2020年高考数学二轮复习选择填空狂练六等差等比数列理_编号_74178

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2020年高考数学(理)总复习：等差数列与等比数列(解析版)

2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一等差、等比数列的基本运算【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an与Sn这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a1和d(或q)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝2a3，且a4与2a7的等差中项为54，则S5等于()A．29B．31C．33 D．36【例2】．an是公差不为0的等差数列，满足a24＋a25＝a26＋a27，则该数列的前10项和S10等于()A．－10B．－5C．0D．5【例3】．已知递增数列{an}对任意n∈N*均满足an∈N*，aan＝3n，记bn＝a2•3n－1(n ∈N*)，则数列{bn}的前n项和等于()A．2n＋n B．2n＋1－1C.3n＋1－3n2D.3n＋1－32题组训练一等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a5＝4，S15＝60则a20等于()A．4B．6C．10D．122．在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则a6等于()A．8 B．6 C．4 D．33．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，设bn＝1＋log3an，那么数列{bn}的前15项和为()A．152 B．135 C．80 D．16题型二等差、等比数列的性质及应用【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{an}，{bn}满足bn＝log2an，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且a8•a2 008＝14，则b1＋b2＋b3＋…＋b2 015等于()A．log22 015 B．2 015 C．－2 015 D．1 0082．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10，S12＝130，则S8等于()A．－30 B．40C．40或－30 D．40或－503．等比数列{an}的首项为32，公比为－12，前n项和为Sn，则当n∈N*时，Sn－1Sn 的最大值与最小值之和为()A．－23 B．－712C.14D.56题组训练二等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的两根，则a1a17a9的值为()A．23 B．4 C．±22 D．±42．设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，－217<d<－19，则当Sn 取最大值时n的值为________．3．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 016＋a2 017＞0，a2 016•a2 017＜0，则使前n 项和Sn＞0成立的最大正整数n是()A．2 016B．2 017 C．4 032 D．4 033题型三等差、等比数列的综合问题【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．题组训练三等差、等比数列的综合问题已知数列{an}中，a1＝1，an•an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n －1，n∈N*.(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.题型四数列与其他知识的交汇【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a2 016OC→，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2 016等于()A．1 007B．1 008C．2 015D．2 016题组训练四数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为()A.12B.32C．1 D．－322．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得am•an ＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.256D.433．艾萨克•牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)的零点时给出一个数列xn满足xn＋1＝xn－′，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，数列xn为牛顿数列，设an＝ln xn－2xn－1，已知a1＝2，xn>2，则an的通项公式an＝________.【专题训练】一、选择题1．等比数列{an}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg an}的前10项和等于()A．2B．lg 50C．10D．52．在正项等比数列{an}中，已知a3a5＝64，则a1＋a7的最小值为()A．64 B．32C．16 D．83．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A．13 B．12C．11 D．104．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn等于()A．n(3n－1) ＋C．n(n＋1) ＋5．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S12－S6S6－7•S6－S3S3－8＝0，且正整数m，n满足a1ama2n＝2a35，则1m＋8n的最小值是()A.157B.95C.53D.756．数列an是以a为首项，b为公比的等比数列，数列bn满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n ＝1,2，…)，数列cn满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若cn为等比数列，则a＋b 等于()A.2 B．3 C.5 D．6二、填空题7．数列{an}的通项an＝n2•，其前n项和为Sn，则S30＝________.8．已知数列{an}满足a1＝2，且an＝2nan－1an－1＋n－1(n≥2，n∈N*)，则an＝________.9．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？()A．8日B．9日C．12日D．16日10．数列{logkan}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k>0，且k≠1.设cn＝anlg an，若{cn}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为________．三、解答题11．已知数列an的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－1＝3(an－1)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足an＋1＝an•bn，若bn≤t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一等差、等比数列的基本运算【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．29B ．31C ．33D ．36【解析】法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1qa 1q 4＝2a 1q 2a 1q 3＋2a 1q 6＝2×54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝31，故选B.法二：由a 2a 5＝2a 3，得a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，所以a 7＝14，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝a 2(1－q 5)1－q＝31，故选B.【答案】 B【例2】．{}a n 是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( )A ．－10B ．－5C ．0D ．5【解析】由题意，得a 24－a 27＝a 26－a 25，即()a 4－a 7()a 4＋a 7＝()a 6－a 5()a 6＋a 5，即－3d ()a 4＋a 7＝d ()a 6＋a 5，又因为d ≠0，所以a 4＋a 7＝a 6＋a 5＝0，则该数列的前10项和S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5()a 6＋a 5＝0.故选C.【答案】 C【例3】．已知递增数列{a n }对任意n ∈N *均满足a n ∈N *，aa n ＝3n ，记b n ＝a 2·3n －1(n ∈N *)，则数列{b n }的前n 项和等于( )A ．2n ＋nB ．2n ＋1－1C.3n ＋1－3n 2D.3n ＋1－32【解析】因为aa n ＝3n ，所以a 1≤3，若a 1＝1，那么a 1＝aa 1＝3×1＝3≠1矛盾，若a 1＝2，那么a 2＝aa 1＝3×1＝3成立，若a 1＝3，那么a 3＝aa 1＝3×1＝3＝a 1矛盾，所以a 2＝b 1＝2，当aa an ＝3a n ＝a 3n ，所以b n ＝a 2·3n －1＝a 3·2·3n －2＝3a 2·3n －2＝3b n －1，即b n b n －1＝3，数列{b n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以前n 项和为b 1(1－q n )1－q ＝3(1－33)1－3＝3n ＋1－32，故选D.【答案】 D题组训练一等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝4，S 15＝60则a 20等于( ) A ．4 B ．6 C ．10 D ．12 【解析】等差数列{a n }的前n 项和为S n ， ∵a 3＋a 5＝4，S 15＝60，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝415a 1＋15×142d ＝60，解得a 1＝12，d ＝12，∴a 20＝a 1＋19d ＝12＋19×12＝10.故选C.【答案】 C2．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6等于( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．3【解析】由等差数列的性质可知，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6(a 3＋a 9)＝6×2a 6＝12a 6＝36，∴a 6＝3.故选D.【答案】 D3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( )A ．152B ．135C ．80D ．16【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝30，a 2＋a 4＝S 4－(a 1＋a 3)＝90，所以公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，首项a 1＝301＋q 2＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝1＋log 33n＝1＋n ，则数列{b n }是等差数列，前15项的和为15×(2＋16)2＝135，故选B. 【答案】 B题型二等差、等比数列的性质及应用【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 8·a 2 008＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015等于( ) A ．log 22 015B ．2 015C ．－2 015D ．1 008【解析】 ∵数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，∴数列{a n }是等比数列，由a 8·a 2 008＝14，可得a 21 008＝14，即a 1 008＝12，∴a 1·a 2 015＝a 2·a 2 014＝…＝a 1 007·a 1 009＝a 21 008＝14，∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015＝log 2(a 1·a 2·…·a 2 015)＝log 2201521⎪⎭⎫⎝⎛＝－2 015.【答案】C2．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，S 12＝130，则S 8等于( ) A ．－30 B ．40 C ．40或－30D ．40或－50【解析】 ∵数列{a n }为等比数列且数列{a n }的前n 项和为S n ，∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8也构成等比数列．∴(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，∵S 4＝10，S 12＝130，各项均为正数的等比数列{a n }， ∴(S 8－10)2＝10·(130－S 8)，∴S 8＝40.故选B. 【答案】 B3．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56【解析】依题意得，S n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21121123n＝1－n⎪⎭⎫⎝⎛-21.当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n 的增大而减小，1＜S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n－1S n 随着S n 的增大而增大，0＜S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n ＜1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n ＜0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56、－712，其最大值与最小值之和为56－712＝312＝14，选C.【答案】 C题组训练二等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 3B ．4C ．±2 2D ．±4【解析】 ∵a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，∴a 3a 15＝12，a 3＋a 15＝7，∵{a n }为等比数列，又a 3，a 9，a 15同号，∴a 9＞0，∴a 9＝a 3a 15＝23，∴a 1a 17a 9＝a 29a 9＝a 9＝2 3.故选A.【答案】 A2．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，－217<d <－19，则当S n 取最大值时n 的值为________．【解析】因为等差数列{a n }的公差d 为负值，所以{a n }是递减数列．又a 1＝1，所以由a n ＝a 1＋(n －1)d >0得n <d －a 1d ，即n <1－1d ，因为－217<d <－19，所以192<1－1d <10，所以n ≤9，即当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0.所以当S n 取得最大值时n 的值为9.【答案】 93．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033【解析】因为a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，所以d ＜0，a 2 016＞0，a 2 017＜0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2＞0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.【答案】 C题型三等差、等比数列的综合问题【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．【解析】 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ＝8⎪⎭⎫ ⎝⎛-m )21(1， ∵m⎪⎭⎫⎝⎛21随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-481292n ，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ，则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)．题组训练三等差、等比数列的综合问题已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫ ⎝⎛21，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .【解析】 (1)∵a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫⎝⎛21，∴a n ＋1·a n ＋2＝121+⎪⎭⎫⎝⎛n ，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12所以{b n }是公比为12的等比数列．∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32.∴b n ＝32×121-⎪⎭⎫⎝⎛n ＝32n . (2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列． ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝[]21121121211211-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫⎝⎛-nn ＝3－32n .题型四数列与其他知识的交汇【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 016OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 2 016等于( )A ．1 007B ．1 008C ．2 015D ．2 016 【解析】 ∵A 、B 、C 三点共线∴AB →＝λAC →∴OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)，OB →＝(1－λ)OA →＋λOC → 又∵OB →＝a 1·OA →＋a 2 016OC →，∴a 1＝1－λ，a 2 016＝λ ∴a 1＋a 2 016＝1∴S 2 016＝2 016(a 1＋a 2 016)2＝1 008，∴选B.【答案】 B题组训练四数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－32【解析】因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3，即log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 【答案】 B2．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.43【解析】由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m＋n －2＝16a 21，即有m ＋n－2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎪⎭⎫⎝⎛+n m 41＝16⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++5426154m n n m m n n m ＝32，当且仅当4m n ＝n m ，即n ＝2m ＝4时取得最小值32.【答案】 A3．艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )的零点时给出一个数列{}x n 满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{}x n 为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{}a n 的通项公式a n ＝________.【解析】 ∵ 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ，b ＝－3a . ∴f (x )＝ax 2－3ax ＋2a ，则f ′(x )＝2ax －3a .则x n ＋1＝x n －ax 2n －3ax n ＋2a 2ax n －3a ＝x n －x 2n －3x n ＋22x n －3＝x 2n －22x n －3，∴x n ＋1－2x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－2x 2n －22x n －3－1＝x 2n －2－2(2x n －3)x 2n －2－(2x n －3)＝212⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n x x ，则数列a n 是以2为公比的等比数列，又∵a 1＝2 ，∴ 数列{}a n 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a n＝2·2n－1＝2n.【答案】2n【专题训练】一、选择题1．等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg a n}的前10项和等于()A．2B．lg 50C．10D．5【解析】∵等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，∴a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝10，∴数列{lg a n}的前10项和S＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝lg a1a2…a10＝lg 105＝5，故选D【答案】 D2．在正项等比数列{a n}中，已知a3a5＝64，则a1＋a7的最小值为()A．64 B．32C．16 D．8【解析】在正项等比数列{a n}中，∵a3a5＝64，∴a3a5＝a1a7＝64，∴a1＋a7≥2a1a7＝264＝2×8＝16，当且仅当a1＝a7＝8时取等号，∴a1＋a7的最小值为16，故选C.【答案】 C3．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A．13 B．12C．11 D．10【解析】设等比数列为{a n}，其前n项积为T n，由已知得a1a2a3＝2，a n a n－1a n－2＝4，可得(a1a n)3＝2×4，a1a n＝2，∵T n＝a1a2…a n，∴T2n＝(a1a2…a n)2＝(a1a n)(a2a n－1)…(a n a1)＝(a1a n)n ＝2n＝642＝212，∴n＝12.【答案】 B4．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n (3n －1)B.n (n ＋3)2C ．n (n ＋1)D.n (3n ＋1)2【解析】依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，选C.【答案】 C5．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( ) A.157 B.95 C.53D.75【解析】 ∵{a n }是等比数列，设{a n }的公比为q ， ∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3，∴q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2(负值舍去)．又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31·2m＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎪⎭⎫⎝⎛+n m 81(m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ×8m n 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C. 【答案】 C6．数列{}a n 是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{}b n 满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( )A. 2 B ．3 C. 5D ．6【解析】由题意知，当b ＝1时，{c n }不是等比数列，所以b ≠1.由a n ＝ab n －1，则b n ＝1＋a (1－b n )1－b ＝1＋a 1－b －ab n 1－b ，得c n ＝2＋nb a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11－a 1－b ·b (1－b n )1－b ＝2－ab (1－b )2＋1－b ＋a 1－b n ＋abn ＋1(1－b )2，要使{}c n为等比数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧2－ab(1－b )2＝0，1－b ＋a1－b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选B.【答案】 B 二、填空题7．数列{a n }的通项a n ＝n 2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3cos22ππn n ，其前n 项和为S n ，则S 30＝________. 【解析】由题意可知，a n ＝n 2·cos 2n π3，若n ＝3k －2，则a n ＝(3k －2)2·⎪⎭⎫⎝⎛-21＝－9k 2＋12k －42(k ∈N *)；若n ＝3k －1，则a n ＝(3k －1)2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-21＝－9k 2＋6k －12(k ∈N *)；若n ＝3k ，则a n ＝(3k )2·1＝9k 2(k ∈N *)，∴a 3k －2＋a 3k －1＋a 3k ＝9k －52，k ∈N *，∴S 30＝9－52＋90－522×10＝470.【答案】 4708．已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.【解析】由a n ＝2na n －1a n －1＋n －1，得n a n ＝n －12a n －1＋12，于是n a n －1＝12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111n a n (n ≥2，n ∈N *)．又1a 1－1＝－12，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1nan 是以－12为首项，12为公比的等比数列，故n a n －1＝－12n ，∴a n ＝n ·2n2n －1(n ∈N *)．【答案】 n ·2n2n －19．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日【解析】由题可知，良马每日行程a n 构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程b n 构成一个首项为97，公差为－0.5的等差数列，则a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，b n ＝97－0.5(n －1)＝97.5－0.5n ，则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250，又∵数列{a n }的前n 项和为n 2×(103＋13n ＋90)，数列{b n }的前n 项和为n 2×(97＋97.5－0.5n )，n 2(103＋3n ＋90)＋n2(97＋97.5－0.5n )＝2250，整理得：25n 2＋775n －9 000＝0，即n 2＋31n －360＝0，解得：n ＝9或n ＝－40(舍)，即九日相逢．故选B.【答案】B10．数列{log k a n }是首项为4，公差为2的等差数列，其中k >0，且k ≠1.设c n ＝a n lg a n ，若{c n }中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为________．【解析】由题意得log k a n ＝2n ＋2，则a n ＝k2n ＋2，∴a n ＋1a n ＝k 2(n ＋1)＋2k2n ＋2＝k 2，即数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列，c n ＝a n lg a n ＝(2n ＋2)·k 2n ＋2lg k ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *恒成立，即(n ＋1)lg k <(n ＋2)·k 2·lg k 对一切n ∈N *恒成立；当k >1时，lg k >0，n ＋1<(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立；当0<k <1时，lg k <0，n ＋1>(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立，只需k 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛++21n n min .∵n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2单调递增，∴当n ＝1时，n ＋1n ＋2取得最小值，即⎪⎭⎫⎝⎛++21n n min ＝23，∴k 2＜23，且0<k <1，∴0<k <63.综上，k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,0∪(1，＋∞)．【答案】 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,0∪(1，＋∞) 三、解答题11．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．【解】 (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3；当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9；当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21.(2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3. 由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)，所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n ＋3＝(a 1＋3)×2n －1，a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23a n ·b n ，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．【解】 (1)由已知得S n ＝3a n －2，令n ＝1，得a 1＝1，又a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3a n ＋1－3a n ⇒a n ＋1＝32a n ，所以数列{a n }是以1为首项，32为公比的等比数列，所以a n ＝123-⎪⎭⎫ ⎝⎛n .(2)由a n ＋1＝⎪⎭⎫⎝⎛23a n ·b n ，得b n ＝1a n log 32a n ＋1＝(23)n －1log 32(32)n ＝n ·123-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)·n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32－n ·132-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ＝2n －13n (2－n )，所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝43，所以t ≥43.。

2020年高考数学二轮复习：06 等差数列与等比数列

2020年高考数学二轮复习：06 等差数列与等比数列一、单选题（共12题；共24分）1.在等差数列中，，则数列的公差为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【考点】等差数列的通项公式2.已知数列为等比数列，，数列的前项和为，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和3.已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=（）A. 32B. 31C. 30D. 29【答案】B【考点】等比数列的前n项和，等比数列的性质4.数列的通项公式，其前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】A【考点】函数的周期性，等差数列的前n项和5.已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】 D【考点】等差数列的前n项和，等比数列的性质6.已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和，，则的值为（）A. -100B. -90C. 90D. 110【答案】 D【考点】等差数列的前n项和，等比数列的性质7.在中，角、、所对的边分别为、、，若、、成等差数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【考点】等差数列的性质，任意角三角函数的定义，正弦定理8.在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（）A. B. C. D.【答案】B【考点】等比数列的前n项和，等比数列的性质9.在等差数列中，已知，则该数列前9项和（）A. 18B. 27C. 36D. 45【答案】 D【考点】等差数列的前n项和，等差数列的性质10.等比数列的公比,则等于（）A. B. -3 C. D. 3【答案】C【考点】等比数列的性质11.已知数列满足，且是函数的极值点，设，记表示不超过的最大整数，则（）A. 2019 B. 2018 C. 1009 D. 1008【答案】 D【考点】利用导数研究函数的单调性，等比数列的通项公式，数列的求和12.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有，，．据此，可得正项等比数列中，（）A. B. C. D.【答案】C【考点】等比数列的通项公式二、填空题（共5题；共5分）13.已知数列为正项等差数列，其前2020项和，则的最小值为________. 【答案】4【考点】基本不等式在最值问题中的应用，等差数列的前n项和14.若数列｛｝的前项和，则此数列的通项公式________．【答案】【考点】等差数列的通项公式15.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则________．【答案】【考点】数列的概念及简单表示法，数列递推式16.已知等差数列的前项和是，，且成等比数列，则________. 【答案】【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的性质17.我国古代庄周所著的《庄子天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去.若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为，则________【答案】【考点】数列的概念及简单表示法，归纳推理三、解答题（共4题；共35分）18.已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求和：．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d.因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以a n=2n−1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q.因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.从而【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合19.已知数列满足，且时，，，成等差数列．（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和．【答案】（1）证明：由题意，当时，，，成等差数列，则，即，，又，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1），知，即，．【考点】等比关系的确定，数列的求和，等差数列的性质20.已知公差为的等差数列中，，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，且，求的值．【答案】（1）解：因为成等比数列，所以，即，将代入得，又，解得,所以（2）解：=则【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的性质21.已知等差数列的首项为1，公差为1，等差数列满足．（1）求数列和数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）解：由条件可知，，.，，，.由题意为等差数列，，解得，（2）解：由（1）知，，①则②①-②可得，.【考点】等差数列的通项公式，数列的求和，等差数列的性质。

2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析

2020 年江苏高考数学第二轮复习精典试题
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以

2020高考数学二轮复习专题--数列课件及练习

2020高考数学二轮复习专题--数列课件及练习2020高考数学二轮复习专题--数列课件及练习等差数列、等比数列的基本问题1.(2020江苏溧水中学月考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和,若a1=1,ak+a4=0,则k=.?2.(2020江苏苏州高三上学期期中)已知在等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则(a_7"-"a_9)/(a_3"-"a_5)=.?3.(2020江苏南通中学高三考前冲刺练习)已知等差数列{an}的公差d=3,Sn是其前n 项和,若a1,a2,a9成等比数列,则S5的值为.?4.(2020南通高三第二次调研)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3,S9,S6成等差数列,且a8=3,则a5=.?5.设数列{an}的首项a1=1,且满足a2n+1=2a2n-1与a2n=a2n-1+1,则数列{an}的前20项和为.?6.(2020江苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))已知公差为d的等差数列{an}的前n 项和为Sn,若S_10/S_5=4,则(4a_1)/d=.?7.已知Sn为数列{an}的前n项和,若a1=2,且〖〖S_n〗_+〗_1=2Sn,设bn=log2an,则1/(b_1b_2)+1/(b_2b_3)+…+1/(b_10b_11)的值是.?8.(2020扬州高三第三次调研)已知实数a,b,c成等比数列,a+6,b+2,c+1成等差数列,则b的最大值为.?9.(2020扬州高三第三次调研)已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=(n+5)/2(n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn.(1)求a1+a3的值;(2)若a1+a5=2a3.①求证:数列{a2n}为等差数列;②求满足S2p=4S2m(p,m∈N*)的所有数对(p,m).10.(2020苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))已知等差数列{an}的首项为1,公差为d,数列{bn}的前n项和为Sn,若对任意的n∈N*,6Sn=9bn-an-2恒成立.(1)如果数列{Sn}是等差数列,证明数列{bn}也是等差数列;(2)如果数列{b_n+1/2}为等比数列,求d的值;(3)如果d=3,数列{cn}的首项为1,cn=bn-bn-1(n≥2),证明数列{an}中存在无穷多项可表示为数列{cn}中的两项之和.?答案精解精析1.答案10解析S9=S4,则9a1+36d=4a1+6d,a1+6d=a7=0,则a4+a10=2a7=0,则k=10.2.答案4解析等比数列中奇数项符号相同,a3>0,则a5>0,又a4a6=〖a_5〗^2=16,则a5=4,从而a7=8,a9=16,则(a_7"-"a_9)/(a_3"-"a_5)=("-"8)/("-"2)=4.3.答案65/2解析由题意可得a1a9=〖a_2〗^2,则由a1(a1+24)=(a1+3)2,解得a1=1/2,则S5=5×1/2+(5×4)/2×3=65/2.4.答案-6解析由S3,S9,S6成等差数列可得S3+S6=2S9,当等比数列{an}的公比q=1时不成立,则q≠1,(a_1"("1"-"q^3")")/(1"-"q)+(a_1"("1"-"q^6")")/(1"-"q)=2(a_1"("1"-"q^9")")/(1"-"q),化简得2q6-q3-1=0,q3=-1/2(舍去1),则a5=a_8/q^3=-6.5.答案2056解析由题意可得奇数项构成等比数列,则a1+a3+…+a19=(1"-"2^10)/(1"-"2)=1023,偶数项a2+a4+…+a20=(a1+1)+(a3+1)+…+(a19+1)=1033,故数列{an}的前20项和为2056.6.答案2解析由〖S_1〗_0/S_5=4得〖S_1〗_0=4S5,即10a1+45d=4(5a1+10d),则(4a_1)/d=2.7.答案19/10解析由〖〖S_n〗_+〗_1=2Sn,且S1=a1=2,得数列{Sn}是首项、公比都为2的等比数列,则Sn=2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,a1=2不适合,则an={■(2","n=1","@2^(n"-"1)","n≥2",")┤故bn={■(1","n=1","@n"-"1","n≥2",")┤所以1/(b_1b_2)+1/(b_2b_3)+…+1/(b_10b_11)=1+1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/(9×10)=1+(1"-"?1/2)+(1/2"-"?1/3)+…+(1/9"-"?1/10)=2-1/10=19/10.8.答案3/4解析设等比数列a,b,c的公比为q(q≠0),则a=b/q,c=bq,又a+6=b/q+6,b+2,c+1=bq+1成等差数列,则(b/q+6)+(bq+1)=2(b+2),化简得b=3/2"-" (q+1/q),当b最大时q<0,此时q+1/q≤-2,b=3/2"-"(q+1/q)≤3/4,当且仅当q=-1时取等号,故b的最大值为3/4.9.解析(1)由条件,得{■(a_2"-"a_1=3",①"@a_3+a_2=7/2",②")┤②-①得a1+a3=1/2.(2)①证明:因为an+1+(-1)nan=(n+5)/2,所以{■(a_2n"-"a_(2n"-"1)=(2n+4)/2",③"@a_(2n+1)+a_2n=(2n+5)/2",④")┤④-③得a2n-1+a2n+1=1/2.于是1=1/2+1/2=(a1+a3)+(a3+a5)=4a3,所以a3=1/4,又由(1)知a1+a3=1/2,则a1=1/4.所以a2n-1-1/4=-(a_(2n"-"3)"-"?1/4)=…=(-1)n-1(a_1"-"?1/4)=0,所以a2n-1=1/4,将其代入③式,得a2n=n+9/4.所以a2(n+1)-a2n=1(常数),所以数列{a2n}为等差数列.②易知a1=a2n+1,所以S2n=a1+a2+…+a2n=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2n+a2n+1)=n^2/2+3n.由S2p=4S2m知p^2/2+3p=4(m^2/2+3m).所以(2m+6)2=(p+3)2+27,即(2m+p+9)(2m-p+3)=27,又p,m∈N*,所以2m+p+9≥12且2m+p+9,2m-p+3均为正整数,所以{■(2m+p+9=27","@2m"-"p+3=1",")┤解得p=10,m=4,所以所求数对为(10,4).10.解析(1)证明:设数列{Sn}的公差为d",∵6Sn=9bn-an-2,①6Sn-1=9bn-1-an-1-2(n≥2),②①-②得6(Sn-Sn-1)=9(bn-bn-1)-(an-an-1),③即6d"=9(bn-bn-1)-d,所以bn-bn-1=(6d"""+d)/9(n≥2)为常数,所以{bn}为等差数列.(2)由③得6bn=9bn-9bn-1-d,即3bn=9bn-1+d,因为{b_n+1/2}为等比数列,所以(b_n+1/2)/(b_(n"-"1)+1/2)=(3b_(n"-"1)+d/3+1/2)/(b_(n"-"1)+1/2)=(3(b_(n"-"1)+1/2)+d/3"-"1)/(b_(n"-"1)+1/2)=3+(d/3"-"1)/(b_(n"-"1)+1/2)(n≥2)是与n无关的常数,所以d/3-1=0或bn-1+1/2为常数.当d/3-1=0时,d=3,符合题意;当bn-1+1/2为常数时,在6Sn=9bn-an-2中,令n=1,则6b1=9b1-a1-2,又a1=1,解得b1=1,所以bn-1+1/2=b1+1/2=3/2(n≥2),此时3+(d/3"-"1)/(b_(n"-"1)+1/2)=3+(d/3"-"1)/(3/2)=1,解得d=-6.综上,d=3或d=-6.(3)证明:当d=3时,an=3n-2.由(2)得数列{b_n+1/2}是以3/2为首项,3为公比的等比数列,所以bn+1/2=3/2×3n-1=1/2?3n.即bn=1/2(3n-1).当n≥2时,cn=bn-bn-1=1/2(3n-1)-1/2(3n-1-1)=3n-1;当n=1时,也满足上式,所以cn=3n-1(n≥1).设an=ci+cj(1≤i。

2020新高考数学二轮冲刺数列全归纳(基础—中档—拔高题全解析)

叠加得到 an

a1

2(1 2n1) 1 2

2n

2
，所以 an

2n
1 （ n

2）n
1 时也成立，
所以 an 2n 1 （ n N * ）
（3）由（2）可知 4b11 4b2 1 4b3 1 4bn 1 (an 1)bn ，
即 4(b1b2 bn n) 2nbn ，故 2(b1 b2 bn ) 2n nbn
由①-②得 an1 4an 4an1 ，所以 an1 2an 2an 4an1 2(an 2an1) .当 n 1 时，
S2 4a1 2 6 a1 a2 a2 5 ，所以 a2 2a1 5 2 3 0,
所以
an1 2an an 2an1
1 )n1 2

(1)n1
3 2n
例 2.在等差数列 an 中，公差 d 0 ，a2 是 a1 与 a4 的等比中项，已知数列 a1 ，a3 ， ak1 ， ak2 ， akn ，成等比数列，求数列 kn的通项 kn
解析依题意可得 a22 a1a4 ，所以 (a1 d )2 a1(a1 3d ) ，由 d 0 可得 a1 d ，则 an nd ，由已知得 d ,3d , k1d , k2d ,, knd , 是等比数列。
②若 an

a1q n1

a1 q
qn

c qn
，则数列an 为等比数列（用于判断）；
（3）中项公式法：
①若 2an an1 an1 （ n 2, n N * ），则数列 an 为等差数列（用于证明）； ②若 an2 an1an1 （ n 2, n N * ），则数列 an 为等比数列（用于证明）；

高考数学第二轮复习数列练习

高考数学第二轮复习数列练习一、本章知识结构：二、高考要求1．理解数列的有关概念：了解递推公式是给出数列的一种方法：并能根据递推公式写出数列的前n项.2．理解等差（比）数列的概念：掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.3．了解数学归纳法原理：掌握数学归纳法这一证题方法：掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法.三、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位：一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题：分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容：对基本的计算技能要求比较高：解答题大多以考查数列内容为主：并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题：在解题过程中通常用到等价转化：分类讨论等数学思想方法：是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势（1）数列是特殊的函数：而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具：三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验：而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力：近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。

（3）加强了数列与极限的综合考查题3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。

等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛：且十分灵活：主动发现题目中隐含的相关性质：往往使运算简洁优美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25：可以利用等比数列的性质进行转化：a2a4=a32：a4a6=a52：从而有a32+2aa53+a52=25：即（a3+a5）2=25.4.对客观题：应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题：就会发现：除了常规方法外：还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：①借助特殊数列.②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质：可更加准确、快速地解题：这种思路在解客观题时表现得更为突出：很多数列客观题都有灵活、简捷的解法5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高：特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说：考题中选择、填空题解法灵活多变：而解答题更是考查能力的集中体现：尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查：应引起我们足够的重视.因此：在平时要加强对能力的培养。

第六篇数列02-2020年高考数学二轮复习选填题专项测试(文理通用)(解析版)

2020高考数学选填题专项测试02（数列）（文理通用）第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·广东高三期末）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为（）A ．36B ．32C ．28D ．24【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．【详解】16256256()6()3()22a a a a S a a ++===+＝36. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，还考查了推理能力与计算能力．2．（2020·陕西高三）设数列{a n }是正项等比数列,S n 为其前n 项和,已知a 2a 4=1,S 3=7,则公比q =( )A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】C 【解析】【分析】结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解.【详解】由a 2a 4=1，S 3=7，可知公比q ≠1，则()241311171a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，联立方程可得，q =12或a =﹣13 (舍)，【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．（2020·福建高三模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，则10S 的值为（）A ．－110B ．－90C ．90D ．110【答案】D 【解析】【分析】根据等比中项的定义得2739a a a =，结合公差可求出首项，从而可得答案．【详解】∵7a 是3a 与9a 的等比中项，∴2739a a a =，又数列{}n a 的公差为2-，∴2111(12)(4)(16)a a a -=--，解得120a =，∴20(1)(2)222n a n n =+-⨯-=-，∴1101010()5(202)1102a a S +==⨯+=，故选：D ．【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，考查等比中项的应用，属于基础题．4．（2020·定远县育才学校高三）在等比数列{}n a 中，182n a a +=，3281n a a -=，且前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】【分析】由等比数列的性质得出181n a a =，结合182n a a +=，得出1a 和n a 的值，并设等比数列{}n a 的公比为q ，由11211n n a a qS q-==-，求出q 的值，然后利用等比数列的通项公式可求出n 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得：13281n n a a a a -==，又182n a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程得1x =或81x =.若等比数列{}n a 递增，则11a =，81n a =， 121n S =Q ，118112111n a a q qq q--==--，解得3q =，18113n -∴=⨯，解得5n =；若等比数列{}n a 递减，则181a =，1n a =，121n S =Q ，18112111n a a q q q q --==--，解得13q =，118113n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，解得5n =. 则此数列的项数n 等于5，选：B.【点睛】本题考查等比数列项数的计算，涉及等比数列性质和等比数列前n 项和的计算，解题的关键就是求出等比数列的公比，考查运算求解能力，属于中等题.5．（2020·四川高三月考）已知等差数列}{n a 满足1592a a a π++=，则28cos()a a +=（）A ．12-B ．C ．12D 【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的性质求得28a a +的值，由此求得28cos()a a +的值. 【详解】由于等差数列}{n a 满足15955232,3a a a a a ππ++===，所以28cos()a a +=()541cos 2coscos cos 3332a ππππ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查诱导公式，属于基础题.6．（2020·山西高三开学考试）已知数列{}n a 的通项公式为()370.9nn a n =+⨯，则数列{}n a 的最大项是（）A ．5aB ．6aC ．7aD ．8a【答案】C 【解析】【分析】先讨论出数列{}n a 的单调性，根据单调性得出答案. 【详解】由1310913710n n a n a n ++=⨯>+，解得203n <，又*n N ∈，所以6n ≤.于是127a a a <<<L ，当7n ≥时，11n na a +<，故78a a >>L ，因此最大项为7a .故选：C 【点睛】本题考查求数列的最大项和数列的单调性，属于中档题.7．（2020·山西高三月考）公差不为零的等差数列{}n a 中，367,,a a a 成等比数列，则46a a =（） A ．72- B ．73C ．213-D ．137【答案】B 【解析】【分析】设{}n a 的公差为()d d ≠0，根据367,,a a a 成等比数列，可得2637a a a =，化简求得1a d ，的关系再求解.【详解】设{}n a 的公差为()d d ≠0，由367,,a a a 成等比数列，可得2637a a a =，即2111(5)(2)(6)a d a d a d +=++，即1213a d =-，故4613+6713103a d d a d d -==-+.故选：B【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的基本运算，还考查运算求解的能力，属于基础题.8. （2020·福建高三月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=，972S =.数列{}n b 的首项为3，且13n n b b +=-，则210020a b =（）A ．3-B ．13C ．3D ．13-【答案】D【解析】【分析】由等差数列可得132195122210993672a a a a d S a a d +==+=⎧⎨==+=⎩,解得141a d =⎧⎨=⎩,即可求得10a ,再由13n n b b +=-可得数列{}n b 是周期数列,求得2020b ,即可求解. 【详解】由题,因为132195122210993672a a a a d S a a d +==+=⎧⎨==+=⎩,所以141a d =⎧⎨=⎩,即()413n a n n =+-=+,所以1013a =,又13b =,且13n n b b +=-,则21b =-,33b =,所以数列{}n b 是周期为2的数列,则202021b b ==-,所以20201013a b =-,故答案为:13-【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用,考查数列的周期性的应用,考查运算能力.9. （2020·四川省泸县第二中学高三）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若637S S =-，则4332a a a a +=+（） A ．2- B ．2C ．1 或2-D ．3【答案】A 【解析】【分析】先根据637S S =-求出等比数列{}n a 的公比q ，然后化简4332a a a a ++可得结果．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ．①当1q =时，637S S =-不成立．②当1q ≠时，由637S S =-得61317(1)(1)11a a q q q q =--⨯---，整理得317q +=-，即38q =-，解得2q =-．所以43333222(1)2(1)q q a a a a q a a a a ++===+=-+．【点睛】利用公式求等比数列的前n 项和时，在公比q 不确定的情况下，一定要注意对公比取值的分类讨论，即解题时分为1q =和1q ≠两种情况求解，考查计算能力，属于基础题．10. （2020·江苏高三开学考试）已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若366,8S S ==-，则9S =____.A ．42B ．24C ． 42-D ．24-【答案】C 【解析】【分析】由3S ，63S S -，96S S -成等差数列，代入366,8S S ==-可得9S 的值.【详解】由等差数列的性质可得：3S ，63S S -，96S S -成等差数列，可得：633962()S S S S S -=+-，代入366,8S S ==-，可得：942S =-。

2020届高考数学二轮复习疯狂专练6等差数列与等比数列(理)

疯狂专练6 等差数列与等比数列1．在等差数列{}n a中，若24a=，42a=，则6a=（）A．1-B．0C．1D．62．设nS是等差数列{}na的前n项和，12a=，533a a=，则9S=（）A．72-B．54-C．54D．723．正项等比数列{}n a的公比为2，若21016a a=，则9a的值是（）A．8B．16C．32D．644．三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2，第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列{}(1,2,3)na n=，则3a的所有取值中的最小值是（）A．1B．4C．36D．495．在正项等比数列{}n a中，369lg lg lg6a a a++=，则111a a的值是（）A．10000B．1000C．100D．106．在等差数列{}n a中，若4681012120a a a a a++++=，则10122a a-的值为（）A．20B．22C．24D．287．已知数列{}n a是等差数列，且1472πa a a++=，则35tan()a a+的值为（）A B．C D．-8．已知数列{}n a满足130n na a++=，243a=-，则{}na的前10项和等于（）A．106(13)---B．101(13)9-C．103(13)--D．103(13)-+9．已知数列}{na为等比数列，若4610a a+=，则9373712aaaaaa++的值为（）A．10B．20C．60D．10010．已知{}n a是等差数列，公差d不为零，前n项和是n S，若3a，4a，8a成等比数列，则（）A．1a d>，4dS>B．1a d<，4dS<C．1a d>，4dS<D．1a d<，4dS>一、选择题11．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13()n n a S n +=∈*N ，则6S =（）A ．44B ．54C ．61(41)3-D ．51(41)3-12．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数m 、n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a < 恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．12B ．23C ．32D ．213．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a +=． 14．等差数列{}n a 中，若124a a +=，91036a a +=，则10S =．15．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则5a =． 16．已知数列{}n a 是递增的等比数列，149a a +=，238a a =，则数列{}n a 的前n 项和等于．二、填空题1．【答案】B【解析】由已知4222a a d =+=，解得1d =-，所以6420a a d =+=． 2．【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由于533a a =，即11143(2)2a d a d d a +=+⇒=-=-，所以919899236(2)542dS a ⨯=+=⨯+⨯-=-． 3．【答案】C【解析】因为{}n a 是正项等比数列，且21016a a =，所以64a ==，则33964232a a q ==⨯=．4．【答案】A【解析】设这三个实数分别为9，9d +，92d +（其中d 为公差），又9，11d +，292d +成等比数列，则2(11)9(292)d d +=+，解得14d =-或10，当14d =-时，数列{}n a 的三项依次是9，3-，1；当10d =时，数列{}n a 的三项依次为9，21，49，故3a 的所有可能取值中最小的是1． 5．【答案】A【解析】因为{}n a 为等比数列且各项都为正数，则有336966lg lg lg lg 3lg 6a a a a a ++===，所以2610a =，则有2111610000a a a ==．6．【答案】C【解析】由等差数列性质知468101285120a a a a a a ++++==，故824a =，从而1012111822(9)(11)724a a a d a d a d a -=+-+=+==． 7．【答案】A【解析】1472πa a a ++=，所以432πa =，42π3a =，3544π23a a a +==， 354πtan()tan3a a +== 8．【答案】C答案与解析一、选择题【解析】∵130n n a a ++=，∴113n n a a +=-，∴数列{}n a 是以13-为公比的等比数列，∵243a =-，∴14a =，∴10101014[1()]33(13)113S ---==-+．9．【答案】D【解析】因为{}n a 是等比数列，故有2174a a a =，2396a a a =，所以22217373944664622()100a a a a a a a a a a a a ++=++=+=．10．【答案】B【解析】∵等差数列}{n a ，由已知3a ，4a ，8a 成等比数列， ∴d a d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+， ∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，11．【答案】B【解析】由13n n a S +=，得13n n n S S S +-=，即14n n S S +=，又111S a ==，∴所以数列{}n S 是首项为1公比为4的等比数列，556144S =⨯=．12．【答案】A【解析】已知对任意正整数m 、n ，都有m n m n a a a +=⋅，取1m =，则有111113n n n n a a a a a a ++=⋅⇒==，故数列{}n a 是以13为首项，以13为公比的等比数列，则11(1)11133(1)123213n n nS -==-<-，由于n S a <对任意n ∈*N 恒成立，故12a ≥，即实数a 的最小值为12．13．【答案】20【解析】依题意3812910a a a d +=+=，所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=． 14．【答案】100【解析】根据等差数列的性质，把两条件式相加得12910110402()a a a a a a =+++=+，二、填空题1101010()5201002a a S +==⨯=．15．【答案】103-【解析】由已知可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以123a =，1d =-，所以52104(1)33a =+⨯-=-． 16．【答案】21n - 【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得11a =，48a =或18a =，41a =，又因为数列{}n a 是递增的等比数列，所以11a =，48a =，即3418a q a ==，所以2q =，即数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---．。

2020高三高考数学二轮复习专题训练+06+Word版含答案

说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列。

ξ
8、关于取球的随机变量的值和概率
例：袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色。

确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率。

分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成。

解：设集合，其中为“取到的球为红色的球”，为“取到的球为白
色的球”，为“取到的球为黑色的球”。

},,{321x x x
M =1x 2x 3x 我们规定：，即当时，，这样，我们确定就是一个随机变量，它的自变是量取值不是一个实数，而是集合中的一个元素，即，而随机变量本身的取值则为1、2、3三个实数，并且我们很容易求得分别取1、
2、3三个值的概率，)3,2,1()(===i i x
i ξ ξ i x x =i x =)(ξ )(x ξ x M 即
说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果。

2020届高考数学(理)二轮强化专题卷(6)数列

（6）数列1、九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用n a 表示解下*(9,N)n n n ∈≤个圆环所需的移动最少次数，{}n a 满足11a =,且1121,22,n n n a a a ---⎧=⎨+⎩n 为偶,则解下4个圆环所需的最少移动次数为( ) A.7B.10C.12D.222、已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a L a n n n N n++++=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n a 的前n 项和为n T ，若*()1n n T n N n λ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为( )A.1[,)4+∞B.1(,)4+∞ C.3[,)8+∞ D.3(,)8+∞3、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和333,3S a ==,则1011a =( ) A.2019B. 1010C. 2018D. 10114、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知9772,10S a ==,则（）A .3n a n =+B .24n a n =-C .21722n S n n =+ D .2n S n n =-5、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4553a a =，则42SS 的值为（）A.65B.103C.145 D.536、已知等比数列{}n a 满足123a a +=,236a a +=,则7a 等于( ) A.64 B.81C.128D.2437、等比数列{}n a 中,若259,243,a a ==则{}n a 的前4项和为( )A. 81B. 120C. 168D. 1928、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342aa =，11a =，则4S =（）A.31B.15C.8D.79、设函数()y f x =的定义域为D ，若任取12,x x D ∈，当122x x +=时，12()()2f x f x b +=,则称点(,)a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数3()sin 1f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()()()20152014...20142015f f f f -+-+++=( )A. 0B. 4030C. 4028D. 403110、数列234534561,,,,...2222，12n n +，…的前n 项之和为n S ，则n S 的值等于（）A.32nn -B.1132n n -+- C.332nn +-D.432nn +-11、在等差数列{}n a 中，已知38a a 10，+=则573a a ___+= 12、设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44Sa =______________.13、已知等比数列{}n a 的首项为32,公比为12-,前n 项和为n S ,则当*n N ∈时, 1n n S S -的最大值与最小值之和为__________. 14、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*)n a n N ∈,则2009S 的值为______．15、若数列{}n a 的前项和为1,0n S a >且22(N )n n n S a a n *=+∈．(1).求数列{}n a 的通项公式； (2).若0n a >，令121(1)(1)n n n n n b a a -+=-+，求数列{}n b 的前项和n T ，并比较n T 与1的大小关系.答案以及解析1答案及解析：答案：A 解析：2答案及解析：答案：D 解析：3答案及解析：答案：A 解析：4答案及解析：答案：AC解析：因为972S =,所以5972a =,即58a =.因为710a =,所以75175a a d -==-,则()553n a a n d n =+-=+，()()1243172222n nn a a n n S n n +++===+5答案及解析：答案：C解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由4253a a =，得11353a d a d +=+，得12a d =，则4121461425S a d S a d +==+.故选C.6答案及解析：答案：A解析：由2312()36a a q a a q +=+==,得2q =,由121(1)3a a a q +=+=,得11a =,∴67264a ==,故选A.7答案及解析：答案：B解析：公式532a 243q 27a 9===,3q =,21a a 3q ==,443(13)S 12013-==-8答案及解析：答案：B 解析：9答案及解析：答案：D 解析：10答案及解析：答案：C 解析：11答案及解析：答案：20 解析：12答案及解析：答案：15解析：设数列{}n a 的首项为1a ，则14411(1)1521812a S a -==-，341111()28a a a ==， ∴ 14411581518a S a a ==13答案及解析：答案：14解析：由等比数列前n 项和公式可得112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令n t S =,当n 为奇数时, 112nn S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减,故132n S S ≤=当n 为偶数时, 112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增, 234n S S ≥=则3342n S ≤≤,即3342t ≤≤令1()f t t t =-,易知函数()f t 单调递增,则75()126f t -≤≤ 故1n n S S -的最大值与最小值之和为7511264-+=14答案及解析：解析：15答案及解析：答案：(1).当1n =时，21112S a a =+，则11a = 当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，即11()(1)0n n n n a a a a --+--=，由10a >可得11n n a a -=+或10n n a a -+= 则n a n =或1(1)n n a -=-. (2).0n a >111212111(1)(1)(1)()(1)(1)1n n n n n n n n b a a n n n n ---++=-=-=-++++11111111(1)()()...(1)()223341n n T n n -∴=+-+++-+-++111(1)1n n -=+-+ 当n 为奇数时,1111n T n =+>+当n 为偶数时，1111n T n =-<+解析：。

2020届高考数学二轮复习疯狂专练6等差数列与等比数列文

疯狂专练6 等差数列与等比数列1．在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则6a =（） A ．1-B ．0C ．1D ．62．已知数列}{n a 为等差数列，且12a =，1332=+a a ，则=++654a a a （） A ．45B ．43C ．42D ．403．正项等比数列{}n a 的公比为2，若21016a a =，则9a 的值是（） A ．8B ．16C ．32D ．644．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（） A ．172B ．192C ．10D ．125．在正项等比数列{}n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是（） A ．10000B ．1000C ．100D ．106．若三个正数a ，b ，c成等比数列，其中5a =+5c =-b =（） A ．1BC ．2D ．47．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（） A ．13B ．13-C ．19D ．19-8．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则5a 的值为（） A ．2B ．4C ．6D ．89．设正项等比数列}{n a 的前n 项和为n S 且11n na a +<，若3520a a +=，2664a a =，则4S =（） A ．126B ．252C ．120D ．6310．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1143a a a +=（） A ．2B ．3C ．5D ．7一、选择题11．若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且8320S S -=，则11S 的值为（） A ．33B ．41C ．44D ．5212．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数m 、n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为（） A ．12B ．23C ．32D ．213．在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a +=．14．数列{}n a 中12a =，12n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n =．15．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若1a ，3a 是方程2540x x -+=的两个根，则6S =．16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，则{}n a 的通项公式为．1．【答案】B【解析】由已知，解得，所以． 2．【答案】C【解析】∵，∴，∵，∴，． 3．【答案】C【解析】因为是正项等比数列，且，所以，4222a a d =+=1d =-6420a a d =+=2313a a +=11213a d a d +++=12a =3d =45613123212342a a a a d ++=+=⨯+⨯={}n a 21016a a =64a ==答案与解析二、填空题一、选择题则． 4．【答案】B【解析】由已知得，，，∴，解得， ∴． 5．【答案】A【解析】因为为等比数列且各项都为正数，则有，所以，则有． 6．【答案】A【解析】因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以． 7．【答案】C【解析】由，得，即，解得，又，所以． 8．【答案】B【解析】∵成等比数列，∴，∴，化简得，故，从而． 9．【答案】C【解析】设正项等比数列的公比为，且， ∵，，解得，，∴．又，所以，又，解得，∴． 33964232a a q ==⨯=1d =844S S =11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯112a =1011199922a a d =+=+={}n a 336966lg lg lg lg 3lg 6a a a a a ++===2610a =2111610000a a a ==a bc (2551b ac ==+-=0b >1b =32110S a a =+1232110a a a a a ++=+23119a a q a ==29q =4519a a q ==119a =136,,a a a 2316a a a =2111(2)(5)a d a a d +=+14a d =12d =512442a =+⨯={}n a q 101n na q a +<=<3520a a +=263564a a a a ==316a =54a =214q =01q <<12q =23116a a q ==164a =44164[1()]2120112S -==-10．【答案】C【解析】由，，成等比数列得，∴，∴， ∵，∴，． 11．【答案】C【解析】由，解得，又．12．【答案】A【解析】已知对任意正整数，，都有，取，则有，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，由于对任意恒成立，故，即实数的最小值为．13．【答案】10【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==，即55a =，所以285210a a a +==． 14．【答案】【解析】∵，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，即，解得． 15．【答案】【解析】由方程，又是递增数列，可得，，所以，，． 16．【答案】或1a 2a 4a 1224a a a =2111()(3)a d a a d +=+21d a d =0d ≠1d a =1141113111315523a a a a d a a a d a +++===+83456786520S S a a a a a a -=++++==64a =611111611211()114422a a a S a ⨯+====m n m n m n a a a +=⋅1m =111113n n n n a a a a a a ++=⋅⇒=={}n a 131311(1)11133(1)123213n n n S -==-<-n S a <n ∈*N 12a ≥a 12612a =12n n a a +={}n a 222(12)12612n n S -==-264n =6n =632540x x -+={}n a 11a =34a =22a =2q =616(1)1263112n a q S q --===--3n a =21n a n =-二、填空题【解析】设的公差为，由，得，故或．由，，成等比数列得．又，，，故．若，则，所以，此时，不合题意；若，则，解得或．因此的通项公式为或．{}n a d 232S a =2223a a =20a =23a =1S 2S 4S 2214=S S S 12S a d =-222S a d =-4242S a d =+2222(2)()(42)a d a d a d -=-+20a =222d d =-0d =0n S =23a =2(6)(3)(122)d d d -=-+0d =2d ={}n a 3n a =21n a n =-。

2020届高三理科数学二轮复习讲义：模块二专题三数列第一讲等差数列、等比数列 Word版含解析.doc

专题三数列第一讲等差数列、等比数列高考导航对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解．2．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题．3．对等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节.1．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97[解析] 设{a n }的公差为d ，由等差数列前n 项和公式及通项公式，得⎩⎨⎧ S 9＝9a 1＋9×82d ＝27，a 10＝a 1＋9d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，d ＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －2，∴a 100＝100－2＝98.故选C.[答案] C 2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 23＝a 2·a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2或d ＝0(舍去)，又a 1＝1，∴S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.故选A.[答案] A3．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.[解析] ∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴a 2＝2S 1＋1，即S 2－a 1＝2a 1＋1，又∵S 2＝4，∴4－a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝1.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1.解法一：S n ＋1＝3S n ＋1，由S 2＝4，可求出S 3＝13，S 4＝40，S 5＝121.解法二：S n ＋1＝3S n ＋1，则S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12.又S 1＋12＝32，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列， ∴S n ＋12＝32×3n －1，即S n ＝3n －12，∴S 5＝35－12＝121.[答案] 1 1214．(2017·绵阳三诊)已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1a n的等差中项． (1)求证：数列{S 2n }为等差数列；(2)设b n ＝(－1)na n，求{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)证明：由题意知2S n ＝a n ＋1a n，即2S n a n －a 2n ＝1.①当n ＝1时，由①式可得S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入①式得2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1，整理得S 2n －S 2n －1＝1.∴{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知S 2n ＝n ，则S n ＝n ，∴a n ＝S n －S n －1＝n －n －1.∴b n ＝(－1)na n ＝(－1)n n －n －1＝(－1)n (n ＋n －1)．当n 为奇数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)＝－n ；当n 为偶数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n －1＋n －2)＋(n ＋n －1)＝n .∴{b n }的前n 项和T n ＝(－1)n n .考点一等差、等比数列的基本运算1．等差数列的通项公式及前n 项和公式a n ＝a 1＋(n －1)d ；S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 2．等比数列的通项公式及前n 项和公式a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 等差数列{a n }中，S 6＝(a 1＋a 6)×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，得d ＝4，故选C.[答案] C2．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏[解析] 由题意可知，由上到下灯的盏数a 1，a 2，a 3，…，a 7构成以2为公比的等比数列，∴S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，∴a 1＝3.故选B. [答案] B3．(2017·湖北省武汉市武昌区高三调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( )A ．－2B ．－1 C.12 D.23[解析]由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝32，将q＝32代入S2＝3a2＋2中得a1＋32a1＝3×32a1＋2，解得a1＝－1，故选B.[答案] B4．(2017·东北三校联考)已知等差数列{a n}满足a2＝3，a5＝9，若数列{b n}满足b1＝3，b n＋1＝ab n，则{b n}的通项公式为________．[解析]由题意可得等差数列{an }的公差d＝a5－a25－2＝2，所以a n＝a2＋(n－2)d＝2n－1，则b n＋1＝ab n＝2b n－1，b n＋1－1＝2(b n－1)，又因为b1－1＝2，所以数列{b n－1}是首项为2、公比为2的等比数列，所以b n－1＝2n，b n＝2n＋1.[答案]bn＝2n＋1等差(比)数列的运算注意两点(1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素．(2)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．【易错提醒】等比数列前n项和公式中若不确定q是否等于1应分q＝1或q≠1两种情况讨论．考点二等差、等比数列的性质[对点训练]1．(2017·广州六校联考)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64[解析] 因为a 7＋a 9＝2a 8＝16，所以a 8＝8.因为S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝992，所以a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A.[答案] A2．(2017·太原模拟)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.18[解析] 由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.又a 1＝14，所以q 3＝a 4a 1＝8，即q ＝2，故a 2＝a 1q ＝14×2＝12.[答案] C3．(2017·合肥模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝1，S 10＝3，则S 15的值是________．[解析] ∵数列{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，∴(S 10－S 5)2＝S 5·(S 15－S 10)，4＝1×(S 15－3)，得S 15＝7.[答案] 7[探究追问] 3题中条件不变，如何求S 100的值？[解析] 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 5＝1，S 10＝3，所以S 100可表示为等比数列1,2,4，…的前20项和，故S 100＝1×(1－220)1－2＝220－1. [答案] 220－1等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．考点三等差、等比数列的判定与证明1．证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)．2．证明数列{a n }是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； (2)利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．[解] (1)证明：由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.由S n ＋1＝4a n ＋2①知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2②①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，∴{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．(2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，a n ＝(3n －1)·2n －2.等差、等比数列的判定与证明应注意的两点(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式，但不能作为证明方法．(2)a n ＋1a n＝q 和a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)都是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．[对点训练]若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n－1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.热点课题11 函数与方程思想在数列中的应用[感悟体验]1．(2017·西安统测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝13，S 3＝S 11，则S n 的最大值为( )A ．49B ．28C ．－49或－28D ．28或49[解析] 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数性质，知当n ＝7时，S n 最大，且最大值为49.[答案] A2．(2017·河南郑州二中期末)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( )A ．4B ．3C ．23－2 D.92[解析] ∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴(1＋2d )2＝1＋12d .得d ＝2或d ＝0(舍去) ∴a n ＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2， ∴2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2.令t ＝n ＋1，则2S n ＋16a n ＋3＝t ＋9t －2≥6－2＝4当且仅当t ＝3，即n ＝2时，∴2S n ＋16a n ＋3的最小值为4.故选A. [答案] A。

2020届高考数学(理)二轮高分冲刺专题六：数列(4)等差数列及其前n项和(B)+Word版含答案

数列（4）等差数列及其前n 项和（B ）1、已知{}n a 为等差数列135246105,99++=++=a a a a a a ，则20a 等于（） A. -1B. 1C. 3D.72、若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且36=S ，14=a ，则公差d 等于（） A.1B. 53C. 2-D. 33、已知等差数列{}n a ,若2510,1a a ==,则{}n a 的前7项和等于( ) A. 112B.51C. 28D. 184、我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金棰,长五尺.斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金棰,长五尺,一头粗,一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤; 在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金棰由粗到细是均匀变化的,则中间三尺的重量为（） A.6 斤B.9 斤C.10 斤D.12 斤5、在等差数列{}n a 中，51340+=a a ，则7891011++++=a a a a a （） A ．40B ．60C ．80D ．1006、在等差数列{}n a 中，若4612a a ＋＝，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则9S 的值为( ) A ．48 B ．54 C ．60 D ．667、三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列{}n a ，则3a 的所有取值中的最小值是（） A. 49B. 36C. 4D. 18、等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且210816,11,a a a +==则7S =( ) A.30B.35C.42D.569、已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若150S >，160S <，则n S 最大值是( ) A ． 1SB.7SC ． 8SD ． 15S10、若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1111S =,则468a a a ++=( ) A.2B.32C.6D.311、已知数列{}n a 中，732,1a a ==，且数列1{}1n a +为等差数列，则5a = . 12、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=，则n S 的最大值是__________．13、已知0,0a b >>,并且111,,2a b成等差数列,则9a b +的最小值为__________ 14、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若12017a =-,20142008620142008S S-=,则2017S =__________.15、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且346,20a S == 1.求数列{}n a 的通项公式; 2.设1n nb S =,求数列{}n b 的前n 项和答案以及解析1答案及解析：答案：B 解析：2答案及解析：答案：C解析：等差数列前n 项和公式为11(1)2=+-n S na n n d ，∴11633(31)2=⨯+⨯⨯-a d ，解得2=-d ，故选C.3答案及解析：答案：C解析：设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意,得52123,1352a a d a a d -==-=-=-,则717(71)771379282S a d ⨯-=+=⨯-⨯=，故选C.4答案及解析：答案：B解析：由题意知金棰由粗到细每一尺构成一个等差数列，且首项154,2,a a ==则等差511,512a a d -==--所以312413,a a d =+=-=所以234339a a a a ++==，故选B.5答案及解析：答案：D 解析：6答案及解析：答案：B 解析：7答案及解析：答案：A解析：试题分析:设首项为9的等差数列分别为9,9,92d d ++ (其中d 为公差),又9,11,292d d ++程等比数列,则()()2119292d d +=+,解得14d =-或10,当14d =-时,数列{}n a 的三项依次为9,-3,1;当10d =时,数列{}n a 的三项依次为9,21,49, 故3a 的所有可能取值中最小的是1,选A.8答案及解析：答案：B解析：设数列首项为1,a 公差为d ,由210816,11,a a a +==得1121016,711,a d a d +=+=解得113,,22a d ==71763735222S ⨯=⨯+⨯=,故选B.9答案及解析：答案：C 解析：10答案及解析：答案：D 解析：11答案及解析：答案：75解析：12答案及解析：答案：12 解析：13答案及解析：答案：16 解析：14答案及解析：答案：-2017 解析：15答案及解析：答案：1.设等差数列{}n a 的公差为d ,则由已知,得11264(41)4202a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩,解得2d =,12a =故2n a n =;2.由已知可得(22)(1)2n n n S n n +==+ 111()(1)1n b n n n n ∴==-++,11111111(1)()()()12231111n nT n n n n n n ∴=-+-++-+-=-=-+++L 解析：。

2020高考数学课标二轮：专题能力训练等差数列与等比数列含解析

答案:D
解析:因为a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,
所以a18-2a14=-a10=-10.故选D.
2.在各项均为正数的等比数列{an}中,若log2(a2·a3·a5·a7·a8)=5,则a1·a9=()
A.4B.5C.2D.25
答案:A
解析:由题意得log2(a2·a3·a5·a7·a8)=log2 =5log2a5=5,所以a5=2.所以a1·a9= =4.故选A.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则d>0,
an=dn+(a1-d),Sn= dn2+ n.
对任意n∈N*,恒有
an·Sn=2n3-n2,则[dn+(a1-d)]· dn2+ n =2n3-n2,
即[dn+(a1-d)]· =2n2-n.
∴
∵d>0,∴
∴an=2n-1.
(2)∵数列{anbn}的前n项和为An=5+(2n-3)·2n-1(n∈N*),
A.440B.330C.220D.110
答为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为 .第n组的和为 =2n-1,前n组总共的和为 -n=2n+1-2-n.
由题意,N>100,令 >100,得n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则SN- 应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.
又a1=2,∴S101= =2.
4.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()

2020届高考数学二轮复习之等差等比数列

高考数学二轮复习之等差等比数列一、等差、等比数列基本量求法及运用二、数列通项公式求法：累加、累乘、倒数、构造、取对、迭代、分类讨论注意：(1)若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *.(2)在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎨⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎨⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.例题：1、(2018·广州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为____________．2、(2018·全国卷Ⅰ改编)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________.3、设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝____________.4、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1×a n ＝2n (n∈N *)，则a 10＝________．5、已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k a k ＋1<0，则正整数k ＝________．6、设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为___________．7、(累乘法)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.8、(构造法)在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．9、(2018·百校联盟联考)已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．10、数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12<a n<1，a 1＝35，则数列的第2 019项为________．11、设数列{a n }，a n ＝nanb ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，则此数列( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增后减D ．先减后增12、已知数列{an}满足a1＝2,2anan ＋1＝a2n ＋1，设bn ＝an －1an ＋1，则数列{bn}是( ) A ．常数列 B ．摆动数列 C ．递增数列D ．递减数列13、已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．14、已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围为________．15、在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n (n ∈N *)．(1)讨论数列{a n }的增减性； (2)求数列{a n }的最大项．16、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n(n∈N *)．若p －q ＝5，则a p －a q ＝________． 17、已知数列{an}满足a2＝2a1＝2，nan ＋2是(2n ＋4)an ，3(2n2＋4n)的等差中项，则数列{an}的前n 项和为________．18、在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n .若S 7＝21，则a 4的值为________． 19、若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 4＋a 10＝20，则S 13＝________．20、(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )21、已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．22、已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．23、已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )24、(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( ) 25、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．26、(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n 最大时，n ＝( )27、在等差数列{an}中，a1＝－2 015，其前n 项和为Sn ，若S1212－S1010＝2，则S2 019的值等于( )28、已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f(x)f(y)＝f(x ＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an ＋1)＝1f (－2－an )(n ∈N*)，则a2 016的值为________．29、(2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 的前11项和为( )30、(2019·广州高中综合测试)等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n .若a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝( )31、(2018·辽宁五校协作体模考)已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)在(1)中，设b n ＝S nn ＋c ，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列． 32、(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．33、数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列．34、(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．35、(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )36、(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )37、(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )38、已知首项与公比相等的等比数列{a n }满足a m a 2n ＝a 24(m ，n ∈N *)，则2m ＋1n的最小值为( ) 39、在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )40、(2019·郑州一测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.41、已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .42、(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．43、(2017·北京卷)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1) 求{a n }的通项公式；(2) 求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.44、(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1) 求{a n }的通项公式；(2) 求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．45、(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4. (1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；(2)求{a n }和{b n }的通项公式． 46、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：a 1a n ＝S 1＋S n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫log 2 a n 32的前n 项和为T n ，试问当n 为何值时，T n 取得最小值？并求出最小值．47、设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n ，n 为偶数，a n＋14，n 为奇数，记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，…，(1)求a 2，a 3与b 1，b 2，b 3(用a 表示)．(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．48、已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )49、设S n ，T n 分别是数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知对于任意n ∈N *，都有3a n ＝2S n ＋3，数列{b n }是等差数列，且T 5＝25，b 10＝19.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b nn (n ＋1)，求数列{c n }的前n 项和R n ，并求R n 的最小值．50、已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .。

2020年高考数学二轮精品专练试卷等差数列、等比数列理(含2020试题)

等差数列、等比数列、选择题1. (2020•江西咼考）等比数列x, 3x + 3,6 x+ 6，…的第四项等于（)A.—24B. 0C.12D. 24【解析】由题意知（3x+ 3）2= x（6x+ 6）,即x2+ 4x+ 3= 0,解得x =- 3或x=—1（舍去），所以等比数列的前3项是一3，—6，—12,则第四项为一24.【答案】A2. （2020 •安徽高考）设S为等差数列｛a n｝的前n项和，S8= 4a3, a? = —2,则a9=（）A. —6B.—4C.—2D. 2【解析】借助等差数列前n项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到a9的值.由等差数列性质及前n项和公式，得S= 8a i+ a s""2~ =4( a3+ a6)= 4a3，所以a6= 0.又a7= —2，所以公差d= —2，所以a9= a7+ 2d=—6.【答案】A3. （2020 •济南模拟）在等差数列｛a n｝中，a1=— 2 013，其前n项和为S,若涪―需2,则S 013的值等于（A. —2 012B.—2 013C. 2 012D. 2 013【解析】12X 1182= 12a1+ —d, Sw= 10a1 +10X9—T d，S2 所以石12X 1112a1+ 2 d 11 S10 9= a1+l d，石=a1+ 2d，所以善-茅d= 2,所以$ 013= 2 013 a1+2 013 X 2 0122 d= 2 013（—2 013 + 2 012）=—2 013.【答案】B1 n4. （2020 •潍坊模拟）已知a n= 3，把数列｛a n｝的各项排列成如下的三角形状,A 1 93A 31 B. 3 92 1 D . 3112 【解析】前9行共有1 + 3 + 5+-+ 17 =1+ 17"= 81 项, 所以A (10,12)为数列中的第81 +12= 93项，所以a 93= 13 93,选 A.【答案】 A5. (2020 •福建高考)已知等比数列｛a n ｝的公比为q ,记b n = a mn -1)+ 1 + a mn -1) +2+ …+ a mn-1) + m, C n = a mn - 1) + 1 • a mn - 1) + 2 .............. a mn -1) + m(m n € N )，则以下结论一定正确的是 ( )A. 数列｛b n ｝为等差数列，公差为B. 数列｛b n ｝为等比数列，公比为 2mqC. 数列｛C n ｝为等比数列，公比为 2qm D. 数列｛C n ｝为等比数列，公比为 mmq【解析】计算出b n , C n ,并结合等差、等比数列的概念判定数列的类型.n( n -1)mn -1) +1mn -1) +m —1b n = aq "+ ag m +•••+ ag "mMn — 1)一 m- 1、mn -1)1- q =aq (1 + q +…+ q ) = ag• --,1— qb n + 1b nm n —1aqmnm1- qaq ・ 1 - q m =q , 1-q••• ｛b n ｝是等比数列，公比为 q mm n - 1)mn -1) +1C n = aq • ag mn -1)+m-1…・ag=也竺卄1-1) +rf• ｛c n ｝是等比数列，公比为 q ：a?记A (m n )表示第m 行的第n 个数，则A (10,12)=()⑵ 证明：假设｛a n + 1｝是等比数列，则对任意的 k € N+,二、填空题6. （2020 •辽宁高考）已知等比数列｛a n ｝是递增数列，$是｛a n ｝的前n 项和.若a i , a 3 是方程x 2 — 5x + 4 = 0的两个根，贝V 86= ________________________ .【解析】因为a i , a 3是方程x 2— 5x + 4= 0的两个根，且数列｛a n ｝是递增的等比数列，1 — 26所以 a i = 1, a 3 = 4, q = 2,所以 86== 63. 1 — 2【答案】 637. （2020 •西城模拟）我们把满足a n + a n —1= k （n 》2, k 是常数）的数列叫做等和数列, ｛a n ｝的首项为1,公和为3,则该数列前2 014项的和即詐 210,所以 a .= 210= 1ON.【答案】 1 024 三、解答题9. （2020 •陕西高考）设｛a n ｝是公比为q 的等比数列. （1）推导｛a n ｝的前n 项和公式；⑵ 设q z 1,证明数列｛a n +1｝不是等比数列.【解】⑴设｛a n ｝的前n 项和为S n ,当 q = 1 时，S n = ai + a 1 + …+ a 1 = na ；2n — 1当 q ^l 时，8n = a + ag + aq +•••+ aq ，① qS = ag + ag 2 + …+ ag n ，②常数k 叫做数列的公和.若等和数列【解析】1, n 为奇数由题意知a n =【答案】 3 021& (2020 •烟台模拟）数列｛a n ｝的首项为2,则 a 21 =【解析】因为beb 11 = 2，所以bb z •… a n +1 又b n = a n，所以 bb 2 ................. b 20=............... •—a 1 a 2贝y 82 014 = 1 007 X 1 + 1 007 X 2= 3 021.a n + 11,数列｛b n ｝为等比数列且 b n = ——，若b 10b 11 =a n为 $ 014 = _________________b 20= (bwb 11)10= 210. a 4a 21 a 21 a 3a 20 a '2①一②得，（1 —q） 8i = a1 —ai q ,n1 —q a1 1 —q,q z 1. n2(a k +1+ 1) =(a k +1)( a k +2 + 1),2 a k +1 + 2a k +1 +1 = a k a k +2+ a k + a k +2+ 1, 2 2kkk -1k +1k -1k +1aq + 2a 1q = ag• ag + aq + aq ,kk -1k +1■/ a 1 工0,「・ 2q = q + q .2T q z 0,二 q — 2q + 1 = 0,••• q = 1,这与已知矛盾.•••假设不成立，故｛a n + 1｝不是等比数列.10. (2020 •湛江模拟)设数列｛a n ｝是公差大于零的等差数列，已知 a 1 = 2，a 3= 10.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式.2(2) 设数列｛b n ｝是以函数y = 4sin n x 的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列｛a n — b n ｝的前n 项和S.【解】⑴ 设数列｛a n ｝的公差为d ,贝Ua 1 = 2,2解得d = 2或d =— 4(舍)，a 1 + 2d = a 1 + d —10,所以 a n = 2 + ( n — 1) x 2= 2n . 「「 21 — COS2 n x(2)因为 y = 4sin n x = 4x=—2cos 2 n x + 2,其最小正周期为 J= 1，故首项为1,2 n 因为公比为3,从而b n = 3n —1,所以 a n — b n = 2n — 3n —1,0 1 n 一 1故 S= (2 — 3) + (4 — 3) +…+ (2n — 3)2+ 2n n 1 — 3n 21 3n— n + n + 二—二. 21— 3 2 23 +11. (2020 •青岛模拟)已知n € N*，数列｛d n ｝满足d n =d 1 + d 2+ d s +-+ d 2n ；又知数列｛b n ｝中，b 1 = 2,且对任意正整数 m n , b ：= b ；(1) 求数列｛a n ｝和数列｛ b n ｝的通项公式.(2) 将数列｛b n ｝中的第a 1项，第a 2项，第a s 项，…，第a n 项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列｛C n ｝，求数列｛ C n ｝的前2 013项和.又由题知：令 m= 1，贝U b ?= b 1 = 2, b 3= b = 2，…b n = b = 2, 若 b n = 2n ，则 b ；= 2nm , b ；=2m :所以 b m = b m 恒成立;n-,数列｛&｝满足a n =【解】 (1) •/ d n =•・ a n = d 1+ d 2+ d a +^ + 3x2 nd 2n = —2~若b n^2n，当vm= 1时，b：= b不成立，所以b n= 2n.(2)由题知将数列｛b n｝中的第3项、第6项、第9项、…第3n项删去后构成的新数列｛6｝中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b i= 2, b2= 4，公比均是8.T2 013 = ( C i + C3+ C5+，・・+ C2 013 ) + ( C2+ C4+ C6+，・・+ C2 012)2X 1 - 81 0074X 1 - 81 00620X8 1 006- 6= -------------------- + -------------------- = ----------------1-8 1 —8 7。

(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题三数列第1讲等差数列与等比数列练习理

第1讲等差数列与等比数列「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分.核心知识回顾1.等差数列(1)通项公式：□01a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差中项公式：□022a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)前n 项和公式：□03S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2. 2．等比数列(1)等比数列的通项公式：□01a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m . (2)等比中项公式：□02a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)．(3)等比数列的前n 项和公式：□03S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1－a n q 1－q＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1).3．等差数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数)(1)若m ＋n ＝l ＋k ，则□01a m ＋a n ＝a l ＋a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 时，有□02a m ＋a n ＝2a p .(2)若{a n }，{b n }是等差数列，则{ka n ＋tb n }(k ，t 是非零常数)是□03等差数列． (3)等差数列“依次每m 项的和”即S m ，□04S 2m －S m ，□05S 3m －S 2m ，…仍是等差数列． (4)等差数列{a n }，当项数为2n 时，S 偶－S 奇＝□06nd ，S 奇S 偶＝□07a n a n ＋1，项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝□08a 中＝□09a n ，S 2n －1＝(2n －1)a n 且S 奇S 偶＝□10n n －1.(其中S 偶表示所有的偶数项之和，S 奇表示所有的奇数项之和)4．等比数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数)(1)若m ＋n ＝l ＋k ，则□01a m ·a n ＝a l ·a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 时，有□02a m ·a n ＝a 2p .(2)当n 为偶数时，S 偶S 奇＝□03q (公比)．(其中S 偶表示所有的偶数项之和，S 奇表示所有的奇数项之和)(3)等比数列“依次m 项的和”，即S m ，□04S 2m －S m ，□05S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列．热点考向探究考向1 等差数列、等比数列的运算例1 (1)(2019·陕西榆林高考第三次模拟)在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且满足若a 3＋S 5＝12，a 4＋S 7＝24，则a 5＋S 9＝( )A ．24B ．32C ．40D ．72答案 C解析 ∵a 3＋S 5＝6a 3＝12，a 4＋S 7＝8a 4＝24，∴a 3＝2，a 4＝3，∴a 5＝4，∴a 5＋S 9＝10a 5＝40.故选C.(2)在等差数列{a n }中，已知a 4＝5，a 3是a 2和a 6的等比中项，则数列{a n }的前5项的和为( )A ．15B ．20C ．25D ．15或25答案 D解析设公差为d ，∵a 3为a 2，a 6的等比中项，∴a 23＝a 2·a 6，即(a 4－d )2＝(a 4－2d )(a 4＋2d )，∴5d (d －2)＝0，∴d ＝0或d ＝2.∴5－d ＝5或3，即a 3＝5或3，∴S 5＝5a 3＝25或15.故选D.(3)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________．答案 3n－1解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，∴{a n }为等比数列，且首项为2，公比为3，∴S n ＝3n－1.利用等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意求解最基本的量．1．在各项为正数的等比数列{a n }中，S 2＝9，S 3＝21，则a 5＋a 6＝( ) A ．144 B ．121 C ．169 D ．148答案 A解析由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝9，a 1＋a 2＋a 3＝21，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝9，a 1(1＋q ＋q 2)＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－23，a 1＝27(舍去)．∴a 5＋a 6＝a 1q 4(1＋q )＝144.故选A.2．(2019·辽宁沈阳郊联体高三一模)我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，五等人与六等人所得黄金数之和为( )A.13 B.76C.73D.67答案 C解析设a n 为第n 等人的得金数，则{a n }为等差数列，由题设可知a 1＋a 2＋a 3＝4，a 8＋a 9＋a 10＝3，故a 2＝43，a 9＝1，而a 5＋a 6＝a 2＋a 9＝73.故选C.3．(2019·安徽太和第一中学高一调研)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2022a 2020＝( )A ．4×20202－1 B ．4×20192－1 C ．4×20222－1D ．4×20192答案 A解析 ∵a 1＝a 2＝1，a 3＝3，∴a 3a 2－a 2a 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＋1a n＝2n －1， ∴a 2022a 2020＝a 2022a 2021·a 2021a 2020＝(2×2021－1)×(2×2020－1)＝4×20202－1.故选A. 考向2 等差数列、等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n 2S n －1(n≥2，n∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n <12.证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n 2S n －1，S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，1S n －1S n －1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)·2＝2n －1，所以S n ＝12n －1.13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12.(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n 的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列．(2)证明数列{a n }为等比数列时，不能仅仅证明a n ＋1＝qa n ，还要说明a 1≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{a n }为等比数列．(3)证明等差、等比数列，还可利用等差、等比数列的中项公式．(2019·江西八所重点中学4月联考)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝44－a n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)设b n ＝a 2na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)证明：∵a n ＋1＝44－a n ，∴1a n ＋1－2－1a n －2＝144－a n－2－1a n －2＝4－a n 2a n －4－1a n －2＝2－a n2a n －4＝－12为常数，又a 1＝1，∴1a 1－2＝－1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是以－1为首项，－12为公差的等差数列．(2)由(1)知，1a n －2＝－1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－n ＋12， ∴a n ＝2－2n ＋1＝2n n ＋1， ∴b n ＝a 2n a 2n －1＝4n2n ＋12(2n －1)2n ＝4n2(2n －1)(2n ＋1)＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n ＋n 2n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n ＋n2n ＋1.考向3 数列中a n 与S n 的关系问题例3 设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3，得a n ＝2S n －1＋3，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3. 当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3. ∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴a n ＝3×3n －1＝3n.(2)由(1)，得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)×3n. ∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n，① 3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)×3n ＋1，②①－②，得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)×3n ＋1＝－6－(2n －2)×3n ＋1.∴T n ＝(n －1)×3n ＋1＋3.由a n 与S n 的关系求通项公式的注意点(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1成立的前提是n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合，则需统一表示(“合写”)． (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).(2019·福建泉州5月质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)证明：{a n }为等比数列；(2)记b n ＝log 2a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫λb n b n ＋1的前n 项和为T n ，若T n ≥10恒成立，求λ的取值范围．解 (1)证明：由已知，得a 1＝S 1＝2，a 2＝S 1＋2＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝(S n ＋2)－(S n －1＋2)＝a n ，所以a n ＋1＝2a n (n ≥2)．又a 2＝2a 1，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得a n ＝2n，所以b n ＝n . 则λb n b n ＋1＝λn (n ＋1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， T n ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，因为T n ≥10，所以λn n ＋1≥10，从而λ≥10(n ＋1)n，因为10(n ＋1)n＝10⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ≤20，所以λ的取值范围为[20，＋∞)．真题押题『真题模拟』1．(2019·湖南六校高三联考)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( )A ．10B ．20C ．30D ．5或40答案 C解析由题意，知(a 4－2)2＝a 2a 6，因为{a n }为等差数列，所以(3d －1)2＝(1＋d )(1＋5d )，因为d ≠0，解得d ＝3，从而a m －a n ＝(m －n )d ＝30.故选C.2．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2答案 C解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >0，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴a 3＝a 1q 2＝4.故选C.3．(2019·安徽宣城高三第二次调研)我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得________白米( )A ．96石B ．78石C ．60石D ．42石答案 C解析今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石．设此等差数列为{a n }，公差为d ，其前n 项和为S n ，∴d ＝a 3－a 13－1＝－362＝－18，S 3＝3a 1＋3×22×(－18)＝180，解得a 1＝78.∴a 2＝a 1＋d ＝78－18＝60.∴乙应该分得60石．故选C.4．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A.5．(2019·新疆高三第一次诊断)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝3，a 1＋a 2＋…＋a 6＝21，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若对一切n ∈N *，恒有S 2n －S n >m 16，则m 能取到的最大正整数是________．答案 7解析设数列{a n }的公差为d ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，6a 1＋15d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝n ，且1a n ＝1n ，∴S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，令T n ＝S 2n －S n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n，则T n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2，即T n ＋1－T n ＝12n ＋2＋12n ＋1－1n ＋1>12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，∴T n ＋1>T n ，则T n 随着n 的增大而增大，即T n 在n ＝1处取最小值，∴T 1＝S 2－S 1＝12，∵对一切n ∈N *，恒有S 2n －S n >m16成立，∴12>m16即可，解得m <8，故m 能取到的最大正整数是7.『金版押题』6．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝12S n ＋1S n ，则数列{S n }的通项公式为________．答案－2n ＋1解析由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝12S n ＋1S n ，所以1S n ＋1－1S n ＝－12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－12为公差的等差数列．所以1S n ＝－1－12(n －1)＝－12n －12.故S n ＝－2n ＋1.7．给出一个直角三角形数阵(如下)，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a n 4＝________.14 12，14 34，38，316 … 答案n32解析因为每一列的数成等差数列，且第一列公差为12－14＝14，所以a i 1＝14＋(i －1)14＝i4，因为从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等为3834＝12，所以a ij ＝a i 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12j －1＝i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12j －1(i ≥3)，因此a n 4＝n 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124－1＝n 32. 8．已知正项等比数列{a n }满足：a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，若存在两项a m ，a n 使得 a m a n ＝32，则1m ＋4n的最小值为________．答案 34解析因为数列{a n }是正项等比数列，a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，所以a 2a 8＝a 25＝16a 5，a 5＝16，a 3＝4.由a 5＝a 3q 2，得q ＝2(q ＝－2舍去)，由a 5＝a 1q 4，得a 1＝1，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，因为a m a n ＝32，所以2m －12n －1＝210，m ＋n ＝12，1m ＋4n ＝112(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝112⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥112⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝34(m >0，n >0)，当且仅当n ＝2m 时“＝”成立，所以1m ＋4n 的最小值为34.配套作业一、选择题1．(2019·山东德州高三下学期联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＋a 7a 2＋a 4＝8，则a 6的值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝1，a 5＋a 7a 2＋a 4＝8，∴a 1(q 4＋q 6)a 1(q ＋q 3)＝8，解得q ＝2，则a 6＝25＝32.故选D.2．已知等比数列{a n }满足a 1a 2＝1，a 5a 6＝4，则a 3a 4＝( ) A ．2 B ．±2 C. 2 D ．± 2答案 A解析 ∵a 1a 2，a 3a 4，a 5a 6成等比数列，即(a 3a 4)2＝(a 1a 2)(a 5a 6)，∴(a 3a 4)2＝4，a 3a 4与a 1a 2符号相同，故a 3a 4＝2，故选A.3．(2019·安徽蚌埠高三下学期第二次检测)等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成以d 为公比的等比数列，则d ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析将a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1转化为a 1，d 的形式为a 1＋1，a 1＋1＋d ，a 1＋1＋3d ，由于这三个数成以d 为公比的等比数列，故a 1＋1＋d a 1＋1＝a 1＋1＋3d a 1＋1＋d ＝d ，化简得a 1＋1＝d ，代入a 1＋1＋da 1＋1＝d ，得2dd＝2＝d ，故选A.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27答案 B解析解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝9，S 6＝36，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＝9，6a 1＋6×52d ＝36，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋5d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝3(a 1＋7d )＝3×(1＋7×2)＝45.解法二：由等差数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即9,27，S 9－S 6成等差数列，所以S 9－S 6＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45.5．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则( ) A ．S 6＝－2S 3 B ．S 6＝－12S 3C ．S 6＝12S 3D ．S 6＝2S 3答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，则S 6＝(1＋q 3)S 3，S 9＝(1＋q 3＋q 6)S 3，因为S 3，S 9，S 6成等差数列，所以2(1＋q 3＋q 6)S 3＝S 3＋(1＋q 3)S 3，解得q 3＝－12，故S 6＝12S 3.6．(2019·陕西西安高三第一次质检)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( )A ．0 B.252C ．21D ．42答案 C解析函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，平移可得y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列{a n }的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21.故选C.二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1，则S n ＝________. 答案 3n －1解析由2S n ＝a n ＋1得2S n ＝a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以3S n ＝S n ＋1，即S n ＋1S n＝3，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，q ＝3为公比的等比数列，所以S n ＝3n －1.8．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 答案－8解析设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， ∴a 1(1＋q )＝－1， ①a 1(1－q 2)＝－3. ②∵a 1＋a 2＝－1≠0，∴q ≠－1，即1＋q ≠0.②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2.∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.9．(2019·山西太原第五中学高三阶段检测)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝n (n ＋1)2解析由题设可得a n ＋1＝b n b n ＋1，a n ＝b n b n －1，得2b n ＝a n ＋a n ＋1⇒2b n ＝b n b n －1＋b n b n ＋1，即2b n ＝b n －1＋b n ＋1，又a 1＝1，a 2＝3⇒2b 1＝4⇒b 1＝2，则{b n }是首项为2的等差数列．由已知得b 2＝a 22b 1＝92，则数列{b n }的公差d ＝b 2－b 1＝322－2＝22，所以b n ＝2＋(n －1)22＝2(n ＋1)2，即b n ＝n ＋12.当n ＝1时，b 1＝2，当n ≥2时，b n －1＝n 2，则a n ＝b n b n －1＝n (n ＋1)2，a 1＝1符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)2.10．已知数列{a n }满足13a 1＋132a 2＋…＋13n a n ＝3n ＋1，则a n ＝________，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2 ⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋2－32，n ≥2解析由题意可得，当n ＝1时，13a 1＝4，解得a 1＝12.当n ≥2时，13a 1＋132a 2＋…＋13n －1a n－1＝3n －2，所以13n a n ＝3，n ≥2，即a n ＝3n ＋1，n ≥2，又当n ＝1时，a n ＝3n ＋1不成立，所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝12＋33－3n ＋21－3＝3n ＋2－32.三、解答题11．(2019·广东茂名五大联盟学校高三3月联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n －12S n －1＝0(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{S n ＋(n ＋2n)λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由a n －12S n －1＝0(n ∈N *)，可知当n ＝1时，a 1－12a 1－1＝0，即a 1＝2.又由a n －12S n －1＝0(n ∈N *)．可得a n ＋1－12S n ＋1－1＝0，两式相减，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12S n ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12S n －1＝0，即12a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝2a n . 所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n ＝2n(n ∈N *)．(2)由(1)知，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2(2n－1)，所以S n ＋(n ＋2n )λ＝2(2n －1)＋(n ＋2n)λ 若数列{S n ＋(n ＋2n)λ}为等差数列，则S 1＋(1＋2)λ，S 2＋(2＋22)λ，S 3＋(3＋23)λ成等差数列，即有2[S 2＋(2＋22)λ]＝[S 1＋(1＋2)λ]＋[S 3＋(3＋23)λ]，即2(6＋6λ)＝(2＋3λ)＋(14＋11λ)，解得λ＝－2.经检验λ＝－2时，{S n ＋(n ＋2n)λ}成等差数列，故λ的值为－2.12．(2019·江西上饶市高三二模)已知首项为1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，等差数列{b n }满足b 1＝a 2，b 4＝a 3，数列{b n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c n a n＝S n ，求{c n }的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的通项公式为a n ＝a 1qn －1，∴a 1q ＋a 1q 3＝3(a 1＋a 1q 2)，∴q ＝3.∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1，∴a 2＝3，a 3＝9，∴b 1＝3，b 4＝9. 设{b n }的公差为d ，∴d ＝b 4－b 13＝2，∴b n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2n ＋1，∴S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ，当n ＝1，c 1a 1＝3，c 1＝3，当n ≥2，c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n a n＝n 2＋2n ，c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＝(n －1)2＋2(n －1)，两式相减，得c na n＝2n ＋1，∴c n ＝(2n ＋1)·3n －1，经检验，n ＝1时上式也成立．综上，c n ＝(2n ＋1)·3n －1，n ∈N *.T n ＝3×30＋5×31＋…＋(2n ＋1)·3n －1，∴3T n ＝3×31＋5×32＋…＋(2n ＋1)·3n，两式相减－2T n ＝3－(2n ＋1)·3n ＋2×31＋2×32＋…＋2×3n －1＝3－(2n ＋1)·3n＋6(1－3n －1)1－3＝－2n ·3n.∴T n ＝n ·3n.13．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由3T 1＝S 21＋2S 1，得3a 21＝a 21＋2a 1，即a 21－a 1＝0. 因为a 1>0，所以a 1＝1. (2)因为3T n ＝S 2n ＋2S n ， ① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1, ②②－①，得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1，即3a 2n ＋1＝(S n ＋a n ＋1)2－S 2n ＋2a n ＋1.因为a n ＋1>0，所以a n ＋1＝S n ＋1, ③ 所以a n ＋2＝S n ＋1＋1, ④④－③，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n＝2. 又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0.因为a 2>0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.14．(2019·河北省中原名校联盟高三联考)已知正项等比数列{a n }中，a 1＝12，且a 2，a 3，a 4－1成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2log 2a n ＋4，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .解 (1)设等比数列{a n }的公比为q .因为a 2，a 3，a 4－1成等差数列．所以2a 3＝a 2＋a 4－1，得2a 1q 2＝a 1q ＋a 1q 3－1.又a 1＝12，则2×12q 2＝12q ＋12q 3－1，即q 2＝12q ＋12q 3－1.所以2q 2＝q ＋q 3－2，所以2q 2＋2＝q ＋q 3，所以2(q 2＋1)＝q (q 2＋1)．所以(q 2＋1)(2－q )＝0. 显然q 2＋1≠0，所以2－q ＝0，解得q ＝2. 故数列{a n }的通项公式a n ＝a 1·q n －1＝12·2n －1＝2n －2. (2)由(1)知，b n ＝2log 22n －2＋4＝2(n －2)＋4＝2n .所以1b n b n ＋1＝12n ·2(n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.则T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1).。

2020年高考数学二轮重难点复习：等比数列附答案详解

2020年高考数学二轮重难点复习：等比数列1考情解读在复习过程中，教学内容应充分体现课程标准及高考考试说明中关于本节内容的基本要求，抓住重点，解决难点，更重要的是需使学生心、神、情与教者深度融合.本节课的内容是“等差数列及前n项和”内容的延续，为学生后续解决综合数列的求和做好铺垫，教学重点是等比数列的通项公式、前n项和公式以及简单应用，难点是等比数列及其前n项和的性质应用.教学中注重从“知识传授”的传统模式转变为“以学生为主体”的参与模式，注重数学思想方法的渗透，注重对学生创造精神和实践能力的培养.教师不仅要透彻理解教材、高考命题的意图，还要有宽厚的知识积累和深厚的知识功底.教学环节中，利用小组合作学习、学生自主学习、小组讨论、学生展示、师生点评、教师总结升华、当堂检测等环节，有效地实现本节课的教学目标.在教学评价上关注学生，不单纯地看学生是否会解题，关键是看学生是否动脑思考，通过观察学生的思维过程来肯定和鼓励学生.通过对学生的评价，强化知识点和思想方法，渗透归纳与推理、类比、分类讨论等数学思想.2考点要求(1)理解等比数列的概念.(2)掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.(3)能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.(4)了解等比数列与指数函数的关系.3高频考点高频考点1:抓等比数列的定义主干知识的“源”.定义是思考问题的源头活水，掌握定义、应用定义解题是数学解题的最高境界.“数学本来就是玩儿概念的”，所以理解定义是前提、基础.例1设{a n}是公比为q的等比数列.(Ⅰ)推导数列{a n}的前n项和公式；(Ⅱ)设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列.高频考点2:抓等比数列的性质主干知识的“流”.数学中定义是“源头”，性质则是“干流”.高考有时间限制，所以解数列问题一般首先考虑性质，这样可以快速准确解题.若不能使用性质，则要回到定义中去.例2(1)已知等比数列{a n}满足，则a2等于( )A．2B．1C．D．(2)设等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则( )A．2B．C．D．3高频考点3:抓等比数列基本量的运算—高考命题的“形”与“神”.高考命题的“形”指的是数学知识，是高考试题的载体，命题的“神”则是数学思想方法.数列问题中，“基本量”是“形”，方程思想是“神”，化基本量解方程是数列问题最基本最重要的方法，是通性通法，高考必考.例3设等比数列{a n}满足，则的最大值为.高频考点4:抓等比数列的综合应用体验“得”与“失”等比数列与等差数列或不等式经常结合在一起考查，让学生能在具体的问题情境中识别、构造数列的等比关系，然后运用有关知识解决相应问题.例4已知数列{a n}满足.(I)证明是等比数列，并求{a n}的通项公式；(Ⅱ)证明.模拟题1．已知a ，b ，c 都是实数，则“a ，b ，c 成等比数列”是“2b a c =⋅的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知数列{}n a 为等比数列，若2588a a a =，则191559a a a a a a ++A ．有最小值12B ．有最大值12C ．有最小值4D ．有最大值4 3．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( )A ．1B ．2C D4．已知数列{}n a 为等比数列，且21064a a a =，数列{}n b 为等差数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，610,S S =67a b =，则9b =（）A ．43B ．43-C ．83-D ．4-5．已知等比数列{}n a 满足213562,4a a a a ==，则3a 的值为（）A ．1B ．2C ．14D ．126．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和.若11a =，354a a =，则10S =（） A ．512 B ．511 C ．1023 D ．10247．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:有一个人走378里路,第一天健步走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天到达目的地…….则此人后四天走的路程比前两天走的路程少( )里.A ．198B ．191C ．63D ．488．数列{}n a 满足点(n a ，)(1)n S n …在直线32y x =-上，则前5项和为（） A ．21132 B ．21116 C ．21164 D ．21132- 9．已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，。