120直线方程(2)

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(2)直线的方程

直线的方程一、知识与能力目标根据确定直线位置的几何因素，掌握直线方程的几种形式二、主要知识三、例题分析题型一：直线方程的直接求解例1 直线l 过点P （－1，3），倾斜角的正弦是54，求直线l 的方程．解：因为倾斜角α的范围是：πα<≤0又由题意：54sin =α，所以：34tan ±=α，直线过点P （－1，3），由直线的点斜式方程得到：()1343+±=-x y 即：01334=+-y x 或0534=-+y x ．跟踪练习1：求经过两点A （2，m ）和B （n ，3）的直线方程．题型二：直线方程的互化例2 把直线方程()00≠=++ABC c By Ax 化成斜截式______，化成截距式______．解：斜截式为BC x B A y --=，截距式为A C x -+BC Y -＝1跟踪练习2 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________．．题型三：用待定系数法求解直线方程例3 直线l 经过点)2,3(，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解法一：由于直线l 在两轴上有截距，因此直线不与x 、y 轴垂直，斜率存在，且0≠k ．设直线方程为)3(2-=-x k y ，令0=x ，则23+-=k y ，令0=y ，则k x 23-=．由题设可得kk 2323-=+-，解得1-=k 或32=k ．所以，l 的方程为)3(2--=-x y 或)3(322-=-x y ．故直线l 的方程为05=-+y x 或032=-y x ．解法二：由题设，设直线l 在x 、y 轴的截距均为a ．若0=a ，则l 过点)0,0(，又过点)2,3(，∴l 的方程为x y 32=，即l ：032=-y x ．若0≠a ，则设l 为1=+a ya x ．由l 过点)2,3(，知123=+aa ，故5=a ．∴l 的方程05=-+y x ．综上可知，直线l 的方程为032=-y x 或05=-+y x ．跟踪练习3：求过点)4,5(--P 且分别满足下列条件的直线方程：(1)与两坐标轴围成的三角形面积为5；(2)与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，且53∶∶=BP AP ．题型四：直线综合题例4 过点)4,1(P 引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线方程．解法一：设所求的直线方程为)1(4-=-x k y ．显见，上述直线在x 轴、y 轴上的截距分别为k41-、k -4．由于041>-k，且04>-k 可得0<k ．直线在两坐标轴上的截距之和为：945)4()(5)4()41(=+≥-+-+=-+-=kk k k S ，当且仅当k k 4-=-，即2-=k 时，S最小值为9．故所求直线方程为)1(24--=-x y ，即062=-+y x ．解法二：设欲求的直线方程为1=+bya x (0>a ，0>b )．据题设有141=+ba ， ① 令b a S +=． ②①×②，有94545)41)((=+≥++=++=baa b b a b a S ．当且仅当b a a b 4=时，即b a =2，且141=+ba ，也即3=a ，6=b 时，取等号．故所求的直线方程为163=+yx ，即062=-+y x ．跟踪练习4：直线l 过点M （2，1），且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B ．点O 是坐标原点，（1）求当ABO ∆面积最小时直线l 的方程；（2）当MA MB 最小时，求直线l 的方程四、随堂练习1、若三直线2x+3y+8=0，x －y －1=0和x+ky=0相交于一点，则k ＝（） A －2 B 21-C 2D 21 2、已知直线L 1 和L 2夹角的平分线所在直线的方程为y=x,如果L 1的方程是)0(0>=++ab C by ax ，那么L 2的方程是（）A 0=++c ay bxB 0=+-c by axC 0=-+c ay bxD 0=+-c ay bx3、光线由点P （2，3）射到直线1-=+y x 上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在的直线方程为（）A 、0=+-y xB 、03154=+-y xC 、0154=+-y xD 、01654=+-y x 4、经过点P （－3，—4），且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线L 的方程是 5、求经过直线L 1：0543=-+y x 与直线L 2：0832=+-y x 的交点M 且经过原点的直线方程。

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k 的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程因为它是由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l 的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．解：2．练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；3．练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．4．练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．解：(图略)六、板书设计。

2.2.2直线的两点式方程(教学课件)--高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

解：(2)如图所示，直线|与两坐标轴围成的图形是Rt△A0B,
且0A⊥0B,|0A|=4,|0B|=8,
Ay
l
B
故直线|与两坐标轴围成的图形面积为16. 0 A X
课堂达标
1.过点(2,5),(2,-6)两点的直线方程是( A )
A.x=2
B.y=2
C.x+y=5 D.x+y=-6
解析：过这两点的直线与x轴垂直，所以直线方程是x=2.
2.已知点A(1,2),B(3,1),
是( B )
A.4x+2y=5 B.4x-2y=5
C.x+2y=5 D.x-2y=5
则线段AB的垂直平分线的方程
解析：因为A(1,2),B(3,1), 所以线段AB 的中点坐标为 ●
故线段AB 的垂直平分线方程为
4x-2y=5.
3. (多选题)过点P(1,3) 的直线与x轴、y 轴正半轴分别交
×3×2=3.
备用例题
[例1] 经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为( )
A.x=2
B.y=2
C.x=3
D.x=6
解析：由M,N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线MN的方程为y=2.故选B.
[例2]过点(-2,0),且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是
()
口
解析：因为直线过点(-2,0),所以直线在x 轴上的截距为-2.又直线在两坐标轴上的截距之差为3,所以直线在y 轴上的截距
P₁P₂没有两点式方程.当x₁=x₂ 时，直线P₁P₂垂直于x轴，直线方程为 x-x₁=0 ,即 x=x₁ ;当y₁=y₂时，直线P₁P₂垂
直于y轴，直线方程为 y-y₁=0 , 即 y=y₁

《直线的方程》课件1(人教版必修2(A))1

5
直线L与直线4x+2y-3=0的距离为____1_0____
7. 若直线 l1 ： mx+2y+6=0 和直线 l2:x+(m-1)y+m2-
1=0平行但不重合，则m的值是___-_1__.
8．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4的交点在第一象限，则k的取值范围是___-_2_/3_＜__k_＜__2___.
(6)向量式:
OP OA t为ta参数，为方a向向量.
(7)参数式：设直线过点 P（0 x0，y0），v=（a，b）
是它的一个方向向量， P（x，y是）直线上任一点，
x
ab（t为参称数）为直线的参数方程
。
(8)点向式： x x0 y y0（ab 0a）、b称为方向数.
（2）若直线则
l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，
l1// l2 A1B2—A2B1=0 l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便.
2.两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对
对顶角，把 l1 依逆时针方向旋转到与 l2 重合时
4.直线l 在x,y轴上截距的倒数和为常数
1/m，则直线过定点____(_m_,_m__) __.
5．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，
且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为
x-y+1=0，则直线PB的方程为( B )
(A) 2x-y-1=0
(B) x+y-5=0

2-1-2(二)直线的方程课件(北师大版必修二)

自学导引 1．直线方程的两点式 (1)方程：过点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中 x1≠x2，y1≠y2)的直线 y－y1 x－x1 的两点式方程为＝ .如右图所示． y2－y1 x2－x1 (2)说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程．
2．直线方程的截距式 (1)方程：与两坐标轴的交点分别是 P(a,0)， Q(0， b)(其中 ab≠0) x y 的截距式方程为a＋b＝1.如右图所示． (2)说明：一条直线与 x 轴的交点为(a,0)，其横坐标 a 叫做这条直线在 x 轴上的截距；与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．
【题后反思】本题是一个实际应用题，它不仅涉及到直线方程的求法、函数建模思想、消元思想、二次函数最值求解等知识的综合应用，而且更重要的是通过解析法的思想，建立适当的坐标系把实际问题转化成数学问题来求解．在今后的学习中应关注这一问题．
【变式 3】一根铁棒在 20 ℃时，长 10.402 5 米，在 40 ℃时，长 10.405 0 米，已知长度 l 和温度 t 的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这根铁棒在 25 ℃ 时的长度．
[规范解答] 建立如图所示的平面直角坐标系，则线段 AB 的方 x y 程为＋＝1(0≤x≤30)．(3 分) 30 20 设点 P 的坐标为(x，y)， 2x 则 y＝20－ .(5 分) 3 ∴公寓占地面积为
2x S＝(100－x)(80－y)＝(100－x)80－20＋ 3
题型一
直线方程的两点式和截距式
【例 1】四边形的顶点为 A(－1,0)，B(0，－2)，C(2,0)，D(1,2)，求这个四边形四条边所在的直线方程． [思路探索] 数形结合，利用两点式或截距式写出四边形四条边所在的直线方程，最后将结果化为一般式．

16 直线的参数方程(2)(教师版)

16. 直线的参数方程（2）主备：审核：学习目标：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义；2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程. 学习重点：直线参数方程的简单应用，学习难点：直线参数方程中参数意义的理解. 学习过程：一、课前准备：阅读教材3739P P -的内容，仔细体会例2、例3、例4三种题型的解法，并思考下列问题：1.化下列参数方程为普通方程：（1）22()12x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数，答：10x y +-=.（2）222()21x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数，答：10x y +-=. （3）1()x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数，答：10x y +-=.（4）212()2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数.答：10x y +-=. 2. 上面所化成的普通方程有上面关系？那些参数方程中的参数有明显的几何意义？答：（2）、（4）的参数有明显的几何意义. 二、典型例题：【例2】经过点(1,2)M 作直线l ，交椭圆22186x y +=于两点A 、B .如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.【解析】设过点(1,2)M 的直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入椭圆方程，得22(sin3)2(3cos 8sin )50t t ααα+++-=，则1AM t =，2MB t =.M 在椭圆内，所以1202t t +=，即3cos 4sin 0αα+=，所以3tan 4k α==-，所以直线l 的方程为32(1)4y x -=--，即34110x y +-=.【例3】如图所示，AB 、CD 是双曲线221x y -=的两条相交弦，交点为P ，两弦AB 、CD 与双曲线实轴长轴的夹角为α、β，且αβ=. 求证：||||||||PA PB PC PD ⋅=⋅.【证明】由已知，βπα=-，设点P 坐标为00(,)x y ，则直线AB 的方程为00cos sin x x t y y t αα⎧⎪⎨⎪⎩=+=+（t 为参数），代入双曲线方程221x y -=并整理，得222220000(cos sin )2(cos sin )(1)0t x y t x y αααα-+-+--=，由于22cos sin 0αα-≠，已知直线AB 与椭圆有两个交点，因此上述方程有个实根，设为1t 、2t ，容易得到 2200121222|1|||||||||||cos sin x y PA PB t t t t αα--⋅=⋅=⋅=-…………① 同理，对于直线CD ，将α换成πα-，即得到220022|1|||||cos ()sin ()x y PC PD παπα--⋅=---2200221||cos sin x y αα--=-…………………② 由①②得，||||||||PA PB PC PD ⋅=⋅.【例4】当前台风中心P 在某海滨城市O 向东400km 处生成，并以30/km h 的速度向西偏北θ（5tan θ=）方向移动. 已知台风中心300km 以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到侵袭？【解析】取O 为原点，OP 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则点P 的坐是(400,0). 以O 为圆心，300km 为半径作圆O ，圆O 的方程为 222300x y +=. 当台风中心移动的位置在圆O 内或圆O 上是时，城市O 受到台风侵袭. 设过时间t 后，台风中心(,)M x y ，则由题意得，台风中心M 移动形成的直线l 的方程为40030cos()30sin()x t y t πθπθ⎧⎨⎩=+-=-（t 为参数），即240030()330x t y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+⨯-=（t 为参数），化简得40020105x t y t ⎧⎪⎨⎪⎩=-=（t 为参数）.当点(40020,105)M t t -在圆O 内或圆O 上时，有222(300(40020)105)t t +≤-，291607000t t -+≤，解得70910t ≤≤. 因此大约在7.7小时后该城市开始受到台风侵袭，受侵袭的时间大约持续2.2个小时. 三、总结提升：直线的参数方程00x x at y y bt ⎧⎪⎨⎪⎩=+=+（t 为参数），称为直线方程的一般式；只有在221a b +=时，才会变为00cos sin x x t y y t αα⎧⎪⎨⎪⎩=+=+（t 为参数），称为标准式.标准式中的参数t 才有明显的几何意义.我们只需掌握标准式就行了.认真研读教材中的例2、例3、例4和本学案的例题，体会这几种题型的解法. 四、反馈练习：1. 曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ B ）A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、C ．(0,4)(8,0)-、D ．5(0,)(8,0)9、 2. 将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ C ） A ．2y x =- B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤3. 直线l 经过点(1,2)，倾斜角为34π，则其参数方程可以是（ D ）A ．12x t y t =+⎧⎨=+⎩()t 为参数 B ．12x ty t =-⎧⎨=-⎩()t 为参数 C ．3x t y t =+⎧⎨=⎩()t 为参数 D ．3x ty t=-⎧⎨=⎩()t 为参数 4. 直线l ：y x =与曲线2y x =交于A 、B 两点，若点M 坐标为(1,1)--，则||||MA MB ⋅= （ C ）A ．15B ．16C ．17D ．185. 直线34()45x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为54-. 6. 过点(3,1)M 作直线l 交双曲线2212y x -=于A 、B 两点，若(3,1)M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程.【解析】设直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t αα⎧⎨⎩=+=+（t 为参数），代入双曲线方程，得222(2cos sin )(12cos 2sin )150t t αααα-+-+=，则1AM t =，2MB t =. 因为(3,1)M 为线段AB 的中点，所以1202t t +=，即12cos 2sin 0αα-=，所以tan 6k α==，所以直线l 的方程为16(3)y x -=-，即6170x y --=.五、学后反思：。

11.1_直线方程(2)

O
y
n a, b
P0 x0 , y0
P x, y
l
x
P0 P n 且 n a, b
a x x0 b y y0 0 （）
a x x0 b y y0 0 ()
y
n u, v
P0 x0 , y0
P x, y
l
O
x
上述二元一次方程（*）叫做直线 l 的点法向式方程
非零向量 n 叫做直线l 的法向量.
向量 n 只是直线l 的一个法向量.
当a 0, b 0 时当a 0, b 0 时
y
方程* x x0 方程* y y0
y
P0 x0 , y0
11.1 直线的方程(2)
一. 复习回顾
1.过点 P2,1 且与 d 2,1 平行的直
线的点方向式方程为程为为为
x 1 y 2 2 1 x 2 y 1 2 1
.
2.过 A1,2, B 1,1的直线的点方向式方 . . . 3.过点 A1,2, B1,3 的直线的方程
C
d
B
x
例 4.根据给定的直线方程，写出该直线的一个方向向量 d u, v ，一个法向量 n a, b.
x 1 y 1 （4） x 1 0 ；（1）； 2 3 （5） y 2 0 （2）3 x 1 4 y 2 0；
（3）5 x 3 y 15 0；
方程
方向向量法向量
d u, v
d b, a d b, a
பைடு நூலகம்
点方向式方程

高中数学必修二《直线的两点式方程》PPT (1)

示意图
方程
使用范围
x
a≠0,
b≠0
a
y
+ =1
b
谢谢！
解答有关问题.
思维脉络
1.直线方程的两点式
名称
两
点
式
已知条件
P1(x1,y1),
P2(x2,y2),
其中 x1≠x2,
y1≠y2
示意图
方程
y-y 1
=
x-x1
x2 -x1
y 2 -y 1
使用范围
斜率存在
且不为 0
2.直线方程的截距式
名称
已知条件
截
距
式
在 x,y 轴上
的截距为 a,
b 且 ab≠0
P1(x1,y1 ),P2(x2 ,y 2 )的点的直线
都可以用方程 (yyபைடு நூலகம் )(x2 x1 ) (x x1 )(y2 y1 )表示 ;
x y
C.不经过原点的直线
都可以用方程 1表示 ;
a b
D.经过定点的直线都
可以用 y kx b表示 .
M(
,
),即M( , )
2
2
2 2
3 1
y0
x5
过A（－5，
0），M( , )的直线方程为

1
3
2 2
0
5
2
2
整理得：x+13y+5=0
这就是BC边上中线所在的直线的方程。
练习1：求过下列两点的直线方程
(1)M(-1,4),N(1,10)
(2)P1(2,1),P2(0,-3)

直线的方程 (2)

p1
y
p2
A
o
l
x
直线的倾斜角和斜率
y
p2
p pyp2p1
p1

o
l
x
o
x
l
(1)
(2)
直线的倾斜角和斜率
直线的斜率公式
经过两点 p 1 ( x 1 , y 1 )、 p 2 ( x 2 , y 2 ) y 2 y1 x 2 x1
( x 1 x 2 )的直线的斜率公式 k
直线方向向量的概念
l 2 : ( 3 a 1 ) x ay 1 0 平行，求实数的值 6、已知直线
l 1 : ( a 2 ) x 3 ay 1 0 与直线 a
l 2 : ( a 2 ) x ( a 2 ) y 3 0 平行，求实数的值

4
,
3 4 3 ,
]，则 k 2 2 3 ] ( 1 , )，则 ]，则
( 2 )若 k [
3 ( 3 )若 k ( ,
3、判断下列命题的正误 ( 1 ) 直线的倾斜角是
： tan
，则此直线的斜率为
但不一定都有斜率
( 2 ) 任一直线都有倾斜角，

O
180 时， k 0

1、若直线
l 的方程为
y x tan 2，则 (
)
( A ) 一定是的 ( B ) 一定不是
l 倾斜角 l 的倾斜角
( C ) 一定是 l 的倾斜角 ( D ) 不一定是 l 的倾斜角
2、直线
l 的倾斜角为
，斜率为
k
(1 ) 若 [
x 1 x 2 此时向量 1 x2 x1

2021_2022年高中数学第三章直线与方程2

数表示直线，但是有些直线的方程不一定能写成一次函数的形式．
特别提醒应用斜截式方程时，应注意斜率是否存在，当斜率
不存在时，不能表示成斜截式方程．
跟踪练习
写出满足下列条件的直线的方程． (1)斜率为 5，在 y 轴上截距为－1，________； (2)倾斜角 30°，在 y 轴上截距为 3，________. [答案] (1)5x－y－1＝0 (2)x－ 3y＋3＝0 [解析] (1)方程为 y＝5x－1，即 5x－y－1＝0. (2)方程为 y＝xtan30°＋ 3，即 x－ 3y＋3＝0.
B．－1
C．3
D．－3
[答案] B
2．直线y＝－2x＋3的斜率是________，在y轴上的截距是
________，在x轴上的截距是________.
[答案]
－2
3
3 2
[解析] 斜率是－2；在 y 轴上的截距是 3；令 y＝0 得 x＝32，即在 x 轴上的截距是32.
3．写出下列直线的点斜式方程并化成斜截式：
特别提醒若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值
时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2
这个条件．
跟踪练习
(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝______. (2)经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程为_____. [答案] (1)－1 (2)2x－y－1＝0 [解析] (1)由两直线垂直可得a(a＋2)＝－1，即a2＋2a＋1＝0 ，所以a＝－1； (2)由y＝2x＋7得k1＝2，由两直线平行知k2＝2.∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
规律总结
①使用点斜式方程，必须注意前提条件是斜率存在． ②注意方程x＝1的含义：它表示一条垂直于x轴的直线，这条

【精品课件】高中数学必修2 直线的方程(两点式、一般式)

x C A
所以任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)都表示一条直线.
问题探究
结论一：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)表示.
结论二：任意一个关于x，y的二元一次方程
Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)都表示一条直线.
y 4 x. 5
x y 1,
把P(-5，4)代入上式得 a 1. a a
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或54 x
截距为零不容忽视
x y 1 0.
练习：
1.根据下列条件写出直线方程，并画出简图。
（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；
⑤过原点
C=0
课堂练习
4.设直线L的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1)y=2m-6 根据下列条件确定m的值
(1)L在x轴上的截距为-3；(2)L的斜率为1.
小结
1.本节课都学了哪些知识点？
①二元一次方程与直线的一一对应关系； ②直线的一般式方程的概念； ③ 直线方程的一般式Ax+By+C=0系数A、B、C的几何意义； ④直线方程的各种特殊形式和一般式之间在一定条件下可以互相转化。
直线的方程 ①过点P1(x1, y1)，垂直于x轴的直线的方程：
x= x1 ②过点P1(x1, y1)，垂直于y轴的直线的方程：
y= y1 ③x轴： y= 0
④y轴： x= 0
问题探究
问题一：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用

空间直线及其方程(2)-精品文档

y1 z3 x 5 7
北京工商大学
此直线上一定点为(0,-1,-3),方向向量为(1,5,7)
2011.2.6 8-6-12
空间直线及其方程
3x2yz 10 将 2x yz20 化为对称式方程.
法二先求直线上一定点:以 z0 代入 ,
3 8 3 x2 y0 z 10 x ,y 7 7 xy0 z20 2
求直线与平面的交点时常用此。

2011.2.6
北京工商大学
8-6-6
空间直线及其方程
4. 空间直线的两点式 ( x , y , z ), M ( x , y , z ) 设一直线过两点 M ， 1 1 1 1 2 2 2 2
x y y z z 1 1 1 则此直线的方程为: x (4)
2011.2.6
北京工商大学
8-6-8
空间直线及其方程
例一直线过点 A ( 2 , 3 , 4 ), 且和 y 轴垂直相 ,
求其方程 .
z
解交点为 B ( 0 , 3 ,0 ),
取s BA
( 2 ,0 ,4 ),
所求直线方程
.A
s
.B
x
O
y
x2 y3 z 4 . 2 0 4
方向向量.
( x ,y , z ) 设一直线过 M ， 0 0 0 0 ( m , n , p ), 其方向向量为的 s
z
s L sM
M0
y
O
求此直线方程。
x
一条直线可以有许多方向向量.
2011.2.6
北京工商大学
8-6-3
空间直线及其方程
解 M ( x ,y , z ) L

直线方程的几种形式

3 3 y = − x − 3∴ k = − , b = −3. 2 2
所求直线方程为 y = − 3 x − 3
三.直线的两点式方程直线的两点式方程
y 2 − y1 ( x 1 ≠ x 2 ). 解: 依题意 , k = x 2 − x1
代入点斜式,得代入点斜式得
已知直线 l经过两点 P1 ( x 1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 经过两点且x 1 ≠ x 2 , 求直线的方程 .
对于方程 y − y 1 = k ( x − x 1 ), 直线 l 上的每一个点 P ( x , y )都是这个方程的解 ; 反之 ,以方程的解为坐标的点都在直线 l 上 . y l
y − y1 = k ( x − x1 )
α
P1
P2
O
x
是过点P1 ( x1 , y1 ), 斜率为k的直线l的方程. 特征: 特征 (1)已知直线上的一个点 P ( x1 , y1 );
3 x + 8 y + 15 = 0
5x + 3 y − 6 = 0
把B,C代入两点式, 得
y +3 x −3 = 2+3 0−3
例3三角形的顶点是 A( −5,0), B( 3,−3), C (0,2)
求这个三角形三边所在的直线方程 .
解: 把A,C代入两点式 , 得 y − 0 x − (−5) = 2 − 0 0 − (−5)
一.直线的点斜式方程
y − y1 y − y1 = k ( x − x1 )(2) k= (1) x − x1 显然,点的坐标不满足方程(1) 显然点P1的坐标不满足方程
而满足方程(2)，因此，不在方程(1)表示的而满足方程，因此，点P1不在方程表示的图形上而在方程(2)表示的图形上方程(1)不能表示的图形上，图形上而在方程表示的图形上，方程不能称作直线的方程．称作直线的方程．

直线的参数方程1-2(2014更新)

例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l的方程怎样求？
若点M 是线段M1M 2的三等分点，则
t1 2t 2 t 0 3
M 为定点M 0 , 则t1 2t2 0。代入可求出t1，t2 －8 1 由t1t2＝ , 可得K＝ 2 2 3sin 1
3 变式：经过点M（2，1）作斜率为 4直
2 2
由r的几何意义知MA t1 , MB t 2 ,因为点 M在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以 4(cos 2 sin ) t1 t 2 2 3 sin 1
t1 t 2 因为点M为线段AB的中点，所以 0,即 2 cos 2 sin 0, 于是直线l的斜率为 1 k tan ，因此直线l的方程为 2 1 y 1 ( x 2)即x 2 y 4 0 2
求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则（x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) M0M y 设e是直线l的单位方向向量，则 M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x x0 t cos , y y0 t sin 所以即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
(1) M 1 M 2 t1 t2 x1 x2 t1 t2 t1 t2 (2) x x0 cos , t 2 2 2
x=x0 t cos 1.直线 (t为参数）上有参数分别 y y0 t sin a 为t1和t2对应的两点A和B,则A,B两点的距离为

高二数学(2)直线的方程题型总结答案

2020年秋季【数学】专题二：直线方程【题型一】直线倾斜角和斜率1．（2016秋•宝坻区月考）若经过（a，﹣3）和（1，2）两点的直线的倾斜角为135°，则a的值为（）A．﹣6B．6C．﹣4D．4【答案】B2．（2015秋•宝坻区月考）直线y＝﹣x+3的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】A3．（2017秋•大港区校级月考）在直角坐标系中，直线3x t h 的倾斜角是．【答案】4．（2016秋•宝坻区月考）已知A（3，5），O为坐标原点，则与OA垂直的直线斜率为．【答案】【题型二】平行垂直问题5．（2013秋•静海县校级月考）若过点A（2，﹣2）、B（4，0）的直线与过点P（2m，1）（﹣1，m）的直线垂直，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．h【答案】C6．（2019秋•和平区校级月考）已知直线x﹣2y+m＝0（m＞0）与直线x+ny﹣3＝0互相平行，且两者之间的距离是，则m+n等于（）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】B7．（2016秋•静海县校级月考）直线l1：x+my﹣2＝0与直线l2：2x+（1﹣m）y+2＝0平行，则m的值为．【答案】h【题型三】直线方程8．（2015秋•宝坻区月考）过点（﹣1，2）且和直线3x+2y﹣7＝0垂直的直线方程是（）A．3x+2y﹣1＝0B．2x﹣3y+8＝0C．2x﹣3y+7＝0D．3x﹣2y+5＝0【答案】B9．（2017春•普宁市校级月考）经过点（﹣1，2）且与直线3x﹣5y+6＝0垂直的直线的方程为（）A．3x﹣5y+13＝0B．5x+3y﹣1＝0C．5x+3y+1＝0D．5x﹣3y+11＝0【答案】B10．（2013秋•南开区校级月考）不论a为何值时，直线（a﹣l）x﹣y+2a+l＝0恒过定点P，则P点的坐标为．【答案】（﹣2，3）11．（2019秋•和平区校级月考）过两直线x y+1＝0和 x+y 0的交点，并且与原点的最短距离为h 的直线的方程为．【答案】x h 或x y+1＝0．【题型四】距离问题12．（2014春•南开区校级月考）曲线y＝2x4上的点到直线y＝﹣x﹣1的距离的最小值为（）A． B． C． D． h【答案】D13．（2013秋•静海县校级月考）已知两直线2x+3y﹣3＝0与4x+6y+1＝0互相平行，则它们之间的距离等于（）A B C D．4【答案】B【题型五】对称问题14．（2019秋•和平区校级月考）若光线从点P（﹣3，3）射到y轴上，经y轴反射后经过点Q（﹣1，﹣5），则光线从点P到点Q走过的路程为（）A．10B．5t h C．4 D．2h【答案】C15．（2013秋•南开区校级月考）若点（3，﹣2）与（a，3）关于直线2x﹣by﹣12＝0对称，则a+b的值为（）A．14或10B．h 或h hh C． h 或h hh D．±6【答案】D。

选择必修第二章 2.2.2 直线的两点式方程课件(共18张PPT)

∴边AB所在直线的方程为 = 2.
−1
∵(2, −1)，(4,1)，由直线方程的两点式可得
−1−1
=
−4
，
2−4
∴边所在直线的方程为x-y-3=0.
−2
同理可由直线方程的两点式得直线的方程为
1−2
=
−2
，
4−2
即x+2y-6=0.
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0.
养.
温故知新
1.直线的点斜式方程
若直线过定点(x0，y0)且斜率为k，则直线方程为
y-y0=k(x-x0)
2.直线的斜截式方程
若直线的斜率为k且它在y轴上的截距为b，则直线方程为
y=kx+b
若直线过定点(x0，y0)且斜率不存在（与x轴垂直），则直线方程为
x-x0=0 ，即 x=x0.
新知探究
已知直线l经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2) (其中x1≠x2，y1≠y2)，因为两点确定一条
新知探究
【例4】求过点(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线的方程．
解：当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为 +
−3

将A(－3,4)代入上式，有
+
4
−

−
= 1，
= 1，
解得a＝－7.
∴直线l的方程为x－y＋7＝0.
当直线l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y＝kx.
不同但本质一致，都是对直线的定量刻画.在对直线的定量刻画中，斜率处于核
心地位.点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点

直线方程的概念2

90 斜角＝
，没有斜率新疆王新敞学案
求经过 A（－2，0）、B（－5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.
（1）借助哪个公式求出直线斜率？
（2）用什么公式确定直线倾斜角？
（3）倾斜角为什么是钝角？
（4）还可怎么获得倾斜角？
解： k 3 0 1 ，就是 tan 1 5 (2)
（3） 3x y 3 3 的倾斜角是多少？
（4）目标直线斜率肯定不是多少？
D.A＝－ 3 ，B＝1
解：将直线方程化成斜截式 y A x 1 . BB
因为 1 ＝－1，B＝－1，故否定 A、D. B
又直线 3x y 3 3 的倾斜角＝， 3
∴直线 Ax By 1 0 的倾斜角为 2 ＝ 2 ， 3
l1
（2）直线 l2 的倾斜角 2 怎么获得？
（3）求直线 l2 的斜要用什么公式？
（4）两直线垂直斜率什么关系？
1
2
O
x
解： l1 的斜率 k1 ＝tan1 ＝tan30°＝
3， 3
∵ l2 的倾斜角 2 ＝90°＋30°＝120°，
∴ l2 的斜率 k2 ＝tan120°＝tan（180°－60°）＝－tan60°＝ 3 .
（1）以上四条直线方程均可采用什么形式？（2）第一条和第二条直线还可采用什么形式？（3）第三条和第四条最好采用什么形式？（4）如果全部采用斜截式斜率和截距怎么确定？（两点式，斜截式，截距式，方程组确定）
过点 P(2，1）作直线 l 交 x, y 正半轴于 AB 两点，当 | PA | | PB | 取到最小值时，
（3）截距式方程使用条件是什么？（4）截距是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？（5）有没有截距式不能表示的直线？

直线的方程(二)

直线的方程
（二）
一、直线方程的两点式直线方程的两点式：直线方程的两点式
y− y x−x = y −y x，（ x1，y1 ）、（ x2，y2 ）为直线上一点坐标，k 为直线的斜率。
说明： 1、这个方程是由直线上两点确定的； 2、当直线的倾斜角为0°时（y=y1），或当直线倾斜角90 °为时（x=x1），它的方程不能用两点式求出。
例1: 已知直线l与x轴的交点为(a,0),与y轴的交点为（0，b）,其中a≠0，b≠0，求这条直线 l 的方程.
x y + =1 a b
说明：1这一直线方程由直线在轴和轴上截距确定，所以叫做直线方程的截距式； 2截距式适用于横、纵截距都存在且不为0 的直线。
例2: 三角形的顶点是A（-5，0），B（3，-3）， C（0，2），求这个三角形三边所在的直线方程。
y C 2 A -5 3 O -3 B x