高三下学期第三次统测数学(文)试题(解析版)

高中毕业班第三次统一检测文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3．考试结束.监考人员将试卷、答题卷一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =≤，则A B =I （ ）A. {|2}x x ≥-B. {|12}x x <<C. {|12}x x <≤D. {|2}x x ≥【答案】C【解析】【分析】解不等式24x ≤，化简B 的表示方法，利用集合交集的定义求出A B I .【详解】解：∵集合{|1}A x x =>， 2{|4}{|22}B x x x x =≤=-≤≤，∴{|12}A B x x =<≤I .故选C ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力. 2.已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则m 的值为（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2- 【答案】A【解析】【分析】先化简已知的等式，再利用两个复数相等的条件，解方程组求得x 的值．【详解】∵()()2243,m i i i +-=+∴()2m 2443m i i ++-=+，∴22443m m +=⎧⎨-=⎩，即m 1= 故选A【点睛】本题考查两个复数的乘法法则的应用，以及两个复数相等的条件，基本知识的考查． 3.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A. 16B. 2524C. 34D. 1112【答案】D【解析】【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n 8=时，不再运行循环体，直接输出S 值．【详解】模拟程序图框的运行过程，得S=0,n=2,n<8满足条件，进入循环： S=1,4,2n =满足条件，进入循环： 11,6,24s n =+=进入循环： 111,8,246s n =++=不满足判断框的条件，进而输出s 值， 该程序运行后输出的是计算：11111S 24612=++=． 故选D ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．根据程序框图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．4.若x ，y 满足约束条件220210320x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A. [2,2]-B. (,2]-∞C. [1,2]-D. [2,)-+∞【答案】A【解析】【分析】画出可行解域，平移直线y x z =-，找到在纵轴上截距最大、最小时经过的点，这样可以求出z 的最大值和最小值，也就求出z 的取值范围. 【详解】解：x ，y 满足约束条件220210320x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域，如图所示：其中(0,2)A ，(1,1)B -，由图易得目标函数在(1,1)-处，取最大值2，在(0,2)处，取得最小值为-2，∴目标函数z x y =-的取值范围是[2,2]-.故选A ．【点睛】本题考查了求线性目标函数最值问题，画出正确的可行解域，利用数形结合是解题的关键.5.已知函数()(),021,0x x m e mx x f x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩，若()()()F x f x f x =-+，则（ ）A. ()F x 是奇函数B. ()F x 是偶函数C. ()F x 是非奇非偶函数D. ()F x 的奇偶性与m 有关【答案】B【解析】【分析】 先分析函数的定义域，进而可得()()()()F x f x f x F x -=+-=，结合函数奇偶性的定义即可得出答案.【详解】根据题意，函数()(),021,0x x me mx xf x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩的定义域为R ，因为()()()F x f x f x =-+，所以()()()()F x f x f x F x -=+-=.即函数()F x 为偶函数.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，涉及分段函数的解析式形式，属于基础题.6.已知椭圆C ：()222124x y a a +=>，直线:2l y x =-过C 的一个焦点，则C 的离心率为（） A. 12 B. 13C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】直线:2l y x =-过C 的一个焦点，得2c =，利用椭圆的性质求出a ，解出离心率即可．【详解】椭圆C ：()222124x y a a +=>，直线:2l y x =-过椭圆C 的一个焦点，可得2c =，则a ==，所以椭圆的离心率为：2c e a ===．故选C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）2 B. 32C. 3πD. 43π【答案】B【解析】【分析】直接利用三视图转换为几何体，可知该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．进一步求出几何体的外接球半径，最后求出球的体积．【详解】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的． 故：该几何体的外接球为正方体的外接球， 所以：球的半径22211132r ++== 则：34333V ππ=⋅⋅=⎝⎭. 故选B ．【点睛】本题考查了三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查数学运算能力和转换能力. 8.21sin 422cos 4++=（ ）A. 2cos2B. 2sin 2C. 4sin22cos2+D. 2sin24cos2+ 【答案】B【解析】【分析】将1拆解为22sin 2cos 2+，4cos 和sin4利用二倍角公式拆开，使得根号下的式子变成完全平方的形式，再根据符号整理. 【详解】()2221sin 4sin 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2+=++=+=+()()2222cos 421cos 4212cos 214cos 22cos 2+=+=+-==-21sin 422cos 42sin 22cos 22cos 22sin 2∴+++=+-=本题正确选项：B【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数关系，易错点在于开完全平方时，要注意符号.9.相关变量,x y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（ ）A. 1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<<【答案】D【解析】【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.【详解】由散点图得负相关，所以12,0r r <，因为剔除点()10,21后，剩下点数据更具有线性相关性，r 更接近1，所以2110r r -<<<.选D.【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.10.设23451111log log log log a ππππ=+++，y x a =-，x ∈N ，当y 取最小值时的x 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】【分析】23451111log log log log a ππππ=+++，利用对数运算性质可得log 120a π=，根据497.41π≈，5306.02π≈．即可得出结论． 【详解】解：23451111log log log log a ππππ=+++log 2log 3log 4log 5log 120πππππ=+++=， ∵481π≈，5243π≈.45a a ∴-<- ∴y x a =-，x ∈N ，当y 取最小值时的x 的值为4．故选C ．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力.11.已知双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点为A ，右焦点为F ，O 是坐标系原点，过A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M ，N 两点，若四边形OMFN 是菱形，则C 的离心率为（ ）A. 2D. 12【答案】A【解析】【分析】求出,A F 的坐标，根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得2c a =，进而求出双曲线的离心率. 【详解】解：双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点为(,0)A a ，右焦点为(c,0)F ，O 是坐标系原点，过A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M ，N 两点，若四边形OMFN 是菱形，可得2c a =，可得2e =．故选A ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，利用平面几何的性质是解题的关键.12.已知函数()()3sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()23f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()f x 在,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ） A. 274 B. 214 C. 154 D. 94【答案】C【解析】【分析】 先根据函数的关系式求出4πϕ=，进一步利用函数的单调区间建立不等式组，最后解不等式组求出结果.【详解】Q 函数()()3sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴3sin 033f πωπϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴3k ωπϕπ-+=，()k Z ∈①又Q ()23f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴函数()f x 的图象关于直线3x π=对称. ∴32k ωππϕπ+=+，()k Z ∈② 由①②得，4k πϕπ=+，()k Z ∈ 由于02πϕ<<， 所以4πϕ=，即()3sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 当函数为单调减函数时，322242k x k ππππωπ+≤+≤+，()k Z ∈ 整理得，25244k k x ππππωωωω+≤≤+，()k Z ∈因为函数()f x 在,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，当0k =时， 满足412544ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤≤，()k Z ∈ 只有选项C 在35ω≤≤得范围内.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数性质的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知两个单位向量,a b r r 的夹角为120︒，则|2|-r r a b 的值为__________．【解析】【分析】 对2a b -r r 平方，然后利用向量数量积的运算公式进行计算，最后开方得到结果. 【详解】依题意22212445472a b a a b b -=-⋅+=+⨯=v v v v v v，所以2a b -=v v . 【点睛】本小题考查向量数量积的运算，考查向量模的运算的处理技巧.有关向量模的运算，往往是平方后利用数量积的运算公式进行计算，最后开方得到结果.14.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AC 与面11BB C C 所成的角为30︒，则1AA 的长度为________.【解析】分析】由AB ⊥平面11BB C C ，1AC 与面11BB C C 所成的角为30︒，得出130AC B ∠=︒，进而得出122AC AB ==，并利用勾股定理求出最后结果.【详解】如下图所示，根据题意，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AC 与面11BB C C 所成的角为30︒,Q AB ⊥平面11BB C C ，∴1AC B ∠是1AC 与平面11BB C C 所成角，∴130AC B ∠=︒.∴122AC AB ==. ∴2211422AA AC AC =-=-=.故答案为：2.【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，运算能力，属于中档题.15.在ABC V 中内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且22243a b c S +-=，则C 的值为________.【答案】6π 【解析】【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理建立方程进行求解即可.【详解】根据题意得，in 12s S ab C =， 由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=， Q 22243a b c S +-=，∴12cos 43sin 2ab C ab C =， Q sin 0C ≠，∴可得3tan C =. Q ()0,C π∈，∴6C π=. 故答案为：6π. 【点睛】本题主要考查余弦定理，三角形面积公式以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，属于基础题.16.已知x ，y 满足5log log 2x y y x +=，若log 1x y >，则ln x y 的最小值为________. 【答案】2e- 【解析】 【分析】由5log log 2x y y x +=变形得15log log 2xx y y +=，因log 1x y >可得log 2x y =，2y x =.则ln 2ln x y x x =，令()2ln f x x x =()0,1x x >≠，利用导函数研究函数得单调性和极值即可得出结果.【详解】Q x ，y 满足5log log 2x y y x +=， ∴15log log 2x x y y +=.解得log 2x y =或1log 2x y =， 又Q log 1x y >，∴log 2x y =. ∴2y x =.则ln 2ln x y x x =，令()2ln f x x x =()0,1x x >≠， 则()()2ln 10f x x '=+=，解得1x e=. ∴当1x e=时，函数()f x 取得最小值，即12f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：2e-. 【点睛】本题考查了对数运算性质，利用导数研究函数的单调性和极值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .【答案】（1）1n a n =+（2）5m =. 【解析】 【分析】（1）将已知条件改写为首项1a 和公差d 的形式，计算出1,a d 的值即可求解出通项公式； （2）根据等比数列的求和公式计算出n T ，然后根据124m T =计算出m 的值即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知得112461527a d a d +=⎧⎨+=⎩解得121a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a a n d n =+-=+.（2）由（1）可得12n n b +=，{}n b ∴是首项为4，公比为2的等比数列，则()()41242112n n nT -==--.由124m T =，得()421124m-=，解得5m =.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解以及等比数列的求和公式的简单应用，难度较易.求解等差数列的通项公式的常用方法：（1）构造关于等差数列的首项和公差的方程组，求出通项公式；（2）利用等差数列的性质求解通项公式.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，1CA CB ==，F 在线段AC 上，且2C AF F =.()1证明：1CB//面1A EF()2若CA CB ⊥，面CAB ⊥面11ABB A ，求E 到面11AAC C 的距离.【答案】()1证明见解析；()2427. 【解析】 【分析】()1连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ，推导出1//FG CB ,由此能证明1CB//面1A EF ；()2在三棱柱111ABC A B C -中，E 到面11AAC C 的距离等于B 到平面1AA C 的距离，设该距离为h ，过C 作CO ⊥AB 于O ，通过11C AA B B CAA V V --=,转化求解即可.【详解】解：()1连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG .Q 11AGA B GE V V ∽，∴1112AA AG GB EB ==， 又Q 2C AF F =，∴1AF AGFC GB =， ∴1//FG CB .又Q 1CB ⊄平面1A EF ，∴1CB //面1A EF .()2在三棱柱111ABC A B C -中，E 到面11AAC C 的距离等于B 到平面1AA C 的距离，设该距离为h ，过C 作CO ⊥AB 于O ，Q 面CAB ⊥面11ABB A ，面CAB I 面11ABB A =AB ，∴CO ⊥面1ABA ,又因为CO 是三棱锥1C AA B -的高，所以2=2CO ，=2AB . ∴三棱锥1C AA B -的体积11126=22sin 6032212C AA B V -⎛⎫⨯⨯⨯⨯︒⨯= ⎪⎝⎭. ∴16AO =,12AC =. ∴11171224AA C S =⨯⨯-=V . 由11C AA B B CAA V V --=，可得427h =.所以E 到面11AAC C 的距离为427.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定的应用，几何体体积的求法，等体积法的应用，考查计算能力，属于难题.19.已知抛物线()2:20C y px p =>，直线:1l y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）求过点A ，B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.【答案】（1）24y x =（2）()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线，再根据弦长公式以及8AB =即可计算出p 的值，从而C 的方程可求； （2）根据过弦的中点垂直于弦的直线过圆心、圆心到弦的距离的平方加上半弦长的平方等于半径的平方，得到关于圆心坐标的方程组，求解出圆心即可求解出圆的方程.【详解】解：（1）由221y px y x ⎧=⎨=-⎩，得()22110x p x -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()1221x x p +=+，121=x x()()()()222212121212122248AB x x y y x x x x x x =-+-=-=+-=，即()224148p +-=，解得2p =，所以抛物线C 的方程24y x =； （2）由（1）得()12132x x p +=+=，312y =-=，即AB 的中点坐标为()3,2， 则AB 的中垂线方程为()23y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为()00,x y ，则()()0022000511162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=【点睛】本题考查直线与圆、抛物线的综合应用，难度一般.（1）根据条件求解圆的方程时，注意借助圆的几何性质完成解答：圆心与弦中点连线垂直且平分弦、半径平方等于圆心到直线距离的平方加上半弦长的平方；（2）常见的弦长公式：()222121212114AB k x x k x x x x =+-=++-，()22212121211114AB y y y y y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.20.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.（1）求,m n 的值；（2）分析人员对100名调查对象性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y 与年龄x 进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程ˆ5yx b =-+.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）22⨯列联表临界值表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）0.0035m =，0.0025n =（2）详见解析（3）395元 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可得0.006m n +=，结合0.00152m n +=可得,m n 的值.（2）根据表格数据可得28.249K ≈，再根据临界值表可得有99%的把握认为消费金额与性别有关. （3）由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费，从而得到520b =，利用线性回归方程可计算年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额.【详解】（1）由频率分布直方图可知，0.010.001520.0010.006m n +=-⨯-=，由中间三组的人数成等差数列可知0.00152m n +=， 可解得0.0035m =，0.0025n =（2）周平均消费不低于300元的频率为()0.00350.00150.0011000.6++⨯=，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为1000.660⨯=人. 所以22⨯列联表为22100(20152540)8.249 6.63545556040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为消费金额与性别有关. （3）调查对象的周平均消费为2()24f x kx x k =-+，由题意330538b =-⨯+，∴520b =525520395y =-⨯+=.∴该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元.【点睛】（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是频率组距； （2）两类变量是否相关，应先计算2K 的值，再与临界值比较后可判断是否相关. （3）线性回归方程对应的直线必经过(),x y . 21.已知函数()()1ln R f x x a x a x=--∈. ()1讨论()f x 的单调性；()2当1x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.【答案】()1当2a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当2a >时，()f x 的单调增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调减区间为⎝⎭；()2(],2-∞.【解析】 【分析】()1()()2221110a x ax f x x x x x-+'=+-=>，对a 分类讨论，即可得出单调性； ()2由()1可知当2a ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，因此()()10f x f ≥=符合题意，因为()120g a =-<，可得122a a -<<，进而判断出是否符合题意. 【详解】解：()1由题意得，()()2221110a x ax f x x x x x -+'=+-=>，若0a ≤，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增， 若0a >，令()21g x x ax =-+，当240a ∆=-≤时，即02a <≤时，()0g x >， 即()f x 在()0,∞+上单调递增. 当240a ∆=->时，即2a >时，()210g x x ax =-+=，且两根均为正，计算可得0,2a x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增.,22a a x ⎛+∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在⎝⎭上单调递减.x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当2a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当2a >时，()f x 的单调增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调减区间为⎝⎭.()2由()1可知当2a ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，，所以()()10f x f ≥=符合题意，当2a >时，因为()120g a =-<1<<，所以当1x <<()0f x '<，即()f x 在单调递减，所以()()10f x f <=不符合题意. 综上所述，a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值，方程与不等式的解法，分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，直线1:2l x =，曲线2cos :22sin x C y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为(3,)6π. （1）求直线1l 和曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线2:(0)2l πθαα=<<与1l ,C 的公共点分别为A ,B ，且OA OB ⋅=求MOB ∆的面积．【答案】（1）直线1l ： cos 2ρθ=；曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=；（2）2. 【解析】 【分析】（1）先根据22sin cos 1ϕϕ+=，把曲线C 化为普通方程，再利用互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，把直线2x =和曲线C 化为极坐标方程；（2）联立极坐标方程，并利用极径的几何意义，根据三角形面积公式可得．【详解】解：（1）∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴直线2x =的极坐标方程是cos 2ρθ=，曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=.所以曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）将θα=分别代入cos 2ρθ=，4sin ρθ=得：2cos A OA ρα==，4sin B OB ρα==.∴8tan OA OB α⋅==tan α=. ∵02πα<<，∴3πα=.∴OB =3OM =，6MOB π∠=.所以1sin 2MOB S OM OB MOB ∆=∠113222=⨯⨯=即AOB ∆的面积为2． 【点睛】本题考查了曲线的参数方程转化为普通方程，再转化为极坐标方程，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的解题的关键.23.已知函数()()22R f x x a x a =-+-∈． （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集； （2）若[]2,1x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2{|3x x <或2}x >；（2）空集. 【解析】 【分析】（1）通过零点法，分类讨论，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集．（2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，化简()22f x x a x =-+-，由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，推出结果即可．【详解】解：（1）不等式()2f x >，即2222x x -+->.可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩，或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩，解得23x <或2x >，所以不等式的解集为2{|2}3x x x <>或.（2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，所以()22f x x a x =-+-， 由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，则1211aa-≤-⎧⎨+≥⎩，该不等式无解，所以实数a的取值范围是空集（或者∅）.【点睛】本题考查不等式的解法，恒成立条件的转化，考查计算能力．。