3.3.1古典概型与几何概型综合

2. 袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白 1 球的概率为7 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲 先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人 中有一人取到白球时既终止. （1）求袋中所有的白球的个数； （2）求取球2次终止的概率； （3）求甲取到白球的概率. 解: （3）记“甲取到白球”的事件为B， “第i次取出的球是白球”的事件为Ai ，i =1，2，3，4，5 . 因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球， 且事件 A1，A3 ，A5 两两互斥， P( B) P( A1 A3 A5 ) P( A1 ) P( A3 ) P( A5 )
1 9 2 8 3 7 4 6 5 5 C5 C95 C5 C95 C5 C95 C5 C95 C5 C95 10 10 10 10 10 C100 C100 C100 C100 C100
0.416 .
(法2)由于B的对立事件为“10件产品中无废品”,即 A0 B
解：(2)设B为事件“10件产品中至少有一件废品” ，则有
B A1 A2 A3 A4 A5 ,
而且 A1 、A2 、A3 、A4、A5 彼此互斥，
P( B) P( A1 A2 A3 A4 A5 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 )
y
而动点可以存在的位置为正方形面积 减去四分之一的圆的面积部分,
1 2 2 2 2 4 4 . P 4 2 2
O
x
5.设球O内的内接正方体，在球O内任取一点M，求M 落在内接正方体内的概率. 4 解： 设球O的半径为R， 则其体积为 V1 R 3 3 则 设内接正方体的边长为a， 2 2 2 2 2 2 (2R) a a a a R. 3 正方体的体积为 V2 a3
. .
P 1
8

8
.
7.如图在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在 ∠ACB内部作一条射线CD，与线段AB交于点D，求 满足AD<AC的概率。
【分析】过直角顶点C在∠ACB 内部作一条射线可以看作是随 机的，满足条件AD<AC的 ∠ACE可看成是构成事件的区 域角，而∠ACB可看成是试验 的所有结果构成的区域角，可 用“角度化”公式计算其概率。 A D
构成事件A的区域长度（ 面积或体积） P ( A) 试验的全部结果所构成 的区域长度（ 面积或体积）
1、几何概率模型的识别
什么是几何概率模型？有何特征？
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模 型为几何概率模型，简称几何概型. 几何概型的基本特征： （1）可能出现的结果有无限多个； （2）每个结果发生的可能性相等.
3.3.2 古典概型与几何概型综合
知识回顾： 1、几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型 为几何概率模型,简称为几何概型. 2、几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
3、几何概率的计算公式:
解：（1）所有的分组结果是等可能的，9支队平均分成3组的不同
3 3 3 3 分法数为：(C9 C6 C3 ) A3 = 280（种）.
其中三个组各有一支亚洲队，所有不同的分法数为：
2 2 2 C6 C4 C 2 3 A3 = 90（种）. 3 A3 90 9 . ∴ 三个组各有一支亚洲队的概率为 280 28
2 3 3 8 3 3 V2 ( R) R , 3 9
V2 2 3 . 故M落在内接正方体内的概率是 P 3 V1
6.若正三棱锥S-ABC的底面边长为a，高为h，h 在正三棱锥内取点P，试求点P到底面的距离小于 2 的概率. 解：如图作正三棱锥S-ABC的截面A’B’C’， SA ' SB ' SC ' 1 , 且 SA SB SC 2 则点P落在正三棱锥S-A’B’C’内的 概率为 V 1 S A' B 'C ' VS ABC 8 故点P到底面的距离小于h/2的概率 为 1 7
0 10 C 5 C 95 0.416 . P( B) 1 P( B) 1 P( A0 ) 1 10 C100
5.在9个国家乒乓球队中有 3个亚洲国家队，抽签分成 三组进行比赛预赛．求： （1）三个组各有一支亚洲队的概率； （2）至少有两个亚洲国家队在同一组的概率．
12 2 x 3 ， x 4.5 ， 12 x 3
又 x N * ，即 x 1， ， ， . 2 3 4
检验得： x 3 .
12 x 9
∴ 该文娱队共有9人．
说明：(1)注意集合元素个数的计算方法： card(A∪B)= card (A) +card (B) - card(A∩B) ． (2)本题中出现了“至少”一词，可考虑从反面做，因 为人数不知，所以从正面做较繁．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 C 3 C 4 C 3 C 3 C 4 C 3 C 2 C1 C 3 22 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C 7 C 7 C 6 C 5 C 7 C 6 C 5 C 4 C 3 35
3．学校文娱队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱 歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少有一 16 位既会唱歌又会跳舞的概率是 , 问该文娱队有多少人？ 21
3 C12 2 x 16 P( A) 1 P( A) 1 3 . C12 x 21
3 C12 2 x 5 3 C12 x 21
(12 2 x )(11 2 x )(10 2 x ) 5 即 (12 x )(11 x )(10 x ) 21
练习1：在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上 任取一点M，求AM小于AC的概率。
分析： 点M随机地落在线段AB上，故线段AB为 区域D. 当点M位于图中的线段AC’上时， AM＜AC，故线段AC’即为区域d。 A C
解： 在AB上截取AC’=AC，于是 P(AM＜AC)=P(AM＜AC’)
M
C’
(3)解题过程中出现了三次方程．由于x为正整数，可用 试根的方法求出方程的根．
A
B
4. 一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检 查，求下列事件的概率． (1)10件产品中至多有一件废品；
(2)10件产品中至少有一件废品． 分析：产品中恰有0，1，2，3，4，5件废品是互斥事件， 可用概率加法公式． 解：设Ai为事件“10件产品中恰有i件废品”,其中i=0,1,2,3， 4，5 ， Ai为彼此互斥事件． (1)设A为事件“10件产品中至多有1件废品”,则 A0 A1 A 又由于A0与A1互斥， 0 10 1 9 C5 C95 C5 C95 P( A) P( A0 A1 ) P( A0 ) P( A1 ) 10 10 C100 C100 0.923 .
B
2 AC ' AC 2 AB AB
2 则AM小于AC的概率为 . 2
练习2：在半径为1的圆上随机地取两点， 连成一条线，则其长超过圆内接等边三角形 的边长的概率是多少？
解：记事件A={弦长超过圆内接 等边三角形的边长}，取圆内接 等边三角形BCD的顶点B为弦 的一个端点，当另一点在劣弧 CD上时，|BE|>|BC|，而弧CD 的长度是圆周长的三分之一， 所以可用几何概型求解，有
2 2 1 3 4 C6 C4 C6 C4 C4 23 4 4 . 4 C10 C10 C10 42
2. 袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白 1 球的概率为 7 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲 先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人 中有一人取到白球时既终止. （1）求袋中所有的白球的个数； （2）求取球2次终止的概率； （3）求甲取到白球的概率. 2
2、几何概型的概率
在几何概型中，事件A的概率计算公式如下：
构成事件A的区域长度（面积或体积） P ( A) 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
练习1. 一个计算机学习小组有男同学6名，女同学4 名．从中任意选出4人组成代表队参加比赛，求 代表队里男同学不超过2人的概率．
解：代表队里男同学不超过2人，即男同学可 以有 2人、1人、或没有. 所以代表队里男同学不超过2人的概率
1 C n n(n 1) 则 解: （1）设袋中原有n个白球， 2 7 6 7 C7 2 （舍去） 即 n n 6 0 解得 n 3 或 n 2
即袋中原有3个白球 .
（2）记“取球2次终止” 的事件为A，则
1 1 C4 C3 2 P ( A) 1 1 . C7 C6 7
5 4 3 2 1
即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
.M(x,y)
0 1
2 3 4 5
x
二人会面的条件是： | x y | 1,
记“两人会面”为事件A y
5 4 3 2 1
y=x+1
1 P ( A) 3
B
.
O D
C
E
1 则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为 3
3.(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在 某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在 这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互 不影响。求二人能会面的概率。
解： 以 x, y 分别表示甲、乙二人到达的时刻， 于是 0 x 5, 0 y 5. y