1.1.1-1集合的含义与表示第一课时)

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第1章 1.1 1.1.1 第1课时集合的含义

集合1．1.1 集合的含义与表示第一课时集合的含义[新知初探]1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．2．元素与集合的关系[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a ∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．常用的数集及其记法[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)你班所有的姓氏能组成集合．( )(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．( )(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( )答案：(1)√(2)×(3)×2．下列元素与集合的关系判断正确的是( )A．0∈N B．π∈QC.2∈Q D．－1∉Z答案：A3．已知集合A中含有两个元素1，x2，且x∈A，则x的值是( )A．0 B．1C．－1 D．0或1答案：A4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．答案：2集合的基本概[例1] 考查下列每组对象，能构成一个集合的是( )①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④[解析] ①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．[答案] B1．给出下列说法：①中国的所有直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合．其中正确的有________．(填序号)解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所以④错误．答案：①③[例2] (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；② 2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[解析] (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)由题意可得：3－x 可以为1,2,3,6，且x 为自然数，因此x 的值为2,1,0.因此A 中元素有2,1,0. [答案] (1)C (2)0,1,2元素与集合的关系[活学活用]2．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ∉B ，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ∵a ∈A ，a ∉B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 3．用适当的符号填空：已知A ＝{x|x ＝3k ＋2，k ∈Z}，B ＝{x|x ＝6m －1，m ∈Z}，则有：17________A ；－5________A ；17________B.解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z. 所以17∈A.令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z.所以－5∉A.令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ，所以17∈B. 答案：∈ ∉ ∈[例3] 已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________．集合中元素的特性及应用[解析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.[答案] －1[一题多变]1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．解：因2∈A，则a＝2或a2＝2即a＝2，或a＝2，或a＝－ 2.2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得a≠0且a≠1.3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知，a＝0.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤层级一学业水平达标1．下列说法正确的是( )A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．下面几个命题中正确命题的个数是( )①集合N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )A．2 B．2或4C ．4D ．0解析：选B 若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A.故选B.5．由实数－a ，a ，|a|，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a>0，－a ，a<0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合； ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素； ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素； ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b________A ，ab________A ．(填∈或∉)．解析：∵a 是偶数，b 是奇数， ∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A. 答案：∉ ∈8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x<a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________. 解析：∵x ∈N,2<x<a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴结合数轴知a ＝6. 答案：69．设A 是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．解：∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<6，3a<6，解得a<2.又a ∈N ，∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上知：x ＝1，y ＝0.层级二应试能力达标1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等． 3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，ba ，b.若集合A 与集合B 相等，则b－a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 由题意可知a ＋b ＝0且a≠0，∴a ＝－b ， ∴ba＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2. 4．已知a ，b 是非零实数，代数式|a|a ＋|b|b ＋|ab|ab 的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：选B 当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．5．不等式x －a≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为3∉A ，所以3是不等式x －a<0的解，所以3－a<0，解得a>3. 答案：a>36．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．解析：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a＝0或a＝1.答案：0或17．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.8．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则11－a∈A.11 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A ，∴11－－1＝12∈A.∵12∈A ，∴11－12＝2∈A.∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a ，即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a≠11－a ，∴集合A 不可能是单元素集．。

高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.1集合的含义人教A版必修1

(2)已知集合 M 中含有三个元素 2，a，b，集合 N 中含有三个元素 2a,2，b2，且 M＝N，求 a，b 的值．
解 (1)因为－3∈A，所以 a－2＝－3 或 2a2＋5a＝－3，解得 a＝－1 或 a＝－32.
当 a＝－1 时，A 中三个元素分别为－3，－3,12，不符合集合中元素的互异性，舍去．
【跟踪训练 2】 (1)用符号“∈”或“∉”填空． ①0.3· ____∉____N*；②1____∈____N； ③1.5_____∉___Z；④2 2____∉____Q； ⑤2＋ 3____∈____R；⑥若 x2＋1＝0，则 x____∉____R. (2)设 x∈R，集合 A 中含有三个元素 3，x，x2－2x. ①求实数 x 应满足的条件； ②若－2∈A，求实数 x 的值．
集合，且 2∈A，则实数 m 为( )
A．2
B．3
C．0 或 3 D．0,2,3 均可
解析 ∵2∈A，∴m＝2 或 m2－3m＋2＝2，当 m＝2 时， m2－3m＋2＝0 与集合互异性矛盾．当 m2－3m＋2＝2 时，m ＝0(舍去)或 m＝3，符合题意，故 m＝3.
4．m，n∈R，由两个数mn ，1 组成的集合 P 与由两个元素 n,0 组成的集合 Q 相等，则 m＋n 的值等于____1____．
解 (1)由－3∈A 且 a2＋1≥1，可知 a－3＝－3 或 2a －1＝－3，
当 a－3＝－3 时，a＝0；当 2a－1＝－3 时，a＝－1. 经检验，0 与－1 都符合要求． ∴a＝0 或－1. (2)当 x＝0,1，－1 时，都有 x2∈B，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故 x＝－1.
或a＝14， b＝12.
解法二：∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．

高中数学必修一教案特别合适课外补习班

第一章集合与函数概念1．1.1集合的含义与表示第一课时集合的含义一、集合的概念1、元素：一般地，我们把统称为元素；通常用表示2、集合：把一些元素组成的叫做集合(简称为集)；通常用表示。

3、认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.二、元素的特性及集合相等1．集合相等：只要构成两个集合的元素是，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性：集合元素的特性：、、无序性．3、对集合中元素特性的理解(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1,2,3与3,2,1构成的集合是同一个集合．三、元素与集合的关系及常用数集的记法1．元素与集合的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作.(2)如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作.2．常用的数集及其记法3、对∈和∉的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．2．常用数集关系网实数集R ⎩⎪⎨⎪⎧有理数集Q ⎩⎪⎨⎪⎧整数集Z ⎩⎨⎧ ⎭⎪⎬⎪⎫正整数集N *{0}自然数集N 负整数集分数集无理数集题型一、集合的基本概念例1、(1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点a 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合；②由1，32，64，21-，12组成的集合有五个元素；③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．变式1、下列说法正确的是 ( ) A ．小明身高1.78 m ，则他应该是高个子的总体这一集合中的一个元素 B ．所有大于0小于10的实数可以组成一个集合，该集合有9个元素 C ．平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线 D ．任意改变一个集合中元素的顺序，所得集合仍和原来的集合相等题型二、元素与集合的关系例2、(1)设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A(2)下列所给关系正确的个数是 ( ) ①π∈R ；② 3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N * A ．1B ．2C ．3D ．4变式二：设不等式3－2x<0的解集为M ，下列正确的是( ) A ．0∈M,2∈M B ．0∉M,2∈M C ．0∈M,2∉M D ．0∉M,2∉M题型三、集合中元素的特性及应用例3、已知集合A 中含有两个元素a 和2a ，若1∈A ，求实数a 的值．变式3、设A 表示由a 2＋2a －3,2,3构成的集合，B 表示由2，|a ＋3|构成的集合，已知5∈A ，且5∉B ，求a 的值．例4、若集合A 中有三个元素，x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x ＋x 2，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________．例5、若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________．随堂即时演练1．下列说法正确的是 ( ) A ．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B ．由1,2,3和 9，1，4组成的集合不相等 C ．不超过20的非负数组成一个集合D ．方程(x －1)(x ＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素2．若以集合A 的四个元素a 、b 、c 、d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．矩形3．下列说法中①集合N 与集合N ＋是同一个集合 ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素 ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素 ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素，其中正确的有________． 4．设由2,4,6构成的集合为A ，若实数a ∈A 时，6－a ∈A ，则a ＝________.5．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，2x ，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．课后作业一、选择题1．下列判断正确的个数为( )(1)所有的等腰三角形构成一个集合． (2)倒数等于它自身的实数构成一个集合． (3)质数的全体构成一个集合．(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若a ∈R ，但a ∉Q ，则a 可以是( )A ．3.14B ．－5 C.37D.73．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集 4．下列四个说法中正确的个数是( )①集合N 中的最小数为1； ②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2； ④所有小的正数组成一个集合； ⑤π∈Q ； ⑥0∉N ； ⑦－3∈Z ； ⑧5∉R.A ．0B ．1C ．2D ．35．由实数－a ，a ，|a|，a 2所组成的集合最多含有________个元素．( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题6．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________. 7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b________A ，ab________A ．(填∈或∉)．8．若集合A 是不等式x －a>0的解集，且2∉A ，则实数a 的取值范围是________．三、解答题9．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x.(1)求实数x 应满足的条件；(2)若－2∈A ，求实数x.10．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a 1－a ∈M(a≠±1且a≠0)．若3∈M ，则在M 中还有三个元素是什么？第二课时集合的表示一、集合的表示方法1、列举法：把集合的元素出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2、使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a 1，a 2，…，a n }； (2)元素不重复，满足元素的互异性； (3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. 3、描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的及，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的．（3）描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．（4）描述法的一般形式它的一般形式为{x ∈A|p(x)}，其中的x 表示集合中的代表元素，A 指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说集合元素x 的取值范围A 需写明确，但若从上下文的关系看，x ∈A 是明确的，则x ∈A 可以省略，只写元素x. 题型一、用列举法表示集合例1若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．变式1、已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a ∈A ，有|a|∈B ，且B 中只有4个元素，求集合B.题型二、用描述法表示集合例2、(1)用符号“∈”或“∉”填空：①A ＝{x|x 2－x ＝0}，则1________A ，－1________A ； ②(1,2)________{(x ，y)|y ＝x ＋1}． (2)用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合； ③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合变式2、下列三个集合：①A ＝{x|y ＝x 2＋1}；②B ＝{y|y ＝x 2＋1}；③C ＝{(x ，y)|y ＝x 2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？题型三、集合表示的应用例3、(1)集合A ＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( )A ．{x|x ＝2n ±1，n ∈N}B ．{x|x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N}C ．{x|x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N}D ．{x|x ＝(－1)n －1(2n ＋1)，n ∈N} (2)设集合B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+∈N x Nx 26.①试判断元素1,2与集合B 的关系；②用列举法表示集合B.变式3、定义集合A ，B 的一种运算：A*B ＝{x|x ＝x 1＋x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B}，若A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，试用列举法表示出集合A*B.例4、集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，求a 的取值范围．（2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．（3）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围(4)是否存在实数a ，使A ＝{1}，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．课堂练习1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是 ( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A ．{y|y ＝2} B ．{x ＝2} C ．{2}D ．{x|x2－4x ＋4＝0}3．给出下列说法：①直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y)|xy>0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}； ③集合{(x ，y)|y ＝1－x}与{x|y ＝1－x}是相等的．其中正确的是________(填写正确说法的序号)．4．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x|x ＝t2，t ∈A}，用列举法表示集合B 为________． 5．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (6)不等式2x －1>5的解集．课后作业一、选择题1．下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是( )A ．M ＝{π}，N ＝{3.141 59}B ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}C ．M ＝{x|－1<x ≤1，x ∈N}，N ＝{1}D ．M ＝{1，3，π}，N ＝{π，1，|－3|}2．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x|＋y |y|＋z |z|＋|xyz|xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M3．集合{x ∈N *|x －3<2}的另一种表示法是( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}4．已知集合A ＝{x|x ＝2m －1，m ∈Z}，B ＝{x|x ＝2n ，n ∈Z}，且x 1、x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A5．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q ＝{(a ，b)|a ∈P ，b ∈Q ，a≠b}，则P*Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20二、填空题6．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________. 7．已知集合A ＝{x|2x ＋a>0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．8．已知－5∈{x|x 2－ax －5＝0}，则集合{x|x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________．三、解答题9．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x.10．(1)已知集合M ＝{x ∈N|61＋x ∈Z}，求M ；(2)已知集合C ＝{61＋x∈Z|x ∈N}，求C.1．1.2集合间的基本关系一、子集的概念1、定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有关系，称集合A为集合B的子集2、记法与读法：记作(或)，读作“A含于B”(或“B包含A”)3、图示：4、结论：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A C5、对子集概念的理解(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作A⃘B或B⊉A.(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、定义：如果集合A是集合B的(A⊆B)，且集合B是集合A的(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作 .2、对两集合相等的认识(1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A⊆B，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集2、记法：记作A B(或B A)3、图示：4、结论：(1)A B且B C，则A C；(2)A⊆B且A≠B，则A B5、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.四、空集1、定义：我们把的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅ A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}六、公式法求有限集合的子集个数1含n个元素的集合有2n个子集．2含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．3含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．4含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．5若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个题型一、集合间关系的判断例1(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．变式1、能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是题型二、有限集合子集的确定例2、(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．变式2、非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．变式3、已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．例4、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，（1）若A⊆B，求实数m的取值范围．（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．（3）若将“A⊆B”改为“A B”，求实数m的取值范围．例5、已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是()A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．A B⊆C D．A＝B⊆C3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.4．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数为________．5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．课后作业一、选择题1．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是( ) A．A⊆B B．A⊇B C．A B D．A B2．已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为( ) A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1 B．－1 C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5 C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M P C．M＝P D．M⃘P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．1．1.3 集合的基本运算第一课时集合的并集、交集一、并集1．并集的概念：一般地，由所有的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作(读作“A并B”)2、符号语言：A∪B＝{x| }3、图形语言：4、并集的性质(1)A∪B＝，即两个集合的并集满足交换律．(2)A∪A＝，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身．(3)A∪∅＝∅∪A＝，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．(4)A (A∪B)，B (A∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．(5)若A⊆B，则A∪B＝，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身．5、理解并集应关注三点(1)A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成．(2)“或”的数学内涵的形象图示如下：(3)若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在A∪B中仅出现一次.二、交集1．交集的概念：一般地，由属于的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作(读作“A交B”)2、符号语言：A∩B＝{x| }3、图形语言：4、交集的性质(1)A∩B＝，即两个集合的交集满足交换律．(2)A∩A＝，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身．(3)A∩∅＝∅∩A＝，即任何集合与空集的交集等于空集．(4)A∩B A，A∩B B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．(5)若A⊆B，则A∩B＝，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的公共部分是A.5、理解交集的概念应关注四点(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅.(4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.题型一、并集的运算例1(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于（) A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8} C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}变式1、若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有() A．1个B．2个C．3个D．4个题型二、交集的运算例2(1)若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B等于()A．{1,2} B．{0,1} C．{0,3} D．{3}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}变式2、已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．题型三、交集、并集的性质及应用例3、已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．例4、(1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是() A．1或2B．2或4 C．2 D．1(2)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，则a的取值范围为________．（3）设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________．随堂即时演练1．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝（)A．{0,1}B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}2．已知S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，则S∩T＝()A．空集B．{1} C．(1,1) D．{(1,1)}3．若集合A ＝{x|－1<x<5}，B ＝{x|x ≤－1，或x ≥4}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________.4．已知集合A ＝{x|x ≤1}，B ＝{x|x ≥a}，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．5．设集合A ＝{2，－1，2x －x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1,7}，且A ∩B ＝C ，求实数x ，y 的值及A ∪B.课后作业一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ∈N *}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．2个B ．3个C ．1个D ．无穷多个 2．设S ，T 是两个非空集合，且它们互不包含，那么S ∪(S ∩T )等于( )A ．S ∩TB ．SC ．∅D ．T 3．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．44．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{a ＋1,5}，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B 等于( )A ．{1,2}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{1,2,5}5．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >－2C ．a >－1D ．－1<a ≤2二、填空题6．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________.7．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．8．满足{1,3}∪A ＝{1,3,5}的所有集合A 的个数是________．三、解答题9．已知S ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，T ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋q ＋5＝0}，且S ∩T ＝{12}，求S ∪T .10．已知A ＝{x |a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1，或x >5}．若A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．第二课时补集及综合应用一、全集1、定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的，那么就称这个集合为全集．2、符号表示：全集通常记作.3、对全集概念的理解“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.二、补集1、定义：对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作——2、符号语言：3、图形语言：4、性质：(1)∁UA⊆U；(2)∁UU＝，∁U∅＝；(3)∁U(∁UA)＝；(4)A∪(∁UA)＝；A∩(∁UA)＝——5、理解补集应关注三点(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)∁U A包含三层意思：①A⊆U；②∁U A是一个集合，且∁U A⊆U；③∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合．(3)若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．题型一、补集的运算[例1](1)设全集U＝R，集合A＝{x|2<x≤5}，则∁U A＝________.(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁U A ＝________，∁U B＝________.变式1、设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9)，∁U A＝{5,7}，则a的值为________．题型二、集合的交、并、补的综合运算[例2]已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．变式2、已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)．题型三、补集的综合应用[例3]设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M ∁U P，求实数a的取值范围．变式3、已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x<－1，或x>0}，若A∩(∁R B)＝∅，求实数a的取值范围．例4、已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．例5、已知集合A＝{x|2m－1<x<3m＋2}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}，是否存在实数m，使A∩B≠∅？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．课堂练习1．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则∁U(A∪B)＝()A．{6,8}B．{5,7} C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}2．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1，或x>4}，那么集合A∩(∁UB)等于()A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3，或x≥4} C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3} 3．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________.4．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________. 5．设U＝R，已知集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁UB)；(4)B∩(∁UA)；(5)(∁UA)∩(∁UB)．课后作业一、选择题1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．∅B．{4} C．{1,5} D．{2,5}2．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．63．已知三个集合U，A，B及集合间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( ) A．{3} B．{0,1,2,4,7,8} C．{1,2} D．{1,2,3}4．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C)) B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B) D．(∁U(A∩C))∪B5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝________7．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．8．全集U＝R，A＝{x|x<－3或x≥2}，B＝{x|－1<x<5}，则集合C＝{x|－1<x<2}＝________(用A、B或其补集表示)．三、解答题9．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．10．已知全集U＝{不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁U N)＝{3,5}，(∁U M)∩N＝{7,19}，(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，求M，N.1．2.1函数的概念题型一、函数的判断例1(1)设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？①f ：把x 对应到3x ＋1； ②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x；④r ：把x 对应到x .变式1、下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 [例2] 求下列函数的定义域：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ； (2)y ＝5－x |x |－3.变式2、求下列函数的定义域：(1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1； (3)y ＝(x －1)0＋2x ＋1.例3、已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)．(1)求f (2)、g (2)的值；(2)求f [g (2)]的值；(3)求f (x )、g (x )的值域；变式3、求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)；(3)y ＝2x ＋1x －3； (4)y ＝2x －x －1.例4、下列各组函数：①f (x )＝x 2－x x ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝xx ；③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2；④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)．变式4、与函数y ＝x ＋1相等的函数是 ( ) A ．y ＝x 2－1x －1B ．y ＝t ＋1C ．y ＝x 2＋2x ＋1D ．y ＝(x ＋1)2课堂练习1．下列说法错误的是 ( ) A ．函数值域中的每一个值都有定义域中的一个值与它对应 B ．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集 C ．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了 D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 2．下列函数中，f (x )与g (x )相等的是 ( )A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2C ．f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4x －2 D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 23．用区间表示下列数集： (1){x|x ≥1}＝________； (2){x|2<x ≤4}＝________； (3){x|x>－1且x ≠2}＝________.4．函数y ＝1x －2的定义域是A ，函数y ＝2x ＋6 的值域是B ，则A ∩B ＝________(用区间表示)．5．若f (x )＝1－x1＋x (x ≠－1)，求f (0)，f (1)，f (1－a )(a ≠2)，f [f (2)]．课后作业一、选择题1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( )A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y 2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( )A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x ＋1x －1B ．f (x )＝(2x －5)2，g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1D ．f (x )＝x 4x与g (t )＝(t t)23．若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )A ．y ＝xB ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋15．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则()⎪⎭⎫⎝⎛212f f ＝( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35二、填空题6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 7．设f (x )＝11－x，则f [f (x )]＝________.8．若函数f (x )＝3x －1mx 2＋x ＋3的定义域为R ，则m 的取值范围为________．三、解答题9．试求下列函数的定义域与值域：(1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝(x －1)2＋1；(3)f (x )＝5x ＋4x －1； (4)f (x )＝x －x ＋1.10．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f (12)，f (3)＋f (13)的值；(2)求证：f (x )＋f (1x )是定值； (3)求f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋…＋f (2 012)＋f (12 012)的值．1．2.2函数的表示法第一课时函数的表示法题型一、函数的表示方法例1、(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )(2)已知函数f (x )按下表给出，满足f [f (x )]>f (3)的x 的值为________.x 1 2 3 f (x )231变式1、汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是题型二、函数图象的作法及应用[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)； (3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．变式二、作出下列函数图象：(1)y ＝1－x (x ∈Z 且|x |≤2)； (2)y ＝2x 2－4x －3(0≤x <3)．例3、(1)已知函数f (x )是一次函数，若f [f (x )]＝4x ＋8，求f (x )的解析式． (2)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．例4、已知f (x )＝2x 2＋1，求f (x ＋1)的解析式．例5、求下列函数的解析式：①已知f (1＋x x )＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x )； ②已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．课堂练习1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图中的s t 函数图象与故事情节相吻合的是( )2.函数y ＝f (x )的图象如图，则f (x )的定义域是 ( ) A ．R B ．(－∞，1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(－1,0)3．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB ，其中点O 、A 、B 的坐标分别为(0,0)、(1,2)、(3,1)，则f[f(3)]的值等于________．4．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________. 5．(1)已知函数f(x)＝2x ，求f(x －1)；(2)已知函数f(x －1)＝2x ，求f(x)．课后作业一、选择题1．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋72．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．函数y ＝f (x )(f (x )≠0)的图象与x ＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．0或1D ．1或24．已知x ≠0，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1xB ．f (x )＝x 2＋2C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝21⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x5．已知函数f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (12)＝( )A ．p ＋qB ．2p ＋qC ．p ＋2qD ．p 2＋q 二、填空题6．已知函数f (x )＝x －mx，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________． 7．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R)，则f (2)＝______.8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________(kg)．三、解答题9.如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．10．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为：y ＝ax ＋bx.且当x ＝2时，y ＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件．(1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．第二课时分段函数与映射题型一、分段函数求值问题[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1， x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-25f f 的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．变式1、已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(n ＝1)，2，(n ＝2)，f (n －2)＋f (n －1)，(n ∈N *，n ≥3).求：f (3)，f (4)，f [f (4)]的值．题型二、分段函数的图象及应用[例2] (1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________．(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．①用分段函数的形式表示该函数；②画出该函数的图象；③写出该函数的值域．变式2、已知函数y ＝f (x )的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．题型三、映射的概念[例3] 判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的映射： (1)A ＝N *，B ＝N *，对应关系f ：x →|x －3|；(2)A ＝{平面内的圆}，B ＝{平面内的矩形}，对应关系f ：作圆的内接矩形； (3)A ＝{高一(1)班的男生}，B ＝R ，对应关系f ：每个男生对应自己的身高； (4)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤6}，对应关系f ：x →y ＝12x .变式3、已知A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →x2x ＋1.(1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？例4、(12分)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为22cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．变式4、某汽车以52 km /h 的速度从A 地行驶到260 km 远处的B 地，在B 地停留1.5 h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行驶的路程s 表示为时间t 的函数．。

1.1.1--集合的含义与表示

4.{x︱x2-1=0} 设集合A={1，x2+5x},集合 A={1，6},且A=B,求实数x的值解： ∵ A=B ∴ x2+5x= 6 解得 x= 1或 x= -6 经检验当x= 1或 x= -6时， A=B ={1，6}
2 A -2 A 7

3 ∈ A， -1
∈
A
5， A
-5， A
典型例题例1 已知x2∈{1，0，X},求实数x的值
B {11,12,13,14,15,16,17,18,19}
5.Venn图：（读作：韦恩图）
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。
注：1.适用范围：元素个数较少的集合.
2.使用方法：把元素写在封闭曲线的内部. 3.常把封闭曲线画成椭圆或矩形等图形. 练习：如图的Venn图表示的集合为（Ａ）
练习：
读作：a不属于集合A
设M是所有偶数组成的集合M，则有（ C ）
A.3 M
B.1 M C.2 M
D.2 M
6.数学中常用的数集的符号：
二、集合的表示方法：
1.自然语言表示法：
用文字语言形式来表示集合的方法.
例如：小于3的实数组成的集合。
2.字母表示法：
用大写字母A,B,C,…表示集合的方法.
例题1：下列能构成集合的是（
B）
A、中央电视台著名节目主持人 B、2010年广州亚运会中的志愿者
C、2010年上海世博园中所有漂亮的展馆
D、世界上的高楼
下列对象能构成集合吗?
1、著名的科学家； 2、1,2,2,3这四个数字； 3、我们班上的高个子男生.
Hale Waihona Puke 【互异性】对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。即同一元素在集合中不能重复出现.

1.1.1集合的含义和表示第一课时

1.1.1集合的含义与表示(第一课时)教学目标1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性．2.体会元素与集合间的“从属关系”．3.记住常用数集的表示符号并会应用．4.会判断集合是有限集还是无限集．重点难点重点：集合中元素的三个特性；元素与集合间的“从属关系”；常用数集的表示符号难点:运用集合元素的三个特性以及元素与集合的从属关系求集合中字母的取值教学过程思考：军训的时候，我们说的某一个连，指的是某一个同学吗？是某一个教官吗？引出元素和集合的概念及其从属关系 1.集合的概念在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素。

我们约定，同一集合中的元素是互不相同的（互异性）3.常用数集及符号表示4.集合的分类集合⎩⎪⎨⎪⎧：元素个数有限的集合：元素无限多的集合空集：没有元素的集合，记做∅ 要点一集合的基本概念例1 下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)3的近似值的全体．跟踪演练1 下列所给的对象能构成集合的是________．(1)所有正三角形； (2)第一册课本上的所有难题； (3)比较接近1的正整数全体； (4)某校高一年级的16岁以下的学生．要点二元素与集合的关系例2 所给下列关系正确的个数是( )①－12∈R ；②2∉Q ；③0∈N ＋；④|－3|∉N ＋. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4跟踪演练2 设不等式3－2x ＜0的解集为M ，下列关系中正确的是( )A ．0∈M,2∈MB ．0∉M,2∈MC ．0∈M,2∉MD ．0∉M,2∉M 要点三集合中元素的特性及应用例3 已知集合B 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈B ，试求实数a 的值．解 ∵－3∈B ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合B 含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合B 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.跟踪演练3 已知集合A ＝{a ＋1，a2－1}，若0∈A ，则实数a 的值为______．解析 ∵0∈A ，∴0＝a ＋1或0＝a 2－1.当0＝a ＋1时，a ＝－1，此时a 2－1＝0，A 中元素重复，不符合题意．当a 2－1＝0时，a ＝±1.a ＝－1(舍)，∴a ＝1. 此时，A ＝{2,0}，符合题意.课堂检测1．下列能构成集合的是( )A 中央电视台著名节目主持人B 我市跑得快的汽车C 上海市所有的中学生D 香港的高楼 2．集合A 中只含有元素a ，则下列各式一定正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A3．设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则贵港________A ；南宁______A(填∈或∉) 4．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0∈N ；④π∈Q ；⑤－3∉Z .正确的个数为________5．已知1∈{a2，a}，则a ＝________.课堂小结1．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定．若研究对象不确定，则不能构成集合．2．集合中的元素是确定的，某一元素a 要么满足a ∈A ，要么满足a ∉A ，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性. 布置作业教学反思。

1.1.1集合的概念及其表示(一)

用列举法表示下列集合：例１用列举法表示下列集合： (1) 小于的所有自然数组成的集合；小于10的所有自然数组成的集合的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x 2 = x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合．以内的所有质数组成的集合．～以内的所有质数组成的集合
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为Ｎ全体非负整数组成的集合称为自然数集， • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N *或N + 所有正整数组成的集合称为正整数集， • 全体整数组成的集合称为整数集，记为Ｚ全体整数组成的集合称为整数集， • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为Ｑ全体有理数组成的集合称为有理数集， • 全体实数组成的集合称为实数集，记为Ｒ全体实数组成的集合称为实数集，
一般形式：一般形式：{ x ∈ A x满足的条件}
说明： 1、不能出现未被说明的字母；说明：、不能出现未被说明的字母； 2、多层描述时，准确使用“且”、“或”；、多层描述时，准确使用“ 3、描述语言力求简明、准确；、描述语言力求简明、准确； 4、多用于元素无限多个时。、多用于元素无限多个时。
的所有自然数组成的集合为Ａ，解：⑴设小于10的所有自然数组成的集合为Ａ，那么设小于的所有自然数组成的集合为Ａ，那么Ａ＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝. ｝Ａ＝｛
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合Ａ可以有不同的列举方法．集合Ａ可以有不同的列举方法．例如Ａ＝｛９Ａ＝｛９,8,7,6,5,4,3,2,1,0｝. ｝
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值(或变化范围,再画一条竖线或变化)范围再画一条竖线,在竖线后写出这个号及以取值或变化范围再画一条竖线在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 集合中元素所具有的共同特征

高中数学第一章 1.1.1 第一课时集合的含义优秀课件

3．若所有形如 3a＋ 2b(a∈Z ，b∈Z )的数组成集合 A，判断 6＋2 2是不是集合 A 中的元素．解：是，∵6＋2 2＝3×2＋2× 2， ∴令 a＝2，b＝2，则 6＋2 2＝3a＋ 2b. 又∵2∈Z ，∴6＋2 2∈A.
探究点三集合中元素特性的简单应用 [典例精析] 已知集合 A 含有两个元素 a－3 和 2a－1，若－3∈A，试求实数 a 的值． [思路点拨] 由于集合 A 中含有两个元素，因此－3＝a－3 和－3＝2a－1 都有可能，需分类讨论．
1.1 集合
1．1.1 集合的含义与表示
第一课时集合的含义
一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材 P1～P3，回答下列问题．教材开始的(1)～(8)例子中，各组的对象分别是什么？这 8 个例子中能构成集合的有哪些？
提示：素数，人造卫星，汽车，国家，正方形，点，实数根，高一学生． (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)．
(1)所有的正三角形；
(2)高一数学必修 1 课本上的所有难题；
(3)比较接近 1 的正数全体；
(4)某校高一年级的 16 岁以下的学生；
(5)平面直角坐标系内到原点距离等于 1 的点的集合；
(6)a，b，a，c.
[解] (1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等． (2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合． (3)不能构成集合．因“比较接近 1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合． (4)能构成集合．其中的元素是“16 岁以下的学生”． (5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于 1 的点”． (6)不能构成集合．因为有两个 a 是重复的，不符合元素的互异性．

1-1.1.1 集合的含义与表示(第一课时)

§1．1集合1.1.1集合的含义与表示（第一课时）教学目标：1.理解集合的含义。

2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。

3.熟记有关数集的专用符号。

4.培养学生认识事物的能力。

教学重点：集合含义教学难点：集合含义的理解教学方法：尝试指导法教学过程：引入问题（I）提出问题问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？讨论问题：按小组讨论。

归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。

复习问题问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有x-<的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一理数的集合，不等式73条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。

（II）讲授新课（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。

说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。

（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：（1）确定性：设A是一个给定的集合，a是某一具体的对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

第一章1.1-1.1.1第1课时集合的含义

1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义A级基础巩固一、选择题1．已知集合A中的元素x满足－5≤x≤5，且x∈N*，则必有()A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．1∈A2．下列各对象可以组成集合的是()A．中国著名的科学家B．2017感动中国十大人物C．高速公路上接近限速速度行驶的车辆D．中国最美的乡村3．由x2，2|x|组成一个集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是() A．0 B．－2 C．8 D．24．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是()A．1 B．0 C．－2 D．25．由a2，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A．1 B．－2 C．6 D．2二、填空题6．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过10的所有正整数；②高一(6)班中成绩优秀的同学；③中央一套播出的好看的电视剧；④平方后不等于自身的数．7. 以方程x2－2x－3＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．8．已知集合M含有两个元素a－3和2a＋1，若－2∈M，则实数a的值是____________．三、解答题9．若集合A是由元素－1，3组成的集合，集合B是由方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且A＝B，求实数a，b.10．已知集合A中含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值．B级能力提升1．集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为() A．2 B．2或4 C．4 D．02．设x，y，z是非零实数，若a＝x|x|＋y|y|＋z|z|＋xyz|xyz|，则以a的值为元素的集合中元素的个数是______．3．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．。

1.1.1集合的含义与表示

解 : (1)设方程x 2 − 2 = 0的实数根为x, 并且满足条件x 2 − 2 = 0, 因此, 用描述法表示为 A = {x ∈ R | x 2 − 2 = 0}. 方程 x − 2 = 0有两个实数根 2 ,− 2 , 因此,
2
用列举法表示为A = { 2 ,− 2}.
(2)设大于小于20的整数为 , 它满足条件 ∈ Z 10 x x 且10 < x < 20,因此, 用描述法表示为 B = {x ∈ Z | 10 < x < 20}. 大于小于20的整数有 ,12,13,14,15,16,17,18, 10 11 19,因此, 用列举法表示为 B = {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
我们以前已经接触过的集合: 我们以前已经接触过的集合
自然数集合，正分数集合，有理数集合；自然数集合，正分数集合，有理数集合；到角的两边的距离相等的所有点的集合；到角的两边的距离相等的所有点的集合；
是角平分线
到线段的两个端点距离相等的所有点的集合；到线段的两个端点距离相等的所有点的集合；
是线段垂直平分线
1.1.1 集合的含义与表示
1、集合的含义：、集合的含义：
把研究对象统称为元素，把研究对象统称为元素，把一些元素元素组成的总体叫做集合简称集）。集合（元素组成的总体叫做集合（简称集）。用大写字母A，，表示集合，用大写字母，B，C…表示集合，用表示集合小写字母a,b，小写字母，c …表示集合中的元素表示集合中的元素
2、若方程x2－5x+6=0和方程若方程x 5x+6=0和方程 x2－x－2=0的解为元素的集合则 2=0的解为元素的集合M,则的解为元素的集合 M中元素的个数为（ C）中元素的个数为 A．1 ． B．2 ． 3、已知集合、 C．3 ． D．4 ．

人教版数学必修一第一章 1.1.1 集合的含义与表示

问题
如果用A表示高一（）班学生组成的集合，表示高如果用表示高一（3）班学生组成的集合，a表示高表示高一一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同）班的一位同学，表示高一（）表示高一那么a、与集合分别有什么关系？与集合A分别有什么关系学,那么、b与集合分别有什么关系？由此看出元那么素与集合之间有什么关系？素与集合之间有什么关系？
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数的值. 求实数a的值求实数的值
回顾交流
今天我们学习了哪些内容？今天我们学习了哪些内容？
集合的含义集合元素的性质：确定性，互异性，无序性元素与集合的关系：，常用数集及其表示集合的表示法：列举法、描述法
第12页页习题1.1 A组第1、2、3、4题习题组、、、题
2．选择题． ⑴ 以下说法正确的( C )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数} (B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合 (C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定
0, a, a 2 3a + 2 }中的元素， ⑵ 已知2是集合M={ 则实数 a 为( c )
判断0与N,N*,Z的关系? 课堂练习P5 第1题解析:判断一个元素是否在某个集合中关键在于解析判断一个元素是否在某个集合中,关键在于判断一个元素是否在某个集合中弄清这个集合由哪些元素组成的. 弄清这个集合由哪些元素组成的
集合的表示方法如何表示“地球上的四大洋”组成的集合? 问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合 (2) 如何表示“方程如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集的所有实数根” 的所有实数根合? ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝｛1,-2｝太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝｝把集合中的元素一一列举出来,并用花括号并用花括号｛把集合中的元素一一列举出来并用花括号｛｝括起来表示注意：元素与元素之间用逗号隔开）（注意：元素与元素之间用逗号隔开）叫做列举法集合的方法叫做列举法. 集合的方法叫做列举法用列举法表示下列集合：例1 用列举法表示下列集合：一个集合中的元素 (1)小于的所有自然数组成的集合；小于10的所有自然数组成的集合小于的所有自然数组成的集合；的书写一般不考虑 2 (2)方程 x = x 的所有实数根组成的集合；顺序 ( 集合中元素的所有实数根组成的集合；方程的无序性). 的无序性 (3)由1~20以内的所有素数组成的集合以内的所有素数组成的集合. 由以内的所有素数组成的集合解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ，，，，，，，，， (2)B={0，1}. ， (3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}. ，，，，，，， 1.确定性确定性 2.互异性互异性 3.无序性无序性

1.1.1 集合的含义与表示(第1课时)集合的含义(课件)

人教A版必修一
第一章集合与函数概念
1.1.1 集合的含义与表示
第一课时集合的含义
学习目标： 1、通过实例了解集合的含义．(难点) 2.掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)
[自主预习·探新知]
1．元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母 aa，，bb，，cc……表示． (2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母 A，B，C…表示． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． (4)集合中元素的特性：确定性、互异性性和无序性．
元素与集合的关系
例 2 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② 2 Q；③0∈N*；④|－5| N*.
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知集合 A 含有三个元素 2,4,6，且当 a∈A，有 6－a∈A，那么 a 为( )
A．2
B．2 或 4
C．4
D．0
(1)B (2)B [(1)①π 是实数，所以 π∈R 正确； ② 2是无理数，所以 2 Q 正确；③0 不是正整数，所以 0∈N*错误；④|－5| ＝5 为正整数，所以|－5| N*错误．故选 B. (2)集合 A 含有三个元素 2,4,6，且当 a∈A，有 6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以 a＝2，或者 a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以 a＝4，综上所述，a＝2 或 4.故选 B.]
(2)不属于：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 aa不不属属于于集集合 A，记作__a__A__.
3．常见的数集及表示符号

人教版高中数学必修一1.1.1_集合的含义与表示ppt课件

a∉A.
A，记作属于 . A，记不作属于
高一(1)班的学生组成集合A，a是高一(1)班的学生，b不是高一(1)班的学生 a与A，b与A之间有何关系？提示：a∈A b∉A
Hale Waihona Puke 3．几种常用的数集及记法N
N*或N＋
Z
Q
用“∈”或“∉”填空． 2________N； 2________Q；12________R；－3________Z；0________N*；5________Z. 提示：∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈
[解] ∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1. ①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1与集合中元素的互异性矛盾故舍去； ②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意，当a＝－2时，A中的元素为0,1,1与集合中元素的互异性矛盾，舍去， ③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不合题意，舍去．综上所述，a＝0.
的、确定的．互不相同
(1)“高一(2)班1.78米以上的同学”、“16岁的少年”、 “大于1的数”能构成一个集合吗？提示：能构成集合．
(2)“高一(2)班的高个子同学”、“年轻人”、“帅哥”、 “接近0的数”能构成集合吗？提示：不能构成集合．
2．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A中的元素，就说a (2)如果a不是集合A中的元素，就说a
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一

高中数学1.1.1-1集合的含义与表示优秀课件

集合中的元素是没有顺序的，集合的这种性质称为集合的无序性。
3、集合中元素的性质:
⑴确定性：集合中的元素必须是确定的，如: x∈A与xA
必居其一。
⑵互异性：集合的元素必须是互异不相同的，如：方程
x2－x＋＝0的解集为{1}，而非{1，1}。
⑶无序性：集合中的元素是无先后顺序的。如：{1，2}， {2，1}为同一集合。那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?
例题分析:
例2、假设x∈R，那么数集{1，x，x2}中元素x应满足什么
条件。
解： ∵x≠1且x2≠1且x2≠x， ∴ x≠1且x≠－1且x≠0.
例3、设x∈R，y∈R，观察下面四个集合，它们表示含义
相同吗?
A＝{ y＝x2－1 }
B＝{ x | y＝x2－1 }
C＝{ y | y＝x2－1 } D＝{ (x, y) | y＝x2－1 }
3.文氏图法(Venn图)
我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合．
例如，图1-1表示任意一个集合A；图1-2表示集合{1，2，3，4，5} ．
A
1,2,3, 5, 4.
思考2：集合{1，2}与集合{〔1，2〕}相同吗？
例题分析:
请用描述法表示以下集合：
（1）方程x2 2 0的解集（2）不等式2x 3 0的解集（3）大于7且小于12的自然数（4）正偶数（5）负奇数（6）所有被3除余数为2的整数
例题分析:
例1、已知集合S满足：1 S，且当
a S时
1 S,
1 a
若2
S，试判断
1 2
是否属于S，说明你的理由。
６、集合的表示方法：
1.列举法：把集合的元素一一列出来写在大括号的方法。元素之间用“，〞隔开 2.描述法：用集合所含元素的共同特征〔或者说元素的公共属性〕表示集合的方法。