机械工业出版社 复变函数与积分变换 第2章 解析函数 ppt课件
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复变函数与积分变换第二章
故不连续。 故不连续。
( 2 )在负实轴上 ∀ P ( x , 0 )( x < 0 ) Q lim+ arg z = π
y→ 0 y→ 0
y z o z
(z)
lim− arg z = − π
∀P ( x ,0)
x
∴ arg z 在负实轴 上不连续。 上不连续。
定理2.3 连续函数的和、差、积、商 (分母不为 连续函数的和、 分母不为0) 定理 分母不为 仍为连续函数; 仍为连续函数 定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。 连续函数的复合函数仍为连续函数。 定理 定理2.5 定理 设 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ), 则 f (z)
z → z0
内处处连续， 若在区域 D 内处处连续，则称 f ( z )在 D 内连续 ; 若 z 、 z 0 ∈ C , 且 lim f ( z ) = f ( z 0 )，则称 f ( z )
z → z0
在曲线 C 上点 z 0处连续 .
证明f 在原点及负实轴上不连续。 例4 证明 (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 在原点及负实轴上不连续 证明 (1) Q f ( z ) = arg z 在原点没有定义， 在原点没有定义，
复变函数的极限与连续性
1. 函数的极限 2. 相关定理 3.函数的连续性 函数的连续性
复变函数的极限
定义2.2 定义 设复变函数w=f(z)在z0的某个去心 在 设复变函数 邻域内有定义, 是复常数 是复常数. 邻域内有定义 A是复常数 若对任意给定的ε >0, 使得对一切满足0<|z-z0|<δ 的z , 都有 存在δ >0, 使得对一切满足
第2章复变函数与解析函数精品PPT课件
①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数与积分变换__第2章
连续 可导
复 变 函 数
解析
判 别 方 法 指数函数 对数函数 幂 函 数 三角函数 双曲函数
解析函数与调和 函数的关系
初等解析函数
第二章
解析函数
§2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数与共轭调和函数的关系 §2.3 初等函数
§2.1 解析函数的概念
1 复变函数的导数 2 解析函数的概念
一、复变函数的导数
三、柯西-黎曼方程
2. 区域解析的条件 定理 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析的 充要条件是： u( x, y ) 和 v( x , y ) 在区域 D 内可微，且 满足 C R 方程。 推论 若函数 u( x, y ) 和 v( x , y ) 的四个偏导数 u x , u y , v x , v y 则函数 在区域 D 内存在且连续，并满足 C R 方程，
注解：
利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及
有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本 相同. 根据定理可知: 任务！！！
(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. 用定义讨论函数的解析 P ( z ) 寻求研究解 性绝不是一种好办法！ ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 析性的更好 的方法 零的点的区域内是解析 的, 使分母为零的点是
定理（函数在一点可导的充分条件）
设函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可(微)导的充分 条件是: (1) ux ,u y , v x , v y 在点 ( x , y )连续 ( 2 ) u( x , y ), v ( x , y )在点( x , y )满足C-R条件 u v u v , . x y y x
复 变 函 数
解析
判 别 方 法 指数函数 对数函数 幂 函 数 三角函数 双曲函数
解析函数与调和 函数的关系
初等解析函数
第二章
解析函数
§2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数与共轭调和函数的关系 §2.3 初等函数
§2.1 解析函数的概念
1 复变函数的导数 2 解析函数的概念
一、复变函数的导数
三、柯西-黎曼方程
2. 区域解析的条件 定理 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析的 充要条件是： u( x, y ) 和 v( x , y ) 在区域 D 内可微，且 满足 C R 方程。 推论 若函数 u( x, y ) 和 v( x , y ) 的四个偏导数 u x , u y , v x , v y 则函数 在区域 D 内存在且连续，并满足 C R 方程，
注解：
利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及
有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本 相同. 根据定理可知: 任务！！！
(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. 用定义讨论函数的解析 P ( z ) 寻求研究解 性绝不是一种好办法！ ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 析性的更好 的方法 零的点的区域内是解析 的, 使分母为零的点是
定理（函数在一点可导的充分条件）
设函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可(微)导的充分 条件是: (1) ux ,u y , v x , v y 在点 ( x , y )连续 ( 2 ) u( x , y ), v ( x , y )在点( x , y )满足C-R条件 u v u v , . x y y x
复变函数与积分变换(课件2)
1) u = x3 − y3 , v = 2x2 y2 ux = 3x2 , uy = −3y2 , vx = 4xy2 , vy = 4x2 y均 续 连
由C − R方 ， 方 有
− 3y2 = −4xy2 得： x = y = 0, x = y = 3 4
3 3 处可导， 即 f (z)在 z = 0 和 z = + i 处可导，在复平面内 4 4
f (z) − f (z0 ) = lim z→z0 z − z0
例1.讨论下列函数的可导性 讨论下列函数的可导性
(1) f (z) = z 2
解：
2 2
(2)g(z) = z
(z + ∆z) − z (1) lim = lim (2z + ∆z) = 2z ∆z→0 ∆z→0 ∆z
即
(z )′ = 2z
解析函数， 的共轭调和函数。 解析函数，则称 v( x, y) 为 u( x, y) 的共轭调和函数。 例1. 求一解析函数 f ( z) = u + iv ，使其实部为 u = y 解：（法一）因 法一）
3
− 3x2 y.
vy = ux = −6xy ，所以
2
v = ∫ − 6xydy = −3xy + g( x)
可导，也处处解析。 除 z=0外， f (z) 可导，也处处解析。 外 3）仅在（0，0）点可导，处处不解析。 ）仅在（ ， ）点可导，处处不解析。
Ch3§ Ch3§5 解析函数与调和函数的关系
Def1：若 ϕ( x, y)在区域 D内有二阶连续偏导，且满足 ： 内有二阶连续偏导， 内有二阶连续偏导 ∂2ϕ ∂2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y 为调和函数。 则称 ϕ( x, y) 为调和函数。 Th1.设 设 内解析， 内解析 f ( z) = u( x, y) + iv( x, y) 在 D内解析， 都是调和函数。 v( x, y)都是调和函数。
机械工业出版社 复变函数与积分变换 第2章 解析函数
( u x i x v) x( u y i y v) y(1 i3) x(2 i4) y
24
由 C R 方 ( u x 程 i x v ) z (1 i3 ) x (2 i4 ) y
f ( z z ) f ( z ) u u
x
y
z z i x (1 i3 ) z (2 i4 ) z
第二章 解析函数
2021/7/24
1
§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
GO
2
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限
l i m f(z0z)存在f，(z则0)称函数
z 0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
证:明 f Rz e( z)Rz e)(
z
z
x x x x
x iy
x iy
当 z取 当 z取
实 纯
虚 数 0时 0,时 数 趋 f , f z 趋 于 z 1;于 0; lzi m 0 fz
不
存
在 .
4
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
15
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导 ，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 问题 如何判断函数的解析性呢？
16
一. 解析函数的充要条件
设 函 w数 f(z)u(x,y)iv (x,y)在 点 zxiy 可,则 导
24
由 C R 方 ( u x 程 i x v ) z (1 i3 ) x (2 i4 ) y
f ( z z ) f ( z ) u u
x
y
z z i x (1 i3 ) z (2 i4 ) z
第二章 解析函数
2021/7/24
1
§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
GO
2
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限
l i m f(z0z)存在f，(z则0)称函数
z 0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
证:明 f Rz e( z)Rz e)(
z
z
x x x x
x iy
x iy
当 z取 当 z取
实 纯
虚 数 0时 0,时 数 趋 f , f z 趋 于 z 1;于 0; lzi m 0 fz
不
存
在 .
4
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
15
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导 ，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 问题 如何判断函数的解析性呢？
16
一. 解析函数的充要条件
设 函 w数 f(z)u(x,y)iv (x,y)在 点 zxiy 可,则 导
复变函数与积分变换课件第2章
例：设f(z)在z0处连续，且f(z0)不等于0，那么可以
找到z0的一个邻域，在这个邻域内f(z)不等于0
1 导数的定义
定义 设函数w=f(z)在包含z0的某邻域D内有定义 ，点z0+⊿z∈D. 如果极限
f ( z0 Δ z ) - f ( z0 ) lim Δ z 0 Δz
存在, 则称f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0 的导数, 记作
பைடு நூலகம்
定义 如果函数f(z)不仅在z0可导，而且在z0的某 个邻域内的任一点都可导, 则称f(z)在z0解析。 如果f(z)在区域D内每一点解析, 则称f(z)在D内解 析, 或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数 或正则函数)
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇 点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析等价于在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。 （3）函数在区域D内的点z处解析，则z 一 定是D的内点。
（4） f ( z ) z Re( z )
例3. 证明 sin ' z cos z
例4 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常
数 .
4.高阶导数
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数
例 应用公式
sin( z
2
) cos z ,
（n) 求 sin z
1.解析函数的概念
例2
求f ( z) z 在z 0时的极限. z
z z0
例3 求极限 lim cos z 例4 证明 f ( z ) Re z
在z 0时的极限不存在 .
z
定理2
若 lim f ( z ) A lim g ( z ) B, 则
复变函数与积分变换课堂PPT第二章
由加法定理, 可以推出exp z的周期性。 它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
复变函数与积分变换PPT教学课件
实轴对称的.
o
zz
z x iy
x
z x iy
想一想，z与z的辐角主值有什么关系？
(1) 若z=0，则辐角无意义
(2) 若z位于负实轴上，则arg(z) arg(z)=
(3) 若z不在原点和负实轴上，则arg(z) -arg(z)
25
例2：求Arg(-3 4i) Arg(-3 - 4i)
e19i ,
故三角表示式为 z cos19 i sin19 ,
指数表示式为 z e19i .
30
例4：写出1，i, - 2, - 3i的三角表示式.
解：1 = 1(cos0 + i sin 0)
i = 1(cos + i sin )
2
2
-2 = 2(cos +isin )
-3i = 3[cos(- ) + i sin(- )]
3
26
4.复数的三种表示及其相互转化
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
cos , sin ,
复数可以表示成 z (cos i sin)
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 ei cos i sin , 欧拉介绍
复数可以表示成 z ei
复数的指数表示式
27
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面. 复数 z x iy 可以用复平
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
19
2. 复数的模(或绝对值)
从原点O到点 z x iy所引的向量与复数z构成一一
复变函数PPT第二章
(3) w z Re z.
解: (1) w z 2 x2 y2 , u x2 y2 , v 0,
u 2x, u 2 y, v 0, v 0.
x
y
x
y
z 偏导数在复平面上处处连续，但只在 =0满足C－R方程，
故函数 w z 2仅在 z 0 处可导, 且 f (z) 0．
在复平面内处处不解析.
x x y y 故 u v u v 0,
x y y x 所以 u 常数, v 常数,
因此 f (z) 在区域 D内为一常数.
参照以上例题可进一步证明:
如果 f (z) 在区域 D内解析, 则以下条件彼此等价.
(1) f (z)为常数;
(2) f (z) 0;
(3) f (z) 常数;
(2) f (z) e x (cos y i sin y) 指数函数 u e x cos y, v e x sin y,
u e x cos y, u e x sin y,
x
y
四个偏导数均连续
v e x sin y, v e x cos y,
x
y
且 u v , u v . x y y x
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (6) Im[ f (z)] 常数;
(7) v u2;
(8) arg f (z) 常数.
(9) au bv c（a，b，c为不全为零的实常数）.
思考题
(1)复变函数 f (z) 在点z0 可导与在z0 解析有无区别? (2)用柯西－黎曼条件判断f (z) u( x, y) iv( x, y) 解析时应注意什么?
6z6 10z4 z2 6z 1 . (z2 1)2
复变函数课件第二章
的导数,
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
y 1 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， lim z 0 x iy i y lim ∴ z 0 不存在，即处处不可导。 x iy
y lim 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， z 0 x iy
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换
在定义中应注意: z0 z z0 (即z 0)的方式是任意的.
Complex Analysis and Integral Transform
即z0 z在区域D内以任意方式趋于 0时, z f ( z0 z ) f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . z
y 1 f f ( z z ) f ( z ) lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0
当点沿不同的方向使z 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导.
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis and Integral Transform
2
研究函数 f ( z ) z 2 , g( z ) x 2 yi 和
h( z ) z 的解析性.
解 由本节例1和例3知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
y 1 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， lim z 0 x iy i y lim ∴ z 0 不存在，即处处不可导。 x iy
y lim 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， z 0 x iy
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换
在定义中应注意: z0 z z0 (即z 0)的方式是任意的.
Complex Analysis and Integral Transform
即z0 z在区域D内以任意方式趋于 0时, z f ( z0 z ) f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . z
y 1 f f ( z z ) f ( z ) lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0
当点沿不同的方向使z 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导.
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis and Integral Transform
2
研究函数 f ( z ) z 2 , g( z ) x 2 yi 和
h( z ) z 的解析性.
解 由本节例1和例3知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
复变函数和积分变换第2章解析函数
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复变函数与积分变换
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即函数 但由于
在点z=0处满足C.-R.条件式(2.3).
不存在，所以
在点z=0处是不可导．
由定义2.3及定理2.2，便可得到复变函数f(z)解析的等价刻画．
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复变函数与积分变换
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定理2.3f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充分必要条件是u(x,y)与 v(x,y)在D内处处可微，且在D内处处满足C.-R.条件式(2.3)． 定理2.4若u(x,y)与v(x,y)在区域D内有连续偏导数，且在D内满足C.-R.条件 式(2.3)，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析． 例2.5判别下列函数的可导性与解析性，并在可导点处求出导数.
① 的定义域为有限复平面 ，且
② 是C上的解析函数，且(ez)′=ez；
③
，有
④ 是以2π i为周期的周期函数；
⑤函数
(w≠0,∞)把z平面上的宽度为2π 的带形区域
均映射为w平面上的角形区域G=C \{负实轴及原点}．
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复变函数与积分变换
证①因为 ②依定义知：
，故
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它们在全平面上处处可微且满足C.-R.条件，故 在 上处处解析，且
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证必要性．记Δ z=Δ x+iΔ y，f(z+Δ z)－f(z)=Δ u+iΔ v，f′(z)=a+ib， 若f(z)在点z=x+iy可微，则有
其中 ，得
，且
根据复数相等的意义
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复变函数与积分变换
复变函数与积分变换第二章：解析函数
四个偏导数均连续
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程 , 故函数 w z Re( z ) 仅在 z 0 处可导,
设函数w f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在点 z x iy可导, 则
f ( z z ) f ( z ) z
[u( x x, y y ) iv( x x, y y )] [u( x, y ) iv( x, y )] x iy
f ' ( z ) ux iv x ux iuy v y iuy v y iv x
函数在区域 D 内解析的充要条件
定理二
函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在其定义
域 D 内解析的充要条件是: u( x , y )与 v ( x , y ) 在 D 内可微, 并且满足柯西－黎曼方 程.
C R方程：
u x v y 0 u y v x 0
x2 y2 0 x2 y2 0
令f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )，则在点z 0满足
但u ( x, y )、v( x, y )在点(0,0)不连续，所以复变 函数f ( z )在z 0不连续, 从而不可导.
定理 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
u v x y
上述条件满足时,有
v u x y
解析可导 u , v 可微且满足C-R方程
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程 , 故函数 w z Re( z ) 仅在 z 0 处可导,
设函数w f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在点 z x iy可导, 则
f ( z z ) f ( z ) z
[u( x x, y y ) iv( x x, y y )] [u( x, y ) iv( x, y )] x iy
f ' ( z ) ux iv x ux iuy v y iuy v y iv x
函数在区域 D 内解析的充要条件
定理二
函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在其定义
域 D 内解析的充要条件是: u( x , y )与 v ( x , y ) 在 D 内可微, 并且满足柯西－黎曼方 程.
C R方程：
u x v y 0 u y v x 0
x2 y2 0 x2 y2 0
令f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )，则在点z 0满足
但u ( x, y )、v( x, y )在点(0,0)不连续，所以复变 函数f ( z )在z 0不连续, 从而不可导.
定理 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
u v x y
上述条件满足时,有
v u x y
解析可导 u , v 可微且满足C-R方程
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其中w=g(z)。
⑤ 反函数的导数
f
'(z)
1 '(w
)
，其中:
w=f
(z)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导; 复 函 数 中, f (z) z 2的 可 导 性?
ppt课件
7
例2 已知 f (z) (z2 5z)2 1 ，求f '(z)
函数； (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4)。
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，
则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时)
均是D内的解析函数。
ppt课件
13
由 以 上 讨 论 P(z) a0 a1z anzn是 整 个 复 平 面 上 的 解 析函 数 ； R(z) P(z) 是 复 平 面 上(除 分 母 为0点 外)的 解 析 函 数.
lim
z0
z
lim z Re( z z) z Re z
z0
z
lzi m0
z
Re z
z
0
lim (Re( z z) z
x
)不存在 !
z0
x iy
z 0时 z 0时
lim z0
x x iy
0 1
ppt课件
10
(3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.
?
证明: 若f (z)在z0可导,则 0, 0,
使得当0
z
,时,有
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
,
令z
f (z0 z) z
当y 0, x 0时 当x 0, y 0时
不存在！
ppt课件
9
(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数
在一点处可导要求高得多，也复杂得
多，这是因为Δz→0是在平面区域上
以任意方式趋于零的原故。
(2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。
例1 证明: f (z) Re z在平面上的任何点都不可导.
证明: f Re( z z) Re( z)
z
z
x x x x x iy x iy
当z取实数趋于0时, f z 1; 当z取纯虚数趋于0时, f z
0;
z 1
解
f
( z )
2( z 2
5 z )( 2 z
5)
(z
1 1)2
例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
解 lim f (z z) f (z)
z0
z
lim x x 2( y y)i ( x 2 yi)
z0
x iy
f (z0 )
f
(
z0
),则
lim
z0
z
0,
由此可得f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z zz,
lim
z0
f (z0 z)
f (z0 ),所 以f (z)在z0连 续
ppt课件
11
二. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。
(2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
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12
例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
记作
f '(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f (z0
z) z
f (z0 )
如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称
f (z)在区域 D内可导。
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3
(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)
lim
z0
f z
不存在.
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4
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
证明
对于复平面上任意一点z0，有 lim lim zn z0n
zz0 z zz0 z z0
x 2yi 1
lim
z0
x yi
2
当y 当x
0, x 0, y
0时 0时
不
存
在!
故函数f (z) x 2 yi处处不可导.
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8
例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。
证明
(z z) Re( z z) z Re z
第二章 解析函数
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1
§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
ppt课G件O
2
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限 lim f (z0 z) f (z0 ) 存在，则称函数
z0
g(z)
g2(z)
, (g(z) 0)
由以上讨论 P(z) a0 a1z an zn在整个复平面上处处可导； R(z) P(z) 在复平面上（除分母为0外）处处可导.
Q(z)
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6
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)，
lim
zz0
(z
z0 )(zn1
zn2z0 z z0
z n1 0
)
nz0n1
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5
③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f (z) ' f '(z)g(z) f (z)g'(z)