6.2正切函数的图像与性质
6.2正切函数的图像与性质(2)教案
6.2正切函数的图像与性质(2)(教案)教学目的:1、熟练掌握正切函数的图像和性质2、掌握正切函数的图像与性质的简单应用教学重点:正切函数的图像和性质的应用教学过程:(一)、引入一、双基回顾:1、正切函数的图像与性质:2、余切函数的图像与性质:(二)、新课 一、典型例题 例1、求函数xy tan 11+=的定义域解:由⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠-≠)(21tan Z k k x x ππ 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≠-≠)(24Z k k x k x ππππ 所以定义域为},2,4|{Z k k x k x x ∈+≠-≠ππππ例2、求下列函数的最小正周期(1)2tan 12tan22x x y +=;(2)2tan 12tan22xxy -= 解:(1)x y sin =,定义域},2|{Z k k x x ∈+≠ππ,所以周期π2 (2)x y tan =,定义域},2,2|{Z k k x k x x ∈+≠+≠ππππ,所以周期π2例3、已知函数)3tan(2)(π-=nx x f 的最小正周期T 满足231<<T ,其中*∈N n , (1) 求n 的值;(2)判断函数的奇偶性并说明理由;(3)求函数的单调区间 解: (1)3=n ,)33tan(2)(π-=x x f(2)定义域},1853|{Z k k x x ∈+≠ππ不关于原点对称,为非奇非偶函数 (3)函数在Z k k k ∈+-)1853,183(ππππ上单调递增 例4、设足球场宽65米,球门宽7米,当足球运动员沿边路带球突破,距底线多远处射球门,对球门所张的角最大?(保留两位小数)解:如图6-12,AB=7米,由球场宽65米,可知AC =29米,BC =36米。
设足球运动员在边线上的点M 处射球门,βα=∠=∠AMC AMB ,,显然α越大,越有利于射门。
设点M 与底线AC 的距离为x 米,则xx 36)tan(,29tan =+=βαβ。
6.2 正切函数的图像与性质
6.2 正切函数的图像与性质正切函数图像(余切函数的图像)例1.求函数tan(2)3y x π=-的定义域、周期和单调区间。
例2.不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:(1)与;(2) 与.例3. 求函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的定义域.例4 不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:(1)167tan 与173tan ; (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-π411tan 与⎪⎭⎫⎝⎛-π513tan .例5.若tan α=32,借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。
例6.化简:()()()()()πααπαπαπαπ---+-+-tan 3tan tan 3tan 2tan【当堂训练】 一、选择题1、下列不等式中,正确的是( )A . tan74π>tan 73πB . tan(-413π)>tan(-512π)C . tan 4<tan3D . tan281°>tan665°2、下列命题中正确的是( ) A . x y tan =在第一象限单调递增. B . 在x y tan =中,x 越大,y 也越大 C . 当x >0时,x tan >0. D . x y tan =的图象关于原点对称3、若βαππβα22tan tan ),23,(,>∈且,则 ( ) A .α<β B .α>β C .α+β>3π D .α+β<2π4、直线y = a (a 为常数)与y = tan ωx (ω>0)的相邻两支的交点距离为 ( )A .πB .ωπ C .ωπ2 D .与a 有关的值5、在下列函数中,同时满足的是( )①在(0,2π)上递增 ②以2π为周期 ③是奇函数 A .y =tan x B .y =cos x C .y =tan 21x D .y =-tan x6、在区间(-π23,π23)内,函数x y tan =与函数x y sin =图象交点的个数为( )A .1B .2C .3D .5二、填空题1、使函数y=tanx 和y=sinx 同时为单调递增函数的区间是 .2、函数y=3tan(21x 4π-)的定义域是 ,值域是 .3、函数y=3tan(2x +3π)的对称中心的坐标是 .4、函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42t an πx y 的图象被平行直线 隔开,图象与x 轴交点的横坐标是 ,与y 轴交点的纵坐标是 ,函数的周期是 ,定义域是 ,值域是 ,它的奇偶性是 .5、比较大小:(1)︒222tan ︒223tan ; (2)31)44(tan ︒ 21)44(tan ︒。
6.2 正切函数的图像与性质(含答案)
【课堂例题】根据研究正弦函数、余弦函数的图像与性质的经验,结合正切线和诱导公式,依次写出正切函数的定义域、周期、奇偶性、单调区间和值域; 并利用正切线画出正切函数的大致图像:例1.求函数tan(2)4y x π=-的定义域.例2.求函数tan(2)3y x π=+的周期和单调区间.课堂练习1.观察正切曲线,写出满足tan 0x >的x 的取值范围.2.求函数()tan()23f x x ππ=+的定义域、周期和单调区间.【知识再现】1.正切函数y = ,是一个以 为定义域, 为最小正周期,在每一个 内单调 且值域为 的 函数.2.正切曲线的大致如图所示:(画三个周期)【基础训练】1.写出下列函数的周期: (1)tan2xy =, ;(2)tan y x π=, ; (3)tan(2)4y x π=-, .2.观察正切曲线,写出满足tan 0≤的x 值的范围 .3.不求值,根据正切函数的单调性比大小:2tan()3π 3tan()4π;tan()3k ππ- tan()3k ππ+. 4.已知[0,2]x π∈,求适合下列条件的角x 的区间:(1)角x 的正弦函数、正切函数都是增函数 ;(2)角x 的余弦函数是减函数,正切函数是增函数, .注:多个单调区间之间请勿用“ ”符号联结.5.判断下列函数的奇偶性,并说明理由.(1)()2tan3f x x =-; (2)()tan f x x x =.6.求函数()4tan()25x g x π=-的定义域和单调区间.O xy7.已知tan |tan |(),,22x x f x x k k Z ππ+=≠+∈,(1)画出该函数的大致图像;(2)指出它的周期,单调区间和值域.【巩固提高】8.求函数22tan2()1tan 2xf x =-的最小正周期.提示:注意定义域9.在一幢高29米的大楼AC 顶端,树立着一块高7米的广告牌, 求在距离楼水平距离多少远处观看广告牌的视角((精确到0.01)提示:参考上教版教材高一第二学期P94/例2.(选做)10.以下3题任选1题回答:(1)利用正切值与余切值的关系,或者利用余切线,完成下列问题: 正余函数cot y x =是一个以 为定义域, 为最小正周期, 在每一个 内单调递 ,且值域为 的 函数. 利用cot tan()2x x π=-+,可知余切函数的图像可以经过正切函数的图像得到,具体方法是把正切曲线 ,画出余切函数在三个周期内的图像.(2)在同一个坐标系中画出tan ,,sin y x y x y x ===这三个函数在区间(0,)2π上的图像,并分析图像的位置关系及公共点的坐标. (3)证明:正切函数tan y x =在区间(0,)2π上的图像是“下凸”的,即对于任意1212,(0,),2x x x x π∈≠,都有1212tan tan tan()22x x x x++>【温故知新】 11.求证:1cos 4cos 2tan sin 41cos 2ααααα-⋅=+O x y【课堂例题答案】 探究:正切函数tan ,,2y x x k k Z ππ=≠+∈ 定义域是{|,,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈,周期为π,奇函数, 在每一个区间(,),22k k k Z ππππ-+∈上 为增函数,值域为R . 例1.3{|,,}28k x x R x k Z ππ∈≠+∈ 例2.2T π=,单增区间为5(,),212212k k kππππ-+【课堂练习答案】 1.(,),2x k k k Z πππ∈+∈2.定义域为1{|,2,}3x x R x k k Z ∈≠+∈,周期2T =, 单调增区间为51(2,2),33k k k Z -+∈ 【知识再现答案】 1.tan ,{|,,},2x x x R x k k Z πππ∈≠+∈,(,),22k k k Z ππππ-+∈,递增,R ,奇.【习题答案】 1.(1)2π;(2)1;(3)2π 2.(,],2k k k Z πππ-∈3.,<<4.(1)3[0,),(,2]22πππ;(2)[0,),(,]22πππ5.(1)奇函数,()2tan[3()]2tan3()f x x x f x -=--==-;ππππ5π(2)偶函数,()()tan()tan ()f x x x x x f x -=--== 6.定义域7{|,2,}5x x R x k k Z ππ∈≠+∈,单增区间为每一个37(2,2),55k k k Z ππππ-+∈ 7.(1)如图:提示:tan ,tan 0()0,tan 0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩(2)T π=,单增区间[,),2k k kπππ+∈值域为[0,)+∞.8.2T π=提示:()tan f x x =,因为tan ,tan2xx 都要有意义, 因此定义域为{|,,2,}2D x x R x k x k k Z ππππ=∈≠+≠+∈,此定义域下0,D D π∈∉所以最小正周期为2π. 9.max () 6.18AMB ∠≈提示:设,,AMC BMC MC x αβ∠=∠==7tan tan()1044AMB x xβα∠=-=≤+, 当且仅当x =max (tan )AMB ∠=max () 6.18AMB ∠≈ .10.(1){|,,},x x R x k k Z ππ∈≠∈,(,k k Z π,减,R ,奇.向左平移2π个单位,再关于x 轴对称.xyO 11-2ππ32ππ-2π-2π12(,0)(0,)22x x -∈-,因此121cos()0x x -->,故①0> 即1212tan tan tan()22x x x x++> 证毕 11.证:左边=cos 2sin 2tan 2tan 1cos 21cos 2αααααα⋅==++=右边 证毕。
6.2正切函数的图像与性质(1)教案
6.2正切函数的图像与性质(1)(教案)教学目的:1、建立正切函数的概念2、掌握正切函数的图像特征3、掌握正切函数x y tan =的奇偶性、周期性、单调性和值域教学重点:正切函数的图像和性质 教学过程: (一)、引入 一、双基回顾:1、三角函数线:正切线αtan ==xyAT ,AT 是α的 正切线。
2、αtan 有意义,α应满足的条件为Z k k ∈+≠,2ππα(二)、新课一、定义 对于任意一个实数x (Z k k x ∈+≠,2ππ)都有唯一确定的值x tan 与它对应,按照这个对应法则建立的函数,表示为x y tan =,叫做正切函数二、正切函数的性质1、正切函数的定义域为 },2|{Z k k x x ∈+≠ππ, 用区间表示为 Z k k k ∈+-)2,2(ππππ2、正切函数的值域为 R3、由=-)tan(x x tan -可知,正切函数是奇函数 4、由=+)tan(x πx tan 可知,正切函数是周期 函数,最小正周期为 πx y 21t a n =的最小正周期是π2 ; )43tan(π+=x y 的最小正周期是3π一般地,)tan(ϕω+=x y ()0(≠ω的最小正周期为 ||ωπ5、观察上图中的正切线,当角x 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π内递增时,y tan =递增,由正切函数奇偶性可知x y tan =在区间)2,2(ππ-上单调递增,又由正切函数是以π为周期的周期函数,所以正切函数x y t a n =在 Z k k k ∈+-)2,2(ππππ 内都是增函数证明:在)2,0[π内任取21x x 、,其中21x x <,有112212cos sin cos sin tan tan x x x x x x -=- 2112211212cos cos )sin(cos cos sin cos cos sin x x x x x x x x x x -=-=,因为2021π<<<x x ,所以2012π<-<x x ,于是0)s i n (,0c o s ,0c o s 1221>->>x x x x ,从而正切函数x y tan =在区间)2,0[π内是增函数。
高一数学讲义 第六章 三角函数
高一数学讲义 第六章 三角函数6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像每一个实数x 都有唯一确定的角与之对应,而这个角又可以与它的三角比sin x (或cos x )对应,即每个实数x 都可以与唯一确定的值sin x (或cos x )对应.按这样的对应法则建立起来的函数,表示为sin y x =(或cos y x =),叫做自变量为x 的正弦函数(或余弦函数).sin y x =和cos y x =的定义域都是R ,值域都是[]11-,. ()()sin cos y x x y x x =∈=∈R R ,的性质:1.奇偶性根据诱导公式,对x ∀∈R ,有()sin sin x x -=-,()cos cos x x -=, ()sin y x x ∴=∈R 是奇函数,()cos y x x =∈R 是偶函数.2.周期性对于()()sin 2πsin k x x k +=∈Z ,当0k ≠时,2πk 是()sin f x x =的周期,2π是不是()sin f x x =的最小正周期呢?假设存在T ,满足02πT <<,且是函数()sin f x x =的周期,即()()f x T f x +=,令π2x =,得ππ1sinsin cos 22T T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,与02πT <<时,cos 1T <矛盾. 3.函数图像 若把角x 的顶点置于坐标系uOv 的原点,角x 的始边与Ou 轴重合,终边与单位圆的交点为()P u v ,则sin cos x v x u ==,.当x 在区间[)02π,上连续变化的时候,都有单位圆上点()P u v ,与之对应.相应地在坐标系xOy 中,描绘出点()Q x v ,和点()R x u ,.点Q 便勾画出正弦函数sin y x =一个周期的图像(见图6-1),点R便勾画出余弦函数cos y x =一个周期的图像(见图6-2).然后再利用函数的周期性将图像向左右延伸,便得到正弦函数和余弦函数的图像(见图6-3).图6-34.单调性当ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,时,角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递增,∴函数sin y x =在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上单调增.当π3π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,时,角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递减,∴函数sin y x =在π3π22⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调减.同理可得,函数cos y x =在[]0π,上单调减,在[]π2π,上单调增.拓展:函数sin y x =在ππ2ππ2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,上单调增,在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,上单调减,其中k ∈Z . 函数cos y x =在[]2π2ππk k +,上单调减,在[]2ππ2π2πk k ++,上单调增,其中k ∈Z . 说明:若()y f x =是定义在实数集R 上的周期函数,最小正周期是T ,[]a b ,是()y f x =的单调区间,则对任意整数k ,[]kT a kT b ++,均是()y f x =的单调区间. 5.最值回顾:函数sin y x =在ππ2π2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,上单调增,在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,上单调减,其中k ∈Z . 函数cos y x =在[]2π2ππk k +,上单调减,在[]2ππ2π2πk k ++,上单调增,其中k ∈Z . 结论:当()π2π2x k k =+∈Z 时,函数sin y x =取最大值1; 当()π2π2x k k =-∈Z 时,函数sin y x =取最小值1-; 当()2πx k k =∈Z 时,函数cos y x =取最大值1; 当()2ππx k k =+∈Z 时,函数cos y x =取最小值1-.例1.求证:()sin f x x =是偶函数.证明:对x ∀∈R ,有()()()sin sin f x x x f x -=-==, ()sin f x x ∴=是偶函数.例2.研究函数()sin cos f x x x =+的奇偶性. 解:πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, πππsin cos 444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数,也不是偶函数.另解:若()()f x f x -=,即()()sin cos sin cos x x x x -+-=+, 则sin 0x =,即πx k =,k ∈Z .若()()f x f x -=-,即()()sin cos sin cos x x x x -+-=--, 则cos 0x =,即ππ2x k =+,k ∈Z . ()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数,也不是偶函数.说明:对于()sin cos f x x x =+,虽然有无数多个实数x ,满足()()f x f x -=,但是()f x 并不是偶函数.同理()f x 也不是奇函数.函数的奇偶性是函数的整体性质.若()f x 是奇函数,则()()f x f x -=-对于定义域内的每一个x 恒成立; 若()f x 是偶函数,则()()f x f x -=对于定义域内的每一个x 恒成立.例3.已知A ωϕ、、都是常数,且0A >,ω>0,求证:函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期是2πω.解:对于任何实数x ,()2π2πsin sin 2πf x A x A x ωϕωϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()sin A x f x ωϕ=+=,2πω∴是函数()()sin f x A x ωϕ=+的周期.可以证明2πω是函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期.例4.作出函数sin cos y x x =+在[]02π,上的图像.解:πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.描点作图,见图6-4.图6-4例5.求函数sin cos y x x =+的单调增区间. 解:πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.πππ2π2π242k x k k -++∈Z ,≤≤,3ππ2π2π44k x k k ∴-+∈Z ,≤≤. ∴函数sin cos y x x =+的单调增区间是()3ππ2π2π44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,.例6.求函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间.解:π2π32ππ3k xk k -+∈Z ,≤≤,2ππ2π4π3939k k x k ∴++∈Z ,≤≤.∴函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是()2ππ2π4π3939k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ,.例7.求函数()sin cos 0y a x b x ab =+≠的最值. 解:()sin cos y a x b x x ϕ=++,其中tan baϕ=, max min y y ∴==.例8.求下列函数的最值: (1)2sin 2cos y x x =+;(2)()22sin cos y a x b x a b =+≠; (3)()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒;(4)66sin cos y x x =+.解:(1)()2111sin 2cos sin 2cos22222y x x x x x ϕ=+=++=++,max y ∴min y =. (2)()222sin cos sin y a x b x a b x b =+=-+,∴若a b >,则2sin 1x =时,max y a =;2sin 0x =时,min y b =.若a b <,则2sin 0x =时,max y b =;2sin 1x =时,min y a =. {}max max y a b ∴=,,{}min min y a b =,.另解:221cos21cos2sin cos cos22222x x b a a by a x b x ab x -+-+=+=+=+, ∴若a b >,则cos21x =-时,max y a =;cos21x =时,min y b =.若a b <,则cos21x =时,max y b =;cos21x =-时,min y a =. {}max max y a b ∴=,,{}min min y a b =,.(3)()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒3cos10sin23sin10cos25cos70sin25sin70cos2x x x x =︒+︒+︒+︒()()3cos105cos70sin 23sin105sin 70cos2x x =︒+︒+︒+︒ ()7sin 2x ϕ=+,其中3sin105sin 70tan 3cos105cos70ϕ︒+︒=︒+︒,max 7y ∴=,min 7y =-.(4)664224sin cos sin sin cos cos y x x x x x x =+=-+()2222223sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x =+-=-,max 1y ∴=,min 14y =. 说明:在求函数的最值过程中,始终要贯彻“统一名称统一角”的观点. 基础练习1.判断下列函数的奇偶性,并求最小正周期: (1)()sin sin 2f x x x =+; (2)()sin f x x x =; (3)()πsin πf x x =;(4)()2sin sin 2f x x x =+;(5)()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(6)()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++; (7)()66sin cos f x x x =+;(8)()()2222sin cos 0f x a x b x a b =++≠.2.用五点法分别作出下列各函数的图像,并说明这些函数的图像和sin y x =图像的区别.(1)2sin 1y x =-;(2)12sin 2y x =.3.观察正弦曲线和余弦曲线.写出满足下列条件的区间: (1)sin 0x >; (2)cos 0x <; (3)1sin 2x >; (4)cos x <. 4.求下列函数的单调区间:(1)πcos 27y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭;(2)π2sin 34y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭;(3)lg cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭.5.求下列函数的最值,及取得相应最值的x 值.(1)π32sin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭; (2)23cos 4sin 2y x x =--;(3)22sin 3sin 1y x x =-+,π2π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,.6.确定函数131log 4y x ⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性.能力提高7.设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、,,满足:()()cos cos sin sin cos ααββγγ===,,,则αβγ,,的大小关系为__________.8.求下列函数的周期: (1)sin3cos y x x =+;(2)1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x xy x x x x+++-=++-++; (3)()2cos 325y x =-+.9.求5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程.10.(1)求函数()2sin sin f x a x x =-的最大值()g a ,并画出()g a 的图像.(2)若函数()2cos sin f x x a x b =-+的最大值为0,最小值为4-,实数0a >,求a b ,的值.6.2 正切函数的性质与图像定义:对于ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ,都有唯一确定的值tan x 与之对应,按照此对应法则建立的函数tan y x =,叫做正切函数. 正切函数的性质:1.周期性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ,,有()tan πtan k x x k +=∈Z ,, tan t x ∴=是周期函数.可以证明函数tan y x =的最小正周期是π(见图6-5).图6-52.奇偶性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ,,有()tan tan x x -=-,tan y x ∴=是奇函数. 3.单调性12π02x x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭、,,且12x x <,()121212sin tan tan cos cos x x x x x x --=12π02x x -<-<, ()12sin 0x x ∴-<. 1cos 0x >,2cos 0x >,()121212sin tan tan 0cos cos x x x x x x -∴-=>,即tan y x =在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调增.tan y x =是奇函数, tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭,上单调增.tan y x =是周期为π的函数,∴函数tan y x =的单调增区间是()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ,.4.值域函数tan y x =的值域是R .正切函数tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭,的图像如图6-6:图6-6利用正切函数的周期性,得到正切函数的图像. 例1.判断函数()tan 1lgtan 1x f x x +=-的奇偶性.解:函数的定义域应满足tan 10tan 1x x +>-,即tan 1x <-,或tan 1x >.于是定义域是()ππππππππ2442k k k k k ⎛⎫⎛⎫--++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ,,,定义域是关于原点对称的. ()()()1tan 11tan 1tan lg lg lg tan 1tan 1tan 1x x x f x x x --+-+⎛⎫-=== ⎪-----⎝⎭()tan 1lgtan 1x f x x +=-=--.所以,tan 1lgtan 1x y x +=-是奇函数.例2.解不等式:tan21x -≤.解:在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭,内,πtan 14⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.∴不等式tan21x -≤的解集由不等式()πππ2π24k x k k -<-∈Z ≤确定,解得()ππππ22428k k x k -<-∈Z ≤, ∴不等式tan21x -≤的解集为ππππ22428k k x x k ⎧⎫-<-∈⎨⎬⎩⎭Z ,≤.基础练习 1.有人说:“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数.”这句话对吗?为什么? 2.求下列函数的周期: (1)()()tan 0y ax b a =+≠; (2)tan cot y x x =-. 3.求函数11tan 2y x=+五的定义域.4.求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最大值、最小值,并求函数取得最大值或最小值时自变量x 的集合.5.求下列函数的最大值和最小值:(1)sin 2sin 3x y x -=-;(2)sin 2cos 3x y x -=-.能力提高6.求函数sin cos π0,sin cos 2x x y x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的最值.7.根据条件比较下列各组数的大小: (1)已知ππ32θ<<,比较sin θ,cot θ,cos θ的大小; (2)已知π04θ<<,比较sin θ,()sin sin θ,()sin tan θ的大小; (3)已知π02θ<<,比较cos θ,()cos sin θ,()sin cos θ的大小. 6.3 函数()sin y A x d ωϕ=++的图像与性质例1.对下列函数与函数()sin y x x =∈R 进行比较研究(最好利用几何画板进行动态的研究): (1)()sin 01y A x x A A =∈>≠R ,,;(2)()sin 01y x x ωωω=∈>≠R ,,; (3)()()sin 0y x x ϕϕϕ=+∈∈≠R R ,,; (4)()sin 0y x d x d d =+∈∈≠R R ,,; (5)()()sin 01100y A x d x A A d d ωϕωωϕϕ=++∈>≠>0≠∈≠∈≠R R R ,,,,,,,,. 解:(1)函数sin y A x =与sin y x =都是奇函数,具有相同的周期和单调区间,但值域不同.当1A >时,函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向拉伸得到;当01A <<时,函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向压缩得到(见图6-7).图6-7(2)函数sin y x ω=与sin y x =都是奇函数,值域相同,但函数sin y x ω=与sin y x =的周期和单调区间都不同.当ω>1时,函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向压缩得到;当0ω<<1时.函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向拉伸得到(见图6-8).图6-8(3)当()πk k ϕ-+=∈Z Z 时,函数()sin y x ϕ=+是奇函数;当()ππ2k k ϕ=+∈Z ,函数()sin y x ϕ=+偶函数;函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的周期和值域;当()2πk k ϕ-+=∈Z Z 时,函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的单调区间.当ϕ>0时,函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向左平移得到;当ϕ<0时,函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向右平移得到(见图6-9).图6-9(4)函数sin y x d =+既不是奇函数,也不是偶函数;函数sin y x d =+与sin y x =具有相同的周期和单调区间,但值域不同.当0d >时,函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向上平移得到;当0d <时,函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向下平移得到(见图6-10).图6-10(5)函数()sin y A x d ωϕ=++的图像可以由函数sin y x =的图像经过一系列的变换得到.首先把函数sin y x =的图像进行纵向的变化,让函数sin y x =的图像上点的横坐标保持不变,让点的纵坐标变为原来的A 倍,得到函数sin y A x =的图像(见图6-11).图6-11其次把函数sin y A x =的图像进行横向的变化,让函数sin y A x =的图像七点的纵坐标保持不变,让点的横坐标变为原来的1ω倍,得到函数sin y A x ω=。
6.2(1) 正切函数的图像与性质
§6.2 正切函数的图像与性质(1)教学目标:1. 知识与能力:①理解正切函数的定义域、值域、最值、奇偶性的意义; ②会求简单函数的定义域、值域、最值及判断奇偶性; ③掌握正切函数图象;2. 过程与方法:理解利用正切线作出的正切函数图像.研究三角函数的同时,使学生进一步掌握研究函数的一般方法。
3. 态度、情感、价值观:通过观察正切函数图像了解与感悟正切函数的性质. 通过练习与训练体验并初步掌握正切函数的基本性质. 教学重点:利用正切线作正切函数的图像;正切函数单调性的证明以及周期性的确定.教学难点:正切函数性质的理解与应用教学过程:一、 复习引入1.复习我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线以及正切函数线,我们通过正弦函数线,画出了正弦函数的图像,并研究了函数的性质.今天,我们同样按照这样的方法通过正切线来画出正切函数2.引入当α在第一像限时,正弦线sin α=BM>0 余弦线cos α=OM>0正切线tan α=AT>0的情况呢?请同学们画y x我们将区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭进行八等分,9个点分别为3284πππ---,, ,0,,88ππ-3,.482πππ,分别画出其中384ππ--,,,0,,88ππ-348ππ,的正切线, 然后利用描点法画出正切函数的大致图像.由正切三角比的诱导公式可知:tan()tan παα+=那么y=tan()tan παα+=,可知π为y=tanx 的一个周期.由此,我们可以画出y=tanx 在R 上的大致图像如下:方数R x x y ∈=tan ,且()z k k x ∈+≠π2的图象,称“正切曲线”二、学习新课探究正切函数性质观察正切函数的图像,引导学生得正切函数的性质:2π⎫⎪⎭1.定义域:|,2x x k k z π≠+∈⎨⎬⎩⎭,2.值域:R观察:当x 从小于()z k k ∈+2ππ,2π+π−→−k x 时,∞−→−x tan 当x 从大于()2k k z ππ+∈,2x k ππ−−→+时,-∞−→−x tan . 3.周期性:π=T4.奇偶性:()x x tan tan -=-奇函数.5.单调性:在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内,函数单调递增. 三、例题分析例1:(1)比较tan1670与tan1730的大小;(2)比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小. 例2: 讨论函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的性质. 例3:求下列函数的单调区间:13tan();24y x π=+ 例4:求下列函数的周期:3tan(2);4y x π=+ 思考:由上面的例4,请你归纳一下函数y=Atan(ωx+Ф)的周期是什么?(||T πω=周期) 四、课堂练习五、课堂小结正切函数y=tanx 的性质:定义域:|,2x x k k Z π≠+∈⎨⎬⎩⎭值域:全体实数R 周期性:正切函数是周期函数,最小正周期T=π 奇偶性:奇函数 单调性:正切函数在开区间,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内都是增函数.六、作业布置。
华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-6
第五章 三角比5.1 任意角及其度量1.把下列各角的度数化为弧度数:(1)70︒. (2)-135︒. (3)315︒. (4)1235︒.. 解:(1)7π18.(2)3π4-.(3)7π4.(4)247π360.2.把下列各角的弧度数化成度数: (1)4π3-. (2)-3. (3)π15.解:(1)240-︒. (2)1719-︒.. (3)12︒. 3.设集合{A =|αα为锐角},B ={|αα为第一象限角},{|C αα=为小于90︒的角},则( ).A .A CB ⊂⊂ B .A BC B ⊂⊂,C .A B C ==D .A B A C ⊂⊂, 解:D .4.已知扇形弧长为30cm ,半径为20cm ,求扇形的面积.解:213020300cm 2S =⋅⋅=.5.已知地球半径为6400km ,地面上一段弧所对的球心角为1′,求该弧的弧长.解:59267cm .. 6.下列命题中,正确的是( )A .终边相同的角是相等的角B .终边在第二象限的角是钝角C .若角α的终边在第一象限,则2α的终边也一定在第一象限D .终边落在坐标轴上的所有角可表示为π2k ,k ∈Z 解:D .7.写出于下列各角终边相同的最小正角与最大负角: (1)1140︒.(2)1290-︒.(3)2002︒. 解:(1)60︒,300-︒.(2)150︒,210-︒.(3)202︒,158-︒. 8.在弧度制下,写出下面处在标准位置的终边相同的角的集合:(1)π7-(2)第二象限的角.(3)角α的终边落在直角坐标系的左半平面上.解:(1)π|2π7k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ,.(2)π|2π2π2k k k αα⎧⎫+<<∈⎨⎬⎩⎭Z ,.(3)π3π|2π2π+22k k k αα⎧⎫+<<∈⎨⎬⎩⎭Z ,.9.已知α为第三象限的角,确定角2α所在的象限,并画出其变化区域.解:3|2ππ2π+π2k k k αα⎧⎫+<<∈⎨⎬⎩⎭Z ,则π3|ππ+π2224k k k αα⎧⎫+<<∈⎨⎬⎩⎭Z ,故2α在第二或第四象限.10.已知扇形的圆心角为π3,半径为R ,圆C 与扇形的两条半径及扇形的弧都相切,求圆C 中圆心角为π3的扇形与原扇形的面积之比. 解:219R r -=⇒∶. 5.2 任意角的三角比1.若π02α-<<,则点(cot cos αα,)必在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 解:B .2.确定下列各角的正弦、余弦、正切的符号: (1)850︒.(2)380-︒.(3)55π6. 解:(1)+--. (2)-+-. (3)--+.3.如果(1)cos 0sin x x <. (2)cot 0csc xx<. (3)sin cos 0x x <,试分别确定角x 的终边所在的象限.解:(1)第三或第四象限. (2)第二或第三象限. (3)第二或第四象限. 4.若P 点的坐标为(3y -,),5OP =(指OP 的长度),试求出y 值,并写出终边都过P 的角的三角函数值.解:4y =或4y =-.当4343554sin cos tan cot sec csc 555434y x x αααα===-=-=-=-=,,,,,,.当4343554sin cos tan cot sec csc 553434y x x αααα=-=-=-===-=-,,,,,,.5.(1)23π13π13πsin costan 4πcos 673⎛⎫-+⋅- ⎪⎝⎭的值为__________. (2)sin 780tan 405tan(330)cot(690)cos390cos(300)︒+︒-︒=-︒-︒-︒__________.解:(1)0. (2)109. 6.角α为何值时,下面式子无意义: (1)1cos sin αα+. (2)cos sec αα+. (3)tan cot αα+.(4)1sin cos αα.解:(1)π()k k ∈Z .(2)ππ()2k k +∈Z .(3)π()2k k ∈Z .(4)π()2k k ∈Z .7221+=表示的曲线是( )A .焦点在x 轴上的椭圆B .焦点在x 轴上的双曲线C .焦点在y 轴上的椭圆D .焦点在y 轴上的双曲线 解:C .π,则πππ0222<<,则ππcos cos 22⎛⎫> ⎪⎝⎭,即>又由于ππ0π22<,,则00,,则0>,方程表示的曲线是椭圆.由于π4⎫-=+⎪⎪⎝⎭…(*)π02-<<,则0<,π3π24<<,则3πππ44<+<.则πsin 04⎫+>⎪⎪⎝⎭,则(*)或<0.即 则曲线表示焦点在y 轴上的椭圆,故选C . 8.已知cos cot sin tan ()sin cos tan cot f ααααααααα=+++,求()f α的值的集合. 解:分四个象限讨论,α为第1象限,()4f α=, α为第2象限,()2f α=-, α为第3象限,()0f α=, α为第4象限,()2f α=-,得到()f α的值的集合为{4,-2,0}.9.已知实数α,满足cos cos cos cos αβαβ-=+,且ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解:由题设可知,cos α和cos β异号,又由于cos 0α<,则cos cos 0cos cos αββα-<-.10.已知角α的终边经过(m n -,(0n m >>),问α是第几象限的角?并求α的六个三角比的值.解:第二象限.sin cos tan cot sec cscm n m n m n m n αααααα-+=====+-,,.11.用三角比的定义证明:(sin tan )(cos cot )(1sin )(1cos )αααααα++=++. 证:1cos 1sin (sin tan )(cos cot )sin cos (1sin )(1cos )cos sin αααααααααααα++++=⋅⋅=++. 5.3 同角三角比的关系和诱导公式 1.已知9cos 41α=-,90180α︒<<︒,计算:sin tan cot sec csc ααααα,,,,. 解:404094141sin tan cot sec csc 41940940x αααα==-=-=-=,,,,. 2.求下列各三角比的值: (1)sin1110︒.(2)11secπ6. (3)cot(75)-︒.解:(1)12.(2.(3)2-+3.已知tan 2β=-,求值: (1)3sin 2cos 2sin cos ββββ-+.(2)3323sin cos 3cos sin cos βββββ+-.解:(1)3sin 2cos 3tan 282sin cos 2tan 13ββββββ--==++.(2)无意义.4.求证恒等式:2212sin 2cos21tan 2cos 2sin 21tan 2x x xx x x--=-+. 证明:2222212sin 2cos2(sin 2cos2)cos2sin 21tan 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 21tan 2x x x x x x xx x x x x x x----===--++. 5.计算:(1)22sin (42)cot(25)cot(65)sin (48)αββα︒++︒+⋅-︒+︒-=__________.(2)π2π3π4πtantan tan tan 5555+++=__________. 解:(1)0. (2)0. 6.证明下列三角恒等式: (1)6622csc cot 13csc cot αααα-=+. (2)tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅. (3)1sec tan 1sin 1sec tan cos αααααα+++=+-(4)cos sin 2(cos sin )1sin 1cos 1sin cos αααααααα--=++++. 证明:(1)66224224csc cot (csc cot )(csc csc cot cot )αααααααα-=-+⋅+ 42241(csc csc cot cot )αααα=⋅-⋅+ 22222(csc cot )3csc cot αααα=--⋅⋅ 2213csc cot αα=-⋅⋅.(2)左边sin sin sin cos sin 1cos sin cos αααααααα⋅==--,右边=sin sin 1cos cos sin sin sin cos αααααααα++==⋅ 因为sin 1cos 1cos sin αααα+=-, 所以左边=右边,得证. (3)1sec tan 1sec tan αααα+++-=sec sec tan tan tan sec 1sec tan αααααααα⋅-⋅+++-=(1sec tan )(tan sec )1sec tan αααααα+-⋅++-tan sec αα=+(4)cos (1cos )sin (1sin )(1sin )(1cos )αααααα⋅+-⋅++⋅+=22cos sin cos sin 1sin cos cos sin αααααααα-+-+++ (cos sin )(cos sin )(cos sin )1sin cos sin cos αααααααααα-++-=+++ =2(cos sin )(cos sin 1)1(cos sin 1)2αααααα-++++2(cos sin )cos sin 1αααα-=++.7.设tan 1)a θ=<<,化得22sin sin cos cos a a θθθθ++-. 解:22222sin sin 2sin 2cos cos cos a a a a θθθθθθ+==-+--. 8.化简π3πsin(5π)cos tan tan(2π)22αααα⎛⎫⎛⎫--⋅---⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解:原式=2πsin()sin()tan tan()cos 2ααααα⎛⎫⋅+-⋅=- ⎪⎝⎭.9.(1)已知关于x 的一元二次方程2(tan cot )10x x αα-++=的一个实根是2,求sin cos αα⋅. (2)是否存在π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,使得关于x 的方程24cos 20x x α-+=和24sin 20x x α--=有一个实数解相等?如果存在求出α;如果不存在,说明理由.解:(1)两根分别为2+,21tan cot 4sin cos 4αααα+=⋅=,. (2)存在且π6α=. 10.已知函数sin cos tan cot sec csc y x x x x x x =++++++,求函数的最小值. 解:运用换元法和基本不等式得:设1cos sin ()sin cos sin cos x xf x x x x x++=++,记πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭, 222sin cos (sin cos )11x x x x t =+-=-,得21sin cos 2t x x -=. 于是,1cos sin ()sin cos sin cos x xf x x x x x++=++,2122()111112t f x u t t t t t t +==+=+=-++---.则1u ≥,等号不成立.或1u ≤,则1u ≥-.所以最小值为1. 5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切 1.不查表,求下列三角比的值: (1)sin105︒. (2)12sin π5⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)cos165︒(4)tan105︒解:(1.(2).(3).(2)2- 2.在ABC △中,若ππsin cos 1sin cos 22A B A B ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则这个三角形是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形解:D .3.不查表,求下列各式的值:(1)sin10cos 20sin 20cos10︒︒+︒︒. (2)cos110cos50sin110sin 50︒︒+︒︒. (3)tan 22tan 231tan 22tan 23︒+︒-︒︒.(4tan15︒+解:(1)1sin10cos20sin 20cos10sin302︒︒+︒︒=︒=. (2)1cos110cos50sin110sin50cos602︒︒+︒︒=︒=. (3)tan 22tan 23tan 4511tan 22tan 23︒+︒=︒=-︒︒.(4tan15tan15tan 30tan 4511tan15tan 30︒+︒+︒==︒=-︒︒.4.已知tan 2α=,tan 3β=,且α,β都是锐角,求证:3π4αβ+=. 证明:tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==--,由于tan tan 1αβ>,则ππππ422αβαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,+,, 则3π4αβ+=. 5.已知5sin sin(2)βαβ=+,求tan()tanαβ+的值. 解:5sin()sin()αβααβα+-=++ 5sin()cos 5cos()sin αβααβα⇒+-+ sin()cos cos()sin αβααβα=+++, 则tan()3tan 2αβα+=.6.求tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒⋅︒的值.解:原式=πtan60(1tan 40tan 20)20tan 40tan 3︒-︒︒︒⋅︒= 7.求证:sin(2)2cos()sin csc sin αβαββαα---=-⋅.证明:sin(2)sin()2cos()sin 2cos()sin sin αβαβααβααβαα--+----=sin()sin cos sin αβαβαα--==-⋅.8.(1)求函数sin cos 1sin cos x xy x x=++的最大值.(2)求函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域. (3)a ∈R ,求()(sin )cos y x a x a =++的最小值. 解:(1)令sin cos ([1)(1t x x t =+∈-- ,换元可得:2max 11212t t y y t --==→=+(2)换元sin cos ()t x x t ⎡=+∈⎣,211122t y t -⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦.(3)当2min 12a y a =+.当2min 12a a y -=;当2min 12a y a <=+.9.证明不等式:3412.22sin cos 1x x +=,342=.10.(1)已知tan α,tan β是关于x 的方程20x px q ++=的两个实根,求sin()cos()αβαβ+-.(2)已知tan tan αβ,是关于x的方程2220mx m -=的两个实根,求tan()αβ+的取值范围.解:(1)sin()sin cos cos sin tan tan cos()cos cos sin sin 1tan tan 1pqαβαβαβαβαβαβαβαβ+++-===-+++.(2)tan tan tan()1tan tan 12m αβαβαβ⎡++===-⎢--⎣. 11.π63)cos 2sin 2364sin cos a a θθθθ⎛⎫+-+-<+ ⎪+⎝⎭对于π2θ⎡⎤∈0⎢⎥⎣⎦,恒成立,求a 的取值范围.解:设sin cos x θθ+=,则2πcos sin 2114x x θθ⎛⎫⎡-==-∈ ⎪⎣⎝⎭,,, 从而原不等式可化为:26(23)2(1)36a x x a x++--<+, 即26223340x ax x a x ---++>,22230x x a x a x x ⎛⎫⎛⎫+--+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭有 ①由于原不等式等价于不等式①,则1x ⎡∈⎣,则230x -<①不等式恒成立等价于20(1)x a x x⎡+-<∈⎣恒成立.从而只要max2(1)a x x x ⎛⎫⎡>+∈ ⎪⎣⎝⎭. 又容易知道2()f x x x =+在1⎡⎣上递减,则max23(1)x x x ⎛⎫⎡+=∈ ⎪⎣⎝⎭. 所以3a >.12.求出使方程(1)cos2(12)sin 2(12)cos (1)sin 0a x a x a x a x -+--+--+-=在(ππ)-,上有奇数个解的一切a 的值.解:首先,1a ≠,不然的话会有无穷多组解.令121cos sin [02π)a a M M ϕϕϕ---==∈,,,,其中0M =.于是原方程化为:πsin(2)cos()sin 2x x x ϕϕϕ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭,即π22π2π22π+π2x x k k x x k ϕϕϕϕ⎧+=+-+⎪⎪∈⎨⎪+++-=⎪⎩Z ,. 第一个式子得:π2π2x k =-+,又由于(ππ)x ∈-,,则π2x =-.第二个式子得:2π2π32k x ϕ-=+.令[02)πϕϕ=∈,′,则由于(ππ)x ∈-,,则2π2π(ππ)32k ϕ-+∈-,,所以9344k ϕ-<-<′. 又π322x k ϕ=-⇔=-′. (1)130210and 42k k ϕϕ⎡⎫∈⇒=--≠-⎪⎢⎣⎭,,,,′′,既有偶数个解,不满足. (2)1310and 42k k ϕϕ=⇒=-≠-,,′′,有奇数个解,满足. (3)1531101and 4422k k ϕϕϕ⎛⎫∈⇒=-=-⇒= ⎪⎝⎭,,,,′′′满足. (4)5301and 42k k ϕϕ∈⇒==-,,′′,有奇数个解,满足.(5)5332012and 422k k ϕϕϕ⎛⎫∈⇒==-⇒= ⎪⎝⎭,,,,′′′满足. 综上所述,满足条件的ϕ′的值为11534242,,,,此时{}[01)(12]3a ∈ ,,.5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切1.已知5πsin π132αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,,,求sin 2cos 2tan 2ααα,,. 解:120119120sin 2cos2tan 2169169119ααα=-==-,,. 2.求证:[][]sin (1sin )cos (1cos )sin (1sin )cos (1cos )sin 2θθθθθθθθθ+++⋅-+-=. 证明:[][]sin (1sin )cos (1cos )sin (1sin )cos (1cos )θθθθθθθθ+++⋅-+- 2(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos )1sin 2θθθθθθθ=+++-=+-=.3.求下列各式的值:(1)21cos 152︒-.(2)221tan 751tan 75-︒+︒.(3)22ππcos sin 88-.(4)2πtan8π1tan 8-.(5)sin15cos15︒⋅︒. 解:(1(2).(3.(4)12.(5)14.4.若3π2π2α<<__________.cos 2α=-. 5.设n 为正整数,求证:sin cos cos cos 2422sin 2n nx x x xx ⋅⋅⋅= .证明:提示:等式左右两边同时乘以2sin2n nx . 6.求证三倍角公式:3cos34cos 3cos ααα=-.证明:cos3cos(2)cos2cos sin 2sin ααααααα=+=- =22(2cos 1)cos 2(1cos )cos αααα--- 34cos 3cos αα=-.7.试用万能公式求函数sin 1cos 2x y x +=+的值域.解:设tan 2x t =,则22221sin cos 11t t x x t t -==++,.22222212111321tt t t y t t t ++++==-+++. 2224(1)213024(1)(13)1612003y t t y y y y y y ⎡⎤-++-=∆=---=-∈⎢⎥⎣⎦,,,≥.8.设44()sin sin cos cos f x x x x x =-+,求()f x 的值域.解:44211()sin sin cos cos 1sin 2sin 222f x x x x x x x =-+=--.令sin 2t x =,则2211911()()122822f x g t t t t ⎛⎫==--=-+ ⎪⎝⎭.因此11919min ()(1)0824t g t g -==-⨯=≤≤,111919max ()02828t g t g -⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭≤≤.即得90()8f x ≤≤.9.已知sin cos 0sin 2cos2a x b x A x B x C +=+=,(a b ,是不同时为0的实数),求证:22222()()0a b A b a B a b C +-++=.证明:若0a =,则0b ≠,由已知第一式得cos 0x =,代入第二式又得B C =-;若0a ≠,则由第一式得tan bx a=-,代入第二式即可证得. 10.设0πθ<<,求sin (1cos )2θθ+的最大值.解:因为0πθ<<,所以π022θ<<,即sin 0cos 022θθ>>,.所以2sin (1cos )2sin cos 222θθθθ+=⋅=== 当且仅当222sin cos 22θθ=,即tan2θθ==时,sin (1cos )2θθ+. 11.在ABC △中,(1)若4sin 25C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求()cos A B -的值.(2)若2sin sin cos 2CA B =,判别ABC △的形状. 解:(1)cos()cos(π)A B B C B -=--- cos(π2)cos(π2)B C B C =--=-++ 2cos(2)12sin 2C B C B ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭725=. (2)cos 1sin sin 2sin sin cos()1cos()12C A B A B A B A B +=⇒=-++⇒-=,等腰三角形. 12.已知tan tan αβ⋅=(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值. 解:22221tan 1tan (2cos 2)(2cos 2)221tan 1tan αβαβαβ⎛⎫⎛⎫----=-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭ 22222222222213tan 13tan 19tan tan 3tan 3tan 31tan 1tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβαβαβ+++++=⋅==+++++. 13.当[]02πθ∈,时,求{}23331sin sin (2)sin (4)sin (2)sin(2)n n f θθθθθ-=⋅ 的最大值. 解:22422(sin sin 2)sin 4sin (1sin )θθθθθ⋅=⋅⋅- 4222244327sin sin sin (33sin )33464θθθθ⎛⎫=⋅⋅⋅-⋅= ⎪⎝⎭≤,2sin sin 2θθ∴⋅同理可证:21sin 2sin 2n n θθ-⋅.(123n = ,,)故:nf ⎝⎭≤,当π2π3k θ=+时等号成立. 5.6 三角比的积化和差与和差化积1.求证:(1)cos34cos cos(60)cos(60)θθθθ=⋅︒-⋅︒+. (2)tan34tan tan(60)tan(60)θθθθ=⋅︒-⋅︒+ 证明:(1)4cos cos(60)cos(60)θθθ⋅︒-⋅︒+ []2cos cos120cos(2)θθ=︒+ 232cos 2cos 2θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34cos 3cos θθ=-cos3θ=(2)由(1)得sin34sin sin(60)sin(60)θθθθ=⋅︒-⋅︒+, cos34cos cos(60)cos(60)θθθθ=⋅︒-⋅︒+,两式相除,可证.2.求22sin 20cos 8020cos80︒+︒+︒⋅︒的值.解:22sin 20cos 8020cos80︒+︒+︒⋅︒1cos 40cos1601sin 60)22-︒︒+=+︒-︒11(cos160cos 40)sin 60)2=+︒-︒+︒-︒11(2)sin100sin 60sin 60)2=+-︒︒+︒-︒=11604-︒=. 3.求证:312sin tan tan 22cos cos2x x x x x-=+.证:31sin sin 31sin 2sin 22tan tan 313122cos cos2cos cos cos cos 2222x xx x x x x x x x x x -=-==+. 4.已知3sin sin 5αβ+=,4cos sin 5αβ+=,求cos sin αβ⋅的值.解:两式平方求和,可得:1sin()2αβ+=-,两式平方作差,可得:7cos2cos22sin()25βααβ-+-=-, 化简:72sin()sin()2sin )25αβαβαβ+⋅-+(-=-, 则7sin()25αβ-=-. 利用积化和差,可得:[]1cos sin sin()sin()2αβαβαβ⋅=+-- 117112225100⎛⎫=⨯-+=- ⎪⎝⎭.5.求值sin 7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒⋅︒︒-︒⋅︒.解:sin 7sin 8cos15sin(158)sin 8cos15sin15cos8tan152cos7sin 8sin15cos(158)sin 8sin15cos15cos8︒+︒⋅︒︒-︒+︒⋅︒︒⋅︒===︒=-︒-︒⋅︒︒-︒-︒⋅︒︒︒. 6.已知函数π()t a n 02f x x θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,,,若12π02x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,且12x x ≠,求证:[]12121()()22x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭. 证明:[]121212sin sin 11()()22cos cos x x f x f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭1212sin()12cos cos x x x x +=121212sin()cos()cos()x x x x x x +=++-.121212121212121212sinsin 2cos sin()22221cos()cos cos 2cos 222x x x x x xx x x x f x x x x x x x x +++++⎛⎫=== ⎪+++++⎝⎭. 显然不等式成立.7.在ABC △中,(1)求证:sin sin sin 4cos cos cos 222A B CA B C ++=. (2)求证:cos cos cos 14sin sin sin 222A B CA B C ++=+. (3)求证:cotcot cot cot cot cot 222222A B C A B C++=⋅⋅. 证明:(提示:由于A B C ,,是三角形内角,故πA B C ++=,()sin sin C A B =+,cos cos()C A B =-+用倍角公式和和差化积证明.) (1)sin sin sin 2sincos sin()22A B A BA B C A B +-++=++ 2sin cos cos 222A B A B A B +-+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4cos cos sin222A B A B+= 4coscos cos 222A B C =; (2)左边=2cos cos cos()22A B A BA B +--+ =22coscos 2cos 1222A B A B A B +-+-+ 2cos cos cos 1222A B A B A B +-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin2sin sin 1222C A B=⋅⋅+,获证.(3)从略.8.在非直角ABC △中,求证:tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=. 证明:tan tan tan tan(π())tan()1tan tan A BC A B A B A B+=-+=-+=--tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⇒++=.9.在ABC △中,求证下列恒等式:(1)222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=-.(2)222sin sin sin 12sin sin sin 222222A B C A B C++=-.证明:(1)即证cos21cos21cos2112cos cos cos 122A B C A B C +++++=-, 即证cos 2cos 2cos 214cos cos cos A B C A B C +++=-. 左边2cos()cos()cos(22)1A B A B A B =+-+++ []2cos()cos()cos()A B A B A B =+-++ 4cos cos cos A B C =-,得证.(2)即证11(cos cos cos )2sin sin sin 22222A B CA B C -++=- 下面参考题7第(2)小题,可证.10.求sin6︒·sin42︒·sin66︒·sin78︒的值. 解:原式=1sin12cos12cos24cos48sin6cos12cos24cos482cos6︒︒︒︒︒︒︒︒=⋅︒1sin 24cos24cos484cos6︒︒︒=⋅︒ 1sin 48cos488cos6︒︒=⋅︒ 1sin8416cos6︒=⋅︒ 1cos616cos6︒=⋅︒=116. 11.已知1cos()sin()sin cos 02αβαβαα+-+=,且22π3sin 2sin 102αβαβ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭,,,,求()sin αβ+的值.解:由条件得23sin 2sin 23sin cos22αβαβ==,,平方相加,得29sin 1α=,于是1sin 3α=,cos α=,代入第二个已知条件得到sin β=,cos β=,于是sin()αβ+.5.7 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 1.辨别下列ABC △的形状:(1)sin sin sin 234A B C =∶∶∶∶. (2)cos cos a A b B =.(3)sin sin(90)(90)b a C c a B B ==︒-<︒,. (4)6012A a b c =︒=+=,,.解:(1)sin sin sin 234AB C a b c ==∶∶∶∶∶∶,利用余弦定理可得:钝角三角形. (2)cos cos sin cos sin cos sin 2sin 2a A b B A A B B A B =⇒=⇒=, 等腰或直角三角形.(3)πsin sin cos sin()sin cos cos sin 02C A B A B A B A B A =⇒+=⇒=⇒=, sin sin sin sin sin B A C B C B C =⇒=⇒=,等腰直角三角形.(4)利用余弦定理可得,等边三角形. 2.在ABC △中,求证:(1)(sin sin )(sin sin )(sin sin )0a B C b C A c A B -+-+-=. (2)222sin sin cos 2sin sin cos()1A B C A B A B ++++=. (3)222222()tan ()tan 0a b c A a b c B --+-+=.(4)cos sin cos sin a c B Bb c A A -=-. 提示:(1)利用正弦定理证明.(2)利用倍角公式,和差化积公式证明. (3)利用正余弦定理证明. (4)利用正余弦定理证明.3.在ABC △中,a 、b 、c 为三边,判别下列命题的真假. (1)a b >的充要条件是sin sin A B >. (2)a b >的充要条件是cos cos A B <. (3)a b >的充要条件是tan tan A B >. (4)a b >的充要条件是cot cot A B <. (5)a b >的充要条件是cos 2cos 2A B <. 解:真;真;假;真;真. 4.在锐角ABC △中,已知60B ∠=︒=A C ∠∠,的值. 解:75︒和45︒.5.某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东30︒方向,它以每小时36海里的速度向正北方向航行,经过40分钟航行到B 处,看灯塔S 在北偏东75︒方向.求此时货轮到灯塔S 的距离. 解:由正弦定理可得6.已知ABC △的三个内角A B C ,,成等差数列,且11cos cos A C +=cos 2A C-的值. 解:因为120A C =︒-,所以cos cos(60)2A CC -=︒-, 又由于1111cos(120)cos cos cos cos(120)cos cos cos(120)C CA C C C C C ︒-++=+=︒-︒- []2cos60cos(60)1cos120cos(1202)2C C ︒︒-=︒+︒-2cos(60)1cos(1202)2C C ︒-==-︒--所以22cos 022A C A C--+-.解得cos 2A C -=cos 2A C -=. 又cos02A C->,所以cos 2A C -= 7.在ABC △中,如果2226a b c +=,求(cot cot )tan A B C +的值.解:原式=sin()sin sin 1sin sin cos sin sin cos A B C C A B C A B C +⋅=⋅⋅⋅22222222c ab c ab a b c a b c 22=⋅=+-+-2222265c c c ==-. 8.已知在ABC △中,A B C <<,cos cos sin a B b A c C ===,,. (1)求ABC △的外接圆半径和角C 的值.(2)求a b c ++的取值范围. 解:(1)sin cos sin cos A B B A =,且1π21sin 22c R R C C ==⇒==,.(2)2(sin sin sin )(21)C R A B C =++∈.9.已知锐角ABC △中,31sin()sin()55A B A B +=-=,,若12AB =,求ABC △的面积.解:3sin()sin cos cos sin 25sin cos 15sin()sin cos cos sin 5A B A B A B A B A B A B A B ⎧+=+=⎪⎪⇒=⎨⎪-=-=⎪⎩, 1cos sin 5A B =,tan 2tan A B =.23tan tan 3tan tan()41tan tan 12tan A B BA B A B B ++=-==--.tan B =,tan 2A = 过点C 作边AB 的高,垂足为D .则4tan 4(2AD h AD A ===,,24(2ABC S =△. 5.8 三角比的应用1.已知a 为实数,函数3(1)()sin 3()()sin 1a f a g θθθθθ-=++=∈+R ,.(1)若()cos f θθ=,试求a 的取值范围. (2)若1a >,求函数()()f g θθ+的最小值. 解:(1)()cos f θθ=,即si n c o s 3a θθ-=--,又πsi n c o s 4θθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以3a +从而a的取值范围是33⎡--+⎣.(2)3(1)()()(sin 1)2sin 1a f g a θθθθ-+=+++++,令s i n1x θ+=,则02x <≤,因为1a >,所以3(1)a x x -+≥,当且仅当x2解得73a ≤,所以当713a <≤时,函数()()f g θθ+的最小值是2a +.下面求当73a >时,函数()()f g θθ+的最小值. 当73a >2,函数3(1)()a h x x x -=+在(0,2]上为减函数,所以函数()()f g θθ+的最小值为3(1)5(1)2222a a a -++++=. 由于当73a >时,函数3(1)()a h x x x +=+在(0,2]上为减函数的证明:任取122121213(1)02()()()1a x x h x h x x x x x ⎡⎤-<<-=--⎢⎥⎣⎦,≤,因为21043(1)4x x a <->,≤,所以21213(1)10()()0a h x h x x x --<-<,,由单调性的定义函数3(1)()a h x x x-=+在(0,2]上为减函数. 于是,当7l 3a <≤时,函数()()f g θθ+的最小值是2a +;当73a >时,函数()()f g θθ+的最小值5(1)2a +. 2.已知数列{}n a,满足1n a a ==(23)n = ,,,求: (1)数列的通项.(2)设212n n n b a n == ,,,, 求证:4n b <.解:(1)设[]2sin 02π12n n n a n αα=∈= ,,,,,,则1π4α=.由递推,n a =12sin2n α-==,故12sin 2sin 2n n n a αα-==,即12n n αα-=,(23n = ,,).得到:111π(123)22n n n n αα-+=== ,,,,. 故通项公式为:1π2sin 2n n a +=. (2)1111ππ22sin2π422n n n n n n n b a ++++==<⋅=<.获证.3.已知*011)n n a a n -=∈N ,,求证:2π2n n a +>.证明:由题设0n a >,令πtan 02n n n a a a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,,,则111111sec 11cos tan tan tan sin 2n n n n n n n n a a aa a a a --------=====.因为12n a -,π02n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,所以112n n a a -=,所以012nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.又因为00tan 1a a ==,且0π02a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,所以0π4a =,所以1π24nn a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.又因为当π02x <<时,tan x x >,所以22ππtan 22n n n a ++=>.4.已知锐角ABC △,角A B 、满足2A B =. (1)三边长为连续整数时,求ABC △三边的长. (2)三边长为连续整数时,求ABC △的面积S .解:(1)设ABC △的三边为11(3)n n n n n -+∈N ,,,≥,由题设π3C B =-, 由题意ππ0022A C A C <<<<≠,,,即ππ020π32π322B B B B <<<-<≠-,,, 得ππππ6554B ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,,.①当ππ65B <<时,π2π2ππ2π33552B B <<<-<,,得C A B >>,故角B 所对的边为1n -,角A 所对的边为n ,于是有1sin sin 2n nB B-=,得cos 2(1)n B n =-,又222(1)(1)cos 2(1)n n n B n n ++--=⋅+, 得222(1)(1)2(1)2(1)n n n n n n n ++--=-⋅+,解得2n =,舍去;②当ππ54B <<时,2πππ2π2π35245B B <<<-<,,得A C B >>,故角B 所对的边为1n -,角A 所对的边为1n +,于是有11sin sin 2n n B B -+=,得1cos 2(1)n B n +=-,又222(1)(1)cos 2(1)n n n B n n ++--=⋅+, 得2221(1)(1)2(1)2(1)n n n n n n n +++--=-⋅+,解得5n =,故ABC △的三边长为456,,. (2)由(1)中的②得3cos 4B =,故sin B =,因此1sin 2S ac B ==5.一个圆锥的外接球体积为972π,且内切球表面积为圆锥的侧面积和底面面积的等差中项,求这个圆锥的体积.(提示:可设圆锥的顶角为2α.)解:2ππ5129π23r rl S r r V +===⇒=外接切切,内内.6.已知ABC △的A ∠,B ∠,C ∠的对边分别为a ,b ,c ,且4442222()a b c c a b ++=+. (1)求C ∠. (2)若c 为最小边,求ba的取值范围. (3)若c 为最大边,求a bc+的取值范围. 解:(1)2222444222222222222cos 24a b c a b c a b a c b c C ab a b ⎛⎫+-+++--== ⎪⎝⎭. 4442222()a b c c a b ++=+,cos C ∴=45C =︒或135C =︒. (2)若c为最小边,则222245C c a b a =︒=+<,,ba ∴2222c a b b =+<.b ab a (3)若c 为最大边,则135C =︒,222222()(2())c a b a b ab a b a b =++=+--++≥,2a b a b c c ++⎛⎫⎪⎝⎭,a b c +>,所以1a b c +< 7.已知ABC △的三边a b c ,,和三内角A B C ,,满足条件cot cot cos2c a B b A =+,判断三角形形状.解:a b ABC =,△为等腰三角形. 8.已知函数()sin sin cos cos cos 2k k k f x kx x kx x x =+-,(其中k 为常数,R x ∈) (1)当1k =时,求函数()f x 的单调递增区间. (2)当1k =时,求函数2()()()f x g x a f x =+在π03⎛⎤ ⎥⎝⎦,上的最大值(其中常数0a >). (3)是否存在*k ∈N ,使得函数()f x 为一常函数,若存在,求出k 的值,并加以证明,若不存在,请说明理由.解:(1)2()sin sin cos cos cos21cos22sin f x x x x x x x x =+-=-=. 由ππππππ22k x k x k k k ⎡⎤+⇒∈+∈⎢⎥⎣⎦Z ,,≤≤. (2)224()2sin ()()4sin f x x g x a f x a x ==++,令232sin 02t x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦,,于是,原函数等于1a tt +. 当904a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,时,则当t;当94a >时,则当32t =时,最大值为649a +.(3)假设函数()f x 为常函数,令0x =,则原式=0, 令π2x =,则原式=πsin (1)0412k k k n --=⇒=-(n 为正整数);令πx k=,则原式π2ππ2π33cos cos 0cos cos 21()21k k m k m k k k k k m =--=⇒=-⇒=+⇒=∈+Z .综上3k =.当3k =时,原式为333sin3sin cos3cos cos 2x x x x x +-223sin3sin sin cos3cos cos cos 2x x x x x x x =+-=223sin3sin (1cos )cos3cos (1sin )cos 2x x x x x x x -+--223sin3sin cos3cos sin3sin cos cos3cos sin cos 2x x x x x x x x x x x =+---3cos2sin cos (sin3cos cos3sin )cos 2x x x x x x x x =-+- 3cos 2sin cos sin 4cos 2x x x x x =-- 23cos 2sin 2cos 2cos 2x x x x =--23cos2(1sin 2)cos 2x x x =--=33cos 2cos 20x x -=.第六章 三角函数6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像1.判断下列函数的奇偶性,并求最小正周期: (1)()sin sin 2f x x x =+. (2)()sin f x x x =. (3)()πsin πf x x =. (4)2()sin sin 2f x x x =+. (5)ππ()cos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (6)22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++. (7)66()sin cos f x x x =+.(8)2222()sin cos (0)f x a x b x a b =++≠. 解:(1)奇函数,最小正周期是π.(2)奇函数,不是周期函数. (3)奇函数,最小正周期是2.(4)非奇非偶函数,最小正周期是π. (5)偶函数,最小正周期是2π.(6)非奇非偶函数,最小正周期是π. (7)偶函数,最小正周期是π2.(8)偶函数,最小正周期是π.2.用五点法分别作出下列各函数的图像,并说明这些函数的图像和siny x=图像的区别:题2(1)解析图(1)2sin1y x=-.12sin2y x =.解:(1)将siny x=的纵坐标扩大2倍,然后向下平移1个单位,得到2sin1y x=-.(2)将siny x=的横坐标扩大2倍,然后再将纵坐标扩大2倍,得到12sin2y x =.题2(2)解析图3.观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的区间:(1)sin0x>.(2)cos0x<.(3)1 sin2x>.(4)cos x<.解:(1)(2π(21)π)()k k k+∈Z,(2)π32π2ππ()22k k k⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z,.(3)π52π2ππ()66k k k⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z,.(4)3π5π2π2π()44k k k⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z,.4.求下列函数的单调区间:(1)π3cos27y x⎛⎫=--⎪⎝⎭.(2)π2sin34y x⎛⎫=--⎪⎝⎭.(3)lg cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解:(1)π4πππ()147k k k ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦Z ,.(2)2ππ2ππ()31234k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ,. (3)π2π2π()2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ,.5.求下列函数的最值,及取得相应最值的x 值:(1)π32sin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. (2)23cos 4sin 2y x x =--.(3)2π2π2sin 3sin 133y x x x ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦,,.解:(1)max min 51y y ==,;x 的值分别为π2π6k -及5π2π+()6k k ∈Z . (2)763y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,.(3)0y ⎤∈⎥⎣⎦.6.确定函数131log 4y x ⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性.解:定义域π5π2π2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ,,;值域13[log )+∞;单调区间:递增:π3π2π2π44k k ⎛⎤++ ⎥⎝⎦,,递减:3π5π2π2π44k k ⎛⎤++ ⎥⎝⎦,;非奇非偶,2πT =.7.设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,,,满足:cos cos(sin )sin(cos )ααββγγ===,,,则αβγ,,的大小关系为__________.解:γαβ<<. 8.求下列函数的周期: (1)sin3cos y x x =+.(2)1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x xy x x x x+++-=++-++. (3)2cos(32)5y x =-+y . 解:(1)2π.(2)2π.(3)2π39.求5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程.解:ππ2k x k =-∈Z ,. 10.(1)求函数2()sin sin f x a x x =-的最大值()g a ,并画出()g a 的图像.(2)若函数2()cos sin f x x a x b =-+的最大值为0,最小值为-4,实数0a >,求a b ,的值. 解:(1)当2()1a g a a <-=--,;当2122()4a g a a -=,≤≤;当2()1a g a a >=-,.(2)22a b ==-,. 6.2 正切函数的性质与图像1.有人说:“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数.”这句话对吗?为什么? 解析:不对,应该说在各自区间是单调递增函数. 2.求下列函数的周期: (1)tan()(0)y ax b a =+≠ (2)tan cot y x x =-.解:(1)πa .(2)π2.3.求函数11tan 2y x=+的定义域.解:ππππ()8224k k x x x k ∈≠-+≠+∈R Z ,,.4.求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最大值、最小值,并求函数取得最大值或最小值时自变量x 的集合.解:用分离常数法或用判别式法解题,max min 133y y x ==,,取值分别为ππ4k +及ππ()4k k -+∈Z .5.求下列函数的最大值和最小值:(1)sin 2()sin 3x y x x -=∈-R .(2)sin 2()cos 3x y x x -=∈-R .解:(1)换元法解题,min max 1324y y ==,.(2)万能公式,或者利用几何意义解题,max min y y ==. 6.求函数sin cos π0sin cos 2x x y x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭,的最值.解:换元法解题,sin cos 1t x x ⎡=+∈⎣.21(1)112()2t y t t t -==-,单调递增,所以0y ⎡∈⎢⎣⎦. 7.根据条件比较下列各组数的大小: (1)已知ππ32θ<<,比较sin θ,cot θ,cos θ的大小.(2)已知π04θ<<,比较sin θ,()sin sin •θ,()sin tan θ的大小. (3)已知π02θ<<,比较cos θ,()cos sin θ,()sin cos θ的大小. 解:(1)cos cot sin θθθ<<.(2)sin(sin )sin sin(tan )θθθ<<. (3)sin(cos )cos cos(tan )θθθ<<6.3 函数sin()y A x d ωϕ=++的图像与性质1.经过怎样的图形变换,函数sin y x =的图像可以变换成为函数2sin(26)2y x =++的图像?反之,函数()2sin 262y x =++的图像经过怎样的变换可以成为函数sin y x =的图像?解:将sin y x =的图像向x 轴负方向平移6个单位长度,然后将所得各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再将纵坐标变为原来的2倍。
正切函数图像和性质PPT课件.ppt
一、复习 1.正切曲线的几何做法 2.正切函数图像
二、正切函数的性质 1.
函数 定义域
值域
y=tanx
{x | x R且x k ,
2
k Z}
R,没有最大 值和最小值
函数
周期性 奇偶性 单调性
y=tanx
tan(x)
最小 tan x
正周 期为 奇函数 π
4
{z | z k , k Z}
2
由x z k , 可得
4
2
x k
4
所以函数 y tan(x )的定义域是
4
{x | x k , k Z}
4
练习:求函数的定义域
(1) y tan x 2
(2) y 1
分析:(1) x1ktanx
2 A.y tan x
B.y cos x
C.y tan x 2
D.y tan x
C.令 x ,则y tan
2
tan( ) tan
即 tan( x ) tan x
2
2
f (x 2 ) tan x 2 tan(x ) tan x f (x)
分析:观察正切函数图像
(1){x | k x k , k Z}
2
(2){x | x k , k Z}
(3){x | k x k , k Z}
2
三、例题
例1 .求函数y=tan(x+4 )的定义域
解:令z x , 那么函数y tan z的定义域是
(1 )t an 1 3 8与t an1 4 3
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2.体现中考性质要求。“有利选拔、兼顾水 平、平稳过渡、稳中求变”的命题指导思想。
3.体现“思想性、人文性、综合性、实践性” 的学科性质和“教育性、应用性”的学科特点。
(1)选材体现时代性、地域性、应用性和探究性。 应该选取时代化和生活化突出的话题,引导学生在真 实的情境中感受、选择、体验、探究,关注热点,重 视实践。
2 的值 tan x 与它对应,按照这个对应法则所建立的函数 表示为 y tan x ,它叫做正切函数。
正弦函数性质研究回顾
1、定义域和值域:定义域为R,值域为[-1,1]
xπ 22π k k( Z)时 yma , x1;
23、、单周调期性性::T增 区 2间 : [2 x k π π 2 , 2 2k k π π π k] ( Z) ( k 时 Z ym ) i n, 1;
又由 f(xT)Atan[(xT)]
Atan(xT)
只需 T
T
小结:
你今天有什么收获?
课外拓展:
请定义一个余切函数 并研究它的性质呢?
作业:练习册6.2(A)组
2010年盐城市思想品德 《中考说明》解读
盐城市初级中学 陈巧云
一、认识《中考说明》的地位和作用 二、准确把握和使用《中考说明》
3
变式问题
1:讨论函数
y
tan(
x
) 的性质。
63
变式问题 2:求函数 y 3 tan( x ) 的
63
周期和单调区间。
思考: 正切函数是周期函数,周期是π.
函数 的周期是什么?
y t a n ( x ) (
0 )
f(x)A tan ( x)
解析:设此函数周期为T,则有 f(xT)f(x)
6.2.2正切函数的图像与性质
第三章 函数的基本性质 第五章 三角比
6.2.1 正切函数的图像与性质
6.2.2 正切函数的图像与性质
正切函数的应用
求函数 y = tan( x + ) 的定义域、周期和单调区间. 的定义域、周期和单调区间 练1: : 2 3 π π π 应该满足: 解:函数自变量 x 应该满足: x + ≠ kπ + , k ∈ Z 2 3 2 1 { 所以定义域是: 所以定义域是: x | x ∈ R, x ≠ 2k + , k ∈ Z } 3 π π π π π π f ( x) = tan( x + ) = tan( x + + π ) = tan[ ( x + 2) + ] 2 3 2 3 2 3 = f ( x + 2) 所以周期是:2 所以周期是: 由 kπ −
y
3 2
1
-4
−π
-2
−
π
2
-1
O
π2
2
π
4
x
-2
例1:求下列函数的周期及单调区间 (1)f ( x) = tan(−2 x + ) π π 6 π π π 解:f ( x) = − tan(2 x − ) T= kπ − < 2 x − < kπ + 6 2 2 6 2 k π π kπ π 解得: 解得:单减区间为 ( − , + ), k ∈ Z 2 6 2 3 (2) f
(1)
( kπ −
π
练习 3:求函数 y =
, kπ + ), k ∈ Z 4 6
π
高一数学6.2正切函数的图像和性质教案2沪教版高一下学期
第六章 三角函数6.2 正切函数的图像和性质(2)【教学目标】1. 准确写出正切函数的周期、奇偶性、单调区间.2.通过练习与训练体验正切函数基本性质的应用.【教学重点与难点】正切函数基本性质的应用.【教学过程】引入:我们在前一节中学习了正切函数的图像及性质,下面我们一起回顾有关知识点例题分析:例1. 求函数12()12tan x f x tan x+=-的最小正周期: 分析:()()f x Atan x ωϕ=+(0,0A ω≠≠)的最小正周期为||T πω= 解:(略)[说明]()()f x tan x ωϕ=+型函数要注意ω的正负.小结:求单调区间、最小正周期问题化成()()f x Atan x ωϕ=+(0,0A ω≠≠)型后在进一步求解(要注意ω的正负)例2. 作函数||y tan x =的图像解:||y tan x =化为 0,2()0,2tanx x x k y k Z tanx x x k ππππ⎧≥≠+⎪⎪=∈⎨⎪-<≠+⎪⎩图像如图所示.说明:数形结合知||y tan x =是偶函数、不是周期函数.又||y sin x =、||y sinx sin x =+可作为课后思考例3.设足球场宽65米,球门宽7米,当足球运动员沿边路带球突破,距底线多远处射球门,对球门所张的角最大.(保留两位小数)解:如图6—12,7AB = 米,由球场宽65米,可知29AC =米,36BC =米,设足球运动员在边线上的点M 处射球门, ,AMB AMC αβ∠=∠=,显然α越大, 越有利于射门,设点M 与底线AC 的距离为x 米,则2936,()tan tan x x βαβ=+=,()()1()tan tan tan tan tan tan αββααββαββ+-=+-=++23629773629362936291x x x x x x x x-===≤⨯+⨯+∙+ 当且仅当3629x x ⨯=,即32.31x =≈时,tan α取最大值,因为当02πα<<时,tan α为增函数,所以当32.31x ≈9(米)时,α取最大值,此时对球门的张角最大,有利于提高射门的命中率问题拓展1.求函数(2)3y cot x π=-的定义域、值域,并指出它的奇偶性、单调 性以及周期.课堂小结主要是()()f x Atan x ωϕ=+(0,0A ω≠≠)型(要注意ω的正负)函数奇偶性 单调性的应用。
6.2 正切函数的性质和图象
§6.2 正切函数的性质和图象教学目标:(1)知识与能力:使学生理解正切函数的定义,掌握正切函数的定义域,图象和性质,并能应用正切函数的单调性求单调区间,解决有关的最值问题。
了解余切函数的定义、图象和性质。
(2)过程与方法:复习函数的定义,定义正、余切函数,进一步运用三角比的概念、诱导公式及函数的奇偶性,研究正、余切函数的性质,并通过例题学习其简单应用。
(3)情感、态度与价值观:教学重点:正切函数的单调性。
教学难点:正切函数的单调性。
教学过程:一新课引入前面,我们学习了正弦函数和余弦函数的性质和图象。
下面,我们再来学习正切函数和余切函数的性质和图象。
二新课讲解1 正切函数和余切函数的定义对于任意一个实数,根据度量角的弧度制,我们知道有唯一确定的角与它对应,而这个确定的角又对应着唯一确定的正切值或余切值。
于是,对于每一个实数x,都有唯一的tanx或cotx与它对应。
从而根据函数的定义,按照这个对应法则可建立两个函数y=tanx与y=cotx,这两个函数分别叫做正切函数、余切函数。
根据三角比的定义,它们定义域分别是x∈R,x≠kπ+π/2和x∈R,x≠kπ。
2 正切函数和余切函数的的性质①周期性根据诱导公式可知,正切函数和余切函数都是周期函数,kπ是它们的周期,π是它们的最小正周期。
例:求y=2tan(3x+π/6)的周期归纳:y=tg(ωx+ϕ) (ω>0)的最小正周期是π/ωy=tg(ωx+ϕ) (ω<0的最小正周期是π/(-ω)一般地,y=tg(ωx+ϕ)的最小正周期是π/⎪ω⎪类似地,可得:y=ctg(ωx+ϕ)的最小正周期是π/⎪ω⎪②奇偶性根据诱导公式可知,正切函数和余切函数都是奇函数,它们的图象关于原点对称。
③单调性根据正、余切函数的周期性和奇偶性,先研究在x∈[0,π/2]上的单调性。
设x1,x2∈[0,π/2],x1<x2则tan x1-tanx2=sin(x1-x2)/ cos x1cos x2<0∴y=tanx在x∈[0,π/2]上单调递增。
《正切函数的图像与性质》 讲义
《正切函数的图像与性质》讲义一、正切函数的定义在直角三角形中,对于一个锐角α,它的对边与邻边的比值叫做这个角的正切值,记作tanα。
即tanα =对边/邻边。
如果我们把角α放在平面直角坐标系中,以原点为圆心,单位长度为半径作一个圆,角α的终边与单位圆相交于点 P(x,y),那么tanα = y / x(x≠0)。
二、正切函数的定义域正切函数tanα = y / x(x≠0),所以正切函数的定义域为{α |α ≠ kπ +π/2,k∈Z}。
这是因为当α =kπ +π/2 时,角α的终边在 y 轴上,此时 x = 0,正切函数的定义式无意义。
三、正切函数的周期性正切函数是周期函数,其最小正周期为π。
即对于任意实数 x,都有 tan(x +π) = tan x。
这是因为角α和角α +π 的终边关于点(π/2, 0) 对称,它们的正切值相等。
四、正切函数的奇偶性正切函数是奇函数。
即tan(α) =tanα这可以从正切函数的定义出发来理解,角α 的终边与角α 的终边关于 x 轴对称,它们的对边和邻边的绝对值相等,但符号相反,所以正切值互为相反数。
五、正切函数的单调性正切函数在每个区间(π/2 +kπ ,π/2 +kπ )(k∈Z)上都是单调递增的。
我们可以通过观察正切函数的图像来直观地理解其单调性。
六、正切函数的图像1、首先,我们来分析正切函数图像的渐近线。
因为正切函数的定义域为{α |α ≠ kπ +π/2,k∈Z},所以当α趋近于kπ +π/2 (k∈Z)时,函数值趋近于正无穷或负无穷,此时 x =kπ +π/2 (k∈Z)就是正切函数图像的渐近线。
2、接下来,我们通过描点法来绘制正切函数的图像。
选取一些特殊的角度,如 0,π/6,π/4,π/3 等,计算出对应的正切值,然后描点连线。
当α = 0 时,tan 0 = 0;当α =π/6 时,tan π/6 =√3 / 3;当α =π/4 时,tan π/4 = 1;当α =π/3 时,tan π/3 =√3 。
透过现象本质.探究教材细节——“6.2正切函数的图象与性质”案例分析
课程篇一、教材解读教材由细节构成,每一个细节都是教材发展的一个生长点,我们认为这些生长点是解读教材好的出发点。
寻求合理化、智慧化和精确化的教学当然可以推出精彩的课堂教学。
1.注意教材的插图细节,分析教材内容细节是什么?教材的每一个插图都有其内涵。
一般来说,图形直观形象,其通常是在教学中教材的文字语言往往不能正确形容某种意义或过程的时候所使用。
2.探究教材本质,挖掘教材细节数学探究能力在日常的教学过程中为学生学习提供了基础保障,利用一切可能的机会和素材,使学生的探究能力得到发展。
本文以沪教版高中数学教材中“正切函数的图象与性质”为例,通过类比数学内容之间的关系来培养学生探究能力。
本文的教学内容是由教师的问题和指导来决定的,通过学生对现有学习探究的体会,学生会探究正切函数的图象和性质,并利用探究过程形成学习函数的一般方法。
二、教学过程1.激发学生原有的认知水平,从结构和整体入手【教学过程片段之一】师:我们有同学类比正弦函数的定义,定义一个正切函数:对于任意一个实数x都有唯一确定的值tan x 与它对应。
按照这个对应法则建立的函数关系,表示为y=tan x,叫做正切函数。
请问大家,这个定义合理吗?生:不合理,应该是(x≠kπ+π2,k∈Z),加一个条件x≠kπ+π2,k∈Z,这样定义就合理了。
师:今天,我们就来研究正切函数的图象与性质,那么,作函数图象的常用方法是什么?生:描点法。
师:描点法是我们作函数图象的最基本方法,还有其他方法吗?生:单位圆,借助正切线,类比正弦函数的方法。
师:大家想,我们在画y=cos x图象时利用了平移,目前平移也是我们作图象的方法之一。
那么,正切函数的图象,你会选择哪一个方法画?(描点法)因为它没有办法通过我们熟悉的函数平移来得到。
探究:利用正切函数线或描点法画正切函数y=tan x 在(-π2,π2)内的图象。
π2xyO-π2-π2π2-32π32π-ππO xy师展示学生画的正切函数图象。
三角函数的无穷大
三角函数的无穷大(一)正切函数(y = tan x)1. 函数性质- 正切函数的定义域为x≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z。
- 当x趋近于kπ+(π)/(2)(k∈ Z)时,tan x趋近于正无穷或负无穷。
例如,当x 从左侧趋近于(π)/(2)时,tan x的值不断增大,趋近于正无穷;当x从右侧趋近于(π)/(2)时,tan x的值不断减小,趋近于负无穷。
2. 图像特点- 在正切函数的图像上,在x = kπ+(π)/(2)(k∈ Z)处有垂直渐近线。
这是因为函数在这些点处极限为无穷大,函数值在这些点附近无限增大或减小。
(二)余切函数(y=cot x)1. 函数性质- 余切函数的定义域为x≠ kπ,k∈ Z。
- 当x趋近于kπ(k∈ Z)时,cot x趋近于正无穷或负无穷。
例如,当x从左侧趋近于0时,cot x=(cos x)/(sin x),sin x趋近于0且为正,cos x趋近于1,所以cot x趋近于正无穷;当x从右侧趋近于0时,sin x趋近于0且为负,cos x趋近于1,所以cot x趋近于负无穷。
2. 图像特点- 在余切函数的图像上,在x = kπ(k∈ Z)处有垂直渐近线,这是由于函数在这些点处极限为无穷大的缘故。
(三)正割函数(y = sec x=(1)/(cos x))和余割函数(y=csc x=(1)/(sin x))1. 正割函数- 定义域为x≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z。
当cos x趋近于0时,sec x趋近于正无穷或负无穷。
例如,当x趋近于(π)/(2)时,cos x趋近于0,sec x=(1)/(cos x)趋近于正无穷(当x从左侧趋近)或负无穷(当x从右侧趋近)。
- 其图像在x = kπ+(π)/(2)(k∈ Z)处有垂直渐近线。
2. 余割函数- 定义域为x≠ kπ,k∈ Z。
当sin x趋近于0时,csc x趋近于正无穷或负无穷。
例如,当x趋近于0时,sin x趋近于0,csc x=(1)/(sin x)趋近于正无穷(当x从右侧趋近)或负无穷(当x从左侧趋近)。
正切函数的性质和图象
求函数 y=tan3x 的定义域和周期
并判断其奇偶性。
y tan( x )的周期是多少?
T
画出下列各角的正切线:
的终边
y
的终边
y
的终边
的终边
1、当x大于
2 2 正切线AT向y轴负方向无限延伸
且无限接近
时,
2、 当x小 于 且 无 限 接 近 时 , 2 2 正 切 线 向y轴 正 方 向 无 限 延 伸 AT
x
x 2k 时, ymax 1 2 最值 x 2k 时,ymin 1 2 x[- 2k , 2k ] 增函数 2 2 单调性 x[ 2k , 3 2k ] 减函数 2 2
奇偶性 周期 对称性 奇函数
y [1,1]
2
对称轴: 对称中心:(
x k , k Z
2
k , 0) k Z
b tan a
要使得上式有意义,必须 a≠0; 即角α的终边不能落在 y 轴上。
对 正 函 于 切 数
y tan x, 有 x 只
2
k , k Z
才 使 y tan x有 义 能 得 意 。
y
1
-π/2
π/2
O1
O
x
-1
y tan x x (
2
,
2Leabharlann )2、 把y=tanx,x∈ (-π/2,π/2)图象向左或者
向右平移,每次平移π个单位长度就得到y=tanx
x∈R,且x≠π/2+kπ,k∈Z 的图象。
y
1
3 2
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tan 与 tan 4 5
试一试
求函数 y tan 3 x 的定义域、值域,并指出它的 3 单调性、奇偶性和周期性;
答案:
1、定义域 2、值域
1 5 x x | x R且x k ,k Z 3 18 yR
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数?为什么?
A
B
π π (- +2
在每一个开区间 内都是增函数。
试一试 1.关于正切函数 y
tan x , 下列判断不正确的是(B )
A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值 D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线 段相等
探究
你能否根据研究正弦、余弦函数的图象和性质的经 验以同样的方法研究正切函数的图像和性质?
正弦函数的图像
函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1
1P 1
6
(3) 平移 (4) 连线
3
2
o1
M -1 1
A
o
-1 -
6
k
2x
k
, k ), k Z 2 2
例2、比较下列每组数的大小。 5 5
1 tan
6
与 tan
4
13 2 tan 与 tan( ) 4 5
说明: 比较两个正切值大小,关键是把相应 的角化到y=tanx的同一单调区间内,再利 用y=tanx的单调递增性解决。
o
3 0 2 8 4 8
8
4
3 8
2
由通过点 (k 2 , 0)(k Z ) 且与 y 轴相互 平行的直线隔开的无穷多支曲线组成
正切曲线
渐 近 线 渐 近 线
3 2
0
试一试
你能从正切函数的图像出发,讨论它的性质吗? y
1
- t- -/2
值域:
全体实数R
周期性: 正切函数是周期函数,
最小正周期T=
k , k ,k Z 2 2
奇偶性: 奇函数,
单调性: 正切函数在开区间 内都是增函数。
作业:
《课本》P 3、4、5--------作业本 《同步》 P 1~11、13---------书上
6.2正切函数的图像与性质
一、复习:
1、任意角正切值的定义:
y
P x, y
y tan x0 x
o
x
的终边不在y轴上 k ( k z )
2
2、
由诱导公式得 tan( x ) tan x, x R, x k , k Z 2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
22
x
-
-
-
-
我们用正弦线作正弦函数图像
1、平移正弦线得到 y sin x, x 0,2 的图像
2、利用周期性把该段图像向左、右扩展得到 x R 的图像
类 比
用正切线作正切函数y=tanx的图像
三、探究用正切线作正切函数图像 问题1、正切线?
4 并判断它的奇偶性.
)的定义域、值域和单调区间,
:设 t 2 x
y tan t 的单调增区间是(k
2 4 2 k 3 k x 2 8 2 8 k 3 k 函数的单调增区间是( , ), k Z 2 8 2 8 变式:求函数 y tan( 2 x) 的单调区间. 4
3、单调性
4、奇偶性 5、周期性
1 5 1 在x k , k 上是增函数; 18 3 18 3
非奇非偶函数 (定义域不关于原点对称)
最小正周期是
3
小结:
(1)正切函数的定义 (2)正切函数的图像
y tan x
(3)正切函数的性质:
x | x R , x k , k Z 定义域: 2
为什么?
y tan x 利用正切线画出函数 ,x , 的图像: 2 2
问题3、如何利用正切线画出函数 的图像?
y
tan x,x , 2 2
角 的终边 3 T
Y
( , tan )
3 3
A
0
3
X
y tan x x 利用正切线画出函数 , , 的图像: 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分: 3 3 (2) 作正切线 , , , , , 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线
由诱导公式得 tan( x) tan x, x R, x k , k Z 2
二、正切函数:
对于任意一个实数 x( x k , k Z )都有唯
2
一确定的值 tan x与它对应,按照这个对应法
则所建立的函数,表示为 y tan x,叫做正切
函数。
-1
0
t /2
t+ 3/2
函数 定义域 值域
y=tanx
{x | x k
, k Z} 2
R T= 奇函数 增区间
( k
周期性 奇偶性
单调性 对称中心
2
, k
2
), k Z
(
k , 0), k Z 2
探究
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗?为什么?
周期 T
2
周期T | |
五、课堂练习:
1.求函数y=tan2x的定义域. 2.求下列函数的周期:
(1) (2)
k y tan( 2 x ), x (k Z ) 4 8 2
x y 5 tan , x 2k (k Z ). 2
3.不通过求值,比较下列两个正切函数值的大小: 13 13 (1) t an138 与 t an143 ;
2.函数 y
tan(2 x) 的一个对称中心是(
B. ( , 0) 4
B )
A . ( , 0) 9
C. ( , 0) 6
D. (
6
, 0)
四、例题讲解:
求函数 y tan(2 x 例1、
解
, 则 y tan t 的定义域为 t t R 且 t k + , k Z 4 2 k 2 x k , x 4 2 2 8 k 因此,函数的定义域是 x x R且x , k Z 值域 : R 2 8
95 153
例3、求下列函数的周期:
(1) y 3 tan(2 x
解:
3
);
f ( x) 3tan(2 x ) 3 3tan(2 x ) 3
(2) 变式: y 3 tan( 2 x) 3
3tan 2( x ) 2 3 f (x ) 2
y
T
o
x
正切线AT
A
(1,0)
x
问题2、正切函数 y
= tanx 是否为周期函数? ∵f x +π = tan x +π = tanx f x
∴
y = tanx
是周期函数,
是它的一个周期.
我们先来作一个周期内的图象。 想一想:先作哪个区间上的图像好呢?
ππ (- , ) 2 2