导数的综合运用07(六)

导数的综合运用（六）

--------2007高考函数与导数大题选

(指数函数、对数函数、分式函数专题)

1、[全国卷一T20]（理）设函数x x e e x f --=)( （1）求证：)(x f 的导数2)(/≥x f

（2）若对所有0≥x 都有ax x f ≥)(，求a 的取值范围 提示：（1）利用重要不等式（略） （2）令ax e e ax x f x g x x --=-=-)()( 则a e e x g x x -+=-)(/

若2≤a ，由0>x 知02)(/≥-≥a x g ，

所以，)(x g 在),0(+∞上单调递增，0)0()(=≥g x g 即ax x g ≥)(

若2>a ，令0)(/≤-+=-a e e x g x

x

得012≤+-x

x

ae e ，242422-+≤

≤--a a e a a x

但0>x e ，所以2

402-+≤

即2

4

ln 021-+=≤

当x 时，)(/

x g 与)(x g 的变化如下：

所以，)(x g 在),0(1x 上单调递减，显然当),0(1x x ∈时，0)0()(=

2、[2007天津卷T20]（理）已知函数),(1

1

2)(2

2R a R x x a ax x f ∈∈++-= （1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程 （2）当0≠a 时，求函数)(x f 的单调区间与极值

提示：（1）当1=a 时，1

2)(2+==x x

x f y

22

2222/

)

1(22)1()2(2)1(2)(+-=+-+=x x x x x x x f （显然函数在任意点存在斜率—分母不等于零） a

1-

a · ·

)(/

x f )(x f + - -

256)2(/-

=f 5

4)2(=f 所以，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为：

)2(25

6

54--=-x y ，化简得：032256=-+y x

（2）当0≠a 时，2222/

)1()2)(12()1(2)(++--+=x x a ax x a x f

2

22222222)1(2)1(22)1(22422++---=+-+-+=x a

x a ax x x x a ax a ax 2

22222)1()

)(1(2)1(])1([2+-+-=

+--+-=x a x ax x a x a ax 当0>a 时，随x 的变化，)(/x f 和)(x f 的变化如下：

此时，)(x f 在]1

,(a

-

-∞上单调递减， 在],1

[a a

-

上单调递增， 在),[∞+a 上单调递减， )(x f 在a x 1-=处取得极小值2)1

(a a

f f -=-=极小

)(x f 在a x =处取得极大值1)(==a f f 极大

当0

此时，)(x f 在]1

,(a

-

-∞上单调递增， 在],1

[a a

-

上单调递减， 在),[∞+a 上单调递增，

)(x f 在a x =处取得极大值1)(==a f f 极大

)(x f 在a x 1-

=处取得极小值2)1(a a

f f -=-=极小 a

1-

a

·

· )(/x f

)(x f

+

- -

a 1- a · ·

)(/

x f )(x f - + +

3、[2007安徽卷T18] 设0≥a ，x a x x x f ln 2ln 1)(2+--= )0(>x （1） 令)()(/x f x x F ⋅=，讨论)(x F 在),0(∞+内的单调性并求极值 （2） 求证：当1>x 时，恒有1ln 2ln 2

+->x a x x 提示：（1）)(x F 在)2,0(上单调递减，在),2(∞+上单调递增，

)(x F 在2=x 处取得极小值a f F 22ln 22)2(+-==极小 （2）当0≥a 时，由（1）知)(x F 在),0(∞+内的的最小值 022ln 22)2(>+-=≥a f F

即0)()(/>⋅=x f x x F ，而1>x ，于是0)(/>x f 所以当1>x 时，)(x f 单调递增 所以当1>x 时，0)1()(=>f x f

即1ln 2ln 2

+->x a x x

4、 [2007湖北卷T20]（理）已知定义在正实数集上的函数ax x x f 22

1)(2

+=，b x a x g +=ln 3)(2 其中0>a ，设两曲线)(x f y =，)(x g y =有公共点，且在该点处的切线相同

（1） 用a 表示b ，并求b 的最大值 （2） 求证：当0>x 时，)()(x g x f ≥

提示：（1）设曲线)(x f y =，)(x g y =的公共点为),(00y x M

由条件有

b x a ax x +=+0202

0ln 322

1 -------------① 又a x x f 2)(/

+=，x

a x g 2/3)(=

由条件又有：0

20/

00/3)(2)(x a x g a x x f ==+=------②

由②可解得0))(3(00=-+a x a x ，注意到0>a

所以a x =0，将a x =0代入①得：

a a a

b ln 32

522

-=

令a a a a h b ln 32

5)(2

2-==

则)ln 31(2ln 62)ln 2(35)(/

a a a a a a a a a a h -=-=+-=

令0)(/

≥a h ，则0)1(ln 23

≤-a a 随a 的变化，)(/

a h 和)(a h 的变化如下：

3

e

0 · · )(/a h )(a h + -