通用版2019版高考数学(文)二轮复习讲义：难点自选专题一 “选填”压轴小题命题的4大区域(含解析)
2019版高考文科数学二轮复习课件：专题八 客观压轴题+2.8.1
选择题(共15小题,每小题8分) ������ 1.若函数f(x)=x+ (b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,则f(x)在下 ������ 列区间上单调递增的是( ) A.(-∞,-1] B.(-1,0) C.(0,1) D.(2,+∞)
关闭
∵函数 f(x)=x+������(b∈R),
������2 -������ ∴f'(x)= ������2 . ∵f(x)的导函数在区间(1,2)上有零点,即方程 ������ 1-������2=0
������
在区
间(1,2)上有解,即 b=x2 在区间(1,2)上有解,∴b∈(1,4),令 f'(x)>0 得到 x<- ������或 x> ������,即 f(x)的单调增区间为(-∞,- ������),( ������,+∞).∵b∈(1,4), 关闭 D (2,+∞)适合题意. ∴
当x∈(-∞,0)时,g'(x)=f'(x)-2x<0,∴g(x)在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上也递减,
而 y= 到的, 故 y=
������+1 1 =1+ 的图象是由 ������ ������
y= 的图象向上平移一个单位长度得
1 ������
������+1 的图象关于点(0,1)对称. ������ ������+1 则函数 y= 与 y=f(x)图象的交点也关于点(0,1)对称,且每一组对 ������
-4-
4.(2018河北唐山一模,理12)已知P,A,B,C是半径为2的球面上的 点,PA=PB=PC=2,∠BAC=90°,点B在AC上的射影为D,则三棱锥PABD体积的最大值是( )
2019届高考数学(文科)名师指导(原创题、押题练、练中提能)【专题3】数列【3】及答案
(通用版)2019版高考数学二轮复习 第一部分 第三层级 难点自选 专题三“圆锥曲线”压轴大题的抢分
由(1)可知a2＝5b2，所以―A→B ·―NM→＝0，故MN⊥AB.
考法•策略(二) 巧妙消元证定值
[典例]
已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)，过A(2,0)，
B(0,1)两点．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交
于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积
[应用体验]
1．设椭圆E的方程为
x2 a2
Hale Waihona Puke ＋y2 b2＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点
A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，
满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为
5 10 .
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：
MN⊥AB.
将y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1， 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 所以x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－＋21. 则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k ＝4k3－4k－2k122＋k3＋1 8k3＋4k＝0. 从而kMA＋kMB＝0， 故MA，MB的倾斜角互补． 所以∠OMA＝∠OMB. 综上，∠OMA＝∠OMB成立．
解答题的热点题型有： (1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定 值、最值及范围的求解；(3)圆锥曲线中的判断与证明．
考法•策略(一) 依据关系来证明
[典例]
(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：
x2 2
＋y2＝1的右焦点为
F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．
2019高考数学压轴小题及答案解析
2019高考数学压轴小题及答案解析题组一10.设函数$f(x)$为定义域为$\mathbb{R}$的奇函数，且$f(x)=f(-2x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\sin x$，则函数$g(x)=\cos(\pi x)-f(x)$上的所有零点的和为（）在区间$[-2,2]$。
11.已知函数$f(x)=\frac{2}{1+x^2}+\sin x$，其中$f'(x)$为函数$f(x)$的导数，求$f(2018)+f(-2018)+f'(2019)+f'(-2019)$的值。
12.已知直线$l:y=ax+1-a(a\in\mathbb{R})$，若存在实数$a$使得一条曲线与直线$l$有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于$|a|$，则称此曲线为直线$l$的“绝对曲线”。
下面给出的四条曲线方程：$y=-2x-12$，$(x-1)^2+(y-1)^2=1$，$y=4x$，$x+3y=4$。
其中直线$l$的“绝对曲线”的条数为（）。
15.若平面向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$，$\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$，满足$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，$\vec{b}\cdot\vec{c}=0$，则$\vec{1}$在$\vec{2}$方向上投影的最大值是（）。
16.观察下列各式：$3=3^1$，$6=3+5$，$9=7+9+11$，$12=13+15+17+19$，$\cdots$，$3m=m^2+(m+1)^2+(m+2)^2+\cdots+(2m-1)^2$。
按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则$m$的值为（）。
2019年高考数学二轮复习讲义 (精品资料)
目录• 第一讲：复数理论与集合第十一节：数列• 第二讲：简易逻辑第十二节：不等式• 第三讲：函数的性质第十三节：线性规划• 第四讲：导数与函数综合第十四节：二项式定理（理科专场）• 第五节：定积分第十五节：圆锥曲线【删去直线方程与圆】• 第六节：立体几何（基础知识）第十六节：排列组合• 第七节：外接球理论第十七节：三视图理论【删去程序框图】• 第八节：三角函数第十八节：概率论与数理统计• 第九节：解三角形第十九节：极坐标方程• 第十节：平面向量第二十节：结束语2019年高考核心要点复习强化讲义——复数• 第一讲：复数理论 与集合• 1、Z ∙ Z = Z2竖着加+×着减• 2、• 3、• 4、会辨别实部、虚部、纯虚数、共轭复数、第几象限？深刻理解什么是部？• 5、当求复数时，应会设 z = a +bi第二讲：简易逻辑1、简易逻辑核心要点：四种命题及相互关系：原命题与逆否命题同真同假，其余不定！2、3、对于常规命题：命题的否命题是：条件和结论都否掉。
命题的否定是：只需把结论否掉即可对于特称命题：命题的否命题是：条件和结论都否掉。
命题的否定是：条件和结论否掉即可• 5、p q p∧q p∨q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真• 6、命题命题的否定• ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，非p(x)• 7、量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等用“∀”表示存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等用“∃”表示•第三讲：函数的性质• 1、要求学生掌握：函数周期性【参见链接】、对称性、对称中心、奇偶性• 2、会判断函数图象• 3、一些重要的奇函数• 4、函数定义域的问题，共三种模型：死死的记住一个函数的定义与就是指x•补充：附加：两个重要证明：只要考到，你就不会！！！⎛ a ⎫ 证明：(2)若函数y=f(x)的图像关于点(a, b)对称，则y=f(kx)(常数k≠ 0)的图像关于点 , b⎪对称。
2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分第三层级难点自选专题一“选填”压轴小题命题的4大区域讲义理
，
x x3
x x3
x2 x4
x4
可知 g(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且 g(－1)＝
－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线 y＝a，结合图象，可知 a<－2.
[答案] B
[系统归纳]
“三招”破解含参零点问题
若无法通过等价转化的思想将原问题化归为相对容易的问题，此时
a
当 a>0 时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；
( )2
x∈
0， a
，f′(x)<0；x∈(，＋∞)，f′(x)>0.
所以函数 f(x)在(－∞，0)和(，＋∞)上单调递增，
( )2
在 0， 上单调递减，且 f(0)＝1>0， a
故 f(x)有小于零的零点，不符合题意．
( )2
当 a<0 时，x∈ －∞， ，f′(x)<0； a
当 a＝0 时，函数 g(x)的图象与 h(x)的图象存在两个的交点；
当 a>0 时，如图(1)所示，不合题意；
当 a<0 时，由图(2)知，可先求出函数 g(x)＝ax3 与 h(x)＝3x2－1 的图象有公切线时 a
的值．由 g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得 a＝－2.由图象可知当 a<－2 时，满足题意．
交点个数
通过将原函数中的参变量进行分离后变形成 g(x)＝l(a)，则原函
参变分离
数的零点问题化归为与 x 轴平行的直线 y＝l(a)和函数 g(x)的图象
的交点问题
[应用体验] 2．已知函数 f(x)＝|x2＋3x|(x∈R)．若方程 f(x)－a|x－1|＝0 恰有 4 个互异的实数根，
2019版高考文科数学二轮复习课件：专题八 客观压轴题+2.8.2
-2
解析 答案 答案
-3-
3.在平面直角坐标系中,已知三个点列{An},{Bn},{Cn},其中 An(n,an),Bn(n,bn),Cn(n-1,0)满足向量������������ ������������ +1 与向量������������ ������������ 共线,且 bn+1-bn=6,a1=b1=0,则 an= .(用 n 表示) 由题意,������������ ������������ +1 =(1,an+1-an),������������ ������������ =(-1,-bn).由向量������������ ������������ +1 与向量
2 2
2
9������ 2 -������ 2
+
2 2
2
9������ 2 -������ 2 + 2
,
关闭
3 2 AC= 2 .
解析
答案 答案
-2-
2.(2018 全国卷 3,文 16)已知函数 f(x)=ln( 1 + ������ 2 -x)+1,f(a)=4,则 f(-a)= .
关闭
令 g(x)=ln( 1 + ������ 2 -x),g(-x)=ln( 1 + ������ 2 +x), ∴g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0,∴g(x)为奇函数.∴f(x)=g(x)+1. ∴f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2.∴f(-a)=-2.
π 2
的值
关闭
为
π ∴∠ADE=2 ,
2019年高考数学(文)二轮复习课件：专题一 常考小题点 1.4 .pdf
∴������������ ·������������=3(������������ − ������������)·������������=3(������������ ·������������-|������������|2)
=3 2 × 1 ×
-
1 2
-1 =-6.
-12-
11.已知 a,b 是单位向量,且 a·b=-12,若平面向量 p 满足 p·a=p·b=12,则
2.(2018全国Ⅱ,文4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=
(B) A.4 B.3 C.2 D.0 解析 a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.
-5-
3.在△ABC 上,点 D 满足������������=2������������ − ������������,则( D ) A.点D不在直线BC上 B.点D在BC的延长线上 C.点D在线段BC上 D.点D在CB的延长线上 解析 ������������=2������������ − ������������ = ������������ + ������������ − ������������ = ������������ + ������������.如图,
-16-
15.(2018江苏,12)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一
象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.
则|������������|= (������2-������1)2 + (������2-������1)2.
5.利用数量积求夹角
若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ=
2019版高考数学二轮复习课件+训练：第三层级难点自选专题一“选填”压轴小题命题的4大区域课件理(普通生)
点x0，且x0＞0，则a的取值范围为
Байду номын сангаас
()
A．(2，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
[技法演示]
法一：分类讨论，各个击破
分类讨论就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类
分别进行研究，最后整合获解，其基本思路是化整为零，各个
击破．
由已知得 a≠0，f′(x)＝3ax2－6x， 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2a. 当 a>0 时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0； x∈0，2a，f′(x)<0；x∈2a，＋∞，f′(x)>0. 所以函数 f(x)在(－∞，0)和2a，＋∞上单调递增， 在0，2a上单调递减，且 f(0)＝1>0， 故 f(x)有小于零的零点，不符合题意． 当 a<0 时，x∈－∞，2a，f′(x)<0；
平面与平面
等比数列通
平行的性 卷
函数y＝
Ⅰ 质、异面直 Asin(ωx＋φ)
线所成的角 的性质
项公式、二 线性规划的实际应
次函数的最 用
值及指数函
及等角定理
数的性质
2016
双曲线的定 导数的计算与几何
卷 义及标准方 函数图象的对 推理与论证 意义、直线方程、
Ⅱ 程、离心率 称性 斜率计算公式
的计算
点到直线的距离公
调性．因为g′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x变化时，
若f(x)无最大
g′(x)和 g(x)变化如下：
x (－∞，－1) －1
g′(x)
＋
0
(－1,1) －
1 (1，＋∞)
2019-2020年高三数学第二轮专题复习讲义二
2019-2020年高三数学第二轮专题复习讲义二1．已知是定义在（-3，3）上的奇函数，当0<x <3时，的图象如图所示，那么不等式>0 的解集为。
2．设不等式对于满足的一切m 的值都成立，x 的取值范围 。
3．已知集合A ＝｛(x ,y )｜＝2,x 、y ∈R ｝，B ＝｛(x ,y )｜4x +ay ＝16,x 、y ∈R ｝，若A ∩B ＝，则实数a 的值为 4或-2 .4．关于函数，有下列命题：①其最小正周期是23π；②其图象可由的图象向左平移个单位得到；③其表达式可改写为；④在[，]上为增函数．其中正确的命题的序号是：1 ,4 ．5．函数3)4cos(222sin )(+++=x x x f π的最小值是 6．对于函数，给出下列四个命题：①存在（0，），使；②存在（0，），使)3()(αα+=+x f x f 恒成立；③存在R ，使函数的图象关于轴对称；④函数的图象关于（，0）对称．其中正确命题的序号是1,3,4 ．7．点A 在以原点为圆心的圆周上依逆时针方向作匀速圆周运动。
已知点A 从x 轴正半轴出发一分钟转过θ(0<θ<π)角，2分钟到达第三象限，14分钟回到原来的位置，则θ=。
8．函数f (x )=3sin (x +20°)+5sin (x +80°)的最大值为___7_____。
9．已知 的值为。
10．已知向量，，若与垂直，则实数等于 -1备用题：1．若是R 上的减函数，且的图象经过点（0，4）和点（3，－2），则不等式的解集为（－1，2）时，的值为 12．若，则α的取值范围是：z k k k ∈++)232,22(ππππ 3．已知向量,向量则的最大值是 4 _____4．有两个向量，。
今有动点，从开始沿着与向量+相同的方向作匀速直线运动，速度为|+|；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为|3+2|．设、在时刻秒时分别在、处，则当时， 2 秒．5．若平面向量与向量的夹角是，且，则＝(-3,6)θπθθπsin ),2,0(125)3cos(则且∈=+，6． (.有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为__2500____围墙厚度不计).7．求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值为8．向量,满足，且，,则与夹角等于9．已知|a |＝10，|b |＝12，且(3a )·(b /5) ＝-36，则a 与b 的夹角是_____作业1．已知则不等式≤5的解集是2．已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(，)，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________.3．函数的定义域是4．函数的最大值是_______________.5．已知平面上直线的方向向量，点O (0,0)和A (1,-2)在上的射影分别是O 1和A 1，则 26．不等式的解集为，且，则的取值范围为7．若x ∈[-1，1，则函数的最大值_____-1____________。
通用版2019版高考数学(文)二轮复习讲义：难点自选专题二 “选填”压轴小题的4大抢分策略(含解析)
难点自选专题二 “选填”压轴小题的4大抢分策略解答选择题中的压轴题，务必要遵循“小题小解”的原则，要抓住已知条件与备选项之间的关系进行分析、试探、推断，充分发挥备选项的暗示作用，选用解法要灵活机动，做到具体问题具体分析，不要生搬硬套．能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能用特殊值分析的，就不再采用常规解法；能用间接法求解的，就不再用直接法．能否快速准确地解答填空题中的压轴题，往往是高考数学成败的关键．现行《考试大纲》对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．也就是说解填空题务必要做到：特例思想开思路情况容易很多．研究清楚了特殊情况，对于解决一般情况可以提供解题思路．当题目十分复杂或解题目标不明确时，往往需要考查题设条件中的某些特殊情况，从中找出能反映问题本质属性的隐含信息，这样做，常常能够打开我们的思路，发现解决问题的方法．[典例] 已知函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 [解析] 法一：特殊值法对函数f (x )求导，得f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝53－43cos 2x ＋a cos x ．根据题意，f ′(x )≥0恒成立，因为函数f ′(x )为偶函数，从而f ′(x )＝0的两根一定互为相反数，即可知a 的值关于原点对称，排除选项B 、D ；当a ＝－1时，f ′(0)＝53－43cos 20＋a cos 0<0，说明函数f (x )不是恒单调递增的，排除选项A.故选C.法二：特殊值法观察本题的四个选项，发现选项A 、B 、D 中都有数－1，故取a ＝－1，f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不符合f (x )在R 上单调递增，排除选项A 、B 、D.故选C.法三：数形结合根据题意，可知f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ≥0在R 上恒成立，化简可得－43cos 2x ＋ a cos x ＋53≥0在R上恒成立．又因为|cos x |≤1，令cos x ＝t ，则－43t 2＋at ＋53≥0在t ∈[－1,1]上恒成立．设g (t )＝－43t 2＋at ＋53，则函数g (t )在t ∈[－1,1]上，使得不等式g (t )≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (－1)≥0，所以⎩⎨⎧－43×12＋a ＋53≥0，－43×(－1)2－a ＋53≥0，所以－13≤a ≤13.故选C.法四：分类讨论由法三可知，函数g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0，其中t ∈[－1,1]．对参数t 分类讨论：当t ＝0时，函数g (0)＝53≥0，此时参数a ∈R ，函数f (x )在R 上单调递增；当t >0时，分离参数得a ≥43t 2－53t ＝43t －53t 恒成立．设函数h (t )＝43t －53t ，即有a ≥h (t )max 成立，由于h ′(t )＝43＋53t 2>0，从而可知函数h (t )在(0,1]上单调递增，所以a ≥h (1)＝－13. 当t <0时，分离参数得a ≤43t 2－53t ＝43t －53t 恒成立．易得a ≤h (t )min ＝h (－1)＝13.综上所述，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－13，13.故选C. [答案] C[题后悟通](1)本题的四种解法中，解法一是从函数的整体性质(单调性、奇偶性)出发，排除不符合题意的选项，是优化解题方法的最好策略；解法二是从题目的选项特征出发，采取特值法解题，方法简单；解法三就是将函数f (x )求导后，再构造函数转化为不等式g (t )≥0恒成立，结合函数g (t )的结构特征与图形特征解题；解法四中，令cos x ＝t ，对参数t 进行分类讨论后，再利用导数知识研究单调性、最值，这就是有关单调性问题的解题套路．(2)处理此类问题经常根据题中所给出的条件巧妙选择特殊值、特殊函数、特殊位置、特殊图形等进行求解．[应用体验]1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B 法一：(利用函数的对称性)由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )＝2，所以点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))连线的中点是(0,1)，故函数f (x )的图象关于点(0,1)成中心对称(此处也可以这样考虑：由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0，即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0，令F (x )＝f (x )－1，则F (x )＋F (－x )＝0，即F (x )＝f (x )－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F (x )的图象可看成是f (x )的图象向下平移一个单位得到的，故f (x )的图象关于点(0,1)对称)．又y ＝x ＋1x ＝1＋1x 的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)对称，所以对于每一组对称点x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝∑i ＝1mx i ＋∑i ＝1my i ＝0＋2×m2＝m ，故选B.法二：(构造特殊函数)由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0， 即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0.令F (x )＝f (x )－1，则F (x )为奇函数， 即f (x )－1为奇函数，从而可令f (x )－1＝x ， 即f (x )＝x ＋1，显然该函数满足此条件．此时y ＝x ＋1与y ＝x ＋1x 的交点分别为(1,2)和(－1,0)， 所以m ＝2，∑i ＝1m (x i ＋y i )＝1＋2＋(－1)＋0＝2，结合选项可知选B.2.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，连接AO ，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ―→＝m AM ―→，AC ―→＝n AN ―→，则m ＋n 的值为________．解析：法一：因为O 是BC 的中点， 所以AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝m 2AM ―→＋n 2AN ―→.因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2. 法二：(特殊位置法)取M 与B 重合，N 与C 重合， 此时m ＝n ＝1，得m ＋n ＝2. 答案：23．已知△ABC 中，AB ＝4，AC ＝5，点O 为△ABC 所在平面内一点，满足|OA ―→|＝ |OB ―→|＝|OC ―→|，则AO ―→·BC ―→＝________.解析：法一：如图，AB ―→＝OB ―→－OA ―→，AC ―→＝OC ―→－OA ―→， ∴AB ―→2＝OB ―→2－2OB ―→·OA ―→＋OA ―→2，AC ―→2＝OC ―→2－2OC ―→·OA ―→＋OA ―→2.两式相减，得AC ―→2－AB ―→2＝2OB ―→·OA ―→－2OC ―→·OA ―→. ∴25－16＝2OA ―→·(OB ―→－OC ―→)， ∴9＝2OA ―→·CB ―→， ∴AO ―→·BC ―→＝92.法二：(特殊图形法)若△ABC 为直角三角形，如图，则AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，BC ―→＝AC ―→－AB ―→，∴AO ―→·BC ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝12(AC ―→2－AB ―→2)＝92.答案：92极限思想减运算间端点的取值．例如线段是三角形高为零的极端情况，切线是割线的极端情形(即极限)等．有些高考数学压轴题的求解，常常要从它的极端情形来寻找突破口．一般来说，运用极限思想分析问题，往往能够减少运算量，尤其是选择题和填空题，运用极限思想分析解题可以快速准确地解决问题，从而避免小题大做，节省考场上的答题时间．[典例] 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． [解析] 法一：极限法如图，动态地审视平面四边形ABCD ，边BC ＝2固定，∠B ＝∠C ＝75°固定，延长BA ，CD 交于点P .虽然∠BAD ＝75°，但AB 边并不固定，平行移动AD 边，则容易看出B Q <AB <BP .在△BC Q 中，易求得B Q ＝6－2；在△BCP 中，易求得BP ＝6＋2，则AB 的取值范围是(6－2，6＋2)． 法二：分割法易知∠ADC ＝135°.如图，连接BD ，设∠BDC ＝α，∠ADB ＝β，则α＋β＝135°.在△ABD 和△BCD 中，由正弦定理得BC sin α＝BD sin 75°＝ABsin β， 则AB ＝BC sin βsin α＝2sin (135°－α)sin α＝2sin (α＋45°)sin α＝2⎝⎛⎭⎫1＋1tan α， 由⎩⎪⎨⎪⎧α＋75°<180°，135°－α＋75°<180°，得30°<α<105°， 所以3－2<1tan α< 3.则6－2<AB <6＋ 2. [答案] (6－2，6＋2) [题后悟通]解法一采用取极限的方法来处理，过程显得简洁、自然，体现了“小题小解”的策略．解法二将四边形问题转化为解三角形问题，利用正弦定理建立函数解析式求解．[应用体验]4．过x 轴上一点P 向圆C ：x 2＋(y －2)2＝1作圆的切线，切点为A ，B ，则△PAB 的面积的最小值是( ) A.334B.332C. 3D ．33解析：选A 法一：由图可知，当点P 趋向于无穷远处时，显然 △ABP 的面积趋向于无穷大；当点P 趋近于原点时，△ABP 的面积越来越小；当与原点重合时有|OA |＝3，且此时的△PAB 为正三角形．其面积为12×(3)2×32＝334.故选A.法二：设P (x,0)，则|PC |2＝x 2＋4，|PA |2＝|PB |2＝x 2＋3，设∠CPA ＝θ，则有sin θ＝1x 2＋4，cos θ＝x 2＋3x 2＋4，于是S △PAB ＝12|PA |2×sin 2θ＝(x 2＋3) x 2＋3x 2＋4＝11x 2＋3＋1(x 2＋3) x 2＋3.显然上式是x 2的单调递增函数，当x ＝0时，S △PAB 取得最小值334.故选A.建模探究破创新探究创新性题的解题思路常用的策略是建模分析．也就是说，对这类题的求解要特别注意以下几点： (1)领会题意，弄清问题所涉及的模型，准确把握命题给出的相关新概念、新定义的 实质； (2)注重将那些抽象的概念直观化，隐含的信息条理化，复杂的数量关系模型化；(3)善于借助它的背景、特征、性质、构思来进行分析、探究、类比、变式，构建相关的数学模型． 一旦把握了伴随它的数学模型，也就把握了解题入门的向导，问题便可迎刃而解．[典例] 对于实数a 和b ，定义运算“⊕”：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设函数f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．[解析] f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，x ≤0，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，x >0，⇒f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0.故关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，等价于函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点．作出函数f (x )的大致图象如图所示，从图中不难得知0<m <14.设从左到右交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3， 当x >0时，－x 2＋x ＝m ， 即x 2－x ＋m ＝0， 由此可得x 2x 3＝m .当x <0时，由2x 2－x ＝14，得x ＝1－34.当m 在⎝⎛⎭⎫0，14上递增时，|x 1|也在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－34上递增．从而m |x 1|随着m 的递增而递增，而x 1<0，所以x 1x 2x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0为所求．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0[题后悟通]透彻理解题目给出的新定义的模型，明确f (x )的解析式是解题的切入口．用新定义考查阅读理解能力与知识迁移能力是现行数学高考的出发点．求解本题的关键在于从图形中观察到|x 1|的取值是m 的增函数，且x ＝1－34是m ＝14时的极端情形．[应用体验]5．对任意两个平面向量α，β，定义α∘β＝α·ββ·β，若向量a ，b 满足条件|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.12 B ．1 C.32D.52解析：选C 由定义α∘β＝α·ββ·β， 得a ∘b ＝a ·b b 2＝|a |·|b |cos θ|b |2，①同理可得b ∘a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2.②由|a |≥|b |>0，得0<|b ||a |≤1.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以22<cos θ<1. 从而可得0<|b |cos θ|a |<1，即0<b ∘a <1.因为b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，所以b ∘a ＝12.③①×②得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫12，1， 将③代入上式，化简得1<a ∘b <2.又因为a ∘b ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，所以a ∘b ＝32，故选C.定义分析解压轴解答数学高考压轴题，入手的关键就是要先弄清问题所涉及的概念、定义及其相关的隐含信息，然后运用数学的通性通法——定义法、分析法、综合法、分离变量法、数形结合法、向量法、重要不等式法等进行分析、整合，认识问题的本质，探究与问题相关的基本概念或数学模型．只有明确了命题中的相关概念、定义及数学模型，才能准确理解题意、灵活运用知识分析问题，解决问题，促进解题思路的创新．因此，运用定义分析问题是准确、迅速解答数学高考压轴题的重要策略．[典例] 已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 22，若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－33，33 [解析] 法一：当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2，作出函数f (x )的图象，如图所示．因为对∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )成立，所以对应的函数f (x －1)的图象恒在函数f (x )的图象的下方． 由此可知，只需函数f (x )在x <－2a 2时的图象向右平移一个单位即可． 因为x >2a 2时，f (x )＝x －3a 2，又f (x )是R 上的奇函数， 所以x <－2a 2时，f (x )＝x ＋3a 2， 由此可得f (x －1)＝x －1＋3a 2. 于是，由f (x －1)≤f (x )，得 x －1＋3a 2≤x －3a 2， 即6a 2≤1，解得a ∈⎣⎡⎦⎤－66，66.法二：由图易知，当x >0时，f (x )的最小值为－a 2. 因为f (x )为奇函数，所以当x <0时，f (x )的最大值为a 2.又易知，当x >0时，f (x )＝a 2所对应的横坐标为x ＝4a 2，即B 点的横坐标． 当x <0时，f (x )＝a 2所对应的横坐标x min ＝－2a 2，即A 点的横坐标． 故要对∀x ∈R ，都有f (x －1)≤f (x )成立，则要A ，B 两点的跨度不大于1. 否则，f (x )的图象向右平移1个单位后，线段DB 会在A 1C 1的下方， 此时的图象与对应的函数不等式f (x －1)≤f (x )相悖． 所以4a 2－(－2a 2)≤1，解得a ∈⎣⎡⎦⎤－66，66. [答案] B [题后悟通]本题主要考查全称命题、奇函数和分段函数等基本概念，考查函数的最值与恒成立问题．意在考查考生应用数形结合思想，综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．注重理解题意，根据奇函数的性质画草图进行探究，抓住函数f (x )在x <－2a 2时的图象向右平移1个单位后与原函数的图象的关系进行分析，是解题入手的基本途径．解法一是从函数的表达式的角度来构建不等式的，解法二是从区间跨度的角度来构建不等式的．易知，这两种解法都遵循了小题小解的原则，体现了数形结合思想在解题中的作用．[应用体验]6．设P ，Q 是双曲线x 2－y 2＝42上关于原点对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线l 折成直二面角，则折叠后线段P Q 的长度的最小值为________．解析：法一：因为双曲线x 2－y 2＝42是以直线y ＝±x 为渐近线的等轴双曲线， 线方程为y ＝mx .所以将双曲线按逆时针方向旋转45°，可得对应图象的双曲因为双曲线x 2－y 2＝42的顶点为A (432，0)， 所以旋转后点A 变为点A ′(48，48)． 因为点A ′在y ＝mx 的图象上，则m ＝2 2.即将原双曲线按逆时针方向旋转45°后，所得的双曲线的方程为y ′＝22x ′.如图． 故问题转化为：过原点的直线交双曲线y ′＝22x ′于P ，Q 两点，将坐标平面沿y ′轴折成直二面角，求折后线段P Q 的长度的最小值．设P ⎝⎛⎭⎫t ，22t (t >0)，过点P 作PM ⊥y ′轴于M ， 则M ⎝⎛⎭⎫0，22t ，Q ⎝⎛⎭⎫－t ，－22t .从而|M Q |＝(0＋t )2＋⎝⎛⎭⎫22t ＋22t 2＝t 2＋32t2，在折叠后的图形中，有|Q M 1|＝|MP |＝t ，故|P Q |2＝|Q M 1|2＋|MM 1|2＋|MP |2＝|Q M |2＋|MP |2＝2t 2＋32t 2≥22t 2×32t2＝16.当且仅当t 2＝4，即t ＝2时等号成立，所以当t ＝2时，即P 坐标为(2，2)时，|P Q |的最小值为16＝4. 综上所述，折叠后线段P Q 的长度的最小值等于4. 法二：设P (x 0，y 0)到两渐近线的距离分别为m ，n ， 如图，则有|PM |＝|Q M 1|＝m ， |PN |＝n ，且m ＝|x 0－y 0|2，n ＝|x 0＋y 0|2. 易知，折叠后的P Q ，可视为一长方体的体对角线． 则P Q 2＝Q M 21＋M 1M 2＋MP 2＝2m 2＋4n 2≥28mn ＝42×x 20－y 202＝16.所以|P Q |min ＝4. 答案：4[专题过关检测]A 组——选择题解题技法专练1．若sin α＋sin β＝13(cos β－cos α)，α，β∈(0，π)，则α－β的值为( ) A ．－2π3B ．－π3C.π3D.2π3解析：选D 令β＝π6，则有sin α＝－13cos α⇒tan α＝－33，α∈(0，π)，所以α＝5π6，从而α－β＝2π3.2．已知0<a <b <1，则a b ，log b a ，－log a b 的大小关系是( ) A ．－log a b <a b <log b a B ．－log a b <log b a <a b C ．log b a <－log a b <a bD ．a b <－log a b <log b a解析：选A 显然，直接找这三个数的大小关系不容易，但对a ，b 取某些特殊的值，其大小关系就非常明显了．如令a ＝14，b ＝12，则有－log a b ＝－log 42<0，log b a ＝log 24＝2，a b ＝14＝12，由此可得选A. 3．若不等式x 2－log a x <0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫116，1 B.⎝⎛⎭⎫116，1 C.⎝⎛⎦⎤0，116 D.⎝⎛⎭⎫0，116 解析：选A 因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，当a ＝116时，显然x 2<log a x 恒成立． 又当x →12时，由14<log a 12⇒a >116；当x →0时，可推得a <1，故选A.4．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支异于顶点A 的任意一点，则直线PF 斜率的变化范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C 如图所示，当P →A 时，PF 的斜率k →0. 当PF ⊥x 轴时，PF 的斜率不存在，即k →±∞. 当P 在无穷远处时，PF 的斜率k →1. 结合四个备选项得C 项正确．5．已知θ∈[0，π)，若对任意的x ∈[－1,0]，不等式x 2cos θ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x >0恒成立，则θ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π12，5π12B.⎝⎛⎭⎫π6，π4C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π6，5π6解析：选A 令x ＝－1，不等式化为cos θ>0； 令x ＝0，不等式化为sin θ>0. 又0≤θ<π，所以0<θ<π2.当－1<x <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x x ＋12cos θ＋xx ＋1＋sin θ>0.设xx ＋1＝t (t <0)， 则t 2cos θ＋t ＋sin θ>0对t <0恒成立．设f (t )＝t 2cos θ＋t ＋sin θ＝cos θ⎝⎛⎭⎫t ＋12cos θ2＋sin θ－14cos θ， 则f (t )min ＝sin θ－14cos θ>0，即sin 2θ>12. 又0<2θ<π，所以π6<2θ<5π6，故π12<θ<5π12.6．在对角线AC 1＝6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，正方形BCC 1B 1所在平面内的动点P 到直线D 1C 1，DC 的距离之和为4，则PC 1―→·PC 1―→的取值范围是( )A ．[－2,1]B ．[0,1]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－2，14 解析：选A 法一：依题意可知CC 1＝23， 点P 到点C 1与C 的距离之和为4，从而可得点P 在以C 1C 为y 轴，C 1C 的中点为原点的椭圆4x 2＋y 2＝4上．设P (x 0，y 0)， 则PC 1―→·PC 1―→＝(x 0，y 0－3)·(x 0，y 0＋3)＝x 20＋y 20－3＝34y 20－2(－2≤y 0≤2)． 由此可得－2≤PC 1―→·PC 1―→≤1，故选A.法二：由四个备选项可知，B 、C 、D 都是A 的子集．于是，由“若A 则B 把A 抛，A ，B 同真都去掉”可知，应着重考查“－2”与“1”的值能否取到． 又由条件易知，点P 在以C 1C 为y 轴，C 1C 的中点为原点的椭圆4x 2＋y 2＝4上． 由此可得，当y ＝0时，PC 1―→·PC 1―→可取到－2， 当x ＝0时，PC 1―→·PC 1―→可取到1.故选A.7.如图所示，A 是函数f (x )＝2x 的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数g (x )＝2x＋2的图象于点B ，若函数f (x )＝2x 的图象上存在点C 使得△ABC 为等边三角形，则称A 为函数f (x )＝2x 的图象上的“好位置点”，则函数f (x )＝2x 的图象上的“好位置点”的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 设A (x,2x )，B (x －2,2x )，若△ABC 为等边三角形，则C (x －1,2x －1)，且AC ＝AB ＝2，即1＋(2x －2x －1)2＝2，即22x －2＝3，又y ＝22x －2单调递增，所以方程有唯一解x ＝log 232＋1，即函数f (x )＝2x 的图象上的“好位置点”的个数为1.8．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数 C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数解析：选D 法一：因为f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝f (x －1＋1)＝－f [－(x －1)＋1]＝－f (－x ＋2)， 又因为f (x －1)是奇函数，则－f (－x ＋2)＝－f [(－x ＋3)－1]＝f (x －3－1)＝f (x －4)， 所以f (x )＝f (x －4)．所以f (x ＋3)＝f (x ＋3－4)＝f (x －1)是奇函数，因而选D. 法二：令f (x )＝sin πx ，则f (x ＋1)＝sin [π(x ＋1)]＝－sin πx ， f (x －1)＝sin [π(x －1)]＝－sin πx .所以，当f (x ＋1)，f (x －1)都是奇函数时，f (x )不是偶函数，排除A. 令f (x )＝cos π2x ，则f (x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2(x ＋1)＝－sin π2x ， f (x －1)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2(x －1)＝sin π2x ， 且f (x ＋2)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2(x ＋2)＝－cos π2x ， 所以，当f (x ＋1)，f (x －1)都是奇函数时，f (x )不是奇函数，且f (x )≠f (x ＋2)，排除B 、C ，故选D.9．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)，若关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 解析：选A 由题意得(x ＋a )(1＋a |x ＋a |)<x (1＋a |x |)．当a ＝－2，x ＝0时， 有(0－2)(1－2|0－2|)＝6<0×(1－2×0)不成立，故D 错． 当a ＝12，x ＝12时，有⎝⎛⎭⎫12＋12⎝⎛⎭⎫1＋12⎪⎪⎪⎪12＋12＝1×32<12⎝⎛⎭⎫1＋12×12不成立．故C 错． 当a ＝1－32，x ＝12时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－32⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋1－32<12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1－32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32⎝ ⎛⎭⎪⎫9－334<12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－34，显然，此式成立，故B 不对．所以选A. 10．已知函数f (x )＝e x ＋e 2－x ，若关于x 的不等式[f (x )]2－af (x )≤0恰有3个整数解，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2eC ．e 2＋1D ．e 3＋1e3解析：选C 因为f (x )＝ex＋e 2－x ＞0，所以由[f (x )]2－af (x )≤0可得0＜f (x )≤a .令t ＝e x，则g (t )＝t ＋e 2t(t＞0)，画出函数g (t )的大致图象如图所示，结合图象分析易知原不等式有3个整数解可转化为0＜g (t )≤a 的3个解分别为1，e ，e 2.又当t ＝e x 的值分别为1，e ，e 2时，x ＝0,1,2.画出直线y ＝e 2＋1，故结合函数图象可知a 的最小值为e 2＋1.故选C. 11．设F 为双曲线x 23－y 2＝1的左焦点，在点F 右侧的x 轴上有一点A ，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M ，N ，则|FN |－|FM ||FA |的值为( )A.32B.233C.63D.62解析：选A 法一：如图，取点A 为右焦点F ′，则|FA |＝|FF ′|. 由对称性知|FM |＝|F ′N |，所以|FN |－|FM ||FA |＝|FN |－|F ′N ||FF ′|＝2a 2c ＝32.法二：由已知得F (－2,0)，如图，设A (m ，0)(m >3)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则以AF 为直径的圆的方程为(x －m )(x ＋2)＋y 2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧(x －m )(x ＋2)＋y 2＝0，x 23－y 2＝1，消去y ，得43x 2－(m －2)x －2m －1＝0.所以x 1＋x 2＝34(m －2)．所以|FN |－|FM ||FA |＝23x 2＋3－⎝⎛⎭⎫－23x 1－3m ＋2＝23(x 1＋x 2)＋23m ＋2＝23·3(m －2)4＋23m ＋2＝32.12．在我们学过的函数中有这样一类函数：“对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数f (x )的定义域内，就有函数值f (a )，f (b )，f (c )也是某个三角形的三边长”．下面四个函数：①f (x )＝x (x >0)；②f (x )＝x 2(x >0)； ③f (x )＝sin x (0<x <π)；④f (x )＝cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π4. 属于这一类函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①设0<a ≤b ≤c ，∵a ＋b >c ，∴a ＋b ＋2ab ＞c ，∴(a ＋b )2>c ，∴a ＋b >c ， 即f (a )＋f (b )>f (c )，∴f (x )＝x (x >0)属于这一类函数；②举反例：若a ＝3，b ＝3，c ＝5，则a 2＋b 2<c 2， 即f (a )＋f (b )<f (c )，∴f (x )＝x 2(x >0)不属于这一类函数； ③举反例：若a ＝π2，b ＝5π6，c ＝5π6，则sin a ＝sin b ＋sin c ，即f (a )＝f (b )＋f (c )＝12＋12＝1，∴f (x )＝sin x (0<x <π)不属于这一类函数； ④设0<a ≤b ≤c <π4，∴cos a ≥cos b ≥cos c >22，∴f (b )＋f (c )＝cos b ＋cos c >2，而cos a <1，即f (b )＋f (c )>f (a )，∴f (x )＝cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π4属于这一类函数． 综上，属于这一类函数的有2个，故选B.B 组——填空题解题技法专练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b －12c ＝a cos C ，且4(b ＋c )＝3bc ，a ＝23，则△ABC 的面积S ＝________.解析：由正弦定理得sin B －12 sin C ＝sin A cos C ，∵sin B ＝sin(A ＋C )，∴sin(A ＋C )－12sin C ＝sin A cos C ，即cos A sin C ＝12sin C .又sin C ≠0，∴cos A ＝12，又A 是△ABC 的内角，∴A ＝60°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， ∴(b ＋c )2－4(b ＋c )＝12， 得b ＋c ＝6，∴bc ＝8，∴S ＝12bc sin A ＝12×8×32＝2 3.答案：2 32．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f ′(x )为其导函数，当x >0且x ≠1时，2f (x )＋xf ′(x )x －1>0，若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为－45，则f (1)＝________.解析：因为当x >0且x ≠1时，2f (x )＋xf ′(x )x －1>0，所以当x >1时，2f (x )＋xf ′(x )>0； 当0<x <1时，2f (x )＋xf ′(x )<0. 令g (x )＝x 2f (x )，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]， 所以当x >1时，g ′(x )>0，函数g (x )＝x 2f (x )单调递增； 当0<x <1时，g ′(x )<0，函数g (x )＝x 2f (x )单调递减， 所以函数g (x )＝x 2f (x )在x ＝1处取得极值， 所以g ′(1)＝2f (1)＋f ′(1)＝0.因为曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为－45，所以f ′(1)＝－45，所以f (1)＝12×45＝25.答案：253．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，当1<a <2时，关于x 的方程f [f (x )]＝a 实数解的个数为________．解析：当1<a <2时，作出函数f (x )的图象如图所示，令u ＝f (x )，则f (u )＝a ，由f (x )的图象可知，若u 满足u <0，此时f (x )＝u 无解，若u >0，解得1e 2<u <1e <1或2<e<u <e 2，显然，当x <0时，不可能使得f (x )＝u 有解，当x >0，1e 2<u <1e <1时，f (x )＝u 有2个解，当x >0,2<e<u <e 2时，f (x )＝u 也有2个解．因此f [f (x )]＝a 有4个实数解．答案：44．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与准线交于点M ，且FM ―→＝3FP ―→，则|FP ―→|＝________.解析：过点P 作PP 1垂直准线于P 1，由FM ―→＝3FP ―→，得|PM |＝2|PF |，又由抛物线的定义知|PF |＝|PP 1|，所以|PM |＝2|PP 1|. 由三角形相似得|PP 1|2|OF |＝|MP ||MF |＝23，所以|PP 1|＝43，所以|FP ―→|＝43.答案：435．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋3＋mx 3＋nx (m <0，n <0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为－3116，则f (x )在[－1,0]上的最大值为________．解析：令g (x )＝mx 3＋nx (m <0，n <0)，则g ′(x )＝3mx 2＋n ，因为m <0，n <0，所以g ′(x )<0，所以g (x )为减函数．又y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋3为减函数，所以f (x )为减函数．当x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (1)＝m ＋n ＋116＝－3116，得m ＋n ＝－2，当x ∈[－1,0]时，f (x )max ＝f (－1)＝－m －n ＋14＝94.答案：946．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a ·b ＝3，若(c －2a )·(2b －3c )＝0, 则|b －c |的最大值是________． 解析：设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A (1,1)，B (3,0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )，∵(c －2a )·(2b －3c )＝0， ∴(x －2)(6－3x )＋(y －2)(－3y )＝0. 即(x －2)2＋(y －1)2＝1. ∵b －c ＝(3－x ，－y )，∴|b －c |＝(x －3)2＋y 2≤(3－2)2＋(0－1)2＋1＝2＋1， 即|b －c |的最大值为2＋1. 答案：2＋17．(2018·开封高三定位考试)已知正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为________．解析：如图①，在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝2，则BD ＝DC ＝1，AD ＝3，在翻折后所得的几何体中，如图②，AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，则AD ⊥平面BCD ，三棱锥A -BCD 的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，球心到截面BCD 的距离d ＝12AD ＝32.在△BCD 中，BC ＝3，则由余弦定理，得cos ∠BDC ＝BD 2＋DC 2－BC 22BD ·DC ＝12＋12－(3)22×1×1＝－12，所以∠BDC ＝120°.设球的半径为R ，△BCD 的外接圆半径为r ，则由正弦定理，得2r ＝BC sin ∠BDC ＝3sin 120°＝2，解得r ＝1，则球的半径R ＝d 2＋r 2＝⎝⎛⎭⎫322＋12＝72，故球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫722＝7π.答案：7π8.(2018·湘中名校联考)一块边长为a cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则容器的容积的最大值是________．解析：如图，设AB ＝x ，OF ＝x 2，EF ＝a2(0<x <a )，所以EO ＝EF 2－OF 2＝12a 2－x 2.所以V (x )＝13S 正方形ABCD ·EO ＝16x 2a 2－x 2＝16a 2x 4－x 6(0<x <a )．令y ＝a 2x 4－x 6(0<x <a )，则y ′＝4a 2x 3－6x 5＝2x 3(2a 2－3x 2)． 当y ′＝0时，x ＝63a . 当y ′<0时，63a <x <a ， 当y ′>0时，0<x <63a . 所以y ＝a 2x 4－x 6(0<x <a )在⎝⎛⎭⎫0，63a 上是增函数， 在⎝⎛⎭⎫63a ，a 上是减函数， 所以当x ＝63a 时， y max ＝a 2·⎝⎛⎭⎫63a 4－⎝⎛⎭⎫63a 6＝427a 6， 即V (x )max ＝16427a 6＝327a 3. 答案：327a 3 9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4与函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4在区间⎣⎡⎦⎤－54，74上的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的周长为________．解析：因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4与函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4在区间⎣⎡⎦⎤－54，74上的图象交于A ，B ，C 三点，所以由sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4，x ∈⎣⎡⎦⎤－54，74，解得x ＝－1,0,1， 不妨设A ⎝⎛⎭⎫－1，－22，B ⎝⎛⎭⎫0，22，C ⎝⎛⎭⎫1，－22， 所以AB ＝(－1－0)2＋⎝⎛⎭⎫－22－222＝3，AC ＝2，BC ＝(1－0)2＋⎝⎛⎭⎫－22－222＝3， 所以△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝2＋2 3. 答案：2＋2 310．(2019届高三·昆明调研)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵： a 1a 2，a 3a 4，a 5，a 6a 7，a 8，a 9，a 10……记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n ＝2b n －1，则a 56＝________.解析：当n ≥2时，∵S n ＝2b n －1，∴S n －1＝2b n －1－1， ∴b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)， ∵b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴b n ＝2n －1.设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{c n }， 则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1， 累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，∴c n ＝n (n －1)2＋1， 由c n ＝n (n －1)2＋1＝56，得n ＝11，∴a 56＝b 11＝210＝1 024.答案：1 02411．(2018·郑州第一次质量测试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF ―→＝FN ―→，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，F (c,0)，则|MF |＝b ， 由2MF ―→＝FN ―→，可得|MF ||FN |＝12，所以|FN |＝2b .在Rt △OMF 中，由勾股定理， 得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝a ，因为∠MOF ＝∠FON ，所以由角平分线定理可得|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，|ON |＝2a ，在Rt △OMN中，由|OM |2＋|MN |2＝|ON |2，可得a 2＋(3b )2＝(2a )2,9b 2＝3a 2，即b 2a 2＝13，所以b a ＝33，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x .答案：±33x12．已知O 是△ABC 的外心，取∠C ＝45°，若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是________．解析：因为∠C ＝45°，所以∠AOB ＝90°.由已知，不妨设△ABC 的外接圆半径为1，并设OA ―→＝i ，OB ―→＝j ，则C (m ，n )，点C 的轨迹是以原点为圆心，1为半径的34圆弧(不含端点)，如图所示．设m ＋n ＝t ，则直线x ＋y ＝t 与此圆弧有公共点，故－2≤t <1，即m＋n 的取值范围是[－2，1)．注：也可设m ＝cos θ，n ＝sin θ⎝⎛⎭⎫π2<θ<2π，则m ＋n ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.因为3π4<θ＋π4<9π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4<22，所以－2≤m ＋n <1. 答案：[－2，1)13．设点(1,2)在抛物线y ＝ax 2上，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 1是线段AB 的垂直平分线．若直线l 1的斜率为2，则l 1在y 轴上截距的取值范围为________．解析：由点(1,2)在抛物线y ＝ax 2上，得a ＝2，即抛物线方程为y ＝2x 2.设直线l 1在y 轴上的截距为t ，依题意得l 1的方程为y ＝2x ＋t .直线l 的方程可设为y ＝－12x ＋b ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y ＝2x 2，消去y 可得2x 2＋12x －b ＝0，则x 1＋x 2＝－14，Δ＝14＋8b ＞0，即b >－132.设AB 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18，y 0＝－12x 0＋b ＝116＋b .由点P 在直线l 1上，得116＋b ＝－14＋t ，于是t ＝516＋b >516－132＝932.故l 1在y 轴上截距的取值范围为⎝⎛⎭⎫932，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫932，＋∞14．(2019届高三·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c,0)关于直线l ：y ＝cb x 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －22＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，化简得(a 2＋2b 2)·y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0，得2b 2＋a 2－8＝0.设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E ，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF ，又点F 到直线l 的距离d ＝c 2c 2＋b 2＝c 2a ，所以|EF |＝2c 2a ，|F ′E |＝2a －|EF |＝2b 2a ，在Rt △F ′EF 中，|F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0，得b 2＝2，a ＝2，所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝12S △F ′EF ＝1.答案：115.(2019届高三·山西四校联考)如图，等边△ABC 的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上移动，M 为AB 的中点，则OA ―→·OM ―→的最大值为________． BC ―→＝(－2cos解析：设∠OBC ＝θ，因为BC ＝2，所以B (2cos θ，0)，C (0,2sin θ)，则θ，2sin θ)，设BA ―→＝(x ，y )，因为△ABC 是边长为2的等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，－2x cos θ＋2y sin θ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝3sin θ－cos θ，y ＝3cos θ＋sin θ，即BA ―→＝(3sin θ－cos θ，3cos θ＋sin θ)， 则OA ―→＝OB ―→＋BA ―→＝(3sin θ＋cos θ，3cos θ＋sin θ)，因为M 为AB 的中点， 所以OM ―→＝OB ―→＋12BA ―→＝32sin θ＋32cos θ，32cosθ＋12sin θ， 所以OA ―→·OM ―→＝32＋3sin 2θ＋12＋32sin 2θ＋cos 2θ＝332sin 2θ＋12cos 2θ＋52＝7sin(2θ＋φ)＋52，其中cos φ＝32114，sin φ＝714， 所以OA ―→·OM ―→的最大值为52＋7. 答案：52＋7 16．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为3，则 (1)m ＝________；(2)对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________．解析：(1)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋m ， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6， 所以当x ＝π6时，f (x )取最大值3＋m ，所以m ＝0. (2)易知函数f (x )是周期为π的周期函数，由图可知，在每个周期内只有2个零点，而[a ，a ＋20π]有20个周期，故有40个零点，特别地，当a 为零点时，a ＋20π也是零点，由此可得，此时可有41个零点．所以填40或41.答案：(1)0 (2)40或41。
高考2019版二轮复习数学难点自选专题一 “选填”压轴小题命题的4大区域
Earlybird难点自选专题一 “选填”压轴小题命题的 4 大区域[全国卷 3 年考情分析]题号第 11 题 第 12 题 第 15 题 第 16 题 命题分析 考卷卷Ⅰ三角函数定 义及三角恒 等变换、直线 的斜率分段函数与 不等式、指数函数的性质直线与圆的 位置关系及 弦长问题正、余弦定理 的应用及三 角形面积公式高考在选择、 2018卷Ⅱ椭圆的定义 及几何性质抽象函数的 奇偶性和周 期性、对称性三角恒等变换填空压轴题 圆锥的性质中，主要考查 及体积计算、三角恒等变 直线与平面换与解三角所成的角余弦定理、三卷Ⅲ角形面积公式空间几何体 与球切接问 题及几何体体积的最值简单的线性 规划问题函数的奇偶性与对数式 运算形、函数的图 象与性质、函 数与不等式 的求解、空间卷Ⅰ三角恒等变换、正弦定理 解三角形椭圆的标准方程和几何性质同角三角函数的基本关系、两角差的 余弦公式几何体表面 三棱锥的体积与体积的积与外接球计算及与球的表面积、面的切接问题、面垂直的性圆锥曲线的质2017卷Ⅱ古典概型的概率计算抛物线的定义及性质、直线与抛物线的位置关系球与多面体的切接、球的表面积解三角形、三角恒等变换定义、标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系.椭圆的离心函数的图象利用正弦定分段函数、卷Ⅲ率、点到直线与性质、函数理解三角形解不等式的距离的零点问题平面与平面点到直线的平行的性质、利用导数研距离公式、圆线性规划的卷Ⅰ异面直线所究函数的单的弦长、圆的实际应用成的角及等调性求参数半径之间的角定理关系二倍角公式、二次函数、抽同角三角函2016 三角函数诱卷Ⅱ象函数的对数的基本关推理与证明导公式及函称性系、解三角形数的最值函数的奇偶椭圆的离心直线的斜率、直三棱柱及性、导数的几卷Ⅲ率、直线斜率直线与圆的球的体积何意义、直线的应用位置关系方程命题区域(一)函数与导数本类压轴题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等．要注意函数y＝f(x)与方程f(x)＝0 以及不等式f(x)>0 的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题目的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法．其间要注意导数的应用：利用导数研究可导函数的单调性，求可导函数的极值和最值，以及利用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用．分段函数问题[例1]已知函数f(x)＝Error!若f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是________．[技法演示]法一：分段处理，分类讨论记g(x)＝x3－3x，h(x)＝－2x，同时作出函数g(x)与h(x)的图象，如图所示，则h(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，下面分析g(x)的单调性．因为g′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x 变化时，g′(x)和g(x)变化如下：x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)g′(x) ＋0 －0 ＋g(x) 极大值极小值下面分析f(x)的单调性，注意到f(x)＝Error!结合前面g(x)与h(x)的单调性，我们可以按下述三种情况讨论：a<－1 －1≤a＜1 a≥1①若a<－1，则f(x)在(－∞，a]上的最大值为f(a)，由g(x)在(－∞，－1)上单调递增，f(a)＝g(a)<g(－1)＝2，而f(x)在(a，＋∞)上无最大值，取值范围是(－∞，－2a)，由于－2a>2，此时函数f(x)无最大值，符合题意．②若－1≤a<1，则f(x)在(－∞，a]上的最大值为f(－1)＝2，且当x>a 时，f(x)＝h(x)<h(a) ≤h(－1)＝2，则当x＝－1 时，f(x)取得最大值，不符合题意．③若a≥1，由g(x)的单调性可得，f(x)在(－∞，a]上的最大值为f(－1)或f(a)，令M＝max{f(－1)，f(a)}，则有M≥f(－1)＝2，而当x>a 时，f(x)＝h(x)<h(a)≤h(1)＝－2，则f(x) 有最大值M，不符合题意．综上，若f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．法二：整体考虑，正难则反记g(x)＝x3－3x，h(x)＝－2x，由解法一知h(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x 变化时，g′(x)和g(x)变化如下：x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)g′(x) ＋0 －0 ＋g(x) 极大值极小值由于h(x)在(a，＋∞)上单调递减，无最大值，若f(x)有最大值，也只可能在x＝－1 或x＝a 处取得，同时作出函数g(x)与h(x)的图象，如图所示，容易求得它们的交点分别是(－1,2)，(0,0)和(1，－2)．注意到g(－1)＝h(－1)＝2，由图象可见，若f(x)在x＝－1 处取得最大值，实数a 的取值范围是[－1,2]，若f(x)在x＝a 处取得最大值，实数a的取值范围是[2，＋∞)．综上，若f(x)有最大值，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)，从而，若f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．法三：平移直线x＝a，直接秒杀根据题意，将函数f(x)＝Error!采用分离的方式，记g(x)＝x3－3x，h(x)＝－2x，同时在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)与h(x)的图象，将直线x＝a 在图象中沿着x 轴左右平移，观察直线x＝a 与函数g(x)，h(x)的图象的交点(曲线点实，直线点虚)变化，如图所示，当直线x＝a 在直线x＝－1 左边时满足条件“f(x)无最大值”，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)．[答案](－∞，－1)[系统归纳]“三招”破解分段函数最值问题研究分段函数f(x)的单调性，大多借助分类讨论f(x)在各个分段上的最值．如分类讨论解法一是根据g(x)的单调性，对a 进行分类讨论从函数的整体性质(单调性、奇偶性和周期性)出发，研究函数的最值问题．当整体思想一个问题从正面不好入手时，也可从反面思考．如解法二就采取正难则反的方法解题“以形助数”，作出函数或变形后的函数图象，结合条件求解问题，解法三是数形结合利用数形结合的思想直观得到结果[应用体验]1．若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a 的值为()A．5 或8B．－1 或5C．－1 或－4 D．－4 或8解析：选D当a≥2 时，f(x)＝Error!a a＝f(＝－1＝3，可得a＝8；如图1 可知，f(x)min－2 )2当a<2 时，f(x)＝Error!如图2 可知，a af(x)min＝f(－＝－＋1＝3，可得a＝－4.2 )2函数的含参零点问题[例2]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)[技法演示]法一：分类讨论，各个击破分类讨论就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究，最后整合获解，其基本思路是化整为零，各个击破．由已知得a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，2令f′(x)＝0，得x＝0 或x＝.a当a>0 时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；2x∈(0，a)，f′(x)<0；x∈(，＋∞)，f′(x)>0.所以函数f(x)在(－∞，0)和(，＋∞)上单调递增，2在(0，a)上单调递减，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零点，不符合题意．2当a<0 时，x∈(－∞，a)，f′(x)<0；2x∈(，0 )，f′(x)>0；ax∈(0，＋∞)，f′(x)<0.2 2所以函数f(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递减，在(，0 )上单调递增，a所以要使f(x)有唯一的零点x0，且x0>0，只需f( )>0，即a2>4，解得a<－2.法二：数形结合，曲曲与共函数f(x)的零点，亦即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的联结点，因此用图象来揭开函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用而最有效的策略．令f(x)＝0，得ax3＝3x2－1.问题转化为g(x)＝ax3 的图象与h(x)＝3x2－1 的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a＝0 时，函数g(x)的图象与h(x)的图象存在两个的交点；当a>0 时，如图(1)所示，不合题意；当a<0 时，由图(2)知，可先求出函数g(x)＝ax3 与h(x)＝3x2－1 的图象有公切线时a 的值．由g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得a＝－2.由图象可知当a<－2 时，满足题意．法三：参变分离，演绎高效参变分离法，亦即将原函数中的参变量进行分离，转化成求函数值域问题加以解决．巧用参数分离求解零点问题，既可以回避对参数取值的分类讨论，又形象直观，一目了然．3 1 3 1 3 3 －3x2－1易知x≠0，令f(x)＝0，则a＝－，记g(x)＝－，g′(x)＝－＋＝，x x3 x x3 x2 x4 x4可知g(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g(－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y＝a，结合图象，可知a<－2.[答案] B[系统归纳]“三招”破解含参零点问题若无法通过等价转化的思想将原问题化归为相对容易的问题，此时应根据题设要求合理地对参数的取值进行分类，并逐一求解．利用带参讨论该策略求解时一般要求我们明确讨论的标准，必须做到不重不2漏．如解法一中就要考虑到a 的正负对根“0”与“”大小的影响a由两个基本初等函数组合而得的函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点个数，数形结合等价于方程g(x)－h(x)＝0的解的个数，亦即g(x)＝h(x)的解的个数，进而转化为基本初等函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象的交点个数参变分离通过将原函数中的参变量进行分离后变形成g(x)＝l(a)，则原函数的零点问题化归为与x轴平行的直线y＝l(a)和函数g(x)的图象的交点问题[应用体验]2．已知函数f(x)＝|x2＋3x|(x∈R)．若方程f(x)－a|x－1|＝0 恰有4 个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．解析：法一：画出函数f(x)＝|x2＋3x|的大致图象，如图，令g(x)＝a|x－1|，则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有且仅有4 个不同的交点，显然a>0.联立Error!消去y，得x2＋(3－a)x＋a＝0，由Δ>0，解得a<1 或a>9；联立Error!消去y，得x2＋(3＋a)x－a＝0，由Δ>0，解得a>－1 或a<－9.综上，实数a的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)．法二：易知a>0，且x＝1 不是方程的根．x2＋3x故有a＝|x－1 |4＝x－1＋＋5.x－14设h(x)＝|，x－1＋＋5|x－1则问题等价于曲线y＝h(x)与直线y＝a有4 个不同交点．作出图象如图所示．显然y＝9，y＝1 是y＝h(x)的两条切线，此时都只有3 个交点．于是，结合图形知，当0<a<1 或a>9 时，直线y＝a与曲线y＝h(x)均有4 个交点．所以a的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)．答案：(0,1)∪(9，＋∞)抽象函数问题[例3]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0 时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0 成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)[技法演示]法一：构造抽象函数法f x观察xf′(x)－f(x)<0 这个式子的特征，不难想到商的求导公式，设F(x)＝.因为f(x)xEarlybirdxf′x－f x是奇函数，故F(x)是偶函数，F′(x)＝，易知当x>0 时，F′(x)<0，所以函数F(x)x2在(0，＋∞)上单调递减．又f(－1)＝0，则f(1)＝0，于是F(－1)＝F(1)＝0，f(x)＝xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x与F(x)的符号相同的区间，易知当x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)>0，故选A.法二：构造具体函数法题目中没有给出具体的函数，但可以根据已知条件构造一个具体函数，越简单越好，因此考虑简单的多项式函数．设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)能被x2－1 整除．因此可取f(x)＝x－x3，检验知f(x) 满足题设条件．解不等式f(x)>0，得x∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.[答案] A[系统归纳]1．利用和差函数求导法则构造函数(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx.2．利用积商函数求导法则构造函数(1)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；f x(2)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)；g x(3)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；f x(4)对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；xf x(5)对于不等式xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；x n(6)对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝e x f(x)；f x(7)对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝.e x[应用体验]3．定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 019 为奇函数，则不等式f(x)＋2 019e x<0 的解集是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)1 1C.(－∞，D.e)(，＋∞)eEarlybirdf x f′x－f x解析：选B设g(x)＝，则g′(x)＝<0，所以g(x)是R 上的减函数，由e x e xf x于f(x)＋2 019 为奇函数，所以f(0)＝－2 019，g(0)＝－2 019，因为f(x)＋2 019e x<0⇔<－e x2 019，即g(x)<g(0)，结合函数的单调性可知不等式f(x)＋2 019e x<0 的解集是(0，＋∞)，故选B.命题区域(二)三角函数、平面向量本类压轴题主要考查三角恒等变换与三角函数、解三角形相结合的综合问题．其中三角函数的图象与性质、三角形的面积问题是重点考查内容；平面向量主要考查与解析几何、函数、不等式等相结合的有关数量积问题．解决此类问题的关键是转化与化归思想的灵活运用．三角函数的图象与性质πππ[例1]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)2 4 4π5π图象的对称轴，且f(x)在(上单调，则ω的最大值为()，36)18A．11B．9C．7 D．5[技法演示]法一：综合法πππ由f(＝0，得－ω＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ＋ω，4 )－4 4π则f(x)＝sin(ω)ωx＋kπ＋4＝Error!(n∈Z)．ππππ由f(＝±1，即sin ＝sin ω＝±1，ω＋ω)4 )(4 4 2可知ω为正奇数(ω>0)．由Error!得Error!又由于ω>0，所以k只能取0，－1，－2，－3. 当k＝0 时，ω∈(－2,2)；当k＝－1 时，ω∈(2,6)；Earlybird当k＝－2 时，ω∈(6,10)；当k＝－3 时，ω∈(10,14)．因为ω是正奇数(不超过12)，所以ω∈{1,3,5,7,9,11}．π5ππ11π121π154π7π当ω＝11 时，x∈(，ωx＋ω＝11x＋∈，里面含有，则f(x)，，36) 4 (36 )18 4 36 2π5π在(上不可能单调，不符合题意．，36)18π5ππ9π99π126π2n＋1 当ω＝9 时，x∈(，ωx＋ω＝9x＋∈，里面不含π(n∈Z)中，，36) 4 (36 )18 4 36 2π5π的任何一个，即f(x)在(上单调，符合题意．，36)18综上，ω的最大值为9.故选B.法二：分类讨论5ππTπ由题意－≤⇒T≥，36 18 2 62ππ即≥⇒0<ω≤12.①ω 6又由题意可得Error!(n，k∈Z)，πk＋n所以φ＝＋π(n，k∈Z)．4 2π 3 1又|φ|≤，所以－≤k＋n≤.2 2 2π(1)当k＋n＝0 时，φ＝，ω＝1－4k.②4由①②可得，当k＝－2 时，ω＝9，ππ5π此时函数f(x)＝sin (在上单调递减，符合题意；9x＋，4)(36)18ππ5π当k＝－1 时，ω＝5，此时函数f(x)＝sin (在上单调递减，符合题意；5x＋，4)(36)18ππ5π当k＝0 时，ω＝1，此时f(x)＝sin (在上单调递增，符合题意；x＋，4 )(36)18π(2)当k＋n＝－1 时，φ＝－，ω＝－1－4k.③4由①③可得，当k＝－1 时，ω＝3，ππ5π此时函数f(x)＝sin (3x－在上单调递增，符合题意；4)(36)，18ππ5π当k＝－2 时，ω＝7，此时函数f(x)＝sin (在，上不单调，舍去；7x－4)(36)18ππ5π当k＝－3 时，ω＝11，此时f(x)＝sin (11x－在，上不单调，舍去．4)(36)18Earlybird综上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所有可能值．[答案] B[系统归纳]三角函数图象与性质问题的解题策略(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象的单调性、对称性、周期、零点等问题中涉及的结论：T kT①若函数y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两条对称轴x＝a，x＝b，则有|a－b|＝＋(k2 2∈Z)；T②若函数y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两个对称中心M(a,0)，N(b,0)，则有|a－b|＝＋2kT(k∈Z)；2③若函数y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有一条对称轴x＝a，一个对称中心M(b,0)，则有T kT|a－b|＝＋(k∈Z)．4 2(2)研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．解法一尝试正面求解ω的可能值，但因单调区间的条件不好使用，仍然采取代入验证的方法解决．[应用体验]ππ1．若函数f(x)＝cos 2x＋a sin x在区间(，上是减函数，则a的取值范围是2 )6________．解析：法一：导数法ππ对f(x)＝cos 2x＋a sin x求导，得f′(x)＝－2sin 2x＋a cos x．因为f(x)在区间(上，2 )6ππ是减函数，所以f′(x)≤0 在(上恒成立，即a cos x≤2sin 2x＝4sin x cos x，而cos x>0，，2 )6ππ 1所以a≤4sin x．在区间(上，<sin x<1，于是a≤2.，2 )6 2法二：图象法a a2f(x)＝cos 2x＋a sin x＝1－2sin2x＋a sin x＝－2(sin x－2＋＋1，设t＝sin x，由x∈4)8ππ 1 a a2 1 a 1，，知t∈.要使g(t)＝－2 2＋＋1 在上是减函数，只要≤即可，，1 )(t－，1 )( 2 )( 4 )8 (6 2 2 4 2所以a∈(－∞，2]．答案：(－∞，2]Earlybird三角形面积最值问题[例2]已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC的面积的最大值为________．[技法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为(2＋b)(a－b)＝c(c－b)，将a＝2 代入整理，得b2＋c2－a2＝bc，b2＋c2－a2 1 π所以cos A＝＝，故A＝，2bc 2 31 3则△ABC的面积S＝bc sin A＝bc.2 4而b2＋c2－a2＝bc≥2bc－a2⇒bc≤4，3所以S＝bc≤3，当且仅当b＝c＝2 时取到等号，4故△ABC的面积的最大值为 3.法二：正、余弦定理与数形结合ππ由法一得A＝，可知△ABC的边a＝2 为定长，A＝为定值，作3 3出示意图如图所示，满足条件的点A在圆周上的运动轨迹为优弧BC(不包括两个端点B，C)，易知当点A位于优弧中点时，此时△ABC的面π积最大，由于A＝，则此时的△ABC是等边三角形，面积为 3.3法三：正、余弦函数的有界性π由法一知A＝，则由正弦定理得，3a 4 3 4 3b＝·sin B＝sin B，c＝sin C，sin A 3 31 3则S△ABC＝bc sin A＝bc2 44 3 4 3 1＝sin B·sin C＝·[cos(B－C)－cos(B＋C)]3 3 22 3 1 2 3 1＝cos(B－C)＋≤· 1＋＝3，3 ( 2 )3 2当且仅当cos(B－C)＝1，即B＝C时，△ABC的面积取得最大值 3.Earlybird法四：函数思想4 3 4 3 2π由法三得S△ABC＝sin B·sin C＝sin B·sin－B，3 3 32π 3 1 1 π 1令g(B)＝sin B·sin(＝sin B cos B＋sin B＝sin ＋.－B)2B－2 (6)3 2 2 42π 3 π由0<B< ，易得g(B)max＝，当且仅当B＝时取等号，3 4 3所以△ABC的面积的最大值为 3.[答案] 3[系统归纳]三角形面积最值问题的解题策略(1)借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；(2)结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速；(3)利用结论：已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若a＝m(m>0)，m2且∠A＝θ，θ∈(0，π)，则△ABC的面积的最大值是，当且仅当另外两个角相等时取θ4tan2等号．[应用体验]2．(2018·潍坊统一考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的tan A2c－b半径为1，且＝，则△ABC面积的最大值为________．tan B btan A2c－b解析：因为＝，tan B bb sin A sin B所以＝(2c－b) ，cos A cos B由正弦定理得sin B sin A cos B＝(2sin C－sin B)sin B cos A，又sin B≠0，所以sin A cos B＝(2sin C－sin B)cos A，所以sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos A，sin(A＋B)＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，1 3 又sin C≠0，所以cos A＝，sin A＝，2 2 设外接圆的半径为r，则r＝1，Earlybirdb2＋c2－a2由余弦定理得bc＝＝b2＋c2－a2＝b2＋c2－(2r sin A)2＝b2＋c2－3≥2bc－3(当2cos A且仅当b＝c时，等号成立)，所以bc≤3，1 3 3 3所以S△ABC＝bc sin A＝bc≤.2 4 43 3答案：4平面向量数量积问题[例3]在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且B―E→＝λB―C→，D―→F＝1 ，则·的最小值为D―→C A―E→A―F→9λ________．[技法演示]法一：基底法选取{A―B→，B―C→}为一组基底，由题意易求DC＝1，|A―B→|＝2，|B―C→|＝1，A―B→·B―C→＝2×1×cos 120°＝－1，A―E→＝A―B→＋B―E→＝A―B→＋λB―C→，A―F→＝A―B→＋B―C→＋C―F→＝A―B→＋B―C→－1 A―B→＝111－2( 9λ)2 11＋＋.A―B→B―C→)(于是A―E→·A―F→＝(A―B→＋λB―C→)·1A―B→＋B―C→＝1 ×4－1－＋λ＝＋1 1 λ 1 17 λ1＋1＋1＋2( 9λ) 2( 9λ) 2( 9λ)18 22 17 λ 2 29 λ 2 2A―E→A―F→＋≥＋2 ·＝(λ>0)，当且仅当＝，即λ＝时等号成立，故·的最小值为9λ18 2 9λ18 2 9λ 329.18法二：坐标法以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，1 3 3 3所以DC＝1，即B(2,0)，D( ，C.，，2 ) ( 2 )2 2因为B―E→＝λB―C→，D―→F＝1 ，D―→C9λλ 3 1 1 3所以E( ，F，2－λ) (＋，，2 )2 2 2 9λλ 3 1 1 3A―E→A―F→＝2－，＝.，，λ) ＋( ( 2 )2 2 2 9λλ 1 1 3 17 λ 2 17 1 29 所以A―E→·A―F→＝＋λ＝＋＋≥＋2 ＝.2－＋( 2 )(9λ)2 4 18 2 9λ18 9 18λ 2 2当且仅当＝，即λ＝时等号成立，2 9λ3故A―E→·A―F→的最小值为29.1829[答案]18[系统归纳]向量数量积问题的解题策略根据平面向量基本定理，结合图形的结构特征选择一组基底，将有关的向量用基基底法底表示，进行求解分析图形的结构特征，建立平面直角坐标系，将所涉及的向量坐标化，利用坐标坐标法运算进行解答[应用体验]3．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则D―→E·C―B→＝________；D―→E D―→C·的最大值为________．解析：法一：如图，以射线AB，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则E(t,0)，t∈[0,1]，D―→E＝(t，－1)，C―B→＝(0，－1)，所以D―→E·C―B→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为D―→C＝(1,0)，所以D―→E·D―→C＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故D―→E·D―→C 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，D―→E在C―B→方向上的投影都是|C―B→D―→E C―B→C―B→D―→E D―→C |＝1，所以·＝| |·1＝1，当点E 运动到B 点时，在方向上的投影最大即为|D―→C|＝1，所以(D―→E·D―→C)max＝|D―→C|·1＝1.答案：1 1命题区域(三)立体几何此类压轴题主要考查以立体几何为背景的新颖问题．以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题、与函数图象相结合问题、最值问题、探索性问题等．(1)对探索、开放、存在型问题的考查：探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何中．(2)对折叠、展开问题的考查：图形的折叠与展开问题(三视图问题可看作是特殊的图形变换)蕴涵了“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辨，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立体几何中的重要题型．空间中线面位置关系与计算[例 1] 平面 α 过正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 的顶点 A ，平面 α∥平面 CB 1D 1，平面 α∩平 面 ABCD ＝m ，平面 α∩平面 ABB 1A 1＝n ，则直线 m ，n 所成角的正弦值为( )3A. B. 23 1 C. D.3 32 2[技法演示]法一：割补法我们先尝试把 m ，n 这两条直线都作出来，易知这个平面 α 一定 在正方体外，所以要往上补形，如图所示，过点 A 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1 的上方补作一个与正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 相同棱长的正方体 ABCD A 2B 2C 2D 2，可证平面 AB 2D 2 就是平面 α，n 就是AB 2.因为平面 ABCD ∥平面 A 2B 2C 2D 2，所以 B 2D 2∥m ，说明 m 应该是经过点 A 且在平面 ABCD 内与 B 2D 2 平行的直线，则直线 m ，n 所 成 的 角 就 是 ∠ AB 2D 2 ，因 为 △ AB 2D 2 为 等 边 三 角 形 ， 所 以 π 3sin ∠AB 2D 2＝sin ＝ ，故选 A.3 2法二：平移法 1事实上对法一可进行适当简化，无须补形也可以．设平面 CB 1D 1∩平面 ABCD ＝m ′， 因为平面 α∩平面 ABCD ＝m ，平面 α∥平面 CB 1D 1，所以 m ∥m ′.又平面 ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面 CB 1D 1∩平面 A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所 以 B 1D 1∥m ′，所以 B 1D 1∥m .同理可得 CD 1 ∥ n ， 故 直 线 m ， n 所 成 角 即 为 直 线 B 1D 1 ， CD 1 所 成 的 角 ∠ CD 1B 1. 在 正 方 体π 3ABCD A 1B 1C 1D 1 中，B 1C ＝B 1D 1＝CD 1，所以∠CD 1B 1＝ ，所以 sin ∠CD 1B 1＝ ，故选 A.3 2法三：平移法 2与法二类似，我们尝试在正方体内部构造一个平面与平面 α 平行，也即与平面 CB 1D 1 平行．如图所示，让点A 在平面ABCD 内运动，不妨让点A 在对角线AC 上运动，易知平面BA 1D 与平面 CB 1D 1 平行，则直线 m ，n 所成的 3角就是∠DBA 1，其正弦值为 ，故选 A.2[答案] A[系统归纳]异面直线所成角问题的解题策略平移化归是关键：求异面直线所成角，关键是将两条异面的直线平移到相交状态，作出等价的平面角，再解三角形即可，常规步骤是“一作二证三计算”，而第一步最为关键，平移谁，怎么平移都要视题目条件而定.[应用体验]1．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥底1面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面2积为________．解析：在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，取BC的中点E，连接AE，重心G为AE的三等分点，AE＝AB2－BE2＝3，AG＝12，由于AD⊥底面ABC，直线DG与底面ABC所成角的正切值为，所2DA 1以tan∠DGA＝＝，DA＝1，在等腰△ABC中，cos∠ACB＝AG 252＋82－52 4 3 AB 5 25 25 ＝，sin∠ACB＝，所以△ABC的外接圆直径2r＝＝＝，r＝，设2 ×5 ×8 5 5 sin C 3 3 65△ABC的外接圆圆心为O1，四面体ABCD的球心为O，在Rt△AOO1 中，R2＝OA2＝AO21＋AD25 1 634 6342＝2＋2＝，球的表面积为S＝4πR2＝π.(2 )(6 )(2 )36 9634答案：π9空间最值问题[例2]如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________．[技法演示]法一：平面几何法由题意可知四面体PBCD的体积最大时，应有平面PBD⊥平面BCD.如图，过点P作PF⊥BD，垂足为F，则PF⊥平面BCD，则V PBCD＝1 1S△BCD·PF.由翻折过程可知AF＝PF，则V PBCD＝S△BCD·AF，这样3 3就将空间问题转化为△ABC内的问题．等腰△ABC的底边AC边上的高h＝AB·sin 30°＝1，Earlybird1 1 1V PBCD＝××DC×h×AF＝DC·AF.3 2 6DC与AF不在同一个三角形中，用哪个变量能表示两者呢？注意到当点D在AC上运动时，∠ADB也是在变化的，因此可以取∠ADB为自变量，产生下面的解法．1 1 AD1 如图，因为S△ABD＝BD·AF＝AD·h，则AF＝，得V PBCD＝2 2BD 6AD ADDC·. 设∠ADB＝α，由正弦定理得＝2sin(150°－α) ，DC＝BD DB2sinα－30° 2 sin150°－αsinα－30°cos 2α＋cos 120° 2 1 ，则V PBCD＝×＝－＝sin α－，3(4sin α) sin α 3 sin α3sin α1 2 1 1易知函数f(x)＝x－在区间(0,1]上单调递增，于是V PBCD≤1－＝.3( 4 )4x 2法二：构造法换个角度看问题，我们把△ABC“立起来”，如图，设BO⊥平面ACP，考虑以B为顶点，△ACP的外接圆⊙O为底面的圆锥，易得AC＝2 3，则1OB＝BA2－OA2≤4－(＝1.设∠PDA＝θ，θ∈(0，π)，AD＝AC)221 1 123 3x(0<x<2 3)，则S△PCD＝x·(23－x)sin θ≤x·(23－x)≤2＝，所以四面体PBCD2(2 )2 2 21 1 1 π的体积V PBCD＝·S△PCD·OB≤，当且仅当OA＝AC＝3，且θ＝时取等号(此时D点与3 2 2 2圆心O重合，PD垂直平分AC，进而可得BD⊥PD)．法三：解析法由于△ABC是顶角为120°的等腰三角形，故建系非常方便．如图，取AC的中点O为原点，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－3，0)，B(0，－1)，C( 3，0)，设D(t,0)，t∈(－3，3)，易知直线BD的方程为x－ty－t＝0，则点A到直线BD的3＋t 1 1 3－t2 1 3－t2 1 距离AF＝，又DC＝3－t，于是V PBCD＝DC·AF＝·，令f(t)＝·＝1＋t2 6 6 1＋t26 1＋t2 64 1－1＋t2，t2∈[0,3)，易知该函数在[0,3)上单调递减，故V PBCD≤f(0)＝，此时D在原1＋t2 2点．1[答案]2Earlybird[系统归纳]空间最值问题的解题关键(1)要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，如本题一定要分析出“当四面体PBCD的体积取最大值时，必有平面PBD⊥平面BCD”，要判断出△PBD与△ABD是翻折关系(全等)，这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；(2)转化后的运算：因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式，甚至导数都是可以考虑使用的工具．[应用体验]2．表面积为60π的球面上有四点S，A，B，C且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥SABC体积的最大值为________．解析：因为球的表面积为60π，所以球的半径为15，设△ABC的中心为D，则OD＝33，所以DA＝2 3，则AB＝6，棱锥SABC的底面积S＝×62＝9 3为定值，欲使其体4积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，所以S在平面ABC 上的射影落在直线AB上，而SO＝15，点D到直线AB的距离为3，则S到平面ABC的1距离的最大值为3 3，所以V＝×9 3×3 3＝27.3答案：27命题区域(四)解析几何本类压轴题主要考查圆锥曲线的几何性质、特定字母的取值范围以及圆锥曲线中的最值问题．圆锥曲线的几何性质是高考考查圆锥曲线的重点内容之一．在选择、填空题中主要考查椭圆和双曲线的离心率、参数的值(范围)、双曲线的渐近线方程以及抛物线的焦点弦．圆锥曲线中的弦长是直线与圆锥曲线相交时产生的，面积也以弦长的计算为基础，高考重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，它是命制压轴题时的一个重要命题方向．圆锥曲线的几何性质Earlybirdx2 y2[例1]已知F1，F2 分别是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点M在双a2 b21曲线E上，MF1 与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则双曲线E的离心率为()33A. 2B.2C. 3 D．2[技法演示]法一：定义法1因为△MF1F2 是直角三角形，且sin∠MF2F1＝，31所以|MF1|＝|MF2|sin∠MF2F1＝|MF2|，3即|MF2|＝3|MF1|.①由双曲线的定义可知|MF2|－|MF1|＝2a.②由①和②可求得|MF1|＝a，|MF2|＝3a.在Rt△MF1F2 中，由勾股定理得|MF2|2－|MF1|2＝|F1F2|2，即(3a)2－a2＝(2c)2，化简得2a2 c，即(2＝2，从而可知e＝.故选A.＝c22a) 法二：利用正弦定理2 2在Rt△MF1F2 中，sin ∠F1MF2＝sin(90°－∠MF2F1)＝cos∠MF2F1＝，sin∠MF1F232 2|F1F2| sin ∠F1MF2 3＝1.由正弦定理得e＝＝＝＝ 2.故选A.|MF2|－|MF1| sin∠MF1F2－sin∠MF2F1 11－3法三：利用直角三角形的三角函数－c 2 y20设点M(－c，y0)，则－＝1，a2 b2c2－a2 c2－a22由此解得y20＝|MF1|2＝b2(＝.a2 )a21∵△MF1F2 是直角三角形，且sin∠MF2F1＝，32 2 2∴cos∠MF2F1＝，tan∠MF2F1＝，3 4|MF1| 2 |MF1|2 1 |F1F2|2 4c2 4c2从而可得＝⇒＝⇒＝＝8，即＝8，|F1F2| 4 |F1F2|2 8 |MF1|2 y20c2－a22a2Earlybird化简整理得2c4－5a2c2＋2a4＝0，c c，得2( 4－5 2＋2＝0，两边同除以a4a) (a)c c即[2( 2－1][( 2－2]＝0，a) a)c c∵>1，∴2＝2，即e＝ 2.a(a)[答案] A[系统归纳]圆锥曲线离心率问题的求解策略(1)双曲线(椭圆)的定义可直接建立“焦点三角形”的两边关系．用好这一隐含条件，可为三角形的求解省下不少功夫．法二便充分利用了双曲线的定义将离心率e写成|F1F2|，转化为“焦点三角形”的三边关系，从而利用正弦定理再转化到已知的角上|MF2|－|MF1|去．(2)在求解圆锥曲线(主要指的是椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a与c的关系式．[注意]在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系式．[应用体验]x2 y21．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为a2 b2F，若在E的渐近线上存在点P，使得PA⊥FP，则E的离心率的取值范围是()3 2A．(1,2) B.(1，4 ]3 2C．(2，＋∞) D.[ ，＋∞)4x2 y2解析：选B双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(a,0)，抛物线C：y2＝8axa2 b2b bm，A―→P的焦点为F(2a,0) ，双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设P m)，则有＝a(ab b 2F―→PA―→P F―→P b m－a，m) m)，＝m－2a，，由PA⊥FP，得·＝0，即(m－a)(m－2a)＋m2＝( (a a a2b2 b20，整理得(1＋m2－3ma＋2a2＝0，由题意可得Δ＝9a2－41＋·2a2≥0，即a2≥8b2＝8(c2 a2)a2Earlybirdc 3 2 3 2－a2)，即8c2≤9a2，则e＝≤.又e>1，所以1<e≤.a 4 4参数的值(范围)问题x2 y2[例2]设A，B是椭圆C：＋＝1 长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB3 m＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞)[技法演示]法一：几何性质法x2 y2如图，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．a2 b2过点M作MN⊥AB，垂足为N，设M(x，y)．根据椭圆的对称性，不妨令y>0，设∠AMN＝α，∠BMN＝β，x＋a a－x则tan α＝，tan β＝.y ya2y2又点M在椭圆上，所以x2＝a2－.b2x＋a a－x＋tan α＋tan βy y则tan(α＋β)＝＝1－tan αtan βa2－x21－y22ay2ay＝＝x2＋y2－a2 x2＋y2－a2y22ay2ab2＝＝.a2 －c2ya2－y2＋y2－a2b2又y∈[－b，b]，所以当y＝b时，α＋β取最大值，即M为椭圆短轴顶点P时，∠APB 最大．由此，我们可以得到本题的如下解法．。
通用版2019版高考数学(文)二轮复习讲义：难点自选专题一 “选填”压轴小题命题的4大区域(含解析)
难点自选专题一“选填”压轴小题命题的4大区域[全国卷3年考情分析]命题区域(一) 函数与导数本类压轴题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等．要注意函数y ＝f (x )与方程f (x )＝0以及不等式f (x )>0的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题目的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法．其间要注意导数的应用：利用导数研究可导函数的单调性，求可导函数的极值和最值，以及利用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用．[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a ，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．[技法演示]法一：分段处理，分类讨论记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，则h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，下面分析g (x )的单调性．因为g ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：下面分析f (x )的单调性，注意到f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x ≤a ，h (x )，x >a ，结合前面g (x )与h (x )的单调性，我们可以按下述三种情况讨论：①若a <－1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (a )，由g (x )在(－∞，－1)上单调递增，f (a )＝g (a )<g (－1)＝2，而f (x )在(a ，＋∞)上无最大值，取值范围是(－∞，－2a )，由于－2a >2，此时函数f (x )无最大值，符合题意．②若－1≤a <1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)＝2，且当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a ) ≤h (－1)＝2，则当x ＝－1时，f (x )取得最大值，不符合题意．③若a ≥1，由g (x )的单调性可得，f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)或f (a )，令M ＝max{f (－1)，f (a )}，则有M ≥f (－1)＝2，而当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a )≤h (1)＝－2，则f (x )有最大值M ，不符合题意．综上，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二：整体考虑，正难则反记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，由解法一知h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：由于h (x )在(a ，＋∞)上单调递减，无最大值，若f (x )有最大值，也只可能在x ＝－1或x ＝a 处取得，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，容易求得它们的交点分别是(－1,2)，(0,0)和(1，－2)．注意到g (－1)＝h (－1)＝2，由图象可见，若f (x )在x ＝－1处取得最大值，实数a 的取值范围是 [－1,2]，若f (x )在x ＝a 处取得最大值，实数a 的取值范围是[2，＋∞)．综上，若f (x )有最大值，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)，从而，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．法三：平移直线x ＝a ，直接秒杀根据题意，将函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a 采用分离的方式，记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时在同一平面直角坐标系中作出函数g (x )与h (x )的图象，将直线x ＝a 在图象中沿着x 轴左右平移，观察直线x ＝a 与函数g (x )，h (x )的图象的交点(曲线点实，直线点虚)变化，如图所示，当直线x ＝a 在直线x ＝－1左边时满足条件“f (x )无最大值”，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)．[答案] (－∞，－1)[系统归纳]“三招”破解分段函数最值问题[应用体验]1．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或8解析：选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a 2，如图1可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.[例2] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1) [技法演示]法一：分类讨论，各个击破分类讨论就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究，最后整合获解，其基本思路是化整为零，各个击破．由已知得a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a .当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，f ′(x )>0. 所以函数f (x )在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，且f (0)＝1>0， 故f (x )有小于零的零点，不符合题意． 当a <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，f ′(x )<0； x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，0，f ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上单调递增， 所以要使f (x )有唯一的零点x 0，且x 0>0， 只需f ⎝⎛⎭⎫2a >0，即a 2>4，解得a <－2. 法二：数形结合，曲曲与共函数f (x )的零点，亦即函数f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的联结点，因此用图象来揭开函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用而最有效的策略．令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图象可知当a <－2时，满足题意．法三：参变分离，演绎高效参变分离法，亦即将原函数中的参变量进行分离，转化成求函数值域问题加以解决．巧用参数分离求解零点问题，既可以回避对参数取值的分类讨论，又形象直观，一目了然．易知x ≠0，令f (x )＝0，则a ＝3x －1x 3，记g (x )＝3x －1x 3，g ′(x )＝－3x 2＋3x 4＝－3(x 2－1)x 4，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.[答案] B[系统归纳]“三招”破解含参零点问题[应用体验]2．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |(x ∈R)．若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：画出函数f (x )＝|x 2＋3x |的大致图象，如图，令g (x )＝a |x －1|，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有且仅有4个不同的交点，显然a >0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )消去y ，得x 2＋(3－a )x ＋a＝0，由Δ>0，解得a <1或a >9；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (1－x)消去y ，得x 2＋(3＋a )x －a ＝0，由Δ>0，解得a >－1或a <－9.综上，实数a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 法二：易知a >0，且x ＝1不是方程的根．故有a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1＝x －1＋4x －1＋5. 设h (x )＝⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5，则问题等价于曲线y ＝h (x )与直线y ＝a 有4个不同交点．作出图象如图所示． 显然y ＝9，y ＝1是y ＝h (x )的两条切线，此时都只有3个交点．于是，结合图形知，当0<a<1或a>9时，直线y＝a与曲线y＝h(x)均有4个交点．所以a的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)．答案：(0,1)∪(9，＋∞)[例3]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)[技法演示]法一：构造抽象函数法观察xf′(x)－f(x)<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，设F(x)＝f(x)x.因为f(x)是奇函数，故F(x)是偶函数，F′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，易知当x>0时，F′(x)<0，所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(－1)＝0，则f(1)＝0，于是F(－1)＝F(1)＝0，f(x)＝xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x与F(x)的符号相同的区间，易知当x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)>0，故选A.法二：构造具体函数法题目中没有给出具体的函数，但可以根据已知条件构造一个具体函数，越简单越好，因此考虑简单的多项式函数．设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)能被x2－1整除．因此可取f(x)＝x－x3，检验知f(x)满足题设条件．解不等式f(x)>0，得x∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.[答案] A[系统归纳]1．利用和差函数求导法则构造函数(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx.2．利用积商函数求导法则构造函数(1)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；(2)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)(g(x)≠0)；(3)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；(4)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x(x ≠0)； (5)对于不等式xf ′(x )－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n (x ≠0)； (6)对于不等式f ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e x f (x )； (7)对于不等式f ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e x .[应用体验]3．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 019为奇函数，则不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1e D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ 解析：选B 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，所以g (x )是R 上的减函数，由于f (x )＋2 019为奇函数，所以f (0)＝－2 019，g (0)＝－2 019，因为f (x )＋2 019e x <0⇔f (x )e x <－2 019，即g (x )<g (0)，结合函数的单调性可知不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是(0，＋∞)，故选B.命题区域(二) 三角函数、平面向量本类压轴题主要考查三角恒等变换与三角函数、解三角形相结合的综合问题．其中三角函数的图象与性质、三角形的面积问题是重点考查内容；平面向量主要考查与解析几何、函数、不等式等相结合的有关数量积问题．解决此类问题的关键是转化与化归思想的灵活运用．[例1] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 [技法演示]法一：综合法由f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，得－π4ω＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝k π＋π4ω， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋k π＋π4ω ＝⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ，－sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ＋1，(n ∈Z )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π4ω＝sin π2ω＝±1， 可知ω为正奇数(ω>0)．由⎩⎨⎧－π2<k π＋π4ω<π2，2πω≥2⎝⎛⎭⎫5π36－π18得⎩⎪⎨⎪⎧－2－4k <ω<2－4k ，ω≤12. 又由于ω>0，所以k 只能取0，－1，－2，－3. 当k ＝0时，ω∈(－2,2)；当k ＝－1时，ω∈(2,6)； 当k ＝－2时，ω∈(6,10)；当k ＝－3时，ω∈(10,14)． 因为ω是正奇数(不超过12)，所以ω∈{1,3,5,7,9,11}．当ω＝11时，x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝11x ＋11π4∈⎝⎛⎭⎫121π36，154π36，里面含有7π2，则f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不可能单调，不符合题意．当ω＝9时，x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝9x ＋9π4∈⎝⎛⎭⎫99π36，126π36，里面不含2n ＋12π(n ∈Z)中的任何一个，即f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，符合题意．综上，ω的最大值为9.故选B. 法二：分类讨论 由题意5π36－π18≤T 2⇒T ≥π6， 即2πω≥π6⇒0<ω≤12.①又由题意可得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k π，π4ω＋φ＝π2＋n π，(n ，k ∈Z )，所以φ＝π4＋k ＋n2π(n ，k ∈Z )．又|φ|≤π2，所以－32≤k ＋n ≤12.(1)当k ＋n ＝0时，φ＝π4，ω＝1－4k .②由①②可得，当k ＝－2时，ω＝9，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝－1时，ω＝5，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝0时，ω＝1，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； (2)当k ＋n ＝－1时，φ＝－π4，ω＝－1－4k .③由①③可得，当k ＝－1时，ω＝3，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； 当k ＝－2时，ω＝7，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，舍去； 当k ＝－3时，ω＝11，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，舍去． 综上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所有可能值． [答案] B[系统归纳]三角函数图象与性质问题的解题策略(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象的单调性、对称性、周期、零点等问题中涉及的结论：①若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两条对称轴x ＝a ，x ＝b ，则有|a －b |＝T 2＋kT2(k∈Z)；②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两个对称中心M (a,0)，N (b,0)，则有|a －b |＝T2＋kT2(k ∈Z)； ③若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有一条对称轴x ＝a ，一个对称中心M (b,0)，则有|a －b |＝T 4＋kT2(k ∈Z)．(2)研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．解法一尝试正面求解ω的可能值，但因单调区间的条件不好使用，仍然采取代入验证的方法解决．[应用体验]1．若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：法一：导数法对f (x )＝cos 2x ＋a sin x 求导，得f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ．因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，所以f ′(x )≤0在⎝⎛⎭⎫π6，π2上恒成立，即a cos x ≤2sin 2x ＝4sin x cos x ，而cos x >0，所以a ≤4sin x ．在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上，12<sin x <1，于是a ≤2. 法二：图象法f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －a 42＋a28＋1，设t ＝sin x ，由x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，知t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.要使g (t )＝－2⎝⎛⎭⎫t －a 42＋a 28＋1在⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，只要a 4≤12即可，所以a ∈(－∞，2]．答案：(－∞，2][例2] 已知a a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．[技法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(2＋b )(a －b )＝c (c －b )， 将a ＝2代入整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故A ＝π3，则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc .而b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －a 2⇒bc ≤4， 所以S ＝34bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝2时取到等号， 故△ABC 的面积的最大值为 3.法二：正、余弦定理与数形结合由法一得A ＝π3，可知△ABC 的边a ＝2为定长，A ＝π3为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A 在圆周上的运动轨迹为优弧BC (不包括两个端点B ，C )，易知当点A 位于优弧中点时，此时△ABC 的面积最大，由于A ＝π3，则此时的△ABC 是等边三角形，面积为 3.法三：正、余弦函数的有界性 由法一知A ＝π3，则由正弦定理得，b ＝a sin A ·sin B ＝433sin B ，c ＝433sin C ， 则S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc＝433sin B ·sin C ＝433·12[cos(B －C )－cos(B ＋C )] ＝233cos(B －C )＋12≤233·⎝⎛⎭⎫1＋12＝3， 当且仅当cos(B －C )＝1，即B ＝C 时，△ABC 的面积取得最大值 3. 法四：函数思想 由法三得S △ABC ＝433sin B ·sin C ＝433sin B ·sin 2π3－B ， 令g (B )＝sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin B 32cos B ＋12sin B ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋14. 由0<B <2π3，易得g (B )max ＝34，当且仅当B ＝π3时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为 3. [答案]3[系统归纳]三角形面积最值问题的解题策略(1)借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；(2)结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速；(3)利用结论：已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝m (m >0)，且∠A ＝θ，θ∈(0，π)，则△ABC 的面积的最大值是m 24tanθ2，当且仅当另外两个角相等时取等号．[应用体验]2．(2018·潍坊统一考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为tan A tan B ＝2c －bb ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin Bcos B ，由正弦定理得sin B sin A cos B ＝(2sin C －sin B )sin B cos A ， 又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32，设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A ＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.答案：334[例3] ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．[技法演示]法一：基底法选取{AB ―→，BC ―→}为一组基底，由题意易求DC ＝1，|AB ―→|＝2，|BC ―→|＝1，AB ―→·BC ―→＝2×1×cos 120°＝－1，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→－12⎝⎛⎭⎫1－19λAB ―→＝12⎝⎛⎭⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→. 于是AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·12⎝⎛⎭⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→＝12⎝⎛⎭⎫1＋19λ×4－1－λ2⎝⎛⎭⎫1＋19λ＋λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918(λ>0)，当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.法二：坐标法以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， 所以DC ＝1，即B (2,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，C ⎝⎛⎭⎫32，32. 因为BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，所以E ⎝⎛⎭⎫2－λ2，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫2－λ2，32λ，AF ―→＝⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32.所以AE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎫2－λ2⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋219＝2918. 当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.[答案]2918[系统归纳]向量数量积问题的解题策略[应用体验]3．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ―→·CB ―→＝________；DE ―→·DC ―→的最大值为________．解析：法一：如图，以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则E (t,0)，t ∈[0,1]，DE ―→＝(t ，－1)，CB ―→＝(0，－1)，所以DE ―→·CB ―→＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC ―→＝(1,0)，所以DE ―→·DC ―→＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE ―→·DC ―→ 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE ―→在CB ―→方向上的投影都是|CB ―→|＝1，所以DE ―→·CB ―→＝|CB ―→|·1＝1，当点E 运动到B 点时，DE ―→在DC ―→方向上的投影最大即为|DC ―→|＝1，所以(DE ―→·DC ―→)max ＝|DC ―→|·1＝1.答案：1 1命题区域(三) 立体几何此类压轴题主要考查以立体几何为背景的新颖问题．以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题、与函数图象相结合问题、最值问题、探索性问题等．(1)对探索、开放、存在型问题的考查：探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何中．(2)对折叠、展开问题的考查：图形的折叠与展开问题(三视图问题可看作是特殊的图形变换)蕴涵了“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辨，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立体几何中的重要题型．[例1] 11111D 1，平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∩平面ABB 1A 1＝n ，则直线m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22C.33D.13[技法演示]法一：割补法我们先尝试把m ，n 这两条直线都作出来，易知这个平面α一定在正方体外，所以要往上补形，如图所示，过点A 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上方补作一个与正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体ABCD -A 2B 2C 2D 2，可证平面AB 2D 2就是平面α，n 就是AB 2.因为平面ABCD ∥平面A 2B 2C 2D 2，所以B 2D 2∥m ，说明m 应该是经过点A 且在平面ABCD 内与B 2D 2平行的直线，则直线m ，n 所成的角就是∠AB 2D 2，因为△AB 2D 2为等边三角形，所以 sin ∠AB 2D 2＝sin π3＝32，故选A.法二：平移法1事实上对法一可进行适当简化，无须补形也可以．设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m ′，因为平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∥平面CB 1D 1，所以m ∥m ′.又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥m ′，所以B 1D 1∥m .同理可得CD 1∥n ，故直线m ，n 所成角即为直线B 1D 1，CD 1所成的角∠CD 1B 1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C ＝B 1D 1＝CD 1，所以∠CD 1B 1＝π3，所以sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.法三：平移法2与法二类似，我们尝试在正方体内部构造一个平面与平面α平行，也即与平面CB 1D 1平行．如图所示，让点A 在平面ABCD 内运动，不妨让点A 在对角线AC 上运动，易知平面BA 1D 与平面CB 1D 1平行，则直线m ，n 所成的角就是∠DBA 1，其正弦值为32，故选A. [答案] A[系统归纳]异面直线所成角问题的解题策略平移化归是关键：求异面直线所成角，关键是将两条异面的直线平移到相交状态，作出等价的平面角，再解三角形即可，常规步骤是“一作二证三计算”，而第一步最为关键，平移谁，怎么平移都要视题目条件而定.[应用体验]1．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥底面ABC ，G 为△ABC 的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为________．解析：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，取BC 的中点E ，连接AE ，重心G 为AE 的三等分点，AE ＝AB 2－BE 2＝3，AG ＝2，由于AD ⊥底面ABC ，直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，所以tan ∠DGA ＝DA AG ＝12，DA ＝1，在等腰△ABC 中，cos ∠ACB ＝52＋82－522×5×8＝45，sin ∠ACB ＝35，所以△ABC 的外接圆直径2r ＝AB sin C ＝535＝253，r ＝256，设 △ABC 的外接圆圆心为O 1，四面体ABCD 的球心为O ，在Rt △AOO 1中，R 2＝OA 2＝AO 21＋⎝⎛⎭⎫AD 22＝⎝⎛⎭⎫2562＋⎝⎛⎭⎫122＝63436，球的表面积为S ＝4πR 2＝6349π. 答案：6349π[例2] 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P -BCD 的体积的最大值是________．[技法演示]法一：平面几何法由题意可知四面体P -BCD 的体积最大时，应有平面PBD ⊥平面BCD .如图，过点P 作PF ⊥BD ，垂足为F ，则PF ⊥平面BCD ，则V P -BCD ＝13S △BCD ·PF .由翻折过程可知AF ＝PF ，则V P -BCD ＝13S △BCD ·AF ，这样就将空间问题转化为△ABC 内的问题．等腰△ABC 的底边AC 边上的高h ＝AB ·sin 30°＝1，V P -BCD＝13×12×DC ×h ×AF ＝16DC ·AF . DC 与AF 不在同一个三角形中，用哪个变量能表示两者呢？注意到当点D 在AC 上运动时，∠ADB 也是在变化的，因此可以取∠ADB 为自变量，产生下面的解法．如图，因为S △ABD ＝12BD ·AF ＝12AD ·h ，则AF ＝AD BD ，得V P -BCD ＝16DC ·AD BD .设∠ADB ＝α，由正弦定理得AD DB＝2sin(150°－α)，DC ＝2sin (α－30°)sin α，则V P -BCD ＝23×sin (150°－α)sin (α－30°)sin α＝－cos 2α＋cos 120°3sin α＝23⎝⎛⎭⎫sin α－14sin α，易知函数f (x )＝x －14x 在区间(0,1]上单调递增，于是V P -BCD ≤23⎝⎛⎭⎫1－14＝12. 法二：构造法换个角度看问题，我们把△ABC “立起来”，如图，设BO ⊥平面ACP ，考虑以B 为顶点，△ACP 的外接圆⊙O 为底面的圆锥，易得AC ＝23，则OB ＝BA 2－OA 2≤4－⎝⎛⎭⎫12AC 2＝1.设∠PDA ＝θ，θ∈(0，π)，AD ＝x (0<x <23)，则S △PCD ＝12x ·(23－x )sin θ≤12x ·(23－x )≤12⎝⎛⎭⎫2322＝32，所以四面体P -BCD 的体积V P -BCD ＝13·S △PCD ·OB ≤12，当且仅当OA ＝12AC ＝3，且θ＝π2时取等号(此时D 点与圆心O 重合，PD 垂直平分AC ，进而可得BD ⊥PD )．法三：解析法由于△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，故建系非常方便．如图，取AC 的中点O 为原点，以AC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－3，0)，B (0，－1)，C (3，0)，设D (t,0)，t ∈ (－3，3)，易知直线BD 的方程为x －ty －t ＝0，则点A 到直线BD的距离AF ＝3＋t1＋t 2，又DC ＝3－t ，于是V P -BCD ＝16DC ·AF ＝16·3－t 21＋t 2，令f (t )＝16·3－t21＋t 2＝1641＋t 2－1＋t 2，t 2∈[0,3)，易知该函数在[0,3)上单调递减，故V P -BCD≤f (0)＝12，此时D 在原点．[答案]12[系统归纳]空间最值问题的解题关键(1)要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，如本题一定要分析出“当四面体P -BCD 的体积取最大值时，必有平面PBD ⊥平面BCD ”，要判断出△PBD 与△ABD 是翻折关系(全等)，这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；(2)转化后的运算：因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式，甚至导数都是可以考虑使用的工具．[应用体验]2．表面积为60π的球面上有四点S ，A ，B ，C 且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S -ABC 体积的最大值为________．解析：因为球的表面积为60π，所以球的半径为15，设△ABC 的中心为D ，则OD ＝3，所以DA ＝23，则AB ＝6，棱锥S -ABC 的底面积S ＝34×62＝93为定值，欲使其体积最大，应有S 到平面ABC 的距离取最大值，又平面SAB ⊥平面ABC ，所以S 在平面ABC 上的射影落在直线AB 上，而SO ＝15，点D 到直线AB 的距离为3，则S 到平面ABC 的距离的最大值为33，所以V ＝13×93×33＝27.答案：27命题区域(四) 解析几何本类压轴题主要考查圆锥曲线的几何性质、特定字母的取值范围以及圆锥曲线中的最值问题．圆锥曲线的几何性质是高考考查圆锥曲线的重点内容之一．在选择、填空题中主要考查椭圆和双曲线的离心率、参数的值(范围)、双曲线的渐近线方程以及抛物线的焦点弦．圆锥曲线中的弦长是直线与圆锥曲线相交时产生的，面积也以弦长的计算为基础，高考重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，它是命制压轴题时的一个重要命题方向．[例1] 已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则双曲线E 的离心率为( )A.2B.32C. 3D ．2 [技法演示]法一：定义法因为△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1|＝|MF 2|sin ∠MF 2F 1＝13|MF 2|，即|MF 2|＝3|MF 1|.①由双曲线的定义可知|MF 2|－|MF 1|＝2a .② 由①和②可求得|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a .在Rt △MF 1F 2中，由勾股定理得|MF 2|2－|MF 1|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2－a 2＝(2c )2，化简得2a 2＝c 2，即⎝⎛⎭⎫c a 2＝2，从而可知e ＝ 2.故选A.法二：利用正弦定理在Rt △MF 1F 2中，sin ∠F 1MF 2＝sin(90°－∠MF 2F 1)＝cos ∠MF 2F 1＝223，sin ∠MF 1F 2＝1.由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A.法三：利用直角三角形的三角函数 设点M (－c ，y 0)，则(－c )2a 2－y 20b 2＝1，由此解得y 20＝|MF 1|2＝b2⎝⎛⎭⎫c 2－a 2a 2＝(c 2－a 2)2a 2.∵△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，∴cos ∠MF 2F 1＝223，tan ∠MF 2F 1＝24， 从而可得|MF 1||F 1F 2|＝24⇒|MF 1|2|F 1F 2|2＝18⇒|F 1F 2|2|MF 1|2＝4c 2y 20＝8，即4c 2(c 2－a 2)2a 2＝8，化简整理得2c 4－5a 2c 2＋2a 4＝0， 两边同除以a 4，得2⎝⎛⎭⎫c a 4－5⎝⎛⎭⎫c a 2＋2＝0，即⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫c a 2－1 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫c a 2－2＝0， ∵ca >1，∴⎝⎛⎭⎫c a 2＝2，即e ＝ 2. [答案] A[系统归纳]圆锥曲线离心率问题的求解策略(1)双曲线(椭圆)的定义可直接建立“焦点三角形”的两边关系．用好这一隐含条件，可为三角形的求解省下不少功夫．法二便充分利用了双曲线的定义将离心率e 写成|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，转化为“焦点三角形”的三边关系，从而利用正弦定理再转化到已知的角上去．(2)在求解圆锥曲线(主要指的是椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量 关系式．[应用体验]1．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2＝8ax 的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA ⊥FP ，则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎦⎤1，324 C ．(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫324，＋∞ 解析：选B 双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (a,0)，抛物线C ：y 2＝8ax的焦点为F (2a,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，可设P ⎝⎛⎭⎫m ，b a m ，则有AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m －a ，b a m ，FP ―→＝⎝⎛⎭⎫m －2a ，b a m ，由PA ⊥FP ，得AP ―→·FP ―→＝0，即(m －a )(m －2a )＋b 2a 2m 2＝0，整理得⎝⎛⎭⎫1＋b 2a 2m 2－3ma ＋2a 2＝0，由题意可得Δ＝9a 2－41＋b2a 2·2a 2≥0，即a 2≥8b 2＝8(c 2－a 2)，即8c 2≤9a 2，则e ＝c a ≤324.又e >1，所以1<e ≤324.[例2] 设A ，B 是椭圆C ：x 3＋y m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)[技法演示]法一：几何性质法如图，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，设M (x ，y )． 根据椭圆的对称性，不妨令y >0， 设∠AMN ＝α，∠BMN ＝β， 则tan α＝x ＋a y ，tan β＝a －xy . 又点M 在椭圆上，所以x 2＝a 2－a 2y 2b2.则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝x ＋a y ＋a －x y 1－a 2－x 2y 2＝2a y x 2＋y 2－a 2y 2＝2ayx 2＋y 2－a2＝2aya 2－a 2b2y 2＋y 2－a2＝2ab 2－c 2y. 又y ∈[－b ，b ]，所以当y ＝b 时，α＋β取最大值，即M 为椭圆短轴顶点P 时，∠APB 最大．由此，我们可以得到本题的如下解法．先考虑椭圆的焦点在x 轴上的情况，则0<m <3.设椭圆一个短轴的顶点为P ，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则∠APB ≥∠AMB ，即∠APB ≥120°，所以∠APO ≥60°.而tan ∠APO ＝3m ，所以3m≥3，解得0<m ≤1. 同理：当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 法二：二级结论法椭圆上任意一点与椭圆长轴的两个端点连线的斜率之积为定值－b 2a2.这一结论不难证明：设M (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点，A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，则k MA ·k MB ＝y x ＋a ·y x －a ＝y 2x 2－a2.因为点M 在椭圆上，所以y 2＝b 2a 2(a 2－x 2)，从而k MA ·k MB ＝b 2a 2(a 2－x 2)x 2－a 2＝－b 2a 2.由此可以得到本题的如下解法．当0<m <3时，椭圆的焦点在x 轴上，如图，设∠MAB ＝α， ∠MBx ＝β，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m3，k 1＝tan α，k 2＝tan β.因为∠AMB ＝120°，由三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和， 所以tan(β－α)＝tan 120°＝－ 3. 根据两角差的正切公式tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β，可得tan β－tan α＝－3⎝⎛⎭⎫1－m3， 即k 2－k 1＝33m － 3.结合k 1·k 2＝－m 3，将两式变形为k 2＋(－k 1)＝33m －3，k 2·(－k 1)＝m 3，故可将k 2，－k 1看作是关于t 的方程t 2－⎝⎛⎭⎫33m －3t ＋m 3＝0的两个根，则Δ＝⎝⎛⎭⎫33m －32－4·m 3＝13(m 2－10m ＋9)≥0，所以m 2－10m ＋9≥0，解得m ≤1或m ≥9(舍去)，所以0<m ≤1.同理可得当焦点在y 轴上时，m ≥9.综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法三：向量法当椭圆的焦点在x 轴上时，设A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，M (x ，y )，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m 3.又AM ―→＝(x ＋3，y )，BM ―→＝(x －3，y )，此时如果直接应用数量积进行计算，显然计算量较大，这里我们可以考虑利用直线的方向向量来简化运算．分别取与AM ―→，BM ―→相同方向的向量n 1＝(1，k 1)，n 2＝(1，k 2)．又∠AMB ＝120°，所以向量n 1，n 2的夹角为60°，由向量的数量积公式可得，cos 60°＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋k 1k 21＋k 21·1＋k 22＝1＋k 1k 21＋k 21k 22＋k 21＋k 22， 即12＝1－m 31＋m 29＋(k 21＋k 22).由k 1·k 2＝－m 3<0，结合均值不等式a 2＋b 2≥2ab ，可得k 21＋k 22＝k 21＋(－k 2)2≥2k 1·(－k 2)＝23m ， 所以1－m 31＋m 29＋(k 21＋k 22)≤1－m 31＋m 29＋23m，即12≤1－m3⎝⎛⎭⎫m 3＋12，所以12⎝⎛⎭⎫m 3＋1≤1－m 3，解得m ≤1. 又0<m <3，所以0<m ≤1.当焦点在y 轴上时，此时k 1·k 2＝－3m <0. 同理，12＝1－3m1＋9m2＋(k 21＋k 22)≤1－3m 1＋9m2＋6m ，即12⎝⎛⎭⎫3m ＋1≤1－3m ，解得m ≥9. 综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[系统归纳]圆锥曲线中特定字母的值(范围)问题的解题策略[应用体验]2．若过点M (2,0)的直线与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两点，|AB |＝253，设P 为椭圆上一点，且满足OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→(O 为坐标原点)，则实数t 的值为( )A ．±33B ．±263C ．±523D ．±325解析：选B 由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)． 显然，当k ＝0时，|AB |＝22，与已知不符，∴k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1消去y ， 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，则Δ＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝8－16k 2>0， x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1·x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵|AB |＝253，∴ 1＋k 2|x 1－x 2|＝253，即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＝0，解得k 2＝14.又OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，即(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，且k ≠0，t ≠0， ∴x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆上，∴(8k 2)2t 2(1＋2k 2)2＋2×(－4k )2t 2(1＋2k 2)2＝2，又k 2＝14，解得t ＝±263.[例3] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ―→·OB ―→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10 [技法演示]法一：利用基本不等式依题意，不妨设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1>0，y 2<0.由OA ―→·OB ―→＝2，得x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，由此解得y 1y 2＝－2，△ABO 与△AFO 面积之和等于12|x 1y 2－x 2y 1|＋12×14y 1＝12|y 21y 2－y 22y 1|＋18y 1＝12×2(y 1－y 2)＋18y 1＝98y 1＋(－y 2)≥2－98y 1y 2＝3，当且仅当 98y 1＝－y 2＝32时取等号，因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B. 该方法中用到这样一个公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则S △AOB ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，证明如下：设∠AOB ＝θ，则S △AOB ＝12|OA ―→|·|OB ―→|sin θ＝12(|OA ―→|·|OB ―→|)2－(|OA ―→|·|OB ―→|cos θ)2＝12 (|OA ―→|·|OB ―→|)2－(OA ―→·OB ―→)2＝12 (x 21＋y 21)(x 22＋y 22)－(x 1x 2＋y 1y 2)2＝12(x 1y 2－x 2y 1)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|.法二：双根法设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1y 2<0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝x 得y 2－ty －m ＝0，y 1y 2＝－m ，又OA ―→·OB ―→＝2，因此x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.又y 1y 2＝－m <0，因此y 1y 2＝－m ＝－2，m ＝2，直线AB ：x ＝ty ＋2过定点(2,0)，S △ABO ＝12×2×|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1，S △AFO ＝12×14|y 1|＝18|y 1|，S △ABO ＋S △AFO ＝⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1＋18|y 1|＝98|y 1|＋⎪⎪⎪⎪2y 1≥298|y 1|×⎪⎪⎪⎪2y 1＝3，当且仅当98|y 1|＝⎪⎪⎪⎪2y 1，即|y 1|＝43时取等号， 因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B.[答案] B[系统归纳]圆锥曲线中与面积相关问题的解题规律(1)三角形面积的向量公式：若AB ―→＝(x 1，y 1)，AC ―→＝(x 2，y 2)，则S △ABC ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，用此公式便于建立目标函数求最值；(2)直线方程的选择：对于不同的直线方程，其中所含的参数意义不同，形成不同的解题长度．为了消元、计算的方便，可将经过定点(m,0)的动直线设为x ＝ty ＋m 的形式，避免了对斜率存在性的讨论．如本题法二．[应用体验]3．已知椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1，O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且|OM |＝1，则△AOB 面积的最大值为________．解析：设直线l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1，整理得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0.① 所以y 1＋y 2＝－2mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2，x 1＋x 2＝8n 4＋m 2.由中点坐标公式可知x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，即M ⎝⎛⎭⎫4n 4＋m 2，－mn4＋m 2.因为|OM |＝1，所以n 2＝(4＋m 2)216＋m 2.②设直线l 与x 轴的交点为D (n,0)，则△AOB 的面积S ＝12|OD ||y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|.S 2＝14n 2(y 1－y 2)2＝48(4＋m 2)(m 2＋16)2，设t ＝m 2＋4(t ≥4)， 则S 2＝48×t t 2＋24t ＋144＝48t ＋144t ＋24≤482t ·144t＋24＝1，当且仅当t ＝144t ，即t ＝12时，等号成立，此时m 2＝8，n 2＝6， 即S 2取得最大值1.故△AOB 的面积的最大值为1. 答案：1[专题过关检测]A 组——选择压轴小题命题点专练1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15 B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55， 即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.2．(2019届高三·广州调研)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个。
通用版2019版高考数学(文)二轮复习讲义：难点自选专题二 “选填”压轴小题的4大抢分策略(含解析)
难点自选专题二 “选填”压轴小题的4大抢分策略解答选择题中的压轴题，务必要遵循“小题小解”的原则，要抓住已知条件与备选项之间的关系进行分析、试探、推断，充分发挥备选项的暗示作用，选用解法要灵活机动，做到具体问题具体分析，不要生搬硬套．能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能用特殊值分析的，就不再采用常规解法；能用间接法求解的，就不再用直接法．能否快速准确地解答填空题中的压轴题，往往是高考数学成败的关键．现行《考试大纲》对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．也就是说解填空题务必要做到：况容易很多．研究清楚了特殊情况，对于解决一般情况可以提供解题思路．当题目十分复杂或解题目标不明确时，往往需要考查题设条件中的某些特殊情况，从中找出能反映问题本质属性的隐含信息，这样做，常常能够打开我们的思路，发现解决问题的方法．[典例] 已知函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 [解析] 法一：特殊值法对函数f (x )求导，得f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝53－43cos 2x ＋a cos x ．根据题意，f ′(x )≥0恒成立，因为函数f ′(x )为偶函数，从而f ′(x )＝0的两根一定互为相反数，即可知a 的值关于原点对称，排除选项B 、D ；当a ＝－1时，f ′(0)＝53－43cos 20＋a cos 0<0，说明函数f (x )不是恒单调递增的，排除选项A.故选C.法二：特殊值法观察本题的四个选项，发现选项A 、B 、D 中都有数－1，故取a ＝－1，f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不符合f (x )在R 上单调递增，排除选项A 、B 、D.故选C. 法三：数形结合根据题意，可知f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ≥0在R 上恒成立，化简可得－43cos 2x ＋ a cos x ＋53≥0在R 上恒成立．又因为|cos x |≤1，令cos x ＝t ，则－43t 2＋at ＋53≥0在t ∈[－1,1]上恒成立．设g (t )＝－43t 2＋at ＋53，则函数g (t )在t ∈[－1,1]上，使得不等式g (t )≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (－1)≥0，所以⎩⎨⎧－43×12＋a ＋53≥0，－43×(－1)2－a ＋53≥0，所以－13≤a ≤13.故选C.法四：分类讨论由法三可知，函数g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0，其中t ∈[－1,1]．对参数t 分类讨论：当t ＝0时，函数g (0)＝53≥0，此时参数a ∈R ，函数f (x )在R 上单调递增；当t >0时，分离参数得a ≥43t 2－53t ＝43t －53t 恒成立．设函数h (t )＝43t －53t ，即有a ≥h (t )max 成立，由于h ′(t )＝43＋53t 2>0，从而可知函数h (t )在(0,1]上单调递增，所以a ≥h (1)＝－13. 当t <0时，分离参数得a ≤43t 2－53t ＝43t －53t 恒成立．易得a ≤h (t )min ＝h (－1)＝13.综上所述，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－13，13.故选C. [答案] C[题后悟通](1)本题的四种解法中，解法一是从函数的整体性质(单调性、奇偶性)出发，排除不符合题意的选项，是优化解题方法的最好策略；解法二是从题目的选项特征出发，采取特值法解题，方法简单；解法三就是将函数f (x )求导后，再构造函数转化为不等式g (t )≥0恒成立，结合函数g (t )的结构特征与图形特征解题；解法四中，令cos x ＝t ，对参数t 进行分类讨论后，再利用导数知识研究单调性、最值，这就是有关单调性问题的解题套路．(2)处理此类问题经常根据题中所给出的条件巧妙选择特殊值、特殊函数、特殊位置、特殊图形等进行求解．[应用体验]1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B 法一：(利用函数的对称性)由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )＝2，所以点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))连线的中点是(0,1)，故函数f (x )的图象关于点(0,1)成中心对称(此处也可以这样考虑：由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0，即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0，令F (x )＝f (x )－1，则F (x )＋F (－x )＝0，即F (x )＝f (x )－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F (x )的图象可看成是f (x )的图象向下平移一个单位得到的，故f (x )的图象关于点(0,1)对称)．又y ＝x ＋1x ＝1＋1x 的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)对称，所以对于每一组对称点x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝∑i ＝1m x i ＋∑i ＝1m y i ＝0＋2×m2＝m ，故选B.法二：(构造特殊函数)由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0， 即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0.令F (x )＝f (x )－1，则F (x )为奇函数， 即f (x )－1为奇函数，从而可令f (x )－1＝x ， 即f (x )＝x ＋1，显然该函数满足此条件． 此时y ＝x ＋1与y ＝x ＋1x的交点分别为(1,2)和(－1,0)， 所以m ＝2，∑i ＝1m(x i ＋y i )＝1＋2＋(－1)＋0＝2，结合选项可知选B.2.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，连接AO ，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ―→＝m AM ―→，AC ―→＝n AN ―→，则m ＋n 的值为________．解析：法一：因为O 是BC 的中点， 所以AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝m 2AM ―→＋n 2AN ―→.因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2. 法二：(特殊位置法)取M 与B 重合，N 与C 重合， 此时m ＝n ＝1，得m ＋n ＝2. 答案：23．已知△ABC 中，AB ＝4，AC ＝5，点O 为△ABC 所在平面内一点，满足|OA ―→|＝ |OB ―→|＝|OC ―→|，则AO ―→·BC ―→＝________.解析：法一：如图，AB ―→＝OB ―→－OA ―→，AC ―→＝OC ―→－OA ―→， ∴AB ―→2＝OB ―→2－2OB ―→·OA ―→＋OA ―→2，AC ―→2＝OC ―→2－2OC ―→·OA ―→＋OA ―→2.两式相减，得AC ―→2－AB ―→2＝2OB ―→·OA ―→－2OC ―→·OA ―→. ∴25－16＝2OA ―→·(OB ―→－OC ―→)，∴9＝2OA ―→·CB ―→， ∴AO ―→·BC ―→＝92.法二：(特殊图形法)若△ABC 为直角三角形，如图，则AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，BC ―→＝AC ―→－AB ―→，∴AO ―→·BC ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝12(AC ―→2－AB ―→2)＝92.答案：92端点的取值．例如线段是三角形高为零的极端情况，切线是割线的极端情形(即极限)等．有些高考数学压轴题的求解，常常要从它的极端情形来寻找突破口．一般来说，运用极限思想分析问题，往往能够减少运算量，尤其是选择题和填空题，运用极限思想分析解题可以快速准确地解决问题，从而避免小题大做，节省考场上的答题时间．[典例] 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． [解析] 法一：极限法如图，动态地审视平面四边形ABCD ，边BC ＝2固定，∠B ＝∠C ＝75°固定，延长BA ，CD 交于点P .虽然∠BAD ＝75°，但AB 边并不固定，平行移动AD 边，则容易看出B Q <AB <BP .在△BC Q 中，易求得B Q ＝6－2；在△BCP 中，易求得BP ＝6＋2，则AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．法二：分割法易知∠ADC ＝135°.如图，连接BD ，设∠BDC ＝α，∠ADB ＝β，则α＋β＝135°. 在△ABD 和△BCD 中，由正弦定理得BCsin α＝BD sin 75°＝ABsin β， 则AB ＝BC sin βsin α＝2sin (135°－α)sin α＝2sin (α＋45°)sin α＝2⎝⎛⎭⎫1＋1tan α， 由⎩⎪⎨⎪⎧α＋75°<180°，135°－α＋75°<180°，得30°<α<105°， 所以3－2<1tan α< 3.则6－2<AB <6＋ 2. [答案] (6－2，6＋2) [题后悟通]解法一采用取极限的方法来处理，过程显得简洁、自然，体现了“小题小解”的策略．解法二将四边形问题转化为解三角形问题，利用正弦定理建立函数解析式求解．[应用体验]4．过x 轴上一点P 向圆C ：x 2＋(y －2)2＝1作圆的切线，切点为A ，B ，则△PAB 的面积的最小值是( ) A.334B.332C. 3D ．33解析：选A 法一：由图可知，当点P 趋向于无穷远处时，显然 △ABP 的面积趋向于无穷大；当点P 趋近于原点时，△ABP 的面积越来越小；当与原点重合时有|OA |＝3，且此时的△PAB 为正三角形．其面积为12×(3)2×32＝334.故选A.法二：设P (x,0)，则|PC |2＝x 2＋4，|PA |2＝|PB |2＝x 2＋3，设∠CPA ＝θ，则有sin θ＝1x 2＋4，cos θ＝x 2＋3x 2＋4，于是S △PAB ＝12|PA |2×sin 2θ＝(x 2＋3) x 2＋3x 2＋4＝11x 2＋3＋1(x 2＋3) x 2＋3.显然上式是x 2的单调递增函数，当x ＝0时，S △PAB 取得最小值334.故选A.探究创新性题的解题思路常用的策略是建模分析．也就是说，对这类题的求解要特别注意以下几点： (1)领会题意，弄清问题所涉及的模型，准确把握命题给出的相关新概念、新定义的 实质； (2)注重将那些抽象的概念直观化，隐含的信息条理化，复杂的数量关系模型化；(3)善于借助它的背景、特征、性质、构思来进行分析、探究、类比、变式，构建相关的数学模型． 一旦把握了伴随它的数学模型，也就把握了解题入门的向导，问题便可迎刃而解．[典例] 对于实数a 和b ，定义运算“⊕”：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设函数f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．[解析] f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，x ≤0，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，x >0，⇒f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0. 故关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，等价于函数f (x )的图象与直线y ＝m有三个不同的交点．作出函数f (x )的大致图象如图所示，从图中不难得知0<m <14.设从左到右交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3， 当x >0时，－x 2＋x ＝m ， 即x 2－x ＋m ＝0， 由此可得x 2x 3＝m .当x <0时，由2x 2－x ＝14，得x ＝1－34.当m 在⎝⎛⎭⎫0，14上递增时，|x 1|也在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－34上递增．从而m |x 1|随着m 的递增而递增，而x 1<0，所以x 1x 2x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0为所求．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0[题后悟通]透彻理解题目给出的新定义的模型，明确f (x )的解析式是解题的切入口．用新定义考查阅读理解能力与知识迁移能力是现行数学高考的出发点．求解本题的关键在于从图形中观察到|x 1|的取值是m 的增函数，且x ＝1－34是m ＝14时的极端情形．[应用体验]5．对任意两个平面向量α，β，定义α∘β＝α·ββ·β，若向量a ，b 满足条件|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.12 B ．1 C.32D.52解析：选C 由定义α∘β＝α·ββ·β，得a ∘b ＝a ·b b 2＝|a |·|b |cos θ|b |2，①同理可得b ∘a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2.② 由|a |≥|b |>0，得0<|b ||a |≤1.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以22<cos θ<1. 从而可得0<|b |cos θ|a |<1，即0<b ∘a <1.因为b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，所以b ∘a ＝12.③①×②得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫12，1， 将③代入上式，化简得1<a ∘b <2.又因为a ∘b ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，所以a ∘b ＝32，故选C.解答数学高考压轴题，入手的关键就是要先弄清问题所涉及的概念、定义及其相关的隐含信息，然后运用数学的通性通法——定义法、分析法、综合法、分离变量法、数形结合法、向量法、重要不等式法等进行分析、整合，认识问题的本质，探究与问题相关的基本概念或数学模型．只有明确了命题中的相关概念、定义及数学模型，才能准确理解题意、灵活运用知识分析问题，解决问题，促进解题思路的创新．因此，运用定义分析问题是准确、迅速解答数学高考压轴题的重要策略．[典例] 已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 22，若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－33，33 [解析] 法一：当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2，作出函数f (x )的图象，如图所示．因为对∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )成立，所以对应的函数f (x －1)的图象恒在函数f (x )的图象的下方． 由此可知，只需函数f (x )在x <－2a 2时的图象向右平移一个单位即可． 因为x >2a 2时，f (x )＝x －3a 2，又f (x )是R 上的奇函数， 所以x <－2a 2时，f (x )＝x ＋3a 2， 由此可得f (x －1)＝x －1＋3a 2. 于是，由f (x －1)≤f (x )，得 x －1＋3a 2≤x －3a 2， 即6a 2≤1，解得a ∈⎣⎡⎦⎤－66，66.法二：由图易知，当x >0时，f (x )的最小值为－a 2. 因为f (x )为奇函数，所以当x <0时，f (x )的最大值为a 2.又易知，当x >0时，f (x )＝a 2所对应的横坐标为x ＝4a 2，即B 点的横坐标． 当x <0时，f (x )＝a 2所对应的横坐标x min ＝－2a 2，即A 点的横坐标． 故要对∀x ∈R ，都有f (x －1)≤f (x )成立，则要A ，B 两点的跨度不大于1. 否则，f (x )的图象向右平移1个单位后，线段DB 会在A 1C 1的下方， 此时的图象与对应的函数不等式f (x －1)≤f (x )相悖． 所以4a 2－(－2a 2)≤1，解得a ∈⎣⎡⎦⎤－66，66. [答案] B [题后悟通]本题主要考查全称命题、奇函数和分段函数等基本概念，考查函数的最值与恒成立问题．意在考查考生应用数形结合思想，综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．注重理解题意，根据奇函数的性质画草图进行探究，抓住函数f (x )在x <－2a 2时的图象向右平移1个单位后与原函数的图象的关系进行分析，是解题入手的基本途径．解法一是从函数的表达式的角度来构建不等式的，解法二是从区间跨度的角度来构建不等式的．易知，这两种解法都遵循了小题小解的原则，体现了数形结合思想在解题中的作用．[应用体验]6．设P ，Q 是双曲线x 2－y 2＝42上关于原点对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线l 折成直二面角，则折叠后线段P Q 的长度的最小值为________．解析：法一：因为双曲线x 2－y 2＝42是以直线y ＝±x 为渐近线的等轴双曲线，线方程为y ＝mx .所以将双曲线按逆时针方向旋转45°，可得对应图象的双曲因为双曲线x 2－y 2＝42的顶点为A (432，0)， 所以旋转后点A 变为点A ′(48，48)． 因为点A ′在y ＝mx 的图象上，则m ＝2 2.即将原双曲线按逆时针方向旋转45°后，所得的双曲线的方程为y ′＝22x ′.如图． 故问题转化为：过原点的直线交双曲线y ′＝22x ′于P ，Q 两点，将坐标平面沿y ′轴折成直二面角，求折后线段P Q 的长度的最小值．设P ⎝⎛⎭⎫t ，22t (t >0)，过点P 作PM ⊥y ′轴于M ， 则M ⎝⎛⎭⎫0，22t ，Q ⎝⎛⎭⎫－t ，－22t .从而|M Q |＝(0＋t )2＋⎝⎛⎭⎫22t＋22t 2＝t 2＋32t 2， 在折叠后的图形中，有|Q M 1|＝|MP |＝t ，故|P Q |2＝|Q M 1|2＋|MM 1|2＋|MP |2＝|Q M |2＋|MP |2＝2t 2＋32t 2≥22t 2×32t 2＝16. 当且仅当t 2＝4，即t ＝2时等号成立，所以当t ＝2时，即P 坐标为(2，2)时，|P Q |的最小值为16＝4. 综上所述，折叠后线段P Q 的长度的最小值等于4. 法二：设P (x 0，y 0)到两渐近线的距离分别为m ，n ，如图，则有|PM |＝|Q M 1|＝m ， |PN |＝n ，且m ＝|x 0－y 0|2，n ＝|x 0＋y 0|2. 易知，折叠后的P Q ，可视为一长方体的体对角线． 则P Q2＝Q M 21＋M 1M 2＋MP 2＝2m 2＋4n 2≥28mn ＝42×x 20－y 22＝16.所以|P Q |min ＝4. 答案：4[专题过关检测]A 组——选择题解题技法专练1．若sin α＋sin β＝13(cos β－cos α)，α，β∈(0，π)，则α－β的值为( ) A ．－2π3B ．－π3C.π3D.2π3解析：选D 令β＝π6，则有sin α＝－13cos α⇒tan α＝－33，α∈(0，π)，所以α＝5π6，从而α－β＝2π3.2．已知0<a <b <1，则a b ，log b a ，－log a b 的大小关系是( ) A ．－log a b <a b <log b a B ．－log a b <log b a <a b C ．log b a <－log a b <a bD ．a b <－log a b <log b a解析：选A 显然，直接找这三个数的大小关系不容易，但对a ，b 取某些特殊的值，其大小关系就非常明显了．如令a ＝14，b ＝12，则有－log a b ＝－log 42<0，log b a ＝log 24＝2，a b ＝14＝12，由此可得选A. 3．若不等式x 2－log a x <0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫116，1 B.⎝⎛⎭⎫116，1 C.⎝⎛⎦⎤0，116 D.⎝⎛⎭⎫0，116 解析：选A 因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，当a ＝116时，显然x 2<log a x 恒成立． 又当x →12时，由14<log a 12⇒a >116；当x →0时，可推得a <1，故选A.4．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支异于顶点A 的任意一点，则直线PF 斜率的变化范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C 如图所示，当P →A 时，PF 的斜率k →0.当PF ⊥x 轴时，PF 的斜率不存在，即k →±∞. 当P 在无穷远处时，PF 的斜率k →1. 结合四个备选项得C 项正确．5．已知θ∈[0，π)，若对任意的x ∈[－1,0]，不等式x 2cos θ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x >0恒成立，则θ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π12，5π12B.⎝⎛⎭⎫π6，π4C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π6，5π6解析：选A 令x ＝－1，不等式化为cos θ>0； 令x ＝0，不等式化为sin θ>0. 又0≤θ<π，所以0<θ<π2.当－1<x <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x x ＋12cos θ＋xx ＋1＋sin θ>0.设xx ＋1＝t (t <0)， 则t 2cos θ＋t ＋sin θ>0对t <0恒成立．设f (t )＝t 2cos θ＋t ＋sin θ＝cos θ⎝⎛⎭⎫t ＋12cos θ2＋sin θ－14cos θ， 则f (t )min ＝sin θ－14cos θ>0，即sin 2θ>12. 又0<2θ<π，所以π6<2θ<5π6，故π12<θ<5π12.6．在对角线AC 1＝6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，正方形BCC 1B 1所在平面内的动点P 到直线D 1C 1，DC 的距离之和为4，则PC 1―→·PC 1―→的取值范围是( )A ．[－2,1]B ．[0,1]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－2，14 解析：选A 法一：依题意可知CC 1＝23， 点P 到点C 1与C 的距离之和为4，从而可得点P 在以C 1C 为y 轴，C 1C 的中点为原点的椭圆4x 2＋y 2＝4上．设P (x 0，y 0)， 则PC 1―→·PC 1―→＝(x 0，y 0－3)·(x 0，y 0＋3)＝x 20＋y 20－3＝34y 20－2(－2≤y 0≤2)． 由此可得－2≤PC 1―→·PC 1―→≤1，故选A.法二：由四个备选项可知，B 、C 、D 都是A 的子集．于是，由“若A 则B 把A 抛，A ，B 同真都去掉”可知，应着重考查“－2”与“1”的值能否取到． 又由条件易知，点P 在以C 1C 为y 轴，C 1C 的中点为原点的椭圆4x 2＋y 2＝4上． 由此可得，当y ＝0时，PC 1―→·PC 1―→可取到－2， 当x ＝0时，PC 1―→·PC 1―→可取到1.故选A.7.如图所示，A 是函数f (x )＝2x 的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数g (x )＝2x＋2的图象于点B ，若函数f (x )＝2x 的图象上存在点C 使得△ABC为等边三角形，则称A 为函数f (x )＝2x 的图象上的“好位置点”，则函数f (x )＝2x 的图象上的“好位置点”的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 设A (x,2x )，B (x －2,2x )，若△ABC 为等边三角形，则C (x －1,2x －1)，且AC ＝AB ＝2，即1＋(2x －2x －1)2＝2，即22x －2＝3，又y ＝22x－2单调递增，所以方程有唯一解x ＝log 232＋1，即函数f (x )＝2x 的图象上的“好位置点”的个数为1.8．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数 C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数解析：选D 法一：因为f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝f (x －1＋1)＝－f [－(x －1)＋1]＝－f (－x ＋2)， 又因为f (x －1)是奇函数，则－f (－x ＋2)＝－f [(－x ＋3)－1]＝f (x －3－1)＝f (x －4)， 所以f (x )＝f (x －4)．所以f (x ＋3)＝f (x ＋3－4)＝f (x －1)是奇函数，因而选D. 法二：令f (x )＝sin πx ，则f (x ＋1)＝sin [π(x ＋1)]＝－sin πx ， f (x －1)＝sin [π(x －1)]＝－sin πx .所以，当f (x ＋1)，f (x －1)都是奇函数时，f (x )不是偶函数，排除A. 令f (x )＝cos π2x ，则f (x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2(x ＋1)＝－sin π2x ， f (x －1)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2(x －1)＝sin π2x ， 且f (x ＋2)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2(x ＋2)＝－cos π2x ， 所以，当f (x ＋1)，f (x －1)都是奇函数时，f (x )不是奇函数，且f (x )≠f (x ＋2)，排除B 、C ，故选D.9．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)，若关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 解析：选A 由题意得(x ＋a )(1＋a |x ＋a |)<x (1＋a |x |)．当a ＝－2，x ＝0时， 有(0－2)(1－2|0－2|)＝6<0×(1－2×0)不成立，故D 错． 当a ＝12，x ＝12时，有⎝⎛⎭⎫12＋12⎝⎛⎭⎫1＋12⎪⎪⎪⎪12＋12＝1×32<12⎝⎛⎭⎫1＋12×12不成立．故C 错． 当a ＝1－32，x ＝12时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－32⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋1－32<12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1－32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32⎝ ⎛⎭⎪⎫9－334<12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－34，显然，此式成立，故B 不对．所以选A. 10．已知函数f (x )＝e x ＋e 2－x ，若关于x 的不等式[f (x )]2－af (x )≤0恰有3个整数解，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2eC ．e 2＋1D ．e 3＋1e3解析：选C 因为f (x )＝e x＋e2－x＞0，所以由[f (x )]2－af (x )≤0可得0＜f (x )≤a .令t ＝e x，则g (t )＝t ＋e 2t (t ＞0)，画出函数g (t )的大致图象如图所示，结合图象分析易知原不等式有3个整数解可转化为0＜g (t )≤a 的3个解分别为1，e ，e 2.又当t ＝e x 的值分别为1，e ，e 2时，x ＝0,1,2.画出直线y ＝e 2＋1，故结合函数图象可知a 的最小值为e 2＋1.故选C.11．设F 为双曲线x 23－y 2＝1的左焦点，在点F 右侧的x 轴上有一点A ，以FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M ，N ，则|FN |－|FM ||FA |的值为( )A.32B.233C.63D.62解析：选A 法一：如图，取点A 为右焦点F ′，则|FA |＝|FF ′|.由对称性知|FM |＝|F ′N |， 所以|FN |－|FM ||FA |＝|FN |－|F ′N ||FF ′|＝2a 2c ＝32.法二：由已知得F (－2,0)，如图，设A (m ，0)(m >3)，M (x1，y 1)，N (x 2，y 2)，则以AF 为直径的圆的方程为(x －m )(x ＋2)＋y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧(x －m )(x ＋2)＋y 2＝0，x 23－y 2＝1， 消去y ，得43x 2－(m －2)x －2m －1＝0.所以x 1＋x 2＝34(m －2)．所以|FN |－|FM ||FA |＝23x 2＋3－⎝⎛⎭⎫－23x 1－3m ＋2＝23(x 1＋x 2)＋23m ＋2＝23·3(m －2)4＋23m ＋2＝32.12．在我们学过的函数中有这样一类函数：“对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数f (x )的定义域内，就有函数值f (a )，f (b )，f (c )也是某个三角形的三边长”．下面四个函数：①f (x )＝x (x >0)；②f (x )＝x 2(x >0)； ③f (x )＝sin x (0<x <π)；④f (x )＝cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π4. 属于这一类函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①设0<a ≤b ≤c ，∵a ＋b >c ，∴a ＋b ＋2ab ＞c ，∴(a ＋b )2>c ，∴a ＋b >c ， 即f (a )＋f (b )>f (c )，∴f (x )＝x (x >0)属于这一类函数；②举反例：若a ＝3，b ＝3，c ＝5，则a 2＋b 2<c 2， 即f (a )＋f (b )<f (c )，∴f (x )＝x 2(x >0)不属于这一类函数； ③举反例：若a ＝π2，b ＝5π6，c ＝5π6，则sin a ＝sin b ＋sin c ，即f (a )＝f (b )＋f (c )＝12＋12＝1，∴f (x )＝sin x (0<x <π)不属于这一类函数； ④设0<a ≤b ≤c <π4，∴cos a ≥cos b ≥cos c >22，∴f (b )＋f (c )＝cos b ＋cos c >2，而cos a <1，即f (b )＋f (c )>f (a )，∴f (x )＝cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π4属于这一类函数． 综上，属于这一类函数的有2个，故选B.B 组——填空题解题技法专练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b －12c ＝a cos C ，且4(b ＋c )＝3bc ，a ＝23，则△ABC 的面积S ＝________.解析：由正弦定理得sin B －12 sin C ＝sin A cos C ，∵sin B ＝sin(A ＋C )，∴sin(A ＋C )－12sin C ＝sin A cos C ，即cos A sin C ＝12sin C .又sin C ≠0，∴cos A ＝12，又A 是△ABC 的内角，∴A ＝60°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， ∴(b ＋c )2－4(b ＋c )＝12， 得b ＋c ＝6，∴bc ＝8，∴S ＝12bc sin A ＝12×8×32＝2 3.答案：2 32．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f ′(x )为其导函数，当x >0且x ≠1时，2f (x )＋xf ′(x )x －1>0，若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为－45，则f (1)＝________.解析：因为当x >0且x ≠1时，2f (x )＋xf ′(x )x －1>0，所以当x >1时，2f (x )＋xf ′(x )>0； 当0<x <1时，2f (x )＋xf ′(x )<0. 令g (x )＝x 2f (x )，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]， 所以当x >1时，g ′(x )>0，函数g (x )＝x 2f (x )单调递增； 当0<x <1时，g ′(x )<0，函数g (x )＝x 2f (x )单调递减， 所以函数g (x )＝x 2f (x )在x ＝1处取得极值， 所以g ′(1)＝2f (1)＋f ′(1)＝0.因为曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为－45，所以f ′(1)＝－45，所以f (1)＝12×45＝25.答案：253．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，当1<a <2时，关于x 的方程f [f (x )]＝a 实数解的个数为________．解析：当1<a <2时，作出函数f (x )的图象如图所示，令u ＝f (x )，则f (u )＝a ，由f (x )的图象可知，若u 满足u <0，此时f (x )＝u 无解，若u >0，解得1e 2<u <1e <1或2<e<u <e 2，显然，当x <0时，不可能使得f (x )＝u 有解，当x >0，1e 2<u <1e <1时，f (x )＝u 有2个解，当x >0,2<e<u <e 2时，f (x )＝u 也有2个解．因此f [f (x )]＝a 有4个实数解．答案：44．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与准线交于点M ，且FM ―→＝3FP ―→，则|FP ―→|＝________.解析：过点P 作PP 1垂直准线于P 1，由FM ―→＝3FP ―→，得|PM |＝2|PF |，又由抛物线的定义知|PF |＝|PP 1|，所以|PM |＝2|PP 1|. 由三角形相似得|PP 1|2|OF |＝|MP ||MF |＝23，所以|PP 1|＝43，所以|FP ―→|＝43.答案：435．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋3＋mx 3＋nx (m <0，n <0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为－3116，则f (x )在[－1,0]上的最大值为________．解析：令g (x )＝mx 3＋nx (m <0，n <0)，则g ′(x )＝3mx 2＋n ，因为m <0，n <0，所以g ′(x )<0，所以g (x )为减函数．又y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋3为减函数，所以f (x )为减函数．当x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (1)＝m ＋n ＋116＝－3116，得m ＋n ＝－2，当x ∈[－1,0]时，f (x )max ＝f (－1)＝－m －n ＋14＝94.答案：946．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a ·b ＝3，若(c －2a )·(2b －3c )＝0, 则|b －c |的最大值是________． 解析：设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ， ∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝32×3＝22，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A (1,1)，B (3,0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )，∵(c －2a )·(2b －3c )＝0， ∴(x －2)(6－3x )＋(y －2)(－3y )＝0. 即(x －2)2＋(y －1)2＝1. ∵b －c ＝(3－x ，－y )，∴|b －c |＝(x －3)2＋y 2≤(3－2)2＋(0－1)2＋1＝2＋1， 即|b －c |的最大值为2＋1. 答案：2＋17．(2018·开封高三定位考试)已知正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为________．解析：如图①，在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝2，则BD ＝DC ＝1，AD ＝3，在翻折后所得的几何体中，如图②，AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，则AD ⊥平面BCD ，三棱锥A -BCD 的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，球心到截面BCD 的距离d ＝12AD ＝32.在△BCD 中，BC ＝3，则由余弦定理，得cos ∠BDC ＝BD 2＋DC 2－BC 22BD ·DC ＝12＋12－(3)22×1×1＝－12，所以∠BDC ＝120°.设球的半径为R ，△BCD 的外接圆半径为r ，则由正弦定理，得2r＝BC sin ∠BDC ＝3sin 120°＝2，解得r ＝1，则球的半径R ＝d 2＋r 2＝⎝⎛⎭⎫322＋12＝72，故球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫722＝7π.答案：7π8.(2018·湘中名校联考)一块边长为a cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则容器的容积的最大值是________．解析：如图，设AB ＝x ，OF ＝x 2，EF ＝a2(0<x <a )，所以EO ＝EF 2－OF 2＝12a 2－x 2. 所以V (x )＝13S 正方形ABCD ·EO ＝16x 2a 2－x 2＝16a 2x 4－x 6(0<x <a )．令y ＝a 2x 4－x 6(0<x <a )，则y ′＝4a 2x 3－6x 5＝2x 3(2a 2－3x 2)． 当y ′＝0时，x ＝63a . 当y ′<0时，63a <x <a ， 当y ′>0时，0<x <63a . 所以y ＝a 2x 4－x 6(0<x <a )在⎝⎛⎭⎫0，63a 上是增函数， 在⎝⎛⎭⎫63a ，a 上是减函数， 所以当x ＝63a 时， y max ＝a 2·⎝⎛⎭⎫63a 4－⎝⎛⎭⎫63a 6＝427a 6， 即V (x )max ＝16427a 6＝327a 3. 答案：327a 3 9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4与函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4在区间⎣⎡⎦⎤－54，74上的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的周长为________．解析：因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4与函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4在区间⎣⎡⎦⎤－54，74上的图象交于A ，B ，C 三点，所以由sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4，x ∈⎣⎡⎦⎤－54，74，解得x ＝－1,0,1， 不妨设A ⎝⎛⎭⎫－1，－22，B ⎝⎛⎭⎫0，22，C ⎝⎛⎭⎫1，－22， 所以AB ＝(－1－0)2＋⎝⎛⎭⎫－22－222＝3，AC ＝2，BC ＝(1－0)2＋⎝⎛⎭⎫－22－222＝3， 所以△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝2＋2 3. 答案：2＋2 310．(2019届高三·昆明调研)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵： a 1a 2，a 3a 4，a 5，a 6a 7，a 8，a 9，a 10……记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n ＝2b n －1，则a 56＝________.解析：当n ≥2时，∵S n ＝2b n －1，∴S n －1＝2b n －1－1， ∴b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)， ∵b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴b n ＝2n －1.设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{c n }， 则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1， 累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，∴c n ＝n (n －1)2＋1， 由c n ＝n (n －1)2＋1＝56，得n ＝11，∴a 56＝b 11＝210＝1 024. 答案：1 02411．(2018·郑州第一次质量测试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF ―→＝FN ―→，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，F (c,0)，则|MF |＝b ， 由2MF ―→＝FN ―→，可得|MF ||FN |＝12，所以|FN |＝2b .在Rt △OMF 中，由勾股定理， 得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝a ，因为∠MOF ＝∠FON ，所以由角平分线定理可得|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，|ON |＝2a ，在Rt △OMN 中，由|OM |2＋|MN |2＝|ON |2，可得a 2＋(3b )2＝(2a )2,9b 2＝3a 2，即b 2a 2＝13，所以b a ＝33，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x .答案：±33x12．已知O 是△ABC 的外心，取∠C ＝45°，若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是________． 解析：因为∠C ＝45°，所以∠AOB ＝90°.由已知，不妨设△ABC 的外接圆半径为1，并设OA ―→＝i ，OB ―→＝j ，则C (m ，n )，点C 的轨迹是以原点为圆心，1为半径的34圆弧(不含端点)，如图所示．设m ＋n ＝t ，则直线x ＋y ＝t 与此圆弧有公共点，故－2≤t <1，即m ＋n 的取值范围是[－2，1)．注：也可设m ＝cos θ，n ＝sin θ⎝⎛⎭⎫π2<θ<2π，则m ＋n ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.因为3π4<θ＋π4<9π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4<22，所以－2≤m ＋n <1. 答案：[－2，1)13．设点(1,2)在抛物线y ＝ax 2上，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 1是线段AB 的垂直平分线．若直线l 1的斜率为2，则l 1在y 轴上截距的取值范围为________．解析：由点(1,2)在抛物线y ＝ax 2上，得a ＝2，即抛物线方程为y ＝2x 2.设直线l 1在y 轴上的截距为t ，依题意得l 1的方程为y ＝2x ＋t .直线l 的方程可设为y ＝－12x ＋b ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y ＝2x 2，消去y 可得2x 2＋12x －b ＝0，则x 1＋x 2＝－14，Δ＝14＋8b ＞0，即b >－132.设AB 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18，y 0＝－12x 0＋b ＝116＋b .由点P 在直线l 1上，得116＋b ＝－14＋t ，于是t ＝516＋b >516－132＝932.故l 1在y 轴上截距的取值范围为⎝⎛⎭⎫932，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫932，＋∞ 14．(2019届高三·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c,0)关于直线l ：y ＝cb x 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －22＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，化简得(a 2＋2b 2)·y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0，得2b 2＋a 2－8＝0.设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E ，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF ，又点F 到直线l 的距离d ＝c 2c 2＋b 2＝c 2a ，所以|EF |＝2c 2a ，|F ′E |＝2a －|EF |＝2b 2a ，在Rt △F ′EF 中，|F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0，得b 2＝2，a ＝2，所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝12S △F ′EF ＝1.答案：115.(2019届高三·山西四校联考)如图，等边△ABC 的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上移动，M 为AB 的中点，则OA ―→·OM ―→的最大值为________． BC ―→＝(－2cos θ，解析：设∠OBC ＝θ，因为BC ＝2，所以B (2cos θ，0)，C (0,2sin θ)，则2sin θ)，设BA ―→＝(x ，y )，因为△ABC 是边长为2的等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，－2x cos θ＋2y sin θ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝3sin θ－cos θ，y ＝3cos θ＋sin θ，即BA ―→＝(3sin θ－cos θ，3cos θ＋sin θ)，则OA ―→＝OB ―→＋BA ―→＝(3sin θ＋cos θ，3cos θ＋sin θ)，因为M 为AB 的中点，所以OM ―→＝OB ―→＋12BA ―→＝32sin θ＋32cos θ，32cos θ＋12sin θ， 所以OA ―→·OM ―→＝32＋3sin 2θ＋12＋32sin 2θ＋cos 2θ＝332sin 2θ＋12cos 2θ＋52＝7sin(2θ＋φ)＋52，其中cos φ＝32114，sin φ＝714， 所以OA ―→·OM ―→的最大值为52＋7. 答案：52＋7 16．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为3，则 (1)m ＝________；(2)对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________．解析：(1)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋m ， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6， 所以当x ＝π6时，f (x )取最大值3＋m ，所以m ＝0. (2)易知函数f (x )是周期为π的周期函数，由图可知，在每个周期内只有2个零点，而[a ，a ＋20π]有20个周期，故有40个零点，特别地，当a 为零点时，a ＋20π也是零点，由此可得，此时可有41个零点．所以填40或41.答案：(1)0 (2)40或41。
(通用版)2019高考数学二轮复习压轴小题组合练(A)文
压轴小题组合练(A)1.若f (x )＝ln xx，e<a <b ，则( )A.f (a )>f (b )B.f (a )＝f (b )C.f (a )<f (b )D.f (a )f (b )>1答案 A解析 由f ′(x )＝1－ln xx2<0，解得x >e ， ∴f (x )在(e ，＋∞)上为减函数， ∵e<a <b ，∴f (a )>f (b ).2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 答案 C解析由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，－4a －32≥0，3a ≥1，解得13≤a ≤34.结合图象(图略)可知方程|f (x )|＝2－x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别只有一个实数根.当3a ＞2，即a ＞23时，则x 2＋(4a －3)x＋3a ＝2－x 只有一个解，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)，经检验a ＝34，符合题意；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，符合题设条件.综上，所求实数a 的取值范围是13≤a ≤23或a ＝34.故选C. 3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f (x －2)，x ∈(1，＋∞)，1－|x |，x ∈[－1，1]，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋1)＝0(a ＞0，且a ≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3)B.(45，＋∞)C.(3，＋∞)D.(45，3)答案 C解析 要使方程f (x )－log a (x ＋1)＝0(a ＞0且a ≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根，只需函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)的图象在区间[0,5]内恰有5个不同的交点，显然a >1，在同一坐标系内作出它们的图象如图：要使它们在区间[0,5]内恰有5个不同的交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧log a 3＜2，log a 5＜4，得a ＞3，故选C.4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n(λ－n )－6，若数列{a n }为递减数列，则λ的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，3) C.(－∞，4) D.(－∞，5)答案 A解析 ∵S n ＝3n(λ－n )－6，① ∴S n －1＝3n －1(λ－n ＋1)－6，n ≥2，②由①－②，得a n ＝3n －1(2λ－2n －1)(n ≥2，n ∈N *).∵数列{a n }为递减数列， ∴a n ＞a n ＋1， ∴3n －1(2λ－2n －1)＞3n(2λ－2n －3)，化为λ＜n ＋2(n ≥2)，∴λ＜4.又a 1＞a 2，∴λ＜2.综上，λ＜2.5.如果定义在R 上的函数f (x )，对任意m ≠n ，均有mf (m )＋nf (n )－mf (n )－nf (m )>0成立，则称函数f (x )为“H 函数”.给出下列函数： ①f (x )＝ln2x－5； ②f (x )＝－x 3＋4x ＋3；③f (x )＝22x －2(sin x －cos x )；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.其中是“H 函数”的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 由题设，得(m －n )[f (m )－f (n )]>0(m ≠n ). ∴“H 函数”就是函数f (x )是R 上的增函数.对于①，f (x )＝ln2x－5，显然f (x )为R 上的增函数；对于②，当x ＝0和x ＝2时函数值相等，因此函数f (x )＝－x 3＋4x ＋3不可能是R 上的增函数；对于③，f ′(x )＝22－22cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥0在R 上恒成立，则f (x )＝22x －2(sin x －cos x )是R 上的增函数；对于④，当x ＝0和x ＝1时函数值相等，因此函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0不可能为R 上的增函数，因此符合条件的函数个数为2.6.(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知函数f (x )＝a x＋x 2－x ln a ，对任意的x 1，x 2∈[0,1]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤a －2恒成立，则a 的取值范围为( )A.[e 2，＋∞) B.[e ，＋∞) C.[2，e] D.[e ，e 2]答案 A解析 由题意可得|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (x )max －f (x )min ≤a －2，且a >2，由于f ′(x )＝a xln a ＋2x －ln a ＝()a x－1ln a ＋2x ，所以当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )在[0,1]上单调递增， 则f (x )max ＝f (1)＝a ＋1－ln a ，f (x )min ＝f (0)＝1， 所以f (x )max －f (x )min ＝a －ln a ，故a －2≥a －ln a ，即ln a ≥2，所以a ≥e 2，即a 的取值范围为[)e 2，＋∞.7.(2018·洛阳统考)在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A.3 B.4 C.83 D.103答案 A解析 ∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23()AC →－AB →＝13AB →＋23AC →＝13m AM →＋23nAN →，∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n ＝1，∵m >0，n >0， ∴m ＋2n ＝(m ＋2n )·⎝⎛⎭⎪⎫13m ＋23n＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ≥53＋22m 3n ·2n3m＝3， 当且仅当2m 3n ＝2n3m，即m ＝n ＝1时等号成立.8.(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝x 2＋e x (x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，e)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e 答案 A解析 由已知得，方程f (x )＝g (－x )在x <0时有解， 即e x－ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解， 令m (x )＝e x－ln(－x ＋a )，则m (x )＝e x－ln(－x ＋a )在其定义域上是增函数，且x →－∞时，m (x )<0， 当a ≤0，x →a 时，m (x )>0， 故e x－ln(－x ＋a )＝0 在(－∞，0)上有解，当a >0时，则e x －ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解可化为e 0－ln a >0，即ln a <1，故0<a <e ， 综上所述，a ∈(－∞，e)，故选A.9.若曲线y ＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C.(0，＋∞)D.[0，＋∞)答案 D解析 由题意得y ′＝1x＋2ax ≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴a ≥－12x2在(0，＋∞)上恒成立.令f (x )＝－12x 2，x ∈(0，＋∞)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )＝－12x 2<0，∴a ≥0.10.已知[x )表示大于x 的最小整数，例如[3)＝4，[－1.3)＝－1，下列命题中正确的是( ) ①函数f (x )＝[x )－x 的值域是(0,1]； ②若{a n }是等差数列，则{[a n )}也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{[a n )}也是等比数列； ④若x ∈(1,2014)，则方程[x )－x ＝12有2013个根.A.②④B.③④C.①③D.①④答案 D解析 当x ∈Z 时， [x )＝x ＋1，f (x )＝[x )－x ＝x ＋1－x ＝1; 当x ∉Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0,1)，则[x )＝n ＋1，f (x )＝[x )－x ＝1－a ∈(0,1)，因此f (x )＝[x )－x 的值域是(0,1]；0.9,1,1.1是等差数列，但[0.9)＝1，[1)＝2，[1.1)＝2不成等差数列； 0.5,1,2是等比数列，但[0.5)＝1，[1)＝2，[2)＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时，f (x )＝1；当x ∉Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0,1)时，f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x ＋1)＝f (x ) ，即f (x )＝[x )－x 是周期为1的函数，由于x ∈(1,2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈(1,2 014)，则方程[x )－x ＝12有2 013个根. ①④正确，故选D.11.已知等差数列{a n }的首项为1，a 1＋a 3＋a 5＝15，{a n }的前n 项和为S n ，若S 10，a 10＋1，k (其中k ∈R )成等比数列，则实数k 的值是( ) A.7 B.6 C.5 D.4答案 D解析 根据题意可得，a 1＝1,3a 3＝15，即a 3＝5，设等差数列{a n }的公差为d ，解得d ＝2，所以等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1，S 10＝10×1＋10×92×2＝100，a 10＝2×10－1＝19，又S 10，a 10＋1，k (其中k ∈R )成等比数列，所以(a 10＋1)2＝k ·S 10，k ＝(a 10＋1)2S 10＝4，故选D.12.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S n ＝f (n )，则S n －4a a n －1的最小值为( )A.276B.358C.143D.378答案 D解析 由题意可得a 2－4＝2a －8或a 2－4＋2a －8＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋82，解得a ＝1或a ＝－4.当a ＝1时，f (x )＝x 2＋9x －10，数列{a n }不是等差数列； 当a ＝－4时，f (x )＝x 2＋4x ，S n ＝f (n )＝n 2＋4n ， ∴a 1＝5，a 2＝7，a n ＝5＋(7－5)(n －1)＝2n ＋3，∴S n －4a a n －1＝n 2＋4n ＋162n ＋2＝12×(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋13n ＋1＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n ＋1)＋13n ＋1＋2 ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2(n ＋1)×13n ＋1＋2＝13＋1， 当且仅当n ＋1＝13n ＋1， 即n ＝13－1时取等号，∵n 为正整数，故当n ＝3时原式取最小值378，故选D.13.(2018·郑州外国语学校调研)已知实数x ，y 满足3x －y ≤ln(x ＋2y －3)＋ln(2x －3y ＋5)，则x ＋y ＝________. 答案167解析 设f (t )＝ln t －t ＋1， 令f ′(t )＝1t－1＝0，得t ＝1，所以当0<t <1时，f ′(t )>0，当t >1时，f ′(t )<0，因此f (t )≤f (1)＝0，即ln t ≤t －1，所以ln(x ＋2y －3)≤x ＋2y －3－1， ln(2x －3y ＋5)≤2x －3y ＋5－1，因此ln(x ＋2y －3)＋ln(2x －3y ＋5)≤x ＋2y －3－1＋2x －3y ＋5－1＝3x －y ， 因为3x －y ≤ln(x ＋2y －3)＋ln(2x －3y ＋5)， 所以x ＋2y －3＝1,2x －3y ＋5＝1，所以x ＝47，y ＝127，所以x ＋y ＝167.14.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝1，log a |x －1|＋1，x ≠1且a >1，若函数g (x )＝f 2(x )＋bf (x )＋c 有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3＝________. 答案 2解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图可得关于x 的方程f (x )＝t 的解有两个或三个(t ＝1时有三个，t ≠1时有两个)，所以关于t 的方程t 2＋bt ＋c ＝0只能有一个根t ＝1(若有两个根，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有四个或五个根)，由f (x )＝1，可得x 1，x 2，x 3的值分别为0,1,2，x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3＝0×1＋1×2＋0×2＝2.15.在△ABC 中，AB ＝62，AC ＝6，∠BAC ＝π4，点D 满足BD →＝23BC →，点E 在线段AD 上运动，若AE →＝λAB →＋μAC →，则3λ＋13μ取得最小值时，向量AE →的模为________.答案 2 5解析 在△ABC 中，AB ＝62，AC ＝6，∠BAC ＝π4，可得BC ＝6.∵点D 满足BD →＝23BC →，∴CD ＝2.如图建立平面直角坐标系，则A (0,6)，B (6,0)，D (2,0)，设AE →＝kAD →＝(2k ，－6k )，AE →＝λAB →＋μAC →＝λ(6，－6)＋μ(0，－6)＝(6λ，－6λ－6μ)， ∴2k ＝6λ，－6k ＝－6λ－6μ，∴μ＝2λ， ∴3λ＋13μ＝3λ＋16λ≥212＝2， 当且仅当λ2＝118时等号成立.此时AE →＝(6λ，－18λ)，|AE →|＝36λ2＋324λ2＝2 5.16.已知函数f (x )＝x e x＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e解析∵f′(x)＝e x(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由题意得c－e－1<0，得c<e－1.。
2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分第三层级难点自选专题二“选填”压轴小题的4大抢分策略讲义理
难点自选专题二 “选填”压轴小题的4大抢分策略解答选择题中的压轴题，务必要遵循“小题小解”的原则，要抓住已知条件与备选项之间的关系进行分析、试探、推断，充分发挥备选项的暗示作用，选用解法要灵活机动，做到具体问题具体分析，不要生搬硬套．能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能用特殊值分析的，就不再采用常规解法；能用间接法求解的，就不再用直接法．能否快速准确地解答填空题中的压轴题，往往是高考数学成败的关键．现行《考试大纲》对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．也就是说解填空题务必要做到：特例思想开思路特例思想是通过考查数学对象的特殊情况来获得一般性结论．举出特例或者研究特殊情况要比研究一般情况容易很多．研究清楚了特殊情况，对于解决一般情况可以提供解题思路．当题目十分复杂或解题目标不明确时，往往需要考查题设条件中的某些特殊情况，从中找出能反映问题本质属性的隐含信息，这样做，常常能够打开我们的思路，发现解决问题的方法．[典例] 已知函数f (x )＝x －sin 2x ＋a sin x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是13( )A ．[－1,1] B.[－1，13]C. D.[－13，13][－1，－13][解析] 法一：特殊值法对函数f (x )求导，得f ′(x )＝1－cos 2x ＋a cos x ＝－cos 2x ＋a cos x ．根据题意，235343f ′(x )≥0恒成立，因为函数f ′(x )为偶函数，从而f ′(x )＝0的两根一定互为相反数，即可知a 的值关于原点对称，排除选项B 、D ；当a ＝－1时，f ′(0)＝－cos 20＋a cos 0<0，5343说明函数f (x )不是恒单调递增的，排除选项A.故选C.法二：特殊值法观察本题的四个选项，发现选项A 、B 、D 中都有数－1，故取a ＝－1，f (x )＝x －sin132x －sin x ，f ′(x )＝1－cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－－1＝－<0，不符合f (x )在R 上232323单调递增，排除选项A 、B 、D.故选C.法三：数形结合根据题意，可知f ′(x )＝1－cos 2x ＋a cos x ≥0在R 上恒成立，化简可得－cos 2x ＋2343a cos x ＋≥0在R 上恒成立．又因为|cos x |≤1，令cos x ＝t ，则－t 2＋at ＋≥0在t ∈[－5343531,1]上恒成立．设g (t )＝－t 2＋at ＋，则函数g (t )在t ∈[－1,1]上，使得不等式g (t )≥0恒成立，4353则Error!所以Error!所以－≤a ≤.故选C.1313法四：分类讨论由法三可知，函数g (t )＝－t 2＋at ＋≥0，其中t ∈[－1,1]．对参数t 分类讨论：4353当t ＝0时，函数g (0)＝≥0，53此时参数a ∈R ，函数f (x )在R 上单调递增；当t >0时，分离参数得a ≥＝t －恒成立．设函数h (t )＝t －，即有a ≥h (t )max43t 2－53t 4353t 4353t 成立，由于h ′(t )＝＋>0，从而可知函数h (t )在(0,1]上单调递增，所以a ≥h (1)＝－4353t 2.13当t <0时，分离参数得a ≤＝t －恒成立．易得a ≤h (t )min ＝h (－1)＝.43t 2－53t 4353t 13综上所述，a 的取值范围是.故选C.[－13，13][答案] C[题后悟通](1)本题的四种解法中，解法一是从函数的整体性质(单调性、奇偶性)出发，排除不符合题意的选项，是优化解题方法的最好策略；解法二是从题目的选项特征出发，采取特值法解题，方法简单；解法三就是将函数f (x )求导后，再构造函数转化为不等式g (t )≥0恒成立，结合函数g (t )的结构特征与图形特征解题；解法四中，令cos x ＝t ，对参数t 进行分类讨论后，再利用导数知识研究单调性、最值，这就是有关单调性问题的解题套路．(2)处理此类问题经常根据题中所给出的条件巧妙选择特殊值、特殊函数、特殊位置、特殊图形等进行求解．[应用体验]1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝与y ＝x ＋1xf (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则(x i＋y i)＝( )m∑i ＝1A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B 法一：(利用函数的对称性)由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )＝2，所以点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))连线的中点是(0,1)，故函数f (x )的图象关于点(0,1)成中心对称(此处也可以这样考虑：由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0，即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0，令F (x )＝f (x )－1，则F (x )＋F (－x )＝0，即F (x )＝f (x )－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F (x )的图象可看成是f (x )的图象向下平移一个单位得到的，故f (x )的图象关于点(0,1)对称)．又y ＝＝1＋的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)对称，所以对于x ＋1x 1x每一组对称点x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，所以(x i ＋y i )＝i ＋i ＝0＋2×＝m ，故m∑i ＝1m∑i ＝1x m∑i ＝1y m2选B.法二：(构造特殊函数)由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0，即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0.令F (x )＝f (x )－1，则F (x )为奇函数，即f (x )－1为奇函数，从而可令f (x )－1＝x ，即f (x )＝x ＋1，显然该函数满足此条件．此时y ＝x ＋1与y ＝的交点分别为(1,2)和(－1,0)，x ＋1x所以m ＝2，(x i＋y i)＝1＋2＋(－1)＋0＝2，m∑i ＝1结合选项可知选B.2.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，连接AO ，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若＝m ，＝n ，则m ＋n 的值为________．AB ―→ AM ―→ AC ―→ AN ―→解析：法一：因为O 是BC 的中点，所以＝(＋)＝＋.AO ―→ 12AB ―→ AC ―→ m 2AM ―→ n 2AN ―→因为M ，O ，N 三点共线，所以＋＝1，m 2n2所以m ＋n ＝2.法二：(特殊位置法)取M 与B 重合，N 与C 重合，此时m ＝n ＝1，得m ＋n ＝2.答案：23．已知△ABC 中，AB ＝4，AC ＝5，点O 为△ABC 所在平面内一点，满足||＝||＝|OA ―→ OB ―→|，则·＝________.OC ―→AO ―→ BC ―→解析：法一：如图，＝－，＝－，AB ―→ OB ―→ OA ―→ AC ―→ OC ―→ OA ―→ ∴2＝2－2·＋2，2＝2－2·AB ―→ OB ―→ OB ―→ OA ―→ OA ―→ AC ―→ OC ―→ OC ―→＋2.两式相减，得2－2＝2·－2·.OA ―→ OA ―→ AC ―→ AB ―→ OB ―→ OA ―→ OC ―→ OA ―→∴25－16＝2·(－)，OA ―→ OB ―→ OC ―→ ∴9＝2·，OA ―→ CB ―→∴·＝.AO ―→ BC ―→ 92法二：(特殊图形法)若△ABC 为直角三角形，如图，则＝(＋)，＝－，AO ―→ 12AB ―→AC ―→ BC ―→ AC ―→ AB ―→ ∴·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝.AO ―→ BC ―→ 12AB ―→ AC ―→ AC ―→ AB ―→ 12AC ―→ AB ―→92答案：92极限思想减运算极限思想就是考虑相关问题的极端情况，极端情形往往都是相关命题的极限情况，或是某个变量所在区间端点的取值．例如线段是三角形高为零的极端情况，切线是割线的极端情形(即极限)等．有些高考数学压轴题的求解，常常要从它的极端情形来寻找突破口．一般来说，运用极限思想分析问题，往往能够减少运算量，尤其是选择题和填空题，运用极限思想分析解题可以快速准确地解决问题，从而避免小题大做，节省考场上的答题时间．[典例] 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．[解析] 法一：极限法如图，动态地审视平面四边形ABCD ，边BC ＝2固定，∠B ＝∠C ＝75°固定，延长BA ，CD 交于点P .虽然∠BAD ＝75°，但AB 边并不固定，平行移动AD 边，则容易看出B Q<AB <BP .在△BC Q 中，易求得B Q ＝－；在△62BCP 中，易求得BP ＝＋，则AB 的取值范围是(－，＋)．626262法二：分割法易知∠ADC ＝135°.如图，连接BD ，设∠BDC ＝α，∠ADB ＝β，则α＋β＝135°.在△ABD 和△BCD 中，由正弦定理得＝＝，BCsin αBD sin 75°ABsin β则AB ＝＝BC sin βsin α2sin 135°－αsin α＝＝，2sin α＋45° sin α2(1＋1tan α)由Error!得30°<α<105°，所以－2<<.31tan α3则－<AB <＋.6262[答案] (－，＋)6262 [题后悟通]解法一采用取极限的方法来处理，过程显得简洁、自然，体现了“小题小解”的策略．解法二将四边形问题转化为解三角形问题，利用正弦定理建立函数解析式求解．[应用体验]4．过x 轴上一点P 向圆C ：x 2＋(y －2)2＝1作圆的切线，切点为A ，B ，则△PAB 的面积的最小值是( )A.B.334332C. D ．333解析：选A 法一：由图可知，当点P 趋向于无穷远处时，显然△ABP 的面积趋向于无穷大；当点P 趋近于原点时，△ABP 的面积越来越小；当与原点重合时有|OA |＝，且此时的△PAB 为正三角形．其面积为×()2×＝.312332334故选A.法二：设P (x,0)，则|PC |2＝x 2＋4，|PA |2＝|PB |2＝x 2＋3，设∠CPA ＝θ，则有sin θ＝，cos θ＝，1x 2＋4x 2＋3x 2＋4于是S △PAB ＝|PA |2×sin 2θ＝12 x 2＋3 x 2＋3x 2＋4＝.11x 2＋3＋1x 2＋3 x 2＋3显然上式是x 2的单调递增函数，当x ＝0时，S △PAB 取得最小值.故选A.334建模探究破创新探究创新性题的解题思路常用的策略是建模分析．也就是说，对这类题的求解要特别注意以下几点：(1)领会题意，弄清问题所涉及的模型，准确把握命题给出的相关新概念、新定义的实质；(2)注重将那些抽象的概念直观化，隐含的信息条理化，复杂的数量关系模型化；(3)善于借助它的背景、特征、性质、构思来进行分析、探究、类比、变式，构建相关的数学模型．一旦把握了伴随它的数学模型，也就把握了解题入门的向导，问题便可迎刃而解．[典例] 对于实数a 和b ，定义运算“⊕”：a ⊕b ＝Error!设函数f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．[解析] f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)＝Error!⇒f (x )＝Error!故关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，等价于函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点．作出函数f (x )的大致图象如图所示，从图中不难得知0<m <.14设从左到右交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，当x >0时，－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0，由此可得x 2x 3＝m .当x <0时，由2x 2－x ＝，得x ＝.141－34当m 在上递增时，(0，14)|x 1|也在上递增．(0，|1－34|)从而m |x 1|随着m 的递增而递增，而x 1<0，所以x 1x 2x 3∈为所求．(1－316，0)[答案] (1－316，0)[题后悟通]透彻理解题目给出的新定义的模型，明确f (x )的解析式是解题的切入口．用新定义考查阅读理解能力与知识迁移能力是现行数学高考的出发点．求解本题的关键在于从图形中观察到|x 1|的取值是m 的增函数，且x ＝是m ＝时的极端情形．1－3414[应用体验]5．对任意两个平面向量α，β，定义α∘β＝，若向量a ，b 满足条件|a|≥|b|>0，a α·ββ·β与b 的夹角θ∈，且a ∘b 和b ∘a 都在集合中，则a ∘b ＝( )(0，π4){n2|n ∈Z }A. B ．112C.D.3252解析：选C 由定义α∘β＝，α·ββ·β得a ∘b ＝＝，①a ·b b 2|a |·|b |cos θ|b |2同理可得b ∘a ＝＝.②a·b a 2|a|·|b|cos θ|a|2由|a|≥|b|>0，得0<≤1.|b||a|又因为θ∈，所以<cos θ<1.(0，π4)22从而可得0<<1，即0<b ∘a<1.|b|cos θ|a|因为b ∘a ∈，所以b ∘a ＝.③{n 2|n ∈Z }12①×②得(a ∘b)(b ∘a)＝cos 2θ∈，(12，1)将③代入上式，化简得1<a ∘b<2.又因为a ∘b ∈，所以a ∘b ＝，故选C.{n 2|n ∈Z }32定义分析解压轴解答数学高考压轴题，入手的关键就是要先弄清问题所涉及的概念、定义及其相关的隐含信息，然后运用数学的通性通法——定义法、分析法、综合法、分离变量法、数形结合法、向量法、重要不等式法等进行分析、整合，认识问题的本质，探究与问题相关的基本概念或数学模型．只有明确了命题中的相关概念、定义及数学模型，才能准确理解题意、灵活运用知识分析问题，解决问题，促进解题思路的创新．因此，运用定义分析问题是准确、迅速解答数学高考压轴题的重要策略．[典例] 已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝，若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 22A. B.[－16，16][－66，66]C. D.[－13，13][－33，33][解析] 法一：当x ≥0时，f (x )＝Error!作出函数f (x )的图象，如图所示．因为对∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )成立，所以对应的函数f (x －1)的图象恒在函数f (x )的图象的下方．由此可知，只需函数f (x )在x <－2a 2时的图象向右平移一个单位即可．因为x >2a 2时，f (x )＝x －3a 2，又f (x )是R 上的奇函数，所以x <－2a 2时，f (x )＝x ＋3a 2，由此可得f (x －1)＝x －1＋3a 2.于是，由f (x －1)≤f (x )，得x －1＋3a 2≤x －3a 2，即6a 2≤1，解得a ∈.[－66，66]法二：由图易知，当x >0时，f (x )的最小值为－a 2.因为f (x )为奇函数，所以当x <0时，f (x )的最大值为a 2.又易知，当x >0时，f (x )＝a 2所对应的横坐标为x ＝4a 2，即B 点的横坐标．当x <0时，f (x )＝a 2所对应的横坐标x min ＝－2a 2，即A 点的横坐标．故要对∀x ∈R ，都有f (x －1)≤f (x )成立，则要A ，B 两点的跨度不大于1.否则，f (x )的图象向右平移1个单位后，线段DB 会在A 1C 1的下方，此时的图象与对应的函数不等式f (x －1)≤f (x )相悖．所以4a 2－(－2a 2)≤1，解得a ∈.[－66，66][答案] B [题后悟通]本题主要考查全称命题、奇函数和分段函数等基本概念，考查函数的最值与恒成立问题．意在考查考生应用数形结合思想，综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．注重理解题意，根据奇函数的性质画草图进行探究，抓住函数f (x )在x <－2a 2时的图象向右平移1个单位后与原函数的图象的关系进行分析，是解题入手的基本途径．解法一是从函数的表达式的角度来构建不等式的，解法二是从区间跨度的角度来构建不等式的．易知，这两种解法都遵循了小题小解的原则，体现了数形结合思想在解题中的作用．[应用体验]6．设P ，Q 是双曲线x 2－y 2＝4上关于原点对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条2渐近线l 折成直二面角，则折叠后线段P Q 的长度的最小值为________．解析：法一：因为双曲线x 2－y 2＝4是以直线y ＝±x 为渐近线的等轴双曲线，2所以将双曲线按逆时针方向旋转45°，可得对应图象的双曲线方程为y ＝.mx因为双曲线x 2－y 2＝4的顶点为A (，0)，2432所以旋转后点A 变为点A ′(，)．4848因为点A ′在y ＝的图象上，则m ＝2.m x2即将原双曲线按逆时针方向旋转45°后，所得的双曲线的方程为y ′＝.如图．22x ′故问题转化为：过原点的直线交双曲线y ′＝于P ，Q 两点，将坐标平面沿y ′轴折22x ′成直二面角，求折后线段P Q 的长度的最小值．设P (t >0)，过点P 作PM ⊥y ′轴于M ，(t ，22t)则M ，Q .(0，22t )(－t ，－22t)从而|M Q|＝ ＝ ，0＋t 2＋(22t＋22t)2t 2＋32t2在折叠后的图形中，有|Q M 1|＝|MP |＝t ，故|P Q|2＝|Q M 1|2＋|MM 1|2＋|MP |2＝|Q M |2＋|MP |2＝2t 2＋≥2＝16.32t22t 2×32t2当且仅当t 2＝4，即t ＝2时等号成立，所以当t ＝2时，即P 坐标为(2，)时，|P Q|的最小值为＝2164.综上所述，折叠后线段P Q 的长度的最小值等于4.法二：设P (x 0，y 0)到两渐近线的距离分别为m ，n ，如图，则有|PM |＝|Q M 1|＝m ，|PN |＝n ，且m ＝，|x 0－y 0|2n ＝.|x 0＋y 0|2易知，折叠后的P Q ，可视为一长方体的体对角线．则P Q 2＝Q M ＋M1M 2＋MP 2＝2m 2＋4n 2≥2mn ＝4×＝16.2182x 20－y 22所以|P Q|min ＝4.答案：4[专题过关检测]A 组——选择题解题技法专练1．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，α，β∈(0，π)，则α－β的值为13( )A ．－B ．－2π3π3C. D.π32π3解析：选D 令β＝，则有sin α＝－cos α⇒tan α＝－，α∈(0，π)，π61333所以α＝，从而α－β＝.5π62π32．已知0<a <b <1，则a b ，log b a ，－log a b 的大小关系是( )A ．－log a b <a b <log b a B ．－log a b <log b a <a b C ．log b a <－log a b <a bD ．a b <－log a b <log b a解析：选A 显然，直接找这三个数的大小关系不容易，但对a ，b 取某些特殊的值，其大小关系就非常明显了．如令a ＝，b ＝，则有－log a b ＝－log 42<0，log b a ＝log 24＝2，a b ＝＝，由此可得14121412选A.3．若不等式x 2－log a x <0在内恒成立，则a 的取值范围是( )(0，12)A. B.[116，1)(116，1)C. D.(0，116](0，116)解析：选A 因为x ∈，当a ＝时，显然x 2<log a x 恒成立．(0，12)116又当x →时，由<log a ⇒a >；当x →0时，可推得a <1，故选A.1214121164．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支异于顶点A 的任意一点，则直线PF 斜率的变化范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C 如图所示，当P →A 时，PF 的斜率k →0.当PF ⊥x 轴时，PF 的斜率不存在，即k →±∞.当P 在无穷远处时，PF 的斜率k →1.结合四个备选项得C 项正确．5．已知θ∈[0，π)，若对任意的x ∈[－1,0]，不等式x 2cos θ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x >0恒成立，则θ的取值范围是( )A. B.(π12，5π12)(π6，π4)C.D.(π4，3π4)(π6，5π6)解析：选A 令x ＝－1，不等式化为cos θ>0；令x ＝0，不等式化为sin θ>0.又0≤θ<π，所以0<θ<.π2当－1<x <0时，不等式化为2cos θ＋＋sin θ>0.(xx ＋1)xx ＋1设＝t (t <0)，x x ＋1则t 2cos θ＋t ＋sin θ>0对t <0恒成立．设f (t )＝t 2cos θ＋t ＋sin θ＝cos θ2＋sin θ－，(t ＋12cos θ)14cos θ则f (t )min ＝sin θ－>0，即sin 2θ>.14cos θ12又0<2θ<π，所以<2θ<，故<θ<.π65π6π125π126．在对角线AC 1＝6的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，正方形BCC 1B 1所在平面内的动点P 到直线D 1C 1，DC 的距离之和为4，则·的取值范围是( )PC 1―→ PC 1―→A ．[－2,1]B ．[0,1]C ．[－1,1]D.[－2，14]解析：选A 法一：依题意可知CC 1＝2，3点P 到点C 1与C 的距离之和为4，从而可得点P 在以C 1C 为y 轴，C 1C 的中点为原点的椭圆4x 2＋y 2＝4上．设P (x 0，y 0)，则·＝(x 0，y 0－)·(x 0，y 0＋)＝x ＋y －3＝y －2(－2≤y 0≤2)．PC 1―→ PC 1―→ 3320203420由此可得－2≤·≤1，故选A.PC 1―→ PC 1―→法二：由四个备选项可知，B 、C 、D 都是A 的子集．于是，由“若A 则B 把A 抛，A ，B 同真都去掉”可知，应着重考查“－2”与“1”的值能否取到．又由条件易知，点P 在以C 1C 为y 轴，C 1C 的中点为原点的椭圆4x 2＋y 2＝4上．由此可得，当y ＝0时，·可取到－2，PC 1―→ PC 1―→当x ＝0时，·可取到1.故选A.PC 1―→ PC 1―→7.如图所示，A 是函数f (x )＝2x 的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数g (x )＝2x ＋2的图象于点B ，若函数f (x )＝2x 的图象上存在点C 使得△ABC 为等边三角形，则称A 为函数f (x )＝2x 的图象上的“好位置点”，则函数f (x )＝2x 的图象上的“好位置点”的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 设A (x,2x )，B (x －2,2x )，若△ABC 为等边三角形，则C (x －1,2x －1)，且AC ＝AB ＝2，即＝2，即22x －2＝3，又y ＝22x －2单调递增，所以方程有唯一解x ＝1＋ 2x －2x －1 2＋1，即函数f (x )＝2x 的图象上的“好位置点”的个数为1.log 2328．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数解析：选D 法一：因为f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝f (x －1＋1)＝－f [－(x －1)＋1]＝－f (－x ＋2)，又因为f (x －1)是奇函数，则－f (－x ＋2)＝－f [(－x ＋3)－1]＝f (x －3－1)＝f (x －4)，所以f (x )＝f (x －4)．所以f (x ＋3)＝f (x ＋3－4)＝f (x －1)是奇函数，因而选D.法二：令f (x )＝sin πx ，则f (x ＋1)＝sin[π(x ＋1)]＝－sin πx ，f (x －1)＝sin[π(x －1)]＝－sin πx .所以，当f (x ＋1)，f (x －1)都是奇函数时，f (x )不是偶函数，排除A.令f (x )＝cosx ，则π2f (x ＋1)＝cos＝－sin x ，[π2 x ＋1 ]π2f (x －1)＝cos ＝sin x ，[π2 x －1 ]π2且f (x ＋2)＝cos ＝－cos x ，[π2 x ＋2 ]π2所以，当f (x ＋1)，f (x －1)都是奇函数时，f (x )不是奇函数，且f (x )≠f (x ＋2)，排除B 、C ，故选D.9．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)，若关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，且[－12，12]⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A.B.(1－52，0)(1－32，0)C.∪ D.(1－52，0)(0，1＋32)(－∞，1－52)解析：选A 由题意得(x ＋a )(1＋a |x ＋a |)<x (1＋a |x |)．当a ＝－2，x ＝0时，有(0－2)(1－2|0－2|)＝6<0×(1－2×0)不成立，故D 错．当a ＝，x ＝时，1212有＝1×<不成立．故C 错．(12＋12)(1＋12|12＋12|)3212(1＋×)当a ＝，x ＝时，1－3212有<，(12＋1－32)(1＋1－32|12＋1－32|)12(1＋×)即<，显然，此式成立，故B 不对．所以选A.(2－32)(9－334)12(5－34)10．已知函数f (x )＝e x ＋e 2－x ，若关于x 的不等式[f (x )]2－af (x )≤0恰有3个整数解，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2eC ．e 2＋1D ．e 3＋1e 3解析：选C 因为f (x )＝e x ＋e 2－x ＞0，所以由[f (x )]2－af (x )≤0可得0＜f (x )≤a .令t ＝e x ，则g (t )＝t ＋(t ＞0)，画出函数g (t )的大致图象如图e 2t所示，结合图象分析易知原不等式有3个整数解可转化为0＜g (t )≤a 的3个解分别为1，e ，e 2.又当t ＝e x 的值分别为1，e ，e 2时，x ＝0,1,2.画出直线y ＝e 2＋1，故结合函数图象可知a 的最小值为e 2＋1.故选C.11．设F 为双曲线－y 2＝1的左焦点，在点F 右侧的x 轴上有一点A ，以FA 为直径的x 23圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M ，N ，则的值为( )|FN |－|FM ||FA |A. B.32233C.D.6362解析：选A 法一：如图，取点A 为右焦点F ′，则|FA |＝|FF ′|.由对称性知|FM |＝|F ′N |，所以＝＝＝.|FN |－|FM ||FA ||FN |－|F ′N ||FF ′|2a2c 32法二：由已知得F (－2,0)，如图，设A (m ，0)(m >)，M (x 1，y 1)，N (x 2，3y 2)，则以AF 为直径的圆的方程为(x －m )(x ＋2)＋y 2＝0.由Error!消去y ，得x 2－(m －2)x －2m －1＝0.43所以x 1＋x 2＝(m －2)．34所以＝|FN |－|FM ||FA |23x 2＋3－(－23x 1－3)m ＋2＝＝＝.23x 1＋x 2 ＋23m ＋223·3 m －24＋23m ＋23212．在我们学过的函数中有这样一类函数：“对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数f (x )的定义域内，就有函数值f (a )，f (b )，f (c )也是某个三角形的三边长”．下面四个函数：①f (x )＝(x >0)；②f (x )＝x 2(x >0)；x ③f (x )＝sin x (0<x <π)；④f (x )＝cos x .属于这一类函数的有( )(0<x <π4)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①设0<a ≤b ≤c ，∵a ＋b >c ，∴a ＋b ＋2＞c ，∴(＋)2>c ，∴＋>，ab a b a b c 即f (a )＋f (b )>f (c )，∴f (x )＝(x >0)属于这一类函数；x ②举反例：若a ＝3，b ＝3，c ＝5，则a 2＋b 2<c 2，即f (a )＋f (b )<f (c )，∴f (x )＝x 2(x >0)不属于这一类函数；③举反例：若a ＝，b ＝，c ＝，则sin a ＝sin b ＋sin c ，π25π65π6即f (a )＝f (b )＋f (c )＝＋＝1，1212∴f (x )＝sin x (0<x <π)不属于这一类函数；④设0<a ≤b ≤c <，∴cos a ≥cos b ≥cos c >，π422∴f (b )＋f (c )＝cos b ＋cos c >，而cos a <1，2即f (b )＋f (c )>f (a )，∴f (x )＝cos x 属于这一类函数．(0<x <π4)综上，属于这一类函数的有2个，故选B.B 组——填空题解题技法专练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b －c ＝a cosC ，且4(b ＋c )＝123bc ，a ＝2，则△ABC 的面积S ＝________.3解析：由正弦定理得sin B － sin C ＝sin A cos C ，∵sin B ＝sin(A ＋C )，12∴sin(A ＋C )－sin C ＝sin A cos C ，12即cos A sin C ＝sin C .12又sin C ≠0，∴cos A ＝，12又A 是△ABC 的内角，∴A ＝60°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，∴(b ＋c )2－4(b ＋c )＝12，得b ＋c ＝6，∴bc ＝8，∴S ＝bc sin A ＝×8×＝2.1212323答案：232．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f ′(x )为其导函数，当x >0且x ≠1时，>0，若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为－，则f (1)＝2f x ＋xf ′ x x －145________.解析：因为当x >0且x ≠1时，>0，2f x ＋xf ′ xx －1所以当x >1时，2f (x )＋xf ′(x )>0；当0<x <1时，2f (x )＋xf ′(x )<0.令g (x )＝x 2f (x )，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]，所以当x >1时，g ′(x )>0，函数g (x )＝x 2f (x )单调递增；当0<x <1时，g ′(x )<0，函数g (x )＝x 2f (x )单调递减，所以函数g (x )＝x 2f (x )在x ＝1处取得极值，所以g ′(1)＝2f (1)＋f ′(1)＝0.因为曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为－，45所以f ′(1)＝－，所以f (1)＝×＝.45124525答案：253．已知函数f (x )＝Error!当1<a <2时，关于x 的方程f [f (x )]＝a 实数解的个数为________．解析：当1<a <2时，作出函数f (x )的图象如图所示，令u ＝f (x )，则f (u )＝a ，由f (x )的图象可知，若u 满足u <0，此时f (x )＝u 无解，若u >0，解得<u <<1或2<e<u <e 2，显然，当x <01e 21e 时，不可能使得f (x )＝u 有解，当x >0，<u <<1时，f (x )＝u 有2个解，当x >0,2<e<u <e 21e 21e 时，f (x )＝u 也有2个解．因此f [f (x )]＝a 有4个实数解．答案：44．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与准线交于点M ，且＝3，则||＝________.FM ―→ FP ―→ FP ―→解析：过点P 作PP 1垂直准线于P 1，由＝3，得|PM |＝2|PF |，FM ―→ FP ―→又由抛物线的定义知|PF |＝|PP 1|，所以|PM |＝2|PP 1|.由三角形相似得＝＝，|PP 1|2|OF ||MP ||MF |23所以|PP 1|＝，所以||＝.43FP ―→ 43答案：435．已知函数f (x )＝x ＋3＋mx 3＋nx (m <0，n <0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为－，(12)3116则f (x )在[－1,0]上的最大值为________．解析：令g (x )＝mx 3＋nx (m <0，n <0)，则g ′(x )＝3mx 2＋n ，因为m <0，n <0，所以g ′(x )<0，所以g (x )为减函数．又y ＝x ＋3为减函数，所以f (x )为减函数．当x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (1)(12)＝m ＋n ＋＝－，得m ＋n ＝－2，当x ∈[－1,0]时，f (x )max ＝f (－1)＝－m －n ＋＝.11631161494答案：946．已知向量a ，b ，c 满足|a|＝，|b|＝a·b ＝3，若(c －2a)·(2b －3c)＝0, 则|b －c|2的最大值是________．解析：设a 与b 的夹角为θ，则a·b ＝|a||b|cos θ，∴cos θ＝＝＝，a ·b|a ||b |32×322∵θ∈[0，π]，∴θ＝.π4设＝a ，＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系．OA ―→ OB ―→则A (1,1)，B (3,0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )，∵(c －2a)·(2b －3c)＝0，∴(x －2)(6－3x )＋(y －2)(－3y )＝0.即(x －2)2＋(y －1)2＝1.∵b －c ＝(3－x ，－y )，∴|b －c|＝≤＋1＝＋1，即|b －c|的最大值为 x －3 2＋y 2 3－2 2＋ 0－1 22＋1.2答案：＋127．(2018·开封高三定位考试)已知正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为________．3解析：如图①，在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝2，则BD ＝DC ＝1，AD ＝，在翻折3后所得的几何体中，如图②，AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，则AD ⊥平面BCD ，三棱锥A BCD 的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，球心到截面BCD 的距离d ＝AD ＝.在△BCD 中，BC ＝，则12323由余弦定理，得cos ∠BDC ＝＝＝－，所以∠BDC ＝120°.设球BD 2＋DC 2－BC 22BD ·DC 12＋12－ 3 22×1×112的半径为R ，△BCD 的外接圆半径为r ，则由正弦定理，得2r ＝＝＝2，BCsin ∠BDC3sin 120°解得r ＝1，则球的半径R ＝＝＝，故球的表面积S ＝4πR 2＝4π×2＝d 2＋r 2(32)2＋1272(72)7π.答案：7π8.(2018·湘中名校联考)一块边长为a cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则容器的容积的最大值是________．解析：如图，设AB ＝x ，OF ＝，x2EF ＝(0<x <a )，a2所以EO ＝＝.EF 2－OF 212a 2－x 2所以V (x )＝S 正方形ABCD ·EO ＝x 2＝(0<x <a )．1316a 2－x 216a 2x 4－x 6令y ＝a 2x 4－x 6(0<x <a )，则y ′＝4a 2x 3－6x 5＝2x 3(2a 2－3x 2)．当y ′＝0时，x ＝a .63当y ′<0时，a <x <a ，63当y ′>0时，0<x <a .63所以y ＝a 2x 4－x 6(0<x <a )在上是增函数，(0，63a )在上是减函数，(63a ，a )所以当x ＝a 时，63y max ＝a 2·4－6＝a 6，(63a )(63a )427即V (x )max ＝ ＝a 3.16427a 6327答案：a 33279．已知函数f (x )＝sin 与函数g (x )＝cos 在区间上的图象(πx ＋π4)(πx ＋π4)[－54，74]交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的周长为________．解析：因为函数f (x )＝sin 与函数g (x )＝cos 在区间上的图(πx ＋π4)(πx ＋π4)[－54，74]象交于A ，B ，C 三点，所以由sin ＝cos ，x ∈，解得x ＝－(πx ＋π4)(πx ＋π4)[－54，74]1,0,1，不妨设A ，B ，C ，(－1，－22)(0，22)(1，－22)所以AB ＝＝，AC ＝2，BC ＝＝，－1－0 2＋(－22－22)23 1－0 2＋(－22－22)23所以△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝2＋2.3答案：2＋2310．(2019届高三·昆明调研)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：a 1a 2，a 3a 4，a 5，a 6a 7，a 8，a 9，a 10……记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n ＝2b n －1，则a 56＝________.解析：当n ≥2时，∵S n ＝2b n －1，∴S n －1＝2b n －1－1，∴b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)，∵b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴b n ＝2n －1.设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{c n }，则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1，累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，∴c n ＝＋1，由c n ＝＋1＝56，得n ＝11，∴a 56＝b 11＝210＝1 024.n n －12n n －12答案：1 02411．(2018·郑州第一次质量测试)已知双曲线C ：－＝1的右焦点为F ，过点F 向双x 2a 2y 2b2曲线的一条渐近线作垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2＝，则双曲线的渐MF ―→ FN ―→近线方程为________．解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，F (c,0)，则|MF |＝b ，由2＝，b aMF ―→ FN ―→可得＝，所以|FN |＝2b .|MF ||FN |12在Rt △OMF 中，由勾股定理，得|OM |＝＝a ，|OF |2－|MF |2因为∠MOF ＝∠FON ，所以由角平分线定理可得＝＝，|ON |＝2a ，|OM ||ON ||MF ||FN |12在Rt △OMN中，由|OM |2＋|MN |2＝|ON |2，可得a 2＋(3b )2＝(2a )2,9b 2＝3a 2，即＝，b 2a 213所以＝，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .b a 3333答案：±x3312．已知O 是△ABC 的外心，取∠C ＝45°，若＝m ＋n (m ，n ∈R)，则m ＋n OC ―→ OA ―→ OB ―→的取值范围是________．解析：因为∠C ＝45°，所以∠AOB ＝90°.由已知，不妨设△ABC 的外接圆半径为1，并设＝i ，＝j ，则C (m ，n )，点C 的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆弧OA ―→ OB ―→ 34(不含端点)，如图所示．设m ＋n ＝t ，则直线x ＋y ＝t 与此圆弧有公共点，故－≤t <1，即m ＋n 2的取值范围是[－，1)．2注：也可设m ＝cos θ，n ＝sin θ，则m ＋n ＝sin .因为(π2<θ<2π)2(θ＋π4)3π4<θ＋<，π49π4所以－1≤sin <，所以－≤m ＋n <1.(θ＋π4)222答案：[－，1)213．设点(1,2)在抛物线y ＝ax 2上，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 1是线段AB 的垂直平分线．若直线l 1的斜率为2，则l 1在y 轴上截距的取值范围为________．解析：由点(1,2)在抛物线y ＝ax 2上，得a ＝2，即抛物线方程为y ＝2x 2.设直线l 1在y轴上的截距为t ，依题意得l 1的方程为y ＝2x ＋t .直线l 的方程可设为y ＝－x ＋b ，设A (x 1，12y 1)，B (x 2，y 2)，联立Error!消去y 可得2x 2＋x －b ＝0，则x 1＋x 2＝－，Δ＝＋8b ＞0，121414即b >－.设AB 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝(x 1＋x 2)＝－，y 0＝－x 0＋b ＝＋b .由点P 132121812116在直线l 1上，得＋b ＝－＋t ，于是t ＝＋b >－＝.故l 1在y 轴上截距的取值范11614516516132932围为.(932，＋∞)答案：(932，＋∞)14．(2019届高三·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y －2＝0与椭圆C ：22＋＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c,0)关于直线l ：y ＝x 的对称点E 在椭圆C 上，x 2a 2y 2b 2c b则△OEF 的面积为________．解析：联立Error!消去x ，化简得(a 2＋2b 2)·y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0，得2b 2＋a 2－8＝0.设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E ，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF ，又点F 到直线l 的距离d ＝＝，所以|EF |＝，|F ′E |＝2a －|EF |＝，在Rt △F ′EF 中，c 2c 2＋b 2c 2a2c 2a 2b 2a |F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0，得b 2＝2，a ＝2，所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝S △F ′EF ＝1.12答案：115.(2019届高三·山西四校联考)如图，等边△ABC 的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上移动，M 为AB 的中点，则·的最大值为________．OA ―→ OM ―→解析：设∠OBC ＝θ，因为BC ＝2，所以B (2cos θ，0)，C (0,2sin θ)，则＝(－BC ―→2cos θ，2sin θ)，设＝(x ，y )，因为△ABC 是边长为2的等边三角形，BA ―→所以Error!解得Error!即＝(sin θ－cos θ，cos θ＋sin θ)，BA ―→ 33则＝＋＝(sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ)，OA ―→ OB ―→ BA ―→33因为M 为AB 的中点，所以＝＋＝sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ，OM ―→ OB ―→ 12BA ―→ 32323212所以·＝＋sin 2θ＋＋sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋＝OA ―→ OM ―→ 32312323321252sin(2θ＋φ)＋其中cos φ＝，sin φ＝，75232114714所以·的最大值为＋.OA ―→ OM ―→ 527答案：＋52716．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间上的最大值为3，则3[0，π2](1)m ＝________；(2)对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________．解析：(1)因为f (x )＝2sin ＋1＋m ，(2x ＋π6)当x ∈时，≤2x ＋≤，[0，π2]π6π67π6所以当x ＝时，f (x )取最大值3＋m ，所以m ＝0.π6(2)易知函数f (x )是周期为π的周期函数，由图可知，在每个周期内只有2个零点，而[a，a＋20π]有20个周期，故有40个零点，特别地，当a为零点时，a＋20π也是零点，由此可得，此时可有41个零点．所以填40或41.答案：(1)0 (2)40或41。
2019版高考数学(理科)二轮复习通用版讲义难点自选专题一“选填”压轴小题命题的4大区域含解析
难点自选专题一“选填”压轴小题命题的4大区域[全国卷3年考情分析]命题区域(一) 函数与导数本类压轴题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等．要注意函数y ＝f (x )与方程f (x )＝0以及不等式f (x )>0的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题目的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法．其间要注意导数的应用：利用导数研究可导函数的单调性，求可导函数的极值和最值，以及利用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用．[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a ，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．[技法演示]法一：分段处理，分类讨论记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，则h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，下面分析g (x )的单调性．因为g ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：下面分析f (x )的单调性，注意到f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x ≤a ，h (x )，x >a ，结合前面g (x )与h (x )的单调性，我们可以按下述三种情况讨论：①若a <－1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (a )，由g (x )在(－∞，－1)上单调递增，f (a )＝g (a )<g (－1)＝2，而f (x )在(a ，＋∞)上无最大值，取值范围是(－∞，－2a )，由于－2a >2，此时函数f (x )无最大值，符合题意．②若－1≤a <1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)＝2，且当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a ) ≤h (－1)＝2，则当x ＝－1时，f (x )取得最大值，不符合题意．③若a ≥1，由g (x )的单调性可得，f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)或f (a )，令M ＝max{f (－1)，f (a )}，则有M ≥f (－1)＝2，而当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a )≤h (1)＝－2，则f (x )有最大值M ，不符合题意．综上，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二：整体考虑，正难则反记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，由解法一知h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：由于h (x )在(a ，＋∞)上单调递减，无最大值，若f (x )有最大值，也只可能在x ＝－1或x ＝a 处取得，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，容易求得它们的交点分别是(－1,2)，(0,0)和(1，－2)．注意到g (－1)＝h (－1)＝2，由图象可见，若f (x )在x ＝－1处取得最大值，实数a 的取值范围是[－1,2]，若f (x )在x ＝a 处取得最大值，实数a 的取值范围是[2，＋∞)．综上，若f (x )有最大值，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)，从而，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．法三：平移直线x ＝a ，直接秒杀根据题意，将函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a采用分离的方式，记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时在同一平面直角坐标系中作出函数g (x )与h(x )的图象，将直线x ＝a 在图象中沿着x 轴左右平移，观察直线x ＝a 与函数g (x )，h (x )的图象的交点(曲线点实，直线点虚)变化，如图所示，当直线x ＝a 在直线x ＝－1左边时满足条件“f (x )无最大值”，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)．[答案] (－∞，－1)[系统归纳]“三招”破解分段函数最值问题[应用体验]1．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或8解析：选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2，如图1可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8； 当a <2时，f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，f (x )min＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.[例2] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1) [技法演示]法一：分类讨论，各个击破分类讨论就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究，最后整合获解，其基本思路是化整为零，各个击破．由已知得a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a .当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，f ′(x )>0. 所以函数f (x )在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，且f (0)＝1>0， 故f (x )有小于零的零点，不符合题意． 当a <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，f ′(x )<0； x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，0，f ′(x )>0； x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上单调递增， 所以要使f (x )有唯一的零点x 0，且x 0>0， 只需f ⎝⎛⎭⎫2a >0，即a 2>4，解得a <－2. 法二：数形结合，曲曲与共函数f (x )的零点，亦即函数f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的联结点，因此用图象来揭开函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用而最有效的策略．令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；。
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难点自选专题一“选填”压轴小题命题的4大区域[全国卷3年考情分析]命题区域(一) 函数与导数本类压轴题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等．要注意函数y ＝f (x )与方程f (x )＝0以及不等式f (x )>0的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题目的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法．其间要注意导数的应用：利用导数研究可导函数的单调性，求可导函数的极值和最值，以及利用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用．[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a ，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．[技法演示]法一：分段处理，分类讨论记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，则h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，下面分析g (x )的单调性．因为g ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：下面分析f (x )的单调性，注意到f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x ≤a ，h (x )，x >a ，结合前面g (x )与h (x )的单调性，我们可以按下述三种情况讨论：①若a <－1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (a )，由g (x )在(－∞，－1)上单调递增，f (a )＝g (a )<g (－1)＝2，而f (x )在(a ，＋∞)上无最大值，取值范围是(－∞，－2a )，由于－2a >2，此时函数f (x )无最大值，符合题意．②若－1≤a <1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)＝2，且当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a ) ≤h (－1)＝2，则当x ＝－1时，f (x )取得最大值，不符合题意．③若a ≥1，由g (x )的单调性可得，f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)或f (a )，令M ＝max{f (－1)，f (a )}，则有M ≥f (－1)＝2，而当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a )≤h (1)＝－2，则f (x )有最大值M ，不符合题意．综上，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二：整体考虑，正难则反记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，由解法一知h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：由于h (x )在(a ，＋∞)上单调递减，无最大值，若f (x )有最大值，也只可能在x ＝－1或x ＝a 处取得，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，容易求得它们的交点分别是(－1,2)，(0,0)和(1，－2)．注意到g (－1)＝h (－1)＝2，由图象可见，若f (x )在x ＝－1处取得最大值，实数a 的取值范围是 [－1,2]，若f (x )在x ＝a 处取得最大值，实数a 的取值范围是[2，＋∞)．综上，若f (x )有最大值，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)，从而，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．法三：平移直线x ＝a ，直接秒杀根据题意，将函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a 采用分离的方式，记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时在同一平面直角坐标系中作出函数g (x )与h (x )的图象，将直线x ＝a 在图象中沿着x 轴左右平移，观察直线x ＝a 与函数g (x )，h (x )的图象的交点(曲线点实，直线点虚)变化，如图所示，当直线x ＝a 在直线x ＝－1左边时满足条件“f (x )无最大值”，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)．[答案] (－∞，－1)[系统归纳]“三招”破解分段函数最值问题[应用体验]1．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或8解析：选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a 2，如图1可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.[例2] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1) [技法演示]法一：分类讨论，各个击破分类讨论就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究，最后整合获解，其基本思路是化整为零，各个击破．由已知得a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a .当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，f ′(x )>0. 所以函数f (x )在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，且f (0)＝1>0， 故f (x )有小于零的零点，不符合题意． 当a <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，f ′(x )<0； x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，0，f ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上单调递增， 所以要使f (x )有唯一的零点x 0，且x 0>0， 只需f ⎝⎛⎭⎫2a >0，即a 2>4，解得a <－2. 法二：数形结合，曲曲与共函数f (x )的零点，亦即函数f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的联结点，因此用图象来揭开函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用而最有效的策略．令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图象可知当a <－2时，满足题意．法三：参变分离，演绎高效参变分离法，亦即将原函数中的参变量进行分离，转化成求函数值域问题加以解决．巧用参数分离求解零点问题，既可以回避对参数取值的分类讨论，又形象直观，一目了然．易知x ≠0，令f (x )＝0，则a ＝3x －1x 3，记g (x )＝3x －1x 3，g ′(x )＝－3x 2＋3x 4＝－3(x 2－1)x 4，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.[答案] B[系统归纳]“三招”破解含参零点问题[应用体验]2．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |(x ∈R)．若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：画出函数f (x )＝|x 2＋3x |的大致图象，如图，令g (x )＝a |x －1|，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有且仅有4个不同的交点，显然a >0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )消去y ，得x 2＋(3－a )x ＋a＝0，由Δ>0，解得a <1或a >9；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (1－x)消去y ，得x 2＋(3＋a )x －a ＝0，由Δ>0，解得a >－1或a <－9.综上，实数a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 法二：易知a >0，且x ＝1不是方程的根．故有a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1＝x －1＋4x －1＋5. 设h (x )＝⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5，则问题等价于曲线y ＝h (x )与直线y ＝a 有4个不同交点．作出图象如图所示． 显然y ＝9，y ＝1是y ＝h (x )的两条切线，此时都只有3个交点．于是，结合图形知，当0<a<1或a>9时，直线y＝a与曲线y＝h(x)均有4个交点．所以a的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)．答案：(0,1)∪(9，＋∞)[例3]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)[技法演示]法一：构造抽象函数法观察xf′(x)－f(x)<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，设F(x)＝f(x)x.因为f(x)是奇函数，故F(x)是偶函数，F′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，易知当x>0时，F′(x)<0，所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(－1)＝0，则f(1)＝0，于是F(－1)＝F(1)＝0，f(x)＝xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x与F(x)的符号相同的区间，易知当x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)>0，故选A.法二：构造具体函数法题目中没有给出具体的函数，但可以根据已知条件构造一个具体函数，越简单越好，因此考虑简单的多项式函数．设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)能被x2－1整除．因此可取f(x)＝x－x3，检验知f(x)满足题设条件．解不等式f(x)>0，得x∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.[答案] A[系统归纳]1．利用和差函数求导法则构造函数(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx.2．利用积商函数求导法则构造函数(1)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；(2)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)(g(x)≠0)；(3)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；(4)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x(x ≠0)； (5)对于不等式xf ′(x )－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n (x ≠0)； (6)对于不等式f ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e x f (x )； (7)对于不等式f ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e x .[应用体验]3．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 019为奇函数，则不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1e D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ 解析：选B 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，所以g (x )是R 上的减函数，由于f (x )＋2 019为奇函数，所以f (0)＝－2 019，g (0)＝－2 019，因为f (x )＋2 019e x <0⇔f (x )e x <－2 019，即g (x )<g (0)，结合函数的单调性可知不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是(0，＋∞)，故选B.命题区域(二) 三角函数、平面向量本类压轴题主要考查三角恒等变换与三角函数、解三角形相结合的综合问题．其中三角函数的图象与性质、三角形的面积问题是重点考查内容；平面向量主要考查与解析几何、函数、不等式等相结合的有关数量积问题．解决此类问题的关键是转化与化归思想的灵活运用．[例1] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 [技法演示]法一：综合法由f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，得－π4ω＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝k π＋π4ω， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋k π＋π4ω ＝⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ，－sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ＋1，(n ∈Z )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π4ω＝sin π2ω＝±1， 可知ω为正奇数(ω>0)．由⎩⎨⎧－π2<k π＋π4ω<π2，2πω≥2⎝⎛⎭⎫5π36－π18得⎩⎪⎨⎪⎧－2－4k <ω<2－4k ，ω≤12. 又由于ω>0，所以k 只能取0，－1，－2，－3. 当k ＝0时，ω∈(－2,2)；当k ＝－1时，ω∈(2,6)； 当k ＝－2时，ω∈(6,10)；当k ＝－3时，ω∈(10,14)． 因为ω是正奇数(不超过12)，所以ω∈{1,3,5,7,9,11}．当ω＝11时，x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝11x ＋11π4∈⎝⎛⎭⎫121π36，154π36，里面含有7π2，则f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不可能单调，不符合题意．当ω＝9时，x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝9x ＋9π4∈⎝⎛⎭⎫99π36，126π36，里面不含2n ＋12π(n ∈Z)中的任何一个，即f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，符合题意．综上，ω的最大值为9.故选B. 法二：分类讨论 由题意5π36－π18≤T 2⇒T ≥π6， 即2πω≥π6⇒0<ω≤12.①又由题意可得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k π，π4ω＋φ＝π2＋n π，(n ，k ∈Z )，所以φ＝π4＋k ＋n2π(n ，k ∈Z )．又|φ|≤π2，所以－32≤k ＋n ≤12.(1)当k ＋n ＝0时，φ＝π4，ω＝1－4k .②由①②可得，当k ＝－2时，ω＝9，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝－1时，ω＝5，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝0时，ω＝1，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； (2)当k ＋n ＝－1时，φ＝－π4，ω＝－1－4k .③由①③可得，当k ＝－1时，ω＝3，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； 当k ＝－2时，ω＝7，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，舍去； 当k ＝－3时，ω＝11，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，舍去． 综上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所有可能值． [答案] B[系统归纳]三角函数图象与性质问题的解题策略(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象的单调性、对称性、周期、零点等问题中涉及的结论：①若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两条对称轴x ＝a ，x ＝b ，则有|a －b |＝T 2＋kT2(k∈Z)；②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两个对称中心M (a,0)，N (b,0)，则有|a －b |＝T2＋kT2(k ∈Z)； ③若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有一条对称轴x ＝a ，一个对称中心M (b,0)，则有|a －b |＝T 4＋kT2(k ∈Z)．(2)研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．解法一尝试正面求解ω的可能值，但因单调区间的条件不好使用，仍然采取代入验证的方法解决．[应用体验]1．若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：法一：导数法对f (x )＝cos 2x ＋a sin x 求导，得f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ．因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，所以f ′(x )≤0在⎝⎛⎭⎫π6，π2上恒成立，即a cos x ≤2sin 2x ＝4sin x cos x ，而cos x >0，所以a ≤4sin x ．在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上，12<sin x <1，于是a ≤2. 法二：图象法f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －a 42＋a28＋1，设t ＝sin x ，由x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，知t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.要使g (t )＝－2⎝⎛⎭⎫t －a 42＋a 28＋1在⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，只要a 4≤12即可，所以a ∈(－∞，2]．答案：(－∞，2][例2] 已知a a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．[技法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(2＋b )(a －b )＝c (c －b )， 将a ＝2代入整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故A ＝π3，则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc .而b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －a 2⇒bc ≤4， 所以S ＝34bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝2时取到等号， 故△ABC 的面积的最大值为 3.法二：正、余弦定理与数形结合由法一得A ＝π3，可知△ABC 的边a ＝2为定长，A ＝π3为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A 在圆周上的运动轨迹为优弧BC (不包括两个端点B ，C )，易知当点A 位于优弧中点时，此时△ABC 的面积最大，由于A ＝π3，则此时的△ABC 是等边三角形，面积为 3.法三：正、余弦函数的有界性 由法一知A ＝π3，则由正弦定理得，b ＝a sin A ·sin B ＝433sin B ，c ＝433sin C ， 则S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc＝433sin B ·sin C ＝433·12[cos(B －C )－cos(B ＋C )] ＝233cos(B －C )＋12≤233·⎝⎛⎭⎫1＋12＝3， 当且仅当cos(B －C )＝1，即B ＝C 时，△ABC 的面积取得最大值 3. 法四：函数思想 由法三得S △ABC ＝433sin B ·sin C ＝433sin B ·sin 2π3－B ， 令g (B )＝sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin B 32cos B ＋12sin B ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋14. 由0<B <2π3，易得g (B )max ＝34，当且仅当B ＝π3时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为 3. [答案]3[系统归纳]三角形面积最值问题的解题策略(1)借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；(2)结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速；(3)利用结论：已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝m (m >0)，且∠A ＝θ，θ∈(0，π)，则△ABC 的面积的最大值是m 24tanθ2，当且仅当另外两个角相等时取等号．[应用体验]2．(2018·潍坊统一考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为tan A tan B ＝2c －bb ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin Bcos B ，由正弦定理得sin B sin A cos B ＝(2sin C －sin B )sin B cos A ， 又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32，设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A ＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.答案：334[例3] ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．[技法演示]法一：基底法选取{AB ―→，BC ―→}为一组基底，由题意易求DC ＝1，|AB ―→|＝2，|BC ―→|＝1，AB ―→·BC ―→＝2×1×cos 120°＝－1，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→－12⎝⎛⎭⎫1－19λAB ―→＝12⎝⎛⎭⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→. 于是AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·12⎝⎛⎭⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→＝12⎝⎛⎭⎫1＋19λ×4－1－λ2⎝⎛⎭⎫1＋19λ＋λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918(λ>0)，当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.法二：坐标法以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， 所以DC ＝1，即B (2,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，C ⎝⎛⎭⎫32，32. 因为BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，所以E ⎝⎛⎭⎫2－λ2，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫2－λ2，32λ，AF ―→＝⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32.所以AE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎫2－λ2⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋219＝2918. 当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.[答案]2918[系统归纳]向量数量积问题的解题策略[应用体验]3．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ―→·CB ―→＝________；DE ―→·DC ―→的最大值为________．解析：法一：如图，以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则E (t,0)，t ∈[0,1]，DE ―→＝(t ，－1)，CB ―→＝(0，－1)，所以DE ―→·CB ―→＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC ―→＝(1,0)，所以DE ―→·DC ―→＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE ―→·DC ―→ 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE ―→在CB ―→方向上的投影都是|CB ―→|＝1，所以DE ―→·CB ―→＝|CB ―→|·1＝1，当点E 运动到B 点时，DE ―→在DC ―→方向上的投影最大即为|DC ―→|＝1，所以(DE ―→·DC ―→)max ＝|DC ―→|·1＝1.答案：1 1命题区域(三) 立体几何此类压轴题主要考查以立体几何为背景的新颖问题．以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题、与函数图象相结合问题、最值问题、探索性问题等．(1)对探索、开放、存在型问题的考查：探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何中．(2)对折叠、展开问题的考查：图形的折叠与展开问题(三视图问题可看作是特殊的图形变换)蕴涵了“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辨，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立体几何中的重要题型．[例1] 11111D 1，平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∩平面ABB 1A 1＝n ，则直线m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22C.33D.13[技法演示]法一：割补法我们先尝试把m ，n 这两条直线都作出来，易知这个平面α一定在正方体外，所以要往上补形，如图所示，过点A 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上方补作一个与正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体ABCD -A 2B 2C 2D 2，可证平面AB 2D 2就是平面α，n 就是AB 2.因为平面ABCD ∥平面A 2B 2C 2D 2，所以B 2D 2∥m ，说明m 应该是经过点A 且在平面ABCD 内与B 2D 2平行的直线，则直线m ，n 所成的角就是∠AB 2D 2，因为△AB 2D 2为等边三角形，所以 sin ∠AB 2D 2＝sin π3＝32，故选A.法二：平移法1事实上对法一可进行适当简化，无须补形也可以．设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m ′，因为平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∥平面CB 1D 1，所以m ∥m ′.又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥m ′，所以B 1D 1∥m .同理可得CD 1∥n ，故直线m ，n 所成角即为直线B 1D 1，CD 1所成的角∠CD 1B 1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C ＝B 1D 1＝CD 1，所以∠CD 1B 1＝π3，所以sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.法三：平移法2与法二类似，我们尝试在正方体内部构造一个平面与平面α平行，也即与平面CB 1D 1平行．如图所示，让点A 在平面ABCD 内运动，不妨让点A 在对角线AC 上运动，易知平面BA 1D 与平面CB 1D 1平行，则直线m ，n 所成的角就是∠DBA 1，其正弦值为32，故选A. [答案] A[系统归纳]异面直线所成角问题的解题策略平移化归是关键：求异面直线所成角，关键是将两条异面的直线平移到相交状态，作出等价的平面角，再解三角形即可，常规步骤是“一作二证三计算”，而第一步最为关键，平移谁，怎么平移都要视题目条件而定.[应用体验]1．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥底面ABC ，G 为△ABC 的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为________．解析：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，取BC 的中点E ，连接AE ，重心G 为AE 的三等分点，AE ＝AB 2－BE 2＝3，AG ＝2，由于AD ⊥底面ABC ，直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，所以tan ∠DGA ＝DA AG ＝12，DA ＝1，在等腰△ABC 中，cos ∠ACB ＝52＋82－522×5×8＝45，sin ∠ACB ＝35，所以△ABC 的外接圆直径2r ＝AB sin C ＝535＝253，r ＝256，设 △ABC 的外接圆圆心为O 1，四面体ABCD 的球心为O ，在Rt △AOO 1中，R 2＝OA 2＝AO 21＋⎝⎛⎭⎫AD 22＝⎝⎛⎭⎫2562＋⎝⎛⎭⎫122＝63436，球的表面积为S ＝4πR 2＝6349π. 答案：6349π[例2] 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P -BCD 的体积的最大值是________．[技法演示]法一：平面几何法由题意可知四面体P -BCD 的体积最大时，应有平面PBD ⊥平面BCD .如图，过点P 作PF ⊥BD ，垂足为F ，则PF ⊥平面BCD ，则V P -BCD ＝13S △BCD ·PF .由翻折过程可知AF ＝PF ，则V P -BCD ＝13S △BCD ·AF ，这样就将空间问题转化为△ABC 内的问题．等腰△ABC 的底边AC 边上的高h ＝AB ·sin 30°＝1，V P -BCD＝13×12×DC ×h ×AF ＝16DC ·AF . DC 与AF 不在同一个三角形中，用哪个变量能表示两者呢？注意到当点D 在AC 上运动时，∠ADB 也是在变化的，因此可以取∠ADB 为自变量，产生下面的解法．如图，因为S △ABD ＝12BD ·AF ＝12AD ·h ，则AF ＝AD BD ，得V P -BCD ＝16DC ·AD BD .设∠ADB ＝α，由正弦定理得AD DB＝2sin(150°－α)，DC ＝2sin (α－30°)sin α，则V P -BCD ＝23×sin (150°－α)sin (α－30°)sin α＝－cos 2α＋cos 120°3sin α＝23⎝⎛⎭⎫sin α－14sin α，易知函数f (x )＝x －14x 在区间(0,1]上单调递增，于是V P -BCD ≤23⎝⎛⎭⎫1－14＝12. 法二：构造法换个角度看问题，我们把△ABC “立起来”，如图，设BO ⊥平面ACP ，考虑以B 为顶点，△ACP 的外接圆⊙O 为底面的圆锥，易得AC ＝23，则OB ＝BA 2－OA 2≤4－⎝⎛⎭⎫12AC 2＝1.设∠PDA ＝θ，θ∈(0，π)，AD ＝x (0<x <23)，则S △PCD ＝12x ·(23－x )sin θ≤12x ·(23－x )≤12⎝⎛⎭⎫2322＝32，所以四面体P -BCD 的体积V P -BCD ＝13·S △PCD ·OB ≤12，当且仅当OA ＝12AC ＝3，且θ＝π2时取等号(此时D 点与圆心O 重合，PD 垂直平分AC ，进而可得BD ⊥PD )．法三：解析法由于△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，故建系非常方便．如图，取AC 的中点O 为原点，以AC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－3，0)，B (0，－1)，C (3，0)，设D (t,0)，t ∈ (－3，3)，易知直线BD 的方程为x －ty －t ＝0，则点A 到直线BD的距离AF ＝3＋t1＋t 2，又DC ＝3－t ，于是V P -BCD ＝16DC ·AF ＝16·3－t 21＋t 2，令f (t )＝16·3－t21＋t 2＝1641＋t 2－1＋t 2，t 2∈[0,3)，易知该函数在[0,3)上单调递减，故V P -BCD≤f (0)＝12，此时D 在原点．[答案]12[系统归纳]空间最值问题的解题关键(1)要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，如本题一定要分析出“当四面体P -BCD 的体积取最大值时，必有平面PBD ⊥平面BCD ”，要判断出△PBD 与△ABD 是翻折关系(全等)，这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；(2)转化后的运算：因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式，甚至导数都是可以考虑使用的工具．[应用体验]2．表面积为60π的球面上有四点S ，A ，B ，C 且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S -ABC 体积的最大值为________．解析：因为球的表面积为60π，所以球的半径为15，设△ABC 的中心为D ，则OD ＝3，所以DA ＝23，则AB ＝6，棱锥S -ABC 的底面积S ＝34×62＝93为定值，欲使其体积最大，应有S 到平面ABC 的距离取最大值，又平面SAB ⊥平面ABC ，所以S 在平面ABC 上的射影落在直线AB 上，而SO ＝15，点D 到直线AB 的距离为3，则S 到平面ABC 的距离的最大值为33，所以V ＝13×93×33＝27.答案：27命题区域(四) 解析几何本类压轴题主要考查圆锥曲线的几何性质、特定字母的取值范围以及圆锥曲线中的最值问题．圆锥曲线的几何性质是高考考查圆锥曲线的重点内容之一．在选择、填空题中主要考查椭圆和双曲线的离心率、参数的值(范围)、双曲线的渐近线方程以及抛物线的焦点弦．圆锥曲线中的弦长是直线与圆锥曲线相交时产生的，面积也以弦长的计算为基础，高考重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，它是命制压轴题时的一个重要命题方向．[例1] 已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则双曲线E 的离心率为( )A.2B.32C. 3D ．2 [技法演示]法一：定义法因为△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1|＝|MF 2|sin ∠MF 2F 1＝13|MF 2|，即|MF 2|＝3|MF 1|.①由双曲线的定义可知|MF 2|－|MF 1|＝2a .② 由①和②可求得|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a .在Rt △MF 1F 2中，由勾股定理得|MF 2|2－|MF 1|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2－a 2＝(2c )2，化简得2a 2＝c 2，即⎝⎛⎭⎫c a 2＝2，从而可知e ＝ 2.故选A.法二：利用正弦定理在Rt △MF 1F 2中，sin ∠F 1MF 2＝sin(90°－∠MF 2F 1)＝cos ∠MF 2F 1＝223，sin ∠MF 1F 2＝1.由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A.法三：利用直角三角形的三角函数 设点M (－c ，y 0)，则(－c )2a 2－y 20b 2＝1，由此解得y 20＝|MF 1|2＝b2⎝⎛⎭⎫c 2－a 2a 2＝(c 2－a 2)2a 2.∵△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，∴cos ∠MF 2F 1＝223，tan ∠MF 2F 1＝24， 从而可得|MF 1||F 1F 2|＝24⇒|MF 1|2|F 1F 2|2＝18⇒|F 1F 2|2|MF 1|2＝4c 2y 20＝8，即4c 2(c 2－a 2)2a 2＝8，化简整理得2c 4－5a 2c 2＋2a 4＝0， 两边同除以a 4，得2⎝⎛⎭⎫c a 4－5⎝⎛⎭⎫c a 2＋2＝0，即⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫c a 2－1 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫c a 2－2＝0， ∵ca >1，∴⎝⎛⎭⎫c a 2＝2，即e ＝ 2. [答案] A[系统归纳]圆锥曲线离心率问题的求解策略(1)双曲线(椭圆)的定义可直接建立“焦点三角形”的两边关系．用好这一隐含条件，可为三角形的求解省下不少功夫．法二便充分利用了双曲线的定义将离心率e 写成|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，转化为“焦点三角形”的三边关系，从而利用正弦定理再转化到已知的角上去．(2)在求解圆锥曲线(主要指的是椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量 关系式．[应用体验]1．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2＝8ax 的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA ⊥FP ，则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎦⎤1，324 C ．(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫324，＋∞ 解析：选B 双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (a,0)，抛物线C ：y 2＝8ax的焦点为F (2a,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，可设P ⎝⎛⎭⎫m ，b a m ，则有AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m －a ，b a m ，FP ―→＝⎝⎛⎭⎫m －2a ，b a m ，由PA ⊥FP ，得AP ―→·FP ―→＝0，即(m －a )(m －2a )＋b 2a 2m 2＝0，整理得⎝⎛⎭⎫1＋b 2a 2m 2－3ma ＋2a 2＝0，由题意可得Δ＝9a 2－41＋b2a 2·2a 2≥0，即a 2≥8b 2＝8(c 2－a 2)，即8c 2≤9a 2，则e ＝c a ≤324.又e >1，所以1<e ≤324.[例2] 设A ，B 是椭圆C ：x 3＋y m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)[技法演示]法一：几何性质法如图，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，设M (x ，y )． 根据椭圆的对称性，不妨令y >0， 设∠AMN ＝α，∠BMN ＝β， 则tan α＝x ＋a y ，tan β＝a －xy . 又点M 在椭圆上，所以x 2＝a 2－a 2y 2b2.则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝x ＋a y ＋a －x y 1－a 2－x 2y 2＝2a y x 2＋y 2－a 2y 2＝2ayx 2＋y 2－a2＝2aya 2－a 2b2y 2＋y 2－a2＝2ab 2－c 2y. 又y ∈[－b ，b ]，所以当y ＝b 时，α＋β取最大值，即M 为椭圆短轴顶点P 时，∠APB 最大．由此，我们可以得到本题的如下解法．先考虑椭圆的焦点在x 轴上的情况，则0<m <3.设椭圆一个短轴的顶点为P ，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则∠APB ≥∠AMB ，即∠APB ≥120°，所以∠APO ≥60°.而tan ∠APO ＝3m ，所以3m≥3，解得0<m ≤1. 同理：当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 法二：二级结论法椭圆上任意一点与椭圆长轴的两个端点连线的斜率之积为定值－b 2a2.这一结论不难证明：设M (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点，A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，则k MA ·k MB ＝y x ＋a ·y x －a ＝y 2x 2－a2.因为点M 在椭圆上，所以y 2＝b 2a 2(a 2－x 2)，从而k MA ·k MB ＝b 2a 2(a 2－x 2)x 2－a 2＝－b 2a 2.由此可以得到本题的如下解法．当0<m <3时，椭圆的焦点在x 轴上，如图，设∠MAB ＝α， ∠MBx ＝β，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m3，k 1＝tan α，k 2＝tan β.因为∠AMB ＝120°，由三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和， 所以tan(β－α)＝tan 120°＝－ 3. 根据两角差的正切公式tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β，可得tan β－tan α＝－3⎝⎛⎭⎫1－m3， 即k 2－k 1＝33m － 3.结合k 1·k 2＝－m 3，将两式变形为k 2＋(－k 1)＝33m －3，k 2·(－k 1)＝m 3，故可将k 2，－k 1看作是关于t 的方程t 2－⎝⎛⎭⎫33m －3t ＋m 3＝0的两个根，则Δ＝⎝⎛⎭⎫33m －32－4·m 3＝13(m 2－10m ＋9)≥0，所以m 2－10m ＋9≥0，解得m ≤1或m ≥9(舍去)，所以0<m ≤1.同理可得当焦点在y 轴上时，m ≥9.综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法三：向量法当椭圆的焦点在x 轴上时，设A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，M (x ，y )，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m 3.又AM ―→＝(x ＋3，y )，BM ―→＝(x －3，y )，此时如果直接应用数量积进行计算，显然计算量较大，这里我们可以考虑利用直线的方向向量来简化运算．分别取与AM ―→，BM ―→相同方向的向量n 1＝(1，k 1)，n 2＝(1，k 2)．又∠AMB ＝120°，所以向量n 1，n 2的夹角为60°，由向量的数量积公式可得，cos 60°＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋k 1k 21＋k 21·1＋k 22＝1＋k 1k 21＋k 21k 22＋k 21＋k 22， 即12＝1－m 31＋m 29＋(k 21＋k 22).由k 1·k 2＝－m 3<0，结合均值不等式a 2＋b 2≥2ab ，可得k 21＋k 22＝k 21＋(－k 2)2≥2k 1·(－k 2)＝23m ， 所以1－m 31＋m 29＋(k 21＋k 22)≤1－m 31＋m 29＋23m，即12≤1－m3⎝⎛⎭⎫m 3＋12，所以12⎝⎛⎭⎫m 3＋1≤1－m 3，解得m ≤1. 又0<m <3，所以0<m ≤1.当焦点在y 轴上时，此时k 1·k 2＝－3m <0. 同理，12＝1－3m1＋9m2＋(k 21＋k 22)≤1－3m 1＋9m2＋6m ，即12⎝⎛⎭⎫3m ＋1≤1－3m ，解得m ≥9. 综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[系统归纳]圆锥曲线中特定字母的值(范围)问题的解题策略[应用体验]2．若过点M (2,0)的直线与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两点，|AB |＝253，设P 为椭圆上一点，且满足OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→(O 为坐标原点)，则实数t 的值为( )A ．±33B ．±263C ．±523D ．±325解析：选B 由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)． 显然，当k ＝0时，|AB |＝22，与已知不符，∴k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1消去y ， 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，则Δ＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝8－16k 2>0， x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1·x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵|AB |＝253，∴ 1＋k 2|x 1－x 2|＝253，即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＝0，解得k 2＝14.又OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，即(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，且k ≠0，t ≠0， ∴x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆上，∴(8k 2)2t 2(1＋2k 2)2＋2×(－4k )2t 2(1＋2k 2)2＝2，又k 2＝14，解得t ＝±263.[例3] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ―→·OB ―→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10 [技法演示]法一：利用基本不等式依题意，不妨设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1>0，y 2<0.由OA ―→·OB ―→＝2，得x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，由此解得y 1y 2＝－2，△ABO 与△AFO 面积之和等于12|x 1y 2－x 2y 1|＋12×14y 1＝12|y 21y 2－y 22y 1|＋18y 1＝12×2(y 1－y 2)＋18y 1＝98y 1＋(－y 2)≥2－98y 1y 2＝3，当且仅当 98y 1＝－y 2＝32时取等号，因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B. 该方法中用到这样一个公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则S △AOB ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，证明如下：设∠AOB ＝θ，则S △AOB ＝12|OA ―→|·|OB ―→|sin θ＝12(|OA ―→|·|OB ―→|)2－(|OA ―→|·|OB ―→|cos θ)2＝12 (|OA ―→|·|OB ―→|)2－(OA ―→·OB ―→)2＝12 (x 21＋y 21)(x 22＋y 22)－(x 1x 2＋y 1y 2)2＝12(x 1y 2－x 2y 1)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|.法二：双根法设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1y 2<0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝x 得y 2－ty －m ＝0，y 1y 2＝－m ，又OA ―→·OB ―→＝2，因此x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.又y 1y 2＝－m <0，因此y 1y 2＝－m ＝－2，m ＝2，直线AB ：x ＝ty ＋2过定点(2,0)，S △ABO ＝12×2×|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1，S △AFO ＝12×14|y 1|＝18|y 1|，S △ABO ＋S △AFO ＝⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1＋18|y 1|＝98|y 1|＋⎪⎪⎪⎪2y 1≥298|y 1|×⎪⎪⎪⎪2y 1＝3，当且仅当98|y 1|＝⎪⎪⎪⎪2y 1，即|y 1|＝43时取等号， 因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B.[答案] B[系统归纳]圆锥曲线中与面积相关问题的解题规律(1)三角形面积的向量公式：若AB ―→＝(x 1，y 1)，AC ―→＝(x 2，y 2)，则S △ABC ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，用此公式便于建立目标函数求最值；(2)直线方程的选择：对于不同的直线方程，其中所含的参数意义不同，形成不同的解题长度．为了消元、计算的方便，可将经过定点(m,0)的动直线设为x ＝ty ＋m 的形式，避免了对斜率存在性的讨论．如本题法二．[应用体验]3．已知椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1，O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且|OM |＝1，则△AOB 面积的最大值为________．解析：设直线l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1，整理得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0.① 所以y 1＋y 2＝－2mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2，x 1＋x 2＝8n 4＋m 2.由中点坐标公式可知x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，即M ⎝⎛⎭⎫4n 4＋m 2，－mn4＋m 2.因为|OM |＝1，所以n 2＝(4＋m 2)216＋m 2.②设直线l 与x 轴的交点为D (n,0)，则△AOB 的面积S ＝12|OD ||y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|.S 2＝14n 2(y 1－y 2)2＝48(4＋m 2)(m 2＋16)2，设t ＝m 2＋4(t ≥4)， 则S 2＝48×t t 2＋24t ＋144＝48t ＋144t ＋24≤482t ·144t＋24＝1，当且仅当t ＝144t ，即t ＝12时，等号成立，此时m 2＝8，n 2＝6， 即S 2取得最大值1.故△AOB 的面积的最大值为1. 答案：1[专题过关检测]A 组——选择压轴小题命题点专练1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15 B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55， 即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.2．(2019届高三·广州调研)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个。