材料力学3

稳或屈曲。
材料力学
§9-2
细长中心压杆临界力的欧拉公式
细长压杆临界荷载的欧拉公式的推导:
一、回顾：材料力学研究问题的基本方法是怎样的？ 二、两端铰支细长压杆的临界荷载:
P x
y
图(a)
P
1.静力平衡关系
M ( x, y) Py
2.力和变形的物理关系
(1)
( 2)
M P y
P
M P y y EI EI
( i )
(2)
B. 柔度：
令

L
i
(Ⅲ)
材料力学
2E cr 2
(Ⅳ)
§9-4 欧拉公式的应用范围 （续1）
C. 欧拉公式的适用范围： P
令
cr p
，有：

p
E
P
E
(3)
P
(4)
p 仅与材料有关，条件(3)可以写成
P
压杆的分类：
P
其它约束情况下细长压杆的临界力:
1、公式的导出：
微分方程求解时边界条件不同。 例如：右图所示压杆，其微分方程的边界条件为：
y(0) y (l ) 0 y (0) 0
(11)
x
2、长度系数 3、其它约束情况下细长压杆临界荷载的欧拉公式
2
l
C
y
EI Pcr （） 压杆临界荷载欧拉公式的一般形式 2 ( l )
② 判断压杆类型；
y p 压杆为大柔度杆。
a ③ 计算临界荷载；
3 0.12 0.2 2 9 2 210 10 EI y 12 pcr ( yl )2 (2 4) 2
材料力学
2591103 N 2591kN
§9-6
EI Fcr 2 ( l )
Pcr B
Pcr
0.7l
0.5l挠曲线拐点
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
l
临界荷载 Pcr的欧拉 公式
材料力学μ 长度系数
Pcr
2 EI
l
2
Pcr
2 EI
(0.7l )
2
Pcr
2 EI
(0.5l )
2
Pcr
2 EI
12 0.5 4 57.8 0.12
§9-4 欧拉公式的应用范围
（续4）
P
在 在
xy 平面：
z 57.8
1 3 ab b 12 iy ab 12
xz 平面：
y
⑶
yl
iy
12 2 4 138.6 0.2
l
z y
z
b
y z
，压杆在
xz
平面内失稳。
第九章 压杆稳定问题
§9-1 压杆稳定性的概念
1. 问 题 的 提 出
材料力学
长压杆实验结果为什么远远小于理论计算值呢？
§9-1 压杆稳定性的概念 （续1）
2.压杆稳定性的概念：
（1）压杆的稳定性— 压杆保持直线平衡状态的能力。 （2）丧失稳定—— 压杆不能保持直线平衡状态而发 生的破坏。（简称失稳）
P P 解：① 确定压杆失稳平面； l ⑴ 根据杆端约束情况计算 zl 0.5l 在 xy 平面： 在 xz 平面： yl 2l
⑵ 计算两平面内的柔度 在
l
l
y y z
a
材料力学
z y
b z a b
xy 平面：
1 3 ba a iz 12 ab 12
z
z l
iz

材料力学
§9-1 压杆稳定性的概念 （续2）
稳定性：主要针对细长压杆
P
P
稳定性：构件在外力作用下保持其原有平衡 状态的能力，是杆件承载能力的一个方面。
如何判断杆件的稳定与不稳定？
材料力学
§9-1 压杆稳定性的概念 （续3）
（1）平衡形式
材料力学
§9-1 压杆稳定性的概念 （续4）
压杆稳定性问题尤为重要！
1.
提高压杆稳定性的措施 2 欧拉公式
Fcr
越大越稳定
2. 减小压杆长度 l 3. 减小长度系数μ（增强约束） 4. 增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
— 长 度 系 数
材料力学
l—相当长度
§9-3 不同杆端约束下细长压杆临的欧拉公式 （续）
表1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界荷载的欧拉公式
支承情况
两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支 一端固定 另端自由 Pcr 两端固定但可沿 横向相对移动 Pcr
Pcr
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
(Ⅴ)
①大柔度杆：柔度 P 的杆件，其临界荷载用欧拉公式计算。
材料力学
②中、小柔度杆：柔度 P 的杆件，其临界荷载不能用欧拉公式计算。
§9-4 欧拉公式的应用范围 （续2）
2. 基本概念:
粗短杆 中长杆 细长杆
0
材料力学
§9-4 欧拉公式的应用范围
（续3）
例题: 一压杆的弹性模量为 E＝210GPa， p 100，l 4m a 0.12 m , b 0.2m ,在两形心主惯性矩平面的约束情 况如图所示，求压杆的临界荷载。
(2l )
2
Pcr
2 EI
l2
=1
0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
§9-4
欧拉公式的应用范围
欧拉公式的适用范围:
1. 基本概念:
A. 临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
Pcr 2 EI cr A ( L) 2 A
令i (1)
I A
2 EI cr l 2
x
图(b)
材料力学
3.变形协调关系 p ①令： k 2 EI
②二阶常系数线性微分方程：
(3)
y k 2 y 0
( 4)
§9-2 细长中心压杆临界力的欧拉公式 （续）
P x
y
图(a)
P
③微分方程的解：
y A sin kx B coskx
④边界条件为：
(5)
M P y x
y(0) y(l ) 0
材料力学
§9-1 压杆稳定性的概念 （续5）
稳 定 平 衡
3.临界状态
过
渡 度
4.临界压力:
Pcr
不 稳 定 平 衡
5.失稳：压杆丧失 其直线状态的平衡 而过渡为曲线平衡 的现象。
材料力学
§9-1 压杆稳定性的概念 （续6）
失稳与屈曲:
在扰动作用下，直线平衡状态转变为弯曲平衡状态， 扰动除去后，不能恢复到直线平衡状态的现象，称为失
P
⑤确定积分常数：
( 6)
B0
图(b)
(7 )
A sin kl B cos kl 0
kl n
(8)
⑥由此得：
sin kl 0
(9 )
(n 0,1,2,) (10)
Pcr
材料力学
EI
2
l
2
两端铰支细长压杆临界荷载的欧拉公式 （）
§9-3
不同杆端约束下细长压杆临的欧拉公式