2020_2021学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1第1课时不等关系与不等式课件新人教B版必修第一册

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新教材高中数学第2章均值不等式及其应用第1课时均值不等式学案含解析新人教B版必修第一册

新教材高中数学：2.2.4 均值不等式及其应用第1课时均值不等式学习目标核心素养1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点)1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养． 2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养．如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．问题依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？1．算术平均值与几何平均值对于正数a ，b ，常把数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．2．均值不等式 (1)当a ＞0，b ＞0时，有a ＋b2≥ab a ＝b 时，等号成立．思考1：均值不等式中的a ，b 只能是具体的数吗？ [提示] a ，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式．思考2：均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？ [提示] 不能．如a ＝－3，b ＝－4，均值不等式不成立． (2)均值不等式的常见变形①当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ；②若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立． ( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2. ( )(3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( )[答案] (1)× (2)× (3)√[提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立． (3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.2．已知a ，b ∈(0，1)，且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b D [∵a ，b ∈(0，1)，∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (a ≠b )， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (a ≠b )，∴a ＋b 最大．]3．(教材P77习题2－2A ⑧改编)已知x ＞0，则y ＝x ＋3x＋2的最小值是________．23＋2 [∵x ＞0，3x ＞0，∴y ≥23＋2，当且仅当x ＝3x，即x ＝3时等号成立．]4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .③ [根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对均值不等式的理解【例1】给出下面三个推导过程： ①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x)]≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①∵a ，b 为正实数，∴b a ，a b为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确； ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的；③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]1．均值不等式ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： (1)定理成立的条件是a ，b 都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .[跟进训练]1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x＝2； ②若x ＜0，则x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2（－x ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4；③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2.② [①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即当x ＝1时，x ＋1x≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用均值不等式比较大小【例2】 (1)已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋ab≥2 C ．a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b≥ab (2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．(1)D (2)p ＞q [(1)由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，∴A 成立； ∵b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac ). 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .∴p ＞q .]1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[跟进训练]2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b ⎝⎛由a ＋b ＞（a ＋b ）24⎭⎪⎫也就是a ＋b4＜1可得，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q .]利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∵a ，b ，c 互为相等，∴1a ＋1b ＋1c>9.本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1>8.[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∵a ，b ，c 互不相等，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＞8. ,1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2.先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．知识：应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .方法：应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构．1．对于任意a ，b ∈R ，下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋b2≥abB ．a ＋1a≥2C ．b a ＋a b≥2D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b≥2D [A 选项，当a ＜0，且b ＜0时不成立；B 选项，当a ＜0时不成立；C 选项，当a 与b 异号时不成立．故选D.]2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0 B ．0<a b<1 C ．ab <a ＋b2D ．ab >a ＋bC [∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．]3．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5C [由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去).] 4．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A ．12 B ．b C ．2abD ．a 2＋b 2B [∵ab ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴ab ＜14，∴2ab ＜12.∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0，∴a 2＋b 22＞12，∴a 2＋b 2＞12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0，∴b ＞a 2＋b 2，∴b 最大．]5．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .[证明] ∵a >0，b >0，∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .。

新教材人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式精品教学课件(共196页)

2.1.1 等式的性质与方程的解集
【知识导学】知识点一等式的性质 (1)如果 a＝b，那么 a±c＝b±c. (2)如果 a＝b，那么 a·c＝b·c，ac＝bc(c≠0)． (3)如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c.
知识点二恒等式一般地，含有字母
的等式，如果其中的字母取任意实数时等
答案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
用因式分解法解一元二次方程的关键是把方程分解为两个一次因式的积，并令每个因式分别为 0，即可得一元二次方程的解集.
[跟踪训练2] (1)因式分解： ①x2－xy－2y2； ②3x2＋2xy－y2； (2)求一元二次方程的解集： ①x2－4x＋3＝0； ②2(x－3)＝3x(x－3)．
解 (1)①原式＝(x－2y)(x＋y)． ②原式＝(x＋y)(3x－y)． (2)①方程可化为(x－1)(x－3)＝0，解得 x＝1 或 x＝3，即方程的解集为{1,3}． ②原式可化为 2(x－3)－3x(x－3)＝0，得(x－3)(2－3x)＝0，解得 x＝3 或 x＝23，即方程的解集为3，23.
(3)解方程 t2x＋1＝x＋t(t 为任意实数)．
答案 (1)B (2)A (3)解原方程变形为(t2－1)x＝t－1. ①当 t≠±1 时，x＝t＋1 1，因此方程的解集为t＋1 1； ②当 t＝－1 时，方程无解； ③当 t＝1 时，方程的解集为 R.
答案
题型一一元二次方程的解集
例 1 (1)把方程 3x＋2x－3 1＝3－x＋2 1去分母，正确的是(
式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
知识点三方程的解集所有解
一般地，把一个方程
组成的集合称为这个方程的解集．
【新知拓展】 1．恒等式的证明一般可以把恒等式的证明分为两类： (1)无附加条件的恒等式证明； (2)有附加条件的恒等式证明． 2．因式分解法解一元二次方程 (1)常用的方法主要是提公因式法、运用平方差公式、完全平方公式等分解因式．

新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.2不等式的解集学案新人教B版必修第一册

2.2.2 不等式的解集(教师独具内容)课程标准：1.了解不等式的解集和不等式组的解集的概念，会求一元一次不等式组的解集.2.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法.3.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.教学重点：1.求一元一次不等式组的解集.2.绝对值不等式的解法．教学难点：绝对值不等式的几何解法.【知识导学】知识点一不等式的解、不等式的解集及不等式组的解集的概念(1)能够使不等式成立的□01未知数的值称为不等式的解．02所有解组成的集合称为不等式的解集．(2)一般地，不等式的□(3)对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的□03解集的交集称为不等式组的解集．知识点二绝对值不等式一般地，含有□01绝对值的不等式称为绝对值不等式．知识点三数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为□01|a－b|，记作□02AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝□03a＋b2，这就是数轴上的中点坐标公式．【新知拓展】1．解绝对值不等式的主要依据解绝对值不等式的主要依据是绝对值的定义、绝对值的几何意义及不等式的性质．2．绝对值不等式|x|≤a和|x|≥a的解法1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式2x－3≤1的解集为{x|x≤2}．( )(2)若|x|≥a的解集为R，则a＜0.( )(3)|x－1|＞1的解集为{x|x＞2或x＜－2}．( )(4)|x －a |＜|x －b |⇔(x －a )2＜(x －b )2.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．做一做(1)不等式|x |>x 的解集是( ) A ．{x |x ≤0} B ．{x |x <0或x >0} C ．{x |x <0}D ．{x |x >0}(2)不等式|3x －2|<1的解集为( ) A ．(－∞，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 (3)不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．(4)已知数轴上，A (－2)，B (x )，C (5)，若A 与C 关于点B 对称，则x ＝________；若线段AB 的中点到C 的距离小于3，则x 的取值范围是________．答案 (1)C (2)B (3)[－1，＋∞) (4)32 (6,18)题型一一元一次不等式组的解法例1 解下列不等式组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞x ＋1， ①x ＋8＜4x －1； ②(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥x ＋11， ①2x ＋53－1＜2－x . ②[解] (1)将①式移项、合并同类项，得x ＞2.将②式移项、合并同类项，得3x ＞9.系数化为1，得x >3. 所以不等式组的解集为(3，＋∞)． (2)将①式移项、合并同类项，得x ≥8. 将②式去分母，得2x ＋5－3＜6－3x .移项、合并同类项，得5x <4.系数化为1，得x <45.所以不等式组的解集为∅. 金版点睛解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，最后写出不等式组的解集.[跟踪训练1] x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x －1≤7－32x 都成立？解解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3x －1，①12x －1≤7－32x .②将①式去括号，得5x ＋2＞3x －3.移项、合并同类项，得2x >－5.系数化为1，得x >－52.将②式移项，合并同类项，得2x ≤8.系数化为1，得x ≤4.所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，4，所以x 可取的整数值是－2，－1,0,1,2,3,4.题型二 |ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法例2 解下列不等式：(1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.[解] (1)|5x －2|≥8可化为5x －2≥8或5x －2≤－8，解得x ≥2或x ≤－65，故原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－65∪[2，＋∞)．(2)原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥2，|x －2|≤4.由|x －2|≥2，得x －2≤－2或x －2≥2，所以x ≤0或x ≥4.由|x －2|≤4，得－4≤x －2≤4，所以一2≤x ≤6.故原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0或4≤x ≤6}，即[－2,0]∪[4,6]．金版点睛形如|ax ＋b |≤c c >0和|ax ＋b |≥c c >0型的不等式，均可采用等价转化法进行求解，即|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c .[跟踪训练2] 解下列不等式： (1)|2x －3|≤1；(2)|4－3x |＞5.解 (1)由|2x －3|≤1可得－1≤2x －3≤1，所以1≤x ≤2.故原不等式的解集为[1,2]．(2)由|4－3x |>5可得4－3x >5或4－3x <－5，所以x <－13或x >3，即原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞). 题型三 |x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c 型不等式的解法例3 解下列不等式：(1)|x ＋1|＋|x －1|≥3；(2)|x －3|－|x ＋1|＜1.[解] (1)解法一：如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么点A ，B 之间的点到A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在点A 左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离之和为3，A 1对应数轴上的x .由－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设点B 右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离之和为3，B 1对应数轴上的x ，由x －1＋x －(－1)＝3，得x ＝32，从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 解法二：当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3，解得x ≤－32.当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解．当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3，解得x ≥32.综上所述，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 解法三：将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴交点的横坐标是－32和32.从图像可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(2)解法一：如图所示，在数轴上－1,3，x 对应的点分别为A ，C ，P ，而点B 对应的实数为12，点B 到点C 的距离与到点A 的距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P 在射线Bx 上(不含点B )时，不等式成立，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 解法二：原不等式⇔①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－x －3＋x ＋1＜1或②⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜3，－x －3－x ＋1＜1或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x －3－x ＋1＜1，解得①的解集为∅，②的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜3，③的解集为{x |x ≥3}．综上可知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.解法三：将原不等式转化为|x －3|－|x ＋1|－1<0，构造函数y ＝|x －3|－|x ＋1|－1，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－1，－2x ＋1，－1＜x ＜3，－5，x ≥3.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.由图像可知，当x >12时，有y <0，即|x －3|－|x ＋1|－1<0，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 金版点睛形如|x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c型不等式的解法这种类型的不等式在求解时有三种方法：(1)利用绝对值的几何意义求解，这种方法体现了数形结合的思想，是解绝对值不等式最简单的方法，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题的关键．(2)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根，把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间，然后利用区间分段讨论法去绝对值符号求解，这种方法体现了分类讨论的思想，是解绝对值不等式最常用的方法．(3)构造函数，利用函数图像求解，这种方法体现了函数与方程的思想，准确画出函数图像并求解函数图像与x 轴的交点坐标是解题的关键．[跟踪训练3] 解下列不等式：(1)|x －1|－|5－x |＞2；(2)|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 解 (1)原不等式即为|x －1|－|x －5|>2，其等价于 ①⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，1－x －5－x ＞2或②⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1－5－x ＞2或③⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，x －1－x －5＞2，解得①无解，②的解集为{x |4<x ≤5}，③的解集为{x |x >5}，故原不等式的解集为(4，＋∞)．(2)①当x ≤－23时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x －(3x ＋2)≥8⇔－5x ≥9⇔x ≤－95，所以x ≤－95；②当－23<x <12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x ＋3x ＋2≥8⇔x ＋3≥8⇔x ≥5，所以x ∈∅；③当x ≥12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔5x ＋1≥8⇔5x ≥7⇔x ≥75，所以x ≥75.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－95∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫75，＋∞.1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0，3x －1≤2x －1的解集为( )A ．(－3,0]B ．(－3,2]C ．∅ D.⎝⎛⎦⎥⎤－3，－45答案 B解析解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0， ①3x －1≤2x －1， ②将①式移项，得x ＞－3.将②式去括号，得3x －3≤2x －1.移项、合并同类项，得x ≤2.所以不等式组的解集为(－3,2]，故选B.2．不等式|4－x |≥1的解集为( ) A ．[3,5] B ．(－∞，3]∪[5，＋∞) C ．[－4,4] D ．R答案 B解析 |4－x |≥1⇒x －4≥1或x －4≤－1，即x ≥5或x ≤3.所以所求不等式的解集为(－∞，3]∪[5，＋∞)．故选B.3．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为( ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0) D ．(－4，－2)∪(0,2) 答案 D解析由1＜|x ＋1|＜3，得1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1，所以0＜x ＜2或－4＜x ＜－2.所以所求不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．4．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________．答案 [1，＋∞)解析解法一：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，两边平方，得(x ＋1)2≥(x －3)2，解得x ≥1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．解法二：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x 到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x ＝1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．5．解不等式|x ＋2|＋|x －1|＜4.解 |x ＋2|＝0和|x －1|＝0的根－2,1把数轴分为三个区间：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)．在这三个区间上|x ＋2|＋|x －1|有不同的表达式，它们构成了三个不等式组．(1)当x ≤－2时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔－2－x ＋1－x ＜4⇔－2x ＜5⇔x ＞－52，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2. (2)当－2＜x ＜1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋1－x ＜4⇔3＜4，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜x ＜1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为(－2,1)．(3)当x ≥1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋x －1＜4⇔2x ＜3⇔x ＜32，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 因此原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2∪(－2,1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32.。

2021_2022学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质课件新人教B版必修第一

2021
第二章
2.2.1 不等式及其性质
内
容
索
引
01
课前篇自主预习
02
课堂篇探究学习
课标阐释
1.了解日常生活中的不等关系.(数学抽象)
2.掌握不等式的性质.(数学抽象)
3.能利用不等式的性质对数或式进行大小比较,解不等式(组)和不等式证
明.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇自主预习
【激趣诱思】
(1)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”,其含义是指“或者a>b,或者a=b”,
等价于“a不小于b”,即若a>b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确.
(2)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a<b,或者a=b”,
等价于“a不大于b”,即若a<b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确.
系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合
法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,
则综合法可用框图表示为:
P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q
(2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直
至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、
(-)(-)
-
(-)(-)
=
(-)
.
(-)(-)
∵c>a>b>0,∴a-b>0,c-a>0,c-b>0.
(-)

∴(-)(-)>0,-

∴-
>

.
-
−

>0.

2020_2021学年新教材高中数学第2章等式与不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性质第1课时不等关系与不等式学

2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第1课时不等关系与不等式学习目标核心素养1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养．如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志：其含义分别为①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h；②限制质量：装载总质量m不得超过10 t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m；④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m.你能用数学式子表示上述关系吗？1．不等式的定义我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．2．不等式a≤b和a≥b的含义(1)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“a＜b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(2)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“a＞b，或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a＞b与a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．3．实数大小比较的依据我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．一般地，如果点P对应的数为x，则称x 为点P的坐标，并记作P(x)．另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小．如图所示的数轴中，A(a)，B(b)，不难看出b>1>0>a.此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数(即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离．由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a－b与0的相对大小就可以了，即a－b＜0⇔a＜b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＞0⇔a＞b.上面等价符号的左式反映的是实数的运算性质，右式反映的则是实数的大小顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系．它是不等式的理论基础，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( )(2)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a<b三种关系中的一种．( )(3)若a＞b，则ac2＞bc2. ( )(4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d. ( )[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d 不得小于10 m，用不等式表示为( )A．v≤120 km/h且d≥10 mB．v≤120 km/h或d≥10 mC．v≤120 km/hD．d≥10 mA[v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.]3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．4.5t<28 000[由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.]4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．M＞N[M－N＝a2＋a＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞0， ∴M ＞N .]用不等式(组)表示不等关系【例1】京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h 的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h ，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．[解] 设复兴号列车速度为v 1，民航飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.v 1，v 2的关系：2v 1＋100≤v 2， v 1，v 3的关系：v 1＞3v 3.在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．[跟进训练]1．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式(组)表示其中的不等关系．[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2(m).因此菜园面积S ＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意有S ≥216，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216，故该题中的不等关系可用不等式组表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.比较两数(式)的大小【例2】 (教材P60例1改编)已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1). ∵x ≤1，∴x －1≤0，而3x 2＋1＞0， ∴(3x 2＋1)(x －1)≤0，∴3x 3≤3x 2－x ＋1.把本例中“x ≤1”改为“x ∈R ”，再比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝(3x 2＋1)(x －1). ∵3x 2＋1＞0，当x ＞1时，x －1＞0，∴3x 3＞3x 2－x ＋1；当x ＝1时，x －1＝0，∴3x 3＝3x 2－x ＋1；当x ＜1时，x －1＜0，∴3x 3＜3x 2－x ＋1.作差法比较两个实数大小的基本步骤[跟进训练]2．比较2x 2＋5x ＋3与x 2＋4x ＋2的大小． [解] (2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34＞0. ∴(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＞0， ∴2x 2＋5x ＋3＞x 2＋4x ＋2.不等关系的实际应用【例3】某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x (n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当0＜n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．[跟进训练]3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？[解] 设该家庭除户主外，还有x 人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y 甲、y乙，一张全票价为a 元，则y 甲＝a ＋0.55ax ，y 乙＝0.75(x ＋1)a . y 甲－y 乙＝(a ＋0.55ax )－0.75(x ＋1)a＝0.2a (1.25－x )，当x ＞1.25(x ∈N )时，y 甲＜y 乙；当x ＜1.25(x ∈N )时，即x ＝1时，y 甲＞y 乙．因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．知识：比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .方法：作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．1．如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上面叙述中的不等关系正确的是( )A ．a ＞4bB ．(a ＋4)(b ＋4)＝200C ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4b （a ＋4）（b ＋4）＝200 D ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4b4ab ＝200 C [∵仓库的长a 大于宽b 的4倍，∴a ＞4b .又矩形地基的面积为200 m 2，∴(a ＋4)(b ＋4)＝200，故选C.]2．下面表示“a 与b 的差是非负数”的不等关系的是( ) A ．a －b ＞0 B ．a －b ＜0 C ．a －b ≥0 D ．a －b ≤0[答案] C3．设M ＝(a ＋1)(a －3)，N ＝2a (a －2)，则( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜ND ．M ≤NC [N －M ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，即M ＜N ，故选C.]4．若实数a >b ，则a 2－ab ________ba －b 2.(填“>”或“<”) > [因为(a 2－ab )－(ba －b 2)＝(a －b )2，又a >b ，所以(a －b )2>0.]5．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，试用不等式表示上述关系．[解]由题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.。

新教材高中数学第二章等式与不等式2.3一元二次不等式的解法课件新人教B版必修第一册课件

分式不等式的解法其中f(x)、g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0.
分式不等式
f (x)
g(x)>0
f (x)
g(x)<0
f (x) g(x)
>a(a≠0)
同解不等式
f (x) g(x)
0,或
0
f (x) g(x)
0, 0
f(x)g(x)>0
f (x) g(x)
0,或
0
f (x) g(x)
2
2.(
)若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,求实数a的取值范围.
思路点拨:
ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,即ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立,对a进行分类讨论
求解.
解析不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,
等价于不等式ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立.
1 x 4
2.在问题1中出现了分母中含有未知数的不等式,称为分式不等式.请归纳如何解这个不等式.
提示:移项,通分,得 3x 1 ≤0.
4(x 1)
因为x>0,所以x+1>0,
所以3x-1≤0,即0<x≤1 .
3
所以该不等式的解集为
0,
1 3
.
1.解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解.
②求出各因式对应方程的实数根,并在数轴上标出; ③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根穿过,遇偶次重根穿而不过(即“奇过偶不过”); ④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.

2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等

A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2}
解析
∵x⊗(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0， ∴ x2＋x－2＜0 ，即(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1，故选B.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
刷能力
8．已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是( A ) A．{x|x＜5a或x＞－a} B．{x|x＞5a或x＜－a} C．{x|－a＜x＜5a} D．{x|5a＜x＜－a}
刷能力
5．[陕西延安2020高二期中]关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x>－1}，则关于x的不等式(bx＋a)(x－3)>0的解集是( C )
A．{x|x<－1或x>3} B．{x|－1<x<3} C．{x|1<x<3} D．{x|x<1或x>3}
解析
由关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x>－1}，可得a＞0且
价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400 元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( B )
A．{x|10＜x＜20}
B．{x|15≤x＜20}
C．{x|15＜x＜20}
D．{x|10≤x＜20}
解析
由题意可知x[30－2(x－15)]＞400，则－2x2＋60x－400＞0，即x2－30x＋200＜0，∴(x－10)(x－20)＜
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
刷基础
题型4 已知不等式的解集求参数值

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：2.2 第1课时基本不等式

关键能力·攻重难
题型探究题型一利用基本不等式判断命题真假
例 1 下列不等式一定成立的是( C )
A． x2＋14> x(x>0)
B．x＋1x≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．x2＋1 1>1(x∈R)
[解析] 选项 A 中，x2＋41≥x(当且仅当 x＝12时，x2＋14＝x)，故选项 A 不正确；选项 B 中，x＋1x≥2(x>0)，x＋1x≤－2(x<0)，故选项 B 不正确；选项 C 中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项 C 正确；选项 D 中， x2＋1≥1，则 0<x2＋1 1≤1，故选项 D 不正确．
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
【素养目标】 1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象) 2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算) 4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理) 5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)
理的拆、凑、配等变换．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1) 两个不等式
a2 ＋ b2≥2ab
与
a＋b 2
≥
ab 成立的条件是相同
的．( × )
(2)当 a>0，b>0 时，a＋b≥2 ab.( √ )
(3)当 a>0，b>0 时，ab≤(a＋2 b)2.( √ )
(4)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × )
[解析] (1)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；不等式a＋2 b ≥ ab成立的条件是 a>0，b>0.

新教材高中数学第二章等式与不等式...

新教材⾼中数学第⼆章等式与不等式...第⼆章等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质考点1不等关系1.(2019·⼤连⼀中⾼⼆⽉考)已知a,b∈R,下列四个条件中,使ab>1成⽴的必要不充分条件是()。

A.a>b-1B.a>b+1C.|a|>|b|D.ab>1答案：C解析：由ab >1?ab-1>0?a-bb>0?(a-b)b>0?a>b>0或a|b|,但由|a|>|b|不能得到a>b>0或ab >1,故|a|>|b|是使ab>1成⽴的必要不充分条件。

2.给出下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy。

其中恒成⽴的不等式的个数为()。

A.3B.2C.1D.0答案：C解析：因为a2+3-2a=(a-1)2+2>0,所以①恒成⽴;因为a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b-1)2≥0,x2+y2-2xy=(x-y)2≥0,所以②③不恒成⽴。

故恒成⽴的不等式的个数为1。

3.(2019·泰⼭外国语学校⾼⼆⽉考)甲、⼄两⼈同时从寝室出发前往教室,甲⼀半路程步⾏,⼀半路程跑步,⼄⼀半时间步⾏,⼀半时间跑步,如果两⼈步⾏速度、跑步速度均相同,且步⾏速度⼩于跑步速度,则先到教室的是()。

A.甲B.⼄C.同时到达D.⽆法判断答案：B解析：设总程为s,步⾏速度为v1,跑步速度为v2,则甲所⽤时间t1=1 2 s v1 +12sv2,⼄所⽤时间t2=2sv1+v2,则t1-t2=s2v1+s2v2-2sv1+v2=s(v1+v22v1v2-2v1+v2)=s(v1+v2)2-4v1v22v1v2(v1+v2)=s(v1-v2)22v1v2(v1+v2),⼜v10,所以⼄先到教室,故选B。

考点2不等式的性质4.(2019·北京西城区⾼⼆联考)已知a<0,-1A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a答案：D解析：由于每个式⼦中都有a,故选择⽐较1,b,b2的⼤⼩。

新教材高中数学一元二次函数方程和不等式第1课时不等关系与不等式学案含解析新人教A版必修1

第二章一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式[目标] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.理解不等号的意义和不等式的概念,会用不等式和不等式组表示各种不等关系；3.理解实数大小与实数运算的关系,会用作差比较法比较两个实数的大小．[重点] 会用作差比较法比较两个实数的大小．[难点] 用不等式或不等式组表示各种不等关系．知识点一不等式与不等关系[填一填]1．不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号<,≤,>,≥或≠.(2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换[答一答]1．不等关系通过什么样的形式表现出来？提示：通过不等式来表现不等关系．2．在日常生活中,我们经常看到下列标志：(1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？ (2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：(1)①最低限速：限制行驶时速v 不得低于50公里； ②限制质量：装载总质量G 不得超过10 t ； ③限制高度：装载高度h 不得超过3.5米； ④限制宽度：装载宽度a 不得超过3米； ⑤时间范围：t ∈{t |7.5≤t ≤10}．(2)①v ≥50；②G ≤10；③h ≤3.5；④a ≤3；⑤7.5≤t ≤10. 知识点二比较两实数a,b 大小的依据[填一填][答一答]3．用作差法比较两个实数的大小时,对差式应如何变形？提示：一般地,对差式分解因式或配方． 4．比较x 2＋3与3x 的大小(其中x ∈R )．提示：因为(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝[x 2－3x ＋⎝⎛⎭⎫322]＋3－⎝⎛⎭⎫322＝⎝⎛⎭⎫x －322＋34≥34>0,所以x 2＋3>3x .类型一用不等式(组)表示不等关系[例1] 已知甲、乙两种食物的维生素A,B 含量如下表：食物甲乙维生素A/(单位/kg) 600 700 维生素B/(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg,y kg 配成混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用不等式组表示x ,y 所满足的不等关系．[分析] 根据维生素A 和B 分别至少为56 000单位和63 000单位列不等式．[解] x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位,含有维生素B 800x 单位,y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位,含有维生素B 400y 单位,则x kg 甲种食物与y kg 乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x ＋700y )单位,含有维生素B(800x ＋400y )单位,则有⎩⎪⎨⎪⎧ 600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ≥560，4x ＋2y ≥315，x ≥0，y ≥0.1.用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意,明确条件中的不等关系的个数； (2)适当设未知数表示变量；(3)用不等式表示每一个不等关系,并写成不等式组的形式． 2．常见的文字语言与符号语言之间的转换[变式训练1]《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行,身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票),超过1.4米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克……设身高为h(米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米),请用不等式表示下表中的不等关系.解：由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示．身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4,身高超过1.4米可表示为h>1.4,身高不足1.1米可表示为h<1.1,物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：类型二比较大小[例2] (1)设m ∈R ,x ∈R ,比较x 2－x ＋1与－2m 2－2mx 的大小．(2)甲、乙是同班同学,且住在同一小区,两人同时从小区出发去学校,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,且跑步速度大于步行速度,试判断两人谁先到学校．[分析] (1)将两个代数式作差,判断它们差的符号．(2)依据题意求出甲、乙所用时间,作差法进行比较．[解] (1)∵x ∈R ,m ∈R ,∴(x 2－x ＋1)－(－2m 2－2mx )＝x 2＋(2m －1)x ＋(2m 2＋1)＝x 2＋(2m －1)x ＋⎝⎛⎭⎫2m －122－⎝⎛⎭⎫2m －122＋2m 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋2m －122＋m 2＋m ＋34＝⎝⎛⎭⎫x ＋2m －122＋⎝⎛⎭⎫m ＋122＋12>0.∴x 2－x ＋1>－2m 2－2mx .(2)设步行速度与跑步速度分别为v 1,v 2,其中0<v 1<v 2,总路程为2s .则甲用的时间为s v 1＋sv 2,乙有的时间为4s v 1＋v 2.因为s v 1＋s v 2－4s v 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0,所以sv 1＋s v 2>4sv 1＋v 2,故乙同学先到学校．1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论. 2.作商法比较大小的步骤,①作商变形；②与1比较大小；③得出结论.[变式训练2] 设x ∈R ,且x ≠－1,比较11＋x 与1－x 的大小．解：∵11＋x －(1－x )＝x 21＋x ,而x 2≥0,(1)当x ＝0时,x 21＋x ＝0,∴11＋x ＝1－x .(2)当1＋x <0,即x <－1时,x 21＋x <0,∴11＋x<1－x . (3)当1＋x >0,且x ≠0,即－1<x <0或x >0时,x 21＋x >0,∴11＋x >1－x .综上可知：当x ＝0时,11＋x ＝1－x ；当x <－1时,11＋x <1－x ；当－1<x <0或x >0时,11＋x>1－x .类型三不等式的实际应用[例3] 某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票,按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的,试根据此单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠．[分析] 依据题意表示出两车队的收费,然后比较大小．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *),全票价为x 元,坐甲车需花y 1元,坐乙车需花y 2元,则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ,y 2＝45xn ,y 1－y 2＝14x ＋34xn －45xn ＝14x －120xn ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时,y 1＝y 2；当n >5时,y 1<y 2；当n <5时,y 1>y 2.因此,当此单位去的人数为5人时,两车队收费相同；多于5人时,选甲车队更优惠；少于5人时,选乙车队更优惠．(1)“最优方案”问题,首先要设出未知量,搞清楚比较的对象,然后把这个未知量用其他的已知量表示出来,通过比较即可得出结论.(2)这是一道与不等式有关的实际应用问题,解答时要有设有答,步骤完整.[变式训练3] 某蛋糕师制作A ,B 两种蛋糕,原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个A 种蛋糕需要面粉150 g,黄油100 g,牛奶50 mL ；制作一个B 种蛋糕需要面粉200 g,黄油140 g,牛奶70 mL.现有面粉1 000 g,黄油600 g,牛奶350 mL.若分别制作x 个A 种蛋糕,y 个B 种蛋糕．试列出x ,y 满足的不等式组．解：①制作A ,B 两种蛋糕需要的面粉不超过1 000 g,用不等式表示为150x ＋200y ≤1 000； ②制作A ,B 两种蛋糕需要的黄油不超过600 g,用不等式表示为100x ＋140y ≤600； ③制作A ,B 两种蛋糕需要的牛奶不超过350 mL,用不等式表示为50x ＋70y ≤350； ④A ,B 两种蛋糕的制作量都应不少于0,且为整数个,故x ∈N ,y ∈N . 所以x ,y 满足的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧150x ＋200y ≤1 000100x ＋140y ≤60050x ＋70y ≤350x ∈N ，y ∈N .1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元,设x 个月后他至少有400元,则关于月数x 的不等式是( B )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋60≤400解析：x 月后他至少有400元,可表示成30x ＋60≥400.2．若x ≠－2且y ≠1,则M ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的值与－5的大小关系是( A ) A ．M >－5 B ．M <－5 C ．M ≥－5D ．M ≤－5解析：M －(－5)＝x 2＋y 2＋4x －2y ＋5 ＝(x ＋2)2＋(y －1)2, ∵x ≠－2,y ≠1, ∴(x ＋2)2>0,(y －1)2>0, 因此(x ＋2)2＋(y －1)2>0. 故M >－5.3．设a ≥0,b ≥0,A ＝a ＋b ,B ＝a ＋b ,则A ,B 的大小关系是( B ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B 解析：由题意得,B 2－A 2＝－2ab ≤0,因为A ≥0,B ≥0,所以A ≥B .4．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0),若再添上m 克糖(m >0),则糖水就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式a ＋m b ＋m >ab(b >a >0,m >0)．解析：由题意ab的比值越大,糖水越甜,若再添上m 克糖(m >0),则糖水就变甜了,说明a ＋mb ＋m >ab. 5．已知a ,b 为正实数,试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小．解：方法1(作差法)：(a b ＋b a )－(a ＋b )＝(a b －b )＋(ba －a )＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab.∵a ,b 为正实数,∴a ＋b >0,ab >0,(a －b )2≥0, ∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0,∴a b ＋b a ≥a ＋b .方法2(作商法)：b a ＋ab a ＋b ＝(b )3＋(a )3ab (a ＋b )＝(a ＋b )(a ＋b －ab )ab (a ＋b )＝a ＋b －abab＝(a －b )2＋ab ab ＝1＋(a －b )2ab ≥1.∵b a ＋a b >0,a ＋b >0,∴b a ＋ab≥a ＋b . 方法3(平方后作差)：∵(a b ＋b a )2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ,(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ,∴(a b ＋b a )2－(a ＋b )2＝(a ＋b )(a －b )2ab .∵a >0,b >0,∴(a ＋b )(a －b )2ab ≥0,又a b ＋ba >0,a ＋b >0, 故a b ＋ba≥a ＋b .——本课须掌握的三大问题1．不等关系强调的是关系,可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用“a >b ”“a <b ”“a ≠b ”“a ≥b ”“a ≤b ”等式子表示,不等关系是可以通过不等式来体现的．2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换文字大于,高于,超过小于,低于,少于大于或等于,至少,小于或等于,至多,不(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论,其中变形是判断符号的前提．。

2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.1.1等式的性质与方程的解集课件新人教B版必修1

类型二十字相乘法分解因式【典例】把下列各式因式分解. (1)x2+3x+2 (2)6x2-7x-5 (3)5x2+6xy-8y2
2.方程x(x-1)=x的根是 ( )
A.x=2
B.x=-2
C.x1=-2，x2=0
D.x1=2，x2=0
【解析】选D.因为x(x-1)=x，所以x2-x=x，
所以x2-2x=0，所以x(x-2)=0，所以x1=2，x2=0.
3.(多选题)下列等式中，是恒等式的是 ( ) A.(x-2)(x+2)=x2-4 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(-3+m)·(3+m)=m2-9 D.16x2-9=24x
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)计算(2a+5)(2a-5)=2a2-25. ( ) (2)因式分解过程为：x2-3xy-4y2=(x+y)(x-4). ( ) (3)用因式分解法解方程时部分过程为： (x+2)(x-3)=6，所以x+2=3或x-3=2. ( )
提示：(1)×.(2a+5)(2a-5)=(2a)2-25=4a2-25. (2)×.x2-3xy-4y2=(x+y)(x-4y). (3)×.若(x+2)(x-3)=0，可化为x+2=0或x-3=0.
2.选B.方法一：(x+3y)2-(3x+y)2 =x2+6xy+9y2-(9x2+6xy+y2) =x2+6xy+9y2-9x2-6xy-y2 =8y2-8x2.
方法二： (x+3y)2-(3x+y)2 =[(x+3y)+(3x+y)][(x+3y)-(3x+y)] =(x+3y+3x+y)(x+3y-3x-y) =(4x+4y)(-2x+2y)=4(x+y)×2(-x+y) =8y2-8x2.

2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 2.1 等式性质与不等式性质教案

【新教材】2.1等式性质与不等式性质教学设计（人教A版）等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、两个实数比较大小的方法作差法 {a −b >0⟺a >b a −b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b作商法{ ab >1⟺a >b ab =1⟺a =b ab <1⟺a <b2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三题型一不等式性质应用例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）× 解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ；（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ；（3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2 （4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca>cb 。

2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式检测试题含解析人教A版必修一

第二章检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题每小题5分，共60分 1．若a <0，－1<b <0，则有( D ) A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a解析：由－1<b <0，可得1>b 2>0>b ，由a <0，得ab >ab 2>a . 2．若1a <1b<0，则下列结论正确的是( A )A ．a >bB ．ab <b C.b a ＋a b<－2D ．a 2>b 2解析：因为1a <1b<0，所以b <a <0.故选A.3．不等式4＋3x －x 2<0的解集为( B ) A ．{x |－1<x <4} B ．{x |x >4或x <－1} C ．{x |x >1或x <－4} D ．{x |－4<x <1}解析：不等式4＋3x －x 2<0可化为x 2－3x －4>0，即(x ＋1)(x －4)>0，解得x >4或x <－1.故不等式的解集为{x |x >4或x <－1}．4．若关于x 的不等式x 2＋px ＋q <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式x 2＋px ＋qx 2－5x －6>0的解集是( D )A ．{x |1<x <2}B ．{x |x <－1或x >6}C ．{x |－1<x <1或2<x <6}D ．{x |x <－1或1<x <2或x >6}解析：由题知x 2＋px ＋q ＝(x －1)(x －2)，故x 2＋px ＋q x 2－5x －6>0，同解于(x －1)(x －2)(x ＋1)(x －6)>0，得x <－1，或1<x <2，或x >6.故选D.5．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( A )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为x ＋y ≥2xy ，且x ＋y ＝2，所以2≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以xy ≤1，所以1xy≥1，所以1≥M ，所以M max ＝1.故选A.6．已知a >0，b ∈R ，那么“a ＋b >0”是“a >|b |”的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝1，b ＝2时，满足a ＋b >0，但是a >|b |不成立，即充分性不成立，当a >|b |时，一定有a ＋b >0成立，∴“a ＋b >0”是“a >|b |”的必要不充分条件，故选B.7．在R 上定义运算*：x *y ＝x ·(1－y )．若关于x 的不等式x *(x －a )>0的解集是集合{x |－1≤x ≤1}的子集，则实数a 的取值范围是( D )A ．0≤a ≤2B ．－2≤a ≤－1或－1<a ≤0C ．0≤a <1或1<a ≤2D ．－2≤a ≤0解析：由题意得，x *(x －a )＝x ×[1－(x －a )]＝x ×[(a ＋1)－x ]，所以x *(x －a )>0等价于x ×[x －(a ＋1)]<0.由题意知该不等式的解集可以是空集，此时a ＝－1.当不等式的解集不是空集时，分两种情况：若a >－1，则不等式的解集为{x |0<x <a ＋1}，所以a ＋1≤1，即a ≤0，故a 的取值范围为－1<a ≤0；若a <－1，则不等式的解集为{x |a ＋1<x <0}，所以a ＋1≥－1，即a ≥－2，故a 的取值范围为－2≤a <－1.综上所述，a 的取值范围为－2≤a ≤0，故选D.8．设a 是实数，要使得对任意x ∈{x |x <1或x >5}，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则a 的取值范围为( D )A ．a ≤5B ．1<a <4C ．1<a ≤7D ．1<a ≤5解析：令f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a .(1)f (x )与x 轴没有交点．这时f (x )恒大于0，满足要求．由Δ＝4(a －2)2－4a <0，解得1<a <4.(2)f (x )与x 轴有交点．这时，由函数图象可知，f (x )满足要求当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f 1≥0，f 5≥0，1≤a －2≤5，f a －2≤0，解得4≤a ≤5.综上可知，a 的取值范围是1<a ≤5.9．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( B )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz解析：方法1：因为x <y <z ，a <b <c ，所以ax ＋by ＋cz －(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(x －z )(a －c )>0，故ax ＋by ＋cz >az ＋by ＋cx ；同理，ay ＋bz ＋cx －(ay ＋bx ＋cz )＝b (z －x )＋c (x －z )＝(x －z )(c －b )<0，故ay ＋bz ＋cx <ay ＋bx ＋cz .又az ＋by ＋cx －(ay ＋bz＋cx )＝a (z －y )＋b (y －z )＝(a －b )(z －y )<0，故az ＋by ＋cx <ay ＋bz ＋cx .综上可得，最低的总费用为az ＋by ＋cx .方法2：采用特殊值法进行求解验证即可，若x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3，则ax ＋by ＋cz ＝14，az ＋by ＋cx ＝10，ay ＋bz ＋cx ＝11，ay ＋bx ＋cz ＝13.由此可知最低的总费用是az ＋by ＋cx .10．已知关于x 的不等式1a x 2＋bx ＋c <0(ab >1)的解集为空集，则T ＝12ab －1＋a b ＋2cab －1的最小值为( D )A. 3 B ．2 C ．2 3D ．4解析：由题意得，1a >0，b 2－4ca≤0，得c ≥ab 24.所以T ＝12ab －1＋a b ＋2c ab －1≥1＋2ab ＋a 2b 22ab －1. 令ab －1＝m ，则m >0，所以T ≥1＋2m ＋1＋m ＋122m＝m 2＋2m＋2≥4. 当且仅当m 2＝2m，即m ＝2，ab ＝3时取到等号，则T ＝12ab －1＋a b ＋2cab －1的最小值为4.故选D.11．当x >0时，x 2＋mx ＋4≥0恒成立，且关于t 的不等式t 2＋2t ＋m ≤0有解，则实数m 的取值范围是( B )A ．m ≥1B ．－4≤m ≤1C ．m ≤4或m ≥1D ．m ≤－4解析：∵当x >0时，x 2＋mx ＋4≥0恒成立，∴m ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x .∵x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号，∴m ≥－4. ∵关于t 的不等式t 2＋2t ＋m ≤0有解， ∴Δ＝4－4m ≥0，∴m ≤1.故实数m 的取值范围是－4≤m ≤1.故选B.12．设M 是△ABC 内一点，且△ABC 的面积为1，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( D ) A ．8 B ．9 C ．16D ．18解析：由△ABC 的面积是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积之和，可知12＋x ＋y ＝1，即x ＋y＝12，且x >0，y >0，则1x ＋4y ＝(2x ＋2y )·(1x ＋4y )＝10＋8x y ＋2yx ≥10＋28x y ×2yx＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 8x y ＝2y x ，x ＋y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝13时等号成立，所以1x ＋4y的最小值是18.故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题每小题5分，共20分13．已知关于x 的不等式(m 2＋4m －5)x 2－4(m －1)x ＋3>0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为1≤m <19.解析：(1)当m 2＋4m －5＝0，即m ＝1或m ＝－5时，显然m ＝1符合条件，m ＝－5不符合条件；(2)当m 2＋4m －5≠0时，由二次函数对一切实数x 恒为正数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m －5>0，Δ＝16m －12－12m 2＋4m －5<0，解得1<m <19.综合(1)(2)得，实数m 的取值范围为1≤m <19.14．已知函数f (x )＝－1a ＋2x，若f (x )＋2x ≥0在x >0上恒成立，则a 的取值范围是a <0或a ≥14.解析：因为f (x )＋2x ＝－1a ＋2x ＋2x ≥0在x >0上恒成立，即1a≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在x >0上恒成立，因为2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥4，当且仅当x ＝1时等号成立．所以1a ≤4，解得a <0或a ≥14.15．要挖一个面积为432 m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m,4 m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为24_m 、宽为18_m.解析：设鱼池的相邻两边长分别为x m ，y m ，则xy ＝432，∴(x ＋6)(y ＋8)＝xy ＋6y ＋8x ＋48＝480＋6y ＋8x ≥480＋248xy ＝768，当且仅当6y ＝8x ，即x ＝18，y ＝24时，等号成立．16．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2.解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12(x y ＋2yx)≥2，当且仅当x y ＝2yx，即x ＝2y 时等号成立．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2. 三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分 17．(10分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．解：(1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－3×－2＝6，－3＋－2＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k >66或k <－66.所以k <－66. 即k 的取值范围是k <－66. 18．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈{x |0≤x ≤2}，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 故当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意的x ∈{x |0≤x ≤2}，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在0≤x ≤2上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在0≤x ≤2上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0≤0，g 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.所以a 的取值范围是a ≥34.19．(12分)为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为C (x )万元．在年产量不足8万件时，C (x )＝13x2＋2x (万元)；在年产量不小于8万件时，C (x )＝7x ＋100x－37(万元)．每年产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完．(1)写出年利润P (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)；(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解：(1)因为每件商品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元．依题意得，当0<x <8时，P (x )＝6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋2x －2＝－13x 2＋4x －2；当x ≥8时，P (x )＝6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫7x ＋100x －37－2＝35－x －100x.所以P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －20<x <8，35－x －100x，x ≥8.(2)当0<x <8时，P (x )＝－13(x －6)2＋10，因此，当x ＝6时，P (x )取得最大值P (6)＝10(万元)；当x ≥8时，P (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝15(万元)，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，取等号，即x ＝10时，P (x )取得最大值15万元．因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．20．(12分)已知函数y ＝x 2ax ＋b(a 、b 为常数)，且方程y －x ＋12＝0的两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求a 、b 的值；(2)设k >1，解关于x 的不等式y (2－x )<(k ＋1)x －k .解：(1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b＝－9，164a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.(2)原不等式为x 22－x·(2－x )<(k ＋1)x －k ，可化为x 2－(k ＋1)x ＋k <0，即(x －1)(x －k )<0，①当1<k 时，1<x <k ； ②当k ＝1时，∅； ③当k <1时，k <x <1.综上所述，当1<k 时，原不等式的解集为(1，k )；当k ＝1时，原不等式的解集为∅；当k <1时，原不等式的解集为(k,1)．21．(12分)已知方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根． (1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围； (2)如果两实根都在1<x <3内，求实数m 的取值范围；(3)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．解：(1)方法1：设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，作其草图，如图所示．若两实根均大于1，需⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－m －1]2－32m －7≥0，f 1>0，m －116>1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m >17，解得m ≥25.方法2：设方程两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m －18，x 1x 2＝m －78，因为两根均大于1，所以x 1－1>0，x 2－1>0，故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－m －1]2－32m －7≥0，x 1－1＋x 2－1>0，x 1－1x 2－1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧[－m －1]2－32m －7≥0，m －18－2>0，m －78－m －18＋1>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R .所以m ≥25.(2)若两根1<x 1，x 2<3，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 1>0，f 3>0，1<m －116<3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m <34，17<m <49，所以25≤m <34.(3)若一根大于2，另一根小于2，则f (2)<0，即27－m <0，解得m >27. 22．(12分)设函数y ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1. (1)当a ∈R 时，求关于x 的不等式y <0的解集；(2)若y ≤x 3－x 2＋1在x ≥32上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式可化为(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式可化为(x －1a)(x －1)<0，其解的情况应由1a与1的大小关系确定，当a ＝1时，不等式无解，当a >1时，解得1a<x <1，当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a}；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．(2)由ax 2－(a ＋1)x ＋1≤x 3－x 2＋1得a (x 2－x )≤x 3－x 2＋x ， ∵x ≥32，∴x 2－x >0，∴a ≤x 3－x 2x 2－x ＋x x 2－x ＝x ＋1x －1，即a ≤x ＋1x －1在x ≥32上恒成立，令g (x )＝x ＋1x －1，则只需a ≤g (x )min ，又x ≥32，∴x －1>0，∴g (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2x －1·1x －1＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立． ∴a 的取值范围是a ≤3.。

高中数学第二章等式与不等式.不等式..4第1课时均值不等式学案含解析B版第一册 (1)

2．2.4 均值不等式及其应用第1课时均值不等式内容标准学科素养1。

探索并了解均值不等式的证明过程．直观想象逻辑推理2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式。

授课提示：对应学生用书第33页[教材提炼］知识点均值不等式1.给定两个正数a ,b ，数错误!称为a ，b 的算术平均值，数错误!称为a ，b 的几何平均值．2．如果a ,b 都是正数,那么错误!≥错误!，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．几何意义：所有周长一定的矩形中,正方形的面积最大．[自主检测]1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(）A．a2＋b2≥2|ab|B．a2＋b2＝2｜ab｜C．a2＋b2≤2｜ab｜D．a2＋b2＞2｜ab｜答案：A2．若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是() A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2错误!C.错误!＋错误!＞错误!D.错误!＋错误!≥2答案:D3．若x＞0，y＞0且x＋y＝4,则下列不等式中恒成立的是() A.错误!＞错误!B。

错误!＋错误!≥1C。

错误!≥2D。

错误!≥1答案:B授课提示：对应学生用书第33页探究一用均值不等式判断不等式的成立［例1]有下列式子：①a2＋1＞2a；②错误!≥2；③错误!≥2；④x2＋错误!≥1，其中正确的个数是(）A．0B．1C．2 D．3[解析]∵a2－2a＋1＝（a－1）2≥0，∴a2＋1≥2a，故①不正确；对于②，当x＞0时，错误!＝x＋错误!≥2（当且仅当x＝1时取“＝")；当x＜0时，错误!＝－x－错误!≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，∴②正确；对于③，若a＝b＝－1,则错误!＝－2＜2，故③不正确;对于④，x2＋错误!＝x2＋1＋错误!－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”），故④正确．∴选C.［答案]C利用均值不等式比较实数大小的注意事项（1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式（和与积)，同时要注意结合函数的性质（单调性）．(2）利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a＞0，b ＞0.设M＝a＋1a－2(2＜a＜3)，N＝x(4错误!－3x)错误!,则M，N的大小关系为（）A．M＞N B．M＜NC．M≥N D．M≤N解析：M＝a＋1a－2＝a－2＋错误!＋2＞4,N＝x(4错误!－3x)＝错误!×3x(4错误!－3x）≤错误!×错误!2＝4.∴M＞N.答案:A探究二用均值不等式证明不等式［例2］（1）证明不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.[证明]∵a2＋b2≥2abb2＋c2≥2bcc2＋a2≥2ac.∴2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号)∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(2）已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c。

高中数学第二章等式与不等式.不等式..4第1课时均值不等式课时跟踪训练含解析B版第一册

均值不等式一、复习巩固1．下列不等式正确的是（）A．a＋错误!≥2B．(－a）＋（－错误!）≤－2C．a2＋错误!≥2D．（－a)2＋（－错误!）2≤－2答案:C2．已知m＝a＋错误!＋1(a〉0），n∈{x|0〈n＜3}，则m,n之间的大小关系是()A．m〉n B．m〈nC．m＝n D．m≤n解析：因为a〉0,所以m＝a＋错误!＋1≥2错误!＋1＝3,当且仅当a ＝1时等号成立．所以m〉n.答案：A3．已知0<x〈1，则x(3－3x）取得最大值时x的值为(）A。

错误! B.错误!C.错误!D.错误!解析:由x（3－3x)＝错误!×3x(3－3x）≤错误!×错误!＝错误!，当且仅当3x＝3－3x,即x＝12时等号成立．答案：B4．已知y＝x＋错误!－2(x<0），则y有()A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4 D．最小值为－4答案:C5．下列不等式中正确的是(）A．a＋错误!≥4B．a2＋b2≥4abC。

错误!≥错误!D．x2＋错误!≥2错误!解析:a<0，则a＋错误!≥4不成立，故A错；a＝1,b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则错误!<错误!，故C错；由均值不等式可知D项正确．答案：D6．给出下列条件：①ab〉0；②ab<0;③a〉0,b〉0；④a<0，b 〈0,其中能使错误!＋错误!≥2成立的条件有（)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：当错误!，错误!均为正数时，错误!＋错误!≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．答案：C7．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a〈b），其全程的平均时速为v,则(）A．a〈v〈错误!B．v＝错误!C。

错误!<v<错误!D．v＝错误!解析：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a〈b，∴v＝错误!＝错误!＝错误!〈错误!＝错误!。

又v－a＝错误!－a＝错误!>错误!＝0,∴v〉a。

高中数学第二章等式与不等式.不等式..4均值不等式及其应用第课时均值不等式的应用学案含解析B版第一册

第2课时均值不等式的应用关键能力·攻重难类型用均值不等式证明不等式 ┃┃典例剖析__■1．无附加条件的不等式的证明典例1 已知a ，b ,c >0，求证：错误!＋错误!＋错误!≥a ＋b ＋c .思路探究:由条件中a ，b ，c 〉0及待证不等式的结构特征知,先用均值不等式证错误!＋b ≥2a ,错误!＋c ≥2b ,错误!＋a ≥2c ,再进行证明即可．解析：∵a ,b ，c >0，∴利用均值不等式可得错误!＋b ≥2a ，错误!＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，∴错误!＋错误!＋错误!＋a ＋b ＋c ≥2a ＋2b ＋2c ，故错误!＋错误!＋错误!≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时,等号成立．归纳提升：利用均值不等式证明不等式的注意点：(1）多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立．(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．(3）对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件．2．有附加条件的不等式的证明典例2已知a〉0，b>0，a＋b＝1,求证：(1＋错误!)（1＋错误!)≥9.思路探究：本题的关键是把分子的“1"换成a＋b，由均值不等式即可证明．解析:方法一：因为a>0，b〉0，a＋b＝1，所以1＋错误!＝1＋错误!＝2＋错误!。

同理1＋错误!＝2＋错误!.故(1＋错误!）（1＋错误!）＝（2＋错误!)（2＋错误!)＝5＋2(错误!＋错误!）≥5＋4＝9.所以(1＋错误!）(1＋错误!)≥9，当且仅当a＝b＝错误!时取等号．方法二：(1＋错误!）(1＋错误!）＝1＋错误!＋错误!＋错误!＝1＋错误!＋错误!＝1＋错误!，因为a，b为正数，所以ab≤（错误!）2＝错误!，所以错误!≥4，错误!≥8。

因此（1＋错误!）(1＋错误!）≥1＋8＝9，当且仅当a＝b＝错误!时等号成立．归纳提升：利用均值不等式证明不等式的两种题型（1）无附加条件的不等式的证明．其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．(2)有附加条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．┃┃对点训练__■1．已知x>0，y>0,z〉0，求证：（yx＋错误!）(错误!＋错误!)(错误!＋错误!）≥8。