14超静定

余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的 数目为结构的静不定次数。
3
静 不 定 问 题 分 类
第一类：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静 不定的，可称为外力静不定系统。
第二类：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不
定的，可称为内力静不定系统。 第三类：在结构外部和内部均存在多余约束，即支反 力和内力是静不定的。
()
(h)
注意：对于同一静不定结构，若选
A A
x C
B
P
(i) C B
取不同的多余约束，则基本静定系
也不同。本题中若选固定段处的转 动约束为多余约束，基本静定系是 如图(i)所示的简支梁。
X1
13
二、力法正则方程 上例中以未知力为未知量的变形协调方程可改写成下式
d 11 X 1 1 P 0
2
M 1 ( x ) M 2 ( x )dx a axdx a a2 a3 d 12 d 21 0 EI EI EI 2 2 EI Pa xdx 3 a M P ( x ) M 1 ( x )dx Pa 1P 2 0 EI EI 4 EI
5 Pl 32
+
⑥作弯矩图，见图(g)。
⑦求梁中点的挠度
–
12
选取基本静定系( 见图( b)) 作为计算对象。单位载荷如图(h) 。 P 用莫尔定理可得 l (b) 1 2 5 l B C yC [ P( x)Px]( x)dx A 0 X1 EI 16 2 1 7 Pl 3


768EI
④ 写外载作用下的内力方程MP(x)时，和单位载 荷作用下的内力方程，并计算系数项。 ⑤ 、解正则方程，求多余约束反力；
16
注意：
1、写外载作用下内力方程时，多余约束＝0， 其余支座不动；
2、写单位载荷作用下的内力方程时，外载=0，支座不动。
17
例2 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。 a 解：①刚架有两个多余约束。 a ②选取并去除多余约束，代以多 余约束反力。 ③建立力法正则方程 B q q
x2
P
x2
x1
x1
3 a 2 a Pa 1 1P ( Px2 ) dx2 0 EI 2 2 EI
3 a a 2 a 7 Pa d 11 [ 2 x12dx1 ( ) 2dx2 ] 0 2 EI 0 12EI
则
7 Pa3 Pa3 X 1 0 12EI 2 EI
2 P
M P ( x )M 2 ( x )dx EI
a 2 0
Px( x EI
a )dx 2
a P adx 3 a 29 Pa 2 0 EI 48EI
24
(5)代入正则方程：
1 1 P X1 X2 0 3 2 4
1 4 29 X1 X2 P0 2 3 48
6 X 1 P 7
P
P
由平衡方程求得：
6 RA RB P 7
A HA RA MA HB
H A H B P
4 M A M B Pa 7
B MB RB
29
§14-4
连续梁与三弯矩方程
一、连续梁与超静定次数 为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安 置若干中间支座，在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称 为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中 间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多余
EI E1I1
对 称 轴
EI E1I1 E1I1
EI 对 称 轴 E1I1 E1I1
对 称 轴
E1I1
26
正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可
大大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为
零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。 X3 X3 X2 例如： X1 X1 X2 对 P 称 轴 X3 X3 P X1 X1 P P X2 X2 P
约束，中间支座数就是连续梁的超静定次数。
0
1 l1
M1
2 l2
M2
n-1 ln
Mn-1
n ln+1
Mn
n+1
Mn+1
30
二、三弯矩方程 连续梁是超静定结构，静定基可有多种选择，如果选撤去 中间支座为静定基，则因每个支座反力将对静定梁的每个中间 支座位置上的位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包含 多余约束反力，使计算非常繁琐。如果设想将每个中间支座上 的梁切开并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支
x2
A x1 1
3 a 1 a 2 4 a d 11 ( x1 dx1 a 2dx2 ) 0 EI 0 3EI
B x1 x2
A 1
1 a 2 a3 d 22 x2 dx2 EI 0 3EI 1 a a3 d 12 d 21 ax2dx2 EI 0 2 EI
19
d11 X 1 d12 X 2 1P 0
d 21 X 1 d 22 X 2 2 P 0
21
（3）、分别施加单位力，写单位力作用下的内力方程和 外载作用下的内力方程。
x P x
外载作用下各段的内力方程 M P ( x )： CD段： M 1( x ) 0 BC段： M 2 ( x ) Px
变形比较法计算超静定的步骤
（1）、判定超静定次数; （2）、确定多余约束； （3）、去掉多余约束代之以反力，得到相当系统; （4）、变形协调方程; （5）、利用莫尔法求多余约束处的位移或转角; 此时多余约束反力作常量处理; （6）、回代到协调方程中，求解多余约束反力。
一旦多余约束得到，系统称为静定，
变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。 X1——多余未知量；
d11——在基本静定系上， X1取单位值时引起的在X1作用点沿
X1方向的位移；
1P——在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1作用点沿 X1方向的位移；
14
对于有无数多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：
d 11 X 1 d 12 X 2＋d 1n X n 1 P 0 d 21 X 1 d 22 X 2 d 2 n X n 2 P 0 d X d X d X 0 n2 2 nn n nP n1 1
B
⑤求多余约束反力 将上述结果代入力法正则方程可得
4a 3 a3 qa4 X 1 X 2 0 3EI 2 EI 6 EI a3 a3 qa4 X 1 X 2 0 2 EI 3EI 8 EI
⑥求其它支反力
由平衡方程得其它支反力， 全部表示于图中。
1 X 1 qa() 28 3 X 2 qa() 7
A
q
3 qa 7
4 qa 7
B 3 qa 2 28 1 qa 28
1 qa 28
20
例1、刚架如图所示，抗弯刚度为EI， 求刚架的约束反力 。
（1）、取固定铰处为多余约束卸掉， 得到相当系统；
a/2 P a/2 X1 X2
a/2 B
P C
a/2 D
a
A
a
（2）、此系统为２次超静定， 写出正则方程如下：
(d) A ( e) x X1
B
A
x
B 1
11
④求多余约束反力 将上述结果代入变形协调方程得
11P 16
P
A
X 1l 3 5Pl 3 0 3EI 48EI
⑤求其它约束反力
5 X 1 P 16
(f)
3 Pl 16
C
B
5P 16
由平衡方程可求得A端反 力，其大小和方向见图(f)。 (g)
3 Pl 16
x
a/2 B a A C
P a/2 D
BA段
M 3( x ) P
a 2
22
1.0
单位力X1=1.0作用下对应段的内力方程 M 1 ( x )：
M 1( x ) 0
M2( x ) 0
M3( x ) x
单位力X２=1.0作用下对应段的内力方程 M 2 ( x )：
1.0
；
M 1( x ) x
10
B 1X1 1P 0 变形协调方程
③用能量法计算 1P 和 1X1 由莫尔定理可得(图c、d、e) ( c) A
P
CHale Waihona Puke xB1 l l 1P l P ( x )xdx EI 2 2 5 Pl 3 48EI
1 l X 1l 3 1 X 1 X 1xxdx EI 0 3EI
A
d 11 X 1 d 12 X 2 1P 0 d 21 X 1 d 22 X 2 2 P 0
④计算系数dij和自由项iP 用莫尔定理求得
X1
A X2
B
18
A x1
q
B x2
1 a 1 2 qa4 1P ( qx2 )adx2 EI 0 2 6 EI 1 a 1 2 qa4 2 P ( qx2 )x2dx2 EI 0 2 8EI
求解得到：
9P X1 56
11 P X2 28
25
§14–3 对称及对称性质的应用 一、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一 轴，则称此结构为对称结构。当对称结构受力也对称于结构对 称轴，则此结构将产生对称变形。若外力反对称于结构对称轴，
则结构将产生反对称变形。
1 l 2 1 1.0 wB ( F x qx ) xdx B 2 0 EI
3 4 1 1.0wB ( 1 F l ql ) / EI 3 B 8
6、回代到协调方程中去，求解。