(完整word版)五年级奥数题：因数与倍数
小学五年级奥数 因数与倍数(一)
因数与倍数（一）【课前小练习】(★)1. 学习短除法和因数式.3. 公因数、公倍数的实际应用1.2.写出12的所有因数，并列举几个12的倍数.写出18的所有因数，并列举几个18的倍数.1. 公因数：就是几个数公共的约数，其中最大的一个称为最大公因数.2. 公倍数：就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数.3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 方法：枚举法、短除法、分解质因数板块一:短除法和分解质因数法【例1】(★★☆)求下列每组的最大公因数和最小公倍数.板块二:借助最大公因数未知数⑴28, 35 ⑵108, 360 ⑶66, 165 ⑷588, 924 3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 结论：A×B＝最大公因数×最小公倍数【例】★★★求下列每组的最大公因数和最小公倍数.⑴, , ⑵, , ⑶, , 【例3】(★★)一个数和16的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？1【例4】(★★★☆) 【例5】(★★★☆)两个自然数的差为21，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？三个不同的自然数的和是3030，它们的最大公因数最大可能是多少？【拓展】(★★★★)由1、3、5这三个数码可以组成6个不同的三位数，求这6个数的最大公因数. 美国的17年蝉是目前已知的生命期最长的昆虫，它的生活习性很特别，在它生命的前十七年，都是埋在地底的幼虫型态，十七年一到，就钻出土壤，羽化成成虫然后交配、产卵，接下来就死亡了。
你知道为什么是17年吗？板块三:公因数、公倍数的应用【例6】(★★★)1 1 1学校组织一次数学考试，其中三班的学生有得优，得良，得中，2 3 7其余的得差，已知三班的学生不满50人，那么得差的学生有_____人.知识大总结. 、.2. 枚举法，短除法，分解质因数法A＝ax、B＝bx，其中a、b互质4. 应用：【例7】(★★★)将92个苹果和138个梨平均分给一班的小朋友，要求每人分到的水果相同，且无剩余. 那么一班最多有多少个小朋友？每个小朋友分到几个苹果几个梨？公因数---除数；公倍数---被除数【今日讲题】例2，例4，例5，例6【讲题心得】__________________________________________________________________. 【家长评价】________________________________________________________________. 2。
(完整)小学奥数因数与倍数
第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找 （2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。
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因数与倍数相关习题（ 1）一、填空题1 ．28 的所有因数之和是 _____. 2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形, 有 _____种不同的拼法 .3. 一个两位数 , 十位数字减个位数字的差是 28 的因数 , 十位数字与个位数字的积是 24. 这个两位数是 _____.4. 李老师带领一班学生去种树 , 学生恰好被平均分成四个小组 , 总共种树 667 棵, 如果师生每人种的棵数一样多 , 那么这个班共有学生 _____人 .5. 两个自然数的和是 50, 它们的最大公因数是 5, 则这两个数的差是 _____.6. 现有梨 36 个, 桔 108 个 , 分给若干个小朋友 , 要求每人所得的梨数 , 桔数相 等 , 最多可分给 _____个小朋友 , 每个小朋友得梨 _____个 , 桔 _____个.7. 一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片 _____块 .8. 长 180 厘米 , 宽 45 厘米 , 高 18 厘米的木料 , 能锯成尽可能大的正方体木块 ( 不余料 )_____ 块.9. 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个 , 又以 2 元钱 5 个苹果的价格将这些苹果卖出 , 如果他要赚得 10 元钱利润 , 那么他必须卖出苹果 _____个 .10. 含有 6 个因数的两位数有 _____个 .11．写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公因数是 1，但两两均不互 质，请问有多少组这种解？12．和为 1111 的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4 1 米，黄鼠狼每次跳 2 3米， 2 4它们每秒钟都只跳一次 . 比赛途中 , 从起点开始每隔 12 3米设有一个陷井 , 当它们8之中有一个掉进陷井时 , 另一个跳了多少米 ?14. 已知 a 与 b 的最大公因数是 12, a 与 c 的最小公倍数是 300, b 与 c 的最 小公倍数也是 300, 那么满足上述条件的自然数 a, b, c 共有多少组 ?( 例如 : a=12、b=300、c=300，与 a=300、b=12、c=300 是不同的两个自然数 组 )———————————————答 案——————————————————————答 案:1． 5628 的因数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因 105 的因数有105 和 1,35 和 3,21 与1,3,5,7,15,21,35,1055,15 与 7. 所以能拼成能拼成的方形的与分是4 种不同的方形 .3. 64因 28=2 2 7, 所以 28 的因数有 6 个:1,2,4,7,14,28.在数字中，只有 6 与 4 之，或者 8 与 3 之是 24，又 6-4=2，8-3=5.故符合目要求的两位数有64.0,1,2, ⋯，94. 28因667=23 29, 所以班生每人种的棵数只能是667 的因数:1,23,29,667. 然 , 每人种 667 棵是不可能的 .当每人种 29 棵 , 全班人数是 23-1=22, 但 22 不能被 4 整除 , 不可能 .当每人种 23 棵 , 全班人数是29-1=28, 且 28 恰好是 4 的倍数 , 符合目要求 .当每人种 1 棵 , 全班人数是 667-1=666, 但 666 不能被 4 整除 , 不可能 .所以 , 一班共有 28 名学生 .5. 40或20两个自然数的和是50, 最大公因数是35, 它的差分 (45-5=)40,(35-15=)20, 5, 两个自然数可能是所以填 40 或 20.5 和45,15 和[ 注 ] 这里的关键是依最大公因数是 5 的条件, 将50 分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨 36 个、桔子 108 个分若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36 的因数，又要是 108 的因数，即一定是 36 和 108的公因数 . 因要求最多可分多少个小朋友, 可知小朋友的人数是36 和 108 的最大公因数 .36 和 108 的最大公因数是36, 也就是可分 36 个小朋友 .每个小朋友可分得梨 : 3636=1( 只)每个小朋友可分得桔子 : 10836=3( 只)所以 , 最多可分得 36 个小朋友 , 每个小朋友可分得梨 1 只, 桔子 3 只.7. 56剪出的正方形布片的能分整除方形的48 厘米及 42 厘米 , 所以它是 48 与 42 的公因数 , 目又要求剪出的正方形最大, 故正方形的是48 与42 的最大公因数 .因 48=2 2 2 2 3,42=2 3 7, 所以 48 与 42 的最大公因数是 6., 最大正方形的是 6 厘米 . 由此可按如下方法来剪 : 每排剪 8 , 可剪 7, 共可剪 (48 6) (42 6)=8 7=56( ) 正方形布片 .8. 200根据没有余料的条件可知、和高分能被正方体的棱整除, 即正方体的棱是180,45 和 18 的公因数 . 了使正方体木尽可能大 , 正方体的棱是180、45 和 18 的最大公因数 .180,45 和 18 的最大公因数是 9, 所以正方体的棱是 9 厘米 . , 180 厘米可公成 20 段, 45 厘米可分成 5 段, 高 18 厘米可分成 2 段. 根木料共分割成 (180 9)(45 9) (18 9)=200 棱是 9 厘米的正方体 .9. 150根据 3 与 5 的最小公倍数是 15, 老傅以 5 元 15 个苹果 , 又以 6 元出 15 个苹果 , , 他 15 个苹果与出利 1 元. 所以他利 10 元必出 150 个苹果 .10. 16含有 6 个因数的数 , 它的质因数有以下两种情况 : 一是有 5 个相同的质因数连 乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用 M 表示含有 6 个因 数的数，用 a 和 b 表示 M 的质因数，那么Ma 5 或 Ma 2b因为 M 是两位数，所以 M= a 5 只有一种可能 M=25 ，而 M= a 2 b 就有以下 15 种情况：M 22 3, M 22 5, M 227 ，M22 11, M 22 13, M 2 2 17 ， M 22 19, M 22 23, M 32 2 ，M 32 5, M32 7, M32 11 ，M52 2, M52 3, M 7 22 .所以 , 含有 6 个因数的两位数共有 15+1=16(个)11. 三个数都不是质数 , 至少是两个质数的乘积 , 两两之间的最大公因数只能分别是 2,3 和 5, 这种自然数有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,10,15 三组 .12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和 , 也就是说它们的最大公因数应该是 1111 的因数 . 将 1111 作质因数分解 , 得1111=11 101最大公因数不可能是 1111, 其次最大可能数是 101. 若为 101, 则将这四个数分别除以 101, 所得商的和应为 11. 现有1+2+3+5=11, 即存在着下面四个数101,1012,101 3,101 5,它们的和恰好是101 (1+2+3+5)=101 11=1111, 它们的最大公因数为 101. 所以 101 为所求 .13.黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是 2 3 与 12 3 的“最小公倍数”99，4 84即跳了99 11=9 次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是 4 1 和 12 3的442 8 “最小公倍数”99 ，即跳了999=11 次掉进陷井 .2 2 2经 过 比 较 可 知 , 黄 鼠 狼 先 掉 进 陷 井 , 这 时 狐 狸 已 跳 的 行 程 是419=40.5( 米). 214.先将 12、 300 分别进行质因数分解：12=2 2 32 2300=2 3 5(1)确定 a 的值 . 依题意 a 只能取 12 或 12 5(=60) 或 12 25(=300).(2)确定 b 的值 .当 a=12 时, b 可取 12, 或 12 5, 或 12 25；当a=60,300 时， b 都只能取 12.所以 , 满足条件的 a、b 共有 5 组：a=12 a=12 a=12 a=60 a=300b=12, b=60, b=300, b=12, b=12.(3) 确定 a, b, c 的组数 .对于上面 a、b 的每种取值，依题意， c 均有 6 个不同的值：2 2 2 2 2 2 2 23，即 25，50，100，75，150，300.5 ，5 2，5 2 ，5 3，5 2 3，5 2所以满足条件的自然数 a、b、c 共有 5 6=30（组）因数与倍数相关习题（ 2）一、 填空题1 ．把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2 个，而苹果还缺 2 个，一共有 _____个小朋友 .2. 幼儿园有糖 115 颗、饼干 148 块、桔子 74 个，平均分给大班小朋友；结果糖多出 7 颗，饼干多出 4 块，桔子多出 2 个 . 这个大班的小朋友最多有 _____ 人 .3. 用长 16 厘米、宽 14 厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板 _____块.4. 用长是 9 厘米、宽是 6 厘米、高是 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块 _____块.5. 一个公共汽车站 , 发出五路车 , 这五路车分别为每隔 3、5、9、15、 10 分钟发一次，第一次同时发车以后， _____分钟又同时发第二次车 .6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生 , 如只分给第一群 , 则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒. 那么平均给三群猴子 , 每只可得 _____粒.7. 这样的自然数是有的 : 它加 1 是 2 的倍数 , 加 2 是 3 的倍数 , 加 3 是 4 的倍数 , 加 4 是 5 的倍数 , 加 5 是 6 的倍数 , 加 6 是 7 的倍数 , 在这种自然数中除了 1 以外最小的是 _____.8． 能被 3、7、8、11 四个数同时整除的最大六位数是 _____. 9. 把 26,33,34,35,63,85,91,143 分成若干组 , 要求每一组中任意两个数的最大公因数是 1, 那么至少要分成 _____组.10. 210 与 330 的最小公倍数是最大公因数的 _____倍.二、解答题11．公共汽车总站有三条线路，第一条每 8 分钟发一辆车，第二条每 10 分钟发一辆车，第三条每 16 分钟发一辆车，早上 6：00 三条路线同时发出第一辆车 . 该总站发出最后一辆车是 20:00, 求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻 . 12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数 , 商是 12. 如果甲乙两数的差是 18, 则甲数是多少 ?乙数是多少 ?13. 用 5 、 15 、 1 1分别去除某一个分数，所得的商都是整数 . 这个分数28 56 20最小是几 ?14. 有 15 位同学 , 每位同学都有编号 , 他们是 1 号到 15 号 ,1 号同学写了一个自然数 ,2 号说：“这个数能被 2 整除”，3 号说：“这个数能被他的编号数整除 .1 号作了检验 : 只有编号连续的二位同学说得不对 , 其余同学都对 , 问 :(1) 说的不对的两位同学 , 他们的编号是哪两个连续自然数 ?(2) 如果告诉你 ,1 号写的数是五位数 , 请找出这个数 .———————————————答案——————————————————————答案:1. 9若梨减少 2 个, 则有 20-2=18( 个); 若将苹果增加 2 个 , 则有 25+2=27(个), 这样都被小朋友刚巧分完 . 由此可知小朋友人数是 18 与 27 的最大公因数 . 所以最多有 9 个小朋友 .2. 36根据题意不难看出 , 这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.所以 , 这个大班的小朋友最多有36 人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数 , 也就是长方形木板的长和宽的公倍数 , 又要求最少需要多少块 , 所以正方形木板的边长应是 14 与16 的最小公倍数 .先求 14 与 16 的最小公倍数 .2 161487故14 与 16 的最小公倍数是 2 8 7=112.因为正方形的边长最小为112 厘米 , 所以最少需要用这样的木板112112=7 8=56(块 )16 144． 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9， 6， 7 的最小公倍数， 9，6，7 的最小公倍数是126. 所以 , 至少需要这种长方体木块126 126 126=14 21 18=5292(块 )9 6 7[ 注 ] 上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广. 将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一. 希望引起小朋友们注意.5. 90依意知 , 从第一次同到第二次同的是 3,5,9,15 和 10 的最小公倍数 .因 3,5,9,15 和 10 的最小公倍数是 90, 所以从第一次同后90 分又同第二次 .6. 5依意得花生粒数 =12 第一群猴子只数=15第二群猴子只数=20第三群猴子只数由此可知 , 花生粒数是 12,15,20 的公倍数 , 其最小公倍数是 60. 花生粒数是60,120,180, ⋯⋯，那么第一群猴子只数是5， 10，15，⋯⋯第二群猴子只数是4， 8， 12，⋯⋯第三群猴子只数是3， 6， 9，⋯⋯所以，三群猴子的只数是 12，24，36，⋯⋯ . 因此 , 平均分三群猴子 , 每只猴子所得花生粒数是 5 粒.7. 421依意知 , 个数比 2、3、4、5、6、7 的最小公倍数大 1,2 、3、4、5、6、 7 的最小公倍数是 420，所以个数是 421.8. 999768由意知 , 最大的六位数是 3,7,8,11 的公倍数 , 而 3,7,8,11 的最小公倍数是1848.因 999999 1848=541⋯⋯ 231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848 的 541 倍，或者是 999999 与 231 的差 . 所以 , 符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据目要求 , 有相同因数的数不能分在一,26=2 13,91=7 13,143=11 13, 所以 , 所分数不会小于 3. 下面出一种分方案 :(1)26 ， 33，35； (2)34 ，91；(3)63 ， 85，143.因此 , 至少要分成 3.[ 注 ] 所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3 5， 21=3 7，35=5 7， 3， 5，7 各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外 , 有多种分法 , 下面再出三种 :(1)26,35 ； 33，85， 91；34，63， 143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数甲乙的最大公因数 =甲数乙数”，将 210 330 分解因数，再行合有210 330=2 3 5 7 2 3 511=223252711=（ 2 3 5）（2 3 5 7 11）因此，它的最小公倍数是最大公因数的 7 11=77（倍） .11.根据意 , 先求出 8,10,16 的最小公倍数是 80, 即从第一次三同出后 , 每隔 80 分又同 .从早上 6:00 至 20:00 共 14 小 , 求出其中包含多少个80 分 .6014 80=10⋯40 分由此可知 ,20:00 前 40 分 , 即 19:20 最后一次三同的刻.12.甲乙两数分除以它的最大公因数 , 所得的两个商是互数 . 而两个互数的乘 , 恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它的最大公因数所得的商—— 12. 一的根据是 :( 我以“ ”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数) 甲数乙数 =倍甲数乙数倍约=，所以：约约约约甲数乙数倍甲数乙数约约=约，约 =12约将 12 成互的两个数的乘：①12=4 3，② 12=1 12先看① , 明甲乙两数：一个是它最大公因数的 4 倍，一个是它最大公因数的 3 倍.甲乙两数的差除以上述互的两数 ( 即 4 和 3) 之差 , 所得的商 , 即甲乙两数的最大公因数 .18(4-3)=18甲乙两数 , 一个是 :18 3=54，另一个是： 18 4=72.7再看② ,18 (12-1)= 1 , 不符合意 , 舍去 .13.依意 , 所求最小分数M,NM 5=a M 15 =b M 11=cN 28 N 56 N 20即M28 =a M 56 =b M 20 =c N 5 N 15 N 21其中 a, b, c 整数 .因M是最小 , 且 a, b, c 是整数 , 所以 M 是 5,15,21 的最小公倍数 , N 是N28,56,20 的最大公因数 , 因此 , 符合条件的最小分数 :M =105= 261N4 414.(1) 根据 2 号~15 号同学所述 ,将合数 4,6,⋯，15 分解因数后，由 1 号同学果，行分析推理得出的 .4=22,6=2 3,8=2 3,9=3 2,10=2 5,12=2 2 3,14=2 7,15=3 5由此不断定得不的两个同学的号是8 与 9 两个自然数 ( 可逐次排除 , 只有 8 与 9 足要求 ).(2)1 号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,1512 个数整除 , 也就是它的公倍数 . 它的最小公倍数是2 25 7 11 13=60060 3因为 60060 是一位五位数 , 而这 12 个数的其他公倍数均不是五位数, 所以 1 号同学写的五位数是60060.。
5年级奥数--因数与倍数
因数与倍数专题提高（3月5日）
专题精华
几个自然数a,b 的最大公因数记作（a,b）,若（a,b）=1,则a和b互质。
自然数a,b的最小公倍数可以记作[a,b],当（a,b）=1时，[a,b]=axb。
两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数x最小公倍数=两数的乘积。
掌握以上数量关系，根据题目中的已知条件，就可以解决因数与倍数的问题。
教材深化：
1.1 小张，小王，小李三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，小张3天去一次，小王4天去一次，小李5天去一次。
有一天，他们三人恰好在图书馆相会。
问至再过多少天他们三人又在图书馆相会？
1.2 某市3路，5路，8路车都从东站出发，3路车每隔10分钟发一次车，5路车每隔15分钟发一次车，而8路车每隔20分钟发一次车。
当这三种路线的车同时发车后，至多少分钟后这三种路线又同时发车？
1.3 大雪后的一天，小轩与爸爸共同步测一个圆形花园的周长。
他们走的起点，路线，方向完全相同。
小轩的步长为54厘米，爸爸的步长为72厘米。
由于两人的脚印有重合，所以雪地只留下60个脚印。
这个花坛的周长是多少？
1.4 四个连续的自然数，它们从小到大一次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。
这四个连续自然数的和最小是多少？
2.1两个数的最大公因数是10，最小公倍数为140。
已知其中一个数为70，则另一个数是
多少？
2.2 现有4个自然数，他们的和是1111，如果要使4个数的公因数尽可能大，那么四个数的公因数最大可能是多少？
生活数学：
感受奥赛：。
五年级奥数因数与倍数(A级)
一、 因数的概念与最大公因数0被排除在因数与倍数之外1． 求最大公因数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=； ②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数．用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公因数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公因数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公因数是15．2． 最大公因数的性质①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数；②几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以n ．3． 求一组分数的最大公因数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公因数b ；b a即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；②短除法求最小公倍数； 例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=； ③[,](,)a b a b a b ⨯=． 2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．知识框架 因数与倍数数b；ba即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4==注意：两个最简分数的最大公因数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦三、最大公因数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。
完整五年级奥数第一讲因数与倍数
五年级奥数 第一讲：因数与倍数知识点拨1、 因数和倍数 ：如果a >b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。
例如6 >2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。
例如 10能被 5整除，那么 10 就是 5的倍数， 5就是 10的因数。
2、 一个数的因数的求法： ( 1 )列乘法算式找(2)列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是 1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15 的因数有哪些？ 方法一： 1215=15， 325=15(一般从自然数 1开始，一对一对的找) 方法二：15+1=15,15七=5 (计算时从除数1开始找，直到重复为止) 所以 15的因数就是 1, 3, 5, 15。
最大的因数就是 15，也就是它本身！最小的是 1。
3、 一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如： 3的倍数 36 9 1215 .... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征： 最小的倍数是本身，没有最大的倍数如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。
4、 2、5、3的倍数的特征 ：① 个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2的倍数。
② 个位上是 0或5的数，是 5的倍数。
③ 一个数各个数位上的数字之和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。
5、 常见数字的整除判定方法： ( 1) 2：个位是偶数的自然数(2) 5：个位是 0或5的自然数 注：若一个数同时是 2 和 5 的倍数，则此数的个位一定为 0 ( 3) 4、 25：末两位能被 4、25 整除 (4) 8、125：末三位能被 8、125整除 (5)3、9：各个数位上的数之和能被 3、9 整除(6) 7、11、13通用性质：① 一个数如果是 1001 的倍数，即能被 7、11、13整除.如201201=20121001，则其必能被 7、 ② 从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是 7、11、13的倍数，则其为 ③ 末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为 7、11、13的倍数，则其为(7) 11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除 (8) 99：两位一段(从右往左) ，各段的和能被 99 整除 (9) 999：三位一段(从右往左) ，各段的和能被 999 整除6、 在自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数( 0也是偶数)，不是 2的倍数的数叫做奇数。
小学奥数题库《数论》因数和倍数-因数的个数定理-5星题(含解析)
数论-因数和倍数-因数的个数定理-5星题课程目标知识提要因数的个数定理•因数的个数定理因数的个数等于不同质因数的指数分别加1后再相乘的积。
•因数个数性质当因数个数为奇数的时候，这个数一定是完全平方数．精选例题因数的个数定理1. 1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．【答案】6个【分析】1001的倍数可以表示为1001k，由于1001=7×11×13，如果k有不同于7，11，13的质因数，那么1001k至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1),其中n⩾4．如果这个数恰有1001个约数，那么(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1)=1001=7×11×13,但是1001不能分解成4个大于1的数的乘积，所以n⩾4时不合题意，即k不能有不同于7，11，13的质因数．那么1001k只有7，11，13这3个质因数．设1001k=7a×11b×13c，那么(a+1)(b+1)(c+1)=1001,a+1、b+1、c+1分别为7，11，13，共有3!=6种选择，每种选择对应一个1001k，所以1001的倍数中共有6个数恰有1001个约数．2. 四位数双成成双的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数成双双成有个因数．【答案】12【分析】双成成双共有3＋39＝42个因数，且有3个质因数，所以它的质因数分解形式为双成成双＝a×b2×c6,而双成成双＝双00双+成成0̅＝双×1001＋成×110＝11×(双×91＋成×10)所以三个质因数中有一个是11，所以双成成双＝a×b2×c6,至少是11×32×26＝6336,稍微大一点点就是11×52×26＝17600,已经是五位数了，所以双成成双＝6336，双＝6,成＝3所以成双双成＝3663＝32×11×37,有3×2×2＝12个因数．3. 两数乘积为2800，而且己知其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1，那么这两个数分别是、．【答案】16、175【分析】先将2800分解质因数：2800=24×52×7，由于其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1，所以这两个数中有一个数的因数为奇数个，这个数必为完全平方数．又是2800的因数，故这个数只能为22、24、52、22×52或24×52，另一个数相应地为22×52×7、52×7、24×7、22×7或7．经检验，只有两数分别为24和52×7时符合条件，所以这两个数分别是16和175．4. 能够被1到11的所有自然数整除的最小自然数为．【答案】27720【分析】1到11这11个数分解质因数后所包含的质数有2、3、5、7、11，因此这个自然数最少包含质因数2、3、5、7、11．1=11，2=21，3=31，4=22，5=51，6=2×3，7=71，8=23，9=32，10=2×5，11=111，所以这个自然数最小为23×32×51×71×111=277205. 老师用0至9这十个数字组成了五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且老实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话：A说：“我的数最小，而且是个质数．〞B说：“我的数是一个完全平方数．〞C说：“我的数第二小，恰有6个因数．〞D说：“我的数不是最大的，我已经知道ABC三人手中的其中两个数是多少了．〞E说：“我的数是某人的数的3倍．〞那么这五个两位数之和是．【答案】180【分析】A的话可知，A的十位是1，又因为是质数，所以A有可能是13，17，19；C能断定自己的数第二小，且有6个因数，所以可能是20，28，32；B是完全平方数，但不能含有1和2，所以B有可能是36，49，64；D能断定自己不是最大的，说明他的数是53或54或十位数不超过4，但大于等于34；E是某人的数的3倍，由上面信息可知，只能是A，且推得A为19，那么E为57最后根据D能知道ABC三人手中两个数，试验可知，BCD手中数分别为36，28，40综上所述，五个两位数之和是1806. 有20个约数，且被42整除最小的自然数是．【答案】336【分析】因为被42整除，所以一定含有质因数2，3，7．20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,有20个约数的自然数有：因为必须含有3个不同的质因数，所以最小的只能是：2×2×2×2×3×7=336;所以有20个约数且被42整除的最小自然数是336．7. 所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个因数？【答案】6【分析】设70的N倍恰有70个因数．70=2×5×7，有：(1+1)×(1+1)×(1+1)=23= 8，因为8不整除70，所以N内可能有2、5、7．假设有4个不同质因数，但70只能表示为2×5×7，所以N内必含2、5、7中几个，即70N=2a+1×5b+1×7c+1，(a+1+1)×(b+1+1)×(c+1+1)=70，a,b,c分别是0，3，5中一个．N为23×53，23×73，25×23，25×73，53×75，55×73，一共6组．8. 如果你写出12的所有因数，1和12除外，你会发现最大的因数是最小因数的3倍．现有一个整数n，除掉它的因数1和n外，剩下的因数中，最大因数是最小因数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？【答案】60和135．【分析】设整数n除掉因数1和n外，最小因数为a，可得最大因数为15a，那么n=a×15a=15a2=3×5×a2．那么3、5、a都为n的因数．因为a是n的除掉因数1外的最小因数，那么a⩽3．当a=2时，n=15×22=60；当a=3时，n=15×32=135．所以满足条件的整数n有60和135．9. 一个正整数，它的2倍的约数恰好比自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个，那么这个正整数为多少？【答案】12【分析】这个数只能含2和3的因子，因为如果它还有别的因子，例如5，那么最后增加的个数要比给定的数字大．设x=2a⋅3b，它的约数有(a+1)(b+1)个，它的2倍为2a+1⋅3b，它的约数有(a+1+1)(b+1)个．(a+1+1)(b+1)−(a+1)(b+1)=b+1=2，b=1同样的，它的3倍为2a⋅3b+1，它的约数为(a+1)(b+1+1)个，比原数多3个(a+1)(b+1+1)−(a+1)(b+1)=a+1=3，a=2，所以这个数的形式是22×3=12．10. 在三位数中，恰好有9个因数的数有多少个？【答案】7个【分析】由于9=1×9=3×3，根据因数个数公式，可知9个因数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有28=256符合条件，后者中符合条件有22×52=100、22×72=196、22×112=484、22×132=676、32×52=225、32×72=441，所以符合条件的有7个．11. 在1到100中，恰好有6个因数的数有多少个？【答案】16个【分析】6=1×6=2×3，故6只能表示为(5+1)或(1+1)×(2+1)，所以恰好有6个因数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：22×322×522×722×1122×1322×1722×1922×23⋯⋯8个32×232×532×732×11⋯⋯4个52×252×3⋯⋯2个72×2⋯⋯1个所以符合条件的自然数一共有1+8+4+2+1=16个．12. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2012倍，这个正整数的最小值是多少？【答案】40220【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2012×n=22×503×n，其约数个数总大于(2+1)×(1+1)=6个，经试验当n=20时，那么x=24×5×503⇒n=5×2×2= 20成立因此x=2011×20=40220．13. 有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，⋯，3599，开始时头都朝东．第1秒钟，编号为1的倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，⋯，如此进行．那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？【答案】东．【分析】要求编号为n的甲虫转动的次数实际上是要求n的因数的个数，先将3599分解质因数：3599=3600−1=602−12=59×61，所以3599只有(1+1)×(1+1)=4个因数，那么在1小时即3600秒内，第3599号甲虫共转动了4次，由于每次转90度，所以共转了360度，还是朝向原来的方向，所以1小时后，第3599号甲虫头朝东．14. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2011倍，这个正整数的最小值是多少？【答案】16088【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2011×n，因为2011是质数，那么n的最小值的约数个数大概率为偶数，经试验当n=8时，那么x=2011×23⇒n=2×4=8成立因此x=2011×8=16088．15. 有一个自然数，它的个位是零，并且它有8个因数，这个数最小可能是多少？【答案】30【分析】因数个数定理：8=1×8=2×4=2×2×2，分解质因数后：a7、ab3、abc，因为这个自然数的个位是零，因此必有质因数2和5，因此可能是23×51或21×31×51，比拟可知最小的数是21×31×51=30．。
最新五年级因数倍数奥数
五年级因数倍数奥数一，判断1，两个质数的积是39，这两个质数的和是40.（）,2，在11到20的10个数中，所有的质数和是70（）3，一个奇数和一个偶数（0除外），它俩的最大公因数一定是奇数，最小公倍数一定是合数。
（）4，两个合数一定不是互质数（）。
,5，最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7（）6，六位数MNNNMN，其中N=6.要使这个六位数既是2的倍数又是3的倍数，那么代表M的数字只能是6.（）7，相邻的两个奇数一定是互质数。
（）。
8，是12的倍数的数一定是12的因数的倍数。
（）9，a,b,c是三个不同的非零的自然数，如果a/b=c,那么，a的因数至少有 3个。
（）10，甲数是乙数的的2倍，乙数一定是甲数的因数。
（）。
二，填空1，三个连续偶数的和是42，这三个数的最大公因数是（）。
2，三个连续自然数的和是33，这三个数的最小公倍数是（）。
3，三个质数的最小公倍数是105，这三个质数是（）。
4，1路汽车每3分钟发一次，3路汽车每5分钟发一次，两辆汽车同时发车，至少再过（）分钟后有同时发。
5，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米，丙每秒跑4米，三人沿着600米的环形跑道从同一点同时同向跑步，经过（）秒三人有同时从出发点出发。
6，AB两只青蛙进行跳跃比赛，A每次跳10cm,B每次跳15cm，他们每秒都只跳1次，且一起从起点开始，再比赛途中，每隔12米有一陷阱，当他们中第一只掉进陷阱时，另一只距离它最近的陷阱（）cm.7,在1×2×3×4×5×·····×2002的积中，末尾有（）连续的0.一，判断1，两个质数的积是39，这两个质数的和是40.（）,2，在11到20的10个数中，所有的质数和是70（）3，一个奇数和一个偶数（0除外），它俩的最大公因数一定是奇数，最小公倍数一定是合数。
（）4，两个合数一定不是互质数（）。
五年级奥数因数与倍数(B级)
因数与倍数一天，因数和倍数走到了一起。
倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？” “我为什么要拜你，你算老几呀？”因数气愤地回答。
“我是老大呀。
”“你是老大？为什么”“你说，一个数的个数有多少个呀？”“这我知道，一个数的因数有无数个。
”只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，一个数的因数的个数就那么可怜的几个。
而一个数的倍数有无数个.你的家庭成员这么少，而我的家庭是这样的庞大。
你说，你不应该拜我吗？”“是的，你的家庭是庞大的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞大，你知道你是老几吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们自己的位置。
再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成立吗？”因数理直气壮地回答。
只见倍数挠着耳朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。
刚才是我不对，我向你道歉了。
”“没有关系，没有关系，你知道自己错了就好。
在自然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。
没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们又是谁的倍数呢？让我们共同携手，紧密团结在一起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。
因数和倍数两位好伙伴的手紧紧地握在了一起。
一、 因数的概念与最大公因数0被排除在因数与倍数之外1． 求最大公因数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=； ②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数．用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公因数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公因数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公因数是15．2． 最大公因数的性质①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数；知识框架课前预习 因数与倍数②几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以n ．3． 求一组分数的最大公因数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公因数b ；b a即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；②短除法求最小公倍数； 例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=； ③[,](,)a b a b a b ⨯=． 2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公因数b ；b a 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公因数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦三、最大公因数与最小公倍数的常用性质1． 两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。
小学奥数因数与倍数
小学奥数因数与倍数小学奥数是指小学生参与的数学竞赛活动，它旨在培养学生的数学思维与解题能力。
在小学奥数的学习中，因数与倍数是一个重要的概念，它们不仅贯穿于数学的各个领域，而且在日常生活中也有广泛的应用。
本文将介绍因数与倍数的概念、性质以及解题方法，帮助小学生更好地掌握这一知识点。
一、因数的概念与性质1.1 因数的定义对于一个数a，如果能整除a的数b，那么b就是a的因数。
例如，4的因数包括1、2和4，因为1、2和4能够整除4。
1.2 因数的性质（1）每个数都有1作为因数，且数本身也是它自己的因数，这两个因数称为它的自身因数。
（2）对于任意的正整数a，a的因数都不会超过a的一半。
（3）任意的正整数都有无限个因数。
二、倍数的概念与性质2.1 倍数的定义对于一个数a，如果a能够被另一个数b整除，那么a就是b的倍数。
例如，8是4的倍数，因为8能够被4整除。
2.2 倍数的性质（1）零是任意数的倍数。
（2）一个数的倍数可以是正数、负数或零。
（3）一个数的倍数与这个数成正比例关系，即如果一个数是另一个数的倍数，那么这两个数成正比例关系。
三、因数与倍数之间的关系3.1 最大公因数与最小公倍数（1）最大公因数：对于两个或多个数，它们共有的因数中最大的一个因数称为这些数的最大公因数。
例如，12和18的最大公因数是6。
（2）最小公倍数：对于两个或多个数，能够被它们共有的倍数整除的最小的一个数称为这些数的最小公倍数。
例如，6和9的最小公倍数是18。
3.2 因数与倍数的性质（1）对于任意的正整数a和b，如果a是b的因数，那么a也是b的倍数。
（2）对于任意的正整数a和b，如果a是b的倍数，那么b也是a的因数。
四、因数与倍数的解题方法4.1 因数的解题方法（1）列举法：对于一个数，列举出所有能够整除它的数即为它的因数。
（2）分解法：将一个数分解为若干个能够整除它的较小的数，这些较小的数即为它的因数。
4.2 倍数的解题方法（1）倍数的计算：对于两个数a和b，如果a是b的n倍，那么可以通过将a乘以n来计算出b的值。
五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)
五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)第二单元：因数和倍数提高题和奥数题板块一：因数和倍数例题1：一个数在150至250之间，且是18的倍数，这个数可能是多少？最大是多少？练1：一个数是25的倍数，它位于110至160之间，这个数是多少？例题2：有一个数，它是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？练2：既是7的倍数，又是42的因数，这样的数有哪些？例题3：妈妈买来30个苹果，让XXX把苹果放入篮子里。
不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。
XXX共有几种拿法？每种拿法每次各拿多少个？练3：五（1）班有学生42人，把他们平均分成几个研究小组，每组多于2人且少于8人。
可以分成几个小组呢？板块二：2、5、3的倍数的特征例题1：一个五位数29ABC（A、B、C是～9中不同的数字）同时是2、5、3的倍数，这个数可能是多少？练1：在17的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，又同时含有因数3和5.这个五位数最大是多少？最小是多少？例题2：5□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？练2：4□□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？板块三：奇数和偶数例题1：一只小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，不断往返。
已知小船最初在南岸。
1）摆渡15次后，小船是在南岸还是在北岸？为什么？2）XXX说摆渡2016次后，小船在北岸。
他说得对吗？为什么？练1：傍晚XXX开灯做作业，本来拉一次开关，灯就该亮了，但是他连续拉了5次开关，灯都没有亮，原来是停电了。
你知道来电的时候，灯应该亮着还是不亮呢？例题2：有36个苹果，把它们放在9个盘子里，每个盘子里只放奇数个苹果，能做到吗？练2：（1）1×2+3×4+5×6+…+199×200的和是奇数还是偶数？有2016个烟花，每次燃放奇数个，想在9次后恰好全部放完，能做到吗？为什么？可以做到。
五年级数学因数和倍数试题答案及解析
五年级数学因数和倍数试题答案及解析1.有3个连续自然数，已知中间一个数是n，那么其他两个自然数分别是（）和（）。
【答案】n-1；n+1【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
2.三个连续自然数的和是45，这三个自然数分别是（）、（）和（）。
【答案】14；15；16【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
3.下列哪些是自然数，请把他们写在下边的横线上。
0.34，45，26，435， 8.45， 6.54， 20， 6.01【答案】45，26，435，20【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
4.下列哪些是自然数，请把他们写在下边的横线上。
0.43，342，12，40， 324.9， 6.34， 13， 0.01【答案】342，12，40， 13【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
5.没有最大的自然数。
（）【答案】正确【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
6.13和26的最大公因数是，最小公倍数是。
考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法。
分析：13和26是倍数关系，所以这两个数的最大公因数就是较小的数13，最小公倍数是较大的那个数，即26。
解答：解：因为26÷13=2，即26是13的倍数，所以13和26的最大公因数是13，13和26的最小公倍数是26。
故答案为：13，26。
【答案】13，26【解析】【考点】求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法。
小学因数与倍数奥数题100道及答案(完整版)
小学因数与倍数奥数题100道及答案(完整版)题目1：一个数既是12 的倍数，又是48 的因数，这个数可能是多少？答案：这个数可能是12、24 或48。
题目2：两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，其中一个数是12，另一个数是多少？答案：另一个数是18。
因为最小公倍数乘以最大公因数等于两个数的乘积，所以另一个数为36×6÷12 = 18 。
题目3：有一个自然数，除以5 余3，除以7 余4，这个数最小是多少？答案：23 。
从除以7 余4 的数中找除以5 余3 的数，最小为23 。
题目4：已知A = 2×3×5，B = 2×5×7，A 和 B 的最大公因数和最小公倍数分别是多少？答案：最大公因数是10，最小公倍数是210 。
题目5：一个数在80 到100 之间，既是6 的倍数，又是9 的倍数，这个数是多少？答案：90 。
6 和9 的最小公倍数是18 ，在80 到100 之间18 的倍数是90 。
题目6：两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数分别是多少？答案：3 和120 或15 和24 。
题目7：有一个数，它的最大因数和最小倍数之和是60，这个数是多少？答案：30 。
一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以这个数是30 。
题目8：把48 块糖和38 块巧克力分别分给同一组同学，结果糖剩3 块，巧克力少了2 块，这个组最多有几名同学？答案：5 名。
48 - 3 = 45 ，38 + 2 = 40 ，45 和40 的最大公因数是5 。
题目9：一个数除以4 余1，除以5 余2，除以6 余3，这个数最小是多少？答案：57 。
这个数加上3 就能被4、5、6 整除，4、5、6 的最小公倍数是60 ，所以这个数最小是57 。
题目10：甲、乙两数的最大公因数是8，最小公倍数是48，甲数是24，乙数是多少？答案：16 。
乙数= 8×48÷24 = 16 。
因数和倍数奥数题及标准答案(有难度)
因数和倍数奥数题荟萃总体难度有点大，如果有兴趣可以试试！1、某校举行数学竞赛，共有20道题。
评分标准规定，答对一题给3分，不答给1分。
答错一题倒扣1 分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？2、有四个连续奇数的和是2008，则其中最小的一个奇数是_________。
3、张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得1个苹果和3个橘子。
最后橘子分完了，苹果还剩下12个。
那么一共分给了________ _名小朋友。
4、小华同学为了在“希望杯”数学大赛中取得好成绩，自己做了四份训练题(每份训练题满分为120分)。
他第一份训练题得了90分，第二份训练题得了100分，那么第三份训练题至少要得_________分才能使四份训练题的平均成绩达到105分。
5、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.6、自然数123456789是质数，还是合数？为什么？7、一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？8、一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
9、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？10、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
答案：1、解：以一个学生得分情况为例。
如果他有m 题答对，就得3m 分，有n题答错，则扣n分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m-n）分。
所以，这个学生得分总数为：3m-n+（20-m-n）=3m-n+20-m-n=2m-2n+20 =2（m-n+10）不管（m-n+10）是奇数还是偶数，则2（m-n+10）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。
由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。
2、解：499。
2008÷4—3=4993、解：6。
12÷(3—1)=6(名)。
因数和倍数奥数题及标准答案(有难度)
因数和倍数奥数题荟萃总体难度有点大，如果有兴趣可以试试！1、某校举行数学竞赛，共有20道题。
评分标准规定，答对一题给3分，不答给1分。
答错一题倒扣1 分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？2、有四个连续奇数的和是2008，则其中最小的一个奇数是_________。
3、张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得1个苹果和3个橘子。
最后橘子分完了，苹果还剩下12个。
那么一共分给了________ _名小朋友。
4、小华同学为了在“希望杯”数学大赛中取得好成绩，自己做了四份训练题(每份训练题满分为120分)。
他第一份训练题得了90分，第二份训练题得了100分，那么第三份训练题至少要得_________分才能使四份训练题的平均成绩达到105分。
5、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.6、自然数123456789是质数，还是合数？为什么？7、一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？8、一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
9、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？10、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
答案：1、解：以一个学生得分情况为例。
如果他有m 题答对，就得3m 分，有n题答错，则扣n分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m-n）分。
所以，这个学生得分总数为：3m-n+（20-m-n）=3m-n+20-m-n=2m-2n+20 =2（m-n+10）不管（m-n+10）是奇数还是偶数，则2（m-n+10）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。
由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。
2、解：499。
2008÷4—3=4993、解：6。
12÷(3—1)=6(名)。
倍数与因数奥数测试题
倍数与因数奥数测试题倍数与因数奥数测试题(2009-09-27 16:42:50)人教版《因数与倍数》一、基础与提高。
1、教学目标：（1）认识自然数、整数、倍数、因数；(2)认识奇数和偶数，掌握2，3，5的倍数的特征。
(3)在1-100中，能找出10以内某个自然数的所有倍数；能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。
(4)在1-100中，能找出某个自然数的所有因数；能找出两个自然数的公因数和最大公因数。
（5）利用公倍数和公因数的有关知识解决生活中的实际问题。
2、基础知识讲解：●自然数a除以自然数b（0除外），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
如果a能被b整除，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。
●能被2，3，5整除的数的特征：2的倍数特征：个位是0，2，4，6，8的数5的倍数特征：个位是0，5的数3或9的倍数特征：各个数位上的数字之和能被3或9整除。
4或25的倍数特征：末两位数能被4或25整除。
8或125的倍数特征：末三位数能被8或125整除。
11的倍数的特征：奇数位的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。
●奇数与偶数：能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。
质数与合数：一个数除了1和它本身以外，没有其它的因数，这个数叫做质数（素数）。
一个数除了1和它本身外，还有别的因数，这个数叫做合数。
1既不是质数，也不是合数。
把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。
●最大公因数与最小公倍数：一般情况用短除法求。
特殊情况：倍数关系：（m，n）=m [m，n]=n （n是m的倍数）互质关系：（m，n）=1 [m，n]=mn3、经典例题：例1：下列哪些式子是整除式？（1）8.8÷1.1=8（2）130÷10=13（3）29÷7=4……1（4）14÷5=2.4分析与解：根据整除的定义，被除数和除数必须是整数，商是整数而没有余数才叫整除，因此只有（2）式才是整除式。
五年级奥数.数论.因数与倍数（A级答案
五年级奥数.数论.因数与倍数（A级答案因数与倍数课前预习因数与倍数⼀天，因数和倍数⾛到了⼀起。
倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？”“我为什么要拜你，你算⽼⼏呀？”因数⽓愤地回答。
“我是⽼⼤呀。
”“你是⽼⼤？为什么”“你说，⼀个数的倍数有多少个呀？”“这我知道，⼀个数的倍数有⽆数个。
”只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，⼀个数的因数的个数就那么可怜的⼏个。
⽽⼀个数的倍数有⽆数个.你的家庭成员这么少，⽽我的家庭是这样的庞⼤。
你说，你不应该拜我吗？”“是的，你的家庭是庞⼤的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞⼤，你知道你是⽼⼏吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们⾃⼰的位置。
再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成⽴吗？”因数理直⽓壮地回答。
只见倍数挠着⽿朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。
刚才是我不对，我向你道歉了。
”“没有关系，没有关系，你知道⾃⼰错了就好。
在⾃然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。
没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们⼜是谁的倍数呢？让我们共同携⼿，紧密团结在⼀起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。
因数和倍数两位好伙伴的⼿紧紧地握在了⼀起。
⼀、约数的概念与最⼤公约数0被排除在约数与倍数之外1．求最⼤公约数的⽅法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=?=；③辗转相除法：每⼀次都⽤除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最⼤公约数．⽤辗转相除法求两个数的最⼤公约数的步骤如下：先⽤⼩的⼀个数除⼤的⼀个数，得第⼀个余数；再⽤第⼀个余数除⼩的⼀个数，得第⼆个余数；⼜⽤第⼆个余数除第⼀个余数，得第三个余数；这样逐次⽤后⼀个余数去除前⼀个余数，直到余数是0为⽌．那么，最后⼀个除数就是所求的最⼤公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最⼤公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最⼤公约数是15．2．最⼤公约数的性质①⼏个数都除以它们的最⼤公约数，所得的⼏个商是互质数；②⼏个数的公约数，都是这⼏个数的最⼤公约数的约数；③⼏个数都乘以⼀个⾃然数n ，所得的积的最⼤公约数等于这⼏个数的最⼤公约数乘以n ．3．求⼀组分数的最⼤公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最⼩公倍数a ；求出各个分数的分⼦的最⼤公约数b ；b a即为所求．⼆、倍数的概念与最⼩公倍数1. 求最⼩公倍数的⽅法①分解质因数的⽅法；例如：2313711=??，22252237=??，所以[]22231,252237112772==；②短除法求最⼩公倍数；例如：2181239632，所以[]18,12233236==；知识框架③[,](,)a b a b a b ?=． 2. 最⼩公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最⼩公倍数的倍数．②两个互质的数的最⼩公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最⼤公约数是其中较⼩的数，最⼩公倍数是较⼤的数．3. 求⼀组分数的最⼩公倍数⽅法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分⼦的最⼩公倍数a ；求出各个分数分母的最⼤公约数b ；b a即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最⼤公约数不能是整数，最⼩公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3??== 三、最⼤公约数与最⼩公倍数的常⽤性质1．两个⾃然数分别除以它们的最⼤公约数，所得的商互质。
五年级奥数.数论.因数与倍数(A级答案
因数与倍数一天，因数和倍数走到了一起。
倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？” “我为什么要拜你，你算老几呀？”因数气愤地回答。
“我是老大呀。
” “你是老大？为什么”“你说，一个数的倍数有多少个呀？” “这我知道，一个数的倍数有无数个。
”只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，一个数的因数的个数就那么可怜的几个。
而一个数的倍数有无数个.你的家庭成员这么少，而我的家庭是这样的庞大。
你说，你不应该拜我吗？”“是的，你的家庭是庞大的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞大，你知道你是老几吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们自己的位置。
再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成立吗？”因数理直气壮地回答。
只见倍数挠着耳朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。
刚才是我不对，我向你道歉了。
”“没有关系，没有关系，你知道自己错了就好。
在自然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。
没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们又是谁的倍数呢？让我们共同携手，紧密团结在一起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。
因数和倍数两位好伙伴的手紧紧地握在了一起。
课前预习知识框架因数与倍数一、 约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15．2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；ba即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数 1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=； ②短除法求最小公倍数；例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=；③[,](,)a ba b a b ⨯=． 2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；ba 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4==注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
五年级奥数因数与倍数
五年级奥数因数与倍数第十四节因数与倍数，质数与合数【知识回顾】1、倍数与因数的关系是相互依存的。
2、运用这个找因数个数的方法，可以帮助我们解决一些看似无从下手的问题，关键是先将所要找因数的这个数，进行正确的分解质因数，然后利用指数之间的关系解决问题。
3、在解决质数、合数问题时，我们必须注意一下几点。
质数：（1）最小的质数是2；（2）在质数中只有2是偶数，其余的质数都是奇数；（3）每个质数只有2个因数，即1和它本身。
合数：（1）最小的合数是4；（2）每个合数至少有3个因数，1和它本身以及他某些因数。
【典型例题】（因数与倍数）例1、216的全部因数有多少个？全部因数的和是多少？例2、有8个不同因数的自然数中，最小的一个是多少？例3、在100至200中共有几个数既不是7的倍数，又不是9的倍数？它们的和是多少？【学以致用】1、24有多少个因数？这些因数的和是多少？2、3600共有多少个因数？3、一个数是3个2,1个3,2个5,1个7的连乘积，则这个数的最大的两位的因数是几？4、将400分成两个三位数之和，其中一个是9的倍数，另一个是17的倍数，这两个数分别是多少？5、求50至70之间只有4个不同因数的最大自然数。
6,、求2至1000中只有15个因数的最大自然数。
7、一串数排成一行，头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，即1,1,2,3,5,8,13,21，……，在这串数前2000个数中，共有多少个6的倍数？【典型例题】（质数与合数）例4、用1,2,3三个数字，允许重复使用，可以组成100以内的哪些质数？例5、判断269,437这两个数是合数还是质数？例6、将50写成10个质数相加的和的形式。
如果要使其中最大的质数尽可能大，这个最大的质数是多少？【学以致用】1、刘叔叔家的电话号码可以写成ABCCDB的形式，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，已知这6个数字之和是14，B 是任何自然数的因数，C不是任何自然的因数，A是质数，D是合数，你知道他家的电话号码是多少吗？2、有这样一个质数，它分别加上10和14后仍然为质数，你会求这个质数吗？3、50以内，由1——7组成的两位数的质数共有多少个？4、110可以用两个质数的和来表示，这两个质数的差（大数减小数）的最小值是几？5、有两个合数A和B，它们的和是质数。
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因数与倍数相关习题（1）一、填空题1．28的所有因数之和是_____.2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的因数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是_____.4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.5. 两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是_____.6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个.7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块.8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块.9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.10. 含有6个因数的两位数有_____个.11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？12．和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳432米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔8312米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?14. 已知a 与b 的最大公因数是12,a 与c 的最小公倍数是300,b 与c 的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a ,b ,c 共有多少组?(例如:a =12、b =300、c =300，与a =300、b =12、c =300是不同的两个自然数组)———————————————答 案——————————————————————答 案:1． 5628的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.3. 64因为28=2⨯2⨯7,所以28的因数有6个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有64.4. 28因为667=23⨯29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的因数:1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的.当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.所以,一班共有28名学生.5. 40或20两个自然数的和是50,最大公因数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20.[注]这里的关键是依最大公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的因数，又要是108的因数，即一定是36和108的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公因数.36和108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.每个小朋友可分得梨: 36÷36=1(只)每个小朋友可分得桔子: 108÷36=3(只)所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.7. 56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公因数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公因数.因为48=2⨯2⨯2⨯2⨯3,42=2⨯3⨯7,所以48与42的最大公因数是6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪(48÷6)⨯(42÷6)=8⨯7=56(块)正方形布片.8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180,45和18的公因数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(180÷9)⨯(45÷9)⨯(18÷9)=200块棱长是9厘米的正方体.9. 150根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.10. 16含有6个因数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M 表示含有6个因数的数，用a 和b 表示M 的质因数，那么5a M =或b a M ⨯=2因为M 是两位数，所以M = a 5只有一种可能M =25，而M = a 2⨯b 就有以下15种情况：72,52,32222⨯=⨯=⨯=M M M ，172,132,112222⨯=⨯=⨯=M M M ，23,232,192222⨯=⨯=⨯=M M M ，113,73,53222⨯=⨯=⨯=M M M ，27,35,25222⨯=⨯=⨯=M M M .所以,含有6个因数的两位数共有15+1=16(个)11. 三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公因数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解,得1111=11⨯101最大公因数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有1+2+3+5=11,即存在着下面四个数101,101⨯2,101⨯3,101⨯5,它们的和恰好是101⨯(1+2+3+5)=101⨯11=1111,它们的最大公因数为101.所以101为所求.13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是432与8312的“最小公倍数”499，即跳了499411÷=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是214和8312的“最小公倍数”299，即跳了299÷29=11次掉进陷井. 经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是214⨯9=40.5(米). 14. 先将12、300分别进行质因数分解：12=22⨯3300=22⨯3⨯52(1)确定a的值.依题意a只能取12或12⨯5(=60)或12⨯25(=300).(2)确定b的值.当a=12时,b可取12,或12⨯5,或12⨯25；当a=60,300时，b都只能取12.所以,满足条件的a、b共有5组：a=12 a=12 a=12 a=60 a=300b=12, b=60, b=300, b=12, b=12.(3)确定a,b,c的组数.对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：52，52⨯2，52⨯22，52⨯3，52⨯2⨯3，52⨯22⨯3，即25，50，100，75，150，300. 所以满足条件的自然数a、b、c共有5⨯6=30（组）因数与倍数相关习题（2）一、 填空题1．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共有_____个小朋友.2. 幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友；结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有_____人.3. 用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板_____块.4. 用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_____块.5. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，_____分钟又同时发第二次车.6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得_____粒.7. 这样的自然数是有的:它加1是2的倍数,加2是3的倍数,加3是4的倍数,加4是5的倍数,加5是6的倍数,加6是7的倍数,在这种自然数中除了1以外最小的是_____.8． 能被3、7、8、11四个数同时整除的最大六位数是_____.9. 把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公因数是1, 那么至少要分成_____组.10. 210与330的最小公倍数是最大公因数的_____倍.二、解答题11．公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6：00三条路线同时发出第一辆车.该总站发出最后一辆车是20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数,商是12.如果甲乙两数的差是18,则甲数是多少?乙数是多少?13. 用285、5615、2011分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数最小是几?14. 有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.———————————————答 案——————————————————————答 案:1. 9若梨减少2个,则有20-2=18(个);若将苹果增加2个,则有25+2=27(个),这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有9个小朋友.2. 36根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.所以,这个大班的小朋友最多有36人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.先求14与16的最小公倍数. 2 16 148 7故14与16的最小公倍数是2⨯8⨯7=112.因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板1416112112⨯⨯=7⨯8=56(块) 4． 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块769126126126⨯⨯⨯⨯=14⨯21⨯18=5292(块) [注]上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.5. 90依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数.因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车.6. 5依题意得花生总粒数=12⨯第一群猴子只数=15⨯第二群猴子只数=20⨯第三群猴子只数由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……，那么第一群猴子只数是5，10，15，……第二群猴子只数是4，8，12，……第三群猴子只数是3，6，9，……所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…….因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是5粒.7. 421依题意知,这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420，所以这个数是421.8. 999768由题意知,最大的六位数是3,7,8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.因为999999÷1848=541……231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848的541倍，或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一组,26=2⨯13,91=7⨯13,143=11⨯13,所以,所分组数不会小于3.下面给出一种分组方案:(1)26，33，35；(2)34，91；(3)63，85，143.因此,至少要分成3组.[注]所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3⨯5，21=3⨯7，35=5⨯7，3，5，7各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外,还有多种分组法,下面再给出三种:(1)26,35；33，85，91；34，63，143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数⨯甲乙的最大公因数=甲数⨯乙数”，将210⨯330分解质因数，再进行组合有210⨯330=2⨯3⨯5⨯7⨯2⨯3⨯5⨯11=22⨯32⨯52⨯7⨯11=（2⨯3⨯5）⨯（2⨯3⨯5⨯7⨯11）因此，它们的最小公倍数是最大公因数的7⨯11=77（倍）.11. 根据题意,先求出8,10,16的最小公倍数是80,即从第一次三车同时发出后,每隔80分钟又同时发车.从早上6:00至20:00共14小时,求出其中包含多少个80分钟.60⨯14÷80=10…40分钟由此可知,20:00前40分钟,即19:20为最后一次三车同时发车的时刻.12. 甲乙两数分别除以它们的最大公因数,所得的两个商是互质数.而这两个互质数的乘积,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商——12.这一结论的根据是:(我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数) 甲数⨯乙数=倍⨯约约约乙数甲数⨯⨯=约约约倍⨯⨯，所以：约乙数约甲数⨯=约倍，约乙数约甲数⨯=12 将12变成互质的两个数的乘积：①12=4⨯3，②12=1⨯12先看①,说明甲乙两数：一个是它们最大公因数的4倍，一个是它们最大公因数的3倍.甲乙两数的差除以上述互质的两数(即4和3)之差,所得的商,即甲乙两数的最大公因数.18÷(4-3)=18甲乙两数,一个是:18⨯3=54，另一个是：18⨯4=72.再看②,18÷(12-1)=1171,不符合题意,舍去. 13. 依题意,设所求最小分数为N M ,则 285÷N M =a 5615÷N M =b 2011÷N M =c 即528⨯N M =a 1556⨯N M =b 2120⨯N M =c 其中a ,b ,c 为整数. 因为NM 是最小值,且a ,b ,c 是整数,所以M 是5,15,21的最小公倍数,N 是28,56,20的最大公因数,因此,符合条件的最小分数: N M =4105=4126 14. (1)根据2号~15号同学所述结论,将合数4,6,…，15分解质因数后，由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.4=22,6=2⨯3,8=23,9=32,10=2⨯5,12=22⨯3,14=2⨯7,15=3⨯5由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数(可逐次排除,只有8与9满足要求).(2)1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这12个数整除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是22⨯3⨯5⨯7⨯11⨯13=60060因为60060是一位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的五位数是60060.。