2021年数学同步提分教程第一册“集合与常用逻辑用语”：第一章1.1.1 课后课时精练(人教B版)

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2021_2022学年高中数学第1章常用逻辑用语1.1.1四种命题(不作要求)1.1.2充分条件和必

1.1.1 四种命题(不作要求) 1.1.2 充分条件和必要条件学习目标核心素养1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义．(重点)2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．(重点、难点)3．培养辩证思维能力.通过充要条件的学习，培养逻辑推理素养.1．符号⇒与的含义命题真假“假设p那么q〞为真“假设p那么q〞为假表示方法p⇒q p q读法p推出q p不能推出q2.充分、必要条件的含义条件关系含义p是q的充分条件(q是p的必要条件)p⇒qp是q的充要条件p⇔qp是q的充分不必要条件p⇒q，且q pp是q的必要不充分条件p q，且q⇒pp是q的既不充分又不必要条件p q，且q p 思考：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否一样？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示] (1)一样，都是p⇒q(2)等价1．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，应选A.]2．对于任意的实数a，b，c，在以下命题中，真命题是( )A．“ac＞bc〞是“a＞b〞的必要条件B．“ac＝bc〞是“a＝b〞的必要条件C．“ac＜bc〞是“a＜b〞的充分条件D．“ac＝bc〞是“a＝b〞的充分条件B[假设a＝b，那么ac＝bc；假设ac＝bc，那么a不一定等于b，故“ac＝bc〞是“a ＝b〞的必要条件．]3．设a，b是实数，那么“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件D[此题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故不是必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．]4．用“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞和“既不充分也不必要〞填空．(1)“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的________条件．(2)两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．(3)“a2>0”是“a>0”的________条件．(4)“sin α>sin β〞是“α>β〞的________条件．(1)充要(2)充分不必要(3)必要不充分(4)既不充分也不必要[(1)a2＋b2＝0成立时，当且仅当a＝b＝0.故应填“充要〞．(2)因为两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似D两个三角形全等，所以填“充分不必要〞．(3)因为a2＞0a＞0，如(－2)2＞0，但－2＞0不成立；又a＞0⇒a2＞0，所以“a2＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．(4)因为y＝sin x在不同区间的单调性是不同的，故“sin α>sin β〞是“α>β〞的既不充分也不必要条件．]充分条件、必要条件、充要条件的判断件〞“充分必要条件〞“既不充分也不必要条件〞中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：ab＜1.[思路探究] 判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否认形式，可判断綈q 是綈p 的什么条件．[解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒綈q ，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故假设a ＜b ，不一定有a b＜1；当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ；当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法1．定义法2．等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． 3．逆否法：这是等价法的一种特殊情况．假设綈p ⇒綈q ，那么p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；假设綈p ⇒綈q ，且綈q綈p ，那么p 是q 的必要不充分条件；假设綈p ⇔綈q ，那么p 与q 互为充要条件；假设綈p綈q ，且綈q綈p ，那么p 是q 的既不充分也不必要条件．1．(1)设a ，b 是实数，那么“a >b 〞是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件D [令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2>b 2，即“a >b 〞不能推出“a 2>b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即“a 2>b 2”不能推出“a >b 〞，所以“a >b 〞是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．](2)对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，以下结论正确的选项是( ) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac >0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac <0是函数f (x )没有零点的充要条件． A ．①④ B ．①②③ C ．①②③④D ．①②④D [①Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故①正确．②假设Δ＝b 2－4ac ＝0，那么方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故②正确．③函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，未必有Δ＝b 2－4ac >0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b 2－4ac <0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]充要条件的探求与证明(1)“x 2－4x <0”的一个充分不必要条件为( )A ．0<x <4B ．0<x <2C ．x >0D ．x <4(2)x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，那么充分不必要条件应是不等式x 2－4x <0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔〞写出证明．[解析] (1)由x 2－4x <0得0<x <4，那么充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，应选B.[答案] B(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >yxy，即1x <1y.必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.1．探求充要条件一般有两种方法：(1)探求A 成立的充要条件时，先将A 视为条件，并由A 推导结论(设为B )，再证明B 是A 的充分条件，这样就能说明A 成立的充要条件是B ，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进展等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．2．充要条件的证明(1)证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q 〞为真，又要证明“q ⇒p 〞为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件〞与“p 的充要条件是q 〞这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x ∈(0,2) B ．x ∈[－1，＋∞) C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)B[由x(x－2)<0得0<x<2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)〞是“不等式x(x－2)<0成立〞的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.充分、必要条件的应用[探究问题]1．假设集合A B，那么“x∈A〞是“x∈B〞的什么条件？“x∈B〞是“x∈A〞的什么条件？[提示] 因为A B，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A〞是“x∈B〞的充分不必要条件，而“x∈B〞是“x∈A〞的必要不充分条件．2．对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A〞是“x∈B〞的既不充分也不必要条件？[提示] 当A B且B A时，“x∈A〞是“x∈B〞的既不充分也不必要条件．3．集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|x≥2}．假设A是B的充要条件，实数a的值确定吗，假设集合A是B的充分不必要条件？实数a的值确定吗？[提示] 当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝2；当A是B的充分不必要条件时，A B，这时a的值不确定，实数a的取值范围是(2，＋∞)．【例3】p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，那么实数m的取值范围为________．[思路探究] p是q的充分不必要条件→p代表的集合是q代表的集合的真子集→列不等式组求解{m|m≥9}(或[9，＋∞))[由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且qD p .即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．]1．本例中“p 是q 的充分不必要条件〞改为“p 是q 的必要不充分条件〞，其他条件不变，试求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0) 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p q .那么{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10}所以⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≥－21＋m ≤10，解得0<m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．2．假设本例题改为：P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P 〞是“x ∈Q 〞的必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 因为“x ∈P 〞是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3解得－1≤a ≤5即a 的取值范围是[－1,5]．利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围1．化简p 、q 两命题，2．根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， 3．利用集合间的关系建立不等关系， 4．求解参数范围．1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进展判断．(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p ⇒q ，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即可．(3)利用集合间的包含关系进展判断．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进展求解．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)如果p是q的充分条件，那么命题“假设p那么q〞为真．( )(2)命题“假设p那么q〞为假，记作“q⇒p〞．( )(3)假设p是q的充分条件，那么p是唯一的．( )(4)假设“p q〞，那么q不是p的充分条件，p不是q的必要条件．( )[答案] (1)√(2)×(3)×(4)×2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，那么当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x －5＝0时，x＝5不一定成立，应选B.]3．假设“x＜m〞是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，那么m的取值范围是________．(－∞，1] [由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，由条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，∴m≤1.]4．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2.[证明] (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m >0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. 综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．。

第一章集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组得或∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴BA又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：（）A．m+nA B. m+nB C.m+nC D.m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ,∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，只须∴p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1?A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ? －1∈A ? ∈A ? 2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ? ∈A ? ∈A?A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A，1－∈A.现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－=，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例7] 设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：AB．证明：任设∈A，则==(＋2)2－4(＋2)＋5(∈N+),∵n∈N*，∴n＋2∈N*∴a∈B故①显然，1，而由B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B②由①、②得AB．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16B．14C．15 D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2 } B．{－2，－}C．{±2，±} D．{，－}3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．QC．D．不知道4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=B．P Q C．P=QD．P Q5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝（）A．B．C．D．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围.8.已知集合A=和B=满足A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.§1.2．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ”.7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真.8．充分条件与必要条件：①pq：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②pq：p是q的充要条件.9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的. （4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：关键词是都是（全是）（）至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是（全是）（）一个也没有至少有两个存在任意。

2021届高中数学一轮复习基础知识手册第一编集合与常用逻辑用语

第一编集合与常用规律用语集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．常用规律用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． (4)了解规律联结词“或”“且”“非”的含义． (5)理解全称量词与存在量词的意义．(6)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．第一讲集合学问力量解读知能解读 (一)集合的基本概念及表示方法 1．集合的概念一般地，我们把争辩对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集．通常用大写字母A ，B ，C ，…表示．集合中的每个对象叫做这个集合的元素．通常用小写字母a ，b ，c ，…表示． 2．集合中元素的三个特征(1)确定性设A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 是A 的元素，或者不是A 的元素，两种状况必有一种且只有一种成立．这个特性常用来推断涉及的总体能否构成集合．(2)互异性集合中的元素必需是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．即集合中的元素不重复，两个或两个以上的相同元素都认为是一个元素，在用列举法表示时也只能写一个．例如方程2210x x ++=的解组成的集合A ，必需写成{}1A =-．这个特性常被用来推断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．(3)无序性集合中的元素不考虑挨次，对于元素相同而排列次序不同的集合认为是相同的集合．例如集合{}1,2,3,4与集合{}4,3,2,1是相同的集合．这个特性常用来推断两个集合的关系．3．集合的分类(1)集合可以依据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．留意：①空集中没有任何元素．要区分∅和{}0，集合{}0中有1个元素0，而∅中没有任何元素，两者有着本质的不同．②空集在实际问题中是实实在在存在的，如在实数范围内方程110x +=的解集和不等式210x +<的解集都是空集．4．集合的表示方法(1)列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法．使用列举法时，需留意以下几点： ①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无挨次；④对于含较多元素的集合，假如构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必需把元素间的规律显示清楚后才能用省略号．如：从1到100的全部整数组成的集合可以表示为{}1,2,3,,100⋅⋅⋅． (2)描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，即(){}x A p x ∈．其中竖线“｜”左边表示集合中的代表元素，右边表示集合中元素满足的条件．如：全部的直角三角形的集合可以表示为{x x 是直角三角形}．(3)图示法为了形象地表示集合，我们经常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合．如图所示，表示集合{}1,3,5,8．1,3,5,85．常用数集的符号知能解读 B 或B AA ⊆，(B B ∅≠∅提示：①“”是表示集合中的元素与集合关系的符号，而“”与“”是表示两个集合间包含和真包含关系的符号，在书写时应留意区分．②A B ⊆有两种状况：A B =和A B ．若AB ，则B 中至少存在一个元素不属于A ．Venn 图表示的元素组成的集合，称为集合B ，读作B ={x x x B ∈}的全部元素组成的集合，称为B ，读作“B ={x x x B ∈} 假如一个集合含有我们所争辩问题中涉及的全部元素，称这个集合为全集，通常记作对于一个集合A ，由全集的全部元素组成的集合称为UA ．UA ={x x ∈x A ∉}U A(1)若A B ⊆，B A ⊆，则A B =；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆． (2)A ∅⊆；若A ≠∅，则A ∅．(3)A A A =，A B B A =，A ∅=∅． (4)A A A =，A B B A =，A A ∅=．(5)()UA A =∅，()UA A U =． (6)()()AB A A B ⊆⊆．(7)()()()UUUAB A B =，()()()UUUAB A B =．(8)若A B ⊆，则A B A =，A B B =，反之变成立．知能解读 (四)有限集的子集个数公式设有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，其中真子集的个数为21n-，非空子集的个数为21n-，非空真子集的个数为22n-．解题方法荟萃Ⅰ．数学思想方法思想方法 (一)分类争辩思想它是依据数学对象本质属性的相同点和不同点确定划分标准，进行分类，然后对每一类分别求解，并综合得出答案的一种数学思想．在划分中要求始终使用同一标准，这个标准应当是科学的、合理的，要满足无重复、无遗漏、最简的原则． (二)数形结合思想数形结合的解题方法，就是把数学问题中的数量关系和几何图形结合起来进行探究分析的思维方法．其实质就是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，抽象思维和形象思维结合起来，使抽象问题具体化，简单问题简洁化，通过“数”和“形”的联系与转化，化难为易，增加直观性，从而使问题得到解决．数形结合包含两重意义：(1)以形助数；(2)以数解形．所谓“以形助数”就是将待争辩的代数问题转化为争辩其对应的几何图形，通过几何图形的直观性查找原问题的解题思路，从而获解；所谓“以数解形”就是借助代数计算等确定几何图形的某些属性． (三)补集思想 (四)分析法 (五)列举法 (六)Venn 图法 Ⅱ．解题规律技巧(一)集合语言与集合思想在解题中的应用 (二)利用数轴解决集合间的关系问题 (三)集合中元素的“三性”及应用 (四)点集运算转化处理Ⅲ．易混易错辨析(一)因没有弄清集合的代表元素而导致错误 (二)勿忘空集防“陷阱” 高考命题争辩纵观近几年高考试题，集合部分以考查基础学问为主，涉及集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算等．核心考点是集合的交集、并集和补集运算，既有列举法表示的集合，又有描述法表示的集合，有时还会与不等式、函数、方程等学问结合，题型为选择题或填空题，难度不大．高考热点 (一)集合的基本概念 (二)集合间的基本关系的判定与应用 (三)集合的基本运算 (四)集合中的新定义题附录常用公式定理1．常用符号 ∈——属于 ∉——不属于⊆——包含于——真包含于 ⊇——包含——真包含 ——不包含于——不包含 ∅——空集符号＝——集合相等符号 ——交集符号——并集符号 U ——全集符号 ——补集符号 N ——自然数集Z ——整数集()*+N N ——正整数集Q ——有理数集R ——实数集 RQ ——无理数集C ——复数集{}21,x x n n =-∈Z ——奇数集{}2,x x n n =∈Z ——偶数集2．常用公式 A A A = A ∅=∅ A U A = A A A =A A ∅=A U U =()UAA =∅()UAA U =()UUA A =()()()UUUAB A B =()()()UUUAB A B =3．常用定理传递性：若集合A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若集合AB ，BC ，则AC ．其次讲常用规律用语学问力量解读知能解读 (一)四种命题及其关系1．命题的定义用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句称为命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．例如：“3是12的约数”“0.5是整数”都是命题．说明：(1)并不是任何语句都是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命一题．(2)一个命题，一般可以用小写英文子母表示，如p ，q ，r ，…．2．四种命题对于两个命题，假如一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的否命题．一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做原命题的逆否命题．3．表示形式一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝和q ⌝分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p ，则q ；逆命题：若q ，则p ；否命题：若p ⌝，则q ⌝；逆否命题：若q ⌝，则p ⌝． 4．四种命题的关系四种命题的关系如图所示：点拨：互为逆否的两个命题的真假性相同，互逆或互否的两个命题的真假性没有关系． Q ，则P Q ，则P Q =，则P Q 且Q P ，则P 分也不必要条件说明：由上表可知，推断充分条件、必要条件、充要条件时应接受以下方法：p 是什么，结论q 是什么；(2)尝试从条件推结论，假如p q ⇒，则充分性成立，p 是q 的充分条件；(3)再考虑从结论推条件，假如q p ⇒，则p 是q 的必要条件，必要性成立；(4)证明命题的条件是充要的，则既要证明充分性又要证明必要性． (三)规律联结词：“或”“且”“非”(1)或：联结两个命题p ，q ，得到新命题p 或q ．记作p q ∨． (2)且：联结两个命题p ，q ，得到新命题p 且q ．记作p q ∧． (3)非：对一个命题p 全盘否定，得到新命题非p ．记作p ⌝． (四)真值表提示：“p q ∧”与“p ”真假相反． (五)命题的否定与否命题(1)命题的否定只否定命题的结论，它和原命题真假相反；而否命题是既否定条件，又否定结论，它和原命题的真假性无关．(2)写“非p ”或否命题时，必需使用否定词语对正面叙述的词语进行否定．因此把握常见的正面叙述词(3)①()()()p q p q ⌝∧=⌝∨⌝；②()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝．(六)量词与命题1．全称量词短语“全部”在陈述中表示所述事物的全体，规律中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． 2．全称命题含有全称量同的命题，叫做全称命题．全称命题就是形如“对M 中的全部x ，有()p x 成立”的命题，用符号简记为(),x M p x ∀∈．3．存在量词短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，规律中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．4．特称命题(存在性命题)含有存在量词的命题，叫做特称命题(存在性命题)，用符号简记为()00,x M p x ∃∈． 5解题方法荟萃 Ⅰ．数学思想方法思想方法 (一)转化与化归思想在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题，最终解决问题，这就是转化与化归思想．转化后的新问题与原问题实质一样时，这样的转化我们叫它等价转化．(二)数形结合思想 (三)分类争辩思想 (四)反证法(1)反证法是常用的间接证法之一．它的实质是当证明“若p ，则q ”感到困难时，改证命题“若p ，则q ⌝”不成立．(2)反证法证题的步骤：第一步，假设结论的反面成立；其次步，从这个假设动身，推理论证，得出冲突；第三步，由冲突判定假设不成立，从而确定结论正确．由于反证法是很有用的方法，所以应当学会使用反证法来证明用直接法证明感到困难的问题，在立体儿何中经常使用这种方法．证明否定形式的命题也经常用反证法．Ⅱ．解题规律技巧规律技巧 (一)应用互为逆否命题的等价性解题由于原命题与它的逆否命题等价，即具有相同的真假性，在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题，这种方法是间接证明命题的方法． (二)利用集合关系推断充要条件设与p 相应的集合为(){}A x p x =，与q 相应的集合为(){}B x q x =，则有如下结论：(1)若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件；(3)若A B =，则p 与q 互为充要条件(也称等价条件)；(4)若AB 且B A ，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(三)全称命题与特称命题的真假判定方法要判定全称命题“(),x M p x ∀∈”是真命题，必需对限定集合M 中的每一个元素x 验证()p x 成立；若要判定全称命题“(),x M p x ∀∈是假命题，只要能找出某一个0x x M =∈，使得()0p x 不成马上可(举反例法)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，能找到一个0x x =，使得()0p x 成马上可；假如在集合M 中，使()p x 成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题．Ⅱ．易混易错辨析易混易错 (一)分不清条件的充分性与必要性而致误在利用充分条件、必要条件解题时，常因弄反条件的充分性与必要性致错． (二)对命题的否定与否命题区分不清而致误命题的否定只否定命题的结论，不否定命题的条件，而否命题既要否定命题的结论，又要否定命题的条件．高考命题争辩命题、规律联结词与充要条件在高考中的考查，以命题的基本概念及充要条件为主，重点考查命题真假的判定、充要条件的判定，考题多为选择题．另外，高考中这部分学问也可以和其他学问如函数、方程、不等式、数列、解析几何等相结合在学问交汇点处命制综合性大题，以考查同学分析问题和解决问题的力量．全称命题、特称命题的否定及其真假推断也是高考的热点．高考热点 (一)命题的四种形式与关系及其真假推断结合其他章节内容来考查命题的概念及其真假推断是常考题，应加以重视． (二)充要条件的判定充要条件的判定，重在“从定义动身”，利用命题“若p ，则q ”的真假进行区分，具体解题时，要留意分清“谁是条件”“谁是结论”，防止南辕北辙． (三)含有规律联结词的命题的真假推断推断含有规律联结词的命题的真假关键是理解规律联结词“或”“且”“非”的含义，利用真值表推断命题的真假．(四)全称命题与特称命题(存在性命题)的真假推断要推断全称命题“(),x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明()p x 成立；假如在集合M 中找到一个元素0x ，使得()0p x 不成立，那么这个命题就是假命题．要推断特称命题“()00,x M q x ∃∈”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使()q x 成马上可；假如在集合M 中，使()q x 成立的元素x 不存在，那么这个特称命题就是假命题． (五)全称命题与特称命题(存在性命题)的否定附录常用公式定理1．常用符号p q ∨——p 或q p q ∧——p 且qp ⌝——非p ∀——任意∃——存在A B ⇒——A 是B 成立的充分条件 B A ⇒——A 是B 成立的必要条件 A B ⇔——A 是B 成立的充要条件A B ⇒，B ⇒A ——A 是B 成立的充分不必要条件A ⇒B ，B A ⇒——A 是B 成立的必要不充分条件A B ⇒，B A ⇒——A 是B 成立的充要条件2．常用结论(1)原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题先进价． (2)原命题与逆命题互逆，否命题与逆否命题互逆． (3)原命题与否命题互否，逆命题与逆否命题互否． (4)在p 或q 命题中，一真为真． (5)在p 且q 命题中，一假为假．(6)非p 命题，与命题p 的真假相反．(7)全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案含解析第一册

1．1 集合1．1。

1集合及其表示方法内容标准学科素养1。

通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题。

授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一元素与集合的概念1．集合：有一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象构成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。

知识点二元素与集合的关系1．属于:如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A。

2．不属于:如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A，读作a 不属于集合A。

3．无序性:集合中的元素,可以任意排列，与次序无关．知识点三集合元素的特点1．确定性：集合的元素必须是确定的．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．知识点四集合的分类1．有限集:含有有限个元素的集合．2．无限集：含有无限个元素的集合．知识点五几种常见的数集号N＊知识点六集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法．2．描述法(1)特征性质：一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x）称为集合A的一个特征性质．(2)描述法：用特征性质p(x）来表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法．知识点七区间及其表示1．如果a<b，则有下表:定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x｜a 〈x<b｝开区间（a，b){x|a≤x 〈b}半开半闭区间［a，b）{x｜a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞,＋∞），“∞"读作“无穷大”．如：符号［a,＋∞)（a，＋∞)(－∞,a］(－∞，a）定义｛x｜x≥a}{x|x〉a｝｛x|x≤a｝｛x｜x〈a}［自主检测]1．下列给出的对象中，能组成集合的是(）A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案:A2．若一个集合中的三个元素a，b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是(）A．若a∈N，则错误!∉NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则错误!∈R答案：A4．分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：｛x∈N｜0＜x＜6}，列举法：{1，2，3，4，5｝．授课提示:对应学生用书第2页探究一集合的概念［例1]下列对象中可以构成集合的是（)A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析］选项正误原因A×大苹果到底以多重算大，标准不明确B×小橘子到底以多重算小，标准不明确C√中学生标准明确，故可构成集合D×“著名”的标准不明确[答案］C判断一个“全体"是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x2－1＝0的解;③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是(）A．②B．①③C．②④D．①②④答案:A探究二元素与集合的关系［例2］集合A中的元素x满足错误!∈N，x∈N，则集合A 中的元素为________．［解析]由错误!∈N,x∈N知x≥0，错误!＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2。

专题1 集合与常用逻辑用语

专题1 集合与常用逻辑用语1.1集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().1.2集合间的基本关系（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.解析获取vx ：lingzi980N N *N +Z Q R a M a M ∈a M ∉x x x ∅A (1)n n ≥2n21n-21n-22n -1.3 集合的基本运算1. 2.注意：1. 元素与集合的关系,.2.德摩根公式.3.包含关系4.容斥原理.【例1】（2022•新高考Ⅰ）若集合 }4|{，<=x x M }13| {，≥=x x N 则=N MA ．}40|{<≤x xB ． }231|{<≤x x C ．}163|{<≤x x D ． }1631|{<≤x x 【例2】（2022•新高考II ）已知集合{}4211，，，-=A ，{}11≤-=x x B ，则=⋂B A A.{}21，- B.{}21， C.{}41， D.{}41，-【例3】（2022•乙卷理）设全集{1U =，2，3，4，5}，集合M 满足{1U M =，3}，则( )AB {|x x ∈A A A =A∅=∅A B A ⊆A B B ⊆AB {|x x ∈A A A =AA ∅=AB A ⊇AB B ⊇U A {|x x ()U A A =∅()U A A U =U x A xC A ∈⇔∉U x C A x A ∈⇔∉();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+()()()UU U A B A B =()()()U U U A B A B =A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉【例4】（2019•全国）设集合P ＝{x |x 2﹣2＞0}，Q ＝{1，2，3，4}，则P ∩Q 的非空子集的个数为（） A ．8B ．7C ．4D ．3【例5】（2020•上海）集合A ＝{1，3}，B ＝{1，2，a }，若A ⊆B ，则a ＝．【例6】已知集合{0A =，1，2}，{|B ab a A =∈，}b A ∈，则集合B 中元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【例7】已知集合{{}A =∅，}∅，下列选项中均为A 的元素的是( ) （1）{}∅；（2）{{}}∅；（3）∅；（4）{{}∅，}∅． A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）【例8】已知函数2()f x x ax b =++，集合{|()0}A x f x =，集合5|(())4B x f f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =≠∅，则实数a 的取值可以是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【例9】向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．则下列说法正确的是( ) A ．赞成A 的不赞成B 的有9人 B ．赞成B 的不赞成A 的有11人 C ．对A 、B 都赞成的有21人D ．对A 、B 都不赞成的有8人【例10】（2015•上海）设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，21{|0}Q x x x b =++>，22{|20}Q x x x b =++>，其中a ，b R ∈，下列说法正确的是( ) A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 C ．存在a ，1P 不是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 D ．存在a ，1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集1.（2022•乙卷文）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则MN =（）A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}2.（2022•上海）已知集合A ＝（﹣1，2），集合B ＝（1，3），则A ∩B ＝．3.（2021•新高考Ⅰ）设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（） A ．{2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{2，3，4}4.（2021•上海）已知集合A ＝{x |x ＞﹣1，x ∈R }，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2≥0，x ∈R }，则下列关系中，正确的是（） A ．A ⊆BB ．∁R A ⊆∁R BC ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R5.（2022•天津）设全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，2}，则()(U A B =⋂)A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{1-，1，2}D ．{0，1-，1，2}6.（2022•浙江）设集合{1A =，2}，{2B =，4，6}，则(A B = )A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4，6}7.（2022•北京）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|21}A x x =-<，则(UA = )A ．(2-，1]B ．(3,2)[1--，3) C ．[2-，1)D ．(3-，2](1,3)- 8.（2021•乙卷）已知集合{|21S s s n ==+，}n Z ∈，{|41T t t n ==+，}n Z ∈，则(S T = )A ．∅B ．SC ．TD ．Z9.（2020•全国）若集合A 共有5个元素，则A 的真子集的个数为( ) A ．32B ．31C ．16D ．1510.（2020•新课标Ⅲ）已知集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．611.（2017•江苏）已知集合{1A =，2}，{B a =，23}a +．若{1}A B =，则实数a 的值为．12.（2022•重庆期末）下列说法正确的是( ) A ．任何集合都是它自身的真子集B ．集合{a ，}b 共有4个子集C ．集合{|31x x n =+，}{|32n Z x x n ∈==-，}n Z ∈D ．集合2{|1x x a =+，*2}{|45a N x x a a ∈==-+，*}a N ∈13.（2021•重庆期末）已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则下列关系一定正确的是()A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈ B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈14.（2021•虎丘区月考）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有( ) A ．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B ．只参加球类一项比赛的人数有2人C ．只参加径赛一项比赛的人数为0人D ．只参加田赛一项比赛的人数为3人1.4 充分条件与必要条件充要条件（1）充分条件：若，则是充分条件.（2）必要条件：若，则是必要条件.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.抓住关键词：大必小充。

2021年数学同步提分教程第一册“集合与常用逻辑用语”：第一章1.2.2 课后课时精练(人教B版)

『高中数学』教学课件‖课时训练‖讲义测试‖A级：“四基”巩固训练一、选择题1．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0D．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0答案 C解析由全称量词命题的否定是存在量词命题可知A，B错误；因为对x3＋x≥0的否定为x3＋x<0，所以D错误，C正确．2．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是()A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等边三角形C．所有三角形都不是等腰三角形D．所有三角形都是等腰三角形答案 C解析存在量词命题的否定为全称量词命题，注意否定结论．故选C.3．命题“∃m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是()A．∃m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根答案 C解析存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．故选C.4．命题“∀x∈R，∃n∈N*，n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，n<x2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，n <x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，n <x 2答案 D解析根据含有量词的命题的否定的概念可知选D.5．已知命题p ：∃x ∈R ，函数y ＝x 2＋x ＋a 的值小于0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 答案 A解析 ∵p 是假命题，∴命题p 的否定，即“∀x ∈R ，函数y ＝x 2＋x ＋a 的值大于或等于0”是真命题．∴Δ＝1－4a ≤0，∴a ≥14.二、填空题6．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋3x ＋2<0，则命题p 的否定为________．答案 ∀x ∈R ，x 2＋3x ＋2≥0解析命题p 是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“∀x ∈R ，x 2＋3x ＋2≥0”．7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．答案任意一个三角形都有外接圆解析该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”．8．若命题“∃x ∈R,2x 2＋3x ＋a ＝0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞。

2021年人教版高一数学必修一第1单元集合与常用逻辑用语(讲解和习题)

人教版高一数学必修一第1单元集合与常用逻辑用语（讲解和习题）一．子集与真子集1.真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A 是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【技巧点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．二．集合的包含关系判断及应用【技巧点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．三．空集的定义、性质及运算1.空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点．例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集．2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．【技巧点拨】解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B⇔B⊆A，实际上包含3种情况：①B＝∅；②B⊂A且B≠∅；③B＝A；往往遗漏B是∅的情形三．并集及其运算【基础知识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言：．运算形状：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A ∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁U A）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【技巧方法】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．四．交集及其运算【基础知识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A ∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁U A）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁U A）∪（∁U B）．【技巧方法】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．五．补集及其运算【基础知识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的V enn图．．【技巧方法】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．六．全集及其运算【基础知识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的．例如{1，2}；R；Q等等．七．交、并、补集的混合运算【基础知识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．八．Venn图表达集合的关系及运算【基础知识】用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做V enn图（韦恩图）．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．运算公式：card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）的推广形式：card（A∪B∪C）＝card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card （A∩C）+card（A∩B∩C），或利用Venn图解决．公式不易记住，用Venn图来解决比较简洁、直观、明了．【技巧方法】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．九．充分条件、必要条件、充要条件【基础知识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【技巧方法】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．十．全称量词和全称命题【基础知识】命题全称命题xM，p（x）特称命题xM，p（x）表述方法①所有的xM，使p（x）成立①存在xM，使p（x）成立②对一切xM，使p（x）成立②至少有一个xM，使p（x）成立③对每一个xM，使p（x）成立③对有些xM，使p（x）成立④任给一个xM，使p（x）成立④对某个xM，使p（x）成立⑤若xM，则p（x）成立⑤有一个xM，使p（x）成立【技巧方法】要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．十一．存在量词和特称命题【基础知识】命题全称命题x∈M，p（x）特称命题x0∈M，p（x0）表述方①所有的x∈M，使p（x）成立①存在∃x0∈M，使p（x0）成立法 ②对一切x ∈M ，使p （x ）成立 ②至少有一个x 0∈M ，使p （x 0）成立③对每一个x ∈M ，使p （x ）成立 ③某些x ∈M ，使p （x ）成立 ④对任给一个x ∈M ，使p （x ）成立④存在某一个x 0∈M ，使p （x 0）成立 ⑤若x ∈M ，则p （x ）成立⑤有一个x 0∈M ，使p （x 0）成立【技巧方法】短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃ 特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．习题演练一．选择题（共12小题）1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4B ．–2C ．2D ．43．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B =A ．{2}B ．{2，3}C ．{-1，2，3}D ．{1，2，3，4}4．已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．85.设x ∈R ，则“38x >”是“2x ” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．48．下列命题错误的是（）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+<”C ．若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件9．已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A ∩B=（） A ．{0}B ．{1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}10．已知集合{}2|340A x x x =--<，{|()[(2)]0}B x x m x m =--+>，若AB =R ，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,)-+∞B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．[1,2]-11．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B ⋂=（）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-12．设全集为R ，集合{}A |10x x =->，{}B |||2x x =>，则集合()RA B (⋃= )A ．{|1}x x ≤B ．{|2x x <-或1}x >C ．{|12}x x ≤<D ．{|1x x ≤或2}x >二．填空题（共6小题）13．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB =_____.14．若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，15．已知命题:1p x <-或3x >，命题:31q x m <+或2x m >+，若p 是q 的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是________16．设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数m =_____.17．已知命题“[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥”为真命题，则a 的取值范围为_______. 18．命题 “2,(1)0x R x ∀∈->”的否定是_____. 三．解析题（共6小题）19．设全集为R ，集合{3A x x =≤或}6x ≥{}29B x x =-<<. （1）求AB ，()U A B ⋂；（2）已知{}1C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围. 20．已知2:7100p x x -+<，22:430q x mx m -+<，其中0m >．()1若3m =，且p q ∧为真，求x 的取值范围；()2若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．21．己知()2:253,:220p x q x a x a -≤-++≤（1）若p 是真命题，求对应x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.22．设集合A {x |a 1x 2a,a R}=-<<∈，不等式2x 2x 80--<的解集为B ．()1当a 0=时，求集合A ，B ；()2当A B ⊆时，求实数a 的取值范围．23．设集合()(){}()100M x x a x a =+-≤>，{}24430N x xx =--<．（Ⅰ）若322M N x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭，求实数a 的值；（Ⅱ）若()M N =RR ，求实数a 的取值范围．24．已知命题：“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合B ；（2）设不等式(3)(2)0x a x a ---<的解集为A ，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.习题演练答案三．选择题（共12小题）1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】由题意结合补集的定义可知：{}U2,1,1B =--，则(){}U1,1AB =-.故选：C.2．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4 B ．–2C ．2D ．4【答案】B 【解析】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-. 故选：B.3．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B =A ．{2}B ．{2，3}C ．{-1，2，3}D ．{1，2，3，4}【答案】D 【解析】因为{1,2}AC =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D ．4．已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】C 【解析】因为由M ∪N={-1，0，1}，得到集合M ⊆M ∪N ，且集合N ⊆M ∪N ，又M={0，-1}，所以元素1∈N ，则集合N 可以为{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4个．故选C 5.设x ∈R ，则“38x >”是“2x ” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式38x >可得2x >，求解绝对值不等式2x可得2x >或2x <-，据此可知：“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.6．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A. 7．已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A 【解析】223x y +≤ 23,x ∴≤x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.8．下列命题错误的是（）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+<”C ．若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件【答案】B 【解析】对于A 中，根据逆否命题的概念，可得命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，所以A 正确的；对于B 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+≤”，所以B 不正确；对于C 中，根据复合命题的真假判定方法，若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题，所以C 是正确的；对于D 中，不等式2430x x ++>，解得3x <-或1x >-，所以“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件，所以D 正确. 综上可得，命题错误为选项B. 故选：B.9．已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A ∩B=（） A ．{0} B ．{1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}【答案】C 【解析】由题意得A={x|x ≥1}，B={0，1，2}，∴A ∩B={1，2}．故选：C10．已知集合{}2|340A x x x =--<，{|()[(2)]0}B x x m x m =--+>，若AB =R ，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,)-+∞ B ．(,2)-∞ C ．(1,2)- D ．[1,2]-【答案】C 【解析】集合{}2|340(1,4)A x x x =--<=-，集合{|()[(2)]0}(,)(2,)B x x m x m m m =--+>=-∞⋃++∞，若AB =R ，则124m m >-⎧⎨+<⎩，解得(1,2)m ∈-，故选C.11．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B ⋂=（）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A 【解析】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-故选：A12．设全集为R ，集合{}A |10x x =->，{}B |||2x x =>，则集合()RA B (⋃= )A ．{|1}x x ≤B ．{|2x x <-或1}x >C ．{|12}x x ≤<D ．{|1x x ≤或2}x >【答案】D 【解析】因为{}A |1x x =>，B {x |x 2=<-或x 2}>；R A {x |x 1}∴=≤；()R A B {x |x 1∴⋃=≤或x 2}>．故选D四．填空题（共6小题）13．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =_____.【答案】{1,6}. 【解析】由题知，{1,6}AB =.14．若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，【答案】[]1,3- 【解析】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．15．已知命题:1p x <-或3x >，命题:31q x m <+或2x m >+，若p 是q 的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是________ 【答案】21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】因为p 是q 的充分非必要条件，所以()(),13,-∞-⋃+∞是()(),312,m m -∞+⋃++∞的真子集，故31123m m +≥-⎧⎨+≤⎩解得：2-13m ≤≤，又因为312m m +≤+，所以12m ≤，综上可知21-32m ≤≤，故填21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.16．设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数m =_____. 【答案】-3 【解析】因为集合{}0,1,2,3U =， {}1,2U C A =，A={0,3}，故m= -3.17．已知命题“[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥”为真命题，则a 的取值范围为_______. 【答案】(,4]-∞ 【解析】解：令()24f x x ax =-+，则对称轴为2ax =，要使[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥恒成立，即[1,3]x ∀∈，()240f x x ax =-+≥ 当12a x =≤时()21140f a =-+≥解得2a ≤；当132ax <=<时240222a a a f a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得24a <≤；当32ax =≥时()233340f a =-+≥解得a ∈∅；综上可得：(,4]a ∈-∞ 故答案为：(,4]-∞18．命题 “2,(1)0x R x ∀∈->”的否定是_____. 【答案】200,(1)0x R x ∃∈-≤ 【解析】命题“2,(1)0x R x ∀∈->”的否定是“200,(1)0x R x ∃∈-≤”.故答案为：200,(1)0x R x ∃∈-≤. 三．解析题（共6小题）19．设全集为R ，集合{3A x x =≤或}6x ≥{}29B x x =-<<. （1）求AB ，()U A B ⋂；（2）已知{}1C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）A B R =，()U A ()3,6B =；（2）[]2,8-.【解析】（1）因为全集为R ，集合{3A x x =≤或}6x ≥{}29B x x =-<<，所以()3,6UA =，利用数轴法得AB R =，()U A ()3,6B =；（2）因为{}1C x a x a =<<+{}29B x x ⊆=-<<，所以2a ≥-且19a +≤，即28a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[]2,8-.20．已知2:7100p x x -+<，22:430q x mx m -+<，其中0m >．()1若3m =，且p q ∧为真，求x 的取值范围；()2若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）35x << （2）523m ≤≤【解析】解：由27100x x -+<，解得25x <<，所以:25p x <<；又22430x mx m -+<，因为0m >，解得3m x m <<，所以:3q m x m <<．（1）当3m =时，:39q x <<，又p q ∧为真，p ，q 都为真，2539x x <<⎧∴⎨<<⎩解得35x <<．所以x 的取值范围为(3,5)．（2）由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即q p ⌝⇒⌝，p q ⌝≠>⌝，(≠>表示“推不出” ) 其逆否命题为p q ⇒，q p ≠>，由于:25p x <<，:3q m x m <<，所以2350m m m ⎧⎪⎨⎪>⎩，∴523m ． ∴实数m 的取值范围为5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．21．己知()2:253,:220p x q x a x a -≤-++≤（1）若p 是真命题，求对应x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围. 【答案】（1）[]1,4；（2）[]1,4 【解析】（1）:253p x -≤为真命题，即253x -≤，解得14x ≤≤（2）根据（1）知：:14p x ≤≤，()()()2:2220q x a x a x x a -++=--≤p 是q 的必要不充分条件当2a >时，:2q x a ≤≤，故满足4a ≤，即24a <≤；当2a =时，:2q x =，满足条件；当2a <时，:2q a x ≤≤，故满足1a ≥，即21a >≥. 综上所述：[]1,4a ∈22．设集合A {x |a 1x 2a,a R}=-<<∈，不等式2x 2x 80--<的解集为B ．()1当a 0=时，求集合A ，B ；()2当A B ⊆时，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2. 【解析】（1）当0a =时，{}10A x x =-<<2280x x --< {}24B x x ⇒=-<<（2）若A B ⊆，则有：①当A =∅，即21a a ≤-，即1a ≤-时，符合题意， ②当A ≠∅，即21a a >-，即1a >-时，有1224a a -≥-⎧⎨≤⎩ 12a a ≥-⎧⇒⎨≤⎩解得：12a -<≤ 综合①②得：2a ≤23．设集合()(){}()100M x x a x a =+-≤>，{}24430N x xx =--<．（Ⅰ）若322M N x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭，求实数a 的值；（Ⅱ）若()M N =RR ，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2a =；（Ⅱ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（Ⅰ）0a >，()(){}{}101M x x a x x a x =+-≤=-≤≤，{}213443022N x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，且322M N x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭，所以，2a -=-，解得2a =；（Ⅱ）0a >，{}1M x a x =-≤≤，则{R M x x a =<-或}1x >，又()M N =RR ，所以120a a ⎧->-⎪⎨⎪>⎩，解得102a <<.因此，实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．24．已知命题：“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是真命题. （1）求实数m 的取值集合B ；（2）设不等式(3)(2)0x a x a ---<的解集为A ，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(2,)+∞；（2）2[,)3+∞. 【解析】（1）命题：“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是真命题，得2x x m --<0在11x -≤≤时恒成立，∴2max ()m x x >-，得2m >，即{}2(2,)B m m =>=+∞. （2）不等式(3)(2)0x a x a ---<，①当32a a >+，即1a >时，解集{}23A x a x a =+<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则A 是B 的真子集， ∴22a +≥，此时1a >；②当32a a =+，即1a =时，解集A φ=，满足题设条件； ③当32a a <+，即1a <时，解集{}32A x a x a =<<+，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，32a ∴≥，此时213a ≤<. 综上①②③可得2[,)3a ∈+∞。

高考数学《1.1集合与常用逻辑用语》

C
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第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-13-
知识梳理双基自测自测点评
12345
5.(教材例题改编P8例5)设集合A={x|(x+1)·(x-2)<0},集合 B={x|1<x<3},则A∩B=( )
A.(-1,3) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)
A.{1,2,3} B.{1,2,4}
C.{1,3,4} D.{2,3,4}
解析 ∵A={1,4},B={2,4}, ∴A∩B={4}. 又U={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4}, A∴∁U(A∩B)={1,2,3}
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第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-12-
12345
2.集合间的基本关系
关系自然语言
符号语言
集合 A 中所有元素都在子集集合 B 中(即若 x∈A,则 x A⊆B(或B⊇A)
∈B)
真子集
相等
集合 A 是集合 B 的子集, 且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中
集合 A,B 中元素相同或集合 A,B 互为子集
A⫋B(或B⫌A) A=B
-5-
Venn 图或
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-6-
知识梳理双基自测自测点评
12345
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B
={x|x∈A或x∈B}

高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第1课时交集和并集学案含解析第一册

1.1。

3 集合的基本运算第1课时交集和并集学习目标核心素养1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点) 2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养．某班有学生20人,他们的学号分别是1，2，3,…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。

问题（1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？（2）问至少读过一本书的有哪些同学?1．交集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝图形语言错误!错误!（3）A B，则A∩B＝A错误!错误![拓展](1)对于“A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B 的公共元素都属于A∩B。

这就是文字定义中“所有"二字的含义，如A＝{1，2,3},B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3},而不是{2｝或{3}．（2）任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝。

（3）当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．2．并集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}图形语言用维恩图表示有以下几种情况（阴影部分即为A与B 的并集)：①A B，A∪B＝B错误!错误!错误!错误!思考：(1)“x∈A或x∈B"包含哪几种情况？（2）集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和?［提示]（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念2教案第一册

第一章集合与常用逻辑用语第1节集合的概念本课是本节的第一课,也是同学们刚进入高中阶段的第一课。

常言道“良好的开端是成功的一半”。

本课主要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的例子入手,体会集合的含义.集合作为一种基本的数学语言,学习并掌握它的最好方法是使用.因此，教学中要多引导学生使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转换. 养成良好的数学习惯。

集合语言是现代数学的基本语言，可以简洁、准确、规范的表达数学内容.本节学习集合的一些基本知识,用最基本的集合语言表示有关数学对象和数学问题等,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换，初步运用集合的观点和思想来分析数学,解决简单的数学问题。

符号，并能够用其解决有关问题.C.会用集合语言表示有关数学对象:描述法，列举法。

1.教学重点:集合的含义与表示方法,元素与集合的关系；2。

教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合。

多媒体注意:在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式，只是去掉竖线和元素代表符号,例如：所有直角三角形的集合可以表示为{x｜x是直角三角形｝，也可以写成｛直角三角形}。

例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合.(1)方程x2—2=0的所有实数根组成的集合。

(2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.解:(1)设方程x2-2=0的实数根为x，并且满足条件x2—2=0,因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0｝.方程x2-2=0有两个实数根为22-，,因此，用列举法表示为A=｛2，}。

2-（2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z,且10<x<20,因此，用描述法表示为B={x∈Z∣10〈x<20｝.。

高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第2课时补集学案含解析第一册

第2课时补集学习目标核心素养1.了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点）1。

通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类,培养数学抽象素养．某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇,王亮，李冰，张军，赵云，冯佳,薛香芹，钱忠良，何晓慧｝,其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝｛王明，曹勇，王亮，李冰，张军｝．问题那么没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合是什么？1．全集(1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么就称这个给定的集合为全集．（2）记法：全集通常记作U ．思考1:全集一定是实数集R吗？[提示］全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.[拓展]全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R 作为全集；当我们只讨论大于0且小于8的实数时，可选｛x|0＜x＜8｝为全集,通常也把给定的集合作为全集．2．补集文字语言如果集合A是全集U的子集，则由U中不属于A 的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x｜x∈U,且x A}图形语言3.补集的运算性质条件给定全集U及其任意一个子集A结论A∪（∁U A)＝U；A∩（∁U A）＝;∁U（∁U A)＝A思考2:∁U A，A,U三者之间有什么关系？［提示](1）∁U A表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,则∁U A⊆U.如果全集换成其他集合（如R)，那么记号中“U”也必须换成相应的集合（如∁R A）。

(2)求∁U A的前提条件为集合A是全集U的子集．(3）若x∈U，则x∈A,x∈∁U A必居其一．[拓展]补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×"）(1）∁U U＝，∁U＝U。

2021_2022学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1第1课时集合课件新人

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第一章集合与常用逻辑用语
集合集合及其表示方法第1课时集合
学习任务 1．通过实例了解集合的含义．(难点)
核心素养
2．掌握集合中元素的三个特性．(重 1．通过集合概念的学习，逐
点)
步形成数学抽象素养．
3．体会元素与集合的“属于”关系， 2．借助集合中元素的互异性
记住常用数集的表示符号并会应
的应用，培养逻辑推理素养.
类型2 元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② 2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)(对接教材P9练习B④)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当
a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2
B．2或4
C．4
D．0
(1)B (2)B [(1)①π 是实数，所以 π∈R 正确；② 2是无理数，
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型1 集合的有关概念【例1】 (1)下列对象能构成集合的是( ) ①援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；②所有的钝角三角形；③2020年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生． A．①②④ B．②⑤ C．③④⑤ D．②③④ (2)集合P中含有两个元素分别为1和4，集合Q中含有两个元素1 和a2，若P与Q相等，则a＝________.
1234 5
4．(多选题)下列给出的对象构成的集合是有限集的是( ) A．方程x2－6x－16＝0的根 B．大于0且小于5的实数 C．小于22的质数 D．倒数等于它本身的实数
1234 5

2021_2022学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法(第2课时)集

第2课时集合的表示考点学习目标核心素养列举法表示集合掌握用列举法表示有限集数学抽象描述法表示集合理解描述法格式及其适用情况，并会用描述法表示相关集合数学抽象区间及其表示会用区间表示集合数学抽象集合表示法的简单应用学会在集合的不同表示法中作出选择和转换数学抽象问题导学预习教材P5倒数第4行－P8的内容，思考以下问题：1．集合有哪几种表示方法？它们如何定义？2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？4．如何用区间表示集合？1．列举法把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．■名师点拨(1)应用列举法表示集合时应关注以下四点①元素与元素之间必须用“，〞隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物．(2)a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素．2．描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，那么性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．■名师点拨(1)应用描述法表示集合时应关注以下三点①写清楚集合中元素的符号，如数或点等；②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；③不能出现未被说明的字母．(2)注意区分以下四个集合①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R；②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y ＝x2＋1的图像上的点组成的集合；④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1.3．区间的概念及表示(1)区间的定义及表示设a，b是两个实数，而且a<b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b](2)无穷的概念及无穷区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a} 符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a) ■名师点拨关于无穷大的两点说明(1)“∞〞是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞〞或“＋∞〞为端点时，区间这一端必须是小括号．判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}．( )(2)集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．( )(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )(4)集合{x|x>3，且x∈N}与集合{x∈N|x>3}表示同一个集合．( )(5)集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1，0，1}．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×方程x2－1＝0的解集用列举法表示为( )A．{x2－1＝0} B．{x∈R|x2－1＝0}C．{－1，1} D．以上都不对x2－1＝0得x＝±1，故方程x2－1＝0的解集为{－1，1}．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}x－3<2，x∈N*，所以x<5，x∈N*，所以x＝1，2，3，4.由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1<x<5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1<x<5}．答案：{0，1，2，3，4} {x∈N|－1<x<5}(1){x|－1≤x≤2}可用区间表示为________；(2){x|1<x≤3}可用区间表示为________；(3){x|x>2}可用区间表示为________；(4){x|x≤－2}可用区间表示为________；答案：(1)[－1，2] (2)(1，3] (3)(2，＋∞)(4)(－∞，－2]用列举法表示集合用列举法表示以下集合：(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1的解组成的集合B ；(4)15的正约数组成的集合N . 【解】 (1)因为－2≤x ≤2，x ∈Z ，所以x ＝－2，－1，0，1，2，所以A ＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为2和3是方程的根，所以M ＝{2，3}．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.所以B ＝{(3，2)}．(4)因为15的正约数有1，3，5，15，所以N ＝{1，3，5，15}．列举法表示的集合的种类(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}．(2)元素个数多且有限时，可以列举局部，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数〞可以表示为{1，2，3，…，1 000}．(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N 〞可以表示为{0，1，2，3，…}．[注意] (1)花括号“{}〞表示“所有〞“整体〞的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R }都是不确切的．(2)用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏．用列举法表示以下给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A ； (2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ； (3)小于8的质数组成的集合C ；(4)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图像的交点组成的集合D . 解：(1)大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A ＝{2，3，4，5}．(2)方程x 2－9＝0的实数根为－3，3，所以B ＝{－3，3}．(3)小于8的质数有2，3，5，7，所以C ＝{2，3，5，7}．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图像的交点为(1，4)，所以D ＝{(1，4)}．用描述法表示集合用描述法表示以下集合：(1)函数y ＝－2x 2＋x 的图像上的所有点组成的集合； (2)不等式2x －3<5的解组成的集合； (3)如图中阴影局部的点(含边界)的集合； (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解】 (1)函数y ＝－2x 2＋x 的图像上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }．(2)不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}．(3)题图中阴影局部的点(含边界)的集合可表示为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，xy ≥0}．(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N *}．使用描述法表示集合应注意的问题(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等． (2)说明该集合中元素的共同属性． (3)不能出现未被说明的字母．(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．试分别用描述法和列举法表示以下集合：(1)由方程x (x 2－2x －3)＝0的所有实数根组成的集合； (2)大于2小于7的整数．解：(1)用描述法表示为{x ∈R |x (x 2－2x －3)＝0}，用列举法表示为{0，－1，3}． (2)用描述法表示为{x ∈Z |2<x <7}，用列举法表示为{3，4，5，6}．区间及其表示把以下数集用区间表示：(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥－12；(2){x |x ＜0}； (3){x |－2＜x ≤3}； (4){x |－3≤x ＜2}； (5){x |－1＜x ＜6}．【解】 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞； (2)(－∞，0)； (3)(－2，3]； (4)[－3，2)； (5)(－1，6)．解决区间问题应注意的五点(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b －a 称为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a }．(2)注意开区间(a ，b )与点(a ，b )在具体情景中的区别． (3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心圆的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示． (5)要注意区间表示实数集的几条原那么，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆，用“∞〞作为区间端点时，要用开区间符号．1．假设[2a ＋1，3a －1]为一确定区间，那么实数a 的取值范围为________．解析：由题意知3a －1＞2a ＋1，即a ＞2. 答案：(2，＋∞)2．不等式2x ＋3≤0的解集可用区间表示为________．解析：由2x ＋3≤0，得x ≤－32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32 3．使15－x有意义的x 的取值范围为________(用区间表示)．解析：要使15－x 有意义，那么5－x ＞0，即x ＜5. 答案：(－∞，5)集合表示方法的简单应用集合A ＝{x ∈R |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }，假设A 中元素至多只有一个，求m 的取值范围．【解】 ①当m ＝0时，原方程为－2x ＋3＝0，x ＝32，符合题意．②当m ≠0时，方程mx 2－2x ＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m ≤0，得m ≥13，即当m ≥13时，方程mx 2－2x ＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．由①②知m ＝0或m ≥13.1．(变条件)假设将本例中的“至多只有一个〞改为“恰有一个〞，如何求解？解：当m ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，即集合A 中只有一个元素32，符合题意；当m ≠0时，Δ＝4－12m ＝0，即m ＝13.综上可知，m ＝0或m ＝13.2．(变条件)假设将本例中的“至多只有〞改为“至少有〞，如何求解？解：A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由例题解析可知，当m ＝0或m ＝13时，A 中有一个元素；当A 中有两个元素时，Δ＝4－12m >0，即m <13且mA 中至少有一个元素时，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ≤13.此题容易漏解m ＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当m ＝0时，所给的方程是一个一元一次方程；当m ≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对m 进展分类讨论.集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}，当A＝{2}时，集合B ＝( )A ．{1}B ．{1，2}C ．{2，5}D ．{1，5}A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }＝{2}知，22＋2p ＋q ＝2，且Δ＝(p －1)2－4q ，p ＝－3，q ＝4.那么(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3可化为(x －1)2－3(x －1)＋4＝x ＋3；即(x －1)2－4(x －1)＝0；那么x －1＝0或x －1＝4，计算得出，x ＝1或x ＝5. 所以集合B ＝{1，5}．1．集合A ＝{x |－1<x <3，x ∈Z }，那么一定有( ) A ．－1∈A B ．12∈A C ．0∈AD ．1∉A解析：选C.因为－1<0<3，且0∈Z ，所以0∈A .2．将集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫〔x ，y 〕⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1用列举法表示，正确的选项是( ) A ．{2，3} B ．{(2，3)} C ．{x ＝2，y ＝3}D ．(2，3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，所以集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫〔x ，y 〕⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1＝{(2，3)}． 3．给出以下说法：①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为{(x ，y )|x >0，y >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}；③集合{y |y ＝x 2－1，x ∈R }与{y |y ＝x －1，x ∈R }是不一样的；④不等式2x ＋1>0的解集可用区间表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.其中正确的选项是________(填序号)．解析：对于①，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点(x ，y )，所以①正确；对于②，方程x －2＋|y ＋2|＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，解集为{(2，－2)}或{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2}，所以②不正确；对于③，集合{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，集合{y |y ＝x －1，x ∈R }＝R ，这两个集合不一样，所以③正确；对于④，不等式2x ＋1>0的解集为{x |x >－12}，用区间表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，所以④正确．答案：①③④4．设集合A ＝{4，a }，集合B ＝{2，ab }，假设A 与B 的元素一样，那么a ＋b ＝______．解析：因为集合A 与集合B 的元素一样，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，ab ＝4，即a ＝2，ba ＋b ＝4.答案：4[A 根底达标]1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．一次函数y ＝2x －1的图像上的所有点组成的集合，其表示一次函数y ＝2x －1的图像上的所有点组成的集合．应选D. 2．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的选项是( ) A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}解析：选中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B 中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；C 中t ＝0时，x ＝－3，不属于给定的集合；只有D 是正确的．应选D.3．集合{x |x 2＋ax ＝0}＝{0，1}，那么实数a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2，x 2＋ax ＝0的解为0，1，利用根与系数的关系得0＋1＝－a ，所以a ＝－1.4．(2021·襄阳检测)集合A ＝{1，2，4}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝xy，x ∈A ，y ∈A ，那么集合B中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B.因为A ＝{1，2，4}．所以集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝x y ，x ∈A ，y ∈A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，14，2，4，所以集合B 中元素的个数为5. 5．以下说法中正确的选项是( ) ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．只有②和④解析：选C.①中“0〞不能表示集合，而“{0}〞可以表示集合，故①错误．根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举．6．不等式3x －13≤x 的解集可用区间表示为________．解析：由3x －13≤x ，得x ≤16，故不等式的解集为{x |x ≤16}，可用区间表示为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，16. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，167．用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3，x ∈N ，y ∈N *}为____________．解析：集合A 是由方程x ＋y ＝3的局部整数解组成的集合，由条件可知，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝1时，y ＝2；当x ＝2时，y ＝1，故A ＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}．答案：{(0，3)，(1，2)，(2，1)}8．－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，那么集合{x |x 2－3x ＋a ＝0}用列举法表示为________．解析：因为－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，所以(－5)2＋5a －5＝0，解得a ＝－4. 所以x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1或x ＝4，所以{x |x 2－3x ＋a ＝0}＝{－1，4}．答案：{－1，4}9．用列举法表示以下集合： (1){x |x 2－2x －8＝0}；(2){x |x 为不大于10的正偶数}； (3){a |1≤a <5，a ∈N }；(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪169－x ∈N ； (5){(x ，y )|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}．解：(1){x |x 2－2x －8＝0}，列举法表示为{－2，4}．(2){x |x 为不大于10的正偶数}，列举法表示为{2，4，6，8，10}．(3){a |1≤a <5，a ∈N }，列举法表示为{1，2，3，4}．(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪169－x ∈N ，列举法表示为{1，5，7，8}． (5){(x ，y )|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}，列举法表示为{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．10．用描述法表示以下集合：(1){0，2，4，6，8}；(2){3，9，27，81，…}；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，34，56，78，…； (4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．解：(1){x ∈N |0≤x <10，且x 是偶数}．(2){x |x ＝3n ，n ∈N *}．(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n －12n ，n ∈N *. (4){x |x ＝5n ＋2，n ∈Z }．[B 能力提升]11．假设集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R }只有一个元素，那么实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：选C.集合A 中只有一个元素，即方程kx 2＋4x ＋4＝0只有一个根．当k ＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k ≠0时，方程为一元二次方程，假设只有一根，那么Δ＝16－16k ＝0，即kk 的值为0或1.12．设P 、Q 为两个实数集，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，假设P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，那么P ＋Q 中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B.因为0＋1＝1，0＋2＝2，0＋6＝6，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋6＝8，5＋1＝6，5＋2＝7，5＋6＝11，所以P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}．应选B.13．(2021·襄阳检测)设集合M ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z }，P ＝{y |y ＝2m ，m ∈Z }，假设x 0∈M ，y 0∈P ，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，那么( )A．a∈M，b∈P B．a∈P，b∈MC．a∈M，b∈M D．a∈P，b∈Px0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，那么x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x0y0＝2k(2n＋1)＝2(2nk＋k)∈P，即a∈M，b∈P，应选A.14．设a∈N，b∈N，a＋b＝2，集合A＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－a)2＝5b}，(3，2)∈A，求a，b的值．解：由a＋b＝2，得b＝2－a，代入(x－a)2＋(y－a)2＝5b得：(x－a)2＋(y－a)2＝5(2－a)①，又因为(3，2)∈A，将点代入①，可得(3－a)2＋(2－a)2＝5(2－a)，整理，得2a2－5a＋3＝0，得a＝1或1.5(舍去，因为a是自然数)，所以a＝1，所以b＝2－a＝1，综上，a＝1，b＝1.[C 拓展探究]15．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※〞如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，在此定义下，求集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N*，b∈N*}中的元素有多少个？解：假设a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6，6)，这时有2×5＋1＝11(个)；假设a，b一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4(个)．所以共有11＋4＝15(个)．。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语 1.1.1 第1课时集合课后提升训练(含解析)新人教B版必修

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法第1课时集合课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下列语句不能确定一个集合的是()A.充分小的负数全体B.爱好飞机的一些人C.某班本学期视力较差的同学D.某校某班某一天的所有课程2.已知集合A为大于√5的数构成的集合,则下列说法正确的是()A.2∈A,且3∈AB.2∈A,且3∉AC.2∉A,且3∈AD.2∉A,且3∉A3.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素构成集合M,则M中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4.方程x2-5x+6=0的解为x=2或x=3;方程x2-x-2=0的解为x=-1或x=2.所以M中有3个元素,分别是-1,2,3.故选C.4.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m为()A.2B.3C.0或3D.0或2或3,知m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.经检验,当m=0或m=2时,不满足集合A中元素的互异性;当m=3时,满足题意.综上可知,m=3.5.一个书架上有九个不同种类的书各5本,那么由这个书架上的书组成的集合中含有个元素.6.设a,b是非零实数,则|a|a +|b|b可能取的值构成的集合中的元素有,所有元素的和为.a与b的正负分类讨论求解,有四种情况: 当a>0,b<0时,原式=0;当a>0,b>0时,原式=2;当a<0,b>0时,原式=0;当a<0,b<0时,原式=-2.2,0,207.判断下列语句是否正确,并说明理由.(1)某学校高一(8)班比较漂亮的女生能构成一个集合;(2)由1,32,64,|-12|,0.5构成的集合有5个元素;(3)将小于100的自然数,按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合.错误.因为“漂亮”是个模糊的概念,因此不满足集合中元素的确定性.(2)错误.因为32=64,|-12|=0.5,根据集合中元素的互异性知,由1,32,64,|-12|,0.5构成的集合只有3个元素:1,32,0.5.(3)错误.根据集合中元素的无序性可知,小于100的自然数无论按什么顺序排列,构成的集合都是同一个集合.能力提升练1.(2020某某高一月考)已知x∈R,由x,-x,|x|,√x2,-√x33所组成的集合最多含有元素的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5x,-x,|x|,√x2=|x|,-√x33=-x中,至多有2个不同的实数,所以组成的集合最多含有元素的个数是2.2.(多选题)已知集合A中有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,则a可能为()A.2B.4C.6D.2或4或6A中含有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,当a=2∈A时,6-a=4∈A,则a=2;当a=4∈A时,6-a=2∈A,则a=4;当a=6∈A时,6-a=0∉A.综上所述,故a=2或4.3.(多选题)设a,b,c为非零实数,代数式a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是()A.-4∈MB.0∈MC.4∈MD.以上都不正确a,b,c为非零实数,所以a>0,b>0,c>0时,a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+1+1+1=4;当a,b,c中有一个小于0时,不妨设a<0,b>0,c>0,此时a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=-1+1+1-1=0;当a,b,c中有一个大于0时,不妨设a<0,b<0,c>0,此时a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=-1-1+1+1=0;当a<0,b<0,c<0时,此时a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=-1-1-1-1=-4.4.(2020某某高一期中)已知集合M中有3个元素1,m+1,m2+4,如果5∈M且-2∉M,那么m=.∈M且-2∉M,所以若m+1=5,解得m=4,若m2+4=5,解得m=±1,经检验均符合题意,所以m 的值为4或1或-1.或1或-15.已知集合A中含有3个元素a,0,-1,集合B中含有3个元素c+b,1a+b,1,且A=B,则a=,b=,c=.A=B,又∵1a+b≠0,∴a=1,c+b=0,1a+b=-1,∴b=-2,c=2.-226.设P ,Q 为两个数集,P 中含有0,2,5三个元素,Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素是a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,求P+Q 中元素的个数.a=0时,由b ∈Q 可得a+b 的值为1,2,6;当a=2时,由b ∈Q 可得a+b 的值为3,4,8;当a=5时,由b ∈Q 可得a+b 的值为6,7,11.由集合元素的互异性可知,P+Q 中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.素养培优练已知集合S 满足:若a ∈S ,则11-a ∈S.请解答下列问题: (1)若2∈S ,则S 中必有另外两个元素,求出这两个元素;(2)证明:若a ∈S ,则1-1a ∈S ;(3)在集合S 中,元素能否只有一个?若能,把它求出来;若不能,请说明理由.2∈S ,所以11-2=-1∈S ,所以11-(-1)=12∈S ,所以11-12=2∈S. 所以集合S 中另外的两个元素为-1和12.,可知a ≠1且a ≠0,由11-a ∈S ,得11-11-a ∈S , 即11-11-a =1-a 1-a -1=1-1a∈S. 所以若a ∈S ,则1-1a ∈S.S 中的元素不可能只有一个.理由如下:令a=11-a,即a 2-a+1=0. 因为Δ=(-1)2-4<0,所以此方程无实数解,所以a ≠11-a .因此集合S 中不可能只有一个元素.。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法第2课时集合的表

第2课时集合的表示方法必备知识·探新知基础知识1．列举法把集合中的元素__一一列举__出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法．思考1：用列举法可以表示无限集吗？提示：可以．但构成集合的元素必须具有明显的规律，并且表示时要把元素间的规律呈现清楚，如正整数集N＋可表示为{1,2,3,4,5,6，…}．2．描述法(1)特征性质：属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．(2)特征性质描述法(简称为描述法)：集合A可以用它的特征性质p(x)表示为__{x|p(x)}__.(3)集合__{x|p(x)}__中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}．思考2：用列举法与描述法表示集合的区别是什么？提示：列举法描述法一般形式{a1，a2，a3，…，a n}{x∈I|p(x)}适用范围有限集或规律性较强的无限集有限集、无限集均可特点直观、明了抽象、概括3．区间及其表示(1)一般__区间__的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b)半开半{x|a≤x<b}[a，b)闭区间半开半(a，b]{x|a<x≤b}闭区间(2)特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考3：区间与数集有何关系？提示：(1)联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达形式；(2)区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等；(3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来，表示两个集合之间的运算．基础自测1．用列举法表示集合{x∈N*|x－3≤2}为( D )A．{0,1,2,3,4} B．{0,1,2,3,4,5}C．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5}解析：集合{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}的元素为小于等于5的全部正整数，则{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}＝{1,2,3,4,5}．2．第一象限的点组成的集合可以表示为( C )A．{(x，y)|xy>0} B．{(x，y)|xy≥0}C．{(x，y)|x>0且y>0} D．{(x，y)|x>0或y>0}解析：第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，所以第一象限的点组成的集合可以表示为{(x，y)|x>0且y>0}．3．能被2整除的正整数组成的集合，用描述法可表示为__{x|x＝2n，n∈N*}__.4．下列集合：①{1,2,2}；②R＝{全体实数}；③{3,5}；④不等式x－5>0的解集为{x－5>0}．其中，集合表示方法正确的是__③__(填序号)．5．(1){x |－1≤x ≤2)}可用区间表示为__[－1,2]__； (2){x |1<x ≤3}可用区间表示为__(1,3]__； (3){x |x >2}可用区间表示为__(2，＋∞)__； (4){x |x ≤－2}可用区间表示为__(－∞，－2]__.关键能力·攻重难类型用列举法表示集合 ┃┃典例剖析__■典例1 用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数构成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根构成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图像的交点构成的集合．思路探究：(1)要明确公约数的含义；(2)注意4是重根；(3)要写成点集形式．解析：(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}． (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4,2，所求集合可表示为{2,4}．(3)方程y ＝x －1与y ＝－23x ＋43可分别化为x －y ＝1与2x ＋3y ＝4，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25，所求集合可表示为{(75，25)}．归纳提升：1.用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来．2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(4)是点集，而非数集．集合的所有元素用有序数对表示，并用“{}”括起来，元素间用分隔号“，”．(2)元素不重复，元素无顺序，所以本题(1)中，{1,1,2}为错误表示．又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合．┃┃对点训练__■1．用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合． (2)式子|a |a ＋|b |b(a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合．解析：(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}． (2)因为a ≠0，b ≠0，所以a 与b 可能同号也可能异号，所以①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；②当a <0，b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2；③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝0.故所有的值组成的集合为{－2,0,2}．类型用描述法表示集合 ┃┃典例剖析__■典例2 用描述法表示以下集合：(1)所有不小于2，且不大于20的实数组成的集合； (2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合； (3)使y ＝2－xx有意义的实数x 组成的集合；(4)200以内的正奇数组成的集合； (5)方程x 2－5x －6＝0的解组成的集合．思路探究：用描述法表示集合时，关键要先弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x ∈N ”等条件．解析：(1)集合可表示为{x ∈R |2≤x ≤20}．(2)第二象限内的点(x ，y )满足x <0，且y >0，故集合可表示为{(x ，y )|x <0且y >0}．(3)要使该式有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x ≠0，解得x ≤2，且x ≠0.故此集合可表示为{x |x ≤2，且x ≠0}． (4){x |x ＝2k ＋1，x <200，k ∈N }． (5){x |x 2－5x －6＝0}．归纳提升：用描述法表示集合应注意的问题1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他形式． 2．准确说明集合中元素所满足的特征．3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号．4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系．┃┃对点训练__■ 2．给出下列说法：①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②所有奇数组成的集合为{x |x ＝2n ＋1}；③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是同一集合．其中正确的有( A ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①正确；②不正确，应为{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }；③不正确，{(x ，y )|y ＝1－x }表示的是点集，而{x |y ＝1－x }表示的为数集．类型集合与方程的综合问题 ┃┃典例剖析__■典例3 (1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }中只有一个元素，则a ＝( D )A ．1B ．2C ．0D ．0或1(2)设12∈{x |x 2－ax －52＝0}，则集合{x }x 2－192x －a ＝0}中所有元素之积为__92__.思路探究：(1)集合只有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一根；(2)先求出a 的值，再求元素之积．解析：(1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，此时x ＝－12，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1，原方程的解为x ＝－1，符合题意．故当a ＝0或a ＝1时，原方程只有一个解，此时A 中只有一个元素． (2)因为12∈{x |x 2－ax －52＝0}．所以(12)2－12a －52＝0，解得a ＝－92，当a ＝－92时，方程x 2－192x ＋92＝0的判别式Δ＝(－192)2－4×92＝2894>0，由x 2－192x ＋92＝0，解得x 1＝12，x 2＝9，所以{x |x 2－192x ＋92＝0}＝{12，9}，故集合{x |x 2－192x ＋92＝0}的所有元素的积为12×9＝92.归纳提升：集合与方程综合问题的解题策略(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0，b ≠0时，方程有一个解；当a ≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数根．(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．┃┃对点训练__■3．(1)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3}，求a ，b 的值．(2)若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，求a 的取值范围．解析：(1)由A ＝{2,3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，9－3a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6.因此a ＝5，b ＝6.(2)A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由例题解析可知，当a ＝0或a ＝1时，A 中有一个元素；当A 中有两个元素时，Δ＝4－4a >0，即a <1且a ≠0.所以A 中至少有一个元素时，a 的取值范围为(－∞，1]．易混易错警示对集合中的代表元素认识不到位┃┃典例剖析__■典例4 用列举法表示下列集合：(1)A ＝{y |y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； (2)B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }；(3)C ＝{方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，的解}．错因探究：(1)本题容易忽略集合的代表元素是y ，习惯认为是x ，误认为A ＝{0,1,2}．(2)本题容易忽略代表元素，把点集误认为数集，导致错误答案B ＝{0,6,1,5,2}．(3)本题容易对“方程组的解为有序实数对”认识不到位，导致错误答案C ＝{1,2}．解析：(1)因为y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ，所以当x ＝0,1,2时，y ＝6,5,2，符合题意，所以用列举法表示为A ＝{2,5,6}．(2)(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，满足条件，所以用列举法表示为B ＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解是有序实数对，其解的集合可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，用列举法表示为{(1,2)}．误区警示：当用描述法表示集合时，要注意其表达符号(花括号、竖线)，竖线前表示代表元素，竖线后为元素的特征性质．看一个集合要先弄清其代表元素是什么，再弄清元素具有的特征性质是什么．学科核心素养集合中的“新定义”问题 ┃┃典例剖析__■“新定义”型集合问题就是在已有的运算法则和运算律的基础上，结合已学的集合知识来求解的一种新型集合问题．由于“新定义”题目形式新颖，强调能力立意，突出对学生数学素养的考查，特别能够考查学生“后继学习”的能力，因此在近年来成为各类考试的热点．新定义可能以文字形式出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现，求解此类问题时，应充分利用题目中所给的信息，准确将其转化为已掌握的知识进行求解．典例5 定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B中所有元素之和为( D )A．0 B．2C．3 D．6分析：欲求A*B中所有元素之和，需先确定A*B中的元素，而要求A*B中的元素，需弄清A*B的含义．解析：∵A*B中的元素是A，B中各任取一元素相乘所得结果，∴只需把A中任意元素与B中任意元素相乘即可．∵1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，∴A*B＝{0,2,4}，∴所有元素之和为0＋2＋4＝6.规律方法：(1)理解新定义．例如，本例中A*B中的元素是由A、B中任意两个元素相乘得来的．(2)运用新定义．例如，本例给出具体的A、B，求A*B.(3)不要被新符号迷惑．例如，本例中的新符号“*”，把它看成新定义的运算，就像“＋”“－”“×”“÷”一样，用符号表示运算法则．课堂检测·固双基1．下列集合中，不同于另外三个集合的是( C )A．{x|x＝2 019} B．{y|(y－2 019)2＝0}C．{x＝2 019} D．{2 019}解析：选项A，B，D中都只有一个元素“2019”，故它们都是相同的集合；而选项C中虽然只有一个元素，但元素是等式x＝2 019，而不是实数 2 019，故此集合与其他三个集合不同．2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( D )A．{x|－3<x<11，x∈Q}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}解析：选项A 表示的是所有大于－3且小于11的有理数；选项B 表示的是所有大于－3且小于11的实数；选项C 表示的集合中不含有－2这个偶数．3．用列举法表示集合⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝x 2y ＝－x 正确的是( B )A ．(－1,1)，(0,0)B ．{(－1,1)，(0,0)}C ．{x ＝－1或0，y ＝1或0}D ．{－1,0,1}解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝－x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以已知集合可用列举法表示为{(－1,1)，(0,0)}．4．若A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝n －m ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 中的元素个数为__4__. 解析：当n ＝2，m ＝3时，n －m ＝－1；当n ＝2，m ＝4时，n －m ＝－2；当n ＝3，m ＝4时，n －m ＝－1；当n ＝3，m ＝2时，n －m ＝1；当n ＝4，m ＝2时，n －m ＝2；当n ＝4，m ＝3时，n －m ＝1.所以集合B 中的元素共4个：－2，－1,1,2.5．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集． (1)由方程x 2＋x －2＝0的根组成的集合；(2)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； (3)不等式3x ＋4≥x 的解集．解析：(1)因为方程x 2＋x －2＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝1，所以由方程x 2＋x －2＝0的根组成的集合为{－2,1}．有限集．(2)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }，或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．有限集．(3)由3x ＋4≥x 得2x ≥－4，所以x ≥－2，所以不等式3x ＋4≥x 的解集是[－2，＋∞)．无限集．。

高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法第2课时集合的表示方法新人教B版必修第一册

集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用 “，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合.
2．用描述法表示下列集合： (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．
在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对元素个数与特性的验证分析，探索参数的取值范围.
3．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含有任何元素，则实
数a的取值范围是________．
[0,4) [当a＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解，当a≠0
时，一元二次方程ax2＋ax＋1＝0无实数解，则需Δ＝a2－4a＜0，即
[解] (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝ 0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}． (2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为 {(x，y)|y＝x2－10}．
集合的表示法的应用角度一方程、不等式问题【例 3】若集合 A＝{x|ax2＋ax－1＝0}只有一个元素，则 a＝ () A. －4 B. 0 C. 4 D. 0 或－4 A [依题意，得关于 x 的方程 ax2＋ax－1＝0 只有一个实根，所以aΔ≠＝00，，即aa≠ 2＋04，a＝0，解得 a＝－4，选 A.]
合作探究提素养
用列举法表示集合
【例 1】 (1)若集合 A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合 A 中元素的个数
是( )
A．1
B．2
C．3

高中数学第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法第2课时学案(含解

1.1.1集合及其表示方法第2课时学习目标1.理解并掌握集合的两种表示方法,并针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用数学的符号语言来刻画集合,发展数学抽象素养;2.理解并掌握区间及其表示,为后续不等式解集的学习打好基础.自主预习1.什么是列举法?2.什么是特征性质描述法?思考:如何选择合适的方法去表示集合?3.区间及其表示(1)若a∈R,b∈R,且a<b,则有下表:集合简写名称数轴表示闭区间开区间半闭半开区间半开半闭区间(2)如果用“+∞”表示“正无穷大”,用“-∞”表示“负无穷大”,则实数集R可表示为区间(-∞,+∞).符号(a,+∞) (-∞,a)集合{x|x≥a} {x|x≤a}课堂探究1.列举法【发现问题】(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;(4)由所有正整数构成的集合.思考1:以上集合均是用自然语言描述的,能否用数学语言去简洁表示呢?【探究新知】①由两个元素0,1组成的集合可用列举法表示为;②24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24组成的集合可用列举法表示为;③中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为;④不大于100的自然数组成的集合可以表示为;⑤自然数集N可用列举法表示为.思考2:{2,1}和{1,2}是同一个集合吗?思考3:只含一个元素的集合{a}也是一个集合,{a}与a该如何理解?例1用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;(4)由所有正整数组成的集合.跟踪训练1用列举法表示下列给定的集合:(1)大于1且小于6的整数组成的集合A;(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B;(3)一次函数y=x+2与y=-2x+5的图像的交点组成的集合D.2.描述法思考4:以下集合用列举法表示方便吗?如果不方便,该如何表示呢?①满足x>3的所有数组成的集合A;②所有的两个整数的商组成的集合B.例2用描述法表示下列集合:(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数集合;(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.跟踪训练2下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义分别是什么?例3用适当的方法表示下列集合:(1)方程x(x-1)=0的所有解组成的集合A;(2)平面直角坐标系中,第一象限内所有点组成的集合B.思考5:如何选用合适的方法来表示集合呢?跟踪训练3用适当的方法表示下列集合:(1)英语单词mathematics(数学)中的所有英文字母组成的集合;(2)方程x+2y=7的所有解组成的集合;(3)绝对值小于0的所有实数组成的集合.>x的所有解组成的集合A.例4用区间表示不等式2x-12跟踪训练4用区间表示下列集合:(1){x|-1≤x≤3};(2){x|0<x≤1};(3){x|2≤x<5};(4){x|0<x<2};(5){x|x<3};(6){x|x≥2}.例5已知集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合.延伸探究:1.若将“只有一个元素”改为“有两个元素”,其他条件不变,求实数k的值组成的集合.2.若将“只有一个元素”改为“至少有一个元素”,其他条件不变,求实数k的取值范围.课堂练习1.用列举法表示集合{x|x2-2x-3=0}为()A.{-1,3}B.{(-1,3)}C.{x=1}D.{x2-2x-3=0}2.一次函数y=x-3与y=-2x的图像的交点组成的集合是()A.{1,-2}B.{x=1,y=-2}C.{(-2,1)}D.{(1,-2)}3.设A={x∈N|1≤x<6},则下列正确的是()A.6∈AB.0∈AC.3∉AD.3.5∉A4.设区间A=(-2,3),B=[2,+∞),使得x∈A且x∈B的一个实数为.5.已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,求x的值.课后巩固1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为()A.{1,1}B.{1}C.{x=1}D.{x2-2x+1=0}2.如果A={x|x>-1},那么()A.-2∈AB.{0}∈AC.-3∈AD.0∈A3.下列集合中,不同于另外三个集合的是()A.{x|x=1}B.{x|x2=1}C.{1}D.{y|(y-1)2=0}4.下列命题中正确的是()A.集合{x∈R|x2=1}中有两个元素B.集合{0}中没有元素C.√13∈{x|x<2√3}D.{1,2}与{2,1}是不同的集合5.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.66.已知A={1,2,3},B={2,4},定义集合A,B间的运算A*B={x|x∈A且x∉B},则集合A*B等于()A.{1,2,3}B.{2,4}C.{1,3}D.{2}7.能被2整除的正整数的集合,用描述法可表示为.8.已知集合A={x|2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是.9.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集.(答案不唯一)10.用适当的方法表示下列集合:(1)一年中有31天的月份的全体;(2)大于-3.5小于12.8的整数的全体;(3)梯形的全体构成的集合;(4)所有能被3整除的数的集合;(5)方程(x-1)(x-2)=0的解集;(6)不等式2x-1>5的解集.核心素养专练1.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是.2.设集合B={x∈N|6∈N}.2+x(1)试判断元素1和2与集合B的关系;(2)用列举法表示集合B.参考答案略思考及探究新知:略例1 解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x 2=2x 的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即所求交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}. (4)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.跟踪训练1 解:(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}. (2)方程x 2-9=0的实数根为-3,3, 所以B={-3,3}.(3)由{y =x +2,y =-2x +5,得{x =1,y =3,所以一次函数y=x+2与y=-2x+5的交点为(1,3),所以D={(1,3)}.例2 解:(1)偶数可用式子x=2n ,n ∈Z 表示,但此题要求为正偶数,故限定n ∈N +,所以正偶数集可表示为{x|x=2n ,n ∈N +}.(2)设被3除余2的数为x ,则x=3n+2,n ∈Z,但元素为正整数,故n ∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n ∈N}.(3)坐标轴上的点(x ,y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x ,y )|xy=0}.跟踪训练2 解:(1)不是.(2)集合A={x|y=x 2+1}的代表元素是x ,且x ∈R,所以{x|y=x 2+1}=R,即A=R,可以认为集合A 表示函数y=x 2+1中自变量的取值范围.集合B={y|y=x 2+1}的代表元素是y ,满足条件y=x 2+1的y 的取值范围是y ≥1,所以{y|y=x 2+1}={y|y ≥1},可以认为集合B 表示函数y=x 2+1中因变量的取值范围.集合C={(x ,y )|y=x 2+1}的代表元素是(x ,y ),是满足y=x 2+1的数对.可以认为集合C 是由坐标平面内满足y=x 2+1的点(x ,y )构成的.例3(1)A={0,1}(2)B={(x,y)|x>0,y>0}跟踪训练3(1){m,a,t,h,e,i,c,s}(2){(x,y)|x+2y=7}(3)⌀,+∞)例4A=(12跟踪训练(1)[-1,3](2)(0,1](3)[2,5)(4)(0,2)(5)(-∞,3)(6)[2,+∞)例5解:①当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;②当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意.综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}.延伸探究1.解:由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不相等的实数根,故k≠0,且Δ=64-64k>0,即k<1,且k≠0.所以实数k组成的集合为{k|k<1,且k≠0}.2.解:由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根.①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,符合题意;②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≥0,即k≤1,且k≠0.综合①②可知,实数k的取值集合为{k|k≤1}.课堂练习1.A2.D3.D4.2(答案不唯一)5.-1或-81.B2.D3.B4.A5.B6.C7.{x|x=2n,n∈N+}8.(-∞,-2]}9.不是{1,2,1210.解:(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.(3){a|a是梯形}或{梯形}.(4){x|x=3n,n∈Z}.(5){1,2}.(6){x|x>3}.核心素养专练1.答案:5解析:因为A={0,1,2},又集合B 中元素为x-y 且x ∈A ,y ∈A , 所以x 的可能取值为0,1,2,y 的可能取值为0,1,2. 当x=0,y=0或1或2时,对应的x-y 的值为0,-1,-2. 当x=1,y=0或1或2时,对应的x-y 的值为1,0,-1. 当x=2,y=0或1或2时,对应的x-y 的值为2,1,0.综上可知,集合B={-2,-1,0,1,2},所以集合B 中的元素的个数为5. 2.解:(1)当x=1时,62+1=2∈N;当x=2时,62+2=32∉N,所以1∈B ,2∉B.(2)因为62+x ∈N,x ∈N,所以2+x 只能取2,3,6,所以x 只能相应取0,1,4,所以B={0,1,4}.学习目标1.掌握集合的三种表示方法,并能进行转化;2.会选择合适的方法表示集合;3.能正确表述和理解集合语言.自主预习一、列举法列举法:把集合中的元素出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在内,这种表示集合的方法称为列举法.二、描述法1.特征性质:一般地,如果属于集合A 的元素x 都具有性质p (x ),而不属于集合A 的元素都这个性质,则性质p (x )称为集合A 的一个特征性质.2.描述法:用特征性质p (x )表示为的形式.这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称描述法.思考:不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征?三、区间及其表示1.设a ,b 是两个实数,且a<b ,则有下表: 集合简写名称数轴表示{x|a ≤x ≤b }闭区间 {x|a<x<b }(a ,b ) 开区间[a ,b ) 半闭半开区间{x|a<x ≤b }(a ,b ]2.实数集R 可以用区间表示为 ,“∞”读作“无穷大”.如:符号(a ,+∞)(-∞,a )集合{x|x≥a} {x|x≤a}课堂探究一、列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;(4)由所有正整数构成的集合.跟踪训练1用列举法表示下列给定的集合:(1)大于1且小于6的整数组成的集合A;(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B;(3)一次函数y=x+2与y=-2x+5的图像的交点组成的集合D.二、描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数集合;(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.跟踪训练2下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义分别是什么?三、集合的表示方法例3 用适当的方法表示下列集合(能用区间表示的用区间表示): (1)方程x (x 2+2x+1)=0的解集;(2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合; (3)不等式x-2>6的解的集合;(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.跟踪训练3 下列集合中,不同于另外三个集合的是 ( )A .{x|x=1}B .{y|(y-1)2=0}C .{x=1}D .{1}核心素养专练1.集合{x ∈N +|x-3<2}的另一种表示方法是( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.坐标轴上的点的集合可表示为( ) A.{(x ,y )|x=0,y ≠0或x ≠0,y=0} B.{(x ,y )|x 2+y 2=0} C.{(x ,y )|xy=0}D.{(x ,y )|x 2+y 2≠0}3.方程组{x +y =1,y +z =2,z +x =3的解集为( )A.(1,0,2)B.{1,0,2}C.{(1,0,2)}D.{(x ,y ,z )|1,2,3}4.集合{y|y=x+1}与集合{y|y=x 2+1}的公共元素是( ) A.{(1,2),(0,1)} B.{y|y=x 2+1}C.⌀D.{y|y ≥1}5.如果集合A={x|ax 2+2x+1=0}中只有一个元素,则a 的值是( ) A .0 B .0或1 C .1D .不能确定6.若集合M={1,2},满足集合P={x|x ∈M }的P 有 .参考答案自主预习略课堂探究一、列举法表示集合例1 解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x 2=2x 的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即所求交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}.(4)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.跟踪训练1 解:(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.(2)方程x 2-9=0的实数根为-3,3,所以B={-3,3}.(3)由{y =x +2,y =-2x +5,得{x =1,y =3,所以一次函数y=x+2与y=-2x+5的交点为(1,3),所以D={(1,3)}.例2 解:(1)偶数可用式子x=2n ,n ∈Z 表示,但此题要求为正偶数,故限定n ∈N +,所以正偶数集可表示为{x|x=2n ,n ∈N +}.(2)设被3除余2的数为x ,则x=3n+2,n ∈Z,但元素为正整数,故n ∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n ∈N}.(3)坐标轴上的点(x ,y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x ,y )|xy=0}.跟踪训练2 解:(1)不是.(2)集合A={x|y=x 2+1}的代表元素是x ,且x ∈R,所以{x|y=x 2+1}=R,即A=R,可以认为集合A 表示函数y=x 2+1中自变量的取值范围;集合B={y|y=x 2+1}的代表元素是y ,满足条件y=x 2+1的y 的取值范围是y ≥1,所以{y|y=x 2+1}={y|y ≥1},可以认为集合B 表示函数y=x 2+1中因变量的取值范围;集合C={(x ,y )|y=x 2+1}的代表元素是(x ,y ),是满足y=x 2+1的数对,可以认为集合C 是由坐标平面内满足y=x 2+1的点(x ,y )构成的.三、集合的表示方法例3 解:(1){0,-1};(2){x|x=2n+1,且x<1 000,n ∈N};(3)(8,+∞);(4){1,2,3,4,5,6}.跟踪训练3 答案:C 核心素养专练1.B2.C3.C4.D5.B6.{1},{2},{1,2}。

高中数学一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法集合的含义

第1课时集合的含义考点学习目标核心素养集合的概念了解集合与元素的概念数学抽象理解元素与集合的关系，掌握数学元素与集合的关系数学抽象、逻辑推理中一些常见的集合及其记法理解集合中元素的特征，并能利用数学运算、数学抽象集合中元素的特征及应用它们进行解题问题导学预习教材P3－P5的内容，思考以下问题：1．集合和元素的概念是什么？2．如何用字母表示集合和元素？3．元素和集合之间有哪两种关系？4．常见的数集有哪些？分别用什么符号来表示？5．按元素个数的多少，集合可分为哪几类？1．元素与集合的概念(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集)，通常用英文大写字母A，B，C，…表示．(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示．(3)元素的特性①确定性：集合的元素必须是确定的；②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．③无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关.■名师点拨(1)在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．(2)集合中的元素与顺序无关，只要两个集合中的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合．2．元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a 是集合A 中的元素 a ∈Aa 属于A不属于a 不是集合A 中的元素a ∉Aa 不属于A■名师点拨对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如“R ∈0”是错误的． 3．空集(1)定义：不含任何元素的集合． (2)符号：∅．4．常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法 NN *或N ＋ZQR5.集合的分类(1)集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合(2)空集是有限集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合中的元素一定是数．( )(2)高一四班的全体同学组成一个集合．( )(3)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合． ( ) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) (5)集合N 中的最小元素为0.( ) (6)若a ∈Q ，则一定有a ∈R .( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√ 由“title ”中的字母构成的集合中元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.由“title ”中的字母构成的集合中元素为t ，i ，l ，e ，共4个．下列关系中：①0.21∈Q ；②105∉N *；③－4∈N *；④4∈N ；⑤0∈∅.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.①是正确的；②中105＝2∈N *，故②错误；③中－4＝－2∉N *，故③错误；④4＝2∈N 是正确的，⑤0∉∅，故⑤错误．故①④正确．已知集合M 有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，则实数a ＝________．解析：由题意知a ＋1＝4，即a ＝3. 答案：3 集合的概念2019年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)你所在班级中全体同学； (2)班级中比较高的同学；(3)班级中身高超过178 cm 的同学； (4)班级中比较胖的同学； (5)班级中体重超过75 kg 的同学； (6)学习成绩比较好的同学．【解】 (1)班级中全体同学是确定的，所以可以构成一个集合． (2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (3)因为“身高超过178 cm ”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (5)因为“体重超过75 kg ”是确定的，可以构成一个集合．(6)因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．判断一组对象能否构成集合的方法一般地，确认一组对象a 1，a 2，a 3，…，a n (a 1，a 2，…，a n 均不相同)能否构成集合的过程为1．(2019·临川检测)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④3的近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③解析：选C.①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准是确定的，因而能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准是确定的，因而能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，所以不能构成集合．2．中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)2018～2019赛季，CBA的所有队伍；(2)CBA中比较著名的队员；(3)CBA中得分前五位的球员；(4)CBA中比较高的球员．解：(1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合．(2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．(3)“得分前五位”是确定的，可以构成一个集合．(4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误． (2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A 满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A 满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A 含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．1．用适当的符号填空：已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数，则有： 17________A ；－5________A . 解析：由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ，令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .答案：∈ ∉2．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R .若1∉A ，2∈A ，则实数a 的取值范围为________．解析：因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，即－4<a ≤－2. 答案：－4<a ≤－2 集合中元素的特征及应用已知集合A 中含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________．【解析】若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 中有重复元素，所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a ＝－1. 【答案】－11．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A ”，则实数a 的取值范围是什么？解：因为集合A 中含有两个元素a 和a 2，所以a ≠a 2，即a ≠0且a ≠1.2．(变条件)若将本例中的“1∈A ”改为“2∈A ”，则a 为何值？解：因为2∈A ，所以a ＝2或a 2＝2，即a ＝2或a ＝± 2.3．(变条件)若由a 和a 2构成的集合只有一个元素，则a 为何值？解：因为由a 和a 2构成的集合只有一个元素，所以a ＝a 2，即a ＝0或a ＝1.由集合中元素的特征求解字母取值(范围)的步骤1．若集合M 中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D. 2．若集合A 中的三个元素x ，x ＋1，1与集合B 中的三个元素x ，x ＋x 2，x 2相同，求实数x 的值．解：因为集合A 与B 的元素相同，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2. 解得x ＝±1.经检验，x ＝1不符合集合中元素的互异性，而x ＝－1符合，所以x ＝－1.1．下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有质数C ．直角坐标平面内第一象限的一些点D ．所有小的正数解析：选B.A 中“难题”的标准不确定，因而不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．D 中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合．2．下列结论中，不正确的是( ) A ．若a ∈N ，则1a∉NB ．若a ∈Z ，则a 2∈Z C ．若a ∈Q ，则|a |∈Q D ．若a ∈R ，则3a ∈R解析：选A.A 不正确．反例：a ＝1∈N ，1a＝1∈N .3．若以方程x 2－5x ＋6＝0和x 2－x －2＝0的解为元素组成集合M ，则M 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，x 2－x －2＝0的解为x ＝2或x ＝－1，所以集合M 中含有3个元素．4．下列集合中________是有限集，________是无限集(填序号)． (1)由小于8的正奇数组成的集合； (2)大于5小于20的实数组成的集合．解析：(1)因为小于8的正奇数有1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集． (2)因为大于5小于20的实数包括整数、小数等，有无数个，所以其组成的集合是无限集．答案：(1) (2)5．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________．解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证，当m ＝0或m ＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m ＝3时，满足题意，故m ＝3. 答案：3[A 基础达标]1．现有以下说法，其中正确的是( ) ①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合； ③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选D.在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．2．给出下列关系：①13∈R ；②5∈Q ；③－3∉Z ；④－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.3．设A 是方程2x 2＋ax ＋2＝0的解集，且2∈A ，则实数a 的值为( ) A ．－5 B ．－4 C ．4D ．5解析：选A.因为2∈A ，所以2×22＋2a ＋2＝0，解得a ＝－5.4．设集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，则下列关系中正确的是( ) A ．a ∈M B ．a ∉M C ．a ＝MD ．a ≠M解析：选B.因为集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，所以a 不是集合M 中的元素，故a ∉M .5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有 ( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素D ．5个元素解析：选A.x 2＝|x |，－3x 3＝－x . 当x ＝0时，它们均为0；当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ；当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x .通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中元素最多含有2个． 6．下列说法：①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素；⑤方程x 2＋2x ＋3＝0的解集是∅.其中正确的有________(填序号)．解析：集合N *表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，因为方程x 2＋2x ＋3＝0无解，所以它的解集为∅.所以①③的说法不正确，②④⑤的说法正确．答案：②④⑤7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填“∈”或“∉”)解析：因为a 是偶数，b 是奇数，所以a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈8．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时， |a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2，0，－2. 即元素的个数为3. 答案：39．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R . (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值．解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a 的值为0或－1. (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1. 当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a ＝1. 10．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试分别判断a ＝－3，b ＝13－3，c ＝(1－23)2与集合A 的关系．解：因为a ＝－3＝0＋(－1)×3，而0，－1∈Z ，所以a ∈A ；因为b ＝13－3＝3＋3（3－3）（3＋3）＝12＋36，而12，16∉Z ，所以b ∉A ；因为c ＝(1－23)2＝13＋(－4)×3，而13，－4∈Z ，所以c ∈A .[B 能力提升]11．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．小于或等于1解析：选C.由y ∈N 且y ＝－x 2＋1≤1，所以y ＝0或y ＝1，所以A ＝{0，1}．又因为t ∈A ，所以t ＝0或t ＝1，故选C.12．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C.集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C.13．(2019·信阳检测)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析：因为集合P 中恰有三个不同元素，且元素x 满足x ∈N ，且2<x <a ，则满足条件的x 的值为3，4，5，所以a 的值是6.答案：614．设集合A 中的元素是实数，且满足1∉A ，且若a ∈A ，则11－a∈A .若2∈A ，写出集合A 中的元素．解：因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A ，所以11－（－1）＝12∈A ，所以11－12＝2，再求下去仍然只得到2，－1，12这三个数，所以集合A 中的元素只有三个－1，12，2. [C 拓展探究]15．定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且a b∈A (b ≠0)”的集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．解：(1)数集N ，Z 不是“闭集”，例如，3∈N ，2∈N ，而32＝1.5∉N ；3∈Z ，－2∈Z ，而3－2＝－1.5∉Z ，故N ，Z 不是闭集． (2)数集Q ，R 是“闭集”．由于两个有理数a 与b 的和，差，积，商，即a ±b ，ab ，a b (b ≠0)仍是有理数，所以Q 是闭集，同理R 也是闭集．。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.3 集合的基本运算第1课时集合的交集

第1课时集合的交集与并集(教师独具内容)课程标准：1.理解两个集合交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集.2.能使用维恩图直观地表达两个集合的交集与并集．教学重点：1.交集与并集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.求两个集合的交集与并集．教学难点：1.交集中“且”、并集中“或”的正确理解.2.准确地找出交集、并集中的元素，并能恰当地加以表示.【情境导学】(教师独具内容)为了丰富学生的体育生活，发挥学生的特长，学校组建了三个体育社团：足球社团、篮球社团、排球社团．已知参加这三个社团的人数分别是200,500,400，那么，我校参加体育社团的总人数是200＋500＋400＝1100吗？如果不是，还需要一些什么条件，才能把总人数计算出来？【知识导学】知识点一交集交集的运算性质：A∩B＝□02B∩□03A，A∩A＝□04A，A∩∅＝□05∅，A∩B＝A⇔□06A⊆□07B.知识点二并集并集的运算性质：A∪B＝□02B∪□03A，A∪A＝□04A，A∪∅＝□05A，A∪B＝B⇔□06A⊆□07B.从维恩图可以直观地看出，对于两个有限集，必有：Card(A∪B)＝Card(A)＋Card(B)－Card(A∩B)．【新知拓展】集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若A∩B＝∅，则A，B至少有一个是∅.( )(2)若A∪B＝∅，则A，B都是∅.( )(3)对任意集合A，B，下列式子总成立A∩B⊆A⊆A∪B.( )(4)对于任意集合A，B，下列式子总成立A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A.( )(5)对于两个非空的有限集合A，B，A∪B中的元素一定多于A中的元素．( )答案(1)×(2)√(3)√(4)√(5)×2．做一做(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2(2)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝( )A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)(3)已知集合A＝{1,2，x2}，B＝{2，x}，若A∪B＝A，则x＝________. 答案(1)D (2)A (3)0题型一求两个集合的交集与并集例1 已知集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|－2≤x<1}，求A∩B，A∪B.[解]把集合A与B在数轴上表示出来，如图所示．由上图可得，A∩B＝{x|－1<x<1}，A∪B＝{x|－2≤x≤2}．金版点睛集合A与B的“交”“并”运算，实质上就是对集合A与B中元素的“求同”“合并”：(1)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.(2)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．[跟踪训练1]已知集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{x|－2≤x<0}，求A∩B，A∪B.解A∩B＝{x|－1≤x<0}，A∪B＝{x|x≥－2}.题型二简单的含参问题例2 已知集合A＝{0,1}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}．求A∩B，A∪B.[解]集合B是方程(x－1)(x－a)＝0的解集，它可能只有一个元素1(a＝1)，也可能有两个元素1，a(a≠1)．①当a＝1时，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1}；②当a＝0时，A∩B＝{0,1}，A∪B＝{0,1}；③当a≠0且a≠1时，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1，a}．金版点睛由于参数a的变化，集合B中的元素也在变化，即集合B是变化的集合，因此需要分类讨论；特别注意，不能把集合B写成{1，a}(因为当a＝1时，不满足元素的互异性)；可以看两集合的“交”“并”运算，应当首先弄清两集合中的元素是什么，之后再依据法则求解．[跟踪训练2]已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，求p＋q＋r的值．解∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A且－2∈B.将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，∴A＝{1，－2}．∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2,5}．解得q＝－3，r＝－10，∴p＋q＋r＝－14.题型三类似于“交”“并”运算的一些新定义型问题例3 设M，P是两个非空集合，规定M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，根据这一规定，M－(M －P)等于( )A．M B．PC．M∪P D．M∩P[解析]当M∩P≠∅时，由图可知M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P；当M∩P＝∅时，M－P＝M，此时M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P，故选D.[答案] D金版点睛题目给出了两个集合的一种运算“M－P”，其运算法则是：M－P是由所有属于M且不属于P的元素组成的集合，弄清法则便可以进行运算，特别是借助维恩图，使问题简捷明了.[跟踪训练3]设A，B是两个非空集合，规定A*B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．若A＝{0,1,2,4}，B＝{1,2,3}，求A*B.解A∪B＝{0,1,2,3,4}，A∩B＝{1,2}，∴A *B ＝{0,3,4}．1．已知集合A ＝{x |x 是不大于8的正奇数}，B ＝{x |x 是9的正因数}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________.答案 {1,3} {1,3,5,7,9}解析由题意，知A ＝{1,3,5,7}，B ＝{1,3,9}，所以A ∩B ＝{1,3}，A ∪B ＝{1,3,5,7,9}． 2．已知集合A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是矩形}，则A ∩B ＝________. 答案 {x |x 是正方形}解析菱形的四边相等，矩形的四个角均为90°，四边相等并且四个角均为90°的四边形为正方形，所以A ∩B ＝{x |x 既是菱形，又是矩形}＝{x |x 是正方形}．3．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则A ∩B ＝________. 答案 {(3,1)} 解析由题意，知A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4且x －y ＝2}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A ∩B ＝{(3,1)}．4．已知A ＝(－4,2]，B ＝[－2,3]，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________.(用区间表示) 答案 [－2,2] (－4,3]解析把集合A 与B 在数轴上表示出来，如图所示．由上图可知，A ∩B ＝[－2,2]，A ∪B ＝(－4,3]．5．已知A ＝(a ，＋∞)，B ＝[－1,1]，若A ∪B ＝A ，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，则a <－1，故a 的取值范围是(－∞，－1)．。

2021版高考数学一轮讲义：第1章集合与常用逻辑用语+1.1 集合的概念与运算

[知识梳理]
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2．集合间的基本关系
3．集合的基本运算
4．集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A ⇔B⊆A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A ∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．
(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．()
(2)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()
(3)设集合A＝{0,1}，若B＝{x|x⊆A}，则A⊆B.()
(4)设集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2＝1}，若A⊆B，则a＝1或－1.()。