高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时作业新人教A版必修4

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人教A版2019高中数学必修4讲义：第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示_含答案

2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]平面向量共线的坐标表示[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( )(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( )A ．(2,1)B ．(－1,2)C ．(6,10)D ．(－6,10)答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12. 法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12. [答案] A(2)[解] AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线．又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向． ∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)， ∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.一般是看AB 与BC AB 与AC AC BC AC BC AB λBC ，或AB ＝λAC 设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，AB 与CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)，CD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由AB 与CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2.又AB 与CD 方向相同，所以x ＝2.此时，AB ＝(2,1)，BC ＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB 与BC 不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB与CD共线．AD＝(－1,2)，BC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵BC＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，∴|BC|＝5＝|AD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设OP＝t OB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP＝OP－OA＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC＝OC－OA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ，AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴OP ＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，则OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． ∵OP ，OB 共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP ＝(x －2，y －6)，CA ＝(2，－6)，且向量CP ，CA 共线，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为( )A ．－23B.32C.23 D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ＝(3,1)，∵a ∥AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D AB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 解析：选A ∵a ∥b ，∴32×13－tan α cos α＝0，即sin α＝12，α＝30°. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 解析：AB ＝(x ＋1，－6)，AC ＝(4，－1)， ∵AB ∥AC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ∥AB . 10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．(2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A．13B．－13C．9 D．－9解析：选D A，B，C三点共线，∴AB∥AC，而AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，则AB＝DC，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，则AC＝BD，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，则AC＝DB，∴D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为________．解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(3,1)，AC ＝OC －OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB 与AC 共线．AB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若AC ＝2AB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则DP ＝(x －1，y )，DB ＝(5,4)，CA ＝(－3,6)，DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP ＝λDB ＝(5λ，4λ)．又∵CP ＝DP －DC ＝(5λ－4,4λ)，由于CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， ∴DP ＝47DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。

数学人教A版必修4课时分层作业平面向量共线的坐标表示

课时分层作业(二十)(建议用时：60分钟)一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)B [只有选项B 中两个向量不共线可以表示向量a .]2．若向量a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线且方向相同，则x 的值为( ) A.2 B ．－ 2 C ．2D ．－2A [由a ∥b 得－x 2＋2＝0，得x ＝±2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反．]3．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 A [∵b ∥a ，∴2sin α－cos α＝0，即tan α＝12.]4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，c ＝(k,2)．若(3a －b )∥c ，则实数k 的值为( ) A ．－8 B ．－6 C ．－1D ．6B [由题意得3a －b ＝(3，－1)，因为(3a －b )∥c ，所以6＋k ＝0，k ＝－6.故选B.]5．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°B [由a ∥b ，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°.]二、填空题6．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________.32[由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB →＝(4,6)．又AB→与a ＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，解得λ＝32.]7．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 23 [AB→＝(x ＋1，－6)，AC →＝(4，－1)， ∵AB→∥AC →，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.] 8．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0 [由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎨⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎨⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2，又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.]三、解答题9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求a ＋3b 的坐标．(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ [解] (1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(1,0)＋(6,3)＝(7,3)． (2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，解得k ＝－13，所以k a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)，即k ＝－13时，k a －b 与a ＋3b 平行，方向相反．10．已知A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB→. [证明] 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC→＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB→＝(4，－1)．因为AE →＝13AC →，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23.因为BF →＝13BC →，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.所以EF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23. 又因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，所以EF→∥AB →.1．已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若()2a ＋b ∥c ，则x ＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．－4C [向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，则b ＝a －(a －b )＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)， ∴(2a ＋b )＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)， ∵(2a ＋b )∥c ，∴－3－x ＝0，∴x ＝－3，故选C.]2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，若p ∥q ，则角C 为( )A.π6B.2π3C.π2D.π3C [因为p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，且p ∥q ，所以(a ＋c )(c －a )－b ·b ＝0，即c 2＝a 2＋b 2，所以角C 为π2.故选C.]3．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )A ．(1,5)或(5,5)B ．(1,5)或(－3，－5)C ．(5，－5)或(－3，－5)D ．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)D [设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，第四个顶点为D ， ①若这个平行四边形为▱ABCD ，则AB→＝DC →，∴D (－3，－5)； ②若这个平行四边形为▱ACDB ，则AC→＝BD →，∴D (5，－5)； ③若这个平行四边形为▱ACBD ，则AC →＝DB →，∴D (1,5)．综上所述，D 点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．]4．已知向量OA→＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．m ≠12 [AB →＝OB →－OA →＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，AC →＝OC →－OA →＝(5－m ，－3－m )－(3，－4)＝(2－m,1－m )，由于点A ，B ，C 能构成三角形，则AC →与AB →不共线，则3(1－m )－(2－m )≠0，解得m ≠12.]5．如图所示，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，用向量的方法证明：DE ∥BC .[证明] 如图，以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系，设|AD→ |＝1，则|DC →|＝1，|AB →|＝2. ∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， ∴四边形AECD 为正方形，∴可求得各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)． ∵ED→＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)， BC→＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， ∴ED →＝BC →，∴ED →∥BC →，即DE ∥BC .由Ruize收集整理。

2017-2018学年人教A版必修四 2.3.4 平面向量共线的坐标表示课时作业

2.3.4 平面向量共线的坐标表示（检测教师版）时间 40分钟总分 60分班级姓名一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( )A ．(－2，1)B ．(2，－1)C ．(2，0)D ．(4，3)解析由题意得b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．答案 B2．下列说法正确的个数有( )(1)向量的坐标即此向量终点的坐标．(2)位置不同的向量其坐标可能相同．(3)一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的始点坐标．(4)相等的向量坐标一定相同．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析因为只有起点在原点时，向量的坐标等于此向量终点的坐标，故(1)错误；另外(2)(3)(4)均正确．答案 C3．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C. ⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析 AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案 A4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 等于( )A ． (1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6)解析因为4a ，3b －2a ，c 对应有向线段首尾相接，所以4a ＋3b －2a ＋c ＝0，故有c ＝－2a －3b ＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．答案 D5．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA→＋(1－λ)OB →(λ∈R)，则λ的值为( ) A.15 B.13 C.25 D.23解析如图所示，因为∠AOC ＝45°，所以设C (x ，－x )，则OC →＝(x ，－x )．又因为A (－3，0)，B (0，2)，所以λOA →＋(1－λ)OB →＝(－3λ，2－2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ，－x ＝2－2λ，⇒λ＝25. 答案 C6．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m ⊗n ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝a ⊗b ，那么向量b 等于( )A.⎝⎛⎭⎫2，45 B.⎝⎛⎭⎫－2，－45 C.⎝⎛⎭⎫2，－45 D.⎝⎛⎭⎫－2，45 解析设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝a ⊗b ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y .解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝⎛⎭⎫2，45. 答案 A二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．设向量a ，b 满足a ＝(1，－1)，|b |＝|a |，且b 与a 的方向相反，则b 的坐标为________．解析因为向量a 与b 的方向相反，且|b |＝|a |，所以b ＝－a ＝－(1，－1)＝(－1，1)．答案 (－1，1)8．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．解析 OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案 (5，4)三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°.(1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．解 (1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23，y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．10．已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．解设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|.当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →.所以(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫13，0. 当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →. 所以(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8. 综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，0或(－5，8)．。

【高中教育】高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时跟踪检测新人教A版必修4.doc

高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时跟踪检测新人教A版必修41．已知m，n∈R，向量a＝(2m＋1，m＋n)与b＝(－2,0)平行，则m，n满足的条件是( )A．m＋n＝0 B．m－n＝0C．－m＋n＝0 D．m＋n＝1解析：由题意得，(2m＋1)×0－(m＋n)×(－2)＝0，∴m＋n＝0.答案：A2．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是( ) A．(k，k) B．(－k，－k)C．(k2＋1，k2＋1) D．(k2－1，k2－1)解析：因为(k2＋1)＋(k2＋1)＝2k2＋2＞0，所以a与(k2＋1，k2＋1)一定不平行．答案：C3．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：因为a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0，x 2＋1)，又x 2＋1≥1，所以a ＋b 与y 轴平行．故选C.答案：C4．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(－1,1)解析：∵AB →与CD →是相反向量，∴AB →＝－CD →，又AB →＝(1,1)，∴CD →＝(－1，－1)．设D (x ，y )，则CD →＝(x －2，y )＝(－1，－1)．从而x ＝1，y ＝－1.即D (1，－1)．答案：C5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，22，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，13，且a ∥b ，则锐角α＝______.解析：∵a ∥b ，∴32×13－22sin α＝0.得到sin α＝22，而α为锐角，∴α＝45°.答案：45°6．若三点A (－2，－2)，B (0，m )，C (n,0)(mn ≠0)共线，则1m ＋1n的值为______．解析：∵A ，B ，C 共线，∴AB →∥AC →. ∵AB →＝(2，m ＋2)，AC →＝(n ＋2,2)， ∴4－(m ＋2)(n ＋2)＝0. ∴mn ＋2m ＋2n ＝0. ∵mn ≠0，∴1m ＋1n ＝－12.答案：－127．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，求实数x 的值．解：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，所以u ＝a ＋2b ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2a －b ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，解得x ＝12.8．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b . 由⎩⎨⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2，⇒⎩⎨⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，09．已知OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，若点A ，B ，C 在同一条直线上，且m ＝2n ，则m ＋n ＝________.解析：AB →＝OB →－OA →＝(n,1)－(－2，m )＝(n ＋2,1－m )， BC →＝OC →－OB →＝(5，－1)－(n,1)＝(5－n ，－2)．因为A ，B ，C 共线，所以AB →与BC →共线．所以－2(n ＋2)＝(1－m )(5－n )．①又m ＝2n ，②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧m ＝6，n ＝3，或⎩⎨⎧m ＝3，n ＝32.所以m ＋n ＝9或92.答案：9或9210．已知A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)， BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．因为AE →＝13AC →，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23.因为BF →＝13BC →，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.所以(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝23，y 1＝23.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－13，y 1＝23.所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23.所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.所以⎩⎨⎧x 2－3＝－23，y 2＋1＝1.所以⎩⎨⎧x 2＝73，y 2＝0.所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.所以EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫83，－23. 又因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，所以EF →∥AB →.11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 为圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解：如图所示，设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，由MA →＝2AN →，得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)． ∴⎩⎨⎧x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y ＋3，代入方程(x －3)2＋(y －3)2＝4，整理得x 2＋y 2＝1. ∴所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.1．应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且使问题具有代数化的特点、程序化的特征，具体运用时，要注意向量的共线、平行与几何中的共线、平行的区别．2．平面向量共线的坐标表示定理中的“当且仅当”就是说若x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ，b 共线；反过来，若a 与b 共线，则x 1y 2－x 2y 1＝0.3．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．。

平面向量共线

答案：D
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4．已知向量 a，b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果 c∥d，那么( )
A．k＝1 且 c 与 d 同向 B．k＝1 且 c 与 d 反向 C．k＝－1 且 c 与 d 同向 D．k＝－1 且 c 与 d 反向
解析：∵c∥d，∴存在实数 λ，使 c＝λd，即 ka＋b＝λ(a －b)，
答案：C
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3．已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，x)，若 a＋b 与 4b－2a 平
行，则实数 x 的值是( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以 a＋b＝(3，x＋1)， 4b－2a＝(6,4x－2)，因为 a＋b 与 4b－2a 平行，所以 3(4x－ 2)－6(x＋1)＝0，解得 x＝2.故选 D.
2．证明三点共线的方法设 A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，只要证明向量共线，便可证得 A、B、C 三点共线．
3．线段的中点坐标设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 P1P2 的中点 P 的坐标为 x1＋2 x2，y1＋2 y2.
想一想
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解：∵a＝(1,1)，b＝(x,1)， ∴u＝(1,1)＋2(x,1)＝(1,1)＋(2x,2)＝(2x＋1,3)； v＝2(1,1)－(x,1)＝(2－x,1)． (1)u＝3v⇔(2x＋1,3)＝3(2－x,1)⇔(2x＋1,3)＝(6－3x,3) ⇔2x＋1＝6－3x. 解之，得 x＝1.
A．x＝－1 C．x＝92
B．x＝3 D．x＝51

高中数学必修四第2章平面向量课件 2.3.4 平面向量共线的坐标表示

类型二利用向量共线求参数【例2】已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路探索] 先求ka＋b，a－3b的坐标，再由向量共线的充要条件列方程组求k. 解法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)，即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3,3)． [规律方法] 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快．
【活学活用3】平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，
新知导学平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量a，b(b≠0)共线
温馨提示：平面向量共线的坐标表示的记忆策略
互动探究探究点1 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？提示当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．探究点2 若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有yx11＝xy22吗？提示不一定，两个向量中，若有与坐标轴(x轴)平行的向量或零向量，则不能写成比例式.

高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算练习(含解析)新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算练习（含解析）新人教A版必修4A级基础巩固一、选择题1．已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：由平面向量基本定理知①正确；若a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a －c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d的坐标为( )A．(2，6) B．(－2，6) C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a －4b＋4c＝(－2，－6)．答案：D3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎪⎫－45，35解析：AB→＝(3，－4)，则与AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：A4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6)解析：因为4a ，3b －2a ，c 对应有向线段首尾相接，所以4a ＋3b －2a ＋c ＝0，故有c ＝－2a －3b ＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．答案：D5．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊗”为a ⊗b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1，2)，p ⊗q ＝(－3，－4)，则向量q ＝( )A ．(－3，2)B ．(3，－2)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)解析：设向量q ＝(x ，y )，根据题意可得x ＝－3，2y ＝－4，解得x ＝－3，y ＝－2，即向量q ＝(－3，－2)．答案：D二、填空题6．设向量a ，b 满足a ＝(1，－1)，|b |＝|a |，且b 与a 的方向相反，则b 的坐标为________．解析：因为向量a 与b 的方向相反，且|b |＝|a |，所以b ＝－a ＝－(1，－1)＝(－1，1)．答案：(－1，1)7．作用于原点的两个力F 1＝(1，1)，F 2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F 3＝________．解析：因为F 1＋F 2＋F 3＝0，所以F 3＝－F 1－F 2＝－(1，1)－(2，3)＝(－3，－4)．答案：(－3，－4)8．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．解析：OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案：(5，4)三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝ 2. a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 所以a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)． 10．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)．(1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R)，求λ与y 的值．解：(1)设B (x 1，y 1)，因为AB →＝(4，3)，A (－1，－2)，所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1.所以B (3，1)．同理可得D (－4，－3)，设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.(2)由PB →＝(3，1)－(2，y )＝(1，1－y )，BD →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，又PB →＝λBD →(λ∈R)，所以(1，1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.B 级能力提升1．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m ⊗n ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝a ⊗b ，那么向量b 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－45 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－45 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，45 解析：设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝a ⊗b ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y .解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45. 答案：A2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：PQ →－PA →＝AQ →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ ＝QC →，所以PC →＝PQ →＋QC →＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP →＝2PC →，所以BC →＝BP →＋PC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)3．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n 的值；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝a ＝(5，－5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N (9，2)，所以MN →＝(9，－18)．。

高中数学-第二章-平面向量-2.3-平面向量的基本定理及坐标表示-2.3.2-2.3.3-知识巧解学案-新人教A版必修4

2.3.2 平面向量的坐标表示及运算2.3.3 平面向量共线的坐标表示疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的正交分解1.由平面向量基本定理可知，我们选定平面中的一组不共线向量作为基底，则这个平面内的任意一向量都可用这组基底唯一表示.在解决实际问题时，往往根据需要，人为地选定一组基底来表示相关的量.如图2-3-11，△ABC 中，D 、E 分别是边、的中点.图2-3-11求证：DE 21BC. 证明：先选定一组基底，设=a ，=b ，则=b -a .又∵AD =21AB =21a ，AE =21=21b ， ∴=-=21b 21 a =21 (b -a ). ∴=2，即△ABC 中，DE 21BC. 学法一得利用平面向量的基本定理证明向量共线的过程是：先选好一组基底，用该基底把相关的向量表示出来，再根据两向量共线的条件，确定唯一的实数，证得两向量共线，其实质是判定出两向量的方向与模的关系.2.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.此时，这两个互相垂直的基底为正交基底.二、正交分解下向量的坐标1.向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a .由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x ，y)，使得a =x i +y j .由于向量a 与有序实数对(x ，y)是一一对应的，因此，我们就把(x ，y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作a =(x ，y),其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a =(x ，y)叫做向量的坐标表示.显然，i =(1，0)，j =(0，1)，0=(0，0).图2-3-12设向量a=(x，y)，a方向相对于x轴正方向的旋转角为θ.由三角函数的定义可知：x=|a|cosθ，y=|a|sinθ，即向量a的坐标由它的模和方向唯一确定，与它的位置无关.2.向量坐标的唯一性在直角坐标平面内，以原点O为起点作=a，则点A的位置由a唯一确定.设=x i+y j，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标.图2-3-13如图2-3-13所示，CD=OA=a，CD向量的坐标怎样表示?由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，这就是我们常说的自由向量.向量在移动的过程中，其坐标是不变的，此时OA向量的坐标等于CD的坐标，即相等向量的坐标相同.3.一一对应原理任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标表示的向量却不一定是唯一的，也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为坐标原点的向量是一一对应的关系.由此可见，在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标系中，点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.学法一得①平面向量的坐标表示是平面向量基本定理的具体运用，其关键是在直角坐标系的两坐标轴上取与正方向一致的两个单位向量作为基底，用该基底把平面直角坐标系中的某一向量表示出来.②由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，所以平面内任一向量所对应的坐标，与把该向量的起点移至原点，终点所对应的坐标相等.三、向量的坐标运算1.加法运算对于向量的加法除了用向量线性运算的结合律和分配律去证明外，还可用几何作图的方法予以证明.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，求a+b.图2-3-14如图2-3-14所示，OA =a ，OB =b ，以a 、b 为邻边作平行四边形，则OC =a +b .作BB ′⊥x 轴，垂足为B ′，AA ′⊥x 轴，垂足为A ′，CD ⊥x 轴，垂足为D ，AC ′⊥CD ，垂足为C ′.从作图过程可知Rt △BB ′O ≌Rt △CC ′A.所以OB ′=AC ′=A ′D ，BB ′=CC ′.所以C 点的坐标为x C =OA ′+A ′D=x 1+x 2，y C =C ′D+C ′C=y 1+y 2，即=(x 1+x 2，y 1+y 2)，也就是a +b =(x 1+x 2，y 1+y 2).也就是说：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.上述结论对于三个或三个以上向量加法仍然成立.2.减法运算由向量线性运算的结合律和分配律，可得a -b =(x 1i +y 1j )-(x 2i +y 2j )=(x 1-x 2)i +(y 1-y 2)j ，即a -b =(x 1-x 2，y 1-y 2)，也就是说：两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. 类似于向量的加法运算，也可以通过作图验证减法的坐标运算规则.3.实数与向量积的坐标如图2-3-15，已知OA =a ，OB =λa ，不妨设λ＞0，作AA ′⊥x 轴，BB ′⊥x 轴，垂足分别为A ′、B ′.图2-3-15由△AOA ′∽△BOB ′，∴B B A A B O A O OB OA ''=''=. 由λ1=OB OA ，OA ′=x ，A ′A=y ， ∴B O x '=λ1，B B y '=λ1，得OB ′=λx ，B ′B=λy ，即OB =(λx ，λy)，即λa =(λx ，λy).同理可证当λ＜0时，结论也成立；当λ=0时，λa =0，结论显然也成立.综上所述，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.学法一得当λ＞0时，λa 所对应的坐标可看作把a 的坐标伸长(λ＞1)或缩短(0＜λ＜1)到原来的λ倍而得到；当λ＜0时，可看作把a 的相反向量的坐标伸长(λ＜-1)或缩短(-1＜λ＜0)到原来的-λ倍而得到.典题•热题知识点一利用图形间的关系求坐标例1 在平面内以点O 的正东方向为x 轴正向，正北方向为y 轴的正向建立直角坐标系.质点在平面内作直线运动，分别求下列位移向量的坐标.(1)向量a 表示沿东北方向移动了2个长度单位；(2)向量b 表示沿北偏西30°方向移动了3个长度单位；(3)向量c 表示沿南偏东60°方向移动了4个长度单位.解：设=a ，=b ，=c ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，R(x 3，y 3).图2-3-16(1)如图2-3-16,可知∠POP ′=45°，|OP |=2，所以a =OP =P P P O '+=2i +2j ,所以a =(2，2).(2)因为∠QOQ ′=60°，||=3，所以b ==Q O '+Q '=23-i +323j ，所以b =(23-，323). (3)因为∠ROR ′=30°，||=4，所以c ==R O '+R R '=32i -2j .所以c =(32，-2). 方法归纳求解向量坐标时，常用到解直角三角形的知识或任意角的三角函数的定义.构造直角三角形是学习过程中常用到的一种解题手段.知识点二向量的坐标运算例2 已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及=+t .求：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第二象限?(2)四边形OABP 能成为平行四边形吗?若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由. 解： (1)=+t =(1+3t ，2+3t).若P 在x 轴上，只需2+3t=0，即t=32-；若P 在y 轴上，只需1+3t=0，即t=31-；若P 在第二象限，则需⎩⎨⎧>+<+,032,031t t 解得-32＜t ＜-31. (2)OA =(1，2)，PB =(3-3t ，3-3t).若四边形OABP 为平行四边形，需=.于是⎩⎨⎧=-=-233,133t t 无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形.巧解提示:向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁.向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化，为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法.知识点三求向量坐标例3 已知A(0，0)，B(21，31-)，C(21-，32)，则下列计算正确的是( ) A.向量的坐标为(21-，31) B.向量的坐标为(0，31) C.向量的坐标为(21-，32) D.向量+的坐标为(0，31) 思路分析：利用“向量的坐标=终点坐标-起点坐标”直接得到结果.=(21，31-)-(0，0)=(21，31-)， =(21-，32)-(21，-31)=(-1，1)， CA =(0，0)-(21-，32)=(21，32-)， +AB =(21-，32)+(21，31-)=(0，31). 答案：D例4 在直角坐标系xOy 中，已知点A(3，2)、B(-2，4)，求向量+的方向和长度. 解：如图2-3-17,可知=(3，2)，=(-2，4).图2-3-17 设OC =OA +OB ，则OC =OA +OB =(3，2)+(-2，4)=(1，6).由两点间距离公式，得|OC |=376122=+. 设相对x 轴正向的转角为α，则tan α=6，使用计算器计算得α=80°32′. 所以向量+的方向偏离x 轴正方向约为80°32′，长度等于37.知识点四利用向量坐标解综合题例5 已知a =(6，-4)，b =(0，2)，c =a +λb ，若c 的终点在直线y=21x 上，求实数λ的值. 思路分析：此题是向量与直线结合的问题，关键是建立关于λ的等式关系.图2-3-18解：如图2-3-18所示，过A 作平行于y 轴的直线交直线y=21x 于C 点，则可求得C(6，3)，过C 点作直线OA 的平行线，交y 轴于D 点，则四边形AODC 为平行四边形，易求得|OD|=7，所以27||||=OB OD ，即λ=27. 巧解提示:设c =(x ，y)，由题设，可得(x ，y)=(6，-4)+λ(0，2)，即(x ，y)=(6，-4+2λ).∴⎩⎨⎧+-==.24,6λy x∵c 的终点在直线y=21x 上， ∴-4+2λ=21×6.解得λ=27. 例6 已知向量u =(x ，y)与向量v =(y ，2y-x)的对应关系用v =f(u )表示.(1)设a =(1，1)，b =(1，0)，求向量f(a )及f(b )的坐标；(2)证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n 恒有f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立；(3)求使f(c )=(p ，q)(p ，q 为常数)的向量c 的坐标.思路分析：为应用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而使问题解决. 解：(1)f(a )=(1，2×1-1)=(1，1)；f(b )=(0，2×0-1)=(0，-1).(2)设a =(a 1，a 2)，b =(b 1，b 2)，则m a +n b =(m a 1+n b 1，m a 2+n b 2)，∴f(m a +n b )=(ma 2+nb 2，2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1)，mf(a )+nf(b )=m(a 2，2a 2-a 1)+n(b 2，2b 2-b 1)=(ma 2+nb 2，2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1).∴f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立.(3)设c =(x ，y)，则f(c )=(y ，2y-x)=(p ，q)，∴⎩⎨⎧=-=.2,q x y p y∴x=2p-q ，即向量c=(2p-q ，p).例7 已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，如图2-3-19所示.图2-3-19 求证：EF =21(AB +DC ). 思路分析：根据向量加法的三角形法则或坐标运算法则可以用不同方法证明.证明：建立直角坐标系，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4). 则=(x 2-x 1，y 2-y 1)，=(x 3-x 4，y 3-y 4)， ∴21(AB +)=(2,241324132y y y y x x x x --+--+). 又E(2,24141y y x x ++)，F(2,23232y y x x ++)，则=(22,2241324132y y y y x x x x +-++-+)， ∴EF =21(AB +DC ). 巧解提示:∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，图2-3-20 ∴+=+=0. 又=++，=++，两式相加得2=+，即=21(+). 问题•探究材料信息探究材料：一个力可以分解为平面内任意两个方向上的力.如图2-3-21：图2-3-21拖拉机拉着耙，对耙的拉力是斜向上方的，我们可以说，这个力产生两个效果：使耙克服泥土的阻力前进，同时把耙向上提，使它不会插得太深.这两个效果相当于两个力分别产生的：一个水平的力F 1使耙前进，一个竖直向上的力F 2把耙上提，即力F 可以用两个力F 1和F 2来代替，即力F 被分解成两个力F 1和F 2.问题能不能将上面的物理知识抽象为数学知识？这一数学知识有何作用？探究过程:由物理学知识可知力是矢量，它可以抽象为数学中的向量.因此物理学中力的分解可以抽象为数学中一个平面内的向量都可以分解为两个不共线的向量，即平面内任意一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的，其实质就是平面向量基本定理.这一定理是向量坐标表示的理论基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决. 探究结论:上面的物理知识可以抽象为数学中的平面向量基本定理，该定理是向量坐标化的理论基础，也是联系向量问题与几何问题的桥梁与纽带.方案设计探究问题试探究用向量求76cos 74cos 72cosπππ++的值的方法. 探究过程:要求76cos 74cos 72cos πππ++可先求cos0+cos 72π+cos 74π+cos 76π+cos 78π +cos 710π+cos 712π的值，由于0、72π、74π、76π、78π、710π、712π这七个角每相邻两个角都相差72π，则可考虑在直角坐标系中构造一个边长为1的正七边形OABCDEF ，且使A 点的坐标为(1，0)，则由此可得出OA 、、BC BC 、CD 、、和FO 的坐标，再利用它们的和是零向量及零向量的横坐标、纵坐标都为零即可求解.探究结论:如图2-3-22所示，将边长为1的正七边形OABCDEF 放入直角坐标系中，则图2-3-22=(1，0)，=(cos 72π,sin 72π)，=(cos 74π,sin 74π)，=(cos 76π,sin 76π)，DE =(cos 78π,sin 78π)，EF =(cos 710π,sin 710π)，FO =(cos 712π,sin 712π). 由于++++++=0，则有cos0+cos72π+cos 74π+cos 76π+cos 78π+cos 710π+cos 712π=0. 又cos 78π=cos 76π，cos 710π=cos 74π，cos 712π=cos 72π，cos0=1，所以有1+2(cos 72π+cos 74π+cos 76π)=0，即cos 72π+cos 74π+cos 76π=21-. 思想方法探究问题在数学中，我们经常遇到一个点把一条线段分成两部分，如果已经知道了两个端点的坐标，那么怎样用两个端点的坐标来表示这个分点的坐标就成为我们关心的问题.向量是解决几何问题的有效工具，能否用向量分析这一问题？探究过程:在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，假设点P 分有向线段的比为λ，即=λ，O 为平面上一定点，那么会有+λ=0，=λλ++1OB OA .事实上，因为=λ，所以+λ=0，于是有(-)+λ(-)=0,(1+λ) =+λ,所以=λλ++1OB OA . 如果在直角坐标系中，设O 为坐标原点，P(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有(x,y)=)1,1(1),(),(21212211λλλλλλ++++=++y y x x y x y x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x 探究结论:P 点的坐标为(λλλλ++++1,12121y y x x )，此公式就叫做线段的定比分点公式.它可以直接利用线段端点的坐标来表示分点的坐标，显得方便、快捷. 如下面的问题，已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P 在直线OA 上，且21=PA OP ，又P 是线段OB 的中点，利用公式就可以直接得到点B 的坐标.假设P(x,y)，由定比分点公式有22116210=+⨯+=x ,2113210+⨯+=y ，即P(2,1).又因为P 是线段OB 的中点，所以点B 的坐标(4,2).欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。

湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必修4

湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A 版必修4【学习目标】1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。

2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。

【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b += ，a b -= ，a λ=（二）自主探究：（预习教材P98—P101）探究：平面向量共线的坐标表示问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？若,a b （0b ≠）共线，当且仅当存在实数λ，使。

问题2：假设()()1122,,,a x y b x y ==（0b ≠），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？2、设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则//a b 等价于______________________。

二、合作探究1、已知()2,4-=，()6,b y =，且//a b ，求y .变式：判断下列向量a 与b 是否共线①(2,3) (3,4)a b ==②8(2,3) (,4)3a b ==2、向量(),12OA k =，()4,5OB =，()10,OC k =，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.变式：证明下列各组点共线：（1）7(1,2) (3,4)(2,)2A B C --（2）1(9,1) Q(1,3)(8,)2P R -3、设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y .⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.*变式：当12PP PP λ=，点P 的坐标是什么？三、交流展示1已知(2,3),(2,1),(1,4)(7,4)A B D ----判断AB 与CD 是否共线？2、已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==-，且////a b c ，求,x y 的值.3、平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，＝(4,1)，求：(1)求3a ＋b －2；(2)求满足a ＝m b ＋n 的实数m ，n ；(3)若(a ＋k )∥(2b －a )，求实数k .四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知向量()2,4a =-，()1,2b =-，则a 与b 的关系是（）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2. 已知,,A B C 三点共线，且()()3,6,5,2A B --，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（）A.13-B.9C.9-D.13 3. 点(),A m n 关于点(),B a b 对称点坐标为（）A.(),m n --B.(),a m b n --C.()2,2a m b n --D.()2,2a m b n --4. 已知()1,2a =，(),1b x =，若2a b +与2a b -平行，则x 的值为 .B 组：1、(2010·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心2、已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )．。

高中数学必修四课时作业9：2.3.4 平面向量共线的坐标表示

2.3.4 平面向量共线的坐标表示1．已知向量a ＝(3,5)，b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A ．35B ．53C ．－35D ．－53[解析] 由a ∥b ，得5cos α－3sin α＝0，即tan α＝53．[答案] B2．向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( ) A ．(4,8) B ．(8,4) C ．(－4，－8)D ．(－4,8)[解析] 由a ∥b 可排除A ，B ，C ，故选D ． [答案] D3．向量P A →＝(k,12)，PB →＝(4,5)，PC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为( )A ．－2B ．11C ．－2或11D ．2或11[解析] AB →＝PB →－P A →＝(4－k ，－7)，BC →＝PC →－PB →＝(6，k －5)，由题知AB →∥BC →，故(4－k )(k －5)－(－7)×6＝0，解得k ＝11或k ＝－2．[答案] C4．设向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(6,2)共线，则实数λ＝________．[解析] λa ＋b ＝(λ，0)＋(1,1)＝(λ＋1,1)，因为(λa ＋b )∥c ，所以2(λ＋1)－6＝0，解得λ＝2．[答案] 25．已知A (2,0)，B (0,2)，若AC →＝13AB →，则点C 的坐标是________．[解析] 设C (x ，y )，则AC →＝(x －2，y )，AB →＝(－2,2)，所以(x －2，y )＝(－23，23)，得x ＝43，y ＝23，即C (43，23)．[答案] (43，23)6．已知两点A (3，－4)，B (－9,2)在直线AB 上，求一点P 使|AP →|＝13|AB →|．解设点P 的坐标为(x ，y )，①若点P 在线段AB 上，则AP →＝12PB →，∴(x －3，y ＋4)＝12(－9－x,2－y )．解得x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)．②若点P 在线段BA 的延长线上，则AP →＝－14PB →，∴(x －3，y ＋4)＝－14(－9－x,2－y )．解得x ＝7，y ＝－6，∴P (7，－6)．综上可得点P 的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．7．如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )， DB →＝(5,4)，CA →＝(－3,6)，DC →＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)．又∵CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4,4λ)，由于CP →与CA →共线得，(5λ－4)6＋12λ＝0．解之得λ＝47，∴DP →＝47DB →＝⎝⎛⎭⎫207，167，又OP →＝OD →＋DP →＝(1,0)＋(207，167)＝(277，167)，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167．能力提升8．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1[解析] 因为A ，B ，C 三点不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，又AB →＝OB →－OA →＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ，k ＋1)，所以2k －(k ＋1)＝0，即k ＝1．[答案] C9．已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中，正确的个数是( ) ①存在实数x ，使a ∥b ； ②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ； ③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ； ④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b ． A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 只有④正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b ． [答案] B10．已知a ＝(1,1)，b ＝(x 2，x ＋λ)且a ∥b ，则实数λ的最小值是________． [解析] 因为a ∥b ，所以x 2－x －λ＝0，即λ＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14．[答案] －1411．平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 延长至E ，使|CE →|＝14|ED →|，则点E 的坐标为________．[解析] ∵AC →＝12BC →，∴A 为BC 的中点，AC →＝BA →，设C (x C ，y C )，则(x C －2，y C ＋1)＝(1，－5)， ∴C 点的坐标为(3，－6)，又|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上，∴CE →＝－14ED →，设E (x ，y )，则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )，得⎩⎨⎧x －3＝－14(4－x )，y ＋6＝－14(－3－y ).解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7.故点E 的坐标是(83，－7)．[答案] (83，－7)12．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－x ，－3－y )． (1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求x ，y 应满足的条件； (2)若AC →＝2BC →，求x ，y 的值．解 (1)因为点A ，B ，C 不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线．由题意得AB →＝(3,1)，AC →＝(2－x,1－y )，所以3(1－y )＝2－x ．所以x ，y 满足的条件为x －3y ＋1＝0． (2)BC →＝(－x －1，－y )，由AC →＝2BC →得(2－x,1－y )＝2(－x －1，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＝－2x －2，1－y ＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1.13．(选做题)已知ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF ＝AE ．证明建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便．不妨设正方形ABCD 的边长为1，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (x ，y )，这里y >0，于是AC →＝(1,1)，BE →＝(x －1，y )． ∵AC →∥BE →，∴1×y －(x －1)×1＝0⇒y ＝x －1.①∵AC ＝OC ＝CE ，∴CE 2＝OC 2⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2.②由y >0，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32，y ＝1＋32，即E ⎝⎛⎭⎪⎫3＋32，1＋32．AE ＝OE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋322＝3＋1．设F (t,0)，则FC →＝(1－t,1)，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32．∵F ，C ，E 三点共线，∴FC →∥CE →．∴(1－t )×－1＋32－1＋32×1＝0，解得t ＝－1－3．∴AF ＝OF ＝1＋3，∴AF ＝AE ．。

人教A版高中数学四课时提升作业(二十一)2.3.4平面向量共线的坐标表示1含解析

课时提升作业(二十一）平面向量共线的坐标表示(25分钟60分）一、选择题（每小题5分，共25分）1。

已知平面向量a=(1，2）,b=(—2,m），且a∥b,则2a+3b等于（）A。

（-2，-4）B。

（-3,-6)C。

(—4，—8) D.(-5,—10)【解析】选C.由于a∥b，则1×m—2×（—2）=0，解得m=—4，则2a+3b=2(1，2）+3（-2，—4）=（—4,-8）.2。

已知A，B，C三点共线,且A(3,-6），B(-5，2）,若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为（）A.—13B.9 C。

—9 D.13【解析】选C.设C(6,y），则AB→∥AC→。

又AB→=(—8，8），又AC→=(3，y+6）,所以—8(y+6)—3×8=0。

所以y=—9。

3。

(2015·舟山高一检测)已知A(2，-1),B（3，1)，若AB→与向量a平行且方向相反，则a的坐标可以是（）A。

(1,1) B.（2，1)2C.（-1，2）D.（-4,-8)【解析】选D。

AB→=（3—2，1+1)=（1,2)，设a=（x，y).因为a∥AB→,且方向相反，所以y=2x ，且x<0.令x=-4，则y=—8.4。

(2015·安溪高一检测）已知a =(—2,1—cos θ)，b =(1+cosθ,−14)，且a ∥b ,则锐角θ等于( )A 。

45°B 。

30°C 。

60° D.15°【解析】选A.由a ∥b 得（—2)×(−14)—（1—cos θ）（1+cos θ）=0，即12=1-cos 2θ=sin 2θ，所以sin θ=±√22，又因为θ为锐角，所以sin θ=√22，θ=45°。

高中数学第二章平面向量课时作业242.3.4平面向量共线的坐标表示新人教A版必修4

课时作业(二十四) 平面向量共线坐标表示1．以下向量中，能作为表示它们所在平面所有向量基底是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)答案 B2．向量a ＝(4，2)，向量b ＝(x ，3)，且a ∥b ，那么x 等于( ) A ．9 B ．6 C ．5 D ．3答案 B3．向量a ＝(3，4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，那么tan α＝( ) A.34 B ．－34C.43 D ．－43答案 A解析 a ∥b ⇒3cos α＝4sin α，∴tan α＝34.4．向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，那么b 可能是( ) A ．(4，8) B ．(8，4) C ．(－4，－8) D ．(－4，8) 答案 D解析 a ＝(1，－2)＝－14(－4，8)．即b ＝－4a ，∴b 可能是(－4，8)．5．假设P 1(1，2)，P(3，2)且P 1P →＝2PP 2→，那么P 2坐标为( ) A. (7，2) B ．(－7，－2) C ．(－4，－2) D ．(4，2)答案 D解析设P 2(x ，y)，那么由P 1P →＝2PP 2→得(2，0)＝2(x －3，y －2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －6＝2， y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即P 2＝(4，2)． 6．A(2，－1)，B(3，1)，假设AB →与向量a 平行且方向相反，那么a 坐标可以是( ) A ．(1，12)B ．(2，1)C ．(－1，2)D ．(－4，－8)答案 D解析 AB→＝(3－2，1＋1)＝(1，2)，设a ＝(x ，y)．∵a ∥AB→且方向相反，∴y ＝2x<0.令x ＝－4，y ＝－8.7．向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x)，假设a ＋b 与4b －2a 平行，那么实数x 值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 D解析依题意得a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6，4x－2)，∵a＋b 与4b－2a平行，∴3(4x－2)＝6(x＋1)，由此解得x＝2，选D. 8．(高考真题·北京卷)a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)，假设a－2b与c共线，那么k＝________．答案19．向量a＝(x，1)，b＝(1，x)方向相反，那么x＝________．答案－1解析由题意知a与b共线，那么x2＝1，∴x＝±1，又∵a与b反向，∴x≠1，∴x＝－1.10．(高考真题·陕西卷)向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，假设(a＋b)∥c，那么m＝________．答案－1解析由a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1，2)，由(a＋b)∥c得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1.11．假设点P(x，1)在A(2，－4)、B(5，11)这两点连线上，那么x ＝________．答案312．平面内给出三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，求解以下问题：(1)求3a＋b－2c；(2)求满足a＝m b＋n c实数m、n；(3)假设(a＋k c)∥(2b－a)，求实数k.解析 (1)3a ＋b －2c ＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1)＝(0，6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89. (3)∵a ＋k c ＝(3，2)＋k(4，1)＝(3＋4k ，2＋k)， 2b －a ＝2(－1，2)－(3，2)＝(－5，2)，又(a ＋k c )∥(2b －a )，∴(3＋4k)·2＝(2＋k)·(－5)．∴k＝－1613.►重点班·选做题13．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 面积，λ1＝S △PBCS △ABC ，λ2＝S △PCA S △ABC ，λ3＝S △PABS △ABC ，定义f(P)＝(λ1，λ2，λ3)．假设G 是△ABC重心，f(Q)＝(12，13，16)，那么( )A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内 C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合答案 A14．设A(x ，1)，B(2x ，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x 为何值时，AB→与CD →共线且方向一样，此时A ，B ，C ，D 能否在同一直线上？解析 AB →＝(x ，1)，CD →＝(4，x)，AB →与CD →共线，那么x 2＝4，x ＝±2.又∵AB→，CD →同向，∴x ＝2. 此时BC→＝(－3，2)，AB →与BC →不共线． ∴A 、B 、C 、D 不在同一直线上．15．点A(2，0)，B(2，2)，C(1，3)，O 为坐标原点，求AC 与OB 交点D 坐标．解析由题意知OB→，OD →共线，故存在实数λ，使OD →＝λOB →＝(2λ，2λ)．又AD→＝OD →－OA →＝(2λ－2，2λ)．AC→＝OC →－OA →＝(－1，3)，又∵AC →与AD →共线，∴(2λ－2)×3－2λ×(－1)＝0，解得λ＝34.故点D 坐标为(32，32)．1．a ＝(－2，1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14)，且a ∥b ，那么锐角θ等于( ) A ．45° B ．30° C ．60° D ．15°答案 A解析由a ∥b 得－2(－14)－(1－cos θ)(1＋cos θ)＝0即12＝1－cos 2θ＝sin 2θ，即sin θ＝±22，又∵θ为锐角，∴sin θ＝22，θ＝45°，应选A.2．a ＝(2，－4)，b ＝(1，2)，c ＝(1，－2)，d ＝(－2，－4)，其中共线向量有( )A ．a 与b ；c 与dB ．a 与d ；b 与cC ．a 与c ；b 与dD ．以上都正确答案 C3．以下命题错误是( )A ．假设i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向单位向量，那么|i ＋j |＝|i －j |B ．假设a ∥b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，那么必有x 1y 1＝x 2y 2C ．零向量坐标表示为(0，0)D ．一个向量坐标等于表示此向量有向线段终点坐标减去始点坐标答案 B4．(高考真题·广东卷)向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，假设λ为实数，(a ＋λb )∥c ，那么λ＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2答案 B5．A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x ，y)，且AC →＝2BD →，那么x ＋y ＝________．答案 112解析 ∵AC→＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，BD→＝(x ，y)－(2, 3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4，2y －6)＝(－1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.6．设a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，假设向量m a ＋b 与向量c ＝(－3，2)共线，那么m ＝________．答案－587．在直角坐标系xOy 中，点A(0，1)与点B(－3，4)，假设点C 是∠AOB 平分线与AB 交点，那么C 坐标为________．答案 (－12，32)8．a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，假设λa ＋b 与a ＋λb (λ∈R )平行，求λ值．解析 λa ＋b ＝(3λ＋2，2λ－1)，a ＋λb ＝(3＋2λ，2－λ)． ∵λa ＋b 与a ＋λb (λ∈R )平行，∴(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)(3＋2λ)＝0，即－7λ2＋7＝0，解得λ＝±1.9．向量AB→＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD 中点M 坐标；(2)假设点P(2，y)满足PB→＝λBD →(λ∈R )，求y 与λ值．解析 (1)设B(x ，y)．∵A(－1，－2)，∴AB →＝(x ＋1，y ＋2)＝(4，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝4，y ＋2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.即B(3，1)．同理可得D(－4，－3)．∴线段BD 中点M 坐标为(3－42，1－32)，即M(－12，－1)．(2)∵PB→＝(1，1－y)，BD →＝(－7，－4)，∴由PB→＝λBD →得(1，1－y)＝λ(－7，－4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，解得y ＝37，λ＝－17.10．a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，n ＝a ＋2b ，v ＝2a －b . (1)假设n ＝3v ，求x ；(2)假设n ∥v ，并说明此时两向量方向一样还是相反．解析 ∵a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，∴n ＝a ＋2b ＝(1，1)＋(2x ，2)＝(2x ＋1，3)，v ＝2a －b ＝(2，2)－ (x ，1)＝(2－x ，1)．(1)∵n ＝3v ，∴(2x ＋1，3)＝3(2－x ，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝6－3x ，3＝3，解得x ＝1.(2)∵n ∥v ，∴2x ＋1＝3 (2－x)，∴x ，n ＝(3，3)，v ＝(1，1)，n ＝3v ，∴n 与v 方向一样．11．在△ABC 中，点A(3，7)、B(－2，5)．假设线段AC 、BC 中点都在坐标轴上，求点C 坐标．解析 (1)假设AC 中点在y 轴上，那么BC 中点在x 轴上，设点C 坐标为(x ，y)，由中点坐标公式，得3＋x 2＝0，y ＋52＝0，∴x ＝－3，y ＝－5，即C 点坐标为(－3，－5)．(2)假设AC 中点在x 轴上，那么BC 中点在y 轴上，那么同理可得C 点坐标为(2，－7)．综合(1)(2)，知C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．12．设点P 是线段P 1P 2上一点，P 1、P 2坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．(1)当点P 是线段P 1P 2中点时，求点P 坐标；(2)当点P 是线段P 1P 2一个三等分点时，求点P 坐标．解析 (1)如图，由向量线性运算可知OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．所以点P 坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22) (2)如图，当点P 是线段P 1P 2一个三等分点时，有两种情况，即P 1PPP 2＝12或P 1P PP 2＝2.如果P 1P PP 2＝12，那么OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2 ＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→＝(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)，即点P坐标是(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．同理，如果P 1P PP 2＝2，那么点P 坐标是(x 1＋2x 23，y 1＋2y 23)．点评本例实际上给出了线段中点坐标公式与线段三等分点坐标公式．教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当P 1PPP 2＝λ时，点P 坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由P 1P →＝λPP 2→ ，知(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y)，即 ⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λ〔x 2－x 〕，y －y 1＝λ〔y 2－y 〕，⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ这就是线段定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生这种积极探索，这是学习数学重要品质．时间允许话，可以探索λ取值符号对P 点位置影响，也可鼓励学生课后探索．13．设a ＝(6，3a)，b ＝(2，x 2－2x)且满足a ∥b 实数x 存在，求实数a 取值范围．解析由a∥b条件得6(x2－2x)－3a×2＝0.即x2－2x－a＝0. ①根据题意，方程①有实数解，故有Δ＝4＋4a≥0，即a≥－1.第11 页。

人教A版高中数学必修四课时提升作业(二十一) 2.3.4 平面向量共线的坐标表示2 Word版含解析

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课时提升作业(二十一)平面向量共线的坐标表示一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·房山高一检测)已知三点P(1，-2)，Q(2，3)，R(-3，y)共线，则y=( ) A.-2 B.-22 C.2 D.22【解析】选B.因为=(1，5)，=(-4，y+2)，且∥，故(y+2)×1-(-4)×5=0，所以y=-22.【变式训练】已知平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，且a∥b，则2a+3b等于( ) A.(-4，8) B.(4，-8)C.(-4，-8)D.(4，8)【解析】选C.因为a∥b，所以1×m-2×(-2)=0，m=-4，所以2a+3b=2(1，2)+3(-2，-4)=(-4，-8).2.(2013·陕西高考)已知向量a=(1，m)，b=(m，2)，若a∥b，则实数m等于( )A.-B.C.-或D.0【解题指南】根据条件建立关于m的方程，求解即得.【解析】选C.因为a=(1，m)，b=(m，2)，且a∥b，所以1·2=m·m⇒m=±.3.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为( )A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4【解析】选B.因为i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量，所以=i+2j=(1，2)，=(3-x)i+(4-y)j=(3-x，4-y)，若与共线，则1·(4-y)-2·(3-x)=0，整理得2x-y=2，经检验可知x，y的值可能分别为2，2.4.(2014·塘沽高一检测)已知平面向量a=(x，1)，b=(-x，x2)，则向量a+b( )A.平行于x轴或与x轴重合B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴或与y轴重合D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】选C.因为a+b=(0，1+x2)，由1+x2≠0及向量的性质可知，C正确.5.已知A(4，6)，B，与平行的向量的坐标可以是( )①；②；③；④(7，9).A.①②④B.①②③C.②③④D.①②③④【解析】选B.因为=-(4，6)=，而×-(-7)×3=0，7×-(-7)×=0，×-(-7)×(-3)=0，7×-(-7)×9≠0，故与平行的向量的坐标可以是；；.6.(2014·太原高一检测)若向量a=(-1，x)与b=(-x，2)共线且方向相同，则x 的值为( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选A.因为a=(-1，x)与b=(-x，2)共线，所以(-1)×2-x(-x)=0，解得x=±，又a与b方向相同，所以x=.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014·三明高一检测)已知两向量a=(2，s i nθ)，b=(1，cosθ)，若a∥b，则=.【解析】因为a∥b，所以2cosθ-sinθ=0，2cosθ=sinθ，所以===4.答案：4【变式训练】已知向量a=(1-s i nθ，1)，b=(，1+s i nθ)，且a∥b，则锐角θ=.【解析】由a∥b可得(1+sinθ)(1-sinθ)-=0，又θ是锐角，故cosθ=，从而θ=45°.答案：45°8.已知=(-2，m)，=(n，1)，=(5，-1)，若点A，B，C在同一条直线上，且m=2n，则m+n=.【解题指南】由点A，B，C在同一条直线上可得与共线，进而可得关于m，n的方程，与m=2n联立即可求出m，n，进而求出m+n.【解析】=-=(n，1)-(-2，m)=(n+2，1-m)，=-=(5，-1)-(n，1)=(5-n，-2).因为A，B，C共线，所以与共线，所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n，②解①②组成的方程组得或所以m+n=9或.答案：9或9.(2014·荆州高一检测)已知点A(1，-2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)且与向量a=(1，λ)共线，则λ=.【解题指南】由中点坐标公式先求出点B的坐标，进而求出的坐标，最后根据与向量a共线求λ.【解析】由题意得，点B的坐标为(5，4)，则=(4，6).又与a=(1，λ)共线，则4λ-6=0，得λ=.答案：【变式训练】已知向量a=(1，2)，b=(1，λ)，c=(3，4).若a+b与c共线，则实数λ=.【解析】因为a+b=(2，2+λ)，a+b与c共线，所以2×4-3×(2+λ)=0，解得λ=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知向量a=(1，2)，b=(x，1)，u=a+2b，v=2a-b，且u∥v，求实数x的值. 【解析】因为a=(1，2)，b=(x，1)，所以u=a+2b=(1，2)+2(x，1)=(2x+1，4)，v=2a-b=2(1，2)-(x，1)=(2-x，3)，又因为u∥v，所以3(2x+1)-4(2-x)=0，解得x=.【拓展延伸】向量共线的坐标表示在两个方面的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.解答此类问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.解答此类问题要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据.11.(2014·沧州高一检测)已知a=(1，0)，b=(2，1).(1)当k为何值时，k a-b与a+2b共线？(2)若=2a+3b，=a+m b且A，B，C三点共线，求m的值.【解析】(1)k a-b=k(1，0)-(2，1)=(k-2，-1)，a+2b=(1，0)+2(2，1)=(5，2).因为k a-b与a+2b共线，所以2(k-2)-(-1)×5=0，得k=-.(2)方法一：因为A，B，C三点共线，所以=λ，λ∈R，即2a+3b=λ(a+m b)，所以解得m=.方法二：=2a+3b=(8，3)，=a+m b=(2m+1，m)，因为A，B，C三点共线，所以∥，故8m-3(2m+1)=0，m=.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·三亚高一检测)下列各组向量相互平行的是( )A.a=(-1，2)，b=(3，5)B.a=(1，2)，b=(2，1)C.a=(2，-1)，b=(3，4)D.a=(-2，1)，b=(4，-2)【解析】选D.因为(-2)×(-2)-1×4=0，故a=(-2，1)，b=(4，-2)互相平行.【一题多解】选D.易知选项D中，b=-2a，故a=(-2，1)，b=(4，-2)互相平行.2.已知向量a=(1，0)，b=(0，1)，c=k a+b(k∈R)，d=a-b，如果c∥d，那么( )A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向【解析】选D.c=k a+b=(k，1)，d=(1，-1)，又c∥d，所以k×(-1)-1×1=0，故k=-1.所以c=(-1，1)与d反向，选D.【变式训练】已知向量a=(1，3)，b=(2，1)，若a+2b与3a+λb平行，则λ的值等于()A.-6B.6C.2D.-2【解析】选B.因为a+2b=(5，5)，3a+λb=(3+2λ，9+λ)，由条件知，5(3+2λ)-5(9+λ)=0，解得λ=6.3.(2014·铁岭高一检测)已知a=(3，4)，b=(s i nα，cosα)，且a∥b，则tan α= ( )A. B.- C. D.-【解析】选A.由已知得，4sinα-3cosα=0，所以tanα=.4.(2014·株洲高一检测)已知向量a=(x，3)，b=(-3，x)，则下列叙述中，正确的个数是( )①存在实数x，使a∥b；②存在实数x，使(a+b)∥a；③存在实数x，m，使(m a+b)∥a；④存在实数x，m，使(m a+b)∥b.A.0B.1C.2D.3【解题指南】利用两向量共线的坐标表示求解出x的值.【解析】选B.由a∥b得x2=-9，无实数解，故①不对；又a+b=(x-3，3+x)，由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0，即x2=-9，无实数解，故②不对；因为m a+b=(mx-3，3m+x)，而(m a+b)∥a，所以(3m+x)x-3(mx-3)=0，即x2=-9，无实数解，故③不对；由(m a+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0，即m(x2+9)=0，所以m=0，x∈R，故④正确.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知向量a=(1，2)，b=(λ，1)，若(a+2b)∥(2a-2b)，则λ的值等于. 【解题指南】a+2b与2a-2b的坐标，用平面向量共线的坐标表示列方程求出参数.【解析】a+2b=(1，2)+2(λ，1)=(1+2λ，4)，2a-2b=2(1，2)-2(λ，1)=(2-2λ，2)，由(a+2b)∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0，解得λ=.答案：【一题多解】假设a，b不共线，则由(a+2b)∥(2a-2b)可得a+2b=μ(2a-2b)，从而方程组显然无解，即a+2b与2a-2b不共线，这与(a+2b)∥(2a-2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以=，即λ=.答案：6.(2014·淄博高一检测)已知向量=(k，6)，=(4，5)，=(1-k，10)，且A，B，C三点共线，则k=.【解析】=(4-k，-1)，=(-3-k，5)，因为A，B，C三点共线，所以∥，故5(4-k)-(-1)(-3-k)=0，解得k=.答案：【变式训练】若三点P(1，1)，A(2，-4)，B(x，-9)共线，则x=.【解析】因为=(1，-5)，=(x-1，-10)，依题意有∥，所以-5(x-1)-1×(-10)=0，解得x=3.答案：3三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014·舟山高一检测)已知四点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x).(1)求实数x，使两向量，共线.(2)当两向量∥时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？【解析】(1)=(x，1)，=(4，x).因为，共线，所以x2-4=0，即x=±2时，两向量，共线.(2)当x=-2时，=(6，-3)，=(-2，1)，则∥，此时A，B，C三点共线，又∥，从而，当x=-2时，A，B，C，D四点在同一条直线上.当x=2时，A，B，C，D四点不共线.8.过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线交函数y=log2x的图象于C，D两点.求证：O，C，D三点在一条直线上.【解题指南】设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，由O，A，B三点在一条直线上可以推出关于x1，x2的等量关系.借助此关系式可以证与共线，进而得O，C，D三点在一条直线上.【证明】设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，则=(x1，log8x1)，=(x2，log8x2)，根据已知与共线，所以x1log8x2-x2log8x1=0.又根据题设条件可知C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，所以=(x1，log2x1)，=(x2，log2x2).因为x1log2x2-x2log2x1=x1lo-x2lo=3(x1log8x2-x2log8x1)=0，所以与共线，又与有公共点O，所以O，C，D三点在一条直线上.关闭Word文档返回原板块。