函数极限的若干求解方法_于吉亮

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求极限的若干方法

求极限的若干方法求极限是数学中的重要内容之一，它在微积分、数学分析、几何等诸多领域中都有广泛的应用。

在数学中，我们经常使用各种方法来求解极限，以下是一些常见的方法。

1. 代入法：当出现极限中的变量可以直接代入某个值时，可以利用代入法求解。

当求lim(x→0) (sinx/x)时，我们可以将x代入0，得到lim(x→0) sinx/0 = lim(x→0) (sin0)/0 = 1/0 = ∞。

2. 抵消法：当极限存在但不易计算时，可以通过抵消法将其化简为易计算的形式。

当求lim(x→∞) (x^2 + 2x + 3)/(x + 1)时，可以利用抵消法将分子的x^2项与分母的x 项抵消，得到lim(x→∞) (x^2 + 2x + 3)/(x + 1) = lim(x→∞) (x + 2 + 3/x)/(1 + 1/x) = ∞/1 = ∞。

4. 夹逼法：当极限存在但不易直接计算时，可以利用夹逼法将其夹在两个已知的极限之间，从而求出极限的值。

当求lim(x→0) x*sin(1/x)时，可以利用夹逼法，由于-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1，所以有-lim(x→0) x ≤ lim(x→0) x*sin(1/x) ≤ lim(x→0) x，即-0 ≤ lim(x→0) x*sin(1/x) ≤ 0。

根据夹逼定理，由-lim(x→0) x = 0及lim(x→0) x = 0可知，lim(x→0) x*sin(1/x) = 0。

5. 利用特殊函数的性质：当极限涉及到特殊函数时，可以利用特殊函数的性质来求解。

当求lim(x→∞) (1 + 1/x)^x时，可以利用自然对数函数的性质，将极限转化为lim(x→∞) e^(x*log(1 + 1/x)) = e^lim(x→∞) (x*log(1 + 1/x)) = e^lim(x→∞) (log(1 + 1/x))/((1/x)) = e^lim(x→∞) ((log(1 + 1/x))/((1/x)))，再利用洛必达法则，得到lim(x→∞) ((log(1 + 1/x))/((1/x))) = lim(x→∞) (1/((1 + 1/x)(-1/x^2))) = 1。

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。

掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。

以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。

时的极限。

1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。

方能利用极限四则运算法则进行求之。

不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。

但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。

而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。

例 1求lim( x 2 − 3x + 5).x→ 2解：lim( x 2 − 3x + 5) = lim x 2 − lim 3x + lim 5= (lim x) 2 − 3 lim x + lim 5= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。

一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。

利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx)' = 1 / (cosx)^2(x)' = 1原式= lim 1/(cosx)^2当x --> 0 时,cosx ---> 1原式= 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：①分子、分母为无穷小，即极限为0 ；②分子上取正弦的角必须与分母一样。

求极限值的若干方法

n n
从而上式以 ab为极限 .
[注 ]本例的变换具有一般性 , 常用这种变换 , 可将一般情况归结为特殊情况 . 如本例原来是已知 li m xn =
nϖ ∞
a, li m yn = b, 求证 lim
nϖ ∞
x1 yn + x2 yn - 1 + … + xn y1 n
nϖ ∞
= ab. 变换后 , 归结为已知 lim αn = 0, li mβ m n = 0, 求证 li
nϖ ∞ nϖ ∞
nϖ ∞
α α αnβ 1β n + 2β n- 1 + … + 1
n
= 0.
3 两边夹法则 3. 1 两边夹法则
要点当极限不易直接求出时 , 可考虑求极限的变量 , 作适当的放大和缩小 , 使放大 , 缩小所得的新变量 , 易于求极限 , 且二者的极限值相同 , 则原极限存在 , 且等于此公共值 . 例 3:求 lim x
22
n
即 lim xn =
nϖ ∞ n
sin x
x
.
( 2 ) xn = ∑
i=1
1 1 +2 + … + i 1
i +1
3 3 3
=∑
i =1
n
1
( 1 + 2 + … + i)
2
=∑
i=1
n
1 1 i ( i + 1) 2
= 2∑
i=1
n
1
i
-
=2 1 -
1
n +1
ϖ 2 (当 n ϖ ∞ 时 ) , 即 lim xn = 2.

求极限的若干方法

求极限的若干方法作者：杜晶亮来源：《现代商贸工业》2020年第01期摘要：通过梳理数学分中的知识，总结求极限方法的若干种方法，了解一些典型的极限计算方法给出了说明，仔细分析，详尽阐明了各种方法，并添加了典型的例题。

关键词：函数极限;泰勒公式;罗比达法则;压缩映象原理;迫敛性定理中图分类号：G4 文献标识码：A doi：10.19311/ki.1672-3198.2020.01.0840 引言極限是描述数列和函数的变化趋势，是各种变量中有一些变量在它的无限变化的过程中，能够趋向于某个确定的常量。

极限的概念又是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好高等数学是十分重要的。

本文阐述了求极限一些基本方法方法，主要有：利用四则运算法则求函数极限;利用两边夹法则求极限;利用重要极限公式一、二来求极限;利用罗比达法则求不定式等的，并在某些求解具体方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明，以便于我们了解各种极限以及对各类极限进行计算。

1 函数极限定义10 总结本文主要介绍了用四则运算法则，迫敛性定理，以及用两个重要公式，罗比达法则等求极限。

总之，极限的类型多样，求极限的方法也多样！但指导思想是根据其特点选择适当方法，按照极限求法的思考顺序来考虑，选择适当的方法，就可以解决大部分极限的求解！参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001：23-64.[2]孙法国.高等数学学习指导（上册）[M].西安：西安工业大学出版社，2004：22-108.[3]王志平.高等数学大讲堂[M].大连：大连理工大学出版社，2004：1-30.[4]周林.高等数学中数列极限的几种求法[J].湖北广播电视大学学报，2008，28（11）：150-160.[5]钱志良.谈极限的求法[J].常州信息职业技术学校学报，2003，2（4）：40-43.[6]吴信贤.用“等价无穷小替代法”求极限的研究[J].株洲师范高等专科学校学报，2003，8（2）：22-23.[7]游兆永.高等数学的解题方法和技巧[M].西安：陕西科学技术出版社，1985.[8]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.[9]孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京：高等教育出版社，2004.[10]浙江工业大学数学教研室.高等数学解题指导[M].北京：中国商业出版社，1999：2-15.。

函数极限的若干求解方法

的定义、等价无穷小替换和收敛级数的必要条件等极限求解方法，期望能对函数极限理论的教学提供参考作用．
关键词：函数极限；泰勒级数；中值定理中图分类号：０１１７文献标志码：Ａ文章编号：１０ — ２１２１）２０７ — ２０６５６（０１０ — ０９０
１利用追敛性求函数极限
：
—
—
—
—
—
—
—
．．
—
—
—
—
一
，
Ｘ－０－ｘ？＇
— １ｘ｛ ‘
设ｌ（）ｉ（），且在某邻域。，ｉｘ＝ｌｍｆｍｇｘ＝Ａ（
所以
Ｘ（＋－１一￣＋ ‘ Ｘ／０
ｌｉｍ
ｏ
内有ｆｘ ≤ （）ｇ，ｌ（）（）ｈｘ ≤ （）则ｉ＝Ａ．用迫敛性３利用泰勒级数展开式求函数极限ｍ利
解：这是１型不定式极限问题。原式取对数可得用积分中值定理或微分中值定理进行求解．
收稿日期：２１．１６００１．２
作者简介：于吉亮（９２）１６一，男，河南开封人，讲师
・
８０・
于吉亮，汪俭彬：函数极限的若干求解方法
９Ｕ４
ｌ —ｎｘｉｓｍｉ
— －
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— —
ｘ
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ｌ —ｎｘｅｓｘｉｓｏｍｉ（
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１）
ｘ加 —
ｘ
ｘ＋－Ｏ
ｘ。ＣＯＳｘ

求函数极限的方法与技巧6篇

求函数极限的方法与技巧6篇第1篇示例：求函数极限的方法与技巧在学习数学的过程中，函数极限是一个非常重要的概念。

通过求函数的极限，我们可以了解函数在某一点的变化趋势，从而掌握函数的性质和特征。

在实际应用中，求函数极限也是解决数学问题和物理问题的基础。

那么，如何求函数的极限呢？下面我们就来讨论一下求函数极限的方法与技巧。

我们来说一说函数极限的定义。

对于函数f(x)，当自变量x趋于某一值a时，如果函数值f(x)无限接近于某一确定的常数L，那么常数L 就是函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。

换句话说，就是当x无限接近a时，f(x)的取值无限接近L。

要求函数的极限，就是要找到这个L。

1. 代入法：对于一些简单的函数，我们可以直接代入a的数值，求出f(a)的值。

如果f(a)存在且有限，那么这个值就是函数在点a处的极限。

2. 因子分解法：对于一些复杂的函数，我们可以通过因子分解来求得函数的极限。

根据函数的性质，我们可以将函数分解为一些简单的分式或者根式，从而求得极限的值。

3. 夹逼定理：对于一些特殊的函数，我们可以利用夹逼定理来求得函数的极限。

夹逼定理是一种通过两个较为简单的函数来夹逼待求函数的极限的方法，通过和两个函数比较来逼近待求函数的极限值。

4. 利用导数：对于一些连续的函数，我们可以利用导数来求得函数的极限。

通过求导数，我们可以得到函数的切线斜率，从而得到函数在某一点的变化趋势。

除了以上的方法与技巧，还有一些注意事项需要我们在求函数极限时要注意：1. 涉及无穷大的极限时，要格外注意函数的性质，以及无穷大的表示方式。

2. 找出函数的不确定形式，通过化简或者变形来求得函数的极限。

3. 对于有理函数的极限，要特别注意分母为0的情况，以及分子、分母次数的关系。

4. 要熟练掌握常用函数的极限形式，比如指数函数、对数函数、三角函数等。

5. 在求导数时，要注意一阶导数、高阶导数等，以及导数的性质和规律。

求函数极限的若干方法

解：
lim
x→∞
sin x x2 -1
=
lim
x→∞
1 x2 -1
⋅
sin
x
=0
（三）利用洛必达法则求函数极限
例3，求
lim
x→π
1+ cos x tan2 x
解：
lim
x→π
1+ cos x tan2 x
=
lim
x→π
2
− sin x tan x sec2
x
=
− lim x→π
cos3 2
x
=
24 2019年第 12 期中
（一）利用函数极限的运算法则求函
数极限
例1，求
lim
x→∞
5x2 1-x 2
1
+2x
解：
lim
x→∞
5x2 1-x 2
1
+2x
=
lim
x→∞
5x2 1-x 2
+ lim
1
2x
=-5+1=-4
（二）利用无穷小性质求函数极限
定理2：无穷小量与有界量函数的乘
积仍为无穷小量
例2，求
lim
x→∞
sin x x2 -1
1 2
三、求二元函数极限的方法
定义2下面我们在给出当 p(x, y) → p0 (x0, y0 ) 时, f ( x, y) 趋于 +∞ （非正常极限）的定义.设 D 为二元函数 f 的定义域, p0 ( x0 , y0 ) 是 D 的一个聚点.若对任给的正数 M ,总存在
点 p0 的一个 δ 邻域 , 使得当 p ( x, y) → p0 ( x0 , y0 ) 时,总是都有 f ( p) > M ,则称

函数极限的求法总结

函数极限的求法总结函数极限是高等数学中的一个重要概念，其在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。

函数极限的求法相对而言较为复杂，但通过理解一些基本的求极限的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种极限问题。

下面将对函数极限的求法进行总结。

一、基本极限求法：1. 代入法：直接将自变量的值代入函数中，得到一个数值。

2. 分子分母都趋于0的极限：在计算分子分母同时趋于0的极限时，可以根据问题的具体形式进行化简，然后再求极限。

3. 有界函数的极限：有界函数的极限一般可以通过夹逼定理进行求解。

即通过构造两个函数，一个逼近于函数极限的上界，另一个逼近于函数极限的下界，然后利用夹逼定理求得函数的极限。

4. 无穷小量的性质：利用无穷小量的性质进行极限的推导和化简。

二、重要极限法则：1. 基本极限法则：(1) 常数函数极限：lim c = c，其中c是常数；(2) 幂函数极限：lim x^n = a^n，其中a是常数，n是正整数；(3) 正比例函数极限：lim kx = ka，其中k是常数；(4) 正比例函数的乘积极限：lim k*g(x) = k*lim g(x)，其中k是常数；(5) 正比例函数的商极限：lim [g(x)/h(x)] = lim g(x) / lim h(x)，其中h(x)≠0。

2. 极限的四则运算法则：(1) 和的极限：lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)；(2) 差的极限：lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x)；(3) 积的极限：lim [f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x)；(4) 商的极限：lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x)，其中lim g(x) ≠ 0。

3. 乘积极限法则：lim [f(x) * g(x)] = (lim f(x)) * (lim g(x))，其中极限存在。

函数极限的几种求解方法

函数极限的几种求解方法函数极限是微积分中的重要概念，它在分析数学、物理和工程学等领域中具有广泛的应用。

在实际问题中，我们经常需要求解函数极限，以帮助我们更好地理解函数在某一点的行为。

在微积分中，有多种方法可以帮助我们求解函数极限，包括代数法、夹逼法、洛必达法等。

本文将介绍这几种求解函数极限的方法，并举例说明其应用。

一、代数法代数法是求解函数极限最基本的方法之一。

对于一个给定的函数，如果其极限存在，那么我们可以通过代数运算来求解。

代数法的基本思想就是通过变形、化简等代数运算，将函数化为更易求解的形式。

一般来说，我们可以利用分子有理化、分母有理化、分子分母同时有理化等方法来求解。

下面通过一个例子来说明代数法的求解过程。

例1：求解函数极限lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)解：我们可以尝试直接代入x=2来求解：lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = (2^2 - 4) / (2 - 2) = 0/0由于分子为0、分母也为0，无法直接求解。

此时，我们可以尝试分子有理化：(x^2 - 4) = (x+2)(x-2)可以看到，此时分母可以约去(x-2)，得到：lim(x→2) (x+2)再次代入x=2，得到极限值：lim(x→2) (x+2) = 4二、夹逼法夹逼法也是求解函数极限常用的方法之一。

当函数极限存在时，夹逼法可以通过构造两个函数，使得它们夹住原函数，并且这两个函数的极限值相等，从而求得原函数的极限值。

夹逼法的核心思想是通过构造合适的不等式来限制函数值的大小，从而求解函数极限。

下面通过一个例子来说明夹逼法的求解过程。

解：对于x*sin(1/x)函数，当x≠0时，我们可以得到不等式：-x ≤ x*sin(1/x) ≤ x两边同乘以x，得到：-x^2 ≤ x*sin(1/x) ≤ x^2显然，当x→0时，-x^2和x^2都趋近于0，根据夹逼法，我们可以求得极限：lim(x→0) x*sin(1/x) = 0通过夹逼法，我们成功求解了函数极限lim(x→0) x*sin(1/x)的值为0。

函数极限的几种求解方法

函数极限的几种求解方法函数极限是高等数学中很重要的一个概念，其涉及到数列极限、导数、微积分等知识点。

在实际问题中，函数极限可以用来求出某些物理量、经济学问题等的解。

本文将介绍函数极限的几种求解方法，包括直接代入法、夹逼准则、极限的四则运算法则、洛必达法则等。

1. 直接代入法直接代入法是最基本的求解函数极限的方法，其原理是将极限中的变量值代入函数中，看其是否存在极限值。

如果存在，则直接将该数值作为函数极限结果。

例如，求下列函数极限：lim(x→0) [(x+1)^2-1]/x我们可以将变量x → 0 代入函数中得到：[(0+1)^2-1]/0=undefined由于分母等于 0，函数值不存在极限。

2. 夹逼准则夹逼准则是通过构造一个比较函数来求解函数极限。

其原理是通过找到一个比较函数，使得比较函数的极限值等于函数极限，从而判定函数极限是否存在。

我们可以构造一个比较函数 f(x)=1/x，即有：1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1当x → ∞ 时，左右两边的极限值都等于 0，因此由夹逼准则可知，sin(x)/x 的极限值也等于 0。

3. 极限的四则运算法则极限的四则运算法则指的是，对于一个由多个函数组成的函数极限，可以根据四则运算规则将其转化为多个简单的函数极限之和、差、积、商的形式，从而求解函数极限。

根据极限的四则运算法则，可以将其转化为两个函数极限的商：[lim(x→0) sin(x)+lim(x→0) cos(x)]/[lim(x→0) 1-cos(x)]由于 sin(x)/x 的极限值为 1，cos(x)/x 的极限值为 0，1-cos(x)/x 的极限值为 0，因此有：4. 洛必达法则洛必达法则是一种求解函数极限的高效方法，其原理是利用洛必达法则，将函数极限转化为一个比值函数的极限值，从而求出函数极限。

洛必达法则的公式为：lim[f(x)/g(x)]=lim[f`(x)/g`(x)]其中 f`(x) 和 g`(x) 分别表示函数 f(x) 和 g(x) 的导数。

函数极限的证明方法

函数极限的证明方法
求函数极限的证明方法如下：
1. 用数列逼近法证明：
- 证明极限存在：首先构造一个收敛于极限点的数列，然后利用极限的性质推导出函数极限存在。

- 证明极限值：利用序列极限的唯一性，将函数极限值与数列极限连接起来。

2. 用ε-δ定义证明：
- 采用ε-δ定义，给定一个ε>0，通过构造一个δ>0的范围，使得当x在δ范围内时，函数f(x)与极限L的误差小于ε。

- 利用函数与极限的收敛性质和函数的某些性质，推导出δ的表达式。

3. 利用函数收敛的性质证明：
- 利用函数极限的性质进行推导，例如函数的有界性、单调性等，推导出函数极限的存在和值。

4. 利用洛必达法则证明：
- 当函数存在形如0/0、∞/∞、∞-∞等形式的不定式时，可以利用洛必达法则将该不定式化为0/0形式，然后对该不定式进行求导，最后再次应用洛必达法则来推导出极限存在。

5. 利用函数级数证明：
- 将函数展开成级数形式，然后利用级数的性质将函数极限与级数极限进行连接。

在具体的数学问题中，可以根据题目和函数性质选择合适的证明方法来求函数的极限。

求极限的几种方法

两个重要极限法则
巧解
求极限的方法
直接代入法
例1
解
愿素娜学习进步！
倒数法
例2
商的法则不能用
解
由无穷小与无穷大的关系,得
愿素娜学习进步！
消去零因子法
解
例3
(消去零因子法)
愿素娜学习进步！
(无穷小因子分出法)
例4
无穷小因子分出法
解
分界点左右取极限法
例7
解
左右极限存在且相等,
愿素娜学习进步！
例3
03
04
型未定式
05
06
型未定式
07
实例
08
实例
解:
原式
例1. 求注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
愿素娜学习进步！
谢谢支持！
简介
欢迎使用鬼仔划古版教学资源，如发现有不足之处敬请指出，谢谢合作！愿你在学习中体验快乐！祝你成功！
直接代入法主要运用于分母不为零的情况
倒数法主要运用分子不为零、分母为零
消去零因子法运用于分子、分母都为零
无穷小因子分出法分子、分母有高次
无穷小等价法洛必达法源自巧算左右取极限法
解
解
解
例
例5
指数函数、反三角函数常用换元法求解
例求
解: 令
因此
原式
愿素娜学习进步！
无穷小等价法
应注意：因式必须为无穷小因子
几个替换因子：
运用应注意啥？
替换条件：必须是因式相乘，相加不能用！
如：实例
愿素娜学习进步！
实例
例
01
解
02
解
03
错

求函数极限的方法.doc

求函数极限的方法.doc随着数学学科的发展，函数极限成为了数学中的一个重要概念。

函数极限的求解方法多种多样，本文将介绍一些常用的函数极限求解方法。

1. 夹逼法夹逼法是函数极限求解中常用的方法之一。

其基本思想是：当函数f(x)在一个区间内夹在两个相等或者趋近于相等的函数之间时，如果这两个函数的极限相等，则f(x)的极限也等于这个共同的极限。

例如，当x趋近于无穷大时，对于函数f(x) = x/( x+1)，可以发现当x趋近于无穷大时，x+1与x在数量级上相当，因此我们可以将f(x)夹在两个函数1/( 1+1/x )和1/( 1+x )之间，显然这两个函数的极限都为1，因此根据夹逼法，f(x)的极限也为1。

2. 无穷小量的比较在一些比较复杂的函数中，运用夹逼法不一定能够得到有效的结果。

这时，我们可以考虑使用无穷小量的比较方法。

该方法的基本思想是：当f(x)与g(x)的极限均为0时，f(x)是g(x)的高阶无穷小量，当f(x)/g(x)的极限存在且为常数时，f(x)与g(x)的阶数相同。

例如，对于函数f(x) = sin x / x，当x趋近于0时，sin x与x的数量级基本相同，因此f(x)为一个无穷小量，我们需要求出它的阶数。

注意到sin x可以用x-x^3/3!+o(x^3)来展开，因此f(x)可以表示为1-x^2/3!+o(x^2)，由此可以发现f(x)为g(x)=x的高阶无穷小量，因为除去1之外，其余的项中均带有x^2以上的次数。

因此，根据无穷小量的比较原理，f(x)与g(x)的阶数相同，题目所求的极限为1。

3. 瑕点极限的计算一些数学问题在特定点上存在因为函数定义域的限制而导致的特殊情况，我们称之为瑕点情况。

在这种情况下，数学函数的极限表达式可能不适用于整个区间，而只适用于某些点。

在计算瑕点情况下的函数极限时，我们要注意分析瑕点的性质，并针对性地使用具体的计算方法进行求解。

例如，对于函数f(x) = (x-1)/(x^2-1)，当x趋近于1时，由于分母为0，因此f(x)在点x=1处存在瑕点。

归纳函数极限的计算方法

归纳函数极限的计算方法函数极限是微积分中非常重要的概念，它描述了当自变量趋向于一些特定值时，函数的变化趋势。

计算函数极限的方法有很多，以下将归纳总结几种常见的方法。

1.代入法：在函数的定义域内，直接将自变量的值代入到函数表达式中计算，得到函数值。

这种方法适用于一些简单的函数，例如多项式函数、有理函数等。

例子：计算函数f(x)=2x-1在x=3处的极限，将x=3代入函数表达式中得到f(3)=2(3)-1=52.夹逼准则：如果一个函数f(x)在x取一些值的左、右两侧的函数值逐渐逼近同一个值L，并且与L的距离可以无限接近，那么L就是函数f(x)在该点的极限。

夹逼准则常用于计算无穷小的函数极限和不定式的极限。

例子：计算函数f(x) = sin(1/x)在x = 0处的极限，根据夹逼准则，我们可以知道-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1，而当x趋近于0时，sin(1/x)的取值在-1和1之间，因此根据夹逼准则，f(x)在x = 0处的极限为0。

3.无穷小增量法：如果一个函数f(x)在x=a处的极限存在，那么对于任意一个无穷小量Δx，函数f(x)+Δx在x=a处的极限也存在，且等于f(x)在x=a处的极限。

例子：计算函数f(x)=x²在x=2处的极限，根据无穷小增量法，可以将函数表示为f(x)=4+Δx²，因此f(x)在x=2处的极限为44.极限的四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在x=a处的极限分别存在，那么它们的和、差、乘积和商的极限也存在，并且满足如下规则：-两个函数的和、差的极限等于它们在该点的极限的和、差。

-两个函数的乘积的极限等于它们在该点的极限的乘积。

-两个函数的商的极限等于它们在该点的极限的商，前提是除数函数在该点的极限不等于0。

例子：计算函数f(x)=(x+1)/(x-1)在x=1处的极限，直接代入得到f(1)=2/0，此时除数函数在x=1处的极限等于0，无法使用代入法计算极限。

函数极限的若干求解方法_于吉亮

第 26 卷第 2 期 2011 年 4 月
天中学刊 Journal of Tianzhong
Vol. 26 No. 2 Apr. 2011
函数极限的若干求解方法
于吉亮 1，汪俭彬 2
（1. 河南大学数学与信息科学学院，河南开封 475004；2. 济源职业技术学院基础部，河南济源 454650）
( ) lim
x→ x0
x ln
1+
1 x
+
1 x2
= lim ln(1 + x + x2 ) − ln x2
x→ x0
1x
=
lim (2x +1)
x → x0
(1 + x + x2 ) − 2 −1 x2
x
= 1，
所以
( ) lim 1+ 1 + 1
x
= e.
x→ x0
x x2
3 利用泰勒级数展开式求函数极限
摘要：通过实例探讨了函数极限的求解方法，涉及迫敛性、罗比达法则、泰勒级数展开式、中值定理、定积分
的定义、等价无穷小替换和收敛级数的必要条件等极限求解方法，期望能对函数极限理论的教学提供参考作用．
关键词：函数极限；泰勒级数；中值定理
中图分类号：O171
文献标志码：A
文章编号：1006-5261(2011) 02-0079-02
( ) ∑ lim
x→∞
ln
an
=
lim 1 n ln n x→∞ k =1
1+
k n
=
∫1 0
ln(1
+
x)d
x
= 2ln 2 −1，

求解极限的若干方法

2014届分类号:O175.2单位代码:10452毕业论文求解极限的若干方法姓名学号 201001120242年级 2010专业信息与计算科学系（院）理学院指导教师周建伟2014年03月28日摘要众所周知，极限是数学分析的基础内容之一，并始终贯穿于数学分析的全部章节.数学分析中许多定理的证明，也离不开极限的概念.因此，极限是数学分析中最重要的内容之一，也是整个数学的核心内容之一.在极限的内容中，其计算方法是非常重要的.文中主要介绍一些求极限的方法.本文主要分为两大部分，第一部分主要介绍一元函数求极限的方法，包括：用定义求解或证明极限、四则运算法则求解极限、利用迫敛性求极限、利用两个重要极限、利用单调有界原理求极限、应用斯笃兹定理求极限、利用不动点求解极限、洛比塔法则、泰勒公式法、级数法、利用定积分定义或积分中值定理求极限，以及一类求解方法唯一的问题；第二部分主要介绍的是二元函数求极限的方法，包括：利用定义法求解重极限、用多元函数收敛判别法的方法求解、利用极坐标变换求解重极限、二元函数的洛比塔法则的应用.关键词：极限；迫敛性；重极限ABSTRACTAs we all known, the limit is one of the bases of mathematical analysis, mathematical analysis is always through. Mathematical analysis to prove any theorem is also inseparable from the limit. Therefore, the limit is the mathematical analysis of the most important content, but also an important part of the whole of mathematics. Content limit function, the limit for France is very important. I mainly introduce some methods seek limits in this article. This paper is divided into two parts, the first part describes a dollar limit function evaluation methods, including: definitions used to solve or prove limit, four algorithms for solving the limit, seeking convergence limit the use of force, the use of two important limits, use monotonic bounded seeking ultimate principle, fixed point to solve the limit, Marquis de l-Hopital rule, Taylor formula, series method, the use of the definite integral to define or limit demand integral mean value theorem, for solving a class of the only way to function; second part focuses on the limits of the dual function evaluation methods, including: re- use method to solve the limit defined by multivariate discriminant function method for solving convergence method, using polar coordinate transformation to solve the weight limit, the dual function application of rules Marquis de l-Hopital.Key words: Limit; approximate convergence; heavy limit目录1引言 (1)2一元函数求极限的方法 (2)2.1用定义求解或证明极限 (2)2.2四则运算法则求解极限 (3)2.3利用迫敛性求极限 (4)2.4利用两个重要极限 (5)2.5利用单调有界原理求极限 (5)2.6应用斯笃兹定理求极限 (6)2.7利用不动点求解极限 (7)2.8洛比塔法则 (8)2.9泰勒公式法 (9)2.10级数法 (11)2.11利用定积分定义或积分中值定理求极限 (12)2.12一类求解方法唯一的函数 (13)3二元函数求极限的方法 (13)3.1利用定义法求解重极限 (13)3.2用多元函数收敛判别法的方法求解 (14)3.3利用极坐标变换求解重极限 (14)3.4二元函数的洛比塔法则的应用 (15)4总结 (17)参考文献 (18)致谢 (19)1引言和一切科学的思想方法一样，极限也是社会实践的产物.极限可追溯到古代，到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形中心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观大胆的运用极限思考问题，放弃了归谬法的证明,因此，他就在无意中“提出了把极限方法发展成为一个使用概念的方法”.极限思想的完善的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法一一归谬法来完成有关的证明.柯西被公认为近代分析的主要奠基人，事实上，他在19世纪20年代陆续发表了3本著作：《工科学学分析教程》、《无限小计算概要》和《微积分讲义》，其中革新了微积分中长期沿袭下来的模糊的旧概念重整了他的理论，把它纳入到一个新的严密的理论体系之中，柯西看出核心的问题是极限，他把极限概念理解为潜无限.并且定义“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终是变量和改定值之差要多小就多小”.这个定值就叫做所有其它值的极限，第一次使极限概念摆脱了与几何和运动直观的任何牵连，给出了建立在属于函数概念上清楚的定义.19世纪50年代，魏尔斯特拉斯（weierstrass,1815—1897）在分析严密化方面的工作改进了波尔察诺、阿贝尔和柯西的工作，他力求避免直观而把分析奠基在算数概念上，提出了关于极限的纯算术定义，从而完成了数学分析的严密化工作，从此，极限理论才得以充实和严密的自身体系成为微积分的基础理论，微积分也从此完全脱离过去集合的直观和不确切地描述，进入了一个新的发展时期.极限的求法对于现在数学是非常重要的，对于数学研究者或者数学专业的学生升学考试，是一项必备的数学技能.所以，有必要深入的研究一下极限函数的求解方法.lim 0.nn q →∞=2一元函数求极限的方法 2.1用定义求解或证明极限用定义求解极限是一个非常重要的方法，也是一个最基础的方法.大部分求极限问题都可以用定义解得，尤其是极限题目的证明.此法是证明函数连续、函数是否可积可微的最重要的方法之一.因此，定义法是非常重要的.下面来介绍此法:设 {}n X 为实数数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N ，使得当 n N > 时有n X a ε-<, 则称数列{}n X 收敛于a ，定数 a 称为数列 {}n X 的极限.用定义证明求解极限的一般方法是：（1）求最小的N 不等式n a a ε-<中解出n ，即证明n a a ε-<等价于>N()n ε,因此取N()n ε=；（2）放大法.将不等式放大为()n a a h n -≤，只要()h n ε<即可.注意放大后的()h n 必须能够任意小.此种方法的关键在于放缩适度，必须掌握一定的放缩技巧；（3）分步法.需要对n 做出某些限制，即不妨设1n N >,然后再通过放大解出2N ，取N 为2N 与1N 中最大的：{}12max ,N N N =.例1 求（1q <）. 解用定义证明若0q =，则结果是显然的.现设则0h > . 我们有并由(1)1n h nh +≥+得到(1)1n h nh +≥+. （1-1）对任给的0ε>，只要取，则当n N >时，由（1-1）式得0n q ε-<.这就证明了10(1)nn nq q h -==+lim n n q →∞lim 0n n q →∞=10 1.1,q h q<<=-记1N hε=lim 1 1.n n n →∞+=22(1)(1)1n (1)1+1,22n n n n n n h nh h h h --+=+=+++≥+211,1nn h n ε+-=≤<-1(2)(1)lim0.3x x x x →--=- 证明：例2 用定义证明证11,n h n =+- 令所以例3 证设11x -<，则211112,x x x -=--≤-+<31221211x x x -=--≥-->-=.{}0,min 1,2εδε∀><取，则当1x δ-<时，利用定义求极限，需要先观察出极限值.否则很难求出，所以此法对于证明极限很有效.有一些极限题目用此法很难求出，即使求出来也很麻烦.因此，在做极限类题目是，尽量不用此法.实在没思路时，再用定义法求解.要灵活运用.2.2四则运算法则求解极限在求解极限时，常需要使用极限的四则运算法则.(2)(1)201233x x x x x x δε----=-<<--222,0,1n>N 1h N n εε⎡⎤≤∀>=+⎢⎥-⎣⎦因此取，当时，有lim 1 1.n n n →∞+=即223x x -∴<-1(2)(1),lim0.3x x x x →--=-所以四则运算公式：例4 求解一般的有，.2.3利用迫敛性求极限当极限值不易直接求出时，可考虑将求极限的变量，做适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新变量，易于求极限，且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于此公共值.设例5 求解因为lim()lim lim n n n nn n n x y x y →∞→∞→∞±=±limlim n n n n n nx xy y →∞→∞=(lim 0)n n y →∞≠22323lim 1n n n n →∞+++10110100lim0m m m n n n nm n a x a x a m n b x b x b a m n b --→∞⎧⎪∞>⎪+++⎪=<⎨+++⎪⎪=⎪⎩0n lim lim ,(),lim .n n n n n n n n a b a a c b n N c a →∞→∞→∞==≤≤>=且则135(21)lim .246(2)nn n n →∞⋅⋅⋅-⋅⋅⋅lim()lim lim n n n nn n n x y x y →∞→∞→∞⋅=⋅222222232333lim lim 323300lim lim 3.1111011lim n n n n x n n n n n n n nn →∞→∞→∞→∞→∞++++++++====++++所以2.4利用两个重要极限有一类题用两个重要极限做非常简单，用其它方法可能会很复杂，甚至做不出来.两个重要极限公式如下：(1) 0sin lim1x xx →= (2)10lim(1)x x x e →+= 例6 求（1）201cos lim x xx→- （2）10lim(1)x x ax →+ 解 22220002sin sin1cos 1122(1)lim lim lim .222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭()()11(2)lim 1lim 1.aa xax x x ax ax e →→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦2.5利用单调有界原理求极限在研究比较复杂的函数时，首先要看其是否有极限.若有极限，再考虑怎样计算极限值.判断函数极限是否存在的一个重要方法就是单调有界定理.对于大部分极限函数，此法都是可以解决.单调有界定理也是是实数完备性的基本定理之一.具体内容如下：()()()00(1)lim x x f x f x U x ++→设为定义在上的单调有界函数，则右极限存在. ()()()00(2)lim x x f x f x U x --→设为定义在上的单调有界函数，则左极限存在. ()()()0(3)lim x x f x f x U x →设为定义在上的单调有界函数，则极限存在.1357211135(21)1,2246222246(2)n n n n n n -⋅⋅⋅⋅-≤⋅⋅⋅⋅⋅=≤-⋅⋅⋅⋅1135(21)1246(2)2n n nn n n ⋅⋅⋅⋅-≤≤⋅⋅⋅⋅135(21)lim 1246(2)nn n n →∞⋅⋅⋅⋅-⇒=⋅⋅⋅⋅例7 !lim .2nnn n n→∞求解 1!2,1,112nn nnnn nn n xx x x n+==≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭令则有所以是单调递减函数.1!0,lim .2lim ,,11!2,0lim =0.22nnn n n nn n n nn n n x a n n a a a e x nx x n→∞+→∞→∞>==⎛⎫+ ⎪⎝⎭==又因为由单调有界定理知存在设再注意到两端取极限得到所以，即2.6应用斯笃兹定理求极限有些“无穷多项”极限问题，当不能利用恒等变换转化为有限多项时，若借助斯笃兹定理，就可迎刃而解了. 斯笃兹定理：11111,lim,lim,limlim.n n n n n n n nx n n n n nnn nx x x x x y yyyyyyy+++→+∞→+∞→+∞→+∞++-->=+∞=--若则例81lim ,312pppp p n p nn+→∞+++ 求极限为自然数.解 1,312ppp pp n ny x n n+=+++=→∞令()()1111limlim=lim,11pn n n p n n n p nn nn x x x yyyn n++→+∞→+∞→+∞++-=--++ 由斯笃玆定理，有()()()()()211=lim,11111111112611pn p pp p p p p p p p nn nn n →+∞-=++-++++++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭11lim =.1312pppp p n p nn+→∞++++ 所以， 2.7利用不动点求解极限定义 {}n x 设为用归纳方式定义的一个迭代数列:()()()()()()00010,1,2limn n x x a b f x n x x f x x f x x f x x +→∞∈==，=,如果存在且函数连续，则=，此时称为函数的不动点.引理 ()1n n f f x f x +设是实数域R 上的压缩映射，令=，且为递增的{}{}{}0102101021210lim .lim ;.n n x n n x n x x x x x x x x f x x x x x x x x x x →∞→∞<<=><=>(i)若，则当，数列有极限，且(ii)若，则当，数列有极限，且反之，时，数列无极限（其中为压缩映射的不动点）例9 (){}10131,(1,2)3n n n nx n x x x x x ++>==+设证明有极限，并求出极限值.证明 ()()31(0)3x f x x x+=>+令 ()()()()()()()()()()()()()()()()10313,03131131333333233331=33n n n nx f x x x y x y x y y x f x f y x y x y x y x yx y f x x x f x xx x ++==+>++++-++-=-=++++-<-+++=+ 于是对任意的 =6所以，为压缩映射，故有唯一不动点. 又令，显然，为方程=的根,()03x f x =故为方程的唯一不动点. ()()()'2603x f x x f=>+又即为递增的，所以1021()3,,a x x x x <=>时可证(){}211211112112110313,3333,0,,3lim = 3.n n x x x x x x x x x x x x x x x x →∞+--=-=++-<<>>+= 又0故即由引理的(i)知，数列有极限，且{}{}102101000()3,,lim = 3.()3=3(1,2,)lim = 3.lim = 3.n n x n n x n n x b x x x x x x x c x x x x n x x x x →∞→∞→∞>=>======当时同理可得由引理的(i)知，数列有极限，且当时,显然，故综上所述，数列有极限，且2.8洛比塔法则在计算复杂的极限时，我们最想用也最常用的方法就是洛比塔法则.通过对分子和分母分别进行求导，使极限式变的越来越简单.以致于我们很容易解出求导后的极限式的极限值.而所求的极限式的极限值与原式相等.这就使得一些难求的极限式可以很容易解出.掌握此种方法对于解极限题目是非常重要的.具体内容如下：1．0型不定式极限()()()()()()()()()()()()'00''''lim lim 0;0lim lim=lim x x x x x x x x x x f x g x f x g x x x x A A x x f x A g x x g x Uf g f g →→→→→==≠+∞∞ 若函数和满足： (1) (2)在点的某空心邻域内两者都可导，且；(3)= （可为实数，也可为或）,则=.2.∞∞型不定式极限 ()()()()0lim lim ;x x x x f x g x f x g x ++→→==∞ 若函数和满足： (1)()()()()()()()()++00'00''''0+lim lim =lim x x x x x x x x x A A x x f x A g x x Ug x f g f g →→→≠+∞∞ (2)在点的某右邻域内两者都可导，且；(3)= （可为实数，也可为或）,则=.例10 0,0,lim .2nn n x a b a b →∞⎛⎫+>> ⎪ ⎪⎝⎭已知求解 ()102xxxf x x a b ⎛⎫+=→ ⎪ ⎪⎝⎭考虑函数当时的极限. ()11ln 2001ln 0=.2ln lnb 1ln ln lim ln lim ln .22lim =.2xxax bx xx x x x xx x x x xxxabx f x e a a b ab x e ab a b a b a b a b a b +⎛⎫⎪⎝⎭→→→⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+++=== ⎪ ⎪+⎝⎭⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭因为而所以因此由归结原则知lim =.2nn n x a b ab →∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭不定式极限还有00010-∞⋅∞∞∞∞，，，，等类型，虽然不定式极限有多种类型，但是都可以转化为00或∞∞型.因此，只要熟练掌握这两种类型即可以应对大部分题目.但在做不定使极限式时，要想应用洛比塔法则，必须要注意是否满足3条.这是最容易错的地方.如果满足，即可用；如果不满足，就必须用其它方法解决.2.9泰勒公式法当我们在做比较复杂的极限题目并且出现(),sin ,cos ,ln 1,xx x x e +()11,1x xα+-等函数时，我们首先应该想到的方法是洛比塔法则.但是通过求导后发现比求导前更复杂.此时，我们应该想到的另一种方法是泰勒公式法.在各类函数中，多项式是最简单的一种.运用一些数学方法，用多项式去逼近特殊函数，进而化简式子，这是泰勒公式的基本思想.最常用的就是（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林公式.具体形式如下：()()()()()()()'''20000.2!!n n nf f f x f f x x x x n ο=+++++一些常用函数的麦克劳林公式：()()()()()()()()()()()()()()()2352112242212312(1)1.2!!(2)sin 1.3!5!21!(3)cos 11.2!4!2!(4)ln 11.2!3!!111(5)11.2!!1(6)11nxn m m m mmm nn n nn x x x x n x x x x x x m x x x x x m x x x x x x n n x x x x x n x xe αοοοοααααααο--+-=+++++=-+++-+-=-+++-++=-+++-+---++=+++++=++-()2.n n x x x ο+++例11 求极限()22202+112lim .cos sin x x x x x xe -→-+-解由泰勒公式知()()()()()21222442244244224111=1=1+;28cos 1224112sin x x xx x x x x x x x x x x x x e οοοο-++-+=-++=-++=+ ；；；()()()()2220244024424+112limcos sin 118=lim =.1114224x x x x x x x x x x x x x x e οοο-→→-+-+⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦⎣⎦将以上各式代入，有在运用泰勒公式时，要注意将展开式展开比原式中存在的多项式高一项.2.10级数法所谓的级数法就是利用级数收敛的必要条件求极限.这个方法很好用，但是经常被遗忘.就是把所求极限式看成级数的通项，运用级数收敛的方法判断级数是否收敛.如果级数收敛，则所求的极限式为0；如果级数不收敛，则不能说明极限式是否收敛，需要换其它方法进行求解.很多题目如果用此方法，一到两步即可解出，若不用此法，可能会很复杂.所以应该多做此类题目，多加练习，以致熟练掌握此法.此法的核心内容是：定理 1lim 0.n n n n u u ∞→∞==∑（级数收敛的必要条件）若收敛，则例12 ()()()120,lim 0.111nn n n a a a a a →∞>=+++设证明证 2n ≥当时，()()()()()()()()()()()()()()()12121121121211111=.1111111111.111n n n n nin i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a S -=+++-++++++=++++++∑所以=1-()()(){}1210,111n n n a s a a a ⎧⎫⎪⎪>⎨⎬+++⎪⎪⎩⎭因为所以恒正且单调递减，因此单调递增且 {}()()()112111nn n n a a a a S ∞=+++∑有上界1，从而收敛，所以收敛.由级数收敛的必要条件知()()()12lim0.111nn n a a a a →∞=+++2.11利用定积分定义或积分中值定理求极限定积分是数学分析中非常重要的一部分内容.定积分是由极限定义的，所以一部分极限式可以转化成定积分的定义形式，由于有一部分定积分可以通过牛顿—莱布尼茨公式求解.所以就产生了一种利用定积分定义求解极限的方法.这种方法主要适用于有无限多有规律的项相加的形式.此种方法的关键是找1n和被积函数.常用的公式有：()()1lim ;nb a n i i b af a b a f x dx n n →∞=-⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭∑⎰()()10lim .n b a n i i b af a b a f x dx n n -→∞=-⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭∑⎰()()1110010=0111lim lim .nn n n i i a b i i f f x dx ff x dx n n n n-→∞→∞===⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰当，时上面两式分别变为：，例13 2sinsinsin,lim .1112n n n n n n n n n n n x x πππ→∞=++++++ 设求解因为10122sin+sinsinsin +sin sin,112sin+sinsinlim112lim sin sin ;12sin +sin sin 1n n n n i n n nn n n nn n n nn n n nn n i xdx n n n n n n n n nx πππππππππππππππ→∞→∞=++++≤≤+++++⋅==++++∑⎰=2120112=lim sin sin .1n n i n i xdx n n n πππ→∞=⋅==+∑⎰2lim .n n x π→∞= 所以对于一些题目也可以用积分第一中值定理来求解.具体内容如下：定理 [],f a b 积分第一（）若在上连续，则至少中值定理存在一点[]()()(),=.ba ab f x dx f b a ξξ∈-⎰，使得例1413001lim .1dx x εε→+⎰求极限解由积分中值定理133011=111dx x αεεα<<++⎰ ，（0）,13300011lim =lim =1.11dx x εεεεα→→∴++⎰2.12一类求解方法唯一的函数这是一类非常特殊的函数，只有先通过加n n ππ-+，再用诱导公式才能求解.例15 ()22limsin .n n n π→∞+求极限解 ()()2222lim sin lim sin n n n n n n n n πππ→∞→∞⎡⎤+=+-+⎢⎥⎣⎦()22222=limsin =limsin =sin =1.2n n n n n n n n nπππ→∞→∞+-++3二元函数求极限方法3.1利用定义法求解重极限重极限存在的情况下，先求出曲线沿特殊路径的极限或者求出一个累次极限A ,然后用定义证明该函数的重极限是A .()()22,0,0x y x y →+解首先()()()()442220004422,0,044442222222222lim lim lim 0.lim =0.0,0,,000x y x x y x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y εδεδεδ→→→→+==++-++-≤+≤++++∀>=<-+-< 下面用重极限的定义证明因为所以取则当时，就有()()44224422,0,00,lim =0.x y x y x y x y x y ε→+-<+++ 故 3.2用多元函数收敛判别法的方法求解通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，再利用函数极限的迫敛性推出结果.例17 2200lim.x y x y x y→→++求解 ()222,x y x yx y x yx y++≤≤=+++因为0()22000lim =0lim =0.x x y y x y x y x y→→→→+++ 而，所以3.3利用极坐标变换求解重极限如果()(),0,0x y →而且函数中出现22x y +，可选择极坐标变换求极限.令cos ,sin ,x r y r θθ==考察()0lim cos ,sin ,r f r r θθ→若此极限存在而且是与θ无关的常数，那么()()()(),0,00lim,lim cos ,sin x y r f x y f r r θθ→→=()()22,0,0x y x y →+解 cos ,sin ,x r y r θθ==令由于()()322200222,0,0cos sin lim lim cos sin 0,lim 0.r r x y r r rx yx y θθθθ→→→===+ 所以3.4二元函数的洛比塔法则的应用定理1 ()(),,f x y g x y 若二元函数、满足：()()()()()()()()()()()()()()()00000000,,,,'''''',,,lim,0,lim,0;,,,0;,,lim,,x y x y x y x y xyx y x y x y xyD x y D f x y g x y D x y x y dx x y dy x y dx x y dy x y dx x y dyg gf fg g →→→==+≠++ （1）在区域内有定义，为的一个聚点；（2）（3）在内有关于的连续偏导数，且（4）存在（或为无穷大）()()()()()()()()()()0000'''',,,,,,,lim=lim.,,,x yx y x y x y x y xyx y dx x y dyf x yg x y x y dx x y dyf fg g →→++ 则()()000,,0,0x y x y x y →→∞→∞ 定理1 只给出了当时的型未定式极限的形式，下面推导出当时的型未定式极限的情形.定理2 ()(),,f x y g x y 若二元函数、满足：()()()()()()()()''''''lim ,0,lim ,0;,,,0;,,lim ,,x x y y xyx yx y xyf x yg x y x y x y x y dx x y dy x y dx x y dy x y dx x y dyggf fg g →∞→∞→∞→∞→∞→∞==+≠++ （1）（2）对充分大的及有对及的连续偏导数，且（3）存在（或为无穷大）()()()()()()'''',,,lim =lim,,,,x y x x y y xyx y dx x y dyf x y dx x dy yg x y x y dx x y dyf fg g →∞→∞→∞→∞+==+ 则（）.注：在00型或∞∞型未定式中，如果自变量的变化过程为0x x →，则0dx x x =-，如果x →∞，则dx x =，同样，如0y y →，则0dy y y =-，如y →∞，则dy y =.有些二元函数的00型或∞∞型极限，利用二元函数的洛比塔法则后，得到该极限的常数倍，则该极限与这个常数的范围有关.定理3 ()()()()()(),0,0,0,0lim,0,lim,0x y x y f x y g x y →→==设，且()()()()()()()()()()()()()()()(),0,0,0,0,0,0,0,0,,lim=lim,,,1lim,,01lim.,x y x y x y x y f x y f x y r g x y g x y f x y r g x y f x y r g x y →→→→>=<<=∞则（1）当时，（2）当时，定理4()()lim ,,lim ,x x y y f x y g x y →∞→∞→∞→∞=∞=∞ 设，且()()()()()()()(),,lim =lim,,,1lim,,01lim0.,x x y y x y x y f x y f x y r g x y g x y f x y r g x y f x y r g x y →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞>=∞<<=则（1）当时，（2）当时，例19 22ln lim .x y xyx y →∞→∞+求解 ()()22222211ln 1lim =lim lim lim 0.2222x x x x y y y y ydx xdy yx xy xy xy xyx y xdx ydy x y x y →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞++===++++4总结求解一元函数与二元函数的方法还有很多，但都不常用.熟练掌握掌握上述方法，对于就解决大部分极限题目足以.至于多元函数求极限问题，与二元函数相似，只是过程上更复杂一些..参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].第3版北京：高等教育出版社,2010.[2]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].第3版北京：高等教育出版社,2010.[3]焦艳芳.数学分析同步辅导及习题全解上册 [M].北京：中国水利水电出版社2009.[4]郑庆玉郭政.数学分析方法 [M]. 北京：电子工业出版社，2010.[5]钱吉林.数学分析题解精粹 [M]（第2版），湖北：崇文书局，2011.[6]林源渠方企勤.数学分析题解指南 [M]. 北京：北京大学出版社，2010.[7]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法 [M]. 北京：高等教育出版社, 1993.[8]杨守廉.数学分析（上）[M]. 北京：北京师范大学出版社, 1987.[9]张筑生.数学分析新讲（第一册）[M]. 北京：北京大学出版社，1990.[10]邓东皋.数学分析简明教程（上）[M].北京：高等教育出版社, 1999.[11]David Tall. The Transition to Advanced Mathematical Thinking：Functions，Limits，Infinity，and Proof，in GrouwsD．A．(ed．)Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning．Macmillan，New York, 1992.[12]Monaghan J．D．．Adolescent’S Understanding of Limits and Infinity，unpublished Ph．D．thesis，Warwick University, 1986.[13] 夏滨.利用洛比达法则求函数极限的方法与技巧探讨[J].现代企业教育杂志,2008(4):32-33.[14] 蒋志强.函数极限的几种特殊求法[J].牡丹江教育学院学报,2009(6):25-27.[15] 温军．高等数学教学的几点思考[J].长春大学学报,2003(3):16-18.致谢经过了几个月的努力，我的毕业论文《求解极限的若干方法》终于在规定的时间内完成了，在某种程度上，这意味着我的大学生涯即将结束.回顾历时近四年的大学生活，无论在学习上，还是在思想方面，我的获益都匪浅.在本论文的写作过程中，我的指导老师周老师给予多方面的指导，从选题到内容，到写作提纲，针对我写的论文，找出稿中存在的各种问题，因势利导循循善诱，在此我表示衷心的谢意，同时也感谢在学校学习期间给予我诸多关心和帮助的各位老师们和同学们.毕业论文的完成，是终点也是新的起点.我会时刻铭记自己曾是临沂大学的一份子，在今后的工作中，我会将临沂大学的优良传统发扬光大.2014年03月28日。

求函数极限方法的若干方法

求函数极限方法的若干方法摘要：关键词：1引言：极限的重要性极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。

如函数在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。

极限是研究数学分析的基本公具。

极限是贯穿数学分析的一条主线。

学好极限是从以下两方面着手。

1：是考察所给函数是否存在极限。

2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。

本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

2极限的概念及性质2.1极限的概念2.1.1,任意的正整数N，使得当n>N时就有。

2.1.2，任意整数X，使得当时就有。

类似可以定义单侧极限与。

2.2.3，整数，使得当时有。

类似可定义当时右极限与左极限：，。

在此处键入公式。

2.2极限的性质2.2.1极限的不等式性质：设，。

若，则，当时有；若，使得当时有，则。

2.2.1（推论）极限的保号性：设。

若,则，当时有；若，使得当时有，则。

2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限，则在的某空心邻域内有界，即与，使得当时有3求极限的方法1、定义法2、利用极限的四则运算性质求极限,3、利用夹逼性定理求极限4、利用两个重要极限求极限，5、利用迫敛性求极限,6、利用洛必达法则求极限,7、利用定积分求极限,8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限9、利用变量替换求极限, 10、利用递推公式求极限, 11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限, 13、利用泰勒展开式求极限, 14、利用两个准则求极限15、利用级数收敛的必要条件求极限16、利用单侧极限求极限17、利用中值定理求极限3.1定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数列的极限.记为.例1 证明证任给，取，则当时有，所以。

求极限的若干方法

求极限的若干方法
求极限是微积分中的重要概念，用于研究函数在某一点的变化趋势。

下面将介绍求极
限的若干方法。

1.代入法：当函数在某一点存在有限极限时，可以直接将该点的值代入函数，计算函
数在该点的函数值即可。

2.夹逼准则：当函数在某一点附近的函数值被两个趋于同一极限的函数夹住时，可以
确定该点的极限。

3.无穷小量法：当函数在某一点存在极限时，可以将函数近似为一个无穷小量与一个
有限常数之积，从而来推导出极限。

4.拉'Hopital法则：当函数在某一点的极限存在时，可以将函数拆分为两个函数的比值，然后对这两个函数的导数分别求极限，如果这两个导数的极限存在或都为无穷，则原
函数的极限也存在，且等于这两个导数的极限的商。

5.泰勒展开法：可以使用函数的泰勒展开式来近似计算函数在某一点的极限。

6.换元法：当函数在某一点的极限不存在或无法直接求解时，可以通过进行变量替换，将原极限转化为新的极限，从而求得原极限。

这些方法是求解函数极限常用的方法，其中每种方法在不同的情况下会有更适用的使
用场景。

在实际求解极限题目时，我们需要根据具体的题目条件和要求，选择适合的方法
来进行计算。

函数极限的若干求法讲解

函数极限的若干求法摘要：极限是高等数学中的一个基本概念，而且它在高等数学中也占有重要的地位。

极限分为数列极限和函数极限。

本文主要总结了几种求函数极限的常用方法。

这些方法分别是利用函数连续性及四则运算法则、迫敛性、替换法、罗必达法则、导数定义、定积分、泰勒展式和马克劳林展式、微分和积分中值定理求函数极限，并且在介绍每种方法的时候给出了相应的说明，同时还强调了这些方法的适用范围及使用时应注意的问题。

关键词：极限等价罗必达法则Some Solutions to The Problems of Functional LimitAbstract:The limit is a fundamental concept in advanced mathematics, and a crucial part of it as well. It is divided into two parts,the sequencial limit and the functional limit. The papesr mainly deals with the summarization of several common to the problem of functional limit. These approaches aim to solve the very problem with the application of the continuity of functions,the four algorithms, Squeeze, replacing France, Romania's Rule, definition of derivative, definite integral, Taylor Expansion and Maclaurin expansion, differential and integral mean value theorem ,and the relevant introduction is provided when introducing these methods,whose applicability and notice when being used are also highlighted in this paper.Keywords: the limit equivalence L’Hospital极限是高等数学中的一个基本概念，它在高等数学中占有重要的地位。