的问题时，因为大部分学生缺乏几何空间想象力，所以学习上面的困难更大。
所以教师应该重点帮助学生解决的就是几何模型的构建，这样可以引导学生还原出脑海当中的几何模型。
教师可以借助相关的教具完成教学，或者利用生活中的一些几何体。
比如教师在讲解几何知识的时候可以从花店里买一些花泥，然后从不同角度对花泥进行切割，这样可以帮助学生完成对空间几何的设想，可以有效的激发学生对于几何知识的兴趣，培养学生的发散性思维。
案例3-一题多解,注意学生思维的发散
一题多解，注重学生思维的发散与发展在人教版七年级第三章《多姿多彩的图形》学习过程中，有这样一道题目：已知，如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠BOC=52°.求∠AOD的度数.ODAB C对于这道题目的解答方法，备课的时候我仅仅考虑了两种方法：第一种，是把∠AOD看成两个直角叠加之后再减去∠BOC（因为∠BOC被重复叠加了）的度数（即∠AOD=∠AOC﹢∠BOD﹣∠BOC=90°﹢90°﹣52°=128°）；第二种，是先求出∠AOB或者∠COD的度数，然后∠AOD就等于一个直角再加上∠AOB或者∠COD的度数（即∠AOD=∠BOD﹣∠BOC﹢∠AOC =90°﹣52°﹢90°=128°）.教师在备课的时候，之所以考虑这两种方法，是因为这两种方法浅显易懂，向学习有困难的学生比较好解释，不需要费太多的口舌。
可是等我站到讲台上讲到这道题目的时候，我的学生当堂就提出了其他的解法，其思维之灵活，思维之发散和开阔，都令我大吃一惊。
学生甲的看法：将OD反向延长得到射线OE，则∠AOE=∠BOC=52°.所以∠AOD=180°﹣∠AOE=180°﹣52°=128°.EODAB C学生说到这里的时候，我和其他同学都向他投去了赞许的目光，大家不由自主的鼓起掌来。
这种气氛很快感染了全班同学，大家的热情被调动起来了，我也趁热打铁的追问，“还有没有不一样的方法呢”？我看到班里的同学有的开始低头思考，有的则拿起铅笔开始画图，我就要求大家两个人一组开始讨论，希望得到更多的解法。
这个时候，一个平时不怎么喜欢回答问题的同学举起了手，我就赶快叫起了她。
学生乙的看法：认为根据“同角的余角相等”，∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，所以它们相等，都等于38°.然后可以用上面的方法求出∠AOD的度数。
初二三角形一题多解
初二三角形一题多解摘要：1.题目概述2.三角形的基本概念和性质3.初二三角形一题多解的解题方法4.举例说明5.总结正文：1.题目概述初二三角形一题多解，是指在初中二年级数学课程中，关于三角形题目的解答有多种方法。
三角形作为几何图形的基本元素，其相关题目在数学考试中占有很大比重，熟练掌握三角形的解题技巧对于学生的学习具有重要意义。
2.三角形的基本概念和性质三角形是由三条边和三个顶点组成的平面几何图形。
三角形的基本性质包括：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，以及三角形内角之和等于180 度。
掌握这些基本性质，对于解决三角形题目至关重要。
3.初二三角形一题多解的解题方法初二三角形一题多解的解题方法主要包括以下几种：（1）直接法：通过三角形的基本性质，利用已知条件直接求解。
（2）间接法：通过辅助线、角平分线、中线等构造新的图形，从而转化为容易解决的问题。
（3）代数法：利用三角形的边长关系，列方程求解。
（4）几何法：利用三角形的面积公式、勾股定理等几何公式求解。
4.举例说明例如，一个初二三角形题目：已知三角形ABC 的两边长分别为5 和9，角BAC 的大小为60 度，求第三边长和角ACB 的大小。
（1）直接法：根据三角形内角之和等于180 度，可求得角ACB 的大小为60 度。
再利用任意两边之和大于第三边的性质，求得第三边长为7。
（2）间接法：通过作辅助线，将三角形ABC 分为两个直角三角形，利用勾股定理分别求解，最后得出相同的结果。
（3）代数法：根据三角形的边长关系，列出方程，求解得到第三边长为7。
（4）几何法：利用三角形的面积公式，求解得到第三边长为7。
5.总结初二三角形一题多解的解题方法，可以帮助学生从不同角度理解和解决三角形题目，提高解题能力和技巧。
最新一道经典几何题的一题多解
一道经典几何题的一
题多解
一道经典几何题的一题多解
用多种方法解答同一道数学题，不仅能使我们更牢固地掌握所学的数学知识，还能使们更灵活地运用所学知识。
通过一题多解，分析、比较各种解法的优缺点，可以找到最佳的解题佳途径，从而培养我们创造性的思维能力。
经常做一题多解的练习，对巩固知识和解题能力大有裨益，是提高数学成绩的一条捷径。
以下举一个典型的例子。
问题：如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的点，∠AEP=90°，EP交正方形外角的平分线CP于点P，求证：AE=PE.
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中ꎬ由于初中生的个人思维还不是成熟的阶段ꎬ容易遇到问题出现沮丧㊁消极的情绪ꎬ因此教师对学生要进行适当的表扬与鼓励ꎬ并且帮助学生快速树立学习的信心.在这样一个轻松愉快的学习环境中ꎬ既可以使学生感受到在课堂的主体地位ꎬ又激发了学生学习数学的兴趣.并且在培养学生思维能力的同时也锻炼了学生的动手实践能力ꎬ有利于学生综合能力的提高ꎬ使学生积极地全身心投入到学习中ꎬ来提升学生自身的学习能力以及综合素养.
２.引导学习规律ꎬ提高学习效率
在初中探究式教学阶段ꎬ初中教师应该对学生在自主探究时引导学生发现问题㊁推理以及解决问题的规律ꎬ从而提高学生的学习技能以及学习效率.这样可以帮助学生构建更加全面的数学知识体系ꎬ培养学生观察㊁分析的能力.例如在苏科版九年级数学上册«圆锥的侧面积»探究式教学中ꎬ教师可以让学生进行自主探究学习圆锥的基本知识.并且让学生画出圆锥的侧面以及底面ꎬ来对之前有关圆的周长公式㊁面积公式等知识进行回顾.学生在教师的引导下ꎬ逐渐会发现学习的规律ꎬ发现求圆锥的侧面积就要结合扇形的面积公式进行验证.通过教师对学生进行公式的导入ꎬ使学生进一步探索.在学生进行探索的过程中ꎬ教师渗透数形结合的思想进行教学ꎬ从而有效地帮助学生知道运用数形结合思想去分析问题和解决问题.这样不仅提升了学生的学习技能ꎬ使学生掌握了自主探究学习时解决问题的规律ꎬ从而提高学生的学习效率ꎬ进而教师也有效地提高了教学质量.
３.进行评价反思
在初中数学探究式教学后ꎬ教师可以让学生进行自己评价ꎬ来思考在学习过程中发生的问题ꎬ以及对自己表现的反思.这是学生形成学习认知和思维的有效办法ꎬ教师对学生要给予适当的肯定ꎬ引导学生主动思考ꎬ可以给学生提供一些参考性意见ꎬ帮助学生克服在学习过程中遇到的困难.而且要对学生在得出结果时给予表扬与评价ꎬ当学生提出有创造性的解决问题的办法时ꎬ也要给予鼓励和支持.教师对学生的鼓励使学生有了前进的动力ꎬ学生对自己的评价反思ꎬ来提高自身的数学学习素养.这样为学生在以后的人生道路上奠定了良好的基础.
综上所述ꎬ初中数学探究式教学可以提高学生的数学素养以及综合能力ꎬ使学生感受到在课堂的主体地位.探究式教学在教师进行教学的过程中更加重视学生的主体地位以及学生对于知识的掌握ꎬ不仅提升了学生的学习能力ꎬ还提高学生的数学素养以及综合能力.㊀㊀
参考文献:
[１]戴回娟.关于初中数学探究式教学实验的思考[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０１７(２６).
[２]张传娣.初中数学探究式教学实验探究[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１７(１４).
[３]李伟蓉.初中数学探究性教学应注意的几个问题分析[Ｊ].教育现代化ꎬ２０１７(３１):２７６－２７７.
[责任编辑:李克柏]
论多视角下初中几何图形的一题多解
廖望清
(广东省深圳市平湖中学㊀５１８１１１)
摘㊀要:在大教育环境的影响下ꎬ初中的数学教学也发生了不同程度的变动ꎬ教学内容更为灵活宽泛㊁教学视角也更为丰富复杂㊁数学试题也呈现出开放性㊁探索性的特征.在此教育形式下ꎬ初中数学应当通过适当的引导教育ꎬ拓宽学生解题思路ꎬ让学生学会一题多解.
关键词:初中数学ꎻ多元视角ꎻ一题多解ꎻ教学策略
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)１７－００３０－０２收稿日期:２０１９－０３－１５
作者简介:廖望清(１９７８.１０－)ꎬ男ꎬ广东省梅州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.
㊀㊀随着新课改的不断深入ꎬ初中数学教学呈现出多元化的特征ꎬ传统的一题一解或是固定思维模式已经不能满足新教育形式下学生的成长成才需求ꎬ教师必须要以多个不同的教学视角与教学思路ꎬ拓展学生的数学思维ꎬ给学生多种学习可能性.下文结合具体的案例谈谈怎样
在多视角下实现初中几何图形的一题多解.㊀㊀
一㊁几何图形解题技巧
在学习几何类知识时ꎬ教师应当指导学生明确以下
几条解题技巧:(１)在解几何类图形时ꎬ适当的添加几条
０３
辅助线是十分有必要的.(２)在日常学习中ꎬ要多注重积累与运用ꎬ要学会从例题中总结解题思路与方法ꎬ例如学生想要真正掌握辅助线的运用ꎬ就需要在学习过程中收集几道有关三角形添加辅助线的典型例题ꎬ分析总结这几道题的解题思路.(３)对于几何类习题的解答ꎬ必须要学会反复推敲ꎬ举一反三ꎬ在以某一种思路解完题后ꎬ还需要换一种思路继续尝试解答ꎬ这样能让学生的逻辑思维得到锻炼.(４)要充分利用教材ꎬ吃透教材ꎬ对于教材中的概念以及公式㊁关系都要熟记于心ꎬ如果在解题过程中找不到思路ꎬ就要从基本知识入手ꎬ因为一切解题技巧都是从教材中的基础知识上衍生而来.(５)要学会培养兴趣ꎬ所谓兴趣是最好的老师ꎬ如果学生对这类题目没有探究的欲望ꎬ那么就不会有活的思维.
㊀㊀二㊁案例分析
有如下一道几何证明题:若三角形一边上的中线等于这条边的一半ꎬ则该三角形为直角三角形.该道题目中有以下已知条件:әＡＢＣ中ꎬＣＤ为ＡＢ上的中线ꎬ且ＣＤ是ＡＢ的一半ꎬ求证әＡＢＣ为直角三角形.
我们可以从一般思维角度进行求解ꎬ方法如下:ȵＡＤ＝ＢＤꎬ又ＣＤ＝１/２ＡＢꎬʑＡＤ＝ＢＤ＝ＣＤꎬ
ʑøＡ＝øＡＣＤꎬøＢ＝øＤＣＢ(等边对等角)ꎬ
则øＡ＋øＢ＝øＡＣＤ＋øＤＣＢ＝øＡＣＢ(等式的性质).
又ȵøＡＣＢ＋øＡ＋øＢ＝１８０ʎ(三角形内角和定理)ꎬ
即２øＡＣＢ＝１８０ʎ(等量代换)ꎬ
ʑøＡＣＢ＝９０ʎꎬ
即әＡＢＣ为直角三角形(直角三角形定义).
除此之外ꎬ该道题还有第二种解法:
过Ｄ点作ＤＥʅＢＣꎬ交ＢＣ于Ｅꎬ则øＤＥＢ＝９０ʎ.ȵＡＢ＝ＢＤꎬ又ＣＤ＝１/２ＡＢꎬ
ʑＡＤ＝ＣＤ＝ＢＤ.
ʑ在等腰әＡＤＣ中ꎬøＡ＝ø３(等边对等角)ꎬ
在等腰әＤＢＣ中ꎬø１＝ø２(等腰三角形底边上的高与顶角平分线互相重合).
ʑø３＋øＡ＝２øＡꎬøＢＤＣ＝ø１＋ø２＝２ø１.
又ȵøＢＤＣ＝øＡ＋ø３(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)ꎬ
ʑ２ø１＝２øＡ(等量代换)ꎬ
即ø１＝øＡ.
ʑＡＣʊＤＥ(同位角相等ꎬ两直线平行)ꎬ
øＡＣＢ＝øＤＥＢ＝９０ʎ(两直线平
行ꎬ同位角相等)ꎬ
ʑәＡＢＣ为直角三角形.
此外ꎬ我们还能找到第三种
解法:
延长ＣＤ到Ｅꎬ使ＤＥ＝ＣＤꎬ连接ＡＥ与ＢＥ.
ȵＡＤ＝ＢＤꎬ
ʑ四边形ＡＥＢＣ是平行四边形(两条对角线互相平分的四边形是平行四边形)ꎬ
ʑＣＤ＝１/２ＣＥ(平行四边形两条对角线互相平分).
又ＣＤ＝１/２ＡＢꎬ
ʑ１/２ＣＥ＝１/２ＡＢ(等量代换)ꎬ
即ＣＥ＝ＡＢ.
ʑ平行四边形ＡＥＢＣ是矩形(两
条对角线相等的平行四边形是矩形)
因此øＡＣＢ＝９０ʎ(矩形的四个角
都是直角)ꎬ
ʑәＡＢＣ为直角三角形(直角三角形定义).
㊀㊀三㊁多视角下初中几何图形的一题多解总结通过上述分析可知ꎬ多视角下初中几何图形的习题具备多种解法ꎬ当在解题过程中正向思维受阻时ꎬ教师就应当有效引导学生换一种思维继续尝试ꎬ如逆向思维ꎬ即逆证法ꎬ根据题目给出已知条件ꎬ分析解题思路ꎬ在分析过程中引导学生根据题目要求明确需要证明的结论ꎬ再从结论入手ꎬ利用反向思维一步步倒回式分析ꎬ分析过程中及时写下解题要点以及过程ꎬ一步一步推理最终获得答案.此外ꎬ在解题过程中我们不难发现ꎬ基础概念㊁理论是解几何题目的基础ꎬ无论学生运用哪种解题思维ꎬ都离不开基础的定理㊁公式.因此ꎬ在学习这类知识时ꎬ拓展思维ꎬ大胆求证是一方面ꎬ更重要的ꎬ还是要将教材中的基础知识做到融会贯通ꎬ这样才能进一步谈学习能力的提升.除此之外ꎬ一道几何类题目本身包含有多条线索ꎬ教师在引导学生进行分析思考时ꎬ一定要教会学生从题目中找线索ꎬ从题目中找思路与方法.最后ꎬ知识是静态的ꎬ题目是固定的ꎬ但是思维是不断活动变化着的ꎬ学生在拿到一道几何类题目时ꎬ一定不能恐惧ꎬ不能慌ꎬ要认识到题目就在这里ꎬ不会再改变ꎬ而我们却可以动用智慧㊁将它解出来.
数学几何类题目一题多解的案例是非常多的ꎬ教师应当在教学活动中给学生多举例ꎬ利用这类题目学生的逻辑思维以及各方面的解题技能ꎬ有效提升学生的解题能力.
㊀㊀参考文献:
[１]王洪.多视角下初中几何图形的一题多解[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１３(Ａ４):３－４.
[２]李荣.初中几何图形教学[Ｊ].数学教学ꎬ２００７(１１):８－１０ꎬ４０.
[３]刘四新ꎬ杨辉.初中 几何图形 入门教学的一些思考和实践[Ｊ].中国数学教育ꎬ２０１６(１７):１７－１９ꎬ２６.
[责任编辑:李克柏]
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