第2课时：平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理
3、如图梯形ABCD中点E、F分别在 AB、CD上EF∥AD假设EF作上下平 行移动
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例. 关键要能熟练地找出对应线段
小结
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
a
（平行线分线段成 比例定理）。
三 练习
！
证明：因为
（平行线分线段成 比例定理）。
因为
已知：如图， ， 求证： 。
E
B
A
D
C
F
（平行线分线段 成比例定理）。
设AB=X则BC=8—X
即：
（平行线分线段成 比例定理）。
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平行线分线段成比例定理
l1
l2
l3
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例 如图
已知l1∥l2∥l3 求证
或
或
定理的证明过A点作AN ∥ DF交l2于M交l3于N 点连接 BN 、CM如图1-2
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中有
.
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴
亦即
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例
“对应”是数学的基本概念 图1-1中 在l1∥l2∥l3的条件下可分别推出如下结论之一： 1简称“上比下”等于“上比下” 2简称“上比全”等于“上比全” 3 简称“下比下”等于“下比下” 把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论
新人教版九年级下册数学课件：平行线分线段成比例
一、相似三角形
相似三角形 相似三角形的判定
平行线分线段成比例
∽ △A′B′C′. 1.记法:△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC 2.判定:在△ABC 与△A′B′C′中,如果∠A= ∠A′ ,∠B= ∠B′ ,∠C= ∠C′ ,且
AB AB
=
BC BC
【导学探究】 1.由DE∥BC可得,△ADE∽
2.由△ADE∽△ABC 可得
△ABC
DE
,△ADG∽
△ABH .
AD = AB
AD = AB BCຫໍສະໝຸດ .由△ADG∽△ABH 可得
AG
AH
.
解:因为 DE∥BC, 所以△ADE∽△ABC,△ADG∽△ABH, 所以 所以
AD DE AD AG = , = , AB BC AB AH DE AG = , BC AH
(A) (C)
AD 1 = AB 2 AD 1 = EC 2
)B
(B) (D)
AE 1 = EC 2 DE 1 = BC 2
2.(2017 临沂)已知 AB∥CD,AD 与 BC 相交于点 O.若
BO 2 = ,AD=10,则 AO= OC 3
4
.
3.(2017长春)如图,直线a∥b∥c,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F.若 6. AB∶BC=1∶2,DE=3,则EF的长为
OE 2.由 l1∥l2 得 = OD
解:(2)因为 l1∥l2,所以
OB OA
OE OB = , OD OA
.
因为 OD=30,OE=12,OB=10, 所以 OA=
OB OD 10 30 = =25, OE 12
平行线分线段成比例定理 (2)
平行线分线段成比例定理简介平行线分线段成比例定理（Parallelogram Proportion Theorem）是几何学中关于平行线与线段相交的一个重要定理。
该定理表明，如果在两条平行线上，有一条直线与这两条平行线相交，那么它所截取的线段与平行线的对应线段成比例。
定理描述设有两条平行线l和m，直线n与这两条平行线相交。
如果直线n依次截取了线段AB和CD，那么这两条线段的比例等于与AB和CD平行的线段的比例，即：AB/CD = AE/CF其中，A、B分别是直线n与l的交点，C、D分别是直线n与m的交点，E、F分别是直线n与l和m的另外两个交点。
证明过程为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以使用类似于相似三角形的方法来进行证明。
步骤1：构造辅助线段首先，我们在直线n上任意取一点G，然后通过G分别作l和m的垂线GH和GK。
此时，我们得到了一个平行四边形AGHK。
通过平行线的性质，我们可以知道AG和HK是平行的，并且两条平行线之间的距离是相等的。
步骤2：证明三角形AFB与三角形CGD相似由于AGHK是一个平行四边形，所以我们可以得到以下结论：∠KGD = ∠HAG （对顶角）∠KDG = ∠GAH （对顶角）因此，根据AA相似性质，我们可以得出三角形AFB与三角形CGD相似。
步骤3：证明AE/CF = AB/CD在步骤2中，我们已经得到了三角形AFB与三角形CGD相似的结论。
根据相似三角形的基本性质，我们知道相似的三角形中，对应边的比例是相等的。
由于三角形AFB与三角形CGD相似，根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例等式：AB/CD = AF/CG而AF和CG分别是线段AE和线段CF在相似三角形中对应的边。
因此，我们可以得出以下结论：AB/CD = AE/CF步骤4：证明结论由于步骤3中得出的结论，我们证明了平行线分线段成比例定理。
应用举例平行线分线段成比例定理在解决几何问题中起着重要的作用。
平行线分线段成比例定理 课件
[证明] 作 EH∥AB 交 AC 于点 H， 则AAHC＝BBCE，∴ABCC＝ABHE. 同理：AAHF＝DDFE，∴DAFF＝ADHE. ∵△BDC 为直角三角形， 且 E 为 BC 边中点， ∴BE＝CE＝DE. ∴ABHE＝ADHE.∴ABCC＝DAFF.
证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组 平行线中进行研究．有时图形中没有平行线，要添加辅助 线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证 明的目的．
Hale Waihona Puke 5．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E，F 分别在 AB，CD 上，且 EF∥ BC，若AEEB＝23，AD＝8 cm，BC＝18 cm，求 EF 长．
解：作 AG∥DC 分别交 BC，EF 于 G，H， ∴AD＝HF＝GC＝8 cm. BG＝18－8＝10(cm)． ∵AEEB＝23，∴AAEB＝25. ∴EBHG＝AAEB＝25. ∴EH＝25×BG＝25×10＝4(cm)． ∴EF＝EH＋HF＝4＋8＝12(cm)．
平行线分线段成比例定理
1．平行线分线段成比例定理 (1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 比例．
(2)图形语言：
如图 l1∥l2∥l3， 则有：ABBC＝__DE_F_E__， AABC＝__DD_EF___，
EF BACC＝__D__F___.
变式有：DABE＝BECF，DABE＝DACF，BECF＝DACF.
则有：AADB＝__AA__EC__，ADDB＝___AE_EC__，DABB＝__CA__EC__.
3．平行线分线段成比例定理的作用 平行线分线段成比例定理及推论是研究下一节相似三角 形的理论基础，它可以判定线段成比例．另外，当不能直接 证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成 另两条线段的比，来得出正确结论．合理添加平行线，运用 定理及推论列比例式，再经过线段间的转换可以求线段的比 值或证明线段间倍数关系．
高中数学选修4-1 1.2《平行线分线段成比例定理》第二课时和《相似三角形的判定与性质
判定定理2
预备定理 直角三角形判定定理
判定定理3
2013-8-21
例 如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边 和AC边上的高，H是AD、BE的交点
求证：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHE
分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD
2013-8-21
小结
判定定理1
相 似 三 角 形 的 概 念
AB、CD上，EF∥AD，假设EF作上下平
行移动，
AE 1 (1)如果 ， 求证：3EF BC 2 AD EB 2 AE 2 (2)如果 ， 求证：5EF 2 BC 3 AD EB 3 AE m (3)请你探究一般结论， 即如果 ， 那么可以得到 EB n 2013-8-21 什么结论。
2013-8-21
复习
1、平行线等分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
2013-8-21
2、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所得的对应线段成比例. l l l l A D l E l
1 1
D B
2013-8-21
E C
l2
A B
l2
l3
C
l3
2013-8-21
E
C
例 如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、 BC、CA、AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC
证明:∵线段EF、FD、DE都是 △ABC的中位线
EF 1 1 1 BC, FD CA, DE AB 2 2 2
A F E D C
பைடு நூலகம்
EF FD DE 1 BC CA AB 2
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例知识点精讲平行线分线段成比例定理：两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．典型例题：例题1. ①如图，l1、l2分别被l3,l4,l5所截,且l3∥l4∥l5，则AB与对应，BC与对应，DF与对应；ABBC=()()，()AB=( )DF，ABDE=()()=()().②如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A.ADDF=BCCEB.BCCE=DFADC.CDEF=BCBED.CDEF=ADAF找准对应线段是关键.例2.如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10 ，AE=6，A F=5.那么FC的长是多少？例3 如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ．求证：OD ∶OA ＝OE ∶OB跟踪训练1.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ） A ．AD DF =BC CE B ．BC CE =DF AD C ．CD EF =BC BE D ．CD EF =AD AF第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AE:EC=1:2，AD=6，则AB 的长为（ ）A.18B.12C.9D.33.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶FB ＝( )A. 5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．5∶3 4.如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1、l 2、l 3分别相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若=，DE =4，则EF的长是．第4题图 第5题图 5.如图，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝4，CN ＝1.5，则ND ＝______.6．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，BC AB =32，DE=6，则EF= ．第6题图 第7题图7.如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5cm ，则线段BF 的长为_________cm ． 8.如图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，DB=6，AE=2，求AC 的长．9.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB=3，DE=27，EF=4，求BC ．10、如图，在ABC △中，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD ︰DC=3︰1， AE ︰EC=2︰3，DE 的延长线交BA 的延长线于F 点，求EF ︰ED的值。
数学教案-平行线分线段成比例定理 (第二课时)
数学教案－平行线分线段成比例定理（第二课时）教学目标•了解平行线分线段成比例定理的概念和原理；•掌握平行线分线段成比例定理的应用方法；•能够解决一些简单的平行线分线段成比例的问题。
教学准备•教学课件；•教学工具：直尺、量角器、黑板、粉笔。
教学过程1. 复习•复习上节课所学的平行线的性质。
2. 引入•引导学生回想一下平行线的性质中是否有关于比例的概念。
3. 学习平行线分线段成比例定理•介绍平行线分线段成比例定理的概念：在两条平行线上，同侧的两个线段成比例，那么这两条线段被一条横截线所截得的线段也成比例。
4. 举例说明•在黑板上画出一条横截线和两条平行线，并标出相关线段。
引导学生观察并总结规律。
5. 确立结论•引导学生通过观察和分析，总结、确定平行线分线段成比例定理。
6. 实例讲解•进行一些简单的实例讲解，让学生理解如何应用平行线分线段成比例定理来解决问题。
7. 合作探究•分成小组，每组给出一些具体的问题，让学生合作探究应用平行线分线段成比例定理解决问题的方法。
8. 提出问题•提出一些让学生思考和讨论的问题，引导学生探索更深层次的问题。
9. 总结归纳•结合学生的讨论和思考，总结归纳平行线分线段成比例定理的相关要点。
10. 小结•对本节课所学内容进行总结，强调平行线分线段成比例定理的重要性和应用价值。
课后练习1.请根据平行线分线段成比例定理，求出下列问题中所问线段的长度：–已知$$\\frac{AC}{CB} = \\frac{2}{3}$$–，求DE–的长度。
–已知$$\\frac{EF}{FG} = \\frac{3}{5}$$–，求CD–的长度。
2.解决下列问题，应用平行线分线段成比例定理：–若$$AB \\parallel CD$$–，$$\\frac{EF}{FG} = \\frac{1}{3}$$–，求证$$AD \\parallel BC$$–。
–在平行四边形ABCD–中，$$\\frac{AB}{BC} = \\frac{1}{2}$$–，$$\\frac{AD}{DC}=\\frac{3}{4}$$–，求证$$AC \\parallel BD$$–。
平行线分线段成比例(优秀教案)
D BE F4.1-4.2平行线等分线段定理与 平行线分线段成比例定理考纲要求：1．探索并理解平行线分线段定理地证明过程；2．能独立证明平行线分线段定理地推论1、推论2； 3.平行线分线段成比例定理与推论地区别4.能应用定理和推论解决相关地几何计算问题和证明问题一：知识梳理1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得地线段相等,那么在其他直线上截得地线段推论1：经过三角形一边地中点与另一边平行地直线必推论2：经过梯形一腰地中点，且与底边平行地直线2.三条平行线截两条直线，所得地对应线段推论：平行于三角形地一边，并且和其他两边相交地直线.所截得地三角形地三边与原三角形地三边二：基本技能：判断下列命题是否正确如图△ABC 中点D 、E 三等分AB ，DF ∥EG ∥BC ，DF 、EG 分别交AC 于点F 、G ，则点F 、G 三等分AC （ ）四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CD 上若AM=BM 、DN=CN 则AD ∥MN ∥BC ( )3. 一组平行线，任意相邻地两平行线间地距离都相等，则这组平行线能等分线段. （ ）4. 如图l 1//l 2//l 3且AB=BC ，那么AB=BC=DE=EF （ ）5．如图，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 则：BCDEAC AE AB AD ==（ ）三:典型例题1 已知线段AB ，求作：线段AB 地五等分点.2 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，E 是CD 地中点.求证EA ＝EB .4 3. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上地中线，M 是AD 地中点，BM 地延长线交AC 于N ，求证：AN=21CN .4.如下图，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=60°,AB=BC,E 为AB 地中点，求证:△ECD 为等边三角形.5：已知：△ABC 中，E 、G 、D 、F 分别是边AB 、CB 上地一点，且GF ∥ED ∥AC ，EF ∥AD求证：.BC BDBE BG =6.已知：△ABC 中，AD 为BC 边上地中线，过C 任作一直线交AD 于E ，交AB 于F.求证：FB AFED AE 2=A CGCB E D Fl 3l 2 l 1 A7：如图，已知：D 为BC 地中点，AG ∥BC ，求证：FCAFED EG =DCAG8．已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC ， 求证：DCBDAC AB =（提示：过C 作CE ∥AD 交BA 地延长线于E ）9：△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CM ⊥AD 交AD 于E ，交AB 于M ，求证：AMABDC BD =四：能力提升1.如图1所示，F 为AB 地中点，FG ∥BC ，EG ∥CD ，则AG ＝，AE ＝.2.如图2，直线l 过梯形ABCD 一腰AB 地中点E ，且平行于BC ，l 与BD ，AC 、CD 分别交于F 、G 、H ，那么，BF ＝，CG ＝，DH ＝.3.如图3，已知CE 是△ABC 地中线，CD=21AD,EF ∥BD ，EG ∥AC ，若EF=10cm ，则BG =cm ，若CD=5cm ，则AF=cm.4.已知：如图，B 在AC 上，D 在BE 上，且AB:BC=2:1，ED:DB=2:1求AD:DF5.△ABC 中，DE ∥BC ，F 是BC 上一点.AF 交DE 于点G ，AD:BD=2:1,BC=8.4cm 求(1)DE 地长(2)AFAG(3)ADE ABC S S ∆∆。
平行线等比例分线段定理
平行线等比例分线段定理
平行线等比例分线段定理是平行线学中的一个重要定理。
定理表明，如果一条直线与两条平行直线相交，那么这条直线与平行直线所分割的线段，其长度之比相等。
具体公式表达为：若直线AB与平行线CD、EF相交，且AB分别交CD、EF于点M、N，则有AM/MB=DN/NE。
简单来说，这个定理说明了在平行线组成的图形中，如果有一条直线与之相交，则这条直线所分割的两条平行线段，其长度比相等。
这个定理在数学中应用十分广泛，在计算几何、三角函数、平面向量等方面都有很多具体应用。
- 1 -。
人教版九年级数学课件《平行线分线段成比例》
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，
l4，l5.分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得
AB
DE
的两条线段DE，EF的长度，BC 与 EF 相等吗？
AB
任意平移l5(3或4)，BC
DE
与 EF
还相等吗？
人教版数学九年级下册
知识精讲
可以发现，当l3∥l4∥l5时，有 AB DE
长线)，所得的对应线段成比例.
人教版数学九年级下册
针对练习
1.如图，DE∥BC， AE 2 ，则
则
AF
AB =____.
AC
5
AD
AB
AG
=____；FG∥BC，
2 ，
CG
2.如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC= 7.5 ；
FG∥BC，AF=4.5，则AG= 6 .
关证明. (重点、难点)
3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并
进行证明和计算. (重点、难中的四条线段成比例的是( A )
A.1cm，3cm，20cm，60cm
B.2cm，4cm，3cm，9cm
C.5cm，10cm，6cm，15cm
知识精讲
人教版数学九年级下册
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.
如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
AB
BC
CA
k
A B
BC
C A
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理1. 问题介绍在平面几何学中，平行线分线段成比例定理是一个重要的定理，它描述了平行线所分割的线段之间的比例关系。
本文将介绍平行线分线段成比例定理的定义、原理、证明以及应用。
2. 定理定义给定一条直线上的两个点A、B，以及与该直线平行的另外一条直线CD，如果直线CD与直线AB相交于点E，那么线段AE与线段EB的比例等于线段CE与线段ED的比例，即：AB / CD = AE / CE = BE / ED其中，AB代表线段AB的长度，CD代表线段CD的长度，AE代表线段AE的长度，CE代表线段CE的长度，BE代表线段BE的长度，ED代表线段ED的长度。
3. 定理原理平行线分线段成比例定理的原理可以通过平行线的性质来进行推导。
根据平行线的性质，我们知道平行线分割两条平行线之间的线段时，这些线段之间的比例关系是不变的。
在给定的情况下，我们可以得到以下等式：∠ADE = ∠CDE （对应角）∠AED = ∠CED （对应角）根据三角形内角和定理，我们知道：∠ADE + ∠AED = 180°∠CDE + ∠CED = 180°因此，我们可以得到以下等式：∠ADE + ∠AED = ∠CDE + ∠CED根据等式的基本性质，我们可以得到：∠ADE = ∠CDE∠AED = ∠CED根据角度对应定理，我们知道∠DAE与∠DCE相等。
由此，我们可以得到以下相似三角形关系：△DAE ~ △DCE （相似三角形）△BDE ~ △BEC （相似三角形）根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：AE / CE = DE / DE = AE / DE （对应边）BE / CE = DE / DE = BE / DE （对应边）由此，我们可以得到以下等式：AB / CD = AE / CE = BE / DE这就是平行线分线段成比例定理的原理。
4. 定理证明平行线分线段成比例定理的证明可以通过几何推理和相似三角形的性质来完成。
2017-2018学年高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1 第二课时 平行线分线段成比例定理 北师大版选修4-1
．
解析：过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M，
∵点 E 是 BD 的中点，
∴在△BDM 中，BF＝FM.
∵点 D 是 AC 的中点，
∴在△CAF 中，CM＝MF.
∴BFFC＝FMB＋FMC＝12. 答案：12
三、解答题 9．已知线段 OA⊥OB，点 C 为 OB 中点，D 为线
段 OA 上一点．连接 AC，BD 交于点 P.如图， 当 OA＝OB，且 D 为 OA 中点时，求APCP的值． 解：过 D 作 DE∥CO 交 AC 于 E， 因为 D 为 OA 中点， 所以 AE＝CE＝12AC，DCOE＝12， 因为点 C 为 OB 中点，所以 BC＝CO，DBCE＝12，
对于 C，根据平行线分线段成比例定理得，此结论正确；
对于 D，由平行四边形性质知，正确．
答案：B
4．如图，在△ABC 中，AE∶EB＝1∶3，BD∶
DC＝2∶1，AD 与 CE 相交于 F，则FECF＋
FADF的值为
A．12
B．1
C．32
D．2
()
解析：过点 D 作 DG∥AB 交 EC 于 G， 则DBEG＝CBDC＝CEGC＝13， 而BAEE＝13，即ABEE＝DBEG.∴AE＝DG. ∴AF＝DF，EF＝FG＝CG. ∴FECF＋FADF＝2EEFF＋AAFF＝12＋1＝32. 答案：C
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 上一
点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F，则
下列结论中错误的是
()
A．∠AEF＝∠DEC
B．FA∶CD＝AE∶BC
C．FA∶AB＝FE∶EC
D．AB＝DC
解析：对于 A，根据对顶角相等，此结论正确；
初二数学平行线分线段成比例定理讲义及练习
平行线分线段成比例定理一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）:平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EFBC=, 可以说成“上比下等于上比下"DEAB=, 可以说成“上比全等于上比全"又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG极 EG=3X , DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD10例3求证分析 BC//FE 证明:∵则例4 分别连结E ，DB 分析:首先观察证明：∵点评 （1（3 例5 求证分析 例6 分析在△②—①得-AB AD BF BC 例7 如图11,AD BF ⊥AD 的延长线于交BC 的延长线于M 求证：AE=EM分析 要证AE=EM,可延长BF 交AC 证明：延长BF 交AC ∴△ABF ≌△ANF8． 图,GB AF l l 52,//21=,BC=4CD ， 91011AE 1213① 求证ME=NF② 当EF 向上平移 图（2)各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。
［练习与测试参考解答或提示]1．215;2．18cm ； 3．52,35； 4．9:4; 5．9； 6．10,18； 7．9：1； 8．2； 9．6 10．提示,过D 作DH//AC 交BG 于H 点，则DH AEGD AG =，DHEC BD BC =，又AE=EC ，BD=AB,即可得结论。
平行线分线段成比例定理课件
证明方法二：利用向量运算
总结词
通过向量运算，证明平行线分线段成 比例。
详细描述
首先，根据向量的加法性质，将线段 分解为与平行线平行的向量分量。然 后，利用向量的模长关系和向量平行 的性质，证明这些向量分量之间存在 比例关系。
证明方法三：利用坐标几何
总结词
通过坐标几何的方法，证明平行线分线段成比例。
2023
PART 04
平行线分线段成比例定理 的应用实例
REPORTING
实例一：解析几何中的应用
总结词
解析几何中的线段比例关系
详细描述
在解析几何中，平行线常常用于确定线段的比例关系。例如 ，在直线的平行移动过程中，线段的比例保持不变，这为解 决几何问题提供了重要的理论依据。
实例二：三角形中的比例关系
总结词
平行线间的面积比值关系是指，如果两条平行线被一条横截线所截，那么它们之间的面 积比值是相等的。
详细描述
假设有两条平行线$l_1$和$l_2$，它们被一条横截线$m$所截，形成了两个三角形 $triangle ABC$和$triangle CDE$。根据平行线分线段成比例定理，我们有
$frac{triangle ABC}{triangle CDE} = frac{AB}{CD}$。这意味着，如果$triangle ABC > triangle CDE$，则$AB > CD$，反之亦然。
总结词
三角形中的边长比例关系
VS
详细描述
在三角形中，通过平行线可以推导出边长 的比例关系。例如，在等腰三角形中，通 过底边上的平行线可以证明两腰之间的比 例关系，这对于证明某些三角形的性质和 定理非常有用。
实例三：建筑设计中的应用
2.平行线分线段成比例定理(2)
成比例定理的推论可直 证明：过点E作EF//AB,交BC于点F, 接得到AD:AB=AE:AC. ∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC.
为了证明AE:AC=DE:BC， ∵EF//AB, ∴BF:BC=AE:AC.
需要构造一组平行线，使 且四边形DEFB为平行四边形.
AE、AC、DE、BC成为 由这组平行线截得的线段.
A
B
A
AD AF
AB AD
B AD AC
AB AE
C AF AD
DF DB
D AF AE
AD AC
3、如图： △ABC中, DE ∥BC，
DF ∥AC，AE=4，EC=2，BC=8，
求线段BF,CF之长.
CF DE 16 , BF 8 16 8.
3
33
F
D
E
B
C
A
D
E
BF
C
例2:三角形内角平分线分对边成两线段,
符号语言：
一般地，当l1
//
l2
//
l3，且
AB BC
=q(q
R)时,AB = DE =q. BC EF
的边若B将C的下直图线中,那的么直可线得L2:看A成D是平A行E于. △ABC
AB AC
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
ll
A
L1
D
E
L2
B
C
L3
BD AB . DC AE
例3：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线
截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边
对应成比例.(文字语言)
A
已知:如图,DE//BC分别交AB、AC于
平行线分线段成比例第2课时
A
求：DE的长.
D
E
解：
Q AD = 2 . DB 3
\ AD = 2 . AB 5
Q DE // BC. \ AD = DE = 2 .
B
C
AB BC 5
即 DE = 2 . \ DE=8. 20 5
L3
数学符号语言
DE // BC E D
A
AD AE
AB =AC B
C
L5 L4 A
L5 L4
L1
ED
L1
DE
L2
A
L2
B
C L3 B
C
L3
数学符号语言 ∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
数学符号语言
∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
推论：
A
平行于三角形一边的直线与 其他两边相交，截其他两边
G C
AE＝（ ） GC＝（ ）
例2 如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，且DE//BC，
若AB=3，AD=2，EC=1.8。求AC的长.
解: ∵DE//BC
A
AC AB ,
CE DB
D
E 即 AC 3 , 1.8 3 2
B
C解得AC 5.4
2 :如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC。
平行线分线段成比例
第2课时
思考： 平行线分线段成比例与平行线等分线段的联系：
AD
B
E
A
D
B
E
C
F
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
l5
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第2课时：平行线分线段成比例定理
编写：李子仁
【学习目标】
1. 理解平行线分线段成比例定理及其初步证明.
2. 掌握平行线分线段成比例定理及其推论。
【知识线索】
1.平行线分线段成比例定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段 ．
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段
结论：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边 _____ 【知识建构】
1. 什么是平行线等分线段定理？
2. 如图（1）中，AD ∥BE ∥CF,且AB=BC,则
EF
DE
的比值是多少？
3.平行线分线段成比例定理
从图（1）可知，当AD ∥BE ∥CF,且AB=BC 时，则DE=EF,也就是1==BC AB
EF DE 若
32=BC AB 时，有?==BC AB
EF DE 若n m
BC AB =时，上面的结论也成立吗？ BC
AB
为实数时，上面的结论也成立吗？ 综上可得
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 说明：（1）画出定理的各种基本图形，对照图形写出相应的结论。
课时目标呈现
课中师生互动 课前自主预习
高二数学选修4-1
（2）写出其它的对应线段成比例的情况。
对应线段成比例可用下面的语言形象表示：
右全
左全右上左上全上全上下上下上===,,等等。
（3）由下面的定理的基本图形（1）和（2）得出推论
4．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
定理的基本图形和结论：
【典例透析】
例1．在△ABC ，已知：DE ∥BC, DF ∥AC,,AE=4,EC=2,BC=8.求BF 和CF 的长。
.
例2．在△ABC ，已知：DE ∥BC,EF ∥CD.
求证：AD 是AB 和AF 的比例中项。
A 型基本图形
X 型基本图形
（1） （4）
（2） （3）
B F
C
B
例3、用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
变式：若改为“用平行于三角形一边且和其他两边延长线相交的直线截三角形，”
其他不变，如何证明？
【随堂检测】
1，已知，如图（10），D,E,F分别在△ABC的边AB,AC,BC上，且FCED是平行四边形，若BD=8,BF=6,AC=15,AD=4,求△ABC的周长。
2，已知，如图（11），在△ABC中，D是AB的中点，F是BC延长线上的点，连结DF交AC于E，求证：CF:BF=CE:AE.
【课堂小结】
1、平行线分线段成比例定理的证明可通过来证明，平行线等分线段
定理是平行线分线段成比例定理的；
2、在运用定理解题时，一定要注意 ,在确定左、右时，可以线段的第
一个端点来定左、右
A1. 如图，EF∥BC，F D∥AB，AE=1.8cm, BE=1.2cm, CD=1.4cm ．则 BD= .
A2. ΔABC 中，点D 为BC 中点，点E 在CA 上，且CE=2
1
EA ，AD ，BE 交于点F ，则AF:FD= ．
B3.如图3，在△ABC 中作平行于BC 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，如果BE 和CD 相交于相交于O ，AO 和DE 相交于F ，AO 的延长线和BC 相交于G ，
证明：（1）FE
DF
GC BG = （2）BG=GC
B4．如图4，在ΔABC 中，作直线DN 平行于中线AM ，设这条
直线交边AB 与点D ，交边CA 的延长线于点E ，交边BC 于点N ． 求证：AD ∶AB=AE ∶AC ．
C5. △ABC 中，DE ∥BC ，F 是BC 上一点。
AF 交DE 于点G ，AD:BD=2:1,BC=8.4cm 求(1)DE 的长
(2)
AF
AG
(3)ADE ABC S S ∆∆
【纠错·感悟】
课后训练提升
A
B
C
D
F
E
第1题
A
F E 第2题
A B
D M
E 图4
N。