【配套K12】2018_2019学年高二数学上学期开学考试试题理

四川省棠湖中学2018-2019学年高二上学期开学考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线l 过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直,则l 的方程为 A.3210x y +-= B.2310x y +-= C.3210x y ++= D.2310x y --=
2.已知等差数列{}n a 中，若415a =，则它的前7项和为
A.120
B.115 错误！未找到引用源。

C.110 错误！未找到引用源。

D.105
3.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若cos c A b =，则ABC ∆
A. 一定是锐角三角形
B. 一定是钝角三角形
C. 一定是斜三角形
D. 一定是直角三角形 4．一个球的内接正方体的表面积为54,则该球的表面积为
A. 27π
B. 18π
C. 19π
D. 54π 5．若a ，b ∈R 且a ＋b ＝0，则2a
＋2b
的最小值是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 6．给出下列四种说法：
① 若平面βα//，直线βα⊂⊂b a ,，则b a //； ② 若直线b a //，直线α//a ，直线β//b ，则βα//； ③ 若平面βα//，直线α⊂a ，则β//a ；
④ 若直线α//a ，β//a ，则βα//.其中正确说法的个数为
A.4个
B.3个
C. 2个
D.1个
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于
A.5
B.6
C.7
D.8
8．已知函数25,(1)(),(1)x ax x f x a x x
⎧---≤⎪
=⎨ >⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是
A ．3-≤a ＜0
B ．3-≤a ≤2-
C ．a ≤2-
D ．a ＜0
9．一个三棱锥P ABC -的三条侧棱PA PB PC 、、两两互相垂直，且长度分别为1
3，则这个三棱锥的外接球的表面积为
A ．16π
B ．32π
C . 36π
D ．64π
10．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知23sin a
b A
=，224a c +=，则ABC ∆的
面积的最大值为 A ．
43 B ．23 C ．13 D ．16
11．将函数sin 2y x =的图象向右平移(0)2
π
ϕϕ<<个单位长度得到()y f x =的图象．若函
数()f x 在区间[0,]4
π
上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5(,)126
ππ
-
-上，则ϕ的取值范围是 A ．(
,]64ππ
B ．(,)62ππ
C ．(,]124ππ
D ．(,)122
ππ
12.在ABC ∆中，若⋅=⋅=⋅，且A b B a cos cos =，4=c ，则
=⋅
A ．8
B ．2 C.2- D ．8-
第Ⅱ卷（共90分）
二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知数列}{n a 的前n 项和为322+-=n n S n ，则数列}{n a 的通项公式为 . 14.已知向量,a b 满足||1=a ，||2=b ，且()⊥-a a b ，则a 与b 的夹角为 ． 15．一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，x = .
16.已知数列{}n a 错误！未找到引用源。

的前n 错误！未找到引用源。

项和为n S 错误！未找
到引用源。

，且数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列.若21S =，201820165S S -=，2018S =______.
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共70分） 17.（本小题满分10分）
光线通过点)3,2(A ，在直线01:=++y x l 上反射，反射光线经过点)1,1(B . (Ⅰ)求点)3,2(A 关于直线l 对称点的坐标； (Ⅱ)求反射光线所在直线的一般式方程．
18.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n S a =-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列1n n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ,求n T
19．（本小题满分12分）
已知向量(sin ,1)x x =m ，2
(2sin ,4cos )x x =n ，函数()f x =⋅m n ．
(Ⅰ)当[0,
]2
x π
∈时，求)(x f 的值域；
(Ⅱ)若对任意[0,]2
x π
∈，2()(2)()20f x a f x a -+++≥，求实数a 的取值范围．
20.（本小题满分12分）
如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,AC 与
BD 的交点为O ,E 为侧棱SC 上一点.
(Ⅰ)当E 为侧棱SC 的中点时,求证:SA ∥平面BDE ; (Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面SAC ;
(III)当二面角E BD C --的大小为45︒时, 试判断点E 在SC 上的位置,并说明理由.
21.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2
7
4sin cos 222
A B C +-=，c =(Ⅰ)若5a b +=，求ABC ∆的面积；
(Ⅱ)求a b +的最大值，并判断此时ABC ∆的形状.
22.（本小题满分12分）
已知函数R a x a x x f ∈+--=],8)12(2[log )(22. (Ⅰ)若)(x f 在),(+∞a 内为增函数，求实数a 的取值范围；
(Ⅱ)若关于x 的方程)3(log 1)(2
1+-=x x f 在]3,1[内有唯一实数解，求实数a 的取值范围.
四川省棠湖中学2018-2019学年高二上学期开学考试
数学（理科）答案
1-5：ADDAA 6-10：DBBAB 11-12：CA 13．⎩⎨
⎧≥-==)
2(32)1(2n n n a n 14．3π
15.x=3 cm 16．3027
17.（Ⅰ）设点)32(，A 关于直线l 的对称点为),(000y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=--01232
212
3
0000y x x y 3
分
解得3,400-=-=y x ，即点)32(，
A 关于直线l 的对称点为)3,4(0--A ． 5分
（Ⅱ）由于反射光线所在直线经过点)3,4(0--A 和)1,1(B ，所以反射光线所在直线的方程为)1(5
4
1-=-x y 即0154=+-y x . 10分
18.(1).当1n =时, 12a =.当2n ≥时, 1122n n S a --=-,
所以1n n n a S S -=-()11222222n n n n a a a a --=--=-,即()1
22,n
n a n n N a *-=≥∈, 所以数列{}n a 是以首项为2,公比为2的等比数列,
故()
2n n a n N *
=∈.……………………………………………6分
(2).令112
n n n n n b a ++==,则123234
1
2222n n
n T +=+++
+
①, ①12⨯
,得234112*********
n n n n n T ++=+++++②, ①-②,得23111111122222n n n n T ++=++++-133
22
n n ++=-,
整理得3
32
n n n T +=-……………………………………………12分
19．（12分）
解：（1）22()2sin cos 4cos f x x x x x =-+ …………………1分
222cos cos x x x =+-
3cos22x x =+ ……………………………………………3分
2cos(2)33x π
=++ ……………………………………………4分
当[0,]2x π∈时，42[,
]333x πππ+∈，1
cos(2)[1,]32
x π+∈-， 所以)(x f 的值域为[1,4]． ……………………………………………6分 （2）令()t f x =，[0,
]2
x π
∈，由（1）得[1,4]t ∈，
问题等价于2(2)20t a t a -+++≥，[1,4]t ∈恒成立， …………………7分 当1t =时，a ∈R ； ………………………………………………8分 当1t ≠时，1
(1)1
a t t ≤-+
-，(1,4]t ∈恒成立，
因为(1,4]t ∈，1(1)21t t -+≥=-，当且仅当2t =时，等号成立， 所以1
(1)1
t t -+
-的最小值为2，故2a ≤， ………………………………11分 综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞． …………………………………12分 20.证明:(1)连接OE ,由条件可得SA ∥OE .
因为SA ⊄平面BDE ,OE ⊂平面BDE , 所以SA ∥平面BDE 4分 (2)由已知可得,SB SD =,O 是BD 中点, 所以BD SO ⊥, 又因为四边形ABCD 是正方形,所以BD AC ⊥. 因为AC
SO O =,所以BD SAC ⊥面.
又因为BD BDE ⊂面,所以平面BDE ⊥平面SAC 8分
(3)解:连接OE ,由(Ⅱ)知BD SAC ⊥面. 而OE SAC ⊂面, 所以BD OE ⊥. 又BD AC ⊥. 所以EOC ∠是二面角E BD C --的平面角,即45EOC ∠=︒. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2,
在SAC ∆中,2SA SC ==, AC =所以SO =
又因为1
2
OC AC =
=SO OC ⊥, 所以SOC ∆是等腰直角三角形. 由45EOC ∠=︒可知,点E 是SC 的中点 12分
21．解：由()()2
72cos cos 12得272cos 2
sin
42
=-+-=
-+C B A C B
A 2
71cos 2cosC 222=
+-+∴C ， ()2
1cos ,01cos 22
=∴=-∴C C 3
,0又π
π=
∴<<C C
由余弦定理得：()6,37,a 72
22=∴-+=∴-+
=ab ab b a ab b
23
33sin 21=
=
∴∆πab S ABC
（2）法一：()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
+=+A A B
A R sin 32sin 3
21
2sin sin 2b a π ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
6sin 72sin 23cos 233212πA A A 6566,320π
πππ<+<∴<<A A 72最大为时，3
即,2
6
当b a A A +=
=
+
∴π
π
π
此时ABC ∆为等边三角形 法二：由余弦定理得：()ab b a ab b 3a 72
22-+=-+
==
()
()()4
4372
2
2
b a b a b a +=
+-+≥∴ ()72,282
≤+∴≤+∴b a b a
当且仅当b a =等号成立，72最大为b a +∴ 此时ABC ∆为等边三角形.
22. （1）设8)12(2)(2
+--=x a x x g ，由题知)(x g 在),(+∞a 上为增函数，
且)(x g >0⎩⎨
⎧≥-≥∴0)(12a g a a 即⎩⎨⎧≥+--≤0
8)12(212a a a a 解得134
≤≤-a ………5分
（2）关于x 的方程)3(log 1)(2
1+-=x x f 在]3,1[内有唯一实数解
即方程8)12(22+--x a x =)3(2+x 在]3,1[内有唯一实数解，……………………7分
x x a 2
4+
=∴在]3,1[内有唯一实数解， 设x
x x 2
)(+=ϕ，则)(x ϕ在)2,1[单调递减，在]3,2(单调递增，
且3)1(=ϕ，22)2(=ϕ，3
11
)3(=ϕ
224=∴a 或31143≤
<a ，2
2=∴a 或121143
≤<a ……………………12分。