等差数列(2)039

等差数列（2）

备课时间：2014年10月21日 主备人： 葛彩峰 编号：039 一、考纲要求

等差数列 C （8个C 级考点之一！层次为掌握．掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强．．．．．的或较为困难．．．．的问题．） 二、复习目标

1．进一步掌握等差数列的定义、通项、前n 项和及性质，能熟练运用有关知识解决较为综合性的问题； 2．理解等差数列的的几个充要条件，掌握等差数列问题的解题思想与方法，提高运算、分析问题与解决问题的能力．

三、重点难点

重点：性质的灵活应用与等差数列问题的解题思想与方法． 难点：问题的理解、分析、转化与解决．

四、要点梳理

1．数列}{n a 是等差数列⇔1n n a a d +-=（d 为常数）⇔11n n n n a a d a a d ++=+⇔=-

⇔211n n n n a a a a +++-=-⇔122n n n a a a ++=+

2．数列}{n a 是等差数列⇔1_________n m n a a a a an b =+=+⇔=+（,a b 为常数）；

3．数列}{n a 是等差数列⇔1()2n n n a a S +=

⇔1(1)(1)

____22

n n n n n S na d d --=+

=- ⇔21___()2n d

S n a n =+-⇔2n S An Bn =+（,A B 为常数）⇔{}n S n

是等差数列．

n 为奇数，12

n n S na +=（12

n a +为中间项）

4．等差数列的单调性

0d >⇔等差数列}{n a 是递____数列，n S 有最小值，当10a >时，n S 的最小值为_____， 当10a <时，如何求n S 的最小值？_____________________________________________．

0d <⇔等差数列}{n a 是递____数列，n S 有最___值，当10a <时，n S 的最大值为_____，

当10a >时，如何求n S 的最大值？_____________________________________________．

0d =⇔等差数列}{n a 是常数数列

4．等差数列几个重要结论

①在等差数列}{n a 中，若,n m a m a n ==()m n ≠，则m n a +=_____________． ②在等差数列}{n a 中，若,n m S m S n ==()m n ≠，则m n S +=_____________． ③在等差数列}{n a 中，若()n m S S m n =≠，则m n S +=_____________．

5．解题技巧：三个数成等差数列，可设三个数为,,a d a a d -+；四个数成等差数列， 可设四个数为3,,,3a d a d a d a d --++．这样设具有对称性，给解题带来方便． 五、基础训练 1．在等差数列}{n a 中，若1237892,8a a a a a a ++=++=，则满足1211n n n a a a ++++=的

n 的值为 ．

2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2

110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m = ．

3．若一个凸多边形各个内角的度数组成公差为5

的等差数列，且最小角为120

，则凸多边形的边数n =____________．

4．在等差数列}{n a 中，前m 项（m 为奇数）的和为77，其中偶数项的和为33，且

118m a a -=，则n a =_____________．

5．设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足

56150S S +=，则d 的取值范围是_________________．

6．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为

4

1

的等差数列，则=-n m ___________．

六、典型例题 例1．（04年江苏）设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．

(1)若首项13

2

a =

，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ； (2)求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对一切正整数k 都有2

)(2k k S S =．

例2．（10年江苏）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列

{}n

S 是公差为d 的等差数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；

（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。求证：c 的最大值为2

9．

例3．（13年江苏）设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和．

记2

n

n nS b n c

=

+，N n *∈，其中c 为实数． (1) 若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈； (2) 若{}n b 是等差数列，证明：0c =．

例4．（12年南京三模）已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列，偶数项是公差为

2d 的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，121,2a a ==．

（1）若54516,S a a ==，求10a ；

（2）已知15815S a =，且对任意n N *

∈,有1n n a a +<恒成立，求证：数列{}n a 是等差数列；

（3）若1213(0)d d d =≠，且存在正整数m 、()n m n ≠，使得m n a a =．求当1d 最大时，数列{}n a 的通项公式．